ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΟΡΙΣΜΌΣ ΎΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. O ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΌΣ ΤΟΥ ΑΝΤΊΣΤΡΟΦΟΥ Μ.Ζ. ΜΕ ΑΝΆΠΤΥΞΗ ΣΕ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΆ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΌΣ ΤΟΥ ΑΝΤΊΣΤΡΟΦΟΥ Μ.Ζ. ΜΕ ΑΝΆΠΤΥΞΗ ΣΕ ΜΕΡΙΚΆ ΚΛΆΣΜΑΤΑ...6 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.3. Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3.4. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΙΤΙΑΤΌΤΗΤΑ LTI ΣΥΣΤΉΜΑΤΟΣ ΕΥΣΤΆΘΕΙΑ LTI ΣΥΣΤΉΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΏΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΏΝ ΔΟΜΈΣ ΣΥΣΤΗΜΆΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΎ ΧΡΌΝΟΥ ΑΠΌΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΌΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΆΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΎ ΧΡΌΝΟΥ...3 ΣΥΝΟΨΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ...4 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...4 ΟΔΗΓΟΣ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗΣ...43 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ...44 ΑΠΟΔΟΣΗ ΑΓΓΛΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ...5

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- Σκοπός Οι μετασχηματισμοί αποτελούν ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία στην ανάλυση σημάτων και LTI συστημάτων. Στο παρόν Κεφάλαιο εισάγουμε το μετασχηματισμό-, μελετούμε τις ιδιότητές του και αναδεικνύουμε τη σπουδαιότητά του στην ανάλυση και στον χαρακτηρισμό διακριτών LTI συστημάτων. Ο μετασχηματισμός- παίζει σπουδαίο ρόλο στην ανάλυση σημάτων διακριτού χρόνου και LTI συστημάτων, αντίστοιχο με εκείνο του μετασχηματισμού Laplace για την ανάλυση σημάτων και LTI συστημάτων συνεχούς χρόνου. Για παράδειγμα, θα δούμε ότι η συνέλιξη δύο σημάτων στον χρόνο, ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων μετασχηματισμών- αυτών. Μια τέτοια ιδιότητα απλοποιεί σημαντικά την ανάλυση της απόκρισης ενός LTI συστήματος για διάφορα σήματα. Ακόμη, ο μετασχηματισμός- μας παρέχει τη δυνατότητα χαρακτηρισμού ενός LTI συστήματος και υπολογισμού της απόκρισής του για διάφορα σήματα, με απλή τοποθέτηση των πόλων και μηδενικών του στο επίπεδο-. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Μετά τη μελέτη του κεφαλαίου αυτού θα είστε σε θέση να: Υπολογίζετε το μετασχηματισμό- οποιασδήποτε πεπερασμένης ακολουθίας Υπολογίζετε το μετασχηματισμό- και να προσδιορίζετε την περιοχή σύγκλισης α- κολουθιών απείρου μήκους Προσδιορίζετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό- συναρτήσεων Αποφαίνεστε εύκολα σχετικά με την αιτιατότητα και ευστάθεια συστημάτων διακριτού χρόνου Σχεδιάζετε τη δομή πραγματοποίησης συστημάτων διακριτού χρόνου Υπολογίζετε την απόκριση συχνότητας συστημάτων διακριτού χρόνου

3 Έννοιες Κλειδιά Μετασχηματισμός- Περιοχή σύγκλισης Συνάρτηση μεταφοράς Ευστάθεια Πραγματοποίηση συστημάτων διακριτού χρόνου Απόκριση συχνότητας Εξισώσεις διαφορών ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ο μετασχηματισμός- (-transform) για τα σήματα διακριτού χρόνου είναι ό,τι και ο μετασχηματισμός Laplace για τα σήματα συνεχούς χρόνου (continuous-time). Θα δούμε ότι ο μετασχηματισμός- είναι πιο γενικός από το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (discrete-time Fourier transform, DTFT), αφού ο τελευταίος αποτελεί ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού-. Συμπερασματικά, ο μετασχηματισμός- είναι ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη διακριτών σημάτων και συστημάτων. Για την κατανόηση του Κεφαλαίου ο αναγνώστης θα πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τους μιγαδικούς αριθμούς, καθώς και με τις σειρές με σταθερούς όρους. Στην ενότητα 3. ορίζουμε το μετασχηματισμό- και μελετούμε τις ιδιότητές του. Στη συνέχεια ορίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό-, δηλαδή το μετασχηματισμό ο ο- ποίος μας οδηγεί από το πεδίο- στο πεδίο του χρόνου (ενότητα 3.). Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός-, ο οποίος χρησιμοποιείται για την ανάλυση συστημάτων που αρχικά δεν βρίσκονται σε ηρεμία, παρουσιάζεται στην ενότητα 3.3. Τέλος, έχοντας γνωρίσει το μετασχηματισμό- και τις ιδιότητές του, προχωρούμε στην αξιοποίηση αυτού για τη μελέτη συστημάτων διακριτού χρόνου. Έτσι στην ενότητα 3.4 μελετούμε την αιτιατότητα και την ευστάθεια τέτοιων συστημάτων, τις δομές πραγματοποίησής τους και την απόκρισή τους στη συχνότητα. 3

4 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ορισμός Ο μετασχηματισμός- (Μ.Ζ.) ενός σήματος x(n) διακριτού χρόνου ορίζεται ως: + n X () x(n) (3.) n όπου μια μιγαδική μεταβλητή. Για λόγους ευκολίας θα συμβολίζουμε το Μ.Ζ. της ακολουθίας x(n) ως Ζ{x(n)} και τη σχέση μεταξύ της x(n) και του Μ.Ζ. X() ως: Z xn ( ) X ( ) (3.) Ο Μ.Ζ. όπως ορίζεται στη σχέση (3.) ονομάζεται αμφίπλευρος Μ.Ζ. (bilateral - transform), γιατί το άθροισμα εκτείνεται από το έως το +. Υπάρχει και ο μονόπλευρος Μ.Ζ. (unilateral -transform), τον οποίο θα εξετάσουμε αργότερα (ενότητα 3.3), όπου το άθροισμα εκτείνεται από το έως το +. Ο μονόπλευρος Μ.Ζ. βρίσκει εφαρμογή στην ανάλυση αιτιατών συστημάτων με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Η μιγαδική μεταβλητή σε πολικές συντεταγμένες εκφράζεται ως: re j ù όπου r το μέτρο της και ω η γωνία της, όπως δείχνεται στο Σχήμα 3.α. (3.3) Ιm{} r ω Re{} Μοναδιαίος κύκλος Ιm{} e ω Re{} Επίπεδο (α) (β) Σχήμα 3. (α) Μιγαδικό επίπεδο, (β) ο Μ.Ζ. υπολογιζόμενος για τις τιμές του που ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο ισοδυναμεί με τον DTFT. Τώρα μπορούμε να εκφράσουμε την (3.) ως συνάρτηση των r και ω, αντικαθιστώντας σ' αυτήν τη μεταβλητή από τη σχέση (3.3). Έτσι έχουμε: X(re ) + + n x(n)(re ) n n n n [ x(n)r ] e F{ x(n)r n } (3.4) όπου με F{g(n)} συμβολίζουμε το μετασχηματισμό Fourier της ακολουθίας g(n). 4

5 Η σχέση (3.4) μας δείχνει ότι ο Μ.Ζ. της ακολουθίας x(n) στο σημείο re ισούται με το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) της τροποποιημένης ακολουθίας x(n)r n για την γωνιακή συχνότητα ω. Αν η παράμετρος r επιλεγεί ίση με τη μονάδα, τότε η (3.4) μας δίνει τον DTFT της x(n). Επιπλέον, όταν η παράμετρος ω μεταβάλλεται, τότε όλες οι τιμές της μιγαδικής μεταβλητής θα βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο (unit circle) του μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή στον κύκλο που έχει ως κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με τη μονάδα. Η σχέση μεταξύ του DTFT και του M.Z. είναι πλέον προφανής. Ο DTFT μιας ακολουθίας ισούται με το Μ.Ζ. αυτής για τις τιμές του που βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου- (-plane) (Βλ. Σχήμα 3.β). Δηλαδή για r η σχέση (3.4) καταλήγει σ' αυτή του διακριτού χρόνου μετασχηματισμού Fourier: X() { x(n) } j X(e ) F (3.5) ω e 3... Ύπαρξη του Μετασχηματισμού- Ο Μ.Ζ., ως δυναμοσειρά απείρων όρων, μπορεί να μην υπάρχει, δηλαδή να μην συγκλίνει για όλες τις τιμές της μιγαδικής μεταβλητής. Η περιοχή τιμών του για τις ο- ποίες ο Μ.Ζ. Χ() έχει πεπερασμένες τιμές καλείται περιοχή σύγκλισης (Π.Σ.) (region of convergence, ROC). Έστω τώρα ότι η x(n)r n είναι απόλυτα αθροίσιμη. Τότε X() + n x(n) n + n x(n)r n e n + n x(n)r n e n + n x(n)r n < (3.6) Η σχέση (3.6) μας δείχνει ότι η X() είναι πεπερασμένη (συγκλίνει) αν η ακολουθία x(n)r n είναι αθροίσιμη κατ απόλυτη τιμή (absolutely summable). Γίνεται φανερό ότι η σύγκλιση εξαρτάται μόνο από το r και όχι από το ω. Γενικά ισχύει ότι η Π.Σ. θα καθορίζεται από ομόκεντρους δακτυλίους με κέντρο την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου. Στη γενική περίπτωση η Π.Σ. του Μ.Ζ. θα είναι της μορφής R < < R, όπου τα όρια R, R εξαρτώνται από την ακολουθία x(n). Ας προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τις διαφορετικές περιπτώσεις σύγκλισης με την βοήθεια ορισμένων παραδειγμάτων. 5

6 Παράδειγμα / Κεφάλαιο 3 Να υπολογισθεί η Π.Σ. του Μ.Ζ. της δεξιόπλευρης (right-sided) εκθετικής ακολουθίας x (n)a n u(n). με Λύση: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό (3.) του Μ.Ζ. έχουμε: + n n n n n n X( ) x( n) a u( n) a ( a ) (3.7) n + n + n Η (3.7) είναι άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο a - και ισούται X( ) (3.8) a a με την προϋπόθεση βέβαια ότι a < ή ισοδύναμα > a. Η ανισότητα αυτή προσδιορίζει την Π.Σ. πάνω στο μιγαδικό επίπεδο-. Πρόκειται για όλα τα σημεία που βρίσκονται στο εξωτερικό του κύκλου με ακτίνα a, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.α. O M.Z. της x (n) είναι ρητή συνάρτηση (σχέση 3.8). Κάθε συνάρτηση αυτής της μορφής χαρακτηρίζεται από τα μηδενικά (δηλαδή τις ρίζες του αριθμητή) και τους πόλους (δηλαδή τις ρίζες του παρανομαστή). Η συνάρτηση X () έχει ένα μηδενικό στο σημείο και ένα πόλο στο a. Παρατηρούμε επομένως, ότι η Π.Σ. της X () εκτείνεται σε όλο το μιγαδικό επίπεδο που είναι έξω από τον κύκλο ο οποίος έχει ως ακτίνα τον πόλο αυτής. Η Π.Σ. δεν περιέχει ποτέ κάποιον πόλο. Γενικά, μια δεξιόπλευρη ακολουθία x(n) ικανοποιεί τη συνθήκη x(n) για n<n. Ο Μ.Ζ. αυτής ισούται με: + n + X ( ) xn ( ) n n N (3.9) και η Π.Σ. αυτού είναι της μορφής >R. Δηλαδή η Π.Σ. περιλαμβάνει όλες τις τιμές του μιγαδικού επιπέδου- που βρίσκονται έξω από τον κύκλο ακτίνας R, όπου R είναι εκείνος ο πόλος της X() ο οποίος απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων. Προσοχή θα πρέπει να δοθεί όταν Ν <. Σε μια τέτοια περίπτωση η σχέση (3.9) περιλαμβάνει ό- ρους με θετικές δυνάμεις του. Επομένως, η τιμή θα πρέπει να αποκλεισθεί από την Π.Σ., αφού αυτή θα οδηγεί σε μη φραγμένο Μ.Ζ. 6

7 Παράδειγμα / Κεφάλαιο 3 Να υπολογισθεί η Π.Σ. της αριστερόπλευρης (left-sided) εκθετικής ακολουθίας x (n) a n u( n). Λύση: Από τον ορισμό (3.) του Μ.Ζ. έχουμε: X () + n + n x a n (n) n n + n + n (a a n u( n ) ) n n n a n n (3.) Για a < ή ισοδύναμα < a το άθροισμα της (3.) συγκλίνει δίνοντας: X ( ) a (3.) a a Im Im Im a Re a Re a a Re (α) (β) (γ) Σχήμα 3.. Περιοχή σύγκλισης (α) δεξιόπλευρης, (β) αριστερόπλευρης, (γ) αμφίπλευρης ακολουθίας Η Π.Σ. της Χ () είναι οι τιμές του μιγαδικού επιπέδου- < a, δηλαδή το εσωτερικό του κύκλου ακτίνας a (Σχήμα 3.β). Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι οι συναρτήσεις Χ () και X () είναι ακριβώς ίδιες (Βλ. σχέσεις 3.8 και 3.). Η μόνη διαφορά βρίσκεται στην Π.Σ. Αυτό σημαίνει ότι η Π.Σ. αποτελεί αναπόσπαστο τμήμα του Μ.Ζ. και πρέπει πάντοτε να καθορίζεται. Αν μας δοθεί μόνο ο Μ.Ζ. χωρίς την αντίστοιχη Π.Σ. αυτού, θα υπάρχει αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ακολουθίας που οδήγησε σ' αυτόν, αφού μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία απαντήσεις. Γενικά, μία αριστερόπλευρη ακολουθία x(n) ικανοποιεί τη συνθήκη x(n) για n>ν. O M.Z. αυτής ισούται με: N X () xn () n (3.) n 7

8 και η Π.Σ. αυτού είναι της μορφής <R, δηλαδή οι τιμές του μιγαδικού επιπέδου- που βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου R, όπου R είναι εκείνος ο πόλος της Χ() ο οποίος απέχει λιγότερο από την αρχή των αξόνων. Προσοχή θα πρέπει να δοθεί όταν Ν >. Σ αυτή την περίπτωση η σχέση (3.) περιλαμβάνει όρους με αρνητικές δυνάμεις του. Επομένως, η τιμή θα πρέπει να αποκλεισθεί από την Π.Σ., αφού αυτή θα οδηγήσει σε μη φραγμένο Μ.Ζ. Παράδειγμα 3 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογισθεί η Π.Σ. της αμφίπλευρης (two-sided) εκθετικής ακολουθίας x(n)a n, a>. Λύση: Η ακολουθία x(n) μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δύο άλλων ακολουθιών, μιας δεξιόπλευρης και μιας αριστερόπλευρης, ως εξής: x(n) a n u(n) + a n u( n ) (3.3) ή (n) x (n) x (n) (3.4) x + Από τα δύο προηγούμενα παραδείγματα γνωρίζουμε ότι οι Μ.Ζ. των παραπάνω ακολουθιών είναι: X() a για > a (3.5) X () για < a (3.6) a Ο Μ.Ζ. X() της αμφίπλευρης ακολουθίας ισούται με το άθροισμα των Μ.Ζ. των επιμέρους ακολουθιών (βλ. ιδιότητα γραμμικότητας στην επόμενη υποενότητα), άρα: ή () X () X () (3.7) X + X(), a < < a (3.8) a a ή a X() a ( a)( a, ) a < < a Η αντίστοιχη Π.Σ. δείχνεται στο Σχήμα 3.γ και ισούται με το κοινό τμήμα των δύο περιοχών όπως τις γνωρίσαμε στα παραδείγματα και προηγουμένως. Είναι φανερό ότι για να υπάρχει κοινό τμήμα (επικάλυψη) μεταξύ των δύο περιοχών σύγκλισης, θα πρέπει a<. Για a> δεν υπάρχει επικάλυψη των περιοχών σύγκλισης και έτσι η (3.3) δεν θα 8

9 έχει Μ.Ζ., παρόλο που οι επιμέρους ακολουθίες που την απαρτίζουν (αριστερόπλευρη και δεξιόπλευρη) από μόνες τους έχουν! Γενικά, εάν υπάρχει η Π.Σ. μιας αμφίπλευρης ακολουθίας της μορφής x + (n) x (n) x (n), όπου x (n), x (n) δεξιόπλευρη και αριστερόπλευρη ακολουθία απείρου μήκους αντίστοιχα, τότε αυτή αποτελείται από τις τιμές του μιγαδικού επιπέδου για τις οποίες ισχύει: R < < R (3.) Πρόκειται δηλαδή για ένα δακτύλιο του οποίου η μικρότερη ακτίνα R προσδιορίζεται από εκείνο τον πόλο της X () ο οποίος απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων του επιπέδου-, ενώ η μεγαλύτερη ακτίνα R προσδιορίζεται από εκείνο τον πόλο της X () ο οποίος απέχει λιγότερο από την αρχή των αξόνων. Αν R R, τότε οι δύο περιοχές σύγκλισης δεν αλληλοεπικαλύπτονται και η τελική Π.Σ. της X() είναι το κενό, δηλαδή ο Μ.Ζ. δεν υπάρχει. Σημαντική παρατήρηση Μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος μη μηδενικών στοιχείων. Έστω ότι μια τέτοια ακολουθία x(n) εκτείνεται μεταξύ Ν και Ν, δηλαδή x(n) για n<n ή n>n (3.) όπου Ν, Ν πεπεραμένοι αριθμοί. Ο Μ.Ζ. αυτής ισούται με: N X ( ) xn ( ) n n N (3.) Είναι φανερό ότι η σειρά αυτή συγκλίνει για κάθε τιμή του, δηλαδή η Π.Σ. είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο-. Προσοχή όμως χρειάζεται στα εξής σημεία: Εάν Ν αρνητικός και Ν θετικός, τότε το άθροισμα περιλαμβάνει όρους με αρνητικές και θετικές δυνάμεις του. Έτσι, όταν, οι όροι με αρνητικές δυνάμεις του τείνουν στο άπειρο, ενώ όταν, οι όροι με θετικές δυνάμεις του τείνουν στο άπειρο. Επομένως, σε μια τέτοια περίπτωση η Π.Σ. δεν περιλαμβάνει τις τιμές και. Εάν Ν, τότε έχουμε μόνο αρνητικές δυνάμεις του στην εξίσωση (3.) και κατά συνέπεια η Π.Σ. περιλαμβάνει την τιμή. Εάν Ν, τότε έχουμε μόνο θετικές δυνάμεις του στην εξίσωση (3.) και κατά συνέπεια η Π.Σ. περιλαμβάνει την τιμή. 9

10 Παράδειγμα 4 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογιστεί ο Μ.Ζ. καθενός από τα παρακάτω διακριτά σήματα πεπερασμένης διάρκειας: (Η έντονη υπογράμμιση υποδηλώνει την χρονική στιγμή n). α. {x (n)}{3,4,5,,,} ε. x 5 (n)δ(n) β. {x (n)}{3,4,5,,,} στ. x 6 (n)δ(n-m), m> γ. {x 3 (n)}{,,3,4,5,,,} ζ. x 7 (n)δ(n+m), m> δ. {x 4 (n)}{4,6,5,,,} Λύση: Από τον ορισμό (3.) του Μ.Ζ. έχουμε: α. X () , με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός β. X () , με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός και γ. X 3 () , με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός δ. X 4 () , με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός και ε. X 5 (), με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- στ. X 6 () -m, όπου m>, με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός ζ. X 7 () m, όπου m>, με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός Από το παράδειγμα αυτό γίνεται φανερό ότι η Π.Σ. του Μ.Ζ. μιας ακολουθίας πεπερασμένου μήκους (διάρκειας), είναι όλο το επίπεδο-, εκτός πιθανόν από τα σημεία και/ή. Αυτά τα σημεία αποκλείονται γιατί το m (m>) τείνει στο άπειρο για και το - m τείνει στο άπειρο για. Από το ίδιο παράδειγμα συνειδητοποιούμε επίσης ότι από μαθηματική άποψη ο Μ.Ζ. είναι απλά ένας εναλλακτικός τρόπος αναπαράστασης ενός σήματος. Βλέπουμε δηλαδή ότι ο συντελεστής του -n είναι ουσιαστικά η τιμή του σήματος την χρονική στιγμή n. Με άλλα λόγια, ο εκθέτης του παρέχει εκείνη την πληροφορία για τον χρόνο, η οποία μας είναι απαραίτητη για τον προσδιορισμό των δειγμάτων ενός σήματος. Σε πολλές περιπτώσεις μπορούμε να εκφράσουμε το άθροισμα μιας σειράς πεπερασμένου ή απείρου μήκους, σε κλειστή μορφή. Στις περιπτώσεις αυτές ο Μ.Ζ. μας παρέχει μια εναλλακτική συμπαγή μορφή αναπαράστασης ενός σήματος, όπως φαίνεται και στον Πίνακα 3.. που ακολουθεί.

11 Συνήθη ζεύγη Μ.Ζ. Ορισμένα από τα πιο συνηθισμένα ζεύγη Μ.Ζ. παρατίθενται στον Πίνακα 3.. Αυτά θα μας βοηθήσουν πάρα πολύ και στον υπολογισμό του αντίστροφου Μ.Ζ., εκφράζοντας τη συνάρτηση Χ() ως γραμμικό συνδυασμό απλούστερων συναρτήσεων, όπως θα δούμε στην ενότητα 3.. Πίνακας 3.. Συνήθη ζεύγη μετασχηματισμών- Σήμα Μετασχηματισμός- Περιοχή Σύγκλισης δ(n) Όλο το δ(n m) m Όλο το, εκτός αν m> ή αν m< u(n) > u( n) < a n u(n) a > a a n u( n) a < a na n u(n) a > a ( a ) na n u( n) cos(ω n)u(n) sin(ω n)u(n) (r n cosω n)u(n) (r n sinω n)u(n) a ( a ) (cos ù ) ( cos ù ) + (sin ù ) ( cos ù ) + ( rcos ù ) ( rcos ù ) + r ( rsin ù ) ( rcos ù ) + r < a > > > r > r Ιδιότητες του μετασχηματισμού- O M.Ζ. έχει ορισμένες ιδιότητες οι οποίες τον καθιστούν ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο στη μελέτη των σημάτων και συστημάτων διακριτού χρόνου. Στην παρούσα υποε-

12 νότητα παρουσιάζουμε σε συντομία τις πιο χρήσιμες από αυτές και όλες μαζί τις παραθέτουμε στον Πίνακα 3.. Γραμμικότητα Εάν και τότε Z x (n) X () με Π.Σ. Ρ Z x (n) X () με Π.Σ. Ρ Z ax (n) + bx (n) ax() + bx () με Π.Σ. τουλάχιστον Ρ Ρ (3.3) όπου a, b σταθερές και Ρ Ρ η τομή των περιοχών Ρ και Ρ. Η λέξη "τουλάχιστον" χρησιμοποιήθηκε για την περίπτωση κατά την οποία ο γραμμικός συνδυασμός είναι τέτοιος ώστε κάποια μηδενικά να εξουδετερώνουν ορισμένους πόλους. Σε μια τέτοια περίπτωση η Π.Σ. είναι μεγαλύτερη από την τομή των δύο περιοχών. Ολίσθηση στο χρόνο Z Εάν x(n) X() με Π.Σ. Ρ Z m τότε x(n m) X() με Π.Σ. Ρ (3.4) όπου Ρ Ρ με ενδεχόμενο όμως την προσθήκη ή απόρριψη των τιμών και, λόγω του παράγοντα m. Απόδειξη: Z { x(n m) } + n m (n m) m l x(n m) x(n m) x(l) n + n + l m X() Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Z Εάν x(n) X() με Π.Σ. Ρ Z και x (n) X () με Π.Σ. Ρ Z τότε x(n) * x (n) X()X () με Π.Σ. τουλάχιστον Ρ Ρ (3.5) Απόδειξη:

13 Από τον ορισμό της συνέλιξης της ενότητας.5 του Κεφαλαίου γνωρίζουμε ότι x + (n) * x (n) x(m)x (n m) m. Αντικαθιστώντας τη σχέση αυτή στην (3.) έχουμε: Z { x(n)*x (n)} [ x(n)*x (n)] n + m + + x m x(m) (m) m + x n (n m) X () X ()X n + n n + m () x (m) x + x m (m) (n m) m [ X ()] n Στον Πίνακα 3. παραθέτουμε τις πιο γνωστές ιδιότητες του Μ.Ζ. Πίνακας 3.. Ιδιότητες του Μ.Ζ. Ιδιότητα Σήμα Μετασχηματισμός- Περιοχή σύγκλισης x(n) X() P: R < <R x (n) X () P x (n) X () P Γραμμικότητα αx (n)+bx (n) αx ()+bx () P P τουλάχιστον Ολίσθηση στο χρόνο x(n m) m P, εκτός αν m> X() ή αν m< Κλιμάκωση στο πεδίο- α n x(n) X(α ) α R < < α R Κατοπτρισμός στο χρόνο x( n) X( ) < < R R Συζυγία x * (n) X * ( * ) P Παραγώγιση στο πεδίο- nx(n) dx ( ) P d Συνέλιξη x (n)*x (n) X ()X () P P τουλάχιστον Πρώτη διαφορά x(n) x(n) ( Τουλάχιστον η τομή )X() της Ρ και της > Θεώρημα αρχικής τιμής Αν x(n) για n<, τότε x() lim X ( ) Παράδειγμα 5 / Κεφάλαιο 3 Υπολογίστε το Μ.Ζ. των σημάτων x (n) και x 3 (n) του Παραδείγματος 4 / Κεφάλαιο 3, βασιζόμενοι στο Μ.Ζ. του σήματος x (n). 3

14 Λύση: Διαπιστώνουμε εύκολα ότι x (n)x (n+) και x 3 (n)x (n-). Άρα, με βάση την ιδιότητα της ολίσθησης στο χρόνο, βρίσκουμε ότι X () X () και X 3 () - X () Ας σημειωθεί ότι λόγω του πολλαπλασιασμού επί η Π.Σ. του X () δεν περιλαμβάνει το σημείο, αν και αυτό ανήκε στην Π.Σ. του X (). Το παράδειγμα αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουμε καλύτερα την ιδιότητα της ολίσθησης. Πράγματι, αν θυμηθούμε ότι ο συντελεστής του -n αντιστοιχεί στην τιμή του δείγματος στην χρονική στιγμή n, καταλαβαίνουμε αμέσως ότι η καθυστέρηση ενός σήματος κατά m (m>) δείγματα, δηλαδή x(n) x(n-m), ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό όλων των όρων του Μ.Ζ. επί -m. Ο συντελεστής του -n γίνεται συντελεστής του -(n+m). Άσκηση Αυτοαξιολόγησης / Κεφάλαιο 3 Να υπολογίσετε την έξοδο y(n) του Παραδείγματος 6 / Κεφάλαιο, αξιοποιώντας τις ιδιότητες του Μ.Ζ. Άσκηση Αυτοαξιολόγησης / Κεφάλαιο 3 Να υπολογίσετε το Μ.Ζ. του σήματος, n,,..., N x(n), αλλού Σύνοψη Ενότητας Στην ενότητα αυτή γνωρίσαμε το Μ.Ζ. X() της ακολουθίας x(n) και είδαμε ότι: Η Π.Σ. της συνάρτησης X() είναι στη γενική περίπτωση ένας κυκλικός δακτύλιος (R < <R ) στο επίπεδο- με κέντρο την αρχή των αξόνων. Σε ορισμένες περιπτώσεις R, οπότε η Π.Σ. γίνεται ένας δίσκος ακτίνας R, ενώ σε άλλες R, οπότε η Π.Σ. εκτείνεται σε όλο το επίπεδο >R. Η Π.Σ. δεν περιλαμβάνει του πόλους της συνάρτησης X(). Εάν η x(n) είναι πεπερασμένου μήκους, τότε η Π.Σ. είναι όλο το επίπεδο-, με πιθανή εξαίρεση τα σημεία και / ή. 4

15 Εάν η X() είναι ρητή και η x(n) δεξιόπλευρη, τότε η Π.Σ. ορίζεται στο επίπεδο- εκτός του κύκλου με ακτίνα τον πλέον απομακρυσμένο πόλο της X(). Εάν επιπλέον, η x(n) είναι αιτιατή, τότε η Π.Σ. συμπεριλαμβάνει και την τιμή. Εάν η X() είναι ρητή και η x(n) αριστερόπλευρη, τότε η Π.Σ. ορίζεται στο επίπεδο- εντός του κύκλου με ακτίνα τον πλησιέστερο στο κέντρο πόλο της X(). Εάν, επιπλέον, η x(n) είναι αντι-αιτιατή (δηλαδή αριστερόπλευρη και ίση με για n>), τότε η Π.Σ. συμπεριλαμβάνει και την τιμή. ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. O ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- Ο αντίστροφος Μ.Ζ. μας βοηθά να υπολογίσουμε το σήμα διακριτού χρόνου x(n) όταν γνωρίζουμε το Μ.Ζ. αυτού, Χ(). Συμβολικά γράφουμε x(n)z {X()}. Αποδεικνύεται ότι ο αντίστροφος Μ.Ζ. της Χ() δίνεται από τη σχέση: xn ( ) ðj c X ( ) n d (3.6) όπου c μια αριστερόστροφη κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων και εντός της Π.Σ. της Χ(). Για δεδομένη Π.Σ. ο αντίστροφος Μ.Ζ. είναι μοναδικά ορισμένος. Ένας τρόπος να υπολογίσουμε την x(n) είναι να αναπτύξουμε την Χ() σε δυναμοσειρά (power-series expansion) ως προς, δηλαδή: + n X ( ) xn ( )... + x( ) + x( ) + x( ) + x( ) + x( ) +... n (3.7) Διαπιστώνουμε εύκολα ότι το ζητούμενο σήμα είναι συντελεστές του πολυωνύμου. Όταν η X() δίνεται σε κλειστή μορφή, π.χ. ως μια ρητή συνάρτηση πολυωνύμων, ένα τέτοιο ανάπτυγμα δεν είναι εύκολα υπολογίσιμο. Σε αυτές τις περιπτώσεις, για τον υπολογισμό της ακολουθίας x(n), χρησιμοποιούμε είτε τη μέθοδο της ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα (partial-fraction expansion), είτε τη μέθοδο των ολοκληρωτικών υπολοίπων (residue method). Θα εξετάσουμε στα επόμενα τον υπολογισμό του αντίστροφου Μ.Ζ. με ανάπτυξη σε δυναμοσειρά και με ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα. 5

16 3... Υπολογισμός του αντίστροφου Μ.Ζ. με ανάπτυξη σε δυναμοσειρά Η ανάπτυξη μιας ρητής συνάρτησης σε δυναμοσειρά επιτυγχάνεται συνήθως με συνεχή διαίρεση (long division). Η μέθοδος αυτή δεν καταλήγει σε μια αναλυτική έκφραση για την x(n). Είναι μία αριθμητική μέθοδος με την οποία μπορούμε να υπολογίζουμε ένα νέο στοιχείο της x(n) κάθε φορά. Παράδειγμα 6 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογιστεί η δεξιόπλευρη ακολουθία x(n) της οποίας ο Μ.Ζ. είναι: + X () Λύση: Η συνεχής διαίρεση του αριθμητή με τον παρανομαστή μας δίνει: Επομένως η X() μπορεί να εκφραστεί ως δυναμοσειρά: X() Είναι φανερό ότι: x(), x().6, x().5, x(3).4,... Συνεχίζοντας τη διαίρεση θα μπορούσαμε να πάρουμε και άλλα στοιχεία της x(n) Υπολογισμός του αντίστροφου Μ.Ζ. με ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα Έστω Χ() ρητή συνάρτηση της μορφής 6

17 X() C() D() a + a + b a b M M N N (3.8) Θεωρήσαμε ότι b. Αυτό όμως δεν περιορίζει τη γενικότητα της έκφρασης, αφού ε- άν b, μπορούμε να διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με b και να καταλήξουμε στη σχέση της μορφής (3.8). Μια ρητή συνάρτηση της μορφής αυτής ονομάζεται κανονική (proper) εάν b N και Μ<Ν, δηλαδή όταν ο αριθμός των μηδενικών της συνάρτησης είναι μικρότερος του αριθμού των πόλων αυτής. Εάν η ρητή συνάρτηση είναι μηκανονική (Μ Ν), τότε αυτή μπορεί πάντοτε να εκφραστεί ως άθροισμα ενός πολυωνύμου και μιας κανονικής ρητής συνάρτησης, εκτελώντας τη διαίρεση του C() δια του D(), δηλαδή C() (M N) C() () c + c cm N + X() + X D() D() X () (3.9) (M N) όπου q X () c + c c M N c q (3.3) q M N και C() X () D() (3.3) Ο υπολογισμός του αντίστροφου Μ.Ζ. του πολυωνύμου X () είναι προφανής και γίνεται απευθείας χωρίς επιπλέον πράξεις, από τον ορισμό του Μ.Ζ. (σχέση 3.). Η συνάρτηση X () είναι κανονική ρητή συνάρτηση. Στόχος μας είναι να την αναπτύξουμε σε μερικά κλάσματα, δηλαδή να την εκφράσουμε ως άθροισμα απλών κλασμάτων και στη συνέχεια να υπολογίσουμε τον αντίστροφο Μ.Ζ. κάθε κλάσματος ξεχωριστά. Λόγω της ιδιότητας της γραμμικότητας, ο αντίστροφος Μ.Ζ. της συνάρτησης X () θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους αντίστροφων Μ.Ζ. των κλασμάτων. Ας δούμε λοιπόν πώς γίνεται η ανάπτυξη μιας κανονικής ρητής συνάρτησης σε μερικά κλάσματα. Έστω ότι η X() είναι κανονική ρητή συνάρτηση της μορφής (3.8). Για να απλοποιήσουμε την όλη ανάλυση, απαλείφουμε τις αρνητικές δυνάμεις του πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή επί N, οπότε η σχέση γίνεται: X() N N a + a + N N + b Επειδή Ν>Μ η συνάρτηση X() N N a + a N N + b... + a M b N N M a M b N N M (3.3) (3.33) 7

18 είναι πάντοτε κανονική. Για να αναπτύξουμε την τελευταία συνάρτηση σε μερικά κλάσματα, βρίσκουμε τις ρίζες p, p,,p N του παρονομαστή, δηλαδή τους πόλους της X(). Θα εξετάσουμε στη συνέχεια την περίπτωση που οι πόλοι είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους, δηλαδή είναι πολλαπλότητας. Σε μια τέτοια περίπτωση η (3.33) γράφεται ως X ( ) A p A + p A N p N (3.34) Στόχος μας είναι να υπολογίσουμε τους συντελεστές Α, Α,,Α Ν. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (3.34) με καθέναν από τους όρους (-p k ), k,,,n και υπολογίζοντας την έκφραση που προκύπτει στις αντίστοιχες θέσεις των πόλων p, p,,p N. Έτσι, στη γενική περίπτωση θα έχουμε ( p k ) X ( ) ( p k )A p ( p k )A + p ( p k )A p N N (3.35) και επομένως για p k η σχέση αυτή θα μας δώσει το συντελεστή Α k, αφού όλοι οι άλλοι όροι του δευτέρου μέλους μηδενίζονται. Δηλαδή ( p k ) X ( ) A k k,,..., N p k (3.36) Σημειώνεται ότι οι σχέσεις (3.34) και (3.36) ισχύουν τόσο για πραγματικούς, όσο και για μιγαδικούς πόλους. Η διαδικασία της ανάπτυξης της X() σε μερικά κλάσματα έχει ολοκληρωθεί στο σημείο αυτό, αφού έχουμε υπολογίσει τις τιμές Α, Α,,Α Ν. Η X() γράφεται τώρα ως X ( ) A p + A p A N p N (3.37) ή διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή κάθε μερικού κλάσματος με έχουμε την τελική έκφραση του X() σε μορφή αρνητικών δυνάμεων του : X ( ) A p - + A p A N p N - (3.38) Ο αντίστροφος Μ.Ζ. x(n)z - {X()} μπορεί τώρα εύκολα να υπολογιστεί από τον αντίστροφο Μ.Ζ. κάθε μερικού κλάσματος ξεχωριστά και τελικά τον γραμμικό συνδυασμό τους. Από τον Πίνακα 3. μπορούμε να δούμε ότι Z { p k n pku(n) } n - pku( n ) αν αν ΠΣ : ΠΣ : > p k < p k ( αιτιατό σήµα) (3.39) ( µη αιτιατό σήµα) 8

19 Το ποια από τις σχέσεις θα επιλέξουμε, εξαρτάται από την επιπλέον πληροφορία που έ- χουμε. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ότι το σήμα x(n) είναι αιτιατό, τότε θα επιλέξουμε τη δεξιόπλευρη ακολουθία (πρώτη από τις σχέσεις 3.39) και ο αντίστροφος Μ.Ζ. της (3.38) θα ισούται με x(n) (A p n n + Ap A N p n N )u(n) (3.4) Ας παρακολουθήσουμε την όλη διαδικασία υπολογισμού του αντίστροφου Μ.Ζ. μιας κανονικής ρητής συνάρτησης με τη μέθοδο της ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα, μέσα από το επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 7 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογιστεί η δεξιόπλευρη ακολουθία x(n) της συνάρτησης του Παραδείγματος 6 / Κεφάλαιο 3. Λύση: Κατ αρχήν απαλείφουμε τις αρνητικές δυνάμεις του από τη συνάρτηση, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το. Έτσι έχουμε: + + X() Οι πόλοι της X() είναι p. και p -.6, οπότε η σχέση αυτή γράφεται στη μορφή της (3.34) ως εξής: () + A A + (.)( +.6). +.6 X Εφαρμόζοντας τη σχέση (3.36) υπολογίζουμε τα Α και Α A A (.)X() ( +.6)X() Άρα η X() μπορεί πλέον να εκφραστεί ως ανάπτυγμα μερικών κλασμάτων X() X()

20 X() Γνωρίζοντας ότι η ζητούμενη ακολουθία x(n) είναι δεξιόπλευρη, υπολογίζουμε τον αντίστροφο Μ.Ζ. από την πρώτη σχέση της (3.39) ως x(n).75(.) n u(n).75(.6) n u(n) Αυτή είναι η ζητούμενη ακολουθία. Παρατηρούμε ότι για τις τιμές του n,,,3 παίρνουμε τα στοιχεία x(), x().6, x().5, x(3).4, επιβεβαιώνοντας έτσι τα αποτελέσματα του Παραδείγματος 6 / Κεφάλαιο 3. Η διαδικασία της ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα που εξετάσαμε μέχρι τώρα, εφαρμόζεται στην περίπτωση που έχουμε απλούς πόλους, δηλαδή πόλους διαφορετικούς μεταξύ τους. Εάν η X() έχει πόλους πολλαπλότητας l, δηλαδή ο παρονομαστής της περιέχει παράγοντες της μορφής (-p k ) l, τότε η προηγούμενη διαδικασία δεν ισχύει όπως έχει και πρέπει να τροποποιηθεί. Η περίπτωση αυτή όμως ξεφεύγει από τους στόχους του παρόντος βιβλίου και δεν θα εξεταστεί. Όπως επίσης δεν θα εξεταστεί η περίπτωση υπολογισμού του αντίστροφου Μ.Ζ. με χρήση των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Στη βιβλιογραφία του Κεφαλαίου δίνονται συγγράμματα τα οποία αναφέρονται εκτενώς στα θέματα αυτά. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 3 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογίσετε την x(n) όταν γνωρίζετε ότι X()(-)/( ) και η Π.Σ. είναι (α) > ή (β) <.5. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογίσετε τον αντίστροφο Μ.Ζ. της X()(6+ - )/(-.5 - ). Σύνοψη Ενότητας Στην ενότητα αυτή είδαμε τις μεθόδους υπολογισμού του αντίστροφου Μ.Ζ. Συγκεκριμένα, είδαμε ότι όταν μας δίνεται ο Μ.Ζ. μιας ακολουθίας, ο οποίος είναι συνήθως ρητής μορφής, μπορούμε να βρούμε την ίδια την ακολουθία είτε αναπτύσσοντας σε δυναμοσειρά εκτελώντας την λεγόμενη συνεχή διαίρεση, είτε αναπτύσσοντας σε μερικά κλάσματα. Η πρώτη από τις μεθόδους αυτές δεν καταλήγει σε κάποια αναλυτική μορφή

21 για την ζητούμενη ακολουθία, και χρησιμοποιείται κυρίως για τον υπολογισμό μερικών από τους πρώτους όρους του αναπτύγματος. ΕΝΟΤΗΤΑ 3.3. Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- O M.Z. που γνωρίσαμε μέχρι τώρα αναφέρεται σε σήματα τα οποία ορίζονται σε όλο το διάστημα του χρόνου από το έως το + ( <n<+ ) και ονομάζεται αμφίπλευρος Μ.Ζ. (bilateral -transform). Εκτός αυτού, υπάρχει και ο μονόπλευρος Μ.Ζ. (one-sided or unilateral -transform), ο οποίος είναι ιδιαίτερα χρήσιμος για την ανάλυση διακριτών συστημάτων τα οποία αρχικά δεν βρίσκονται σε ηρεμία. Αυτά τα συστήματα περιγράφονται από εξισώσεις διαφορών με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Με άλλα λόγια, ένα τέτοιο σύστημα αρχικά δεν βρίσκεται σε ηρεμία, λόγω διεγέρσεων που εφαρμόστηκαν σ αυτό πριν ακόμα εφαρμοστεί η είσοδος x(n) κατά την χρονική στιγμή n. Οι αρχικές τιμές y(-), y(-),,y(-n) της εξόδου του συστήματος, οι οποίες οφείλονται στις προηγούμενες διεγέρσεις, αποτελούν τις αρχικές συνθήκες αυτού. Ο μονόπλευρος Μ.Ζ. της ακολουθίας x(n) ορίζεται ως + + n και γράφουμε συνήθως n X () x(n) (3.4) Z + + { x(n) } x(n) + X () Z (3.4) Παρατηρούμε ότι στο μονόπλευρο Μ.Ζ. το άθροισμα υπολογίζεται μόνο για τις μηαρνητικές τιμές του n, ανεξάρτητα από το αν η ακολουθία x(n) είναι μηδενική ή μη για n<. Δηλαδή ο μονόπλευρος Μ.Ζ. της x(n) μπορεί να θεωρηθεί ως ο αμφίπλευρος Μ.Ζ. της x(n)u(n). Επειδή η ακολουθία x(n)u(n) είναι πάντοτε μια δεξιόπλευρη ακολουθία, η Π.Σ. του Χ + () είναι πάντοτε το εξωτερικό ενός κύκλου. Πολλές από τις ιδιότητες του μονόπλευρου Μ.Ζ. είναι ίδιες με εκείνες του αμφίπλευρου Μ.Ζ., όπως οι ιδιότητες της γραμμικότητας, κλιμάκωσης στο επίπεδο-, επέκτασης στο χρόνο, συζυγούς ακολουθίας και παραγώγισης. Μία από τις ιδιότητες που διαφέρουν και η οποία παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι εκείνη της ολίσθησης, την οποία και εξετάζουμε στη συνέχεια. Ολίσθηση στο χρόνο Z + Εάν xn ( ) X( ) +

22 m + + τότε xn ( m) X ( ) + x( n ) n Z m n για m> (3.43) Απόδειξη: m + xn ( + m) X ( ) xn ( ) n Z m + n για m> (3.44) Z + { x(n m) } n m x(n m) x(l) n l + l m l m l x(l) (l+ m) l x(l) m m m n l m l x(l) x( n) n + X + () Η σχέση (3.43) αφορά τη δεξιά ολίσθηση ή καθυστέρηση της ακολουθίας x(n), ενώ η (3.44) την αριστερή ολίσθηση ή προήγηση αυτής. Συγκρίνοντας τις σχέσεις αυτές με την αντίστοιχη σχέση (3.4), για τον αμφίπλευρο Μ.Ζ., γίνεται φανερό ότι κατά τη δεξιά ολίσθηση, νέα δείγματα εισέρχονται στο διάστημα [, + ) και άρα πρέπει να λάβουν και αυτά μέρος στους υπολογισμούς. Τα νέα αυτά δείγματα είναι τα x(), x( ),..., x( m). Κατά την αριστερή ολίσθηση, κάποια από τα υπάρχοντα δείγματα βρίσκονται εκτός του διαστήματος [, + ) και συνεπώς πρέπει να αφαιρεθούν από το συνολικό άθροισμα. Πρόκειται για τα δείγματα x(), x(),..., x(m). Παράδειγμα 8 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογιστεί ο μονόπλευρος Μ.Ζ. των σημάτων x (n)a n u(n) και x (n)x (n+). Λύση: Ο υπολογισμός του X + () γίνεται εύκολα από τον ορισμό του μονόπλευρου Μ.Ζ. (3.4). Άλλωστε, το αποτέλεσμα είναι ίδιο με εκείνο του αμφίπλευρου Μ.Ζ. αφού πρόκειται για αιτιατή ακολουθία (βλ. σχέση 3.8). Έχουμε λοιπόν: X + () X () /(-a - ) με Π.Σ. > a. Για τον υπολογισμό του X + () εφαρμόζουμε το θεώρημα της ολίσθησης (σχέση 3.44) για m και παίρνουμε X + () [X + ()-x () ] [X + () ] /(-a - ) αφού x (). Σύνοψη Ενότητας