X(t) = sin(2πf t) (1)

Transcript

1 Στοχαστικές Διαδικασίες

2 πίνακας περιεχομένων Κινητικότης Στασιμότης Λανθάνουσες ισχείς Γκαουσιανή διαδικασία

3 Άσκηση 1: Θεωρήστε μια τυχαία διαδικασία X(t) η οποία ορίζεται ως εξής: X(t) = sin(πf t) (1) όπου η συχνότητα F είναι συνεχής ΤΜ, ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα (, W ]. 1. Αιτιολογήστε ότι η X(t) δεν είναι στάσιμη υπό την αυστηρή έννοια. Βοήθεια: εξετάστε τρεις συγκεκριμένες πραγματοποιήσεις της X(t) για τις συχνότητες F = W/4, W/ και W.. Θεωρήστε, τώρα, την τυχαία διαδικασία Y (t) = A cos(πf c t), όπου η συχνότητα f c είναι σταθερή, ενώ το πλάτος A είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στο διάστημα (, 1]. Αιτιολογήστε ότι ούτε η Y (t) είναι στάσιμη υπό την αυστηρή έννοια. Λύση: Σχετικά με το Ερώτημα 1, η pdf της F δίνεται στο ακόλουθο Σχήμα 1. Στο ίδιο σχήμα εντοπίζονται και τα υποδεικνυόμενα σημεία της Βοήθειας. f F (f) 1 W W 4 W W f Σχήμα 1: Γραφική παράσταση της pdf της ΤΜ F. Οι τρεις προτεινόμενες πραγματοποιήσεις της X(t) δίνονται στο Σχήμα. Παρατηρούμε σε αυτό, και επιβεβαιώνουμε από την (1), ότι τη χρονική στιγμή t = η ΤΜ X() παίρνει μόνο την τιμή με πιθανότητα 1. Επειτα, για < t 1 < 1 οποιαδήποτε ΤΜ W X(t 1 ) παίρνει μόνο θετικές τιμές για τις τρεις συγκεκριμένες πραγματοποιήσεις, καθώς και για το σύνολο των πραγματοποιήσεων. Ανάλογα, για 1 < t W < οποιαδήποτε ΤΜ X(t ) παίρνει μόνο αρνητικές τιμές για τις τρεις συγκεκριμένες πραγματοποιήσεις, καθώς και για το σύνολο των πραγματοποιήσεων. Συνειδητοποιούμε, δηλαδή, ότι οι pdf που αντιστοιχούν στις X(), X(t 1 ) και X(t ) δεν είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε και η διαδικασία δεν είναι αυστηρά στάσιμη. Οσον αφορά το Ερώτημα, δειγματοληπτώντας την Y (t) σε κάποια από τις χρονικές στιγμές t = k 4f c, με k = ±1, ±, ±5,..., παίρνουμε την ΤΜ Y ( k 4f c ) της οποίας η pdf είναι μια ώση στο σημείο εμβαδού 1, όπως και προηγουμένως της X(). Αυτό ισχύει επειδή: Y ( k 4f c ) = A cos(πf c k 4f c ) = για k = ±1, ±, ±5,.... ()

4 Σχήμα : Τρεις πραγματοποιήσεις της X(t) για F = W/4, W/ και W. όπως μπορεί κανείς να παρατηρήσει και στο Σχήμα για την περίπτωση τριών πραγματοποιήσεων της Y (t). Ομως, αν δειγματοληπτήσουμε την Y (t) στις χρονικές στιγμές t = k f c με k Z, οι προκύπτουσες ΤΜ Y ( k f c ) ακολουθούν διαφορετική pdf από αυτήν των Y ( k 4f c ) συγκεκριμένα, έχουμε: ( ) k k Y = A cos(πf c ) f c f c () = A για k Z το οποίο σημαίνει ότι οι ΤΜ Y ( k f c ) ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή της A. Αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό και πάλι παρατηρώντας το Σχήμα στη χρονική στιγμή, π.χ. t =. Ετσι, καταλήγουμε ότι: το οποίο δείχνει ότι η Y (t) δεν είναι αυστηρά στάσιμη. f Y ( k )(y) f Y ( k )(y) (4) fc 4fc Ερωτήματα: Μπορείτε να καταλήξετε σε σχέση παρόμοια με την (4) δειγματοληπτώντας την Y (t) σε τυχαίες χρονικές στιγμές t o και t o + τ; Ποια κατανομή ακολουθεί η Y (t o ) και ποια η Y (t o + τ); 4

5 Σχήμα : Τρεις πραγματοποιήσεις της Y (t) για A =.75,. και.44. 5

6 Άσκηση : Στο Σχήμα 1 δίνεται η πραγματοποίηση x(t) μιας στοχαστικής διαδικασίας X(t), η οποία αναπαριστά μια τυχαία ακολουθία bits. Για την X(t) υποθέτουμε τα ακόλουθα: Τα bits και 1 αντιστοιχίζονται σε ορθογώνιους παλμούς πλάτους +A και A, αντίστοιχα, και διάρκειας T δευτερολέπτων. Οι παλμοί των πραγματοποιήσεων δεν είναι συγχρονισμένοι, οπότε ο χρόνος έναρξης t d του πρώτου ολοκληρωμένου παλμού στο θετικό ημιάξονα κείται οπουδήποτε στο διάστημα [, T ] με την ίδια πιθανότητα. Η καθυστέρηση t d, δηλαδή, παίρνει τις τιμές μιας συνεχούς ΤΜ T d η οποία ακολουθεί την εξής ομοιόμορφη κατανομή: f Td (t d ) = { 1, T t d T, αλλού. (1) Κατά τη διάρκεια οποιασδήποτε περιόδου (n 1)T + t d t nt + t d, με n Z, εμφανίζεται το bit ή 1 με πιθανότητα / και 1/, αντίστοιχα, ανεξάρτητα από τις προηγούμενες και επόμενες εμφανίσεις. Προσπαθήστε να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις: 1. Προσδιορίστε την pdf της ΤΜ X(t o ), η οποία προκύπτει από τη δειγματοληψία της X(t) τη χρονική στιγμή t o. Αιτιολογήστε, έτσι, ότι η X(t) είναι στάσιμη πρώτης τάξης.. Προσδιορίστε τη στατιστική μέση τιμή και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της X(t).. Προσδιορίστε τη φασματική πυκνότητα ισχύος της X(t). Ποιο είναι το ποσοστό της ισχύος που συγκεντρώνεται στη dc συνιστώσα; x(t) A t A t d T Σχήμα 1: Πραγματοποίηση x(t) της X(t). 6

7 Λύση: Αυτό που καθιστά τη διαδικασία X(t) τυχαία είναι δύο πράγματα: η τυχαιότητα εμφάνισης των bits και η τυχαία τιμή της T d καθεμιάς πραγματοποίησης. Απαντώντας στο Ερώτημα 1, θεωρούμε αρχικά ίδια την t d για κάθε πραγματοποίηση, και στη συνέχεια θα την αφήσουμε να μεταβάλλεται σύμφωνα με την (1). Ετσι, πρώτα θα υπολογίσουμε την f X(to) Td (x t d ) για αυθαίρετη αλλά δεδομένη t d [, T ], και μετά την f X(to)(x). Σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t o, οποιαδήποτε κι αν είναι αυτή, αντιλαμβανόμαστε από την τρίτη υπόθεση της εκφώνησης πως στα / των πραγματοποιήσεων θα έχει εμφανιστεί το bit, ενώ στις υπόλοιπες το 1. Ετσι, είναι: { f X(to) Td (x t d ) =, για x = A 1, για x = A. () Η γραφική παράσταση της f X(to) T d (x t d ) δίνεται στο Σχήμα, ενώ αυτή της cdf F X(to) T d (x t d ) στο Σχήμα. f X(to )jt d (xjt d ) 1 A A x Σχήμα : Γραφική παράσταση της υπό συνθήκη pmf f X(to) T d (x t d ). 1 F X(to )jt d (xjt d ) 1 A A x Σχήμα : Γραφική παράσταση της υπό συνθήκη cdf F X(to) T d (x t d ). Στη συνέχεια, για να βρούμε την f X(to)(x) θα σταθμίσουμε την κοινή pdf f X(to)Td (x, t d ) ως προς την t d : f X(to)(x) = T f X(to)T d (x, t d ) dt d () αντικαθιστώντας, στη συνέχεια, την f X(to)Td (x, t d ) βάσει της ακόλουθης ισότητας: f X(to)Td (x, t d ) = f X(to) Td (x t d ) f Td (t d ). (4) 7

8 Ετσι, η () λόγω των () και (4) γράφεται: T ( f X(to)(x) = δ(x A) + 1 ) δ(x + A) f Td (t d ) dt d ( = δ(x A) + 1 ) T δ(x + A) f Td (t d ) dt d = δ(x A) + 1 δ(x + A). (5) Βλέπουμε ότι η f X(to)(x) είναι ίδια με την f X(to) T d (x t d ), το οποίο ισχύει για οποιαδήποτε κατανομή της T d όπως φαίνεται από την (5). Η ανεξαρτησία της X(t o ) από την T d φάνηκε ήδη από τη (), η οποία παραμένει ίδια για οποιαδήποτε τιμή t d. Τέλος, επειδή η f X(to)(x) είναι αυτή που υπολογίστηκε για οποιοδήποτε t o, η διαδικασία X(t) είναι αυστηρά στάσιμη πρώτης τάξης. Σχετικά με το Ερώτημα, η στατιστική μέση τιμή μιας διαδικασίας τη χρονική στιγμή t o προκύπτει διασχίζοντας όλες τις πραγματοποιήσεις της τη συγκεκριμένη στιγμή. Στην περίπτωσή μας υπολογίζεται ως εξής: E ( X(t o ) ) A = xf X(to)(x) x= A = A P ( X(t o ) = A ) + A P ( X(t o ) = A ) (6) = A και είναι ίδια για οποιοδήποτε t o, λόγω της στασιμότητας της X(t). Για τη στατιστική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R X (t k, t i ) πρέπει να υπολογίσουμε την E ( X(t k )X(t i ) ), όπου οι ΤΜ X(t k ) και X(t i ) αποκτώνται από την παρατήρηση της X(t) τις χρονικές στιγμές t k και t i, αντίστοιχα. Θα την υπολογίσουμε διακρίνοντας περιπτώσεις. Θεωρούμε, λοιπόν, πρώτα το σενάριο t k t i > T τότε, οι ΤΜ X(t k ) και X(t i ) βρίσκονται σε διαφορετικές περιόδους, οπότε είναι ανεξάρτητες (σύμφωνα με την εκφώνηση). Επομένως: E ( X(t k )X(t i ) ) = E ( X(t k ) ) E ( X(t i ) ) (6) = A (7) 9.1 Για το σενάριο t k t i T και πάλι στην αρχή θεωρούμε ότι η t d είναι ίδια για κάθε πραγματοποίηση στη συνέχεια, θα την αφήσουμε να μεταβάλλεται σύμφωνα με την (1). Η συνθήκη t k t i T, λοιπόν, είναι αναγκαία προκειμένου οι X(t k ) και X(t i ) να βρίσκονται στο διάστημα του ίδιου παλμού, αλλά όχι ικανή. Η ανεπάρκειά της δείχνεται στο Σχήμα 4. Φαίνεται, όμως, ότι οι X(t k ) και X(t i ) βρίσκονται στην ίδια περίοδο εάν συντρέχει μια συνθήκη για την t d. Θα εξηγήσουμε ποια και γιατί είναι αυτή. 1 Προσέξτε ότι ενώ οι ΤΜ είναι ανεξάρτητες, η συσχέτισή τους δεν είναι μηδέν. Η συμμεταβλητότητά τους, όμως, είναι: cov ( X(t k ), X(t i ) ) E [( X(t k ) E(X(t k )) ) (X(t i ) E(X(t i )) )] =. 8

9 x(t) A x(t i ) t i t k t t d A x(t k ) T Σχήμα 4: Παράδειγμα: ενώ ισχύει t k t i T, οι X(t k ) και X(t i ) δεν ανήκουν στην ίδια περίοδο. Με αναφορά το παραπάνω σχήμα, ανάγουμε το διάστημα t k t i στην αρχή του θετικού χρονικού ημιάξονα, οπότε και προκύπτει ένα ευθύγραμμο τμήμα με αφετηρία το t = και μήκος t k t i. Δείχνουμε το αποτέλεσμα στο Σχήμα 5. x(t) A x(t i ) t i t k t t d A x(t k ) T Σχήμα 5: Μεταφορά του πραγματικού διαστήματος t k t i στην αρχή των αξόνων. Ετσι φαίνεται ότι το ευθύγραμμο τμήμα παραμένει μέσα στον παλμό για οποιαδήποτε τιμή της t d στο διάστημα t k t i t d T. Με δεδομένη μια τέτοια τιμή θα ισχύει: E ( X(t k )X(t i ) td ) = A (8) επειδή οι X(t k ) και X(t i ) εμφανίζουν τη μέγιστη συσχέτιση, μιας και «βλέπουν» ακριβώς τον ίδιο παλμό καθεμιάς πραγματοποίησης. Εάν, όμως, t d < t k t i, το ευθύγραμμο Θυμίζουμε ότι η μέγιστη συσχέτιση δίνεται για οποιαδήποτε στιγμή δειγματοληψίας t o ως E ( X (t o ) ). Στην περίπτωσή μας: E ( X (t o ) ) = A x= A x f X(to)(x) = A P ( X(t o ) = A ) + A P ( X(t o ) = A ) = A 1 + A = A, σύμφωνα με τη (). 9

10 τμήμα θα μοιράζεται σε δύο παλμούς, οπότε δεδομένης μιας τέτοιας τιμής θα είναι: E ( X(t k )X(t i ) td ) = A βάσει της (7). Συνολικά, επομένως, θα ισχύει: E ( X(t k )X(t i ) { ) A, για t k t i t d T td = A, για t 9 d < t k t i. 9 (9) (1) Τώρα, μπορούμε να σταθμίσουμε την υπό συνθήκη μέση τιμή E ( X(t k )X(t i ) t d ) σε όλες τις τιμές t d [, T ] προκειμένου να καταλήξουμε στη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης: R X (t k, t i ) E ( X(t k )X(t i ) ) = = T tk t i E ( X(t k )X(t i ) t d ) ftd (t d ) dt d = A t k t i 9 T ( = A A 9 1 T T dt d + A 1 t k t i ( + A 1 t ) k t i T t k t i T ). T dt d (11) Η R X (t k, t i ) προέκυψε συνάρτηση μόνο της διαφοράς τ t k t i, οπότε η (11) ξαναγράφεται: ( R X (τ) = A 1 8 ) 9T τ. (1) Τελικά, συνοψίζοντας τις (1) και (7) έχουμε: { ( ) 8 9 R X (τ) = A 1 τ + A, για τ T T 9 A, για τ > T. (1) 9 Γραφικά, η R X (τ) παριστάνεται στο ακόλουθο Σχήμα 6. R X (τ) A ::: T A 9 T ::: τ Σχήμα 6: Γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης R X (τ). 1

11 Σχετικά με το Ερώτημα, η φασματική πυκνότητα ισχύος της X(t), S X (f), ορίζεται ως: S X (f) F [ R X (τ) ] (14) όπου ο τελεστής F συμβολίζει το Μ/Σ Fourier. Σύμφωνα με το γνωστό ζεύγος Μ/Σ Fourier: 1 τ F sinc (f) (15) για 1 τ 1, και της ιδιότητας: παίρνουμε: x(aτ) F 1 a X 1 τ T ( ) f a (16) F T sinc (T f) (17) για T τ T, οπότε και: ( 8 9 A 1 τ ) F 8 T 9 A T sinc (T f). (18) Οσο για τον dc όρο A 9 της (1), αυτός, κατά τα γνωστά, μετασχηματίζεται ως εξής: A 9 F A 9 δ(f). (19) Τελικά, από το κατά μέλη άθροισμα των (18) και (19) παίρνουμε την S X (f): S X (f) = A 9 δ(f) A T sinc (T f). () Η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Σχήμα 7: Γραφική παράσταση της φασματικής πυκνότητας ισχύος S X (f). 11

12 Τέλος, η ισχύς του dc όρου, P dc, υπολογίζεται ως εξής: P dc = + = A 9. S X (f) df (1) Η μέση ισχύς της διαδικασίας X(t) δίνεται από τη μέση τιμή E ( X (t) ), η οποία έχει υπολογιστεί ίση με A στην υποσημείωση κάτω από την (8). Συνεπώς, το κλάσμα της ισχύος που συγκεντρώνει ο dc όρος είναι 1/9. Ερωτήματα: Στο σενάριο t k t i T υπολογίσαμε το διάστημα στο οποίο μπορεί να κυμαίνεται η t d προκειμένου οι δύο χρόνοι δειγματοληψίας να βρίσκονται στην ίδια περίοδο, βάσει ενός ευθύγραμμου τμήματος με αρχή το t = και τέλος το t = t k t i. Το διάστημα αυτό βρέθηκε ότι είναι t k t i t d T. 1. Πώς αλλάζει αυτό, και επαγωγικά τα όρια ολοκλήρωσης της (11), εάν η αρχή του ευθύγραμμου τμήματος τοποθετούνταν στο t = t k t i και το τέλος του στο t = ;. Αιτιολογήστε ότι σ αυτή την περίπτωση, ή σε άλλη παρόμοιά της, η (11) δεν θα έδινε διαφορετικό αποτέλεσμα, λόγω της συγκεκριμένης κατανομής που ακολουθεί η T d.. Μπορείτε να εξηγήσετε τη σημασία της ολοκλήρωσης στην (11); 1

13 Άσκηση : Η τυχαία διαδικασία Y (t) αποτελείται από μια dc συνιστώσα / Volts, μια περιοδική τυχαία συνιστώσα G(t) με περίοδο T, και μια τυχαία συνιστώσα X(t), ασυσχέτιστη με την G(t): Y (t) = + G(t) + X(t). (1) Η αυτοσυσχέτιση της Y (t), R Y (τ), δίνεται στο Σχήμα Ποια είναι η μέση ισχύς της συνιστώσας G(t);. Ποια είναι η μέση ισχύς της συνιστώσας X(t); R Y (τ) 1 T T T T τ Σχήμα 1: Γραφική παράσταση της αυτοσυσχέτισης της Y (t). Λύση: Η λύση της άσκησης βασίζεται στη γνώση των ιδιοτήτων της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, και θα δοθεί κυρίως σχηματικά. Είναι γνωστό ότι η dc συνιστώσα των / Volts στην Y (t) θα εμφανιστεί τετραγωνισμένη στην R Y (τ). Επιπλέον, λόγω του ότι οι X(t) και G(t) είναι ασυσχέτιστες, 1 θα ισχύει: R Y (τ) = + R G(τ) + R X (τ) () όπου R G (τ) και R X (τ) είναι οι αυτοσυσχετίσεις της G(t) και X(t), αντίστοιχα. Αφαιρώντας το σταθερό όρο από τη (), θα απομείνει η αυτοσυσχέτιση που οφείλεται μόνο στις G(t) και X(t) αυτή δίνεται γραφικά στο ακόλουθο σχήμα. 1:5 R G (τ)+r X (τ) :5 T T :5 T T τ Σχήμα : Η αυτοσυσχέτιση της Y (t) μειωμένη κατά /. Η ύπαρξη περιοδικού όρου στην Y (t) συνεπάγεται την ύπαρξη περιοδικού όρου και στην αυτοσυσχέτισή της, ίδιας περιόδου. Από το Σχήμα, ο τελευταίος φαίνεται ότι γραφικά είναι αυτός που παρουσιάζεται στο Σχήμα. 1 Αυτό σημαίνει ότι οι ετεροσυσχετίσεις R GX (τ) και R XG (τ) είναι μηδέν. 1

14 R G (τ) :5 T T :5 T T τ Σχήμα : Τμήμα της αυτοσυσχέτισης R Y (τ) που οφείλεται στη G(t). Από τα Σχήματα και συνάγουμε ότι η απομένουσα R X (τ) είναι αυτή του Σχήματος 4. 1 R X (τ) T T τ Σχήμα 4: Τμήμα της αυτοσυσχέτισης R Y (τ) που οφείλεται στη X(t). Τώρα που αποσυμπλέξαμε τις αυτοσυσχετίσεις μπορούμε να υπολογίσουμε τις μέσες ισχείς που ζητούνται στα Ερωτήματα. Αυτές δίνονται κατευθείαν από την τιμή των αντίστοιχων αυτοσυσχετίσεων στο τ =. Ετσι, για το Ερώτημα 1 η μέση ισχύς της G(t), P G, εντοπίζεται στο Σχήμα ίση με: P G = E ( G (t) ) = R G () =.5 () ενώ για το Ερώτημα, η μέση ισχύς της X(t), P X, εντοπίζεται στο Σχήμα 4 ίση με: P X = E ( X (t) ) = R X () = 1. (4) Βλέπουμε ότι η αυτοσυσχέτιση μπορεί να δώσει χρήσιμες πληροφορίες για τη διαδικασία που περιγράφει. 14

15 Άσκηση 4: Εστω X και Y δύο στατιστικά ανεξάρτητες γκαουσιανές ΤΜ, μηδενικής μέσης τιμής µ και διασποράς σ. Ορίζουμε την τυχαία διαδικασία: όπου f o είναι μια συγκεκριμένη συχνότητα. X(t) = Xcos(πf o t) + Y sin(πf o t) (1) 1. Εξετάστε αν η X(t) είναι στάσιμη υπό την ευρεία έννοια.. Βρείτε και σχεδιάστε τη φασματική πυκνότητα ισχύος S X (f). Λύση: Για την απάντηση στο Ερώτημα 1 χρειάζεται να υπολογίσουμε τη μέση τιμή και την αυτοσυσχέτιση της διαδικασίας. Σχετικά με την πρώτη, για μία χρονική στιγμή δειγματοληψίας t έχουμε: E ( X(t) ) = E ( Xcos(πf o t) + Y sin(πf o t) ) = cos(πf o t)e(x) + sin(πf o t)e(y ) = cos(πf o t) + sin(πf o t) = όπου η προτελευταία σειρά προκύπτει κατευθείαν από την εκφώνηση. Φαίνεται, έτσι, πως η μέση τιμή της X(t) είναι ανεξάρτητη της στιγμής δειγματοληψίας. Οσο για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R X (t, t + τ), αυτή υπολογίζεται ως εξής: R X (t, t + τ) E ( X(t)X(t + τ) ) () = E( (Xcos(πfo t) + Y sin(πf o t) ) (Xcos(πf o (t + τ)) + Y sin(πf o (t + τ)) )) = E ( X cos(πf o t)cos(πf o (t + τ)) + + XY cos(πf o t)sin(πf o (t + τ)) + + XY sin(πf o t)cos(πf o (t + τ)) + + Y sin(πf o t)sin(πf o (t + τ)) ) = cos(πf o t)cos(πf o (t + τ))e(x ) + cos(πf o t)sin(πf o (t + τ))e(xy ) + sin(πf o t)cos(πf o (t + τ))e(xy ) + sin(πf o t)sin(πf o (t + τ))e(y ) = cos(πf o t)cos(πf o (t + τ))e(x ) + sin(πf o t)sin(πf o (t + τ))e(y ) () όπου η τελευταία ισότητα απορρέει από την ανεξαρτησία των X και Y, οπότε E(XY ) =. Επιπλέον, επειδή: E(X ) = E(Y ) = σ + µ 15 = σ (4)

16 η () δίνει: R X (t, t + τ) = σ ( cos(πf o t)cos(πf o (t + τ)) + sin(πf o t)sin(πf o (t + τ)) ). (5) Από τις τριγωνομετρικές ιδιότητες: και cos(πf o t)cos(πf o (t + τ)) = cos(πf o(t + τ)) + cos(πf o τ) sin(πf o t)sin(πf o (t + τ)) = cos(πf oτ) cos(πf o (t + τ)) (7) η (5), τελικά, δίνει: R X (τ) = σ cos(πf o τ). (8) Καταλήξαμε, λοιπόν, στο ότι η αυτοσυσχέτιση είναι συνάρτηση μόνο της διαφοράς τ των χρονικών στιγμών δειγματοληψίας. Συνεπώς, από τις () και (8) συμπεραίνουμε ότι η διαδικασία X(t) είναι στάσιμη υπό την ευρεία έννοια. Σχετικά με το Ερώτημα, η συνάρτηση πυκνότητας φασματικής ισχύος S X (f) δίνεται από τον Μ/Σ Fourier της αυτοσυσχέτισης R X (τ). Υπολογίζεται ακολούθως: (6) S X (f) F[R X (τ)] = F[σ cos(πf o τ)] Γραφικά, η S X (f) αναπαρίσταται στο Σχήμα 1. = σ F[cos(πf o τ)] = σ ( δ(f fo ) + δ(f + f o ) ). (9) S X (f) σ σ f o f o f Σχήμα 1: Πυκνότητα φασματικής ισχύος της X(t). 16