Εξίσωση Διάχυσης στη Μία Διάσταση

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Εξίσωση Διάχυσης στη Μία Διάσταση 8.1 Εισαγωγή Η εξίσωση διάχυσης είναι στενά συνδεδεμένη με τη διαδρομή ενός τυχαίου περιπατητή (random walker). Ας υποθέσουμε ότι μελετάμε την κίνηση ενός τέτοιου σωμάτιου πάνω στην ευθεία ( μία διάσταση ). Η διαδικασία της κίνησης είναι στοχαστική και η συνάρτηση ( πυρήνας ) K(x, x 0 ; t) (8.1) dd.2 ερμηνεύεται ως η πυκνότητα πιθανότητας τη χρονική στιγμή t να παρατηρηθεί το σωμάτιο στη θέση x αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σωμάτιο βρίσκεται στη θέση x 0. Η εξίσωση που καθορίζει το K(x, x 0 ; t) είναι η K(x, x 0 ; t) t = D 2 K(x, x 0 ; t) x 2, (8.2) dd.5 που είναι η εξίσωση διάχυσης. Ο συντελεστής διάχυσης D μπορεί να καθοριστεί από τις λεπτομέρειες του συστήματος που μελετάμε. Για την κίνηση Brown ενός σωματίδιου σκόνης μέσα σε ένα υγρό, το οποίο κινείται με την επίδραση των τυχαίων θερμικών κρούσεων με τα μόρια του υγρού παίρνουμε D = kt /γ, όπου T είναι η απόλυτη θερμοκρασία του υγρού, γ ο συντελεστής τριβής¹ του σωματιδίου μέσα στο υγρό και k είναι η σταθερά του Boltzmann. ¹Για ένα σφαιρικό σωμάτιο ακτίνας R μέσα σε ένα Νευτώνειο υγρό με ιξώδες η έχουμε ότι γ = 6πηR. 375

2 376 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Συνήθως επιλέγουμε για αρχικές συνθήκες (t = 0) το σωμάτιο να είναι εντοπισμένο σε ένα σημείο x 0, δηλ.² K(x, x 0 ; 0) = δ(x x 0 ) (8.3) dd.5a Η ερμηνεία της K(x, x 0 ; t) ως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συνεπάγεται ότι για κάθε t θα πρέπει να έχουμε³ + K(x, x 0 ; t) dx = 1. (8.4) dd.3 Αυτή η σχέση δεν είναι προφανές ότι μπορεί να ισχύει για κάθε χρονική στιγμή. Ακόμα και αν την επιβάλλουμε για t = 0, η χρονική εξέλιξη που καθορίζεται από την ( 8.2) dd.5 μπορεί να την αλλάξει σε μεγαλύτερους χρόνους. Αυτό είναι εύκολο να αναλυθεί. Αν επιβάλλουμε την ( 8.4) dd.3 όταν t = 0, η συνθήκη θα ισχύει για κάθε χρονική στιγμή αν d dt Λαμβάνοντας υπόψη ότι d K(x,x 0 ;t) t d dt + dt K(x, x 0 ; t)dx = 0. (8.5) dd.3a + K(x, x 0; t)dx = + K(x,x 0 ;t) dx και ότι t = D 2 K(x,x 0 ;t) παίρνουμε x ( ) K(x, x0 ; t) K(x, x 0 ; t)dx = D dx x x = D K(x, x 0; t) x D K(x, x 0; t) x + x. (8.6) x Η παραπάνω σχέση μας λέει πως για συναρτήσεις που το δεξί μέλος μηδενίζεται, η συνθήκη κανονικοποίησης μπορεί να επιβληθεί για όλες τις χρονικές στιγμές t > 0. Η προσεκτική ανάλυση της εξίσωσης ( 8.2) dd.5 δίνει ότι, για μικρούς χρόνους, η ασυμπτωτική συμπεριφορά του K(x, x 0 ; t) είναι x x 0 2 K(x, x 0 ; t) e 4Dt t d/2 a i (x, x 0 )t i. (8.7) dd.4 ²Θυμίζουμε ότι δ(x x 0 ) είναι το περίφημο δέλτα του Dirac. Ορίζεται από την απαίτηση για κάθε συνάρτηση f(x) να έχουμε + f(x)δ(x x 0) dx = f(x 0 ). Προφανώς τότε έχουμε ότι + δ(x x 0) dx = 1. Μπορεί κανείς να το φανταστεί σα μια συνάρτηση που είναι πρακτικά μηδέν παντού, εκτός από μια απειροστή περιοχή γύρω από το x 0. ³Εναλλακτικά, αν η K(x, x 0 ; t) δίνει λ.χ. την πυκνότητα μάζας μιας σταγόνας μελανιού μάζας m ink που διαχέεται μέσα σε ένα διαφανές υγρό, θα έχουμε + K(x, x 0; t) dx = m ink και K(x, x 0 ; 0) = m ink δ(x x 0 ). i=0

3 8.2. ΑΠΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΛΕΠΤΗ ΡΑΒΔΟ 377 Η σχέση αυτή δείχνει πως η διάχυση είναι ισότροπη (ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις) και η πιθανότητα ανίχνευσης ελαττώνεται δραστικά με την απόσταση από την αρχική θέση του σωματιδίου. Αυτή η σχέση δεν μπορεί να ισχύει για πάντα, αφού για αρκετά μεγάλους χρόνους το σωμάτιο κατανέμεται ομοιόμορφα μέσα στο χώρο⁴. Η πιθανότητα επιστροφής του σωματιδίου στην αρχική του θέση ορίζεται να είναι P R (t) = K(x 0, x 0 ; t) 1 t d/2 a i (x 0, x 0 )t i (8.8) dd.6 που ορίζει τη φασματική διάσταση d του χώρου. Στην περίπτωση που μελετάμε d = 1. Η μέση τιμή του τετραγώνου της απόστασης από την αρχή των αξόνων που βρίσκεται το σωματίδιο σε χρόνο t είναι εύκολο να υπολογιστεί⁵ r 2 = (x x 0 ) 2 (t) = + i=0 (x x 0 ) 2 K(x, x 0 ; t) dx 2Dt. (8.9) dd.7 Η τελευταία σχέση είναι πολύ σημαντική. Μας λέει πως η κίνηση του τυχαίου περιπατητή (κίνηση Brown) δεν μπορεί να έχει κλασική περιγραφή αλλά μόνο στοχαστική: Για ένα κλασικό σωμάτιο που κινείται πάνω σε μια ομαλή τροχιά x x 0 vt άρα r 2 t 2. Στα επόμενα κεφάλαια, για απλότητα παίρνουμε⁶ D = 1 και ορίζουμε u(x, t) K(x x 0, x 0 ; t). (8.10) dd Απαγωγή Θερμότητας σε μια Λεπτή Ραβδο Έστω μια λεπτή ευθύγραμμη ράβδος μήκους L και T (x, t) η κατανομή της θερμοκρασίας της τη χρονική στιγμή t, και έστω ότι τα άκρα της τα κρατάμε σε σταθερή θερμοκρασία T (0, t) = T (L, t) = T 0. Αν η αρχική κατανομή της θερμοκρασίας είναι T (x, 0) η θερμοκρασία σε κάθε άλλη χρονική στιγμή προσδιορίζεται από την εξίσωση διάχυσης T (x, t) t = α 2 T (x, t) x 2 (8.11) dd.8a ⁴Θυμηθείτε την αναλογία με τη σταγόνα μελανιού που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι νερό και μετά από αρκετό χρόνο έχει διαχυθεί ομοιόμορφα μέσα στο νερό. ⁵ dr r n e r2 /4Dt = 2 n Γ( n+1 n )(Dt) 2. ⁶Αυτό σύμφωνα με την ( 8.2) dd.5 αντιστοιχεί στο να πάρουμε t Dt.

4 378 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ όπου α = k/(c p ρ) ο θερμικός συντελεστής διάχυσης (thermal diffusivity), k η θερμική αγωγιμότητα, ρ η πυκνότητα και c p η ειδική θερμότητα της ράβδου. Ορίζουμε L2 T (xl, α u(x, t) = t) T 0, (8.12) dd.8b T 0 όπου x [0, 1]. Με τον ορισμό αυτό, η συνάρτηση u(x, t) είναι καθαρός αριθμός (αδιάστατη) και εκφράζει το κλάσμα της διαφοράς θερμοκρασίας σε σχέση με αυτής των άκρων της ράβδου και u(0, t) = u(1, t) = 0. (8.13) dd.8c Αυτές λέγονται συνοριακές συνθήκες τύπου Dirichlet⁷ Η ( 8.11) dd.8a γίνεται 0 u(x, t) t = 2 u(x, t) x 2 (8.14) dd.9 Η σχέση ( 8.6) dd.3b γινεται d 1 u(x, t)dx = u dt x u x=1 x x=0 (8.15) dd.1 Η παραπάνω σχέση δεν μπορεί να δίνει πάντα 0 λόγω των συνοριακών συνθηκών ( 8.13). dd.8c Αυτό μπορούμε να το δούμε με ένα παράδειγμα. Έστω u(x, 0) = sin(πx), (8.16) dd.9b τότε μπορείτε εύκολα να επιβεβαιώσετε ότι ικανοποιούνται οι απαιτούμενες συνοριακές συνθήκες και ότι η συνάρτηση u(x, t) = sin(πx)e π2t, (8.17) dd.9c είναι η ζητούμενη λύση της εξίσωσης διάχυσης που ικανοποιεί επίσης της συνοριακές συνθήκες. Είναι εύκολο να διαπιστώσετε ότι το 1 0 u(x, t)dx = 2 π e π2 t τείνει εκθετικά γρήγορα στο μηδέν με το χρόνο και ότι d dt 1 0 u(x, t)dx = 2πe π2t, ⁷Αν προσδιορίζαμε τις παραγώγους u/ x στα άκρα (λ.χ. ταλάντωση ελεύθερης ράβδου) θα είχαμε συνοριακές συνθήκες τύπου Neumann.

5 8.3. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ 379 σε συμφωνία με τις σχέσεις ( dd ). Η εκθετική πτώση του μέτρου της u(x, t) είναι σε συμφωνία με την φυσική απαίτηση ότι η ράβδος σε αρκετά μεγάλο χρόνο θα έχει ομοιόμορφη θερμοκρασία, ίση με αυτή που επιβάλαμε στα άκρα της (lim t + u(x, t) = 0). 8.3 Διακριτοποίηση Η αριθμητική λύση της εξίσωσης ( dd ) θα αναζητηθεί στο διάστημα x [0, 1] και t [0, t f ]. Το πρόβλημα πρέπει να οριστεί πάνω σε ένα διακριτό πλέγμα και η διαφορική εξίσωση να προσεγγιστεί από αλγεβρικές εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών. Το πλέγμα ορίζεται από N x χωρικά σημεία x i [0, 1] x i = 0 + (i 1) x i = 1,..., N x, (8.18) dd.12 όπου τα N x 1 διαστήματα έχουν σταθερό πλάτος και από N t χρονικά πλεγματικά σημεία t j [0, t f ] x = 1 0, (8.19) dd.13 N x 1 t j = 0 + (j 1) t j = 1,..., N t, (8.20) dd.14 όπου τα N t 1 διαστήματα έχουν σταθερό πλάτος t = t f 0. (8.21) dd.15 N t 1 Σημειώνουμε ότι τα άκρα των διαστημάτων αντιστοιχούν στα x 1 = 0, x Nx = 1, t 1 = 0, t Nt = t f. (8.22) dd.15a Η συνάρτηση u(x, t) προσεγγίζεται από τις τιμές της πάνω στο διακριτό N x N t πλέγμα u i,j u(x i, t j ). (8.23) dd.16 Οι παράγωγοι διακριτοποιούνται σύμφωνα με τις σχέσεις u(x, t) t u(x i, t j + t) u(x i, t j ) t 1 t (u i,j+1 u i,j ), (8.24) dd.17

6 380 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 2 u(x, t) u(x i + x, t j ) 2u(x i, t j ) + u(x i x, t j ) x 2 ( x) 2 1 ( x) (u 2 i+1,j 2u i,j + u i 1,j ). (8.25) Εξισώνοντας τα δύο μέλη των παραπάνω σχέσεων σύμφωνα με την ( 8.14), dd.9 παίρνουμε τη δυναμική εξέλιξη της u i,j στο χρόνο u i,j+1 = u i,j + t ( x) 2 (u i+1,j 2u i,j + u i 1,j ). (8.26) dd.19 Αυτή είναι μια επαγωγική σχέση ενός βήματος ως προς το χρόνο. Αυτό είναι πολύ σημαντικό γιατί δε χρειάζεται στο πρόγραμμα να αποθηκεύσουμε στη μνήμη τις τιμές u i,j για κάθε j. Ο δεύτερος όρος της δεύτερης παραγώγου στην ( 8.26) dd.19 περιέχει μόνο τους πλησιέστερους γείτονες u i±1,j κάθε πλεγματικού σημείου u i,j μιας χρονικής φέτας t j του πλέγματος, άρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για κάθε i = 2,..., N x 1. Για τα σημεία i = 1 και i = N x δε χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν οι σχέσεις ( 8.26) dd.19 αφού κρατάμε τις τιμές u 1,j = u Nx,j = 0 αμετάβλητες. Τέλος η παράμετρος t ( x) 2 (8.27) dd.19b είναι αυτή που καθορίζει τη χρονική εξέλιξη στον αλγόριθμο. Ονομάζεται παράμετρος του Courant και για να έχουμε χρονική εξέλιξη χωρίς να παρουσιάζονται γρήγορα αστάθειες, θα πρέπει t ( x) < 1. (8.28) 2 dd.19c 2 Αυτό είναι κάτι που εμείς θα το ελέγξουμε εμπειρικά με την αριθμητική ανάλυση που θα κάνουμε. 8.4 Το Πρόγραμμα Τα μόνα σημεία που τονίζουμε σχετικά με το σχεδιασμό του προγράμματος είναι ότι η σχέση ( 8.26) dd.19 είναι μια επαγωγική σχέση ενός βήματος ως προς το χρόνο. Άρα σε κάθε χρονικό βήμα αρκεί να αποθηκεύσουμε σε ένα array τις τιμές του δεύτερου όρου (τη δεύτερη παράγωγο ) και να το χρησιμοποιήσουμε για να ενημερώσουμε τις νέες τιμές της συνάρτησης u i,j. Άρα, στην επαναλαμβανόμενη διαδικασία ( 8.26) dd.19

7 8.4. ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 381 υπολογισμού της u i,j+1 από την u i,j αρκεί να χρησιμοποιήσουμε μονάχα ένα array u i, i = 1,..., N x και ένα ( 2 u/ x 2 ) i, i = 1,..., N x που δίνουν τις αντίστοιχες τιμές της u i,j και t/( x) 2 (u i+1,j 2u i,j + u i 1,j ) τη χρονική στιγμή t j αντίστοιχα. Στο παρακάτω πρόγραμμα αυτά κωδικοποιούνται στα arrays u(p) και d2udx2(p). Τα χρήσιμα δεδομένα βρίσκονται στις θέσεις u(1)... u(nx) d2udx2(1)... d2udx2(nx) και η παράμετρος P επιλέγεται αρκετά μεγάλη ώστε οι τιμές του Nx που θα μελετηθούν να είναι πάντα μικρότερες. Ο χρήστης δίνει στην είσοδο τις τιμές N x = Nx, N t =Nt, t f =tf. Οι τιμές x, t και t/ x 2 = courant υπολογίζονται στα αρχικά στάδια του προγράμματος. Στην έξοδο παίρνουμε το αρχείο d.dat που περιέχει σε στήλες τις τιμές (t j, x i, u i,j ). Όταν τελειώνει μια χρονική φέτα t j, το πρόγραμμα τυπώνει μια κενή γραμμή, έτσι ώστε το gnuplot να κάνει αμέσως την τρισδιάστατη γραφική παράσταση. Το πρόγραμμα μπορεί να βρεθεί στο αρχείο diffusion.f90 στο συνοδευτικό λογισμικό και ο κώδικας που περιέχει δίνεται παρακάτω:! =======================================================! 1 dimensional D i f f u s i o n Equation with simple! D i r i c h l e t boundary c o n d i t i o n s u(0, t )=u ( 1, t )=0! 0<= x <= 1 and 0<= t <= t f!! We s e t i n i t i a l condition u( x, t =0) t h a t s a t i s f i e s! the given boundary c o n d i t i o n s.! Nx i s the number of points in s p a t i a l l a t t i c e :! x = 0 + ( j 1) *dx, j = 1,..., Nx and dx = (1 0) / ( Nx 1)! Nt i s the number of points in temporal l a t t i c e :! t = 0 + ( j 1) * dt, j = 1,..., Nt and dt = ( t f 0) / ( Nt 1)!! u( x, 0 ) = s i n ( pi * x ) t e s t e d a g a i n s t a n a l y t i c a l s o l u t i o n! u( x, t ) = s i n ( pi * x ) * exp( pi * pi * t )!! ======================================================= program diffusion_1d i m p l i c i t none i n t e g e r, parameter : : P =100000! Max no of points r e a l (8), parameter : : PI= D0 r e a l (8), dimension ( P ) : : u, d2udx2 r e a l (8) : : t, x, dx, dt, tf, courant i n t e g e r Nx, Nt, i, j! Input : p r i n t *, # Enter : Nx, Nt, t f : (P=, P, Nx must be < P) read *, Nx, Nt, tf i f ( Nx. ge. P ) stop Nx >= P

8 382 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ i f ( Nx. le. 3) stop Nx <= 3 i f ( Nt. le. 2) stop Nt <= 2! I n i t i a l i z e : dx = 1.0 D0 / ( Nx 1) dt = tf / ( Nt 1) courant = dt / dx **2 p r i n t *, # 1d D i f f u s i o n Equation : 0<=x <=1, 0<=t <= t f p r i n t *, # dx=, dx, dt=, dt, t f =, tf p r i n t *, # Nx=, Nx, Nt=, Nt p r i n t *, # Courant Number=, courant i f ( courant. gt. 0.5 D0 ) p r i n t *, # WARNING: courant > 0.5 open ( unit =11, f i l e = d. dat )! data f i l e! I n i t i a l condition a t t =0! u( x, 0 ) = s i n ( pi x ) do i= 1, Nx x = ( i 1) * dx u ( i ) = s i n ( PI * x ) enddo u ( 1 ) = 0.0 d0 u ( Nx ) = 0.0 d0 do i= 1, Nx x = ( i 1) * dx write ( 1 1, * ) 0.0 D0, x, u ( i ) enddo write ( 1 1, * )!! C a l c u l a t e time evolution : do j=2,nt t = ( j 1) * dt! second d e r i v a t i v e : do i=2,nx 1 d2udx2 ( i ) = courant * ( u ( i+1) 2.0D0 * u ( i )+u ( i 1) ) enddo! update : do i=2,nx 1 u ( i ) = u ( i ) + d2udx2 ( i ) enddo do i =1, Nx x = ( i 1) * dx write ( 1 1, * ) t, x, u ( i ) enddo write ( 1 1, * ) enddo! do j =2,Nt c l o s e ( 1 1 ) end program diffusion_1d

9 8.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Αποτελέσματα Αρχικά γίνεται η μεταγλώττιση και το τρέξιμο του προγράμματος > g f o r t r a n diffusion. f90 o d > echo / d # Enter : Nx, Nt, t f : ( P= Nx must be < P) # 1d D i f f u s i o n Equation : 0<=x <=1, 0<=t <= t f # dx= dt= E 3 t f = 0.4 # Nx= 10 Nt= 100 # Courant Number= Στη δεύτερη σειρά, εισάγουμε στο stdin του πραγράμματος τις τιμές Nx=10, Nt=100, tf= 0.4 από το stdout της εντολής echo. Οι επόμενες γραμμές είναι το output του προγράμματος. Στη συνέχεια μπορούμε να κάνουμε μια τρισδιάστατη γραφική αναπαράσταση της u(x, t) με τη βοήθεια του gnuplot: gnuplot> s e t pm3d gnuplot > s e t hidden3d gnuplot> s p l o t d. dat with lines gnuplot > unset pm3d Σχήμα 8.1: Η συνάρτηση u(x, t) για Nx=10, Nt=100, tf= 0.4. Στη συνέχεια θέλουμε να δούμε τη συνάρτηση u(x, t) ως συνάρτηση του x για δεδομένες τιμές του χρόνου. Παρατηρούμε ότι ο χρόνος αλλάζει κάθε φορά που συναντάμε μια κενή γραμμή στο αρχείο d.dat. Το παρακάτω πρόγραμμα awk μετράει τις κενές γραμμές και τυπώνει μόνο

10 384 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ εκείνη που εμείς επιθυμούμε. Ο μετρητής n=0, 1,..., Nt-1 μπορεί να καθορίσει την τιμή του t j = t n 1. Τα αποτελέσματα τα σώζουμε σε ένα αρχείο tj το οποίο μπορούμε να το δούμε με το gnuplot. Επαναλαμβάνουμε όσες φορές χρειάζεται: > awk NF<3{n++}n==3 { p r i n t } d. dat > tj gnuplot> p l o t t j using 2:3 with lines Την παραπάνω εργασία μπορούμε να την κάνουμε χωρίς τη δημιουργία ενδιάμεσων αρχείων tj χρησιμοποιώντας το φίλτρο της awk μέσα από το gnuplot. Έτσι για παράδειγμα οι εντολές gnuplot >! echo / d gnuplot> plot <awk NF<3{n++}n==3 { p r i n t } d. dat u 2:3 w l gnuplot> replot <awk NF<3{n++}n==6 { p r i n t } d. dat u 2:3 w l gnuplot> replot <awk NF<3{n++}n==10 { p r i n t } d. dat u 2:3 w l gnuplot> replot <awk NF<3{n++}n==20 { p r i n t } d. dat u 2:3 w l gnuplot> replot <awk NF<3{n++}n==30 { p r i n t } d. dat u 2:3 w l gnuplot> replot <awk NF<3{n++}n==50 { p r i n t } d. dat u 2:3 w l gnuplot> replot <awk NF<3{n++}n==100{ p r i n t } d. dat u 2:3 w l τρέχουν το πρόγραμμα για Nx=10, Nt=800, tf= 2 και παράγουν το σχήμα 8.2 f:dd.13 Στη συνέχεια είναι ενδιαφέρον να συγκρίνει κανείς τα αποτελέσματα του με την ακριβή λύση u(x, t) = sin(πx)e π2t. Ένας τρόπος να γίνει είναι να ορίσουμε το σχετικό σφάλμα u i,j u(x i, t j ) u i,j, και να το υπολογίσουμε ορίζοντας τη σχετική συνάρτηση μέσα στο gnuplot: gnuplot> du ( x, y, z ) = ( z s i n ( pi * x ) * exp( pi * pi * y ) ) / z gnuplot> p l o t <awk NF<3{n++}n==2 d. dat u 2 : ( du ( $2, $1, $3 ) ) gnuplot> p l o t <awk NF<3{n++}n==6 d. dat u 2 : ( du ( $2, $1, $3 ) ) gnuplot> p l o t <awk NF<3{n++}n==20 d. dat u 2 : ( du ( $2, $1, $3 ) ) gnuplot> p l o t <awk NF<3{n++}n==200 d. dat u 2 : ( du ( $2, $1, $3 ) ) gnuplot> p l o t <awk NF<3{n++}n==600 d. dat u 2 : ( du ( $2, $1, $3 ) ) gnuplot> p l o t <awk NF<3{n++}n==780 d. dat u 2 : ( du ( $2, $1, $3 ) ) Τα αποτελέσματα μπορούμε να τα δούμε στο σχήμα 8.3. f:dd.14

11 8.6. ΔΙΑΧΥΣΗ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ. 385 Σχήμα 8.2: Η συνάρτηση u(x, t) για Nx=10, Nt=800, tf= 2 για διαφορετικές σταθερές τιμές του χρόνου t j. Εδώ j = 4, 7, 11, 21, 31, 51, 101 όπου η u(x, t) φθίνει όταν αυξάνει το j. 8.6 Διάχυση Πάνω στον Κύκλο. Για να μελετήσουμε τον πυρήνα K(x, x 0 ; t) στο πρόβλημα της διάχυσης ή των τυχαίων διαδρομών, πρέπει να επιβάλλουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης ( 8.4) dd.3 για κάθε χρονική στιγμή. Στην περίπτωση της u(x, t) ορισμένης για x [0, 1] η σχέση γίνεται 1 0 u(x, t) dx = 1, (8.29) dd.20a η οποία για να ισχύει για κάθε χρονική στιγμή είναι αναγκαίο το δεξί μέλος της ( 8.15) dd.1 να είναι 0. Ένας τρόπος να επιβάλλουμε αυτή τη συνθήκη είναι να θεωρήσουμε το πρόβλημα της διάχυσης πάνω στον κύκλο. Αν παραμετροποιήσουμε τα σημεία του κύκλου με τη μεταβλητή x [0, 1] τότε τα σημεία x = 0 και x = 1 ταυτίζονται και έχουμε u(0, t) = u(1, t), u(0, t) x = u(1, t) x. (8.30) dd.20b Η δεύτερη από τις παραπάνω σχέσεις μηδενίζει το δεξί μέλος της ( 8.15) dd.1 με αποτέλεσμα, αν θέσουμε 1 u(x, 0) dx = 1, να έχουμε 1 u(x, t) dx = 1, 0 0 t > 0.

12 386 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Σχήμα 8.3: H απόλυτη τιμή του σχετικού σφάλματος του αριθμητικού υπολογισμού για Nx=10, Nt=800, tf= 2 για διαφορετικές σταθερές τιμές του χρόνου t j. Εδώ j = 3, 7, 21, 201, 601, 781 και το σχετικό σφάλμα αυξάνει με το j. Με τις παραπάνω παραδοχές, η διακριτοποίηση της διαφορικής εξίσωσης γίνεται ακριβώς όπως και στο πρόβλημα της απαγωγής της θερμότητας. Αντί τώρα να κρατάμε τις τιμές u(0, t) = u(1, t) = 0 σταθερές, θα εφαρμόσουμε την εξίσωση δυναμικής εξέλιξης ( 8.26) dd.19 και για τα σημεία x 1, x Nx αφού πάνω στον κύκλο αυτά τα σημεία δεν ξεχωρίζουν από τα υπόλοιπα. Για να λάβουμε υπόψη την κυκλική τοπολογία αρκεί να πάρουμε και u 1,j+1 = u 1,j + u Nx,j+1 = u i,j + t ( x) 2 (u 2,j 2u 1,j + u Nx,j), (8.31) dd.20 t ( x) 2 (u 1,j 2u Nx,j + u Nx 1,j), (8.32) dd.21 αφού ο γείτονας εκ δεξιών του σημείου x Nx είναι το σημείο x 1 και ο γείτονας εξ αριστερών του σημείου x 1 είναι το σημείο x Nx. Για τα υπόλοιπα σημεία i = 2,..., N x 1 η σχέση ( 8.26) dd.19 εφαρμόζεται κανονικά. Το πρόγραμμα που κωδικοποιεί το παραπάνω πρόβλημα δίνεται παρακάτω και βρίσκεται στο αρχείο diffusions1.f90. H επιβολή των συνοριακών συνθηκών ( 8.30) dd.20b γίνεται στις γραμμές nnr = i+1

13 8.6. ΔΙΑΧΥΣΗ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ. 387 i f ( nnr. gt. Nx ) nnr = 1 nnl = i 1 i f ( nnl. lt. 1 ) nnl = Nx d2udx2 ( i ) = courant * ( u ( nnr ) 2.0D0 * u ( i )+u ( nnl ) ) Οι αρχικές συνθήκες τη χρονική στιγμή t = 0 επιλέγονται έτσι ώστε να είναι το σωμάτιο στη θέση x Nx/2. Σε κάθε χρονική στιγμή γίνονται μετρήσεις με σκοπό να επαληθευτούν οι εξισώσεις ( 8.4), dd.3 ( 8.9) dd.7 και το γεγονός ότι lim t + u(x, t) = σταθ. Η μεταβλητή prob = N x i=1 u i,j και ελέγχεται αν διατηρεί την αρχική της τιμή που είναι ίση με 1. Η μεταβλητή r2 = N x i=1 (x i x Nx /2) 2 u i,j είναι η διακριτή εκτίμηση της μέσης τιμής του τετραγώνου της απόστασης από την αρχική θέση η οποία για αρκετά μικρούς χρόνους θα πρέπει να ακολουθεί το νόμο που δίνει η εξίσωση ( 8.9). dd.7 Οι παραπάνω μεταβλητές αποθηκεύονται στο αρχείο e.dat μαζί με τις τιμές u Nx/2,j, u Nx/4,j και u 1,j. Η τελευταίες ελέγχονται αν μετά από αρκετά μεγάλο χρόνο αποκτούν την ίδια σταθερή τιμή, σύμφωνα με το αναμενόμενο αποτέλεσμα lim t + u(x, t) = σταθ. Όλος ο πηγαίος κώδικας είναι:! =======================================================! 1 dimensional D i f f u s i o n Equation with! p e r i o d i c boundary c o n d i t i o n s u(0, t )=u ( 1, t )! 0<= x <= 1 and 0<= t <= t f!! We s e t i n i t i a l condition u( x, t =0) t h a t s a t i s f i e s! the given boundary c o n d i t i o n s.! Nx i s the number of points in s p a t i a l l a t t i c e :! x = 0 + ( j 1) *dx, j = 1,..., Nx and dx = (1 0) / ( Nx 1)! Nt i s the number of points in temporal l a t t i c e :! t = 0 + ( j 1) * dt, j = 1,..., Nt and dt = ( t f 0) / ( Nt 1)!! u( x, 0 ) = \ d e l t a _ {x, 0. 5 }!! ======================================================= program diffusion_1d i m p l i c i t none i n t e g e r, parameter : : P =100000! Max no of points r e a l (8), parameter : : PI= D0 r e a l (8), dimension ( P ) : : u, d2udx2 r e a l (8) : : t, x, dx, dt, tf, courant, prob, r2, x0 i n t e g e r Nx, Nt, i, j, nnl, nnr! Input : p r i n t *, # Enter : Nx, Nt, t f : (P=, P, Nx must be < P)

14 388 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ read *, Nx, Nt, tf i f ( Nx. ge. P ) stop Nx >= P i f ( Nx. le. 3) stop Nx <= 3 i f ( Nt. le. 2) stop Nt <= 2! I n i t i a l i z e : dx = 1.0 D0 / ( Nx 1) dt = tf / ( Nt 1) courant = dt / dx **2 p r i n t *, # 1d D i f f u s i o n Equation on S1 : 0<=x <=1, 0<=t <= t f p r i n t *, # dx=, dx, dt=, dt, t f =, tf p r i n t *, # Nx=, Nx, Nt=, Nt p r i n t *, # Courant Number=, courant i f ( courant. gt. 0.5 D0 ) p r i n t *, # WARNING: courant > 0.5 open ( unit =11, f i l e = d. dat )! data f i l e open ( unit =12, f i l e = e. dat )! data f i l e! I n i t i a l condition a t t =0 do i= 1, Nx x = ( i 1) * dx u ( i ) = 0.0 D0 enddo u ( Nx / 2 ) = 1.0 D0 do i= 1, Nx x = ( i 1) * dx write ( 1 1, * ) 0.0 D0, x, u ( i ) enddo write ( 1 1, * )!! C a l c u l a t e time evolution : do j=2,nt t = ( j 1) * dt! second d e r i v a t i v e : do i =1, Nx nnr = i+1 i f ( nnr. gt. Nx ) nnr = 1 nnl = i 1 i f ( nnl. lt. 1 ) nnl = Nx d2udx2 ( i ) = courant * ( u ( nnr ) 2.0D0 * u ( i )+u ( nnl ) ) enddo! update : prob = 0.0 D0 r2 = 0.0 D0 x0 = ( ( Nx / 2 ) 1) * dx! o r i g i n a l p o s i t i o n do i =1, Nx x = ( i 1) * dx u ( i ) = u ( i ) + d2udx2 ( i ) prob = prob + u ( i ) r2 = r2 + u ( i ) * ( x x0 ) * ( x x0 ) enddo do i =1, Nx

15 8.7. ΑΝΑΛΥΣΗ 389 x = ( i 1) * dx write ( 1 1, * ) t, x, u ( i ) enddo write ( 1 1, * ) write ( 1 2, * ) pu, t, prob, r2, u ( Nx / 2 ), u ( Nx / 4 ), u ( 1 ) enddo! do j =2,Nt c l o s e ( 1 1 ) end program diffusion_1d 8.7 Ανάλυση Το πρόγραμμα αποθηκεύει στο αρχείο e.dat για κάθε χρονική στιγμή τις ποσότητες N x U j = u i,j (8.33) dd.22 i=1 που είναι ο διακριτός εκτιμητής της ( dd.20a 8.29) και περιμένουμε να παίρνουμε U j = 1 για κάθε τιμή του j, N x r 2 j = u i,j (x i x Nx/2) 2 (8.34) dd.23 i=1 που είναι ο διακριτός εκτιμητής της ( dd.7 8.9) και περιμένουμε για μικρούς χρόνους να ισχύει r 2 j 2t j, (8.35) dd.23a καθώς και τις τιμές u Nx /2,j, u Nx /4,j, u 1,j. Οι τιμές t j, U j, r 2 j, u Nx /2,j, u Nx /4,j, u 1,j βρίκονται αντίστοιχα στις στήλες 2, 3, 4, 5, 6 και 7 του αρχείου e.dat. Ξεκινάμε το gnuplot και μέσα από αυτό δίνουμε τις εντολές gnuplot >! gfortran diffusions1. f90 o d gnuplot >! echo / d που ορίζουν τις τιμές N x = 10, N t = 100, t f , t/ x Με τις εντολές = 0.4, x 0.111, t gnuplot> p l o t e. dat u 2:5 w l gnuplot> r e p l o t e. dat u 2:6 w l gnuplot> r e p l o t e. dat u 2:7 w l

16 390 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Σχήμα 8.4: Οι συναρτήσεις u Nx /2,j, u Nx /4,j, u 1,j ως συνάρτηση του t j για N x = 10, N t = 100, t f = 0.4. Για μεγάλο χρόνο τείνουν προς μια σταθερή τιμή που αντιστοιχεί στην ομοιόμορφη διάχυση. φτιάχνουμε το σχήμα f:dd από όπου βλέπουμε την ομοιόμορφη κατανομή της διάχυσης για αρκετά μεγάλους χρόνους. Η σχέση U j = 1 επιβεβαιώνεται με απλό κοίταγμα στο αρχείο e.dat. Η ασυμπτωτική σχέση r 2 j 2t j επιβεβαιώνεται με τις εντολές gnuplot> p l o t [ : ] [ : ] e. dat u 2 : 4, 2 * x που μας δίνει το σχήμα 8.5. f:dd.2 Τέλος κάνουμε μια επισκόπηση της συνάρτησης u(x, t) με τις εντολές gnuplot >! echo / d gnuplot> s e t pm3d gnuplot> s p l o t [ 0 : ] [ 0 : 1 ] [ 0 : 1] d. dat w l gnuplot> s p l o t [ 0 : ] [ 0 : 1 ] [ 0 :. 2 ] d. dat w l και το αποτέλεσμα φαίνεται στο σχήμα 8.6. f:dd.3

17 8.7. ΑΝΑΛΥΣΗ 391 Σχήμα 8.5: Η μέση τιμή r 2 j ως συνάρτηση του t j για N x = 10, N t = 100, t f = 0.4. Για μικρές τιμές του t j ισχύει r 2 j 2t j το οποίο συγκρίνεται με την ευθεία 2t.

18 392 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Σχήμα 8.6: Η συνάρτηση u(x, t) για N x = 10, N t = 100, t f = Στο δεύτερο σχήμα αλλάζουμε μόνο την κλίμακα του άξονα z ώστε να φανούν οι λεπτομέρειες της διάχυσης μακρυά από το σημείο x 0 x Nx/2 = x 5.

19 8.8. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκήσεις 8.1 Να αναπαράγετε τα αποτελέσματα του σχήματος 8.3. f:dd Η κατανομή της θερμοκρασίας u(x, t) σε μία λεπτή ράβδο ικανοποιεί την εξίσωση ( 8.14) dd.9 μαζί με τις συνοριακές συνθήκες ( 8.13) dd.8c στα άκρα της ράβδου x = 0, 1. Η κατανομή της θερμοκρασίας, όταν t = 0, δίνεται από τη συνάρτηση u(x, 0) = { 0.5 x [x1, x 2 ] 0.3 x / [x 1, x 2 ], όπου x 1 = 0.25 και x 2 = (αʹ) Υπολογίστε την κατανομή της θερμοκρασίας u(x, t f ) όταν t f = , 0.001, 0.01, Να πάρετε N x = 100 και N t = Να κάνετε το ίδιο για t f = 0.1 παίρνοντας κατάλληλο N x και κρατώντας N t = Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των u(x, t f ) στο ίδιο διάγραμμα. (βʹ) Υπολογίστε γραφικά τη μέγιστη τιμή της θερμοκρασίας για t f = , 0.001, 0.01, 0.05, 0.1, 0.15, Να πάρετε N x = 100 και να επιλέξετε κατάλληλη τιμή για τα N t. (γʹ) Υπολογίστε το χρονική στιγμή κατά την οποία η θερμοκρασία στη ράβδο είναι παντού μικρότερη από 0.1. Υπόδειξη: Να κάνετε το πρόγραμμά σας να τυπώνει μόνο την τελική κατανομή της θερμοκρασίας u(x, t f ). 8.3 Η κατανομή της θερμοκρασίας u(x, t) σε μία λεπτή ράβδο ικανοποιεί την εξίσωση u t = u α 2 x. 2 Η θερμοκρασία στα άκρα της ράβδου u(0, t) = u(1, t) = 0, ενώ όταν t = 0 { [ ( cos 2πx )] 0 x < b u(x, 0) = b 0 b x 1. (αʹ) Να υπολογίσετε την κατανομή θερμοκρασίας u(x, t f ) όταν α = 0.5, b = 0.09 και για t f = , 0.001, 0.01, παίρνοντας N x = 300, N t = Να κάνετε το ίδιο για t f = 0.05 επιλέγοντας κατάλληλο N x. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της u(x, t f ) στο ίδιο διάγραμμα.

20 394 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ (βʹ) Για τις ίδιες παραμέτρους, να υπολογίσετε τη χρονική εξέλιξη της θερμοκρασίας στα σημεία x 1 = 0.05, x 2 = 0.50 και x 3 = 0.95 για 0 t Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της u(x 1,2,3, t) στο ίδιο διάγραμμα. (γʹ) Να υπολογίσετε την κατανομή θερμοκρασίας u(x, t f ) για b = 0.09 για τρεις τιμές του α = 5, 2, 1 για t f = Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της u(x, t f ) στο ίδιο διάγραμμα. Να σχολιάσετε την επίδραση της παραμέτρου α στα αποτελέσματά σας. 8.4 Η κατανομή της θερμοκρασίας u(x, t) σε μία λεπτή ράβδο μήκους L ικανοποιεί την εξίσωση u t = u D(x) 2 x 4 2 L D(x) u x, όπου D(x) = ae 4x/L είναι η μεταβλητή παράμετρος θερμοδιάχυσης (thermal diffusivity) της οποίας η τιμή εξαρτάται από της θέση x. Η θερμοκρασία της ράβδου στα άκρα της είναι τέτοια ώστε u(0, t) = u(l, t) = 0, ενώ τη χρονική στιγμή t = 0, η κατανομή της θερμοκρασίας κατά μήκος της ράβδου είναι u(x, 0) = Ce (x L/2)2 /σ 2. (αʹ) Να γράψετε πρόγραμμα που στην είσοδο θα ζητάει από το χρήστη τις παραμέτρους L, a, C, σ, N x, N t και t f. Στην έξοδο θα υπολογίζει την u(x, t f ) και θα τυπώνει σε ένα αρχείο d.dat τα σημεία (x i, u(x i, t f )) σε δύο στήλες. (βʹ) Να εκτελέσετε το πρόγραμμα για L = 4, a = 0.2, C = 1, σ = 1/2, N x = 400, N t = και να υπολογίσετε την u(x, t f ) για t f = 0.05, 1.0, 5.0. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της u(x, t f ) στο ίδιο διάγραμμα. (γʹ) Για τις ίδιες παραμέτρους, να υπολογίσετε τη χρονική εξέλιξη της θερμοκρασίας στα σημεία x 1 = 1 και x 2 = 2 για 0 t 5. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της u(x 1,2, t) στο ίδιο διάγραμμα. 8.5 Να αναπαράγετε τα αποτελέσματα που δείχνονται στα σχήματα f:dd και 8.5. f:dd.2