1.1 Βασικές έννοιες και στοιχεία Μηχανικής των Ρευστών

Transcript

1 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παρουσιάζονται οι απαραίτητες έννοιες και στοιχεία της Μηχανικής των Ρευστών με έμφαση στα βασικά χαρακτηριστικά των ρευστών, τις κατηορίες και μορφές ροής και τις μεθόδους ανάλυσης της ροής ενικώς. Αναλύεται η διαδικασία και οι χρησιμοποιούμενοι μέθοδοι αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων.. Βασικές έννοιες και στοιχεία Μηχανικής των Ρευστών.. Βασικά χαρακτηριστικά των ρευστών Ρευστό σωματίδιο: Ο στοιχειώδης όκος du ρευστού ο οποίος είναι αρκετά μεαλύτερος από έναν ελάχιστο όκο (mindu=0-9 mm ), ώστε να περιλαμβάνει ένα ικανό και περίπου σταθερό αριθμό μορίων. Πυκνότητα ρ= Μάζα Όκος Διάσταση - μονάδες [ρ] [Μ L ]: kgr m, gr cm Η πυκνότητα ενός ρευστού εξαρτάται από την πίεση και τη θερμοκρασία του. Η πυκνότητα ενός υρού είναι σχετικά σταθερή. Η πυκνότητα του νερού είναι περίπου ίση με 000 kg/m και όταν αυξήσουμε την πίεση 0 φορές η πυκνότητα αυτή θα αυξηθεί μόνο κατά περίπου %. Η πυκνότητα των υρών είναι περίπου τρεις τάξεις μεαλύτερη της πυκνότητας των αερίων Στην ελεύθερη επιφάνεια ενός αωού η παρουσία του υπερκειμένου ρευστού <αέρα> έχει μικρή έως αμελητέα επίδραση. Ειδικό βάρος = Βάρος Όκος Διάσταση - μονάδες [] [F L ]: t m, kgr* m, kn m, N m = ρ g, όπου g: επιτάχυνση της βαρύτητας 9,8 m s Προσοχή! Πυκνότητα και Ειδικό βάρος έχουν την ίδια αριθμητική τιμή σε διαφορετικά συστήματα: Για το νερό Πυκνότητα ρ: περίπου.000 kgr m Ειδικό βάρος : περίπου t m =.000 kgr* m = 9,8 kn m Πίεση p= Δύναμη (κάθετη) Επιφάνεια Διάσταση - μονάδες [p] [F L ]: t m, kgr* m, N m (= Pa) Είναι η κάθετη θλιπτική τάση η οποία προέρχεται από την αντίστοιχη δύναμη, την οποία το ρευστό ασκεί στην επιφάνεια στοιχειώδους όκου. Είναι βαθμωτό μέεθος το οποίο προέρχεται από διανυσματικό μέεθος. Συνήθως ορίζουμε, ια λόους ευκολίας την ατμοσφαιρική πίεση ως σημείο αναφοράς με τιμή μηδέν και μετράμε τη σχετική πίεση ως διαφορά της απόλυτης και της ατμοσφαιρικής: p σχετ = p απολ p ατμοσφ Αυτό οδηεί λοιστικά και σε αρνητικές τιμές της σχετικής πίεσης: υποπίεση. Όταν πραματοποιείται εξάτμιση του νερού σε ένα κλειστό χώρο, όπως π.χ. σε ένα τμήμα σωλήνα με ροή νερού υπό πίεση, τότε η πίεση από τα μόρια των υδρατμών καλείται πίεση υδρατμών: p υ. Στην περίπτωση αυτή η συνέχεια της ροής διακόπτεται (σπηλαίωση) και το ρευστό δεν είναι πλέον ένα συνεχές μέσο. Το φαινόμενο είναι ανεπιθύμητο και εις το επόμενο εξάμηνο (Εφαρμοσμένη Υδραυλική) θα χρησιμοποιήσουμε μεθόδους ελέχου και αποφυής του. Η p υ αυξάνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας

2 Συμπιεστότητα: Είναι η ιδιότητα της μείωσης του όκου του ρευστού όταν αυξάνεται η πίεση, η οποία ασκείται σε αυτό. Χαρακτηρίζεται από το μέτρο ελαστικότητας, ή το (αντίστροφο) μέτρο συμπιεστότητας. Το μέτρο ελαστικότητας του νερού είναι πολύ μεάλο (περίπου φορές μεαλύτερο από του αέρα). Στα συνήθη προβλήματα το νερό (και ενικώς τα υρά) θεωρείται ασυμπίεστο. Δυναμική συνεκτικότητα (ή ιξώδες) μ: Είναι η ιδιότητα των ρευστών να παραμορφώνονται συνεχώς υπό την επίδραση διατμητικών τάσεων. Διάσταση μονάδες [μ] [(F Τ) L ]: gr cm.s (= pise) τ = μ du dy όπου τ: ασκούμενη διατμητική τάση και du dy : ταχύτητα μεταβολής ωνιακής παραμόρφωσης Ρευστό Νευτώνιο μ = σταθερά (ανεξάρτητη των τ και du dy) Το νερό συμπεριφέρεται ως Νευτώνειο ρευστό. Ιδεατό πλαστικό / Μη Νευτώνιο - θιξοτροπικό / Μη Νευτώνιο διασταλτικό Ρευστό Ιδεατό ασυμπίεστο + μηδενική συνεκτικότητα Η μ μειώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Κινηματική συνεκτικότητα ν= Δυναμική συνεκτικότητα Πυκνότητα Διάσταση μονάδες [ν] [L ) Τ]: cm s (= stke) Η ν μειώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Ταχύτητα ροής V= Απόσταση Χρόνος Διάσταση μονάδες [V] [L) Τ]: m s Ταχύτητα σε μικροκλίμακα (σημείο ή ρευστό σωματίδιο). Αναλύεται σε καρτεσιανό σύστημα συντεταμένων (u, v, w), σε σφαιρικό σύστημα (r, θ, φ), ή σε κυλινδρικό σύστημα (r, θ, ) και τις αντίστοιχες απλοποιήσεις εάν η ροή θεωρείται δισδιάστατη. Ταχύτητα σε μακροκλίμακα (διατομή ή τμήμα πεδίου ροής). Επηρεάζεται από τα στερεά όρια, συνήθως χρησιμοποιείται η μέση ταχύτητα με συνυπολοισμό ή αμελώντας κατά περίπτωση τους σχετικούς συντελεστές συνόρθωσης. Επιτάχυνση a= Μεταβολή Ταχύτητας Χρόνος Διάσταση μονάδες [a] [L) Τ ]: m s Αντιστοίχως με την ταχύτητα ορίζεται σε μικροκλίμακα ή μακροκλίμακα. Παροχή Q= Μεταβολή Όκου (ακριβέστερον μάζας) Χρόνος Διάσταση μονάδες [Q] [L Τ]: m s (σε ομοενές υρό) Σε μακροκλίμακα συνδέεται άμεσα με την εκάστοτε διατομή ροής, της οποίας η εωμετρία είναι πιθανόν σταθερή ή μεταβαλλόμενη. Ενέρεια Η: Είναι η ικανότητα του ρευστού να παράει έρο. Συνήθως λοίζουμε την ενέρεια της ροής ανά μονάδα βάρους του ρέοντος ρευστού και την καλούμε ύψος ενέρειας. Στην περίπτωση αυτή: Διάσταση μονάδες [Η] [L]: m Η ολική ενέρεια (ή το ύψος ενέρειας) αποτελείται από τις εξής συνιστώσες: Δυναμική ενέρεια, λόω θέσης (ύψους)

3 Κινητική ενέρεια, λόω ταχύτητας. Ενέρεια πίεσης, λόω πίεσης. Απώλειες Ενέρειας ή ύψους ενέρειας ΔΗ: Προκαλούνται από διάφορους μηχανισμούς τους οποίους θα εξετάσουμε αναλυτικώς στη συνέχεια. Διάσταση μονάδες [ΔΗ] [L]: m Απώλειες δεν εμφανίζονται σε ιδεατό ρευστό. Μεταβολές στην Ενέρεια ή στο ύψος ενέρειας ΔΗ μ : Προκαλούνται από τη λειτουρία υδραυλικών μηχανών και θα τις εξετάσουμε αναλυτικώς στη συνέχεια. Διάσταση μονάδες [ΔΗ μ ] [L]: m Η λειτουρία αντλίας αυξάνει το ύψος ενέρειας της ροής. Η λειτουρία στροβίλου μειώνει το ύψος ενέρειας της ροής. Οι υδραυλικές μηχανές (αντλίες ή στρόβιλοι) χαρακτηρίζονται από την ισχύ Ν, το μανομετρικό ύψος μ και το συντελεστή απόδοσης n. Στους υπολοισμούς υπεισέρχεται και το ειδικό βάρος του ρέοντος υρού. Μετατροπές συνήθως χρησιμοποιουμένων μονάδων: t= 9,8 kn kgr* m = 9,8 N m = 9,8 Pa m =.000 lt (λίτρα) Συνήθεις ερωτήσεις - απορίες παρανοήσεις Τι είναι τα: t, kgr*, gr*; Είναι μονάδες δύναμης στο (παλαιό) Τεχνικό Σύστημα. Τι είναι τα : t m, kgr* m, gr* cm ; Είναι μονάδες τάσης (πίεσης) στο (παλαιό) Τεχνικό Σύστημα. Πως είναι δυνατό η πυκνότητα ενός υρού και το ειδικό του βάρος να έχουν «την ίδια» τιμή, ενώ ισχύει: = ρ g; Έχουν την ίδια τιμή σε διαφορετικά Συστήματα.. Κατηορίες και Μορφές ροής Ροή Μόνιμη Μη μόνιμη: Χαρακτηρισμός ως προς κινηματική χρονική μεταβολή. Ροή Ομοιόμορφη Ανομοιόμορφη: Χαρακτηρισμός ως προς κινηματική χωρική μεταβολή. Θα ασχοληθούμε κυρίως με την Ομοιόμορφη αλλά θα αναλύσουμε και την Ανομοιόμορφη ροή. Ροή υπό Πίεση Ροή με Ελεύθερη Επιφάνεια Ελεύθερη Φλέβα Ροή υπό Πίεση: Σε αωούς με κλειστό εωμετρικό σχήμα. Οι διατομές του ρέοντος ρευστού ευρίσκονται υπό πίεση (συνήθως μεαλύτερη, αλλά πιθανώς και μικρότερη από την ατμοσφαιρική). Ροή με Ελεύθερη Επιφάνεια: Πάντοτε σε αωούς με ανοιχτό εωμετρικό σχήμα, αλλά ακόμη και σε αωούς με κλειστό! Στην ελεύθερη (άνω) επιφάνεια των διατομών του ρέοντος ρευστού η πίεση είναι ατμοσφαιρική. Ελεύθερη Φλέβα (Ροή στην ατμόσφαιρα): Στην περίμετρο των διατομών του ρέοντος ρευστού η πίεση είναι ατμοσφαιρική

4 Ροή Στρωτή Τυρβώδης: Χαρακτηρισμός από δυναμική άποψη - επίδραση συνεκτικότητας αριθμός Reynlds. Ο αριθμός Reynlds είναι ο λόος των δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις συνεκτικότητας και είναι αδιάστατος. Συμβολίζεται ενικώς ως R e αλλά <εδώ> θα συμβολίζεται ια λόους απλότητας ως R προσέχοντας να μη ίνει σύχυση με την υδραυλική ακτίνα, η οποία επίσης συμβολίζεται ως R. Σε κάθε πεδίο προβλημάτων υπάρχει μια οριακή τιμή R ορ του αριθμού Reynlds (ακριβέστερον: ένα εύρος τιμών περί την οριακή τιμή). Για τιμές μικρότερες της R ορ η ροή είναι στρωτή. Για τιμές μεαλύτερες της R ορ η ροή είναι τυρβώδης. Για αωούς κυκλικής διατομής σε ροή υπό πίεση το όριο μεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής είναι: R ορ =.000 Τονίζεται ότι: Η ροή εμφανίζει αδράνεια στην αλλαή κατάστασης Εάν είναι στρωτή, παραμένει - ια κάποιο πεδίο - στρωτή ια τιμές R > R ορ. Εάν είναι τυρβώδης, παραμένει αντιστοίχως τυρβώδης ια τιμές R < R ορ. Ροή Υποκρίσιμη Κρίσιμη Υπερκρίσιμη: Χαρακτηρισμός από δυναμική άποψη - επίδραση βαρύτητας αριθμός Frude. Ο αριθμός Frude είναι ο λόος των δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις βαρύτητας και είναι αδιάστατος. Συμβολίζεται ως F... Μέθοδοι ανάλυσης της ροής Μονοδιάστατη ανάλυση (ή όκου αναφοράς, ή όκου ελέχου, ή Euler): Είναι η σημαντικότερη είτε αναφερόμαστε σε ροή υπό πίεση είτε σε ροή με ελεύθερη επιφάνεια. Θα την χρησιμοποιήσουμε σε μεάλη έκταση <εδώ> και εις τα μαθήματα των επομένων εξαμήνων. Ρευστού σωματιδίου (ή Lagrange): Είναι μέθοδος της Μηχανικής του Στερεού. Θα την χρησιμοποιήσουμε σε κάποια προβλήματα <εδώ>. Χαρακτηριστικό παράδειμα οι ροές φλεβών στην ατμόσφαιρα. Διαφορική ανάλυση: Επιλύονται οι βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής, με ολοκλήρωσή τους ια τις συκεκριμένες οριακές συνθήκες του προβλήματος, το οποίο εξετάζουμε. Χαρακτηριστικό παράδειμα η στρωτή ροή. Διαστατική ανάλυση: Δομείται ένα πειραματικό μοντέλο, το οποίο δοκιμάζεται και εξελίσσεται με εραστηριακές (ή και σε φυσική κλίμακα) μετρήσεις

5 . Διαδικασία και μέθοδοι αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων.. Διαδικασία Σε πολλά προβλήματα υπεισέρχονται εξισώσεις ή συστήματα εξισώσεων των οποίων ο χειρισμός ή /και μαθηματική επίλυση είναι αδύνατη ή μάλλον δυσχερής. Επομένως είναι απαραίτητη η χρήση αριθμητικών μεθόδων επίλυσης σύκλισης προς αποδεκτή τιμή με βάση την εξής διαδικασία: Επιλοή του μεέθους του οποίου θα χειριστούμε τη σύκλιση προς αποδεκτή τιμή. Προσοχή! Πολλές φορές είναι ευφυέστερη η επιλοή μεέθους βοηθητικού διάφορου από το μέεθος του οποίου εις το πρόβλημα ζητείται η τιμή Επιλοή του μεέθους το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε ως κριτήριο ελέχου της σύκλισης. Το μέεθος αυτό συνδέεται και με την επιλεείσα αριθμητική μέθοδο. Εκτίμηση της τιμής απόκλισης από το ως άνω κριτήριο ελέχου, η οποία θεωρείται επαρκής ως όριο, ώστε να ικανοποιείται - αμέσως ή εμμέσως - η απαίτηση σύκλισης προς αποδεκτή τιμή. Επιλοή της αριθμητικής μεθόδου την οποία θα χρησιμοποιήσουμε ως εραλείο της σύκλισης προς αποδεκτή τιμή (βλ...). Εκτίμηση της αρχικής τιμής του ως άνω επιλεέντος μεέθους του οποίου θα χειριστούμε τη σύκλιση. Εφαρμοή της αριθμητικής μεθόδου με τιμή εκκίνησης την ως άνω εκτιμηθείσα αρχική τιμή του μεέθους του οποίου θα χειριστούμε τη σύκλιση και πέρας την ικανοποίηση της ως άνω επιλεείσας τιμής απόκλισης ορίου. Τελικός προσδιορισμός και στρούλευση της αποδεκτής τιμής του ζητούμενου μεέθους. Η στρούλευση βασίζεται εις την ακρίβεια της μεθόδου, αλλά και συνολικώς της χρησιμοποιούμενης προσέισης και τεχνικών απαιτήσεων εφαρμοής της λύσης. Εις τα αντίστοιχα κεφάλαια προτείνονται οι κατάλληλες μέθοδοι ια τα αντίστοιχα προβλήματα. Η ενική μορφή των εδαφίων επίλυσης προβλημάτων περιλαμβάνει: Βήμα προς βήμα ανάλυση της διαδικασίας με παράθεση των χρησιμοποιούμενων σχέσεων, ορίων κ.λπ. Τυποποίηση της διαδικασίας με χρηστικό πινακίδιο υπολοισμών. Διάραμμα ροής της διαδικασίας... Μέθοδοι Είναι προφανές ότι η κατάλληλη μέθοδος, πρέπει να εξασφαλίζει την ταχύτερη δυνατή σύκλιση με το μικρότερο δυνατό όκο πράξεων, άρα και μικρότερη δυνατή πιθανότητα λάθους! Οι άριστες μέθοδοι επιτρέπουν την ευχερή εποπτεία (τουλάχιστον) της τάξης μεέθους των ενδιάμεσων τιμών και διαθέτουν ασφαλιστικές δικλείδες ελέχου - 0 -

6 σε κάποια στάδια, ώστε να ίνονται ορατά και αντιληπτά εκαίρως λάθη υπολοισμού και να λαμβάνονται διορθωτικές ενέρειες. Όσες χρησιμοποιήσουμε <εδώ> κατατάσσονται σε έξι βασικές κατηορίες: Αριθμητικές - προσειστικές μορφές πεπλεμένων εξισώσεων Η πεπλεμένη μορφή αντικαθίσταται από προσειστική εύχρηστη μορφή, η οποία ισχύει με ικανοποιητική ακρίβεια προσέισης μόνο σε κάποιο προκαθορισμένο πεδίο τιμών μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών. Επίλυση πεπλεμένων εξισώσεων με χρήση πινάκων ή ραφημάτων Η πεπλεμένη μορφή έχει επιλυθεί σε πυκνά διαστήματα μεταβολής των τιμών σταθερών παραόντων ή έχει αναπαρασταθεί σε ράφημα, όπου αναζητείται η τιμή του ζητουμένου μεέθους. Μέθοδος διχοτόμησης Είναι η απλούστερη και σχετικώς ασφαλέστερη μέθοδος. Προσφέρει ικανοποιητική εποπτεία της τάξης μεέθους των διαδοχικών τιμών του χειριζόμενου μεέθους και της πορείας σύκλισης. Απαιτείται όμως η εκτίμηση δύο και όχι μιας αρχικών τιμών. Συνήθως οδηεί σε αρή σύκλιση (όκος πράξεων κ.λπ.) Τα δύο αυτά μειονεκτήματα αντιμετωπίζονται με υβριδικές - εμπειρικές προσείσεις προσδιορισμού της δεύτερης τιμής και υβριδικούς τρόπους επιτάχυνσης: ραμμική παρεμβολή (ή προέκταση) αντί της διχοτόμησης. Στην περίπτωση αυτή όμως έχουμε εισέλθει πλέον εις το πεδίο της επόμενης μεθόδου Μέθοδοι α τάξεως (τύπου sécante) Χαρακτηρίζονται από: Τη σύκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων του μεέθους του οποίου χειριζόμαστε τη σύκλιση με το μέεθος το οποίο χρησιμοποιούμε ως κριτήριο ελέχου της σύκλισης. Επομένως, η σύκριση των διαδοχικών τιμών απόκλισης ίνεται με βάση όριο το οποίο συνδέεται με το ως άνω σταθερό μέεθος ελέχου της σύκλισης. Η εκτίμηση της δεύτερης τιμής ίνεται με υβριδικές - εμπειρικές προσείσεις με βάση την αρχική τιμή και την απόκλισή της από το όριο. Συνήθως οι επόμενες - διαδοχικές τιμές προκύπτουν από υβριδικούς τρόπους - συντελεστές διόρθωσης, με τη σειρά τους βασισμένους στην προηούμενη τιμή και την απόκλισή της από το όριο. - -

7 Μέθοδοι β τάξεως (τύπου Newtn - Rapsn) Χαρακτηρίζονται από: Τη σύκριση των διαδοχικών αριθμητικών αποτελεσμάτων του μεέθους του οποίου χειριζόμαστε τη σύκλιση. Το μέεθος το οποίο χρησιμοποιούμε ως κριτήριο ελέχου της σύκλισης έχει ενσωματωθεί στον αλόριθμο. Επομένως, η σύκριση των διαδοχικών τιμών απόκλισης ίνεται με βάση όριο, το οποίο συνδέεται με αυτές καθαυτές τις ως άνω διαδοχικές τιμές απόκλισης. Δεν υπάρχει ανάκη εκτίμησης της δεύτερης τιμής, αυτή ίνεται όπως και όλες οι επόμενες προκύπτει από τον αλόριθμο. Οι μέθοδοι β τάξεως απαιτούν προσεκτικό χειρισμό, διότι δεν οδηούν πάντοτε σε σύκλιση. Όσες προτείνονται από το ράφοντα έχουν περάσει εξαντλητικές δοκιμές και μπορείτε να τις εμπιστευθείτε. Μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης (τύπου Simpsn) Εφαρμόζεται όταν η ολοκλήρωση διαφορικής εξίσωσης είναι μαθηματικώς αδύνατη ή δυνατή αλλά δυσχερής. - -

8 . Ερωτήσεις κατανόησης.. (μία μόνο απάντηση είναι ορθή) H δυναμική συνεκτικότητα μ είναι μια ιδιότητα του ρευστού, η οποία: Εκφράζει την «αντίστασή» του στην επιβολή διατμητικής τάσης Εξαρτάται από την πίεση p και τη θερμοκρασία T Όταν σε ένα ρευστό παραμένει σταθερά ανεξάρτητη της ασκούμενης διατμητικής τάσης και της αντίστοιχης μεταβολής της ωνιακής παραμόρφωσης, τότε το ρευστό καλείται νευτώνειο Ισχύουν ΟΛΑ τα παραπάνω ΔΕΝ ισχύει ΤΙΠΟΤΑ από τα παραπάνω H κινηματική συνεκτικότητα ν: Ταυτίζεται με τη δυναμική συνεκτικότητα μ, όταν το ρευστό κινείται Ορίζεται ως ο λόος της δυναμικής συνεκτικότητας προς την πυκνότητα Είναι ανεξάρτητη από την πίεση p και τη θερμοκρασία T Ισχύουν ΟΛΑ τα παραπάνω ΔΕΝ ισχύει ΤΙΠΟΤΑ από τα παραπάνω Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα όλων των ρευστών : Έχουν σταθερή πυκνότητα Είναι ασυμπίεστα «Ρέουν», Δηλαδή παραμορφώνονται συνεχώς υπό την επίδραση εφαπτομενικής δύναμης ανεξαρτήτως από το μέεθος αυτής Ισχύουν ΟΛΑ τα παραπάνω ΔΕΝ ισχύει ΤΙΠΟΤΑ από τα παραπάνω Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των Νευτώνιων ρευστών: Έχουν σταθερή δυναμική συνεκτικότητα Έχουν σταθερό μέτρο ελαστικότητας Έχουν σταθερή κινηματική συνεκτικότητα Ισχύουν ΟΛΑ τα παραπάνω ΔΕΝ ισχύει ΤΙΠΟΤΑ από τα παραπάνω Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των Ιδεατών ρευστών: Είναι Νευτώνια Είναι ασυμπίεστα Έχουν μηδενική δυναμική συνεκτικότητα Ισχύουν ΟΛΑ τα παραπάνω ΔΕΝ ισχύει ΤΙΠΟΤΑ από τα παραπάνω Το νερό «βράζει», δηλαδή μετατρέπεται από υρή σε αέρια κατάσταση: Στους 80 ο F (Φαρενάϊτ) Στους 00 ο C (Κελσίου) Στους 0 ο K (Κέλβιν) Ισχύουν ΟΛΑ τα παραπάνω ΔΕΝ ισχύει ΤΙΠΟΤΑ από τα παραπάνω - -

9 . ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Η Υδροστατική αποτελεί διεπιφάνεια μεταξύ της Μηχανικής των Ρευστών και της Μηχανικής των Στερεών. Παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες οι οποίες αφορούν σε ασυμπίεστα ρευστά. Δίδονται πληροφορίες ια την ιδιαίτερη μορφή των δράσεων από ρευστά πάνω σε στερεούς φορείς, των οποίων η επίλυση ακολουθεί στη συνέχεια ήδη νωστές μεθόδους, οι οποίες εξειδικεύονται, ώστε να διευκολύνεται η επίλυση, συνδυάζοντας την ιδιαίτερη μορφή των δράσεων με ιδιαίτερες μορφές στερεών φορέων. Τεκμηριώνεται θεωρητικά η λειτουρία οράνων μέτρησης, των οποίων η χρήση αναδεικνύεται σε επόμενα κεφάλαια.. Βασικές έννοιες.. Ομοενές ασυμπίεστο υρό Η επιφάνεια ενός σώματος βυθισμένου σε ομοενές υρό, το οποίο ηρεμεί, δέχεται δυνάμεις, οι οποίες προέρχονται από υδροστατικές πιέσεις. Σε ένα διαφορικό στοιχείο επιφάνειας de η δύναμη είναι df και ενερεί κατά την διεύθυνση του διανύσματος της επιφάνειας: προς το εσωτερικό του σώματος. p 0 de df p ενική περίπτωση ελεύθερη επιφάνεια g () και p p0 () df p de p de () και F df (4) 0 p: συνολική (απόλυτη) πίεση p 0 : υπερκείμενη πίεση (στην επιφάνεια του υρού) ρ: πυκνότητα του ομοενούς υρού (σταθερή, ανεξάρτητη του βάθους) : ειδικό βάρος του ομοενούς υρού (σταθερό, ανεξάρτητο του βάθους) : βάθος (κατακόρυφο) του στοιχείου de από την επιφάνεια F: συνολική δύναμη από υδροστατική πίεση Εάν το υρό έχει ελεύθερη επιφάνεια, τότε p 0 είναι η ατμοσφαιρική πίεση την οποία συνήθως λαμβάνουμε ως πίεση αναφοράς, δηλαδή συμβατικά η τιμή της είναι μηδέν

10 .. Μη ομοενές ασυμπίεστο υρό Διακριτές στρώσεις με διαφορετική πυκνότητα Στρωματοποιημένο υρό ρ. ρ. +. ρ στρώσεις διαφορετικών κατανομή πυκνοτήτων ρ κατανομή πιέσεων p ευθείες διαφορετικής κλίσης Εναλλακτικός τρόπος χάραξης του διαράμματος των πιέσεων Θεωρούμε την πυκνότητα της ανώτερης στρώσης ως ενιαία πυκνότητα του υρού σε όλο το βάθος και προσδιορίζουμε τις πυκνότητες των υπολοίπων στρώσεων ως πυκνότητες υποθετικών υρών. ρ ρ -ρ ρ -ρ -ρ στρώσεις διαφορετικών κατανομή πυκνοτήτων ρ κατανομή πιέσεων p ευθείες διαφορετικής κλίσης - 5 -

11 Συνεχής μεταβολή της πυκνότητας, συνήθως ραμμική ρ 0 () ρ 0 a p g d 0 ρ συνεχώς μεταβλητό ραμμική κατανομή πυκνότητας ρ κατανομή πιέσεων p καμπύλη β βαθμού (5) και p g g df g de (7) (6) F b g (7α) και F df (8) Σημείο εφαρμοής της F: Κέντρο Βάρους της παραβολής c 5 4 (7β) Ροπή στη βάση: g M b (7) 4-6 -

12 . Κατευθύνσεις μέθοδοι επίλυσης.. Εισαωή Υπάρχουν τρεις κατευθύνσεις μέθοδοι επίλυσης. Κάθε μία έχει το δικό της προνομιακό ενδεδειμένο πεδίο εφαρμοής, αναλόως της μορφής του φορέα όπου ασκούνται οι πιέσεις, χωρίς να σηματοδοτεί αυτό πλήρη οριοθέτηση: οι μέθοδοι έχουν αλληλοεπικάλυψη. Ας σημειωθεί, ότι η ονοματολοία των μεθόδων δεν αντικατοπτρίζει την ουσία τους!.... Αναλυτική μέθοδος Πεδίο εφαρμοής: (Προσοχή! <εδώ> παρουσιάζεται μόνο ια ομοενές υρό ) Προνομιακό: Επίπεδα σχήματα (θυρίδες) Γενικότερο: Επίπεδες επιφάνειες Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά: Συνολικώς ορισμένο σύστημα αξόνων Αρχή του συστήματος στην επιφάνεια του υρού Άξονες x και y στο επίπεδο του φορέα, στον άξονα οι υδροστατικές πιέσεις και η συνολική δύναμη F από υδροστατικές πιέσεις. F t E * (9) με σημείο εφαρμοής (κέντρο πίεσης): J y y xx * y E (0) και J x x xy * y E (0α) όπου: t το βάθος, x y οι συντεταμένες του κέντρου βάρους του φορέα Ε*: εμβαδό της βρεχόμενης επιφάνειας του φορέα x y οι συντεταμένες του κέντρου πίεσης J J xx xy (Η xy :ροπή αδρανείας του φορέα ως προς κεντροβαρικό άξονα παράλληλο του x : φυόκεντρη ροπή αδρανείας του φορέα J είναι μηδέν εάν ο y είναι άξονας συμμετρίας του φορέα!) Το κέντρο πίεσης είναι πάντοτε βαθύτερα από το κέντρο βάρους, διότι J xx 0 Ο Ο x 0 t 0 F x y 0 τομή y κ.β. κ.π. κατάκλιση y - 7 -

13 .. Γραφική μέθοδος Πεδίο εφαρμοής: Προνομιακό: Επιπεδοενείς επιφάνειες Γενικότερο: Επίπεδες επιφάνειες Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά: Απουσία ορισμένου σύστηματος αξόνων Το διάραμμα πρίσμα πιέσεων σχεδιάζεται ραφικά κάθετα σε κάθε επιφάνεια του φορέα, με αρχή την ελεύθερη επιφάνεια Όμως λαμβάνεται υπόψη μόνο το τμήμα του, το οποίο βρέχει τον φορέα F b E () είναι η συνολική δύναμη F από υδροστατικές πιέσεις, κάθετη στο επίπεδο του φορέα, (ή κάθετη κατά τμήματα σε όλα τα επίπεδά του), με σημείο εφαρμοής το κέντρο βάρους του διαράμματος πρίσματος πιέσεων. b: πλάτος της βρεχόμενης επιφάνειας του φορέα Ε: εμβαδό του διαράμματος πιέσεων. F.( + ). F F.. τομή τομή Είναι προτιμότερη η ανάλυση του διαράμματος πιέσεων σε επιμέρους απλούστερα διαράμματα: ορθοώνια τρίωνα, των οποίων ο προσδιορισμός του κέντρου βάρους και ενικώτερον ο λοιστικός χειρισμός είναι ευχερέστερος! F b E (α), όπου Ε ι : επιμέρους εμβαδά του διαράμματος πιέσεων. i - 8 -

14 ..4 Γενική ή ενικευμένη μέθοδος Πεδίο εφαρμοής: Προνομιακό: Καμπύλες επιφάνειες Γενικότερο: Επίπεδες και επιπεδοενείς επιφάνειες Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά: Χαλαρά ορισμένο σύστημα αξόνων Άξονας κατακόρυφος F b E () και Fy bx Ey () είναι οι συνιστώσες της συνολικής x y x δύναμης F από υδροστατικές πιέσεις, δηλαδή οι κάθετες προβολές της F στα επίπεδα y και x αντιστοιχως. Με σημεία εφαρμοής τα κέντρα βάρους των αντιστοίχων προβολών του διαράμματος πρίσματος πιέσεων. b y και b x : πλάτη της προβολής της βρεχόμενης επιφάνειας του φορέα Ε x και Ε y : εμβαδά των προβολών του διαράμματος πιέσεων x F x. F x. F x τομή.( + ) τομή.. x F F F τομή τομή F U (4) είναι οι συνιστώσα της συνολικής δύναμης F από υδροστατικές πιέσεις - κάθετη προβολη της F στο επίπεδο xy. Με σημεί εφαρμοής τ κέντρ βάρους τυ όκου U

15 Είναι προτιμότερη η ανάλυση των διαράμματος πιέσεων και του όκου U, σε επιμέρους απλούστερα διαράμματα και όκους, των οποίων ο προσδιορισμός του κέντρου βάρους και ενικώτερον ο λοιστικός χειρισμός είναι ευχερέστερος! F F x y b E (α), όπου Ε ιx : επιμέρους εμβαδά του διαράμματος πιέσεων ix b E (α), όπου Ε ιy : επιμέρους εμβαδά του διαράμματος πιέσεων iy F (4α), όπου U ι : επιμέρους όκοι του τυ όκου U Ui F Fx Fy F (5) Ο όκος U παράεται από: τη βρεχόμενη επιφάνεια του φορέα κατακόρυφες ενέτειρες εφαπτόμενες σε αυτή την ελεύθερη επιφάνεια ή την στάθμη του υρού, το οποίο την βρέχει Ο όκος U είναι λοιστικό μέεθος! Στη σχέση (9): είναι το ειδικό βάρος του υρού το οποίο βρέχει την επιφάνεια του φορέα! ΟΧΙ το ειδικό βάρος του υρού το οποίο περιέχεται στον όκο U! Η κατεύθυνση της δύναμης F εξαρτάται από την καμπυλότητα της επιφάνειας του φορέα και την κοινή λοική! F F F = 0 Τομή- ο φορέας εφάπτεται στεανά με τον πυθμένα Τομή- ο φορέας επιπλέει Τομή- ο φορέας είναι βυθισμένος Στην αριστερή περίπτωση του σχήματος, η επιφάνεια του φορέα βρέχεται από υρό ειδικού βάρους και ο όκος U περιέχει υρό ειδικού βάρους στις (4) ή (4α) χρησιμοποιούμε το. Στη μεσαία περίπτωση του σχήματος, η επιφάνεια του φορέα βρέχεται από υρό ειδικού βάρους αλλά ο όκος U περιέχει αέρα (κοπανιστό ) στις (4) ή (4α) και πάλι χρησιμοποιούμε το! Στη δεξιά περίπτωση του σχήματος, οι δύο επιφάνειες του φορέα βρέχονται από υρό ειδικού βάρους αλλά οι δύο όκοι U είναι ίσοι και οι δύο δυνάμεις ίσες και αντίθετες! - 0 -

16 Χρήσιμες επισημάνσεις τομή + = Σε ομοενές υρό αναζητούμε εφαρμόζουμε αλληλοαναίρεση όκων U κατακόρυφων δυνάμεων τομή + = Σε στρωματοποιημένο υρό αναζητούμε εφαρμόζουμε αλληλοαναίρεση, με προέκταση της διεπιφάνειας μέσα στον όκο U και διαφορετικά! τομή + Σε κυλινδρικούς και σφαιρικούς φορείς, η συνολική δύναμη από υδροστατικές πιέσεις, διέρχεται από το κέντρο τους! Ο όκος U ΔΕΝ έχει καμία σχέση με την απόσταση του φορέα από τον πυθμένα της θάλασσας! - -

17 . Εφαρμοές υπολοισμού.. Η εφαρμοή αναφέρεται στα.. και.. Πρόκειται να σκυροδετηθεί - σε συνθήκες στεανότητας - η θεμελίωση μεσοβάθρου έφυρας, σε ποταμό με νερό δύο στρώσεων (, ), του οποίου ο πυθμένας έχει στρώση υδατοπερατού υλικού με πολύ μεάλο βάθος:.(y + y ). Προτείνετε την τοποθέτηση κυλινδρικού σιδηρότυπου κλειστού αεροστεώς στο άνω μέρος και δημιουρία υπερπίεσης με τη χρήση αντλιών αέρος (βλ. σχήμα).. Ποια πρέπει να είναι η τιμή της πίεσης p μέσα στον κύλινδρο;. Τι άλλο πρέπει να προδιαράψετε (βλ. OHSAS 800), ια την προστασία της υείας των εραζομένων στη στάθμη θεμελίωσης; p y D H y στάθμη θεμελίωσης H/5 υδροπερατή στρώση.(y + y ) στεανή στρώση ΤΟΜΗ ποταμού. p y y Οι υπόλοιπες διαστάσεις - πληροφορίες είναι άσχετες παραπλανητικές. Η διαδικασία αποσυμπίεσης - από την υπερπίεση p έως την ατμοσφαιρική πίεση επιβάλλεται να είναι σταδιακή! Η ως άνω μέθοδος κατασκευής εφαρμόστηκε - ια πρώτη φορά - στα μέσα του 9 ου αιώνα από τον διακεκριμένο Βρετανό - Πολιτικό Μηχανικό: R. Stepensn στην κατασκευή σιδηροδρομικής έφυρας. Οι εραζόμενοι στην κατασκευή παρουσίασαν συμπτώματα μιας άνωστης και μυστηριώδους νόσου, η οποία ονομάσθηκε τότε : «νόσος του ποταμού». Η Ιατρική επιστήμη - πολύ αρότερα - ανέλυσε τα αίτια της «νόσου» και έθεσε τις προδιαραφές προφύλαξης. Είναι νωστή πλέον ως «νόσος των δυτών»! Γενικός κανόνας: «Τα λάθη των Μηχανικών φαίνονται, ενώ τα λάθη των Ιατρών θάπτονται». - -

18 .. Η εφαρμοή αναφέρεται στο.. Σε μία λίμνη με βάθος = 0 m σχεδιάζεται η κατασκευή κατακόρυφου φράματος ΑΒ, το οποίο είναι πρόβολος με πάκτωση στο Α. Εξετάζονται τρεις περιπτώσεις κατανομής της πυκνότητας στο υρό της λίμνης, όπου: ρ =.050 kgr m, ρ =.000 kgr m, ρ =.00 kgr m (βλ. σχήμα). Να υπολοιστούν η πίεση p στη βάση του φράματος Α, η συνολική δύναμη (ανά μέτρο πλάτους) F από υδροστατικές πιέσεις, η οποία ασκείται σε αυτό και η ροπή πάκτωσης (ανά μέτρο πλάτους) Μ ια όλες τις περιπτώσεις. Σημείωση: Η ροπή Μ προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη δύναμη F με την απόσταση του κ.β. του πρίσματος πιέσεων από το σημείο Α (μοχλοβραχίονας της δύναμης). B ρ ρ ρ / κατανομές πυκνοτήτων ρ / A ρ ρ ρ B / Κατανομές πιέσεων p / A p p p p. (), () p g p=,00 t m = 06,0 kn m (4) F g M g M=.400,0 tm m =.74,0 knm m 6 F= 0,00 t m =.060,0 kn m - -

19 . (), () p g p=,00 t m = 06,0 kn m (4) F g F= 05,00 t m =.0,05 kn m M g M=.50,0 tm m =.4,5 knm m 6 48 Εναλλακτικός τρόπος: (), () p g p=,00 t m = 06,0 kn m (4) F g F= 05,00 t m =.0,05 kn m 8 M g M=.50,0 tm m =.4,5 knm m (5), (6) p g p=,00 t m = 06,0 kn m (8) F g F= 06,67 t m =.07,40 kn m 6 M g M=.66,67 tm m =.407,0 knm m 6 4 Επισήμανση: Παρότι με τα αριθμητικά δεδομένα της άσκησης η πίεση p στη βάση του φράματος προκύπτει ίδια σε όλες τις περιπτώσεις, η συνολική δύναμη F και η ροπή πάκτωσης Μ είναι διαφορετικές σε κάθε περίπτωση! - 4 -

20 .. Η εφαρμοή αναφέρεται στο.. Σε διθάλαμη δεξαμενή το διαχωριστικό τοίχωμα περιλαμβάνει αβαρή κυκλική θυρίδα διαμέτρου d, η οποία στηρίζεται με άρθρωση στο Ο και απλή στήριξη στο B. Οι θάλαμοι περιέχουν υρά διαφορετικού ειδικού βάρους (, ) και στάθμης (βλ. σχήμα). Να υπολοιστούν οι αντιδράσεις των στηρίξεων. Αριθμητική εφαρμοή: d=,0 m, =,0 t m, =, t m. d d d Ο B θυρίδα d d d Ο B 5.d.d 5.d τομή όψη x d x Ο d d F F d y d y B Οι διαστάσεις των θαλάμων δεν επηρεάζουν τη λύση, είναι παραπλανητικές Τα δύο διαφορετικά συστήματα αξόνων είναι ορισμένα από τη μέθοδο d d d (9) F 4 8 d d d d (0) y eof e ΟF =, 08 m 4 4 F = 9,44778 t = 9,457 kn d d d (9) F 4 8 d d d d (0) y eof e ΟF =,50 m 8 8 F =,45575 t =,90 kn M 0 B d F e F e 0 B =,9454 t= 8,89 kn O OF OF F 0 O B F F 0 O =,078 t= 9,66 kn - 5 -

21 ..4 Η εφαρμοή αναφέρεται στο.. Σε μία λίμνη με βάθος σχεδιάζεται η κατασκευή κατακόρυφου φράματος ΑΒ με πλάτος b, το οποίο στηρίζεται με άρθρωση στο Α και απλή στήριξη στο Β. Η πυκνότητα της λίμνης είναι ρ. Να υπολοιστεί το ύψος a, ώστε οι οριζόντιες αντιδράσεις των στηρίξεων να έχουν την ίδια τιμή, καθώς και η τιμή των αντιδράσεων (βλ. σχήμα). Αριθμητική εφαρμοή: = 0 m, b= 5 m, ρ=.050 kgr m. B B ρ Β χ a x a F / A Α χ A Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από τις αντιδράσεις Σχεδιάζουμε τα διαράμματα από πιέσεις στην επιφάνεια του φορέα b (α) F F=.,50 t =.875,65 kn και eaf, ebf a M 0 B a F e 0 B A x AF x F a MB 0 Ax a F ebf 0 Ax F a F Ax Bx a a= 6, m και A x = B x = 656,5 t = 6.47,8 kn - 6 -

22 ..5 Η εφαρμοή αναφέρεται στο.. Σε ορθοωνική διατομή ποταμού με πλάτος b και βάθος. σχεδιάζεται η κατασκευή φράματος βαρύτητας ΑΒΓ, τριωνικής διατομής με μήκος L, από σκυρόδεμα ειδικού βάρους σ. Ο ανάντη του φράματος ταμιευτήρας θα περιέχει τρείς στρώσεις υρών με βάθη και ειδικά βάρη, και (βλ. σχήμα). Το έδαφος θεμελίωσης του φράματος είναι στεανό και έχει συντελεστή οριζόντιας τριβής k. Να υπολοιστούν οι συντελεστές ασφαλείας:. Σε ολίσθηση C : Κατακόρυφες δυνάμεις επί το k Οριζόντιες δυνάμεις.. Σε ανατροπή (περί το σημείο Γ) C : Ροπές ευσταθείας Ροπές ανατροπής. Αριθμητική εφαρμοή: = 5 m, b= 5 m, L= 0 m, k= 0,55, σ =,50 t m, =,00 t m, =,05 t m, =,0 t m. B Τομή κατά μήκος x σ F 4 F F F Γ L A Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από το πρόβλημα Σχεδιάζουμε τα διαράμματα από πιέσεις στην επιφάνεια του φορέα με τον εναλλακτικός τρόπο 9 b (α) F F =.8,50 t = 7.590,65 kn και e F (α) F b F = 6,50 t = 6,5 kn και e F b (α) F F = 5,65 t = 5,8 kn και ef b L L F4 F 4 = 4.06,50 t = 7.95,5 kn και e F4 Fx F και F F4 M MF και M MF4 C = 9,67 C k L C =, C 6 L

23 ..6 Η εφαρμοή αναφέρεται στο..4 Διθάλαμη ορθοωνική δεξαμενή με συνολικό πλάτος Β και μήκος L περιέχει υρό ειδικού βάρους με βάθη και /. Στον πρώτο θάλαμο υπάρχει οριζόντιο επίπεδο, το οποίο έχει άνοιμα με πλάτος b και μήκος L, τ οποίο φράζεται με κυλινδρικό πλωτήρα με διάμετρο b, μήκος L και ειδικό βάρος *. Ο πλωτήρας ισορροπεί και εξασφαλίζει τη στεανότητα του ανοίματος. Στο δεύτερο θάλαμο υπάρχει έμβολο βάρους W με πλάτος.b και μήκος L (βλ. σχήμα). Να υπολοιστεί το βάρος W, ώστε ο πλωτήρας να ισορροπεί στη θέση αυτή. Αριθμητική εφαρμοή: B= 5.b, b= m, = m, L= m, =,00 t m, *=,00 t m. F 4 b W τομή / + = F / b F F F F.b.b Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από τη μέθοδο Κάποιες διαστάσεις δεν επηρεάζουν τη λύση, είναι παραπλανητικές Οι οριζόντιες δυνάμεις αλληλοαναιρούνται! Το έμβολο προκαλεί πίεση: pw W, η οποία μεταφέρεται στον πλωτήρα! b L F p b L w W b F * L (το βάρος του πλωτήρα) 4 (4) F b L 4 (4) F 4 b L b L F 0 W * b L W=,789 t = 4,59 kn - 8 -

24 ..7 Η εφαρμοή αναφέρεται στο..4 Αβαρές πρίσμα τετραωνικής διατομής με πλευρά a και μήκος L έχει ακυρωθεί στον πυθμένα λίμνης με δύο κατακόρυφα συρματόσχοινα ΑΒ και ΓΔ, τα οποία έχουν συνδεθεί συμμετρικά στο μέσο του μήκους του πρίσματος. Η λίμνη περιέχει δύο στρώσεις υρού με ειδικά βάρη και. (βλ. σχήμα). Να υπολοιστούν:. Η δύναμη F, την οποία αναλαμβάνει κάθε συρματόσχοινο.. Η δύναμη F*, την οποία θα αναλάβει το συρματόσχοινο ΓΔ, εάν το συρματόσχοινο ΑΒ κοπεί. Αριθμητική εφαρμοή: a= 4,95 m, L= 6,5 m, =,00 t m, =,0 t m. a a a Α Γ 0,8.a τομή,5.a Β Δ Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από τη μέθοδο a a + = F a Α Γ 0,8.a,.a F F F Β Δ. Οι οριζόντιες δυνάμεις αλληλοαναιρούνται! (4) F 0, a L και F a L F 0,8 a L F 0, 0,8 F F= 86,00775 t = 84,697 kn - 9 -

25 a c + = F* a F*,.a b Γ Δ F*. Οι οριζόντιες δυνάμεις αλληλοαναιρούνται! b, a και c 0,8 a και F * c L 0,8 a L 4 F* F * F * 0,8 a L F*= 69,8444 t =.659,699 kn F * 0,8 a L Επισήμανση: Η F* δεν είναι διπλάσια της F! Η μετατόπιση του πρίσματος στη νέα θέση, προκάλεσε αλλαή στους σχετικούς όκους, άρα και στις σχετικές ανώσεις. Εάν το υρό ήταν ομοενές, όντως στη η περίπτωση η αναλαμβανόμενη από το συρματόσχοινο δύναμη θα ήταν διπλάσια. Υπό την προϋπόθεση όμως, ότι τα εωμετρικά δεδομένα θα οδηούσαν το πρίσμα σε πλήρη βύθιση - 0 -

26 ..8 Η εφαρμοή αναφέρεται στα..,.. και..4 Στο τοίχωμα δεξαμενής, η οποία περιέχει νερό, προβλέπεται τετραωνική θυρίδα, με πλευρές μήκους L και βάρος w (ανά μονάδα επιφανείας). Το τοίχωμα έχει κλίση με ωνία θ και το βάθος μέχρι τη θυρίδα είναι. Η θυρίδα είναι στρεπτή (ραμμική άρθρωση) περί οριζόντιο άξονα ΟΟ και στηρίζεται με απλή ραμμική στήριξη (κύλιση) ΒΒ (βλ.σχήμα). Να υπολοιστούν με χρήση όλων των κατευθύνσεων μεθόδων επίλυσης:. Οι αντιδράσεις των στηρίξεων.. Η συνολική δύναμη η οποία ασκείται στη θυρίδα από υδροστατικές πιέσεις. (μέτρο, διεύθυνση, κλίση ως προς οριζόντιο άξονα). Αριθμητική εφαρμοή: L=,0 m, =,0 m, w= 5,0 t m, θ= 0 ο. Ο Ο Ο δ θ L δ L τομή Β Β όψη Β Ο Αναλυτική μέθοδος Ο y Ο δ θ L W F B Β y Το σύστημα αξόνων είναι ορισμένο από τη μέθοδο (9) L cs F L F=,4640 t =,46 kn (0) y L L cs y π =,404 m L cs - -

27 Μοχλοβραχίονας e OF L L e ΟF =,007 m L cs W w L W= 0,000 t = 96,00 kn, Μοχλοβραχίονας y y e OW L sin e ΟW = 0,500 m F 0 O W cs 0 Ο y = 7,0508 t= 69,94 kn M 0 B L W e F e 0 B = -,0940 t= -,845 kn O OW OF F 0 O B F W sin 0 O = -0,5470 t= -,58 kn Η συνολική δύναμη και το σημείο εφαρμοής της έχουν ήδη υπολοιστεί: F, y π Η διεύθυνση της: κάθετη στη θυρίδα 0 ο ως προς οριζόντιο άξονα. Ο Γραφική μέθοδος Ο y Ο δ θ L y F W B Β F Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από τις αντιδράσεις Σχεδιάζουμε τα διαράμματα από πιέσεις στην επιφάνεια του φορέα (α) e OF F L F = 8,000 t = 78,480 kn L e OF =,000 m L L cs (α) F F =,4640 t =,98 kn L eof e OF =, m W w L W= 0,000 t = 96,00 kn, Μοχλοβραχίονας e OW L sin e ΟW = 0,500 m - -

28 F 0 O W cs 0 Ο y = 7,0 t= 69,94 kn y y M 0 B L W e F e F e 0 B = -,09 t= -,845 kn O OW OF OF F 0 O B F F W sin 0 O = -0,54 t= -,58 kn Συνολική δύναμη F F F F=,464 t =,46 kn Η διεύθυνση της: κάθετη στη θυρίδα 0 ο ως προς οριζόντιο άξονα. Το σημείο εφαρμοής της πρέπει να υπολοιστεί (συνδυασμός των F και F ). Προφανώς θα προκύψει το y π! Ο Γενική μέθοδος Ο y F δ θ L y F F Ο W F 4 B Β Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από τις αντιδράσεις Σχεδιάζουμε τα διαράμματα από πιέσεις στους άξονες της μεθόδου (α) e OF F L L cs F = 6,980 t = 67,966 kn L cs e OF = 0,86605 m cs L L (α) F F =,000 t = 9,40 kn L cs eof e OF =,5470 m (4α) e OF F L L sin L sin F = 4,000 t = 9,40 kn L sin e OF = 0,500 m L L sin L cs sin (4α) F4 F 4 =,705 t = 6,99 kn L sin eof4 e OF4 = 0, m - -

29 W w L W= 0,000 t = 96,00 kn, Μοχλοβραχίονας e OW L sin e ΟW = 0,500 m F 0 O W cs F sin F sin F cs F cs 0 y y 4 Ο y = 7,0 t= 69,94 kn M 0 B L W e F e F e F e F e 0 O OW OF OF OF 4 OF4 B = -,09 t= -,845 kn F 0 O B F cs F cs F sin F sin W sin 0 4 O = -0,54 t= -,58 kn F=,464 t =,46 kn Η διεύθυνση της: κάθετη στη θυρίδα 0 ο ως προς οριζόντιο άξονα. Το σημείο εφαρμοής της πρέπει να υπολοιστεί (συνδυασμός των F έως F 4 ). Προφανώς θα προκύψει το y π! Συνολική δύναμη F F F F F Επισήμανση: Παρότι η άσκηση είναι δυνατό να επιλυθεί και με τις τρεις κατευθύνσεις μεθόδους, είναι εμφανέστατη η υπεροχή επιλοής (κατά σειρά παρουσίασης) των μεθόδων, στο συκεκριμένο πεδίο! (βλ...) / - 4 -

30 ..9 Η εφαρμοή αναφέρεται στα.. και..4 Ορθοωνική διατομή διώρυας φράζεται με αβαρές, άκαμπτο θυρόφραμα ΑΒΟΑ σε όλο το πλάτος της b. Η ωνία του θυροφράματος στο Β είναι 90 ο. Το θυρόφραμα στηρίζεται με ραμμική άρθρωση στον οριζόντιο άξονα Ο και απλή ραμμική στήριξη (κύλιση) στον οριζόντιο άξονα Α. Ανάντη του θυροφράματος η διώρυα περιέχει δύο στρώσεις υρών με βάθη. και και ειδικά βάρη και αντιστοίχως. Κατάντη περιέχει μία στρώση υρού με βάθος. και ειδικό βάρος (βλ. σχήμα). Να υπολοιστούν με χρήση όλων των κατευθύνσεων μεθόδων επίλυσης:. Οι αντιδράσεις των στηρίξεων, ανά μέτρο πλάτους του θυροφράματος.. Η συνολική δύναμη, η οποία ασκείται στο θυρόφραμα από υδροστατικές πιέσεις. (μέτρο, διεύθυνση, κλίση ως προς οριζόντιο άξονα) Αριθμητική εφαρμοή: =,5 m, b= 8 m, =,00 t m, =,0 t m. Σημείωση: Σε φορείς, των οποίων η μορφή παραμένει σταθερή σε όλο το πλάτος, είναι σύνηθες να υπολοίζουμε τις αντιδράσεις των στηρίξεων ανά μέτρο πλάτους. Ο Γραφική μέθοδος F F Ο Β. x F Ο x F 5 Α x τομή Α F 4 Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από τις αντιδράσεις Σχεδιάζουμε τα διαράμματα από πιέσεις στις επιφάνειες του φορέα Τα μήκη των πλευρών ΑΒ και ΒΟ είναι: F b και eof, eaf και eof F b, eaf F b και eof, eaf - 5 -

31 και eof4 F4 b, eaf4 F5 b και eof5 4, eaf5 4 MO 0 Ax MOFi MOF5 0 Ax b 6 Α x = 5,600 t= 5,06 kn Α x /m =,950 t/m= 9,0 kn/m 4 6 MA 0 Ox MAFi MAF5 0 Ox b 6 O x =,00 t= 08,95 kn O x /m =,66 t/m= 6,9 kn/m Επισήμανση : Η επιλοή της M 0 A αντί της x F 0, όταν (όπως <εδώ>) είναι ευχερής ο προσδιορισμός των μοχλοβραχιόνων, είναι προτιμότερη. Οι δύο αντιδράσεις προκύπτουν με ανεξάρτητο υπολοισμό και η δυνατό να αξιοποιηθεί ια έλεχο! 4 Fx 0 Ax Ox Fi F5 0 4 F 0 O Fi Fi 0 O b Ο = -8,900 t= -85,409 kn O /m = -,6 t/m= -,76 kn/m / / b F Fx F F ΟΛ = 4,459 t= 406,709 kn tan F F x tanθ= 0,595 θ= 7, F 0είναι x θ F ΟΛ - 6 -

32 Γενική μέθοδος Β Ο. x F F F 4 F F 6 F 7 Ο Ο x F 5 Α x Α Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από τη μέθοδο και τις αντιδράσεις Σχεδιάζουμε τα διαράμματα από πιέσεις στους άξονες της μεθόδου F b και eof, eaf και eof F b, eaf 4 F b και eof, eaf και eof4 F4 b 5, eaf4 F5 b και eof5 4, eaf5 και eof F6 b, eaf και eof F7 b, eaf 4 7 M 0 A M M 0 O x OFi OFi M 0 O M M M 0 A x AFi AF5 AFi 6 7 F 0 O Fi 0 6 Επισήμανση : Η άσκηση είναι δυνατό να επιλυθεί μόνο με τις δύο κατευθύνσεις μεθόδους και είναι εμφανέστατη η υπεροχή επιλοής (κατά σειρά παρουσίασης) των μεθόδων, στο συκεκριμένο πεδίο! (βλ...) - 7 -

33 ..0 Η εφαρμοή αναφέρεται στ..4 Ορθοωνική διατομή διώρυας φράζεται με αβαρές, άκαμπτο θυρόφραμα ΑΒΟΓ σε όλο το πλάτος της b. Το θυρόφραμα έχει διατομή ημικυκλίου με ακτίνα. Το θυρόφραμα στηρίζεται με ραμμική άρθρωση στον οριζόντιο άξονα Ο και απλή ραμμική στήριξη (κύλιση) στον οριζόντιο άξονα Α. Ανάντη του θυροφράματος η διώρυα περιέχει δύο στρώσεις υρών με βάθη. και και ειδικά βάρη και αντιστοίχως. Κατάντη περιέχει μία στρώση υρού με βάθος. και ειδικό βάρος (βλ. σχήμα). Να υπολοιστούν με χρήση όλων των κατευθύνσεων μεθόδων επίλυσης:. Οι αντιδράσεις των στηρίξεων, ανά μέτρο πλάτους του θυροφράματος.. Η συνολική δύναμη, η οποία ασκείται στο θυρόφραμα από υδροστατικές πιέσεις. (μέτρο, διεύθυνση, κλίση ως προς οριζόντιο άξονα) Αριθμητική εφαρμοή: =,5 m, b= 8 m, =,00 t m, =,0 t m. Σημείωση: Προσοχή στη διαφορετική μορφή του φορέα και της άρθρωσης! Γ Γενική μέθοδος Ο F Ο Β. x F F F 6 F 4 Ο x F 5 Α x τομή Α Η επιλοή του συστήματος αξόνων καθορίστηκε από τη μέθοδο και τις αντιδράσεις Σχεδιάζουμε τα διαράμματα από πιέσεις στους άξονες της μεθόδου 9 και eof F b, eaf F b και eof 5, eaf και eof 4 F b 4, e AF 4 και eof4 4 F4 b 4, e AF4 4 F5 b και eof5 4, eaf5-8 -

34 και eof F6 b 4, e AF 4 5 M 0 A M M M 0 O x OFi OFi OF6 8 Ax b Α x = 6,950 t= 66,80 kn Α x /m =,9 t/m= 0,785 kn/m 4 6 M 0 O M M 0 A x AFi AFi 5 6 Ox b Ο x = 8,950 t= 8,000 kn Ο x /m =,69 t/m= 5,500 kn/m Επισήμανση : Η επιλοή της M 0 A αντί της x F 0, όταν (όπως <εδώ>) είναι ευχερής ο προσδιορισμός των μοχλοβραχιόνων, είναι προτιμότερη. Οι δύο αντιδράσεις προκύπτουν με ανεξάρτητο υπολοισμό και η δυνατό να αξιοποιηθεί ια έλεχο! F 0 A O F F 0 x x x i 5 7 F 0 O Fi 0 6 O b 4 Ο = -,44 t= -,869 kn O /m = -0,77 t/m= -,74 kn/m / / b F Fx F F ΟΛ = 45,9 t= 450,49 kn tan F F 4 x tanθ= 0,00800 θ=,764 Επισήμανση : Η συνολική δύναμη από πιέσεις είναι σχεδόν οριζόντια. Προσοχή! ΔΕΝ διέρχεται από το κέντρο του ημικυκλίου, διότι συμμετέχει και το τμήμα των πιέσεων στο ΟΓ. F 0είναι Επισήμανση : Η άσκηση είναι δυνατό να επιλυθεί μόνο με μία από τις κατευθύνσεις μεθόδους! (βλ...) x - 9 -