= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

Transcript

1 Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε στον χωρισμό των μεταβλητών: u t = u xx UT = U T T T = U U = λ Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε ενώ για τη χωρική T + λt = T (t) =e λt U + λu = U = A kx + B cos kx, όπου λ = k 2 Από τις συνοριακές συνθήκές, έχουμε και U() = B =, U (L) = Ak cos kl = kl = nπ+ π 2 δηλαδή τελικά και k = (2n +)π 2L U n = n nπx 2L, T n = e n2 π 2 t/4l 2 u(x, t) = c n nπx 2L e n2 π 2 t/4l 2. Από τις αρχικές συνθήκες, u(x, ) = f(x) =έχουμε = nπ 2L, όπου n περιττό οπότε τελικά c n = 2 L L f(x) nπx 2L dx = 2 L u(x, t) = 4 π L nπx 2L dx = 4 nπ nπx π 2 t/4l 2 n 2L e n2.

2 2 Prìlhm 3 Το πρόβλημα έχει ήδη λυθεί (βλ. σελ. 23). Με την αντικατάσταση t σt, έχουμε u(x, t) = 4T π 2 n e n π 2 σt/l 2 nπx L. Για μεγάλους χρόνους, όμως, επιζεί μόνο ο πρώτος όρος (n = ), οπότε αν θέσουμε γ = π 2 σ/l 2 5,7 3 s, ο ζητούμενος χρόνος είναι αυτός που ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση (στο μέσον της πλάκας, δηλ. για x = L/2, ο όρος (πx/l) ισούται βέβαια με ): u(x, t) = 4T π e γt = e γt = π 6 γt =ln 6 π t 287 s ενώ από κει και πέρα η κατανομή των θερμοκρασιών θα έχει τη μορφή u(x, t) = 6 π e t/76 πx 2 όπου ο χρόνος εκφράζεται σε s και η απόσταση σε cm. Prìlhm Το χωρικό τμήμα της λύσης είναι κατά τα γνωστά X = kx + cos kx, οπότε εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες έχουμε οπότε τελικά X() = =, X(π) = k = n, n =, 2,... όπου u(x, t) = c n nxe n2 t n= c n = π 3 x nx dx π 2 nx dx Το ολοκλήρωμα στον παρονομαστή ισούται με π/2, οπότε τελικά έχουμε

3 3 c n = 2 π π 2 3π π 8, n = 3 x nx dx = 2 ( π ), n =3 π 8, n ή 3 και η λύση μπορεί να γραφτεί στην κλειστή μορφή u(x, t) = 3 4 e t x 4 e 9t 3x Prìlhm 2 Οι δύο εξισώσεις ιδιοτιμών που προκύπτουν κατά τα γνωστά εκφράζοντας τη λύση ως u(x, y) =X(x)Y (y) είναι X + λx =, Y λy = Η πρώτη, σε συνδυασμό με τις συνοριακές συνθήκες X() = X(L) =έχει λύση X n = nπx L, όπου λ = n2 π 2, n =, 2,... L2 ενώ η δεύτερη έχει λύση Y = Ae ky + Be ky και για να έχουμε πεπερασμένη λύση στο άπειρο, Y ( ) =,θαπρέπειa =, οπότε τελικά u(x, y) = n= Η άλλη συνοριακή συνθήκη δίνει c n e nπy/l nπx L. όπου u(x, ) = n= c n nπx L = c n = 2 L L nπx L Αρα, η πλήρης λύση είναι dx = 2 L ( ( ) n ) 2L 2 = nπ L, n περιττό L nπ, n άρτιο u(x, y) = 4 π n e nπy/l nπx L.

4 4 και το φυσικό πρόβλημα είναι απειρομήκης πυκνωτής με «παραλληλόγραμμη» η- μιάπειρη διατομή. Prìlhm 5 Η γενική λύση της εξίσωσης Lplce σε πολικές συντεταγμένες είναι u(ρ, θ) = ρ n ( n cos nθ + n nθ) n= ενώ αν επιβάλουμε τη συνθήκη Θ() = Θ(π) =θα πάρουμε n =, δηλ. u(ρ, θ) = c n ρ n nθ Η συνοριακή συνθήκη στο ρ = είναι n= με δηλαδή c n n = 2 π u(, θ) = c n n nθ = π n= 2 2 nθ dθ = π n, n περιττό, n άρτιο 4 c n = nπ n, n περιττό, n άρτιο και τελικά u(ρ, θ) = 4 π ( ρ ) n nθ. n Prìlhm 6 Εφόσον έχουμε στάσιμη θερμοκρασιακή κατανομή, δεν υπάρχει ροή θερμότητας, και επομένως T =, οπότε η θερμοκρασία είναι σταθερή παντού και ίση με

5 5 T. Prìlhm 8 Λόγω της συνοριακής συνθήκης Θ() = Θ(π) =αποκλείονται τα συνημίτονα, οπότε οι λύσεις είναι οι J n (kρ)nθ, χωρίς τη λύση n =,πουείναιεκ ταυτότητος μηδέν. Από τη συνοριακή συνθήκη U(, θ) =έχουμε ότι J n (k) = και επομένως όπου k = x nm k = x nm ω nm = ck = x nm c x nm = x,x 2,x 2,...=3,83, 5,3, 7,,... Η γραφική παράσταση είναι η ακόλουθη: N sumplhrwjeð h grfik pr stsh Prìlhm 9 Εχουμε κατά τα γνωστά δηλ. U nm (x, y) = nπx nπy k x = nπ, Για τις συχνότητες, έχουμε k y = mπ, όπου n, m =, 2,... ( n ) 2 ( m ) 2 =/2 (n ) 2 ( m ) 2 ω nm = c kx 2 + ky 2 = πc + = πc +4 = πc n2 +4m 2 = ω n2 +4m 2 Οι τέσσερεις πρώτες ιδιοσυχνότητες είναι ω = 5ω, ω 2 = 8ω, ω 3 = 3ω, ω 2 = 7ω, και τα αντίστοιχα πλάτη ταλάντωσης είναι

6 6 U (x, y) = πx U 2 (x, y) = 2πx U 3 (x, y) = 3πx U 2 (x, y) = πx πy πy πy 2πy Η γραφική παράσταση είναι η ακόλουθη: N sumplhrwjeð h grfik pr stsh Prìlhm 2 Οσον αφορά την ακτινική εξίσωση ρ 2 R + ρr n 2 R =, μπορούμε να κρατήσουμε και τις λύσεις που απειρίζονται στην αρχή, οπότε έχουμε R n (ρ) = n ρ n + n ρ n, (n ), και R (ρ) = + ln ρ, (n =) Στη συνέχεια, θα μπορούσαμε να επιβάλουμε την Ο.Σ.Σ. R n () =για να προσδιορίσουμε τη σχέση μεταξύ n και n. Αλλά χάρις στην περιστροφική συμμετρία του προβλήματος, η λύση είναι ανεξάρτητη του θ, άρα όλοι οι όροι U n θα απουσιάζουν εκτός από τον U. Η συνοριακή συνθήκη για τον όρο R δίνει και επομένως R () = + ln = = ln R (ρ) = (ln ρ ln ) = ln(ρ/) Εάν επιβάλουμε στη λύση u(ρ) =c ln(ρ/) τη Μ.Ο.Σ.Σ., έχουμε και τελικά u() =c ln(/) = c = ln(/) u(ρ) = ln(ρ/) ln(/). Οσον αφορά την τριδιάστατη περίπτωση, έχουμε αντίστοιχα R (r) = + r

7 7 και από την Ο.Σ.Σ. R () = + / = = / R (r) = ( r ). Επιβάλλοντας στη λύση u(r) =c(/r /) τη Μ.Ο.Σ.Σ., έχουμε και τελικά u() =c( )= c = u(r) = ( r )= = ( ). r Prìlhm 23 Με στάθμη αναφοράς τους 3 C (πράγμα που σημαίνει ότι στα αποτελέσματα θα πρέπει να προστεθεί το 3), το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εξίσωση Lplce της Ενότητας 3.8, σελ. 62. Το επάνω ημισφαίριο έχει (σε σχέση με τη στάθμη αναφοράς) θερμοκρασία T /2=(αντίστοιχη του δυναμικού V /2), και το κάτω έχει θερμοκρασία T /2= (αντίστοιχη του δυναμικού V /2). Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κατ ευθείαν τον τύπο (2) της σελ. 7 με V = T =2: u(r, θ) = ( 3 r P (cos θ) 7 ( r ) 3 P3 (cos θ)+ ( r ) 5 P5 (cos θ)+...) 4 8 α) Προφανώς u(,θ)=3,ενώ ( 3 u(/2, ) = ) ,6 με δεδομένο ότι για όλα τα πολυώνυμα Legendre περιττής τάξης έχουμε P n (cos ) = P n () =. β) u(r, π/2) = 3, διότιόλαταπολυώνυμαlegendre περιττής τάξης είναι περιττά, και επομένως P n (cos π/2) = P n () =. Prìlhm 25 Αν θέσουμε ως στάθμη αναφοράς τη θερμοκρασία T, η βάση βρίσκεται σε θερμοκρασία και το ημισφαιρικό τμήμα σε θερμοκρασία T 2 T. Αν επιβάλουμε

8 8 στη γωνιακή συνάρτηση Θ(ξ) την Ο.Σ.Σ. Θ() =, επιζούν μόνο τα περιττής τάξης πολυώνυμα Legendre, οπότε η γενική λύση είναι u(r, θ) = c n r n P n (cos θ) Από τη Μ.Ο.Σ.Σ. u(, θ) =T 2 T = c n n P n (ξ) σε συνδυασμό με τη σχέση έχουμε ότι P 2 n(ξ) dξ = 2n + c n = 2n + n (T 2 T ) P n (ξ) dξ = 2n + 2 n 2(T 2 T ) P n (ξ) dξ. Η έκφραση αυτή συμπίπτει με την (9), σελ. 69, για V =2(T 2 T ),οπότε τελικά από τη σχέση (2), σελ. 7 έχουμε u(r, θ) =T + T 2 T 2 ( 3 r P (cos θ) 7 ( r ) 3 P3 (cos θ)+ ( r ) 5 P5 (cos θ)+...) 4 8 Prìlhm 33 Η λύση της μορφής u(x, t) = xt (t) + c n (t)nπx ικανοποιεί τις Σ.Σ. u(,t)=, u(,t)=t (t) και την αρχική συνθήκη u(x, ) = όταν T () = c n () =. Αν απαιτήσουμε να ικανοποιεί και την εξίσωση u t = u xx,έχουμε xt + ċ n (t)nπx = c n (t)( n 2 π 2 )nπx (ċ n + n 2 π 2 c n )nπx = xt = Td n nπx όπου d n =2 ( x)nπx dx = 2( )n nπ Επομένως, η προς επίλυση εξίσωση είναι ċ n + n 2 π 2 c n = Td n ή ċ(t)+kc(t) = T (t)d = f(t)

9 όπου k = n 2 π 2 και f(t) = T (t)d. ΕφαρμόζονταςμετασχηματισμόLplce, έχουμε sc(s)+kc(s) =F (s) C(s) = F (s) s + k και με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce 9 c(t) = t οπότε τελικά e k(t t ) f(t ) dt c n (t) = 2( )n nπ u(x, t) =xt (t)+ 2 π ( ) n nπx n n= t t e n2 π 2 (t t ) T (t ) dt e n2 π 2 (t t ) T (t ) dt