ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ"

Transcript

1 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να µπορέσουµε να προβούµε σε µια συνοπτική παρουσίαση του δείγµατος µας, που θα έχει ως αποτέλεσµα την εξαγωγή κάποιων αρχικών συµπερασµάτων, τα στοιχεία µας οργανώνονται αρχικά σε µορφή πινάκων, και εν συνεχεία γίνεται χρήση γραφικών και αριθµητικών µεθόδων. Προτού προχωρήσουµε στην αναλυτική εξέταση των µέσων παρουσίασης στατιστικών στοιχείων ας αναφέρουµε τους κυριότερους τύπους µεταβλητών. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΙΑΤΑΞΗΣ ΣΥΝΕΧΗΣ ΙΑΚΡΙΤΗ Κατηγορική (omal): Η µόνη προσδιορισµένη σχέση µεταξύ των κατηγοριών είναι απλά η ύπαρξη διαφοράς. Το σύνολο τιµών τέτοιων µεταβλητών δεν έχει καµία ιδιότητα (π.χ. το χρώµα µατιών, το φύλο, ο τόπος γέννησης, το πολιτικό κόµµα που ψηφίσαµε στις τελευταίες εκλογές, οι οικογενειακή κατάσταση κ.λ.π.). Σηµασία έχουν µόνο οι διαφορετικές τιµές που µπορεί να πάρει η µεταβλητή. ιάταξης (ordal): Η διάταξη το µόνο που εξασφαλίζει είναι τον προσδιορισµό της µεγαλύτερης, καλύτερης, προτιµότερης κατηγορίας αλλά όχι και το πόσο µεγαλύτερη, καλύτερη, προτιµότερη είναι σε σχέση µε τις υπόλοιπες. Για παράδειγµα η στάση ενός ατόµου απέναντι σε κάποιο πολιτικό ζήτηµα µπορεί να είναι: πολύ αρνητική < αρνητική < ουδέτερη < θετική < πολύ θετική. Συνεχής (cotuous): Το σύνολο των δυνατών τιµών είναι ένα συνεχές υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών όπως το βάρος, η πίεση, η ηλικία, κ.λ.π.

2 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ιακριτή (dscrete): Το σύνολο των δυνατών τιµών είναι ένα υποσύνολο των φυσικών αριθµών όπως ο αριθµός τροχαίων ατυχηµάτων, ο αριθµός επιβατών αεροπορικής πτήσης, κ.λ.π. Οι µέθοδοι παρουσίασης των δεδοµένων µας χωρίζονται στις εξής δύο κατηγορίες: ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Πίνακες Συχνοτήτων, Μέτρα Θέσεως, Μέτρα Μεταβλητότητας, Μέτρα Μορφής, κ.λ.π. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Ιστόγραµµα, ιάγραµµα ιασποράς, Pαβδογράµµατα, Tοµεογράµµατα, Xρονοδιαγράµµατα, κ.λ.π. Ανάλογα µε τον τύπο της µεταβλητής προβαίνουµε σε διαφορετική παρουσίαση των δεδοµένων µας. Α) ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Είναι προφανές ότι στις ποιοτικές µεταβλητές (διατεταγµένες ή µη) δεν µπορούµε να κάνουµε µαθηµατικές πράξεις. Μπορούµε µόνο να καταµετρήσουµε τις συχνότητες κάθε κατηγορίας, δηµιουργώντας έτσι τον λεγόµενο πίνακα συχνοτήτων, και εν συνεχεία να προβούµε σε γραφικές παραστάσεις, όπως το Τοµεόγραµµα ( pe-chart) ή το Ραβδόγραµµα (bar-chart). Παράδειγµα: ίνονται οι απαντήσεις 5 ατόµων (=5) σχετικά µε την οικογενειακή τους κατάσταση: Ε, Ε, Ε, Α, Χ,, Ε, Ε, Χ, Α, Ε, Α, Χ, Ε, Ε,, Χ, Α, Ε, Α, Ε, Α, Ε, Α, Α, όπου Α = άγαµος, Ε = έγγαµος, = διαζευγµένος και Χ = χήρος. Εύκολα κατασκευάζουµε τον ακόλουθο πίνακα: Οικογενειακή Κατάσταση (X) Απόλυτες Συχνότητες (f ) Σχετικές Συχνότητες (f /) Ποσοστιαίες Συχνότητες (00 f / %) Άγαµος ιαζευγµένος Έγγαµος Χήρος ΣΥΝΟΛΟ Με την βοήθεια του παραπάνω πίνακα εύκολα µπορούµε να σχηµατίσουµε τις ακόλουθες γραφικές παραστάσεις: ) Τοµεόγραµµα των ποσοστιαίων συχνοτήτων:

3 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 3 6% 44% 3% 8% Άγαµος ιαζευγµένος Έγγαµος Χήρος ) Ραβδόγραµµα των απολύτων συχνοτήτων: Οικογενειακή Κατάσταση Οµοίως µπορούµε να σχεδιάσουµε τα Ραβδογράµµατα των σχετικών και των ποσοστιαίων συχνοτήτων. Β) ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ: Στις ποσοτικές µεταβλητές εκτός των γραφηµάτων µπορούµε πλέον να εφαρµόσουµε και αριθµητικές µεθόδους παρουσίασης του δείγµατος. Η κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων είναι και πάλι χρήσιµη, αλλά στην περίπτωση των συνεχών µεταβλητών η οµαδοποίηση των δεδοµένων είναι αναγκαία για την κατασκευή του. Για την οµαδοποίηση των συνεχών δεδοµένων δηµιουργούµε κ κλάσεις, συνήθως µε το ίδιο εύρος, µε την βοήθεια του τύπου του Sturges που µας δίνει προσεγγιστικά τον αριθµό κλάσεων που θα πρέπει να δηµιουργήσουµε, βάση της σχέσης κ = log(), όπου είναι το µέγεθος του δείγµατος και log ο δεκαδικός λογάριθµος. Τέλος η συνηθέστερη γραφική µέθοδος στις ποσοτικές µεταβλητές είναι το Ιστόγραµµα. Έστω η ποσοτική µεταβλητή X, η οποία σε τυχαίο δείγµα µεγέθους, έδωσε τα αποτελέσµατα x,., x. Τα µέτρα θέσεως του δείγµατος είναι: ) Μέση Τιµή: Μέση τιµή του δείγµατος ονοµάζεται η ποσότητα:

4 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 4 x = x. = ) Κορυφή: Η παρατήρηση µε την µεγαλύτερη συχνότητα για διακριτά δεδοµένα, ενώ για τα οµαδοποιηµένα συνεχή, η κεντρική τιµή της οµάδας (κλάσης) µε την µεγαλύτερη συχνότητα. Συµβολίζεται µε το γράµµα m (mode). 3) ιάµεσος: ιάµεσος είναι η παρατήρηση εκείνη η οποία είναι µεγαλύτερη από * το 50% ακριβώς των παρατηρήσεων. Συγκεκριµένα αν x,..., x * το διατεταγµένο δείγµα µας και = m-, τότε ως διάµεσος λαµβάνεται η τιµή xδ * = x και αν = m η τιµή xδ = (x * + x * ) /. m m m+ 4) Ποσοστιαία Σηµεία: Το p-ποσοστιαίο σηµείο είναι η παρατήρηση εκείνη η οποία είναι µεγαλύτερη από το 00p% ακριβώς των παρατηρήσεων. Προφανώς για p=/ το σηµείο x p είναι η διάµεσος. Ειδικά τα σηµεία x p για p=/4 και 3/4 καλούνται αντίστοιχα πρώτη και τρίτη τεταρτητόµος. Τα µέτρα µεταβλητότητας του δείγµατος είναι: ) ιασπορά: Η διασπορά του δείγµατος δηλώνει πόσο µακριά από την µέση τιµή είναι οι παρατηρήσεις µας και ορίζεται από τη σχέση: s = (x x). - = ) Συντελεστής Μεταβλητότητας: Ο συντελεστής µεταβλητότητας χρησιµεύει στην σύγκριση µεταβλητότητας δειγµάτων από διαφορετικούς πληθυσµούς και ορίζεται από τη σχέση: s λ = 00 %. x 3) Εύρος ή Κύµανση: Το εύρος του δείγµατος ορίζεται από τη σχέση: * * R = x - x = max(x) m(x ), είναι δηλαδή η διαφορά της µέγιστης από την ελάχιστη παρατήρηση. 4) Ενδοτεταρτηµοριακό εύρος: Η διαφορά x 3/4 -x /4 καλείται ενδοτεταρτηµοριακό εύρος. Ας δούµε δυο παραδείγµατα, ένα στην διακριτή και ένα στην συνεχή περίπτωση.

5 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 5 α) ιακριτές Μεταβλητές: Πέντε νοµίσµατα ρίχνονται 50 φορές (=50) και σε κάθε ρίψη καταγράφεται ο αριθµός X κεφαλών που προκύπτει. Τα αποτελέσµατα είναι:, 3, 4,, 3,, 3,, 4,,,, 3, 0,, 3, 3,, 4, 3,,,, 4, 3, 3,,, 3,,, 3,,,,, 4,, 3,, 4,, 3,, 3,, 3, 4,, 4. Στο παραπάνω δείγµα ο αριθµός X των κεφαλών µπορεί να πάρει µια από τις τιµές z = 0,,,3,4,5 και συνεπώς είναι µία διακριτή τυχαία µεταβλητή. Εύκολα κατασκευάζουµε τον ακόλουθο πίνακα συχνοτήτων: z Απόλυτες Συχνότητες f Αθροιστικές Συχνότητες F = j= f j Σχετικές Συχνότητες p = f / Σχετικές Αθροιστικές Συχνότητες P = (= ) ΣΥΝΟΛΟ 50 (= ) j= p j Ο υπολογισµός των µέτρων θέσεως και µεταβλητότητας αλλάζει εάν τα δεδοµένα µας είναι υπό µορφή πίνακα συχνοτήτων. Εύκολα κατασκευάζεται ο παρακάτω πίνακας: z Απόλυτες f z f z Συχνότητες f ΣΥΝΟΛΟ Αποδεικνύονται οι σχέσεις: α) x = fz, οπότε στο παράδειγµά µας προκύπτει ότι = x = =

6 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 6 β) s { f z ( f z ) = = = /}, οπότε στο παράδειγµά προκύπτει ότι s = {346 / 50} = Τέλος µε την βοήθεια του πίνακα συχνοτήτων πολύ εύκολα µπορούµε να κατασκευάσουµε Ιστόγραµµα απόλυτων και αθροιστικών συχνοτήτων: Cout Cumulatve Frequecy X Όµοια κατασκευάζουµε το Ιστόγραµµα σχετικών και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων (εµπειρική συνάρτηση κατανοµής). β) Συνεχείς Μεταβλητές: Σε δείγµα 50 εξαρτηµάτων του αυτού τύπου µετρήθηκε η διάρκεια ζωής X(h) και προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσµατα: 46, 04, 94, 4, 45, 4, 5, 7, 8, 93, 6, 64, 5, 57, 56, 57, 56, 36, 7, 46, 53, 85,, 43, 59, 0, 64, 73, 7, 34, 0, 8, 46, 7, 35, 4, 63, 4, 64, 3, 48, 97, 73, 38, 43, 9, 5, 7, 37, 84. Στο παράδειγµα αυτό η τ.µ. X είναι συνεχής παρότι εµφανίζεται σαν διακριτή. Τούτο διότι η διάρκεια ζωής µπορεί να λάβει οποιαδήποτε θετική τιµή. Παρατηρούµε ότι η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή του Χ στα παραπάνω αποτελέσµατα είναι 4 και 34. Προκειµένου λοιπόν να οµαδοποιήσουµε τα δεδοµένα µας, θα διαµερίσουµε το διάστηµα [0,30), που περιλαµβάνει όλα τα αποτελέσµατα του δείγµατος. Με την βοήθεια του τύπου του Sturges, προκύπτει ότι ο αριθµός των κλάσεων µας πρέπει να είναι περίπου 6.6. Επειδή συγχρόνως θέλουµε οι κλάσεις µας να είναι του ιδίου εύρους σχηµατίζουµε 8 κλάσεις µε εύρος 40. Με την βοήθεια των συγκεκριµένων κλάσεων εύκολα σχηµατίζουµε τον ακόλουθο πίνακα συχνοτήτων: X

7 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 7 ιάρκεια Ζωής α ι- Χ < α ι Απόλυτες Συχνότητες f Αθροιστικές Συχνότητες F = j = f j Σχετικές Συχνότητες p = f / Σχετικές Αθροιστικές Συχνότητες P = (= ) ΣΥΝΟΛΟ 50 (= ) j = p j Αν τα δεδοµένα µας είναι απευθείας υπό µορφή πίνακα συχνοτήτων, για των υπολογισµό των µέτρων θέσεως και µεταβλητότητας χρειαζόµαστε νέους υπολογιστικούς τύπους. Και ενώ στην διακριτή περίπτωση µπορούµε από τον πίνακα συχνοτήτων να επιστρέψουµε στα αρχικά µας δεδοµένα, και εν συνεχεία να χρησιµοποιήσουµε τους αρχικούς τύπους για τον εντοπισµό των αριθµητικών µέτρων, κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατόν στην συνεχή περίπτωση λόγω της οµαδοποίησης των δεδοµένων µας. Καταρχήν κατασκευάζουµε τον ακόλουθο πίνακα: ιάρκεια Ζωής α ι- Χ < α ι Κεντρικές τιµές κλάσεων z Απόλυτες Συχνότητες f f z f z ΣΥΝΟΛΟ - 50 (= ) Ισχύουν οι σχέσεις: α) x = fz, οπότε στο παράδειγµά µας προκύπτει ότι = 4680 x = =

8 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 8 β) s { f z ( f z ) = = = /}, οπότε στο παράδειγµά προκύπτει ότι = =. 49 s { / 50} Για τον υπολογισµό της κορυφής, διαµέσου και τον ποσοστιαίων σηµείων από τους πίνακες συχνοτήτων θα χρησιµοποιήσουµε προσεγγιστικούς τύπους, τα αποτελέσµατα των οποίων όµως είναι αρκετά κοντά στις πραγµατικές τιµές. α) Κορυφή: m = L + /( + ) c, όπου L είναι το κάτω όριο της οµάδας µε την µεγαλύτερη συχνότητα, είναι η διαφορά µεταξύ της µεγαλύτερης συχνότητας και της συχνότητας της προηγούµενης κλάσης, είναι η διαφορά µεταξύ της µεγαλύτερης συχνότητας και της συχνότητας της επόµενης κλάσης και τέλος c είναι το εύρος των κλάσεων. Έτσι στο παράδειγµα µας είναι L = L = 40, = 6- = 5, = 6-0 = 6, c = 40, οπότε: m = /(5+6) 40 = 58.8 β) ίαµεσος: x δ = L + -N - c, όπου L είναι το κάτω όριο της µεσαίας κλάσης (το διάστηµα στο οποίο ανήκει η διατεταγµένη παρατήρηση µε σειρά (+)/ αν το είναι περιττός, ή το διάστηµα στο οποίο ανήκουν οι διατεταγµένες παρατηρήσεις µε σειρά /, (+)/ αν το είναι άρτιος), N- είναι η αθροιστική συχνότητα της κλάσης µε άνω όριο το L, είναι η συχνότητα της κλάσης µε κάτω όριο το L και τέλος c είναι το εύρος των κλάσεων. Έτσι στο παράδειγµα µας έχουµε 50 παρατηρήσεις, οπότε µεσαία κλάση είναι το διάστηµα που περιλαµβάνει τις διατεταγµένες παρατηρήσεις µε σειρά 5, 5.5. Με την βοήθεια των αθροιστικών συχνοτήτων συµπεραίνουµε ότι το συγκεκριµένο διάστηµα είναι το δεύτερο. Τότε L = L = 40, N-=, = 6, c = 40, οπότε: x δ = 40 + (5-)/6 40 = 75. γ) Ποσοστιαία σηµεία: ουλεύοντας όπως και στην διάµεσο έχουµε τον τύπο: p-n- x p = L + c, όπου L είναι το κάτω όριο της κλάσης που περιέχει την διατεταγµένη παρατήρηση µε σειρά p /00, N είναι η αθροιστική συχνότητα της κλάσης µε άνω όριο το L, -

9 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 9 είναι η συχνότητα της κλάσης µε κάτω όριο το L και τέλος c είναι το εύρος των κλάσεων. Ειδικά για την πρώτη και τρίτη τεταρτητόµο έχουµε τους τύπους: -N - x /4 = L + 4 c, x 3/4 = L + 3 -N 4 - c. Στο παράδειγµα µας είναι x /4 = 40 +[(/4 50 )/6] 40 = 43.75, x 3/4 = 0 +[(3/ )/5] 40 = 4. Τέλος µε την βοήθεια του πίνακα συχνοτήτων πολύ εύκολα µπορούµε να κατασκευάσουµε Ιστόγραµµα απόλυτων και αθροιστικών συχνοτήτων: Cout Cumulatve Frequecy Classes Classes Όµοια κατασκευάζουµε το Ιστόγραµµα σχετικών και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων (εµπειρική συνάρτηση κατανοµής). Άλλα Μέτρα Θέσεως: Το κυριότερο µέτρο θέσεως για την περιγραφή του δείγµατος µας είναι η µέση τιµή. Παρουσιάζει όµως το µειονέκτηµα να επηρεάζεται από ιδιαίτερα ακραίες (αν υπάρχουν) παρατηρήσεις (έκτροπες παρατηρήσεις outlers). Π.χ. αν x =, =,,00 και x 0 =0000, τότε x =00). Ο απλούστερος τρόπος αντιµετώπισης του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι να υπολογίσουµε τον p-ισοσταθµισµένο µέσο (trmmed mea), ο οποίος είναι ο απλός µέσος των 00 (-p)% παρατηρήσεων. Εάν δεν θέλουµε να αφαιρέσουµε τις συγκεκριµένες παρατηρήσεις, διότι δεν είµαστε σίγουροι αν είναι λανθασµένες τιµές, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε εναλλακτικά

10 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 0 τον γεωµετρικό ή τον αρµονικό µέσο, που έχουν το προτέρηµα να επηρεάζονται λιγότερο από ακραίες τιµές: α) Γεωµετρικός Μέσος (x 0): x = x x log(x ) = log(x ). β) Αρµονικός Μέσος (x 0): g g = x h = =. xh = ( ) x x x Αν οι παρατηρήσεις µας είναι διατεταγµένες, δηλαδή ισχύει x x. x τότε ισχύει η σχέση x h x g x. Το πρόβληµα µε τον γεωµετρικό και αρµονικό µέσο παρουσιάζεται όταν οι παρατηρήσεις µας είναι µηδέν ή κοντά στο µηδέν. Σε αυτές τις περιπτώσεις δίνουν αποτελέσµατα µηδέν ή κοντά στο µηδέν, µη αντιπροσωπευτικά της θέσης του δείγµατος µας, οπότε εναλλακτικά µέτρα θέσεως πρέπει να υπολογιστούν. Ο υπολογισµός π.χ. της διαµέσου, µας δίνει κάποια πληροφορία για την κεντρική τιµή του δείγµατος, χωρίς να επηρεάζεται από ακραίες τιµές. Ένα δεύτερο πρόβληµα που συναντάµε µε την µέση τιµή είναι στην περίπτωση όπου οι παρατηρήσεις µας δεν έχουν το ίδιο βάρος. Ας δούµε π.χ. το εξής παράδειγµα: Ο επόµενος πίνακας µας παρουσιάζει τις ώρες εργασίας και ωριαία αµοιβή 5 εργατών που απασχολήθηκαν στην εκτέλεση ενός έργου. ΕΡΓΑΤΗΣ ΩΡΕΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΩΡΙΑΙΑ ΑΜΟΙΒΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΑΜΟΙΒΗ Α Β Γ Ε ΣΥΝΟΛΟ Ενδιαφερόµαστε να υπολογίσουµε την µέση τιµή της ωριαίας αµοιβής (x) των εργατών, λαµβάνοντας όµως υπόψη τις ώρες εργασίας (ω) που τις ονοµάζουµε βάρη. Στην περίπτωση αυτή ενδιαφερόµαστε για τον υπολογισµό του σταθµικού µέσου (weghted mea) που δίνεται από την σχέση: ωx = 6000 xw = = = ω =

11 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική Άλλες Γραφικές Μέθοδοι: Α) Το διάγραµµα κορµού και φύλλων (stem-ad-leaf dsplay): Με το Φυλλογράφηµα επιτυγχάνεται η συνοπτική παρουσίαση όλων των τιµών ενός δείγµατος χωρίς την απώλεια πληροφορίας. Στο Φυλλογράφηµα κάθε παρατήρηση χωρίζεται σε δύο µέρη το αρχικό ψηφίο (leadg dgt) ή κορµός και το φύλλο (tralg dgt). Ας θεωρήσουµε ότι έχουµε τις εξής 37 παρατηρήσεις: 68, 7, 65, 7, 65, 36, 90, 60, 54, 0, 76, 68, 54, 5, 80, 04, 7, 79, 5, 59, 89, 94, 78, 09, 89, 88, 9, 4, 35, 58, 49, 67, 35, 60, 69, 69, 5. O κορµός του πιο πάνω συνόλου των 37 µετρήσεων, αποτελείται από τα ψηφία 3, 4, 5,, 5, 6. Για παράδειγµα η εισαγωγή των µετρήσεων 35, 4, 5, 5 στον κορµό, δίνει διαδοχικά: Μετά την εισαγωγή όλων των στοιχείων παίρνουµε: Έτσι παρατηρούµε ότι η πολυπληθέστερη οµάδα είναι αυτή της κλάσης [60, 70), ότι οι κλάσεις [50, 60) και [70, 80) έχουν τις ίδιες συχνότητες ενώ η τιµή 60 είναι έκτροπη (outler). Είναι εµφανές ότι χρησιµοποιώντας τον κορµό και τα φύλλα του παραπάνω πίνακα µπορούµε να κάνουµε ανασύσταση του αρχικού συνόλου µετρήσεων. Στην ουσία δηµιουργούµε τις 4 κλάσεις: [30, 40), [40, 50),..., [60, 70).

12 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική Β) Θηκογράµµατα (box plot): Ένας απλός τρόπος παρουσίασης των κυριοτέρων χαρακτηριστικών µιας κατανοµής µέσω µιας γραφικής παράστασης είναι το λεγόµενο Θηκόγραµµα. Για την κατασκευή του αρχικά βρίσκουµε για τα δεδοµένα που έχουµε την πρώτη και τρίτη τεταρτητόµο x /4, x 3/4 και την διάµεσο x δ. Μετά κατασκευάζουµε ένα ορθογώνιο µε κάτω βάση στο x /4 και άνω βάση στο x 3/4. Το µήκος των βάσεων του ορθογωνίου λαµβάνεται αυθαίρετα. Η διάµεσος παριστάνεται σαν ένα ευθύγραµµο τµήµα µέσα στο ορθογώνιο παράλληλο µε τις βάσεις. Στην συνέχεια διακεκοµµένες γραµµές εκτείνονται από τα µέσα των βάσεων του ορθογωνίου µέχρι τις οριακές (adjacet) τιµές που προκύπτουν ως εξής: Η άνω οριακή τιµή ορίζεται σαν η µεγαλύτερη παρατήρηση, η οποία είναι µικρότερη ή ίση από το x 3/4 +.5 (x 3/4 - x /4 ), ενώ η κάτω τιµή ορίζεται σαν η µικρότερη παρατήρηση, η οποία είναι µεγαλύτερη ή ίση από το x /4 -.5 (x 3/4 - x /4 ). Εάν υπάρχουν ακόµη παρατηρήσεις που βρίσκονται έξω από το εύρος των δύο οριακών τιµών, τότε αυτές καλούνται εξωτερικές τιµές και παριστάνονται µε κάποιο ιδιαίτερο σύµβολο (π.χ. * ή ). Το Θηκόγραµµα µας δίνει το κεντρικό διάστηµα µε το 50% των παρατηρήσεων. Οι διακεκοµµένες γραµµές και η θέση της διαµέσου µας δίνουν µια εικόνα για την συµµετρικότητα της κατανοµής της µεταβλητής µας. Οι εξωτερικές τιµές µπορεί να µας οδηγήσουν στην αναζήτηση τυχόν έκτροπων τιµών (outlers). Πάντως οι εξωτερικές γραµµές δεν είναι πάντα κατά ανάγκη έκτροπες παρατηρήσεις. Το επόµενο γράφηµα µας παρουσιάζει το Θηκόγραµµα στο παράδειγµα µε το δείγµα 50 εξαρτηµάτων του αυτού τύπου στα οποία µετρήθηκε η διάρκεια ζωής

13 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 3 Ασυµµετρία και Κυρτότητα: Α) Συντελεστής Ασυµµετρίας: Η κατανοµή ενός πληθυσµού µπορεί να είναι είτε συµµετρική είτε µη συµµετρική. Στην πρώτη περίπτωση η κορυφή, η διάµεσος και η µέση τιµή συµπίπτουν. Στις άλλες περιπτώσεις ένα από τα τµήµατα στα οποία χωρίζει την κατανοµή η κορυφή περιέχει περισσότερες παρατηρήσεις από το άλλο. Υπάρχουν δύο ειδών ασυµµετρίες, η θετική ασυµµετρία στην οποία οι περισσότερες παρατηρήσεις, καθώς επίσης και η διάµεσος και η µέση τιµή, βρίσκονται δεξιά της κορυφής και στην περίπτωση αυτή µάλιστα ισχύει Μ 0 < x δ < x, και η αρνητική ασυµµετρία στην οποία οι περισσότερες παρατηρήσεις, όπως η διάµεσος και η µέση τιµή, βρίσκονται αριστερά της κορυφής και στην περίπτωση αυτή µάλιστα ισχύει x < x δ < Μ 0. Σαν αριθµητικό µέτρο καθορισµού της ασυµµετρίας το συνηθέστερο είναι ο συντελεστής ασυµµετρίας µε βάση τις ροπές ο οποίος ορίζεται ως: γ 3 (x x) = = 3 (x x) =. Όταν γ > 0 έχουµε θετική ασυµµετρία, όταν γ < 0 έχουµε αρνητική ασυµµετρία, ενώ για γ = 0 έχουµε συµµετρία. Θετική Ασυµµετρία γ > 0 Μ 0 < x δ < x Αρνητική Ασυµµετρία γ < 0 Β) Συντελεστής Κυρτότητας: x < x δ < Μ 0 Μια κατανοµή η οποία έχει σχετικά µεγάλη µέγιστη συχνότητα (κορυφή) και εποµένως µεγάλη συγκέντρωση τιµών γύρω από το µέσο λέγεται λεπτόκυρτη (leptokurtc), ενώ αν η µέγιστη συχνότητα της είναι σχετικά µικρή λέγεται πλατύκυρτη (platykurtc). Κατανοµές που προσεγγίζονται από την κανονική κατανοµή λέγονται µεσόκυρτες (mesokurtc).

14 .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική 4 Ένα µέτρο που εκφράζει το βαθµό κυρτότητας µιας κατανοµής είναι ο συντελεστής κύρτωσης του Pearso ο οποίος ορίζεται από τον τύπο: α 4 (x x) = = 4 (x x) = Επειδή για κανονικές κατανοµές έχουµε α = 3 συνηθίζεται να µετράµε την κυρτότητα µε την διαφορά α -3, η οποία για λεπτόκυρτες κατανοµές παίρνει θετικές τιµές (θετική κύρτωση), ενώ για πλατύκυρτες κατανοµές γίνεται αρνητική (αρνητική κύρτωση).. α > 3 α = 3 α < 3

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων ) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1 Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Περιγραφική Στατιστική 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1 υπάρχουν 154 υποψήφιοι που έχουν συµµετάσχει στις εξετάσεις των ετών 01 και 02. Για αυτούς γίνεται στο Κεφάλαιο 6 ξεχωριστή συγκριτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής Τάση συγκέντρωσης Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης Τάση διασποράς Μέτρα Διασποράς Σχήμα Σχήμα της κατανομής Αριθμητικός Μέσος Γεωμετρικός Μέσος Μέτρα Κεντρικής Τάσης Αρμονικός Μέσος Διάμεσος ή Κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 1. Οργάνωση και Γραφική παράσταση στατιστικών δεδομένων 2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (1/13) στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Περιγραφική Στατιστική Με τις στατιστικές μεθόδους επιδιώκεται: - η συνοπτική αλλά πλήρης και κατατοπιστική παρουσίαση των ευρημάτων μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

1, X 2, X v. Οι τυχαίες µεταβλητές

1, X 2, X v. Οι τυχαίες µεταβλητές ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ. Κυριότεροι τύποι δεδοµένων. Έστω λοιπόν ένας πληθυσµός στα άτοµα του οποίου καταγράφουµε τις τιµές που παίρνει ένα (ή περισσότερα) συγκεκριµένο χαρακτηριστικό (π.χ. το µηνιαίο εισόδηµα, χρώµα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ποσοτική Ποιοτική ιακριτή ή ασυνεχής (dscrete qutttve vrble (Πεπερασµένο πλήθος πιθανών τιµών Άπειρο αλλά αριθµήσιµο πλήθος πιθανών τιµών Συνεχής (cotuous qutttve

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων.

Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Στατιστική Ι Ενότητα: MέθοδοιΠεριγραφικής Στατιστικής Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr Θεματολογία Παρουσίαση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Σε αυτή την ενότητα, όπως και στις επόμενες, όταν θα αναφερόμαστε σε δεδομένα από έναν πληθυσμό, θα θεωρούμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας τιμές, x, x,, x, μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 2 3 1 2 2 0 3 3 4 6 5 10 6 11 7 7 8 6 9 3 10 2 4 Εάν έχουµε οµαδοποιηµένη µεταβλητή τότε είναι το σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων τα οποία ορίζονται από α) ΑΒ, όπου Α το άνω δεξί άκρο της κλάσης

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης,

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Τι ονοµάζεται συνάρτηση Συνάρτηση (functon) είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i =

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i = Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2000-2001 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Το τµήµα αυτό της έρευνας αναφέρεται στην Γ τάξη όλων των Ενιαίων Λυκείων του

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΚΑΙ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΚΑΙ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΚΑΙ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε την απόδοση και την επιτυχία των υποψηφίων των η µερησίων και εσπερινών λυκείων για το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική απεικόνιση µιας κατανοµής συχνότητας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους, µε ιστόγραµµα και µε πολυγωνική γραµµή.

Η γραφική απεικόνιση µιας κατανοµής συχνότητας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους, µε ιστόγραµµα και µε πολυγωνική γραµµή. ΠΕΜΠΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Χρησιµότητα των διαγραµµάτων Η παρουσίαση των στατιστικών στοιχείων µπορεί να γίνει όχι µόνο µε πίνακες, αλλά και µε διαγράµµατα ή γραφικές απεικονίσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j. P i = p j.

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j. P i = p j. Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες. Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες. Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Φεβρουάριος 2010 Περιγραφική Στατιστική 1. εδοµένα Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο δεδοµένων (data set): NUM1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι Ασκήσεις 3

Στατιστική Ι Ασκήσεις 3 Διάλεξη 3: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω το δείγμα μεγέθους n = 5 με παρατηρήσεις 10, 0, 1, 17 και 16. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο και τη διάμεσο. Υπολογίστε το εύρος και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Ασκηση Περιγραφικής Στατιστικής Κουτσουμανής Κ. Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων Σχολή Γεωπονίας, Α.Π.Θ Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Στέλνουμε την άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα