Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Transcript

1 Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες φορές οι λύσεις τους δίνουν πρακτικές πληροφορίες οι οποίες μπορούν να βελτιώσουν τη ζωή μας είτε άμεσα ή μελλοντικά Αν και πολλές φορές μπορούμε να αποδείξουμε ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης μιας Διαφορικής Εξίσωσης (ΔΕ) τις περισσότερες φορές θα πρέπει να τη προσεγγίσουμε (μια και δεν θα μπορούμε να τη βρούμε αναλυτικά δηλ με μολύβι και χαρτί) Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την αριθμητική επίλυση ΔΕ αλλά εμείς θα εστιαστούμε στη Μέθοδο Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) η οποία εμπίπτει στη κατηγορία των μεταβολικών μεθόδων (vritionl methods) όπως θα δούμε μετά Έστω η ΔΕ () Lqu f όπου Lq είναι ένας διαφορικός τελεστής τάξης q η συνάρτηση f είναι δοθείσα και u είναι η άγνωστη συνάρτηση που θέλουμε να προσδιορίσουμε Παράδειγμα : (α) Λαπλασιανός τελεστής (Lplcin opertor) q = : L q n (στις n- x i i διαστάσεις) Στις -διαστάσεις έχουμε είναι ο τελεστής στη -διάσταση; x y και ανάλογα στις 3-διαστάσεις Τι θα Σημείωση: Μια και μας ενδιαφέρουν ΔΕ που έχουν πρακτικές εφαρμογές θα περιοριστούμε στις και 3-διαστάσεις αν και οι περισσότεροι διαφορικοί τελεστές που θα δούμε ορίζονται στις n-διαστάσεις

2 Μια ΔΕ εξίσωση που θα συναντήσουμε επανελλημένα είναι η εξίσωση του Poisson η οποία λέει: να βρεθεί η u τέτοια ώστε u f όπου f δοθείσα συνάρτηση Η ΜΔΕ του Lplce στις 3-διαστάσεις γράφεται ως: να βρεθεί u(x y z) τέτοια ώστε Πως γράφεται η εξίσωση του Poisson στη -διάσταση? u u u f ( x y z) x y z (β) Διαρμονικός τελεστής (Bihrmonic opertor) q = 4: στις -διαστάσεις Στη -διάσταση? L q x x y y (γ) Lq = Δ Ι q = : Στις -διαστάσεις η αντίστοιχη ΜΔΕ λέει: να βρεθεί η u(x y) τέτοια ώστε u u ( ) ( ) u x y f x y Στη -διάσταση τι θα ήταν η (Σ)ΔΕ? x y L I (δ) T q δοθείσες συναρτήσεις q = : Στις 3-διαστάσεις η ΜΔΕ λέει: να βρεθεί η u(x y z) τέτοια ώστε u T u u f όπου f(x y z) (x y z) και ( x y z) ( x y z) 3( x y z) δοθείσες συναρτήσεις Η ΜΔΕ γράφεται ως u / x u / x u / y 3 u / y u f u / z u / z u u u u u u 3 f ( x y z) x x y y z z x y z Τι είναι διαφορική εξίσωση στη -διάσταση? Μια βασική προυπόθεση για ΔΕ του τύπου () είναι ότι η άγνωστη συνάρτηση που ψάχνουμε να βρούμε είναι q φορές παραγωγίσιμη (μια και παραγωγίζεται q φορές στην εξ ()) Αυτού του είδους οι λύσεις καλούνται κλασσικές όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο Υπάρχουν αρκετές φορές που κλασσικές λύσεις δεν υπάρχουν και έτσι αρκούμαστε στο να βρούμε τις λεγόμενες ασθενείς λύσεις (wek solutions) οι οποίες ικανοποιούν την μεταβολική

3 3 μορφή (vritionl formultion) της ΔΕ (βλ Ενότητα 3 πιο κάτω) Πολύ χονδρικά αν θέλουμε για παράδειγμα να φτιάξουμε το πιο ανθεκτικό πόδι ενός τραπεζιού τότε η κλασσική λύση της αντίστοιχης ΔΕ όπως και η ασθενής λύση φαίνονται στο Σχήμα Σχήμα : Αριστερά: Κλασσική λύση Δεξιά: Ασθενής λύση Χωρία Η λύση της κάθε ΔΕ ορίζεται σε ένα χωρίο n όπου n η διάσταση (δηλ ο αριθμός των μεταβλητών στην άγνωστη συνάρτηση) Στη -διάσταση το χωρίο είναι διάστημα πχ Ω = [ ] ενώ στις - και 3-διαστάσεις το χωρίο είναι δισδιάστατο (επιφάνεια) και τρισδιάστατο (στερεό) αντίστοιχα (βλ Σχήμα ) Σχήμα : Παραδείγματα χωρίων στις - και 3-διαστάσεις Αυτό σημαίνει ότι οι μεταβλητές παίρνουν τιμές από αυτό το σύνολο (χωρίο) το οποίο αντιστοιχεί στο πεδίο ορισμού της άγνωστης συνάρτησης Αν μας δοθούν επίσης πληροφορίες για τις τιμές της άγνωστης συνάρτησης στο σύνορο του χωρίου τότε έχουμε ένα Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) για το οποίο έχουμε ελπίδα να υπάρχει μοναδική λύση Μόνο τότε θα μπούμε στη διαδικασία εξεύρεσης μιας προσεγγιστικής λύσης την

4 4 ακρίβεια της οποίας θα πρέπει να μπορούμε να ελέγξουμε αυτό εξαρτάται από την εφαρμογή: για παράδειγμα αν η άγνωστη ποσότητα αντιπροσωπεύει το σημείο όπου θα προσεδαφιστεί ένας κυκλώνας τότε αν έχουμε σφάλμα της τάξης του ενός χιλιομέτρου δεν θα κάνει μεγάλη διαφορά Αν όμως η ποσότητα αντιπροσωπεύει το σημείο όπου ένας νευροχειρούργος θα τρυπήσει τον εγκέφαλο κάποιου τότε χιλιοστά μπορεί να κάνουν μεγάλη διαφορά Το πόση ακρίβεια θα έχει η προσέγγιση λοιπόν είναι υψίστης σημασίας Φυσικά υπάρχουν και άλλοι σημαντικοί παράγοντες όπως για παράδειγμα ο χρόνος προσδιορισμού της προσεγγιστικής λύσης κα Για να μπορέσουμε λοιπόν να επιλέξουμε την πιο κατάλληλη μέθοδο προσέγγισης θα πρέπει να λάβουμε υπόψη όλους τους εμπλεκόμενους παράγοντες και μόνο τότε θα μπορούμε να αποφασίσουμε ποια μέθοδο να χρησιμοποιήσουμε Οι μέθοδοι για την αριθμητική επίλυση της () μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: Μέθοδοι που προσεγγίζουν τον τελεστή L q Μεταβολικές μεθόδοι Και οι δύο ξεκινούν με το διαμελισμό του χωρίου σε ένα πλέγμα (mesh) που αποτελείται από υποδιαστήματα στη -διάσταση τρίγωνα και τετράπλευρα στις -διαστάσεις και τετράεδρα πεντάεδρα και εξάεδρα στις 3-διαστάσεις (βλ Σχήμα 3) -διάσταση -διαστάσεις 3-διαστάσεις Σχήμα 3: Παραδείγματα διαμελισμού του χωρίου

5 5 Η πιο δημοφιλής μέθοδος της ης κατηγορίας είναι η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών (finite differences) στην οποία ο διαφορικός τελεστής προσεγγίζεται: για παράδειγμα αν Lq = d x ( ) τότε d u u x x u x u u x ( ) ( ) ( ) O( x) ( x) όπου Δx το μήκος πλέγματος (mesh-size) του διαστήματος ( ) Αγνοώντας τον όρο O ( ) x και αντικαθιστώντας την παράσταση που παραμένει για τη δεύτερη παράγωγο στη ΔΕ παίρνουμε ένα αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων για τις άγνωστες τιμές της προσέγγισης της u στα (λεγόμενα) κομβικά σημεία του πλέγματος Με άλλα λόγια η ΔΕ μετατράπηκε σε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων του οποίου η λύση δίνει τις προσεγγιστικές τιμές της u στα διακριτά (κομβικά) σημεία xi Οι μέθοδοι της δεύτερης κατηγορίας χρησιμοποιούν μια διαφορετική φιλοσοφία όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα μέσω ενός παραδείγματος στη -διάσταση 3 Ένα παράδειγμα στη -διάσταση Επιστρέφοντας στην ΔΕ () υποθέτουμε ότι ο διαφορικός τελεστής Lq δίδεται από δηλ έχουμε τη ΔΕ: να βρεθεί η u(x) τέτοια ώστε d () du f ( x) x I ( ) όπου η συνάρτηση f είναι δοθείσα όπως είναι επίσης και οι σταθερές < Αν απαιτήσουμε επιπλέον να ισχύει για παράδειγμα (3) u( ) u( ) τότε έχουμε ένα ΠΣΤ με μοναδική λύση αν η f είναι επαρκώς ομαλή (πχ συνεχής) Η λύση θα πρέπει να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( ) δηλ να ανήκει στο χώρο C ( ) όπως συμβολίζεται Εμείς θα ψάξουμε για μια ασθενή/μεταβολική λύση (wek/vritionl solution) η οποία ικανοποιεί μια μεταβολική εξίσωση που προκύπτει ως εξής: έστω v(x) μια επαρκώς ομαλή συνάρτηση (ελέγχου όπως καλείται) Πολλαπλασιάζουμε την () με την v(x) και ολοκληρώνουμε στο Ι (κατά μέρη):

6 6 du ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x f x v x u x v x u x v x f x v x Αν v() = v() = δηλ η v ικανοποιεί τις ίδιες ΣΣ με την u βλ εξ (3) ο πρώτος όρος πιο πάνω θα μηδενιστεί και έτσι έχουμε τη σχέση: (4) u( x) v( x) f ( x) v( x) Η συνάρτηση u που ικανοποιεί την (4) δεν είναι απαραίτητο να ανήκει στον συναρτησιακό χώρο C ( ) αλλά είναι αρκετό να ανήκει στο χώρο των συναρτήσεων των οποίων οι πρώτες παραγώγοι είναι ολοκληρώσιμες στο Ι = ( ) και των οποίων οι τιμές στα άκρα του διαστήματος Ι είναι (ο οποίος χώρος είναι μεγαλύτερος από τον C ( )) Ας τον συμβολίσουμε ως H () I και ας ονομάσουμε το αριστερό και το δεξιό μέλος της (4) ως B(u v) και F(v) αντίστοιχα Τότε έχουμε το μεταβολικό πρόβλημα: να βρεθεί η τέτοια ώστε (5) όπου B( u v) f ( v) v H ( I) (6) B( u v) u( x) v( x) F( v) f ( x) v( x) u H () I Επομένως αν η u είναι λύση της () (3) τότε είναι και λύση της (5) Η μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος (5) έπεται ως εξής: έστω u u δύο λύσεις της (5) Τότε ισχύει παίρνουμε B( u v) f ( v) v H ( I) αλλά και B( u v) f ( v) v H ( I) Αφαιρώντας B( u v) B( u v) vh ( I) B( u u v) v H ( I) v u ( ) u H I και έτσι Διαλέγουμε B( u u u u ) u( x) u( x) u( x) u( x) δηλαδή u( x) u( x) = σταθερά Από τις ΣΣ έχουμε u() u() και άρα η σταθερά είναι που δίνει u( x) u( x)

7 7 Και πάλι είναι σχεδόν αδύνατο να βρούμε τη u H I () μια και ο χώρος στον οποίο ανήκει έχει άπειρη διάσταση Μπορούμε όμως να βρούμε μια προσέγγιση οποία ικανοποιεί (7) B( u v) f ( v) vv H ( I) u V H I () η Ο V είναι ένας υπόχωρος του H () I πεπερασμένης διάστασης με dim(v) = Έστω {φ(x) φ(x) φ(x)} μια βάση για τον V Τότε μια και u V ισχύει (8) u ( x) ( x) i i i για κάποιες άγνωστες (προς το παρόν) σταθερές παίρνουμε i Αντικαθιστώντας την (8) στην (7) ii ( ) ( ) ( ) i i ( ) ( ) B x v f v v V H I B v f v v V H I i i Επιλέγουμε v( x) ( x) και έχουμε i B i f ( ) Το πιο πάνω είναι ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων όπου τα στοιχεία του πίνακα B i και τα δίδονται από i ( i ) στοιχεία του διανύσματος F i με Β και F να δίδονται από i ( i ) δίδονται από την εξ (6) Σημειώνουμε ότι τα στοιχεία των Α και δίδονται από (ορισμένα) ολοκληρώματα και ως εκ τούτου στη γενική περίπτωση υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση Η λύση του γραμμικού συστήματος μας δίνει τους συντελεστές και έτσι έχουμε την προσεγγιστική λύση από την (8) Η επιλογή της βάσης για τον V μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους (βλ Κεφ ) αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις τα ( x) είναι κατά-τμήματα πολυώνυμα κάποιου βαθμού p

8 8 Ας βρούμε τώρα μια εκτίμηση σφάλματος δηλ θέλουμε να γνωρίζουμε πόσο μεγάλη είναι η ποσότητα e ( x) u( x) u ( x) Μια και η e(x) είναι συνάρτηση θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα μέτρο/νόρμα για συναρτήσεις όπως πχ / e e( x) Έστω λοιπόν ότι οι u και u λύνουν τις (5) και (7) αντίστοιχα δηλ B( u v) f ( v) v H ( I) B( u v) f ( v) vv H ( I) Μια και V () H I η u ικανοποιεί επίσης B( u v) f ( v) v V Αφαιρώντας τις δύο παίρνουμε B( u v) B( u v) vv H ( I) Η πιο πάνω σχέση γράφεται και ως B( u u v) vv B( e v) v V e( x) v( x) vv Θα βρούμε μια εκτίμηση για την ποσότητα e Έχουμε e e ( x) e ( x) e ( x) v( x) v V Επιλέγουμε v ( u w) V με w V τυχαία συνάρτηση και έχουμε e e ( x) e ( x)( u w) ( x) e ( x) e ( x) ( u w) ( x) ( u( x) u ( x)) e ( x) u( x) w( x) e ( x) u( x) w( x) Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την ανισότητα Cuchy-Schwrz για ολοκληρώματα η οποία λέει

9 9 και έτσι παίρνουμε ή / / f ( x) g( x) f ( x) g ( x) / / e e ( x) u( x) w( x) e ( x) u( x) w( x) u u u w e uw Μια και η w είναι τυχαία συνάρτηση η πιο πάνω σχέση μας λέει ότι η u δίνει το μικρότερο σφάλμα e από όποιαδήποτε άλλη συνάρτηση w V Αν ο χώρος V αποτελείται από (κατά-τμήματα) πολυώνυμα τότε επιλέγοντας ως w το βαθμού p (κατά-τμήματα) πολυώνυμο παρεμβολής της u έχουμε uu ( ) Gp όπου G ( ) η παράσταση για το σφάλμα παρεμβολής (γνωστή από τη θεωρία παρεμβολής) p που ικανοποιεί Gp( ) όταν Ν Με άλλα λόγια έχουμε σύγκλιση της παραγώγου της προσεγγιστικής λύσης στην παράγωγο της ακριβούς λύσης Στο Κεφάλαιο θα δούμε πώς να βρούμε μια εκτίμηση για το σφάλμα μεταξύ της u και της u όπως επίσης και συγκεκριμένες επιλογές για τις συναρτήσεις βάσης