ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. της ϕοιτήτριας του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστηµίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΕΓΑΛΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ (VLSI) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της ϕοιτήτριας του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστηµίου Πατρών Αρχοντά Χριστίνας του Νικολάου Αριθµός Μητρώου: Θέµα: «Αρχιτεκτονικές Υλικού για Επαναληπτικούς Αποκωδικοποιητές µε Εφαρµογή σε Συστήµατα ιόρθωσης Λαθών για Ασύρµατα ίκτυα» Επιβλέπων Καθηγητής: Παλιουράς Βασίλης Πάτρα, Φεβρουάριος 216

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η ιπλωµατική Εργασία µε ϑέµα: «Αρχιτεκτονικές Υλικού για Επαναληπτικούς Αποκωδικοποιητές µε Εφαρµογή σε Συστήµατα ιόρθωσης Λαθών για Ασύρµατα ίκτυα» Της ϕοιτήτριας του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Αρχοντά Χριστίνας του Νικολάου Αριθµός Μητρώου: Παρουσιάστηκε δηµόσια και εξετάστηκε στο Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις / / Ο Επιβλέπων Παλιουράς Βασίλης, Αναπληρωτής Καθηγητής Ο ιευθυντής του Τοµέα Χούσος Ευθύµιος, Καθηγητής iii

4

5 Ευχαριστίες Για την εκπόνηση της παρούσας εργασίας ϑα ήθελα να ευχαριστήσω ϑερµά τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Βασίλη Παλιουρά για την καθοδήγηση και υποστήριξή του. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον υποψήφιο διδάκτορα κ. Νικόλαο Κάνιστρα για την πολύτιµη ϐοήθεια του κατά την διάρκεια της εργασίας. v

6

7 Περιεχόµενα 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το Τηλεπικοινωνιακό Μοντέλο του Shannon Κωδικοποίηση Γραµµικοί Κώδικες Μπλοκ Κώδικες LDPC Αποκωδικοποίηση ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC Αλγόριθµοι Bit-Flipping Bit-Flipping (BF) Weighted-Bit-Flipping (WBF) Modified-Weighted-Bit-Flipping (MWBF) Reliability-Ratio-Weighted-Bit-Flipping (IERRWBF) Scaled-Reliability-Ratio-Weighted-Bit-Flipping (SIERRWBF) Σύγκριση BF αλγορίθµων ιερεύνηση της επίδρασης της τιµής των συντελεστών Αλγόριθµοι Message-Passing Log-Sum-Product (logsp) Min-Sum (MS) Normalized-Min-Sum (NMS) Offset-Min-Sum (OMS) Corrected-Min-Sum (CMS) Σύγκριση MP αλγορίθµων ιερεύνηση της επίδρασης της τιµής των συντελεστών Επίδραση του scaling της εισόδου του αποκωδικοποιητή Σύγκριση Αλγορίθµων Αποκωδικοποίησης σε συνθήκες BPSK/AWGN Σύγκριση Αλγορίθµων Αποκωδικοποίησης για το πρότυπο IEEE 82.11ah

8 Περιεχόµενα viii 3. ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ PUNCTURED ΚΩ ΙΚΩΝ Χρήση logsp ως pre-processor Χρήση Erasure Decoder ως pre-processor ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ LDPC ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΗ Αρχιτεκτονική Erasure Decoder Αρχιτεκτονική Bit Flipping Αρχιτεκτονική LDPC Συστήµατος Αποκωδικοποιητή Σειριακή Αρχιτεκτονική (EDBF) Αρχιτεκτονική µε Κοινούς Κόµβους (SHEDBF) Αρχιτεκτονική µε Κοινούς Κόµβους και Κοινό ίκτυο ιασύνδεσης (RSHEDBF) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

9 Περίληψη Οι κώδικες LDPC είναι κώδικες διόρθωσης σφαλµάτων που παρέχουν επιδόσεις ϱυθµού µετάδοσης πληροφορίας κοντά στη χωρητικότητα του καναλιού και προτάθηκαν για πρώτη ϕορά από τον Gallager στις αρχές της δεκαετίας του 6. Ωστόσο, µέχρι τα µέσα της δεκαετίας του 9, παρέµειναν στο περιθώριο καθώς η υλοποίηση των αποκωδικοποιητών τους σε υλικό δεν ήταν δυνατή µέχρι τότε. Χαρακτηρίζονται από έναν αραιό πίνακα ελέγχου ισοτιµίας ο οποίος καθορίζει το κύκλωµα και κατά συνέπεια την πολυπλοκότητα του αποκωδικοποιητή. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται οι κυριότεροι LDPC αλγόριθµοι αποκωδικοποίησης που έχουν αναπτυχθεί µέχρι σήµερα. Ακόµη, έγιναν συγκρίσεις µεταξύ τους για τους κώδικες του προτύπου IEEE 82.11ac σε απλές συνθήκες µετάδοσης και του προτύπου IEEE 82.11ah για όλες τις πιθανές συνθήκες µετάδοσης. Σκοπός αυτής της χαρτογράφησης ήταν η εύρεση της ϐέλτιστης επιλογής αλγορίθµου ανάλογα µε τις εκάστοτε συνθήκες. Μετά από µελέτη των αλγορίθµων, διαπιστώθηκε µια έντονη µείωση της απόδοσης ορισµένων αποκωδικοποιητών όταν υπόκεινται σε puncturing, µια διαδικασία επεξεργασίας που έχει ως σκοπό την αύξηση του πραγµατικού ϱυθµού του κώδικα. Στην συνέχεια έγινε διερεύνηση της συµπεριφοράς των συγκεκριµένων αλγορίθµων και προτάθηκαν προσεγγίσεις ώστε να ϐελτιωθούν οι επιδόσεις τους σε επίπεδο ϱυθµού σφαλµάτων. Τέλος, σχεδιάστηκε ένα από τα προτεινόµενα συστήµατα αποκωδικοποίησης punctured κωδίκων σε γλώσσα υλικού και υλοποιήθηκε µε την ϐοήθεια εργαλείων σχεδίασης. Χρησιµοποιήθηκαν διάφορες µέθοδοι σχεδίασης µε σκοπό να µειωθεί η συνολική απαιτούµενη επιφάνεια υλικού της αρχιτεκτονικής και να αυξηθεί το throughput της σχεδίασης. ix

10

11 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 Ποµπός Κωδικοποιητής ιαµορφωτής Θόρυβος Κανάλι έκτης Αποκωδικοποιητής Αποδιαµορφωτής Σχήµα 1.1: Το τηλεπικοινωνιακό µοντέλο του Shannon. 1.1 Το Τηλεπικοινωνιακό Μοντέλο του Shannon Ο Shannon [1] το 1948 παρουσίασε για πρώτη ϕορά το τηλεπικοινωνιακό µοντέλο που αφορά την µετάδοση πληροφορίας σε ένα ψηφιακό σύστηµα επικοινωνίας και ϕαίνεται στο Σχήµα 1.1. Σε αυτό το µοντέλο, τα ψηφιακά δεδοµένα κωδικοποιούνται από την πηγή και διαµορφώνονται µε σκοπό να µεταδοθούν µέσω του καναλιού. Στη συνέχεια, τα δεδοµένα αποδιαµορφώνονται, αποκωδικοποιούνται, και αποστέλλονται στον δέκτη. Η ικανότητα ενός τηλεπικοινωνιακού συστήµατος να παραδίδει στον προορισµό την πληροφορία που παρέλαβε από τον ποµπό µε ϐεβαιότητα και χωρίς λάθη, αποκαλείται αξιοπιστία του συστήµατος. Το κανάλι προσθέτει λανθασµένη πληροφορία (ϑόρυβο) στα δεδοµένα, µε αποτέλεσµα να µειώνεται η αξιοπιστία του συστήµατος. Με σκοπό να ϐελτιωθεί αυτή η αξιοπιστία, ο κωδικοποιητής καναλιού προσθέτει επιπλέον πληροφορία (πλεονάζουσα) στην µεταδιδόµενη πληροφορία. Στην συνέχεια ο διαµορφωτής αναλαµβάνει να µετατρέψει την ακολουθία ψηφιακών δεδοµένων σε µια συνεχή κυµατοµορφή ώστε τα δεδοµένα να είναι κατάλληλα για µετάδοση µέσω του καναλιού. Η ισχύς του µεταδιδόµενου σήµατος µειώνεται όταν διέρχεται µέσα από το κανάλι µετάδοσης. Στην περίπτωση των ασύρµατων επικοινωνιών, όπου το κανάλι µετάδοσης είναι η ατµόσφαιρα, η εξασθένηση του σήµατος είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης που καλύπτει το σήµα. Επίσης,

13 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 όπως προαναφέρθηκε, το κανάλι προσθέτει και ϑόρυβο στην πληροφορία, ο οποίος στις ασύρµατες επικοινωνίες κρίνεται υψηλός. Η έξοδος του καναλιού εισέρχεται στον αποδιαµορφωτή µε σκοπό να παράγει µια ακολουθία αντίστοιχη µε αυτή που παράγει ο κωδικοποιητής. Στην συνέχεια ο αποκωδικοποιητής προσπαθεί να αφαιρέσει την πλεονάζουσα πληροφορία την οποία εισήγαγε ο κωδικοποιητής και να µετατρέψει την ληφθείσα ακολουθία σε δυαδική αξιοποιώντας την επιπλέον πληροφορία. Σκοπός της αποκωδικοποίησης είναι να λάβει ο δέκτης αυτούσια τα δεδοµένα που έστειλε ο ποµπός. Σε περίπτωση που δεν αποκωδικοποιηθεί σωστά η ληφθείσα ακολουθία, η µετάδοση πληροφορίας κρίνεται λανθασµένη. 1.2 Κωδικοποίηση Η κωδικοποίηση του καναλιού αποτελεί σηµαντικό παράγοντα στην αξιοπιστία της µετάδοσης. Ο Shannon απέδειξε πως είναι εφικτό να µειωθεί οσοδήποτε η πιθανότητα λάθους κατά την µετάδοση αρκεί ο ϱυθµός της µεταδιδόµενης πληροφορίας να µην υπερβαίνει την χωρητικότητα του καναλιού. Εποµένως, για δεδοµένο εύρος Ϲώνης, ο περιορισµός στον ϱυθµό µετάδοσης εξαρτάται από την ισχύ του ϑορύβου. Η κωδικοποίηση του καναλιού έχει ως σκοπό να περιορίσει κατά το δυνατό την πιθανότητα σφάλµατος µετάδοσης προσεγγίζοντας όσο γίνεται περισσότερο το όριο του Shannon. Εποµένως, γίνεται προφανές πως εάν δεν µειωθεί ο ϑόρυβος ή εάν δεν αυξήσουµε τον ϱυθµό µετάδοσης, τότε ϑα πρέπει να αυξηθεί η υπολογιστική πολυπλοκότητα της κωδικοποίησης του καναλιού ώστε να επιτύχουµε όσο γίνεται πιο αξιόπιστη µετάδοση. Οι κώδικες που χρησιµοποιούνται κατά τις ϕάσεις της κωδικοποίησης και της αποκωδικοποίησης χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: Κώδικες Μπλοκ (Block Codes) και Συνελικτικοί Κώδικες (Convolutional Codes). Οι Μπλοκ Κώδικες απαρτίζονται από τους LDPC, κώδικες Hamming, κυκλικούς κώδικες, BCH και Reed-Solomon. Σε αυτήν την εργασία ϑα επικεντρωθούµε στους LDPC κώδικες. 1.3 Γραµµικοί Κώδικες Μπλοκ Ενας (n, k) δυαδικός κώδικας µπλοκ είναι ένας κώδικας του οποίου ένα σύνολο από λέξεις πληροφορίας αποτελείται από bit ακολουθίες µήκους k, ενώ n είναι το µήκος των bit ακολουθιών ενός συνόλου κωδικών λέξεων. Με δεδοµένο πως κάθε στοιχείο του συνόλου των λέξεων πληροφορίας απεικονίζεται µονοσήµαντα στο σύνολο των κωδικών λεξεων, το πλήθος M = 2 k των δύο συνόλων είναι το ίδιο. Ενας κώδικας µπλοκ είναι γραµµικός

14 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4 αν κάθε γραµµικός συνδυασµός δύο κωδικών του λέξεων είναι επίσης κωδική του λέξη. Στην περίπτωση δυαδικού κώδικα αυτό σηµαίνει πως το αποτέλεσµα της συνιστώσας-προς συνιστώσα XOR λογική πράξης µεταξύ δύο κωδικών του λέξεων, είναι επίσης κωδική λέξη του κώδικα. Η ακολουθία των k bits µετατρέπεται από τον κωδικοποιητή σε ακολουθία των n bits σύµφωνα µε την c i = u i G (1.1) όπου G δυαδικός πίνακας (k n) ονοµάζεται γεννήτορας πίνακας του κώδικα. Ετσι προκύπτει η κωδική λέξη c i. Εστω ένας δυαδικός πίνακας H µε διαστάσεις(n k, n). Κάθε γραµµή του πίνακα H είναι έγκυρη κωδική λέξη του κώδικα. Κατά συνέπεια, ο πίνακας H µας παρέχει n k σχέσεις τις οποίες ϑα πρέπει να επαληθεύει µια κωδική λέξη για να είναι έγκυρη και οι οποίες συνοψίζονται στην ακόλουθη σχέση: c i Η Τ = (1.2) Ουσιαστικά κάθε µία γραµµή ελέγχει εάν µεταξύ συγκεκριµένων ψηφίων της κωδικής λέξης υπάρχει άρτια ισοτιµία άσσων. Για αυτό το λόγο ο πίνακας H ονοµάζεται Πίνακας Ελέγχου Ισοτιµίας (Parity Check Matrix). 1.4 Κώδικες LDPC Αρκετά δηµοφιλείς κώδικες για την διόρθωση λαθών είναι οι Low-Density Parity-Check (LDPC) τους οποίους παρουσίασε ο Gallager στις αρχές της δεκαετίας του 6 [2] και στην συνέχεια τους επανέφερε στο προσκήνιο ο Mackay [3]. Οι LDPC κώδικες έχουν ήδη εφαρµοστεί σε πολλά πρότυπα µετάδοσης τα οποία απαιτούν υψηλές ταχύτητες, όπως WiFi, WiMax, DVB-S2. Οπως έδειξε ο Gallager, η ικανότητα αποκωδικοποίησης αυτών των κωδίκων προσεγγίζει το όριο του Shannon σε αρκετά ικανοποιητικό ϐαθµό. Ωστόσο ο λόγος για τον οποίο δεν κατάφεραν να αποτελέσουν πρώτη επιλογή όταν ανακαλύφθηκαν είναι η υψηλή πολυπλοκότητα που τους χαρακτηρίζει και η οποία δεν ήταν εφικτό να καλυφθεί µε την τότε τεχνολογία. Τα τελευταία χρόνια όµως έχουν ϐρεθεί αρκετές τεχνικές µε τις οποίες είναι δυνατή η εκµετάλλευση των δυνανοτήτων διόρθωσης των κωδίκων LDPC και ταυτόχρονα η µείωση της απαιτούµενης πολυπλοκότητας. Οι LDPC είναι κώδικες ελέγχου ισοτιµίας και περιγράφονται πλήρως από τον πίνακα γεννήτορα G ή από τον πίνακα ελέγχου ισοτιµίας H. Ο τελευταίος αποτελείται από αρκετά λιγότερους άσσους απ ότι µηδενικά, γεγονός που ερµηνεύει τον χαρακτηρισµό Low Density. Οπως ϑα δούµε και στην συνέχεια, το πλήθος των άσσων σε έναν πίνακα ελέγχου ισοτιµίας χαρακτηρίζει την πολυπλοκότητα του συγκεκριµένου κώδικα και έτσι η

15 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5 υλοποίηση ενός LDPC αποκωδικοποιητή έχει εµφανές πλεονέκτηµα έναντι των υπολοίπων µπλοκ κωδίκων. Σε ένα µπλοκ κώδικα, τα δεδοµένα τεµαχίζονται σε µπλοκ µήκους k. Κάθε µπλοκ ονοµάζεται λέξη πληροφορίας u και είναι ουσιαστικά ένα διάνυσµα γραµµή µήκους k που αποτελείται από δυαδικά ψηφία. Μετά από την εφαρµογή της σχέσης 1.1, το αποτέλεσµα είναι ένα διάνυσµα γραµµή µήκους n και αποτελεί την κωδική λέξη c. Με δεδοµένο ότι κάθε έγκυρη λέξη του κώδικα ϑα πρέπει να ικανοποιεί την σχέση 2.2, γνωρίζοντας τον πίνακα H µπορούµε να διακρίνουµε από όλους τους 2 n δυνατούς συνδυασµούς κωδικών λέξεων, τις 2 k έγκυρες. Ενας πίνακας LDPC συµβολίζεται ως (n,d v,d c ), όπου n είναι το πλήθος των στηλών του πίνακα ελέγχου ισοτιµίας, d v το πλήθος των άσσων σε κάθε στήλη του πίνακα ενώ d c είναι το πλήθος των άσσων σε κάθε γραµµή. Οι κώδικες που έχουν σταθερό πλήθος άσσων στις γραµµές και στις στήλες ονοµάζονται κανονικοί (regular) ενώ σε αντίθετη περίπτωση ονοµάζονται µη-κανονικοί (irregular). Το συνολικό πλήθος των άσσων ενός πίνακα ελέγχου ισοτιµίας διαστάσεων (m, n) είναι σταθερό. Εποµένως ισχύει, m d c = n d v (1.3) Ο ϱυθµός ενός (n,d v,d c ) κώδικα LDPC είναι ίσος µε τον λόγο του πλήθους των δεδοµένων πληροφορίας προς το πλήθος των µεταδιδόµενων δεδοµένων. Συνεπώς, κάνοντας χρήση της 1.3 προκύπτει, R = k n R = 1 d v d c (1.4) Οι LDPC κώδικες µπορούν να περιγραφούν µέσω ενός διµερή γράφου που προσδιορίστηκε από τον Tanner [4]. Η περιγραφή αυτή γίνεται µε την χρήση του πίνακα ελέγχου ισοτιµίας και αποτελείται από δύο ειδών κόµβους και ακµές µεταξύ αυτών. Οι check κόµβοι αντιστοιχούν στις γραµµές του πίνακα ενώ οι bit ή variable κόµβοι αντιστοιχούν στις στήλες του. Οι άσσοι του πίνακα ελέγχου ισοτιµίας αντιστοιχούν στις ακµές του γράφου. Το πλήθος των ακµών που συνδέονται σε κάθε κόµβο ονοµάζεται ϐαθµός (degree) του κόµβου και αντιστοιχεί στα d v,d c. Ενας τέτοιος γράφος για τον πίνακα Η που δίνεται από την 1.5 παρουσιάζεται στο Σχήµα 1.2 όπου για παράδειγµα ο άσσος στην ϑέση (1,2) του πίνακα H αντιστοιχίζεται στην ακµή που ενώνει τον check κόµβο 1 µε τον variable κόµβο 2. Ο πίνακας που χρησιµοποιείται είναι κανονικός και ισχύει d v = 2 και d c = H = (1.5) 1 1 1

16 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 6 check κόµβοι c1 c2 c3 c4 v1 v2 v3 v4 v5 v6 bit ή variable κόµβοι Σχήµα 1.2: ιάγραµµα Tanner του πίνακα Η. 1.5 Αποκωδικοποίηση Η αποκωδικοποίηση των κωδίκων LDPC αποσκοπεί στο να ανιχνεύσει εάν υπάρχει σφάλµα στην µετάδοση δεδοµένων και στη συνέχεια να το διορθώσει. Για να ϐρεθεί κάποιο σφάλµα ϑα πρέπει να µην ικανοποιείται έστω και ένας από τους n k ελέγχους που διενεργούνται. Σε περίπτωση που έχουµε δυαδικό κώδικα και διαµόρφωση BPSK (Binary Phase Shift Keying) τα µεταδιδόµενα σύµβολα είναι +1 και 1. Τα δεδοµένα διέρχονται µέσα από το κανάλι, µε αποτέλεσµα να είναι πιθανό να λάβουν εκτός από διαφορετική απόλυτη τιµή, ίσως και διαφορετικό πρόσηµο σε ισχυρό ϑόρυβο. Ο αποκωδικοποιητής αναλαµβάνει να χρησιµοποιήσει αυτή την πληροφορία και να ϐρει µια έγκυρη κωδική λέξη που ϑα αντιστοιχεί σε αυτήν που έλαβε ο κωδικοποιητής. Οι αποκωδικοποιητές χωρίζονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα µε την διαδικασία εκτίµησης, Hard-Decision και Sof t-decision. Στην πρώτη κατηγορία ο αποκωδικοποιητής ϑεωρεί πως το πρόσηµο των συµβόλων είναι αρκετό για να πάρει απόφαση για την τιµή τους. Ετσι όποια σύµβολα έχουν ϑετική τιµή τα αντιστοιχεί στο 1 ενώ όποια έχουν αρνητική τα αντιστοιχεί στο. Από την άλλη, µε την Sof t-decision διαδικασία ο αποκωδικοποιητής εκµεταλλεύεται την πληροφορία που παίρνει από το κανάλι σε όλο το

17 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 7 εύρος της και όχι µόνο το πρόσηµο των συµβόλων. Είναι προφανές πως οι Sof t-decision αποκωδικοποιητές ϑα παρουσιάζουν καλύτερη απόδοση εφόσον χρησιµοποιούν όλη την προσφερόµενη πληροφορία για να κάνουν µια εκτίµηση. Το κόστος όµως από άποψη υπολογιστικής πολυπλοκότητας είναι αρκετά µεγαλύτερο. Το κύκλωµα της αποκωδικοποίησης είναι ουσιαστικά το διάγραµµα Tanner µε τους check κόµβους να αντιστοιχίζονται σε ένα είδος επεξεργαστή ειδικού σκοπού (CCU) και τους variable κόµβους να αντιστοιχίζονται σε ένα άλλος είδος επεξεργαστή (V CU). Κάθε επεξεργαστή του ίδιου είδους εκτελεί µια συγκεκριµένη λειτουργία. Οι CCUs δέχονται στην είσοδό τους τις εκτιµήσεις των variable κόµβων µε τους οποίους συνδέονται και αναλαµβάνουν να ελέγξουν εάν ικανοποιούνται οι συνθήκές ισοτιµίας τους. Ακόµη µπορούν να κάνουν µια εκτίµηση για την τιµή ενός variable κόµβου εάν ϐασιστούν στις εκτιµήσεις όλων των variable κόµβων εκτός του συγκεκριµένου κόµβου. Αυτές τις εκτιµήσεις τις µεταβιβάζει στους variable κόµβους. Αυτοί µε την σειρά τους µπορούν να επεξεργαστούν τις εκτιµήσεις των check κόµβων και να κάνουν µια καινούργια εκτίµηση για την τιµή του συµβόλου στο οποίο αντιστοιχούν. Οι εκτιµήσεις που ανταλλάσσονται µεταξύ των υπολογιστικών τµηµάτων ονοµάζονται µηνύµατα και ο τρόπος επεξεργασίας αυτών των µηνυµάτων εξαρτάται από τον επιλεγµένο αλγόριθµο αποκωδικοποίησης. Γίνεται αντιληπτό πως ο αποκωδικοποιητής LDPC ακολουθεί µια επαναληπτική διαδικασία ανταλλαγής µηνυµάτων. Μία επανάληψη αποτελείται από δύο στάδια, όπου αρχικά οι VCUs στέλνουν τις εκτιµήσεις τους στους CCUs και στο δεύτερο στάδιο οι CCUs επιστρέφουν στους VCUs τις δικές τους εκτιµήσεις. Το κύκλωµα αποκωδικοποίησης για µία επανάληψη για τον πίνακα 1.5 παρουσιάζεται στο Σχήµα 1.3. Τέλος, είναι ϕανερή η εξάρτηση του µεγέθους και του πλήθους των άσσων στον πίνακα ελέγχου ισοτιµίας µε την πολυπλοκότητα του αλγορίθµου αποκωδικοποίησης.

18 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 8 1 ο Στάδιο CCU1 CCU2 CCU3 CCU4 VCU1 VCU2 VCU3 VCU4 VCU5 VCU6 2 ο Στάδιο CCU1 CCU2 CCU3 CCU4 VCU1 VCU2 VCU3 VCU4 VCU5 VCU6 Σχήµα 1.3: Κύκλωµα αποκωδικοποίησης για τον πίνακα Η.

19 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC

20 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 1 Ολοι οι LDPC αλγόριθµοι αποκωδικοποίησης χαρακτηρίζονται από µια διεργασία ανταλλαγής µηνυµάτων µεταξύ υπολογιστικών µονάδων, των bit ή variable κόµβων και των check κόµβων. Το διάγραµµα υλοποίησης της αποκωδικοποίησης είναι ανάλογο µε το διάγραµµα Tanner όπως αναφέρθηκε και στο Κεφάλαιο 1.5. Κάθε check κόµβος εκτελεί έναν έλεγχο για την ικανοποίηση της συνθήκης ισοτιµίας του και στη συνέχεια λαµβάνει µια απόφαση, την οποία και µεταβιβάζει στους variable κόµβους. Αυτοί µε την σειρά τους λαµβάνουν τα µηνύµατα και κάνουν µια καινούργια εκτίµηση για την τιµή του συµβόλου τους. Αυτή η επαναληπτική µετάδοση µηνυµάτων συνεχίζεται µέχρι να ϐρεθεί µια έγκυρη κωδική λέξη ή να ικανοποιείται κάποιο κριτήριο τερµατισµού, όπως να ολοκληρωθούν οι µέγιστες δυνατές επαναλήψεις που έχουν καθοριστεί για τον αλγόριθµο. Οι LDPC αλγόριθµοι αποκωδικοποίησης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, τους Bit-Flipping και τους Message-Passing. 2.1 Αλγόριθµοι Bit-Flipping Οι Bit-Flipping αλγόριθµοι αποκωδικοποίησης, τους οποίους εισήγαγε ο Gallager [2], είναι οι πιο απλοί από άποψη πολυπλοκότητας. Χρησιµοποιούνται hard αποφάσεις ( ή 1) για τις τιµές των bits και ϐασίζονται στην ιδέα πως τα bits που συµµετέχουν στις περισσότερες εξισώσεις ελέγχου που δεν ικανοποιούνται, είναι και τα πιο πιθανά να είναι λανθασµένα και άρα αντιστρέφονται. Ο πιο απλός αλγόριθµος είναι ο Bit-Flipping (BF) [2] και ακολουθούν οι: Weighted-Bit-Flipping (WBF) [5], Modified-Weighted-Bit-Flipping (MWBF) [6], Reliability-Ratio-Bit-Flipping (IERRBF) [7] [8], Scaled-Reliability-Ratio-Bit-Flipping (SIERRBF) [7] [8] οι οποίοι χρησιµοποιούν και soft πληροφορία από το κανάλι για να εξάγουν κάποια εκτίµηση Bit-Flipping (BF) Ο αλγόριθµος BF αποτελείται από το στάδιο της αρχικοποίησης και τέσσερα στάδια τα οποία συγκροτούν την επαναληπτική διαδικασία. Αρχικοποίηση: Αρχικά η εκτίµηση ĉ j για κάθε bit της κωδικής λέξης, j = 1,...,n, παίρνει ως τιµή την hard απόφαση που προκύπτει από την πληροφορία y j που δίνει το κανάλι. Για την περίπτωση της BPSK διαµόρφωσης: ĉ j = sign(y j)+1 (2.1) 2 Προκύπτει έτσι η κωδική λέξη c. Εάν ικανοποιούνται όλες οι εξισώσεις

21 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 11 ελέγχου ισοτιµίας σύµφωνα µε τον τύπο: c Η Τ = (2.2) όπου το δηλώνει την λογική πράξη XOR ή ισοδύναµα modulo-2 άθροιση, τότε ο αλγόριθµος τερµατίζει αφού κατέληξε σε έγκυρη κωδική λέξη. 1 ο Βήµα: Για τον έλεγχο της ικανοποίησης µιας εξίσωσης ελέγχου ισοτιµίας υπολογίζεται η ποσότητα s i = c h T (2.3) όπου i = 1,...,m. Η ποσότητα s i ονοµάζεται σύνδροµο της εξίσωσης i και ισοδυναµεί µε όταν η εξίσωση ικανοποιείται και µε 1 όταν δεν ικανοποιείται. 2 ο Βήµα: Για κάθε bit c j υπολογίζεται το πλήθος των εξισώσεων ελέγχου ισοτιµίας που δεν ικανοποιούνται σύµφωνα µε τη σχέση: E j = i S j c s i (2.4) όπου j = 1,...,n. Το σύνολο S j c προσδιορίζει το σύνολο των εξισώσεων ελέγχου ισοτιµίας στις οποίες συµµετέχει το bit c j. 3 ο Βήµα: Εντοπίζεται το µέγιστο µεταξύ των ποσοτήτων E και ορίζεται ως κατώφλι δ σύµφωνα µε: δ = max (E j) (2.5) 1 j n Στην συνέχεια αντιστρέφονται αυτά τα bits για τα οποία η ποσότητα E j είναι µεγαλύτερη ή ίση από το κατώφλι δ. 4 ο Βήµα: Τέλος, ελέγχεται η εγκυρότητα της ενηµερωµένης κωδικής λέξης µε τη χρήση της 2.2. Εάν ο αλγόριθµος έχει καταλήξει σε έγκυρη κωδική λέξη ή εάν έχουν ολοκληρωθεί οι µέγιστες δυνατές επαναλήψεις, ο αλγόριθµος τερµατίζει. Σε αντίθετη περίπτωση συνεχίζεται η επαναληπτική διαδικασία από το 1 ο Βήµα Weighted-Bit-Flipping (WBF) Οι υπόλοιποι Bit-Flipping αλγόριθµοι κάνουν χρήση µερικής ή όλης της πληροφορίας που λαµβάνουν από το κανάλι και όχι µόνο του προσήµου. Ο Weighted-Bit-Flipping (WBF) ϐασίζεται στο γεγονός πως είναι πιο πιθανό για παράδειγµα να έχει µεταδοθεί το σύµβολο +1 εάν λάβουµε από το κανάλι την τιµή +1.7, παρά εάν λάβουµε την τιµή +.5. Παρακάτω αναλύονται τα ϐήµατα του αλγορίθµου. Αρχικοποίηση: Υπολογίζεται η εκτίµηση ĉ j από τον τύπο 2.1, όπως και στον BF αλγόριθµο. Προσδιορίζεται επίσης για κάθε εξίσωση ελέγχου

22 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 12 ισοτιµίας η ελάχιστη απόλυτη τιµή των συµβόλων που συµµετέχουν σε αυτές σύµφωνα µε την σχέση: y min-i = min y j S i j (2.6) v Το διάνυσµα y min ουσιαστικά µας δίνει το λιγότερο αξιόπιστο bit για κάθε εξίσωση. 1 ο Βήµα: Υπολογίζονται τα σύνδροµα από τον τύπο ο Βήµα: Προσδιορίζεται για κάθε bit c j η ποσότητα E j, E j = i S j c (2s i 1) y min-i (2.7) όπου j = 1,...,n και S j c είναι το σύνολο των εξισώσεων ελέγχου ισοτιµίας στις οποίες συµµετέχει το bit c j. Η ποσότητα (2s i 1) ισούται µε 1 όταν το σύνδροµο είναι και µε +1 όταν το σύνδροµο είναι 1 ενώ η ποσότητα y min-i προσδιορίζει ουσιαστικά την αξιοπιστία του συνδρόµου s i. Ετσι στην ποσότητα E j προστίθεται η αξιοπιστία του συνδρόµου της εξίσωσης που δεν ικανοποιείται και αφαιρείται η αξιοπιστία του συνδρόµου για το οποίο η εξίσωση ικανοποιείται. Εποµένως, όσο µικρότερη είναι η τιµή της ποσότητας E j, τόσο µικρότερη είναι η πιθανότητα το bit c j να είναι λανθασµένο. 3 ο Βήµα: Αντιστρέφονται τα bits για τα οποία η ποσότητα E j είναι µέγιστη και έτσι προκύπτει η ενηµερωµένη κωδική λέξη. 4 ο Βήµα: Ελέγχεται πάλι η εγκυρότητα της ενηµερωµένης λέξης σύµφωνα µε την 2.2 και αποφασίζει εάν ϑα συνεχίσει ή όχι την επαναληπτική διαδικασία Modified-Weighted-Bit-Flipping (MWBF) Ο αλγόριθµος WBF υπολογίζει την ποσότητα E j λαµβάνοντας πρακτικά υπόψη του για κάθε εξίσωση ελέγχου ισοτιµίας µόνο την τιµή του µικρότερου κατά απόλυτη τιµή συµβόλου από τα σύµβολα που συµµετέχουν σε αυτή. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα να µην λαµβάνεται απαραίτητα υπόψη η τιµή του εκάστοτε συµβόλου y j που χαρακτηρίζει τον ϐαθµό αξιοπιστίας του στον υπολογισµό της ποσότητα E j. Ο αλγόριθµος WBF αγνοώντας αυτή την πληροφορία έχει ένα κόστος στην απόδοση αποκωδικοποίησης. Αυτό το κόστος έρχεται να περιορίσει ο Modified-Weighted-Bit-Flipping (MWBF) αλγόριθµος ο οποίος στον υπολογισµό της ποσότητας E j περιλαµβάνει και την απόλυτη τιµή του ίδιου του συµβόλου. Εφόσον όσο µεγαλύτερη προσηµασµένη τιµή έχει η ποσότητα E j, τόσο πιο αναξιόπιστο είναι το αντίστοιχο σύµβολο, η απόλυτη τιµή του συµβόλου αφαιρείται από την E j, ώστε να µειωθεί η τιµή της E j περισσότερο για τα αξιόπιστα σύµβολα από ότι για τα λιγότερο αξιόπιστα.

23 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 13 Η µοναδική διαφορά ανάµεσα στους δύο αλγορίθµους είναι στον προσδιορισµό της ποσότητας E j στο 2 ο Βήµα και δίνεται από τον τύπο: E j = i S j c (2s i 1) y min-i α y j (2.8) όπου α είναι ένας ϑετικός πραγµατικός αριθµός. Η ϐέλτιση τιµή του α ϐρίσκεται πειραµατικά και εξαρτάται από τον κώδικα και από την ισχύ του προστιθέµενου λευκού ϑορύβου Reliability-Ratio-Weighted-Bit-Flipping (IERRWBF) Ο πειραµατικός προσδιορισµός του ϐέλτιστου συντελεστή α του αλγορίθµου MWBF για τις εκάστοτε συνθήκες µετάδοσης είναι ένα µεγάλο µειονέκτηµα για τον αλγόριθµο. Μια εναλλακτική προσέγγιση ακολουθεί ο Reliability-Ratio-Weighted-Bit-Flipping (IERRWBF) αλγόριθµος. Αρχικοποίηση: Υπολογίζεται η εκτίµηση ĉ j από τον τύπο 2.1. Σε αυτό το σηµείο προσδιορίζεται η ποσότητα: T i = j S i v y j (2.9) η οποία εκφράζει την αξιοπιστία του συνδρόµου s i λαµβάνοντας υπόψη την πληροφορία που παρέχει το κανάλι για όλα τα bits τα οποία συµµετέχουν στην εξίσωση ελέγχου ισοτιµίας i. 1 ο Βήµα: Υπολογίζονται τα σύνδροµα από τον τύπο ο Βήµα: Για κάθε bit c j υπολογίζεται η ποσότητα E j : E j = (2s i 1) T i y i S j j E j = 1 (2s i 1)T i (2.1) y j c Με αυτόν τον τρόπο, η συνεισφορά του κάθε συνδρόµου στον υπολογισµό της ποσότητας E j σταθµίζεται από έναν παράγοντα ο οποίος είναι ανάλογος της αξιοπιστίας του συνδρόµου και αντιστρόφως ανάλογος της αξιοπιστίας του συγκεκριµένου bit. 3 ο Βήµα: Αντιστρέφονται τα bits τα οποία έχουν την µέγιστη ποσότητα E j και προκύπτει η ενηµερωµένη κωδική λέξη. 4 ο Βήµα: Ελέγχεται η εγκυρότητα της κωδικής λέξης. i S j c Scaled-Reliability-Ratio-Weighted-Bit-Flipping (SIERRWBF) Ο Scaled-Reliability-Ratio-Weighted-Bit-Flipping (SIERRWBF) αλγόριθµος ακολουθεί τα ίδια ϐήµατα µε τον IERRWBF µε την διαφορά πως προστίθεται

24 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 14 στο 3 ο Βήµα της ενηµέρωσης της κωδικής λέξης και η ενηµέρωση της αξιοπιστίας των bits που αντιστράφηκαν. Αφού κάποια bits επιλέχθηκαν για να αλλάξουν τιµή, τότε είναι πιθανό αυτά τα bits να µην πρέπει να αλλάξουν πάλι τιµή και εποµένως η αξιοπιστία τους αυξάνεται. Ετσι για κάθε bit που έγινε flip εφαρµόζεται ο τύπος: y k = αy k (2.11) όπου k ανήκει στο σύνολο των bits που αντιστράφηκαν και α είναι ένας πραγµατικός ϑετικός αριθµός µεγαλύτερος του 1, η ϐέλτιστη τιµή του οποίου ϐρίσκεται πειραµατικά Σύγκριση BF αλγορίθµων Αρχικά συγκρίθηκαν όλοι οι Bit-Flipping αλγόριθµοι για τους κώδικες του προτύπου 82.11ac [9] για µήκη κώδικα 648, 1296 και 1944, για code rate 1 2, 2 3, 3 4 και 5, σε συνθήκες AWGN-BPSK και µε µέγιστο αριθµό επαναλήψεων 6 ίσο µε 1 και 5. Τα διαγράµµατα Bit-Error-Rate (BER), Packet-Error-Rate (PER) και Average Decoding Iterations (ADI) συναρτήσει του λόγου ενέργειας ενός bit προς την ϕασµατική πυκνότητα ισχύος ϑορύβου (E b /N ) για την περίπτωση µήκους 1944 και code rate 1 ϕαίνονται στα Σχήµατα Η 2 διαδικασία αποκωδικοποίησης εκτελείται µέχρις ότου το πλήθος των λαθών υπερβεί ένα όριο (1 3 ) ή το πλήθος των bits που έχουν αποσταλεί υπερβεί ένα όριο (1 8 ). εχόµαστε ότι τα αποτελέσµατα µας υπολογίζονται µε αξιοπιστία, όταν BER > 1 6.

25 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 15 Σχήµα 2.1: BER vs Eb/N για τους BF αλγορίθµους µε µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και µε µέγιστο αριθµό επαναλήψεων 5. Επίσης πραγµατοποιήθηκε µια σύγκριση της απόδοσης των BF αλγορίθµων µε ϐάση τον µέγιστο επιτρεπτό αριθµό επαναλήψεων. Τα διαγράµµατα BER και PER παρουσιάζονται στα Σχήµατα Λαµβάνοντας όλους τους κώδικες υπόψιν, συνάγεται το συµπέρασµα ότι ένα σηµαντικό κέρδος παρουσιάζεται για τον MWBF, IERRWBF και τον SIERRWBF, όταν ο µέγιστος αριθµός επαναλήψεων αποκωδικοποίησης αυξάνεται σε 5. Για τον αλγόριθµο WBF, παρουσιάζεται επίσης καλύτερη απόδοση για τις 5 επαναλήψεις εκτός από τους κώδικες µήκους 1296 µε code rate 5 6 και 648 µε code rate 3 όπου η απόδοση του αποκωδικοποιητή 4 είναι η ίδια. Αντιθέτως, ο αλγόριθµος BF δεν έδειξε ϐελτίωση στην απόδοση και εποµένως η αύξηση του µέγιστου αριθµού των επαναλήψεων ϕαίνεται να µην είναι χρήσιµη ιερεύνηση της επίδρασης της τιµής των συντελεστών Για τους αλγόριθµους που χρησιµοποιούν έναν συντελεστή, MWBF και SIERRWBF, διεξήχθη µια έρευνα για τον ϐέλτιστο συντελεστή. Προσοµοιώθηκαν πειράµατα για συντελεστές από έως 1. Τα αποτελέσµατα για τον αλγόριθµο MWBF έδειξαν ότι δεν υπάρχει καµία επίδραση στην απόδοση του αποκωδικοποιητή. Επιπλέον, δεν υπάρχει καµία διαφορά για τον µέσο αριθµό επαναλήψεων αποκωδικοποίησης όταν ο µέγιστος αριθµός

26 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 16 Σχήµα 2.2: PER vs Eb/N για τους BF αλγορίθµους µε µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και µε µέγιστο αριθµό επαναλήψεων 5. Σχήµα 2.3: ADI vs Eb/N για τους BF αλγορίθµους µε µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και µε µέγιστο αριθµό επαναλήψεων 5.

27 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 17 Σχήµα 2.4: Σύγκριση BER για µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και για µέγιστες επαναλήψεις 1 και 5 για τους BF αλγορίθµους. Σχήµα 2.5: Σύγκριση PER για µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και για µέγιστες επαναλήψεις 1 και 5 για τους BF αλγορίθµους.

28 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 18 επαναλήψεων έχει ϱυθµιστεί σε 1. Για τον κώδικα µήκους 648 µε code rate 3, ο συντελεστής 7 δείχνει ότι απαιτεί λιγότερους υπολογισµούς, ενώ για τον 4 κώδικα µήκους 648 µε code rate 5, ο συντελεστής 9 δείχνει τα καλύτερα 6 αποτελέσµατα. Αντίστοιχα, δεν υπάρχει καµία επίπτωση για τον αλγόριθµο SIERRWBF σχετικά µε την τιµή του συντελεστή. 2.2 Αλγόριθµοι Message-Passing Οι Bit-Flipping αλγόριθµοι όπως ϕαίνεται χαρακτηρίζονται από την µικρή υπολογιστική πολυπλοκότητα καθώς αποτελούν µια περισσότερο πρακτική παρά ϑεωρητική προσέγγιση του προβλήµατος αποκωδικοποίησης και ϐασίζονται σε hard αποφάσεις. Αντιθέτως, η κατηγορία των Message-Passing (MP) αλγορίθµων χαρακτηρίζεται από υψηλή πολυπλοκότητα και συνεπώς καλύτερη απόδοση αποκωδικοποίησης. Γενικά, η πιθανότητα του ενδεχοµένου C i να ικανοποιείται η εξίσωση του ελέγχου ισοτιµίας του check κόµβου i έχοντας ως δεδοµένα την τιµή του bit c j, ή 1, και τις πιθανότητες P ij των υπόλοιπων bits που συµµετέχουν στην εξίσωση ισοτιµίας i και τα οποία συγκροτούν το σύνολο S i v ( j), δίνεται από την σχέση: P r (C i c j, S i v( j)) = { 1 2 (1 j S i v ( j)(1 2P ij )), αν c j = (1+ j S i v ( j)(1 2P ij )), αν c j = (2.12) εδοµένου όµως ότι το κάθε bit δεν συµµετέχει σε µία µόνο εξίσωση ελέγχου ισοτιµίας αλλά συνολικά σε d j v, ϑα πρέπει η τιµή του c j να είναι τέτοια ώστε να ικανοποιούνται όλες αυτές οι εξισώσεις ελέγχου ισοτιµίας. Εποµένως η εκτίµηση της τιµής του κάθε bit ϑα πρέπει να λαµβάνει υπόψη της το σύνολο των εκτιµλησεων P r (C i c j, S i v ( j)), όπου i Sj c. Εποµένως, η πιθανότητα του ενδεχοµένου C j να ικανοποιούνται όλες οι εξισώσεις στις οποίες συµµετέχει το bit c j, µε δεδοµένες τις τιµές των υπολοίπων bits που συµµετέχουν σε αυτές {y}, δίνεται από τη σχέση: P r (C j c j,{y}, S j c ) = i S j c P r (C i c j, S i v ( j)) (2.13) όπου c j = ή 1. Με τις σχέσεις 2.12 και 2.13 µπορούµε να προσδιορίσουµε την πιθανότητα του ενδεχοµένου C j να ικανοποιούνται όλες οι εξισώσεις ελέγχου ισοτιµίας στις οποίες συµµετέχει το bit c j (S j c ), αν είναι γνωστή για όλα τα υπόλοιπα bits που συµµετέχουν σε αυτές η πιθανότητα P ij του ενδεχοµένου να είναι 1.

29 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 19 Η πιθανότητα του ενδεχοµένου να είναι κάποιο bit ή 1, σύµφωνα µε τον κανόνα του Bayes, δίνεται από τον τύπο: P r (c j C j,{y}, S j c ) = P r(c j )P Cj r(c j,{y}, S j c ) P r (C j ) (2.14) όπου η πιθανότητα P r (C i ) παίρνει κατάλληλη τιµή ώστε να εξασφαλίσει ότι το άθροισµα των πιθανοτήτων των συµπληρωµατικών ενδεχοµένων είναι 1. Από τις σχέσεις 2.12, 2.13 και 2.14 είναι δυνατό να υπολογίσουµε την πιθανότητα ενός bit να είναι ίση µε ή 1 δεδοµένου ότι ικανοποιούνται όλες οι εξισώσεις ελέγχου ισοτιµίας στις οποίες συµµετέχει και µε δεδοµένες τις αντίστοιχες πιθανότητες των υπολοίπων bits που συµµετέχουν σε αυτές. Ετσι γίνεται µια εκτίµηση για την τιµή του συγκεκριµένου bit, αφού η µεγαλύτερη εκ των δύο πιθανοτήτων προσδιορίζει και την τιµή του bit. Η πιθανότητα που µόλις προσδιορίστηκε δεν διαφέρει από τις πιθανότητες που χρησιµοποιεί η σχέση ιαπιστώνεται εποµένως πως οι πιθανότητες που υπολογίζονται µε τις παραπάνω σχέσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν σε µια νέα εκτέλεση της ίδιας διαδικασίας για τον επαναπροσδιορισµό των πιθανοτήτων αυτών. Προκύπτει µε τον τρόπο αυτό µια επαναληπτική διαδικασία η οποία µπορεί να περιγραφεί µε έναν επαναληπτικό αλγόριθµο. Αναφερόµενοι στο κύκλωµα αποκωδικοποίησης ϐάσει του διαγράµµατος Tanner, οι check κόµβοι αναλαµβάνουν να εκτελέσουν την σχέση 2.12, ενώ οι variable κόµβοι προσδιορίζουν τις πιθανότητες σύµφωνα µε τις σχέσεις 2.13 και Τα µηνύµατα που αποστέλλονται µεταξύ των επεξεργαστικών µονάδων είναι ουσιαστικά εκφράσεις πιθανοτήτων. Η επαναληπτική διαδικασία ανάγεται εποµένως σε µια διαδικασία ανταλλαγής µηνυµάτων και περιγράφεται από τους αλγορίθµους Message-Passing (ή Belief-Propagation). Τα µηνύµατα που ανταλλάσονται διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, στα R cv που στέλνονται από τους check κόµβους προς τους variable κόµβους, και στα Q vc που στέλνονται από τους variable κόµβους προς τους check κόµβους. Οι πιθανότητες που εµπλέκονται στις παραπάνω σχέσεις ϑα πρέπει να είναι ανεξάρτητες για να ισχύουν οι εξισώσεις. Για αυτό το λόγο ϑα πρέπει η εκτίµηση που κάνει ο check κόµβος για τον variable κόµβο να µην λαµβάνει υπόψη της την εκτίµηση του συγκεκριµένου variable κόµβο για τον συγκεκριµένο check κόµβο κατά το προηγούµενο στάδιο και το αντίστροφο. Οι αλγόριθµοι MP που ϑα εξετάσουµε αποτελούνται από: τον logsum-p roduct [1] [11], τον Min-Sum [12], τον Normalized-Min-Sum [13], τον Of f set-min-sum [14] και τον Corrected-Min-Sum [14].

30 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC Log-Sum-Product (logsp) Στον αλγόριθµο Log-Sum-Product (logsp) χρησιµοποιείται ο λογάριθµος του λόγου της πιθανότητας του ενδεχοµένου το bit i να είναι προς την πιθανότητα του ενδεχοµένου να είναι 1. Για την περίπτωση του AWGN καναλιού και της BPSK διαµόρφωσης έχει ϐρεθεί πως αυτός ο λόγος ισούται µε: 1 P i = e 2y i σn 2 (2.15) και εποµένως, P i ( 1 Pi ) log = 2y i P i σn 2 (2.16) όπου y i είναι η τιµή που λαµβάνεται για το αντίστοιχο σύµβολο και σ n είναι η τυπική απόκλιση της κανονικής κατανοµής του λευκού προσθετικού ϑορύβου. Ο ϕυσικός λογάριθµος του λόγου πιθανοτήτων αποκαλείται LLR (Log Likelihood Ratio). Αρχικοποίηση: Τα µηνύµατα που στέλνονται από τους variable κόµβους στους check κόµβους παίρνουν την τιµή του λόγου της 2.16: Q vc = 2y i σ 2 n (2.17) 1 ο Βήµα: Υπολογίζεται το µήνυµα R n cv που στέλνει ο check κόµβος στον variable κόµβο κατά την n ιοστή επανάληψη του αλγορίθµου: R n = Φ( cv Φ(Q n-1 )) v sign(q n-1 ) c v (2.18) c v S c v ( v) v S c v ( v) όπου µε S c v ( v) συµβολίζεται το σύνολο των variable κόµβων, εκτός του v, µε τους οποίους συνδέεται ο check κόµβος c. Με Φ συµβολίζεται η συνάρτηση: Φ(x) = log 1 e x ( x )) 1+e x (tanh = log (2.19) 2 2 ο Βήµα: Σε αυτό το στάδιο ενηµερώνονται οι variable κόµβοι υπολογίζοντας το µήνυµα το οποίο στέλνει ο variable κόµβος v στον check κόµβο c κατά την n ιοστή επανάληψη του αλγορίθµου: Q n vc = v (2.2) c S v c ( c) R n c όπου µε S v c ( c) συµβολίζεται το σύνολο των check κόµβων, εκτός του c, µε τους οποίους συνδέεται ο variable κόµβος v.

31 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 21 3 ο Βήµα: Για κάθε bit γίνεται µια συνολική εκτίµηση από τον αντίστοιχο variable κόµβο σύµφωνα µε την σχέση: Q c = c S v c όπου λαµβάνονται υπόψη όλα τα µηνύµατα τα οποία λαµβάνει ο variable κόµβος. Στην συνέχεια εκτιµάται η τιµή του αντίστοιχου bit µε ϐάση την hard απόφαση: {, αν Q ĉ = c (2.22) 1, αν Q c < Σε περίπτωση που η κωδική λέξη που προέκυψε είναι έγκυρη ή το πλήθος των επαναλήψεων έφτασε στο προκαθορισµένο όριό του, τότε ο αλγόριθµος τερµατίζει. ιαφορετικά η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζει από το 1 ο Βήµα. R n c v (2.21) Min-Sum (MS) Η συνάρτηση Φ που χρησιµοποιείται από τον αλγόριθµο logsp είναι γνησίως ϕθίνουσα και για µικρές τιµές του ορίσµατος εισόδου της, παίρνει µεγάλες τιµές, ενώ για µεγαλύτερες εισόδους παίρνει πολύ µικρότερες τιµές. Λόγω αυτής της ιδιότητα, στο άθροισµα v S c( v)φ(q v v c ) της σχέσης 2.18 κυριαρχεί το µικρότερο από τα µηνύµατα Q v c. Εποµένως το άθροισµα προσεγγίζεται από τον µικρότερο όρο: Φ(Q v c ) min v S c v ( v) v S c v ( v) ( ) Φ(Q v c ) (2.23) Με δεδοµένο ότι Φ 1 (x) = Φ(x), προκύπτει: ( ) Φ Φ(Q n-1 ) min v c v S c( v)( Q v v c ) (2.24) v S c v ( v) Με αυτήν την τροποποίηση επιτυγχάνεται µια προσέγγιση του υπολογισµού της Φ συνάρτησης. Ετσι, στο 1 ο Βήµα οι check κόµβοι ενηµερώνονται σύµφωνα µε: R n cv = min v S c( v)( Q v v ) c sign(q n-1 v c v S c v ( v) (2.25) Τα υπόλοιπα ϐήµατα του αλγορίθµου παραµένουν ίδια µε αυτά του logsp. Γίνεται προφανές πως ο Min-Sum αλγόριθµος απαιτεί λιγότερους υπολογισµούς σε σχέση µε τον ϐέλτιστο logsp ο οποίος κάνει χρήση του αρκετά πολύπλοκου λογαρίθµου.

32 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC Normalized-Min-Sum (NMS) Η προσέγγιση της 2.23 µπορεί να εκφραστεί και ως ανισότητα: ( ) Φ(Q v c ) > min v S c v ( v) Φ(Q v c ) v S c v ( v) ) ( )) < Φ (min 1 S v cv( v) ( Φ Φ(Q v c ) v S c v ( v) ( Φ v S c v( v) Φ(Q v c ) ) Φ(Q v c ) < min v S c v ( v) ( Q v ) c (2.26) Για να εξισώσουµε τα δύο µέλη της ανίσωσης ϑα πρέπει να πολλαπλασιάσουµε τον δεύτερο όρο µε έναν συντελεστή µικρότερο της µονάδας. Εποµένως, ( ) Φ Φ(Q v c ) = α min v S c( v)( Q v v ) c v S c v ( ( v) ) (2.27) Φ Φ(Q v c ) = min S v cv( v) (α Q v c ) όπου < α < 1. Εποµένως, το 1 ο µετατρέπεται σε: v S c v( v) Βήµα του αλγορίθµου Normalized-Min-Sum (NMS) R n cv = min v S c v ( v)(α Q v c ) v S c v( v) sign(q n-1 v c ) (2.28) και τα υπόλοιπα ϐήµατα παραµένουν ίδια. Μετά από πειράµατα έχει ϐρεθεί πως η απόδοση του αλγορίθµου ϐελτιστοποιείται για έναν συντελεστή τιµής Offset-Min-Sum (OMS) Παρόµοια λειτουργία µε τον NMS έχει και ο Offset-Min-Sum (OMS). Αντί να πολλαπλασιάζεται όµως µια ποσότητα µε έναν συντελεστή, γίνεται χρήση της αφαίρεσης µε σκοπό να µείωθεί η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου. Ετσι το 1 ο Βήµα του αλγορίθµου περιγράφεται από: ( ) R n = cv min v S c v ( v) ( Q v ) α c v S c v ( v) sign(q n-1 v c ) (2.29) όπου ο συντελεστής α είναι ϑετικός αριθµός. Σε περίπτωση που η ποσότητα min v S c v ( v) ( Q v c ) α γίνει αρνητική, τότε αντικαθιστάται από.

33 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC Corrected-Min-Sum (CMS) Η προσέγγιση που προσπαθεί να πετύχει ο MS αλγόριθµος έχει σφάλµα το οποίο εξαρτάται από όλα τα εισερχόµενα µηνύµατα στον κόµβο. Εποµένως, οι τιµές των συντελεστών που χρησιµοποιούν οι αλγόριθµοι NMS και OMS δεν είναι πάντα εύστοχες καθώς είναι σταθερές και δεν λαµβάνουν υπόψη τις τιµές όλων των εισερχόµενων µηνυµάτων στον check κόµβο. Αντίθετα ο αλγόριθµος Corrected-Min-Sum (CMS) υπολογίζει κάθε ϕορά έναν συντελεστή ο οποίος λαµβάνει υπόψη του µε ένα προτεινόµενο τρόπο τις τιµές όλων των εισερχόµενων µηνυµάτων και όχι µόνο το µικρότερο κατά απόλυτη τιµή. Με αυτόν τον τρόπο σε κάθε επανάληψη και για κάθε εισερχόµενο µήνυµα, υπολογίζεται ένας συντελεστής α ο οποίος και προστίθεται στην έξοδο του check κόµβου Σύγκριση MP αλγορίθµων Στην συνέχεια πραγµατοποιήθηκε ανάλογη µελέτη για τους Message-Passing αλγορίθµους όπως έγινε και για τους BF. Τα αποτελέσµατα για µήκος κώδικα 1944, code rate 1/2 και 5 µέγιστες επαναλήψεις ϕαίνονται στα Σχήµατα Οι αλγόριθµοι που χρησιµοποιήθηκαν είναι οι: log Sum Product (log SP), Min Sum (MS), Normalized Min Sum (NMS) µε normalization factor=.75, Offset Min Sum (OMS) µε offset factor= 1 και Corrected Min Sum (CMS) µε correction factor= 1. Οπως επισηµαίνεται, ο αλγόριθµος log Sum Product υπερτερεί σε σχέση µε τις προσεγγίσεις του, Min Sum και Modified Min Sum (Normalized Min Sum, Offset Min Sum και Corrected Min Sum). Σε ορισµένες περιπτώσεις, η αποτελεσµατικότητα του MS και του MMS είναι µεγαλύτερη σε σχέση µε αυτή του log SP στα 3 4 db και έπειτα, ως αποτέλεσµα του ότι ο log SP χρησιµοποιεί την συνάρτηση Phi που δεν έχει την απαιτούµενη ακρίβεια, σύµφωνα µε προηγούµενες έρευνες [15]. Ως εκ τούτου, ο log SP γίνεται λιγότερος αποτελεσµατικός συγκριτικά µε απλούστερες προσεγγίσεις του. Επιπλέον, οι Modified Min Sum παρουσιάζουν καλύτερη απόδοση από τον Min Sum δεδοµένου ότι απαιτούνται περισσότεροι υπολογισµοί. Η σειρά της απόδοσης αποκωδικοποίησης των Modified Min Sum εξαρτάται από την επιλογή των συντελεστών. Τα τελικά αποτελέσµατα αποδεικνύουν πως καθώς αυξάνει η πολυπλοκότητα, το κέρδος αποκωδικοποίησης αυξάνει επίσης. Από την ανάλυση αυτή συµπεραίνουµε και πάλι ότι υπάρχει ένα trade-off µεταξύ της πολυπλοκότητας και της απόδοσης αποκωδικοποίησης.

34 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 24 Σχήµα 2.6: BER vs Eb/N για τους MP αλγορίθµους µε µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και µε µέγιστο αριθµό επαναλήψεων 5. Σχήµα 2.7: PER vs Eb/N για τους MP αλγορίθµους µε µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και µε µέγιστο αριθµό επαναλήψεων 5.

35 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 25 Σχήµα 2.8: ADI vs Eb/N για τους MP αλγορίθµους µε µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και µε µέγιστο αριθµό επαναλήψεων 5. Σχήµα 2.9: Σύγκριση BER για µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και για µέγιστες επαναλήψεις 1 και 5 για τους MP αλγορίθµους.

36 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 26 Σχήµα 2.1: Σύγκριση PER για µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 1/2 και για µέγιστες επαναλήψεις 1 και 5 για τους MP αλγορίθµους ιερεύνηση της επίδρασης της τιµής των συντελεστών Λόγω του γεγονότος ότι ο NMS και ο OMS παρουσιάζουν καλύτερη απόδοση απ ότι ο CMS, ανεξάρτητα της µεγαλύτερης πολυπλοκότητας του CMS, πραγµατοποιήθηκε µια έρευνα για τους ϐέλτιστους συντελεστές για τους CMS, NMS, και OMS. Τα πειράµατα που εκτελέστηκαν συµπεριέλαβαν συντελεστές από,1 έως,9 µε ϐήµα,1 για κάθε κώδικα και για µέγιστες επαναλήψεις αποκωδικοποίησης 1 και 5. Η σύγκριση των αποτελεσµάτων δείχνει ότι ο ϐέλτιστος συντελεστής για τον CMS για µήκος κωδικής λέξης ίσο µε 648 είναι,4 ενώ για κωδική λέξη µήκους 1296 και 1944 είναι, 5. Επιπλέον, όσο αυξάνεται το code rate, η διαφορά απόδοσης µεταξύ των συντελεστών µειώνεται. Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο OMS, ο ϐέλτιστος συντελεστής για µήκος 648 είναι,5, ενώ για 1296 και 1944 είναι,6. Οσον αφορά τον OMS, η µείωση της διαφοράς για τους διάφορους συντελεστές είναι πιο έντονη όσο αυξάνεται το code rate. Από την άλλη πλευρά, τα αποτελέσµατα του αλγορίθµου NMS δέιχνουν πως για κάθε code rate η καλύτερη απόδοση αποκωδικοποίηση λαµβάνει χώρα µε συντελεστή µεταξύ, 7 και, 9. Ειδικά για κωδική λέξη µήκους 648 και 1296 ο ϐέλτιστος συντελεστής είναι,75, ενώ για την κωδική λέξη µήκους 1944 ο ϐέλτιστος συντελεστής είναι, 8. Οι προτάσεις για τις τιµές των ϐέλτιστων συντελεστών καταλήγουν στον Πίνακα 2.1.

37 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 27 Πίνακας 2.1: Τιµές ϐέλτιστων συντελεστών για τους MP αλγορίθµους. Μήκος κώδικα NMS,75,75,8 OMS,5,6,6 CMS,4,5, Επίδραση του scaling της εισόδου του αποκωδικοποιητή Συχνά σε πρακτικές υλοποιήσεις απαιτείται να γίνει scaling στην είσοδο του αποκωδικοποιητή. Γι αυτό το λόγο τα LLRs πολλαπλασιάστηκαν µε ένα συντελεστή 1 και εισήχθησαν εντός του αποκωδικοποιητή, µε στόχο τον 4 περαιτέρω χαρακτηρισµό των αλγορίθµων. Ενα παράδειγµα σύγκρισης µεταξύ reliable και scaled MP αλγορίθµων ϕαίνεται στα Σχήµατα Αυτό το scaling ϑα µπορούσε να µειώσει την πολυπλοκότητα του όλου συστήµατος µε κόστος την µειωµένη απόδοση αποκωδικοποίησης σε κάποιους αλγορίθµους. Μετά το scaling, η σειρά της επίδοσης αλλάζει σε: NMS, που ακολουθείται από τον MS, και τέλος ο OMS ή ο log SP. Ενα ενδιαφέρον συµπέρασµα είναι ότι ο log SP αποδίδει καλύτερα από τον OMS σε code rate 1 2 ή 2, ανεξαρτήτως του µήκους της κωδικής λέξης, 3 ενώ ο OMS είναι καλύτερος σε code rate 3 4 και 5 6. Προκύπτει ότι οι MS και NMS αλγόριθµοι έχουν την ίδια απόδοση άσχετα µε την εφαρµογή του scaling των LLRs. Αυτό δείχνει ότι η πολυπλοκότητα µπορεί να µειωθεί και ταυτόχρονα η αποτελεσµατικότητα αποκωδικοποίησης ϑα παραµείνει στο ίδιο επίπεδο. Ωστόσο, οι log SP και OMS αλγόριθµοι υποφέρουν από µια σηµαντική µείωση των επιδόσεων. Αυτό συµβαίνει επειδή λαµβάνουν υπόψη την απόλυτη τιµή των LLRs και κατά συνέπεια, τα αποτελέσµατα διαφέρουν σηµαντικά από τα αποτελέσµατα µε χρήση scaling, όπου τα LLRs πολλαπλασιάζονται µε 1. Αντιθέτως, οι MS και NMS αλγόριθµοι 4 ϐασίζονται στη ταξινόµηση των τιµών των LLRs, µια διαδικασία η οποία δεν επηρεάζεται από το scaling. Εποµένως, τα scaling LLRs δεν έχουν καµία επίπτωση στην έξοδο του αποκωδικοποιητή, δεδοµένου ότι τελικά πραγµατοποιείται η ίδια ταξινόµηση των LLRs.

38 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 28 Σχήµα 2.11: Σύγκριση BER για µήκος κώδικα 648, ϱυθµό 5/6 και για µέγιστες επαναλήψεις 5 µεταξύ reliable και scaled MP αλγορίθµων. Σχήµα 2.12: Σύγκριση PER για µήκος κώδικα 648, ϱυθµό 5/6 και για µέγιστες επαναλήψεις 5 µεταξύ reliable και scaled MP αλγορίθµων.

39 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 29 Σχήµα 2.13: Σύγκριση ADI για µήκος κώδικα 648, ϱυθµό 5/6 και για µέγιστες επαναλήψεις 5 µεταξύ reliable και scaled MP αλγορίθµων.

40 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 3 Σχήµα 2.14: Σύγκριση BER για µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 2/3 και για µέγιστες επαναλήψεις 5 για όλους τους αλγορίθµους αποκωδικοποίησης. 2.3 Σύγκριση Αλγορίθµων Αποκωδικοποίησης σε συνθήκες BPSK/AWGN Στη συνέχεια πραγµατοποιήθηκε µια σύγκριση όλων των LDPC αλγορίθµων αποκωδικοποίησης µε σκοπό την εύρεση του ϐέλτιστου αλγορίθµου µέσω εξοµοιώσεων σε δεδοµένες συνθήκες µετάδοσης, BPSK/AWGN, για κάθε code length και κάθε code rate, καθώς και για 1 και 5 επαναλήψεις. Ενα παράδειγµα σύγκρισης για τον κώδικα µήκους 1944 µε code rate 2/3 ϕαίνεται στα Σχήµατα Τα αποτελέσµατα παρουσιάζουν ένα σαφές trade-off µεταξύ πολυπλοκότητας και απόδοσης και η επιλογή του κατάλληλου αλγορίθµου αποκωδικοποίησης ϑα πρέπει να ϐασίζεται στις προδιαγραφές και τους πόρους της κάθε περίπτωσης. Η σειρά επίδοσης των αλγορίθµων είναι η αναµενόµενη, µε αυτούς µε την µεγαλύτερη πολυπλοκότητα να εκτελούν πιο αποδοτική αποκωδικοποιήση, τόσο σε επίπεδο BER/PER, όσο και σε επίπεδο µέσων αριθµών επανάληψης. Ο log SP σε κάθε περίπτωση είναι ο πιο αποδοτικός αλλά ο NMS ϕαίνεται να τον προσεγγίζει ικανοποιητικά µε αποτέλεσµα να αποτελεί την ϐέλτιστη εναλλακτική λόγω της χαµηλότερης πολυπλοκότητας. Ακόµη, καθώς αυξάνεται το code rate, για κάθε µήκος κώδικα, µειώνεται και η διαφορά στην απόδοση µεταξύ των BF και των MP.

41 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 31 Σχήµα 2.15: Σύγκριση PER για µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 2/3 και για µέγιστες επαναλήψεις 5 για όλους τους αλγορίθµους αποκωδικοποίησης. Σχήµα 2.16: Σύγκριση ADI για µήκος κώδικα 1944, ϱυθµό 2/3 και για µέγιστες επαναλήψεις 5 για όλους τους αλγορίθµους αποκωδικοποίησης.

42 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC Σύγκριση Αλγορίθµων Αποκωδικοποίησης για το πρότυπο IEEE 82.11ah Στα πλαίσια της πρακτικής άσκησης, χρησιµοποιήθηκε ένα µοντέλου του προτύπου IEEE 82.11ah το οποίο µοντελοποιεί ένα πραγµατικό σύστηµα ψηφιακής µετάδοσης πληροφορίας. Το ενδιαφέρον επικεντρώθηκε στο κοµµάτι της αποκωδικοποίησης µε σκοπό την σύγκριση των LDPC αλγορίθµων αποκωδικοποίησης για το συγκεκριµένο πρότυπο. Το µοντέλο του προτύπου υποστηρίζει διάφορες συνθήκες µετάδοσης, όπως διαµόρφωση: BPSK, QPSK, QAM-16 και QAM-64 (MCS=[:3] αντίστοιχα), Guard Interval: και 1 (GI=[:1] αντίστοιχα), είδος καναλιού µετάδοσης που εξοµοιώνεται: AWGN και Channel A-Channel F (Channel=[:6] αντίστοιχα). Ανάλογα µε το µέγεθος του πακέτου και τις υπόλοιπες παραµέτρους (MCS, GI και ϑόρυβο) επιλέγεται από το πρότυπο ο κώδικας LDPC. Εγιναν πειράµατα για όλα τα 49 πιθανά σενάρια καθώς ένας συνδυασµός MCS-GI από τους 8 συνολικά δεν είναι έγκυρος (MCS: - GI: 1). Σηµείο ενδιαφέροντος αποτελεί το PER = 1 1, οπότε τα πειράµατα τερµατίζονται όταν ϐρεθούν 1 λάθη ή το PER ξεπεράσει την τιµή 1 2. Το πρότυπο υποστηρίζει µεταξύ άλλων και τις διαδικασίες του shortening καθώς και του puncturing. Shortening είναι µια διαδικασία επεξεργασίας σύµφωνα µε την οποία επιτυγχάνονται προσαρµόσιµα code lengths και code rates. Με την µείωση του code rate είναι δυνατή η αύξηση της απόδοσης της αποκωδικοποίησης χωρίς την αλλαγή κώδικα. Ετσι, αντί να µεταδοθούν Κ info bits, µεταδίδονται K S, όπου S είναι το πλήθος των shortened bits τα οποία αντικαθιστούνται µε µηδενικά προτού γίνει η κωδικοποίηση. Λόγω του ότι ο κώδικας είναι συστηµατικός, τα αντίχτοιχα bits της προκύπτουσας κωδικής λέξης είναι επίσης µηδενικά. Τα µηδενικά αυτά όµως δεν τα µεταδίδονται, και επειδή η διαδικασία αυτή γνωστοποιείται και στον δέκτη (decoder), αυτός µε την σειρά του αξιοποιεί αυτή την πληροφορία για να κάνει αποδοτικότερη αποκωδικοποίηση ϑέτοντας + στα αντίστοιχα LLRs. Κατά την διαδικάσια του puncturing δεν µεταδίδονται µερικά από τα parity bits, χωρίς να είναι γνωστή η τιµή τους. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται αύξηση του πραγµατικού ϱυθµού του κώδικα, αφού τελικά χρησιµοποιούνται λιγότερα parity bits για τα ίδια info bits (code rate = (info bits)/(info bits + parity bits). Ο decoder δεν λαµβάνει καµία πληροφορία για αυτά τα punctured (συνήθως parity) bits. Ετσι λοιπόν αρχικοποιούνται τα αντίχτοιχα LLRs σε τιµή κατάλληλη που να µην παρέχει καµία εκ των προτέρων πληροφορία για την τιµή των αντίστοιχων bits της κωδικής λέξης, δηλαδή σε.

43 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ LDPC 33 Για την περίπτωση BPSK/AWGN (MCS:/Channel:) τα διαγράµµατα συναρτήσει του SNR ϕαίνονται στα Σχήµατα Για όλους τους αλγορίθµους χρησιµοποιήθηκαν µέχρι 1 επαναλήψεις και τα πειράµατα πραγµατοποιήθηκαν για 3 Monte Carlo επαναλήψεις για κάθε στάθµη ϑορύβου. Από τα αποτελέσµατα ϕαίνεται πως οι BF αλγόριθµοι παρουσιάζουν απόδοση κοντά στην uncoded περίπτωση. Με σκοπό να ϐελτιωθεί η απόδοση των αλγορίθµων, αυξήθηκαν οι επαναλήψεις των BF µέχρι και 2 µε δεδοµένο πως οι BF αλγόριθµοι χρειάζονται γενικώς περισσότερες επαναλήψεις απ ότι οι MP. Η κακή απόδοση των αλγορίθµων όµως παρέµεινε. Μελετώντας την συµπεριφορά των Bit-Flipping αλγορίθµων ϕαίνεται πως αυτή η κατηγορία αλγορίθµων δεν έχει την δυνατότητα να αποκωδικοποιήσει ικανοποιητικά όταν έχει εφαρµοστεί puncturing στα δεδοµένα και τα LLRs έχουν πάρει µηδενική τιµή. Οι αλγόριθµοι δέχονται στην είσοδο τους τα LLRs µιας κωδικής λέξης και στην συνέχεια πρέπει να πάρουν µια hard απόφαση ανάλογα µε το πρόσηµο αυτών των LLRs. Με δεδοµένο πως τα punctured bits έχουν LLR ίσο µε, η hard απόφαση ϑα πρέπει να είναι µια αυθαίρετη τιµή για αυτά τα bits, ή ή 1, εάν δεν εφαρµοστεί κάποια προ-επεξεργασία. Εαν δώσουµε σε αυτές τις αποφάσεις την τιµή, τότε έχουµε τα αποτελέσµατα που ϕαίνονται στα Σχήµατα Μετά από ανάλυση των πειραµάτων, προκύπτει πως οι BF, WBF και MWBF αλγόριθµοι κάνουν flip τα bits τα οποία δεν είναι punctured, ενώ οι IERRBF και SIERRBF κάνουν flip µόνο τα punctured bits. Γι αυτούς τους λόγους, η σύγκριση των αλγορίθµων για τις επόµενες συνθήκες µετάδοσης για το πρότυπο συνεχίστηκε µε τους MP αλγορίθµους και µία ϐελτιωµένη εκδοχή των BF αλγορίθµων, η οποία αναλύεται στο Κεφάλαιο 3.1. Ωστόσο, οι MP αλγόριθµοι παρουσιάζουν αρκετά καλύτερη απόδοση σε σχέση µε τους µη-ϐελτιωµένους BF και αυτή η διαφορά στην ικανότητα αποκωδικοποίησης δεν αντισταθµίζεται από την χαµηλή πολυπλοκότητα των BF αλγορίθµων. Το Κεφάλαιο 3 παρουσιάζει κάποιες προσεγγίσεις για ϐελτίωση της απόδοση των BF αλγορίθµων. Ενα παράδειγµα αποτελεσµάτων για διαµόρφωση 16-QAM µε code rate 1/2 και για Channel A ϕαίνεται στα Σχήµατα Η uncoded περίπτωση που παρουσιάζεται ισοδυναµεί µε την hard απόφαση των LLRs, τα οποία όµως έχουν υποστεί διάφορες µορφές επεξεργασίας από το πρότυπο µετάδοσης. Εποµένως, η uncoded κατάσταση δεν αντιστοιχεί σε πλήρως αξιόπιστη µέτρηση. Γενικώς, όταν έχει προστεθεί πολύς ϑόρυβος στο σήµα που µεταδίδεται, δηλαδή σε µικρά SNR, τότε οι πιθανότητες να ϐελτιώσει αρκετά την αποκωδικοποίηση του σήµατος ένας Message-Passing αποκωδικοποιητής σε σχέση µε έναν Bit-Flipping είναι µεγάλη. Οµως, σε αυτήν την περίπτωση,