α) A.A.T. K=D 2 d x d x - V=- =-D x =F. d dt ( L =-D x. x )- L dt dt d x =0 d y=e ρx (2).

Transcript

1 1 15. Ελεύθερη (Α.Α.T) Φθίνουσα ταλάντση α)..t. Σ το σώµα του σχήµατος και σε µια τυχαία θέση, ασκείται µια συνολική δύναµη (δύναµη επαναφοράς), της µορφής ΣF=-D x. Τότε από το ο Νόµο του Newton d x προκύπτει: ΣF=m α -D x=m dt d x m +D x=. dt Lagrange και α.α.τ K=D m ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην παραπάν διαφορική εξίσση µπορούµε να καταλήξουµε και µέσ τν ενεργειών. Ξεκινάµε να βρούµε τους βαθµούς ελευθερίας, εδώ έχουµε 1 β.ε. ιαλέγουµε ς γενικευµένη συντεταγµένη q i =x, και στη συνέχεια κατασκευάζουµε τη συνάρτηση Lagrange για την οποία ισχύει L=T-V µε T= 1 m ẋ. Ακόµη F=- V, όπου F=F επ = -D x και V= 1 D x οπότε πράγµατι V - V=- =-D x =F. x Άρα για συνάρτηση Lagrange έχουµε L=T-V L= 1 m ẋ - 1 D x, και για την εξίσση Lagrange προκύπτει d dt ( L x )- L L L =, όπου =m ẋ και x x x =-D x. d Τελικά dt ( L x )- L x = d d x ( m ẋ )+D x = m ẋ +D x = m +D x= όπς dt dt ακριβώς τη βρίσκουµε και µε τη Νευτώνεια µηχανική. Αυτή είναι µια γραµµική οµογενής διαφορική εξίσση ης τάξης της γενικής µορφής y +β 1 y +β y=, (1) όπου β 1,β είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. Εκτός από τη µηδενική λύση y= που η (1) έχει πάντοτε, εύκολα προβλέπει κανείς ότι η (1) πρέπει να έχει µια λύση της µορφής y=e ρx (). Πράγµατι θέτοντας την () στην (1) προκύπτει: ρ e ρx +β 1 ρe ρx +β e ρx = e ρx (ρ +β 1 ρ+β )= και επειδή e ρx η () επαληθεύει την (1) αν το ρ είναι (πραγµατική ή µιγαδική) ρίζα της αλγεβρικής εξίσσης ου βαθµού

2 ρ +β 1 ρ+β =. Το πολυώνυµο αυτό (γενικά ν βαθµού όση και η τάξη της.ε) ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο της Γ..Ε (1). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν =,τότε έχουµε µια διπλή ρίζα οπότε αποδεικνύεται ότι λύση της οµογενούς εξίσσης (1) είναι και η y=(α+βx) e ρx (3) όπου α και β τυχόντες πραγµατικοί αριθµοί. Πράγµατι για y=(α+βx) e ρx προκύπτει, y +β 1 y +β y=e ρx [βρ+ρ (α+βx)+β 1 β+β 1 ρ(α+βx)+β α+β βx]= = e ρx (βρ+αρ +βρ x+β 1 β+β 1 ρα+ β 1 βρx+β α+β βx)= = e ρx [β(ρ+ β 1 ) +α(ρ +β 1 ρ+ β )+βx(ρ +β 1 ρ+ β )]. Αν για το πολυώνυµο ρ +β 1 ρ+β =, είναι =, η διπλή ρίζα είναι η ρ=-β 1 /. Τότε ισχύει και ρ+ β 1 =. ηλαδή το ρ=-β 1 /, είναι ρίζα του ρ +β 1 ρ+β = αλλά και της ποσότητας ρ+ β 1. Οπότε η ποσότητα µέσα στην αγκύλη είναι µηδέν και άρα πράγµατι η y=(α+βx) e ρx είναι ρίζα της (1). d x Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της m +D x= (3) είναι το dt mρ +D= ρ = - D m D ρ= ± i =±i, m άρα έχει δυο ρίζες συζυγείς µιγαδικές ( <). Τότε οι x(t)= e ρt είναι µερικές λύσεις της (3) και έχουµε x 1 =e it και x =e -it (4). Οι λύσεις αυτές είναι γραµµικά ανεξάρτητες οπότε η γενική λύση της (3) είναι η x=c 1 e it +c e -it, όπου c 1 και c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Το ότι οι λύσεις (4) είναι γραµµικά ανεξάρτητες προκύπτει από την παρατήρηση ότι για αυτές η ορίζουσα του Wronski W(t) βρίσκεται ότι είναι διάφορη του µηδενός (W(t) ). Γνρίζουµε ότι το σύνολο τν λύσεν της γραµµικής οµογενής διαφορικής εξίσσης ν ης τάξης (y (ν) +β ν-1 y (ν-1) +. + β 1 y +β y=) αποτελεί διανυσµατικό χώρο τάξες ν. Έστ ν= και έστ ότι οι φ 1 (x), φ (x) αποτελούν µια βάση στο χώρο τν λύσεν της οµογενούς εξίσσης. ϕ ( x) ϕ ( x) Τότε W(x)= ορίζουσα Wronski= 1 d x. Έτσι για τη.ε, m +D x= (3) που ϕ ( x) ϕ ( x) dt 1 εξετάζουµε µε λύσεις τις x 1 =e it και x =e -it έχουµε: it it e e W(t)= ορίζουσα Wronski= =-i it it ie - ie Από Euler, ισχύει:

3 3 e it = συνt + iηµt και e -it = συνt - iηµt, οπότε έχουµε: x=c 1 e it +c e -it x=c 1 (συνt+iηµt)+c (συνt-iηµt) x=(c 1 +c ) συνt+i (c 1 -c ) ηµt. Αποδεικνύεται ότι τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος της παραπάν µιγαδικής λύσεις αποτελούν πραγµατικές λύσεις και µάλιστα ανεξάρτητες µεταξύ τους της εξίσσης (3). Έχουµε x =-(c 1 +c )ηµt+i(c 1 -c )συνt. Για t= έχουµε x()=c 1 +c και x ()=i(c 1 -c ) c 1 -c = x (). i Άρα x=(c 1 +c ) συνt+i (c 1 -c ) ηµt x=x() συνt+ x () ηµt. ή x=c 1 συνt+c ηµt όπου οι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές C 1, C καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Αν θερήσουµε ότι x()=x και x ()=υ()=υ, τότε προκύπτει η γενική λύση : υ x=x συνt+ ηµt. Για αρχικές συνθήκες µε υ =, (x ) η παραπάν γενική αυτή λύση γίνεται: x=x συνt ή x=α συνt µε Α= x. Ακόµη αν αρχικά x =, ((υ ))τότε η γενική λύση µας δίνει, υ x= ηµt ή υ x=α ηµt µε Α=. υ Επίσης από τη γενική λύση έχουµε, x= ( x συνt+ηµt). Θέτοντας υ x υ εφφ =, έχουµε x= υ ( εφφ συνt+ηµt) υ x= ( ηµϕ συνϕ συνt+ηµt) x= υ συνϕ ( ηµφ συνt+ηµtσυνφ ) Ισχύει συνφ = 1 1+ εϕ ϕ υ x= συνϕ ηµ(t+φ ). υ, οπότε έχουµε, x= 1+ εϕ ϕ ηµ(t+φ )

4 4 υ x= Αν θέσουµε Α= υ 1+ x ηµ(t+φ ) x= υ +, τότε είναι x υ + ηµ(t+φ ). x x=α ηµ(t+φ ). Βέβαια για t= είναι φ=φ, όπου φ είναι η αρχική φάση µε φ τέτοια ώστε x εφφ = υ. υ Παρόµοια η γενική λύση γίνεται x= x (συνt+ x ηµt). υ Θέτοντας εφφ 1 = x, έχουµε: ηµϕ1 x= x (συνt+ εφφ 1 ηµt) x= x (συνt+ συνϕ ηµt) 1 x x= συνϕ ( συνt συνφ 1+ηµtηµφ 1 ) 1 Ισχύει συνφ 1 = 1 1+ εϕ ϕ1 x x= συνϕ συν(t-φ 1). 1, οπότε έχουµε, x=x 1+ εϕ ϕ 1 συν(t-φ 1 ) υ x= x 1+ συν(t-φ x 1 ) Αν θέσουµε Α= x x= υ + συν(t-φ 1 ). x υ +, τότε είναι x=α συν(t-φ 1 ). Βέβαια για t= είναι φ=-φ 1, όπου φ 1 είναι η αρχική φάση µε φ 1 τέτοια ώστε υ εφφ 1 = x. 1 Παρατηρούµε ότι εφφ 1 = εϕϕ φ π 1= -φ, οπότε ισχύει ηµ(t+φ )= συν(t-φ 1 ) που σηµαίνει ότι οι δυο λύσεις είναι ισοδύναµες. Ακόµη η σχέση x=α συν(t-φ 1 ) µπορεί να γίνει και

5 5 µε εφθ=- υ. x x=α συν(t+θ) β) ΣF= -Dx+F Έστ ότι η συνολική δύναµη που ασκείται στο σώµα είναι της µορφής µε F µια αρχική σταθερή δύναµη (F ). Τότε ΣF=mα =-Dx+F =mα ΣF=-Dx+F d x m +D x= F. dt Η παραπάν είναι µια πλήρης (µη οµογενής) γραµµική.ε ης τάξης της γενικής µορφής y +β 1 y +β y=f(x) (1) όπου β 1,β είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί και f(x) συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα (α,β). ΘΕΩΡΗΜΑ: Η γενική λύση µιας πλήρους γραµµικής.ε τάξες ν, είναι άθροισµα της γενικής λύσης της αντίστοιχης οµογενούς εξίσσης και µιας µερικής λύσης της πλήρους. Έτσι αν στη γενική λύση της αντίστοιχης οµογενούς y +β 1 y +β y=, που είναι η y=e ρx προσθέσουµε µια µερική λύση y (x) της πλήρους εξίσσης τότε η y= y (x)+ e ρx θα είναι η γενική λύση της πλήρους. d x Έστ λοιπόν ότι µια µερική λύση της πλήρους.ε, m +D x= F είναι η x=c 3, dt τότε η γενική λύση της πλήρους είναι η x=c 1 e it +c e -it +c 3. Τότε x =ic 1 e it -ic e -it και x = - c 1 e it - c e -it. d x Άρα από την m +m x= F προκύπτει dt m(- c 1 e it - c e -it + c 1 e it + c e -it + c 3 ) = F m F c 3 =F c 3 = m = F. Τελικά η γενική λύση της πλήρους είναι η D

6 6 x=c 1 e it +c e -it F + D. F Η παραπάν λύση γράφεται και ς x=(c 1 +c ) συνt+i (c 1 -c ) ηµt+ D. Τότε για την ταχύτητα έχουµε x =-(c 1 +c )ηµt+i(c 1 -c )συνt. F F Για t= προκύπτει, x()=c 1 +c + c 1 -c = x (). i F Άρα x=[ x()- D c 1+c = x()- D και x ()=i(c 1-c ) D ] συνt+ x () F ηµt+ D. Αν θερήσουµε ότι x()=x και x ()=υ()=υ, τότε προκύπτει η γενική λύση : F x=(x - D ) συνt+ υ ηµt+ F D. Η οποία περιγράφει επίσης µια α.α.τ µε θέση ισορροπίας που προκύπτει από την F ΣF= x 1 = D. Για αρχικές συνθήκες τέτοιες ώστε x F = x 1 = D προκύπτει υ x=x + ηµt ή x=x υ +Α ηµt µε Α=. Παρακάτ έχουµε τη γραφική παράσταση της x=x +Α ηµt x =F /D

7 7 γ) Φθίίνουσα ταλάντση Όταν υπάρχει απόσβεση δηλαδή όταν υπάρχουν δυνάµεις που αντιτίθενται στην κίνηση τότε το πλάτος της ταλάντσης ελαττώνεται, έχουµε δηλαδή όπς λέµε µια φθίνουσα ταλάντση. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν οι φθίνουσες ταλαντώσεις στις οποίες η δύναµη που αντιστέκεται στην κίνηση είναι της µορφής F αντ =F=-b υ (b>) K Θ.Ι.Τ Τ.Θ K m F επ Fαπ +x m +υ Τότε από το ο Νόµο του Newton προκύπτει: ΣF=mα F επ +F αντ =mα -Dx-bυ=mα d x m +b dx +D x= (1). dt dt d x Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της m +b dx +D x= είναι το dt dt mρ b± b 4mD +b ρ+d= ρ 1, =. m Θέτοντας Λ= bm και θερώντας ότι ισχύει D=m, έχουµε: ρ 1, =-Λ± Λ. Θέτοντας = -Λ (= ρ 1, =-Λ±. Λ ) έχουµε και 1 η περίπτση: Για ασθενή απόσβεση έχουµε Λ< Τότε = -Λ > ( <), οπότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει δυο ρίζες συζυγείς µιγαδικές τις ρ 1, =-Λ±i Τότε οι

8 8 x= e ρt είναι µερικές λύσεις της (1) και έχουµε x 1 =e -Λ+it και x =e -Λ-it (). Οι λύσεις αυτές είναι γραµµικά ανεξάρτητες οπότε η γενική λύση της (1) είναι η x=c 1 e (-Λ+i)t +c e (-Λ-i)t όπου c 1 και c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Ακόµη Ακόµη υ= ẋ = dx dt x=c 1 e (-Λ+i)t +c e (-Λ-i)t x=e -Λt ( c 1 e it +c e -it ) (1) ẋ = -Λe -Λt ( c 1 e it +c e -it )+e -Λt ( ic 1 e it -ic e -it ) () Για να υπολογίσουµε τις σταθερές c 1 και c θερούµε ότι για t= x=d και υ=, δηλαδή έστ ότι το σώµα µας έχει εκτραπεί αρχικά από τη θέση ισορροπίας του κατά d. Τότε (1) c 1 +c =d και () -Λ(c 1 +c )+i(c 1 -c )= Λd= i(c 1 -c ) i(c 1 -c )= Λd. Όµς ο όρος της (1) µέσα στην παρένθεση αποδείξαµε πς είναι ίσος µε: (c 1 +c ) συνt+i (c 1 -c ) ηµt οπότε η (1) γράφεται x=e -Λt [ (c 1 +c ) συνt+i (c 1 -c ) ηµt] x=e -Λt (d συνt+ Λd ηµt] Τελικά (1) x=de -Λt (συνt+ Λ ηµt). Θέτουµε εφθ=λ = ηµθ συνθ. Τότε έχουµε x=de -Λt ( ηµθ συνθ ηµt+συνt) Λt Λt de de x= (ηµtηµθ+συνtσυνθ) x= συν(t-θ). συνθ συνθ Μπαίνουµε όµς στον πειρασµό επειδή το = Λ = -Λ µας θυµίζει το πυθαγόρειο θεώρηµα να σχεδιάσουµε το ορθογώνιο τρίγνο από το οποίο πράγµατι φαίνεται ότι εφθ= Λ και

9 9 = -Λ. Τότε συνθ= άρα : Λt de x= συνθ συν(t-θ) x= de-λt συν(t-θ). Αν θέσουµε σαν Α =d τότε x= Α e -Λt συν(t-θ) Παρατηρούµε από το σχήµα πς αν Λ<< (Λ ) τότε και θ άρα, x= d e -Λt συν t όπου το d είναι η µέγιστη αρχική αποµάκρυνση του ταλανττή τη χρονική στιγµή t= και = D m. Γενικά το Α= Α e -Λt ονοµάζεται παράγοντας πλάτους της φθίνουσας ταλάντσης και δείχνει την εκθετική µείση του «πλάτους» της αποµάκρυνσης x(t). Βέβαια το πλάτος δεν ορίζεται σε µη περιοδικές συναρτήσεις. Έτσι θα µπορούσαµε να το ονοµάσουµε «ενεργό πλάτος», παράγοντα πλάτους ή όπς αλλιώς θέλουµε! Η αποµάκρυνση x(t) θα µειώνεται συνεχώς εξαιτίας του όρου e -Λt και θα µηδενιστεί µετά από άπειρο χρόνο. Ισχύει x( t) ή lim x( t) =. Όµς ο αρµονικό όρος t συν(t-θ) που υπάρχει στην εξίσση x(t) κάνει την αποµάκρυνση x(t) «περιοδική» συνάρτηση του χρόνου. Η περίοδος T σε αυτήν την περίπτση ορίζεται ς η χρονική απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών µεγίστν ή ελαχίστν. Πράγµατι (στην περίπτση όπου F απ =-bυ) αν το σώµα κάποια στιγµή περνά από µια θέση µε αποµάκρυνση x 1, µετά από χρόνο ίσο µε την περίοδο, θα περνά από µια άλλη θέση µε αποµάκρυνση x όπου x 1 /x =e ΛΤ. Άρα δεν µπορούµε να πούµε ότι η φθίνουσα ταλάντση είναι µια περιοδική κίνηση. Αν όµς δεν µιλήσουµε για τυχαία θέση, αλλά για «θέσεις πλάτους», θέσεις µέγιστης θετικής αποµάκρυνσης, τότε ο χρόνος µεταξύ του πλάτους Α κ και του Α κ+1, παραµένει σταθερός και ίσος µε την «περίοδο» της φθίνουσας ταλάντσης. Με αυτή την έννοια θα µπορούσαµε ίσς αυτή την περίοδο να την ονοµάσουµε ψευδοπερίοδο!! Παρατηρείστε ότι αν = τότε Α =d, δηλαδή το Α είναι ίσο µε τη µέγιστη αρχική αποµάκρυνση του σώµατος από τη Θ.Ι.Τ. Στην πραγµατικότητα αν η σταθερά Λ=, δηλαδή αν δεν έχουµε απόσβεση τότε έχουµε την εξίσση της απλής αρµονικής ταλάντσης. Από τη σχέση () ẋ = -Λe -Λt ( c 1 e it +c e -it )+e -Λt ( ic 1 e it -ic e -it ) και δεδοµένου ότι c 1 - c = Λd i και c 1+c =d t

10 1 ẋ =υ=-de -Λt Λ ( +) ηµt υ=- d e-λt (Λ + ) ηµt. Όµς από το σχήµα ισχύει = Λ + οπότε ΠΑΡΟΜΟΙΑ: d υ= - e-λt ηµt. Από τη σχέση x=de -Λt (συνt+ Λ ηµt) έχουµε x= dλ e-λt ( Λ συνt+ηµt). Θέτουµε εφθ= Λ = ηµθ συνθ. Τότε έχουµε x= dλ ηµθ e-λt ( συνθ συνt+ηµt) Λt dλe x= (ηµtσυνθ+ηµθσυνt) συνθ Λt dλe x= ηµ(t+θ). Από το διπλανό σχήµα συνθ φαίνεται ότι ότι εφθ= Λ και = -Λ. Τότε Λ συνθ= άρα : Λt dλe x= ηµ(t+θ) x= συνθ de-λt ηµ(t+θ). Αν θέσουµε σαν Α =d τότε x= Α e -Λt ηµ(t+θ) όπου το Α= Α e -Λt είναι ο παράγοντας πλάτους της φθίνουσας ταλάντσης Παρατηρούµε από το σχήµα πς αν Λ<< τότε και θ π άρα, x= d e-λt ηµ(t+ π ) ή x= d e -Λt συν t µε = D m και d η µέγιστη αρχική αποµάκρυνση του ταλανττή τη χρονική στιγµή t=.

11 11 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ: Είδαµε ότι η γενική λύση στη φθίνουσα ταλάντση δηλαδή η x=e -Λt ( c 1 e it +c e -it ) µπορεί να γραφεί ισοδύναµα και ς x= d e-λt ηµ(t+θ) µε εφθ= Λ = ηµθ συνθ, D=m και = -Λ ή = -Λ ενώ για την ταχύτητα ισχύει d ẋ =υ= - e-λt ηµt Τότε η δυναµική ενέργεια του ταλανττή συναρτήσει του χρόνου είναι U= 1 Dx = 1 D d e-λt ηµ (t+θ) U=Ε e-λt ηµ (t+θ) όπου Ε = 1 D d είναι η αρχική ενέργεια του ταλανττή. Ακόµη για την κινητική ενέργεια του ταλανττή συναρτήσει του χρόνου έχουµε K= 1 mυ = 1 m ẋ = 1 m d e -Λt ηµ t και επειδή D=m έχουµε K= 1 D d e-λt ηµ t K=E e-λt ηµ t. Τότε για την ολική ενέργεια του ταλανττή συναρτήσει του χρόνου κάθε χρονική στιγµή έχουµε Ε ολ =K+U E ολ = Ε e-λt [ηµ (t+θ)+ ηµ t] Για το µέτρο του έργου της δύναµης απόσβεσης έχουµε, t t t t Fdx= b dx= b d( t) = b dt W F = υ υ υ υ = Το ολοκλήρµα bd 4 t e ηµ tdt Λt t Λt e ηµ tdt υπολογίζεται µε ολοκλήρση κατά παράγοντες. Ισχύει αν u και υ δυο διαφορίσιµες συναρτήσεις του t, τότε d(uυ)=udυ+υdu

12 1 udυ= d(uυ)- υdu u dυ = uυ- υ du βέβαια µε την προϋπόθεση το dυ που προκύπτει να ολοκληρώνεται εύκολα και το υdu να είναι απλούστερο από το udυ. Έστ λοιπόν θέτ t Λt Ι= e ηµ tdt, u=ηµ t du=ηµtσυνtdt και Τότε Ι= u dυ = uυ- υ du άρα dυ=e -Λt dt υ=- 1 Λ e-λt. θέτ Τότε ηµ t -Λt -Λt Ι= e + e ηµtσυνtdt Λ Λ u=ηµtσυνt du=(1-ηµ t)dt και dυ=e -Λt dt υ=- 1 Λ e-λt. ηµ t -Λt 1 -Λt -Λt Ι= e + - ηµtσυνte + e (1-ηµt) dt Λ Λ Λ Λ ηµ t -Λt -Λt -Λt -Λt I= - e - (ηµtσυνte )+ e dt- e ηµt dt Λ Λ Λ Λ ηµ t -Λt -Λt -Λt I= - e - (ηµte )- e - I 3 Λ 4Λ 4Λ Λ +C I+ I Λ = ηµ t -Λt -Λt -Λt - e - (ηµte )- e +C 3 Λ 4Λ 4Λ -Λt Λ + e I = - (ηµ t+ ηµt+ ) +C Λ Λ Λ Ακόµη ηµ t= 1-1 συνt, οπότε έχουµε Λ (Λ + ) Ι= C Λ Λ -Λt e ( - συνt ηµt+ ) -Λt Λe + Λ Ι= (συνt- ηµt- ) +C 4(Λ + ) Λ Λ Έτσι το µέτρο του έργου της δύναµης απόσβεσης γίνεται,

13 13 4 t bd W F = e ηµ tdt -Λt 4 -Λt bd Λe + Λ W F = (συνt- ηµt- ) +C και επειδή 4(Λ + ) Λ Λ = +Λ θα έχουµε t Λbd -Λt W F = bυ dt = e (συνt- ηµt- ) 4 Λ Λ +C. Η σταθερά ολοκλήρσης C πρέπει να είναι τέτοια ώστε για t= να είναι W F =. Στην πραγµατικότητα αυτή η σταθερά C είναι όση και η Ε. Άρα τελικά έχουµε t Λbd -Λt W F = bυ dt = e (συνt- ηµt- ) 4 Λ Λ +Ε. Όµς αυτό το έργο είναι ακριβώς αυτό που υπολογίζεται από τη σχέση W F =E -(K+U)=Ε -Ε ολ. Πράγµατι από το ο Νόµο του Newton προκύπτει: d x ΣF=mα F επ +F αντ =mα -Dx-bυ=mα m dt m dυ dυ +b υ+d x= υ (m dt ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): b υ = -m υ dυ dt -D υ x b υ = -m υ dυ +b dx dt +D x= dt +b υ+d x)= b υ dt= -m υ dυ-m dx x t bυ dt =-m υ dυ - m x dx t bυ dt =- 1 mυ - 1 m x +C t bυ dt =- 1 mυ - 1 Dx +E t bυ dt =E -(K+U)=Ε -Ε ολ. dt -m dx dt x Για Λ< Η δυναµική ενέργεια του ταλανττή είπαµε πς είναι U=Ε e-λt ηµ (t+θ) η οποία για t=κ T µας δίνει U=Ε e-λt ηµ (κπ+θ) U=Ε e-λt ηµ θ, όπου ηµθ=, άρα

14 14 U=Ε e-λt U=Ε e -Λt (για t=κ T). Ακόµη η κινητική ενέργεια του ταλανττή είπαµε πς είναι η οποία για t=κ T µας δίνει K=E e-λt ηµ (κπ)= K=E e-λt ηµ t. Η ολική ενέργεια του ταλανττή κατά τη διάρκεια της ταλάντσης είπαµε ότι είναι Ε ολ =K+U E ολ = Ε e-λt [ηµ (t+θ)+ ηµ t]. Η ολική ενέργεια του ταλανττή τις χρονικές στιγµές t=κ T (κ=,1, ) γίνεται E ολ = Ε e-λt ηµ (κπ+θ) E ολ = Ε e-λt ηµ θ µε ηµθ= άρα έχουµε E ολ = Ε e-λt E ολ = Ε e -Λt t=κ T (κ=,1, ) Τότε Ε ολ =Κ+U άρα και U=E ολ = Ε e -Λt και W F =E -(K+U)=Ε -Ε ολ = Ε - Ε e -Λt W F = Ε (1-e -Λt ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Αν η σταθερά απόσβεσης δεν είναι απλώς Λ< αλλά Λ τότε είπαµε ότι και θ π rad. Η δυναµική ενέργεια του ταλανττή είπαµε πς είναι U=Ε e-λt ηµ (t+θ) η οποία σε αυτή την περίπτση γίνεται U=Ε e -Λt ηµ ( t+ π ) U=Ε e -Λt συν ( t), (για t ).

15 15 Ακόµη η κινητική ενέργεια του ταλανττή είπαµε πς είναι η οποία γίνεται K=E e-λt ηµ t. K=E e -Λt ηµ ( t) K=E e -Λt ηµ ( t), (για t ). Η ολική ενέργεια του ταλανττή κατά τη διάρκεια της ταλάντσης είπαµε ότι είναι Ε ολ =K+U E ολ = E e -Λt [ηµ ( t)+συν ( t)] E ολ = E e -Λt (για t ). ηλαδή ενώ για Λ< η σχέση E ολ = Ε e -Λt ισχύει µόνο για t=κ T (κ=,1, ), αν Λ τότε η σχέση E ολ = Ε e -Λt ισχύει για κάθε t. Βέβαια και σε αυτήν την περίπτση για t=κ T είναι U=Ε e -Λt συν ( t)= Ε e -Λt συν (κπ) U= Ε e -Λt =U max K=E e -Λt ηµ ( t) K=E e -Λt ηµ (κπ) K= και E ολ =U max =E e -Λt ΡΥΘΜΟΣ ΑΠΩΛΕΙΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ-ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ Στη φθίνουσα ταλάντση µας ενδιαφέρει ο ρυθµός µείσης (απώλειας) της ενέργειας. Αυτός ορίζεται ς εξής: t υ dt Λt υ d b d WF P= = = b = 4 ΛΕ e ηµ ( t) dt dt Επίσης στη φθίνουσα ταλάντση ενδιαφέρον έχουν οι µέσες τιµές τν ενεργειών στη διάρκεια µιας περιόδου. Μέση Κινητική ενέργεια T T -Λt K(t)dt e ηµ (t)dt K= =Ε T T

16 16 Για πολύ µικρές σταθερές απόσβεσης Λ<< είναι ενώ µπορούµε να θερήσουµε πς ο παράγοντας e -Λt παραµένει σταθερός στη διάρκεια µιας περιόδου. Έτσι ο e -Λt βγαίνει σαν σταθερά έξ από το ολοκλήρµα και έχουµε T ηµ (t)dt -Λt -Λt T/ 1 -Λt K=Εe = Εe = Εe T T Άρα έχουµε Παρόµοια Μέση υναµική ενέργεια 1 K= Εe -Λt T U(t)dt 1 T -Λt U= Εe Μέση Ολική ενέργεια E =Κ+U Ε e ολ -Λt (για t ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: 1) Έστ Λ=6 s -1, =1 s -1 (Λ< ). Τότε = +Λ =8 s -1, d=,4m και εφθ= Λ = 4 3. Τότε x= de-λt ηµ(t+θ) π ). x=,5e -6t ηµ(8t+ 3, 4 Η γραφική παράσταση x(t) όπς φαίνεται στο Geogebra είναι η παρακάτ:

17 17 Παρατηρούµε ότι lim x( t) =,όµς καθώς το υλικό σηµείο ταλαντώνεται τείνει t στο ελκτικό κέντρο, παλινδροµώντας γύρ από αυτό. ) Για ακόµη πιο µικρή σταθερά, έστ Λ=1 s -1, =1 s -1 (Λ< ). Τότε = +Λ = 99 s -1, d=,4m και εφθ= π = 99. Άρα θ= Λ,13 π rad. Τότε x= de-λt ηµ(t+θ) x=,4e -t ηµ( 99 t+ π ) Η γραφική παράσταση x(t) όπς φαίνεται στο Geogebra είναι η παρακάτ:

18 18 Στο σχήµα φαίνεται και η διακεκοµµένη που είναι η γραφική παράσταση του παράγοντα του πλάτους Α=,4e -t (περιβάλλουσα της x(t)) Η εξίσση της ταχύτητας είναι : d υ= - e-λt ηµt Τότε για Λ=1 s -1, =1 s -1 = 99 s -1 και d=,4m έχουµε υ=-,4e -t ηµ( 99 t) και η Γ.Π είναι η παρακάτ:

19 19 Αν η µάζα του σώµατος είναι m=1kg τότε έχουµε t Λbd -Λt W F = bυ dt = e (συνt- ηµt- ) 4 Λ Λ +Ε -t W F =,8e (συν19,9t-9,95ηµ19,9t-1) +8 ή W F = E -(K+U) µε Ε =8J, K=E e-λt ηµ t Κ=8,8 e -t ηµ (9,95t) και U=Ε e-λt ηµ (t+θ) U=8,8 e -t ηµ (9,95t+ π,13 ) Άρα W F = E -(K+U)=8-8,8 e -t [ηµ (9,95t)+ ηµ (9,95t+ π,13 ]. Σε κάθε περίπτση η γραφική παράσταση W F (t) είναι η παρακάτ: W F (t)

20 Η ολική ενέργεια του ταλανττή είναι το άθροισµα της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας οπότε έχουµε Ε ολ =K+U E ολ = Ε e-λt [ηµ (t+θ)+ ηµ t] Ε ολ =8,8 e -t [ηµ (9,95t)+ ηµ (9,95t+ π,13 ]. Παρακάτ έχουµε σχεδιάσει στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένν τη γραφική παράσταση της Ε ολ και της W F (t): W F (t) Ε ολ (t)

21 1 Ακόµη για την E ολ = Ε e -Λt παράσταση έχουµε E ολ =8 e -t και προκύπτει η παρακάτ γραφική Στη γραφική παράσταση µε την κόκκινη καµπύλη έχουµε σχεδιάσει την E ολ = Ε e -Λt = E ολ =8 e -t και µε τη µπλε την Ε ολ =8,8 e -t [ηµ (9,95t)+ ηµ (9,95t+π/,13]. Ακόµη για την κινητική ενέργεια του ταλανττή έχουµε και για τη δυναµική του ενέργεια Κ=8,8 e -t ηµ (9,95t) U=8,8 e -t ηµ (9,95t+ π,13 ) Οι γραφικές παραστάσεις Κ(t) και U(t) είναι οι παρακάτ

22 E ολ (t) U(t) Κ(t) E ολ (t)=8 e -t Στο σχήµα φαίνονται επίσης η E ολ = Ε e -Λt =8 e -t. και η Ε ολ =8,8 e -t [ηµ (9,95t)+ ηµ (9,95t+ π ] (γκρι απόχρση),13 Παρατήρηση αν το Λ γίνει ακόµη µικρότερο τότε η θ γίνεται θ π rad και η ολική ενέργεια του ταλανττή γίνεται Ε ολ =8 e -t [ηµ (9,95t)+ ηµ (9,95t+π/]= 8 e -t Αν κάνουµε τώρα τη γραφική παράσταση της Ε ολ (t) έχουµε:

23 3 Στο σχήµα µε το µπλε έχουµε τη γραφική παράσταση Ε ολ =8,8 e -t [ηµ (9,95t)+ ηµ (9,95t+π/] για θ π rad Αλλά φαίνεται και η γραφική παράσταση Ε ολ =8,8 e -t [ηµ (9,95t)+ ηµ (9,95t+π/,13] Παρατηρούµε πς καθώς το Λ µικραίνει όλο και περισσότερο και η γνία θ από π,13 rad σε π rad η Ε ολ(t) µειώνεται εκθετικά. ηλαδή ενώ για Λ< η σχέση E ολ = Ε e -Λt ισχύει µόνο για t=κ T (κ=,1, ), αν Λ τότε η σχέση E ολ = Ε e -Λt ισχύει για κάθε t.

24 4 η περίπτση: Για ισχυρή απόσβεση έχουµε Λ> Τότε = -Λ > ( >), οπότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει δυο πραγµατικές ρίζες και µάλιστα αρνητικές, τις ρ 1, =-Λ±. Τότε οι και έχουµε x= e ρt είναι µερικές λύσεις της (1) x 1 =e (-Λ+)t και x =e (-Λ-)t (). Οι λύσεις αυτές είναι γραµµικά ανεξάρτητες οπότε η γενική λύση της (1) είναι η x=c 1 e (-Λ+)t +c e (-Λ-)t (1) όπου c 1 και c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Ακόµη υ= ẋ = dx dt ẋ = (-Λ+) c 1 e (-Λ+)t +(-Λ-) c e (-Λ-)t () Για να υπολογίσουµε τις σταθερές c 1 και c θερούµε ότι για t= x=d> και υ= ẋ =, δηλαδή έστ ότι το σώµα µας έχει εκτραπεί αρχικά από τη θέση ισορροπίας του κατά d. Τότε (1) c 1 +c =d c =d-c 1 και () =(-Λ+) c 1 -(Λ+) c (Λ+) c =(-Λ+) c 1 (Λ+) ( d-c 1 )=(-Λ+) c 1 c 1 = ( Λ+ ) d και c = ( Λ ) d (θεώρησα = Λ ) Για Λ=1 s -1 και =6 s -1 έχουµε Λ - =64 και ρ 1 =-Λ+8=- και ρ =-Λ-8=-18. Ακόµη για d=,16m έχουµε c 1 =,18 και c =-,, οπότε προκύπτει:

25 5 (1) x=,18 e -t -, e -18t (παρατηρούµε πς x(t)>, t > ) Η γραφική παράσταση είναι η παρακάτ: ηλαδή καθώς το υλικό σηµείο ταλαντώνεται τείνει στο ελκτικό κέντρο και η κίνηση δεν αλλάζει κατεύθυνση µέχρι το σµατίδιο να σταµατήσει. Για µεγαλύτερη απόσβεση έστ Λ=1 s -1 έχουµε: x=,16 e -,t e -199,8t. Παρακάτ έχουµε τη γραφική παράσταση για Λ=1 s -1 και για Λ=1 s -1. Λ=1 s -1 Λ=1 s -1 Παρατηρούµε πς όσο πιο µεγάλο είναι το Λ τόσο πιο αργά «φτάνει» ο ταλανττής στο ελκτικό κέντρο (θέση ισορροπίας).

26 6 Αν όµς για t= x=d> και υ= ẋ, δηλαδή έστ ότι το σώµα µας έχει εκτραπεί αρχικά από τη θέση ισορροπίας του κατά d και έστ πς έχει µια ταχύτητα υ = ẋ < που έχει φορά προς το ελκτικό κέντρο, (κατάλληλη αρνητική ταχύτητα). Τότε (1) c 1 +c =d c =d-c 1 και () υ =(-Λ+) c 1 -(Λ+) c. Μετά από µερικές πράξεις βρίσκεται ότι, ( Λ+ ) d+ υ c 1 = ( Λ) d υ και c = (θεώρησα = Λ ) Για Λ=1 s -1 και =6 s -1 έχουµε Λ - =64 και ρ 1 =-Λ+8=- και ρ =-Λ-8=-18. Ακόµη για d=,16m και υ=5m/s έχουµε c 1 =-,13 και c =,3, οπότε προκύπτει: (1) x=-,13 e -t +,3 e -18t Η γραφική παράσταση είναι η παρακάτ: Το φυσικό νόηµα αυτού του αποτελέσµατος είναι ότι το σώµα µας (υλικό σηµείο) που πραγµατοποιεί τη συγκεκριµένη φθίνουσα ταλάντση, παρά τη µεγάλη αντίσταση απόσβεση, θα τα καταφέρει να περάσει (µια µόνο φορά φυσικά) από το ελκτικό κέντρο, αρκεί να του δοθεί µια αρκετά µεγάλη αρχική ταχύτητα προς αυτό.

27 7 Στο παρακάτ σχήµα φαίνονται και οι δυο περιπτώσεις της µεγάλης απόσβεσης αντίστασης. Στην περίπτση λοιπόν που αφήνουµε χρίς αρχική ταχύτητα τον ταλανττή τότε αυτός πραγµατοποιεί απεριοδική κίνηση και τείνει στο ελκτικό κέντρο χρίς η κίνηση να αλλάζει κατεύθυνση x>, ενώ στην περίπτση που ο ταλανττής έχει µια κατάλληλη αρχική ταχύτητα µε φορά προς τη θέση ισορροπίας τότε µπορεί να ξεπεράσει τη θέση ισορροπίας και στη συνέχεια να τείνει σε αυτή αλλά µε x<. 3 η περίπτση: Είναι η περίπτση της κρίσιµης απόσβεσης όπου έχουµε Λ= Τότε = -Λ = ( =), οπότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει µια διπλή πραγµατική ρίζα, την ρ=-λ Τότε οι x= e ρt και x= (α+βt) e ρt () είναι µερικές λύσεις της (1) και έχουµε Οι λύσεις αυτές είναι γραµµικά ανεξάρτητες οπότε η γενική λύση της (1) είναι η x=c 1 e -Λt +c (α+βt)e -Λt x=(c 1 +αc )e -Λt +c βt e -Λt x=c 1 e -Λt +C t e -Λt x=(c 1 +C t) e -Λt (3) όπου c 1 και c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Ακόµη για την ταχύτητα έχουµε: υ= ẋ = dx dt ẋ = [C (1-Λt)-Λ C 1 ] e -Λt (4) Όταν οι αρχικές συνθήκες είναι:

28 8 x()=d και ẋ ()= τότε προκύπτουν εύκολα C 1 =d, C =dλ και επειδή Λ= τελικά είναι C 1 =d, C = d και x=d (1+ t) e -t Παράδειγµα: υ=ẋ = - d t e -t Για Λ= =1 s -1 και για d=,1m έχουµε C 1 =,1 και C =1, οπότε προκύπτει: x=,1 (1+1 t) e Η γραφική παράσταση είναι η παρακάτ: -1t Όταν οι αρχικές συνθήκες είναι: x()=d και ẋ ()=υ (έχουµε και αρχική ταχύτητα υ <), τότε προκύπτουν C 1 =d, C =dλ+υ και επειδή Λ= τελικά είναι C 1 =d, C = d +υ Παράδειγµα: και x=[d (1+ t)+υ t] e -t Για Λ= =1 s -1 και για d=,1m και υ =-4m/s έχουµε C 1 =,1 και C =-3, οπότε προκύπτει: -1t x=(,1-3 t) e

29 9 Η γραφική παράσταση είναι η παρακάτ: Συµπεραίνουµε λοιπόν πς και στην περίπτση της κρίσιµης αντίστασης (απόσβεσης) (Λ= ) έχουµε παρόµοια διαγράµµατα (ανάλογα και µε τις αρχικές συνθήκες) µε αυτά που έχουµε όταν έχουµε µεγάλη απόσβεση Λ>. Συνοψίζοντας για την εξίσση d x m dt +b dx +D x= (1) dt µε Λ= bm και = -Λ = Λ έχουµε ότι: για ασθενή απόσβεση Λ< η γενική λύση της (1) είναι η x=c 1 e (-Λ+i)t +c e (-Λ-i)t για ισχυρή απόσβεση Λ> η γενική λύση της (1) είναι η x=c 1 e (-Λ+)t +c e (-Λ-)t για την κρίσιµη απόσβεση Λ= η γενική λύση της (1) είναι η x=(c 1 +C t) e -Λt

30 3 ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΦΘΙΝΟΥΣΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Α) Μηχανικές 1) Σε µια αµείτη ταλάντση και σε µια τυχαία θέση, ασκείται στο σώµα όπς αυτό του σχήµατος µια συνολική δύναµη (δύναµη επαναφοράς), της µορφής: ΣF=-D x. Τότε από το ο Νόµο του Newton προκύπτει: ΣF=m α -D x=m α m α+dx=. Από τη λύση της παραπάν εξίσσης προκύπτει x= συνt, όταν για t= είναι x= και υ= K Θ.Ι.Τ Τ.Θ K m Fεπ +x m +υ µε = D m και έχουµε τις παρακάτ γραφικές παραστάσεις: x Α T x=συνt t ==σταθερό t ) Όταν όµς υπάρχει και απόσβεση δηλαδή όταν υπάρχουν δυνάµεις που αντιτίθενται στην κίνηση τότε µεταφέρεται µηχανική ενέργεια από το σύστηµα στο περιβάλλον και µε την πάροδο του χρόνου το πλάτος της ταλάντσης ελαττώνεται, έχουµε δηλαδή όπς λέµε µια φθίνουσα ταλάντση. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν οι φθίνουσες ταλαντώσεις στις οποίες η δύναµη που αντιστέκεται στην κίνηση είναι της µορφής F αντ =F=-b υ (b>) K Θ.Ι.Τ Τ.Θ K m F επ Fαπ +x m +υ Όπου το b είναι µια σταθερά που ονοµάζεται σταθερά απόσβεσης και εξαρτάται: α) Από το µέγεθος και το σχήµα του σώµατος που ταλαντώνεται και β) Από τις ιδιότητες του µέσου (ρευστού), µέσα στο οποίο γίνεται η ταλάντση.

31 31 Η σταθερά απόσβεσης b, έχει µονάδες µέτρησης (Kg s -1 ). Ακόµη µπορούµε να ορίσουµε τη σταθερά Λ είναι ίση µε Λ= m b, (b=mλ) δηλαδή εξαρτάται από τη µάζα του σώµατος και τη σταθερά απόσβεσης και έχει µονάδα µέτρησης στο S.I το s -1. Από το ο Νόµο του Newton προκύπτει: ΣF=mα F επ +F αντ =mα -Dx-bυ=mα mα+dx+bυ= µε D=m ή = D m Για µικρές αποσβέσεις ( Λ< ) και από τη λύση της εξίσσης mα+dx+bυ= που προέκυψε από το ο Νόµο του Newton και αν για t= ισχύει x=, προκύπτει η γενική λύση: -Λt x= e συν(t-θ) (1) ή x= Α συν(t-θ) µε Α= e µε εφθ= Λ (ή συνθ= )και = -Λ D b ή = -Λ = - m m (παρατηρείστε ότι για t= είναι x= συνθ x= x= ) ή ισοδύναµα η γενική λύση: x= e -Λt ηµ(t+θ) ή x= Α ηµ(t+θ) µε Α= e µε εφθ= Λ ή ηµθ= (παρατηρείστε και εδώ ότι για t= είναι x= ηµθ x= x= ) -Λt Ακόµη για t=κ Τ από την x= e συν(t-θ) -Λt έχουµε x= e συν( π Τ κ Τ-θ) -Λt x= e συν(κπ-θ) -Λt -Λt

32 3 x= e -Λt x= συν(-θ)= e e -Λt -Λt x= Α= e (t=κ T) -Λt συνθ Γενικά το Α= Α e -Λt (t ) ονοµάζεται παράγοντας πλάτους της φθίνουσας ταλάντσης και δείχνει την εκθετική µείση του «πλάτους» της αποµάκρυνσης x(t). ηλαδή µπορούµε να υποθέσουµε ότι η αποµάκρυνση x είναι ίση µε το «πλάτος» της ταλάντσης το οποίο µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο για t=κ Τ. ηλαδή ισχύει -Λt Α= e για t=κ Τ (κ=,1, ) Βέβαια το πλάτος δεν ορίζεται σε µη περιοδικές συναρτήσεις. Έτσι θα µπορούσαµε να το ονοµάσουµε «ενεργό πλάτος», παράγοντα πλάτους ή όπς αλλιώς θέλουµε! -Λt Γενικά x= e συν(t-θ) και η αποµάκρυνση x(t) θα µειώνεται συνεχώς εξαιτίας του όρου e -Λt και θα µηδενιστεί µετά από άπειρο χρόνο. Ισχύει x( t) ή lim x( t) =. Όµς ο αρµονικός όρος συν(t-θ) που υπάρχει στην εξίσση t t x(t) κάνει την αποµάκρυνση x(t) «περιοδική» συνάρτηση του χρόνου. Η περίοδος T σε αυτήν την περίπτση ορίζεται ς η χρονική απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών µεγίστν ή ελαχίστν. Πράγµατι (στην περίπτση όπου F απ =-bυ) αν το σώµα κάποια στιγµή περνά από µια θέση µε αποµάκρυνση x 1, µετά από χρόνο ίσο µε την περίοδο, θα περνά από µια άλλη θέση µε αποµάκρυνση x όπου x 1 /x =e ΛΤ. Άρα δεν µπορούµε να πούµε ότι η φθίνουσα ταλάντση είναι µια περιοδική κίνηση. Αν όµς δεν µιλήσουµε για τυχαία θέση, αλλά για «θέσεις πλάτους», θέσεις µέγιστης θετικής αποµάκρυνσης, τότε ο χρόνος µεταξύ του πλάτους Α κ και του Α κ+1, παραµένει σταθερός και ίσος µε την «περίοδο» της φθίνουσας ταλάντσης. Με αυτή την έννοια θα µπορούσαµε ίσς αυτή την περίοδο να την ονοµάσουµε ψευδοπερίοδο Τ!! Αν όµς Λ (δηλαδή Λ<< ) ισχύει = D m (ή 1 ) και συνθ= 1 ή θ. Τότε η γενική εξίσση (1) γίνεται x= Α e -Λt συνt () ή x=συνt µε Α= Α e -Λt (t και = D m ).

33 33 Έτσι λοιπόν για Λ ισχύει x= συν t όµς το «πλάτος» Α της ταλάντσης δεν παραµένει σταθερό αλλά ελαττώνεται εκθετικά µε το χρόνο και µάλιστα ισχύει η σχέση Α=Α e -Λt µε t ηλαδή αν απλώς Λ< η εκθετική µείση του πλάτους ισχύει µόνο για t=κ Τ αν όµς Λ, τότε η εκθετική µείση του πλάτους ισχύει για κάθε t. Έτσι λοιπόν για Λ έχουµε: x= συν t και Α=Α e -Λt µε t ενώ για t=κ T µας δίνει την αποµάκρυνση x= στην αρχή της κάθε περιόδου. Έτσι προκύπτουν οι παρακάτ γραφικές παραστάσεις: x 1 T T t t (για t=κ T βρίσκουµε το «πλάτος» Α στην αρχή της κάθε «περιόδου»). Ακόµη για την ταχύτητα υ ισχύει υ= -Α e -Λt ηµ t η οποία για Λ (δηλαδή Λ<< ) άρα = D m γίνεται: υ= -Α e -Λt ηµ t Βέβαια για τη δύναµη απόσβεσης τότε ισχύει F=-b υ= b e -Λt ηµ t Και έχουµε τις παρακάτ γραφικές παραστάσεις υ(t) και F(t).

34 34 F(t) υ(t) 3) Ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντση: H ολική ενέργεια του ταλανττή στη φθίνουσα ταλάντση κάθε χρονική στιγµή είναι το άθροισµα της κινητικής και της δυναµικής του ενέργειας. Ε ολ =K+U Για το µέτρο του έργου της δύναµης απόσβεσης έχουµε, Όπου Ε = 1 DΑ W F =E -(K+U)=Ε -Ε ολ. Η ολική ενέργεια του ταλανττή τις χρονικές στιγµές t=κ T (κ=,1, ) γίνεται E ολ = Ε e -Λt t=κ T (κ=,1, ) Η κινητική ενέργεια είναι τότε (για t=κ T) K= άρα και U=E ολ = Ε e -Λt και W F =E -(K+U)=Ε -Ε ολ = Ε - Ε e -Λt Όµς ενώ για Λ< η σχέση W F = Ε (1-e -Λt ) E ολ = Ε e -Λt ισχύει µόνο για t=κ T (κ=,1, ),

35 35 αν Λ τότε όπς είπαµε ισχύει: U=Ε e -Λt συν ( t) K=E e -Λt ηµ ( t) Και η ολική ενέργεια του ταλανττή κατά τη διάρκεια της ταλάντσης είπαµε ότι είναι Ε ολ =K+U E ολ = E e -Λt [ηµ ( t)+συν ( t)] H σχέση E ολ = Ε e -Λt E ολ = E e -Λt (για t ). ισχύει για κάθε t και για t=κ T µας δίνει την ολική ενέργεια στην αρχή της κάθε περιόδου. Έτσι για t=κ T είναι K=E e -Λt ηµ ( t) K=E e -Λt ηµ (κπ) K= U=Ε e -Λt συν ( t)= Ε e -Λt συν (κπ) U= Ε e -Λt =U max = 1 D και E ολ =U max =E e -Λt (για t=κ T είναι Κ=, U=U max και E ολ = U max = 1 D = 1 D (Α e -Λt ) = 1 D Α e -Λt = E e -Λt ) Ακόµη τη χρονική στιγµή t 1 =κ T είναι E κ =E e -κλτ ενώ τη χρονική στιγµή t =(κ+1) T είναι E κ+1 =E e -(κ+1)λτ Τότε το ποσό της ενέργειας που «χάνεται» σε κάθε περίοδο είναι Ε = E e -κλτ - E e -(κ+1)λτ = E e -κλτ (1- e -ΛΤ ), άρα το ποσό της ενέργειας που χάνεται σε κάθε περίοδο T εξαρτάται από την τιµή του κ και δεν είναι σταθερό. Το ποσοστό όµς της ενέργειας που χάνεται σε κάθε περίοδο είναι α= -κλτ -ΛΤ Ε Ε e (1-e ) -ΛΤ = =1-e =σταθερό -κλτ Eκ Ε e Στη φθίνουσα ταλάντση µας ενδιαφέρει ο ρυθµός µείσης (απώλειας) της ενέργειας. Αυτός ορίζεται ς εξής:. d W F P= = bυ dt

36 36 Τέλος αποδεικνύεται ότι η µέση ολική ενέργεια του ταλανττή στη φθίνουσα ταλάντση και για χρόνο µιας περιόδου δίνεται από τη σχέση: -Λt E ολ =Κ+ U =Εe για κάθε t. 4)Αν θερήσουµε την ποσότητα Α= Α e -Λt ς πλάτος της ταλάντσης τότε για Α= θα έχουµε: = Α e -Λ t ή e -Λ t 1 = ή e Λ t ln = ή Λ t=ln ή t= : που είναι ο χρόνος Λ ηµιζής ή ηµίσειας ζής. 5) Επίσης από τη σχέση Α= Α e -Λt και για t 1 =T θα έχουµε Α 1 = Α e -Λ Τ ή 1 = e Λ T t = T θα έχουµε Α = Α e -Λ Τ ή t =3 T θα έχουµε Α 3 = Α e -Λ 3Τ ή 1 = e Λ T, παρόµοια για 3 = e Λ T κ.ο.κ -κλt Α κ Αe ΛT Γενικά έχουµε = = -(κ+1)λt e 1.Άρα τελικά καταλήγουµε πς ισχύει η Ακ+1 Αe σχέση: = 1 = Α =.= κ 1 3 Α = eλ T =σταθερό 1, ο λόγος αυτός κ+1 ονοµάζεται λόγος απόσβεσης. b Αν b= τότε Λ= = και e Λ T =1 ή Α =Α 1 =Α =Α 3 =.. δηλαδή έχουµε την m περίπτση της αµείτης ταλάντσης. 6) Τέλος για τις φθίνουσες ταλαντώσεις ισχύει για τη συχνότητα f η σχέση 1 D b f= από όπου π m m συµπεραίνουµε πς όσο η σταθερά απόσβεσης b, αυξάνεται τόσο η συχνότητα της φθίνουσας ταλάντσης ελαττώνεται και άρα η περίοδος T αυξάνεται. x b= T x T 1 b 1 t t Έτσι κατά τη διάρκεια µιας φθίνουσας ταλάντσης η περίοδος T παραµένει σταθερή και είναι τόσο µεγαλύτερη όσο µεγαλύτερη είναι η σταθερά απόσβεσης. Βέβαια για τις ασκήσεις θα θερούµε x T b >b 1 t

37 ότι f=f = 1 π D m. 7) Για µεγάλες αποσβέσεις (Λ ) και αν για t=, x=α > και υ=, η κίνηση είναι απεριοδική και το σύστηµα ούτε που προλαβαίνει να κάνει έστ και µια ταλάντση. x b >b b t Παρατηρούµε πς όσο πιο µεγάλο είναι η σταθερά απόσβεσης b άρα και το Λ τόσο πιο αργά «φτάνει» ο ταλανττής στο ελκτικό κέντρο (θέση ισορροπίας). Ακόµη αν b τότε Λ= m b και e Λ T ή ή Α1. 1 ηλαδή καθώς το υλικό σηµείο ταλαντώνεται τείνει στο ελκτικό κέντρο και η κίνηση δεν αλλάζει κατεύθυνση µέχρι το σµατίδιο να σταµατήσει. Αν όµς για t=, x= Α > και υ<, δηλαδή έστ ότι το σώµα µας έχει εκτραπεί αρχικά από τη θέση ισορροπίας του κατά Α και έστ πς έχει µια ταχύτητα υ < που έχει φορά προς το ελκτικό κέντρο, (κατάλληλη αρνητική ταχύτητα) τότε η γραφική παράσταση είναι η παρακάτ: Το φυσικό νόηµα αυτού του αποτελέσµατος είναι ότι το σώµα µας (υλικό σηµείο) που πραγµατοποιεί τη συγκεκριµένη φθίνουσα ταλάντση, παρά τη µεγάλη αντίσταση απόσβεση, θα τα καταφέρει να περάσει (µια µόνο φορά φυσικά) από το ελκτικό κέντρο, αρκεί να του δοθεί µια αρκετά µεγάλη αρχική ταχύτητα προς αυτό.

38 38 Στο παρακάτ σχήµα φαίνονται και οι δυο περιπτώσεις της µεγάλης απόσβεσης αντίστασης. Στην περίπτση λοιπόν που αφήνουµε χρίς αρχική ταχύτητα τον ταλανττή τότε αυτός πραγµατοποιεί απεριοδική κίνηση και τείνει στο ελκτικό κέντρο χρίς η κίνηση να αλλάζει κατεύθυνση x>, ενώ στην περίπτση που ο ταλανττής έχει µια κατάλληλη αρχική ταχύτητα µε φορά προς τη θέση ισορροπίας τότε µπορεί να ξεπεράσει τη θέση ισορροπίας και στη συνέχεια να τείνει σε αυτή αλλά µε x<.