ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ"

Transcript

1 5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου. Θα γνωρίσουμε τα πιο βασικά σήματα διακριτού χρόνου, καθώς και τις στοιχειώδεις πράξεις που εφαρμόζονται σε τέτοιου είδους σήματα. Όλα αυτά θα αποτελέσουν τα εργαλεία τα απαραίτητα για την μελέτη των συστημάτων και την ανάλυση των σημάτων που θα μας απασχολήσουν σε όλη την έκταση αυτού του βιβλίου.... ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τα σήματα που περιγράφονται στη συνέχεια θεωρούνται ως τα βασικά (στοιχειώδη) σήματα διακριτού χρόνου. α) Μοναδιαίο δείγμα (uit sample) ή μοναδιαία κρουστική ακολουθία (uit impulse sequece): Είναι το πλέον βασικό σήμα διακριτού χρόνου το ο- ποίο ορίζεται ως:, = 0 ä() = 0, 0 (.5) β) Μοναδιαία βηματική ακολουθία (uit step sequece): Ορίζεται ως:, 0 u() = 0, < 0 (.6) γ) Σταθερή ακολουθία (costat sequece): x() = A - < < (.7) δ) Γραμμική ακολουθία (liear sequece):

2 6 x() = A - < < (.8).. Οι κυματομορφές όλων των παραπάνω σημάτων δείχνονται στα Σχήματα.0 έως και ε) Εκθετική ακολουθία (expoetial sequece): x() = a - < < (.9) Η ακολουθία αυτή παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Η μορφή της εξαρτάται από την τιμή του a. Έτσι, αν a πραγματικός αριθμός, τότε αυτή είναι φθίνουσα για a < (Σχήμα.4α,β) και αύξουσα για a > (Σχήμα.4γ,δ). Αν a μιγαδικός αριθμός, δηλαδή a=re jω, τότε x()= r e jω ή x()= r [cos(ω) + j si(ω)]. Για r= το πραγματικό και φανταστικό μέρος είναι αντίστοιχα μια συνημιτονική και μια ημιτονική ακολουθία σταθερού πλάτους της μορφής του Σχήματος.5α. Για r< έχουμε φθίνουσες ημιτονικές ακολουθίες της μορφής του Σχήματος.5β και για r> έχουμε αύξουσες ημιτονικές ακολουθίες της μορφής του Σχήματος.5γ.

3 7 δ() u() Σχήμα.0. Κρουστική ακολουθία Σχήμα.. Βηματική ακολουθία x() x() A A A A A 0 -A Σχήμα.. Σταθερή ακολουθία Σχήμα.. Γραμμική ακολουθία (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα.4. Εκθετική ακολουθία x() = a για a πραγματικό και (α) 0<a<, (β) <a<0, (γ) a> και (δ) a<-

4 8 (α) (β) (γ) Σχήμα.5. Γραφική αναπαράσταση του πραγματικού ή φανταστικού μέρους της εκθετικής ακολουθίας x() = a για a μιγαδικό (a=re jω ), όπου (α) r=, (β) r< και (γ) r>... ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Ολίσθηση σημάτων διακριτού χρόνου Η μαθηματική περιγραφή της ολίσθησης και η κατανόηση αυτής είναι βασικής σημασίας. Για παράδειγμα, η ολίσθηση της μοναδιαίας κρουστικής κατά o μονάδες (δείγματα) ορίζεται ως:, = o δ( o ) = (.0) 0, o

5 9 Στο Σχήμα.6 δείχνονται οι συναρτήσεις!δ(-) και!δ(+). δ(-) δ(+) Σχήμα.6. (α) Γραφικές παραστάσεις των μοναδιαίων ακολουθιών (α)!δ(-) και (β)!δ(+). (β) Με όμοιο τρόπο ορίζεται και η ολισθημένη κατά o μοναδιαία βηματική ακολουθία:, u( o) = 0, < o o (.) Στο Σχήμα.7 δείχνονται παραδείγματα ολίσθησης μιας βηματικής συνάρτησης κατά δύο δείγματα ( o = ). Au(-) Au(+) Au(-+) A A A (α) (β) (γ) Σχήμα.7. Γραφικές παραστάσεις των βηματικών ακολουθιών (α) Α!u(-), (β) Α!u(+) και (γ) Α!u(-+) Παρατηρούμε ότι η μη μηδενική τιμή μιας κρουστικής βρίσκεται εκεί όπου το όρισμα της δ(") γίνεται μηδέν. Όμοια, μία βηματική ακολουθία είναι μη μηδενική για εκείνες τις τιμές για τις οποίες το όρισμα της u(") είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Για παράδειγμα, μια κρουστική ακολουθία με πλάτος δείγματος 4 στη θέση =, εκφράζεται ως 4δ(-). Μια βηματική ακολουθία πλάτους για όλες τις θετικές τιμές του, καθώς και για =0, εκφράζεται ως x()=-u(). Η κατοπτρική αυτής ως προς τον άξονα των τεταγμένων είναι η x(-)=-u(-). Αυτή έχει πλάτος για όλες τις αρνητικές τιμές του, κα-

6 0 θώς και για =0. Η ολίσθηση αυτής κατά 4 θέσεις προς τα αριστερά θα μας δώσει την ακολουθία x(-+4)=-u(-+4). Είμαστε τώρα σε θέση να δούμε εύκολα ότι οι σχέσεις που συνδέουν την κρουστική και την βηματική ακολουθία είναι οι εξής: u () δ(m) (.) = m= δ ( ) = u() u( ) (.) Γενικά, η ακολουθία x(- 0 ) είναι ένα αντίγραφο της x() το οποίο έχει υποστεί ολίσθηση. Για 0 >0 έχουμε μια δεξιά ολίσθηση η οποία ισοδυναμεί με καθυστέρηση (delay) του σήματος, ενώ για 0 <0 έχουμε μια αριστερή ολίσθηση η οποία ισοδυναμεί με προήγηση (advace) του σήματος. Γενική περιγραφή ακολουθίας Οποιοδήποτε σήμα x() μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ολισθημένων κρουστικών δειγμάτων πολλαπλασιασμένων με συντελεστές βάρους: + x ( ) = xm ( ) ä ( m) (.4) m= Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας δούμε το Σχήμα.8. Η Αδ() βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, ενώ η Αδ(-m) βρίσκεται στο σημείο =m. Έτσι η ακολουθία x(), με {x()}={... 0, 0, -,,,, 0, -,, 0, 0,...}, όπου με έντονη γραφή και υπογράμμιση σημειώνεται η χρονική στιγμή =0 (στοιχείο ), μπορεί να περιγραφεί ως: x() = -δ(+) + δ(+) + δ() + δ(-) - δ(-) + δ(-4) + = = + x(-)δ(+) + x(-)δ(+) + x(0)δ() + x()δ(-) + x()δ(-) + x(4)δ(-4) +

7 και γενικά προκύπτει η σχέση (.4). Η σχέση αυτή είναι πολύ βασική και θα μας βοηθήσει στην κατανόηση της συνέλιξης (covolutio), όπως θα δούμε αναλυτικά στην ενότητα.4. x() Aδ() Aδ(-m) A A 0 0 m (α) (β) (γ) Σχήμα.8. Η μοναδιαία κρουστική στην περιγραφή οποιουδήποτε σήματος διακριτού χρόνου x():(α) Aδ(), (β) Aδ(-m), (γ) x() Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 / Κεφάλαιο Να εκφράσετε τον παλμό διακριτού χρόνου p() του Σχήματος.9α ως συνδυασμό βηματικών ακολουθιών. p() g() x() (α) (β) (γ) Σχήμα.9. Σήματα διακριτού χρόνου Δραστηριότητα / Κεφάλαιο Να βρείτε τις εκφράσεις για τα σήματα g(), x() των Σχημάτων.9β και.9γ.

8 Σύνοψη ενότητας Στην ενότητα αυτή ορίσαμε όλες τις βασικές ακολουθίες (κρουστική, βηματική, εκθετική) και γνωρίσαμε τις στοιχειώδεις πράξεις που μπορούμε να έχουμε σ αυτές. Στη συνέχεια, είδαμε ότι οποιοδήποτε σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός μοναδιαίων κρουστικών. ΕΝΟΤΗΤΑ.4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ένα σύστημα διακριτού χρόνου είναι η οντότητα εκείνη που δέχεται μια είσοδο διακριτού χρόνου x() και παράγει μια έξοδο επίσης διακριτού χρόνου y() (Σχήμα.0). Τα συστήματα με τα οποία θα ασχοληθούμε στο βιβλίο αυτό έχουν δύο βασικά χαρακτηριστικά. Είναι γραμμικά (liear) και χρονικά αμετάβλητα (time-ivariat). Θα αναφερόμαστε σ' αυτά με τον αγγλικό όρο LTI (Liear Time-Ivariat) για λόγους συμβατότητας με την διεθνή βιβλιογραφία και ευκολίας του σπουδαστή. x() Σύστημα Διακριτού Χρόνου y() Σχήμα.0. Γενικό διάγραμμα συστήματος διακριτού χρόνου Γραμμικό ονομάζεται ένα σύστημα το οποίο υπακούει στην αρχή της υπέρθεσης. Συγκεκριμένα, εάν η είσοδος του συστήματος, το οποίο αρχικά βρισκόταν σε ηρεμία, αποτελείται από ένα γραμμικό συνδυασμό σημάτων, τότε η έξοδος του συστήματος (απόκριση) θα ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των αποκρίσεων των επιμέρους σημάτων, σαν αυτά να είχαν εφαρμοσθεί το καθένα χωριστά. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ως εξής: αν y () είναι η απόκριση του συστήματος στην είσοδο x () και y () είναι η απόκριση αυτού στην είσοδο x (), τότε η απόκριση του συστήματος στην είσοδο ax () + bx () θα είναι ay () + by (), όπου a, b σταθερές. Αρχική ηρεμία σημαίνει ότι στο σύστημα δεν έχει εφαρμοστεί καμία διέγερση (είσοδος) πριν από την χρονική στιγμή = 0, κατά την οποία εφαρμόστηκε η είσοδος x().

9 Ας εξετάσουμε την περίπτωση ενός γραμμικού και ενός μη γραμμικού συστήματος. Ένα παράδειγμα γραμμικού συστήματος είναι αυτό του οποίου η έξοδος ισούται με y()=x()-x(-). Για είσοδο x (), η έξοδος του συστήματος θα είναι y ()=x ()-x (- ). Για είσοδο x () η έξοδος του συστήματος θα είναι y ()=x ()-x (-). Αν τώρα ε- φαρμόσουμε ως είσοδο x () τον γραμμικό συνδυασμό των δύο προηγουμένων ακολουθιών εισόδου, δηλαδή x ()=a x ()+b x (), η έξοδος y () του συστήματος θα ισούται με: y () = x ()-x (-) = [a x ()+b x ()] [a x (-)+b x (-)] = a[x () - x (-)] + b[x () - x (-)] = a y ()+b y () άρα ισχύει η αρχή της υπέρθεσης. Ένα παράδειγμα μη γραμμικού συστήματος είναι εκείνο το οποίο παράγει στην έξοδό του το τετράγωνο της εισόδου, δηλαδή y ( ) = ( x ( )) συστήματος θα είναι y ( ) ( x ( ) ) είναι () ( x ( ) ). Για είσοδο x () η έξοδος του =. Για είσοδο x () η έξοδος του συστήματος θα y =. Αν τώρα εφαρμοσθεί στην είσοδο το σήμα x ()=ax () + bx () η έξοδος θα είναι: y () = ( x ()) = ( ax () + bx ()) = ( ax ()) + ( bx ()) = a y () + b y () + abx ()x () ay () + by () + abx ()x () = Χρονικά αμετάβλητο ονομάζεται ένα σύστημα του οποίου η συμπεριφορά και οι ιδιότητες δεν αλλάζουν με τον χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι μια χρονική ολίσθηση της εισόδου θα αντιστοιχεί σε χρονική ολίσθηση της εξόδου. Με άλλα λόγια, εάν y() είναι η έξοδος ενός χρονικά αμετάβλητου συστήματος για είσοδο x(), τότε y(- 0 ) θα είναι η έξοδος αυτού για είσοδο x(- 0 ). Ευσταθές (stable) ονομάζεται ένα σύστημα εάν και μόνον εάν κάθε φραγμένη είσοδος παράγει μια φραγμένη έξοδο (Bouded Iput Bouded Output, ΒΙΒΟ). Με άλλα λόγια, ένα τέτοιο σύστημα μας εξασφαλίζει ότι όσο η είσοδος παραμένει φραγμένη ( x() M x < ), η έξοδος δεν θα απειρίζεται ( y() M y < ) για όλα τα, όπου M x, M y πεπερασμένοι αριθμοί. Σε διαφορετική περίπτωση το σύστημα ονομάζεται ασταθές (ustable).

10 4 Αιτιατό (causal) σύστημα είναι εκείνο του οποίου η έξοδος, σε κάθε χρονική στιγμή, εξαρτάται μόνο από τις τιμές του σήματος εισόδου στην παρούσα χρονική στιγμή και σε προηγούμενες χρονικές στιγμές. Με άλλα λόγια, οι μεταβολές στην έξοδο (αποτέλεσμα) ενός τέτοιου συστήματος έπονται των μεταβολών της εισόδου. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε τη σημασία της κρουστικής απόκρισης μονοδιάστατου συστήματος διακριτού χρόνου και θα δούμε ότι με τη βοήθειά της μπορούμε, μέσω της πράξης της συνέλιξης, να υπολογίσουμε την έξοδο ενός γραμμικού συστήματος διακριτού χρόνου για οποιαδήποτε είσοδο. Παράδειγμα 5 / Κεφάλαιο Να χαρακτηρίσετε τα συστήματα που περιγράφονται από τις επόμενες σχέσεις εισόδουεξόδου, ως προς τις ιδιότητες της γραμμικότητας, ευστάθειας, χρονικής μεταβλητότητας και αιτιατότητας. α. y()=x()-x(-) β. y()=x()+y(-) γ. y()=x(-)-x(+) δ. y()=cos[x()] Λύση: Τα δύο πρώτα συστήματα είναι γραμμικά, αφού η έξοδος υπολογίζεται ως γραμμικός συνδυασμός δειγμάτων της εισόδου και προηγούμενων τιμών της εξόδου. Το τρίτο σύστημα είναι επίσης γραμμικό, αφού ισχύει η αρχή της υπέρθεσης. Το τέταρτο είναι μη γραμμικό σύστημα. Ως προς την ευστάθεια, το δεύτερο σύστημα δεν είναι ευσταθές. Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας θεωρήσουμε ότι στην είσοδο του συστήματος εφαρμόζεται η φραγμένη ακολουθία x()=cδ(), όπου C σταθερά. Θεωρούμε επίσης ότι το σύστημα βρίσκεται σε αρχική ηρεμία, οπότε y(-)=0. Η ακολουθία εξόδου που παράγεται είναι: y(0)=c δ(0)+ y(-)=c + 0=C y()=c δ()+ y(0)=c 0+ C=C y()=c δ()+ y()=c 0+ C= C

11 5 y()=c δ()+ y(-)=c 0+ - C= C Επομένως, γίνεται φανερό, ότι η έξοδος είναι μη φραγμένη και το σύστημα είναι BIBO ασταθές, αφού μία φραγμένη είσοδος έχει ως αποτέλεσμα μια μη φραγμένη έξοδο. Μεταβλητό με το χρόνο είναι το τρίτο σύστημα αφού ο συντελεστής δεν είναι σταθερός αλλά μεταβάλλεται διαρκώς. Τέλος το τρίτο σύστημα δεν είναι αιτιατό αφού απαιτεί γνώση μελλοντικών τιμών της εισόδου. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 5 / Κεφάλαιο Εξετάστε αν το σύστημα y()=x()+ είναι γραμμικό. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 6 / Κεφάλαιο Εξετάστε αν τα συστήματα y()=x() και y()=x() είναι χρονικά αμετάβλητα..4.. ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ας θυμηθούμε τη μοναδιαία κρουστική ακολουθία δ(). Αυτή έχει τιμή για =0 και τιμή 0 οπουδήποτε αλλού (βλ. Σχήμα.0). Εφαρμόζουμε αυτό το σήμα στην είσοδο ενός LTI συστήματος διακριτού χρόνου, το οποίο αρχικά ηρεμεί, δηλαδή εφαρμόζουμε μια διέγερση την στιγμή =0. Το σήμα εξόδου, το οποίο θα παρατηρηθεί μετά την στιγμή =0, είναι χαρακτηριστικό του ίδιου του συστήματος. Αυτό το σήμα εξόδου αποτελεί την κρουστική απόκριση, h(), του συστήματος. Η κρουστική απόκριση ονομάζεται και φυσική απόκριση του συστήματος. Ένα παράδειγμα κρουστικής απόκρισης συστήματος διακριτού χρόνου δείχνεται στο Σχήμα..

12 6 δ() h() LTI Σύστημα Διακριτού Χρόνου 0 Σχήμα.. Κρουστική απόκριση συστήματος διακριτού χρόνου Αν εφαρμόζαμε την διέγερση την στιγμή =, τότε η απόκριση του συστήματος θα ή- ταν ίδια με την προηγούμενη, αλλά θα άρχιζε από την στιγμή =, όπως φαίνεται στο Σχήμα.α. Και γενικά, αν εφαρμόζαμε την κρουστική είσοδο την χρονική στιγμή =m, τότε το αποτέλεσμα θα ήταν η ίδια απόκριση αλλά με αρχή την στιγμή m (Σχήμα.β). Όπως καταλαβαίνουμε αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το σύστημά μας είναι χρονικά αμετάβλητο. δ(-) h(-) LTI Σύστημα Διακριτού Χρόνου 0 δ(-m) (α) 0 h(-m) LTI Σύστημα Διακριτού Χρόνου 0 m (β) 0 m Σχήμα.. Κρουστική απόκριση συστήματος διακριτού χρόνου για είσοδο (α) δ(-) και (β) δ(-m).4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Τίθεται συνεπώς το ερώτημα: Ποιά θα είναι η απόκριση ενός συστήματος διακριτού χρόνου για είσοδο x(), αν γνωρίζουμε την κρουστική του απόκριση h(); Η απάντηση στο ερώτημα αυτό δίνεται μονολεκτικά από την λέξη συνέλιξη (covolutio). Η έξοδος y() του συστήματος (Σχήμα.0) θα ισούται με την συνέλιξη της εισόδου x() και της κρουστικής h() του συστήματος, ή: y() = x() * h() (.5)

13 7 όπου * το σύμβολο της συνέλιξης. Όμως τι είναι η συνέλιξη και πώς υπολογίζεται; Έστω, λοιπόν, ότι x() η είσοδος και h() η κρουστική απόκριση συστήματος διακριτού χρόνου. Πριν προχωρήσουμε, ας θυμηθούμε την σχέση (.4), η οποία μας λέει ότι ένα σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός ολισθημένων κρουστικών. Επίσης, ας μην ξεχνάμε ότι το σύστημα που εξετάζουμε είναι γραμμικό (άρα ισχύει η αρχή της υπέρθεσης) και χρονικά αμετάβλητο. Έχοντας αυτά κατά νου, μπορούμε να εκφράσουμε την είσοδο x() ως: x() = x(m) δ( m) =... + x( )δ( + ) + x(0)δ() + x()δ( ) + x()δ( ) +... = m (.6) Για κάθε μία από τις εισόδους x(m)δ(-m), είδαμε στην προηγούμενη υποενότητα.4., ότι η έξοδος θα ισούται με x(m)h(-m). Λόγω της γραμμικότητας του συστήματος, η τελική έξοδος y() θα είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους αποκρίσεων, δηλαδή: m= y () = x(m)h( m) (.7) Αυτή είναι η σχέση της γραμμικής συνέλιξης. Η διαδικασία που μόλις περιγράψαμε δείχνεται παραστατικά με την βοήθεια του παραδείγματος του Σχήματος., για την περίπτωση κατά την οποία {x()}={,,,-} και {h()}={,-,}. Στα Σχήματα.α,β φαίνονται οι ακολουθίες x(), h(). Στο αριστερό μέρος των Σχημάτων.γ έως.στ δείχνονται οι κρουστικές x(m)δ(-m), ενώ στο δεξιό μέρος των ίδιων σχημάτων φαίνονται οι αντίστοιχες αποκρίσεις τους. Το άθροισμα των επιμέρους κρουστικών, το οποίο αποτελεί και την απόκριση του συστήματος, φαίνεται στο Σχήμα.ζ.

14 8 x() h() - - (α) (β) χ(-)δ(+) x(-)h(+) (γ) - x(0)δ() x(0)h() 4 x()δ(-) (δ) - x()h(-) 6 (ε) -

15 9 x()δ(-) x()h(-) - (στ) y() (ζ) Σχήμα.. Γραμμική συνέλιξη - Παρατηρείστε ότι το μήκος της απόκρισης είναι 6 δείγματα. Γενικά, αν Ν είναι το μήκος της μιας ακολουθίας και Ν το μήκος της άλλης ακολουθίας, τότε η γραμμική συνέλιξη αυτών δίνει μια νέα ακολουθία με μήκος Ν +Ν -. Ο υπολογισμός της συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου με χαρτί και μολύβι γίνεται συνήθως με δύο τρόπους. Είτε γραφικά, όπως περιγράφεται στο παράδειγμα 6 / Κεφάλαιο, είτε με την μέθοδο της ολισθαίνουσας ράβδου του παραδείγματος 7 / Κεφάλαιο. Παράδειγμα 6 / Κεφάλαιο Γραφική μέθοδος υπολογισμού της συνέλιξης. Ο υπολογισμός της συνέλιξης των x() και h(), σύμφωνα με την σχέση.7, μας υ- παγορεύει την ακόλουθη σειρά βημάτων:. Αναδίπλωση (κατοπτρισμό) της h(m) γύρω από το δείγμα m=0, ώστε να μας δώσει την h(-m).. Ολίσθηση της h(-m) στην επιθυμητή θέση, ώστε να πάρουμε την h(-m).. Υπολογισμό των γινομένων x(m)h(-m), δείγμα προς δείγμα, για την επιθυμητή τιμή.

16 40 4. Πρόσθεση των γινομένων που υπολογίσθηκαν. Ας παρακολουθήσουμε τον υπολογισμό της εξόδου y() ενός συστήματος διακριτού χρόνου με κρουστική απόκριση {h()} = {,,} και είσοδο {x()} = {,4,5,}, όπως αυτό περιγράφεται στο Σχήμα.4. Οι ακολουθίες x() και h() δείχνονται στα Σχήματα.4α και.4β αντίστοιχα. Στα Σχήματα.4γ δείχνονται όλες οι διαφορετικές θέσεις της h(m) για =0,,,, 4, 5. Για καθεμιά από τις θέσεις αυτές υπολογίζεται το αντίστοιχο άθροισμα γινομένων με την ακολουθία εισόδου. Αυτό αποτελεί ουσιαστικά και το αποτέλεσμα της συνέλιξης των x() και h(), δηλαδή την ακολουθία εξόδου y() η οποία δείχνεται στο Σχήμα.4δ. Στο παράδειγμά μας η x() έχει μήκος 4 και η h() έχει μήκος, οπότε η ακολουθία y(), που προκύπτει, έχει μήκος = 6 δειγμάτων. x() h() 5 (α) (β) 0 0 h(-m) h(-m) y(0)=x(0)h(0)=.= y()=.+4.=6+4=0 0 0 h(-m) h(-m) y()= =9+8+5= y()= =+0+=4 0 0 h(4-m) h(5-m) y(4)=5.+.=5+4=9 y(5)=.=6 0 0 (γ) y() 5 0 (δ) 5 0 {y()}={,0,,4,9,6} 5 0 Σχήμα.4. Υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο ακολουθιών με την γραφική μέθοδο.

17 4 Παράδειγμα 7 / Κεφάλαιο Υπολογισμός της συνέλιξης με την μέθοδο της ολισθαίνουσας ράβδου. Η διαδικασία είναι η ίδια με εκείνη του παραδείγματος 6 / Κεφάλαιο, με μόνη διαφορά πως αντί για τις γραφικές παραστάσεις των ακολουθιών χρησιμοποιούμε τις τιμές τους. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι επίσης τα ίδια, όπως φαίνεται και στο Σχήμα.5 όπου δείχνεται ο υπολογισμός της συνέλιξης των ακολουθιών x(), h() του παραδείγματος 6 / Κεφάλαιο. x() 4 5 h() h(-m) y(0)=.= h(-m) y()=.+4.=6+4=0 h(-m) y()= =9+8+5= h(-m) y()= =+0+=4 h(4-m) y(4)=5.+.=5+4=9 h(5-m) y(5)=.=6 Σχήμα.5. Υπολογισμός της συνέλιξης με την μέθοδο της ολισθαίνουσας ράβδου. Ιδιότητες της συνέλιξης Για την πράξη της συνέλιξης ισχύουν οι ιδιότητες: αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική. Τις παραθέτουμε στη συνέχεια μαζί με σχόλια σχετικά με την φυσική τους σημασία, χωρίς να δώσουμε την απόδειξή τους. Αντιμεταθετική ιδιότητα x()*h() = h()*x() (.8) Είδαμε από τις σχέσεις (.5) και (.7) ότι

18 4 m= y () = x() * h() = x(m)h( m) (.9) Με βάση την αντιμεταθετική ιδιότητα που μόλις αναφέραμε, η ακολουθία y() μπορεί να εκφραστεί ως m= y () = h() * x() = h(m)x( m) (.40) Επομένως οι ρόλοι των ακολουθιών x() και h() μπορούν να αντιμετατεθούν, όπως δείχνεται στο Σχήμα.6. Σχήμα.6. Σχηματική αναπαράσταση της αντιμεταθετικής ιδιότητας της συνέλιξης Προσεταιριστική ιδιότητα [x()*h ()]*h () = x()*[h ()*h ()] (.4) Η σχηματική αναπαράσταση της προσεταιριστικής ιδιότητας δείχνεται στο Σχήμα.7α, όπου h()= h ()*h (). Εύκολα μπορούμε να γενικεύσουμε την ιδιότητα της προσεταιριστικότας σε περισσότερα από δύο συστήματα, τα οποία διασυνδέονται διαδοχικά (i cascade). Έτσι η περίπτωση της διαδοχικής διασύνδεσης L συστημάτων LTI με κρουστικές αποκρίσεις h (), h (),, h L () ισοδυναμεί με ένα LTI σύστημα, του οποίου η κρουστική απόκριση είναι h() και ισούται με h() = h ()*h ()* *h L () (.4) Η γενίκευση είναι πολύ χρήσιμη, ιδιαίτερα όταν την δούμε ως αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή, ως διαδικασία ανάλυσης ενός LTI συστήματος σε μια διαδοχική διασύνδεση υποσυστημάτων. Τέλος, στο Σχήμα.7β δείχνεται ο συνδυασμός της προσεταιριστικής και της α- ντιμεταθετικής ιδιότητας. Από αυτό γίνεται φανερό ότι, η σειρά με την οποία διασυνδέουμε τα υποσυστήματα, δηλαδή υπολογίζουμε την συνέλιξη, δεν έχει σημασία.

19 4 Σχήμα.7. (α) Προσεταιριστική ιδιότητα της συνέλιξης, και (β) συνδυασμός προσεταιριστικής και αντιμεταθετικής ιδιότητας Επιμεριστική Ιδιότητα x()*[h ()+h ()] = x()*h () + x()*h () (.4) Η ιδιότητα αυτή μας λέει ότι εάν έχουμε δύο LTI συστήματα με κρουστικές αποκρίσεις h () και h (), στα οποία εφαρμόζουμε το ίδιο σήμα εισόδου x(), τότε το άθροισμα των δύο αποκρίσεων είναι ίδιο με την απόκριση ενός άλλου συστήματος με κρουστική απόκριση h()=h ()+h (). Δηλαδή, το νέο αυτό σύστημα ισούται με τον παράλληλο συνδυασμό των δύο LTI συστημάτων (Σχήμα.8). Γενικά, η παράλληλη διασύνδεση L συστημάτων με κρουστικές αποκρίσεις h (), h (),, h L () στα οποία εφαρμόζεται η ίδια είσοδος x(), ισοδυναμεί με ένα σύστημα του οποίου η κρουστική απόκριση ισούται με h() = h ()+h ()+ + h L () (.44) Και αντίστροφα, κάθε LTI σύστημα μπορεί να αναλυθεί σε υποσυστήματα διασυνδεδεμένα παράλληλα. Σχήμα.8. Επιμεριστική ιδιότητα: δύο LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, μπορούν να αντικατασταθούν από ένα σύστημα με κρουστική απόκριση το άθροισμα των κρουστικών τους

20 44 Μέχρις εδώ έχουμε επικεντρώσει την μελέτη μας στον υπολογισμό της γραμμικής συνέλιξης με γραφικό ή αριθμητικό τρόπο. Θα εξετάσουμε τώρα τον υπολογισμό της συνέλιξης ακολουθιών με αναλυτικό τρόπο. Οι αναλυτικές εκφράσεις οδηγούν σε συμπεράσματα περισσότερο γενικά για τα συστήματα που εξετάζουμε, κι έτσι μας είναι πιο χρήσιμες. Ας δούμε λοιπόν ένα σχετικό παράδειγμα. Παράδειγμα 8 / Κεφάλαιο Στην είσοδο ενός συστήματος με κρουστική απόκριση h()=a u() εφαρμόζεται το σήμα x()=b u(), όπου a, b γνωστές σταθερές και a b. Να υπολογιστεί η έξοδος y() του συστήματος. Λύση: Η έξοδος y() θα είναι το αποτέλεσμα της συνέλιξης της εισόδου με την κρουστική απόκριση του συστήματος. Με βάση την σχέση (.40) έχουμε: y() = h()*x() = m= h(m)x( m) = a m u(m)b m u( m) = m= m= 0 a m b m (Θυμηθείτε ότι η u(m)=0 για m<0 και η u(-m)=0 για m>). Επειδή το άθροισμα υπολογίζεται ως προς m, ο όρος b μπορεί να βγεί εκτός του α- θροίσματος, οπότε η τελευταία σχέση γίνεται: y() = b a m b m = b m= 0 m= 0 (ab m ) Το παραπάνω είναι άθροισμα των + πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο ab - και δίνεται σε κλειστή μορφή ως y() + (ab ) = b ( ab + b a b ) = b ( b a b ) = + a b a + b = b b a a a b a = C b b C a a όπου 0. Παρατηρούμε ότι η έξοδος χαρακτηρίζεται τόσο από την είσοδο x()=b, 0, όσο και από την κρουστική του συστήματος h()=a, 0. Αυτή είναι μια γενικότερη διαπίστωση, δηλαδή η έξοδος θα περιέχει όρους της ίδιας αλγεβρικής μορφής με τους όρους της εισόδου και της κρουστικής απόκρισης του συστήματος.

21 45 Άσκηση αυτοαξιολόγησης 7 / Κεφάλαιο Να υπολογίσετε την έξοδο του συστήματος του Παραδείγματος 8 / Κεφάλαιο για είσοδο την βηματική ακολουθία πλάτους Α. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8 / Κεφάλαιο Για το σύστημα με μοναδιαία κρουστική ίση με h()=(a +b )u(), να υπολογιστεί η έξοδος, όταν σ αυτό εφαρμόζεται ως είσοδος η βηματική ακολουθία πλάτους Α. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9 / Κεφάλαιο Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση h() του συστήματος διακριτού χρόνου του Σχήματος.9, όταν h ()=δ()+ δ(-), h ()= δ()- 4 δ(-), h ()=δ(), και h 4 ()=-( ) u(). Σχήμα.9. Το σύστημα διακριτού χρόνου της άσκησης αυτοαξιολόγησης 9 / Κεφάλαιο

22 46 Σύνοψη Ενότητας Στην ενότητα αυτή ασχοληθήκαμε με γραμμικά χρονικά-αμετάβλητα (LTI) συστήματα διακριτού χρόνου και μελετήσαμε την απόκριση τους σε διεγέρσεις της εισόδου. Είδαμε, ότι η έξοδος κάθε LTI συστήματος ισούται με την συνέλιξη της ακολουθίας εισόδου με την μοναδιαία κρουστική απόκριση του συστήματος. Γνωρίσαμε τις ιδιότητες της συνέλιξης (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική) και περιγράψαμε διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού της τόσο αριθμητικά, όσο και αναλυτικά. ΣΥΝΟΨΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στο Κεφάλαιο αυτό μάθαμε ότι: Η ψηφιακή επεξεργασία σημάτων παρουσιάζει στις μέρες μας εντυπωσιακά πλεονεκτήματα έναντι της αντίστοιχης αναλογικής επεξεργασίας, όπως ευελιξία, αξιοπιστία και ακρίβεια. Κάθε αναλογικό σήμα, για να υποστεί επεξεργασία με ένα ψηφιακό σύστημα, πρέπει πρώτα να μετατραπεί σε ψηφιακό σήμα. Αυτό επιτυγχάνεται με κατάλληλη δειγματοληψία του αναλογικού σήματος και κβάντιση (καθώς και κωδικοποίηση) των δειγμάτων. Κατάλληλη δειγματοληψία σημαίνει την λήψη τουλάχιστον δύο δειγμάτων ανά περίοδο του σήματος, δηλαδή F s F max (θεώρημα δειγματοληψίας ή θεώρημα του Shao). Ελάττωση του σφάλματος κβάντισης, κατά την ψηφιοποίηση ενός δείγματος, συνεπάγεται μεγαλύτερο πλήθος bits για την αναπαράσταση αυτού. Κάθε σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα ολισθημένων κρουστικών, πολλαπλασιασμένων με κατάλληλους συντελεστές βάρους. Η απόκριση συστήματος διακριτού χρόνου ισούται με την γραμμική συνέλιξη της εισόδου και της κρουστικής απόκρισης του συστήματος.

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος σε Πραγματικό Χρόνο 2009 10 ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασία Σήματος σε Πραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #3 Ιδιάζοντα σήματα Βασικές κατηγορίες συστημάτων Διασυνδέσεις συστημάτων Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Τα ιδιάζοντα σήματα είναι σήματα τα οποία είναι ιδεατά

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θ.Ε. ΠΛΗ (0-3) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ # ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Στόχος της άσκησης είναι η εξοικείωση με γραφικές παραστάσεις βασικών σημάτων και πράξεις, καθώς και τον υπολογισμό ΜΣ Fourier βασικών σημάτων με τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ.

Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Αρμονική ταλάντωση και επειδή Ω=2πF Περιοδικό με βασική περίοδο Τ p =1/F Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. 1 Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler Το ημιτονοειδές σήμα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση ΗΜΥ 429 7. Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση 1 Μαθηματικές ιδιότητες Αντιμεταθετική: a [ * b[ = b[ * a[ παρόλο που μαθηματικά ισχύει, δεν έχει φυσικό νόημα. Προσεταιριστική: ( a [ * b[ )* c[ = a[ *( b[ * c[

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Εισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Εισαγωγή στα Σήματα Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Τελευταία ενημέρωση: 11/11/2011 Τι είναι ένα σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z...4 3... ΟΡΙΣΜΌΣ...4 3... ΎΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z...5 3..3. ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3..

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 η Να εξετάσετε αν τα ακόλουθα σήματα είναι περιοδικά. Στην περίπτωση περιοδικού σήματος, ποια είναι η θεμελιώδης περίοδος; 1 )

Άσκηση 1 η Να εξετάσετε αν τα ακόλουθα σήματα είναι περιοδικά. Στην περίπτωση περιοδικού σήματος, ποια είναι η θεμελιώδης περίοδος; 1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεματική Ενότητα ΠΛΗ 44: Σήματα και Επεξεργασία Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 007 00 Ημερομηνία Εξέτασης 4.0.00

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου ΣΥΣΗΜΑΑ ΙΑΚΡΙΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως σαν σύστηµα διακριτού χρόνου ορίζεται ένας οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός ή τελεστής (operator) ο οποίος δρα σε µία ακολουθία x [ που συνήθως θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 13: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (Ι) Περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων Έχουμε δει τις παρακάτω πλήρεις περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων: 1. Κρυστική απόκριση (impulse

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : = . Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι.

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΞ. ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΧΕΙΜ. 00 - ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Για τα παρακάτω συστήματα εισόδου εξόδου α. y ( 3x( x( n ) β. y ( x( n ) / γ. y ( x( x( n ) δ. y( x( n ) Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Διάλεξη 1. Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου. Τι είναι σήμα; Παραδείγματα

Εισαγωγή. Διάλεξη 1. Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου. Τι είναι σήμα; Παραδείγματα University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Τι είναι σήμα; Είναι μεταβολές ενός φυσικού μεγέθους που αναπαριστούν ή μεταφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 7-8 : Συστήματα Δειγματοληψία Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Κεφάλαιο 7 ο Ταξινόμηση Συστημάτων Κρουστική Απόκριση Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 3: Δειγματοληψία και Ανακατασκευή Σημάτων Όνομα Καθηγητή: Δρ. Ηρακλής Σίμος Τμήμα: Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑ ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΙΕΓΕΡΣΗ Εννοούμε την απόκριση ενός γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου κυκλώματος σε μια μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() εφαρμοζόμενη στον χρόνο = 0 (απόκριση μηδενικής κατάστασης). Η

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Το εργαστήριο αυτό ασχολείται με τα «διασημότερα συστήματα στην επεξεργασία σήματος. Αυτά δεν είναι παρά τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = x a (nt s ) (1)

x[n] = x a (nt s ) (1) Εισαγωγη στα Σήματα και τα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Σεπτεμβρίου 015 1 Σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Φασματική Αάλ Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων (Μιγαδικέςδ έ Σειρές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου Η Ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ, ΔΙΚΤΥΑ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ, ΔΙΚΤΥΑ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ, ΔΙΚΤΥΑ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ - ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ & ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Πληροφορία Επικοινωνία συντελείται με τη μεταβίβαση μηνυμάτων από ένα πομπό σε ένα δέκτη. Μήνυμα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z 6-Μαρτ-29 ΗΜΥ 429. Μετασχηματισμός . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Μετασχηματισμός Μέθοδος εκπροσώπησης, ανάλυσης και σχεδιασμού συστημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου. Ό,τι είναι η μέθοδος Lplce στο συνεχή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6) Ασκήσεις σε Σήματα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Οκτωβρίου 015 1. Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1) Να σχεδιαστούν στο matlab οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω ακολουθιών στο διάστημα, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις delta και step.

1) Να σχεδιαστούν στο matlab οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω ακολουθιών στο διάστημα, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις delta και step. 1) Να σχεδιαστούν στο matlab οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω ακολουθιών στο διάστημα, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις delta και step. Α) Β) Ε) F) G) H) Ι) 2) Αν το διακριτό σήμα x(n) είναι όπως στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας Συστήματα Επικοινωνιών Ι Τηλεπικοινωνιακά Σήματα και Συστήματα + Περιεχόμενα 2 n Εισαγωγή n Εφαρμογές συστημάτων επικοινωνίας n Μοντέλο τηλεπικοινωνιακού συστήματος n Σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΣΗΜΑΤΑ. (Σχ. 1.7). Η σταθερή Τ είναι το διάστηµα δειγµατοληψίας.

1.2 ΣΗΜΑΤΑ. (Σχ. 1.7). Η σταθερή Τ είναι το διάστηµα δειγµατοληψίας. ΣΗΜΑΤΑ.2 ΣΗΜΑΤΑ Ένα σήµα (sigal ) είναι µια συνάρτηση που παριστάνει ένα φυσικό µέγεθος. Ένα σήµα συνεχούς χρόνου (coiuous-ime sigal ) είναι µια συνάρτηση x() της οποίας το πεδίο ορισµού αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας Ανάλυση Κυκλωμάτων Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Δομή Παρουσίασης Εισαγωγικές Κυκλωμάτων Έννοιες Ανάλυσης Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Συνεπώς, η συνάρτηση µεταφοράς δεν µπορεί να οριστεί για z=0 ενώ µηδενίζεται όταν z=1. Εύκολα προκύπτει το διάγραµµα πόλων-µηδενικών ως εξής:

Συνεπώς, η συνάρτηση µεταφοράς δεν µπορεί να οριστεί για z=0 ενώ µηδενίζεται όταν z=1. Εύκολα προκύπτει το διάγραµµα πόλων-µηδενικών ως εξής: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Άσκηση : Δίνεται το LTI σύστηµα y[ n ] T{ x[ n ] } που ορίζεται από την αναδροµική σχέση: y[n ]y[n - ] +x[n ]- x[ n -] +x[ n - ] ( ). Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος H(z ). 𝑦

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2.

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Το φέρον σε ένα σύστημα DSB διαμόρφωσης είναι c t A t μηνύματος είναι το m( t) sin c( t) sin c ( t) ( ) cos 4 c και το σήμα. Το διαμορφωμένο σήμα διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Συστήματα Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τα κυκλώματα που θεωρούμε εδώ είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου

Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ένας ορισμός της έννοιας του συστήματος διακριτού και συνεχούςχρόνου Αναλύονται οι βασικές ιδιότητες των συστημάτων διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα