Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012"

Transcript

1 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές)

2 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων αφιερωµένο σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στην κόρη µου Ραφαέλα

3 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων. ίνεται συνάρτηση ορισµένη στο Rκαι για κάθε, y R ισχύει: (+ y) = () (y) ηµ ηµy i. Να δείξετε ότι: () = Αν η είναι παραγωγίσιµη στο =, να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο R. Βρείτε την '() i Αν το = είναι και τοπικό ακρότατο της, τότε να υπολογίσετε τον τύπο της συνάρτησης.. Να δείξετε ότι: a. + ( ) ln( ) ln b. Αν >, y> και + y= τότε y y. Μια συνάρτηση είναι ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και για κάθε R ισχύει: Να αποδείξετε τα εξής: (+ ) ( + + ) i. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε: '(ξ) = Η συνάρτηση δεν αντιστρέφεται i '() = '(4) iv. Η εξίσωση ''() = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο R 4. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση µε συνεχή πρώτη παράγωγο η οποία στρέφει τα κοίλα άνω στο R και υπάρχει ξ R : '(ξ) = λ i. Αν (ξ) > λξ+ β,λ,β R, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει κοινά σηµεία µε την ευθεία (ε): y= λ+ β Να δείξετε ότι: e > e,για κάθε R Θεωρούµε την δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση :[α,β] R,α > µε συνεχή την δεύτερη παράγωγο και (α) = (β) =. i. Να δείξετε ότι, αν ξ (α,β) : ξ '(ξ) = (ξ) Αν ''(), (α,β) τότε να δείξετε ότι το ξ είναι µοναδικό i Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο σηµείο M(ξ, (ξ)) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 6. ίνεται η συνάρτηση: () = e + i. Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιµη

4 i Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Να λύσετε την εξίσωση: e + ηµ = e+ e π Να αποδείξετε ότι: e + e< e + π ηµ iv. Να λύσετε την εξίσωση: ( ()) = 7. Α) Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση: i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται () + 5 () + = Βρείτε και ορίστε την συνάρτηση i Να βρείτε τα κοινά σηµεία των C,C Β) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R τότε να δείξετε ότι: i. Η συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη εν υπάρχει οριζόντια εφαπτοµένη της C 8. Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση Α) Να δείξετε ότι: i. είναι αντιστρέψιµη ( ) = ( ()),για κάθε R Β) i. Να λύσετε την εξίσωση: () = (o )() = Να δείξετε ότι: [ ( )] + [ ()] = () i Αν (8) = 64 τότε να υπολογίσετε την τιµή () = ; 9. Μια συνάρτηση είναι ορισµένη στο R και ισχύει: i. Υπολογίστε το όριο: lim () () lim = Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο =, τότε να υπολογίσετε την εφαπτοµένη της C στο σηµείο (, ()) iυπολογίστε το όριο: lim (). Έστω συνάρτηση : R R συνεχής στο R µε : z z 5 4 () + z z () + () = + 4 R, όπου z, z σταθεροί µιγαδικοί αριθµοί οι εικόνες των οποίων είναι εσωτερικά σηµεία του κύκλου + y = 4

5 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Να δείξετε ότι: i. z z < z z Η εξίσωση () = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). ίνεται η συνάρτηση Α) Να αποδείξετε ότι: i. () <, R () = 4 + είναι αντιστρέψιµη Β) Να βρεθούν: i. H =; Οι ασύµπτωτες της συνάρτησης. Α) Έστω µια συνάρτηση h συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιµη στο (α,β). Αν h(α) = h(β) = και h '() για κάθε (α,β), να δείξετε ότι: h() = για κάθε [α,β]. Β) Η συνάρτηση είναι συνεχής [α,β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και ισχύει: '() 4,για κάθε (α, β) Αν (α) = α + 6α και i. α = και β = () = 4,για κάθε (α, β) (β) = β + 4, να δείξετε ότι:. ίνεται ότι η συνάρτηση :[α,β] R είναι παραγωγίσιµη µε σύνολο τιµών [α, β], όπου Αν (α)=β και (β)=α και α = ηµα, να αποδείξετε ότι: β ηµβ π α,β,. i. Υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) ώστε: '( )εφ + ( ) = Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) ώστε: '(ξ) '( (ξ)) = 4. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β). Αν (α) = β και (β) = α,να αποδείξετε ότι: i. Υπάρχουν, (α, β) µε ώστε: '( ) + '( ) = Υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (α, β) ώστε: ( ) = i Υπάρχουν ξ, ξ (α, β) µε ξ ξ ώστε: '(ξ ) '(ξ ) = 5

6 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 5. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ' συνεχής στο R και ισχύουν: () =, () =, () =. i. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ): Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (, ) : '(ξ) = '(ρ) = 6. Αν : (, + ) R µε () είναι παραγωγίσιµη και και z + z = z z. i. Να δείξετε ότι: α β = (α) (β) Να δείξετε ότι υπάρχει: '( ) = ( ) z = α + i (α), z = i β + (β) (µε α, β > ) 7. ίνεται ο µιγαδικός: z = (ηµα ) + ( συνα)i,µε α R i. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των σηµείων M(z), είναι σηµεία κύκλου. i Να βρεθούν οι µιγαδικοί z που έχουν το µέγιστο και το ελάχιστο µέτρο Να βρεθούν τα µέτρα των µιγαδικών του ερωτήµατος (β) iv. Να αποδείξετε ότι: z 4+ i 7 8. ίνεται z C για τον οποίο ισχύει: z 5+ i = z i i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M(z) Να βρεθεί το ελάχιστο z i Να βρεθεί ο µιγαδικός z µε το ελάχιστο µέτρο 9. Για µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση µε συνεχή παράγωγος µε '() < δεχόµαστε ότι: Να αποδείξετε ότι: i. () = και () = Υπάρχει ξ (, ): '(ξ) = i Υπάρχει χ (, ): '( ) = (t)dt,για κάθε R 6

7 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων k k. ίνεται ο µιγαδικός z= 4 + i,µε k R. 4 i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του z i Να βρεθεί ο µιγαδικός z µε το ελάχιστο µέτρο. Για τον µιγαδικό z ισχύει: z 4 i = i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z Να βρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή του z i Βρείτε τους µιγαδικούς z που έχουν µέγιστο και ελάχιστο µέτρο. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z =α + βi,µε α, β R και η εξίσωση: ln z = z i. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει µοναδική λύση i Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ(α, β) του µιγαδικού z Από τους παραπάνω µιγαδικούς z να βρείτε εκείνον του οποίου η εικόνα απέχει την µικρότερη απόσταση από την εικόνα του µιγαδικού w = + i. ίνεται η συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [, ] και οι µιγαδικοί αριθµοί z = () + i και z = + ()i. Αν ισχύει: z + z = z z i. Να αποδείξετε ότι: () + () = Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο [, ] 4. ίνεται η συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε (α) > α>. ίνεται και ο β+ i (β) µιγαδικός z=. Αν ο z είναι φανταστικός αριθµός, να δείξετε ότι: α i (α) i. α β= (α) (β) Η εξίσωση () = έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α, β) 5. ίνεται η συνάρτηση Αν η συνάρτηση είναι συνεχής τότε: + z +, < () = z+ i +, 7

8 i. Να αποδείξετε ότι: z = z+ i Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού z i Βρείτε την ελάχιστη τιµή του µέτρου z iv. Ποιος µιγαδικός έχει το ελάχιστο µέτρο του ερωτήµατος iii; 6. ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, ] και µε συνεχή παράγωγο στο [, ]. Επίσης ισχύουν: 7 () = () και '() > 4 Να δείξετε ότι: i. Υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (, ) τέτοιο ώστε: '( ) = Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: '(ξ) = 4ξ 7. Έστω οι συναρτήσεις, g ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα [α, β] µε g() g '() για κάθε χ (α, β). Αν w = (α) + g(β)i, z= g(α) + (β)i και ισχύει: Να δείξετε ότι: i. (α)g(α) = (β)g(β) w+ z = w z '( ) ( ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (α, β) για το οποίο ισχύει: + = g '( ) g( ) 8. Α) Έστω στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών C η εξίσωση: όπου z άγνωστος και ο λ R z λ z+ λ= () i. Να βρείτε τα λ ώστε η εξίσωση () να µην έχει πραγµατικές λύσεις Να λύσετε την εξίσωση () για την τιµή του λ= Β) Αν z,z οι ρίζες του προηγούµενου ερωτήµατος: α) Να δείξετε ότι: z + z = 7 β) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο [, 4] και ισχύουν: δείξετε ότι: i. () = και (4) = () = z + z και (4) = z + z,τότε να 8

9 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε: '(ξ) = 4 α 9. Θεωρούµε τη συνάρτηση () = ln + α µε > και α R. Αν () για κάθε > τότε: i. Να αποδείξετε ότι: α = - Να δείξετε ότι: () = i Να λυθεί η εξίσωση: () = iv. Να λυθεί η ανίσωση: ln(k + ) > ln(k + ) + k + k +. ίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, e] µε () =, (e) = e+ και σύνολο τιµών [-, 4]. Να δείξετε ότι: i. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο, (,e) µε ώστε: '( ) = '( ) = Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, e) τέτοιο ώστε: ''(ξ) = i Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, e) τέτοιο ώστε: ( ) [ '( ) 4( ( )) ] = 4 iv. Η ευθεία ε: y= + e+ τέµνει τη γραφική παράσταση της σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη c (, e) v. Υπάρχουν ξ,ξ (, e) µε ξ ξ για τα οποία ισχύει: '(ξ ) '(ξ ) =. ίνεται συνάρτηση : R R παραγωγίσιµη και για την οποία ισχύουν: i. Να δείξετε ότι: () = 6 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο χ= () lim = i Να δειχθεί ότι η y= + τέµνει την C σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη χ (, 5) και (5) = 6 iv. Αν η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο [, 5] να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης '() = στο διάστηµα (, 5). ίνεται η συνάρτηση () = ln i. Βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης i iv. Να µελετηθεί ως προς την κοιλότητα και τα σηµεία καµπής Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στα σηµεία καµπής Να δείξετε ότι: α) ln για κάθε χ (, ) 9

10 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων β) ln για κάθε [, + ). ίνεται η συνάρτηση () = k+ λ + µ µε πεδίο ορισµού το R και κ, λ, µ > πραγµατικοί αριθµοί. Αν η συνάρτηση έχει ασύµπτωτες την y= + στο +, και την y= στο. Υπολογίστε τα κ, λ, µ. 4. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [α, β] µε <α<β τέτοια ώστε για τους µιγαδικούς z= α+ i (α) και w = β+ i (β) να ισχύει: z w R i. Να δείξετε ότι: α (β) = (α)β Αν ισχύει: (+ α t) lim dt α =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) για το οποίο α ( α)(+ α t) ισχύει: '(ξ) = 5. ίνεται συνάρτηση συνεχής στο R και η συνάρτηση g που ορίζεται στο Rκαι έχει τύπο: + g() = (t )dt + (t )dt i. Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε την g '() Αν η g παρουσιάζει ακρότατο στο χ = τότε να δείξετε ότι: () = ( ) i Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) έτσι ώστε να ισχύει: 6. ίνεται συνάρτηση () = t dt t + t i. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης i Να βρεθεί η παράγωγος της όπου ορίζεται Να µελετηθεί η ως προς τη µονοτονία (ξ ) = ( ξ ) iv. Αν z C είναι ένας µιγαδικός και ισχύει ( z ) = για, βρείτε τον γεωµετρικό του z στο µιγαδικό επίπεδο. 7. ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R µε '() = e και η C διέρχεται από το σηµείο (, -). i. Βρείτε την συνάρτηση

11 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων (),g όπου g() = τον άξονα y ' y και την ευθεία =. 8. Οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο R µε συνεχή παράγωγο και ισχύουν: '() > και g '() '(t)dt = για κάθε χ R. i. Αποδείξτε ότι: g '() = ( ) (), R Μελετήστε την g ως προς την µονοτονία i Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (,): '(ξ) '(ξ ) = ξ 9. Η είναι συνεχής στο R µε (t)dt= (t)dt. Αποδείξτε ότι: i. (t)dt= (t)dt ] Η συνάρτηση φ () = (t)dt ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [, ]. i Υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε: () = (t)dt 4. Α) Να δείξετε ότι για κάθε R ισχύει Β) Θεωρούµε την συνάρτηση e e () = e e + i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο σηµείο A(, ()) Εξετάστε αν η έχει σηµεία καµπής i Να δείξε ότι για κάθε R ισχύει: () + 4. ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, ] µε συνεχή παράγωγο στο [, ] µε την ιδιότητα: '()d = () 4 και () +, [,] i. Να αποδείξετε ότι: ()d = 4 Να δείξετε ότι: (t)dt= +

12 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων i Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C τον ' και τις ευθείες = και =λ όπου λ (,) iv. Υπολογίστε τον τύπο της συνάρτησης () για κάθε [, ]. 4. ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις,gστο R για τις οποίες ισχύει: g '() = () + () + 4 (4) και '() >, R i. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) : 8 ()d= g '(ξ) Να δείξετε ότι η g είναι κυρτή () (4) (8) i Αν () = = = = και Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C και τις 4 8 ευθείες χ= και χ=8, τότε να δείξετε ότι: < Ε < 4. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R µε την ιδιότητα ( ()) =, R µε () = και () = () i. Να αποδείξετε ότι η είναι Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: '(ξ) =. Υπολογίστε και την τιµή του '( (ξ)) i Υπολογίστε το ολοκλήρωµα ()d 4. ίνεται η συνάρτηση συνεχής στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών για την οποία ισχύει: i. Να βρείτε το () () e + lim = 5 ηµ Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο = i Αν h() e () = να δείξετε ότι οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων,h στα σηµεία A(, ()) και B(,h()) αντίστοιχα είναι παράλληλες. («Θέµα εξετάσεων»)(μονάδες ) 44. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ) Έστω συνάρτηση ορισµένη στο R και ισχύουν οι σχέσεις: () για κάθε R

13 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων () = t (t)dt,για κάθε R Έστω η συνάρτηση g που ορίζεται από τον τύπο g() () =,για κάθε R i. Να δείξετε ότι: '() = () Να δείξετε ότι η g είναι σταθερή i Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι: () = + iv. Να βρείτε το όριο: lim [ ()ηµ] + (Μονάδες ) 45. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ») Έστω συνάρτηση συνεχής στο (, + ) για την οποία ισχύει: i. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο (, + ) i iv. + ln Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι () =, χ > Να βρείτε το σύνολο τιµών της Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της t (t) () = + dt µε χ> v. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα ' και τις ευθείες =, = e 46. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ») (Μονάδες ) Α) Έστω συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι: αν h() > g() για κάθε [α, β] τότε και β h()d> g()d Β) ίνεται η παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση, που ικανοποιεί τις σχέσεις: i. Να εκφραστεί η ' ως συνάρτηση της () () e Να δείξετε ότι: < () < '() για κάθε > i α β α =, R και () = Αν Ε είναι το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες =, = και τον άξονα χ χ, να δείξετε ότι: < E< () 4 (Μονάδες )

14 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 47. («ΘΕΜΑ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ») ίνεται συνάρτηση () = +, R e e i. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση Να δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει µοναδική ρίζα το µηδέν. i Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ()d (Μονάδες + 5+ ) 48. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4») ίνεται συνεχής συνάρτηση : R R τέτοια ώστε: () =. Αν για κάθε R, ισχύει: όπου z = α+ βi,µε * α,β R, τότε: g() = z (t)dt z + ( ) z i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε τη g ' Να αποδείξετε ότι: z = z+ z i Με δεδοµένη τη σχέση του ερωτήµατος β να αποδείξετε ότι: Re(z ) = iv. Αν επιπλέον () = α>, () = β και α > β,να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) = 49. («ΘΕΜΑ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4») (Μονάδες ) Έστω συνάρτηση :[α,β] R συνεχής στο διάστηµα [α, β], µε () για κάθε χ [α, β] και µιγαδικός z µε Re(z), Im(z) και Re(z) > Im(z). Αν z+ = (α) και z i. z = z + = (β), να αποδείξετε ότι: z (β) < (α) i Η εξίσωση (α) + (β) = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (-, ) 5. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4») Έστω η συνεχής συνάρτηση :[, + ) R, τέτοια ώστε : 4 (Μονάδες +6+9)

15 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων () = + i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) Να αποδείξετε ότι: () = e (+ ) i Να αποδείξετε ότι η () έχει µοναδική ρίζα στο [, + ) iv. Να βρείτε τα όρια: lim (), lim () + (t)dt 5. Έστω Α και Β οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z και w για τους οποίους ισχύει: 4 w = iz. z (Μονάδες ) i. Να δείξετε ότι, αν το Α κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(,) και ακτίνας ρ=, τότε το Β κινείται σε κύκλο Βρείτε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή του µέτρου z w ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») 5. ίνεται το σύνολο των µιγαδικών z, w για τους οποίους ισχύει: z i και w i i. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ζευγάρι τέτοιο ώστε: z= w Να βρείτε την µέγιστη τιµή του z w 5. Έστω παραγωγίσιµη στο R µε () = και συν i. Να δείξετε ότι: () = για κάθε R + e Να δείξετε ότι: () + ( ) = συν,για κάθε e ( () + '()) + ηµ = '() ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») i Να υπολογίστε το π π συν d + e iv. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα: π, v. Να δείξετε ότι: π ()d π 4 vi. Να δείξετε ότι: 4 π 4 π ()d ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») 5

16 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 54. Έστω συνάρτηση ƒ τέτοια ώστε: () = + t i. Να υπολογίστε την µονοτονία και το πρόσηµο της για R Να δείξετε ότι: () + = για > dt i Να υπολογίστε το εµβαδόν του χωρίου Ε που περικλείεται µεταξύ της C του άξονα και των ευθειών = και =. ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») 55. ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση µε : R R τέτοια ώστε: () ηµ () =,για R και (π) = π i. Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο R Βρείτε το σύνολο τιµών της i Να αποδείξετε ότι: () = iv. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα: I π = ()d v. Αν <α<β να αποδείξετε ότι: β α () β α d ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») 56. Αν για την συνάρτηση ƒ:r R ισχύουν για κάθε R και ƒ()=, να αποδείξετε: α. Η συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R '() + 4 () = 5 '() β. Η συνάρτηση g µε τύπο: g() = είναι σταθερή και να βρεθεί ο τύπος της g. γ. Να βρεθεί η συνάρτηση ƒ e δ. Να υπολογισθεί το εµβαδόν του χωρίου που δηµιουργείται από την γραφική παράσταση της ƒ, του άξονα y y και τις ευθείες 5 y= και χ = Αν η συνάρτηση ƒ είναι ορισµένη και συνεχής στο (, + ) και επιπλέον ισχύει ότι για κάθε > : t (t) () = dt e 6

17 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων i. Να αποδείξετε ότι, η ƒ είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > ισχύει () + '() = i Βρείτε τον τύπο της ƒ iv. Μελετήστε την µονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης ƒ. v. Να αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει: () e 58. Έστω ότι η ευθεία y=+5 είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης ƒ στο +. Να βρείτε τα όρια: () i. lim και lim [ () ] + + Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό µ, αν µ () + 4 lim = + () ίνονται ƒ,g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµες στο ανοικτό διάστηµα (α, β) έτσι ώστε: g(χ) g (χ). Αν z, w µιγαδικοί αριθµοί και λ πραγµατικός αριθµός διάφορος του µηδενός µε z = λ ƒ(α) ί g(β) και w= g(α) - ί λ ƒ(β) Για του οποίους ισχύει: λ z+w = λ z - w i. Να αποδείξετε ότι: Re(z w) = Να αποδείξετε ότι: ƒ(α) g(α)=ƒ(β) g(β) i Έστω η συνάρτηση G() = ƒ() g(), να αποδείξετε ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο [α, β]. iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον χ ο (α, β) τέτοια ώστε: '( ) ( ) o o + = g '( ) g( ) o o 6. Θεωρούµε τη συνάρτηση µε τύπο: () = 4 α. Βρείτε το πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών της συνάρτησης. β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-» γ. Να βρείτε την µονοτονία της ƒ στο πεδίο ορισµού της. δ. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της ƒ, την ƒ -. ε. Να γίνει η γραφική παράσταση της ƒ -, ƒ. 7

18 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων () Αν η συνάρτηση ƒ είναι συνεχής στο R και ισχύει: lim = 5 α. Να αποδείξετε ότι: ƒ()= - β. Να αποδείξετε ότι η ƒ είναι παραγωγίσιµη στο χ ο= και να βρείτε το ƒ () e () () e γ. Να υπολογίσετε το όριο: lim ln 6. Θεωρούµε την συνάρτηση : () = + α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: g() = ln + είναι θετική στο (, + ). α. Να δείξετε ότι η ƒ είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της. β. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της ƒ. γ. Να εξετάσετε ως προς την κυρτότητα την συνάρτηση ƒ. δ. Βρείτε την εφαπτοµένη της συνάρτησης ƒ στο σηµείο A(, ƒ()) ε. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της ƒ, της εφαπτοµένης του σκέλους (δ) και τις ευθείες =, = ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z τέτοιο ώστε: z i = z 7+ i i. Να βρείτε στο µιγαδικό επίπεδο τον γεωµετρικό τόπο που ανήκουν οι εικόνες του µιγαδικού z Να βρείτε τις τιµές των παραµέτρων έτσι ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης () = α + 5β + να έχει στο - πλάγια ασύµπτωτη την ευθεία του ερωτήµατος (i). i. 64. Να προσδιορίσετε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του µιγαδικού επιπέδου, των οποίων οι αντίστοιχοι µιγαδικοί αριθµοί z είναι τέτοιοι ώστε τα παρακάτω όρια να είναι συγκεκριµένοι πραγµατικοί αριθµοί. lim lim z i z (5 ) z + i ύο σηµεία Α, Β κινούνται στους ηµιάξονες Οχ, Οψ αντίστοιχα ξεκινώντας ταυτόχρονα από το σηµείο Ο µε ταχύτητες υ Α = m/sec, υ B =5 m/sec. Να βρεθούν: i. O ρυθµός µεταβολής της µεταξύ τους απόστασης σε 6sec αργότερα. O ρυθµός µεταβολής του εµβαδού του τριγώνου ΟΑΒ την ίδια χρονική στιγµή. 8

19 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 66. Αν ένα σηµείο Α(χ(t),y(t)) κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης y 5 = και την χρονική στιγµή t o διέρχεται από το σηµείο µε τετµηµένη -m και η ταχύτητα της τετµηµένης πάνω στον άξονα των χ είναι 5 m/sec ενώ η επιτάχυνσή του είναι m/sec τότε βρείτε: i. Την τεταγµένη του σηµείου την χρονική στιγµή t o i Την ταχύτητα της τεταγµένης την χρονική στιγµή t o Την επιτάχυνση της τεταγµένης την χρονική στιγµή t o 67. ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις,g στο R για τις οποίες ισχύουν: () = g() =. g() i. Να δείξετε ότι: () = για κάθε πραγµατικό αριθµό χ e e '() = g '() g() και Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει πλάγια ασύµπτωτη στο + την ευθεία: y=,να βρείτε g() το όριο: lim + g() e 68. Αν δύο φορές παραγωγίσιµη στοr, κυρτή στο R και () = '() =, τότε: i. Να δείξετε ότι: () για κάθε πραγµατικό αριθµό χ Να δείξετε ότι: η συνάρτηση πραγµατικό αριθµό g() = ( + ) είναι κυρτή στο R και g() g '(ξ)( ξ) + g(ξ) για κάθε 69. Έστω δύο φορές παραγωγίσιµη στο [,4] µε σύνολο τιµών το [,7] και συνεχή δεύτερη παράγωγο. Αν () = 7, (4) = και η συνάρτηση i. Υπάρχει κ (,4) ώστε: '(k) = ''() < '() για κάθε χ στο [,4] g() e () i Υπάρχουν ξ,ξ στο (,4) µε '(ξ ) '(ξ ) < iv. Η εξίσωση ''() = έχει τουλάχιστον ρίζες στο (,4) = είναι κοίλη στο [,4], τότε να δείξετε ότι: 7. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z για τους οποίους ισχύει: z = και Re(z) i. Να περιγραφή γεωµετρικά το σύνολο εικόνων των παραπάνω µιγαδικών αριθµών και να βρεθεί εκείνος του οποίου η εικόνα έχει την µικρότερη απόσταση από τον + i Αν w = z+ 4 z, z να δείξετε ότι η εικόνα του wκινείται στον άξονα σε ευθύγραµµο τµήµα µήκους 9

20 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων i Να δείξετε ότι: z i + z+ i = 4 και να ερµηνεύσετε γεωµετρικά το αποτέλεσµα αυτό. ( ιαγώνισµα «Αρσάκειο») 7. ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, + ) µε σύνολο τιµών το [, + ) για την οποία ισχύει: () e () e + =,για i. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και ότι: () = Να δείξετε ότι: (),για i Αν F() (t)dt = + για χ (, ) να δείξετε ότι υπάρχει µία τουλάχιστον εφαπτοµένη ευθεία στην C F που διέρχεται από το σηµείο A, iv. Να δείξετε ότι η αντίστροφη της έχει τύπο () ln( e ) = +, είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της και να υπολογίσετε το + lim (t)dt + 7. Ένας µιγαδικός z ικανοποιεί τη σχέση: z 4 =( ) z. α) Να αποδειχθεί ότι z = ή z =. β) Αν z να αποδειχθεί ότι z =. z γ) Αν z να αποδειχθεί ότι z 6 =. δ) Να βρεθούν όλοι οι µιγαδικοί z µε z 4 =( ) z. ε) Σε ποια γραµµή βρίσκονται οι εικόνες των παραπάνω µιγαδικών z, αν z ; z+ i 7. ίνεται ο µιγαδικός C w=, µε z = χ + ψi και χ, ψ R. z + α) Να γραφεί ο w στη µορφή α + βi όπου α, β R. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας Μ του z, όταν w R. γ) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας Ν του z, όταν ο w είναι φανταστικός. δ) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας Μ του z, όταν Re(w)=Im(w). ε) Αν η εικόνα Μ του z κινείται στον κύκλο χ +ψ =4, να αποδειχθεί ότι η εικόνα του w κινείται στην ευθεία ψ = χ. 74. ίνεται ο µιγαδικός z µε z + z =. α) Να βρεθούν οι δυνατές τιµές του z. β) Να λυθεί η εξίσωση z + z =.

21 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων γ) Αν z και z είναι οι ρίζες µε µη µηδενικό φανταστικό µέρος, να βρεθούν οι z και z. δ) Να υπολογιστεί η παράσταση A= z + z Μια συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: (o)()=- για κάθε R. είξτε ότι: α) ()=, β) η αντιστρέφεται, γ) η έχει σύνολο τιµών το R, δ) - ()=-(), R. 76. Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις : R R µε την ιδιότητα: [()-ηµ][()+ηµ]=()συν για κάθε R. 77. Μια συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: () + (-)+ για κάθε R. α) Να βρεθεί ο τύπος της. β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων της C οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Μ(,5). 78. Έστω : [α, β] R συνάρτηση που είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β), µε (α)=β και (β)=α.. Να αποδειχθεί ότι: α) η εξίσωση ()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β), β) υπάρχουν ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε: (ξ ) (ξ )= Μια συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: ()=() για κάθε R και ()= ()=. () + () α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() = είναι σταθερή στο R. e β) Να αποδειχθεί ότι ()+()=e, R. γ) Να βρεθεί ο τύπος της. 8. ίνεται η συνάρτηση ()=e + e Να αποδειχθεί ότι: Α. α) η έχει ελάχιστο το µηδέν, β) η είναι κυρτή, γ) η είναι κοίλη στο (-,] και κυρτή στο [, + ). Β. α) Να λυθεί η εξίσωση ()=. β) Να αποδειχθεί ότι e +e - + για κάθε R. 8. ίνεται η συνάρτηση ()= (+α) +β. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο = µε τιµή -, τότε: α) να βρεθούν οι τιµές των α, β, β) να µελετηθεί η ως προς τη µονοτονία, γ) να βρεθούν όλα τα τοπικά ακρότατα της, δ) να βρεθεί το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης ()=, ε) να βρεθεί το σύνολο τιµών της F,

22 στ) να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της, Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων ζ) να αποδειχθεί ότι για κάθε R. 8. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: ()+()= ++e - για κάθε R. α) Να αποδειχθεί ότι η δεν έχει κρίσιµα σηµεία. β) Να βρεθεί η µονοτονία της (). γ) Να λυθεί η εξίσωση ()=. δ) Να βρεθεί το πρόσηµο της. ε) Να εξεταστεί αν η έχει τοπικά ακρότατα ίνεται η συνάρτηση () =. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β) Να βρεθούν τα κοινά σηµεία της C µε τον άξονα. γ) Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η C είναι πάνω από τον άξονα. δ) Να εξεταστεί αν η C έχει κέντρο ή άξονα συµµετρίας. ε) Να µελετηθεί η ως προς την µονοτονία. στ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της σε καθένα από τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της καθώς και το σύνολο τιµών της. ζ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης -α -4+α=., όπου α R. 84. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: ()+ ()= για κάθε R. α) Να βρεθεί το (). β) Να µελετηθεί η ως προς την µονοτονία. γ) Να αποδειχθεί ότι ()> για κάθε >. δ) Να αποδειχθεί ότι ()<()< για κάθε >. 85. Μια συνάρτηση : R R* έχει την ιδιότητα: + = () () e για κάθε R. Aν ()=, τότε: I= () + () e d. α) να βρεθεί το ( ) β) να αποδειχθεί ότι ()=e, R. 86. Έστω F µια αρχική της συνεχούς συνάρτησης : R R, µε την ιδιότητα: F () F()F(α-) για κάθε R, όπου α. Να αποδειχθεί ότι: α) F()=F(α), β) η εξίσωση ()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο R. 87. Μια συνάρτηση : (, + ) R έχει την ιδιότητα: (y)=()+(y)+y--y για κάθε,y >. Α. α) Να βρεθεί το ().

23 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων β) Αν η είναι συνεχής στο, να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο (, + ). γ) Αν η είναι συνεχής στο α>, να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο (, + ). Β. Αν η είναι παραγωγίσιµη στο χ =, µε ()=, τότε: α) να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιµη στο (, + ), β) να βρεθεί ο τύπος της, =. γ) να βρεθεί το ολοκλήρωµα I ()d 88. Έστω µια συνεχής και άρτια συνάρτηση : R R και η συνάρτηση: α) Να βρεθεί η παράγωγος της g. β) Να αποδειχθεί ότι g(α)=g(β). γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ-α)=(ξ-β). β g() = ( t)dt, R, α<β α 89. Έστω µια συνεχής συνάρτηση στο R και α<β. Αν β α β (+ t)dt ()d για κάθε R, τότε: α α) να αποδειχθεί ότι: β+ α+ β (t)dt ()d για κάθε R α β) να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης g() = (+ t)dt (t)dt γ) να εξεταστεί αν η g έχει ελάχιστο, δ) να αποδειχθεί ότι (α)=(β), ε) αν η είναι παραγωγίσιµη, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ R τέτοιο, ώστε (ξ)=. β α β α 9. ίνεται η συνάρτηση: () = α) Να βρεθεί η (χ). t e + συνt dt, R t + e β) Να αποδειχθεί ότι ()=+ηµ για κάθε R. γ) Να αποδειχθεί ότι ορίζεται η - :[, π] [, π]. δ) Να αποδειχθεί ότι το εµβαδόν του χωρίου µεταξύ των C και C και των ευθειών = και =π είναι Ε=4 τ.µ. z 4i w + 6i + 9. ίνονται οι µιγαδικοί z, w, για τους οποίους ισχύει: lim = α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού w. γ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του z-w.

24 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 9. ίνεται ο µιγαδικός z=α + βi και η εξίσωση ln z =- z (). α) είξτε ότι η εξίσωση () έχει µοναδική λύση την z =. β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ(α, β) του µιγαδικού z. γ) Από τους παραπάνω µιγαδικούς z να βρείτε εκείνο του οποίου η εικόνα απέχει τη µικρότερη δυνατή απόσταση από την εικόνα του µιγαδικού w=+i. 9. ίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστηµα [, ] και οι µιγαδικοί αριθµοί z =()+i και z =+()i. Αν ισχύει z +z = z -z, να δείξετε ότι η εξίσωση ()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο [, ]. 94. ίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε (α) > α >. ίνεται και ο β+ i (β) µιγαδικός z=. Αν ο z είναι φανταστικός να δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει µια τουλάχιστον λύση α i (α) στο διάστηµα (α, β). + z +, < 95. ίνεται η συνάρτηση: () = z+ i +, Αν η είναι συνεχής να δείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού z κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 96. Έστω οι συναρτήσεις, g ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα [α, β] µε g()g (), για κάθε (α, β). Αν w=(α)+g(β)i, z=g(α)+(β)i και ισχύει w+ z = w z, να δείξετε ότι υπάρχει o (α, β) για το οποίο ισχύει: ( ) ( ) + =. g ( ) g( ) 97. Έστω στο σύνολο των µιγαδικών C η εξίσωση: z λz+λ = (). α) Να βρείτε τα λ R ώστε η () να µην έχει πραγµατικές ρίζες. β) Να λύσετε την () για λ=. Στη συνέχεια να βρείτε το µέτρο κάθε µιας από τις ρίζες z, z που βρήκατε. 7 γ) Να δείξετε ότι z + z =. δ) Αν η είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, 4] και ισχύουν () = z + z, (4) = z + z, τότε να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε (ξ)=-¼. 98. ίνεται η συνάρτηση ()= ln. α) Να µελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σηµεία καµπής. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στα σηµεία καµπής. γ) Να δείξετε ότι: i) ln για κάθε (, ]. ii) ln για κάθε χ [, + ). 99. ίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο R και η συνάρτηση g που ορίζεται στο R και έχει τύπο: 4

25 Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων +. g() = (t )dt + (t )dt α) Να δειχθεί ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρεθεί η g (). β) Αν η g παρουσιάζει ακρότατο στο χ = τότε να δείξετε ότι ()=(-). γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ), έτσι ώστε να ισχύει (ξ -)=(-ξ ).. ίνεται η συνάρτηση () = α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β) Να βρεθεί η (χ) όπου ορίζεται. t dt t + t γ) Να µελετηθεί η ως προς τη µονοτονία. δ) Να λυθεί η εξίσωση ()=.. ίνεται η συνάρτηση, παραγωγίσιµη στο R µε () = και () =. e α) Να βρεθεί η. β) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και () g µε g() = τον άξονα ψ ψ και την ευθεία =.. Οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο R µε =g, g = και ισχύουν ()>, R και g(-)g() <, για. α) Μελετήστε τις, g ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. β) Αποδείξτε ότι: g()>(), για >. γ) Μελετήστε τις, g ως προς την κυρτότητα. δ) Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις h()=e - (+g)() και φ()=e (-g)() είναι σταθερές. ε) Αν ()=, να βρείτε τους τύπους των,g.. Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και ισχύουν: [ ()] ()=, ()=. α) Αποδείξτε ότι ()=e +c +c, όπου c, c σταθερές. β) Να βρείτε τον τύπο της. γ) Αποδείξτε ότι () = e, R. () () δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα : I= d, >. e e + () () =, R και 5

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΚΔΟΣΗ:31/01/2012. R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις

Α ΕΚΔΟΣΗ:31/01/2012. R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 5 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α ΕΚΔΟΣΗ:3// ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Περικλή Παντούλα) Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο R, συνεχής στο σημείο και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 6 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α ΕΚΔΟΣΗ:// ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) Έστω η συνεχής συνάρτηση :, με ( ) α. Να δείξετε ότι ( )

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης 1 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με f() = 3e + 10 + 1 και g() = 015 + 015 196 α) Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας των f, g β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= .Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι Είναι ( ) () + 9 () + 9 + () ( ) + 9 + 9 + 9 () + 9 + () + 9 + + 9 ( )... οπότε. Δίνεται η συνάρτηση () + Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( ηµ ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

Ένα θέµα ανάλυσης στο κεφάλαιο των παραγώγων, µε πολύ ωραία ερωτήµατα, κατάλληλο για ένα. Θέµα 02

Ένα θέµα ανάλυσης στο κεφάλαιο των παραγώγων, µε πολύ ωραία ερωτήµατα, κατάλληλο για ένα. Θέµα 02 Θέµα Ένα θέµα ανάλυσης στο κεφάλαιο των παραγώγων, µε πολύ ωραία ερωτήµατα, κατάλληλο για ένα πιθανό 3 ο θέµα Ας το δούµε πολύ προσεκτικά Θέµα Ένα θέµα µε κλασσικά ερωτήµατα στο ο κεφάλαιο της ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι αν f () στο (α, o) και f () στο ( o,β), τότε το f ( o) είναι τοπικό μέγιστο της f. (8 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα