Σύνθετα Δίκτυα. com+plex: with+ -fold (having parts) Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός

Transcript

1 Σύνθετα Δίκτυα com+plex: with+ -fold (having parts) Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός Διάλεξη 8η: 4//6

2 Μεηρικές κενηρικόηηηας Centrality measures

3 Περιεχόμενα Παρουσιάσαμε Degree centrality (DC) Shortest-Path Betweenness Centrality (SPBC) Power Community Index (PCI) Closeness centrality (CC) Bridging centrality (BC) επεκτάσεις σε κατευθυνόμενα δίκτυα Θα παρουσιάσουμε Φασματικές κεντρικότητες PageRank vector Katz status index

4 PageRank κεντρικότητα Φοιτητές του Stanford: Larry Page & Sergey Brin Google PageRank για διάταξη ιστοσελίδων Αλεμάξηεηε ηνπ ππνβαιιόκελνπ εξσηήκαηνο ζηε κεραλή αλαδήηεζεο 4

5 Αλάιπζε ζπλδέζκσλ: Κεληξηθή ηδέα Έλαο ζύλδεζκνο από ηελ ηζηνζειίδα p πξνο ηελ ηζηνζειίδα q ζεκαηνδνηεί επηδνθηκαζία/έγθξηζε (endorsement) Η ηζηνζειίδα p ζεσξεί ηελ ηζηνζειίδα q σο απζεληία (authority) ζε θάπνην δήηεκα Επεμεξγαζία ηνπ γξαθήκαηνο ηνπ Παγθνζκίνπ Ιζηνύ γηα ζπζηάζεηο (recommendations) Αλάζεζε κηαο ηηκήο απζεληίαο (authority value) ζε θάζε ηζηνζειίδα

6 Δηάηαμε κε βάζε ηελ αλάιπζε ζπλδέζκσλ (Link Analysis Ranking - LAR) Εθθίλεζε κε κηα ζπιινγή ηζηνζειίδσλ Εμαγσγή ηνπ ππνθείκελνπ γξαθήκαηνο ππεξζπλδέζκσλ Εθηέιεζε ηνπ αιγνξίζκνπ LAR πάλσ ζην γξάθεκα Απνηέιεζκα: Έλα βάξνο απζεληίαο (authority weight) γηα θάζε θόκβν w w w w w 6

7 Αιγόξηζκνο InDegree Δηάηαμε ηζηνζειίδσλ ζύκθσλα κε ηνλ in-degree w i = B(i) w= w= w=. Red Page. Yellow Page. Blue Page 4. Purple Page. Green Page w= w= 7

8 Αιγόξηζκνο PageRank Οη θαιέο απζεληίεο πξέπεη λα δείρλνληαη από θαιέο απζεληίεο Σπραίνο πεξίπαηνο (random walk) πάλσ ζην web graph Επίιεμε κηα ηζηνζειίδα ηπραία Με πιθανόηηηα - α κάνε άλμα ζε μια ησταία ιζηοζελίδα Με πηζαλόηεηα α αθνινύζεζε έλαλ ηπραίν εμεξρόκελν ζύλδεζκν Διάηαξη ζύμθωνα με ηην stationary distribution PR p PR( q) ( ) F ( q ) n q p. Red Page. Purple Page. Yellow Page 4. Blue Page. Green Page 8

9 Μαξθνθηαλέο αιπζίδεο Μηα Markov chain πεξηγξάθεη κηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ ζηνραζηηθή δηαδηθαζία πάλσ από ζύλνιν θαηαζηάζεσλ S = {s, s, s n } ζύκθσλα κε θάπνηνλ πίλαθα πηζαλόηεηαο κεηάβαζεο P = {P ij } P ij = πηζαλόηεηα κεηάβαζεο ζηελ θαηάζηαζε j από ηελ θαηάζηαζε i j P ij = (stochastic matrix) Memorylessness property: Η επόκελε θαηάζηαζε ζηελ αιπζίδα εμαξηάηαη ΜΟΝΟ από ηελ ηξέρνπζα θαηάζηαζε θαη ΌΥΙ από ην παξειζόλ ηεο δηαδηθαζίαο (πξώηεο ηάμεο MC) [πςειόηεξεο ηάμεο MC είλαη επίζεο πηζαλέο] 9

10 Σπραίνη πεξίπαηνη (random walks) Οη ηπραίνη πεξίπαηνη πάλσ ζε γξαθήκαηα αληηζηνηρνύλ ζε Markov Chains Σν ζύλνιν ησλ θαηαζηάζεσλ S είλαη ην ζύλνιν ησλ θόκβσλ ηνπ γξαθήκαηνο G Ο transition probability matrix πεξηγξάθεη ηελ πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζνπκε κηα αθκή από έλαλ θόκβν ζε θάπνηνλ άιιν

11 Παξάδεηγκα v v v v 4 v P A

12 State probability vector Σν δηάλπζκα q t = (q t,q t,,q t n) πνπ απνζεθεύεη ηελ πηζαλόηεηα λα βξίζθεηαη ε αιπζίδα ζηελ θαηάζηαζε i ηε ρξνληθή ζηηγκή t q i = ε πηζαλόηεηα εθθίλεζεο από ηελ θαηάζηαζε i q t = q t- P

13 Παξάδεηγκα P v v v q t+ = / q t 4 + / q t q t+ = / q t + q t + / q t 4 q t+ = / q t + / q t 4 q t+ 4 = / q t v v 4 q t+ = q t

14 Stationary distribution Η stationary distribution γηα κηα MC κε transition matrix P, είλαη ε probability distribution π, ηέηνηα ώζηε π = πp Μηα MC έρεη κηα κνλαδηθή stationary distribution εάν Είλαη irreducible Σν ππνθείκελν γξάθεκα είλαη strongly connected Είλαη aperiodic Γηα ηπραίνπο πεξηπάηνπο, ηνπ ππνθείκελν γξάθεκα δελ είλαη bipartite Η πηζαλόηεηα π i είλαη ην πνζνζηό ηνπ ρξόλνπ πνπ επηζθεθηήθακε ηελ θαηάζηαζε i θαζώο t Η stationary distribution είλαη έλα ηδηάλπζκα (eigenvector) ηνπ πίλαθα P Σν θπξίαξρν αξηζηεξό ηδηνδηάλπζκα ηνπ P νη ζηνραζηηθνί πίλαθεο έρνπλ κέγηζηε ηδηνηηκή ίζε κε 4

15 Τπνινγηζκόο ηεο stationary distribution Η Power κέζνδνο Αξρηθνπνηνύκε ζε θάπνηα θαηαλνκή q Επαλαιεπηηθά ππνινγίδνπκε q t = q t- P Μεηά από αξθεηέο επαλαιήςεηο q t π Η power κέζνδνο ππνινγίδεη q t = q P t Γηαηί ζπγθιίλεη; Πξνθύπηεη από ην γεγνλόο όηη θάζε δηάλπζκα κπνξεί λα γξαθεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ q = v + c v + c n v n Ρπζκόο ζύγθιηζεο Καζνξίδεηαη από ηε ι t

16 6 Ο ηπραίνο πεξίπαηνο θαηά PageRank Σπραίνο πεξίπαηνο Κάληε ηελ προσαρμογή στοχαστικότητας θαη εθηειέζηε ηνλ ηπραίν πεξίπαην P

17 7 Ο ηπραίνο πεξίπαηνο θαηά PageRank Ση γίλεηαη κε ηνπο θόκβνπο-θαηαβόζξεο (sink); Ση ζπκβαίλεη όηαλ ν ηπραίνο πεξηπαηεηήο κεηαβεί ζε θάπνηνλ θόκβν πνπ δελ έρεη εμεξρόκελνπο ζπλδέζκνπο; P

18 8 P' Ο ηπραίνο πεξίπαηνο θαηά PageRank Αληηθαηέζηεζε ηέηνηα κεδεληθά δηαλύζκαηαγξακκέο κε ην δηάλπζκα v πλήζσο, ην νκνηόκνξθν δηάλπζκα P = P + dv T otherwise sink is i if d

19 9 P'' ) ( Ο ηπραίνο πεξίπαηνο θαηά PageRank Πώο εγγπόκαζηε ηελ irreducibility; Πξνζζέηνπκε ηπραίν άικα ζην δηάλπζκα v κε πηζαλόηεηα α ζςνήθωρ, ππορ ένα ομοιόμοπθο διάνςζμα P = αp + (-α)uv T, όπνπ u είλαη ην δηάλπζκα κε όια

20 Σα απνηειέζκαηα ηνπ ηπραίν άικαηνο (βήκα ηειεκεηαθνξάο) Εγγπάηαη irreducibility Σν θίλεηξό ηνπ είλαη ε έλλνηα ηνπ random surfer Πξνζθέξεη επηπιένλ επειημία πξνζσπνπνίεζε anti-spam Ειέγρεη ην ξπζκό ζύγθιηζεο Η δεύηεξε ζε κέγεζνο ηδηνηηκή ηνπ πίλαθα P είλαη ίζε κε α!

21 Ο αιγόξηζκνο PageRank Η εθηέιεζε ηεο power κεζόδνπ δελ είλαη πνιύ αθξηβή ν πίλαθαο δελ είλαη αξαηόο q = v t = repeat t q δ t = t + until δ < ε T t P'' q q t q t

22 Σπραίνη πεξίπαηνη ζε κε θαηεπζπλόκελα γξαθήκαηα ηελ stationary distribution ελόο ηπραίνπ πεξηπάηνπ πάλσ ζε έλα κε θαηεπζπλόκελν γξάθεκα, ε πηζαλόηεηα λα βξεζείο ζηνλ θόκβν i είλαη αλάινγε ηνπ (weighted) βαζκνύ ηνπ θόκβνπ Οη ηπραίνη πεξίπαηνη ζε κε θαηεπζπλόκελα γξαθήκαηα δελ είλαη ελδηαθέξνληεο

23 Απξόζκελε εθαξκνγή ηνπ PageRank

24 Μέηξεζε κνλνπαηηώλ Katz status index Η ζεκαληηθόηεηα ελόο θόκβνπ κεηξηέηαη κε ην weighted άζξνηζκα ησλ κνλνπαηηώλ πνπ νδεγνύλ ζ απηόλ ηνλ θόκβνs A m [i,j] = αξηζκόο κνλνπαηηώλ κε κήθνο m από ηνλ θόκβν i ζηνλ j Τπνινγηζκόο P ba b A πγθιίλεη όηαλ b < ι (A) I ba I Δηαηάζζνπκε ηνπο θόκβνπο ζύκθσλα κε ηα αζξνίζκαηα ζηήιεο ηνπ πίλαθα P b m A m 4

25 Κεληξηθόηεηα Katz Γηα ηνλ θόκβν i: Ωο δηάλπζκα γηα όινπο ηνπο θόκβνπο:

26 Οικογένειες μετρικών κεντρικότητας (ενδεικτικά) Centrality metrics Geodesic-based Degree-based Influence-based Shortest-Path Betweenness Power Community Index Spectral Percolation Control Stress Degree Katz status index Closeness PageRank Bridging HITS Information Bonacich 6