Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

Transcript

1 Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ A, B ληίζηνηρ, ηόηε ε g f νξίδεηη λ f A B 3 Αλ γη δύν ζπλξηήζεηο f,g νξίδνληη νη ζπλξηήζεηο f g θη g f, ηόηε ηζρύεη πάληνηε όηη f g g f 4 Αλ γη δύν ζπλξηήζεηο f,g νξίδνληη νη f g θη g f, ηόηε είλη ππνρξεσηηθά f g g f 5 Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο g f πνηειείηη πό όι η ζηνηρεί ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο f, γη η νπνί ην f λήθεη ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο g 6 Αλ f, g, h είλη ηξεηο ζπλξηήζεηο θη νξίδεηη ε h g f ηόηε νξίδεηη θη ε h g ηζρύεη h g f h g f 7 Μη ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ Α ιέκε όηη πξνπζηάδεη (νιηθό) ειάρηζην ζην όηλ f f γη θάζε A f θη A, 8 Μί ζπλάξηεζε f ιέγεηη γλεζίσο ύμνπζ ζε έλ δηάζηεκ Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, λ ππάξρνπλ,2 Γ κε 2 ηέηνη, ώζηε f f 2 9 Κάζε ζπλάξηεζε, πνπ είλη - ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, είλη γλεζίσο κνλόηνλε Μη ζπλάξηεζε f: A ιέγεηη ζπλάξηεζε -, όηλ γη νπνηδήπνηε, 2 A ηζρύεη ε ζπλεπγσγή: λ 2 f f 2 Μί ζπλάξηεζε f : A είλη ζπλάξηεζε, λ θη κόλν λ γη νπνηδήπνηε 2 A ηζρύεη ε ζπλεπγσγή: λ 2, ηόηε f f 2 2 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη γλεζίσο κνλόηνλε ζε έλ δηάζηεκ Γ, ηόηε είλη θη - ζην δηάζηεκ πηό 3 Υπάξρνπλ ζπλξηήζεηο πνπ είλη -, ιιά δελ είλη γλεζίσο κνλόηνλεο, ηόηε 4 Μη ζπλάξηεζε f είλη -, λ θη κόλν λ γη θάζε ζηνηρείν y ηνπ ζπλόινπ ηηκώλ ηεο ε f y έρεη θξηώο κί ιύζε σο πξνο εμίζσζε 5 Αλ ε f έρεη ληίζηξνθε ζπλάξηεζε f θη ε γξθηθή πξάζηζε ηεο f έρεη έλ θνηλό ζεκείν Α κε ηελ επζεί y, ηόηε ην ζεκείν Α λήθεη ζηε γξθηθή πξάζηζε ηεο f 6 Αλ ε ζπλάξηεζε f:α είλη -, ηόηε ηζρύεη f f, A 7 Αλ κη ζπλάξηεζε f : A είλη -, ηόηε γη ηελ ληίζηξνθε ζπλάξηεζε f f, A θη f f y y, y f A 8 Οη γξθηθέο πξζηάζεηο C θη C ησλ ζπλξηήζεσλ f θη ηελ επζεί y πνπ δηρνηνκεί ηηο γσλίεο Oy θη Oy f f ηζρύεη: είλη ζπκκεηξηθέο σο πξνο 9 Αλ έλ ζεκείν Μ,λήθεη ζηε γξθηθή πξάζηζε κηο ληηζηξέςηκεο ζπλάξηεζεο f, ηόηε ην ζεκείν Μ, λήθεη ζηε γξθηθή πξάζηζε ηεο f

2 2 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη - ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, ηόηε ππάξρνπλ ζεκεί ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f κε ηελ ίδη ηεηγκέλε Όπι 2 lim f, λ θη κόλν λ lim f lim f 22 Έζησ κη ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζ έλ ζύλνιν ηεο κνξθήο,, πξγκηηθόο ξηζκόο Τόηε ηζρύεη ε ηζνδπλκί: θη έλο lim f lim f 23 Αλ ππάξρεη ην όξην ηεο ζπλάξηεζεο f ζην θη lim f ηόηε 24 Αλ lim f ηόηε 25 Αλ lim f f θνληά ζην, ηόηε f θνληά ζην 26 Αλ νη ζπλξηήζεηο έρνπλ όξην ζην θη ηζρύεη f g lim f lim g lim f θνληά ζην, ηόηε 27 Αλ ππάξρνπλ ην lim f g, ηόηε θη λάγθε ππάξρνπλ η lim f lim g 28 Γη θάζε δεύγνο ζπλξηήζεσλ f: θη g:, λ lim g, ηόηε lim f g 29 Αλ ππάξρεη ην όξην ηεο f ζην 3 κε k θη k 2 Αλ θη lim f lim f θη ηόηε lim k f k lim f εθόζνλ f θνληά ζην, ηόηε lim f θη f θνληά ζην 3 Αλ o lim f ή, ηόηε lim f o 32 Αλ lim f, ηόηε lim f 33 Αλ είλη lim f 34 Αλ lim f, ηόηε f θνληά ζην, ηόηε f θνληά ζην 35 Αλ είλη lim f, ηόηε lim f 2

3 36 Έζησ κη ζπλάξηεζε f πνπ είλη νξηζκέλε ζε έλ ζύλνιν ηεο κνξθήο,, Ιζρύεη ε ηζνδπλκί lim f ( lim f lim f ) 37 Αλ ηόηε 38 Αλ, ηόηε lim lim 39 ζπλ lim 4 4 Ιζρύεη όηη: Ιζρύεη όηη: εκ lim εκ lim 42 Ιζρύεη όηη: εκ γη θάζε Σςνέσει Θεωπήμη ζςνέσειρ 43 Αλ ε ζπλάξηεζε f είλη ζπλερήο ζην θη ε ζπλάξηεζε g είλη ζπλερήο ζην, ηόηε ε ζύλζεζε ηνπο g f είλη ζπλερήο ζην 44 Αλ ε ζπλάξηεζε f είλη νξηζκέλε ζην, θη ζπλερήο ζην,, ηόηε ε f πίξλεη πάληνηε ζην, κί κέγηζηε ηηκή 45 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Γ θη δε κεδελίδεηη ζε πηό, ηόηε πηή ή είλη ζεηηθή γη θάζε Γ ή είλη ξλεηηθή γη θάζε Γ, δειδή δηηεξεί ζηζεξό πξόζεκν ζην Γ f Γ ελόο δηζηήκηνο κέζσ κηο ζπλερνύο θη κε ζηζεξήο ζπλάξηεζεο f είλη 46 H εηθόλ δηάζηεκ 47 Αλ ε f είλη ζπλερήο ζην, κε f θη ππάξρεη μ, ώζηε λάγθε f 48 Αλ ε ζπλάξηεζε f είλη ζπλερήο ζην δηάζηεκ, θη ππάξρεη, f, ηόηε θη λάγθε ζ ηζρύεη f f f μ, ηόηε θη ηέηνην ώζηε 49 Μη ζπλερήο ζπλάξηεζε f δηηεξεί πξόζεκν ζε θζέλ πό η δηζηήκη ζη νπνί νη δηδνρηθέο ξίδεο ηεο f ρσξίδνπλ ην πεδίν νξηζκνύ ηεο 5 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη γλεζίσο θζίλνπζ θη ζπλερήο ζε έλ λνηθηό δηάζηεκ,, ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκ πηό είλη ην δηάζηεκ Α,Β, όπνπ Α lim f θη B lim f 5 Αλ ε f είλη ζπλερήο ζην ειάρηζηε ηηκή m,, ηόηε ε f πίξλεη ζην, κη κέγηζηε ηηκή M θη κη 3

4 Ππάγωγορ 52 Κάζε ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζε έλ ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο είλη θη πξγσγίζηκε ζην ζεκείν πηό 53 Αλ κη ζπλάξηεζε f δελ είλη ζπλερήο ζην, ηόηε ε f δελ είλη πξγσγίζηκε ζην 54 Αλ ε f είλη πξγσγίζηκε ζην, ηόηε ε f είλη πάληνηε ζπλερήο ζην 55 Αλ ε f έρεη δεύηεξε πξάγσγν ζην,ηόηε ε f είλη ζπλερήο ζην ζπλ εκ, Ιζρύεη ν ηύπνο 3 3, γη θάζε ζπλ Γη θάζε / ζπλ ηζρύεη: εθ 2 εκ ζθ 2, / εκ Αλ f Αλ ln γη θάζε f,, ηόηε f, ηόηε ηζρύεη γη θάζε 62 Αλ νη ζπλξηήζεηο f,g είλη πξγσγίζηκεο ζην, ηόηε ε ζπλάξηεζε f g είλη πξγσγίζηκε ζην θη ηζρύεη: f g f g 63 Γη δύν νπνηεζδήπνηε ζπλξηήζεηο f, g πξγσγίζηκεο ζην ηζρύεη: f g f g f g 64 Αλ νη ζπλξηήζεηο f θη g είλη πξγσγίζηκεο ζην θη g ηόηε θη ε ζπλάξηεζε f g είλη πξγσγίζηκε ζην f f g f g θη ηζρύεη: 2 g g 65 Γη θάζε ζπλερή ζπλάξηεζε f:,, ε νπνί είλη πξγσγίζηκε ζην f f, ηόηε ππάξρεη θξηώο έλ μ, ηέηνην ώζηε f μ,, λ 66 Αλ ε ζπλάξηεζε f είλη πξγσγίζηκε ζην θη δελ είλη ληηζηξέςηκε, ηόηε ππάξρεη θιεηζηό δηάζηεκ,, ζην νπνίν ε f ηθλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεσξήκηνο Rolle 67 Κάζε ζπλάξηεζε f, γη ηελ νπνί ηζρύεη f ζηζεξή ζην,, γη θάζε,,, είλη 68 Έζησ δύν ζπλξηήζεηο f,g νξηζκέλεο ζε έλ δηάζηεκ Γ Αλ νη f,g είλη ζπλερείο ζην Γ θη f g f g γη θάζε Γ γη θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ ηόηε ηζρύεη 4

5 69 Έζησ κη ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Γ θη πξγσγίζηκε ζην εζσηεξηθό ηνπ Γ Αλ ε f είλη γλεζίσο ύμνπζ ζην Γ, ηόηε ε πξάγσγόο ηεο δελ είλη ππνρξεσηηθά ζεηηθή ζην εζσηεξηθό ηνπ Γ f ζε θάζε 7 Έζησ κη ζπλάξηεζε f, ε νπνί είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Γ Αλ εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ, ηόηε ε f είλη γλεζίσο θζίλνπζ ζε όιν ην Γ 7 Έζησ f κη ζπλάξηεζε ζπλερήο ζ έλ δηάζηεκ Γ θη πξγσγίζηκε ζε θάζε εζσηεξηθό ηνπ Γ Αλ ε ζπλάξηεζε f είλη γλεζίσο ύμνπζ ζην Γ ηόηε f ζε θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ 72 Έζησ ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Γ θη πξγσγίζηκε ζε θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ Αλ ε ζπλάξηεζε f είλη γλεζίσο θζίλνπζ ζην Γ, ηόηε ε πξάγσγόο ηεο είλη ππνρξεσηηθά ξλεηηθή ζην εζσηεξηθό ηνπ Γ 73 Έζησ κη ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Γ θη έλ εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ Αλ ε f είλη πξγσγίζηκε ζην θη f, ηόηε ε f πξνπζηάδεη ππνρξεσηηθά ηνπηθό θξόηην ζην 74 Έζησ ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θη πξγσγίζηκε ζην δηάζηεκ, θη ζεκείν, ζην νπνίν ε f πξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην Τόηε πάλη ηζρύεη όηη f 75 Γη θάζε ζπλάξηεζε f: πνπ είλη πξγσγίζηκε θη δελ πξνπζηάδεη θξόηη, ηζρύεη f γη θάζε 76 Αλ κη ζπλάξηεζε f πξνπζηάδεη (νιηθό) κέγηζην, ηόηε πηό ζ είλη ην κεγιύηεξν πό η ηνπηθά ηεο κέγηζη 77 Έλ ηνπηθό κέγηζην κηο ζπλάξηεζεο f κπνξεί λ είλη κηθξόηεξν πό έλ ηνπηθό ειάρηζην ηεο f 78 Τ εζσηεξηθά ζεκεί ηνπ δηζηήκηνο Γ, ζη νπνί ε f δελ πξγσγίδεηη ή ε πξάγσγόο ηεο είλη ίζε κε ην, ιέγνληη θξίζηκ ζεκεί ηεο f ζην δηάζηεκ Γ,, κε εμίξεζε ίζσο έλ ζεκείν 79 Έζησ κί ζπλάξηεζε f πξγσγίζηκε ζ' έλ δηάζηεκ ηνπ, ζην νπνίν όκσο ε f είλη ζπλερήο Αλ f ζην, θη είλη ηνπηθό ειάρηζην ηεο f,, ηόηε ην f ζην 8 Έζησ κί ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Γ θη δύν θνξέο πξγσγίζηκε ζην εζσηεξηθό ηνπ Γ Αλ f γη θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ, ηόηε ε f είλη θπξηή ζην Γ 8 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη θπξηή ζε έλ δηάζηεκ Γ, ηόηε ε εθπηνκέλε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f ζε θάζε ζεκείν ηνπ Γ ξίζθεηη «πάλσ» πό ηε γξθηθή ηεο πξάζηζε 82 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη θνίιε ζ έλ δηάζηεκ Γ, ηόηε ε εθπηνκέλε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f ζε θάζε ζεκείν ηνπ Γ ξίζθεηη θάησ πό ηε γξθηθή πξάζηζε, κε εμίξεζε ην ζεκείν επθήο 83 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη δύν θνξέο πξγσγίζηκε ζην θη ζηξέθεη η θνίι πξνο η άλσ, ηόηε θη λάγθε ζ ηζρύεη f γη θάζε 84 Έζησ κη ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Γ θη δπν θνξέο πξγσγίζηκε ζην εζσηεξηθό ηνπ Γ Αλ ε f είλη θπξηή ζην Γ, ηόηε ππνρξεσηηθά f γη θάζε εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ 85 Έζησ κη ζπλάξηεζε f πξγσγίζηκε ζ έλ δηάζηεκ ηνπ Αλ ε f είλη θπξηή ζην, θη θνίιε ζην, κε εμίξεζε ίζσο έλ ζεκείν, ή ληηζηξόθσο, ηόηε ην ζεκείν A,f είλη ππνρξεσηηθά ζεκείν θκπήο ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 86 Υπάξρεη πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε ζκνύ λ 2, ε νπνί έρεη ζύκπησηε 5

6 87 88 Ολοκληπώμη f g d f g f g d, όπνπ f,g Ιζρύεη ε ζρέζε ζπλξηήζεηο ζην, f g d f g f g d, όπνπ f,g ζην, 89 Αλ f ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην δηάζηεκ, θη γη θάζε, ηζρύεη 9 f d Γη θάζε ζπλάξηεζε f, ζπλερή ζην,, ηζρύεη: λ 6 είλη ζπλερείο είλη ζπλερείο ζπλξηήζεηο f d, 9 Έζησ f κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε έλ δηάζηεκ, Αλ ηζρύεη όηη, f, ηόηε, ηόηε f ζην θη ε ζπλάξηεζε f δελ είλη πληνύ κεδέλ ζην δηάζηεκ πηό, ηόηε f d 92 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκ, θη ηζρύεη 93 Αλ,, ηόηε f d f d ηόηε θη λάγθε ζ είλη f γη θάζε, 94 Αλ ε f είλη ζπλερήο ζε δηάζηεκ Γ θη,,γ Γ, ηόηε ηζρύεη: γ f d f d f d γ 95 Αλ κη ζπλάξηεζε f είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ, θη ηζρύεη, f γη θάζε f γη θάζε f γη θάζε, ηόηε ην εκδόλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ νξίδεηη πό ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο f, ηηο επζείεο, θη ηνλ άμνλ είλη ΔΩ f d 96 Αλ f,g, g είλη ζπλερείο ζπλξηήζεηο ζην δηάζηεκ,, ηόηε: f g d f d g d 97 Γη θάζε ζπλερή ζπλάξηεζε f:,, λ G είλη κη πξάγνπζ ηεο f ζην f d G G, ηόηε 98 Έζησ f κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε έλ δηάζηεκ, Αλ G είλη κη πξάγνπζ ηεο f 99 ζην,, ηόηε: f t dt G G Γη θάζε ζπλερή ζπλάξηεζε f:,, λ ηζρύεη f d ηόηε θάζε, Αλ ε f είλη ζπλερήο ζην,, ηόηε ηζρύεη f d f d f γη

7 Τν νινθιήξσκ f d είλη ίζν κε ην άζξνηζκ ησλ εκδώλ ησλ ρσξίσλ πνπ ξίζθνληη πάλσ πό ηνλ άμνλ κείνλ ην άζξνηζκ ησλ εκδώλ ησλ ρσξίσλ πνπ ξίζθνληη θάησ πό ηνλ άμνλ Απνηήζειρ Σςνπηήζειρ Όπι Σ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Σ Σςνέσει Θεωπήμη ζςνέσειρ Λ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Σ Ππάγωγορ Λ Σ Λ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Σ Λ Σ Λ Λ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Ολοκληπώμη Σ Λ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Σ 7