Διακριτά Μαθηματικά Ι

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Συνδυαστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ -- Μεταθέσεις και ιατάξεις -- Συνδυασμοί -- Σφαιρίδια σε Κουτιά Reading: ROSEN : Κεφάλαιο 6 EPP : Κεφάλαιο 6 9 η -10 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Πειράματα και Ενδεχόμενα ΠΕΙΡΑΜΑ Π: Μια φυσική διαδικασία η οποία έχει συγκεκριμένο αριθμό παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων. είγμα, ή Αποτέλεσμα, ή Ενδεχόμενο Πειράματος: Οποιοδήποτε δυνατό (παρατηρήσιμο) αποτέλεσμα του πειράματος. ειγματοχώρος Ω(Π): Το σύνολο των αποτελεσμάτων του πειράματος Π. Το πείραμα «ρίψη ί ενός ζαριού» έχει 6 διαφορετικά δί δείγματα. Το πείραμα «ρίψη ενός κόκκινου και ενός πράσινου ζαριού» έχει 36 διαφορετικά δείγματα: (1,1), (1,2),..., (1,6), (2,1), (2,2),..., (6,4), (6,5), (6,6) Το πείραμα «ρίψη δυο πανομοιότυπων ζαριών» έχει διαφορετικά δείγματα: {1,1}, {1,2},..., {1,6}, {2,2}, {2,3},..., {2,6}, {3,3},..., {5,6}, {6,6} 2 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

3 Ας Μετρήσουμε!!! ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.1: Στο τμήμα Α (αγγλικά) υπάρχουν 15 μαθητές και στο τμήμα Γ (γαλλικά) υπάρχουν 30 μαθητές. ΠΕΙΡΑΜΑ = Η επιλογή ενός εκπροσώπου και για τα δυο τμήματα, στο 15μελές συμβούλιο του σχολείου. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ = κάποιος μαθητής (που επιλέγεται ως εκπρόσωπος και των δυο τμημάτων). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να εκπροσωπηθούν τα δυο τμήματα στο 15-μελές συμβούλιο, ΑΝ: 1. Τα δυο τμήματα δεν έχουν κοινό μαθητή. 2. Τα δυο τμήματα έχουν 10 κοινούς μαθητές. Τι σας θυμίζει το παράδειγμα??? 3 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Έστω τα υποσύνολα φυσικών αριθμών ΑΡ = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,... }, ΠΕ = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... }, ΠΡ = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... }. Κανόνας Αθροίσματος (Ι) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω έναν φυσικό αριθμό < 11? 6 επιλογές από το σύνολο ΑΡ 5 επιλογές από το σύνολο ΠΕ } 6+5=11 τρόποι 4 επιλογές από το σύνολο ΠΡ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω έναν πρώτο φυσικό < 11? 1 επιλογή από το σύνολο ΑΡ } 1+3=4 τρόποι 3 επιλογές από το σύνολο ΠΕ 4 επιλογές από το σύνολο ΠΡ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω έναν άρτιο πρώτο < 11? 1 επιλογή από το σύνολο ΑΡ 0 επιλογές από το σύνολο ΠΕ 1 επιλογές από το σύνολο ΠΡ 4 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

4 Κανόνας Αθροίσματος (ΙΙ) ΟΡΙΣΜΟΣ COUNT.1 [ ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ]: Έστω αυθαίρετα πειράματα Π 1 με Ω(Π 1 ) = Μ διαφορετικά ενδεχόμενα, και Π 2, με Ω(Π 2 ) = Ν διαφορετικά ενδεχόμενα. Θεωρούμε επίσης το πείραμα Π που εκτελεί ακριβώς μια φορά Ή το Π 1 Ή το Π 2, αλλά όχι και τα δυο πειράματα ταυτόχρονα (δηλαδή, στο Π τα πειράματα Π 1 και Π 2 εκλαμβάνονται ως αμοιβαία αποκλειόμενα πειράματα). Τότε ισχύει το εξής: ΑΝ τα σύνολα αποτελεσμάτων Ω(Π 1 ) και Ω(Π 2 ) είναι ξένα μεταξύ τους ( δηλαδή, Ω(Π 1 ) Ω(Π 2 ) = 0 ) ΤΟΤΕ υπάρχουν Ω(Π) = Μ+Ν διαφορετικά ενδεχόμενα του Π. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.1 (συνέχεια): Τι γίνεται αν οι μαθητές κάθε τμήματος στο προηγούμενο μάθημα θέλουν να βγάλουν από έναν εκπρόσωπο, αγνοώντας τι κάνει το «άλλο» τμήμα, είτε τα δυο τμήματα μοιράζονται κοινό μαθητή, είτε όχι? 5 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ανεξάρτητα και Εξαρτημένα Πειράματα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.2: Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω τις όψεις μιας πόρτας, αν διαθέτω τα χρώματα Εξωτερική Όψη Άσπρη Μπλε Εσωτερική Όψη Άσπρη Μπλε Κόκκινη Πράσινη Καφέ και δεν υπάρχει περιορισμός ως προς τη χρήση των χρωμάτων? : 3*4 = 12 διαφορετικοί τρόποι. αν θέλω να βάψω τις δυο όψεις με ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ χρώμα??? : 10 τρόποι. 6 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

5 Κανόνας Γινομένου (I) ΟΡΙΣΜΟΣ COUNT.2 [ ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ]: Έστω πείραμα Π 1 με Ω(Π 1 ) = Ν ενδεχόμενα, και πείραμα Π 2 με Ω(Π 2 ) = Μ (όχι απαραίτητα διαφορετικά) ενδεχόμενα. Θεωρούμε το πείραμα Π που εκτελεί ΚΑΙ ΤΑ ΥΟ πειράματα Π 1 και Π 2, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Τότε, τα ενδεχόμενα του Π είναι Ω(Π) = Μ*Ν. 7 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Κανόνας Γινομένου (IΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.3: (ι) Πόσες 5-ψήφιες συμβολοσειρές μπορούν να κατασκευαστούν με στοιχεία από το αλφάβητο { 0, 1 }? (ιι) Πόσοι είναι οι δυαδικοί αριθμοί με Ν5 bits? (ιιι) Πόσοι είναι οι περιττοί δυαδικοί αριθμοί με Ν5 bits? : (ι) 2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 _0 ή 1_ _0 ή 1_ _0 ή 1_ _0 ή 1_ _0 ή 1_ (ιι) ( ) + 1 = 2 5 δυαδικοί αριθμοί: ψήφιοι αριθμοί: _1_ _0 ή 1_ _0 ή 1_ _0 ή 1_ _0 ή 1_ ψήφιοι αριθμοί: _ 1 _ _ 0 ή 1 _ _ 0 ή 1 _... (ιιι) 2 4 περιττοί αριθμοί: _0 ή 1_ _0 ή 1_ _0 ή 1_ _0 ή 1_ _1_ 8 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

6 Κανόνας Γινομένου (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.4: Πόσες είναι οι διαθέσιμες πινακίδες για τα αυτοκίνητα που κυκλοφορούν στην Ελλάδα? Υποθέτουμε ότι όλα τα γράμματα του ελληνικού αλφάβητου (και όχι μόνο αυτά που υπάρχουν και στο λατινικό αλφάβητο) αφάβηο) είναι αποδεκτά, ενώ εώτο πρώτο αριθμητικό ψηφίο ΕΝ είναι το 0. : 24 3 *9*10 3 = 24 x 24 x 24 x 9 x 10 x 10 x 10 _Α...Ω_ _Α...Ω_ _Α...Ω_ _1...9_ _0...9_ _0...9_ _0...9_ 9 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μεταθέσεις και ιατάξεις (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.5: Πόσες καρκινικές συμβολοσειρές (δηλαδή, που διαβάζονται ως ο ίδιος αριθμός είτε από δεξιά δξάπρος τα αριστερά, είτε από αριστερά προς τα δεξιά) με 2Κ+1 (ή με 2Κ) bits υπάρχουν στο δεκαδικό σύστημα? : 10 Κ+1 καρκινικές συμβολοσειρές των 2Κ+1 bits: _1_ _2_ οοο _Κ_ _Κ+1_ _Κ+2_ Κ Κ+1 Κ+2 οοο _2Κ_ _2Κ+1_ 2Κ+1 10 x 10 x x 10 x 10 x 1 x x 1 x 1 ooo ooo Όμοια: 10 Κ καρκινικές συμβολοσειρές των 2Κ bits. 10 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

7 Μεταθέσεις και ιατάξεις (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.6: ιαθέτω 3(διαφορετικούς) πίνακες ζωγραφικής για να τους κρεμάσω σε 3 (δαερ (διακεκριμένα) έα) καρφιά ενός εόςτοίχου. ο Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό? : Έστω μια αρίθμηση των πινάκων. Πείραμα για 1 ο καρφί: ιάλεξε από { μικρότερος, μεσαίος, μεγαλύτερος } Πί Πείραμα για 2 ο καρφί: άλ ιάλεξε από { μικρότερος, μεγαλύτερος } Πείραμα για 3 ο καρφί: ιάλεξε από { μικρότερος } Κ. Γινομένου: 3 x 2 x 1 = 6 επιλογές 11 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μεταθέσεις και ιατάξεις (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.6 (συνέχεια): Τι γίνεται όταν έχουμε 5 πίνακες και μόλις 3 καρφιά? Εξετάζω τα καρφιά διαδοχικά: 5επιλογές για 1 ο καρφί 4επιλογές για 2 ο καρφί 3 επιλογές για 3 ο καρφί Κ. Γινομένου: 5*4*3 = 60 επιλογές 12 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

8 Μεταθέσεις και ιατάξεις (ΙV) ΟΡΙΣΜΟΣ COUNT.3 [ ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ]: Έστω συλλογή Ν ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ αντικειμένων. 1. Όλοι οι τρόποι τοποθέτησης Κ από αυτά ( 1 Κ Ν ) στην ευθεία (δηλαδή, σε Κ ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ θέσεις) είναι: Ρ(Ν,Κ) =Ν*(Ν-1)*...*(Ν-Κ+1) = Ν! /[(Ν-Κ)!] Κάθε τοποθέτηση στη σειρά Κ από Ν διακεκριμένα αντικείμενα, ονομάζεται διάταξη Κ από Ν διακεκριμένα αντικείμενα. 2. Κάθε τοποθέτηση και των Ν διακεκριμένων αντικειμένων στη σειρά (δηλαδή, σε Ν διακεκριμένες θέσεις) ονομάζεται μετάθεση των Ν διακεκριμένων αντικειμένων. Υπάρχουν Ν! =Ρ(Ν,Ν) Ν) διαφορετικές μεταθέσεις Ν διακεκριμένων αντικειμένων. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τα αντικείμενα ε α μιας συλλογής αντικειμένων ονομάζονται ο ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ (ή διακριτά) όταν είμαστε σε θέση να ξεχωρίσουμε το ένα από το άλλο, βάσει κάποιου μοναδικού τους χαρακτηριστικού. ιαφορετικά, αναφερόμαστε σε ΜΗ ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ (ή μη διακριτά) αντικείμενα. 13 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικά Παραδείγματα Α. Έστω 3(διαφορετικά) διαγωνίσματα, για 5 εργάσιμες ημέρες. Αν δεν επιτρέπεται να υπάρχουν δυο διαγωνίσματα την ίδια μέρα, πόσα διαφορετικά προγράμματα μπορούν να καταρτιστούν? : 5*4*3 543 Β. Ποιος είναι ο αριθμός των 4-ψήφιων δεκαδικών αριθμών, δίχως επαναλαμβανόμενα ψηφία? Το 1 ο ψηφίο δεν πρέπει να είναι το ΜΗ ΕΝ 9 επιλογές Το 2 ο ψηφίο δεν επαναλαμβάνει το 1 ο 9 επιλογές Το 3 ο ψηφίο δεν επαναλαμβάνει το 1 ο και το 2 ο 8 επιλογές Το 4 ο ψηφίο δεν επαναλαμβάνει το 1 ο, 2 ο και 3 ο 7 επιλογές ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ: 9*9*8*7 αριθμοί. 14 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

9 ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε Κουτιά (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.7: Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω Κ διακεκριμένα σφαιρίδια σε Ν διακεκριμένα κουτιά, αν κάθε κουτί χωρά ΤΟ ΠΟΛΥ ένα σφαιρίδιο? Α Β Γ Τι γίνεται όταν τα κουτιά έχουν άπειρη χωρητικότητα? ΠΡΟΤΑΣΗ COUNT.1 [ ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε ιακεκριμένα Κουτιά (Α) ]: Υπάρχουν Ν Κ τρόποι να τοποθετήσουμε Κ διακεκριμένα σφαιρίδια σε Ν διακεκριμένα κουτιά, όταν ΕΝ ΕΝ ΙΑΦΕΡΕΙ η σειρά των σφαιριδίων μέσα σε κάθε κουτί και τα κουτιά έχουν ΑΠΕΙΡΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ. 15 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε Κουτιά (ΙΙ) Μερικά απλά παραδείγματα 1. Με πόσους τρόπους προγραμματίζονται 3 διαφορετικά διαγωνίσματα σε 5 διαφορετικές μέρες, αν σε μια μέρα χωράνε ακόμα και τα τρία διαγωνίσματα και δεν έχει σημασία η σειρά εξέτασης την ίδια μέρα? 2. Ποιος ο πληθάριθμος δυναμοσυνόλου ενός συνόλου A? 2: υο διακεκριμένα κουτιά (ΝΑΙ/ΟΧΙ) όπου τοποθετούμε Α διακεκριμένα σφαιρίδια, ένα για κάθε αντικείμενο του Α. Το ΝΑΙ περιλαμβάνει τα σφαιρίδια του εκάστοτε υποσυνόλου Βτου Α που κατασκευάζουμε. Το ΟΧΙ αφορά το υποσύνολο Α Β. εν ενδιαφέρει η σειρά εντός των κουτιών (φτιάχνουμε σύνολα). P(A) = 2 Α (οι τρόποι τοποθέτησης των Α διακεκριμένων αντικειμένων σε 2 διακεκριμένες υποδοχές άπειρης χωρητικότητας, όπου δεν ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης στα κουτιά). 16 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΝΑΙ ΟΧΙ

10 ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε Κουτιά (ΙII) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.8: Πόσες είναι οι Ν-ψήφιες δυαδικές συμβολοσειρές με ΑΡΤΙΟ πλήθος εμφανίσεων του «1»? φ : Συνάρτηση από το σύνολο ο των (Ν-1)-ψήφιων ω συμβολοσειρών στο καρτεσιανό γινόμενο των Ν-ψήφιων συμβολοσειρών: (Ν-1)-ψήφια δυαδική συμβολοσειρά Χ, φ(χ) = (Χ0,Χ1) ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Η φ είναι «1-1». ΑΡΑ: #ζευγών Ν-ψήφιων συμβολοσειρών (Χ0,Χ1) με κοινό πρόθεμα Ν 1 χαρακτήρων == # (Ν-1)-ψήφιων συμβολοσειρών == 2 Ν Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε Κουτιά (ΙV) Σ : Σχέση από ζεύγη των Ν-ψήφιων ακολουθιών με κοινό (Ν-1)-πρόθεμα στο σύνολο των Ν-ψήφιων ακολουθιών: (Ν-1)-ψήφια ή συμβολοσειρά Ζ, ((Ζ0,Ζ1), Ζ1) Ζ0), ((Ζ0,Ζ1), Ζ1) Σ Κάθε Ν-ψήφια συμβολοσειρά Ζb, b{ 0, 1 }, εμφανίζεται ως δεύτερη (εικόνα) στη Σ ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ ΦΟΡΑ. Κάθε ζεύγος (Ζ0,Ζ1) έχει ακριβώς δυο εικόνες Ζ0,Ζ1 στη Σ, εκ των οποίων ΑΚΡΙΒΩΣ Η ΜΙΑ έχει άρτιο #1. # Ν-ψήφιων ακολουθιών με άρτιο πλήθος «1» == #ζευγών Ν-ψήφιων συμβολοσειρών (Χ0,Χ1) με κοινό πρόθεμα Ν 1 χαρακτήρων == 2 Ν Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

11 ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε Κουτιά (IV IV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.9: Πόσες είναι οι 5-δικές ( δηλαδή, χρησιμοποιώντας ψηφία από το {0,1,2,3,4} ) Ν-ψήφιες ακολουθίες που έχουν άρτιο αριθμό εμφανίσεων του 1? ΠΟΣΕΣ Ν-ψήφιες ακολουθίες (δίχως περιορισμό)? = 5 Ν ΠΟΣΕΣ Ν-ψήφιες ακολουθίες με ψηφία από το { 2, 3, 4 }? = 3 Ν...αυτές οι ακολουθίες έχουν ΑΡΤΙΟ # Εμφανίσεων ( == 0 ) του 1... Χωρίζω ρζ τις υπόλοιπες 5 Ν 3 Ν ακολουθίες, σε ομάδες όμοιων αντικειμένων, αφού πρώτα αντικαταστήσω τις εμφανίσεις των 0 και 1 με Χ. Πχ, για Ν=5 η ομάδα 224Χ3 περιλαμβάνει ακριβώς δυο ακολουθίες: και Έστω οποιαδήποτε ομάδα με Κ εμφανίσεις του Χ. Στην ομάδα αυτή ανήκουν 2 Κ διαφορετικές ακολουθίες, αλλά μόνο 2 Κ-1 από αυτές έχουν άρτιο αριθμό εμφανίσεων του 1. # ακολουθιών με άρτιο # Εμφανίσεων του 1= 3 Ν + ½ *(5 Ν 3 Ν ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Έμμεση απόδειξη ότι το ½ *(5 Ν 3 Ν ) είναι φυσικός αριθμός (δηλαδή, ότι το 5 Ν 3 Ν είναι άρτιος αριθμός)!!! 19 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε Κουτιά (V) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.10: Έστω ότι δίνεται αλφάβητο με τα εξής ψηφία: Υπάρχουν ψηφία που αν τα περιστρέψουμε κατά 180 ο, δίνουν πάλι έγκυρο ψηφίο: 0 0, 1 1, 2 2, 5 5, 6 9, 8 8. Ένα «χαρτάκι» είναι η αποτύπωση στο χαρτί ενός 5- ψήφιου αριθμού, χρησιμοποιώντας ψηφία από αυτά που μας δίνονται. Πχ, το «χαρτάκι» μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση τόσο του 02529, αλλά και του 62520: Για να αναπαραστήσουμε με «χαρτάκια»ολεσ τις 5- ψήφιες συμβολοσειρές στο συγκεκριμένο αλφάβητο, ποιο το ελάχιστο πλήθος από «χαρτάκια» που απαιτούνται? 20 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

12 ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε Κουτιά (VΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.10 (συνέχεια): Πλήθος 5-ψήφιων συμβολοσειρών (χωρίες περιορισμό) 10 5 == // διακεκριμένα σφαιρίδια σε διακκεκριμένες υποδοχές άπειρης χωρητικότητας και ΕΝ ενδιαφέρει η σειρά Πλήθος 5-ψήφιων συμβολοσειρών ΜΟΝΟ με συμμετρικά ψηφία (από το αλφάβητο { 0, 1, 2, 5, 6, 8, 9 }) 7 5 == // διακεκριμένα σφαιρίδια σε διακκεκριμένες υποδοχές άπειρης χωρητικότητας και ΕΝ ενδιαφέρει η σειρά Όλες οι άλλες ( στο πλήθος τους ) 5-ψήφιες ή συμβολοσειρές που περιέχουν ΚΑΙ μη συμμετρικά ψηφία από το { 3, 4, 7 } χρειάζονται από ένα ΜΟΝΑ ΙΚΟ «χαρτάκι» (δεν αναποδογυρίζονται αυτά τα «χαρτάκια» ). 21 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε Κουτιά (VΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.10 (συνέχεια): Συμβολοσειρές με συμμετρικά ψηφία με ΜΟΝΑ ΙΚΟ χαρτάκι: _ Α _ _ Β _ _ Ζ _ _ Β _ _ Α _ Ζ { 0, 1, 2, 5, 8 } // απεικονίζεται στον εαυτό του Α, Β { 0, 1, 2, 5, 6, 8, 9 } // κανένας περιορισμός Β = Βγια Β { 0, 1, 2, 5, 8 }, Β =6 για Β = 9 και Β = 9 για Β = 6 Α = Αγια Α { 0, 1, 2, 5, 8 }, Α =6 για Α = 9 και Α = 9 για Α = 6 Κανόνας Γινομένου: 5(επιλογές Ζ) * 7 (επιλογές Α) * 7 (επιλογές Β) = 5*7 2 συμμετρικές συμβολοσειρές με ΜΟΝΑ ΙΚΟ χαρτάκι. Όλες οι άλλες μοιράζονται ένα χαρτάκι ανά δύο. Οι υπόλοιπες 7 5 5*7 2 συμμετρικές ακολουθίες απαιτούν τα μισά «χαρτάκια». #Χαρτάκια = *7 2 + ½ * [ 7 5 5*7 2 ] = 10 5 ½ * [7 5 5*7 2 ] 22 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

13 Εφαρμογές Εγκλεισμού -- Αποκλεισμού (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.11: Να υπολογιστεί το πλήθος τοποθέτησης στην ευθεία όλων των γραμμάτων του λατινικού αλφάβητου, έτσι ώστε να μην εμφανίζεται καμιά από τις λέξεις «bird», «fish» και «rat». Β = σύνολο τοποθετήσεων που εμφανίζουν τη λέξη bird. F= σύνολο τοποθετήσεων που εμφανίζουν τη λέξη fish. R= σύνολο τοποθετήσεων που εμφανίζουν τη λέξη rat. ZHTOYMENO? Ω (BFR) = Ω BFR 23 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Εφαρμογές Εγκλεισμού -- Αποκλεισμού (II) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.11 (συνέχεια): Ω = 26! { a, bird, c, e, f, g, h, j, k, l, m, n, o, p, q, s, t, u, v, w, x, y, z } Β = F = R = 23! { a, b, c, d, e, fish, g, j, k, l, m, n, o, p, r, q, t, u, v, w, x, y, z } BF = 0 BR = 0 FR = 21! { b, c, d, e, fish, g, j, k, l, m, n, o, p, q, rat, u, v, w, x, y, z } BFR = 0 23! { b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, rat, s, u, v, w, x, y, z } 24! { b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, rat, s, u, v, w, x, y, z } BFR = B + F + R BF BR FR + BFR ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Ζ = 26! 23! 23! 24! + 21! 24 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

14 Εφαρμογές Εγκλεισμού -- Αποκλεισμού (IIΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.11 (Παραλλαγή): Να υπολογιστεί το πλήθος τοποθέτησης στην ευθεία όλων των γραμμάτων του λατινικού αλφάβητου, έτσι ώστε να μην εμφανίζεται καμιά από τις λέξεις «bird», «fish» και «date». Αφήνεται ως άσκηση! 25 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Εφαρμογές Εγκλεισμού -- Αποκλεισμού (IV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.12: Μια φοιτήτρια φτιάχνει πρόγραμμα μελέτης για 7 μέρες. Πρέπει να μελετά ένα μάθημα ανά ημέρα. Παρακολουθεί 4 μαθήματα: { Μ, Φ, Χ, Ο }. Πόσα προγράμματα υπάρχουν που αφιερώνουν σε κάθε μάθημα τουλάχιστον μια μέρα? Όλα τα προγράμματα (χωρίς περιορισμό): Ω = 4 7 ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ??? // 7 διακεκριμένα αντικείμενα σε 4 διακεκριμένες υποδοχές άπειρης χωρητικότητας Ζ = Ω Α Μ Α Φ Α Χ Α Ο. 26 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

15 Εφαρμογές Εγκλεισμού -- Αποκλεισμού (V) Α Σ = σύνολο έγκυρων προγραμμάτων (δηλ. ένα μάθημα / ημέρα) που δεν περιλαμβάνουν το μάθημα Σ, για Σ { Μ, Φ, Χ, Ο }: Α = = = = 7 Μ Α Φ Α Χ Α Ο 3 Α Σ1 Α Σ2 = σύνολο έγκυρων προγραμμάτων που δεν περιλαμβάνουν κανένα από τα Σ1, Σ2 { Μ, Φ, Χ, Ο } : Σ1 Σ2: Α Μ Α Φ = Α Μ Α Χ = Α Μ Α Ο = Α Φ Α Χ = Α Φ Α Ο = Α Χ Α Ο = 2 7 Α Σ1 Α Σ2 Α Σ3 = σύνολο έγκυρων προγραμμάτων που δεν περιλαμβάνουν τα Σ1,Σ2,Σ3 { Μ, Φ, Χ, Ο } : Σ1 Σ2 Σ3: Α Μ Α Φ Α Χ = Α Μ Α Φ Α Ο = Α Μ Α Χ Α Ο = Α Φ Α Χ Α Ο = 1 7 = 1 Α Μ Α Φ Α Χ Α Ο = σύνολο έγκυρων προγραμμάτων που δεν περιλαμβάνουν κανένα μάθημα : Α Μ Α Φ Α Χ Α Ο = 0 27 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Εφαρμογές Εγκλεισμού -- Αποκλεισμού (VI) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.12 (συνέχεια): ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ Α Μ Α Φ Α Χ Α Ο = Α Μ + Α Φ + Α Χ + Α Ο Α Μ Α Φ Α Μ Α Χ Α Μ Α Ο Α Φ Α Χ Α Φ Α Ο Α Χ Α Ο + Α Μ Α Φ Α Χ + Α Μ Α Φ Α Ο + Α Μ Α Χ Α Ο + Α Φ Α Χ Α Ο Α Μ Α Φ Α Χ Α Ο = 4*3 7 6* *1 7 0 = 4*3 7 6* ΑΡΑ: Υπάρχουν 4 7 4* *2 7 4 = 8400 προγράμματα που εξασφαλίζουν τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. 28 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

16 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.12 (συν.): ε Τρ Τε Πε Πα Σα Κυ Μια «Άλλη» Προσέγγιση??? Μ Φ Χ Ο Ρ(7,4) διαφορετικοί τρόποι να εξασφαλίσω μια ακριβώς μέρα σε κάθε μάθημα. 4 3 τρόποι να αναθέσω τις υπόλοιπες τρεις μέρες στα 4 μαθήματα, χωρίς να ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης των μερών στα μαθήματα. ΑΡΑ: Ρ(7,4) (, ) * 4 3 = διαφορετικά προγράμματα που εξασφαλίζουν τουλάχιστον μια μέρα ανά μάθημα!!! ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΛΑΘΟΣ??? Οι ακόλουθες αναθέσεις εκλαμβάνονται ως διαφορετικά προγράμματα! Πα Σα Κυ ε Σα Κυ ε Τρ Τε Πε Πα Τρ Τε Πε 29 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ομάδες Όμοιων Σφαιριδίων σε Κουτιά (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.13: Πόσοι οι τρόποι τοποθέτησης 3 κόκκινων, μιας μπλε και μιας άσπρης μπάλας, σε 10 διακεκριμένες υποδοχές χωρητικότητας ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΙΑΣ μπάλας η καθεμιά? : ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ == Πλήθος τοποθετήσεων της μορφής: Έστω το σύνολο διακεκριμένων μπαλών { Κ1, Κ2, Κ3, Μ, Α } #τοποθετήσεων του { Κ1, Κ2, Κ3, Μ, Α } στις υποδοχές == Ρ(10,5) ΟΜΩΣ: Τα 3 κόκκινα σφαιρίδια είναι όμοια. Κ1 Α Κ2 Κ3 Μ Κάθε 6-άδα με τα κόκκινα σφαιρίδα σε συγκεκριμένες θέσεις πρέπει να μετρώνται ΜΙΑ ΦΟΡΑ (πόσες?). ς Κ1 Α Κ3 Κ2 Μ Κ2 Α Κ1 Κ3 Μ Κ2 Α Κ3 Κ1 Μ Κ3 Α Κ1 Κ2 Μ ΑΡΑ: Ρ(10,5) / Ρ(3,3) Κ3 Α 30 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Κ2 Κ1 Μ

17 Ομάδες Όμοιων Σφαιριδίων σε Κουτιά (ΙΙ) ΠΡΟΤΑΣΗ COUNT.2 [ Τοποθετήσεις Ομάδων Αντικειμένων σε Υποδοχές ]: Υπάρχουν Ρ(Ν,Κ) / [Κ 1!*...Κ λ! ] διαφορετικές τοποθετήσεις Κ αντικειμένων που χωρίζονται σε λ ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ ΟΜΑ ΕΣ με πληθικότητες Κ 1, Κ 2,..., Κ λ, σε Ν ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ υποδοχές, όταν κάθε υποδοχή χωρά ΤΟ ΠΟΛΥ ΕΝΑ αντικείμενο ε (και α άρα Κ Ν). ΑΠΟ ΕΙΞΗ Υπάρχουν Ρ(Ν,Κ) τοποθετήσεις Κ διακεκριμένων αντικειμένων σε Ν διακεκριμένες υποδοχές, ώστε να εξασφαλιστεί το πολύ μια μπάλα ανά υποδοχή, (άρα, αναγκαστικά Κ Ν). εδομένης μιας τοποθέτησης Σ, τα Κ μ αντικείμενα της μ-στής ομάδας είναι στην πραγματικότητα ΟΜΟΙΑ μεταξύ τους, και οι Κ μ! διαφορετικές μεταθέσεις τους στις συγκεκριμένες ρμ θέσεις που έχουν καταλάβει, ΕΝ δίνουν διαφορετικές τοποθετήσεις ως προς τη Σ. Συνολικά, κάθε τοποθέτηση Σ αντιστοιχεί σε Κ 1!*...Κ λ! διαφορετικές (και μοναδικές) διατάξεις των Κ αντικειμένων (όταν εκλαμβάνονται ως διακεκριμένα). 31 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ομάδες Όμοιων Σφαιριδίων σε Κουτιά (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.14: Έστω 5 διαφορετικά δωμάτια σε μια σχολή, και θέλω τα 3 από αυτά για αίθουσες διδασκαλίας, ενώ τα άλλα δυο θα γίνουν εργαστήρια. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό αν: 1. Τα εργαστήρια είναι πανομοιότυπα. 2. Το ένα εργαστήριο είναι UNIX και το άλλο WINDOWS. 1. Έχουμε δυο ομάδες αντικειμένων, Α(ίθουσα διδασκαλίας), Α, Α και E(ργαστήριο), E που πρέπει να τοποθετηθούν σε 5 διακεκριμένες υποδοχές (μια για καθένα από τα διαφορετικά δωμάτια). ) ηλαδή, πρέπει να τοποθετήσουμε τη συλλογή 5 αντικειμένων { Α, Α, Α, Ε, Ε} σε 5 διακεκριμένες υποδοχές χωρητικότητας 1. Υπάρχουν 5! / [3!*2!] = 10 τρόποι. 2. Εδώ έχουμε τα 5 αντικείμενα της συλλογής { Α, Α, Α, U, W } άρα, και πάλι από την έχουμε 5! / [3!*1!*1!] = 20 τρόπους. 32 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

18 Ένα ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΚΟ Παράδειγμα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.15: Έστω ότι έχουμε δυο ομάδες όμοιων αντικειμένων, { Α1, Α2 } και { Β1, Β2, Β3 } (δηλαδή, δε μας ενδιαφέρει η αλλαγή μεταξύ των θέσεων των Α, ούτε η εναλλαγή θέσεων των Β). Με πόσους τρόπους μπορώ να κατασκευάσω διατάξεις 2 από αυτά τα 5 αντικείμενα? ΣΩΣΤΗ : ΛΑΘΟΣ : 4 διαφορετικές διατάξεις: ΑΑ, ΑΒ, ΒΑ, ΒΒ Από εφαρμογή του προηγούμενου τύπου Ρ(5,2) / [ 2! * 3! ] = 5 / 3 ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΛΑΘΟΣ??? Λάθος Εφαρμογή Τύπου: Έχουμε Κ=5 αντικείμενα και τοποθετούμε στην ευθεία ΜΟΝΟ Ν=2 από αυτά (όσες και οι υποδοχές)!!! 33 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ιακεκριμένα Σφαιρίδια Σε Κουτιά / Ενδιαφέρει η Σειρά ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.16: Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω Κ διακεκριμένα σφαιρίδια σε Ν διακεκριμένα κουτιά, αν κάθε κουτί έχει άπειρη χωρητικότητα ΚΑΙ με ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης των σφαιριδίων μέσα σε κάθε κουτί? ΠΡΟΤΑΣΗ COUNT.3 [ ιακεκριμένα Σφαιρίδια σε ιακεκριμένα Κουτιά (Β) )]: Υπάρχουν (Ν+Κ1)! / (Ν1)! τρόποι να τοποθετήσει κανείς Κ ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ σφαιρίδια σε Ν ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ κουτιά, όταν ΕΝ ΙΑΦΕΡΕΙ Η ΣΕΙΡΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗΣ των σφαιριδίων μέσα σε κάθε κουτί, και κάθε κουτί έχει ΑΠΕΙΡΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ομάδα Ν1 μη διακεκριμένων (μεταξύ τους) διαχωριστικών. Η τοποθέτησή τους στην ευθεία θί ορίζει τα N διακεκριμένα κουτιά: ο ο (Ν 1) στό Ν στό ---- Κ διακεκριμένα σφαιρίδια. Εφαρμογή τύπου για μετάθεση Ν+Κ1 αντικειμένων στην ευθεία, που χωρίζονται σε μια ομάδα (Ν1) όμοιων αντικειμένων και σε Κ ομάδες ενός αντικειμένου η καθεμιά. 34 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

19 ιακεκριμένες Σημαίες σε Ιστούς ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.17: Ένα καράβι διαθέτει Κ σημαίες (διακεκρ. σφαιρίδια) και Ν ιστούς (= διακεκρ. κουτιά), στους οποίους μπορεί να τις τοποθετήσει για να κάνει διάφορα σινιάλα. Πόσα σινιάλα μπορεί να σχηματίσει χρησιμοποιώντας όλες τις σημαίες, αν: 1. εν έχει σημασία η σειρά εμφάνισης σημαιών στους ιστούς? : Ν Κ 2. Κανένας ιστός δεν μπορεί να μείνει άδειος [ Κ Ν ] και έχει σημασία η σειρά με την οποία οι σημαίες εμφανίζονται στον κάθε ιστό? : [ Κ! / (Κ Ν)! ] * [ (Κ 1)! / (Ν 1)! ] Ρ(Κ,Ν) =Κ! /(Κ-Ν)! τρόποι να τοποθετήσω Ν από τις Κ διακεκριμένες σημαίες στους Κ διακεκριμένους ιστούς (μια σημαία ανά ιστό). Εφαρμογή τύπου της Πρότασης COUNT.3 για τα υπόλοιπα Κ Ν διακεκριμένα σφαιρίδια στους Ν διακεκριμένους ιστούς: [Ν+(Κ N) 1]! / (Ν 1)! = (Κ 1)! / (Ν 1)! Εφαρμογή κανόνα γινομένου για τα δυο ανεξάρτητα πειράματα. 35 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Επιλογή Υποσυνόλου Αντικειμένων (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ COUNT.4 [ Επιλογή Αντικειμένων Χωρίς Επανάληψη ]: Έστω ότι μας ενδιαφέρει η τοποθέτηση Κ ΟΜΟΙΩΝ σφαιριδίων σε Ν ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ υποδοχές, και κάθε υποδοχή χωρά ΤΟ ΠΟΛΥ ΕΝΑ σφαιρίδιο. Τότε υπάρχουν: C(N,K) = Ρ(Ν,Κ) / Κ! = Ν! / [ Κ! * (Ν Κ)! ] τρόποι. Το C(N,K) καλείται διωνυμικός συντελεστής. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω πείραμα είναι ισοδύναμο με το να διαλέξει κανείς μια ΜΗ ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΗ Κ-άδα, από Ν ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ αντικείμενα (οι υποδοχές) ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ (αφού η χωρητικότητα κάθε υποδοχής είναι 1). ηλαδή, μετράμε τους τρόπους επιλογής ενός ΥΠΟΣΥΝΟΛΟΥ Β Α πληθικότητας Β = Κ, από ένα σύνολο Α πληθικότητας Α = Ν. ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Στο πείραμα της επιλογής ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΗΣ Κ-άδας από Ν διακεκριμένα αντικείμενα (δηλαδή, της τοποθέτησης Κ διακεκριμένων σφαιριδίων σε Ν διακεκριμένες υποδοχές χωρητικότητας 1), είδαμε ότι υπάρχουν Ρ(Ν,Κ) ενδεχόμενα. 36 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

20 Επιλογή Υποσυνόλου Αντικειμένων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.18: Πόσες είναι οι Ν-ψήφιες δυαδικές ακολουθίες με ΑΚΡΙΒΩΣ Κ Νεμφανίσεις του 0? : C(N,K). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.19: Νδο για κάθε Κ Ν, ισχύει ότι η εξής ισότητα: C(N,K) = C(N,N K) K). Η απόδειξη να γίνει τόσο με χρήση συνδυαστικού επιχειρήματος, όσο και με χρήση τύπων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.20: Έστω ότι από ένα σύνολο 11 βουλευτών θέλουμε να δημιουργήσουμε μια επιτροπή από 5 ισότιμα μέλη. Πόσες διαφορετικές επιτροπές μπορούν να σχηματιστούν: 1. Χωρίς κανένα περιορισμό. : C(11,5). 2. ΑΝ ο βουλευτής Χ είναι ΠΑΝΤΑ ΜΕΣΑ στην επιτροπή. : C(10,4). 3. ΑΝ ο βουλευτής Χ είναι ΠΑΝΤΑ ΕΚΤΟΣ της επιτροπής. : C(10,5). 37 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Επιλογή Υποσυνόλου Αντικειμένων (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.20 (συν.): Έστω ότι από ένα σύνολο 11 βουλευτών θέλουμε να δημιουργήσουμε μια επιτροπή από 5 ισότιμα μέλη. Πόσες διαφορετικές επιτροπές μπορούν να σχηματιστούν: 4. ΑΝ στην επιτροπή συμπεριλαμβάνεται ο βουλευτής Χ ή ο βουλευτής Υ. 1 η Λύση: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Α Χ = 5μελείς επιτροπές με τον Χ μέσα Α Υ = 5μελείς επιτροπές με τον Υ μέσα Ζητούμενο = Α Χ Α Υ 2 η Λύση: Ανάλυση σε Αμοιβαία Αποκλειόμενα Γεγονότα ΧE, YE: C(9,3) πιθανές επιτροπές ΧE, YE: C(9,4) πιθανές επιτροπές ΧE, YE: C(9,4) πιθανές επιτροπές ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ: ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ: Τρία διαφορετικά, αμοιβαία αποκλειόμενα Α Χ Α Υ σενάρια για δημιουργία επιτροπών. = Α Χ + Α Α Υ Α Χ Α Υ = 2*C(10,4) C(9,3) = 336 Αποτέλ. = 2*C(9,4) + C(9,3) = Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

21 Όμοια Σφαιρίδια σε Κουτιά (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ COUNT.5 [ Επιλογή αντικειμένων με επανάληψη ]: Έστω ότι μας ενδιαφέρει η τοποθέτηση Κ ΟΜΟΙΩΝ σφαιριδίων σε Ν ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ υποδοχές, και κάθε υποδοχή έχει ΑΠΕΙΡΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ. Τότε, υπάρχουν C(N + Κ 1,K) = (Ν + Κ 1)! / [ Κ! * (Ν 1)!] διαφορετικοί τρόποι να γίνει αυτό. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Μετάθεση Ν+Κ 1 αντικειμένων που χωρίζονται σε δυο ομάδες, Ν 1 ΟΜΟΙΩΝ αντικειμένων (διαχωριστικά), και Κ ΟΜΟΙΩΝ αντικειμένων «*» (σφαιρίδια). Πριν την 1 η εμφάνιση ενός οριοθετείται η 1 η υποδοχή. Ανάμεσα σε 1 η και 2 η εμφάνιση οριοθετείται η 2 η υποδοχή η η (Ν 1) στή Ν στή ---- #μεταθέσεων στην ευθεία == (Ν+Κ1)! / [ Κ! * (Ν1)! ] 39 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Όμοια Σφαιρίδια σε Κουτιά (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ COUNT.21: Έστω 2Τ+1 όμοιες μπάλες και 3 διαφορετικά κουτιά. Με πόσους τρόπους μπορώ να αναθέσω τις μπάλες στα κουτιά: 1. Χωρίς άλλο περιορισμό. ΑΠ.: C(3+(2T+1)1, 2T+1) = C(2T+3, 2T+1) = (2T+3)(T+1) τρόποι. 2. Αν οποιαδήποτε δυο κουτιά έχουν περισσότερες μπάλες από το τρίτο κουτί. Ισοδύναμος Περιορισμός: Κανένα κουτί δεν παίρνει >Τ μπάλες. Μετρώ τις «κακές αναθέσεις» όπου το κουτί Αέχει >Τ μπάλες: Ένας τρόπος τοποθέτησης ΑΚΡΙΒΩΣ Τ+1 όμοιων μπαλών στο κουτί Α. Υπάρχουν C(3+T1, T) = C(T+2, T) τρόποι τοποθέτησης των υπόλοιπων Τ μπαλών σε 3 διακεκριμένα κουτιά άπειρης χωρητικότητας. Κανόνας Γινομένου: 1 * C(T+2, T) «κακές αναθέσεις» με υπερφορτωμένο το Α. Αμοιβαίος Αποκλεισμός: Όταν ένα κουτί έχει τουλάχιστον Τ+1 μπάλες, τα άλλα δυο κουτιά έχουν ΤΟ ΠΟΛΥ Τ μπάλες το καθένα. Τρεις επιλογές για το μοναδικό κουτί με τουλάχιστον Τ+1 μπάλες. Κανόνας Αθροίσματος: «ΚΑΚΕΣ» ΑΝΑΘΕΣΕΙΣ = 3 * C(T+2, T) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ == C(2T+3, 2T+1) 3* C(T+2, T) = Τ(Τ+1)/2. 40 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

22 Ο Τύπος του Pascal ΠΡΟΤΑΣΗ COUNT.6 [ Ο τύπος του Pascal ]: Για κάθε ζεύγος θετικών φυσικών αριθμών Ν,ΚΖ + τ.ώ. Κ Ν, ισχύει ότι : C(N+1, K) = C(N,K-1) + C(N,K). ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ι: ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ Τι μετρά το C(N+1, K)? ΑΠ.: Το πλήθος των Κ-υποσυνόλων συνόλου Αμε Ν+1 στοιχεία. Έστω Α = { α 1, α 2,..., α Ν+1 }. Υπάρχουν δυο αμοιβαία αποκλειόμενες περιπτώσεις για ένα υποσύνολο του Α: Α. Να περιλαμβάνει ε το α 1 (πόσα τέτοια έοαυποσύνολα ολα υπάρχουν?). ΑΠ.: C(N,K-1) Β. Να μην περιλαμβάνει το α 1 (πόσα τέτοια υποσύνολα υπάρχουν?). ΑΠ.: C(N,K) Κανόνας Αθροίσματος: C(N+1, K) = C(N,K-1) + C(N,K). 41 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Το Τρίγωνο του Pascal N \ K k-1 k n C(n,0)=1 C(n,1) C(n,2) C(N,3) C(n,4) C(n,5) C(n,k-1) C(n,k) n+1 C(n+1,0) C(n+1,1) 1) C(n+1,2) C(N+1,3) C(n+1,4) C(n+1,5) C(n+1,k-1) 1) C(n+1,k) =1 C(N +1, K) = C(N,K-1) + C(N,K) 42 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

23 Μερικές Ασκήσεις για τον ιωνυμικούς Συντελεστές (I) A.Να εκφραστεί ως συνάρτηση των C(N,K), C(N,K-1) και C(N,K-2) ο αριθμός C(N+2,K). Με εφαρμογή (πολλές φορές) του τύπου του Pascal: C(N+2 2,K) = C(N+1,K-1) + C(N+1,K) = C(N,K-2) + C(N,K-1) + C(N,K-1) + (N,K) = C(N,K-2) + 2*C(N,K-1) + (N,K) Β.Νδο C(N,K+1) = [(N-K) / (K+1)] * C(N,K) τόσο αλγεβρικά όσο και με συνδυαστικό επιχείρημα, για 0 Κ Ν-1. 1η: ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ C(N,K+1) = Ν! / [ (Κ+1)! (Ν-Κ-1)! ] = [ Ν! /Κ! (Ν-Κ)! ]/{(Κ+1)! (Ν-Κ-1)! Κ / [ Κ! (Ν-Κ)! ]} = C(N,K) / [ (Κ+1) / (Ν-Κ) ] = [(N-K) / (K+1)] * C(N,K) 43 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικές Ασκήσεις για τον ιωνυμικούς Συντελεστές (II) 2η: ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ C(N,K+1): Μετρά το πλήθος των (Κ+1)-υποσυνόλων του συνόλου Α. Έστω Α = { α 1,α 2,...,α Ν+1 }. Π1: Υπάρχουν C(N,K) τρόποι να επιλέξουμε ένα Κ-υποσύνολο Β του Α. Π2: Υπάρχουν (ανεξάρτητα από το Β) Ν-Κ τρόποι να επιλέξουμε ένα επιπλέον στοιχείο του Α Β, ώστε να προκύψει κάποιο ζεύγος ενός στοιχείου γτου Α Β και ενός Κ-υποσυνόλου Β του Α. ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ: Υπάρχουν (Ν-Κ)*C(N,K) ενδεχόμενα, δλδ, ζεύγη (γ, Β), που μπορούν να προκύψουν από την (ανεξάρτητη) εκτέλεση των πειραμάτων Π1 και Π2. Αποφυγή πολλαπλών μετρήσεων: Το (Κ+1)-υποσύνολο Γ = {γ} U Βτου Αθα προκύψει ΑΚΡΙΒΩΣ Κ+1 φορές ως αποτέλεσμα του Π=(Π1,Π2), ανάλογα με το ποιο στοιχείο γτου Γ εμπλέκεται στο Π2, ενώ το Γ {γ} προέκυψε από το Π1. Πλήθος των (Κ+1)-υποσυνόλων του Α = (Ν-Κ)*C(N,K) / (Κ+1). 44 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

24 Μερικές Ασκήσεις για τον ιωνυμικούς Συντελεστές (IΙI) I) Γ. Με συνδυαστκικό επιχείρημα νδο για φυσικούς αριθμούς Μ,Ν,Κ τ.ώ. Μ,Ν Κ, ισχύει: C(M+N,K) = Σ Λ=0...Κ C(M,Λ)*C(N,K-Λ) Έστω σύνολα Α = { α 1,α 2,...,α Μ } και Β = { β 1,β 2,...,β Ν } τ.ώ. Α Β. Εκτελούμε το πείραμα «επιλογή υποσυνόλου Κ αντικειμένων από το ΑΒ» : C(M+N,K) ενδεχόμενα. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΡΗΣΗ: Αμοιβαία αποκλειόμενες περιπτώσεις: 0 στοιχεία από το Α και Κ από το Β, ή C(M,0)*C(N,K) ενδεχόμενα 1 στοιχείο από το Α και Κ-1 από το Β, ή C(M,1)*C(N,K-1) ενδεχόμενα 2 στοιχεία από το Α και Κ-2 από το Β, ή C(M,2)*C(N,K-2) ενδεχόμενα... Κ-1 στοιχεία από το Α και 1 από το Β, ή C(M,K-1)*C(N,1) ενδεχόμενα Κ στοιχεία από το Α και 0 από το Β. C(M,Κ)*C(N,0) ενδεχόμενα ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ: Σ Λ=0...Κ C(M,Λ)*C(N,K-Λ) ενδεχόμενα. 45 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικές ταυτολογίες από το...γυμνάσιο: (α+β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 (α+β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3 (α+β) 4 = α 4 + 4α 3 β + 6α 2 β 2 + 4αβ 3 + β 4... Σας θυμίζει κάτι??? ιωνυμικό Θεώρημα Το Τρίγωνο του Pascal δίνει τους κατάλληλους συντελεστές των μονωνύμων!!! ΠΡΟΤΑΣΗ COUNT.7 [ ιωνυμικό Θεώρημα ]: Για κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών α,βr και οποιονδήποτε φυσικό αριθμό nν ισχύει ότι : (α+β) n = Σ k=0...n C(n,k) α k β n-k. 46 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

25 Συνδυαστική Απόδειξη ιωνυμικού Θεωρήματος (α+β) n = (α+β) (α+β)... (α+β) Πόσες φορές εμφανίζεται το α k β n-k στο παραπάνω γινόμενο? Από τι εξαρτάται αυτό (συνδυαστικό δ ό επιχείρημα)? Υπάρχουν n ανεξάρτητα πειράματα καθένα από τα οποία πρέπει να αποφασίσει πώς θα συνεισφέρει στον όρο α k β n-k. ηλαδή, κάθε «παρένθεση» τοποθετεί ένα (διακεκριμένο) σφαιρίδιο σε μια από τις 2 διακεκριμένες υποδοχές με χωρητικότητες k(για το α) και n-k (για το β), όπου δεν ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης των σφαιριδίων στα κουτιά ooo n-1 n α β Ισοδύναμα, αρκεί να επιλέξουμε το k-υποσύνολο των σφαιριδίων που θα τοποθετηθούν στο κουτία α. Τα υπόλοιπα θα τοποθετηθούν στο κουτί β. Υπάρχουν C(n,k) τρόποι να γίνει αυτό. 47 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Αλγεβρική Απόδειξη ιωνυμικού Θεωρήματος [ΒΑΣΗ] Για n=0: (α+β) 0 = 1 και Σ k=0...0 C(0,k) α k β 0-k = C(0,0)α 0 β 0 = 1. [ΥΠΟΘΕΣΗ] Έστω για κάποιο n 0 ότι : (α+β) n = Σ k=0...n C(n,k) α k β n-k. [ΒΗΜΑ] Θδο (α+β) n+1 = Σ k=0...n+1 C(n+1,k) α k β n+1-k : (α+β) n+1 = (α+β) (α+β) n = (α+β) Σ k=0...n C(n,k) α k β n-k = Σ k=0...n C(n,k) α k+1 β n-k + Σ k=0...n C(n,k) α k β n+1-k = Σ j=1...n+1 C(n,j-1) α j β n-(j-1) + Σ k=0...n C(n,k) α k β n+1-k \\ αλλαγή μεταβλητής πρώτου αθροίσματος: j = k+1 = Σ k=1...n+1 C(n,k-1) α k β n+1-k + Σ k=0...n C(n,k) α k β n+1-k \\ μετονομασία μεταβλητής πρώτου αθροίσματος: k = j = C(n,n) α n+1 β 0 + C(n,0) α 0 β n+1 + Σ k=1...n [ C(n,k-1) + C(n,k) ] α k β n+1-k = C(n,n) α n+1 β 0 + C(n,0) α 0 β n+1 + Σ k=1...n C(n+1,k) α k β n+1-k \\ εφαρμογή τύπου Pascal... = C(n+1,n+1) α n+1 β 0 + C(n+1,0) α 0 β n+1 + Σ k=1...n C(n+1,k) α k β n+1-k = Σ k=0...n+1 C(n+1,k) α k β n+1-k \\ C(n,n) = C(n+1,n+1) 1) = C(n,0) = C(n+1,0) = Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

26 Μερικές Ασκήσεις ιωνυμικού Θεωρήματος (I) Α. Να δώσετε μια ισοδύναμη κλειστή μορφή (δλδ, δίχως άθροισμα) για την συνάρτηση: Σ Κ=0...Ν C(Ν,Κ) 9 Κ Σ Κ=0...Ν C(Ν,Κ) 9 Κ = Σ Κ=0...Ν C(Ν,Κ) 9 Κ 1 Ν-Κ = (9+1) Ν = 10 Ν // χρήση διωνυμικού θεωρήματος... Β. Νδο για κάθε φυσικό αριθμό Ν, ισχύει η εξής ταυτότοτα: Σ Κ=0...Ν (-1) Κ C(Ν,Κ) 2 Ν-Κ = 1 Σ Κ=0...Ν (-1) Κ C(Ν,Κ) 2 Ν-Κ = (-1+2) Ν = 1 Ν = 1 // χρήση διωνυμικού θεωρήματος Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικές Ασκήσεις ιωνυμικού Θεωρήματος (II) Γ. Να δώσετε κλειστό τύπο (δλδ, ως μια συνάρτηση του Ν, δίχως αθροίσματα) για τον τύπο: Σ Κ=1...Ν Κ C(Ν,Κ) 3 Κ 1 η : Σ Κ=1...Ν Κ C(Ν,Κ) 3 Κ = Σ Κ=1...Ν Κ Ν! / [Κ! (Ν-Κ)!] 3 Κ = Σ Κ=1...Ν Ν! / [(Κ-1)! (Ν-Κ)!] 3 Κ = Σ Κ=1...Ν Ν! / [(Κ-1)! (Ν-1-Κ+1)!] 3 Κ = Σ Κ=1...Ν N C(N-1,K-1) 3 Κ = N Σ Κ=0...Ν-1 C(N-1,K) 3 Κ+1 = 3N 4 N-1 2 η : Μελετάμε τη συνάρτηση φ (της οποίας η τιμή φ(3) είναι ο ζητούμενος τύπος: φ(χ) = 3 Σ Κ=1...Ν C(Ν,Κ) Κ Χ Κ-1 = 3 Σ Κ=1...Ν C(Ν,Κ) d(χ Κ )/ dx = 3 d( Σ Κ=1...Ν C(Ν,Κ) Χ Κ ) / dx = 3 d( (1+Χ) N 1) / dx =3 N (1+X) N1 Καταλήγουμε λοιπόν ότι Σ Κ=1...Ν Κ C(Ν,Κ) 3 Κ = φ(3) = 3Ν 4 N Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

27 Ενδεικτικές Ασκήσεις Επανάληψης (Ι) Α. Βρείτε τους τρόπους να τοποθετηθούν στην ευθεία επτά Α, οκτώ B, πέντε C και τέσσερα D χωρίς εμφάνιση της συμβολοσειράς CA 19! / [ 8! 7! 4! ] διαφορετικές διατάξεις για {7 7xA, 8xB, και 4xD } χ.π. Οποιαδήποτε διάταξη (στην ευθεία) των { 7xA, 8xB, και 4xD }, δημιουργεί 20 διαστήματα (διακεκριμένες ρμ ςυποδοχές) χς) όπου θα τοποθετηθούν τα 5xC (όμοια μ σφαιρίδια). Πχ, η διάταξη (B,A,B,B,D,A,D,D,B,D,A,A,A,A,B,B,A,B,B) δίνει: B A B B D A D D B D A A A A B B A B B Επιτρέπεται η τοποθέτηση οθέ περισσότερων ερω (ίσως και όλων) ) από ένα C στην ση ίδια υποδοχή (που αντιστοιχούν σε διαδοχική εμφάνιση αυτών των C). Όμως τα C μπορούν να τοποθετηθούν μόνο σε 13 από αυτές τις υποδοχές, (εξαιρούνται οι υποδοχές που τερματίζουν σε κάποιο A). Στο προηγούμενο παράδειγμα, οι απαγορευμένες υποδοχές σημειώνονται με κόκκινο Χ: B Χ A B B D Χ A D D B D Χ A Χ A Χ A Χ A B B Χ A B B Τοποθέτηση 5 ΟΜΟΙΩΝ σφαιριδίων σε 13 ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ υποδοχές, με άπειρη χωρητικότητα : C(13+5 1,5) 5)=C(17 C(17,5). Παρατηρούμε τέλος ότι τα πειράματα «διάταξη της συλλογής γραμμάτων { 7xΑ, 8xΒ, 4xD } (στην ευθεία)» και «τοποθέτηση των 5xC στα 13 επιτρεπτά κενά που σχηματίζονται» είναι μεταξύ τους ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ. 51 Κ. Γινομένου: 19! / [ 8! 7! 4! ] * C(17,5) = τρόποι. Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ενδεικτικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙ) Β. Πόσες ακολουθίες μήκους 15 που απαρτίζονται από 6 μηδενικά, 5 άσσους και 4 δυάρια μπορούμε να φτιάξουμε, με την προϋπόθεση ότι το πρώτο στη σειρά μηδενικό που εμφανίζεται προηγείται του πρώτου άσσου; 15 διακεκριμένες θέσεις (υποδοχές χωρητικότητας 1), για τρεις ομάδες 6, 5 και 4 αντικειμένων (σφαιριδίων) η καθεμιά. Για την ομάδα με τα «2» δεν υπάρχει κανένας περιορισμός. Άρα, C(15,4) επιλογές για τα δυάρια. Τα υπόλοιπα 11 αντικείμενα {6x 6x«0», 5x«1» } υπάρχουν 11 ελεύθερες θέσεις) και η πρώτη από τις ελεύθερες 11 θέσεις πρέπει να καταληφθεί από «0» (ένας τρόπος). Στις 10 ελεύθερες θέσεις για τα { 5x«0», 5x«1» } δεν υπάρχει άλλος περιορισμός: Ρ(10,10) / [5! * 5! ] τρόποι. 52 Κ. Γινομένου: C(15,4) * Ρ(10,10) / [5! * 5! ] = C(15,4) * C(10,5) Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

28 Ενδεικτικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙΙ) C. Πόσες διαφορετικές συμβολοσειρές μπορείτε να φτιάξετε με τα γράμματα της λέξης «ΠΑΡΑΠΟΝΑ»? 8! / [3!*2!] (διάταξη συλλογής {3xA,2xΠ,1xP,1xO,1xN }). D. 5 αγόρια και 5 κορίτσια (με διαφορετικά ονόματα) πρέπει να μπούνε στη σειρά. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό αν (ι) απαγορεύεται να είναι δυο αγόρια διαδοχικά. (ιι) Ο Γιάννης και η Μαρία απαγορεύεται να εμφανίζονται διαδοχικά. (ι) Ρ(5,5) τρόποι τοποθέτησης των κοριτσιών στην ευθεία. 6 κενά (υποδοχές χωρητικότητας 1) για τα 5 αγόρια. Ρ(6,5) τρόποι τοποθέτησης των αγοριών ανάμεσα σε κορίτσια. (ιι) Όλοι οι τρόποι (χ.π.) «κακοί τρόποι» : 10! 2*9! = 8*9! τρόποι. «Κακοί Τρόποι» : 2*9! Γά Γιάννης και Μαρία μαζί (ΓΜ, ή ΜΓ): 2 τρόποι. 9 διακεκριμένα αντικείμενα στην ευθεία: 9! τρόποι. 53 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ενδεικτικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙV) E. Σε μια 8x88 σκακιέρα θεωρούμε ότι τα τετράγωνα είναι διακεκριμένα αντικείμενα (προσδιορίζονται από τη γραμμή και τη στήλη στην οποία ανήκουν). Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε ένα άσπρο και ένα μαύρο τετράγωνο, ώστε να μην είναι γειτονικά (δηλαδή, να μη μοιράζονται κοινή ακμή)? : Με Κανόνα Αθροίσματος στις ακόλουθες αμοιβαία αποκλειόμενες περιπτώσεις: (α) (β) (γ) Εσωτερικό άσπρο: 504 = 18*(32 4) τρόποι. Εξωτερικό, όχι γωνιακό άσπρο: 348 = (14 2)*(32 3) τρόποι. Εξωτερικό γωνιακό άσπρο: 60 = 2 * (32 2) τρόποι = 912 τρόποι. 54 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

29 Ενδεικτικές Ασκήσεις Επανάληψης (V) Ζ. Να υπολογιστεί με συνδυαστικό τρόπο το πλήθος των μη αρνητικών ακέραιων λύσεων για: (α) την εξίσωση: Χ+Υ+Ζ = 100 (β) την ανισότητα: Χ+Υ 100 (α) Τι είδους πείραμα (σφαιρίδια σε κουτιά) ισοδυναμεί με την επίλυση της εξισωσης?? Ρίψη 100 όμοιων σφαιριδίων (οι μονάδες του αριθμού 100) σε τρεις διακεκριμένες υποδοχές άπειρης χωρητικότητας (μια για κάθε διακεκριμένη μεταβλητή της εξίσωσης). Η τιμή κάθε μεταβλητής καθορίζεται από το πλήθος των όμοιων σφαιριδίων που θα δεχθεί. C( ,100) = C(102,100) = 100*101/2 = διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις. (β) Πώς συνδέονται οι λύσεις της ανισότητας με τις λύσεις της προηγούμενης εξίσωσης? Οποιαδήποτε μη αρνητική ακέραια λύση (Χ=α, Υ=β) της ανισότητας αντιστοιχεί και σε μια μοναδική λύση της Χ+Υ+Ζ = 100, για φυσικό αριθμό Ζ = 100-α-β. Χρησιμοποιώντας τη βοηθητική μεταβλητή Ζγια να μετατρέψουμε τη ζητούμενη ανισότητα σε μια ισοδύναμη ισότητα, το πρόβλημά μας γίνεται ταυτόσημο με αυτό του (α). 55 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ενδεικτικές Ασκήσεις Επανάληψης (VΙ) Η. Μια παρέα 10 διακεκριμένων ατόμων πρόκειται να ταξιδέψει με πλοίο και θα χρησιμοποιήσει 4 καμπίνες με χωρητικότητα 4, 3, 2 και 1 ατόμων αντίστοιχα. Υπολογίστε τους τρόπους με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν τα 10 άτομα στις 4 καμπίνες. 1η Λύση: Γεμίζοντας διαδοχικά δαδο τις καμπίνες. C(10,4) τρόποι επιλογής ατόμων για την καμπίνα Α. C(6,3) τρόποι επιλογής ατόμων για την καμπίνα Β. C(3,2) τρόποι επιλογής ατόμων για την καμπίνα Γ. C(1,1) τρόποι επιλογής ατόμων για την καμπίνα. Κανόνας Γινομένου: C(10,4) * C(6,3) * C(3,2) * C(1,1). 2η η Λύση: Τοποθετώντας ομάδες όμοιων αντικειμένων στην ευθεία. 10 σφαιρίδια = 4ΧΑ, 3ΧΒ, 2ΧΓ, 1Χ (για τις διαθέσιμες καμπίνες) πρέπει να ανατεθούν σε 10 διακεκριμένες υποδοχές χωρητικότητας 1 (οι επιβάτες). 10! / [ 4! 3! 2! 1!] τρόποι. 56 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

30 Ενδεικτικές Ασκήσεις Επανάληψης (VΙI) Θ. Να υπολογιστεί το πλήθος των τοποθετήσεων Ν (διαφορετικών) ατόμων στις Ν όμοιες καρέκλες ενός κυκλικού τραπεζιού, για καθεμιά από τις ακόλουθες (ξεχωριστές) περιπτώσεις: (α) Κάθε άτομο ενδιαφέρεται για το ποιος κάθεται αριστερά του. (β) Κάθε άτομο ενδιαφέρεται για το ποιοι κάθονται δίπλα του (ανεξάρτητα από το αν είναι αριστερά ή δεξιά του). (α) «ιαβάζουμε» κάθε τοποθέτηση των ατόμων στο τραπέζι αριστερόστροφα. ιαφορετικές αναγνώσεις == διαφορετικές τοποθετήσεις. Μπορούμε να αρχίσουμε αυθαίρετα την ανάγνωσή μας από όποιο άτομο επιθυμούμε (όλες οι καρέκλες του τραπεζιού είναι όμοιες). Υπάρχουν (Ν-1)! διαφορετικές τοποθετήσεις των υπόλοιπων ατόμων μετά το πρώτο άτομο στην ανάγνωσή μας. Υπάρχουν (Ν-1)! διαφορετικές τοποθετήσεις. (β) Για κάθε αριστερόστροφη ανάγνωση στο (α), υπάρχει και μια αντίστοιχη δεξιόστροφη, όπου κάθε άτομο έχει ακριβώς ρβ τους ίδιους γείτονες στο τραπέζι (με ανάποδη σειρά). Υπάρχουν ½ * (Ν-1)! διαφορετικές τοποθετήσεις. 57 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟ [ K σφαιρίδια, N υποδοχές ] ιακεκριμένα σφαιρίδια ιακεκριμένες υποδοχές Άπειρη Χωρητικότητα ιακεκριμένα σφαιρίδια σε ιακεκριμένες υποδοχές, ΤΟ ΠΟΛΥ 1 σφαιρίδιο ανά υποδοχή (Ν Κ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ Όλα τα σφαιρίδια σε κουτιά εν ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης ΜΕΣΑ στα κουτιά Όλα τα σφαιρίδια σε κουτιά Ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης ΜΕΣΑ στα κουτιά Όλα τα σφαιρίδια σε κουτιά ΤΟ ΠΟΛΥ ένα σφαιρίδιο ανά υποδοχή (διάταξη αντικειμένων στην ευθεία) # ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΕΩΝ N K (N+K-1)! / (N-1)! Ρ(N,K) Λ Ομάδες Κ σφαιριδίων (Κ Κ Λ = Κ) ) σε διακεκριμένες ρμ υποδοχές, χς, ΤΟ ΠΟΛΥ 1 σφαιρίδιο ανά υποδοχή (Ν Κ) Μη διακεκριμένα σφαιρίδια ιακεκριμένες υποδοχές Όλα τα σφαιρίδια στα κουτιά ΤΟ ΠΟΛΥ ένα σφαιρίδιο ανά υποδοχή (διάταξη ομάδων αντικειμένων) Ρ(N,K) /[Κ Κ 1!*...*Κ*Κ Λ!] Χωρίς Περιορισμό (επιλογή υποσυνόλου Κ από Ν C(N+K-1,K) K) = διακεκριμένα αντικείμενα ΜΕ = (N+K-1)! / [(N-1)! * K!] επανάληψη) Μη διακεκριμένα σφαιρίδια ιακεκριμένες υποδοχές, ΤΟ ΠΟΛΥ 1 σφαιρίδιο ανά υποδοχή (Ν Κ) (επιλογή υποσυνόλου Κ από Ν διακεκριμένα αντικείμενα ΙΧΩΣ επανάληψη) C(N,K) = = N! / [(N-K)! * K!] 58 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

31 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

32 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

33 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Συνδυαστική». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.