DEPARTMENT OF STATISTICS

Transcript

1 SCHOOL OF INFORMATION SCIENCES & TECHNOLOGY DEPARTMENT OF STATISTICS POSTGRADUATE PROGRAM Elements of Markovian Processes and Queueing Processes with Numerical Applications By Erold Ajdini A THESIS Submitted to the Department of Statistics of the Athens University of Economics and Business in partial fulfilment of the requirements for the degree of Master of Science in Statistics Athens, Greece February 2016

2

3 ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ Στοιχεία Μαρκοβιανών Αλυσίδων και Θεωρίας Ουρών με Αριθμητικές Εφαρμογές Erold Ajdini ΔΙΑΤΡΙΒΗ Που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στη Στατιστική Αθήνα Φεβρουάριος 2016

4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Αρχικά, θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον επιβλέποντα Καθηγητή μου κ. Επαμεινώνδα Κυριακίδη, Καθηγητή του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών. Τον ευχαριστώ ιδιαίτερα για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε με την ανάθεση του συγκεκριμένου θέματος, για την πολύτιμη βοήθεια του, τις συμβουλές του καθώς και για την καθοδήγηση του καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής μου εργασίας. Στη συνέχεια θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους φίλους μου για την κατανόηση και στήριξη τους καθώς επίσης και όλους τους ανθρώπους που στάθηκαν δίπλα μου όλο αυτό το διάστημα. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου και τον αδερφό μου για τη συνεχή στήριξη και συμπαράσταση που μου παρείχαν σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. i

6 ii

7 ABSTRACT Erold Ajdini Markov Chains and Queueing Theory with Applications February 2016 The subject of the thesis is Queueing Theory, i.e. the mathematical study of queues. Firstly, we introduce the basic theory of Stochastic Processes and Markov Chains, which will be useful to study the Queueing Theory. We present the standard terminology and notation of queueing systems. We focus on models that assume Poisson arrival process and exponential service time distribution. The order in which members of the queue are selected for service is either in order of arrival or according to some priority procedure. Finally, numerical applications have been implemented using the statistical package R. iii

8 iv

9 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Erold Ajdini Αλυσίδες Μαρκόβ και Θεωρία Ουρών με Εφαρμογές Φεβρουάριος 2016 Το θέμα της διπλωματικής εργασίας είναι η Θεωρίας Ουρών (ή Αναμονής), δηλαδή η μελέτη των φαινομένων ουράς μέσα από μαθηματικά μοντέλα. Αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στις Στοχαστικές Διαδικασίες και τις Αλυσίδες Μαρκόβ οι οποίες θεωρούνται απαραίτητες για την κατανόηση και αποτελούν τη βάση για την ανάπτυξη της Θεωρίας Ουρών. Στη συνέχεια παρουσιάζονται βασικές έννοιες και συμβολισμοί σε συστήματα αναμονής. Τα μοντέλα στα οποία έχουμε επικεντρωθεί υποθέτουν ότι οι αφίξεις στο σύστημα γίνονται με βάση τη διαδικασία Poisson και ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν την Εκθετική κατανομή. Η εξυπηρέτηση των πελατών στο σύστημα γίνεται είτε σύμφωνα με τη σειρά άφιξης είτε σύμφωνα με κάποια προτεραιότητα. Τέλος, γίνονται αριθμητικές εφαρμογές για τα περισσότερα κομμάτια της θεωρίας όπου οι υπολογισμοί των αποτελεσμάτων έχουν γίνει στο στατιστικό πακέτο R γράφοντας τους απαραίτητους κώδικες κάθε φορά. v

10 vi

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΛΙΣΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΛΙΣΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ xi xiii 1. Εισαγωγή 1 2. Αλυσίδες Μαρκόβ σε Διακριτό Χρόνο Στοχαστική Διαδικασία Αλυσίδες Μαρκόβ Πιθανότητες Μετάβασης Εξισώσεις Chapman - Kolmogorov Μη Δεσμευμένη Πιθανότητα Ταξινόμηση Αλυσίδων Μαρκόβ Επαναληπτικές και Μεταβατικές Καταστάσεις Περιοδικότητα Μακροχρόνιες Ιδιότητες της Αλυσίδας Μαρκόβ Στάσιμη Κατανομή Αναμενόμενο Μέσο Κόστος ανά μονάδα Χρόνου Αναμενόμενο Μέσο Κόστος ανά μονάδα Χρόνου για Σύνθετες Συναρτήσεις Χρόνος Πρώτης Επίσκεψης σε μία Κατάσταση Απορροφητικές Καταστάσεις Αλυσίδες Μαρκόβ σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Μαρκόβ συνεχούς χρόνου Εξισώσεις Chapman - Kolmogorov Επικοινωνία Καταστάσεων Κάποιες Ειδικές Τυχαίες Μεταβλητές Ρυθμοί Μετάβασης vii

12 3.5 Στάσιμες Πιθανότητες Εφαρμογές στις Αλυσίδες Μαρκόβ Εφαρμογή Εφαρμογή Εφαρμογή Στοιχεία Θεωρίας Ουρών Η Βασική Διαδικασία Ουράς Συμβολισμός του Kendall Συμβολισμός και Μέτρα Απόδοσης Μεταβατική και Στάσιμη Κατάσταση Τύπος του Little Μοντέλα Ουρών Στατιστικές Κατανομές σε Συστήματα Αναμονής Εκθετική Κατανομή Ιδιότητες της Εκθετικής Κατανομής Διαδικασία Γεννήσεων - Θανάτων Μοντέλο Ουράς Μ/Μ/ Στάσιμες Πιθανότητες Κατανομές Χρόνων Αναμονής Κατανομή Χρόνου Αναμονής στο Σύστημα Κατανομή Χρόνου Αναμονής στην Ουρά Δεσμευμένη Κατανομή Χρόνου Αναμονής στην Ουρά Μέτρα Απόδοσης Συστήματος Μοντέλο Ουράς Μ/Μ/s Στάσιμες Πιθανότητες Κατανομές Χρόνων Αναμονής Κατανομή Χρόνου Αναμονής στο Σύστημα viii

13 Κατανομή Χρόνου Αναμονής στην Ουρά Μέτρα Απόδοσης Συστήματος Μοντέλο Ουράς με Πεπερασμένο Μήκος Μοντέλο Ουράς Μ/Μ/1/K Στάσιμες Πιθανότητες Κατανομή Χρόνου Αναμονής Μέτρα Απόδοσης Συστήματος Μοντέλο Ουράς Μ/Μ/s/K Στάσιμες Πιθανότητες Κατανομή Χρόνου Αναμονής Μέτρα Απόδοσης Συστήματος Μοντέλο Ουράς με Πεπερασμένο Μέγεθος Πληθυσμού Μοντέλο Ουράς Μ/Μ/1/ /N Στάσιμες Πιθανότητες Μέτρα Απόδοσης Συστήματος Μοντέλο Ουράς Μ/Μ/s/ /N Στάσιμες Πιθανότητες Μέτρα Απόδοσης Συστήματος Μοντέλα Ουράς με Προτεραιότητες Μοντέλο χωρίς Διακοπή Εξυπηρέτησης Αποτελέσματα για το Μοντέλο Μία Ειδική Περίπτωση του Μοντέλου Μοντέλο με Διακοπή Εξυπηρέτησης Αποτελέσματα για το Μοντέλο ix

14 7. Εφαρμογές στα Μοντέλα Ουρών Εφαρμογή Εφαρμογή Εφαρμογή Εφαρμογή Συμπεράσματα 85 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 87 Βιβλιογραφία 101 x

15 ΛΙΣΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 2.1 Ταξινόμηση Αλυσίδων Μαρκόβ Πιθανότητες μετάβασης Πιθανότητες μετάβασης 2 βημάτων Πιθανότητες μετάβασης 3 βημάτων Πιθανότητες μετάβασης 4 βημάτων Κατανομή πιθανότητας του χρόνου πρώτης επίσκεψης Κατανομή πιθανότητας του χρόνου πρώτης επίσκεψης Κατανομή πιθανότητας του χρόνου πρώτης επίσκεψης Κατανομή πιθανότητας του χρόνου πρώτης επίσκεψης Αναμενόμενος χρόνος επιστροφής για κάθε κατάσταση Αναμενόμενος χρόνος πρώτης επίσκεψης Πιθανότητες μετάβασης Σύμβολα περιγραφής ενός συστήματος Βασικός συμβολισμός Συμβολισμός σε στάσιμη κατάσταση Εξισώσεις ισορροπίας για τη διαδικασία Γεννήσεων - Θανάτων Μέτρα απόδοσης για την τράπεζα Στάσιμες πιθανότητες για την τράπεζα Πιθανότητες χρόνων αναμονής στην τράπεζα Μέτρα απόδοσης για το τηλεφωνικό κέντρο Στάσιμες πιθανότητες για το τηλεφωνικό κέντρο Πιθανότητες χρόνων αναμονής για το τηλεφωνικό κέντρο Μέτρα απόδοσης για το σύστημα Στάσιμες πιθανότητες συστήματος Αποτελέσματα γα τα μοντέλα προτεραιοτήτων xi

16 xii

17 ΛΙΣΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Διάγραμμα πιθανοτήτων μετάβασης Η Βασική διαδικασία ουράς Συνάρτηση πυκνότητας Εκθετικής κατανομής για Κατανομή πιθανότητας Poisson με παράμετρο Διάγραμμα ρυθμών διαδικασίας γεννήσεων-θανάτων Διάγραμμα ρυθμών για το μοντέλο Διάγραμμα ρυθμών για το μοντέλο Διάγραμμα ρυθμών για το μοντέλο Διάγραμμα ρυθμών για το μοντέλο Στάσιμες πιθανότητες για την τράπεζα, Στάσιμες πιθανότητες για την τράπεζα, Στάσιμες πιθανότητες για την τράπεζα, Στάσιμες πιθανότητες για την τράπεζα, Στάσιμες πιθανότητες για το τηλεφωνικό κέντρο, Στάσιμες πιθανότητες για το τηλεφωνικό κέντρο, Στάσιμες πιθανότητες για το τηλεφωνικό κέντρο, Στάσιμες πιθανότητες συστήματος, Στάσιμες πιθανότητες συστήματος, xiii

18 xiv

19 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Οι ουρές είναι από το πιο συνηθισμένα φαινόμενα της καθημερινής ζωής, οι οποίες δημιουργούνται όταν η ζήτηση είναι μεγαλύτερη από τη δυνατότητα εξυπηρέτησης ενός συστήματος. Τέτοιες καταστάσεις για παράδειγμα είναι, όταν περιμένουμε στις στάσεις των λεωφορείων, όταν περιμένουμε να αγοράσουμε ένα εισιτήριο στο σινεμά, όταν περιμένουμε στην τράπεζα για να κάνουμε κάποια συναλλαγή, όταν περιμένουμε στο ταχυδρομείο, όταν περιμένουμε στα διόδια κλπ. Τέλος όλοι μας έχουμε ακούσει όλες οι γραμμές είναι κατειλημμένες, είστε σε γραμμή προτεραιότητας, παρακαλώ περιμένετε που σημαίνει πως ότι οι κλήσεις που φθάνουν στο τηλεφωνικό κέντρο σχηματίζουν μια ουρά και περιμένουν, αφού δεν μπορούν να εξυπηρετηθούν αμέσως. Η Θεωρία Ουρών (ή Αναμονής) ασχολείται με τη μελέτη και περιγραφή της συμπεριφοράς τέτοιου είδους καταστάσεων προσδιορίζοντας διάφορα χαρακτηριστικά μεγέθη και βρίσκοντας βέλτιστη λύση μέσα από ένα μεγάλο αριθμό από μαθηματικά μοντέλα. Ο λόγος που αναφέραμε το παράδειγμα με το τηλεφωνικό κέντρο μόνο τυχαίος δεν ήταν, αφού ο Δανός μαθηματικός και στατιστικός A.K. Erlang υπήρξε ο πρώτος ερευνητής της Θεωρία Ουρών με την εργασία του The theory of probabilities and telephone conversations το Ο Erlang καθώς επίσης και οι μαθηματικοί F. Pollaczek και A.Y. Khintchine θεωρούνται οι πρωτεργάτες της Θεωρίας Ουρών. Τέλος, να αναφέρουμε πως η Θεωρία των Στοχαστικών Αλυσίδων αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη της Θεωρίας Ουρών. 1

20 2

21 Κεφάλαιο 2 Αλυσίδες Μαρκόβ σε Διακριτό Χρόνο Η αλυσίδα Μαρκόβ πήρε το όνομα της από το γνωστό Ρώσο μαθηματικό Andrei Markov. Η αλυσίδα αυτή είναι ένα μαθηματικό σύστημα που μεταβάλλεται με το χρόνο τυχαία από μια κατάσταση σε μια άλλη, ανάμεσα σε ένα χώρο καταστάσεων. Ο χρόνος μπορεί να είναι είτε συνεχείς είτε διακριτός. Η επόμενη κατάσταση εξαρτάται μόνο από την τωρινή κατάσταση και καθόλου από τις καταστάσεις στο παρελθόν. Στη συνέχεια του κεφαλαίου θα δούμε τη βασική θεωρία των αλυσίδων σε διακριτό χρόνο και πεπερασμένο χώρο καταστάσεων. 2.1 Στοχαστική Διαδικασία Ως στοχαστική διαδικασία ορίζουμε μια συλλογή από τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή για κάθε του συνόλου η είναι μια τυχαία μεταβλητή. Το σύνολο ονομάζεται παραμετρικός χώρος (index set) της διαδικασίας και συνήθως παριστά το χρόνο. Η τυχαία μεταβλητή παριστά ένα χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει στο χρόνο t και παίρνει τιμές σε ένα σύνολο το οποίο ονομάζεται χώρος καταστάσεων (state space) της διαδικασίας. Διακρίνουμε τις στοχαστικές διαδικασίες με βάση τον παραμετρικό χώρο σε δύο κατηγορίες: - Αν τότε θα ονομάζουμε τη στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου. - Αν τότε θα ονομάζουμε τη στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου. Επίσης μπορούμε να διακρίνουμε τις στοχαστικές διαδικασίες με βάση το χώρο καταστάσεων και πάλι σε δύο κατηγορίες : - Αν τότε θα ονομάζουμε τη στοχαστική διαδικασία διακριτού χώρου καταστάσεων. - Αν τότε θα ονομάζουμε τη στοχαστική διαδικασία συνεχούς χώρου καταστάσεων. 3

22 2.2 Αλυσίδες Μαρκόβ Μια στοχαστική διαδικασία θα έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα έαν : για και κάθε (ακολουθία). Με άλλα λόγια η Μαρκοβιανή ιδιότητα μας λέει ότι το μέλλον είναι ανεξάρτητο από το παρελθόν δοθέντος του παρόντος. Μια στοχαστική διαδικασία Μαρκοβιανή ιδιότητα. θα ονομάζεται αλυσίδα Μαρκόβ εάν έχει την Μια στοχαστική διαδικασία που έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα μπορεί να ταξινομηθεί με βάση τον παραμετρικό χώρο και το χώρο καταστάσεων ως εξής : Χώρος καταστάσεων Παραμετρικός χώρος Διακριτός Συνεχής Διακριτός Αλυσίδα σε διακριτό Στοχαστική ανέλιξη σε χρόνο. διακριτό χρόνο. Συνεχής Αλυσίδα σε συνεχή Στοχαστική ανέλιξη σε χρόνο. συνεχή χρόνο. Πίνακας 2.1 : Ταξινόμηση Αλυσίδων Μαρκόβ Πιθανότητες Μετάβασης Οι δεσμευμένες πιθανότητες για μια αλυσίδα Μαρκόβ θα ονομάζονται πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος. Εάν επιπλέον ισχύει για κάθε και :, για όλα τα δηλαδή οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος είναι ανεξάρτητες του χρόνου τότε οι πιθανότητες μετάβασης θα λέμε ότι είναι στάσιμες και θα συμβολίζονται με. Τα θα μας δίνουν την πιθανότητα δοθέντος ότι βρισκόμαστε στην κατάσταση στο επόμενο βήμα βρεθούμε στην κατάσταση. Οι πιθανότητες, 4

23 ονομάζονται πιθανότητες μετάβασης βημάτων και συμβολίζονται με, δηλαδή μας δίνουν την πιθανότητα να βρεθούμε στην κατάσταση μετά από βήματα δεδομένου ότι η διαδικασία ξεκίνησε από την κατάσταση. Επειδή τα είναι δεσμευμένες πιθανότητες θα πρέπει να ικανοποιούν τις παρακάτω ιδιότητες : - για όλα τα και, - για όλα τα, Οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος και οι πιθανότητες μετάβασης βημάτων αποτελούν στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα. Εάν υποθέσουμε ότι ο χώρος καταστάσεων είναι δηλαδή αποτελείται από καταστάσεις, τότε έχουμε : Εξισώσεις Chapman-Kolmogorov Στην προηγούμενη ενότητας ορίσαμε την πιθανότητα η διαδικασία να βρίσκεται στην κατάσταση μετά από βήματα δοθέντος ότι η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση με. Οι εξισώσεις Chapman-Kolmogorov είναι μια μέθοδος υπολογισμού των πιθανοτήτων μετάβασης βημάτων : Με άλλα λόγια το είναι η δεσμεύμενη πιθανότητα δοθέντος ότι η διαδικασία ξεκίνησε από την κατάσταση να μεταβεί στην κατάσταση μετά από βήματα και στη συνέχεια να μεταβεί από την κατάσταση στην κατάσταση μετά από βήματα. Αθροίζοντας όλες αυτές τις πιθανότητες για όλα τα παίρνουμε τις πιθανότητες. 5

24 Οι εξισώσεις Chapman-Kolmogorov μπορούν να γραφούν και με τη μορφή πινάκων ως : Και αν θέσουμε όπου έχουμε : Αυτό σημαίνει ότι οι πιθανότητες βρίσκονται από το στοιχείο του πίνακα με τις πιθανότητες μετάβασης υψωμένες στη - οστή δύναμη Μη Δεσμευμένη Πιθανότητα Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τη μη δεσμευμένη πιθανότητα να βρισκόμαστε κάποια χρονική στιγμή σε μια συγκεκριμένη κατάσταση, τότε : Όπου είναι η πιθανότητα να βρισκόμαστε στην κατάσταση τη στιγμή που ξεκινάει η διαδικασία. Να αναφέρουμε πως υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε την αρχική κατανομή πιθανότητας για όλα τα Ταξινόμηση Αλυσίδων Μαρκόβ Για να καταλάβουμε καλύτερα τη συμπεριφορά μιας αλυσίδας Μαρκόβ, θα πρέπει να ορίσουμε κάποιες έννοιες για τη σχέση μεταξύ των καταστάσεων, δηλαδή πως δύο καταστάσεις σχετίζονται η μια με την άλλη καθώς και το πόσο συχνά μπορούμε να βρεθούμε σε μια κατάσταση. Μια κατάσταση θα λέμε ότι είναι προσιτή (accessible) από την κατάσταση εάν υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει, αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να πάμε κάποια στιγμή από την κατάσταση στην κατάσταση και το συμβολίζουμε με. Εάν μια κατάσταση είναι προσιτή από μια κατάσταση και επιπλέον η κατάσταση είναι προσιτή από την κατάσταση τότε θα λέμε ότι οι καταστάσεις επικοινωνούν (communicate) μεταξύ τους και το συμβολίζουμε με. 6

25 Γενικά ισχύουν οι τρεις παρακάτω ιδιότητες : - Κάθε κατάσταση επικοινωνεί με τον εαυτό της. - Εάν η επικοινωνεί με την, τότε και η επικοινωνεί με την. - Εάν η επικοινωνεί με την και η επικοινωνεί με την τότε η επικοινωνεί και αυτή με την. Η σχέση της επικοινωνίας είναι μια σχέση ισοδυναμίας, έτσι λοιπόν μπορούμε να χωρίσουμε τις καταστάσεις της αλυσίδας Μαρκόβ σε κλάσεις ισοδυναμίας όπου όλες οι καταστάσεις που ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας επικοινωνούν μεταξύ τους. Αν σε μια αλυσίδα Μαρκόβ υπάρχει μόνο μια κλάση ισοδυναμίας τότε θα ονομάζουμε την αλυσίδα αυτή αδιαχώριστη (irreducible) Επαναληπτικές και Μεταβατικές Καταστάσεις Γενικά, μια κατάσταση θα ονομάζεται επαναληπτική (recurrent), εάν δοθέντος ότι κάποια στιγμή η διαδικασία βρισκόταν στην κατάσταση τότε θα επιστρέψει σίγουρα σε αυτή. Επίσης μια κατάσταση θα ονομάζεται μεταβατική (transient), εάν δοθέντος ότι η διαδικασία βρισκόταν κάποια στιγμή στην κατάσταση μπορεί και να μην επιστρέψει ποτέ σε αυτή. Εάν ορίσουμε με την πιθανότητα η διαδικασία να επιστρέψει κάποτε στην κατάσταση δοθέντος ότι βρισκόταν στην κατάσταση. Οπότε για κάθε κατάσταση, Η κατάσταση θα ονομάζεται επαναληπτική εάν και η κατάσταση θα ονομάζεται μεταβατική εάν Περιοδικότητα Άλλη μια χρήσιμη ιδιότητα των αλυσίδων Μαρκόβ είναι η περιοδικότητα. Η περίοδος για μια κατάσταση ορίζεται ως ένας ακέραιος αριθμός με την ιδιότητα ότι μπορεί η διαδικασία να επιστρέψει στην κατάσταση σε βήματα και ο είναι ο μεγαλύτερος με την ιδιότητα αυτή. Αυτό σημαίνει ότι για όλες τις τιμές του που είναι διάφορες των 7

26 Εάν υπάρχουν δυο διαδοχικοί αριθμοί και τέτοιοι ώστε η διαδικασία να μπορεί να επιστρέψει στην κατάσταση στους χρόνους και τότε η αλυσίδα έχει περίοδο 1 και θα ονομάζεται απεριοδική (aperiodic). Σε μια αλυσίδα Μαρκόβ με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων, οι επαναληπτικές καταστάσεις οι οποίες είναι και απεριοδικές ονομάζονται εργοδικές (ergodic) και μια αλυσίδα Μαρκόβ θα ονομάζεται εργοδική εάν όλες οι καταστάσεις της είναι εργοδικές. 2.3 Μακροχρόνιες ιδιότητες της αλυσίδας Μαρκόβ Στάσιμη κατανομή Στην συνέχεια θα δούμε τη συμπεριφορά μιας αλυσίδας Μαρκόβ με πεπερασμένο χώρο καταστάσεων μετά από ένα μεγάλο χρονικό διάστημα. Με άλλα λόγια θα θέλαμε να δούμε το ποσοστό του χρόνου όπου η αλυσίδα βρίσκεται σε κάθε κατάσταση. Για μια αδιαχώριστη και εργοδική αλυσίδα Μαρκόβ το όριο υπάρχει και είναι ανεξάρτητο από το. Οπότε, Όπου τα ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις : -, για -, για - Το ονομάζεται στάσιμη πιθανότητα της αλυσίδας Μαρκόβ και δηλώνει την πιθανότητα να βρεθεί η διαδικασία σε μια κατάσταση μετά από έναν πολύ μεγάλο αριθμό μεταβάσεων καθώς και είναι ανεξάρτητη από την αρχική κατανομή πιθανότητας. Επίσης θα πρέπει να αναφέρουμε πως οι πιθανότητες στάσιμης κατάστασης δεν ερμηνεύονται ως πιθανότητες να εγκατασταθούμε σε μια κατάσταση μόνιμα, αντίθετα η διαδικασία συνεχίζει να μεταβαίνει από μια κατάσταση σε μια άλλη κατάσταση με πιθανότητες. Εάν δύο επαναληπτικές καταστάσεις και ανήκουν σε διαφορετικές κλάσεις τότε, για 8

27 Ομοίως εάν μια κατάσταση είναι μεταβατική τότε, για όλα τα Αναμενόμενο Μέσο Κόστος ανά μονάδα Χρόνου Για μια αδιαχώριστη αλυσίδα Μαρκόβ με πεπερασμένο χώρο καταστάσεων ισχύει ότι : Θεωρούμε πως έχουμε μια συνάρτηση κόστους, η οποία υπάρχει για κάθε κατάσταση της διαδικασίας στο χρόνο Η είναι μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές και είναι ανεξάρτητη από το χρόνο. Τότε το αναμενόμενο μέσο κόστος για τις πρώτες περιόδους δίνεται από : Το αναμενόμενο μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου, χρησιμοποιώντας και το αποτέλεσμα, δίνεται από : Αναμενόμενο Μέσο Κόστος ανά μονάδα Χρόνου για Σύνθετες Συναρτήσεις Προηγουμένως είδαμε πως η συνάρτηση κόστους βασίζεται μόνο στην κατάσταση της διαδικασίας στο χρόνο. Στην πραγματικότητα σε πολλά προβλήματα η συνάρτηση κόστους μπορεί να έχει μια πιο σύνθετη μορφή και να βασίζεται σε παραπάνω από μια τυχαίες μεταβλητές. Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση κόστους αυτή τη φορά εξαρτάται από την κατάσταση της διαδικασίας στο χρόνο αλλά και από μια νέα τυχαία μεταβλητή, δηλαδή η συνάρτηση κόστους τώρα είναι της μορφής. 9

28 Τότε το αναμενόμενο μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου είναι : όπου Η αναμενόμενη τιμή λαμβάνεται σε σχέση με την κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής. Οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες και έχουν την ίδια κατανομή. Η ακολουθία πρέπει να σχετίζεται με την αλυσίδα Μαρκόβ. Επίσης η ακολουθία πρέπει να είναι ανεξάρτητη του. 2.4 Χρόνος Πρώτης Επίσκεψης σε μία Κατάσταση Ο χρόνος πρώτης επίσκεψης σε μια κατάσταση, είναι ο αριθμός των μεταβάσεων που χρειάζεται η διαδικασία για να πάει από την κατάσταση στην κατάσταση. Όταν το ο χρόνος αυτός ονομάζεται χρόνος επιστροφής για την κατάσταση. Ο χρόνος πρώτης επίσκεψης γενικά είναι μια τυχαία μεταβλητή, όπου οι κατανομές πιθανότητας εξαρτώνται από τις πιθανότητες μετάβασης της διαδικασίας. Ορίζουμε με την πιθανότητα ο χρόνος πρώτης επίσκεψης από την κατάσταση στην κατάσταση να είναι : Αυτές οι πιθανότητες ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις : Επιπλέον ισχύει ότι :. 10

29 Όταν το άθροισμα είναι αυστηρά μικρότερο του αυτό σημαίνει πως δοθέντος η διαδικασία ξεκινάει από την κατάσταση μπορεί να μην επισκεφτεί ποτέ την κατάσταση, ενώ όταν το άθροισμα είναι ίσο με τότε το μπορεί να θεωρηθεί ως η κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής του χρόνου πρώτης επίσκεψης. Από το χρόνο πρώτης επίσκεψης προκύπτει και ο αναμενόμενος χρόνος πρώτης επίσκεψης. Ο αναμενόμενος χρόνος πρώτης επίσκεψης από την κατάσταση στην κατάσταση είναι : Επιπλέον αν ισχύει τότε τα ικανοποιούν την παρακάτω σχέση : Στην ειδική περίπτωση όπου, τότε το ονομάζεται αναμενόμενος χρόνος επιστροφής στην κατάσταση. Έχοντας υπολογίσει κανείς τις στάσιμες πιθανότητες αλυσίδας Μαρκόβ, τότε ο αναμενόμενος χρόνος επιστροφής υπολογίζεται ως : της 2.5 Απορροφητικές Καταστάσεις Μια κατάσταση θα ονομάζεται απορροφητική εάν, δηλαδή αν η διαδικασία μεταβεί στην κατάσταση τότε δεν θα μπορεί να φύγει ποτέ από αυτή. Ενδιαφέρον στην ενότητα αυτή έχει να υπολογίσει κανείς τις πιθανότητες απορρόφησης σε μια απορροφητική κατάσταση δοθέντος ότι ξεκινάει από μια κατάσταση. Οι πιθανότητες αυτές συμβολίζονται με και υπολογίζονται από το σύστημα εξισώσεων : για 11

30 Με περιορισμούς : εάν η κατάσταση είναι επαναληπτική με 12

31 Κεφάλαιο 3 Αλυσίδες Μαρκόβ σε Συνεχή Χρόνο Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε τις αλυσίδες Μαρκόβ, όπου ο χρόνος ήταν διακριτός. Σε πολλά προβλήματα αυτή η υπόθεση είναι κατάλληλη, όμως σε άλλες περιπτώσεις (όπως στη Θεωρία Ουρών) ο χρόνος είναι συνεχής. 3.1 Αλυσίδες Μαρκόβ συνεχούς χρόνου Η ανάλυση των αλυσίδων Μαρκόβ σε συνεχή χρόνο θα γίνει όπως και προηγουμένως, σε πεπερασμένο χώρο καταστάσεων, όπου θα υπάρχουν δυνατές καταστάσεις καθώς και στάσιμες πιθανότητες μετάβασης. Η τυχαία μεταβλητή θα αναπαριστά την κατάσταση της διαδικασίας στο χρόνο. Η θα παίρνει μια από τις δυνατές τιμές σε κάποιο διάστημα, έπειτα θα μεταβαίνει σε κάποια άλλη κατάσταση στο διάστημα και ούτω καθεξής, όπου τα σημεία είναι τυχαία σημεία στο χρόνο (όχι απαραίτητα ακέραιοι). Ορίζουμε τα εξής τρία σημεία : - είναι το παρελθόν. - είναι το παρόν. - είναι χρονικές μονάδες μπροστά στο μέλλον. Μια στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου θα έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα εάν : Τα πιθανότητες μετάβασης είναι ανεξάρτητες από το, δηλαδή: ονομάζονται πιθανότητες μετάβασης. Εάν επιπλέον οι 13

32 τότε θα ονομάζονται στάσιμες πιθανότητες μετάβασης. Οι στάσιμες πιθανότητες μετάβασης θα συμβολίζονται ως εξής : Μια στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου Μαρκόβ σε συνεχή χρόνο εάν έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα. θα ονομάζεται αλυσίδα 3.2 Εξισώσεις Chapman-Kolmogorov Όπως και στις αλυσίδες Μαρκόβ σε διακριτό χρόνο οι πιθανότητες μετάβασης ικανοποιούν τις εξισώσεις Chapman-Kolmogorov έτσι και η συνάρτηση πιθανοτήτων μετάβασης συνεχούς χρόνου ικανοποιεί τις εξισώσεις αυτές, δηλαδή για οποιεσδήποτε καταστάσεις και και για μη αρνητικούς αριθμούς και με ισχύει ότι: 3.3 Επικοινωνία Καταστάσεων Δύο καταστάσεις και θα λέμε ότι επικοινωνούν εάν υπάρχουν και τέτοια ώστε και. Όλες οι καταστάσεις που επικοινωνούν λέμε ότι δημιουργούν μια κλάση. Αν όλες οι καταστάσεις σχηματίζουν μια και μοναδική κλάση, δηλαδή έχουμε μια αδιαχώριστη αλυσίδα Μαρκόβ, τότε : για όλα τα 3.4 Κάποιες ειδικές τυχαίες μεταβλητές Η τυχαία μεταβλητή θα αναπαριστά το χρόνο που μένει η διαδικασία στην κατάσταση προτού μεταβεί σε κάποια άλλη κατάσταση. Ας υποθέσουμε ότι η διαδικασία επισκέπτεται την κατάσταση κάποια χρονική στιγμή και μένει εκεί για χρόνο. Ποιά είναι η πιθανότητα η διαδικασία να μην φύγει από την κατάσταση για ακόμα χρόνο ; Από την στιγμή που η διαδικασία είναι στην κατάσταση στο χρόνο, αυτό σημαίνει από την Μαρκοβιανή ιδιότητα ότι η πιθανότητα να παραμείνει 14

33 στην κατάσταση αυτή στο διάστημα, είναι η μη δεσμευμένη πιθανότητα να παραμείνει στην κατάσταση για τουλάχιστον χρόνο. Οπότε έχουμε ότι : Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως έλλειψη μνήμης, με άλλα λόγια αυτό σημαίνει ότι η διαδικασία ξεχνάει την ιστορία της. Η μόνη τυχαία μεταβλητή που έχει την ιδιότητα αυτή είναι η εκθετική κατανομή με παράμετρο και μέση τιμή. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της είναι : Το αποτέλεσμα αυτό μας δίνει έναν άλλο ισοδύναμο τρόπο να ορίσουμε μια αλυσίδα Μαρκόβ σε συνεχή χρόνο : - Η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή - Όταν η διαδικασία φεύγει από την κατάσταση και μεταβαίνει στην κατάσταση με πιθανότητα, όπου η πιθανότητα αυτή ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: ό ό Ρυθμοί Μετάβασης Ο ρυθμός μετάβασης σε μια αλυσίδα Μαρκόβ σε συνεχή χρόνο παίζει ανάλογο ρόλο όπως οι πιθανότητες μετάβασης σε μια αλυσίδα Μαρκόβ σε διακριτό χρόνο. Έτσι οι ρυθμοί μεταβάσεις είναι : - -. Επίσης ισχύει ότι : Όπου, 15

34 είναι ο ρυθμός μετάβασης της διαδικασίας έξω από την κατάσταση. είναι ο ρυθμός μετάβασης της διαδικασίας από την κατάσταση στην κατάσταση 3.5 Στάσιμες Πιθανότητες Το όριο πάντα υπάρχει και είναι ανεξάρτητο από την αρχική κατάσταση της αλυσίδας για. Τα θα ονομάζονται στάσιμες πιθανότητες μιας αλυσίδας Μαρκόβ. Τα ικανοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις : Η δεύτερη σχέση είναι γνωστή και ως εξισώσεις ισορροπίας. Το αριστερό μέλος της είναι ο ρυθμός με τον οποίο η διαδικασία φεύγει από την κατάσταση και το δεξί μέλος είναι ο ρυθμός με τον οποίο η διαδικασία εισέρχεται στην κατάσταση από την κατάσταση. Αυτή η σχέση μας λέει με άλλα λόγια ότι ο ρυθμός με τον οποίο η διαδικασία φεύγει από την κατάσταση πρέπει να είναι ίσος με το ρυθμό που η διαδικασία επισκέπτεται την κατάσταση. 16

35 Κεφάλαιο 4 Εφαρμογές στις Αλυσίδες Μαρκόβ Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε με εφαρμογές στη Θεωρία των αλυσίδων Μαρκόβ σε διακριτό και συνεχή χρόνο. Τα παραδείγματα τα οποία παραθέτουμε είναι από το βιβλίο Introduction to Operations Research των F.S. Hillier & G.J. Lieberman, έχοντας αλλάξει τα αριθμητικά δεδομένα καθώς επίσης και τις υποθέσεις. Επίσης να αναφέρουμε πως οι υπολογισμοί των αποτελεσμάτων έχουν γίνει με τη χρήση του πακέτου R. 4.1 Εφαρμογή 1 Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα κατάστημα το οποίο πουλάει μόνο κάμερες. Έστω είναι η ζήτηση για κάμερες κατά την διάρκεια της 1 ης εβδομάδας, της 2 ης εβδομάδας, αντίστοιχα. Τα είναι τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την διακριτή ομοιόμορφη κατανομή στο σύνολο. Έστω είναι ο αριθμός από διαθέσιμες κάμερες στην αρχή, ο αριθμός από κάμερες στο τέλος της 1 ης εβδομάδας, ο αριθμός από κάμερες στο τέλος της 2 ης εβδομάδας και ούτω καθεξής. Υποθέτουμε ότι. Κάθε Σάββατο το κατάστημα παραγγέλνει νέες κάμερες τις οποίες παραλαμβάνει την Δευτέρα πριν ξεκινήσει τη λειτουργία του. Το κατάστημα ακολουθεί την εξής πολιτική. Αν στο τέλος της εβδομάδας δεν έχει διαθέσιμες κάμερες τότε παραγγέλνει τρεις καινούργιες, ενώ αν έχει διαθέσιμες κάμερες τότε δεν παραγγέλνει νέες. Οι πωλήσεις χάνονται όταν η ζήτηση υπερβαίνει τη διαθεσιμότητα από κάμερες. Οπότε είναι μια στοχαστική διαδικασία με δυνατές καταστάσεις και εκπροσωπούν τη διαθεσιμότητα από κάμερες στο τέλος της εβδομάδας. Οι τυχαίες μεταβλητές είναι εξαρτημένες μεταξύ τους και ορίζονται από τη σχέση : Οπότε η εκπροσωπεί την κατάσταση του συστήματος στο χρόνο t. Οπότε δοθέντος ότι η τωρινή κατάσταση είναι, αυτό σημαίνει ότι η εξαρτάται μόνο από τη και από 17

36 τη. Αφού η είναι ανεξάρτητη από το παρελθόν της, η στοχαστική διαδικασία έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα άρα είναι μια αλυσίδα Μαρκόβ. Πριν υπολογίσουμε τις πιθανότητες μετάβασης και συμπληρώσουμε τον πίνακα ορίσουμε την κατανομή του., θα Η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την διακριτή ομοιόμορφη κατανομή στο σύνολο και η συνάρτηση πιθανότητας δίνεται από: Δηλαδή, Η πρώτη γραμμή του πίνακα έχει τις πιθανότητες μετάβασης από την κατάσταση προς κάποια άλλη κατάσταση. Στην περίπτωση όπου η, η ορίζεται ως : Όποτε, οι πιθανότητες μετάβασης από την κατάσταση, και είναι : προς τις καταστάσεις Τώρα στην περίπτωση όπου η, η ορίζεται ως : Οι πιθανότητες μετάβασης από την κατάσταση προς τις καταστάσεις, είναι : 18

37 Οι πιθανότητες μετάβασης από την κατάσταση προς τις καταστάσεις, και είναι : Και τέλος οι πιθανότητες μετάβασης από την κατάσταση και είναι : προς τις καταστάσεις Όπως βλέπουμε τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν όταν περιπτώσεις οι πιθανότητες μετάβασης είναι, δηλαδή., οπότε στις υπόλοιπες Έχοντας υπολογίσει όλες τις πιθανότητες μετάβασης, ο πίνακας γίνεται: Καταστάσεις = Πίνακας 4.1: Πιθανότητες μετ βασης. 19

38 Για παράδειγμα αν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση η πιθανότητα μετά από μια εβδομάδα να βρίσκεται στην κατάσταση είναι. Η πιθανότητα μετά από μια εβδομάδα η διαδικασία να βρίσκεται στην κατάσταση όταν αυτή βρίσκεται στην κατάσταση είναι, ενώ η πιθανότητα όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση μετά από μια εβδομάδα να πάει στην κατάσταση είναι. Γρ φημα 4.1 : Δι γραμμα πιθανοτήτων μετ βασης. Καταστάσεις = Πίνακας 4.2: Πιθανότητες Μετ βασης βημ των. 20

39 Καταστάσεις = Πίνακας 4.3 Πιθανότητες Μετ βασης βημ των. Καταστάσεις = Πίνακας 4.4: Πιθανότητες Μετ βασης βημ των. Αυτό που βλέπουμε από τους παραπάνω πίνακες είναι ότι όσο αυξάνεται η δύναμη του πίνακα οι πιθανότητες μετάβασης συγκλίνουν σε κάποια οριακή τιμή. Η οριακή τιμή είναι η στάσιμη κατανομή της αλυσίδας μας όπως θα δούμε και παρακάτω. Τα αποτελέσματα από τους παραπάνω πίνακες υπολογίστηκαν με τη χρήση του πακέτου R. Στάσιμες Πιθανότητες της Αλυσίδας Για να βρούμε τις στάσιμες πιθανότητες της αλυσίδας μας θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα,,,,. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα η λύση που παίρνουμε είναι, 21

40 Αυτό που παρατηρούμε είναι πως η λύση αυτή ταυτίζεται με τα αποτελέσματα από τους πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης και βημάτων μπροστά. Επίσης ως εναλλακτικό τρόπο για την εύρεση της στάσιμης προσομοιώσαμε τις καταστάσεις της αλυσίδας μας χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τις πιθανότητες μετάβασης έγινε με τη χρήση του πακέτου R. Η προσομοίωση έγινε για και αυτό εβδομάδες και τα αποτελέσματα που παίρνουμε φαίνονται παρακάτω, Βλέπουμε ότι τα αποτελέσματα από την προσομοίωση είναι αρκετά κοντά στα αποτελέσματα από την επίλυση του συστήματος με τις εξισώσεις. Πιθανότητες για χρόνο πρώτης επίσκεψης σε μια κατάσταση Στους παρακάτω τέσσερις πίνακες βλέπουμε τις πιθανότητες για το χρόνο πρώτης επίσκεψης μετά από βήματα προς όλες τις καταστάσεις μας ξεκινάει από συγκεκριμένη κατάσταση δοθέντος ότι η διαδικασία Οι κατανομές πιθανότητας του χρόνου πρώτης επίσκεψης έγιναν με τη χρήση του πακέτου R και τα αποτελέσματα φαίνονται στη συνέχεια. Πίνακας 4.5: Κατανομή πιθανότητας 22 του χρόνου πρώτης επίσκεψης.

41 Πίνακας 4.6: Κατανομή πιθανότητας του χρόνου πρώτης επίσκεψης. Πίνακας 4.7: Κατανομή πιθανότητας του χρόνου πρώτης επίσκεψης. 23

42 Πίνακας 4.8: Κατανομή πιθανότητας του χρόνου πρώτης επίσκεψης. Αναμενόμενος χρόνος επιστροφής σε μια κατάσταση. Προηγουμένως υπολογίσαμε τις στάσιμες πιθανότητες της αλυσίδας Μαρκόβ, οπότε ο αναμενόμενος χρόνος επιστροφής υπολογίζεται ως : Πίνακας 4.9: Αναμενόμενος χρόνος επιστροφής για κ θε κατ σταση. Με βάση τα αποτελέσματα του Πίνακα 4.9 ο αναμενόμενος χρόνος επιστροφής για την κατάσταση είναι μετά από εβδομάδες, για την κατάσταση μετά από εβδομάδες, για την κατάσταση είναι μετά από εβδομάδες. 24 είναι μετά από εβδομάδες ενώ για την κατάσταση

43 Αναμενόμενος χρόνος πρώτης επίσκεψης. Όπως είδαμε από τη θεωρία ο αναμενόμενος χρόνος πρώτης επίσκεψης μπορεί να γίνει με δύο τρόπους, είτε με τη βοήθεια των πιθανοτήτων είτε λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων. Στον Πίνακα 4.10 βλέπουμε τα αποτελέσματα του αναμενόμενου χρόνου πρώτης επίσκεψης τα οποία υπολογίστηκαν στο πακέτο της R. Πίνακας 4.10: Αναμενόμενος χρόνος πρώτης επίσκεψης. Αυτό που μπορούμε να σχολιάσουμε από τον Πίνακα 4.10 είναι ότι ο αναμενόμενος χρόνος μέχρι να εξαντληθούν όλες οι κάμερες στο κατάστημα είναι μετά από εβδομάδες. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τον αναμενόμενο χρόνο πρώτης επίσκεψης λύνοντας τα συστήματα εξισώσεων, Όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση Η λύση του συστήματος είναι, 25 το σύστημα εξισώσεων είναι,

44 Όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση το σύστημα εξισώσεων είναι, Η λύση του συστήματος είναι, Όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση το σύστημα εξισώσεων είναι, Η λύση του συστήματος είναι, Τέλος όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση λύση του είναι, το σύστημα εξισώσεων και η Η λύση του συστήματος είναι, 26

45 Συναρτήσεις κόστους. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το αναμενόμενο μέσο κόστος ανά εβδομάδα με τη βάση κάποια συνάρτηση κόστους. Πιο συγκεκριμένα θα κάνουμε χρήση δύο συναρτήσεων, μιας απλής συνάρτησης και μιας σύνθετης συνάρτησης. Απλή συνάρτηση κόστους. Το κατάστημα βρίσκει ότι το κόστος για κάθε κάμερα που δεν πωλείται και παραμένει στο τέλος της εβδομάδας στο κατάστημα υπολογίζεται ως εξής: Οι στάσιμες πιθανότητες που υπολογίσαμε είναι, Με βάση τα παραπάνω το μέσο μακροπρόθεσμο κόστος ανά εβδομάδα είναι, ώ Σύνθετη συνάρτηση κόστους. Το κατάστημα βρίσκει ότι αν παραγγελθούν κάμερες, το κόστος είναι ευρώ. Εάν δεν παραγγελθούν νέες κάμερες τότε δεν υπάρχει κόστος παραγγελίας. Επιπλέον για κάθε ανικανοποίητη ζήτηση (χαμένη πώληση), υπάρχει κόστος 40 ευρώ. Οπότε η συνάρτηση κόστους φαίνεται παρακάτω, Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τα. 27

46 Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα το αναμενόμενο μέσο κόστος ανά εβδομάδα είναι, ώ 28

47 4.2 Εφαρμογή 2 Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα τυχερό παιχνίδι το οποίο παίζουν δύο παίχτες τους. Ο καθένας τους έχει στη διάθεση του κάθε γύρο είναι ευρώ και ο άλλος τα ευρώ σε κάθε γύρο είναι είναι επίσης ή ευρώ και το πόσο που παίζει ο κάθε παίκτης σε ευρώ. Το παιχνίδι παίζεται μέχρις ότου ο ένας από τους δύο παίχτες να χρεοκοπήσει δηλαδή φτάσει τα κερδίσει μεταξύ. Ο παίκτης ευρώ. Η πιθανότητα ο παίκτης και η πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει να ευρώ μπορεί να έχει βρεθεί κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού με ευρώ τα οποία θα είναι οι πιθανές καταστάσεις μιας αλυσίδας Μαρκόβ με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης, όπως φαίνεται παρακάτω. Πίνακας 4.11 : Πιθανότητες μετ βασης. Στην αρχή του παιχνιδιού ο παίκτης θα έχει στη διάθεση του είτε ξεκινάει με ευρώ οπότε στο τέλος του πρώτου γύρου ευρώ με πιθανότητα είτε ευρώ με πιθανότητα. Όπως βλέπουμε η αλυσίδα μας τώρα έχει δύο απορροφητικές καταστάσεις, την κατάσταση και την κατάσταση που σημαίνουν ότι ο παίκτης είτε χρεοκοπεί είτε τα κερδίζει όλα, όποτε και παραμένει σε μια από αυτές τις καταστάσεις με πιθανότητα. Σ αυτή την εφαρμογή θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες απορρόφησης σε μια από τις καταστάσεις Ξεκινώντας από την κατάσταση η πιθανότητα απορρόφησης στην κατάσταση συμβολίζεται με, ενώ η πιθανότητα απορρόφησης στην κατάσταση Όταν ο παίκτης ξεκινάει με κατάσταση ί ή. ευρώ συμβολίζεται με. η πιθανότητα απορρόφησης στην υπολογίζεται λύνοντας το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: 29

48 Η λύση του παραπάνω συστήματος είναι: Το παραπάνω σύστημα μας λέει ότι η πιθανότητα να χρεοκοπήσει ο παίκτης όταν αυτός ξεκινήσει με 2 ευρώ είναι, δηλαδή είναι 50%. Όταν ο παίκτης ξεκινάει με ευρώ η πιθανότητα απορρόφησης στην κατάσταση ί ό υπολογίζεται λύνοντας το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: Η λύση του παραπάνω συστήματος είναι: Το παραπάνω σύστημα μας λέει ότι η πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει τα 4 ευρώ όταν αυτός ξεκινήσει με 2 ευρώ είναι, δηλαδή είναι 50%. 30

49 4.3 Εφαρμογή 3 Σε ένα εργοστάσιο υπάρχουν τρεις μηχανές οι οποίες λειτουργούν συνεχόμενα εκτός και αν πάθουν κάποια βλάβη. Ο χρόνος μέχρι να πάθει βλάβη μια μηχανή έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή μέρα. Όταν κάποια μηχανή πάθει βλάβη αυτή επισκευάζεται από έναν τεχνικό. Ο χρόνος επισκευής της μηχανής από τον τεχνικό έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή μέρα. Οι κατανομές αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Έστω η τυχαία μεταβλητή αναπαριστά τον αριθμό των μηχανών που έχουν πάθει βλάβη στο χρόνο. Οι πιθανές τιμές της είναι. Ο χρόνος είναι συνεχής, οπότε η στοχαστική διαδικασία μας δίνει την εξέλιξη του αριθμού των μηχανών που παθαίνουν βλάβη στο χρόνο. Επειδή ο χρόνος επισκευής και ο χρόνος μέχρι να πάθει βλάβη μια μηχανή έχουν εκθετικές κατανομές, η στοχαστική διαδικασία είναι μια αλυσίδα Μαρκόβ σε συνεχή χρόνο με καταστάσεις. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να βρούμε τις στάσιμες πιθανότητες των καταστάσεων, δηλαδή να βρούμε τι ποσοστό του χρόνου η διαδικασία βρίσκεται σε κάθε μια από τις καταστάσεις. Για να το κάνουμε αυτό θα πρέπει να βρούμε τους ρυθμούς μετάβασης, όπου και με. Όταν η διαδικασία βρίσκεται σε μια κατάσταση μπορεί να μεταβεί μόνο σε κάποια διπλανή. Όταν βρισκόμαστε στην κατάσταση (καμία μηχανή δεν έχει πάθει βλάβη) μπορούμε να μεταβούμε μόνο στην κατάσταση με ρυθμού, διότι έχουμε τρεις μηχανές και κάθε μια από αυτές έχει μια εκθετική κατανομή με ρυθμό που σημαίνει ότι θα φύγουμε από την κατάσταση όταν χαλάσει η πρώτη μηχανή για να μεταβούμε στην κατάσταση. Από την κατάσταση δεν μπορούμε να μεταβούμε σε καμία από τις καταστάσεις και, οπότε. Όταν βρισκόμαστε στην κατάσταση (μια μηχανή έχει πάθει βλάβη) μπορούμε να μεταβούμε με το ίδιο σκεπτικό είτε στην κατάσταση με ρυθμό είτε στην κατάσταση με ρυθμό. Από την κατάσταση δεν μπορούμε να μεταβούμε στην κατάσταση, οπότε. Όταν βρισκόμαστε στην κατάσταση (δυο μηχανές έχουν πάθει βλάβη) μπορούμε να μεταβούμε είτε στην κατάσταση με ρυθμό είτε στην κατάσταση με ρυθμό 31

50 . Από την κατάσταση δεν μπορούμε να μεταβούμε στην κατάσταση, οπότε. Τέλος όταν βρισκόμαστε στην κατάσταση (όλες οι μηχανές έχουν πάθει βλάβη) μπορούμε να μεταβούμε μόνο στην κατάσταση με ρυθμό. Από την κατάσταση δεν μπορούμε να μεταβούμε σε καμία από τις καταστάσεις και, οπότε. Οι ρυθμοί μετάβασης φαίνονται παρακάτω: Για να βρούμε τις στάσιμες πιθανότητες ισορροπίας, οπότε έχουμε: θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις Εξίσωση ισορροπίας για την κατάσταση Εξίσωση ισορροπίας για την κατάσταση Εξίσωση ισορροπίας για την κατάσταση Εξίσωση ισορροπίας για την κατάσταση Συνθήκη κανονικοποίησης Η λύση του παραπάνω συστήματος είναι: Αυτό σημαίνει ότι 34.6% του χρόνου καμία μηχανή δεν θα έχει βλάβη, 34.6% του χρόνου μια μηχανή θα έχει βλάβη, 23.1% του χρόνου δύο μηχανές θα έχουν μαζί βλάβη και 7.7% του χρόνου και οι τρεις μηχανές θα έχουν ταυτόχρονα βλάβη. 32

51 Κεφάλαιο 5 Στοιχεία Θεωρίας Ουρών Αφού ολοκληρώσαμε τη θεωρία των αλυσίδων Μαρκόβ στα επόμενα κεφάλαια θα ασχοληθούμε με τη Θεωρία Ουρών. Σε αυτό το κεφάλαιο θα κάνουμε μια μικρή εισαγωγή σε έννοιες και συμβολισμούς της Θεωρίας Ουρών και θα αναφέρουμε τα βασικά μέτρα απόδοσης ενός συστήματος ουράς. 5.1 Η Βασική διαδικασία ουράς Η βασική διαδικασία που υποθέτουμε στα περισσότερα μοντέλα ουράς είναι η ακόλουθη. Οι πελάτες που χρειάζονται εξυπηρέτηση δημιουργούνται από έναν πληθυσμό πελατών. Οι πελάτες αυτοί εισέρχονται στο σύστημα ουράς και εντάσσονται στην ουρ. Σε ορισμένες χρονικές στιγμές, επιλέγεται ένας πελάτης για να εξυπηρετηθεί σύμφωνα με έναν κανόνα γνωστό και ως πειθαρχία ουρ ς. Ο πελάτης εξυπηρετείται από τον μηχανισμό εξυπηρέτησης και μετά αποχωρεί από το σύστημα. Η διαδικασία αυτή απεικονίζεται στο Γράφημα 5.1. Πληθυσμός πελατών Ο πληθυσμός είναι ο αριθμός των πελατών οι οποίοι είναι πιθανό να βρεθούν στο σύστημα ουράς για εξυπηρέτηση. Ένα χαρακτηριστικό του πληθυσμού είναι το μέγεθος του το οποίο μπορεί να είναι άπειρο ή πεπερασμένο. Για λόγους ευκολίας στους υπολογισμούς η υπόθεση του άπειρου πληθυσμού μπορεί να γίνει ακόμα και αν το μέγεθος του είναι πεπερασμένο αλλά αρκετά μεγάλο. Όταν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένος και όχι άπειρος ο ρυθμός με τον οποίο ο πληθυσμός δημιουργεί νέους πελάτες επηρεάζεται σημαντικά από τον αριθμό των πελατών που βρίσκονται ήδη στο σύστημα ουράς. Ο τρόπος με τον οποίο γίνονται οι αφίξεις σε ένα σύστημα ουράς μπορεί να προσδιοριστεί από μια στατιστική κατανομή. Η πιο συνηθισμένη υπόθεση είναι ότι οι πελάτες εισέρχονται στο σύστημα σύμφωνα με τη διαδικασία Poisson, δηλαδή ο αριθμός των πελατών που δημιουργούνται μέχρι κάποια συγκεκριμένη στιγμή ακολουθεί την κατανομή Poisson με σταθερό μέσο ρυθμό. Ένας εναλλακτικός τρόπος είναι να πούμε ότι η κατανομή του χρόνου μεταξύ δυο διαδοχικών αφίξεων (interarrival time) είναι μια εκθετική κατανομή. 33

52 Πειθαρχία ουράς Η πειθαρχία ουράς αφορά τη σειρά με την οποία το σύστημα διαλέγει ποιόν πελάτη θα εξυπηρετήσει. Οι πιο κλασσικοί τρόπο επιλογής ενός πελάτη για εξυπηρέτηση από το σύστημα είναι, - Επιλογή σύμφωνα με τη σειρά άφιξης: FIFO (First in First out). - Αντίστροφη επιλογή από τη σειρά άφιξης: LIFO (Last in First out). - Εξυπηρέτηση κατά τυχαίο τρόπο: SIRO (Service in random order). - Με ειδική προτεραιότητα: PRI (Priority). Ουρά Η ουρά χαρακτηρίζεται από το μέγιστο επιτρεπόμενο αριθμό των πελατών που περιλαμβάνει. Οι ουρές καλούνται άπειρες ή πεπερασμένες ανάλογα με το εάν ο αριθμός των πελατών που περιλαμβάνουν είναι άπειρος ή πεπερασμένος. Μηχανισμός εξυπηρέτησης Ένας μηχανισμός εξυπηρέτησης μπορεί να αποτελείται από μια ή περισσότερες εγκαταστάσεις εξυπηρέτησης κάθε μια από τις οποίες μπορεί να περιέχει μια ή περισσότερες παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης. Εάν υπάρχουν περισσότερες από μια εγκαταστάσεις εξυπηρέτησης, ίσως ο πελάτης χρειαστεί να εξυπηρετηθεί από ένα σύνολο από αυτές. Όταν υπάρχει μια μόνο εγκατάσταση εξυπηρέτησης από παράλληλες θέσεις ο πελάτης εξυπηρετείται από μια από αυτές. Ο χρόνος που διαρκεί η εξυπηρέτηση ενός πελάτη ονομάζεται χρόνος εξυπηρέτησης (service time). Σε κάθε σύστημα ουράς πρέπει να προσδιορίζεται η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης για κάθε εξυπηρετητή, πολλές φορές όμως θεωρούμε ότι η κατανομή αυτή είναι ίδια για κάθε εξυπηρετητή. Η πιο συχνή υπόθεση που γίνεται είναι ότι η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης είναι η εκθετική, βέβαια υπάρχουν και άλλες κατανομές για να περιγράψουν τη συμπεριφορά του χρόνου εξυπηρέτησης όπως θα δούμε και στη συνέχεια. 34

53 5.2 Συμβολισμός του Kendall Η περιγραφή ενός συστήματος ουράς πολλές φορές είναι αρκετά σύνθετη λόγω των πολλών παραμέτρων, των στατιστικών κατανομών καθώς και της πειθαρχίας που μπορεί να υπάρχει σε μια ουρά. Ο David Kendall εισήγαγε έναν συμβολισμό για την περιγραφή ενός συστήματος ουράς. Ο συμβολισμός αρχικά ήταν μια σειρά από τρία γράμματα αλλά στη συνέχεια επεκτάθηκε σε έξι γράμματα και πήρε την μορφή, Όπου, - Το δηλώνει την κατανομή του χρόνου μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. - Το δηλώνει την κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης. - Το δηλώνει τον αριθμό των εξυπηρετητών. - Το δηλώνει τη μέγιστη χωρητικότητα του συστήματος, δηλαδή το μέγιστο επιτρεπόμενο αριθμό πελατών. - Το δηλώνει μέγεθος του πληθυσμού. - Το δηλώνει την πειθαρχία της ουράς. Όταν θεωρηθεί ότι η χωρητικότητα του συστήματος είναι άπειρη, το μέγεθος του πληθυσμού είναι άπειρο και η πειθαρχεία της ουράς είναι η FIFO, τότε τα τρία τελευταία γράμματα παραλείπονται από το συμβολισμό. Για παράδειγμα ο συμβολισμός περιγράφει ένα σύστημα ουράς που η κατανομή του χρόνου μεταξύ διαδοχικών αφίξεων είναι εκθετική, έχει 2 εξυπηρετητές όπου καθένας έχει κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης εκθετική. Ο συμβολισμός περιγράφει ένα σύστημα ουράς όπου η κατανομή του χρόνου μεταξύ των διαδοχικών αφίξεων είναι εκθετική, έχει 4 εξυπηρετητές, η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης είναι η Γάμμα με παράμετρο σχήματος και ο μέγιστος επιτρεπόμενος αριθμός των πελατών που μπορούν να βρίσκονται στο σύστημα είναι 200 πελάτες, πράγμα που σημαίνει ότι η ουρά στο σύστημα μπορεί να αποτελείται από το πολύ 196 πελάτες. Στον Πίνακα που ακολουθεί βλέπουμε τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται πιο συχνά στη περιγραφή ενός συστήματος ουράς. 35

54 ό ί ή ή ό ί ή ή ή ή ό ή ή ό ώ ό ή ί Πίνακας 5.1 : Σ μβολα περιγραφής ενός συστήματος. 36

55 5.3 Συμβολισμός και Μέτρα απόδοσης Σε όλα τα μοντέλα ουράς τα οποία παρουσιάζονται θα χρησιμοποιηθεί ένας κοινός συμβολισμός και θα υπολογιστούν κάποια μέτρα περιγραφής της απόδοσης τους ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του κάθε μοντέλου. Πριν παρουσιαστεί ο βασικός συμβολισμός θα εισάγουμε δύο όρους βασικούς στην περιγραφή ενός συστήματος ουράς. Αρχικά, με τον όρο κατ σταση του συστήματος αναφερόμαστε στον αριθμό των πελατών που είναι στο σύστημα ουράς, ενώ με τον όρο μήκος ουρ ς αναφερόμαστε στον αριθμό τον πελατών που περιμένουν για εξυπηρέτηση, εναλλακτικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι ο αριθμός των πελατών που βρίσκονται στο σύστημα ουράς εκτός από αυτούς που ήδη εξυπηρετούνται. Παρακάτω βλέπουμε τον βασικό συμβολισμό που θα χρησιμοποιηθεί για ένα σύστημα ουράς. Συμβολισμός Ερμηνεία Είναι ο αριθμός πελατών στο σύστημα ουράς στο χρόνο Η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς πελάτες στο σύστημα. Ο αριθμός των θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστημα ουράς. Ο μέσος ρυθμός αφίξεων (αναμενόμενος αριθμός αφίξεων στη μονάδα του χρόνου) όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα. Ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης για ολόκληρο το σύστημα (αναμενόμενος αριθμός των πελατών που ολοκληρώνουν την εξυπηρέτηση τους στη μονάδα του χρόνου) όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα. Ο παράγοντας χρησιμοποίησης (utilization factor). Πίνακας 5.2 : Βασικός συμβολισμός. Όταν ο μέσος ρυθμός αφίξεων όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα είναι σταθερός για όλα τα τότε θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό. Επίσης όταν ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης για ολόκληρο το σύστημα είναι σταθερός για όλα τα τότε θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό. Στην περίπτωση αυτή όταν, δηλαδή όταν όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι. Με βάση τα παραπάνω ο αναμενόμενος χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων είναι, ενώ ο αναμενόμενος χρόνος εξυπηρέτησης είναι. Ο παρ γοντας χρησιμοποίησης του συστήματος είναι το αναμενόμενο ποσοστό του χρόνου όπου οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι. 37

56 5.3.1 Μεταβατική και Στάσιμη κατάσταση Ένα σύστημα το οποίο βρίσκεται στην αρχή της λειτουργίας του λέμε ότι βρίσκεται σε μεταβατική κατ σταση, αφού η κατάσταση του επηρεάζεται σημαντικά από την αρχική του κατάσταση και τα χαρακτηριστικά του μεγέθη μεταβάλλονται με τον χρόνο. Όταν το σύστημα γίνεται ανεξάρτητο από την αρχική του κατανομή λέμε ότι βρίσκεται σε στ σιμη κατ σταση όπου και τα χαρακτηριστικά του μεγέθη και η συμπεριφορά του γίνεται ανεξάρτητη από το χρόνο. Ο παρακάτω συμβολισμός ισχύει όταν το σύστημα βρίσκεται σε στάσιμη κατάσταση. Συμβολισμός Ερμηνεία Σχέση Η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς στο σύστημα ουράς. πελάτες Αναμενόμενος αριθμός πελατών στο σύστημα ουράς. Αναμενόμενο μήκος ουράς. Χρόνος παραμονής στο σύστημα (μαζί με τον χρόνο εξυπηρέτησης) για κάθε πελάτη. Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα. Χρόνος παραμονής στην ουρά (εκτός από τον χρόνο εξυπηρέτησης) για κάθε πελάτη. Μέσος χρόνος παραμονής στην ουρά. Πίνακας 5.3 : Συμβολισμός σε στ σιμη κατ σταση. 5.4 Τύπος του Little Ο τύπος του Little μας λέει ότι όταν το σύστημα βρίσκεται σε στάσιμη κατάσταση, ο αναμενόμενος αριθμός πελατών στο σύστημα ουράς είναι ίσος με το μέσο ρυθμό αφίξεων των πελατών πολλαπλασιασμένο με το μέσος χρόνο παραμονής στο σύστημα για κάθε πελάτη, 38

57 Επιπλέον ισχύει, Επίσης εάν ακόμα ισχύει ότι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης, τότε είναι σταθερός για όλα τα Γρ φημα 5.1 : Η Βασική διαδικασία ουρ ς. 39

58 40

59 Κεφάλαιο 6 Μοντέλα Ουρών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τα βασικά μοντέλα ουρών. Αρχικά, θα διατυπώσουμε δύο πολύ βασικές κατανομές στη Θεωρία Ουρών, την εκθετική κατανομή και την κατανομή Poisson. Στη συνέχεια περιγράφουμε τη διαδικασία Γεννήσεων-Θανάτων. Επίσης, γίνεται η παρουσίαση των κυριότερων μοντέλων ουράς μαζί με τα χαρακτηριστικά τους. 6.1 Στατιστικές Κατανομές σε Συστήματα Αναμονής Τα βασικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος αναμονής προσδιορίζονται από δύο στατιστικές κατανομές, την κατανομή πιθανότητας του χρόνου εξυπηρέτησης και την κατανομή πιθανότητας του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων. Όπως είδαμε υπάρχει πληθώρα κατανομών για την περιγραφή της κατανομής του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων και του χρόνου εξυπηρέτησης. Η πιο απλή υπόθεση που μπορούμε να κάνουμε είναι πως οι χρόνοι αυτοί είναι εκθετικά κατανεμημένοι Εκθετική Κατανομή Ας υποθέσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή αναπαριστά το χρόνο εξυπηρέτησης ή το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων. Η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο και έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, Η αθροιστική συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής είναι, Η μέση τιμή και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής είναι αντίστοιχα, 41

60 6.1.2 Ιδιότητες της Εκθετικής Κατανομής Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε τρεις σημαντικές ιδιότητες που είναι χρήσιμες στη θεωρία για τα μοντέλα ουράς που ακολουθούν στη συνέχεια του κεφαλαίου. Ιδιότητα 1: Έλλειψη μνήμης Εάν μια τυχαία μεταβλητή T ακολουθεί την εκθετική κατανομή, τότε Απόδειξη Η ιδιότητα αυτή έχει την ακόλουθη ερμηνεία, η κατανομή πιθανότητας του χρόνου μέχρι να συμβεί το επόμενο περιστατικό (νέα άφιξη ή ολοκλήρωση εξυπηρέτησης) είναι πάντα η ίδια ανεξάρτητα από το πόσο χρόνο ( ) έχει ήδη περάσει. Ιδιότητα 2: Το ελάχιστο από μια εκθετική κατανομή. διαφορετικές ανεξάρτητες εκθετικές κατανομές έχει επίσης Αν το αναπαριστά το χρόνο μέχρι να συμβεί ένα συγκεκριμένο περιστατικό και το αναπαριστά το χρόνο που μέχρι να συμβεί το πρώτο από τα διαφορετικά περιστατικά, τότε η τυχαία μεταβλητή έχει εκθετική κατανομή με παράμετρο και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, 42

61 Απόδειξη Ιδιότητα 3: Σχέση εκθετικής με κατανομή Poisson Υποθέτουμε ότι οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων είναι ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο. Συμβολίζουμε με τη τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά το συνολικό αριθμό των πελατών στο σύστημα ουράς από τη χρονική στιγμή 0 μέχρι τη χρονική στιγμή. Τότε η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο, δηλαδή Όπου ο χρόνος είναι συνεχής και η διαδικασία είναι γνωστή και ως διαδικασία Poisson. Για, έχουμε Δηλαδή για είναι η πιθανότητα από την εκθετική κατανομή μέχρι να συμβεί το πρώτο περιστατικό μετά από χρόνο. H μέση τιμή της Poisson είναι 43

62 Γρ φημα 6.1 : Συν ρτηση πυκνότητας Εκθετικής κατανομής για. Γρ φημα 6.2 : Κατανομή πιθανότητας Poisson με παρ μετρο. 44

63 6.2 Διαδικασία Γεννήσεων - Θανάτων Η διαδικασία Γεννήσεων-Θανάτων είναι μια αλυσίδα Μαρκόβ σε συνεχή χρόνο. Στη θεωρία ουρών ο όρος γέννηση αναφέρεται στην άφιξη ενός νέου πελάτη στο σύστημα ενώ ο όρος θάνατος αναφέρεται στην αποχώρηση ενός πελάτη από το σύστημα. Η κατάσταση του συστήματος όπως είδαμε συμβολίζεται με και μας δείχνει τον αριθμό των πελατών που είναι μέσα στο σύστημα τη χρονική στιγμή. Για τη διαδικασία Γεννήσεων-Θανάτων, κάθε φορά που βρίσκονται στο σύστημα πελάτες ισχύουν οι παρακάτω υποθέσεις: - Η κατανομή του χρόνου μέχρι την επόμενη άφιξη στο σύστημα είναι εκθετική με ρυθμό -. Η κατανομή του χρόνου μέχρι την επόμενη αποχώρηση είναι εκθετική με ρυθμό. Εξισώσεις ισορροπίας για την διαδικασία Γεννήσεων - Θανάτων Οι εξισώσεις ισορροπίας για την διαδικασία Γεννήσεων - Θανάτων για κάθε κατάσταση του συστήματος βασίζονται στην ακόλουθη σχέση, ό ό ό Η σχέση αυτή μας λέει ότι για κάθε κατάσταση ό ο μέσος ρυθμός εισόδου στην κατάσταση είναι ίσος με το μέσο ρυθμό εξόδου από την κατάσταση. Οπότε οι εξισώσεις ισορροπίας για τη διαδικασία γεννήσεων θανάτων για κάθε κατάσταση είναι: ό ό ό ό Πίνακας 6.1 : Εξισώσεις ισορροπίας για τη διαδικασία Γεννήσεων -Θαν των. 45