ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις της δεύτερης εργασίας αναφέρονται στην ακόλουθη ύλη: Διανυσματικοί χώροι, Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Γραμμικοί μετασχηματισμοί Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα-Διαγωνοποίηση πίνακα Τετραγωνικές μορφές Για την κατανόηση της ύλης αυτής μπορείτε να συμβουλευθείτε τα Κεφάλαιο (παράγραφοι 8-9) και Κεφάλαια, 4, 5 του συγγράμματος του ΕΑΠ «Γραμμική Άλγεβρα» των Γρ Καμβύσα και Μ Χατζηνικολάου Επίσης μπορείτε να συμβουλευθείτε από το βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη τα ακόλουθα: Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό: Κεφάλαια 6- Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό: Γραμμικές Απεικονίσεις, Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, Διαγωνοποίηση, Τετραγωνικές Μορφές Συμβολισμός: Στα παρακάτω, M n( ) συμβολίζει το σύνολο των n n πινάκων με στοιχεία από το

2 Άσκηση (0 μον) Δίνονται οι διανυσματικοί υπόχωροι W και W του ( ): x y W {, z w x, y, z, w : x y z w}, x y W {, z w x, y, z, w : x w y z 0} i) (8 μον) Βρείτε βάσεις για τους διανυσματικούς υποχώρους W και W W του M ( ) ii) (4 μον) Βρείτε τις διαστάσεις των διανυσματικών υποχώρων W και W W iii) (8 μον) Δικαιολογήστε γιατί ισχύει M( ) W W, ενώ ο M ( ) δεν είναι το ευθύ άθροισμα των W, W Δείξτε ότι για τον διανυσματικό υπόχωρο 0 W span{ } ισχύει M( ) W W 0 0 Λύση x y i) Επειδή ένα τυχαίο στοιχείο W, λόγω της ιδιότητας x y z w, z w γράφεται x y y z w y y y z 0 w y z w z w z w 0 0 z 0 0 w για κάθε y, z, w, από όπου συμπεραίνουμε ότι 0 0 W span{,, } Επειδή για,, ισχύει είναι φανερό ότι τα διανύσματα 0 0,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα 0 0 Άρα μία βάση του W είναι B W {,, } με dim( W ) Τα στοιχεία του W W πρέπει να ικανοποιούν τις ιδιότητες των W και W επομένως είναι: x y W W {, z w x, y, z, w : x y z w και x w y z 0} Για να βρούμε μία βάση του W W πρέπει να λύσουμε το ομογενές σύστημα: x y z w 0 x w0 yz 0 Λύνοντας άμεσα το σύστημα ως προς τις δύο τελευταίες του εξισώσεις ή κάνοντας τις ακόλουθες γραμμοπράξεις:

3 r r r r r r r r καταλήγουμε στο σύστημα x y z w 0 x w y z w 0 y w, w, z w 0 z w από όπου μπορούμε να γράψουμε x y w w w, w z w w w Άρα W W span{ } Προφανώς είναι γραμμικά ανεξάρτητο στοιχείο του W W Άρα, μία βάση του W W είναι BW { } W, με dim( W W ) ii) Με όμοιο τρόπο όπως στο (i) βρίσκουμε μία βάση του W x y Ένα τυχαίο στοιχείο W, λόγω των ιδιοτήτων xw 0 και yz 0, z w γράφεται x y w z 0 z w z w, zw, z w z w z 0 0 w από όπου συμπεραίνουμε ότι W span{, } 0 0 Επειδή για, ισχύει , είναι φανερό ότι τα διανύσματα, είναι γραμμικά ανεξάρτητα Μία βάση του W είναι B W {, }, άρα dim( W ) 0 0 Επειδή dim( W ) και από το (i) έχουμε dim( W ) και dim( WW), αντικαθιστώντας στο Θεώρημα 5 (θεώρημα διαστάσεων, βλέπε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, σελ 00) έχουμε: dim( W W ) dim( W ) dim( W ) dim( W W ) 4 iii) Αφού dim(w + W ) = 4 και o W + W είναι υπόχωρος του Μ () ο οποίος έχει dim Μ () = 4, έχουμε W + W = Μ () (Πόρισμα 6, σελ 99,, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας)

4 Επειδή WW {} 0, ο M ( ) δεν είναι το ευθύ άθροισμα των υποχώρων W, W, (βλέπε Θεώρημα 5, σελ 0, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας) Επιπλέον ισχύει W W 0, () {} 0 εφόσον ο πίνακας 0 0 που παράγει τον χώρο W δεν ανήκει στον W μιας και τα x y 0 στοιχεία του δεν ικανοποιούν την ιδιότητα z w 0 0 x y z w Επίσης τα διανύσματα,,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα, διότι για,,, 4 ισχύει από όπου είναι φανερό ότι, 4 0 Σύμφωνα με το Θεώρημα 47(α) τα διανύσματα αποτελούν βάση του M ( ), άρα 0 0 0,,, M( ) W W, () Οι () με () επαληθεύουν τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες του Θεωρήματος 5, άρα M( ) W W Β τρόπος: Από τους ορισμούς των WW, έπεται άμεσα ότι ο υπόχωρος W δεν είναι υποσύνολο του W Από αυτήν την παρατήρηση έπονται τα ακόλουθα: i) dim( W W ) dimw Επειδή W W υπόχωρος του M ( ) και dim( M( )) 4, έχουμε dim( WW) 4, οπότε σύμφωνα με το Πόρισμα 6(β) είναι W W M ( ) ii) WW {} 0, αφού το W δεν είναι υποσύνολο του W Οι (i) και (ii) επαληθεύουν τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες του Θεωρήματος 5, άρα M( ) W W Άσκηση (0 μον) i) (8 μον) Αποδείξτε ότι για τα διανύσματα x ( x, x, x) και y ( y, y, y) του η σχέση x y 4x y x y x y x y x y x y x y Βλέπε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ 99 Βλέπε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ 0 Βλέπε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου,σελ 99 4

5 ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον ii) (6 μον) Δίνεται ο διανυσματικός υπόχωρος W x y z x y {(,, ) : 0} του Βρείτε μία ορθοκανονική βάση του W ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο του iii) (6 μον) Βρείτε μία βάση του ορθογωνίου συμπληρώματος W εσωτερικό γινόμενο που ορίστηκε στο (i) 5 ως προς το Λύση i) Για να αποτελεί η δοθείσα σχέση εσωτερικό γινόμενο αρκεί να επαληθεύει τις ιδιότητες του Ορισμού 4 Πράγματι, για, και x ( x, x, x ), y ( y, y, y), z ( z, z, z) είναι x y ( x, x, x ) ( y, y, y ) x y, x y, x y ( a, a, a ) οπότε κάνοντας πράξεις έχουμε I ( x y) z 4a z a z a z a z a z a z a z 4( x y ) z ( x y ) z ( x y ) z ( x y ) z ( x y ) z ( x y ) z ( x y ) z (4x z x z x z x z x z x z x z ) (4y z y z y z y z y z y z y z ) ( x z) ( y z) η αντιμεταθετική ιδιότητα που ισχύει στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών δίνει I y x 4y x y x y x y x y x y x y x 4x y x y x y x y x y x y x y 4x y x y x y x y x y x y x y x Tέλος I x x 4x x x x x x x x x x x Ειδικά, όταν 4x 4x x x x x x ( x x ) ( x x ) x 0 x x 0 ( x x ) ( x x ) x 0 συμπεραίνουμε ότι xx 0, xx 0 και x 0, από όπου προκύπτει x x x 0, Άρα x 0 ii) Επειδή xy 0 το τυχαίο ( x, y, z) W γράφεται ( x, y, z) ( y, y, z) y(,,0) z(0,0,), για κάθε yz,, από όπου συμπεραίνουμε ότι W span{(,,0), (0,0,)} Εύκολα διαπιστώνουμε ότι τα διανύσματα (,,0), (0,0,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα, άρα μία βάση του W είναι BW {(,,0), (0,0,)} με dim( W) Για να ορθοκανονικοποιήσουμε τα στοιχεία της βάσης B, u (,,0) και u (0,0,), εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο των Gram-Schmidt 5, χρησιμοποιώντας το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο 6 του Παρατηρούμε ότι 4 Βλέπε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ 44 y W

6 u u (,,0) (0,0,) , 0 5 u και 0 0 u Έτσι, η ορθοκανονική βάση είναι Bˆ ˆ ˆ W { u (,,0), u (0,0,)} 5 iii) Έστω W {( x, y, z) : ( x, y, z) w 0, για κάθε w W} Παρατηρήστε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα στοιχεία της βάσης B W προκειμένου να υπολογίσουμε το ορθογώνιο συμπλήρωμα του W, οπότε επιλύοντας το αντίστοιχο σύστημα έχουμε: ( x, y, z) u 0 ( x, y, z) (,,0) 0 8x x 4y y z 0 0x 6y z 0 ( x, y, z) u 0 ( x, y, z) (0,0,) 0 y z 0 y z 0 7 από όπου συμπεραίνουμε x z, y z, z 0 Έτσι W span{(7, 0,0)}, άρα μία βάση του W είναι B {(7, 0,0)} W Άσκηση (0 μον) Α) Να εξετάσετε ποιες από τις ακόλουθες απεικονίσεις είναι γραμμικές : i) ( μον) f :, με f ( x, y) (x y, x y xy,4x 5 y) ii) ( μον) iii) ( μον) g :, με g( x, y, z) ( x y z,x z, x 4 5 z) h M, με h( ) ( x 4y z, z w) : ( ) x y z w Β) Έστω f : γραμμική απεικόνιση για την οποία ισχύουν: f (,0,0) (,,), f (0,,0) (,0,4) και f (0,0,) (,, 9) i) ( μον) Βρείτε τον τύπο της f και γράψτε τον πίνακα αναπαράστασης της f ως προς την κανονική βάση του ii) ( μον) Βρείτε μία βάση και τη διάσταση της εικόνας της f iii) ( μον) Βρείτε μία βάση και τη διάσταση του πυρήνα της f iv) ( μον) Βρείτε τις ιδιοτιμές της f v) ( μον) Να ορίσετε την απεικόνιση Λύση f, αν υπάρχει Α) i) H f δεν είναι γραμμική Για παράδειγμα, f (,0) (,, 4), f (0,) (,, 5), f (,) (5,4, ) 5 Βλέπε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ 67 6 Βλέπε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ 46 6

7 Αν ήταν γραμμική έπρεπε να ισχύει f (,0) f (0,) f (,) Όμως, f (,0) f (0,) (,, 4) (,, 5) (5,, ) f (,) Αξίζει να παρατηρήσουμε εδώ ότι η ποσότητα xy είναι αυτή που κάνει τη συνάρτηση μη γραμμική ii) H g δεν είναι γραμμική, διότι για κάθε γραμμική απεικόνιση ισχύει g(0,0,0) (0,0,0), ενώ η δοθείσα δίνει g(0,0,0) (0,0,4) iii) Η h είναι γραμμική, επειδή για κάθε k, και X, Y M( ) με X x y, Y x y επαληθεύεται η ισότητα () της Παρατήρησης του z w z w Ορισμού 4 7, διότι ισχύει: x y x y h( kx Y ) h( k ) z w z w kx ky x y h( ) kz kw z w kx x ky y h( ) kz z kw w ( kx x 4( ky y ) ( kz z ), ( kz z ) ( kw w )) ( kx 4ky kz, kz kw ) ( x 4 y z, z w ) k( x 4 y z, z w ) ( x 4 y z, z w ) x y x y kh ( ) h( ) z w z w kh( X ) h( Y ) Β)i) Θεωρούμε τα διανύσματα της κανονικής βάσης του e (,0,0), e (0,,0), e (0,0,) οπότε ένα τυχαίο διάνυσμα ( x, y, z) γράφεται : ( x, y, z) xe ye ze Επειδή η f είναι γραμμική απεικόνιση για κάθε x, y, z ισχύει: f ( x, y, z) f ( xe ye ze) xf ( e) yf ( e) zf ( e ) () Οπότε αντικαθιστώντας στην () τις δοθείσες εικόνες της f υπολογίζεται ο τύπος της f, που είναι f ( x, y, z) x(,,) y(,0,4) z(,, 9) ( x y z,x z, x 4y 9 z) Ο πίνακας αναπαράστασης της f ως προς την κανονική βάση του είναι ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα f ( e ) (,,), f ( e ) (,0,4) και f ( e ) (,, 9), δηλαδή είναι: A Βλέπε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ 9 7

8 Θα μπορούσαμε επίσης πρώτα να βρούμε τον πίνακα Α της αναπαράστασης της f ως προς την κανονική βάση του και στη συνέχεια να βρούμε τον τύπο της από τη σχέση x x y z T f ( x, y, z) A( x, y, z) 0 y x z 4 9 z x 4y 9z ii) Από την () είναι φανερό ότι Im f span{ f ( e), f ( e), f ( e )} Ακολουθώντας το δεύτερο αλγόριθμο 8 και επειδή r r r r r r 5r r r r r r r () είναι φανερό πως μόνο τα διανύσματα f( e), f( e ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα, άρα αποτελούν μία βάση της εικόνας της f, δηλαδή BIm f { f ( e), f ( e)} με dim(im f ) iii) Επειδή η διάσταση του είναι, από την ισότητα dim dim(ker f ) dim(im f ) dim(ker f ) Αν θεωρήσουμε ότι ( x, y, z) ker f, για να βρούμε μία βάση του πρέπει να λύσουμε το ομογενές σύστημα: x y z 0 x z 0 x 4y 9z 0 Κάνοντας τις ίδιες γραμμοπράξεις όπως στη () καταλήγουμε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις που δίνονται: x y z 0 x z ( x, y, z) ( z, z, z) z(,,) : z y z 0 y z Άρα ker f span{(,,)}, προφανώς το (,,) είναι γραμμικά ανεξάρτητο, άρα μία βάση του πυρήνα της f είναι το Bker f {(,,)} με dim(ker f ) iv) Συνδυάζοντας τους Ορισμούς 5 και 5 9, είναι φανερό ότι οι ιδιοτιμές της f είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα αναπαράστασης A, όπως αυτός υπολογίστηκε στο (i) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A (αναπτύσσοντας την ορίζουσα ως προς την πρώτη γραμμή), δίνεται από τη σχέση: A( ) det( A I) ( ) ( )[ 9 8] ( 6) ( 8) ( ) ( 8) ( 8) ( 8)[ ( ) ] ( 8)( ) Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( ) 0, δηλαδή είναι: A 8 Βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ, ος αλγόριθμος (στηλών) 9 Βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ 6, 65, αντίστοιχα 8

9 8, και 0 Συνεπώς οι ιδιοτιμές της f είναι 8, και 0 v) Σύμφωνα με τον Ορισμό 4 (βλ βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, σελ 9) και το αποτέλεσμα του ερωτήματος (iii) συμπεραίνουμε ότι η απεικόνιση f είναι ιδιάζουσα, (δεν είναι αντιστρέψιμη), άρα δεν υπάρχει η απεικόνιση f Β τρόπος: Εφαρμόζοντας την ιδιότητα 0 που αναφέρεται στην σχέση ορίζουσας και ιδιοτιμών του πίνακα, έχουμε από το (iii) ότι : det A ( 8) ( ) 0 0, από όπου συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας A δεν αντιστρέφεται, το ίδιο ισχύει και για τη γραμμική απεικόνιση f Άσκηση 4 (0 μον) Δίνεται ο τετραγωνικός πίνακας A i) (8 μον) Bρείτε το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο Δεδομένου ότι μία ιδιοτιμή του πίνακα A είναι, βρείτε όλες τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά του ii) (4 μον) Εξετάστε αν ο πίνακας A διαγωνοποιείται Εάν ναι, βρείτε έναν αντιστρέψιμο πίνακα P και ένα διαγώνιο πίνακα D έτσι ώστε να ισχύει A PDP iii) (8 μον) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο ερώτημα (ή αλλιώς) βρείτε τις ιδιοτιμές, και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα B A 6A Λύση i) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A δίνεται από τη σχέση : A( ) det( A I) ( ) ( ) ( )[( )(6 ) 4] [ (6 ) 6] [( )( 4) ( 6)( )] ( )( 8 4) ( ) (4 6 ) ( )( 8 4) ( )( 4) 0 Βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ8 Η ορίζουσα αναπτύσσεται ως προς την πρώτη γραμμή, δεν κάνουμε όλες τις πράξεις προκειμένου να οδηγηθούμε σε πιο εύκολη παραγοντοποίηση 9

10 Εναλλακτικά, αν δεν παρατηρούσε κανείς ότι οι δύο τελευταίες παρενθέσεις απλοποιούνται, θα έβρισκε το 9 4 6, δοκιμάζοντας τους διαιρέτες του 6 ως πιθανές ρητές ρίζες θα έβρισκε ως μία ρίζα και στη συνέχεια διαιρώντας με θα προέκυπτε πηλίκο 8 6 ( 4) Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι οι ρίζες της εξίσωσης A ( ) 0, άρα οι ιδιοτιμές είναι:,, 4 (διπλή) Εναλλακτικά, αφού και γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι ισχύουν οι σχέσεις: trace( A) det( A) Αφού υπολογίσουμε την 0 det( A) 0 0 (0 8) Οδηγούμαστε στο σύστημα (8 ) Για να βρούμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα θα επιλύσουμε τα αντίστοιχα συστήματα: Ax x, i,, i Για την ιδιοτιμή τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από τη λύση του συστήματος: x x x x x x x x 0 Ax x x x x x x x x x x x x 6x 4x 6x x 6x 4x 5x 0 από όπου μετά από γραμμοπράξεις καταλήγουμε x x x 0 x x, με x x x 0 x x Κατά συνέπεια το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή x είναι το: V { x : x {0}} { : {0}} Θεωρούμε το x Βλέπε, ΣΕΥ «Σημειώσεις στους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς», Παράγραφος 7, Πρόταση 70, Παράδειγμα 7 0

11 διάνυσμα v από το σύνολο V ως αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής Άρα η ιδιοτιμή έχει γεωμετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα ίση με Για την ιδιοτιμή, 4 τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από τη λύση του παρακάτω συστήματος: x x x x x 4x Ax 4x x 4 x x x x 4x x x 6x 4x 6x 4x x x x 0 x x x 0 x x x 6x 4x x 0 Χρησιμοποιώντας τα x, x ως ελεύθερους αγνώστους, συμπεραίνουμε ότι το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή, 4 είναι το: x V { x, : x, x }\ 0 { k 0 : k, }\ 0 x x Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα v 0 και v είναι γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα για την ιδιοτιμή, 4 Συνεπώς, η ιδιοτιμή 4 έχει γεωμετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα ίση με ii) Αφού η γεωμετρική και η αλγεβρική πολλαπλότητα σε κάθε ιδιοτιμή του Α συμπίπτουν συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται με πίνακα ομοιότητας Ρ, ο οποίος προκύπτει αν βάλουμε τα αντίστοιχα γραμμικώς ανεξάρτητα 4 ιδιοδιανύσματα, που βρήκαμε ως στήλες του Έτσι έχουμε: 0 P ( v, v, v ) 0 και αντίστοιχο διαγώνιο πίνακα (προσέχοντας ώστε η σειρά με την οποία εμφανίζονται οι ιδιοτιμές στη διαγώνιο να αντιστοιχεί στην σειρά με την οποία τοποθετήσαμε τα ιδιοδιανύσματα ως στήλες στον Ρ), 0 0 D diag (,, ) Εύκολα επαληθεύεται η ισότητα A PDP Βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, Ορισμός 5 6, σελ78 4 Σημειώνεται ότι ο πίνακας Ρ είναι αντιστρέψιμος γιατί έχει ως στήλες γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, Θεώρημα 6 6, σελ

12 Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τον P για να κάνουμε την επαλήθευση, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των οριζουσών, έχουμε 0 0 det( P ) 0 Άρα P / / / / / / 0 0 iii) Αντικαθιστώντας τη σχέση B A 6A ( PDP ) 6( PDP ) PD P 6(( P ) D P ) PD P PD P 6( PD P ) 6PD P P( D 6 D ) P Όμως ο πίνακας A PDP βρίσκουμε D 6D είναι διαγώνιος και άρα από τη σχέση B P P συμπεραίνουμε ότι ο Β είναι διαγωνοποιήσιμος, οι ιδιοτιμές του είναι η 5 με αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα, και η 6 με αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα, και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι οι στήλες του πίνακα Ρ, δηλαδή, για την ιδιοτιμή 5 το v (και τα μη μηδενικά πολλαπλάσιά του) και 0 για την ιδιοτιμή 6 τα v 0 και v (και οι μη μηδενικοί γραμμικοί συνδυασμοί τους)

13 Άσκηση 5 (0 μον) Δίνεται η τετραγωνική μορφή του q x 5x x x x 6x x 4x x i) (4 μον) Βρείτε τον αντίστοιχο συμμετρικό πίνακα A της q έτσι ώστε q T T x Ax, όπου x x x x ii) (8 μον) Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A iii) (8 μον) Βρείτε έναν ορθογώνιο πίνακα Q και έναν διαγώνιο πίνακα D, έτσι ώστε να ισχύει T QDQ A Λύση i) Η τετραγωνική μορφή του q a x a x x a x x a x a x x a x αντιστοιχεί σε μοναδικό πραγματικό συμμετρικό πίνακα a a a A a a a a a a ο οποίος επαληθεύει την ισοδύναμη έκφραση q T T x Axμε x x x x Στη δοθείσα τετραγωνική μορφή αντιστοιχεί ο ακόλουθος συμμετρικός πίνακας: 6 A 6 5 ο οποίος προκύπτει με τον εξής απλό κανόνα: το στοιχείο a ii της διαγωνίου του A είναι ο συντελεστής του x i, ενώ το στοιχείο που βρίσκεται στην i -γραμμή και j- στήλη ( i j) είναι ίσο με το μισό του συντελεστή του γινομένου xx i j ii) Σε αυτό το σημείο υπενθυμίζουμε ότι οι ιδιοτιμές συμμετρικού πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί και ότι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διακεκριμένες ιδιοτιμές είναι ορθογώνια (βλέπε η και η ιδιότητα στην 5 του βιβλίου Γραμμικής Άλγεβρας, σελ 89) Η εξίσωση από την οποία προκύπτουν οι ιδιοτιμές είναι η εξής: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A είναι : 6 A A I ( ) det( ) ( )( )( ) Το πολυώνυμο 9 5 έχει πιθανές ακέραιες ρίζες τους διαιρέτες του

14 5 δηλαδή τους αριθμούς,,,, και δοκιμάζοντας με διαπιστώνουμε ότι είναι μία ρίζα του πολυωνύμου και στη συνέχεια διαιρώντας με προκύπτει το πηλίκο 8 ( )( ) Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι οι ρίζες της εξίσωσης A ( ) 0, άρα οι ιδιοτιμές είναι:, και Για να βρούμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα θα επιλύσουμε τα αντίστοιχα συστήματα: Ax x, i,, i Για την ιδιοτιμή τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από τη λύση του παρακάτω συστήματος: 5 6 x 0 5x 6x x 0 Ax x ( A I) x x 0 6x 8x x 0 5 x 0 x x 5x 0 από όπου μετά από γραμμοπράξεις καταλήγουμε 5x 6x x 0 x x 4x 8x 0 x x, με x Κατά συνέπεια το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή x είναι το: V { x : x {0}} Θεωρούμε το διάνυσμα v από x το σύνολο V ως αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής Για την ιδιοτιμή τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από τη λύση του παρακάτω συστήματος: 6 x 0 x 6x x 0 Ax x ( A I) x x 0 6x 4x x 0 x 0 x x x 0 από όπου μετά από γραμμοπράξεις καταλήγουμε x 6x x 0 x 0, με x x x 0 x x Κατά συνέπεια το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 0 0 είναι το: V { x : x {0}} Θεωρούμε το διάνυσμα v από x το σύνολο V ως αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής Για την ιδιοτιμή τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από τη λύση του παρακάτω συστήματος: 5 Βλέπε, ΣΕΥ «Σημειώσεις στους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς» Πρόταση 70, Παράδειγμα 7 4

15 9 6 x 0 9x 6x x 0 Ax x ( A I) x x 0 6x 6x x 0 9 x 0 x x 9x 0 από όπου μετά από γραμμοπράξεις καταλήγουμε 5 x x x 0 x x x x 0 x x Κατά συνέπεια το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 5 x 5 είναι το: V { x : x {0}} Θεωρούμε το διάνυσμα v 6 από x το σύνολο V ως αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής 5, με x iii) Επειδή ο πίνακας A είναι συμμετρικός, σύμφωνα με το Θεώρημα 5 6 και τη «μεθοδολογία διαγωνοποίησης Ερμιτιανών πινάκων» 7 συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται με πίνακα ομοιότητας Ρ, ο οποίος προκύπτει αν βάλουμε τα αντίστοιχα γραμμικώς ανεξάρτητα 8 ιδιοδιανύσματα, που βρήκαμε στο (ii) ως στήλες του Έτσι έχουμε: 0 5 P ( v, v, v ) 6 και αντίστοιχο διαγώνιο πίνακα (προσέχοντας ώστε η σειρά με την οποία εμφανίζονται οι ιδιοτιμές στη διαγώνιο να αντιστοιχεί στην σειρά με την οποία τοποθετήσαμε τα ιδιοδιανύσματα ως στήλες στον Ρ), 0 0 D diag(,, ) Όμως ο πίνακας P δεν είναι ορθογώνιος, χρειάζεται να ορθοκανονικοποιήσουμε τη βάση του χώρου στηλών του ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο του, ακολουθώντας τη μέθοδο Gram-Schmidt (βλέπε βήμα στο σχετικό αλγόριθμο του βιβλίου, σελ 94) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι v v v v v v 0, όπου σημειώνεται το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον Επομένως τα ιδιοδιανύσματα-στήλες του P είναι ανά δύο ορθογώνια Το τελευταίο αποτέλεσμα ήταν γνωστό και από το Θεώρημα 5, διότι οι ιδιοτιμές του συμμετρικού πίνακα A είναι διακεκριμένες 9 Άρα, για να κατασκευάσουμε τον ορθογώνιο πίνακα Q από τον P χρειάζεται να διαιρέσουμε το κάθε ιδιοδιάνυσμα με το μέτρο του, τα οποία μέτρα των διανυσμάτων είναι: 6 Βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ9 7 Βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, σελ94 8 Σημειώνεται ότι ο πίνακας Ρ είναι αντιστρέψιμος διότι det P 5, άρα έχει ως στήλες γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, Θεώρημα 6 6, σελ 9 Βλέπε, βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, ΓΚαμβύσα, ΜΧατζηνικολάου, Θεώρημα 5, σελ9

16 v ( ) 4 v 0 ( ) 5 v Έτσι καταλήγουμε ότι ένας ορθογώνιος πίνακας Q είναι: / 4 0 5/ 70 Q / 4 / 5 6 / 70 / 4 / 5 / 70 T Είναι γνωστό ότι για τον ορθογώνιο πίνακα Q ισχύει Q Q Τώρα εύκολα επαληθεύεται ότι ισχύει A T QDQ Για τον προγραμματισμό της μελέτης σας υπάρχει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης που περιέχεται στον Οδηγό Σπουδών της ΘΕ Ο ακόλουθος πίνακας δεν έχει σκοπό να υποκαταστήσει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης αλλά να υποδείξει ορισμένα σημεία του διδακτικού υλικού που σχετίζονται άμεσα με τις ασκήσεις της Εργασίας Άσκηση Θεωρία Συναφείς Ασκήσεις Άλλες Ασκήσεις Ο σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση βάσεων σε διανυσματικούς χώρους Η σχετική θεωρία υπάρχει στο βιβλίο 5 και κυρίως 6 ΕΔΥ Κεφ 7 Άσκ,4,6, Εργασία 00, Ασκ Εργασία 008, Ασκ5(ii) ΕΔΥ Κεφ 7 Άσκ,4,7,8,9, ΣΕΥ Κεφ 6, Διανυσματικοί χώροι, ειδικά 65 Η άσκηση αναφέρεται σε διανυσματικούς χώρους με εσωτερικό γινόμενο Η θεωρία περιέχεται στο Κεφ του βιβλίου Η άσκηση αναφέρεται σε γραμμικούς μετασχηματισμούς Η σχετική θεωρία υπάρχει στο Κεφ 4 του βιβλίου ΣΕΥ Κεφ 8, Γραμμικές απεικονίσεις ΕΔΥ Κεφ 7 Άσκ,7 Εργασία 005, Ασκ, Εργασία 007, Ασκ, ΕΔΥ Κεφ 8 Άσκ,6 ΣΕΥ Παραδείγματα 8, 8 Εργασία 00, Ασκ4 Εργασία 006, Ασκ7 ΕΔΥ Κεφ 8 Άσκ4,5,9 ΣΕΥ Παραδείγματα 88, Παράδειγμα Εργασία 007, Ασκ5 6

17 4 Η άσκηση αναφέρεται στις έννοιες ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, και χαρακτηριστικές τους ιδιότητες Η θεωρία περιέχεται στο Κεφ 5 του βιβλίου, ειδικά 5-5 και 55 ΣΕΥ Κεφ 9, Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα και Κεφ 0, Διαγωνοποίηση Για τις πιθανές ακέραιες ρίζες μονικού πολυωνύμου δείτε: ΣΕΥ «Σημειώσεις στους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς», 7, Πόρισμα 7, Πρόταση 70, 5 Για τις πλέον βασικές έννοιες αναφορικά με τις τετραγωνικές μορφές παραπέμπουμε στο Βιβλίο 55 ΕΔΥ Κεφ ΣΕΥ Κεφ, Πραγματικές τετραγωνικές μορφές Παραδείγματα 9,0 σελ του βιβλίου ΕΔΥ Κεφ 9, Ασκ 4,7, ΕΔΥ Κεφ 0, Ασκ 8 ΣΕΥ Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα 9, 94, 9, 9, 9 ΕΔΥ Κεφ Ασκ, ΣΕΥ Παράδειγμα,,, ΕΔΥ Κεφ 0, Ασκ 7,9, 0 ΣΕΥ Παράδειγμα 0, 06, ΣΕΥ 0 όλα τα παραδείγματα Εργασία 006, Ασκ4 Εργασία 006, Ασκ5Α Εργασία 009, Ασκ Εργασία 00, Ασκ5 Για τις πιθανές ακέραιες ρίζες μονικού πολυωνύμου δείτε: ΣΕΥ «Σημειώσεις στους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς», Παραδείγματα 76, 79, 7 ΕΔΥ Κεφ, Ασκ Εργασία 008, Ασκ5 ΣΕΥ Ασκήσεις ( & ), Ασκήσεις Σημείωση: Οι παραπάνω παραπομπές αναφέρονται στο βιβλίο «Γραμμική Άλγεβρα» των Γρ Καμβύσα και Μ Χατζηνικολάου (αναφέρεται ως Βιβλίο στον προηγούμενο πίνακα) και στο υλικό που υπάρχει αναρτημένο στην ιστοσελίδα Για παράδειγμα, η παραπομπή Εργασία 00 Ασκ5β αναφέρεται στην Άσκηση 5β της Εργασίας του ακαδημαϊκού έτους 00- Όλες οι παραπομπές σε Ασκήσεις του ΕΔΥ αναφέρονται στις Λυμένες Ασκήσεις 7

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας, Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr

Γραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr Γραμμική Άλγεβρα Κώστας Γλυκός 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ πίνακες & ορίζουσες διανυσματικούς χώρους ευθεία και επίπεδο στο χώρο γραμμικές απεικονίσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ Διπλωματική Εργασία ΚΑΡΑΝΤΖΙΑ ΑΝΝΑ Επιβλέπων Καθηγητής: Παναγιώτης Ψαρράκος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 4 Ιουνίου 009 Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Για τις διάφορες τιμές του k R, να λυθεί το σύστημα y+ kz =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά

) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 48) Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση Αν {,,, } και {,,, } σύνολα διανυσµάτων του p p p ν q q q

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 Κεφάλαιο ιαγωνιοποίηση Κεφάλαιο... ιαγωνιοποίηση.... ιαγωνιοποίηση.... Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων....4.. υνάµεις πινάκων...4.. Εξισώσεις διαφορών...5.. ιαφορικές εξισώσεις......4

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα