Συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών: Ανασκόπιση και μια εφαρμογή ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Έλλη-Άρτεμις Γ.

Transcript

1 ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών: Ανασκόπιση και μια εφαρμογή ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Έλλη-Άρτεμις Γ. Ζησιμοπούλου Επιβλέπων Ιωάννης Δημητρίου Λέκτορας, Τμ. Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Ιούνιος 2016

2

3 ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών: Ανασκόπιση και μια εφαρμογή ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Έλλη-Άρτεμις Γ. Ζησιμοπούλου Επιβλέπων Ιωάννης Δημητρίου Λέκτορας, Τμ. Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Tριμελής εξεταστική επιτροπή: Ιωάννης Δημητρίου Λέκτορας Τμ. Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νικόλαος Τσάντας Καθηγητής Τμ. Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Ευφροσύνη Μακρή Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμ. Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Ιούνιος 2016

4 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήματα Μαθηματικών και Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Έλλη-Άρτεμις Γ. Ζησιμοπούλου Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος

5 Συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών: Ανασκόπιση και μια εφαρμογή. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην κλασσική θεωρία ουρών αναμονής, ένας πελάτης που φθάνοντας σε ένα σύστημα βρει όλους τους υπάλληλους μη-διαθέσιμους, είτε περιμένει σε μια ουρά για να εξυπηρετηθεί, είτε αναχωρεί άμεσα από αυτό. Στην πράξη όμως, ένα ποσοστό αυτών που αναχωρούν επιστρέφουν μετά από κάποιο χρονικό διάστημα. Αυτή η συμπεριφορά των πελατών δημιούργησε μια νέα κλάση συστημάτων αναμονής, αυτή των ουρών επαναλαμβανόμενων αφίξεων (retrial queues). Στα συστήματα αυτά, όταν ο πελάτης που εισέλθει στο σύστημα δεν βρει ελεύθερο κάποιον υπάλληλο, αναχωρεί προσωρινά από αυτό και επαναλαμβάνει την προσπάθεια του να βρει διαθέσιμο κάποιον υπάλληλο μετά από τυχαίο χρονικό διάστημα. Εφαρμογές αυτών των συστημάτων συναντώνται στην μελέτη της αποτίμησης απόδοσης σε τηλεφωνικά δίκτυα, ασύρματα δίκτυα, δίκτυα Η/Υ, στην βιομηχανία κ.α.. Στην παρούσα διατριβή, γίνεται μια ανασκόπιση των βασικών αποτελεσμάτων και μια πρώτη προσπάθεια μελέτης σε ερευνητικό επίπεδο ενός συστήματος επαναλαμβανόμενων αφίξεων στην αποτίμηση απόδοσης πρωτοκόλλων ελέγχου μετάδοσης δεδομένων στο διαδίκτυο. Στο πρώτο κεφάλαιο κάνουμε μια εισαγωγή στα retrial συστήματα εξυπηρέτησης, παραθέτοντας βασικές έννοιες και εφαρμογές αυτών. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε λεπτομερώς τα βασικά Μ/Μ/1 και M/G/1 retrial συστήματα εξυπηρέτησης. Συγκεκριμένα, μελετάμε την από κοινού οριακή κατανομή του αριθμού των πελατών στην ουρά επαναλαμβανόμενων αφίξεων και στον χώρο εξυπηρέτησης και υπολογίζουμε τα κύρια μέτρα απόδοσης. Στο M/G/1 retrial σύστημα χρησιμοποιούμε την μέθοδο της συμπληρωματικής μεταβλητής (supplementary variable method) και της υπεισερχόμενης Μαρκοβιανής αλυσίδας (embedded Markov chain). Στο τρίτο κεφάλαιο, χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεθοδολογίες, μελετάμε το M/G/1 retrial σύστημα εξυπηρέτησης με ομαδικές αφίξεις πελατών. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφέρουμε έναν διαφορετικό τρόπο μελέτης των συστημάτων αναμονής, τις πινακοαναλυτικές μεθόδους (Matrix-analytic methods) που αποτελούν σημαντικό εργαλείο ανάλυσης

6 πολύπλοκων συστημάτων με αλγοριθμική προσέγγιση. Αυτές οι μέθοδοι παρουσιάζονται κατά την μελέτη QBD (Quasi Birth-Death process) διαδικασιών. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε ένα νέο μοντέλο ουράς επαναλαμβανόμενων αφίξεων με εφαρμογή στην αποτίμηση απόδοσης (performance evaluation) του πρωτοκόλλου ελέγχου μετάδοσης πακέτων δεδομένων στο διαδίκτυο (TCP: Transmission Control Protocol). Το σύστημα μελετάται με μια τριδιάστατη Μαρκοβιανή διαδικασία (QBD process) και με χρήση πινακοαναλυτικών μεθόδων υπολογίζουμε τα κύρια μέτρα απόδοσης του συστήματος. Με βάση αυτά τα μέτρα, υλοποιούμε ορισμένα αριθμητικά παραδείγματα, τα οποία δίνουν πληροφορίες για την όλη λειτουργία και συμπεριφορά του συστήματος. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Ουρά επαναλαμβανόμενων αφίξεων; Μαρκοβιανή διαδικασία; μέτρα απόδοσης; μέθοδος συμπληρωματικής μεταβλητής; μέθοδος υπεισερχόμενης Μαρκοβιανής αλυσίδας; πινακοαναλυτικές μέθοδοι; ψευδοδιαδικασία γεννήσεων-θανάτων; αποτίμηση απόδοσης; πρωτόκολλο ελέγχου μετάδοσης δεδομένων στο διαδίκτυο (TCP).

7 Retrial queueing systems: A review and an application. ABSTRACT In classical queueing theory, a customer arriving at a system where all the employees are non-available, can either wait in a queue to be served or can leave the system. In practice, however, a proportion of the customers that leave, often return after some time. This behaviour has created a new class of queueing systems, namely the retrial queues. In these systems, when an arriving customer does not find any free employee, he/she temporarily departs from it and repeats the attempt to find an available employee after some time. Applications of such systems are found in the study of performance evaluation in telephone networks, wireless networks, computer networks, in the industry etc. In this thesis, we provide an overview of the main results and we make a first attempt to study at a research level a retrial system for the performance evaluation of data transmission control protocols on the Internet. In the first chapter we introduce the retrial systems by presenting their basic concepts and applications. In the second chapter we make a detail presentation of the basic M/M/1 and M/G/1 retrial systems. Specifically, we study the joint limit distribution of the number of customers in the repeated arrivals queue and the service area and calculate the main performance characteristics. In the case of M/G/1 retrial system we use the supplementary variable and embedded Markov chain methods. In the third chapter, using the same methodology, we study the M/G/1 retrial system with batch arrivals. In the fourth chapter we describe a different way of studying the queueing systems, the Matrix-analytic methods. These methods constitute an important tool that provides an algorithmic approach in the analysis of complex systems. We present these methods in the context of Quasi Birth-Death (QBD) processes. Finally, in the fifth chapter we present a new model of retrial queues with application in the performance evaluation of the Transmission Control Protocol (TCP). We study this system using a three-dimensional Markov QBD process and we calculate the system's main performance characteristics using matrix-analytic methods. Based on these measures, we implement some numerical examples, which give information on

8 the overall functioning and behaviour of the system. KEY WORDS Retrial queue; Markov process; performance characteristics; supplementary variable method; embedded Markov chain method; matrix-analytic methods; Quasi Birth- Death process; performance evaluation; Transmission Control Protocol (TCP).

9 Περιεχόμενα Κατάλογος Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων ix xi xii 1 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών Εισαγωγή Παραδείγματα Τηλεφωνικά συστήματα Δίκτυα υπολογιστών Χαρακτηριστικά των συστημάτων αναμονής Σημειογραφία Η έννοια της στατιστικής ισορροπίας Βιβλιογραφία Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο Εισαγωγή Το Μ/Μ/1 retrial σύστημα αναμονής Περιγραφή του συστήματος Ανάλυση των καταστάσεων του συστήματος σε στατιστική ισορροπία Μέτρα απόδοσης Το Μ/G/1 retrial σύστημα αναμονής Περιγραφή του συστήματος Ανάλυση των καταστάσεων του συστήματος σε στατιστική ισορροπία H μέθοδος της συμπληρωματικής μεταβλητής Μέτρα απόδοσης H μέθοδος της υπεισερχόμενης Μαρκοβιανής αλυσίδας 40 3 Το M/G/1 retrial σύστημα αναμονής με ομαδικές αφίξεις πελατών Περιγραφή του συστήματος Ανάλυση των καταστάσεων του συστήματος σε στατιστική ισορροπία H μέθοδος της συμπληρωματικής μεταβλητής H μέθοδος της υπεισερχόμενης Μαρκοβιανής αλυσίδας Πινακοαναλυτικές μέθοδοι στη μελέτη συστημάτων αναμονής Εισαγωγή Από τις διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων στις διαδικασίες QBD Διαδικασία γεννήσεων και θανάτων Ψευδοδιαδικασία γεννήσεων και θανάτων Η κύρια δομή των Μαρκοβιανών αλυσίδων Παραδείγματα M/M/1 σύστημα αναμονής σε ένα τυχαίο περιβάλλον M/M/1/C retrial σύστημα αναμονής Υπολογισμός στάσιμων κατανομών σε πεπερασμένο χώρο καταστάσεων H πινακογεωμετρική κατανομή

10 Περιεχόμενα x 4.6 O υπολογισμός του πίνακα των ρυθμών μετάβασης Ένα μοντέλο ουράς επαναλαμβανόμενων αφίξεων με εφαρμογή στην αποτίμηση απόδοσης του πρωτοκόλλου ελέγχου μετάδοσης πακέτων δεδομένων στο διαδίκτυο Εισαγωγή Το μοντέλο Γενική Επίλυση Αριθμητικό Παράδειγμα Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία 108

11 Κατάλογος σχημάτων 1.1 Η γενική μορφή του συστήματος με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών [1] Το γενικό σύστημα ενός τηλεφωνικού κέντρου [1] Ένα τηλεφωνικό κέντρο με επαναλήψεις, μπλοκαρίσματα και ανυπομονησία [1] Μία σημαντική μεμονωμένη κυψέλη [1] Παράδειγμα τοπικού δικτύου [1] Βασικοί τύποι της τοπολογίας LAN [1] M/M/1 σύστημα με επαναλαμβανόμενες αφίξεις Μεταβάσεις καταστάσεων στο Μ/Μ/1 retrial σύστημα αναμονής M/G/1 σύστημα με επαναλαμβανόμενες αφίξεις Αναπαράσταση του M/M/1/C retrial συστήματος [2] Διάγραμμα ρυθμών μετάβασης Μεταφορά πακέτων δεδομένων στο διαδίκτυο Μεταβολή του μέσου αριθμού πελατών στην κανονική ουρά E(N 1 ) για αυξανόμενες τιμές του ρυθμού επαναπροσπαθειών θ Μεταβολή του μέσου αριθμού πελατών στην εικονική ουρά E(N 2 ) για αυξανόμενες τιμές του ρυθμού επαναπροσπαθειών θ xi

12 Κατάλογος πινάκων 5.1 Ρυθμοί Μετάβασης Συστήματος Παράμετροι Συστήματος xii

13 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 1.1 Εισαγωγή Στην κλασσική θεωρία ουρών πολύ συχνά υποθέτουμε ότι ένας πελάτης που δεν μπορεί να εξυπηρετηθεί αμέσως μετά την άφιξή του στο σύστημα, είτε μπαίνει στην ουρά αναμονής και στη συνέχεια εξυπηρετείται σύμφωνα με κάποια πειθαρχία αναμονής, είτε εξέρχεται από το σύστημα για πάντα. Μερικές φορές οι ανυπόμονοι πελάτες που αποχωρούν από την ουρά αναμονής, αφήνουν το σύστημα για πάντα. Ωστόσο, στην πραγματικότητα, η υπόθεση για την απώλεια των πελατών που επέλεξαν να εγκαταλείψουν το σύστημα είναι απλά μια πρώτη εκτίμηση μιας πραγματικής κατάστασης. Συνήθως ένας τέτοιος πελάτης μετά από μια τυχαία χρονική στιγμή επιστρέφει στο σύστημα και προσπαθεί και πάλι να εξυπηρετηθεί. Μπορούμε να βρούμε στην καθημερινότητά μας ουρές στις οποίες οι πελάτες επιστρέφουν. Για παράδειγμα, στα καταστήματα λιανικής πώλησης ένας πελάτης που βρίσκει μια μεγάλη ουρά αναμονής ίσως να θελήσει να κάνει κάτι άλλο και να επιστρέψει αργότερα με την ελπίδα ότι δεν θα υπάρχει ουρά. Παρόμοια συμπεριφορά μπορεί να παρατηρηθεί σε ορισμένους ανυπόμονους πελάτες που εισήλθαν 1

14 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 2 Σ 1.1: Η γενική μορφή του συστήματος με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών [1]. στην ουρά αναμονής, αλλά στη συνέχεια ανακάλυψαν ότι ο υπολειπόμενος χρόνος αναμονής ήταν πολύ μεγάλος. Στην ενότητα 1.2, θα περιγράψουμε τα τηλεφωνικά συστήματα και τα δίκτυα υπολογιστών, τα οποία μπορούν να μοντελοποιηθούν μέσω των συστημάτων αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών. Οι Falin και Templeton [3] τόνισαν ότι τα κλασσικά μοντέλα ουρών δεν λαμβάνουν υπ'όψιν το φαινόμενο της επανάληψης και ως εκ τούτου δεν μπορούν να εφαρμοστούν για την επίλυση σημαντικών προβλημάτων. Για να ενισχύσουν αυτή την ιδέα, αναφέρονται στο βιβλίο του Kosten [4], ο οποίος σημειώνει ότι «οποιοδήποτε θεωρητικό αποτέλεσμα που δεν λαμβάνει υπόψη αυτή την επίδραση της επανάληψης θα πρέπει να θεωρηθεί ύποπτο». Οι ουρές με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών έχουν εισαχθεί για να λύσουν αυτό το πρόβλημα. Η γενική δομή μιας ουράς με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών, παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.1. Είναι ξεκάθαρο από την εικόνα ότι οι ουρές αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών, μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως μια ειδική μορφή δικτύων αναμονής. Στη βασική μορφή τους, τα δίκτυα αυτά περιέχουν δύο κόμβους: τον κύριο κόμβο όπου είναι πιθανό να υπάρχει αποκλεισμός και έναν κόμβο για τις επαναλαμβανόμενες δοκιμές. Για να γίνει περιγραφή συγκεκριμένων επαναλαμβανόμενων ουρών με συγκεκριμένη δομή και πειθαρχία, θα πρέπει να εισαχθούν περισσότεροι κόμβοι. Όπως παρατηρούμε στο Σχήμα 1.1, όταν ο πελάτης που εισέλθει στο σύστημα

15 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 3 βρει ελεύθερο κάποιον υπάλληλο, τότε εξυπειρετείται αμέσως. Άν όμως δεν βρει υπάλληλο ελεύθερο, τότε δεν περιμένει σε κάποια ουρά, αλλά «μπλοκάρεται» και αναχωρεί προσωρινά από το σύστημα, μεταβαίνοντας σε μια εικονική ουρά (orbit). Από εκεί επαναλαμβάνει την προσπάθεια του να βρει διαθέσιμο κάποιον υπάλληλο μετά από τυχαίο χρονικό διάστημα (retrial). Τα πρώτα μαθηματικά αποτελέσματα για τις ουρές με επαναλαμβανόμενες αφίξεις, δημοσιεύθηκαν τη δεκαετία του 50 και σήμερα υπάρχει βιβλιογραφία που αποτελείται από εκατοντάδες θέματα για το συγκεκριμένο αντικείμενο, σε πολλά μαθηματικά και στατιστικά περιοδικά. Η θεωρία αυτών των συστημάτων εξυπηρέτησης αναγνωρίζεται ως ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της θεωρίας ουρών. Στην παρούσα διατριβή, ο στόχος μας είναι να κάνουμε μια ανασκόπιση των βασικών αποτελεσμάτων και μια πρώτη προσπάθεια μελέτης σε ερευνητικό επίπεδο ενός συστήματος επαναλαμβανόμενων αφίξεων στην αποτίμηση απόδοσης πρωτοκόλλων ελέγχου μετάδοσης δεδομένων στο διαδίκτυο. Ενδιαφερόμαστε για την εύρεση της απο κοινού οριακής κατανομής της κατάστασης του συστήματος, καθώς τα σημαντικά μέτρα απόδοσης του συστήματος, προκύπτουν από αυτή την κατανομη. Σε μερικά μοντέλα, είναι δυνατόν να προκύψουν εκφράσεις κλειστής μορφής, αλλά πολύ συχνά είναι δύσκολο ή ακόμη και αδύνατο να προσδιοριστεί η οριακή κατανομή της κατάστασης του συστήματος. Οι αλγοριθμικές μέθοδοι και οι τεχνικές προσέγγισης είναι ισχυρά εργαλεία για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Έτσι λοιπόν, μια λύση είναι η εφαρμογή αλγοριθμικών μεθόδων στη μελέτη των ουρών αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών, καθώς και η χρήση πινάκων [2] [5] [6] για την επίλυση κάποιων επιλεγμένων ουρών αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών. Για αναλυτικές λύσεις που δίνονται από γεννήτριες συναρτήσεις και από τους μετασχηματισμούς Laplace-Stieltjes, παραπέμπουμε τους αναγνώστες που ενδιαφέρονται, στο βιβλίο των Falin και Templeton [3].

16 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών Παραδείγματα Συστήματα όπως τα παραπάνω παίζουν σημαντικό ρόλο σε πολλές περιπτώσεις της καθημερινής ζωής και έχουν εφαρμογές σε ένα ευρύ φάσμα της. Για παράδειγμα, τα retrial queueing systems χρησιμοποιούνται ευρέως στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές καθώς και στα επικοινωνιακά δίκτυα, όπου αρκετοί τερματικοί σταθμοί κάνουν προσπάθειες να εξυπηρετηθούν από έναν κεντρικό επεξεργαστή ή στα τοπικά δίκτυα όπου αρκετοί τερματικοί σταθμοί συνδέονται μεταξύ τους σύμφωνα με κάποιο επικοινωνιακό πρωτόκολλο Τηλεφωνικά συστήματα Στον καθένα μας έχει τύχει να λάβει κατειλλειμένο σήμα σε μια τηλεφωνική γραμμή και να επαναλάβει την κλήση μέχρι να επιτύχει την απαιτούμενη σύνδεση. Ως αποτέλεσμα, η ροή των κλήσεων που υπάρχουν σε ένα τηλεφωνικό δίκτυο αποτελείται από δύο μέρη: τη ροή των πρωτογενών κλήσεων, η οποία αντικατοπτρίζει τις πραγματικές επιθυμίες των συνδρομητών του τηλεφώνου και τη ροή των επαναλαμβανόμενων κλήσεων, η οποία είναι η συνέπεια της έλλειψης επιτυχίας στις προηγούμενες προσπάθειες. Οι διαπιστώσεις αυτές φέρνουν στο προσκήνιο την ανάγκη των επαναλαμβανόμενων ουρών αναμονής ως την κατάλληλη μοντελοποίηση της συμπεριφοράς των πελατών στα κλασσικά τηλεφωνικά συστήματα. Τα πρώτα ειδικά αποτελέσματα εμφανίστηκαν την δεκαετία του 1950, ενώ στην ανάπτυξη αυτού του θέματος έχει συμβάλει ένας πολύ μεγάλος αριθμός ερευνητών. Ως παραδείγματα της βασικής βιβλιογραφίας σχετικά με την εφαρμογή των ουρών αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών στα τηλεφωνικά συστήματα, παραθέτουμε τις αναφορές [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]. Οι νέες εξελίξεις στην τεχνολογία των τηλεπικοινωνιών έχουν οδηγήσει σε μια σημαντική αύξηση του φαινομένου των ουρών αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών, η οποία ενδέχεται να υποβαθμίσει την απόδοση του τηλεφωνικού συστήματος, ειδικά υπό συνθήκες υπερφόρτωσης. Για παράδειγμα, ο Kelly [15] ερευνά το πώς η αυξημένη χρήση των εγκαταστάσεων αυτόματης επανάληψης (επανάληψη τελευταίου αριθμού, επαναφορά όταν ο εξυπηρετητής είναι ελεύθερος) μπορεί να

17 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 5 επηρεάσει την κυκλοφορία των κλήσεων. Στη συνέχεια, επικεντρωνόμαστε στο ρόλο των επαναλήψεων στα τηλεφωνικά κέντρα και στα δίκτυα κινητής τηλεφωνίας. Ο βασικός σκοπός του τηλεφωνικού κέντρου είναι η παροχή υπηρεσιών μέσω τηλεφώνου. Εφόσον ένας μεγάλος αριθμός κλήσεων λαμβάνεται και μεταδίδεται, η λειτουργία του τηλεφωνικού κέντρου περιλαμβάνει την αλληλεπίδραση των ανθρώπινων πόρων (εξειδικευμένο προσωπικό, κεντρικά στελέχη) και του τηλεπικοινωνιακού εξοπλισμού (υπολογιστές, Internet, , fax, αυτόματος τηλεφωνητής). Η διαμόρφωση μιας ουράς του τηλεφωνικού κέντρου προσφέρει ποιοτική εικόνα. Πράγματι, το μοντέλο ουρών αναμονής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προγραμματισμό και τη διαχείριση. Για παράδειγμα, το καλύτερο προσωπικό των τηλεφωνικών κέντρων απευθύνεται στο βασικό πρόβλημα των διαστάσεων των παραμέτρων (αριθμός παραγόντων, προσβάσεις), προκειμένου να διασφαλιστούν τα μέγιστη κέρδη και μία επιθυμητή ποιότητα της παρεχόμενης υπηρεσίας όσον αφορά τον αποδεκτό χρόνο αναμονής και αποκλεισμού. Οι περισσότερες μεγάλες εταιρείες χρησιμοποιούν τηλεφωνικά κέντρα για να επικοινωνούν με τους πελάτες τους. Από λειτουργική άποψη, ένα τηλεφωνικό κέντρο μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένα σύστημα αναμονής. Τα πιο διαδεδομένα μοντέλα βασίζονται στην M/M/c ουρά, αλλά πολλές παραλλαγές (πεπερασμένη χωρητικότητα, ανυπομονησία, διαδοχικές ουρές) πρέπει να θεωρηθούν, για να κατανοήσουμε τη δυναμική των πιο περίπλοκων και σύγχρονων τηλεφωνικών κέντρων, τα οποία ενσωματώνουν τις εξερχόμενες κλήσεις που πραγματοποιούνται από τους φορείς στους πιθανούς πελάτες, τα ευέλικτα και εξειδικευμένα μέσα, τον μερισμό των πόρων, την διασύνδεση με άλλα κέντρα, κλπ. Στο Σχήμα 1.2, απεικονίζεται ένα απλό τηλεφωνικό κέντρο, συμπεριλαμβανομένων του αποκλεισμού και της επανάληψης των κλήσεων. Στο άρθρο [16], διακρίνονται τρεις τρόποι επιστροφής της κλήσης σε ένα τηλεφωνικό κέντρο: επανάκληση αφού διαπιστωθεί σήμα κατειλημμένου, επανάκληση μετά την εγκατάλειψη της ουράς και επανάκληση μετά από τη χρονική στιγμή που θα ολοκληρωθεί η υπηρεσία. Το τελευταίο αφορά κυρίως τις καθυστερημένες επανακλήσεις, γεγονός που ενδεχομένως υποδηλώνει την ικανοποίηση με την υπηρεσία που έλαβε κάποιος πελάτης. Θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένας μηχανισμός ανατροφοδότησης ή πράγματι ως νέες κλήσεις, αν η επιστροφή της

18 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 6 Σ 1.2: Το γενικό σύστημα ενός τηλεφωνικού κέντρου [1]. κλήσης καθυστερεί πάρα πολύ. Οι επανακλήσεις λόγω του αποκλεισμού και της εγκατάλειψης είναι οι πιο σημαντικές στη θεωρία των ουρών αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών. Όταν ληφθεί μια κλήση, εισέρχεται στον μηχανισμό της αυτόματης κατανομής κλήσεων, του οποίου η λειτουργία είναι να διανέμει τις εισερχόμενες κλήσεις στους ελεύθερους εξυπηρετητές. Αν όλοι οι ειδικευμένοι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι, το τηλεφωνικό κέντρο μπορεί να ανακοινώσει έναν εκτιμώμενο χρόνο αναμονής για τους πελάτες. Κάποιοι από αυτούς αποφασίζουν να περιμένουν μέχρι να βρούν κάποιον εξυπηρετητή ελεύθερο, ενώ κάποιοι άλλοι αποφασίζουν να εγκαταλείψουν μετά από κάποιο χρονικό διάστημα ή αμέσως μόλις μάθουν τον προβλεπόμενο χρόνο αναμονής. Ένα μέρος αυτών των πελατών θα ξανακαλέσει μετά από κάποιο τυχαίο χρονικό διάστημα. Σαν απάντηση σε αυτό το σύστημα λειτουργίας, μια σειρά από πρόσφατες δημοσιεύσεις τονίζουν το ενδιαφέρον για τα μοντέλα ουρών αναμονής που εξετάζουν την απόδοση του τηλεφωνικού κέντρου, αξιολογώντας την αλληλεπίδραση του πελάτη που μπλοκάρεται, της ανυπομονησίας και της επανάκλησης [17] [18] [19] [20] [21] [22]. Στο Σχήμα 1.3 απεικονίζονται οι μεταβάσεις μεταξύ των καταστάσεων στο μοντέλο που προτείνουν οι Artalejo και Pla [20]. Η πρώτη συντεταγμένη, i, αντιπροσωπεύει τον αριθμό των κλήσεων που είναι σε αναμονή στον μηχανισμό της αυτόματης διανομής κλήσεων (ουρά) και η δεύτερη συντεταγμένη, j, δηλώνει τον αριθμό των

19 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 7 Σ 1.3: Ένα τηλεφωνικό κέντρο με επαναλήψεις, μπλοκαρίσματα και ανυπομονησία [1]. κλήσεων στην ομάδα της επανάκλησης. Οι παράμετροι λ, µ, ν και δ υποδηλώνουν, αντίστοιχα, το ποσοστό των νέων κλήσεων, τη διάρκεια των κλήσεων, της επανάκλησης και των χρονικών στιγμών που υπήρξαν ανυπόμονοι πελάτες. Θεωρείται δεδομένο ότι το τηλεφωνικό κέντρο έχει c εξυπηρετητές. Οι υπόλοιπες παράμετροι του συστήματος (δηλαδή οι παράμετροι p i, q i, r i, p, q, r, q = 1 q και r = 1 r) αντιστοιχούν στις πιθανότητες μπλοκαρίσματος και ανυπομονησίας. Στο υπόλοιπο αυτής της ενότητας, θα αναλύσουμε τον ρόλο των επαναλαμβανόμενων κλήσεων στα δίκτυα της κινητής τηλεφωνίας (βλέπε Σχήμα 1.4). Σε ένα ασύρματο δίκτυο, η περιοχή κάλυψης, χωρίζεται σε έναν ορισμένο αριθμό κυψελών. Κάθε κυψέλη εξυπηρετείται από έναν σταθμό βάσης ο οποίος έχει έναν πεπερασμένο αριθμό καναλιών, έστω c. Για την αποτελεσματική χρήση των πόρων των καναλιών, ο σταθμός βάσης μπορεί να εξυπηρετήσει μέχρι και c ταυτόχρονες επικοινωνίες για κάθε κυψέλη. Ο σταθμός βάσης χρησιμοποιεί εκ νέου τα κανάλια που χρησιμοποιούνται και σε άλλες κυψέλες, με ένα τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να αποφεύγεται η παρεμβολή των επικοινωνιών που λαμβάνει χώρα σε διαφορετικές κυψέλες. Είναι γνωστό ότι οι μηχανισμοί για την αποτελεσματική διαχείριση κλήσεων μπορούν να βελτιώσουν σημαντικά την ποιότητα των υπηρεσιών και την απόδοση του δικτύου. Έτσι, η σωστή μοντελοποίηση των δικύων της κινητής τηλεφωνίας δεν μπορεί να αγνοήσει την ύπαρξη των επανειλημμένων κλήσεων. Η φόρτωση των μεμονωμένων κυψελών αποτελείται συνήθως από νέες κλήσεις που ξεκίνησαν από

20 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 8 Σ 1.4: Μία σημαντική μεμονωμένη κυψέλη [1]. τους συνδρομητές μέσα στα όρια της κυψέλης και από εισερχόμενες κλήσεις που ξεκίνησαν από τα όρια των διπλανών κυψελών. Εφόσον οι κλήσεις που προέρχονται από άλλες κυψέλες χρησιμοποιούν ήδη τους πόρους του δικτύου, θα πρέπει να δοθεί προτεραιότητα όσον αφορά τις νέες κλήσεις. Για το σκοπό αυτό, διάφορες προσεγγίσεις μπορούν να προταθούν, όπως η ουρά προτεραιότητας των κλήσεων αυτών και τα προστατευτικά κανάλια. Τα προστατευτικά κανάλια είναι δεσμευμένα στις σημαντικές κυψέλες και μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο από κλήσεις που προέρχονται από άλλες κυψέλες. Όταν μια νέα κλήση μπλοκαριστεί, ο συνδρομητής εκτελεί την επόμενη προσπάθεια με πιθανότητα H 1. Από την άλλη πλευρά, όταν μια επαναλαμβανόμενη κλήση είναι μπλοκαρισμένη, ο συνδρομητής αποφασίζει να επιχειρήσει ξανά με πιθανότητα H 2. Αποκλεισμένες κλήσεις από άλλες κυψέλες δεν επαναλαμβάνονται. Αυτοί οι συνδρομητές διασχίζουν το όριο των κυψελών με μια κλήση σε εξέλιξη. Εάν βρούνε όλα τα κανάλια απασχολημένα, τότε η κλήση διακόπτεται. Η διαδικασία των αναχωρήσεων των κλήσεων από μία κυψέλη καθορίζεται από το ελάχιστο μεταξύ της διάρκειας της κλήσης και το χρόνο παραμονής (δηλαδή, ο χρόνος που χρειάζεται ένας πελάτης από άλλη κυψέλη να περάσει από την κυψέλη). Παραλλαγές επί αυτού του τρόπου λειτουργίας έχουν αναπτυχθεί σε αρκετές δημοσιεύσεις [23] [24] [25] [26], που χρησιμοποιούν δύο διαστάσεων συστήματα αναμονής για να παρουσιάσουν την συμπεριφορά αυτών των δικτύων κινητής τηλεφωνίας.

21 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών Δίκτυα υπολογιστών Οι κανόνες λειτουργίας τυχαίων πρωτοκόλλων πρόσβασης σε δίκτυα ηλεκτρονικών υπολογιστών παρέχουν ένα σημαντικό κίνητρο για το σχεδιασμό των πρωτοκόλλων επικοινωνίας με αναμετάδοση ελέγχου (δηλαδή, με επαναλήψεις στην ορολογία των ουρών αναμονής). Θεωρούμε μια γραμμή επικοινωνίας με συγκεκριμένο χρόνο χρήσης που μοιράζεται σε πολλούς σταθμούς. Η χρονική διάρκεια ισούται με το χρόνο μετάδοσης ενός ενιαίου πακέτου δεδομένων. Εάν δύο ή περισσότεροι σταθμοί μεταδίδουν πακέτα ταυτοχρόνως, τότε συμβαίνει μια σύγκρουση. Ως αποτέλεσμα, όλα τα πακέτα καταστρέφονται και πρέπει να αναμεταδοθούν. Οι σταθμοί που εμπλέκονται στη σύγκρουση, θα προσπαθήσουν να αναμεταδώσουν την αμέσως επόμενη χρονική στιγμή, αλλά στη συνέχεια και πάλι θα συμβεί σύγκρουση. Για να αποφευχθεί αυτό, κάθε σταθμός, ανεξάρτητα από τους άλλους σταθμούς, μπορεί είτε να καθυστερήσει τη μετάδοση μέχρι την επόμενη χρονική στιγμή με πιθανότητα r είτε να αναμεταδώσει το πακέτο με πιθανότητα 1-r. Με άλλα λόγια, κάθε σταθμός εισάγει μια τυχαία καθυστέρηση πριν από την επόμενη προσπάθεια μετάδοσης του πακέτου. Αυτή η απλή περιγραφή κινητοποιεί το ενδιαφέρον της επαναληπτικής λειτουργίας στα δίκτυα των υπολογιστών. Στη συνέχεια, θα αναφερθούμε συνοπτικά στα κύρια στοιχεία των τυχαίων δικτύων πρόσβασης, όπου η αναμετάδοση των πακέτων εμφανίζεται με φυσικό τρόπο. Τα δίκτυα των υπολογιστών μπορούν να ταξινομηθούν με βάση τη γεωγραφική τους έκταση. Εδώ θα εστιάσουμε την προσοχή μας στα τοπικά δίκτυα (LAN) που επιτρέπουν σε έναν ενιαίο οργανισμό να συνδέσει τους υπολογιστές, τους τερματικούς σταθμούς, τις περιφερειακές και άλλες συσκευές που έχουν επεκταθεί πέρα από μια μέτρια γεωγραφική περιοχή (γραφείο, Πανεπιστημιούπολη, αποθήκη) μέσω της υψηλής ταχύτητας και τις συνδέσεις χαμηλού θορύβου. Στο Σχήμα 1.5, σκιαγραφούμε τη γενική εικόνα ενός τοπικού δικτύου LAN. Οι σταθμοί (δηλαδή, οι κόμβοι του δικτύου) μπορούν να να συνδεθούν με διαφορετικούς τρόπους. Υπάρχουν τέσσερις βασικές δομημένες τοπολογίες: λεωφορείο,

22 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 10 Σ 1.5: Παράδειγμα τοπικού δικτύου [1]. δακτύλιος, αστέρι και δέντρο (βλέπε Σχήμα 1.6). Για την τοπολογία του λεωφορείου, όλοι οι σταθμοί επισυνάπτουν ένα μέσο μετάδοσης. Ένας σταθμός που εκπέμπει στέλνει ένα μήνυμα το οποίο διαδίδεται στο μέσο και στις δύο κατευθύνσεις και έτσι λαμβάνεται από όλους τους σταθμούς. Στο δίκτυο του δακτυλίου, τα δεδομένα κυκλοφορούν συνήθως σε μία κατεύθυνση μέχρι το πακέτο να επιστρέψει στον σταθμό της προέλευσής του, όπου και διαγράφεται. Στην περίπτωση του αστεριού, κάθε σταθμός συνδέεται με έναν κεντρικό κόμβο μέσω αμφίδρομων συνδέσεων, μία για τη μετάδοση και μία για την υποδοχή. Μπορούμε να διακρίνουμε δύο εναλλακτικούς τρόπους λειτουργίας του κεντρικού κόμβου. Ο ένας είναι ότι μπορεί να αναμεταδώσει το πακέτο σε όλους τους σταθμούς. Στην περίπτωση αυτή, το δίκτυο λειτουργεί όπως η τοπολογία του λεωφορείου παρά το γεγονός ότι κανονικά είναι ένα δίκτυο αστέρι. Ο άλλος τρόπος είναι η λειτουργία του κεντρικού κόμβου ως συσκευή εναλλαγής. Έτσι, υπάρχει η δυνατότητα να αμβλυνθούν τα εισερχόμενα πακέτα και στη συνέχεια να μεταδοθούν στον τελικό σταθμό. Τέλος, η τοπολογία του δέντρου μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενίκευση της τοπολογίας του λεωφορείου. Η τοπολογία του αστεριού είναι ίσως το πιο επεκταμένο σχέδιο στην βιβλιογραφία για τα τοπικά δίκτυα υπολογιστών με επαναλήψεις [27] [28] [29] [30].

23 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 11 Σ 1.6: Βασικοί τύποι της τοπολογίας LAN [1]. Σε τυχαία δίκτυα πρόσβασης, κάθε σταθμός είναι ελεύθερος να δοκιμάσει τη μετάδοση των πακέτων του, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι ένας άλλος σταθμός επιχειρεί επίσης μετάδοση. Στην πραγματικότητα, στο πρωτόκολλο ALOHA ένας σταθμός είναι ελεύθερος να διαβιβάζει το συντομότερο μόλις έχει ένα πακέτο έτοιμο για αποστολή. Στα περισσότερα τοπικά δίκτυα (LAN), οι σταθμοί βρίσκονται κοντά ο ένας με τον άλλο και έτσι οι καθυστερήσεις διάδοσης είναι μικρές. Σε αυτό το είδος των δικτύων, είναι εφικτό για ένα σταθμό να ακούσει το κανάλι. Αν το κανάλι εντοπιστεί να είναι απασχολημένο, ο σταθμός προβαίνει σε αναδιαπραγμάτευση της μετάδοσης του πακέτου σε μεταγενέστερο χρόνο. Αυτή η περιγραφή αντιστοιχεί στο πρωτόκολλο της μη εμμένουσας πολλαπλής πρόσβασης με ανίχνευση φέρουσας (CSMA), το οποίο ανακύπτει συχνά στη βιβλιογραφία ως θεμελιώδης πηγή κινήτρου για το φαινόμενο της επανάληψης στα δίκτυα των υπολογιστών. Είναι σύνηθες να προσπαθόυμε να χρησιμοποιήσουμε ξανά έναν αλγόριθμο υποχώρησης του περικομμένου δυαδικού εκθετικού χρόνου, όπως αυτός που χρησιμοποιείται από το Internet. Μια εκδοχή συνιστά την επανάληψη της προσπάθειας 15 φορές και για κάθε μία να καθυστερείται η βάση του χρόνου υποχώρησης συγκεκριμένες ακέραιες χρονικές στιγμές. Το τελευταίο λαμβάνεται συνήθως ως δύο φορές η καθυστέρηση της διάδοσης από άκρο σε άκρο. Ως απλούστερη πολιτική αναμετάδοσης, αναφέρουμε το γεωμετρικό σχήμα που περιγράφεται στο εικονιζόμενο παράδειγμα στην

24 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 12 αρχή αυτής της ενότητας. Υπάρχουν και άλλοι τρόποι με τους οποίους ο μηχανισμός ανίχνευσης χρησιμοποιείται, και αυτό οδηγεί σε πρωτόκολλα σύμβασης CSMA. Σε ένα πρωτόκολλο σύμβασης, ο σταθμός συνεχίζει να ανιχνεύει το κανάλι μέχρι να μεταβεί σε κατάσταση αδράνειας. Στη συνέχεια, ο σταθμός μεταδίδει με πιθανότητα p, ή ο σταθμός καθυστερεί την μετάδοση των πακέτων με πιθανότητα 1-p. Η ιδέα να έχουμε p λιγότερα από ένα είναι να μειωθεί ο αριθμός των συγκρούσεων. Σαφώς, εάν μια σύγκρουση ανιχνεύεται, ο σταθμός ματαιώνει το πακέτο και προσπαθεί να επαναλάβει τη διαδικασία μετά την υποχώρηση. Τα πιο εξειδικευμένα πρωτόκολλα περιλαμβάνουν υλικό για την παρακολούθηση, κατά τη διάρκεια εκπομπής. Εάν η πρόσκρουση εντοπιστεί, το πακέτο αμέσως διακόπτεται και καμία ανατροφοδότηση δεν είναι απαραίτητη για να ενημερώσει το σταθμό μετάδοσης. Ωστόσο, ένα σήμα μπορεί να σταλεί για να εξασφαλιστεί το γεγονός ότι οι άλλοι σταθμοί έχουν επίγνωση της σύγκρουσης. Η λειτουργία των πρωτοκόλλων CSMA μπορεί να έχει συγκεκριμένο χρόνο χρήσης ή να μην έχει συγκεκριμένο χρόνο χρήσης. Στην πρώτη περίπτωση, είναι απαραίτητο να συγχρονιστούν οι σταθμοί για να αρχίσουν τις μεταδόσεις τους κατά την αρχή κάθε χρονικής στιγμής. Συνοπτικά, γίνεται διάκριση μεταξύ των ανοικτών δικτύων, όπου οι σταθμοί λαμβάνουν πακέτα έξω από το σύστημα, και των κλειστών δικτύων, όπου ο ίδιος ο σταθμός ενεργεί ως πηγή παραγωγής των πακέτων. Στην πρώτη περίπτωση, είναι σύνηθες να υποθέσουμε ότι οι εξωτερικές ροές πακέτων ακολουθούν μια διαδικασία Poisson, ενώ τα κλειστά δίκτυα έχουν συνήθως μοντελοποιηθεί με τη βοήθεια των λεγόμενων ημι-τυχαίων εισόδων. 1.3 Χαρακτηριστικά των συστημάτων αναμονής Η Θεωρία Συστημάτων Αναμονής (Queueing Theory) είναι η μαθηματική θεωρία που έχει σκοπό την μελέτη και πρόβλεψη της συμπεριφοράς διαφόρων συστημάτων που παρέχουν εξυπηρέτηση (service) σε ζητήσεις (demands) που εμφανίζονται τυχαία. Γενικά ένα σύστημα εξυπηρέτησης μπορούμε να πούμε ότι αποτελείται από τα εξής μέρη:

25 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών Από ένα χώρο όπου οι πελάτες καταφθάνουν και περιμένουν σε κάποια ουρά για να εξυπηρετηθούν. Ο χώρος αυτός ονομάζεται χώρος αναμονής και θεωρείται ότι έχει είτε περιορισμένη είτε απεριόριστη χωρητικότητα. Για παράδειγμα, η στάση του λεωφορείου είναι χώρος απεριόριστης χωρητικότητας ενώ μία μάντρα παρκαρίσματος, οπου ο πελάτης που καταφθάνει και δεν βρίσκει θέση για να παρκάρει φεύγει, είναι ένα σύστημα με χώρο αναμονής χωρητικότητας μηδέν. 2. Από τα κανάλια εξυπηρέτησης. Τέτοια κανάλια είναι για παράδειγμα τα ταμεία σε μία τράπεζα ή σε ένα supermarket και οι διάδρομοι στο αεροδρόμιο. Σε κάθε κανάλι μπορεί να υπάρχουν ένας ή και περισσότεροι υπάλληλοι (servers) για την εξυπηρέτηση των πελατών. Επίσης, οι πελάτες που περιμένουν στο χώρο αναμονής μπορούν να θεωρηθούν είτε διατεταγμένοι σε μία ουρά, όπως για παράδειγμα τα αεροπλάνα που περιμένουν να αδειάσει κάποιος διάδρομος, είτε διατεταγμένοι σε πολλές ουρές, μία για κάθε κανάλι εξυπηρέτησης, οπως για παράδειγμα οι ουρές των πελατών σε μία τράπεζα. Από την πλευρά του ερευνητού τώρα, ένα σύστημα εξυπηρέτησης χαρακτηρίζεται από: 1. Τη χωρητικότητα του χώρου αναμονής. Ένα σύστημα ονομάζεται σύστημα καθυστέρησης ή σύστημα απώλειας εάν η χωρητικότητά του είναι απεριόριστη ή περιορισμένη αντίστοιχα. Για παράδειγμα, εάν έχουμε έναν πεπερασμένο χώρο αναμονής και κάποιοι πελάτες εισέλθουν όταν ο χώρος είναι γεμάτος, τότε θα φύγουν και θα χαθούν για το σύστημα. 2. Τον τρόπο αφίξεως των πελατών. Η διαδικασία αφίξεων πελατών αναφέρεται στον τρόπο με τον οποίο φθάνουν οι πελάτες στο σύστημα και καθορίζεται συνήθως από τον μέσο ρυθμό άφιξης των πελατών και το στατιστικό-πιθανοθεωρητικό μοντέλο των αφίξεων ή από τον μέσο χρόνο αναμονής ανάμεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις και την εξάρτηση των χρόνων αυτών. Οι αφίξεις σε ένα σύστημα αναμονής είναι κατα κάποιο τρόπο τυχαίες καθώς δεν συμβαίνουν σε ίσα χρονικά διαστήματα αλλά ακολουθούν κάποια συγκεκριμένη κατανομή όπως την κατανομή Poisson, την κατανομή Erlang, ή μία άλλη

26 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 14 γενική κατανομή. Σε συνηθισμένες περιπτώσεις ουράς, η διαδικασία των αφίξεων είναι στοχαστική και έτσι είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την κατανομή πιθανότητας που περιγράφει τους χρόνους μεταξύ των διαδοχικών αφίξεων πελατών. 3. Τον αριθμό πελατών σε κάθε άφιξη. Γενικά θεωρούμε ότι ο αριθμός των πελατών που μπαίνουν στο σύστημα σε μία άφιξη ακολουθεί και αυτός μία κατανομή. Σε μία άφιξη μπορούν να έρθουν είτε ένας μεμονωμένος πελάτης, όπως για παράδειγμα στη στάση ενός λεωφορείου, είτε μία ομάδα πελατών, όπως για παράδειγμα στην προσγείωση του αεροπλάνου. Στην περίπτωση που κατά την είσοδο κάποιου πελάτη όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι, τότε ο πελάτης είτε θα αποχωρήσει από το σύστημα, είτε θα αποφασίσει να περιμένει, είτε θα θα αναχωρήσει και θα επιχειρήσει ξανά την είσοδό του στο σύστημα (retrail) μετά από τυχαίο χρόνο. 4. Τον αριθμό των καναλιών ή των υπαλλήλων εξυπηρέτησης. Ένα σύστημα μπορεί να έχει έναν ή πολλούς εξυπηρετητές. Ένας πελάτης που εισέρχεται και βρίσκει περισσότερους από έναν εξυπηρετητές ελεύθερους, επιλέγει τυχαία αυτόν που θα τον εξυπηρετήσει. 5. Τη διάρκεια της εξυπηρέτησης, δηλαδή τον χρόνο που ο πελάτης αναλώνει εξυπηρετούμενος στο κανάλι εξυπηρέτησης. Με κατάλληλες μετρήσεις μπορεί και αυτή να παρασταθεί από μία κατανομή πιθανοτήτων. 6. Τον αριθμό των πελατών που εξυπηρετούνται ταυτόχρονα. Όταν προσδιορίζουμε τον αριθμό των καναλιών εξυπηρέτησης αναφερόμαστε τυπικά στον αριθμό των παράλληλων σταθμών εξυπηρέτησης που μπορούν να εξυπηρετούν πελάτες ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, η ξενάγηση (εξυπηρέτηση) σε ένα μουσείο γίνεται σε ομάδες πελατών από ξεναγούς (servers). 7. Την πειθαρχία της ουράς. Εκφράζει τον τρόπο με τον οποίο επιλέγονται οι πελάτες για εξυπηρέτηση από τους υπαλλήλους. Η πιο συνηθισμένη πειθαρχία είναι η FIFO (First In First Out) ή FSCS (First Come First Served), δηλαδή ο πρώτος πελάτης που έρχεται εξυπηρετείται και πρώτος. Κάποιες άλλες περιπτώσεις πειθαρχίας είναι η LCFS (Last Come First Served), για παράδειγμα

27 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 15 κατά την εκφόρτωση ενός ferry boat και η προτεραιότητα που μπορεί να έχουν κάποιοι πελάτες, για παράδειγμα μια επείγουσα περίπτωση στο νοσοκομείο. Τα παραπάνω χαρακτηριστικά σαφώς και ισχύουν και για τα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών Σημειογραφία Ως συντομογραφία για την περιγραφή των χαρακτηριστικών ενός συστήματος εξυπηρέτησης, έχει επικρατήσει ο παρακάτω συμβολισμός, X [Y ] /Z [W ] /n/k όπου, X : Χαρακτηρίζει την κατανομή των αφίξεων. Y : Χαρακτηρίζει την κατανομή του αριθμού των πελατών ανά άφιξη. Z : Χαρακτηρίζει την κατανομή του χρόνου (διάρκεια) εξυπηρέτησης. W : Χαρακτηρίζει την κατανομή του αριθμού των πελατών ανά εξυπηρέτηση. n : Ο αριθμός των καναλιών ή των υπαλλήλων εξυπηρέτησης. K : Ο αριθμός των θέσεων (χωρητικότητα) στο σύστημα (χώρος αναμονής και κανάλια εξυπηρέτησης). 1.4 Η έννοια της στατιστικής ισορροπίας Όταν τη χρονική στιγμή μηδέν, ένα σύστημα εξυπηρέτησης αρχίζει τη λειτουργία του, είναι λογικό να περιμένουμε ότι για κάποιο χρονικό διάστημα θα ακολουθεί μία διαταραγμένη λειτουργία, δηλαδή μία λειτουργία συνεχούς μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, τη στιγμή που ανοίγουν τα εξωτερικά ιατρεία ενός νοσοκομείου, περιμένει απ' έξω ένας αριθμός πελατών. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, ο χρόνος αναμονής στην ουρά ενός πελάτη, που έρχεται λίγο μετά την έναρξη λειτουργίας του

28 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 16 συστήματος, να εξαρτάται από τον αριθμό των αρχικών πελατών (αρχικές συνθήκες) και από τον χρόνο t της αφίξεώς του. Ώρα με την ώρα όμως η κατάσταση του συστήματος ανεξαρτητοποιείται από τον χρόνο λειτουργίας του και από τις αρχικές συνθήκες και εξαρτάται πλεόν μόνο από τον αριθμό των πελατών που ''μπαίνουν'' σ' αυτό ή ''βγαίνουν'' από αυτό. Μπορούμε δηλαδή να δεχθούμε ότι όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο, το σύστημά μας περιέχεται σε μία κατάσταση στατιστικής ισσοροπίας. Σε μία τέτοια κατάσταση ο χρόνος αναμονής ενός πελάτη, ή το μήκος της ουράς που θα βρει μπροστά του όταν μπει στο σύστημα, δεν εξαρτάται από το χρονικό διάστημα λειτουργίας του συστήματος μέχρι την στιγμή αφίξεως του συγκεκριμένου πελάτη. Η εύρεση των συνθηκών κάτω από τις οποίες ένα σύστημα περιέχεται σε κατάσταση στατιστικής ισσοροπίας, έχει πολύ μεγάλη σημασία για την μελέτη του συστήματος. Έτσι, αν σε μία ουρά με έναν υπάλληλο ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης ενός πελάτη είναι μεγαλύτερος από τον μέσο χρόνο που χωρίζει δύο διαδοχικές αφίξεις, τότε η ουρά αυξάνει συνεχώς με την πάροδο του χρόνου. Σε ένα τέτοιο σύστημα θα περιμέναμε ότι, μετά από μεγάλη χρονική διάρκεια λειτουργίας, η ουρά θα ήταν θεωρητικά απείρου μήκους και η πιθανότητα ένας πελάτης να έλθει και να βρει έναν πεπερασμένο αριθμό πελατών να περιμένουν μπροστά από αυτόν, θα ήταν μηδέν. 1.5 Βιβλιογραφία Σ' αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο, δίνεται έμφαση στον θεμελιώδη ρόλο των επαναλήψεων στα κλασσικά τηλεφωνικά συστήματα, τηλεφωνικά κέντρα και τοπικά δίκτυα υπολογιστών. Επίσης, παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά των συστημάτων εξυπηρέτησης. Για περιγραφές και άλλων πρακτικών εφαρμογών που έχουν αυτά τα συστήματα, οι αναγνώστες μπορούν να εξετάσουν τον κατάλογο με τις δημοσιεύσεις που υπάρχουν στην βιβλιογραφία. Πολλά βιβλία που αφορούν τις επαναλήψεις στα τηλεφωνικά συστήματα και δίκτυα υπολογιστών είναι διαθέσιμα, όπως τα ακούλουθα [31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [13], [38], [39]. Τέλος, παρατίθενται κάποιες εργασίες στις οποίες γίνεται πλήρης μελέτη και ανάλυση σε

29 Εισαγωγή στα συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών 17 συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [51].

30 Κεφάλαιο 2 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο 2.1 Εισαγωγή Στα retrial συστήματα εξυπηρέτησης με έναν υπάλληλο, όταν κάποιος πελάτης που εισέλθει στο σύστημα από το εξωτερικό περιβάλλον βρει τον υπάλληλο ελεύθερο, τότε μπαίνει για εξυπηρέτηση και μόλις τελειώσει αφήνει το σύστημα. Ο πελάτης αυτός αναφέρεται σαν πρωτεύον πελάτης (primary costumer). Σε διαφορετική περίπτωση, εισέρχεται στο retrial box ή orbit, δηλαδή σε έναν εικονικό χώρο είτε απεριόριστης είτε πεπερασμένης χωρητικότητας, απ όπου σε τυχαία χρονικά διαστήματα, επιχειρεί να βρει τον υπάλληλο ελεύθερο για να εξυπηρετηθεί. Οι πελάτες που βρίσκονται στο ''κουτί'' των επαναλαμβανόμενων αφίξεων αναφέρονται ως δευτερεύοντες πελάτες (secondary customers). Δύο βασικά συστήματα εξυπηρέτησης με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών, είναι τα Μ/Μ/1 και M/G/1, τα οποία μελετάμε σ' αυτή την ενότητα. Συγκεκριμένα, μελετάμε την από κοινού οριακή κατανομή του αριθμού των πελατών στην ουρά επαναλαμβανόμενων αφίξεων και στον χώρο εξυπηρέτησης και υπολογίζουμε τα κύρια μέτρα απόδοσης του συστήματος. 18

31 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο Το Μ/Μ/1 retrial σύστημα αναμονής Περιγραφή του συστήματος Το σύστημα που εξετάζουμε είναι το βασικό σύστημα εξυπηρέτησης με έναν υπάλληλο και επαναλαμβανόμενες προσπάθειες των πελατών να εξυπηρετηθούν όταν ο υπάλληλος είναι απασχολημένος. Οι αφίξεις των πελατών ακολουθούν την κατανομή Poisson με παράμετρο λ. Υποθέτουμε ότι τα χρονικά διαστήματα ανάμεσα στις επιτυχημένες προσπάθειες για εξυπηρέτηση ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο µ και ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν επίσης την εκθετική κατανομή με παράμετρο ν. Τέλος, τα χρονικά διαστήματα μεταξύ των αφίξεων, των προσπαθειών για εξυπηρέτηση καθώς επίσης και οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητα. Η κατάσταση του συστήματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, μπορεί να περιγραφεί πλήρως από την δισδιάστατη Μαρκοβιανή διαδικασία (C(t), N(t)), όπου C(t) είναι ο αριθμός των απασχολημένων υπαλλήλων την χρονική στιγμή t και N(t) είναι ο αριθμός των πελατών στο retrail box την χρονική στιγμή t. Είναι εμφανές το γεγονός ότι στην περίπτωση που μελετάμε, θα ισχύει ότι C(t) = 1 ή C(t) = 0, αν ο υπάλληλος είναι απασχολημένος ή ελέυθερος αντίστοιχα. Το παραπάνω σύστημα που περιγράψαμε, ονομάζεται M/Μ/1 σύστημα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις. Στο Σχήμα 2.1 μπορούμε να δούμε την απεικόνισή του Ανάλυση των καταστάσεων του συστήματος σε στατιστική ισορροπία Η διαδικασία (C(t), N(t)) στην οποία οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν την εκθετική κατανομή, είναι μία Μαρκοβιανή διαδικασία με χώρο καταστάσεων {0, 1} Z n, όπου Z n είναι το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων. Συμβολίζουμε με p in (t) = P {C(t) = i, N(t) = n}

32 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο 20 Σ 2.1: M/M/1 σύστημα με επαναλαμβανόμενες αφίξεις. τις πιθανότητες καταστάσεων του συστήματος σε στατιστική ισορροπία. Σκοπός μας είναι να τις υπολογίσουμε. Θεώρημα 2.1. Για το M/M/1 retrial σύστημα εξυπηρέτησης σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, η από κοινού κατανανομή της κατάστασης του εξυπηρετητή C(t) και του αριθμού των πελατών στην ουρά επαναλαμβανομένων αφίξεων N(t) είναι, p 0n (t) = p 1n (t) = ρn+1 n!µ n ρn n 1 (λ + iµ)(1 ρ) λ n!µ n µ +1 i=0 n (λ + iµ)(1 ρ) λ µ +1 i=1 Οι αντίστοιχες γεννήτριες συναρτήσεις είναι, P 0 (z) P 1 (z) n=0 ( ) λ 1 ρ z n µ p 0n = (1 ρ) 1 ρz n=0 ( ) λ 1 ρ z n µ +1 p 1n = ρ 1 ρz Απόδειξη. Από την κατάσταση (0, n) είναι δυνατές οι μεταβάσεις στις εξής καταστάσεις: 1. Στην (1, n) με ρυθμό λ, η οποία προκύπτει από την άφιξη κάποιου πελάτη από το εξωτερικό περιβάλλον που βρίσκει ελεύθερο τον υπάλληλο.

33 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο Στην (1, n-1) με ρυθμό nµ, η οποία προκύπτει από την άφιξη κάποιου πελάτη από το retrial box. Εφόσον στην κατάσταση (0, n) ο υπάλληλος είναι ελεύθερος, δεν υπάρχει μετάβαση που να αντιστοιχεί στην ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης. Η μετάβαση στην κατάσταση (0, n) γίνεται μόνο από την κατάσταση (1, n) με ρυθμό ν, όταν ολοκληρωθεί η εξυπηρέτηση και ο πελάτης αποχωρήσει από το σύστημα. Από την κατάσταση (1, n) είναι δυνατές οι μεταβάσεις στις εξής καταστάσεις: 1. Στην (1, n+1) με ρυθμό λ, η οποία προκύπτει από την άφιξη κάποιου πελάτη από το εξωτερικό περιβάλλον. 2. Στην (0, n) με ρυθμό ν, η οποία προκύπτει από την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης. Εφόσον στην κατάσταση (1, n) ο υπάλληλος είναι απασχολημένος, οι αφίξεις των πελατών από το retrial box δεν επηρεάζουν την κατάσταση. Έτσι, δεν υπάρχει μετάβαση που να αντιστοιχεί στην άφιξη από το retrial box. Η μετάβαση στην κατάσταση (1, n) γίνεται μόνο από τις εξής κατάστασεις: 1. Από την (0, n) με ρυθμό λ η οποία προκύπτει από την άφιξη κάποιου πελάτη από το εξωτερικό περιβάλλον. 2. Από την (0, n+1) με ρυθμό (n+1)µ, η οποία προκύπτει από την άφιξη κάποιου πελάτη από το retrial box. 3. Από την (1, n-1) με ρυθμό λ η οποία προκύπτει από την άφιξη κάποιου πελάτη από το εξωτερικό περιβάλλον ο οποίος βρίσκει τον υπάλληλο απασχολημένο και εισέρχεται στο retrial box. Έτσι, με βάση τα παραπάνω και το γεγονός ότι σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας ο ρυθμός με τον οποίο μια διαδικασία μπαίνει σε μια κατάσταση ισούται με τον ρυθμό με τον οποίο η διαδικασία αφήνει την κατάσταση, το σύστημα των εξισώσεων σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, για τις πιθανότητες p 0n, p 1n είναι, (λ + nµ)p 0n = νp 1n (2.1)

34 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο 22 Σ 2.2: Μεταβάσεις καταστάσεων στο Μ/Μ/1 retrial σύστημα αναμονής. (λ + ν)p 1n = λp 0n + (n + 1)µp 0,n+1 + λp 1,n 1 (2.2) Στη συνέχεια, θα επιλύσουμε το παραπάνω σύστημα με τη χρήση μερικών γεννητριών συναρτήσεων. Ορίζουμε τις εξής γεννήτριες συναρτήσεις, P 0 (z) P 1 (z) z n p 0n n=0 z n p 1n n=0 Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση (2.1) με το z n και έχουμε, (λ + nµ)p 0n z n = νp 1n z n (λ + nµ)p 0 (z) = νp 1 (z) λp 0 (z) + µ ( 1 z 1 p z 2 p z 3 p 03 + ) = νp 1 (z) λp 0 (z) + µz ( 1 z 0 p z 1 p z 2 p 03 + ) = νp 1 (z) λp 0 (z) + µzp 0 (z) = νp 1 (z) (2.3) Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση (2.2) με το z n και έχουμε, (λ + ν)p 1n z n = λp 0n z n + (n + 1)µp 0,n+1 z n + λp 1,n 1 z n (λ+ν)p 1 (z) = λp 0 (z)+µ ( p p 02 z p 03 z 2 + )+λz ( p 10 + p 11 z 1 + )

35 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο 23 (λ + ν)p 1 (z) = λp 0 (z) + µp 0 (z) + λzp 1 (z) (λ + ν λz)p 1 (z) = λp 0 (z) + µp 0 (z) P 1 (z) = λp 0 (z) + µp 0 (z) ν + λ(1 z) (2.4) Από τις (2.3) και (2.4) έχουμε ότι, ( µp 0 (z) z ( µp 0 (z) z λp 0 (z) + µzp 0 (z) = ν ( ) λp0 (z) + µp 0 (z) ν + λ(1 z) ) ( ) ν ν = λp 0 (z) ν + λ (1 z) ν + λ (1 z) 1 ) ( ) 1 1 = λp 0 (z) 1 + ρ (1 z) 1 + ρ (1 z) 1 ( ) (z 1)(1 ρz) µp 0 (z) = λp 0 (z) ρ(z 1) 1 + ρ (1 z) 1 + ρ (1 z) P 0(z) = λp 0 (z) ρ(z 1) µ(z 1)(1 ρz) P 0(z) = Επιλύουμε στη συνέχεια την παραπάνω διαφορική εξίσωση, e λρ µ(1 ρz) dz P 0(z) = λρ µ(1 ρz) P 0(z) (2.5) λρ µ(1 ρz) P 0(z)e λρ µ(1 ρz) dz e λ µ log(1 ρz) P 0(z) λρ µ(1 ρz) P 0(z)e λ µ log(1 ρz) = 0 ( P 0 (z)e λ log(1 ρz)) µ = 0 P 0 (z)e log(1 ρz) λ µ = Const P 0 (z)(1 ρz) λ µ = Const P 0 (z) = Const (1 ρz) λ µ (2.6)

36 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο 24 Στη συνέχεια αντικαθιστούμε τις εξισώσεις (2.5) και (2.6) στην εξίσωση (2.3) και έχουμε, Επομένως, P 1 (z) = λ ν P 0(z) + µz ν P 0 (z) = ρp 0 (z) + µz ν P 0 (z) = ρp 0 (z) + µz λρ ν µ(1 ρz) P 0 (z) = ρp 0 (z) + ρ2 z = P 0 (z) ( ρ + ρ2 z (1 ρz) P 1 (z) = (1 ρz) P 0 (z) ) ρ = P 0 (z) (1 ρz) = ρ Const (1 ρz) (1 ρz) λ µ ρ Const (1 ρz) λ µ +1 (2.7) Η σταθερά μπορεί να βρεθεί με την βοήθεια της συνθήκης κανονικότητας, (p 0n + p 1n ) = P 0 (1) + P 1 (1) = 1 n=0 η οποία υποδηλώνει ότι, Const = (1 ρ) λ µ +1 (2.8) Άρα, αντικαθιστώντας την σχέση (2.8) στις σχέσεις (2.6) και (2.7) έχουμε, P 0 (z) = (1 ρ) λ µ +1 (1 ρz) λ µ (2.9) και P 1 (z) = ρ(1 ρ) λ µ +1 (2.10) (1 ρz) λ µ +1 Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2.9) και (2.10) στις γεννήτριες συναρτήσεις που είχαμε ορίσει αρχικά έχουμε, P 0 (z) n=0 ( ) λ 1 ρ z n µ p 0n = (1 ρ) 1 ρz (2.11) P 1 (z) n=0 ( ) λ 1 ρ z n µ +1 p 1n = ρ (2.12) 1 ρz

37 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο 25 Τώρα, για να βρούμε την μορφή των καταστάσεων του συστήματος, αρκεί να αναπτύξουμε τις συναρτήσεις (1 ρz) λ µ και (1 ρz) λ µ 1 σε δυναμοσειρές με την βοήθεια της κλασικής διωνυμικής μορφής, Δηλαδή, και (1 + x) m = n=0 x n n 1 (m i) n! i=0 (1 ρz) λ ( ρz) n n 1 µ = ( λ i) (2.13) n! µ (1 ρz) λ µ 1 = n=0 i=0 ( ρz) n n 1 ( λ 1 i) (2.14) n! µ n=0 Από τις σχέσεις (2.11) και (2.13) έχουμε, p 0n = (1 ρ) λ µ +1 n=0 i=0 ( ρ) n n 1 ( λ n! µ i) i=0 = ρn n 1 ( λ n! µ + i)(1 ρ) λ µ +1 i=0 = ρn n 1 (λ + iµ)(1 ρ) λ n!µ n µ +1 i=0 Από τις σχέσεις (2.12) και (2.14) έχουμε, p 1n = ρ(1 ρ) λ µ +1 n=0 ( ρ) n n 1 ( λ n! µ 1 j) j=0 = ρn+1 n 1 (λ + µ + jµ)(1 ρ) λ n!µ n µ +1 = ρn+1 n!µ n j=0 n (λ + iµ)(1 ρ) λ µ +1 i= Μέτρα απόδοσης Στη συνέχεια θα μελετήσουμε κάποια βασικά μέτρα απόδοσης του συστήματος σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας.

38 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο Η στάσιμη κατανομή του αριθμού των επαναλαμβανόμενων προσπαθειών q n = P {N(t) = n} έχει τη γεννήτρια συνάρτηση, ( 1 ρ P (z) = P 0 (z) + P 1 (z) = (1 ρ) 1 ρz ( ) λ 1 ρ µ +1 = (1 + ρ ρz) 1 ρz ) λ ( ) λ µ 1 ρ µ +1 + ρ 1 ρz Αυτό υποδηλώνει ότι οι ροπές περί το μηδέν Φ n = E(N(t)) n του μήκους της ουράς δίνονται από τον τύπο, Φ n = ρn+1 (λ + µ) (λ + (n 1)µ)(ν + nµ) (1 ρ) n µ n Συγκεκριμένα, ο μέσος αριθμός των πελατών που θα ξαναπροσπαθήσουν για να εξυπηρετηθούν, είναι η ροπή πρώτης τάξης περί το μηδέν. Δηλαδή, E(N(t)) = Φ 1 = P (z) z=1 = (1 + ρ ρz) ( 1 ρ 1 ρz ) λ µ ( +1 1 ρ + (1 + ρ ρz)[ 1 ρz ( ) ( ) λ 1 ρ µ +1 = ρ + (1 + ρ ρ) ρ λ + 1 µ 1 ρ 1 ρ ( ) λ ρ + 1 µ ρ(1 ρ)µ + λρ + ρµ = ρ + = 1 ρ (1 ρ)µ ρ(λ + ρµ) = (1 ρ)µ ) λ µ +1] Τώρα, θα υπολογίσουμε τη διασπορά για την οποία ισχύει ότι V ar (N(t)) = Φ 2 + Φ 1 Φ 2 1. Έχουμε ότι, z=1 Φ 2 = P (z) z=1 { = (1 + ρ ρz) ( 1 ρ 1 ρz = ρ [1 + ρµ(2 ρ + 2λρ + ρ2 µ) + λ(1 + λρ)] (1 ρ) 2 µ 2 ) λ µ ( +1 ) λ 1 ρ + (1 + ρ ρz)[ +1] } µ 1 ρz z=1

39 Retrial συστήματα αναμονής με έναν υπάλληλο 27 Επομένως, V ar (N(t)) = Φ 2 + Φ 1 Φ 2 1 = ρ [1 + ρµ(2 ρ + 2λρ + ρ2 µ) + λ(1 + λρ)] ρ(λ + ρµ) + (1 ρ) 2 µ 2 (1 ρ)µ ρ2 (λ + ρµ) 2 (1 ρ) 2 µ 2 = ρ(λ + ρµ + ρ2 µ ρ 3 µ) (1 ρ) 2 µ 2. Η στάσιμη κατανομή του αριθμού των πελατών στο σύστημα (στον σταθμό και στο retrial box) Q n = P {K(t) = n}, έχει τη γεννήτρια συνάρτηση, ( ) λ ( 1 ρ µ 1 ρ Q(z) = P 0 (z) + zp 1 (z) = (1 ρ) + zρ 1 ρz 1 ρz ( ) = (1 ρ) λ µ +1 1 ρz + = ( ) λ 1 ρ µ +1 1 ρz (1 ρz) λ µ (1 ρz) λ µ +1 Ο μέσος αριθμός των πελατών στο σύστημα είναι, E(K(t)) = Q (z) z=1 = = = [ ( ) λ +1] 1 ρ µ 1 ρz z=1 (1 ρ) λ µ +1 ρ( λ µ + 1)(1 ρz) λ µ [(1 ρz) λ µ +1] 2 ρ(λ + µ) (1 ρ)µ z=1 ) λ µ +1 Τέλος, μετά από πράξεις προκύπτει ότι η διασπορά του αριθμού των πελατών στο σύστημα είναι, V ar(k(t)) = ρ(λ + µ) (1 ρ) 2 µ 3. Η πιθανότητα μπλοκαρίσματος P 1, δηλαδή η πιθανότητα ο εξυπηρετητής να είναι απασχολημένος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι, P 1 = P 1 (1) = ρ