ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΟΡΙΣΜΌΣ ΎΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. O ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΌΣ ΤΟΥ ΑΝΤΊΣΤΡΟΦΟΥ Μ.Ζ. ΜΕ ΑΝΆΠΤΥΞΗ ΣΕ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΆ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΌΣ ΤΟΥ ΑΝΤΊΣΤΡΟΦΟΥ Μ.Ζ. ΜΕ ΑΝΆΠΤΥΞΗ ΣΕ ΜΕΡΙΚΆ ΚΛΆΣΜΑΤΑ...6 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.3. Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3.4. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΙΤΙΑΤΌΤΗΤΑ LTI ΣΥΣΤΉΜΑΤΟΣ ΕΥΣΤΆΘΕΙΑ LTI ΣΥΣΤΉΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΏΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΏΝ ΔΟΜΈΣ ΣΥΣΤΗΜΆΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΎ ΧΡΌΝΟΥ ΑΠΌΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΌΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΆΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΎ ΧΡΌΝΟΥ...3 ΣΥΝΟΨΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ...4 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...4 ΟΔΗΓΟΣ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗΣ...43 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ...44 ΑΠΟΔΟΣΗ ΑΓΓΛΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ...5

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- Σκοπός Οι μετασχηματισμοί αποτελούν ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία στην ανάλυση σημάτων και LTI συστημάτων. Στο παρόν Κεφάλαιο εισάγουμε το μετασχηματισμό-, μελετούμε τις ιδιότητές του και αναδεικνύουμε τη σπουδαιότητά του στην ανάλυση και στον χαρακτηρισμό διακριτών LTI συστημάτων. Ο μετασχηματισμός- παίζει σπουδαίο ρόλο στην ανάλυση σημάτων διακριτού χρόνου και LTI συστημάτων, αντίστοιχο με εκείνο του μετασχηματισμού Laplace για την ανάλυση σημάτων και LTI συστημάτων συνεχούς χρόνου. Για παράδειγμα, θα δούμε ότι η συνέλιξη δύο σημάτων στον χρόνο, ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων μετασχηματισμών- αυτών. Μια τέτοια ιδιότητα απλοποιεί σημαντικά την ανάλυση της απόκρισης ενός LTI συστήματος για διάφορα σήματα. Ακόμη, ο μετασχηματισμός- μας παρέχει τη δυνατότητα χαρακτηρισμού ενός LTI συστήματος και υπολογισμού της απόκρισής του για διάφορα σήματα, με απλή τοποθέτηση των πόλων και μηδενικών του στο επίπεδο-. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Μετά τη μελέτη του κεφαλαίου αυτού θα είστε σε θέση να: Υπολογίζετε το μετασχηματισμό- οποιασδήποτε πεπερασμένης ακολουθίας Υπολογίζετε το μετασχηματισμό- και να προσδιορίζετε την περιοχή σύγκλισης α- κολουθιών απείρου μήκους Προσδιορίζετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό- συναρτήσεων Αποφαίνεστε εύκολα σχετικά με την αιτιατότητα και ευστάθεια συστημάτων διακριτού χρόνου Σχεδιάζετε τη δομή πραγματοποίησης συστημάτων διακριτού χρόνου Υπολογίζετε την απόκριση συχνότητας συστημάτων διακριτού χρόνου

3 Έννοιες Κλειδιά Μετασχηματισμός- Περιοχή σύγκλισης Συνάρτηση μεταφοράς Ευστάθεια Πραγματοποίηση συστημάτων διακριτού χρόνου Απόκριση συχνότητας Εξισώσεις διαφορών ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ο μετασχηματισμός- (-transform) για τα σήματα διακριτού χρόνου είναι ό,τι και ο μετασχηματισμός Laplace για τα σήματα συνεχούς χρόνου (continuous-time). Θα δούμε ότι ο μετασχηματισμός- είναι πιο γενικός από το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (discrete-time Fourier transform, DTFT), αφού ο τελευταίος αποτελεί ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού-. Συμπερασματικά, ο μετασχηματισμός- είναι ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη διακριτών σημάτων και συστημάτων. Για την κατανόηση του Κεφαλαίου ο αναγνώστης θα πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τους μιγαδικούς αριθμούς, καθώς και με τις σειρές με σταθερούς όρους. Στην ενότητα 3. ορίζουμε το μετασχηματισμό- και μελετούμε τις ιδιότητές του. Στη συνέχεια ορίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό-, δηλαδή το μετασχηματισμό ο ο- ποίος μας οδηγεί από το πεδίο- στο πεδίο του χρόνου (ενότητα 3.). Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός-, ο οποίος χρησιμοποιείται για την ανάλυση συστημάτων που αρχικά δεν βρίσκονται σε ηρεμία, παρουσιάζεται στην ενότητα 3.3. Τέλος, έχοντας γνωρίσει το μετασχηματισμό- και τις ιδιότητές του, προχωρούμε στην αξιοποίηση αυτού για τη μελέτη συστημάτων διακριτού χρόνου. Έτσι στην ενότητα 3.4 μελετούμε την αιτιατότητα και την ευστάθεια τέτοιων συστημάτων, τις δομές πραγματοποίησής τους και την απόκρισή τους στη συχνότητα. 3

4 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ορισμός Ο μετασχηματισμός- (Μ.Ζ.) ενός σήματος x(n) διακριτού χρόνου ορίζεται ως: + n X () x(n) (3.) n όπου μια μιγαδική μεταβλητή. Για λόγους ευκολίας θα συμβολίζουμε το Μ.Ζ. της ακολουθίας x(n) ως Ζ{x(n)} και τη σχέση μεταξύ της x(n) και του Μ.Ζ. X() ως: Z xn ( ) X ( ) (3.) Ο Μ.Ζ. όπως ορίζεται στη σχέση (3.) ονομάζεται αμφίπλευρος Μ.Ζ. (bilateral - transform), γιατί το άθροισμα εκτείνεται από το έως το +. Υπάρχει και ο μονόπλευρος Μ.Ζ. (unilateral -transform), τον οποίο θα εξετάσουμε αργότερα (ενότητα 3.3), όπου το άθροισμα εκτείνεται από το έως το +. Ο μονόπλευρος Μ.Ζ. βρίσκει εφαρμογή στην ανάλυση αιτιατών συστημάτων με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Η μιγαδική μεταβλητή σε πολικές συντεταγμένες εκφράζεται ως: re j ù όπου r το μέτρο της και ω η γωνία της, όπως δείχνεται στο Σχήμα 3.α. (3.3) Ιm{} r ω Re{} Μοναδιαίος κύκλος Ιm{} e ω Re{} Επίπεδο (α) (β) Σχήμα 3. (α) Μιγαδικό επίπεδο, (β) ο Μ.Ζ. υπολογιζόμενος για τις τιμές του που ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο ισοδυναμεί με τον DTFT. Τώρα μπορούμε να εκφράσουμε την (3.) ως συνάρτηση των r και ω, αντικαθιστώντας σ' αυτήν τη μεταβλητή από τη σχέση (3.3). Έτσι έχουμε: X(re ) + + n x(n)(re ) n n n n [ x(n)r ] e F{ x(n)r n } (3.4) όπου με F{g(n)} συμβολίζουμε το μετασχηματισμό Fourier της ακολουθίας g(n). 4

5 Η σχέση (3.4) μας δείχνει ότι ο Μ.Ζ. της ακολουθίας x(n) στο σημείο re ισούται με το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) της τροποποιημένης ακολουθίας x(n)r n για την γωνιακή συχνότητα ω. Αν η παράμετρος r επιλεγεί ίση με τη μονάδα, τότε η (3.4) μας δίνει τον DTFT της x(n). Επιπλέον, όταν η παράμετρος ω μεταβάλλεται, τότε όλες οι τιμές της μιγαδικής μεταβλητής θα βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο (unit circle) του μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή στον κύκλο που έχει ως κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με τη μονάδα. Η σχέση μεταξύ του DTFT και του M.Z. είναι πλέον προφανής. Ο DTFT μιας ακολουθίας ισούται με το Μ.Ζ. αυτής για τις τιμές του που βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου- (-plane) (Βλ. Σχήμα 3.β). Δηλαδή για r η σχέση (3.4) καταλήγει σ' αυτή του διακριτού χρόνου μετασχηματισμού Fourier: X() { x(n) } j X(e ) F (3.5) ω e 3... Ύπαρξη του Μετασχηματισμού- Ο Μ.Ζ., ως δυναμοσειρά απείρων όρων, μπορεί να μην υπάρχει, δηλαδή να μην συγκλίνει για όλες τις τιμές της μιγαδικής μεταβλητής. Η περιοχή τιμών του για τις ο- ποίες ο Μ.Ζ. Χ() έχει πεπερασμένες τιμές καλείται περιοχή σύγκλισης (Π.Σ.) (region of convergence, ROC). Έστω τώρα ότι η x(n)r n είναι απόλυτα αθροίσιμη. Τότε X() + n x(n) n + n x(n)r n e n + n x(n)r n e n + n x(n)r n < (3.6) Η σχέση (3.6) μας δείχνει ότι η X() είναι πεπερασμένη (συγκλίνει) αν η ακολουθία x(n)r n είναι αθροίσιμη κατ απόλυτη τιμή (absolutely summable). Γίνεται φανερό ότι η σύγκλιση εξαρτάται μόνο από το r και όχι από το ω. Γενικά ισχύει ότι η Π.Σ. θα καθορίζεται από ομόκεντρους δακτυλίους με κέντρο την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου. Στη γενική περίπτωση η Π.Σ. του Μ.Ζ. θα είναι της μορφής R < < R, όπου τα όρια R, R εξαρτώνται από την ακολουθία x(n). Ας προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τις διαφορετικές περιπτώσεις σύγκλισης με την βοήθεια ορισμένων παραδειγμάτων. 5

6 Παράδειγμα / Κεφάλαιο 3 Να υπολογισθεί η Π.Σ. του Μ.Ζ. της δεξιόπλευρης (right-sided) εκθετικής ακολουθίας x (n)a n u(n). με Λύση: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό (3.) του Μ.Ζ. έχουμε: + n n n n n n X( ) x( n) a u( n) a ( a ) (3.7) n + n + n Η (3.7) είναι άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο a - και ισούται X( ) (3.8) a a με την προϋπόθεση βέβαια ότι a < ή ισοδύναμα > a. Η ανισότητα αυτή προσδιορίζει την Π.Σ. πάνω στο μιγαδικό επίπεδο-. Πρόκειται για όλα τα σημεία που βρίσκονται στο εξωτερικό του κύκλου με ακτίνα a, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.α. O M.Z. της x (n) είναι ρητή συνάρτηση (σχέση 3.8). Κάθε συνάρτηση αυτής της μορφής χαρακτηρίζεται από τα μηδενικά (δηλαδή τις ρίζες του αριθμητή) και τους πόλους (δηλαδή τις ρίζες του παρανομαστή). Η συνάρτηση X () έχει ένα μηδενικό στο σημείο και ένα πόλο στο a. Παρατηρούμε επομένως, ότι η Π.Σ. της X () εκτείνεται σε όλο το μιγαδικό επίπεδο που είναι έξω από τον κύκλο ο οποίος έχει ως ακτίνα τον πόλο αυτής. Η Π.Σ. δεν περιέχει ποτέ κάποιον πόλο. Γενικά, μια δεξιόπλευρη ακολουθία x(n) ικανοποιεί τη συνθήκη x(n) για n<n. Ο Μ.Ζ. αυτής ισούται με: + n + X ( ) xn ( ) n n N (3.9) και η Π.Σ. αυτού είναι της μορφής >R. Δηλαδή η Π.Σ. περιλαμβάνει όλες τις τιμές του μιγαδικού επιπέδου- που βρίσκονται έξω από τον κύκλο ακτίνας R, όπου R είναι εκείνος ο πόλος της X() ο οποίος απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων. Προσοχή θα πρέπει να δοθεί όταν Ν <. Σε μια τέτοια περίπτωση η σχέση (3.9) περιλαμβάνει ό- ρους με θετικές δυνάμεις του. Επομένως, η τιμή θα πρέπει να αποκλεισθεί από την Π.Σ., αφού αυτή θα οδηγεί σε μη φραγμένο Μ.Ζ. 6

7 Παράδειγμα / Κεφάλαιο 3 Να υπολογισθεί η Π.Σ. της αριστερόπλευρης (left-sided) εκθετικής ακολουθίας x (n) a n u( n). Λύση: Από τον ορισμό (3.) του Μ.Ζ. έχουμε: X () + n + n x a n (n) n n + n + n (a a n u( n ) ) n n n a n n (3.) Για a < ή ισοδύναμα < a το άθροισμα της (3.) συγκλίνει δίνοντας: X ( ) a (3.) a a Im Im Im a Re a Re a a Re (α) (β) (γ) Σχήμα 3.. Περιοχή σύγκλισης (α) δεξιόπλευρης, (β) αριστερόπλευρης, (γ) αμφίπλευρης ακολουθίας Η Π.Σ. της Χ () είναι οι τιμές του μιγαδικού επιπέδου- < a, δηλαδή το εσωτερικό του κύκλου ακτίνας a (Σχήμα 3.β). Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι οι συναρτήσεις Χ () και X () είναι ακριβώς ίδιες (Βλ. σχέσεις 3.8 και 3.). Η μόνη διαφορά βρίσκεται στην Π.Σ. Αυτό σημαίνει ότι η Π.Σ. αποτελεί αναπόσπαστο τμήμα του Μ.Ζ. και πρέπει πάντοτε να καθορίζεται. Αν μας δοθεί μόνο ο Μ.Ζ. χωρίς την αντίστοιχη Π.Σ. αυτού, θα υπάρχει αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ακολουθίας που οδήγησε σ' αυτόν, αφού μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία απαντήσεις. Γενικά, μία αριστερόπλευρη ακολουθία x(n) ικανοποιεί τη συνθήκη x(n) για n>ν. O M.Z. αυτής ισούται με: N X () xn () n (3.) n 7

8 και η Π.Σ. αυτού είναι της μορφής <R, δηλαδή οι τιμές του μιγαδικού επιπέδου- που βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου R, όπου R είναι εκείνος ο πόλος της Χ() ο οποίος απέχει λιγότερο από την αρχή των αξόνων. Προσοχή θα πρέπει να δοθεί όταν Ν >. Σ αυτή την περίπτωση η σχέση (3.) περιλαμβάνει όρους με αρνητικές δυνάμεις του. Επομένως, η τιμή θα πρέπει να αποκλεισθεί από την Π.Σ., αφού αυτή θα οδηγήσει σε μη φραγμένο Μ.Ζ. Παράδειγμα 3 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογισθεί η Π.Σ. της αμφίπλευρης (two-sided) εκθετικής ακολουθίας x(n)a n, a>. Λύση: Η ακολουθία x(n) μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δύο άλλων ακολουθιών, μιας δεξιόπλευρης και μιας αριστερόπλευρης, ως εξής: x(n) a n u(n) + a n u( n ) (3.3) ή (n) x (n) x (n) (3.4) x + Από τα δύο προηγούμενα παραδείγματα γνωρίζουμε ότι οι Μ.Ζ. των παραπάνω ακολουθιών είναι: X() a για > a (3.5) X () για < a (3.6) a Ο Μ.Ζ. X() της αμφίπλευρης ακολουθίας ισούται με το άθροισμα των Μ.Ζ. των επιμέρους ακολουθιών (βλ. ιδιότητα γραμμικότητας στην επόμενη υποενότητα), άρα: ή () X () X () (3.7) X + X(), a < < a (3.8) a a ή a X() a ( a)( a, ) a < < a Η αντίστοιχη Π.Σ. δείχνεται στο Σχήμα 3.γ και ισούται με το κοινό τμήμα των δύο περιοχών όπως τις γνωρίσαμε στα παραδείγματα και προηγουμένως. Είναι φανερό ότι για να υπάρχει κοινό τμήμα (επικάλυψη) μεταξύ των δύο περιοχών σύγκλισης, θα πρέπει a<. Για a> δεν υπάρχει επικάλυψη των περιοχών σύγκλισης και έτσι η (3.3) δεν θα 8

9 έχει Μ.Ζ., παρόλο που οι επιμέρους ακολουθίες που την απαρτίζουν (αριστερόπλευρη και δεξιόπλευρη) από μόνες τους έχουν! Γενικά, εάν υπάρχει η Π.Σ. μιας αμφίπλευρης ακολουθίας της μορφής x + (n) x (n) x (n), όπου x (n), x (n) δεξιόπλευρη και αριστερόπλευρη ακολουθία απείρου μήκους αντίστοιχα, τότε αυτή αποτελείται από τις τιμές του μιγαδικού επιπέδου για τις οποίες ισχύει: R < < R (3.) Πρόκειται δηλαδή για ένα δακτύλιο του οποίου η μικρότερη ακτίνα R προσδιορίζεται από εκείνο τον πόλο της X () ο οποίος απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων του επιπέδου-, ενώ η μεγαλύτερη ακτίνα R προσδιορίζεται από εκείνο τον πόλο της X () ο οποίος απέχει λιγότερο από την αρχή των αξόνων. Αν R R, τότε οι δύο περιοχές σύγκλισης δεν αλληλοεπικαλύπτονται και η τελική Π.Σ. της X() είναι το κενό, δηλαδή ο Μ.Ζ. δεν υπάρχει. Σημαντική παρατήρηση Μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος μη μηδενικών στοιχείων. Έστω ότι μια τέτοια ακολουθία x(n) εκτείνεται μεταξύ Ν και Ν, δηλαδή x(n) για n<n ή n>n (3.) όπου Ν, Ν πεπεραμένοι αριθμοί. Ο Μ.Ζ. αυτής ισούται με: N X ( ) xn ( ) n n N (3.) Είναι φανερό ότι η σειρά αυτή συγκλίνει για κάθε τιμή του, δηλαδή η Π.Σ. είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο-. Προσοχή όμως χρειάζεται στα εξής σημεία: Εάν Ν αρνητικός και Ν θετικός, τότε το άθροισμα περιλαμβάνει όρους με αρνητικές και θετικές δυνάμεις του. Έτσι, όταν, οι όροι με αρνητικές δυνάμεις του τείνουν στο άπειρο, ενώ όταν, οι όροι με θετικές δυνάμεις του τείνουν στο άπειρο. Επομένως, σε μια τέτοια περίπτωση η Π.Σ. δεν περιλαμβάνει τις τιμές και. Εάν Ν, τότε έχουμε μόνο αρνητικές δυνάμεις του στην εξίσωση (3.) και κατά συνέπεια η Π.Σ. περιλαμβάνει την τιμή. Εάν Ν, τότε έχουμε μόνο θετικές δυνάμεις του στην εξίσωση (3.) και κατά συνέπεια η Π.Σ. περιλαμβάνει την τιμή. 9

10 Παράδειγμα 4 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογιστεί ο Μ.Ζ. καθενός από τα παρακάτω διακριτά σήματα πεπερασμένης διάρκειας: (Η έντονη υπογράμμιση υποδηλώνει την χρονική στιγμή n). α. {x (n)}{3,4,5,,,} ε. x 5 (n)δ(n) β. {x (n)}{3,4,5,,,} στ. x 6 (n)δ(n-m), m> γ. {x 3 (n)}{,,3,4,5,,,} ζ. x 7 (n)δ(n+m), m> δ. {x 4 (n)}{4,6,5,,,} Λύση: Από τον ορισμό (3.) του Μ.Ζ. έχουμε: α. X () , με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός β. X () , με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός και γ. X 3 () , με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός δ. X 4 () , με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός και ε. X 5 (), με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- στ. X 6 () -m, όπου m>, με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός ζ. X 7 () m, όπου m>, με Π.Σ.: όλο το επίπεδο- εκτός Από το παράδειγμα αυτό γίνεται φανερό ότι η Π.Σ. του Μ.Ζ. μιας ακολουθίας πεπερασμένου μήκους (διάρκειας), είναι όλο το επίπεδο-, εκτός πιθανόν από τα σημεία και/ή. Αυτά τα σημεία αποκλείονται γιατί το m (m>) τείνει στο άπειρο για και το - m τείνει στο άπειρο για. Από το ίδιο παράδειγμα συνειδητοποιούμε επίσης ότι από μαθηματική άποψη ο Μ.Ζ. είναι απλά ένας εναλλακτικός τρόπος αναπαράστασης ενός σήματος. Βλέπουμε δηλαδή ότι ο συντελεστής του -n είναι ουσιαστικά η τιμή του σήματος την χρονική στιγμή n. Με άλλα λόγια, ο εκθέτης του παρέχει εκείνη την πληροφορία για τον χρόνο, η οποία μας είναι απαραίτητη για τον προσδιορισμό των δειγμάτων ενός σήματος. Σε πολλές περιπτώσεις μπορούμε να εκφράσουμε το άθροισμα μιας σειράς πεπερασμένου ή απείρου μήκους, σε κλειστή μορφή. Στις περιπτώσεις αυτές ο Μ.Ζ. μας παρέχει μια εναλλακτική συμπαγή μορφή αναπαράστασης ενός σήματος, όπως φαίνεται και στον Πίνακα 3.. που ακολουθεί.

11 Συνήθη ζεύγη Μ.Ζ. Ορισμένα από τα πιο συνηθισμένα ζεύγη Μ.Ζ. παρατίθενται στον Πίνακα 3.. Αυτά θα μας βοηθήσουν πάρα πολύ και στον υπολογισμό του αντίστροφου Μ.Ζ., εκφράζοντας τη συνάρτηση Χ() ως γραμμικό συνδυασμό απλούστερων συναρτήσεων, όπως θα δούμε στην ενότητα 3.. Πίνακας 3.. Συνήθη ζεύγη μετασχηματισμών- Σήμα Μετασχηματισμός- Περιοχή Σύγκλισης δ(n) Όλο το δ(n m) m Όλο το, εκτός αν m> ή αν m< u(n) > u( n) < a n u(n) a > a a n u( n) a < a na n u(n) a > a ( a ) na n u( n) cos(ω n)u(n) sin(ω n)u(n) (r n cosω n)u(n) (r n sinω n)u(n) a ( a ) (cos ù ) ( cos ù ) + (sin ù ) ( cos ù ) + ( rcos ù ) ( rcos ù ) + r ( rsin ù ) ( rcos ù ) + r < a > > > r > r Ιδιότητες του μετασχηματισμού- O M.Ζ. έχει ορισμένες ιδιότητες οι οποίες τον καθιστούν ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο στη μελέτη των σημάτων και συστημάτων διακριτού χρόνου. Στην παρούσα υποε-

12 νότητα παρουσιάζουμε σε συντομία τις πιο χρήσιμες από αυτές και όλες μαζί τις παραθέτουμε στον Πίνακα 3.. Γραμμικότητα Εάν και τότε Z x (n) X () με Π.Σ. Ρ Z x (n) X () με Π.Σ. Ρ Z ax (n) + bx (n) ax() + bx () με Π.Σ. τουλάχιστον Ρ Ρ (3.3) όπου a, b σταθερές και Ρ Ρ η τομή των περιοχών Ρ και Ρ. Η λέξη "τουλάχιστον" χρησιμοποιήθηκε για την περίπτωση κατά την οποία ο γραμμικός συνδυασμός είναι τέτοιος ώστε κάποια μηδενικά να εξουδετερώνουν ορισμένους πόλους. Σε μια τέτοια περίπτωση η Π.Σ. είναι μεγαλύτερη από την τομή των δύο περιοχών. Ολίσθηση στο χρόνο Z Εάν x(n) X() με Π.Σ. Ρ Z m τότε x(n m) X() με Π.Σ. Ρ (3.4) όπου Ρ Ρ με ενδεχόμενο όμως την προσθήκη ή απόρριψη των τιμών και, λόγω του παράγοντα m. Απόδειξη: Z { x(n m) } + n m (n m) m l x(n m) x(n m) x(l) n + n + l m X() Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Z Εάν x(n) X() με Π.Σ. Ρ Z και x (n) X () με Π.Σ. Ρ Z τότε x(n) * x (n) X()X () με Π.Σ. τουλάχιστον Ρ Ρ (3.5) Απόδειξη:

13 Από τον ορισμό της συνέλιξης της ενότητας.5 του Κεφαλαίου γνωρίζουμε ότι x + (n) * x (n) x(m)x (n m) m. Αντικαθιστώντας τη σχέση αυτή στην (3.) έχουμε: Z { x(n)*x (n)} [ x(n)*x (n)] n + m + + x m x(m) (m) m + x n (n m) X () X ()X n + n n + m () x (m) x + x m (m) (n m) m [ X ()] n Στον Πίνακα 3. παραθέτουμε τις πιο γνωστές ιδιότητες του Μ.Ζ. Πίνακας 3.. Ιδιότητες του Μ.Ζ. Ιδιότητα Σήμα Μετασχηματισμός- Περιοχή σύγκλισης x(n) X() P: R < <R x (n) X () P x (n) X () P Γραμμικότητα αx (n)+bx (n) αx ()+bx () P P τουλάχιστον Ολίσθηση στο χρόνο x(n m) m P, εκτός αν m> X() ή αν m< Κλιμάκωση στο πεδίο- α n x(n) X(α ) α R < < α R Κατοπτρισμός στο χρόνο x( n) X( ) < < R R Συζυγία x * (n) X * ( * ) P Παραγώγιση στο πεδίο- nx(n) dx ( ) P d Συνέλιξη x (n)*x (n) X ()X () P P τουλάχιστον Πρώτη διαφορά x(n) x(n) ( Τουλάχιστον η τομή )X() της Ρ και της > Θεώρημα αρχικής τιμής Αν x(n) για n<, τότε x() lim X ( ) Παράδειγμα 5 / Κεφάλαιο 3 Υπολογίστε το Μ.Ζ. των σημάτων x (n) και x 3 (n) του Παραδείγματος 4 / Κεφάλαιο 3, βασιζόμενοι στο Μ.Ζ. του σήματος x (n). 3

14 Λύση: Διαπιστώνουμε εύκολα ότι x (n)x (n+) και x 3 (n)x (n-). Άρα, με βάση την ιδιότητα της ολίσθησης στο χρόνο, βρίσκουμε ότι X () X () και X 3 () - X () Ας σημειωθεί ότι λόγω του πολλαπλασιασμού επί η Π.Σ. του X () δεν περιλαμβάνει το σημείο, αν και αυτό ανήκε στην Π.Σ. του X (). Το παράδειγμα αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουμε καλύτερα την ιδιότητα της ολίσθησης. Πράγματι, αν θυμηθούμε ότι ο συντελεστής του -n αντιστοιχεί στην τιμή του δείγματος στην χρονική στιγμή n, καταλαβαίνουμε αμέσως ότι η καθυστέρηση ενός σήματος κατά m (m>) δείγματα, δηλαδή x(n) x(n-m), ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό όλων των όρων του Μ.Ζ. επί -m. Ο συντελεστής του -n γίνεται συντελεστής του -(n+m). Άσκηση Αυτοαξιολόγησης / Κεφάλαιο 3 Να υπολογίσετε την έξοδο y(n) του Παραδείγματος 6 / Κεφάλαιο, αξιοποιώντας τις ιδιότητες του Μ.Ζ. Άσκηση Αυτοαξιολόγησης / Κεφάλαιο 3 Να υπολογίσετε το Μ.Ζ. του σήματος, n,,..., N x(n), αλλού Σύνοψη Ενότητας Στην ενότητα αυτή γνωρίσαμε το Μ.Ζ. X() της ακολουθίας x(n) και είδαμε ότι: Η Π.Σ. της συνάρτησης X() είναι στη γενική περίπτωση ένας κυκλικός δακτύλιος (R < <R ) στο επίπεδο- με κέντρο την αρχή των αξόνων. Σε ορισμένες περιπτώσεις R, οπότε η Π.Σ. γίνεται ένας δίσκος ακτίνας R, ενώ σε άλλες R, οπότε η Π.Σ. εκτείνεται σε όλο το επίπεδο >R. Η Π.Σ. δεν περιλαμβάνει του πόλους της συνάρτησης X(). Εάν η x(n) είναι πεπερασμένου μήκους, τότε η Π.Σ. είναι όλο το επίπεδο-, με πιθανή εξαίρεση τα σημεία και / ή. 4

15 Εάν η X() είναι ρητή και η x(n) δεξιόπλευρη, τότε η Π.Σ. ορίζεται στο επίπεδο- εκτός του κύκλου με ακτίνα τον πλέον απομακρυσμένο πόλο της X(). Εάν επιπλέον, η x(n) είναι αιτιατή, τότε η Π.Σ. συμπεριλαμβάνει και την τιμή. Εάν η X() είναι ρητή και η x(n) αριστερόπλευρη, τότε η Π.Σ. ορίζεται στο επίπεδο- εντός του κύκλου με ακτίνα τον πλησιέστερο στο κέντρο πόλο της X(). Εάν, επιπλέον, η x(n) είναι αντι-αιτιατή (δηλαδή αριστερόπλευρη και ίση με για n>), τότε η Π.Σ. συμπεριλαμβάνει και την τιμή. ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. O ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- Ο αντίστροφος Μ.Ζ. μας βοηθά να υπολογίσουμε το σήμα διακριτού χρόνου x(n) όταν γνωρίζουμε το Μ.Ζ. αυτού, Χ(). Συμβολικά γράφουμε x(n)z {X()}. Αποδεικνύεται ότι ο αντίστροφος Μ.Ζ. της Χ() δίνεται από τη σχέση: xn ( ) ðj c X ( ) n d (3.6) όπου c μια αριστερόστροφη κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων και εντός της Π.Σ. της Χ(). Για δεδομένη Π.Σ. ο αντίστροφος Μ.Ζ. είναι μοναδικά ορισμένος. Ένας τρόπος να υπολογίσουμε την x(n) είναι να αναπτύξουμε την Χ() σε δυναμοσειρά (power-series expansion) ως προς, δηλαδή: + n X ( ) xn ( )... + x( ) + x( ) + x( ) + x( ) + x( ) +... n (3.7) Διαπιστώνουμε εύκολα ότι το ζητούμενο σήμα είναι συντελεστές του πολυωνύμου. Όταν η X() δίνεται σε κλειστή μορφή, π.χ. ως μια ρητή συνάρτηση πολυωνύμων, ένα τέτοιο ανάπτυγμα δεν είναι εύκολα υπολογίσιμο. Σε αυτές τις περιπτώσεις, για τον υπολογισμό της ακολουθίας x(n), χρησιμοποιούμε είτε τη μέθοδο της ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα (partial-fraction expansion), είτε τη μέθοδο των ολοκληρωτικών υπολοίπων (residue method). Θα εξετάσουμε στα επόμενα τον υπολογισμό του αντίστροφου Μ.Ζ. με ανάπτυξη σε δυναμοσειρά και με ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα. 5

16 3... Υπολογισμός του αντίστροφου Μ.Ζ. με ανάπτυξη σε δυναμοσειρά Η ανάπτυξη μιας ρητής συνάρτησης σε δυναμοσειρά επιτυγχάνεται συνήθως με συνεχή διαίρεση (long division). Η μέθοδος αυτή δεν καταλήγει σε μια αναλυτική έκφραση για την x(n). Είναι μία αριθμητική μέθοδος με την οποία μπορούμε να υπολογίζουμε ένα νέο στοιχείο της x(n) κάθε φορά. Παράδειγμα 6 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογιστεί η δεξιόπλευρη ακολουθία x(n) της οποίας ο Μ.Ζ. είναι: + X () Λύση: Η συνεχής διαίρεση του αριθμητή με τον παρανομαστή μας δίνει: Επομένως η X() μπορεί να εκφραστεί ως δυναμοσειρά: X() Είναι φανερό ότι: x(), x().6, x().5, x(3).4,... Συνεχίζοντας τη διαίρεση θα μπορούσαμε να πάρουμε και άλλα στοιχεία της x(n) Υπολογισμός του αντίστροφου Μ.Ζ. με ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα Έστω Χ() ρητή συνάρτηση της μορφής 6

17 X() C() D() a + a + b a b M M N N (3.8) Θεωρήσαμε ότι b. Αυτό όμως δεν περιορίζει τη γενικότητα της έκφρασης, αφού ε- άν b, μπορούμε να διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με b και να καταλήξουμε στη σχέση της μορφής (3.8). Μια ρητή συνάρτηση της μορφής αυτής ονομάζεται κανονική (proper) εάν b N και Μ<Ν, δηλαδή όταν ο αριθμός των μηδενικών της συνάρτησης είναι μικρότερος του αριθμού των πόλων αυτής. Εάν η ρητή συνάρτηση είναι μηκανονική (Μ Ν), τότε αυτή μπορεί πάντοτε να εκφραστεί ως άθροισμα ενός πολυωνύμου και μιας κανονικής ρητής συνάρτησης, εκτελώντας τη διαίρεση του C() δια του D(), δηλαδή C() (M N) C() () c + c cm N + X() + X D() D() X () (3.9) (M N) όπου q X () c + c c M N c q (3.3) q M N και C() X () D() (3.3) Ο υπολογισμός του αντίστροφου Μ.Ζ. του πολυωνύμου X () είναι προφανής και γίνεται απευθείας χωρίς επιπλέον πράξεις, από τον ορισμό του Μ.Ζ. (σχέση 3.). Η συνάρτηση X () είναι κανονική ρητή συνάρτηση. Στόχος μας είναι να την αναπτύξουμε σε μερικά κλάσματα, δηλαδή να την εκφράσουμε ως άθροισμα απλών κλασμάτων και στη συνέχεια να υπολογίσουμε τον αντίστροφο Μ.Ζ. κάθε κλάσματος ξεχωριστά. Λόγω της ιδιότητας της γραμμικότητας, ο αντίστροφος Μ.Ζ. της συνάρτησης X () θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους αντίστροφων Μ.Ζ. των κλασμάτων. Ας δούμε λοιπόν πώς γίνεται η ανάπτυξη μιας κανονικής ρητής συνάρτησης σε μερικά κλάσματα. Έστω ότι η X() είναι κανονική ρητή συνάρτηση της μορφής (3.8). Για να απλοποιήσουμε την όλη ανάλυση, απαλείφουμε τις αρνητικές δυνάμεις του πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή επί N, οπότε η σχέση γίνεται: X() N N a + a + N N + b Επειδή Ν>Μ η συνάρτηση X() N N a + a N N + b... + a M b N N M a M b N N M (3.3) (3.33) 7

18 είναι πάντοτε κανονική. Για να αναπτύξουμε την τελευταία συνάρτηση σε μερικά κλάσματα, βρίσκουμε τις ρίζες p, p,,p N του παρονομαστή, δηλαδή τους πόλους της X(). Θα εξετάσουμε στη συνέχεια την περίπτωση που οι πόλοι είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους, δηλαδή είναι πολλαπλότητας. Σε μια τέτοια περίπτωση η (3.33) γράφεται ως X ( ) A p A + p A N p N (3.34) Στόχος μας είναι να υπολογίσουμε τους συντελεστές Α, Α,,Α Ν. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (3.34) με καθέναν από τους όρους (-p k ), k,,,n και υπολογίζοντας την έκφραση που προκύπτει στις αντίστοιχες θέσεις των πόλων p, p,,p N. Έτσι, στη γενική περίπτωση θα έχουμε ( p k ) X ( ) ( p k )A p ( p k )A + p ( p k )A p N N (3.35) και επομένως για p k η σχέση αυτή θα μας δώσει το συντελεστή Α k, αφού όλοι οι άλλοι όροι του δευτέρου μέλους μηδενίζονται. Δηλαδή ( p k ) X ( ) A k k,,..., N p k (3.36) Σημειώνεται ότι οι σχέσεις (3.34) και (3.36) ισχύουν τόσο για πραγματικούς, όσο και για μιγαδικούς πόλους. Η διαδικασία της ανάπτυξης της X() σε μερικά κλάσματα έχει ολοκληρωθεί στο σημείο αυτό, αφού έχουμε υπολογίσει τις τιμές Α, Α,,Α Ν. Η X() γράφεται τώρα ως X ( ) A p + A p A N p N (3.37) ή διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή κάθε μερικού κλάσματος με έχουμε την τελική έκφραση του X() σε μορφή αρνητικών δυνάμεων του : X ( ) A p - + A p A N p N - (3.38) Ο αντίστροφος Μ.Ζ. x(n)z - {X()} μπορεί τώρα εύκολα να υπολογιστεί από τον αντίστροφο Μ.Ζ. κάθε μερικού κλάσματος ξεχωριστά και τελικά τον γραμμικό συνδυασμό τους. Από τον Πίνακα 3. μπορούμε να δούμε ότι Z { p k n pku(n) } n - pku( n ) αν αν ΠΣ : ΠΣ : > p k < p k ( αιτιατό σήµα) (3.39) ( µη αιτιατό σήµα) 8

19 Το ποια από τις σχέσεις θα επιλέξουμε, εξαρτάται από την επιπλέον πληροφορία που έ- χουμε. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ότι το σήμα x(n) είναι αιτιατό, τότε θα επιλέξουμε τη δεξιόπλευρη ακολουθία (πρώτη από τις σχέσεις 3.39) και ο αντίστροφος Μ.Ζ. της (3.38) θα ισούται με x(n) (A p n n + Ap A N p n N )u(n) (3.4) Ας παρακολουθήσουμε την όλη διαδικασία υπολογισμού του αντίστροφου Μ.Ζ. μιας κανονικής ρητής συνάρτησης με τη μέθοδο της ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα, μέσα από το επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 7 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογιστεί η δεξιόπλευρη ακολουθία x(n) της συνάρτησης του Παραδείγματος 6 / Κεφάλαιο 3. Λύση: Κατ αρχήν απαλείφουμε τις αρνητικές δυνάμεις του από τη συνάρτηση, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το. Έτσι έχουμε: + + X() Οι πόλοι της X() είναι p. και p -.6, οπότε η σχέση αυτή γράφεται στη μορφή της (3.34) ως εξής: () + A A + (.)( +.6). +.6 X Εφαρμόζοντας τη σχέση (3.36) υπολογίζουμε τα Α και Α A A (.)X() ( +.6)X() Άρα η X() μπορεί πλέον να εκφραστεί ως ανάπτυγμα μερικών κλασμάτων X() X()

20 X() Γνωρίζοντας ότι η ζητούμενη ακολουθία x(n) είναι δεξιόπλευρη, υπολογίζουμε τον αντίστροφο Μ.Ζ. από την πρώτη σχέση της (3.39) ως x(n).75(.) n u(n).75(.6) n u(n) Αυτή είναι η ζητούμενη ακολουθία. Παρατηρούμε ότι για τις τιμές του n,,,3 παίρνουμε τα στοιχεία x(), x().6, x().5, x(3).4, επιβεβαιώνοντας έτσι τα αποτελέσματα του Παραδείγματος 6 / Κεφάλαιο 3. Η διαδικασία της ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα που εξετάσαμε μέχρι τώρα, εφαρμόζεται στην περίπτωση που έχουμε απλούς πόλους, δηλαδή πόλους διαφορετικούς μεταξύ τους. Εάν η X() έχει πόλους πολλαπλότητας l, δηλαδή ο παρονομαστής της περιέχει παράγοντες της μορφής (-p k ) l, τότε η προηγούμενη διαδικασία δεν ισχύει όπως έχει και πρέπει να τροποποιηθεί. Η περίπτωση αυτή όμως ξεφεύγει από τους στόχους του παρόντος βιβλίου και δεν θα εξεταστεί. Όπως επίσης δεν θα εξεταστεί η περίπτωση υπολογισμού του αντίστροφου Μ.Ζ. με χρήση των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Στη βιβλιογραφία του Κεφαλαίου δίνονται συγγράμματα τα οποία αναφέρονται εκτενώς στα θέματα αυτά. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 3 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογίσετε την x(n) όταν γνωρίζετε ότι X()(-)/( ) και η Π.Σ. είναι (α) > ή (β) <.5. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογίσετε τον αντίστροφο Μ.Ζ. της X()(6+ - )/(-.5 - ). Σύνοψη Ενότητας Στην ενότητα αυτή είδαμε τις μεθόδους υπολογισμού του αντίστροφου Μ.Ζ. Συγκεκριμένα, είδαμε ότι όταν μας δίνεται ο Μ.Ζ. μιας ακολουθίας, ο οποίος είναι συνήθως ρητής μορφής, μπορούμε να βρούμε την ίδια την ακολουθία είτε αναπτύσσοντας σε δυναμοσειρά εκτελώντας την λεγόμενη συνεχή διαίρεση, είτε αναπτύσσοντας σε μερικά κλάσματα. Η πρώτη από τις μεθόδους αυτές δεν καταλήγει σε κάποια αναλυτική μορφή

21 για την ζητούμενη ακολουθία, και χρησιμοποιείται κυρίως για τον υπολογισμό μερικών από τους πρώτους όρους του αναπτύγματος. ΕΝΟΤΗΤΑ 3.3. Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- O M.Z. που γνωρίσαμε μέχρι τώρα αναφέρεται σε σήματα τα οποία ορίζονται σε όλο το διάστημα του χρόνου από το έως το + ( <n<+ ) και ονομάζεται αμφίπλευρος Μ.Ζ. (bilateral -transform). Εκτός αυτού, υπάρχει και ο μονόπλευρος Μ.Ζ. (one-sided or unilateral -transform), ο οποίος είναι ιδιαίτερα χρήσιμος για την ανάλυση διακριτών συστημάτων τα οποία αρχικά δεν βρίσκονται σε ηρεμία. Αυτά τα συστήματα περιγράφονται από εξισώσεις διαφορών με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Με άλλα λόγια, ένα τέτοιο σύστημα αρχικά δεν βρίσκεται σε ηρεμία, λόγω διεγέρσεων που εφαρμόστηκαν σ αυτό πριν ακόμα εφαρμοστεί η είσοδος x(n) κατά την χρονική στιγμή n. Οι αρχικές τιμές y(-), y(-),,y(-n) της εξόδου του συστήματος, οι οποίες οφείλονται στις προηγούμενες διεγέρσεις, αποτελούν τις αρχικές συνθήκες αυτού. Ο μονόπλευρος Μ.Ζ. της ακολουθίας x(n) ορίζεται ως + + n και γράφουμε συνήθως n X () x(n) (3.4) Z + + { x(n) } x(n) + X () Z (3.4) Παρατηρούμε ότι στο μονόπλευρο Μ.Ζ. το άθροισμα υπολογίζεται μόνο για τις μηαρνητικές τιμές του n, ανεξάρτητα από το αν η ακολουθία x(n) είναι μηδενική ή μη για n<. Δηλαδή ο μονόπλευρος Μ.Ζ. της x(n) μπορεί να θεωρηθεί ως ο αμφίπλευρος Μ.Ζ. της x(n)u(n). Επειδή η ακολουθία x(n)u(n) είναι πάντοτε μια δεξιόπλευρη ακολουθία, η Π.Σ. του Χ + () είναι πάντοτε το εξωτερικό ενός κύκλου. Πολλές από τις ιδιότητες του μονόπλευρου Μ.Ζ. είναι ίδιες με εκείνες του αμφίπλευρου Μ.Ζ., όπως οι ιδιότητες της γραμμικότητας, κλιμάκωσης στο επίπεδο-, επέκτασης στο χρόνο, συζυγούς ακολουθίας και παραγώγισης. Μία από τις ιδιότητες που διαφέρουν και η οποία παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι εκείνη της ολίσθησης, την οποία και εξετάζουμε στη συνέχεια. Ολίσθηση στο χρόνο Z + Εάν xn ( ) X( ) +

22 m + + τότε xn ( m) X ( ) + x( n ) n Z m n για m> (3.43) Απόδειξη: m + xn ( + m) X ( ) xn ( ) n Z m + n για m> (3.44) Z + { x(n m) } n m x(n m) x(l) n l + l m l m l x(l) (l+ m) l x(l) m m m n l m l x(l) x( n) n + X + () Η σχέση (3.43) αφορά τη δεξιά ολίσθηση ή καθυστέρηση της ακολουθίας x(n), ενώ η (3.44) την αριστερή ολίσθηση ή προήγηση αυτής. Συγκρίνοντας τις σχέσεις αυτές με την αντίστοιχη σχέση (3.4), για τον αμφίπλευρο Μ.Ζ., γίνεται φανερό ότι κατά τη δεξιά ολίσθηση, νέα δείγματα εισέρχονται στο διάστημα [, + ) και άρα πρέπει να λάβουν και αυτά μέρος στους υπολογισμούς. Τα νέα αυτά δείγματα είναι τα x(), x( ),..., x( m). Κατά την αριστερή ολίσθηση, κάποια από τα υπάρχοντα δείγματα βρίσκονται εκτός του διαστήματος [, + ) και συνεπώς πρέπει να αφαιρεθούν από το συνολικό άθροισμα. Πρόκειται για τα δείγματα x(), x(),..., x(m). Παράδειγμα 8 / Κεφάλαιο 3 Να υπολογιστεί ο μονόπλευρος Μ.Ζ. των σημάτων x (n)a n u(n) και x (n)x (n+). Λύση: Ο υπολογισμός του X + () γίνεται εύκολα από τον ορισμό του μονόπλευρου Μ.Ζ. (3.4). Άλλωστε, το αποτέλεσμα είναι ίδιο με εκείνο του αμφίπλευρου Μ.Ζ. αφού πρόκειται για αιτιατή ακολουθία (βλ. σχέση 3.8). Έχουμε λοιπόν: X + () X () /(-a - ) με Π.Σ. > a. Για τον υπολογισμό του X + () εφαρμόζουμε το θεώρημα της ολίσθησης (σχέση 3.44) για m και παίρνουμε X + () [X + ()-x () ] [X + () ] /(-a - ) αφού x (). Σύνοψη Ενότητας

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ Ποιός είναι ο DTFT της u(n)?? u(n) e πδ(ω πk) j ω k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2 Ψηφιακά Φίλτρα Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα Στην επεξεργασία σήματος, η λειτουργία ενός φίλτρου είναι να απομακρύνει τα ανεπιθύμητα μέρη ενός σήματος, όπως ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων

Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης Finite Impulse Response (FIR) filters y(n) = M k= bk x(n k) / 68 παράδειγμα (εισαγωγικό) y(n) = 9 x(n k ) k= 2/ 68 Βασικές κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 10 Κεφ. 7.0-7.2 Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες Σχεδιασμός Φίλτρου Καθορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response (F.I.R.) Filters)

Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response (F.I.R.) Filters) ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ / ΣΤΕΦ / ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Μάθημα: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ (Εργαστήριο) Ε εξάμηνο Εξάμηνο: Χειμερινό 2014-2015 Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Επανάληψη Μιγαδικών Αριμών Δημήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy Που χρησιμεύει: Από τη εωρία των Σειρών Fourier, γνωρίζουμε πως οποιοδήποτε περιοδικό σήμα ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα