Transcript

1 Τμημα Μαθηματικων Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων Μαθηματικα Των Υπολογιστων Και Των Αποφασεων Ουρές αναμονής με ανυπόμονους πελάτες σε ετερογενές περιβάλλον: Ανασκόπηση και μια εφαρμογή. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μάρκου Ι. Μαρία Επιβλέπων: Δημητρίου Ιωάννης Λεκτορας Ιούνιος 2016

2

3 Τμημα Μαθηματικων Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων Μαθηματικα των Υπολογιστων και των Αποφασεων Ουρές αναμονής με ανυπόμονους πελάτες σε ετερογενές περιβάλλον: Ανασκόπηση και μια εφαρμογή. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μάρκου Ι. Μαρία Τριμελης Εξεταστικη Επιτροπη Δημητρίου Ιωάννης Λεκτορας (Επιβλεπων) Τσάντας Νικόλαος Καθηγητης Μακρή Ευφροσύνη Αναπλ. Καθηγητρια

4 iii

5

6 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μάρκου Μαρία Copyright c Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. v

7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Περίληψη Σχολή Θετικών Επιστημών Τμημα Μαθηματικων ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ουρές αναμονής με ανυπόμονους πελάτες σε ετερογενές περιβάλλον: Ανασκόπηση και μια εφαρμογή. Ολοι έχουμε βρεθεί στην δυσάρεστη θέση να περιμένουμε σε μια ουρά να εξυπηρετηθούμε, όπως σε εμπορικά καταστήματα, μηχανήματα ανάληψης χρημάτων κ.α. Εξαιτίας του μεγάλου χρόνου αναμονής, πολλές φορές αναχωρούμε από αυτή χωρίς να εξυπηρετηθούμε. Το χαρακτηριστικό της ανυπομονησίας (reneging), εκτός από προβλήματα της καθημερινότητας παρατηρείται και στην βιομηχανία (με το χαρακτηριστικό του χρονικού ορίου απόδοσης μιας παραγγελίας) και στην αποτίμηση απόδοσης υποδομών φιλοξενίας υπολογιστικών συστημάτων (cloud computing). Επιπλέον, η απόφαση της αναχώρησης του πελάτη χωρίς εξυπηρέτηση επιρεάζεται και από τον μη-στάσιμο (non-stationary) χαρακτήρα των διαδικασιών αφίξεων και εξυπηρετήσεων. Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει σκοπό να παρουσιάσει μια ανασκόπηση των μοντέλων ουρών αναμονής με ανυπόμονους πελάτες σε ετερογενές περιβάλλον καθώς και ένα νέο μοντέλο με εφαρμογή στην βιομηχανία και τις τηλεπικοινωνίες. Το πρώτο μέρος της παρούσας εργασίας αποτελεί το θεωρητικό της υπόβαθρο. Στο πρώτο κεφάλαιο αναλύονται τα βασικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος εξυπηρέτησης και ακολουθεί η μελέτη των βασικών μοντέλων ουρών M/M/1 και M/G/1. Επίσης δίνονται τα κύρια μέτρα απόδοσης του συστήματος. Στο δεύτερο μέρος γίνεται μια λεπτομερής παράθεση μοντέλων που αποτελούν τη βάση του ερευνητικού μέρους της εργασίας αυτής. Αρχικά αναλύεται ένα σύστημα με ετερογενείς αφίξεις και αναχωρήσεις, το οποίο χαρακτηρίζεται από δύο επίπεδα λειτουργίας του διακομιστή και περιγράφεται από μια διδιάστατη Μαρκοβιανή διαδικασία και

8 υπολογίζεται η στάσιμη κατανομή. Ακολουθεί η μελέτη ενός συστήματος ουρών με βλάβες και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί. Συγκεκριμένα μελετώνται τα βασικά Μαρκοβιανά συστήματα και υπολογίζονται τα κύρια μέτρα απόδοσης τους. Στη συνέχεια, μελετάται ένα τροποποιημένο σύστημα, στο οποίο η ανυπομονησία των πελατών οφείλεται σε απουσία διακομιστών κατά την άφιξη τους εξαιτίας διακοπών (vacation) αυτών. Στο εν λόγω κεφάλαιο αναλύονται τα Μαρκοβιανά συστήματα M/M/1 και M/M/c για τις περιπτώσεις πολλαπλών και απλών διακοπών των διακομιστών. Ακολούθως, μελετώνται συστήματα που χαρακτηρίζονται από αργούς διακομιστές και ανυπομονησία, καθώς και συστήματα στα οποία ο διακομιστής επιτρέπει την εξυπηρέτηση ανάλογα με το μέγεθος της συμφόρησης που επικρατεί. Το τελευταίο κεφάλαιο αποτελεί το ερευνητικό κομμάτι της παρούσας εργασίας και α- φορά την μελέτη ενός συστήματος που χαρακτηρίζεται από ετερογένεια, ανυπομονησία (impatience), ομαδικές αναχωρήσεις (random batch departures) και αρνητικούς πελάτες (signals). Το σύστημα περιγράφεται από μια διδιάστατη Μαρκοβιανή διαδικασία, ενώ όλα τα δομικά χαρακτηριστικά του καθορίζονται από την κατάσταση μιας Μαρκοβιανής διαδικασίας πεπερασμένου χώρου καταστάσεων (random environment). Με χρήση πινακοαναλυτικών μεθόδων προσδιορίζεται η στάσιμη κατανομή και τα κύρια μέτρα απόδοσης του συστήματος, τα οποία χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό αριθμητικών αποτελεσμάτων που δίνουν πληροφορίες για την λειτουργία του συστήματος. vii

9 UNIVERSITY OF PATRAS Abstract School of Natural Sciences Department of Mathematics Master of Science On queueing models with impatient customers in random environment: An overview and an application. We have all been in the unfortunate position of waiting in a queue to be served as in shops, ATMs etc. Due to the long waiting period of time, sometimes we depart from it without being served. The main characteristic of impatience, besides the daily it is also observed in the industry (with timeout feature performance of an order) and to assess performance hosting infrastructure in computing (cloud computing). Moreover, the decision of the departure without customer service is affected by the non-stationary nature of arrival procedures and service. This thesis aims to present a review of queuing models with impatient clients in a heterogeneous environment and a new model with application in industry and telecommunications. The first part of this work is the theoretical background. The first chapter analyzes the basic features of a service system and follows the study of basic queuing model M/M/1 and M/G/1. Also, the key system performance measures are shown. The second part is a detailed quote of models that form the basis of the research part of this work. Initially a system is analyzed with heterogeneous arrivals and departures, which is characterized by two levels of the servers performance as well as being described by a two-dimensional Markov process and the stationary distribution is calculated. Furthermore, it is followed by the study of a queuing system failures and impatient customers when the system is down. Specifically the basic Markov systems are studied and their main efficiency measures are calculated. Then a modified system is studied,

10 where the impatience of customers is excisting due to the lack of servers on arrival because of their vacation. The chapter analyzes the Markov systems M/M/1 and M/G/1 for the occasions of servers on multiple and single vacations. Following, systems with slow servers and impatience are studied, along with systems where the server allows the service depending on the size of the congestion prevails. The last chapter is the research part of this particular thesis and concerns the study of a system characterized by heterogeneity, impatience, random batch departures and negative clients (signals). The system is described by a two-dimensional Markov process, and all the structural characteristics are determined by the state of a Markov process finite space statements (random environment). Using QBD analytical methods, determined stationary distribution and key system performance measures, which are used for the calculation of the numerical results which give information about the operation of the system. ix

11 Ευχαριστίες Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στα πλαίσια του Διατμηματικού Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών, Μαθηματικά Των Υπολογιστών Και Των Αποφάσεων του τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του Λέκτορα κ. Ιωάννη Δημητρίου. Αρκικά θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Ιωάννη Δημητρίου, Λέκτορα του τμήματος Μαθηματικών, για την ευκαιριά που μου έδωσε να συνεργαστώ μαζί του και να αποκομίσω νέες γνώσεις και μια πολύτιμη εμπειρία από την ενασχόληση μου με το αντικέιμενο της Θεωρίας Ουρών. Χωρίς την καθοδήγηση, την υπομονή, την βοήθεια και την υποστήριξη του δεν θα ήταν δυνατή η ολοκλήρωση της παρούσας εργασίας. Ενα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στην κα. Ευφροσύνη Μακρή, Αναπληρώτρια καθηγήτρια του Τμήματος Μαθηματικών και μέλος της εξεταστικής επιτροπής, η οποία καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου εως και τώρα αποτελεί πρότυπο επιστήμονα και καθηγήτριας. Η καθοδήγηση και η ενθάρυνση της κατά τη διάρκεια της φοίτητσης μου ήταν καθοριστικοί παράγοντες για την επίτευξη των στόχων μου. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Τσάντα Νικόλαο, Καθηγητή του τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών που δέχθηκε να αποτελέσει μέλος της εξεταστικής επιτροπής και που με τη συστατική του συντέλεσε στην επιλογή μου στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών. Δεν θα μπορούσα να μην ευχαριστήσω τον κ. Κωνσταντίνο Πετρόπουλο, Επίκουρο Καθητή του Τμήματος Μαθηματικών και τον κύριο Φίλιππο Αλεβίζο, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών, οι οποίοι πίστεψαν σε εμένα και μου έδωσαν με την συστατική τους την ευκαιρία να συμμετάσχω στο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους φίλους και συναδέλφους μου που με στήριξαν και συνέβαλαν με τα σχόλια και την κριτική τους στην αντιμετώπιση των δυσκολιών και στην ολοκλήρωση της εργασίας αυτής. Δε θα μπορούσα να παραλείψω να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως τον Γιώργο για την στήριξη, την ενθάρυνση και την πολύτιμή βοήθεια του κατά τη διάρκεια των σπουδών και συγκεκριμένα κατά τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας μου. Θα ήθελα να εκφράσω ιδιαίτερες ευχαριστίες στους γονείς μου, Ιωάννη και Φούλη, και στον αδερφό μου, Σωτήρη για την παροιμιώδη υπομονή που επέδειξαν σε στιγμές εντάσεων, αποτέλεσμα κόπου και κούρασης και για την διαχρονική συμπαράσταση τους και ηθική στήριξη τους σε κάθε μου επιλογή. Επίπλεόν ευχαριστώ τη γιαγιά μου, Δήμητρα, που πιστεύει τόσο πολύ σε εμένα και τις ικανότητες μου. Τέλος, θα ήθελα να αφιερώσω σε όσους με στήριξαν και πίστεψαν σε εμένα και ιδιαίτερα στον αδερφό μου την παρακάτω φράση του Καζα τζάκη, η οποία πολλές φορές αποτέλεσε κίνητρο να συνεχίσω, όταν μετά από κόπο και κούραση πίστευα πως δεν μπορώ να ανταπεξέλθω στις απαιτήσεις των σπουδών μου. Φτάσε όπου δεν μπορείς! x

12 xi

13 Περιεχόμενα Τριμελης Εξεταστικη Επιτροπη ii Δήλωση Συγγραφικής Πατρότητας v Περίληψη vi Abstract viii Ευχαριστίες x Περιεχόμενα Κατάλογος σχημάτων xi xv 1 Εισαγωγή Περιγραφή συστημάτων εξυπηρέτησης Διαδικασία αφίξεων Διαδικασία εξυπηρέτησης Πειθαρχία Ουράς Χωρητικότητα Συστηματος Αριθμός Καναλιών Εξυπηρέτησης Βασικές έννοιες Ανάλυση Μ/Μ/1 Συστήματος Τα χαρακτηριστικά του συστήματος Μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα και στην ουρά Χρόνος Αναμονής πελάτη Ανάλυση M/G/1 συστήματος Το M/G/1 σύστημα Υπεισερχόμενη Μαρκοβιανή Αλυσίδα Χρόνος Αναμονής Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 21 xii

14 xiii 2.1 Επίλυση του μοντέλου με γεννήτριες συναρτήσεις και υπολογισμός μέτρών απόδοσης Ειδικές περιπτώσεις Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί Εισαγωγή M/M/1 σύστημα με εκθετικό χρόνο ζωής, επιδιόρθωσης και ανυπομονησιας Το μοντέλο Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις Χρόνος Παραμονής Μ/Μ/1 σύστημα εξυπηρέτησης: Αποτυχίες που συμβαίνουν κατά την διάρκεια λειτουργίας του συστήματος N Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις M/M/c σύστημα εξυπηρέτησης Το μοντέλο, οι εξισώσεις ισορροπίας, γεννήτριες συναρτήσεις και μέτρα απόδοσης M/M/ σύστημα Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις Χρόνοι Παραμονής Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών Εισαγωγή Πολλαπλές διακοπές: M/M/1 σύστημα με εκθετική κατανομή διακοπών και χρόνους ανυπομονησίας Το μοντέλο Εξισώσεις ισορροπίας Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Υπολογισμός των P 0, P 1, P 00, E[L 0 ], E[L 1 ] Χρόνοι παραμονής Πολλαπλές Διακοπές: M/M/c σύστημα με εκθετικά κατανεμημένο χρόνο διακοπών και ανυπομονησίας Το μοντέλο Εξισώσεις ισορροπίας Γεννήτριες συναρτήσεις Η λύση της διαφορικής εξίσωσης της G 0 (z) Εκτίμηση της μέση διάρκειας απασχόλησης, E[Γ c ] Επίλυση του συνόλου των γεννητριών συναρτήσεων Ταυτόχρονος υπολογισμός των P jj,p j και E[L 1 ], για 0 j c Απλές διακοπές : M/M/1 σύστημα με εκθετικό χρόνο διακοπής και ανυπομονησίας Το μοντέλο Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις πιθανοτήτων Υπολογισμός του P Χρόνοι παραμονής Απλές Διακοπές: M/M/c σύστημα με εκθετικό χρόνο διακοπής και ανυπομονησίας

15 xiv Το μοντέλο Εξισώσεις ισορροπίας Γεννήτριες συναρτήσεις Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης και υπολογισμός των άγνωστων πιθανοτήτων Συστήματα με αργούς διακομιστές και ανυπόμονους πελάτες Εισαγωγή Σύστημα ενός διακομιστή M/M/ Το μοντέλο Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις Επίλυση εξισώσεων Υπολογισμός των P 00, P 10, E[L 0 ] και E[L 1 ] Σύστημα πολλών διακομιστών Το μοντέλο Εξισώσεις ισορροπίας Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Υπολογισμός των πιθανοτήτων P i,c 1,(j = 0, 1) M/M/ σύστημα εξυπηρέτησης Το μοντέλο Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις Ενα σύστημα αναμονής με ανυπόμονους πελάτες, σήματα και ο- μαδικές αναχωρήσεις σε ετερογενές περιβάλλον Εισαγωγή Μαθηματικό Μοντέλο Γενική Τεχνική Επίλυσης Εξισώσεις ισορροπίας Μέτρα απόδοσης συστήματος Αριθμητικά Αποτελέσματα Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 100

16 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Δομή Συστήματος Το Μ/Μ/1 σύστημα Καταστάσεις μετάβασης του συστήματος Μ/Μ/ Διάγραμμα μεταβάσεων Διάγραμμα μεταβάσεων Διάγραμμα μεταβάσεων Διάγραμμα μεταβάσεων xv

17 Αφιερωμένη στον παππού μου, η σκέψη του οποίου αποτελεί κίνητρο για την επίτευξη των στόχων μου. Φτάσε όπου δεν μπορείς. Ν.Καζαντζάκης

18

19 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Περιγραφή συστημάτων εξυπηρέτησης Ενα σύστημα εξυπηρέτησης χαρακτηρίζεται από την κίνηση πελατών που υπεισέρχονται στο σύστημα και φτάνουν σε μία ή περισσότερες μονάδες εξυπηρέτησης. Για την πλήρη περιγραφή του απαιτείται ο καθορισμός μιας στοχαστικής διαδικασίας που θα αναφέρεται στον αριθμό πελατών στο σύστημα σε χρονικές στιγμές, η δομή του συστήματος αλλά και στοιχεία που σχετίζονται άμεσα με την εξυπηρέτηση πελατών. Στις περισσότερες περιπτώσεις τα στοιχεία που περιγράφουν μια στοχαστική διαδικασία στη Θεωρία Ουρών είναι : ο τρόπος άφιξης των πελατών, ο τρόπος εξυπηρέτησης τους, η πειθαρχία της ουράς, η χωρητικότητα του συστήματος, ο αριθμός των καναλιών εξυπηρέτησης αλλά και ο αριθμός των υπαλλήλων (servers).[13], [25], [26], [27], [30] Σχήμα 1.1: Δομή Συστήματος 1

20 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή Διαδικασία αφίξεων Συνήθως ο τρόπος άφιξης πελατών στο σύστημα είναι στοχαστικός. Ετσι καθίσταται απαραίτητη η γνώση της κατανομής πιθανότητας των χρόνων μεταξύ των διαδοχικών αφίξεων. Η πιο συνηθισμένη διαδικασία που χρησιμοποιείται είναι η διαδικασία Poisson. Οι πελάτες προέρχονται από έναν πληθυσμό άπειρου πλήθους. Δεν είναι γνωστό όμως εάν οι αφίξεις πραγματοποιούνται κατ ατομο ή σε ομάδες. Για τον λόγο αυτό, εκτός από την κατανομή πιθανότητας των διαδοχικών χρόνων αφίξεων είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί και η κατανομή πιθανότητας του μεγέθους του πληθυσμού που υπεισέρχεται στο σύστημα. Κατά την είσοδο του στο σύστημα ένας πελάτης μπορεί να βρεί το σύστημα απασχολήμενο, δηλαδή να μη μπορεί να εξυπηρετηθεί άμεσα. Η γνώση της αντίδρασης του είναι απαραίτητη για την περιγραφή του μηχανισμού αφίξεων. Ενας πελάτης που καταφθάνει στο σύστημα ενδέχεται να είναι αποφασισμένος να περιμένει για να εξυπηρετηθεί, ανεξαρτήτως από το μέγεθος της ουράς ή του χρόνου εξυπηρέτησης. Υπάρχει όμως και η κατηγορία πελατών που αποφασίζουν να μην εισέλθουν στο σύστημα εάν η ουρά αναμονής είναι μεγάλη ή να το εγκαταλείψουν μετά απο κάποιο χρονικό διάστημα. Στην περίπτωση αυτή ο πελάτης λέγεται πως έχει υπαναχωρήσει. Σε κάποια συστήματα συναντάμε την περίπτωση να υπάρχουν περισσότερες απο μία ουρές αναμονής με αποτέλεσμα οι πελάτες να μπορούν να μεταβούν από την μια στην άλλη. Το κοινό χαρακτηριστικό των τρίων αυτών περιπτώσεων είναι η αντίδραση των πελατών που τους χαρακτηρίζει ανυπόμονους. Τέλος, η διαδικασία αφίξεων αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο και αποτελεί βασικό στοιχείο για την περιγραφή του συστήματος. Εάν η κατανομή πιθανότητας που περιγράφει την αλλαγή αφίξεων είναι ανεξάρτητη του χρόνου τότε ο μηχανισμός αφίξεων είναι στάσιμος. Στην αντίθετη περίπτωση ο μηχανισμός χαρακτηρίζεται ως μη στάσιμος. Στη Θεωρία Ουρών οι αφίξεις θεωρούνται ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές εκθετικά κατανεμημένες στο χρόνο. Ο προσδιορισμός των χρονικών στιγμών που πραγματοποιούνται οι αφίξεις είναι δύσκολος. Για αυτό και προσδιορίζεται ο μέσος αριθμός αφίξεων ανά μονάδα χρόνου, γνωστός ως ρυθμός αφίξεων. Οπως προαναφέρθηκε στις περισσότερες περιπτώσεις χρησιμοποιείται η κατανομή Poisson, συνεπώς ο μέσος ρυθμός αφίξεων στην περίπτωση αυτή ισούται με λ.

21 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή Διαδικασία εξυπηρέτησης Με τον όρο διαδικασία εξυπηρέτησης αναφερόμαστε στον τρόπο με τον οποίο διεξάγεται η εξυπηρέτηση πελατών στο σύστημα. Η εξυπηρέτηση με τη σειρά της αποτελεί βασικό παράγοντα που μπορεί να επηρεάσει την διαδικασία αφίξεων. Ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκήρωση της αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της και μπορεί να είναι είτε σταθερός (ντετερμινιστικός) είτε στοχαστικός. Η γνωση της κατανομης πιθανότητας μεταξυ των διαδοχικών χρόνων εξυπηρέτησης πελατών είναι απαραίτητη για να περιγράψει τη συχνότητα με την οποία εξυπηρετούνται οι πελάτες. Ενας πελάτης μπορεί να εξυπηρετηθεί από ένα εξυπηρετητή, υπάρχουν ομως και περιπτώσεις που πολλοί πελάτες εξυπηρετώνται συγχρόνως από τον ίδιο εξυπηρετητή. Ο αριθμός των πελατών που μπορούν να εξυπηρετηθούν ταυτόχρονα αποτελούν τη χωρητικότητα του χώρου αναμονής. Η διαδικασία εξυπηρέτησης επηρεάζεται άμεσα από το πλήθος των πελατών στο σύστημα. Ο εξυπηρετητής ή θα επιταγχύνει την διαδικασία εξυπηρέτησης καθώς ο αριθμός των πελατών ολοένα και θα αυξάνει ή θα γίνει λιγότερο αποδοτικός. Συνήθως η ταχύτητα εξυπηρέτησης μειώνεται με την αύξηση του μεγέθους της ουράς. Στην περίπτωση που η εξυπηρέτηση εξαρτάται από τον αριθμό των πελατών που περιμένουν το σύστημα αναφέρεται ως σύστημα εξυπηρέτησης εξαρτώμενο από την κατάσταση της υπηρεσίας. Οπως και η διαδικασία αφίξεων, η διαδικασία εξυπηρέτησης μπορέι να είναι σταθερή ή στάσιμη ως προς τον χρόνο. Η εξάρτηση από το χρόνο δεν πρέπει να συγχέεται με την εξάρτηση από κατάσταση. Η πρώτη δεν εξαρτάται από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα, αλλά μάλλον με το πόσο καιρό έχει τεθεί σε λειτουργία. Η τελευταία δεν εξαρτάται από τον χρόνο λειτουργίας του συστήματος, αλλά μόνο από τον αριθμό πελατών σε αυτό μια δεδομένη χρονική στιγμή. Ανάλογα λοιπόν με το αν εξαρτάται από τον χρόνο ή όχι, χαρακτηρίζεται ώς στάσιμο ή μη στάσιμο αντίστοιχα Πειθαρχία Ουράς Με τον όρο πειθαρχία Ουράς αναφερόμαστε στον τρόπο με τον οποίο οι πελάτες επιλέγονται για να εξυπηρετηθούν. Η πιο κοινή πειθαρχία που παρατηρηθείτε στην καθημερινή ζωή είναι η first come, first served (FCFS). Σύμφωνα με αυτή οι πελάτες εξυπηρετούνται σύμφωνα με τον χρόνο προέλευσης τους. Ωστόσο, αυτή δεν είναι η μόνη πειθαρχία που συναντάμε στην Θεωρία Ουρών. Μια άλλη περίπτωση που συναντάμε είναι η last come, first served (LCFS). Υπάρχουν συστήματα για τα οποία είναι πιο εύκολο να βρούν τους πελάτες με χαμηλή προτεραιότητα ή τα πιο κοντινά στον χρόνο με στόχο την εξυπηρέτηση τους πριν από τα υπόλοιπα, χωρίς όμως να λαμβάνεται υπόψην ο χρόνος άφιξης στην ουρά.

22 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 4 Υπάρχουν δύο είδη προτεραιότητας. Το πρώτο, το οποίο καλείται preemptive, χαρακτηρίζεται από πελάτες οι οποίοι εξυπηρετούνται αμέσως μετά την άφιξη τους, ακόμη και αν ένας πελάτης με χαμηλότερη προτεραιότητα είναι ήδη σε διαδιακσία εξυπηρέτησης. Αυτόι οι πελάτες καλούνται πελάτες υψηλής προτεραιότητας. Στην περίπτωση αυτή η εξυπηρέτηση του πελάτη χαμηλότερης προτεραιότητας διακόπτεται και επαναλαμβάνεται ή συνεχίζεται από το σημείο διακοπής της, όταν ο πελάτης υψηλής προτεραιότητας έχει εξυπηρετηθεί. Η δεύτερη κατηγορία προτεραιότητας ονομάζεται nonpreemptive. Στην περίπτωση αυτή ο πελάτης υψηλότερης προτεραιότητας δεν μπορεί να εξυπηρετηθεί εάν δεν ολοκληρωθεί η εξυπηρέτηση του πελάτη που πραγματοποιείται εκείνη τη στιγμή, ακόμα και αν αυτός είναι χαμηλής προτεραιότητας Χωρητικότητα Συστηματος Χώρος αναμονής καλείται ο χώρος στον οποίο περιμένουν οι πελάτες έως ότου μπορέσουν να εξυπηρετηθούν. Ενα σύστημα καλείται delay system ή loss system εάν είναι άπειρης η πεπερασμένης χωρητικότητας αντίστοιχα. Οι πελάτες προέρχονται από μια πηγή μονάδων πεπερασμένου ή και άπειρου αριθμού. Οι μονάδες σε έναν χώρο αναμονής μπορεί είτε να είναι διατεταγμένες σε μία ουρά, είτε σε πολλές. Η διάταξη αυτή εξαρτάται από το πλήθος των μονάδων εξυπηρέτησης που διαθέτει το σύστημα. Η επιλογή της μονάδας από την ουρά γίνεται με βάση την πειθαρχία του συστήματος. Συνήθως υπάρχει ένας φυσικός περιορισμός για την χωρητικότητα του χώρου αναμονής, έτσι ώστε η ουρά να έχει περιορισμένο μήκος. Ετσι οι πελάτες δεν μπορούν να εισέλθουν στο σύστημα έαν δε τελειώσει κάποια εξυπηρέτηση. Η κατάσταση αυτή καλείται πεπερασμένη κατάσταση αναμονής. Μια ουρά με περιορισμένο χώρο αναμονής μπορεί να θεωρηθεί πως εμποδίζει έναν πελάτη να εισέλθει στο σύστημα όταν το μέγεθος της είναι στο όριο της Αριθμός Καναλιών Εξυπηρέτησης Τα κανάλια εξυπηρέτησης ενός συστήματος αποτελούν το σύστημα εξυπηρέτησης. Με τον όρο αυτόν αναφερόμαστε συνήθως στον αριθμό μονάδων που εξυπηρετούν ταυτόχρονα τους πελάτες του συστήματος. Ενα σύστημα μπορεί να απαρτίζεται από έναν εξυπηρετητή ή από αριθμό παράλληλων εξυπηρετητών. Ενας πελάτης κατά την άφιξη του μπορεί να βρεί παραπάνω από έναν διακομιστές ελέυθερους και έτσι διαλέγει τυχαία έναν από αυτούς για την εξυπηρέτηση του. Στην περίπτωση που όλες οι μονάδες είναι απασχολημένες, ο πελάτης εισέρχεται στην ουρά αναμονής. Ο πρώτος πελάτης της ουράς απευθύνεται στον εξυπηρετητή που ελευθερώνεται πρώτος.

23 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 5 Σε μερικές περιπτώσεις γίνεται λόγος για πλήθος ουρών αναμονής. Η κάθε μια εξ αυτών αντιστοιχεί σε διαφορετική μονάδα εξυπηρέτησης. Ο όρος σύστημα πολλαπλών εξυπηρετητών (multiple server system) χρησιμοποιείται για να υποδείξει ένα σύστημα που χαρακτηρίζεται από κοινή ουρά και από το γεγονός ότι ο πρώτος πελάτης της ουράς εξυπηρετείται από την πρώτη ελέυθερη μονάδα εξυπηρέτησης Βασικές έννοιες Ο νόμος του Little Ενα από τα πιο βασικά θεωρήματα, που υπαγεται στην θεωρία ουρών, διατυπώθηκε από τον John D. C. Little 1960 και είναι γνωστό ως νόμος ή θεώρημα του Little. Σύμφωνα με αυτό ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα σχετίζεται με τον μέσο χρόνο παραμονής τους στο σύστημα μέσω της σχέσης: L = λw (1.1) Ο νόμος του Little μπορεί να εφαρμοστεί και για τον υπολογισμό του μέσου αριθμού πελατών που αναμένουν στην ουρά του συστήματος συναρτήσει του μέσου χρόνου ανααμονής τους σε αυτή. Η συνάρτηση αυτή περιγράφεται από τη σχέση: L q = λw q (1.2) Απαραίτητη προυπόθεση για την εφαρμογή των νόμων του Little είναι η ύπαρξη κατάστασης ισορροπίας στο σύστημα. Δεν είναι πάντα έυκολη η μελέτη συστημάτων. Η μελέτη φερειπείν ενός συστηματος με γενική συνήρτηση κατανομής εξυπηρέτησης παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες. Για την υπερνίκηση των δυσκολιών αυτών επιστρατεύουμε τα εξής βασικά εργαλέια: Θεώρημα Burke και αρχή PASTA.

24 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 6 Θεώρημα του Burke Θεώρημα 1.1. (Θεώρημα Burke) Εστω ξ(t) μια στοχαστική διαδικασία της οποίας τα δειγματικά ίχνη είναι βηματικές συναρτήσεις με μοναδιαία πηδήματα. Θεωρούμε t n : n = 1, 2,... τη χρονική στιγμή άφιξης και t n : n = 1, 2,... τη χρονική στιγμή αποχώρησης και ορίζουμε τις πιθανότητες p k = lim n P [ξ(t n 0) = k] και p k = lim n P [ξ( t n + 0) = k]. Τότε, αν υπάρχει η μία απο τις δύο πιθανότητες θα υπάρχει και η άλλη και είναι ίσες. Στην ουσία το θεώρημα αυτό υποστηρίζει πως σε ένα σύστημα το οποίο βρισκεται σε στατιστική ισορροπία οι πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος σε στιγμές αφίξεων είναι ίσες με τις πιθανότητες των καταστάσεων σε στιγμές αναχωρήσεων. Αυτό σημαίνει πως οι αφίξεις πριν μια χρονική στιγμή t είναι ίσες με τις αναχωρήσεις αυτής της χρονικής στιγμής. Για να ισχύει το θεώρημα θα πρέπει οι αφίξεις να ακολουθούν μια κατανομή P oisson παραμέτρου λ και για κάθε χρονική στιγμή t ο αριθμός των πελατών να είναι ανεξάρτητος απο αυτή. Αρχή PASTA Για συστήματα αναμονής που χαρακτηρίζονται απο αφίξεις Poisson και η κατανομή αναχωρήσεων δεν είναι γνωστή, είναι απαραίτητη η μελέτη τους σε τυχαίους χρόνους για την έυρεση του αριθμού των πελατών στο σύστημα. Η αρχή Pasta είναι μια από τις βασικές έννοιες που χρησιμοποιείται για την έυρεση πελατών στο σύστημα όταν η κατανομή του χρόνου εξυπηέτησης δεν είναι γωνστή. Αρχή PASTA : Εστω ξ(t) στοχαστική διαδικασία που περιγράφει τις καταστάσεις του συστήματος εξυπηρέτησης και έστω A(t) ο αριθμός των πελατών που φτάνουν στο σύστημα σε ένα χρονικό διάστημα (0, t]. Εάν: Η A(t) είναι μια διαδικασία P oisson παραμέτρου λ Για όλα τα t το {A(t + u) A(t) : u 0} είναι ανεξάρτητο του {ξ(u) : 0 < (u) < t} Τότε για κάθε t 0 και u>0 ισχύει P [ξ(t 0)] = P [ξ(t 0) A(t) A(t u) 1] Η αρχή PASTA αναφέρεται στην αναμενόμενη κατάσταση ενός συστήματος αναμονής σύμφωνα με τις στιγμές αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson, μελετώντας το σύστημα σαν να

25 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 7 φτάνουν οι πελάτες σε μια τυχαία χρονική στιγμή. Σύμφωνα με αυτή ο αριθμός πελατών στο σύστημα σε μια στιγμή άφιξης είναι ίσος με τον αριθμό πελατών στο σύστημα μια τυχαία χρονική στιγμή. 1.2 Ανάλυση Μ/Μ/1 Συστήματος Το Μ/Μ/1 σύστημα εξυπηρέτησης θεωρείται το πιο απλό Μαρκοβιανό σύστημα αναμονής, άπειρης χωρητικότητας στο οποίο οι πελάτες φτάνουν σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson και οι χρόνοι μεταξύ των αφίξεων είναι ανεξάρτητες, εκθετικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές παραμέτρου λ. Η διαδικασία εξυπηρέτησης πραγματοποιέιται από έναν εξυπηρετητή (server) με ρυθμό εξυπηρέτησης ανά μονάδα χρόνου μ. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης θεωρούνται και αυτοί ως ανεξάρτητες και εκθετικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές [13], [24], [25] [26]. Η διαδικασία άφιξης, εξυπηρέτησης και αναχώρησης περιγράφεται από το παρακάτω γράφημα: Σχήμα 1.2: Το Μ/Μ/1 σύστημα Εφόσον οι χρονικές στιγμές μεταξύ των αφίξεων και οι χρονικές στιγμές εξυπηρέτησης θεωρούνται εκθετικά κατανεμημένες, οι πιθανότητες να φτάσει στο σύστημα ή να εξυπηρετηθεί ένας πελάτης μια τυχαία χρονική στιγμή t είναι: P (t) = λe λt (1.3) και P (t) = µe µt (1.4) αντίστοιχα. Επίσης αφού οι αφίξεις ακολουθούν την κατανομή Poisson, η πιθανότητα να φτάσουν n πελάτες στο σύστημα σε ένα χρονικό διάστημα (0, t) ορίζεται να είναι: P (t) = e (λt) (λt) n n! (1.5)

26 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 8 Κάθε χρονική στιγμή t το σύστημα μπορεί να αλλάξει κατάσταση,είτε με μια άφιξη είτε με μια αναχώρηση, όμως καθώς t οι συνθήκες εκκίνησης δεν επηρεάζουν τη συμπεριφορά του συστήματος και το σύστημα φτάνει σε μια σταθερή κατάσταση. Η κατάσταση αυτή είναι γνωστή ως κατάσταση ισορροπίας. Για τη μελέτη του παρόντος συστήματος θεωρούμε μια Μαρκοβιανή διαδικασία {ξ(t) : 0 < t < } που παριστάνει τον αριθμό των πελατών στο σύστημα τη χρονική στιγμη t. Ο ρυθμός άφιξης και εξυπηρέτησης είναι σταθερός. Το παρόν σύστημα χαρακτηρίζεται από μια διαδικασία γεννήσεων-θανάτων με ρυθμούς μετάβασης από τη μια κατάσταση στην επόμενη λ n = λ και σε μια προηγούμενηε με µ n = µ. Επιπλέον θεωρούμε πως οι πειθαρχία του συστήματος είναι FIFO. Σχήμα 1.3: Καταστάσεις μετάβασης του συστήματος Μ/Μ/1 Μελετώντας το σύστημα σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές θα δημιουργηθεί το σύστημα των πιθανοτήτων μετάβασης από τη μία κατάσταση του συστήματος στην άλλη κατά τη χρονική περίοδο (t, t + t]. Η κατάσταση του συστήματος μεταβάλλεται εάν υπάρξει μία άφιξη ή μια αχαχώρηση. Και στις δύο περιπτώσεις ο αριθμός των πελατών στο σύστημα ισούται με τον αριθμό των πελατών που βρίσκονται στην ουρά και τον αριθμό πελατών που εξυπηρετούνται. Θεωρούμε p n την πιθανότητα να πραγματοποιούνται n αφίξεις στο σύστημα. Λαμβάνοντας υπόψη τους τρόπους με τους οποίους το σύστημα οδηγείται στην κατάσταση n στο χρονικό διάστημα (t, t + t], προκύπτούν οι σχέσεις : p 0 (t + t) = p 0 [1 λ t + o( t)][1 µ t + o( t)] (1.6) p n (t + t) = p n [1 λ t + o( t)][1 µ t + o( t)] + +p n 1 (t)[λ t + o( t)]+ (1.7) +p n+1 [µ t + o( t)] + o( t)

27 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 9 Υποθέτουμε ότι έχουμε έναν θάνατο, όταν ο πλυθησμός είναι μεγέθους 0 μετά από μια αναχώρηση και μια γέννηση μετά από μία άφιξη. Συνεπώς οι εξισώσεις (1.6) και (1.7) μπορούν να γραφούν όπως παρακάτω: p 0 (t + t) = (1 λ t)p 0 + µ tp 1 (t) + o( t) (1.8) p n (t + t) = λ tp n 1 (t) + (1 (λ + µ)p n (t) + µ tp n+1 (t) + o( t) (1.9) Παραγωγίζοντας ως προς t και υποθέτοντας ότι t προκύπτει το σύστημα διαφορικών εξισώσεων : p 0 (t) = λp 0(t) + µp 1 (t) p n(t) = λp n 1 (t) (λ + µ)p n (t) + µp n+1 (t), (1.10) διότι o( t) lim = 0 t t Το σύνολο των εξισώσεων (1.10) αποτελεί ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων διαφορών. Οι λύσεις αυτών δίνουν τις πιθανότητες μετάβασης από την μια κατάσταση στην άλλη. Σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας οι εξισώσεις (1.8) και (1.9) γράφονται λp 0 = µp 1 (1.11) (λ + µ)p n = λp n 1 + µp n+1, n > 0 (1.12) Για την περίπτωση του να μην υπάχει κανένας πελάτης στο σύστημα, δηλαδή n = 0, από την (1.8) προκύπτει : p 1 = λ µ p 0 (1.13) Για n = 1 στην εξίσωση (1.12) υπολογίζεται η πιθανότητα μετάβασης στην κατάσταση 2 του συστήματος: 0 = (λ + µ)p 1 + λp 0 + µp 2 p 2 = λ+µ µ p 1 λ µ p 0 = λ+µ λ µ µ p 0 λ µ p 0

28 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 10 Η επίλυση των εξισώσεων διαφορών οδηγεί στον γενικό τύπο : p 2 = ( λ µ )2 p 0 (1.14) p n = ( λ µ )n p 0 (1.15) Για τον υπολογισμό της πιθανότητας p 0, δηλαδή της πιθανότητας το σύστημα να είναι άδειο, χρησιμοποιούμε τη γνωστή συνθήκη σύμφωνα με την οποία το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι ίσο με τη μονάδα. Ισχύει λοιπόν το εξής: 1 = p n = n=0 p 0 ( λ µ )n = p 0 n=0 Συνεπώς η πιθανότητα p 0 δίνεται από οτη σχέση : p 0 = 1 n=0 ρn n=0 ρ n Το άθροισμα n=0 ρn αποτελεί γεωμετρική σειρά και συγκλίνει για ρ < 1 στον λόγο 1 1 ρ. Η παραπάνω σχέση γράφεται διαφορετικά ως: p 0 = 1 ρ, (1.16) όπου ρ είναι η πιθανότητα να είναι απασχολημένη η μονάδα εξυπηρέτησης, δηλαδή ο μέσος αριθμός πελατών που φτάνουν στο σύστημα στη διάρκεια μιας εξυπηρέτησης. Επίσης η σχέση (2.13) μπορεί να γραφεί ως: p n = ρ n (1 ρ) (1.17) Απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη στατιστικής ισορροπίας του συστήματος είναι η ποσότητα ρ να είναι μικρότερη της μοναδας. Πράγματι από τη σχέση (1.16), αφού η πιθανότητα είναι θετική και μικρότερη της μονάδας, επαληθεύεται πως ο ρυθμός αφίξεων λ είναι μικρότερος από τον ρυθμό εξυπηρέτησης των πελατών µ. Εάν συνέβαινε το αντίθετο, δηλαδή ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης ήταν μικρότερος από τον μέσο ρυθμό αφίξεων (λ > µ), η ουρά ολοένα και θα αυξανόταν και η εξυπηρέτηση των πελατών θα γινόταν δυσκολότερη. Ακόμα και στην περίπτωση ισότητας των λ και µ δε γίνεται λόγος για κατάσταση ισοροπίας του συστήματος. Αυτό οφείλεται στην αδυναμία του εξυπηρετητή να μειώσει το μέγεθος της ουράς, δηλαδή το πλήθος πελατών που βρίσκονται στο χώρο αναμονής, επειδή πραγματοποιούνται συγχρόνως αφίξεις και αναχωρήσεις. Η οριακή πιθανότητα να υπάρχουν 0 πελάτες στο σύστημα τη χρονική στιγμή t, με βάση την σχέση p 0 ρ n = 1, υπολογίζεται

29 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 11 να είναι : lim p 0 = 1 t Τα χαρακτηριστικά του συστήματος Μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα και στην ουρά Δύο βασικά ως προς μελέτη χαρακτηριστικα του Μ/Μ/1 συστήματος είναι ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα και ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά. Σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα υπολογίζεται να είναι : E(N) = L = np n = (1 ρ) nρ n = (1 ρ)ρ nρ n 1 = (1 ρ)ρ n=0 n=0 Αφού το άθροισμα n=0 ρn συγκλίνει στον όρο 1 1 ρ n=0 n=0, για ρ < 1 ισχύει η σχέση : dρ n dρ n=0 dρ n dρ = n=0 d 1 dρ 1 ρ Συνεπώς ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα δίνεται να είναι : 1 L = (1 ρ)ρ (1 ρ) 2 = ρ 1 ρ (1.18) Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα είναι ίσος με τον μέσο αριθμό πελατών που βρίσκονται στο χώρο αναμονής μαζί με τον μέσο αριθμό πελατών που εξυπηρετούνται. Για τον αναμενόμενο αριθμό πελατών στην ουρά ισχύει E(N q ) = L q = (n 1)p n = n=0 np n p n = L ρ = n=0 n=0 ρ2 1 ρ (1.19) Από τις δύο παραπάνω σχέσεις (1.18) και (1.19) προκύπτει ότι: L q = ρl (1.20)

30 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 12 Χρόνος Αναμονής πελάτη Ενα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό κάθε συστήματος είναι ο χρόνος αναμονής σε αυτό. Για την μελέτη του χρόνου αναμονής μελετάμε το σύστημα σε διάφορες χρονικές στιγμές, ώστε ο αριθμός πελατων να μεταβάλλεται. Κατά την άφιξη του ένας πελάτης μπορεί να βρεί το σύστημα άδειο με πιθανότητα p 0 ή θα συναντήσει n πελάτες σε αυτό, με πιθανότητα p n. Στην περίπτωση που το σύστημα είναι άδειο ο χρόνος αναμονής θα είναι ίσος με τον χρόνο εξυπηρέτησης του. Εάν όμως συναντήσει πελάτες στο σύστημα, για την έυρεση του μέσου χρόνου αναμονής χρειάζεται ο προσδιορισμός της κατανομής του. Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή W n που παριστάνει τον χρόνο αναμονής του n-οστού πελάτη στο Μ/Μ/1 σύστημα. Επίσης καθορίζουμε την πειθαρχία του συστήματος να είναι FCFS, δηλαδή η εξυπηρέτηση να γίνεται με σειρά άφιξης. Οταν κατά την άφιξη του ο πελάτης συναντήσει ένα σύστημα με i πελάτες, τότε ο χρόνος αναμονής του θα είναι ίσος με τον χρόνο εξυπηρέτησης των πελατών αυτών μαζί με τον χρόνο εξυπηρέτησης του. Συνεπώς ισχύει: W = X 1 + X 2 + X X i+1, δηλαδή ο χρόνος αναμονής ως άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών της εκθετικής κατανομής, ακολουθεί μια Γάμμα κατανομή: f(w ) = p 0 µe µw + p 1 µ 2 we µw 1! +... = µe µw n=1 p n (µw) n n! = µe µw (µρw) n (1 ρ) = µ(1 ρ)e µ(1 ρ)w n! n=1 Απο την παραπάνω σχέση συμπαιρένουμε πως ο χρόνος αναμονής του κάθε πελάτη σε ένα σύστημα που υπάρχει στατιστική ισορροπία ακολουθεί μια εκθετική κατανομή παραμέτρου µ(1 ρ). Συνεπώς ο μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα είναι : E(W ) = 1 µ(1 ρ) (1.21) και στην ουρά θα είναι ο μέσος χρόνος που θα εξυπηρετηθουν όλοι οι προήγουμενοι, δηλαδή:

31 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 13 E(W q ) = E(W ) 1 µ = 1 µ(1 ρ) 1 µ = ρ µ(1 ρ) (1.22) Ο μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα καθώς και ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά για έναν πελάτη υπολογίζεται ευκολότερα με την εφαρμογή του Θεωρήματος του Little. Συνεπώς ισχύει: W = L λ (1.23) W q = L q λ (1.24) 1.3 Ανάλυση M/G/1 συστήματος Το M/G/1 σύστημα Ενα ρεαλιστικό μοντέλο στην θεωρία ουρών χαρακτηρίζεται από αφίξεις που ακολουθούν τη διαδικασία Poisson, αλλά δεν διατηρεί την εκθετική ταυτότητα του χρόνου εξυπηρέτησης. Αυτό το μετατρέπει σε ένα μη Μαρκοβιανό σύστημα. Την βάση για την μελέτη τέτοιων συστημάτων αποτελεί το M/G/1 σύστημα εξυπηρέτησης. Η ανάλυση του συγκεκριμένου μοντέλου βασίζεται στην αναλυτική μελέτη των βιβλιογραφιών του [1], [3], [23] και του [25]. Υπάρχουν πολλών ειδών τεχνικές μελέτης του παρόντος συστήματος. Παρόλα αυτά θα αναλυθεί η μέθοδος της Υπεισερχόμενης Μαρκοβιανής αλυσίδας. Εξετάζεται το M/G/1 σύστημα εξυπηρέτησης με έναν διακομιστή (server) του οποίου οι καταστάσεις περιγράφονται με τη μη Μαρκοβιανή στοχαστική διαδικασία {ξ(t) : 0 < (t) < }. Οι αφίξεις των πελατών ακολουθούν την κατανομή Poisson παραμέτρου λ, ενώ οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες μεταβλητές που ακολουθούν μια γενική κατανομή με με αθροιστική συνάρτηση κατανομής B(t) και συνάρτηση πιθανότητας b(t). Επιπλέον θεωρούμε πως ο πελάτης που φτάνει πρώτος στο σύστημα είναι αυτός που προηγείται στην εξυπηρέτηση, δηλαδή η πειθαρχία του συστήματος είναι FCFS. Η ανάλυση παρουσιάζει δυσκολίες λόγω της απουσίας της Μαρκοβιανής Ιδιότητας. Δύο από τις σημαντικότερες μεθόδους χειρισμού μη μαρκοβιανών συστημάτων εξυπηρέτησης είναι η μέθοδος της Συμπληρωματικής Μεταβλητής και η μέθοδος της Υπεισερχόμενης Μαρκοβιανής Αλυσίδας. Η μέθοδος της Συμπληρωματικής μεταβλητής χρησιμοποιήθηκε από τους Cox (1955), Kendall (1953) και Keilson και Kooharian (1960). Με την εισαγωγή μεταβλητών, όπως για παράδειγμα τον χρόνο εξυπηρέτησης, καθίστατο δυνατή η μελέτη του Μαρκοβιανού διανύσματος [ξ(t), X(t)] και κατ επέκταση η μελέτη του συστήματος. Ο Cox (1955) χρησιμοποιώντας ως συμπληρωματική μεταβλητή για τον υπολειπόμενο χρόνο

32 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 14 εξυπηρέτησης την R(t) και κατασκευάζοντας τις Kolmogorov εξισώσεις πραγματοποίησε την πρώτη έρευνα της διαδικασίας αυτής. Ο Kendall (1951) ξεκίνησε να μελετά την διαδικασία αυτή με έναν διαφορετικό τρόπο, με τελικό αποτέλεσμα την μετατροπή μη Μαρκοβιανών συστημάτων όπως το M/G/1, το G/M/1, το G/G/1 σε συστήματα που χαρακτηρίζονται από τη Μαρκοβιανή ιδιότητα. Η μελέτη αυτή βασίστηκε στην παρατήρηση του συστήματος σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές αναχώρησης. Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή ως μέθοδος της Υπεισερχόμενης Μαρκοβιανής Αλυσίδας Υπεισερχόμενη Μαρκοβιανή Αλυσίδα Σε αυτή τη μέθοδο θα μελετηθούν συγκεκριμένες χρονικές στιγμές για τον καθορισμό του αριθμού πελατών, οι οποίες θα δίνουν πληροφορίες για τα επόμενα χρονικά σημεία του συστήματος. Για να ισχύουν όμως οι πληροφορίες αυτές για όλές τις χρονικές στιγμές θα πρέπει να ικανοποιούνται το θεώρημα Burke και η αρχή PASTA. Εστω ξ n ο αριθμός των πελατών στο σύστημα μετά το τέλος της n εξυπηρέτησης και A(x) ο αριθμός των αφίξεων κατά τη διάρκεια μιας εξυπηρέτησης για το οποίο ισχύει : P [A(x) = k] = (λx)k e λx. k! Οι καταστάσεις του συστηματος δίνονται από τις σχέσεις : ξ n+1 = ξ n 1 + A n+1, ξ n 1 και ξ n+1 = A n+1, ξ n = 0 Οι πιθανότητες μετάβασης από τη μία κατάσταση στην άλλη είναι ανεξάρτητες και ορίζονται να είναι : a k, αν j = 0, k 0 p jk = P [ξ n+1 = k ξ n = j] = a k j+1, αν k j 1 0 0, αν j 1, 0 k j 1, όπου a k οι πιθανότητες να υπάρξουν k αφίξεις κατά τη διάρκεια ενός χρόνου εξυπηρέτησης. Λόγω του ότι οι αφίξεις ακολουθούν μια διαδικασία Poisson οι πιθανότητες αυτές δίνονται από τη σχέση :

33 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 15 a k = 0 λx k k! e λx db(x) Ο πίνακας των πιθανοτήτων μετάβασης P = p jk ορίζεται να είναι : a 0 a 1 a 2 a 3 a 0 a 1 a 2 a 3 P = 0 a 0 a 1 a a 0 a 1 Αναλυτικότερα η πιθανότητα να υπάρχουν 0 πελάτες στο σύστημα μετά το τελος της n + 1 εξυπηρέτησης δεδομένου ότι υπήρχαν 0 πελάτες στο σύστημα μετά την ολοκλήρωση της n εξυπηρέτησης, δίνεται ως: P 00 = P (ξ n+1 = 0 ξ n = 0) = P (A n+1 = 0 ξ n = 0) = P (A n+1 = 0) = P (A = 0) = α 0 Επίσης η πιθανότητα να υπάρχουν στο σύστημα k πελάτες κατά το τέλος της n + 1 εξυπηρέτησης δοθέντος ότι κατά το τέλος της n εξυπηρέτησης υπήρχαν 0 πελάτες στο σύστημα είναι : P 0k = P (ξ n+1 = k ξ n = 0) = P (A n+1 = k ξ n = 0) = P (A n+1 = k) = P (A = k) = α k Γενικότερα οι πιθανότητες να υπάρχουν k πελάτες στο τέλος της n + 1 εξυπηρέτησης ενώ υπάρχουν i πελάτες κατά την ολοκλήρωση της n εξυπηρέτησης, εκφράζονται ως: P ik = P (ξ n+1 = k ξ n = i) = P (A n 1 + A n+1 = k ξ n = i) = P (A n+1 = k i + 1 ξ n = i) = P (A n+1 = k i + 1) = α k 1+1 Από το σύστημα πp = π προκύπτουν οι πιθανότητες των καταστάσεων: k+1 π k = π j p jk = π 0 a k + π j a k j+1 j=0 j=1 Θα πρέπει να ορίσουμε γεννήτριες συναρτήσεις για την επίλυση του συστήματος. Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω σχέση με z k και θεωρώντας τη μία γεννήτρια συνάρτηση A(z) = k=0 a kz k προκύπτει:

34 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 16 Π(z) = z k π 0 a k + k=0 k=0 π j a k j+1 = π 0 a k z k + π j z j 1 z k k+1 j=1 k=0 j=1 k=j 1 π 0 A(z) + [ A(z) z π 1z + π 2 z ] = π 0 A(z) + A(z) z [Π(z) π 0] Η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με την έκφραση: a k j+1 z k j+1 = (z A(z))Π(z) = π 0 (z 1)A(z) με την επίλυση της οποίας καταλήγουμε στην έκφραση της γεννήτριας Π(z) : Π(z) = π 0(1 z)a(z) A(z) z (1.25) Για να φτάσουμε στον τελικό τύπο απαιτείται ο υπολογισμός της γεννήτριας συνάρτησης A(z). A(z) = a k z k = k=0 k=0 z k λt (λt)k e db(t) = k! 0 0 e λt (λzt) k db(t) = k! k=0 0 e λt e λ ztdb(t) = 0 e (λ λz)t db(t) = b (t) Ετσι αντικαθιστώντας στην σχέση (3.1) προκύπτει: Π(z) = π 0(1 z)b (λ λz) b (λ λz) z (1.26) Πρέπει να εξασφαλιστεί ότι ο παρονομαστής είναι διάφορος του μηδενός. Γνωρίζουμε ότι ισχύει z 1.Στην περίπτωση που z < 1 ικανοποιείται η απαίτηση αυτή. Εάν όμως z = 1, σύμφωνα με το θεώρημα Takacs, η εξίσωση επιλύεται εντός του μοναδιαίου κύκλου όταν ρ < 1. Συνεπώς και σε αυτή την περίπτωση εξασφαλίζεται b (λ λz) z 0

35 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 17 Για τον προσδιορισμό της π 0 ώστε η συνάρτηση Π(z) να είναι πλήρως γνωστή, αρκεί να θέσουμε z = 1. Π(1) = A(1) π k = 1 limπ(z) = 1 π 0 z 1 1 A (1) = π ρ = 1 k=0 Ο υπολογισμός της A (1) έγινε όπως παρακάτω: A (z) = d dz και 0 A (1) = λ 0 e (λ λz)t db(t) = λ 0 te (λ λz)t db(t) tdb(t) = λe(b) = λb = λ 1 µ = ρ, όπου B είναι ο χρόνος εξυπηρέτησης. Για να ισχύει η σχέση της Π(1) θα πρέπει η ποσότητα 1 ρ να είναι μικρότερη της μονάδας. Συνεπώς ρ < 1, δηλαδή το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Η πιθανότητα το σύστημα να είναι άδειο, δηλαδή κανένας πελάτης να μην εξυπηρετείται ισούται με: P rob(empty system) = π 0 = 1 ρ (1.27) Αφού καθορίστηκε η γεννήτρια συνάρτηση Π(z) είναι ευκολο να καθοριστεί ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα κατά τις χρονικές στιγμές αναχωρήσεων. L D = kπ k = kπ k z k 1 z=1 = Π (1) k=0 k=0 Θέτοντας z = 1, εφαρμόζοντας τον τύπο του DeL Hospital και χρησιμοποιώντας τον τύπο του P ollaczek Khintchine προκύπτει ότι: όπου σ 2 είναι η διασπορά των χρόνων εξυπηρέτησης. L D = ρ + ρ2 + λ 2 σ 2 2(1 ρ), (1.28) Κάνοντας γνωστή την κατανομή που ακολουθούν οι χρόνοι εξυπηρέτησης και γνωρίζοντας κατα συνέπεια τη μέση τιμή του χρόνου εξυπηρέτησης, μπορούμε από τη σχέση (1.28) να υπολογίσουμε τον μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Burke και την αρχή PASTA καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως οι σχέσεις αυτές ισχύουν για οποιαδήποτε χρονική στιγμή και όχι μόνο σε στιγμές αναχωρήσεων. Επομένως ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι ίσος με τον μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα στις στιγμές αναχώρησης.

36 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή Χρόνος Αναμονής Ο μέσος χρόνος αναμονής σε ένα σύστημα ορίζεται ως το χρονικό διάστημα από την άφιξη του πελάτη εως και την χρονική στιγμή που αναχωρεί απο αυτό. Για να υπολογιστεί ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης ενός πελάτη θεωρούμε ένα M/G/1 σύστημα εξυπηρέτησης με πειθαρχία ουράς FCFS και θεωρόντας πως ο αριθμός πελατών μετά από μια αναχώρηση ισούται με τον αριθμό των πελατών που φτάνουν εκείνη τη στιγμή στο σύστημα. Παριστάνουμε με W (t) την αθροιστική συνάρτηση κατανομής του χρόνου αναμονής του τυχαίου πελάτη στο σύστημα, στην ουρά και την εξυπηρέτηση, σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, με w(t) τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και με w (t) τον μετασχηματισμό Laplace της w(t). Οταν ο τυχαίος πελάτης Α τελειώνει την εξυπηρέτηση του και αποχωρεί η πιθανότητα να αφήσει n πελάτες πίσω του είναι p n. Οι πελάτες αυτοί είναι όσοι ήραν στο σύστημα κατά τη διάρκεια του χρόνου αναμονής του Α. Θεωρούμε έτσι p n την πιθανότητα να καταφθάσουν n πελάτες στο σύστημα κατά τη διάρκεια του χρόνου αναμονής, η οποία δίνεται ώς: p n = Επίσης ισχύει 0 (λt) n e λt dw (t). (1.29) n! P (z) = n=0 p nz n = 0 e λt (λtz) n n=0 n! dw (t) = 0 e λt(1 z) w(t)dt = w (λ λz). (1.30) Από τις προκύπτει w (t) = (1 ρ)zb (z) z λ + λb (z) (1.31) Για να υπολογιστούν οι ροπές του χρόνου αναμονής του πελάτη γίνεται χρήση της. Ετσι d k dz k P (z) = ( λ) k dk du k w (u) u=λ λz = ( λ) k dk du k 0 e ut w(t)dt u=λ λz (1.32) = ( λ) k 0 ( 1)k t k e ut w(t)dt u=λ λz. Εάν θεωρήσουμε L q την k-οστή παραγοντική ροπή των καταστάσεων του συστήματος και W k την k-οστή ροπή (περί το μηδέν) του χρόνου αναμονής στο σύστημα τότε L (k) = dk dz k P (z) z=1 = λ k 0 t k w(t)dt = λ k W k (1.33)

37 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 19 Η σχέση L (k) = λ k W k (1.34) μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενίκευση της σχέσης του Little. Ο μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα προκύπτει από την χρήση της παραπάνω σχέσης και του τύπου των P ollaczek Khintchine και δίνεται ως: E(W ) = W 1 = λb 2 + E(service time), (1.35) 2(1 ρ) όπου b 2 είναι η δεύτερη ροπή περί το μηδέν του χρόνου εξυπηρέτησης.

38

39 Κεφάλαιο 2 Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις Στο κεφάλαιο αυτό, πραγματοποιείται η μελέτη ένος τροποποιημένου μοντέλου αναμονής M/M/1, το οποίο εναλλάσσεται μεταξύ 2 φάσεων, και χαρακτηρίζεται από μεταβαλόμενο ρυθμό αφίξεων και παροχής υπηρεσιών σύμφωνα με την κατανομή Poisson. Το επακόλουθο διδιάστατο πρόβλημα αναλύεται με τη χρήση γεννήτριας συναρτήσης, η οποία φαίνεται να είναι ουσιαστικής σημασίας στο παρόν πλαίσιο. Σκοπός είναι ο υπολογισμός των στάσιμων πιθανότητων και των μέτρων απόδοσης [22]. Το σύστημα αυτό χαρακτηρίζεται ως ετερογενές. Η ετερογένεια ενός συστήματος οφείλεται είτε στην μεταβλητότητα των παραμέτρων, είτε στην μεταβολή αυτών ανάλογα με τη δράση ελέγχου. Για παράδειγμα, οι πελάτες αρνούνται να παραμείνουν στην ουρά αναμονής εαν το μέγεθος της υπερβαίνει ένα συγκερκιμένο όριο ή ως αποτέλεσμα αυτού η επίδοση της παροχής υπηρεσιών ενισχύεται. Πλήθος των προβλημάτων ουρών θεωρείται ότι χαρακτηρίζεται από ετερογένεια υπηρεσιών [5],[2]. Η περίπτωση η οποία αναλύεται παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον λόγω της απλότητας, της πρακτικής σημασίας και της εύκολης επίλυσης του μοντέλου. Μια σειρά από τομείς καθιστούν τα συστήματα πρακτικά στην χρήση. Για παράδειγμα, μια εγκατάσταση υπολογιστών μπορεί να συγκροτείται από έναν αριθμό πελατών, ενώ ο καθένας καταφθάνει με έναν σταθερό ρυθμό άφιξης πελατών κατανομής Poisson. Η εμφάνιση και η εξαφάνιση ενός τέτοιου πελάτη συνδέεται με την ταυτόχρονη αύξηση και μείωση του συνολικού ποσοστού άφιξεων και την ικανότητα παροχής υπηρεσιών που χαρακτηρίζονται από την Poisson κατανομή. 21

40 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 22 Το πρόβλημα υπό εξέταση είναι μια διδιάστατη γενίκευση του τυπικά μονοδιάστατου βασικού συστήματος αναμονής. Τα χαρακτηριστικά του μοντέλου αυτου είναι τα ακόλουθα. Μια ροή των πελατών φτάνει με ρυθμό λ i της κατανομής Poisson σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης αποτελούμενο από έναν διακομιστή. Οι αφίξεις δεν χαρακτηρίζονται από ομοιογένεια. Υπάρχουν δύο ροές αφίξεων κατά την λειτουργία του παρόντος συστήματος. Το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το σύστημα λειτουργεί στην κατάσταση i, (i = 1, 2) είναι μία εκθετικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή παραμέτρού 1 η i. Ο χρόνος εξυπηρέτησης θεωρείται ότι είναι εκθετικά κατανεμημένος. Εαν το σύστημα είναι στην κατάσταση i, ο ρυθμός εξυπηρέτησης λαμβάνει τη τιμή µ i. Υποθέτουμε επίσης πως το σύστημα χαρακτηρίζεται από στοχαστική αναεξαρτησία, η οποία γίνεται κατανοητή υπό την εξής συνθήκη: δεδομένου ότι το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i, το ιστορικό δεν έχει καμία προγνωστική αξία. Ετσι ο ρυθμός αφίξεων λ i και ο ρυθμός εξυπηρετήσεων µ i είναι ανεξάρτητοι του ιστορικού λειτουργίας του συστήματος. Θεωρούμε, λοιπόν, ένα σύστημα αναμονής ενός διακομιστή που εναλλάσσεται ανάμεσα σε δύο δυνατές καταστάσεις οι οποίες συμβολίζονται με 1 και 2. Η διατήρηση του συστήματος σε οποιοδήποτε επίπεδο διέπεται από ένα τυχαίο μηχανισμό: Αν το σύστημα λειτουργεί στο επίπεδο i, δηλαδή ο ρυθμός της άφιξης και ο ρυθμός της εξυπηρέτησης είναι λ i και µ i αντίστοιχα, τείνει «να μεταβεί» σε μία εναλλακτική φάση με ρυθμό η i της κατανομής Poisson. Σημειώνεται ότι, από τη στιγμή που έχουν ενταχθεί στην ουρά οι πελάτες δεν διαχωρίζονται σε 1 ή 2. Ο ρυθμός της παρερχόμενης εξυπηρέτησης σχετίζεται με την παρούσα κατάσταση του συστήματος. Ως εκ τούτου κάποιες βασικές ιδιότητες της διαδικασίας εξυπηρέτησης, όπως για παράδειγμα οι πιθανότητες ή ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά, δεν εξαρτώνται από τη πειθαρχία αυτής. Θεωρούμε μια διαδικασία Poisson X(t) για τις φάσεις (i, m), (i = 1, 2; m = 0, 1, 2,...) με πιθανότητες κατά τη κατάσταση ισορροπίας P (jn,im) (t) = P (X(t + s) = (i, m) X(s) = (j, n)), (2.1) για t > 0. Οσο το χρονικό διάστημα h τείνει στο μηδέν οι πιθανότητες έχουν ως εξής: P (im),(i,m+1) (h) = λ i h + o(h) (2.2) P (i,m+1),(im) (h) = µ i h + o(h) (2.3) P (1m),(2m) (h) = η 1 h + o(h) (2.4) P (2m),(1m) (h) = η 2 h + o(h) (2.5) P (im),(im) (h) = 1 (λ i + µ i + η i )h + o(h), (m 0) (2.6)

41 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 23 P (i0),(i0) (h) = 1 (λ i + µ i )h + o(h) (2.7) P (jn),(im) = { 1, jn = im 0, διαφορετικά Οι τιμές η i, λ i και µ i είναι μη αρνητικές και θεωρείται πως είναι πεπερασμένες. Το σύνολο των πιθανοτήτων μετάβασης P (jn),(im) (t) ικανοποιεί τις προς τα πίσω Kolmogorov διαφορικές εξισώσεις, και, από τη θεωρία των επαναλαμβανόμενων γεγονότων, είναι γνωστό ότι για όλα τα (i, m) υπάρχει το lim t P (jn),(im) (t) = p im και είναι ανεξάρτητο από την αρχική κατάσταση (j, n). Το σύνολο των p im ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις: p 10 (λ 1 + η 1 ) = p 11 µ 1 + p 20 η 2 (2.8) p 20 (λ 2 + η 2 ) = p 21 µ 2 + p 10 η 1 (2.9) p 1m (λ 1 + η 1 + µ 1 ) = p 1,m 1 λ 1 + p 1,m+1 µ 1 + p 2m η 2, (m > 0) (2.10) p 2m (λ 2 + η 2 + µ 2 ) = p 2,m 1 λ 2 + p 2,m+1 µ 2 + p 1m η 1, (m > 0) (2.11) Το παρακάτω σχήμα αποτελεί το διάγραμμα μεταβάσης καταστάσεων, από το οποίο προκύπτουν οι εξισώσεις (2.8) έως (2.11). Οι εξισώσεις του συνόλου αυτού θεωρούνται μια αναπαράσταση του νόμου που καθορίζει την κατάσταση ισορροπίας σύμφωνα με τον οποίο, ο μέσος ρυθμός αφίξεων ισούται με τον μέσο ρυθμό μετάβασης. Σχήμα 2.1: Διάγραμμα μεταβάσεων Από τις σχέσεις (2.8) εως (2.11), πραγματοποιώντας τους κατάλληλους υπολογισμούς προκύπτει η ακόλουθη σχέση: p 1m λ 1 + p 2m λ 2 = p 1,m+1 µ 1 + p 2,m+1 µ 2 (2.12) Το άθροισμα των πιθανοτήτων για όλα τα m είναι p 1 λ 1 + p 2 λ 2 = (p 1 p 10 )µ 1 + (p 2 p 20 )µ 2, (2.13)

42 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 24 όπου p i η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση i, η οποία ορίζεται ως: p i = p im (2.14) m=0 Ορίζουμε λ τον μέσο ρυθμό αφίξεων των πελατών και µ τον μέσο ρυθμό εξυπηρέτησης τους να είναι λ = p 1 λ 1 + p 2 λ 2 (2.15) και µ = p 1 µ 1 + p 2 µ 2 (2.16) Συνεπώς η σχέση (2.13) μπορεί να γραφεί και ως p 10 µ 1 + p 20 µ 2 = µ λ (2.17) Για την περίπτωση της κατάστασης ισορροπίας, στην οποία οι πιθανότητες p im είναι θετικές, μπορούμε να συμπεράνουμε από την εξίσωση (2.17), ότι η σχέση που χρειάζεται να ισχύει: µ λ > 0, (2.18) δηλαδή ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών πρέπει να είναι μεγαλύτερος του μέσου ρυθμού αφίξεων. Επίσης για τη διδιάστατη Μαρκοβιανή διαδικασίας ορίζουμε p 1 = η 2 η 1 + η 2 (2.19) p 2 = η 1 η 1 + η 2 (2.20) Ως λύση, επιθυμούμε να εκφράσουμε τις πιθα ότητες ισσοροπίας συναρτήσει παραμέτρων λ 1, λ 2, µ 1, µ 2, η 1, η 2. Οι σχέσεις (2.8) εώς (2.11) δεν είναι εύκολο να επιλυθούν με επαναληπτικό τρόπο. Η χρήση γεννητριών συναρτήσεων είναι απαραίτητη για την ανάλυση του μοντέλου.

43 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις Επίλυση του μοντέλου με γεννήτριες συναρτήσεις και υπολογισμός μέτρών απόδοσης Θεωρούμε τη γεννήτρια συνάρτηση του συστήματος G i (z) = z m p im, z 1, i = 1, 2 (2.21) m=0 Επιπλέον γράφουμε τις σχέσεις (2.8) και (2.10) ως εξής: p 10 (λ 1 + µ 1 + η 1 ) = p 20 η 2 + p 11 µ 1 + p 10 µ 1 (2.22) p 1m (λ 1 + µ 1 + η 1 ) = p 1,m 1 λ 1 + p 2m η 2 + p 1,m+1 µ 1 + p 10 µ 1 (2.23) Πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις (2.22) και (2.23) με z m (m = 0, 1,...) προκύπτει (λ 1 + η 1 + µ 1 )G 1 (z) = λ 1 zg 1 (z) + η 2 G 2 (z) + µ 1 z [G 1(z) p 10 ] + p 10 µ 1 (2.24) Ομοίως ορίζεται η γεννήτρια συνάρτηση: (λ 2 + η 2 + µ 2 )G 2 (z) = λ 2 zg 2 (z) + η 1 G 1 (z) + µ 2 z [G 2(z) p 20 ] + p 20 µ 2 (2.25) Εν συνεχεία θεωρούμε το πολυώνυμο τρίτου βαθμού g(z) να είναι g(z) = λ 1 λ 2 z 3 (η 1 λ 2 + η 2 λ 1 + λ 1 λ 2 + λ 1 µ 2 λ 2 µ 1 )z 2 +(η 1 µ 2 + η 2 µ 1 + µ 1 µ 2 + λ 1 µ 2 + λ 2 µ 1 )z µ 1 µ 2 Καταλήγουμε, λοιπόν, στη σχέση g(z)g 1 (z) = p 20 η 2 µ 2 + p 10 µ 1 [η 2 z + λ 2 z(1 z) µ 2 (1 z)] (2.26) Θεώρημα 2.1. Για θετικά µ 1 και µ 2 και πεπερασμένα η 1 και η 2,το πολυώνυμο g(z) έχει μια μοναδική λύση z 0 στο διάστημα (0, 1) [22] Θέτοντας στην εξίσωση (2.26) z = z 0, προκύπτει η σχέση p 20 η 2 µ 2 z 0 + p 10 µ 1 [η 2 z 0 + λ 2 z 0 (1 z 0 ) µ 2 (1 z 0 )] = 0 (2.27)

44 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 26 Λαμβάνοντας υπόψην την (2.17) προκύπτουν οι πιθανότητες να υπάρχουν 0 πελάτες σε κάθε φάση : και p 10 = p 20 = η 2 ( µ λ)z 0 µ 1 (1 z 0 )(µ 2 λ 2 z 0 ) η 1 ( µ λ)z 0 µ 2 (1 z 0 )(µ 1 λ 1 z 0 ) Η πιθανότητα να είναι απασχολημένο το σύστημα εξυπηρέτησης είναι (2.28) (2.29) ρ = 1 (p 10 p 20 ) (2.30) Η πιθανότητα αυτή δεν ισούται με τον λόγο του μέσου όρου αφίξεων λ προς το μέσο όρο εξυπηρέτησης του συστήματος µ. Η μόνη περίπτωση κατα την οποία ισχύει είναι εάν ισχύει p 10 p 20 = p 1 p 2, δηλαδή εάν λ 1 µ 1 = λ 2 µ 2. Οι αναδρομικές σχέσεις στις οποίες καταλήγουμε είναι οι ακόλουθες : και p 1m = p 1,m 1 ( λ m 1 1 ) + µ 1 j=0 p 2m = p2, m 1( λ m 1 2 ) + µ 2 j=0 m 1 η 1 p 1j µ 1 j=0 m 1 η 2 p 2j µ 2 j=0 p 2j η 2 µ 1 (2.31) p 1j η 1 µ 2 (2.32) Εφόσον έχουν καθοριστεί οι τιμές των p 10 και p 20 είναι εύκολο να δοθούν οι ακόλουθες σχέσεις των γεννητριών συναρτήσεων: G 1 (z) = [η 2( µ λ)z + p 10 µ 1 (1 z)(λ 2 z µ 2 )] g(z) (2.33) G 2 (z) = [η 1( µ λ)z + p 20 µ 2 (1 z)(λ 1 z µ 1 )] g(z) (2.34) Ορίζουμε βοηθητικά ως M i τον μέσο αριθμό πελατών στην ουρά ενώ το σύστημα βρίσκεται στην φάση i M i = mp im = ( d dz )G i, m=0 για z = 1. Η ποσότητα αυτή θεωρητικά είναι το γινόμενο της πιθανότητας του συστηματος στην κατάσταση i και του μεγέθους της ουράς στην κατάσταση αυτή. Επομένως το μέγεθος της ουράς υπολογίζεται να είναι E q = M 1 + M 2 = λ ( µ λ) + [µ 1(µ 2 λ 2 )p 10 +µ 2 (µ 1 λ 1 )p 20 (µ 1 λ 1 )(µ 2 λ 2 )] (η 1 +η 2 )( µ λ) (2.35)

45 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις Ειδικές περιπτώσεις Στην προήγουμενη ενότητα, το μοντέλο αναλύθηκε με γενικούς όρους. Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που δεν είναι απαραίτητο οι μέσοι ρυθμοί αφίξεων και οι μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης να διαφέρουν για τις δύο φάσεις. Δεν υπάρχει σημαντική απλούστευση ακόμα και στις πιο εξειδικευμένες υποθέσεις όπου λ 1 = λ 2 και µ 1 = µ 2. Ωστόσο, υπάρχει μια περίπτωση όπου μία συγκεκριμένη υπόθεση έχει ως αποτέλεσμα την απλούστευση των εκφράσεων. Αυτή είναι η περίπτωση όπου λ 1 µ 1 = λ 2 µ 2, ακόμα και αν οι ρυθμοί αφίξεων και εξυπηρέτησης διαφέρουν. Αρχικά θα μελετηθούν οι ιδιότητες του λόγου p 10 p 20. Από τις σχέσεις (2.28) και (2.29) προκύπτει p 10 p 20 = ( η 2 λ1 [1 ( ) η 1 µ 1 )z 0 ] [1 ( λ 2 µ 2 )z 0 ] (2.36) Εάν ισχύει η 2 η 1 = p 1 p 2, τότε συνεπάγεται ότι για z 0 > 0, p 10 p 20 = p 1 p 2 εαν και μόνο εάν µ 1 λ 1 = µ 2 λ 2. Στην περίπτωση αυτή θέτουμε µ 1 = µ 2 = θ (2.37) λ 1 λ 2 Με χρήση των εκφράσεων (2.15), (2.16) και (2.37) προκύπτει µ λ = (µ 1p 1 + µ 2 p 2 ) (λ 1 p 1 + λ 2 p = (θλ 1p 1 + θλ 2 p 2 ) = θ (2.38) 2 ) (λ 1 p 1 + λ 2 p 2 ) Η έκφραση ρ = 1 (p 10 + p 20 ) της ροής «κυκλοφορίας» δεν ισούται συνήθως με τον λόγο λ µ. Σε συγκεκριμένες μόνο περιπτώσεις ισχύει η εξίσωση αυτών. Εάν λοιπόν, υποθέσουμε πως ισχύει η σχέση ρ = λ µ τότε αντικαθιστώντας στην ρ = 1 (p 10 + p 20 ) αποδυκνείεται πως ισχύει ( µ λ) p 10 + p 20 = (2.39) µ Ο συνδυασμός της παραπάνω σχέσης με την έκφραση (2.17) οδηγεί στον λόγο p 01 υπολογισμός του λόγου έχει ως εξής: p 02. Ο p 01 µ 1 + p 02 µ 2 = µ λ p 01 µ 1 + p 02 µ 2 = µ(p 10 + p 20 ) p 10 (µ 1 µ) = p 20 ( µ µ 2 ) (2.40) p 10 p 20 = µ µ 2 µ 1 µ = p 1 µ 1 +p 2 µ 2 µ 2 µ 1 p 1 µ 1 p 2 µ 2

46 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 28 Οι ιδιότητες του πολυωνύμου g(z) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη της σχέσης ρ = λ µ. Υπενθυμίζουμε πως το πολυώνυμο g(z) είναι : g(z) = λ 1 λ 2 z 3 (η 1 λ 2 +η 2 λ 1 +λ 1 λ 2 +λ 1 µ 2 λ 2 µ 1 )z 2 +(η 1 µ 2 +η 2 µ 1 +µ 1 µ 2 +λ 1 µ 2 +λ 2 µ 1 )z µ 1 µ 2 Λαμβάνοντας υπ οψην πως ισχύουν µ 1 λ 1 = µ 2 λ 2 = θ, µ 1 µ 2 = θ 2 λ 1 λ 2 (2.41) το πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί και ώς : g(z) = λ 1 λ 2 z 3 (η 1 λ 2 + η 2 λ 1 + λ 1 λ 2 + λ 1 λ 2 θ + λ 2 λ 1 θ)z 2 +(η 1 λ 2 θ + η 2 λ 1 θ + θ 2 λ 1 λ 2 + λ 1 λ 2 θ + λ 2 λ 1 θ)z λ 1 λ 2 θ 2 Μιά άλλη μορφή του πολυωνύμου δίνεται να είναι g(z) = λ 1 λ 2 [z 3 ( η 1 λ 1 + η 2 λ θ)z 2 + ( η 1 λ 1 + η 2 λ 2 + θ + 2)θz θ 2 ] Θέτοντας k = η 1 λ 1 + η 2 λ θ, οδηγούμαστε στην τελική μορφή του πολυωνύμου : g(z) = λ 1 λ 2 (z 2 kz + θ)(z θ) (2.42) Προφανώς g(θ) = 0. Παρόλα αυτά η ρίζα z 0 που βρίσκεται στο διάστημα (0, 1) είναι : z 0 = k k 2 4θ 2 Αποδυκνείεται απο τη σχέση (2.39) πως ο όρος z 0 (1 z 0 )(1 z 0 θ ) είναι ίσος με : z 0 (1 z 0 )(1 z 0 /θ) = θλ 1λ 2 (η 1 + η 2 ) λ

47 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 29 Η απόδειξη της σχέσης αυτής έχει ως εξής: p 10 + p 20 = η 2 ( µ λ)z 0 λ 1 λ 2 θ 2 (1 z 0 )(1 z 0 /θ) + η 1 ( µ λ)z 0 λ 1 λ 2 θ 2 (1 z 0 )(1 z 0 /θ) µ λ µ = (η 1+η 2 )( µ λ)z 0 λ 1 λ 2 θ 2 (1 z 0 )(1 z 0 /θ) z 0 (1 z 0 )(1 z 0 /θ) = λ 1λ 2 θ 2 µ(η 1 +η 2 ) (2.43) z 0 (1 z 0 )(1 z 0 /θ) = λ 1λ 2 θ λ(η 1 +η 2 ) Αντικαθιστώντας στις σχέσεις (2.28) και (2.29) προκύπτει μια νέα έκφραση για τις p 10 και p 20 αντίστοιχα. Ετσι έχουμε p 10 = η 2 ( µ λ)z 0 λ 1 λ 2 θ 2 (1 z 0 )(1 z 0 /θ) = η 2( µ λ) θ λ(η 1 +η 2 ) = ( λθ λ)p 1 λθ = (1 1 θ )p 1 (2.44) p 20 = η 1 ( µ λ)z 0 λ 1 λ 2 θ 2 (1 z 0 )(1 z 0 /θ) = η 1( µ λ) θ λ(η 1 +η 2 ) = ( λθ λ)p 2 λθ = (1 1 θ )p 2 (2.45) Συνοπτικά έχουμε p i0 = p i (1 1 θ ) (2.46) για (i = 1, 2). Συνεπώς από τη σχέση ρ = 1 (p 10 + p 20 ) αποδυκνείουμε πως ισχύει : ρ = 1 (p 10 + p 20 ) = 1 θ = λ µ (2.47) Θεώρημα 2.2. Εάν ισχύει η σχέση g(z) = λ 1 λ 2 (z 2 kz + θ)(z θ), τότε ισχύει p im = p i (1 ρ)ρ m (2.48) Το παραπάνω θεώρημα αποδεικνύεται επαγωγικά.

48 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 30 Απόδειξη. Το θεώρημα ισχύει για m = 0. Χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις (2.8) και (2.9) προφανώς ισχύει και για m = 1. Για m + 1 ισχύει για την (2.10) p 1,m+1 = p 1m (ρ + η 1 µ 1 + 1) p 2m ( η 2 µ 1 ) p 1,m 1 ρ = [1/(η 1 + η 2 )](1 ρ)ρ m [η 2 (ρ + η 1 /µ 1 ) η 1 (η 2 /µ 1 ) η 2 ] = p 1 (1 ρ)ρ m+1 Ομοίως ισχύει για p 2,m+1 : p 2,m+1 = p 2m (ρ + η 2 µ 2 + 1) p 1m ( η 1 µ 2 ) p 2,m 1 ρ = p 2 (1 ρ)ρ m+1 Η πιθανότητα να υπάρχουν m πελάτες στο σύστημα ανεξάρτητα σε ποιά φάση βρίσκονται δίνεται από τη σχέση : p m = p 1m + p 2m = (1 ρ)ρ m (2.49) Η γεννήτρια συνάρτηση δίνεται ως G i (z) = p i (1 ρ) (zρ) m = p i ( µ λ)/( µ λz), (2.50) m=0 από την οποία προκύπτει E q = λ ( µ λ) (2.51) Οι σχέσεις που προκύπτουν στην περίπτωση αυτή συνδέονται άμεσα με την ουρά ενός εξυπηρετητή με Poisson αφίξεις και εκθετική εξυπηρέτηση (M/M/1). Αυτή είναι η μόνη περίπτωση που υπάρχει μια απλή επέκταση του M/M/1 συστήματος. Οι σχέσεις αυτές μπορούν να ληφθούν με ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση. Υποθέτουμε πως οι καταστάσεις σε συνθήκες ισορροπίας έχουν επιτευχθεί και επιπλεόν η μετάβαση από τη μία φάση στην άλλη έχει λάβει χώρα. Η μετάβαση αυτή δεν παρουσιάζει επίδραση στην τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των πελατών που βρίσκονται στην ουρά, δεδομένου πως η ροή κυκλοφορίας ρ = λ i µ i δεν έχει αλλάξει. Μόνο ο μέσος αριθμός των μεταβάσεων ανά μονάδα χρόνου υποθέτουμε οτι άλλαξε, ο οποίος είναι διαφορετικός για κάθε φάση. Ως εκ τούτου, η δεσμευμένη κατανομή της τυχαίας μεταβλητής είναι ίδια και

49 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 31 για τα δύο επίπεδα και οι πιθανότητες σε κατάσταση ισορροπίας δίνονται από τη σχέση p im = p i p i, (2.52) που είναι ισοδύναμη με τον συνδιασμό των (2.48) και (2.49). Η ειδική περίπτωση μοντέλου που μελετήθηκε από τους White και Christie, τον Avi-Itzhak, τον Naor και τον Gaver, μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση του παρόντος μοντέλου. Ειδικότερα, σε αυτές τις μελέτες θεωρείται πως ο σταθμός εξυπηρέτησης είναι ανενεργός από στιγμή σε στιγμή και συνεχίζει την λειτουργία του μετά από ένα τυχαίο χρονικό διάστημα. Στο συμβολισμό της παρούσας μελέτης, θεωρούμε την παραδοχή λ 1 = λ 2 = λ και µ 2 = 0. Δουλεύοντας στη σχέση (2.17) και λαμβάνοντας υπόψην την παραπάνω παραδοχή, καταλήγουμε σε μια νέα έκφραση για την p 10. p 10 = p 1 µ 1 + p 2 µ 2 λ(p 1 + p 2 ) p 20 µ 2 µ 1 = p 1 µ 1 λ(p 1 + p 2 ) µ 1 = p 1 λ µ 1 Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση στην σχέση (2.35) και με μερικούς υπολογισμούς παίρνουμε ισοδύναμη με αυτή έκφραση : Στη συνέχεια εξετάζουμε μερικές ειδικές περιπτώσεις. E q = [λ + λµ 1P 2 η 1 + η 2 ]/(µ 1 p 1 λ) (2.53) Περίπτωση Α: Υποθέτουμε πως ένα από τα επίπεδα μετάβασης, έστω το η 1 εξαφανίζεται. Γίνεται αμέσως ξεκάθαρο ότι,κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, έχουμε ένα M/M/1 σύστημα με ρυθμό αφίξεων λ 1 και ρυθμό εξυπηρέτησης µ 1. Παραγοντοποιώντας το πολυώνυμο g(z) και πραγματοποιώντας κάποιους μαθηματικούς υπολογισμούς καταλήγουμε στη σχέση: p 10 = ( µ λ) µ 1 = 1 λ 1 µ 1 (2.54) Επιπλέον οι πιθανότητες p 1m κατανέμονται γεωμετρικά από τη στιγμή που όλες οι p 2m εξαφανίζονται. Περίπτωση Β: Μία άλλη ακραία περίπτωση είναι να θεωρήσουμε πως η 2 και η 1 είναι θετικό και πεπερασμένο. Ετσι προκύπτει ένα M/M/1 σύστημα φάσης 1. Περίπτωση Γ: Υποθέτουμε πως οι μεταβάσεις μεταξύ των δύο φάσεων είναι πολύ γρήγορες. Πιο συγκεκριμένα θεωρούμε πως η 1 και η 2 τείνουν στο άπειρο υπό την προυπόθεση ότι ο λόγος η 1 η 2 τείνει στην σταθερά C. Ετσι οι πιθανότητες να βρίσκεται το σύστημα στη φάση

50 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 32 1 και 2 είναι Απο τις (2.22) και (2.23) προκύπτει p 1 = p 2 = 1 (1 + C) C (1 + C) (2.55) (2.56) Cp 1m = p 2m (2.57) ή ισοδύναμα CG 1 (z) = G 2 (z) (2.58) Ο συνδυασμός των σχέσεων (2.17) και (2.57) έχει ως αποτέλεσμα p 10 = Επαγωγικά φτάνουμε στη σχέση ( µ λ) λ = (1 (µ 1 + µ 2 C) µ )p 1 (2.59) p im = p i (1 λ m λ )( µ µ ) (2.60) Πάλι φαίνεται πως έχουμε αποκτήσει γεωμετρική κατανομή μεταξύ των φάσεων m με παράμετρο λ µ. Η φυσική ερμηνεία της σχέσης (2.60) είναι πως στην περίπτωση των εξαιρετικά γρήγορων μεταβάσεων μεταξύ των φάσεων 1 και 2, η άφιξη πραγματοποιείται ομοιογενώς ακολουθώντας την κατανομή Poisson με σταθμισμένη ένταση αξίξεων λ και σταθμισμένο ρυθμό εξύπηρέτησης µ. Περίπτωση Δ: Η περίπτωση αυτή εξετάζει ένα σύστημα στο οποίο πραγματοποιούνται σπάνα μεταβάσεις μεταξύ των επιπέδων. Υπόθέτουμε πως οι η 1 και η 2 είναι αυθαίρετα κοντά το μηδέν ενώ ο λόγος η 1 η 2 ισούται με μια σταθερά C. Υποθέτουμε πως και οι δύο ρυθμοί αφίξεων είναι μικρότεροι από τους αντίστοιχους ρυθμούς εξυπηρέτησης, δηλαδή λ 1 < µ 1 και λ 2 < µ 2. Ετσι με χρήση της αρχικής έκφρασης του πολυωνύμου g(z) και της σχέσης (2.26) προκύπτει (µ 1 λ 1 z)g 1 (z) =µ 1 p 10 (2.61) Θέτοντας z = 1 και χρησιμοποιώντας το σύνολο των (2.8) εως (2.11) και (2.61) καταλήγουμε στο εξής αποτέλεσμα: p im =pi (1 λ i µ i )( λ i µ i ) m (2.62)

51 Κεφάλαιο 2. Προβλήματα ουρών με ετερογενείς αφίξεις και εξυπηρετήσεις 33 Καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως σε περιπτώσεις που εμφανιστούν πολύ σπάνια κάποιες μεταβάσεις μεταξύ δύο φάσεων, το ποσοστό άφιξης είναι μικρότερο από την ικανότητα παροχής υπηρεσίων και το σύστημα εγκαθίσταται σε δύο διακριτές quasi-equilibria διαδικασίες. Κάθε μία είναι ενός M/M/1 συστήματος.

52

53 Κεφάλαιο 3 Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 3.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό μελετάται ένα σύστημα που χαρακτηρίζεται από την ανυπομονησία των πελατών, η οποία οφείλεται σε βλάβες του συστήματος [21]. Θεωρούμε ένα σύστημα, όπως ένα τηλεφωνικό κέντρο ή ένα δίκτυο υπολογιστών, το οποίο λειτουργεί ως ένα M/M/c σύστημα εξυπηρέτησης. Το όλο σύστημα επιδέχεται τυχαίες διακοπές, έτσι ώστε όταν υπάρξει μια βλάβη, όλες οι συνδέσεις διακόπτονται και όλα τα υφιστάμενα αιτήματα απορρίπτονται και χάνονται. Στη συνέχεια το σύστημα υπόκειται σε μία διαδικασία επιδιόρθωσης της οποίας η διάρκεια είναι τυχαία. Οι πελάτες συνεχίζουν να καταφθάνουν στο σύστημα ακόμα και όταν αυτό βρίσκεται σε αδράνεια. Κατά την άφιξη του κάθε πελάτης ενεργοποιεί το δικό του χρονόμετρο τυχαίας διάρκειας T, έτσι ώστε εαν το σύστημα εξακολουθεί να βρίσκεται σε αδράνεια τη στιγμή που ο χρόνος αυτός λήξει, ο πελάτης εγκαταλείπει το σύστημα και δεν επιστρέφει ξανά. Ο στόχος για το παρόν σύστημα είναι να υπολογιστούν ο αριθμός πελατών που εξυπηρετούνται, ο αριθμός πελατών που απορρίπτεται εξαιτίας των βλαβών και ο αριθμός των αναχωρήσεων που οφείλονται στην ανυπομονησία κατά τη διάρκεια που το σύστημα βρίσκεται εκτός λειτουργίας. Ενα ρεαλιστικό παράδειγμα της πραγματικής ζωης αποτελεί το σύστημα δημόσιων υπηρεσιών, στα οποία οι πελάτες γίνονται ανυπόμονοι και αναχωρούν ένας - ένας όταν το σύτημα είναι εκτός λειτουργίας. Μοντέλα με ανυπόμονους πελάτες στην ουρά, στα οποία η ανυπομονησίας οφειλόταν είτε στη μεγάλη αναμονή στην ουρά είτε στη μεγάλη αναμονή που προβλέπεται κατά την άφιξη του πελάτη, έχουν μελετηθεί στο παρελθόν [4], [12], [16], [18]. Στην παρούσα ενότητα η 35

54 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 36 ανάλυση επεκτείνεται στην περίπτωση κατά την οποία το σύστημα επιβαρύνεται με τυχαίες βλάβες, με αποτέλεσμα την αναχώρηση όλων των πελατών που βρίσκονται στο σύστημα. Αρχικά εξετάζεται το M/M/1 σύστημα με εκθετική κατανομή λειτουργίας, επιδιόρθωσης, εξυπηρέτησης και χρόνου ανυπομονησίας. Υπολογίζεται η γεννήτρια συνάρτηση πιθανότητας του μεγέθους της ουράς για τις περιπτώσεις όπου το σύστημα βρίσκεται σε λειτουργία και όταν βρίσκεται σε αδράνεια. Τα αποτελέσματα προκύπτουν από την επίλυση μιας συγκεκριμένης διαφορικής εξίσωσης. Εν συνεχεία υπολογίζεται ο μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη που εξυπηρετείται καθώς και ο αριθμός πελατών των οποίων ολοκληρώνεται η εξυπηρέτηση, το ποσοστό των πελατών που χάνονται λόγω αποτυχιών του συστήματος και το ποσοστό των αναχωρήσεων εξαιτίας της ανυπομονησίας όταν το σύστημα είναι αδρανές. Ακολουθεί η ενότητα 3.3 στην οποία αναλύεται ένα σύστημα που χαρακτηρίζεται από βλάβες κατά την διάρκεια λειτουργίας και εξυπηρέτησης των πελατών. Τέλος στις ενότητες (3.4) και (3.5) πραγματοποιείται ανάλυση των M/M/c και M/M/ συστημάτων αντίστοιχα, για τα οποία εξάγουμε τις εκφράσεις των γεννητριών συναρτήσεων και τις σχέσεις των βασικών μέτρων απόδοσης. 3.2 M/M/1 σύστημα με εκθετικό χρόνο ζωής, επιδιόρθωσης και ανυπομονησιας Το μοντέλο Οι πελάτες φθάνουν στο σύστημα σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ. χρόνοι εξυπηρέτησης τους είναι εκθετικά κατανεμημένοι με μέση τιμη 1 µ. δέχεται βλάβες κατά τη διάρκεια που ο διακομιστής βρίσκεται σε λειτουργία. Οι Το σύστημα Οι βλάβες πραγματοποιούνται και αυτές σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson και ρυθμό η. Αυτο σημαίνει πως η διάρκεια ζωής του συστήματος είναι εκθετικά κατανεμημένος με μέση τιμή 1 η. Τη στιγμή που το σύστημα παθαίνει βλάβη, όλοι οι πελάτες απορρίπτονται και χάνονται. Σε μία τέτοια περίπτωση, η διαδικασία επιδιόρθωσης ξεκινά αμέσως. Ο χρόνος επιδιόρθωσης U είναι εκθετικά κατανεμημένος με μέση τιμή 1 γ. Οι πελάτες που φθάνουν στο σύστημα τη στιγμή που αυτό είναι εκτός λειτουργίας γίνονται ανυπόμονοι. Ετσι κάθε πελάτης ενεργοποιεί ένα ανεξάρτητο χρονόμετρο T. Ο χρόνος αυτός κατανέμεται εκθετικά με μέση τιμή 1 ξ. Εάν η επιδιόρθωση δεν έχει ολοκληρωθεί μέχρι τον χρόνο T, ο πελάτης εγκαταλείπει το σύστημα και δεν επιστρέφει ξανά. Το παρόν σύστημα περιγράφεται απο μια διδιάστατη Μαρκοβιανή διαδικασία. Συμβολίζουμε με J τις δύο φάσεις τους συστήματος. Η φάση κατά την οποία το σύστημα λειτουργεί και εξυπηρετεί τους πελάτες δίνεται για J = 1, ενώ η κατάσταση κατά την οποία ένα αδρανές

55 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 37 σύστημα είναι αδρανές κατά την επιδιόρθωση του δίνεται για J = 0. Θεωρούμε N(t) το πλήθος των πελατών στο σύστημα τη χρονικήστιγμή t. Οι μεταβάσεις που πραγματοποιούνται για τη διδιάστατη διαδικασία (J, N), φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα. Σχήμα 3.1: Διάγραμμα μεταβάσεων Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις Οι πιθανότητες κατάστασης ισορροπίας ορίζονται ώς P jn = P (J = j, N = n), (j = 0, 1; n = 0, 1, 2,...) και εκφράζουν την πιθανότητα να βρίσκονται n πελάτες στο σύστημα στη φάση j. Η πιθανότητα να βρίσκεται το σύστημα στην φάση j εκφράζεται ώς P j = n=0 P jn. Το σύνολο των εξισώσεων ισορροπίας είναι: J = 0 { (λ + γ)p00 = ξp 01 + η n=0 P 1n = ξp 01 + ηp 1, n = 0 (λ + nξ + γ)p 0n = λp 0,n 1 + (n + 1)ξP 0,n+1, n 1 (3.1) J = 1 { (λ + η)p10 = γp 00 + µp 11, n = 0 (λ + µ + η)p 1n = λp 1,n 1 + µp 1,n+1 + γp 0n, n 1 (3.2) Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις της (3.1), (3.2). (λ + γ)p 00 + (λ + nξ + γ)p 0n = ξp 01 + ηp 1 + λp 0,n 1 + (n + 1)ξP 0,n+1 (λ + γ)p 0 + nξ(p 0 P 00 ) = λp 0 + ηp 1 + nξ(p 0 P 00 ) γp 0 = ηp 1 (3.3) Αντικαθιστώντας κατάλληλα στη σχέση 1 = P 0 + P 1 προκύπτουν οι πιθανότητες το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση J = 0 και J = 1. P 0 = η γ+η P 1 = γ γ+η (3.4)

56 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 38 Η γεννήτρια συνάρτηση πιθανότητας για την φάση j ορίζεται ως G j (z) = n=1 P jnz n για j = 0, 1. Εάν ασχοληθούμε με τις εξισώσεις (3.1), (3.2), πολλαπλασιάζοντας τές με z n και αθροίζοντας τές για κάθε n προκύπτει η έκφραση λp 00 + γp 00 + i=1 λzn P 0n + i=1 γzn P 0n + i=1 nξzn P 0n = = ξp 01 + ηp 1 + λ i=1 zn P 0,n 1 + ξ i=1 zn P 0,n+1 Εναλλακτικά η παραπάνω έκφραση μπορεί να πάρει τη μορφή : λg 0 (z) + γg 0 (z) + zξg 0(z) = ηp 1 + λzg 0 (z) + ξg 0(z) Μιά πιο σωστά διατυπωμένη έκφραση για την γεννήτρια συνάρτηση της κατάστασης κατά την οποία το σύστημα δεν λειτουργέι, αποτελεί η παρακάτω : ξ(1 z)g 0(z) = (λ(1 z) + γ)g 0 (z) ηp 1 (3.5) Ομοίως για την κατάσταση κατά την οποία το σύστημα λειτουργεί κανονικά, (J = 1), υπολογίζεται αναλυτικά η έκφραση για την γεννήτρια συνάρτηση G 1 (z), όπως φαίνεται παρακάτω. λg 1 (z) + ηg 1 (z) + µg 1 (z) = γg 0 (z) + zλg 1 (z) + µp 11 + i=1 µzn P 1,n+1 + µp 10 (λz + ηz + µz)g 1 (z) = γzg 0 (z) + z 2 λg 1 (z) + µzp 11 + i=1 µzn+1 P 1,n+1 + µzp 10 (λz + ηz + µz)g 1 (z) = γzg 0 (z) + λz 2 G 1 (z) + µg 1 (z) µp 10 + µzp 10 [(λz µ)(1 z) + ηz]g 1 (z) = γzg 0 (z) µ(1 z)p 10 Για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (3.5) θέτουμε A = ηp 1 [7]. Για z 1, G 0(z) [ λ ξ + γ ξ(1 z) ]G 0(z) = A ξ(1 z) (3.6) (3.7) Εν συνεχεία πολλαπλασιάζεται κάθε μέλος της (3.7) με e λ ξ z (1 z) γ ξ και η σχέση γράφεται : d λ dz [(e ξ z (1 z) γ ξ )G 0 (z)] = A λ ξ e ξ z (1 z) γ ξ 1 (3.8)

57 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 39 Ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη από 0 εώς z έχουμε: ή εναλλακτικά e λ ξ z (1 z) γ ξ G 0 (z) G 0 (0) = A ξ z s=0 (1 z) γ ξ 1 e λξz ds (3.9) G 0 (z) = G 0 (0)e λ ξ z (1 z) γ ξ A ξ e λ ξ z (1 z) γ ξ z s=0 (1 z) γ ξ 1 e λξs ds. (3.10) Ετσι για z = 1 υπολογίζεται να έχουμε, G 0 (1) = e λ ξ [G 0 (0) A ξ 1 s=0 (1 z) γ ξ 1 e λ ξ s ds]lim[(1 z) γ ξ ] (3.11) z 1 Γνωρίζουμε πως G 0 (1) = n=0 P 0n = P 0 > 0 και lim z 1 (1 z) γ ξ =. Για τον λόγο αυτό πρέπει G 0 (0) = A ξ Ετσι εν τέλει που προκύπτει είναι 1 s=0 (1 s) γ ξ 1 e λ ξ 1 ds = A ξ K (3.12) G 0 (0) = P 00 = ηp 1 ξ K (3.13) Για την περίπτωση κατά την οποία δεν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα, ενώ αυτό είναι αδρανές και αντικαθιστώντας κατάλληλα στην αντίστοιχη εξίσωση ισορροπίας υπολογίζεται η έκφραση της P 01. Αναλυτικότερα, (λ + γ)p 00 = ξp 01 + ηp 1 (λ + γ)ηp 1 K ξ = ξp 01 + ηp 1 (3.14) P 01 = η ξ [ (λ+γ)k ξ 1]P 1 Από τη στιγμή που είναι γνωστές οι P 00 και P 01, μπορούν να υπολογιστούν προσεγγιστικά οι πιθανότητες P 0n, για n 2. Ο μέσος χρόνος αναμονής πελατών στο σύστημα στην κατάσταση j υπολογίζεται από την σχέση E[L j ] = lim z 1 G j (z),για j = 0, 1. E[L 0 ] = λg 0(1) + γg 0 (1) ξ = λp 0 γe[l 0 ] ξ (3.15) έτσι E[L 0 ] = λp 0 γ + ξ (3.16)

58 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 40 Οντως, η (3.16) αναφέρει την ισότητα μεταξύ του ρυθμού εισόδου λp 0 για την κατάσταση J = 0 και του ρυθμού εξόδου από την εν λόγω φάση, (γ + ξ)e[l 0 ]. Διαφορίζοντας την εξίσωση (3.6) για z = 1, καταλήγουμε στην ( λ + µ + η)p 1 + ηe[l 1 ] = γ(p 0 + E[L 0 ]) + µp 10 (3.17) Αντικαθιστώντας κατάλληλα σύμφωνα με την έκφραση γp 0 = ηp 1, μπορούμε να γράψουμε εναλλακτικά ηe[l 1 ] + µ(p 1 P 10 ) = λp 1 + γe[l 0 ], (3.18) σύμφωνα με την οποία εξισώνονται οι ρυθμοί άφιξης και εξόδου της κατάστασης J = 1 κατά την οποία το σύστημα βρίσκεται σε λείτουργία. Για τον υπολογισμό του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα ενώ αυτό βρίσκεται στην κατάσταση J = 1, απαιτείται η εύρεση P 10. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(z) = (λz µ)(1 z) + ηz. Ετσι μια διαφορετική μορφή της σχέσης (3.6), αποτελεί η έκφραση g(z)g 1 (z) = γzg 0 (z) µ(1 z)p 10 (3.19) Η παραπάνω τετραγωνικής μορφής εξίσωση έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα (0, 1), για την οποία ισχύει g(z 0 ) = 0. Ετσι συνεπάγεται πως η έκφραση για την πιθανότητα P 10 είναι P 10 = γz 0 µ(1 z 0 ) G 0(z 0 ), (3.20) όπου z 0 = (λ+µ+η) (λ+µ+η) 2 4λµ 2λ. Αφού ορίσαμε την P 10, η G 1 (z) προσδιορίζεται πλήρως και με τη χρήση των (3.18) και (3.20) αποδίδεται η ηe[l 1 ] = λ γ + ξ (ξp 1 + γ) µ(p 1 P 10 ) (3.21) Παρατήρηση Μπορεί κανείς να δει το σύστημα ως μια Μαρκοβιανή ουρά σε τυχαίο περιβάλλον, στο οποίο το σύστημα εναλλάσεται τυχαία σε δύο φάσεις: στη φάση 0, όταν λειτουργεί σαν μια M(λ)/M(ξ)/ ουρά, και στη φάση 1, όπου λειτουργεί ως M(λ)/M(µ)/1. Ωστόσο, η διαφορά που παρατηρείται μεταξύ της παρούσας ανάλυσης και της παρατήρησης αυτής είναι πως όταν πραγματοποιείται η μετάβαση από την φάση J = 1 στην φάση J = 0, τότε το σύστημα έρχεται στην ίδια κατάσταση (0, 0) διώχνοντας τους πελάτες από το σύστημα. Αυτό στην παραγματικότητα οδηγεί στην εξίσωση τετραγωνικής μορφής g(z).

59 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί Χρόνος Παραμονής Απαραίτητο χαρακτηριστικό ενός συστήματος αποτελεί και ο χρόνος παραμονής πελατών στο σύστημα. Θεωρούμε S τον συνολικό χρόνο παραμονής τυχαίων πελατών στο σύστημα, ανεξαρτήτως της ολοκλήρωσης ή μη της εξυπηρέτησης αυτών. Από τον νόμο του Little έχουμε, E[S] = 1 λ [E[L 0] + E[L 1 ]]. (3.22) Ο συνολικός χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα του οποίου ολοκληρώνεται η εξυπηρέτηση, ενώ αυτό βρίσκεται στην κατάσταση (j, n), συμβολίζεται να είναι S jn. Δεδομένου ότι στο μέλλον οι αφίξεις δεν επηρεάζουν τον χρόνο παραμονής ενός πελάτη,ισχύει: E[S 10 ] = µ µ + η ( 1 µ + η ) (3.23) Προφανώς ισχύει E[S 10 ] < 1 µ. Αυτό πορκύπτει δεδομένου ότι εάν μια εξυπηρέτηση ολοκληρωθεί πριν από μια αποτυχία, τότε σημαίνει πως είναι σύντομη. Επίσης, όταν η 0, E[S 10 ] 1 µ. Για n 1, E[S 1n ] = µ µ + η ( 1 (µ + η) + E[S 1,n 1]). (3.24) Θέτοντας a = µ = E[S (µ+η) 2 10 ] και b = µ µ+η, η παραπάνω εκφραση παίρνει τη μορφή: E[S 1n ] = a + be[s 1,n 1 ] (3.25) Για n = 1 ισχύει : Για n = 2 ισχύει: E[S 11 ] = E[S 10 ] + be[s 10 ] = a(1 + b) E[S 12 ] = E[S 10 ] + be[s 11 ] = a(1 + b + b 2 ) (3.26) Ετσι επαγωγικά προκύπτει ο γενικός τύπος : E[S 1n ] = a n k=0 b k = a 1 bn+1 1 b = µ η(µ + η) [1 ( µ µ + η )n+1 ] (3.27) Οντως για η 0, E[S 1n ] n+1 µ. Εάν το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση αδράνειας, τότε ο μέσος χρόνος παραμονής για n = 0 δίνεται ως: E[S 00 ] = γ γ + ξ ( 1 γ + ξ + E[S 10]) (3.28)

60 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 42 Για n 1 ισχύει : E[S 0n ] = γ γ+(n+1)ξ ( 1 γ+(n+1)ξ + E[S 1n]) + (n+1)ξ γ+(n+1)ξ n n+1 ( 1 γ+(n+1)ξ + E[S 0,n 1]), n όπου ο λόγος n+1 είναι η πιθανότητα που εκφράζει πως ενα πραγματοποιηθεί μια εγκατάλειψη εξαιτίας της ανυπομονησίας ενός πελάτη, αυτός θα είναι μεταξύ ενός από τους παρόντες πελάτες στο σύστημα. Ετσι αντικαθιστώντας κατάλληλα την (3.27) προκύπτει, (γ + (n + 1)ξ)E[S 0n ] = Αναδρομικά καταλήγουμε στην γενική έκφραση: E[S 0n ] = όπου c j = n 1 1 γ + (n + 1)ξ [a n + γ + nξ bn+1 + γa1 + nξe[s 0,n 1 ] (3.29) γ + (n + 1)ξ 1 b n a k k=0 j=k+1 n 1 c j + γa(b n+1 + jξ γ+jξ,j = 0, 1, 2,..., b k = 1 bk 1 b, k 1 και a k = n b k+1 k=0 j=k+1 γ kξ γ+(k+1)ξ, k = 0, 1, 2,... c j )], (3.30) Εππλεόν, ο αναμενόμενος χρόνος παραμονής ενός πελάτη που εξυπηρετείται υπολογίζεται να είναι : E[S (served) ] = P 0n E[S 0n ] + P 1n E[S 1n ] (3.31) n=0 n=0 Ιδιαίτερη σημασία παρουσιάζει το ποσοστό των πελατών που εξυπηρετούνται. Το σύστημα χαρακτηρίζεται από δύο ειδών απωλειών: (i) οι πελάτες απορρίπτονται λόγω των αποτυχιών και βλαβών του συστήματος και (ii) οι πελάτες εγκαταλείπουν το σύστημα εξαιτίας της ανυπομονησίας κατά την διάρκεια επισκευής του συστήματος. Οταν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση (j, n), n 1, το ποσοστό αποτυχιών είναι η και οι πελάτες χάνονται. Ετσι ο ρυθμός ανά μονάδα χρόνου, με τον οποίο χάνονται οι πελάτες δίνεται από την σχέση: r = ηnp 1n = ηe[l 1 ] (3.32) n=1 Επίσης ο αναμενόμενος αριθμός πελατών που εξυπηρετούνται ανά μονάδα χρόνου είναι µ(p 1 P 10 ), γεγονός που σημαίνει πως το ποσοστό των πελατών που εξυπηρετούνται είναι : P (served) = (P 1 P 10 ) µ (3.33) λ

61 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 43 Τέλος, το ποσοστό των πελατών που αφήνουν το σύστημα λόγω ανυπομονησίας εκφράζεται ως : R (aband) = λ ηe[l 1 ] µ(p 1 P 10 ) = λp 0 γe[l 0 ] = ξe[l 0 ] (3.34) 3.3 Μ/Μ/1 σύστημα εξυπηρέτησης: Αποτυχίες που συμβαίνουν κατά την διάρκεια λειτουργίας του συστήματος N 1 Θεωρούμε ένα σύστημα το οποίο βρίσκεται σε κατάσταση λειτουργίας και μόνο τότε μπορεί να αποτύχει, δηλαδή βρίσκεται στην φάση J = 1 και υπάρχουν περισσότεροι από έναν πελάτες σε αυτό, δηλαδή N 1. Το διάγραμμα μετάβασης είναι το ίδιο με πριν, με την μόνη διαφορά πως η μόνη δυνατή μετάβαση από την κατάσταση (1, 0) είναι στην κατάσταση (1, 1) και προκαλείται από την άφιξη ενός νέου πελάτη Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις Συμβολίζουμε P ij την πιθανότητα να βρίσκονται n πελάτες στο σύστημα,ενώ αυτό βρίσκεται στην κατάσταση j. Επιπλέον οι εξισώσεις ισορροπίας για κάθε κατάσταση του συστήματος ορίζονται ως: J = 0 { (λ + γ)p00 = ξp 01 + η(p 1 P 10 ), n = 0 (λ + nξ + γ)p 0n = λp 0,n 1 + (n + 1)ξP 0,n+1, n 1 (3.35) J = 1 { λp10 = γp 00 + µp 11, n = 0 (λ + µ + η)p 1n = λp 1,n 1 + µp 1,n+1 + γp 0n, n 1 (3.36) Αθροίζοντας τις εξισώσεις των σχέσεων (3.35), 3.36) καταλήγουμε στην : γp 0 = η(p 1 P 10 ) (3.37) Από τις ίδιες, καταλήγουμε στις ακόλουθες εκφράσεις για τις γεννήτριες συναρτήσεις : ξ(1 z)g 0(z) = [λ(1 z) + γ]g 0 (z) η(p 1 P 10 ) (3.38) και [(λz µ)(1 z) + ηz]g 1 (z) = γzg 0 (z) + [µ(z 1) + ηz]p 10 (3.39)

62 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 44 Οι παραπάνω εκφράσεις προκύτπουν αθροίζοντας τις εξισώσεις κάθε σχέσης, αφού πρώτα κάθε όρος έχει πολλαπλασιαστεί με z n, για κάθε n. Η διαδικασία αυτή φαίνεται παρακάτω. λg 0 (z) + γg 0 (z) + ξzg 0(z) = η(p 1 P 10 ) + λzg 0 (z) + ξg 0(z) ξ(1 z)g 0 (z) = [λ(1 z) + γ)g 0(z) η(p 1 P 10 ) Ομοίως για την απόδειξη της (3.39) πραγματοποιούνται οι ακόλουθοι υπολογισμοί. λzg 1 (z) + µzg 1 (z) + ηzg 1 (z) = γzg 0 (z) + µzp 10 + ηzp 10 + λz 2 G 1 (z) + µg 1 (z) µp 10 (λz + µz + ηz λz 2 µ)g 1 (z) = γzg 0 (z) + (µz µ + ηz)p 10 [(λz µ)(1 z) + ηz]g 1 (z) = γzg 0 (z) + [µ(z 1) + ηz]p 10 Η λύση της (3.38), δίνεται από την (3.80), θέτοντας A = η(p 1 P 10 ). Ετσι έχουμε: G 0 (0) = P 00 = AK ξ = η(p 1 P 10 )K ξ (3.40) Συνδιάζοντας τις (3.35), για n = 0, και (3.37) και επιλύοντας ως προς P 10 προκύπτει P 01 = γ + γ)k [(λ 1]P 0 (3.41) ξ ξ Γνωρίζοντας πως E[L 0 ] = lim z 1 G j (z) καταλήγουμε στο ότι ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα ενώ αυτό είναι αδρανές, υπολογίζεται να είναι : E[L 0 ] = λp 0 γe[l 0 ], (3.42) ξ από το οποίο συνεπάγεται E[L 0 ] = λp 0 γ + ξ (3.43) Εάν εν συνεχεία παραγωγίσουμε την [(λz µ)(1 z) + ηz]g 1 (z) = γzg 0 (z) + [µ(z 1) + ηz]p 10 και υπολογίζουμε το lim z 1 G 1 (z) προκύπτει η σχέση ( λ + µ + η)p 1 + ηe[l 1 ] = γp 0 + γe[l 0 ] + (µ + η)p 10 (3.44) Για τον υπολογισμό όμως του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα στη φάση J = 1 είναι απαραίτητος ο υπολογισμός της P 10.

63 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 45 Η [(λz µ)(1 z) + ηz]g 1 (z) = γzg 0 (z) + [µ(z 1) + ηz]p 10, μπορεί να γραφεί και ως : g(z)g 1 (z) = γzg 0 (z) + [µ(z 1) + ηz]p 10 Η g(z) έχει μοναδική λύση στο (0, 1), την z 0 που ορίσαμε προηγουμένως. Συνεπώς για z 0 ισχύει ότι g(z 0 ) = 0, το οποίο συνεπάγεται την έκφραση : P 10 = γzg 0 (z 0 ) µ(1 z 0 ) ηz 0 ) (3.45) Λαμβάνοντας υπ οψην τις γp 0 = η(p 1 P 10 ) και P 0 = 1 P 1 και αντικαθιστώντας κατάλληλα στην πρώτη εκ των δύο, προκύπτει η σχέση για την P 1 : P 1 = γ + ηp 10 γ + η (3.46) Ετσι είναι εύκολο να προσδιοριστεί και η P 0, η οποία δίνεται ως: P 0 = η(1 P 10) γ + η (3.47) Μία εναλλακτική μορφή της σχέσης (3.44) προκύπτει με την αντικατάσταση της P 1, του γp 0 και του E[L 0 ]. Ετσι ισχύει : µ(p 1 P 10 ) + ηe[l 1 ] = γe[l 0 ] + λp 1 Με μερικούς μαθηματικούς υπολογισμούς καταλήγουμε στη σχέση του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα κατά την κατάσταση J = 1: E[L 1 ] = 1 η [γλ(1 P 1 ) γ + ξ (µ λ)p 1 + µp 10 ] (3.48) Αφού προσδιορίστηκε ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα σε κάθε φάση, είναι προφανές πως ο αναμενόμενος συνολικός αριθμός πελατών στο σύστημα είναι : E[L] = E[L 0 ] + E[L 1 ] (3.49)

64 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 46 Και σε αυτή την περίπτωση ο συνολικός χρόνος παραμονής στο σύστημα δίνεται από τη σχέση : E[S] = 1 λ (3.50) Ο μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα, του οποίου η εξυπηρέτηση ολοκληρώνεται υπολογίζεται όπως προηγουμένος. Οντως οι εξισώσεις (3.27) και (3.30) ισχύουν και σε αυτή την περίπτωση. Ετσι, ο μέσος χρόνος παραμονής κατά την εξυπηρέτηση, E[S(served)], δίνεται από τον τύπο (3.31) με τη διαφορά ότι οι P ij είναι διαφορετικές. 3.4 M/M/c σύστημα εξυπηρέτησης Το μοντέλο, οι εξισώσεις ισορροπίας, γεννήτριες συναρτήσεις και μέτρα απόδοσης Θεωρούμε ένα σύστημα με παραπάνω από έναν διακομιστές. Το σύστημα εναλλάσεται μεταξύ δύο φάσεων 0 και 1 όπως περιγράψαμε στις προηγούμενες ενότητες. Οταν αυτό αποτυγχάνει, όλοι οι διακομιστές σταματούν την εξυπηρέτηση και όλοι οι πελάτες που βρίσκονται στο σύστημα χάνονται. Αποδεικνύεται πως οι εναλλαγές του συστήματος μεταξύ των δύο φάσεων με την πάροδο του χρόνου, δεν επηρεάζονται από τον αριθμό πελατών στο σύστημα. Οι P 0 και P 1 δίνονται από την σχέση (3.4). Οι εξισώσεις ισορροπίας δίνονται ως: J = 0 { (λ + γ)p00 = ξp 01 + η n=0 P 1n = ξp 01 + ηp 1, n = 0 (λ + nξ + γ)p 0n = λp 0,n 1 + (n + 1)ξP 0,n+1, n 1 (λ + η)p 10 = γp 00 + µp 11, n = 0 J = 1 (λ + nµ + η)p 1n = λp 1,n 1 + (n + 1)µP 1,n+1 + γp 0n, c 1 n 1 (λ + cµ + η)p 1n = λp 1,n 1 + cµp 1,n+1 + γp 0n, n c (3.51) Εχουν ήδη αναφερθεί και αποδειχθεί στην ενότητα 3.2 οι εκφράσεις της γεννήτριας συνάρτησης G 0 (z), των πιθανότητων P 00 και P 01 και του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα στη φάση 0, E[L 0 ]. Ετσι, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις. Η γεννήτρια συνάρτηση εκφράζεται ως: G 0 (z) = G 0 (0)e λ ξ z (1 z) γ ξ A ξ e λ ξ z (1 z) γ ξ z s=0 (1 z) γ ξ 1 e λξs ds.

65 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 47 Επίσης οι P 00 και P 01 υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: και P 00 = ηp 1 ξ K P 01 = η + γ)k [(λ 1]P 1, ξ ξ ενώ ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα όταν αυτό δεν λειτουργεί δίνεται ως: E[L 0 ] = λp 0 γ + ξ. Οποιαδήποτε πιθανότητα P 0n μπορεί να υπολογισθεί δεδομένων των P 00 και P 01. Η γεννήτρια συνάρτηση της φάσης 1, G 1 (z), προκύπτει ως : [(λz cµ)(1 z) + ηz]g 1 (z) = γzg 0 (z) µ(1 z) c (c n)p 1n z n (3.52) n=0 Θεωρούμε τη συνάρτηση g c (z) = (λz cµ)(1 z) + ηz. Η συνάρτηση αυτή έχει μοναδική ρίζα z c στο (0, 1), όπου z c = (λ + cµ + η) (λ + cµ + η) 2 4λcµ 2λ (3.53) Ετσι, βασιζόμενοι στη σχέση (3.52), η g(z c ) = 0 συνεπάγεται c 0 = γz c G 0 (z c ) µ(1 z c ) (c n)p 1n zc n (3.54) Η παραπάνω εξίσωση εμπεριέχει (c + 1) άγνωστες πιθανότητες : P 10 εως P 1c. Οι πρώτες c εξισώσεις στην (3.51), για 0 n c 1, είναι c εξισώσεις με (c + 1) αγνώστους. Επιλύοντας αυτό το σύστημα των (c + 1) ανεξάρτητων εξισώσεων, αποδίδονται οι ζητούμενες πιθανότητες. Εν τέλει, ο υπολογισμός του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα κατά τη φάση 1, E[L 1 ], βασίζεται στη σχέση (3.52) και η έκφραση η οποία προκύπτει είναι παρόμοια με την (3.18). c ηe[l 1 ] + cµp 1 µ P 1n = λp 1 + γe[l 0 ] (3.55) m=0 n=0 Χρησιμοποιώντας τους ίδιους συμβολισμούς με τις προηγούμενες ενότητες παρατηρούμε αρχικά πως ο χρόνος παραμονής πελατών στο σύστημα κατά τη φάση 0, S 0n, είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό διακομιστών, c. Ετσι, ο υπολογισμός του E[S 0n ] δεν διαφέρει, πράγμα που

66 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 48 σημαίνει ότι οι E[S 00 ] καθώς E[S 1n ] για n 1, δίνονται από τις (3.28) και (3.30), αντίστοιχα. Παρόλα αυτά οι υπολογισμοί του E[S 1n ] εξαρτώνται από το πλήθος των διακομιστών, c. Ξεκινάμε για n c : E[S 1n ] = cµ cµ + η ( 1 cµ + η + E[S 1,n 1]) (3.56) Ο όρος E[S 1,n 1 ] στην παραπάνω σχέση έπεται πως όταν n c, ένας πελάτης περιμένεις στην γραμμή και ολοκληρώνεται η εξυπηρέτηση του, προχωρά μια θέση προς τα εμπρός. Ως εκ τούτου όπως και στην (3.25): E[S 1n ] = a c + b c E[S 1,n 1 ] (n c) (3.57) όπου, a c = cµ (cµ+η) 2, b c = cµ cµ+η (3.58) Ετσι, για m 0 1 b E[S 1,c+m ] = a m+1 c c 1 b c + b m+1 c E[S 1, c 1] = cµ η(cµ+η) (1 bm+1 c ) + b m+1 c E[S 1,c 1 ] (3.59) Για n c 1, κάθε άφιξη είναι ανεξάρτητη από τους πελάτες που βρίσκονται εκείνη τη στιγμή στο σύστημα και επομένως οδηγούμαστε στη σχέση : E[S 1n ] = µ µ + η ( 1 µ + η ) (3.60) Παρατήρηση: Σημειώνεται πως μπορεί πραγματικά να ελεγχθεί πως όταν δεν υπάρχουν βλάβες (η = 0) E[S 1n ] = 1 µ για όλα τα 0 n c 1 και E[S 1,c+m] = m+1 cµ + 1 µ, για m 0. Τελικά, E[S ( served)], ο αναμενόμενος χρόνος παραμονής ενός πελάτη κατά τη διάρκεια εξυπηρέτησης του δίνεται και αυτή τη φορά από την (3.31), αλλά με τις τιμές των P 0n, P 1n, E[S 0n ] και E[S 1n ] που υπολογίστηκαν σε αυτή την ενότητα. Ο αναμενόμενος αριθμός πελατών που απορρίπτονται ανα μονάδα χρόνου, εξαιτίας των αποτυχιών του συστήματος, είναι r c = ηe[l 1 ] (3.61) Ο αναμενόμενος αριθμός πελατών που εξυπηρετούνται ανα μονάδα χρόνου, εκφράζεται με την σειρά του ως c 1-1 E[Cust, Served] = nµp 1n + cµp 1n = cµp 1 µ (c n)p 1n (3.62) n=1 n=c n=0

67 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 49 Χρησιμοποιώντας τώρα τη σχέση (3.55), προκύπτει ο μέσος ρυθμός εγκαταλείψεων του συστήματος ως: R (aband) = λ r c E[Cust, Served] = λp 0 γe[l 0 ] = ξe[l 0 ] (3.63) 3.5 M/M/ σύστημα Σε αυτή την ενότητα αναλύεται η περίπτωση ενός συστήματος εξυπηρέτησης με άπειρο αριθμό διακομιστών. Μπορεί η ανάλυση του όντως να αποτελεί μια περίπλοκη διαδικασία, αλλά πραγματοποιείται σύμφωνα με τα προαναφερθέντα συστήματα ενός και c διακομιστών Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις Αναφερόμενοι στη φάση J = 0, οι εξισώσεις (3.1), (3.2) ισχύουν και εδώ, πράγμα που σημαίνει ότι οι G 0 (z) και G 0 (0) = P 00, δίνονται από τις (3.10) και (3.13) αντίστοιχα. Επιπλέον, το ποσοστό του χρόνου στο οποίο σύστημα έγκειται στη φάση j (j = 0, 1) δίνεται, για μια ακόμη φορά, από την (3.4), ενώ η E[L 0 ] δίνεται από την (3.14). Οσον αφορά τη φάση J = 1 ισχύει: J = 1 { (λ + η)p10 = γp 00 + µp 11, n = 0 (λ + nµ + η)p 1n = λp 1,n 1 + (n + 1)µP 1,n+1 + γp 0n, n 1 (3.64) Τα παραπάνω οδηγούν στην ακόλουθη διαφορική εξίσωση για την G 1 (z): µ(1 z)g 1(z) = [λ(1 z) + η]g 1 (z) γg 0 (z) (3.65) Διαιρώντας με µ(1 z) και πολλαπλασιάζοντας με e λ µ z (1 z) η/µ προκύπτει : e λ µ z (1 z) η/µ G 1 (z) [ λ µ + η µ(1 z) ]e λ µ z (1 z) η/µ G 1 (z) = γ λ µ(1 z) e µ z (1 z) η/µ G 0 (z) Εναλλακτικά μπορεί να γραφεί ως: d λ dz [e µ z (1 z) η/µ G 1 (z)] = γ λ µ e µ z (1 z) η/µ 1 G 0 (z) (3.66)

68 Κεφάλαιο 3. Ουρές με διακοπές συστημάτων και ανυπόμονους πελάτες όταν αυτό δεν λειτουργεί 50 Ολοκληρώνοντας την (3.66) από 0 εώς z οδηγούμαστε στην παρακάτω έκφραση : e λ µ z (1 z) η/µ G 1 (z) G 1 (0) = γ µ Επομένως, z s=0 G 1 (z) = G 1 (0)e λ µ z (1 z) η µ γ µ e λ µ z (1 z) η µ Για z = 1 υπολογίζουμε : G 1 (1) = P 1 = e λ µ [G 1 (0) γ µ 1 s=0 (1 s) η/µ 1 e λ µ 1 e λ µ s G 0 (s)ds (3.67) z s=0 (1 s) η/µ 1 e λ µ s G 0 (s)ds (3.68) (1 s) η µ 1 e λ µ s G 0 (s)ds]lim(1 z) η µ (3.69) z 1 Εφόσον P 1 > 0 και lim z 1 (1 z) η µ =, πρέπει να αληθεύει όπου G 1 (0) = γ µ 1 s=0 (1 s) η/µ 1 e λ µ s G 0 (s)ds = γ µ K, (3.70) η 1 1 K = P 1 (1 s) η µ γ ξ 1 e ( λ ξ λ µ )s [ (1 x) γ ξ 1 e λ ξ x dx]ds (3.71) ξ s=0 x=s Προφανώς, το K μπορεί εύκολα να υπολογιστεί για κάθε σύνολο παραμέτρων. Τέλος, ο E[L 1 ] προέρχεται από την (3.65). Διαιρώντας και τα δύο μέλη με (z 1) έχουμε ηg 1 (z) γg 0 (z) µe[l 1 ] = λp 1 + lim = λp 1 + γe[l 0 ] ηe[l 1 ] (3.72) z 1 1 z Αντικαθιστώντας την (3, 16) στην ανώτερο καταλήγουμε στη σχέση : (µ + η)e[l 1 ] = λ(1 ξ γ + ξ P 0 ) (3.73) Χρόνοι Παραμονής Δεν υπάρχουν καθόλου αλλαγές στην παραγωγή του E[S 0n ] για όλα τα n. Οι E[S 00 ] και E[S 0n ] για n 1 δίνονται από τις (3.28) και (3.30) αντίστοιχα. Επίσης η E[S 1n ] δίνεται από την (3.60) για κάθε αριθμό πελατών n. Ο ρυθμός με τον οποίο οι πελάτες εγκαταελίπουν το σύστημα υπολογίζεται να είναι : R (abandon) = λ (µ + η)e[l 1 ] (3.74)

69 Κεφάλαιο 4 Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών Στην ενότητα αυτή γίνεται μελέτη των συστημάτων με διακομιστές που έχουν υποστεί διακοπές και ανυπόμονους πελάτες εξαιτίας της απουσίας εξυπηρετητών κατα την άφιξη τους. Θα αναλυθούν τα συστήματα M/M/1 και M/M/c τόσο για πολλαπλές όσο και για απλές διακοπές των εξυπηρετητών. Συγκεκριμένα, θα αποδειχθεί ότι ο αριθμός πελατών που εγκαταλείπει το σύστημα στην περίπτωση απλών διακοπών είναι μικρότερος από ότι στην περίπτωση πολλαπλών διακοπών [6]. 4.1 Εισαγωγή Η ανυπομονησία των πελατών έχει ως αποτέλεσμα την εγκατάλειψη της ουράς είτε λόγω της αναμονής που έχουν βιώσει, είτε λόγω της μεγάλης αναμονής που συναντούν κατά την άφιξη τους. Πολλοί συγραφείς έχουν αναλύσει την ανυπομονησία πελατών σε διάφορα συστήματα. Ο Palm (1953) ανέλυσε για πρώτη φορά το σύστημα M/M/c με αυπόμονους πελάτες υπό τη συθήκη ότι ο χρόνος αναμονής του κάθε πελάτη δεν υπερβαίνει τον εκθετικό χρόνο ανυπομονησίας του. Ο Daley (1965) μελέτησε το GI/G/1 στο οποίο οι πελάτες μετά την άφιξη τους, εάν είναι υποχρεωμένοι να περιμένουν στην ουρά για μεγάλο χρονικό διάστημα, μπορούν να εγκαταλείψουν το σύστημα πρίν την έναρξη ή μετα την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης τους. Ο ίδιος διατύπωσε μια ολοκληρωτική εξίσωση για τον περιορισμό της συνάρτησης κατανομής χρόνου αναμονής και εξέτασε τη λύση της για τις περιπτώσεις των ντετερμινιστικών και κατανεμημένων ανυπομονησιών. 51

70 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 52 Ο Takacs (1974) μελέτησε περαιτέρω το M/G/1 σύστημα στο οποίο οι πελάτες έχουν ένα σταθερό όριο στο χρόνο παραμονής τους, και τις οριακές κατανομές των πραγματικών και των εικονικών χρόνων αναμονής τους. Στη συνέχεια Baccelli (1984) μελέτησε το GI/G/1 σύστημα όπου κάθε «ενήμερος» πελάτης, κατά την άφιξη του, εγκαταλείπει αμέσως το σύστημα αν γνωρίζει πως ο συνολικός χρόνος αναμονής του ξεπερνά το όριο ανυπομονησίας τους. Επίσης οι Boxma και de Waal (1994) ασχολήθηκαν και μελέτησαν το M/M/c σύστημα με γενικά κατανεμημένους χρόνους ανυπομονησίας, ανέπτυξαν διάφορες προσεγγίσεις για την πιθανότητα εγκατάλειψης. Ακολουθούν οι Altman και Borovkov, οι οποίοι εξέτασαν την ανυπομονησία των πελατών σε μία ουρά επαναλαβανόμενης προσπάθειας, στην οποία ένας πελάτης εγκαταλείπει το σύστημα εάν ο χρόνος παραμονής του υπερβεί κάποιο τυχαίο όριο Η ανυπομονησία φαίνεται να έχει σημαντικό αντίκτυπο στη σταθερότητα του συστήματος. Ο Van Houdt (2003) παρουσίασε την αλγοριθμική διαδικασία για τον υπολογισμό της κατανομής καθυστέρησης των πελατών σε διακριτό χρόσο σε σύστημα D M AP/P H/1, στο οποίο η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης του πελάτη εξαρτάται από τον χρονο αναμονής του. Ο χρόνος ανυπομονησίας θεωρείται ντετερμινιστικός στον χώρο αναμονής και στο σύστημα. Το φαινόμενο εγκατάλειψης και η σημασία του σε σχέση με τη σταθερότητα των λεγόμενων κέντρων κλήσεων έχει μελετηθεί εκτενώς πρόσφατα από διάφορους συγγραφείς οι οποίοι βασίζονται στην μελέτη του Gans (2003). Επιπλέον η ανυπομονησία στα συστήματα τηλεπικοινωνιών έχει μελετηθεί από τους Bonald και Roberts (2001). Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η ανυπομονησία των πελατών οφείλεται στην απουσία του διακομιστή κατά την άφιξη τους. Συγκεκριμένα, εάν κατά την άφιξη του ένας πελάτης δεν βρει κάποιον διακομιστή να είναι σε λειτουργία, θα εγκαταλείψει την ουρά έαν μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα δεν επανέλθει κάποιος. Κατά συνέπεια, σε αυτή την ενότητα αναλύεται το σύστημα που χαρακτηρίζεται από διακοπές διακομιστών, όπου κάθε πελάτης που φτάνει στο σύστημα και βρίσκει το διακομιστή σε λειτουργία, ενεργοποιεί ένα τυχαίο ανεξάρτητο χρονόμετρο ανυπομονησίας. Εάν ο διακομιστής δεν εμφανιστεί μέχρι το χρονόμετρο να λήξει, ο πελάτης εγκαταλείπει την ουρά αναμονής. Η διαδικασία κατά την οποία η ανυπομονησία καθορίζεται από ένα χρονόμετρό και έχει διάρκεια διαφορετικό από αυτό που αναφέρεται στον διακομιστή για την εξυπηρέτηση που παρέχει μελετήθηκε από τους Boxma (2002) και Yechialli (2004), στην μελέτη των οποίων εάν ο διακομιστής επιστρέψει στο σύστημα ενω αυτό είναι άδειο, ενεργοποιεί ένα χρονόμετρο πριν την επόμενη διακοπή. Το κεφάλαιο αυτό αποτελείται από τα ακόλου θα μοντέλα : Στην ενότητα 4.2 θεωρούμε το M/M/1 σύστημα με εκθετικά κατανεμμημενες πολλαπλές διακοπές και εκθετικά κατανεμημένο χρόνο ανυπομονησίας. Μετά την εξαγωγή των εξισώσεων ισορροπίας θεωρούμε και επιλύουμε τις διαφορικές εξισώσεις για την G 0 (z), η οποία είναι η γεννήτρια συνάρτηση του

71 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 53 μεγέθους της ουράς όταν ο διακομιστής είναι σε διακοπές. Αυτό δίνει τη δυνατότητα να υπολογιστούν τα κλάσματα του χρόνου στα οποία ο διακομιστής είναι σε διακοπές ή απασχολημένος. Επιπλέον, υπολογίζονται P 00, το κλάσμα του χρόνου στο οποίο ο διακομιστή βρίσκεται σε διακοπές και το σύστημα είναι άδειο. Στην ενότητα 4.3 αναλύεται το M/M/c σύστημα με εκθετικά κατανεμημένηη διακοπή και ανυπόμονους χρόνους. Και σε αυτή την περίπτωση, οι εξισώσεις ισορροπίας οδηγούν σε μια διαφορική εξίσωση για την πιθανογεννήτρια G 0 (z). Η επίλυση αυτής είναι παρόμοια με αυτή του M/M/1. Επίσης για να την απόκτηση μιας ολοκληρωμένης λύσης των άγνωστων πιθανοτήτων κατανομής του συστήματος, καθορίζονται οι ρίζες του πολυωνύμου, που λαμβάνεται μέσω του υπολογισμού του τετραγώνου του πίνακα. Ακολουθούν οι ενότητες 4.4 και 4.5 με την μελέτη απλών διακοπών για τα M/M/1 και M/M/c αντίστοιχα. 4.2 Πολλαπλές διακοπές: M/M/1 σύστημα με εκθετική κατανομή διακοπών και χρόνους ανυπομονησίας Το μοντέλο Θεωρούμε το βασικό σύστημα M/M/1 με πολλαπλές διακοπές εξυπηρετητή [14]. Οι πελάτες καταφθάνουν στο σύστημα σύμφωνα με μια την διαδικασία Poisson και με ρυθμό άφιξης λ. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεμημένοι παραμέτρου µ όπως και οι χρόνοι διακοπών U παραμέτρου γ. Οι πελάτες χαρακτηρίζονται ανυπόμονοι. Κάθε φορά που φθάνει στο σύστημα ένας πελάτης και συνειδητοποιεί ότι ο εξυπηρετητής βρίσκεται σε διακοπές, ενεργοποιεί ένα «χρονόμετρο ανυπομονησίας» T, με εκθετικά κατανεμημένο χρόνο παραμέτρου ξ, ανεξάρτητο από το μέγεθος της ουράς αναμονής εκείνη τη στιγμή. Εάν ο διακομηστής πάψει να βρίσκεται σε διακοπές σε χρόνο μικρότερο από T, ο πελάτης παραμένει στο σύστημα μέχρι την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης του. Στην περίπτωση που ο διακομιστής βρίσκεται σε διακοπές για χρόνο μεγαλύτερο του T, ο πελάτης εγακαταλείπει το σύστημα και δεν επιστρέφει σε αυτό Εξισώσεις ισορροπίας Θεωρούμε το συνολικό αριθμό των πελατών στο σύστημα N και J το πλήθος των εξυπηρετητών. Αναγνωρίζουμε δύο καταστάσεις J = 0 και J = 1. Η J = 0 αντιπροσωπεύει την κατάσταση που ο διακομιστής βρίσκεται σε διακοπές, ενώ η J = 1 σημαίνει πως ο διακομιστής είναι ενεργός. Ορίζουμε τη διδιάστατη μαρκοβιανή διαδικασία (J, N) με διάγραμμα μετάβασης ρυθμού που απεικονίζεται στο ακόλουθο διάγραμμα.

72 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 54 Σχήμα 4.1: Διάγραμμα μεταβάσεων Οι πιθανότητες P jn = P (J = j, N = n), (j = 0, 1, n = 0, 1, 2,...) αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες σε κατάσταση ισορροπίας. Το σύνολο των εξισώσεων ισορροπίας δίνεται ως εξής: { λp00 = ξp 01 + µp 01, n = 0 J = 0 (λ + nξ + γ)p 0n = λp 0,n 1 + (n + 1)ξP 0,n+1, n 1 (4.1) J = 1 { (λ + µ)p11 = µp 12 + γp 01, n = 1 (λ + nµ)p 1n = λp 1,n 1 + µp 1,n+1 + γp 0,n, n 2 (4.2) Ορίζουμε τις γεννήτριες συναρτήσεις πιθανοτήτων G 0 (z) = P 0n z n, G 1 (z) = P 1n z n n=0 n=1 Πολλαπλασιάζοντας κάθε εξίσωση (4.2) με z n και αθροίζοντας για όλα τα n προκύπτει : G 1 (z)[(λz µ)(1 z)] = γzg 0 (z) (µp 11 + γp 00 )z (4.3) Αναλυτικότερα : zp 11 (λ + µ) + i=2 zn (λ µ )P 1n = zµp 12 + zγp 01 + λ i=2 zn P 1,n 1 + γ i=2 zn P 0n z(λ + µ)g 1 (z) = γz i=0 zn P 0n γzp 00 + µz 2 P 12 + µz i=2 zn P 1,n+1 + µzp 11 µzp 11 z(λ + µ)g 1 (z) = γzg 0 (z) γzp 00 + µg 1 (z) µzp 11 + λz i=2 zn P 1,n 1 z(λ + µ)g 1 (z) = γzg 0 (z) (γp 00 + µp 11 )z + µg 1 (z) + λz 2 G 1 (z) G 1 (z)[(λz µ)(1 z)] = γzg 0 (z) (µp 11 + γp 00 )z

73 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 55 Με παρόμοιο τρόπο, από τις εξισώσεις της (4.1) καταλήγουμε σε έκφραση της G 0 (z) όπως φαίνεται παρακάτω: λp 00 + i=1 zn (λ + nξ + γ)p 0n = ξp 01 + µp 11 + λ i=1 zn P 0,n 1 + ξ i=1 zn (n + 1)P 0,n+1 λg 0 (z) + i=1 (nξ + γ)zn P 0n = ξp 01 + µp 11 + λzg 0 (z) + ξ i=1 zn (n + 1)P 0,n+1 λg 0 (z) + i=1 (nξ + γ)zn P 0n + γp 00 γp 00 = µp 11 + λzg 0 (z) + ξ i=0 zn (n + 1)P 0,n+1 λg 0 (z) + γg 0 (z) γp 00 + ξz i=1 zn 1 np 0n = µp 11 + λzg 0 (z) + ξ i=0 zn (n + 1)P 0,n+1 λg 0 (z) + γg 0 (z) γp 00 + ξzg 0 (z) = µp 11 + λzg 0 (z) + ξg 0 (z) λg 0 (z) + γg 0 (z) γp 00 + ξ(1 z)g 0 (z) = µp 11 + λzg 0 (z) ξ(1 z)g 0 (z) = [λ(1 z) + γ)]g 0(z) (γp 00 + µp 11 ) (4.4) Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε A = γp 00 + µp 11 και για z 1 ισχύει G 0(z) [ λ ξ + γ ξ(1 z) ]G 0(z) = A ξ(1 z) (4.5) Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με e λ ξ z (1 z) γ ξ. (e λ ξ z (1 z) γ ξ )G 0 (z) [ λ ξ + γ ξ(1 z) ]G 0(z) = (e λ ξ z (1 z) γ ξ ) A ξ(1 z) d dz λ [(e ξ z (1 z) γ ξ )G 0 (z)] = A λ ξ (e ξ z (1 z) γ ξ 1 ) (e λ ξ z (1 z) γ ξ )G 0 (z) G 0 (0) = A z ξ s=0 (1 z) γ ξ 1 e λ ξ s ds (4.6) G 0 (z) = G 0 (0)e λ ξ z (1 z) γ ξ A ξ e λ z z ξ s=0 (1 z) γ ξ 1 e λ ξ s ds

74 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 56 Τότε για z = 1 ισχύει : G 0 (1) = e λ ξ [G 0 (0) A ξ 1 s=0 (1 z) γ ξ 1 e λ ξ s ds[lim[(1 z) γ ξ ] (4.7) z 1 Επίσης για z = 1 ισχύει ότι G 0 (1) = n=0 P 0n = P 0 και lim z 1 (1 z) γ ξ =. Συνεπώς από την σχέση (4.7) ισχύει G 0 (0) = A ξ 1 s=0 (1 z) γ ξ 1 e λ ξ ds (4.8) Ορίζουμε την συνάρτηση Z(λ, γ) η οποία δίνεται απο τη σχέση : Z(λ, γ) = λ γ exp λ ( Γ(γ, λ) + Γ(γ)), όπου Γ(z) είναι μια συνάρτηση Γάμμα που ορίζεται ώς Γ(z) = t=0 exp t t z 1 και Γ(a, z) = t=z exp t t a 1 dt. Επίσης θέτουμε K = s=0 (1 s) γ ξ 1 exp λ ξ s ds = Z( λ ξ, γ ξ ). Λαμβάνοντας υπ οψην τα παραπάνω γράφουμε : G 0 (0) = P 00 = A ξ K = γp 00 + µp 11 K = Kµ ξ ξ Kγ P 11 (4.9) Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (4.6),(4.9) λαμβάνουμε μια νέα έκφραση για την G 0 (0) η οποία έχει ως εξής: G 0 (z) = G 0 (0)e λ ξ z (1 z) γ ξ A ξ e λ ξ z z s=0 (1 z) γ ξ 1 e λ ξ s ds G 0 (z) = G 0(0)e λ ξ z [1 1 K G 0 (z) = G 0 (0)e λ ξ z [1 γ s=0 (1 z) ξ 1 e λ ξ s ]ds γ (1 z) ξ γ s=0 (1 s) ξ 1 e λ ξ z ds γ 1 s=0 (1 s) ξ 1 e λ ξ z ds ]/(1 z) γ ξ (4.10) Θέτοντας z = 1 και χρησιμοποιώντας De L Hopital προκύπτει πως η πιθανότητα να είναι

75 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 57 ο διακομιστής σε διακοπές δίνεται από τη σχέση : G 0 (1) = P 0 = G 0 (0) 1 γ 1 ξ s=0 (1 s) γ ξ 1 e λ ξ s ds = ξ γk G 0(0) = ξ γk P 00 (4.11) Η πιθανότητα ο διακομιστής να είναι ενεργός προφανώς, δίνεται από τη σχέση P 1 = P 1n = 1 P 0. Με τη βοήθεια της σχέσης (4.9) η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται να είναι : n=1 G 0 (1) = P 0 = ξ γk P 00 = ξ A γk ξ K = A γ = γp 00 + µp 11 γ (4.12) Ετσι φαίνεται να συνδέονται οι δύο φάσεις με τη σχέση γp 0 = γp 00 + µp 11 (4.13) Η σχέση (4.10) αποτελεί μια έκφραση του ποσοστού του χρόνου κατά τον οποίον ο διακομιστής είναι σε διακοπές ενώ δεν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα. Επίσης η G 1 (z) είναι συνάρτηση των G 0 (z) και P 00. Αφού υπολογιστεί η P 00, καθορίζονται απόλυτα τα G 0 (z) και G 1 (z) και μέσω των σχέσεων (4.9) και (4.13) υπολογίζονται με τη σειρά τους οι P 11 και P 0 αντίστοιχα. Το ποσοστό των πελατών που εγκαταλείπουν το σύστημα δίνεται να είναι : P (T < U)P 0 = ξ γ + ξ P 0 (4.14) Σημειώνεται πως η αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε να γίνεται λόγος για κατάσταση ισορροπίας είναι λ < µ. Εν συνεχεία αναλύουμε τον υπολογισμό των P 0, P 1, E[L 0 ] και E[L 1 ] Υπολογισμός των P 0, P 1, P 00, E[L 0 ], E[L 1 ] Χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.3) και εφαρμόζοντας De L Hopital προκύπτει η έκφραση G 1 (1) = [γg 0(1) (µp 11 +γp 00 )]+γg 0 (1) µ λ = [γg 0 (1) (µp 11 +γp 00 )]+γe[l 0 ] µ λ (4.15) Από την (4.13) γνωρίζουμε πως ισχύει γp 0 = γg 0 (1) = γp 00 + µp 11

76 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 58 Συνεπώς εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση στην (4.15) προκύπτει πως ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα ενώ ο διακομιστής βρίσκεται σε διακοπές υπολογίζεται να είναι : E[L 0 ] = µ λ P 1 (4.16) γ Επιπλέον εάν στην σχέση (4.4) εφαρμόσουμε De L Hopital και θέσουμε z = 1 καταλήγουμε στη σχέση lim z 1 G 0 (z) = λg 0(1)+γG 0 (1) ξ E[L 0 ] = λp 1 +γe[l 0 ξ (4.17) E[L 0 ] = λp 1 γ+ξ Από τις (4.16) και (4.17) και υπό τη χρήση της P 0 + P 1 = 1 καταλήγουμε στις εκφράσεις των πιθανοτήτων ο διακομιστής να είναι σε διακοπές (P 0 ) και να είναι ενεργός (P 1 ). Οι εκφράσεις αυτών είναι : P 0 = (γ+ξ)(µ λ) µγ+ξ(µ λ), P 1 = λγ µγ+ξ(µ λ) (4.18) Αντικαθιστώντας κατάλληλα στην σχέση (4.16) προκύπτει η έκφραση για τον μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα εν ανενεργεία του διακομιστή όπως φαίνεται παρακάτω: E[L 0 ] = λ(µ λ) µγ + ξ(µ λ) (4.19) Αφού έχει καθοριστεί η σχέση απο την οποία λαμβάνεται η P 0, μπορεί να δοθεί η έκφραση της P 00. Αντικαθιστώντας στην σχέση (6.11) G 0 (1) = P 0 = ξ γk P 00 δίνεται η P 00 P 00 = γk ξ P 0 = γk ξ (γ + ξ)(µ λ) µγ + ξ(µ λ) (4.20)

77 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 59 Για τον υπολογισμό του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα, ενώ ο εξυπηρετητής είναι ενεργός, χρησιμοποιείται η σχέση (4.3). G 1 (z) = γzg 0(z) (µp 11 +γp 00 )z [(λz µ)(1 z)] G 1 (z) = γzg 0(z) Az [(λz µ)(1 z)] G 1 (z) = γzg 0(z) P 0 z [(λz µ)(1 z)] (4.21) G 1 (z) = γzg 0(z) E[L 0 ]z [(λz µ)(1 z)] Εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hopital προκύπτει : E[L 1 ] = lim z 1 G 1(z) = γe[l 0(L 0 1)] + 2γE[L 0 ] 2(µ λ) 2, (4.22) όπου E[L 0 (L 0 1)] ορίζεται από την δεύτερη παράγωγο της G 0 (z) για z = Χρόνοι παραμονής Για την ανάλυση ενός συστήματος είναι απαραίτητη και η μελέτη του χρόνου παραμονής στο σύστημα. Θεωρούμε S τον συνολικό χρόνο παραμονής πελατών στο σύστημα, από τη στιγμή της άφιξης τους στο σύστημα εώς τη στιγμή που είτε θα ολοκληρωθεί η εξυπηρέτηση τους είτε που θα εγκαταλείψουν το σύστημα. Από το νόμο του Little ισχύει : E[S] = E[L] λ = E[L 0] + E[L 1 ] λ (4.23) Παρόλα αυτά, το πιο σημαντικόο μέτρο απόδοσης είναι ο συνολικός χρόνος παραμονής ενός πελάτη του οποίου η εξυπηρέτηση ολοκληρώνεται, S served. Θεωρούμε S jn τον υπό όρους χρόνο παραμονής ενός πελάτη που δεν εγκαταλείπει το σύστημα, δεδομένου πως η κατάσταση κατά την άφιξη του είναι (j, n). Προφανώς, E[S 1n ] = n+1 µ

78 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 60, n = 1, 2, 3,... Οταν J = 0, για n 1, E[S 1n ] = γ γ+(n+1)ξ+λ ( 1 γ+(n+1)ξ+λ E[S 1n]) + λ γ+(n+1) ξ +λ ( 1 γ+(n+1)ξ+λ + E[S 0n]) + (n+1)ξ γ+(n+1)ξ+λ n n+1 ( 1 γ+(n+1)ξ+λ + E[S 0,n 1]) Ο δεύτερος όρος της παραπάνω σχέσης εκφράζει ότι δεδομένου μιας νέας άφιξης δεν αλλάζει ο χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα, όταν ο τρίτος όρος λαμβάνει υπ οψην τη n πιαθνότητα (n+1), ενώ όταν υπάρχει εγκατάληψη μεταξύ των (n + 1) των πελατών που περιμένει, τότε οι πελάτες που είναι ήδη παρόντες δεν θα είναι οι μόνοι που θα φεύγουν. Επίσης ισχύει (γ + (n + 1)ξ)E[S 0n ] = E[S 00 ] = το οποίο συνεπάγεται γ + nξ + λ γ(n + 1) + + nξe[s 0,n 1 ] (4.24) γ + (n + 1)ξ + λ µ γ γ + ξ + λ ( 1 γ + ξ + λ + 1 µ ) + λ γ + ξ + λ ( 1 γ + ξ + λ + E[S 00]), E[S 00 ] = 1 γ + ξ ( γ + λ γ + ξ + λ + γ µ ) Αθροίζοντας την (4.24) για n 0 προκύπτει η σχέση : E[S 0n ] = 1 γ+(n+1)ξ [ n k=1 ( γ+(k 1)ξ+λ γ+kξ+λ + kγ µ ) n j=k ( jξ γ+jξ ) + ( γ+nξ+λ γ+(n+1)ξ+λ + (n+1)γ µ )] (4.25) Τέλος, χρησιμοποιώντας την έκφραση E[S 1n ], γράφουμε Εναλλακτικά, E[S served ] = P 1n E[S 1n ] + P 0n E[S 0n ] (4.26) n=1 n=0 E[S served ] = E[L 1] + P 1 µ + P 0n E[S 0n ] (4.27) n=0

79 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 61 Οσον αφορά τον συνολικό χρόνο παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα, W (0, n), ανεξάρτητα από το αν εξυπηρετείται ή όχι και δεδομένου πως κατά την άφιξη του συναντά την κατάσταση (0, n) ισχύει, για n 1, E[W (0, n)] = 1 γ+(n+1)ξ+λ + γ γ+(n+1)ξ+λ E[S 1n] λ γ+(n+1)ξ+λe[w (0, n)] + (n+1)ξ γ+(n+1)ξ+λ ( n n n+1e[w (0, n 1)]) και για n = 0, E[W (0, 0)] = 1 γ+ξ+λ + γ 1 γ+ξ+λµ µ + γ+ξ+λ 0 ξ + λ γ+ξ+λe[w (0,0)] Μετά από κάποιους υπολογισμούς, τα παραπάνω οδηγούν στην έκφραση E[W (0, n)] = n! ξ n k k! µ µ + (k + 1)γ n+1 j=k+1 (γ + jξ (4.28) k=0 4.3 Πολλαπλές Διακοπές: M/M/c σύστημα με εκθετικά κατανεμημένο χρόνο διακοπών και ανυπομονησίας Το μοντέλο Θεωρούμε ένα σύστημα M/M/c με c 1, πολλαπλών διακοπών [14], [28], [29]. Ο χρόνος εξυπηρέτησης, B, του κάθε πελάτη είναι εκθετικά κατανεμμημένος με μέση τιμή 1/µ. Η διαδικασία άφιξης είναι Poisson ρυθμού λ, και υποθέτουμε ότι λ < cµ. Οι εξυπηρετητές ποτέ δεν μένουν σε αδράνεια στον χώρο εξυπηρέτησης: όταν ο διακομιστής τελειώνει την εξυπηρέτηση κα δεν βρίσκει κάποιον πελάτη στην ουρά, αμέσως μεταβαίνει σε κατάσταση διακοπών. Η διάρκεια των διακοπών ενός διακομιστή είναι εκθετικά κατανεμημένη με μέση τιμή 1/γ. Εάν στο σύστημα υπάρχουν 1 j c 1 πελάτες που εξυπηρετούνται από j εξυπηρετητές και ένας από τους c j διακομιστές που βρίσκονται σε αδράνεια επιστρέψει σε κατάσταση λειτουργίας και συναντήσει εν τέλει μια άδεια ουρά, τότε αμέσως μεταβαίνει σε κατάσταση αδράνειας.

80 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 62 Οι πελάτες θεωρούνται ανυπόμονοι. Ενας πελάτης που καταφθάνει στο σύστημα και βρίσκει όλους τους διακομιστές σε διακοπές, ενεργοποιεί ένα ανεξάρτητο χρονόμετρο διάρκειας ξ. Εάν κανένας εξυπηρετητής δεν διατεθεί για παροχή υπηρεσιών μέχρι να λήξει το χρονόμετρο, ο πελάτης εγκαταλέιπει την ουρά (και το σύστημα) Εξισώσεις ισορροπίας Συμβολίζουμε με N τον συνολικό αριθμό πελατών στο σύστημα και με J τον αριθμό των διακομιστών που εξυπηρετούν. Το ζέυγος αυτών (J, N) ορίζει μια διδιάστατη συνεχή Μαρκοβιανή διαδικασία με στάσιμες πιθανότητες P jn = P (J = j, N = n), (0 j c, n j). Το σύνολο των εξισώσεων ισορροπίας για ην διαδικασία αυτή δίνονται παρακάτω ως: Στην περίπτωση ο διακομιστής βρίσκεται σε διακοπές, J = 0, οι εξισώσεις ισορροπίας είναι οι ακόλουθες. { λp00 = µp 11 + ξp 01, n = 0 (λ + nξ + cγ)p 0n = λp 0,n 1 + (n + 1)ξP 0,n+1, n 1 (4.29) Εαν υπάρχει τουλάχιστον ένας διακομιστής σε λειτουργία, J = 1 αλλά το πολύ c 1, 1 j c 1, ισχύει { (λ + jµ)pjj = jµp j,j+1 + (c j + 1)γP j 1,n + (j + 1)µP j+1,j+1, n = j (λ + jµ + (c j)γ)p jn = λp j,n 1 + jµp j,n+1 + (c j + 1)γP j 1,n, n > j (4.30) Επιπλέον κατά την παροχή υπηρεσιών από c διακομιστές οι εξισώσεις ισορροπίας διαμορφώνονται ως: j = c { (λ + cµ)pcc = cµp c,c+1 + γp c 1,c, n = c (λ + cµ)p c,c+k = λp c,c+k 1 + cµp c,c+k+1 + γp c 1,c+k, n = c + k, k = 1, 2,... (4.31) Γεννήτριες συναρτήσεις Για κάθε j (j = 0, 1,..., c) ορίζουμε μια γεννήτρια συνάρτηση G j (z) = n=j P jnz n και τη παράγωγο της: G j (z) = d dz G j(z). Πολλαπλασιάζοντας με z n κάθε εξίσωση για τα j και τα n των (4.29), (4.30) και (4.31), και αθροίζοντας για όλα τα n καταλήγουμε στα ακόλουθα:

81 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 63 Από την (4.29), για j = 0, η διαφορική εξίσωση που προκύπτει για την G 0 (z) είναι: ξ(1 z)g 0(z) = [λ(1 z) + cγ]g 0 (z) (cγp 00 + µp 11 ) (4.32) Εν συνεχεία, από τη σχέση (4.30), για 1 j c 1, συνεπάγεται ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων G j (z): [(λz jµ)(1 z) + (c j)γz]g j (z) (c j + 1)γzG j 1 (z) = [((c j)γz j jµz j 1 )P jj (c j + 1)γz j 1 P j 1,j 1 ]z + (j + 1)µP j+1,j+1 z j+1 = z j [((c j)γz jµ)p jj (c j + 1)γP j 1,j 1 + (j + 1)µzP j+1,j+1 ] Τέλος χρησιμοποιώντας την (4.31), για (j = c), προκύπτει (4.33) [λz(1 z) cµ(1 z)]g c (z) γzg c 1 (z) = z c [ cµp cc γp c 1,c 1 ] (4.34) Για κάθε j, ορίζουμε την οριακή πιθανότητα P j = n=j P jn = P rob(j = j). Αντικαθιστώντας z = 1 σε κάθε εξίσωση των (4.32), (4.33) και (4.34) και επαναλαμβάνοντας τις αντικαταστάσεις, αποκτάμε, για 0 j c 1, την σχέση (c j)γ[p j P jj ] = (j + 1)µP j+1,j+1 (4.35) Η λύση της διαφορικής εξίσωσης της G 0 (z) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η εξίσωση (4.32) που είναι παρόμοια με την (4.4), με τη διαφορά πως ο όρος cγ αντικαθίσταται από τον όρο γ. Λαμβάνοντας υπ οψη την (4.6), η λύση της εξίσωσης δίνεται από την G 0 (z) = P 00 e λ ξ z (1 z) cγ ξ A c ξ e λ ξ z (1 z) cγ z ξ s=0 (1 s) cγ ξ 1 e λ ξ s ds, (4.36) όπου A c = cγp 00 + µp 11, και P 00 = G 0 (0) = A 1 c (1 s) cγ ξ 1 e λ ξ s ds = A c ξ s=0 ξ K c (4.37)

82 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 64 Ως K c ορίζεται ο όρος K c ( λ ξ, cγ ξ ). Ετσι, από την ξp 00 = A c K c = (cγp 00 + µp 11 )K c, συνεπάγεται ότι A c = ξp 00 /K c και (ξ cγk c )P 00 = µk c P 11 (4.38) Για τον υπολογισμό της G 0 (z) απαιτείται ο υπολογισμός της P Εκτίμηση της μέση διάρκειας απασχόλησης, E[Γ c ] Στο παρόν σύστημα με διακοπές, όταν όλοι οι διακομιστές βρίσκονται σε διακοπές (J = 0), η εκτίμηση μιας διακοπής εκφράζεται με τη μεταβλητή V, η οποία είναι εκθετικά κατανεμημένη παραμέτρου cγ. Ετσι, η διάρκεια της περιόδου διακοπών είναι τ c = k V i + V k+1 i=1 με πιθανότητα k i=1 e Λ(V i) (1 e Λ(V k+1) ). Ο μετασχηματισμός Laplace Stieltjes της τ c δίνεται να είναι : τ c (s) = k=0 E[e s( k i=1 V i) e sv k+1(e k i=1 Λ(V i) )(1 e Λ(V k+1) ) = k=0 (E[e (sv +Λ(V )) ]) k (E[e sv ] E[e (sv +Λ(V )) ]) (4.39) όπου V (s) = = V (s) E[e (sv +Λ(V )) ], 1 E[e (sv +Λ(V )) ] cγ cγ+s. Επίσης ισχύει πως E[τ c ] = E[V ] 1 E[e Λ(V ) ] = [cγ(1 E[e Λ(V ) ])] 1 (4.40) Η γεννήτρια συνάρτηση πιθανότητας υπολογίζεται να είναι : G N(τ) (z) = E[z n ] = E(E[z N(V ) N(V ) 1]P (N(V ) 1)) +E(E[z N(τ) N(V ) = 0]P (N(V ) = 0)) E[ n=1 zn e Λ(V ) (Λ(V )) n n! ] + E[z N(τ)]E[e Λ(V ) ]

83 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 65 Ετσι συνεπάγεται : G N(τ) (z) = E[e (1 z)λ(v ) ] E[e Λ(V ) ] 1 E[e Λ(V ) ] n=1 1 n! E[e Λ(V ) (Λ(V )) n ]z n 1 E[e Λ(V ) ] (4.41) Συνεπάγεται πως η συνάρτηση συνολικής πιθανότητας δίνεται ως: P (N(τ) = n) = 1 n! E[e Λ(V ) (Λ(V )) n ] 1 E[e Λ(V ) ] (4.42) και πως η μέση τιμή της N(τ c ) είναι: E(N(τ)) = E(Λ(V )) ) (4.43) 1 E(e Λ(V ) Θεωρούμε D το άθροισμα των διαστημάτων χρόνου, χωρίς τ, στα οποία το σύστημα είναι άδειο. Η μέση τιμή της εκτίμησης D c δίνεται ως: E[D c ] = E[ V 0 e Λ(t) dt 1 E[e Λ(V ) ] (4.44) Η busy period Γ c,ορίζεται ως τη διάρκεια του χρόνου από τη στιγμή,ξεκινώντας από τ c, που ένας από τους c διακομιστές που βρίσκονται σε διακοπές επιστρέψει για να βρεί N(τ c ) πελάτες εν αναμονή, μέχρι την πρώτη στιγμή έπειτα από αυτή που δεν υπάρχει κανείς πελάτης στο σύστημα πια. Ετσι, P 00 = E[D c ] E[Γ c ] + E[τ c ] Η E[Γ c ] υπολογίζεται άμεσα, εάν έχει υπολογιστεί η P 00. (4.45) Επίλυση του συνόλου των γεννητριών συναρτήσεων Το σύνολο των εξισώσεων (4.33) και (4.34) είναι ένα σύνολο c γραμμικών εξισώσεων με (c + 1) μεταβλητές G j (z), j = 0, 1, 2,..., c, όπου η G 0 (z) δίνεται από την (4.36) και οι c άγνωστοι είναι οι γεννήτριες συναρτήσεις πιθανοτήτων G j (z), j = 1, 2,..., c. Ορίζουμε a j (z) = (λz jµ)(1 z) + (c j)γz (4.46) και b j (z) = z j [((c j)γz jµ)p jj (c j + 1)γP j 1,j 1 + (j + 1)µzP j+1,j+1 ], (4.47)

84 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 66 για 1 j c 1. Επίσης για j = c ισχύει b c (z) = z c [ cµp cc γp c 1,c 1 ] (4.48) Λαμβάνοντας υπόψην τις σχέσεις (4.46), (4.47) και (4.48), γράφουμε τις (4.33) και (4.34) ως a j (z)g j (z) (c j + 1)γzG j 1 (z) = b j (z) (1 j c), (4.49) όπου οι όροι b j (z) είναι οι εξισώσεις των πιθανοτήτων P jj για j = 1, 2,..., c. Ορίζουμε τον τετραγωνικό cxc πίνακα Q(z) ως Q = a 1 (z) (c 1)γz a 2 (z) (c 2)γz a 3 (z) (c 3)γz a 4 (z) γa c 1 (z) γc a c (z). Επίσης θέτουμε το διάνυσμα d T (z) = (d 1 (z), b 2 (z), b 3 (z),..., b c (z)), όπου d 1 (z) = b 1 (z) + cγzg 0 (z). Επίσης, θέτουμε g T (z) = (G 1 (z), G 2 (z),..., G c (z)). Τότε, το σύνολο της σχέσης (4.49) μπορεί να γραφεί με τη χρήση του πίνακα ως εξής: Q(z)g(z) = d(z) (4.50) Για τον καθορισμό των G j (z) χρησιμοποιείται ο κανόνας του Cramer. Ετσι γράφουμε Q(z) G j (z) = Q j (z) 0 j c, (4.51) όπου Q υποδηλώνει την ορίζουσα του πίνακα και Q i (z) είναι ένας πίνακας που προκύπτει από τον Q(z) αντικαθιστώντας την j-οστή στήλη με το δυάνυσμα d(z). Ετσι η γεννήτρια συνάρτηση G j (z) εκφράζεται συναρτήσει των c + 1 πιθανοτήτων P jj, 0 j c. Με τον υπολογισμό της P 00 εύκολα υπολογίζεται, σύμφωνα με την (4.38), η P 11. Παρόλα αυτά καλούμαστε να υπολογίσουμε τις υπόλοιπες c 1 άγνωστες πιθανότητες P jj. Το θεώρημα που ακολουθεί χρησιμοποιείται για αυτή την ανάγκη. Θεώρημα 4.1. Τα πολυώνυμα Q(Z) βαθμού 2c, έχουν ακριβώς (c 1) διακριτές ρίζες στο διάστημα (0, 1).

85 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 67 Απόδειξη. Η ορίζουσα του πίνακα υπολογίζεται να είναι Q(z) = c j=1 α j(z). Για j = 1 ισχύει α c (z) = (1 z)(λz cµ), το οποίο συνεπάγεται πως οι δύο ρίζες του α c (z) είναι οι z c (1) = 1 και z c (2) = cµ/λ. Επιπλέον για 1 j c 1 λαμβάνουμε το πολυώνυμο α j (z) = λz 2 + (λ + jµ + (c j)γ)z jµ, για το οποίο ισχύει α j (0) = jµ, α j (1) = (c j)γ, ενώ α j ( ) =. Ετσι οι δύο ρίζες του α j (z) είναι 0 < z (1) j < 1 και 1 < z (2) j <. Προφανώς όλες οι ρίζες z (1) j για 1 j c 1 είναι διακριτές. Εφόσον η G j (z) είναι θετική για 0 < z < 1, τότε η ορίζουσα Q j (z) πάει να υπάρχει, όταν ε- ξαφανίζεται και η Q(z). Ετσι, κάθε εξίσωση της μορφής Q j (z (1) j ) = 0, j = 1, 2,, c 1, δίνει μια ανεξαρτητη εξίσωση για τις πιθανότητες P jj, με 0 j c. Με τον υπολογισμό των P 00 και P 11, προκύπτουν άμεσα οι τιμές των πιθανοτήτων P jj για 2 j c. Δεδομένων των πιθανοτήτων P jj σύμφωνα με την εξίσωση (4.51). για 0 j c, μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως η G j (z) Ταυτόχρονος υπολογισμός των P jj,p j και E[L 1 ], για 0 j c Ο υπολογισμός της P 00 για το M/M/c σύστημα πολλαπλών διακοπών είανι πιο πολύπλοκος από τον υπολογισμό της στην περίπτωση του M/M/1 συστήματος με πολλαπλές διακοπές. Οντως η P 00 προκύπτει ταυτόχρονα με τις P jj και P j όπως θα δείξουμε παρακάτω. Η σχέση (4.38) συνδέει τις πιθανότητες P 00 και P 11 μέσω της εξίσωσης (ξ cγk c )P 00 = µk c P 11 Σύμφωνα με την σχέση (4.11) και χρησιμοποιώντας τις (4.36) και (4.37) λαμβάνεται η σχέση : P 0 = η οποία, εάν ληφθεί υπ οψην η (4.12), συνεπάγεται την σχέση ξ cγk c P 00 (4.52) cγp 0 = cγp 00 + µp 11 = A c (4.53) Επιπλέον, από την (4.13) και την (4.32), καταλήγουμε στην E[L 0 ] = λp 0 cγ + ξ, (4.54) όπου E[L j ] = G j(z) = np jn (4.55) n=j

86 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 68 Από την (4.49),μετά τη λήψη παραγόγων για z = 1, προκύπτει α j(1)p j + α j (1)G J(1) ((c j + 1)γ)(P j + G j 1(1)) = b j(1), για 1 j c a j(1) = λ + jµ + (c j)γ, b j (1) = j(((c j)γ jµ)p jj (c j + 1)γP j 1,j 1 +(j + 1)µP j+1,j+1 ) + (c j)γp jj + (j + 1)µP j+1,j+1 και b c(1) = c( cµp cc γp c 1,c 1 ) Ετσι υπάρχουν 3(c + 1) άγνωστοι που εμπλέκονται: P jj, P J και E[L j ] = G j (1). Οι τιμές τους προκύπτουν από την επίλυση 3(c + 1) γραμμικών εξισώσεων. Οι σχέσεις (4.52) και (4.54) αποτελούν 3 ανεξάρτητες εξισώσεις που αφορούν P 00, P 11, P 0 και E[L 0 ]. Από τη σχέση α j (1)P j + α j (1)G J (1) ((c j + 1)γ)(P j + G j 1 (1)) = b j (1)προκύπτουν επιπλέον c ανεξάρτητες εξισώσεις που αφορούν τις P j, για 1 j c και E[L j ], για 0 j c. Η (4.35) δημιουργεί c εξισώσεις με αγνώστους τις P jj και P j, για 0 j c 1. Επίσης, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα τίθενται προς επίλυση c 1 επιπλέον εξισώσεις. Η τελευταία σχέση του συστήματος είναι η c j=0 P j = 1. Ετσι επιλύεται ένα σύστημα 3(c + 1) εξισώσεων για τον προσδιορισμό 3(c + 1) αγνώστων. 4.4 Απλές διακοπές : M/M/1 σύστημα με εκθετικό χρόνο διακοπής και ανυπομονησίας Το μοντέλο Θεωρούμε το σύστημα M/M/1 όπου ο διακομιστής λαμβάνει μόνο μια διακοπή στο τέλος μιας κουραστικής περιόδου [14]. Εάν ο διακομιστής επιστρέψει από τη διακοπή σε ένα άδειο σύστημα περιμένει αδρανής μέχρι την πρώτη άφιξη που ανοίγει μια πολυάσχολη περίοδο. Διαφορετικά, εαν στην ουρά υπάρχει τουλάχιστον ένας πελάτης κατά τον τερματισμό της διακοπής του, ο διακομιστής ξεκινά την πολυάσχολη περιόδο χωρίς καθυστέρηση. Οι

87 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 69 πελάτες είναι, όπως και πριν, ανυπόμονοι όταν συναντούν, κατά την άφιξη τους, τον διακομιστή εκτός λειτουργίασ(σε διακοπή). Κάθε πελάτης ενεργοποιεί το δικό του ανεξάρτητο, εκθετικά κατανεμημένο «ανυπόμονο χρόνο» T Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις πιθανοτήτων Οπως και ποηγουμένως, η κατάσταση του συστήματος είναι (J, N). Οι εξισώσεις ισορροπίας είναι : { (λ + γ)p00 = ξp 01 + µp 01, n = 0 J = 0 (λ + nξ + γ)p 0n = λp 0,n 1 + (n + 1)ξP 0,n+1, n 1 (4.56) J = 1 { λp10 = γp 00, n = 1 (λ + µ)p 1n = λp 1,n 1 + µp 1,n+1 + γp 0,n, n 1 (4.57) Αθροίζοντας την (4.56) για όλα τα n καταλήγουμε στη σχέση γp 0 = µp 11 (4.58) Ορίζουμε ως G j (z) = n=0 P jnz n, j = 1, 2 τις γεννήτριες συναρτήσεις. Οπως και στην ενότητα 2, από την (4.56) προκύπτει για την κατάσταση (J = 0): (λ + γ)g 0 (z) + ξzg 0(z) = λzg 0 (z) + ξg 0(z) + µp 11 (4.59) και από την (4.53) για την κατάσταση (J = 1): λg 1 (z) + µ(g 1 (z) P 10 ) = λzg 1 (z) + µ z (G 1(z) P 11 z P 10 ) + γg 0 (z) (4.60) Η (4.57) μπορεί να γραφτεί εναλλακτικά ως ξ(1 z)g 0(z) = [λ(1 z) + γ]g 0 (z) µp 11 (4.61) και θέτωντας z = 1, επαληθέυεται πως γp 0 = µp 11 Η διαφορική εξίσωση (4.61) είναι παρόμοια με την (4.3) και έτσι η λύση της δίνεται από την (4.10) με G 0 (0) = P 00 = µp 11 ξ K.

88 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 70 Χρησιμοποιώντας τη τελυταία σχέση, καθώς και την λp 10 = γp 00 προκύπτει η εναλλακτική μορφή της (4.60) G 1 (z)[(λz µ)(1 z)] = γzg 0 (z) (µ γ λ (1 z) + ξ K z)p 00 (4.62) Εάν τώρα, θέσουμε στην παραπάνω σχέση z = 1, προκύπτει η έκφραση υπολογισμού του P 0 : P 0 = ξ γk P 00 (4.63) Ο υπολογισμός της P 00 είναι απαραίτητος για τον υπολογισμό των G 0 (z), G 1 (z) και P Υπολογισμός του P 00 Από (4.62) η έκφραση για την G 1 (z) δίνεται ως: G 1 (z) = γzg 0(z) (µ γ λ (1 z) + ξ K z)p 00 (λz µ)(1 z) (4.64) Εφαρμόζοντας τον κανόνα του De L Hopital, για z = 1, καταλήγουμε στο G 1 (1) = γg 0(1) + γg µγ 0 (1) + ( λ ξ K )P 00 µ λ (4.65) Αυτό σημαίνει, Επιπλέον από την (4.61) προκύπτει G 0(1) = E[L 0 ] = µ λ P 1 P 0 ( µ γ λ ξ γk )P 00 (4.66) E[L 0 ] = lim G z 1 0(z) = λg 0(1) + γg 0 (1), (4.67) ξ το οποίο συνεπάγεται τη σχέση που δίνει το μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα κατά την κατάσταση (J = 0) E[L 0 ] = λ γ + ξ P 0 (4.68) Εξισώνοντας τις δύο σχεσεις (4.67) και (4.68) για E[L 0 ], χρησιμοποιώντας επίσης την (4.63) και την P 0 + P 1 = 1, καταλήγουμε στην έκφραση υπολογισμού της P 00, η οποία δίνεται ως: λξ P 00 [ (ξ + γ)k + (µ λ)ξ γk + γµ λ ] = µ λ (4.69) Παρατηρείται πως P 00 (single vacation) < P 00 (multiple vacation).

89 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών Χρόνοι παραμονής Συμβολίζουμε με S και S jn το συνολικό χρόνο παραμονής πελατών στο σύστημα από τη στιγμή άφιξης τους εώς τη στιγμή που ολοκληρώνεται η εξυπηρέτηση του και τον υπό όρους χρόνο παραμονής ενός πελάτη που δεν εγκαταλείπει το σύστημα. Ετσι η E[S] δίνεται από την (4.23), με την E[L 1 ] να προκύπτει από την (4.64). Για n = 0, 1, 2,... υπλογίζεται πως για την κατάσταση J = 1 μέσος χρόνος αναμονής πελατών στο σύστημα είναι E[S 1n ] = (n+1) µ. Επιπλέον η σχέση (4.25) δίνει τον E[S 0n ]. Τέλος οι σχέσεις (4.26) και (4.27) δίνουν τον μέσο χρόνο παραμονής πελατών που εξυπηρετούνται, E[S served ], με τη διαφορά πως στο άθροισμα λαμβάνεται υπ οψην και το n = Απλές Διακοπές: M/M/c σύστημα με εκθετικό χρόνο διακοπής και ανυπομονησίας Το μοντέλο Στην ενότητα αυτή αναλύεται ένα σύστημα πολλών διακομιστών, παρόμοιο με αυτό της ενότητας 3, με τη διαφορά πως κάθε διακομιστής μεταβαίνει σε απλές διακοπές single vacation Εξισώσεις ισορροπίας Οπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η (J, N) ορίζει μια συνεχή, διδιάστατη Μαρκοβιανή αλυσίδα, όπου για κάθε j, ο χώρος καταστάσεων αποτελείται από όλα τα n 0 και όχι μόνο από τα n j. Ειδικότερα, ορίζουμε P jn = P (J = j, L = n), (0 j c, n 0). Εν συνεχεία δίνεται το σύνολο των εξισώσεων. Για j = 0 προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις ισορροπίας: { (λ + cγ)p00 = µp 11 + ξp 01, n = 0 (λ + cγ + nξ)p 0n = λp 0,n 1 + (n + 1)ξP 0,n+1, n 1 (4.70) Εάν παρέχουν υπηρεσίες j διακομιστές, με 1 j c 1, τότε ισχύουν : (λ + (c j)γ)p j0 = (c j + 1)γP j 1,0 + µp j+1,1, n = 0 (λ + nµ + (c j)γ)p jn = λp j,n 1 + (c j + 1)γP j 1,n + (n + 1)µP j+1,n+1, n j 1 (λ + jµ + (c j)γ)p jn = λp j,n 1 + (c j + 1)γP j 1,n + jµp j+1,n+1 + (j + 1)µP j+1,n+1, n = j (λ + jµ + (c j)γ)p jn = λp j,n 1 + (c j + 1)γP j 1,n + jµp j,n+1, n > j (4.71)

90 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 72 Στην περίπτωση που όλοι οι διακομιστές εξυπηρετούν, δηλαδή για j = c, οι εξισώσεις ισορροπίας δίνονται ως: λp c0 = γp c 1,0, n = 0 (λ + nµ)p cn = λp c,n 1 + γp c 1,n, 1 n c 1 (λ + cµ)p cn = λp c,n 1 + γp c 1,n + cµp c,n+1, n j (4.72) Γεννήτριες συναρτήσεις Οπως και στην περίπτωση των πολλαπλών διακοπών ορίζουμε για κάθε 0 j c, τις γεννήτριες συναρτήσεις G j (z) και τη περιθώρια πιθανότητα P j = G j (1), G j (z) = P jn z n (4.73) Πολλαπλασιάζοντας με z n και προσθέτοντας για όλα τα n, εξασφαλίζουμε: για j = 0 n=0 ξ(1 z)g 0(z) = [λ(1 z) + cγ]g 0 (z) µp 11, (4.74) για 1 j c 1 [(λz jµ)(1 z) + (c j)γz]g j (z) (c j + 1)γzG j 1 (z) = jµ(1 z) j n=0 P jnz n (c j + 1)γzP j 1,0 µz j n=0 np jnz n + j+1 n=1 np j+1,nz n, για j = c (4.75) c 1 c 1 [λz cµ)(1 z)]g c (z) γzg c 1 (z) = µz np cn z n cµ(1 z) P cn z n cµp cc z c n=1 Οι (4.75) και (4.76) μπορούν να γραφούν στη μορφή : m=0 (4.76) Q(z)g(z) = d(z), όπου Q(z) είναι ο πίνακας που ορίστηκε στην (4.3), με τα ίδια ακριβώς α j (z) για 1 j c και d T = (d 1 (z), b 2 (z),, b c (z)), όπου d 1 (z) = b 1 (z) + cγzg 0 (z), b j (z) = jµ(1 z) j P jn z n (c+j+1)γzp j 1,0 µz n=0 j n=0 j+1 np jn z n +µ np j+1,n z n (4.77) n=1

91 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 73 και c 1 c 1 b c (z) = µz np cn z n cµ(1 z) P cn z n cµp cc z c (4.78) n=1 n= Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης και υπολογισμός των ά- γνωστων πιθανοτήτων Η διαφορική εξίσωση (4.78) είναι όμοια με την (4.32), το οποίο συνεπάγεται πως η λύση της δίνεται από την (4.36) ύπο την αντικατάσταση του όρου A c = cγp 00 + µp 11 από τον όρο µp 11. Συνεπώς ισχύει : G 0 (z) = e λ ξ (1 z) cγ ξ (P 00 µp z 11 (1 s) cγ ξ 1 e λ ξ ds) (4.79) ξ s=0 Επιπλέον σύμφωνα με την (4.37) για την P 00 ισχύει : P 00 = µp 11 ξ 1 0 (1 s) cγ ξ 1 e λ ξ s ds = µp 11 ξ Από τις δύο παραπάνω, σύμφωνα με τις (4.12) και (4.52) προκύπτει : P 0 = K c (4.80) ξ cγk c P 00 = µ cγ P 11 (4.81) Βέβαια η σχέση αυτή λαμβάνεται άμεσα από την (4.74) θέτοντας z = 1. Αντικαθιστώντας επιπλέον z = 1 στην (4.75) καταλήγουμε στην (c j)γp j (c j + 1)γP j 1, = (c j + 1)γP j 1,0 µ Ομοίως, από την (4.76) για (z = 1), παίρνουμε n=1 j j+1 np jn + µ np j+1,n. (4.82) n=1 n=1 c 1 P c γp c 1, = µ np cn cµp cc (4.83) Οι εξισώσεις (4.81) και (4.82) συμπεριλαμβάνει ένα σύνολο (c + 1) εξισώσεων που περιέχουν (c + 1) περιθώριες πιθανότητες P j (0 j c) και τις οριακές πιαθνότητες P jn για 0 j c, 0 n j, εμπεριεχομένης και της P 00. Εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hopital στην (4.74), για z 1, καταλήγουμε στη σχέση που δίνει το μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα υπό τη φάση j = 0, η οποία δίνεται ως : E[L 0 ] = λg 0(1) + cγg 0 (1) ξ = λp 0 cγ + ξ (4.84)

92 Κεφάλαιο 4. Ανάλυση ουρών με ανυπόμονους πελάτες και διακοπές εξυπηρετητών 74 Η σχέση (4.49) ισχύει όπως και οι α j(1)p j + α j (1)G J(1) ((c j + 1)γ)(P j + G j 1(1)) = b j(1), (4.85) για 1 j c a j(1) = λ + jµ + (c j)γ, (4.86) για 1 j c αλλά αντί των σχέσεων για τις (b j (1) και b1 c(1), έχουμε αντίστοιχα, b j (1) = jµ j n=0 P jn (c + j + 1)γP j 1,0 µ j n=1 np jn µ j n=1 n2 P jn + µ j+1 n=1 n2 P j+1,n b c(1) = µ c 1 n=1 np cn µ c n=1 n2 P cn + cµ c 1 n=0 P cn (4.87) (4.88) Οι άγνωστες πιθανότητες είναι P jn για 0 j c, 0 n c, P j για 0 j c και E[L j ] για 0 j c. Ολες μαζί είναι (c 2 + 7c + 6)/2 άγνωστοι. Επιπλέον οι (4.82) και (4.83) εμπεριέχουν στο σύνολο c αγνώστους. Η α j(1)p j + α j (1)G J(1) ((c j + 1)γ)(P j + G j 1(1)) = b j(1), εμπεριέχει και αυτή c αγνώστους. Τέλος, για τις εξισώσεις ισορροπίας για τις οριακές P jn υπάρχουν (c + 1)c/2. Ετσι συνολικά υπάρχουν (c 2 + 7c + 6)/2 άγνωστοι. Εάν το παρόν μοντέλο συγκριθεί με το αντίστοιχο μοντέλο πολλαπλών διακοπων, παρατηρούμε πως αυτό της μονής διακοπής απαιτεί επιπλέον (c + 1)c/2 εξισώσεις για τις P jn πιθανότητες, όπου 1 j c και 0 n j 1.

93 Κεφάλαιο 5 Συστήματα με αργούς διακομιστές και ανυπόμονους πελάτες 5.1 Εισαγωγή Υπάρχουν μοντέλα με ανυπόμονους πελάτες που μελετήθηκαν από πολλούς συγγραφείς κατά το παρελθόν. Η ανυπομονησία των πελατών στις μελέτες αυτές οφειλόταν είτε στην μακράν αναμονή στην ουρά είναι στην μεγάλη διάρκειας αναμονή πελατών που συναντούσε κάποιος πελάτης κατά την άφιξη του. Ωστόσο έχουν μελετηθεί μοντέλα όπου οι πελάτες γίνονται ανυπόμονοι μόνο όταν ο διακομιστής βρίσκεται σε διακοπές και δεν είναι διαθέσιμος για την εξυπηρέτηση πελατών [6], [7]. Τα M/M/1, M/G/1, M/M/c και M/M/ συστήματα μελετώνται και υπολογίζονται τα μέτρα απόδοσης τους. Επιπλέον μελετήθηκε το M/M/c σύστημα εξυπηρέτησης που υφίσταται βλάβες, με αποτέλεσμα την απώλεια όλων των πελατών που βρίσκονται εκείνη τη στιγμή στο σύστημα [21]. Μια διαδικασία επιδιόρθωσης επιτρέπει την άφιξη νέων πελατών οι οποίοι όμως γίνονται ανυπόμονοι εως ότου ο διακομιστής να είναι διαθέσιμος. Επιπλέον έχει μελετηθεί το M/M/1 συστήμα, που χαρακτηρίζεται από ένα περιοδικά διαθέσιμο διακομιστή. Κατά την διάρκεια που ο διακομιστής δεν είναι διαθέσιμος, νέοι πελάτες συνεχίζουν να καταφθάνουν στο σύστημα και ίσως το εγκαταλείψουν. Η κύρια διαφορά των δύο παραπάνω μελετών είναι πως στο σύστημα της πρώτης μελέτης, οι πελάτες μπορούν να εγκαταλείψουν το σύστημα ενω ο διακομιστής είναι ενεργός. Στο παρόν κεφάλαιο, εξετάζεται η περίπτωση όπου η ανυπομονησία των πελατών οφείλεται στον αργό ρυθμό εξυπηρέτησης. Για παράδειγμα, ο διακομιστής μπορεί να απασχολείται 75

94 Κεφάλαιο 5. Συστήματα με αργούς διακομιστές και ανυπόμονους πελάτες 76 με άλλες, υψηλότερης προτεραιότητας εργασίες, αλλά να μην είναι πλήρως διαθέσιμος. Α- ναλυτικότερα, μπορεί να λειτουργεί αλλά με πιο αργό ρυθμό από πριν. Προκειμένου να αναλυθεί το μοντέλο, θεωρούμε τα M/M/1, M/M/c και M/M/ συστήματα εξυπηρέτησης που λειτουργούν σε τυχαίο περιβάλλον και εναλλάσσονται μεταξύ δύο φάσεων. Οι δύο αυτές φάσεις j συμβολίζονται με 0 ή 1 και χαρακτηρίζονται από εκθετικά κατανεμημένους χρόνους με παραμέτρους γ και η, αντίστοιχα. Στην κατάσταση 1, οι αφίξεις των πελατών ακολουθούν την κατανομή Poisson με ρυθμό λ και η εξυπηρέτηση τους είναι εκθετικά κατανεμημένη ρυθμού µ. Εντούτοις, όταν το σύστημα βρίσκεται στη φάση 0, ο ρυθμός αφίξεων αλλάζει και είναι λ 0, όπως και ο ρυθμός εξυπηρέτησης µ 0 ο οποίο μειώνεται και έχει ως α- ποτέλεσμα την ανυπομονησία των πελατών. Κάθε πελάτης, κατά την άφιξη του, ενεργοποιεί ένα ανεξάρτητο, εκθετικά κατανεμημένο, παραμέτρου ξ χρονόμετρο. Εάν το σύστημα δεν μεταβάλει το περιβάλλον λειτουργίας του από 0 σε 1 πριν λήξει το χρονόμετρο του πελάτη, ο πελάτης εγκαταλείπει την ουρά και δεν επιστρέφει ποτέ στο σύστημα. Εάν οι πελάτες είναι ψύχραιμοι και δεν εγκαταλείψουν το σύστημα, τότε ο διακομιστής γίνεται πιο αργός. Αρχικά γίνεται μελέτη του M/M/1 συστήματος. Καθορίζονται οι εξισώσεις ισορροπίας τους συστήματος αυτού, επιλύεται η διαφορική εξίσωση G 0 (z) και προσδιορίζεται η γεννήτρια συνάρτηση πιθανότητας του μεγέθους της ουράς όταν ο διακομιστής είναι αργός. Η G 0 (z) είναι συνάρτηση των P 00 και P 10. Ο υπολογισμός αυτών των πιθανοτήτων ολοκληρώνει τον προσδιορισμό της G 0 (z). Στη συνέχεια υπολογίζεται ο μέσος αριθμός πελατών στο σύτημα για τις δύο φάσεις, αλλά και ο συνολίκος μέσος αριθμός πελατών σε αυτό. Ακολουθεί η μελέτη του M/M/c συστήματος για πεπερασμένο αριθμό διακομιστών και M/M/ για άπειρο πλήθος αυτών. Σκοπός είναι ο υπολογισμός των βασικών μέτρων απόδοσης [20]. 5.2 Σύστημα ενός διακομιστή M/M/ Το μοντέλο Θεωρούμε ένα M/M/1 σύστημα σε τυχαίο περιβάλλον 2 φάσεων, όπου η υποκείμενη διαδικασία αποτελεί μια διδιάστατη, συνεχή, Μαρκοβιανή αλύσίδα. Υποθέτουμε πως η διαδικασία αυτή είναι ανεξάρτητη των αφίξεων, της εξυπηρέτησης και της ανυπομονησίας των πελατών, και το σύστημα μελετάται σε κατάσταση ισορροπίας. Συμβολίζουμε N τον συνολικό αριθμό πελατών που βρίσκονται στο σύστημα και J την κατάσταση στην οποία βρίσκεται ο διακομιστής, (0, 1). Το ζεύγος (J, N) ορίζει μια συνεχή Μαρκοβιανή διαδικασία με διάγραμμα μεταβάσεων όπως φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα

95 Κεφάλαιο 5. Συστήματα με αργούς διακομιστές και ανυπόμονους πελάτες Εξισώσεις ισορροπίας και γεννήτριες συναρτήσεις Ορίζουμε P jn = P (J = j, N = n), (j = 0, 1, n = 0, 1, 2,...) τη πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες στο σύστημα ενώ αυτό βρίσκεται στη φάση j. Επιπλέον ορίζουμε τις εξισώσεις ισορροπίας ως J = 0 { (λ0 + γ)p 00 = ηp 10 + (µ 0 + ξ)p 01, n = 0 (λ 0 + γ + µ 0 + nξ)p 0n = λ 0 P 0,n 1 + ηp 0,n + (µ 0 + (n + 1)ξ)P 0,n+1, n 1 (5.1) J = 1 { (λ + η)p10 = γp 00 + µp 11, n = 0 (λ + µ + η)p 1n = λp 1,n 1 + µp 1,n+1 + γp 0,n, n 1 (5.2) Επίσης για τις δύο πιθανές καταστάσεις (J = 0, 1), ορίζονται οι P J = P jn = P (J = j) n=0 Η P J εκφράζει την πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση J. Αθροίζοντας τις εξισώσεις της (5.2) για όλα τα n λαμβάνεται η σχέση (λ + η)p 1 + µ(p 1 P 10 ) = λp 1 + µ(p 1 P 10 ) + γp 0 από την οποία συνεπάγεται : ηp 1 = γp 0 Αφού ισχύει η σχέση P 0 + P 1 = 1, αντικαθιστώντας κατάλληλα, οδηγούμαστε στις σχέσεις υπολογισμού των P 0 και P 1 : P 0 = η γ+η P 1 = γ γ+η (5.3)