ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΙV. ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι Μονοβασίλης Θεόδωρος

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι Μονοβασίλης Θεόδωρος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΙV Συναρτήσεις στο Mathematica Στο Mathematica υπάρχουν ορισμένες πολλές βασικές συναρτήσεις όπως ημίτονο, συνημίτονο, εκθετική, λογαριθμική κ.α. Στη συνέχεια ζητάμε το ημίτονο στις θέσεις 0,, /2 Η εκθετική συνάρτηση με εκθέτη αρνητικό αριθμό, το 0, το 1, το 3 Η λογαριθμική συνάρτηση που είναι η αντίστροφη της εκθετικής

2 Ορισμός συναρτήσεων Μπορούμε επίσης να ορίσουμε μια συνάρτηση εμείς για παράδειγμα να ορίσουμε τη 2 συνάρτηση f ( x) x 2x γράφουμε πρέπει να προσέξουμε δύο σημεία: μετά το όρισμα χρησιμοποιούμε την κάτω παύλα _ όταν ορίζουμε τη συνάρτηση εδώ γράψαμε x_ αντί του = χρησιμοποιούμε την εντολή ανάθεσης := Μπορούμε να εργαστούμε κανονικά με τη συνάρτηση όπως να βρούμε την τιμή της για κάποιο x Αν ξεχάσουμε πως είχαμε ορίσει μια συνάρτηση μπορούμε να ρωτήσουμε το Mathematica

3 μπορούμε να σταματήσουμε να αντιστοιχούμε στην f τη συνάρτηση αυτή γράφοντας Παραγώγιση συναρτήσεων Μπορούμε να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης π.χ. Να ορίσουμε μια συνάρτηση και στη συνέχεια να βρούμε την παράγωγο της, όπως αλλά και τη δεύτερη παράγωγο Εφαρμογή. Να ορίσετε τις συναρτήσεις 2 x 5x x f( x) x e e 4e gx x x x x ( ) x 2x 1 hx ( ) x 3 και να βρείτε τις παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης.

4 Γραφικές Παραστάσεις Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης χρησιμοποιούμε την εντολή Plot[ συνάρτηση, {μεταβλητή, κάτω άκρο *, άνω άκρο * } ] *κάτω και άνω άκρο διαστήματος στο οποίο ζητάμε τη γραφική παράσταση.

5 Αν θέλουμε να παραστήσουμε γραφικά δύο ή περισσότερες συναρτήσεις στο ίδιο σχήμα θα πρέπει να ομαδοποιήσουμε τις συναρτήσεις μέσα σε { } Plot[ {συνάρτηση_1, συνάρτηση_2, }, {μεταβλητή, κάτω άκρο, άνω άκρο} ] Να παραστήσουμε στην ίδια γραφική παράσταση τις συναρτήσεις x e και x έχουμε τη γραφική παράσταση στο ίδιο πεδίο ορισμού και για τις δύο συναρτήσεις.

6 Αυτό δεν είναι πάντα δυνατό όπως για παράδειγμα θέλουμε να παραστήσουμε x γραφικά τις συναρτήσεις e και ln( x) στο ίδιο σχήμα για να παρατηρήσουμε ότι οι συναρτήσεις σαν αντίστροφες είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο y x. Η συνάρτηση ln( x ) δεν ορίζεται για μη θετικά x. Στην περίπτωση αυτή κάνουμε δύο ή περισσότερες γραφικές παραστάσεις τις οποίες ονομάζουμε για να μπορούμε μετά να αναφερθούμε σε αυτές (στο παράδειγμα μας p1, p2 και p3). Στη συνέχεια τις τοποθετούμε στο ίδιο σχήμα με την εντολή Show.

7

8 Παράδειγμα 1. Να μελετήσουμε την f x x x 3 ( ) 3 και να την παραστήσουμε γραφικά μαζί με την παράγωγο της. Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο f x x x 2 2 ( ) 3 3 3( 1) μηδενίζεται στα x 1 και x 1. Τα σημεία αυτά είναι κρίσιμα σημεία, δηλαδή πιθανά ακρότατα της f ( x ). Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο f ( x) 6x άρα f ( 1) 6<0 συνεπώς το -1 είναι τοπικό μέγιστο της f ( x ), και f (1) 6 0 συνεπώς το 1 είναι τοπικό ελάχιστο της f ( x ).

9 Στο διάστημα [-2,-1] η f ( x ) είναι αύξουσα και η παράγωγος της είναι θετική, στο διάστημα [-1,1] η f ( x ) είναι φθίνουσα και η παράγωγος της είναι αρνητική, τέλος στο διάστημα [1,2] η f ( x ) είναι αύξουσα και η παράγωγος της αρνητική. Επίσης φαίνεται το τοπικό μέγιστο της f ( x ) στη θέση -1 και το τοπικό ελάχιστο στη θέση 1, στις θέσεις αυτές η παράγωγος είναι ίση με το μηδέν (τέμνει τον οριζόντιο άξονα). Παράδειγμα 2. Να μελετήσουμε τη συνάρτηση 5 3 f ( x) 3x 40x 240x Η παράγωγος της είναι f x x x 4 2 ( ) και μηδενίζεται για x 2 και x 2. Τα σημεία αυτά είναι λοιπόν κρίσιμα σημεία, δηλαδή πιθανά ακρότατα της f ( x ). Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι: 3 ( ) x f x x και για τα κρίσιμα σημεία η τιμές της είναι f ( 2) 0 και f (2) 0 Η πρώτη παράγωγος της f ( x) δεν αλλάζει πρόσημο στα σημεία αυτά άρα δεν είναι τοπικά ακρότατα της f ( x ). Παρατηρούμε ότι η δεύτερη παράγωγος παραμένει πάντα μη αρνητική (βλ. σχήμα) άρα η συνάρτηση είναι αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της. Πραγματικά

10 f x x x x x x ( ) ( 8 16) 15( 4) 0 Εφαρμογές. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ( x) 30x 35x 336x 105x 910x 105x 1260x και να παρασταθούν γραφικά η f ( x ) και η f ( x). (Υπόδειξη. βρείτε την παράγωγο με το Mathematica και χρησιμοποιήστε τη Solve για να βρείτε τα σημεία μηδενισμού της παραγώγου.)