Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων.

Transcript

1 Επαναηπτικό πρόβημα στη συμβοή κυμάτων. Δύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρμονικά κύματα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Η εξίσωση της απομάκρυνσης των πηγών σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από τη σχέση y=4ημ2πt (S.I.). 1) Σε ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού που απέχει απόσταση r 1 =4m από την πηγή Π 1 και απόσταση r 2 από την πηγή Π 2 με r 2 > r 1, τα δύο κύματα φτάνουν με χρονική καθυστέρηση Δt=2s. α) Να διερευνήσετε αν στο σημείο Σ έχουμε ενισχυτική ή αποσβεστική συμβοή. β) Να βρεθεί η απόσταση r 2. γ) Να βρεθεί η υπερβοή ενίσχυσης ή απόσβεσης στην οποία βρίσκεται το σημείο Σ. δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο για t. ε) Να υποογίσετε την ταχύτητα ταάντωσης του Σ τη χρονική στιγμή t=45s. ζ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το υικό σημείο Σ σε συνάρτηση με το χρόνο για t αν θεωρήσουμε ότι η στοιχειώδης μάζα του υικού σημείου Σ είναι m=51-3 Kg. η) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του πάτους ταάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο για t. 2) Για ένα σημείο Ρ που βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π 2 και απέχει x 1 και x 2 (x 1 >x 2 ) από τις πηγές Π 1 και Π 2 αντίστοιχα, η γραφική παράσταση της ταχύτητας ταάντωσής του σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται στο παρακάτω σχήμα: υ (m/s) 8π -8π α) Να διερευνήσετε αν στο σημείο Ρ έχουμε ενισχυτική ή αποσβεστική συμβοή. β) Να βρεθούν οι αποστάσεις x 1 και x 2. Σε ποια υπερβοή ενίσχυσης ή απόσβεσης βρίσκεται το σημείο Ρ; γ) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης του σημείου Ρ σε συνάρτηση με το χρόνο, για κάθε κύμα ξεχωριστά. Ποια αρχή επιβεβαιώνεται από τις γραφικές παραστάσεις; 3) Να βρείτε ποια σημεία μεταξύ των Π 1 και Π 2 τααντώνονται με ενέργεια ταάντωσης ίση με την ενέργεια ταάντωσης του σημείου Σ και ποια σημεία μεταξύ των Π 1 και Π 2 τααντώνονται με ενέργεια 1

2 ταάντωσης ίση με την ενέργεια ταάντωσης του σημείου Ρ αν θεωρήσουμε ότι όα τα υικά σημεία μεταξύ των πηγών έχουν την ίδια στοιχειώδη μάζα με το Σ. 4) Να σχεδιάσετε τις υπερβοές ενίσχυσης και απόσβεσης μεταξύ των πηγών Π 1 και Π 2. 5) Να βρείτε τη διαφορά των αποστάσεων από τις δύο πηγές για ένα σημείο Λ που ανήκει στην 2 η υπερβοή αποσβεστικής συμβοής δεξιά της μεσοκαθέτου του Π 1 Π 2. 6) Ένα σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού που ανήκει στην 5 η υπερβοή ενισχυτικής συμβοής δεξιά της υπερβοής του Σ, μετά τη συμβοή των δύο κυμάτων σε αυτό τααντώνεται με εξίσωση y=8ημ(2πt- 5π) (S.I.). Να βρείτε τις αποστάσεις d 1 και d 2 του σημείου Κ από τις πηγές Π 1 και Π 2. Δίνεται: π 2 =1. Απάντηση: 1) Από την εξίσωση ταάντωσης των πηγών y=aημωt και τη δοθείσα έχω: Α=4m, ω=2π rad/s οπότε Τ=2π/ω T=1s, f=1 hz και υ=f ή =υ/f ή =2/1 ή =2m. r r α) Μετά τη συμβοή των δύο κυμάτων στο Σ αυτό τααντώνεται με πάτος Α Σ = 2Α συν2π υt υt Α Σ = 2Α συν2π υ Α Σ = 2Α συνπ ( t1 t2) Α Σ = 2Α συνπfδt Α Σ = 2Α συνπ12 Α Σ = 2Α συν2π Α Σ = 2Α άρα στο Σ έχουμε ενισχυτική συμβοή. r 4 β) Το κύμα της πηγής Π 1 φτάνει στο Σ την t 1 = 1 υ = 2 t 1 = 2s ενώ το κύμα της Π 2 φτάνει στο Σ την t 2 =t 1 +Δt=2+2 t 2 = 4s αφού r 2 > r 1. Άρα r 2 =υt 2 r 2 =24 r 2 = 8m. γ) Αφού στο Σ έχουμε ενισχυτική συμβοή ισχύει r 1 -r 2 =N 4-8=Ν2-4 = Ν2 Ν = -2. Δηαδή το Σ ανήκει στη δεύτερη υπερβοή ενίσχυσης αριστερά της μεσοκαθέτου του Π 1 Π 2. δ) Για t < 2 s y Σ = (1) αφού κανένα κύμα δεν έχει φτάσει στο Σ. t r1 Για 2 t < 4 s έχω: y Σ = Αημ2π( ) y Σ = 4ημ2π(1t 2) (S.I.) (2) αφού το Σ T τααντώνεται όγω του κύματος της Π 1. r r t r Για t 4 s έχω: y Σ = 2Α συν2π 1+ r2 ημ2π( ) y Σ = 8ημ2π(1t 3) (S.I.) T (3) αφού στο Σ τώρα έχουν φτάσει και τα δύο κύματα. Οπότε η γραφική παράσταση της y Σ = f(t) είναι η παρακάτω: y Σ t = 45 s

3 ε) 1 ος Τρόπος: Τη χρονική στιγμή t = 45 s στο Σ έχουμε συμβοή, άρα τααντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση (3) οπότε υ Σ =ω(+α Σ)συν2π(1t 3) και αντικαθιστώντας έχουμε : υ Σ = 2π8συν(2π45 6π) υ Σ = 16πσυν(9π 6π) υ Σ = 16πσυν(3π) υ Σ = -16π m/s. 2 ος Τρόπος: Τη χρονική στιγμή t = 45 s το σημείο Σ βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα αρνητικά, όπως προκύπτει από την προηγούμενη γραφική παράσταση άρα υ Σ = - υ max(σ) = - ωα Σ = - 2π8 υ Σ = -16π m/s. ζ) Για τη δύναμη επαναφοράς ισχύει: F επαν = -mω 2 y Σ F επαν = π 2 y Σ F επαν = y Σ έχω: F επαν = -2y Σ οπότε από τις σχέσεις (1), (2), (3) του ερωτήματος δ Για t < 2 s F επαν = αφού κανένα κύμα δεν έχει φτάσει στο Σ. Για 2 t < 4 s F επαν = - 8ημ2π(1t 2) (S.I.) Για t 4 s στο παρακάτω σχήμα. F επαν = - 16ημ2π(1t 3) (S.I.) και η αντίστοιχη γραφική παράσταση φαίνεται F επαν (Ν) η) Για το πάτος ταάντωσης του Σ έχω: Για t < 2 s Α Σ = Για 2 t < 4 s Α Σ = 4m Για t 4 s Α Σ = 8m A ) α) Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούμε ότι μετά τη χρονική στιγμή t 2 = 375 s το σημείο Ρ δεν τααντώνεται, άρα το σημείο Ρ είναι σημείο αποσβεστικής συμβοής. β) Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούμε ότι το κύμα της πιο κοντινής πηγής Π 2 (x 2 <x 1 ) φτάνει στο Ρ την t 1 = 25 s άρα x 2 = υt 1 ή x 2 = 225 ή x 2 = 5m. 3

4 Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούμε ότι το κύμα της πιο μακρινής πηγής Π 1 (x 2 <x 1 ) φτάνει στο Ρ την t 2 = 375 s άρα x 1 = υt 2 ή x 1 = 2375 ή x 1 = 7,5m. Αφού το Ρ είναι σημείο αποσβεστικής συμβοής έχω: x 1 x 2 = (2Ν+1)/2 άρα 7,5-5 = (2Ν+1)1 άρα 7 = 2Ν+1 Ν = 3, άρα το σημείο Ρ είναι σημείο της τέταρτης!!! υπερβοής αποσβεστικής συμβοής δεξιά της μεσοκαθέτου του Π 1 Π 2. (Ν= 1, 2, 3). γ) Το κύμα της Π 2 για το Ρ δίνει y 2 =Αημ2π(t/T- x 2 /) άρα y 2 =4ημ2π(1t- 5/2) άρα y 2 =4ημ(2πt- 5π) για t 25 s. Το κύμα της Π 1 για το Ρ δίνει y 1 =Αημ2π(t/T- x 1 /) άρα y 1 =4ημ2π(1t- 7,5/2) άρα y 1 =4ημ(2πt- 7,5π) για t 375 s. Με τις εξής γραφικές παραστάσεις: y 1 375s y s (Παρατηρείστε ότι σε χρόνο Δt = = 35s = 3+5=3T+T/2 το σημείο Ρ έχει εκτεέσει 3,5 τααντώσεις). Παρατηρούμε ότι επιβεβαιώνεται η αρχή της επαηίας. Ειδικά μετά την t = 375s όταν όγου του κύματος της Π 1 το σημείο Ρ είναι στη θέση Α, όγω του κύματος της Π 2 είναι στη θέση +Α οπότε μετά την t = 375s, y 1 = -y 2 άρα y 1 +y 2 =. Άρα αποσβεστική συμβοή. 3) Ίδια ενέργεια ταάντωσης με το Σ έχουν τα σημεία του Π 1 Π 2 που τααντώνονται με πάτος 2Α αφού έχουν την ίδια μάζα με το Σ. Δηαδή ζητούνται τα σημεία ενισχυτικής συμβοής. Για τα σημεία ενισχυτικής συμβοής του Π 1 Π 2 έχω: r 1 r 2 = Ν r 1 + r 2 = d 2r 1 = N + d 2r 1 = N2+8 r 1 = N+4. Όμως <Ν+4<8-4 < Ν < 4 άρα Ν= -3, -2, -1, 1, 2, 3 Δηαδή έχουμε 7 σημεία ενισχυτικής συμβοής μεταξύ των Π 1 Π 2 στις θέσεις: Για Ν=-3 r 1 =1m, για Ν=-2 r 1 =2m, για Ν=-1 r 1 =3m, για Ν= r 1 =4m, για Ν=1 r 1 =5m, για Ν=2 r 1 =6m, για Ν=3 r 1 =7m. 4

5 Ίδια ενέργεια ταάντωσης με το Ρ έχουν τα σημεία του Π 1 Π 2 που τααντώνονται με πάτος αφού έχουν την ίδια μάζα με το Ρ. Για τα σημεία αποσβεστικής συμβοής του Π 1 Π 2 έχω: r 1 r 2 = (2Ν+1)/2 άρα 2r 1 = (2N+1)/2 + d r 1 = (2Ν+1)1/2+4. r 1 + r 2 = d Όμως <(2Ν+1)1/2+4<8-4<(2Ν+1)1/2< 4-8 <2Ν+1< 8-9 <2Ν< 7-4,5 < Ν < 3,5 άρα Ν= -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3,. Δηαδή έχουμε 8 σημεία αποσβεστικής συμβοής (μαζί με το Ρ) μεταξύ των Π 1 Π 2 στις θέσεις: Για Ν=-4 r 1 =5m, για Ν=-3 r 1 =1,5m, για Ν=-2 r 1 =2,5m, για Ν=-1 r 1 =3,5m, για Ν= r 1 =4,5m, για Ν=1 r 1 =5,5m, για Ν=2 r 1 =6,5m και για Ν=3 r 1 =7,5m (Σημείο Ρ). Άρα άα 7 σημεία μεταξύ των Π 1 Π 2 έχουν ενέργεια ταάντωσης ίση με την ενέργεια ταάντωσης του σημείου Ρ. 4) Επομένως οι αντίστοιχες υπερβοές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: Ν=-3 Ν=-2 Ν=-1 Ν= Ν=1 Ν=2 Ν=3 Π 1 Π 2 Ρ απόσβεση και ενίσχυση Σ Ν= -4 Ν = -3 Ν= -2 Ν= -1 Ν= Ν=1 Ν=2 Ν=3 5) Το σημείο Λ που ανήκει στη 2 η υπερβοή αποσβεστικής συμβοής αντιστοιχεί στο Ν=1 άρα x 1 - x 2 = (2N+1)/2 x 1 - x 2 = (2+1)2/2 x 1 - x 2 = 3m. 6) Βρήκαμε στο ερώτημα 1γ ότι το σημείο Σ ανήκει στην υπερβοή ενισχυτικής συμβοής με Ν= -2 επομένως το σημείο Κ αφού είναι στην 5 η υπερβοή δεξιά του Σ θα έχει Ν=3 άρα: d 1 - d 2 = 3 d 1 - d 2 = 6m (4). Από την εκφώνηση για την ταάντωση του Κ έχω: y Κ = 8ημ(2πt-5π) (5) (S.I.) d d όμως y Κ = 2Ασυνπ ημ2π(1t y Κ = -8ημ (2πt- 2π ) ή y Κ = 2Ασυν(3π)ημ2π(1t- d +d ) ή y Κ = 8ημ(2πt- π +π) (6) ) ή 5

6 οπότε συγκρίνοντας τις δύο σχέσεις (5) και (6) έχω: -π d + d +π = -5π π d 1 + d 2 = 12 m (7). Λύνοντας το σύστημα των (4) και (7) έχω d 1 = 9m και d 2 = 3m. = 5π+π Επιμέεια Μαρούσης Ευάγγεος 6