Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου"

Transcript

1 Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου Ξενοφών Φανουρίου Γεωλόγος-Ωκεανογράφος 17 Σεπτεμβρίου 2015 Περίληψη Ο υπολογισμός του μεγέθους της γης αλλά και των άλλων σταθερών της, απασχόλησε από τα αρχαία χρόνια τον άνθρωπο. Στα πλαίσια του μαθήματος της γεωγραφίας, προσπαθήσαμε να δώσουμε απαντήσεις στα βασικά αυτά ερωτήματα, χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά και τη φυσική που διδάσκονται στο γυμνάσιο και τα αποτελέσματα ήταν θετικά. Υπολογίστηκε με ακρίβεια η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης, το γεωγραφικό πλάτος της Κω, η ακτίνα της γης, η ταχύτητα περιστροφής της στον ισημερινό αλλά και στο ύψος της Κω. Τέλος υπολογίσαμε την μέγιστη λόξωση της ελλειπτικής που είναι υπεύθυνη για τις εναλλαγές των εποχών και τη διαφορετική διάρκεια της ημέρας καθ όλο το έτος. 1

2 Περιεχόμενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Υπολογισμός της ακτίνας της Γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη Συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου για τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης παρακάμπτοντας τους χρονικούς περιορισμούς της μεθόδου του Ερατοσθένη Μέτρηση της ακτίνας της Γης χρησιμοποιώντας άμεσα ή έμμεσα GPS Πρώτος τρόπος: Μέτρηση με GPS μέσω του μεσημβρινού Δεύτερος τρόπος: Μέτρηση της ακτίνας της Γης μέσω του παραλλήλου Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης 13 4 Υπολογισμός λόξωσης της ελλειπτικής 13 Κατάλογος πινάκων 1 Μετρήσεις μεταξύ Δικαιων και Κω Μετρήσεις μεταξύ Καρπάθου και Κω Μετρήσεις μεταξύ Τυχερού και Κω Χρονολόγιο διαφόρων μετρήσεων της ακτίνας της Γης Κατάλογος σχημάτων 1 Μέτρηση μήκους σκιάς γνώμονα στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω Λειτουργία γνώμονα Υπολογισμός γωνίας α Υπολογισμός γωνίας α για δύο περιοχές Η αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω από το Google Earth Υπολογισμός της ακτίνας της Γης

3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τελευταία, όλο και περισσότερο γίνεται αποδεκτό ότι οι επιμέρους επιστημονικοί κλάδοι στο σχολείο δεν θα πρέπει να ακολουθούν το γνωστό μοναχικό και ανιαρό δρόμο, αλλά θα πρέπει να αναζητούν διαρκώς νέες μεθόδους που οδηγούν σε μια σφαιρική και διεπιστημονική παρουσίαση και επίλυση των επιμέρους ερωτημάτων. Είναι φανερό ότι από παιδαγωγική άποψη, η διεπιστημονικότητα είναι σημαντική, διότι αποσκοπεί στη σφαιρική καλλιέργεια των μαθητών, προσελκύοντας το ενδιαφέρον και αναδεικνύοντας τις δεξιότητες και τις ικανότητες τους. Όλα αυτά τα οφέλη πιστεύω ότι απεκόμισαν οι μαθητές των δυο γυμνασίων της Κω, κατά την αντιμετώπιση της άσκησης που σκοπό είχε τον υπολογισμό της απόστασης της πόλης της Κω από το κέντρο της γης. Το ερώτημα αυτό αφού απαντήθηκε, δημιούργησε νέα υποερωτήματα που αφορούν τον υπολογισμό της ταχύτητας περιστροφής της, της κλίσης του άξονα κατά τις διαφορετικές εποχές κ.α. Όλα αυτά τα ερωτήματα που έρχονται από το παρελθόν και τα οποία απασχόλησαν πολλούς επιφανείς της αρχαιότητας, απαντήθηκαν στο σχολείο μας με βάση τις γνώσεις που παρέχονται από τη διδακτέα ύλη των μαθηματικών και της φυσικής των γυμνασίων καθώς και από τις δυνατότητες που παρέχει σήμερα, η πρόσβαση στις νέες τεχνολογίες και τη διαδικτυακή πληροφόρηση. Στις μετρήσεις και υπολογισμούς συμμετείχε η πλειοψηφία των μαθητών, έτσι ώστε ο καθένας να γίνεται μέτοχος της γνώσης και να αισθανθεί τη χαρά της δημιουργίας που δίνει η απάντηση σε ερωτήματα που απασχολούσαν από παλιά τον σκεπτόμενο άνθρωπο. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η εργασία που παρουσιάζεται παρακάτω εξελίχτηκε κατά την διάρκεια των τελευταίων τεσσάρων ετών και τμήμα της το 2012 απέσπασε έπαινο σε διαγωνισμό υπό την αιγίδα του υπουργείου παιδείας. 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Στα πλαίσια του μαθήματος της γεωγραφίας μια από τις συχνότερες ερωτήσεις που θέτουν οι μαθητές, αφορά το μέγεθος της γης. Η αναζήτηση μεθόδων υπολογισμού της ακτίνας, με μέσα και τρόπους που μπορούν να χειριστούν οι μαθητές καθιερώθηκαν τα τελευταία χρόνια ως άσκηση στην αυλή του σχολείου (εικόνα 1). Παρουσιάζουμε έτσι 4 διαφορετικές μεθόδους υπολογισμού της ακτίνας της γης και 3 παραλλαγές: 1. Την κλασική μέθοδο του Ερατοσθένη. 2. Κατόπιν πρότασης μας και με την εξασφάλιση της συνεργασίας τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου (1ο Γυμνασιο Κω, Ν. Δωδεκανήσου, Λυκειο Δικαιων, Ν. Εβρου, Γυμνασιο Τυχερου, N. Εβρου, Γυμνασιο Πηγαδίων Καρπαθου, Ν. Δωδεκανήσου) εφαρμόσαμε μια παραλλαγή της αρχικής μεθόδου του Ερατοσθένη, που μας επέτρεψε την παράκαμψη των χρονικών και τοπικών περιορισμών της. 3. Με την χρήση άμεσα η έμμεσα GPS και χρησιμοποιώντας δυο στίγματα γνωστής απόστασης επί του μεσημβρινού και του παραλλήλου αντίστοιχα, υπολογίσαμε 2

4 Σχήμα 1: Μέτρηση μήκους σκιάς γνώμονα στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω την ακτίνα της γης. 4. Υπολογισμός της ακτίνας της γης μέσω του παραλλήλου. Ας δούμε συνοπτικά τους προαναφερόμενους τρόπους υπολογισμού. 2.1 Υπολογισμός της ακτίνας της Γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη Η εφαρμογή της μεθόδου του Ερατοσθένη έγινε στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω (Εικόνες 1, 2) χρησιμοποιώντας μια ράβδο μήκους ενός μέτρου (1 m) που λειτούργησε ως γνώμονας και ακολουθήθηκε η παρακάτω διαδικασία. Σχήμα 2: Λειτουργία γνώμονα 3

5 Η ημερομηνία μέτρησης, έπρεπε να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στις ισημερίες και στην δική μας περίπτωση στη φθινοπωρινή ισημερία στις 23 Σεπτεμβρίου. Κατά την ισημερία, ο ήλιος βρίσκεται στο σημείο τομής της εκλειπτικής (επίπεδο της φαινομενικής τροχιάς του ήλιου) και του ουράνιου ισημερινού (προέκταση του επιπέδου του γήινου ισημερινού). Πρακτικά κατά τις ισημερίες ο ήλιος περνά από το επίπεδο του γήινου ισημερινού δηλαδή οι ακτίνες του είναι κάθετες στον άξονα της γης στο σημείο αυτό. Έχουμε λοιπόν, ένα σημείο αναφοράς που είναι ο ισημερινός, αντίστοιχο του πηγαδιού του Ασουάν που χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης. Με αυτή την επιλογή εξασφαλίζεται το ότι η γωνία κορυφής α του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζει ο γνώμονας με τη σκιά του, στο σχολείο μας να είναι ίση με την επίκεντρο γωνία της γης α, που βλέπει το τόξο Κως-Ισημερινός. Η μέτρηση της σκιάς της ράβδου έγινε κατά μήκος του μεσημβρινού που περνά από την αυλή του 2ου γυμνασίου Κω. Υπήρχαν τρεις δυνατότητες για τον προσδιορισμό της διεύθυνσης του μεσημβρινού: 1. Να θεωρήσουμε ότι η κατεύθυνση της μαγνητικής πυξίδας (μαγνητικός βορράς) συμπίπτει σε γενικές γραμμές με τον γεωγραφικό βορρά 2. Να βρούμε την κατεύθυνση του μεσημβρινού στο σχολείο μας από το Google Earth διάμεσου της εφαρμογής του πλέγματος. 3. Να υπολογίσουμε την κατεύθυνση του μεσημβρινού φέρνοντας την διχοτόμο στην γωνία που σχηματίζουν δυο ισομήκεις σκιές του γνώμονα, την ίδια ημέρα, στην αυλή του σχολείου (Εικ. 2). Επιλέχτηκε για διδακτικούς λόγους η τελευταία μέθοδος, η οποία λειτούργησε και ως ξεχωριστή εργασία για τον καθορισμό της διεύθυνσης του μεσημβρινού ενός τόπου, καθώς και αυτής του βορρά χωρίς πυξίδα. Τοποθετώντας τον γνώμονα στην αυλή του σχολείου μας είχαμε το μεσημέρι στις 23 Σεπτεμβρίου 2011: Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 0.75 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικ. 3) έχουμε την σχέση εφα = σκιά υψος γνωμονα = l h = = 0.75 α = 37 o (1) άρα η γωνία α = 37 o αποτελεί και το γεωγραφικό πλάτος του σχολείου μας. Χρησιμοποιώντας το Google Earth μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος του τόξου D της γης, από το σχολείο μας μέχρι τον ισημερινό κατά μήκος του ίδιου μεσημβρινού που είναι D = km. Από την σχέση που συνδέει το τόξο με την επίκεντρο γωνία ενός κύκλου (Εικ.4) έχουμε 37 D = 360 x x = km (2) όπου x η περίμετρος του μεσημβρινού θεωρώντας τον ως κύκλο. Από τον τύπο x = 2πR έχουμε R 0 = 6321km. Άρα η ακτίνα της γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη στην Κω είναι R 0 = 6321km. 4

6 Σχήμα 3: Υπολογισμός γωνίας α 2.2 Συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου για τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης παρακάμπτοντας τους χρονικούς περιορισμούς της μεθόδου του Ερατοσθένη Με τον παραπάνω τρόπο επιχειρήθηκε, η ταυτόχρονη μέτρηση του μήκους της σκιάς ενός κάθετου στύλου σε τέσσερα σχολεία. Η μέτρηση έγινε την ίδια μέρα και την ώρα περίπου που μεσουρανούσε ο ήλιος στον κάθε τόπο υπολογίζοντας τη καθυστέρηση μεσουράνησης με απλές αναλογίες, ανάλογα με το γεωγραφικό μήκος. Η επιλογή των σχολείων έγινε με κριτήριο την μικρότερη απόσταση τους από τον μεσημβρινό που περνά από τη Κω. Με τον τρόπο αυτό έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την περίμετρο του μεσημβρινού και κατά συνέπεια την ακτίνα της γης οποιαδήποτε μέρα του χρόνου. Η γενική διαδικασία ήταν η εξής: Τοποθετήθηκε ένας κάθετος στύλος στην αυλή των σχολείων και μετρήθηκε: το μήκος σκιάς l και το ύψος του h. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικόνα 3) έχουμε: εφα = σκιά μήκος γνωμονα = l h από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία α. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία για δύο σχολεία, Α και Β, μετρήσαμε τα μήκη των σκιών, l A και l B για ύψη γνωμονος, h A και h B, οπότε υπολογίζουμε τις γωνίες α A και α B, αντίστοιχα. Αν S είναι το σημείο της Γης όπου οι ακτίνες του Ήλιου είναι παράλληλες με τον άξονα της ακτίνας της Γης (εικόνα 4), καταλήγουμε: (3) α A SA = 360 2πr α B SB = 360 2πr (4) 5

7 Σχήμα 4: Υπολογισμός γωνίας α για δύο περιοχές 6

8 και άρα: οπότε: α A α B AB = 360 2πr r = 360 ΑΒ (α β) 2π Το μήκος ΑΒ, που είναι η απόσταση ανάμεσα σε δυο σχολεία, το υπολογίζουμε με τις δυνατότητες που μας δίνει η εφαρμογή Google Earth ή πάνω σε χάρτη γνωστής κλίμακας, Στο 1ο Γυμνάσιο Κω οι μετρήσεις έγιναν στην αυλή του και συμμετείχαν όλοι οι μαθητές της Β Γυμνασίου. Η κριτική ανάλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων από τις μετρήσεις του σχολείου μας αλλά και εκείνων που λαμβάναμε από τα συνεργαζόμενα σχολεία, μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, έγιναν από εθελοντική ομάδα μαθητών, με τη βοήθεια του καθηγητή τους. Ανάλογες δράσεις αλλά και παρατηρήσεις για την μέθοδο που ακολουθήθηκε προήλθαν από το Γυμνάσιο Τυχερού, το Γυμνάσιο Πηγαδίων Καρπάθου και το Λύκειο Δικαίων. Αναφέρουμε στους παρακάτω πίνακες (1, 2 και 3) τις τρεις καλύτερες μετρήσεις ανάμεσα στα σχολεία, όπου για τους υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τους τύπους (3) και (6). Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 1 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Δίκαια : Κως : Πίνακας 1: Μετρήσεις μεταξύ Δικαιων και Κω Ο μέσος όρος των τριών τελικών μετρήσεων με την προηγούμενη μέθοδο είναι r = 6361 Km, τιμή αρκετά κοντά στο πραγματικό μέγεθος της ακτίνας της Γης. (5) (6) 2.3 Μέτρηση της ακτίνας της Γης χρησιμοποιώντας άμεσα ή έμμεσα GPS Η μέτρηση της ακτίνας της Γης, με την χρήση άμεσα η έμμεσα GPS έγινε με δύο διαφορετικούς τρόπους διαμέσου του μεσημβρινού και διάμεσου του παράλληλου. Η μέτρηση της ακτίνας του μεσημβρινού θεωρώντας τον ότι είναι κύκλος, έγινε με την παρακάτω διαδικασία. Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 2 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Πηγάδια : αʹ 58.2 Κως : αʹμήκος παρασκιάς 141 cm. Πίνακας 2: Μετρήσεις μεταξύ Καρπάθου και Κω 7

9 Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 3 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Τυχερό : Κως : Πίνακας 3: Μετρήσεις μεταξύ Τυχερού και Κω Στην αυλή του δεύτερου γυμνασίου Κω ορίστηκαν δυο σημεία Α και Β επί του ίδιου μεσημβρινού. Μετρήθηκαν δυο μεγέθη: 1. Η απόσταση ανάμεσα στα δυο σημεία Α και Β σε μέτρα δηλαδή το μήκος του τόξου. 2. Το τόξο ΑΒ σε μοίρες, ως διαφορά ανάμεσα στα γεωγραφικά πλάτη των δυο σημείων Α και Β και κατά συνέπεια την επίκεντρο που αντιστοιχεί σε αυτό, με κορυφή το κέντρο της γης. Χρησιμοποιώντας την μαθηματική σχέση που συνδέει τα μήκη των τόξων με τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες του, μπορούμε να αναχθούμε στον υπολογισμό της περιμέτρου του μεσημβρινού και κατά συνέπεια της ακτίνας του, δηλαδή της ακτίνας της γης. Ο υπολογισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων των σημείων Α και Β έγινε με τρεις παραλλαγές: 1. Με το GPS Explorist Με κινητό ΝΟΚΙΑ Με το Google Earth Πρώτος τρόπος: Μέτρηση με GPS μέσω του μεσημβρινού Μέτρηση με τον GPS Explorist 100: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου μας πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (σημεία με το ίδιο γεωγραφικό μήκος και διαφορετικό πλάτος). Οι συντεταγμένες των σημείων είναι: A (360 o N, 270 o E) B (360 o N, 270 o E) (7) Άρα η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των σημείων Α και Β είναι 1.02 και αντιστοιχεί στην επίκεντρο γωνία, με κορυφή το κέντρο της γης, που βλέπει στο τόξο ΑΒ. Μετράμε το μήκος του τόξου ΑΒ στο έδαφος. Από τις τιμές που υπολογίσαμε εξαιρούμε τις ακραίες, ως πιθανές τιμές απόκλισης και παίρνουμε το μέσο όρο των υπολοίπων: Σε τόξο μήκους 2πR αντιστοιχεί γωνία 360 o ή (= ). 8

10 Με βάση την υπολογισθείσα μέση τιμή βρίσκουμε ότι τόξο μήκους m αντιστοιχεί σε επίκεντρο 1. Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε: 2πR 1 = R = π 1 R = R = R = m (8) Άρα η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 1 = Km. Υπολογισμός συντεταγμένων με κινητό NOKIA 52: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου μας πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (σημεία με το ίδιο γεωγραφικό μήκος και διαφορετικό πλάτος) με απόκλιση γεωγραφικού πλάτους 1. Μετράμε το μήκος του τόξου ΑΒ στο έδαφος που αντιστοιχεί σε επίκεντρο γωνία 1. Από τις παρακάτω τιμές που υπολογίσαμε εξαιρούμε τις ακραίες ως πιθανές τιμές μεγάλης απόκλισης και παίρνουμε τη μέση τιμή των υπολοίπων: Σε τόξο μήκους 2πR m αντιστοιχεί γωνία 360 o = (= 360 o = Με βάση την υπολογισθείσα μέση τιμή βρίσκουμε ότι τόξο μήκους 31.5 m αντιστοιχεί σε επίκεντρο 1. Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα: 2πR 1 = R = π 1 R = R = R 2 = m (9) Άρα η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 2 = Km. Συγκρίνοντας τις δυο υπολογισθείσες τιμές των ακτινών της γης, βλέπουμε ότι οι τιμές έχουν μια απόκλιση ΔR = R 2 R 1 = = Km (10) Υπολογισμοί με τη χρήση του Google Earth: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στο Google Earth στην αυλή του δευτέρου γυμνασίου Κω (εικ. 5), πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (με 9

11 το ίδιο γεωγραφικό μήκος) μετράμε το μήκος του ΑΒ πάλι με τις δυνατότητες που μας δίνει το Google Earth. Η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο σημείων Α και Β είναι: 36 o o = 1.13 (11) και η απόσταση ΑΒ = m Και έχουμε : Τα ποσά του πίνακα είναι ανάλογα και έχουμε: 2πR 1.13 = R = Κm (12) Άρα η ακτίνα της γης με βάση αυτή τη μέτρηση είναι R 3 = 6351Κm Δεύτερος τρόπος: Μέτρηση της ακτίνας της Γης μέσω του παραλλήλου Ο υπολογισμός της ακτίνας της γης μέσω του παραλλήλου έγινε ως εξής: Υπολογίζοντας πρώτα την ακτίνα του παράλληλου που διέρχεται από τη Κω, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το γεωγραφικό πλάτος του τόπου αναλύουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η ακτίνα του παράλληλου, η ακτίνα της γης στον τόπο μέτρησης και τμήμα του άξονα της γης (Εικ. 7). Με τον τρόπο αυτό παρακάμπτεται και το πρόβλημα της μη κυκλικότητας του μεσημβρινού και τα πιθανά υπολογιστικά λάθη. Αρχίζουμε με την μέτρηση της ακτίνας του παράλληλου κύκλου της περιοχής και στη συνέχεια της ακτίνας της Γης. Θεωρούμε δυο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου (Εικόνα 5) που έχουν το ίδιο γεωγραφικό πλάτος: Η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο σημείων Α και Β είναι: 27 o o = 2 (13) και η απόσταση που υπολογίζεται με την δυνατότητα που μας δίνει το Google Earth είναι ΑΒ = m. Η παραπάνω απόσταση θεωρούμε ότι είναι το μήκος του τόξου που ορίζουν τα δύο σημεία. Άρα: Τα μεγέθη του πίνακα είναι ανάλογα και έχουμε: 2πR 2 = R = Km (14) Άρα η ακτίνα ρ της παράλληλου είναι Km. Γνωρίζοντας ότι το γεωγραφικό πλάτος της Κω στο ύψος του σχολείου μας είναι o, δηλαδή στην εικόνα 6 η γωνία φ = από το τρίγωνο CC D έχουμε τη σχέση: R = ρ συν( ) R = Km συν(36.88) R = Km R = km (15) Άρα με το δεύτερο τρόπο η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 4 = km που είναι και η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης. 10

12 Σχήμα 5: Η αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω από το Google Earth Σχήμα 6: Υπολογισμός της ακτίνας της Γης 11

13 ΓΕΩΓΡΑΦΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΤΟΣ ΑΚΤΙΝΑ ΣΕ ΜΕΤΡΑ Eρατοσθένης ΑΙΓΥΠΤΟΣ 230 π.χ Posidonio ΑΙΓΥΠΤΟΣ, ΡΟΔΟΣ Abelseda ΑΡΑΒΙΑ AlHYPERLINK ΠΕΡΣΙΑ Albazen ΑΡΑΒΙΑ Fernal ΓΑΛΛΙΑ Snell ΟΛΛΑΝΔΙΑ Norwood ΑΓΓΛΙΑ Ricolli e Firmaldi ΛΟΜΒΑΡΔΙΑ Picard ΓΑΛΛΙΑ Cassini ΓΑΛΛΙΑ Everest Bessel Clarke Clarke Hayford Fischer Πίνακας 4: Χρονολόγιο διαφόρων μετρήσεων της ακτίνας της Γης Συνοψίζοντας: Το μήκος της ακτίνας της γης είναι: Με τη μέθοδο του Ερατοσθένη R 0 = 6321km. Με το GPS Explorist 100, R 1 = 6384Km. Με κινητό ΝΟΚΙΑ 52, R 2 = 6500Km. Με το Google Earth, R 3 = 6351Κm. Διαμέσου του παράλληλου δηλαδή η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης, R 4 = 6378km. Με την συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου υπολογίστηκε ο μέσος όρος των ακτινών ανάμεσα στα σχολεία που είναι R 5 = 6361Κm. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων μας, με τις διάφορες μετρήσεις που έγιναν ανά τους αιώνες (πίνακας 4) και αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τα αποτελέσματα είναι μέσα σε αποδεκτά όρια εξαιρούμενης της τιμής R 2 = 6500Km που υπολογίσαμε με το κινητό ΝΟΚΙΑ 52. Οι διαφορές στις τιμές κατά τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης που έχουμε μπορεί να οφείλονται: στην διαφορετική ακρίβεια των οργάνων και στην ακρίβεια των μετρήσεων. Ειδικά για την ακρίβεια των μετρήσεων, προσπαθήσαμε να περιορίσουμε τα πιθανά λάθη, αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων και παίρνοντας τον μέσο όρο, ειδικά σε αυτές που έγιναν με GPS Explorist 100 ή με το κινητό ΝΟΚΙΑ

14 3 Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης Ο Πλανήτης Γη πραγματοποιεί τέσσερις κινήσεις: Την περιστροφή γύρω από τον άξονά της, την περιφορά γύρω από τον Ήλιο, την Ηλιακή μεταβατική περιφορά που πραγματοποιεί ακολουθώντας την περιστροφή του Ηλιακού συστήματος και την Γαλαξιακή μεταβατική περιφορά, που πραγματοποιεί ακολουθώντας την περιστροφή του Γαλαξία. Οι δύο πρώτες είναι οι σημαντικότερες. Από τον Κοπέρνικο ( ) γνωρίζουμε ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο. Ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται η Γη λέγεται άξονας περιστροφής και γίνεται από τα δυτικά προς τα ανατολικά. Η ταχύτητα περιστροφής, ενός σημείου της επιφάνειας της Γης, εξαρτάται από το γεωγραφικό του πλάτος. Στον ισημερινό η Γη έχει μεγαλύτερη ταχύτητα απ ότι σε μεγαλύτερα γεωγραφικά πλάτη. Στο γεγονός αυτό οφείλεται στο σχήμα της. Στην περιστροφή της Γης οφείλεται η εναλλαγή της ημέρας και της νύχτας. Η διαφορετική χρονική διάρκεια της ημέρας κατά τη διάρκεια του έτους, η οποία παρατηρείται μεταξύ του ισημερινού και του πολικού κύκλου, οφείλεται στην διαφορετική κλίση του άξονα της γης κατά την ετήσια περιφορά της γύρω από τον Ήλιο. Στην ίδια αιτία οφείλεται και η εναλλαγή των εποχών κατά τη διάρκεια του έτους. Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης στον Ισημερινό Από τη στιγμή που υπολογίσαμε την ακτίνα της γης μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο της στον ισημερινό με τον τύπο Π = 2πR = = km (16) και από τον γενικό τύπο της γραμμικής ταχύτητας στον ισημερινό προκύπτει U = Π t = km 24 h = 1666 km/h (17) Άρα η ταχύτητα περιστροφής στον ισημερινό είναι U = 1666 km/h = 19.6 m/s. Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης στο ύψος της Κω Γνωρίζοντας την ακτίνα του παραλλήλου στο ύψος της Κω, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο του με τον τύπο Π = 2πR = = km (18) και από τον γενικό τύπο της γραμμικής ταχύτητας έχω την ταχύτητα περιστροφής στην Κω U = Π km = = 1334 km/h = 15.4 m/s (19) t 24 h 4 Υπολογισμός λόξωσης της ελλειπτικής Λόξωση της ελλειπτικής ονομάζεται η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο της ελλειπτικής με το επίπεδο του ουράνιου ισημερινού. Οι 4 εποχές του έτους οφείλονται 13

15 στη λόξωση της ελλειπτικής όπως και η διαφορετική διάρκεια της ημέρας κατά το έτους. Αποφασίσαμε να υπολογίσουμε τη λόξωση της ελλειπτικής, ως διαφορά του μήκους των σκιών του γνώμονα σε δυο διαφορετικές μέρες του έτους, δηλαδή την ώρα που ο ήλιος μεσουρανεί κατά την διάρκεια της φθινοπωρινής ισημερίας και του χειμερινού ηλιοστασίου. Η μέθοδος αυτή δεν είναι απολύτως ακριβής, δίνει όμως το μέγεθος της γωνίας με ακρίβεια μοίρας. Η διαδικασία ήταν η εξής: Τοποθετήθηκε γνώμονας στην αυλή του σχολείου και είχαμε το μεσημέρι στις , κατά την φθινοπωρινή ισημερία, τις παρακάτω τιμές: Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 0.75 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικ. 3) έχουμε την σχέση εφα = l h = 0.75 = 0.75 (20) 1 άρα η γωνία α = 37 o. Τοποθετήθηκε o ίδιος γνώμονας στην αυλή του σχολείου μας κοντά στο χειμερινό ηλιοστάσιο και είχαμε το μεσημέρι στις , τις εξής μετρήσεις Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 1.8 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα έχουμε την σχέση εφβ = l h = 1.8 = 1.8 β = 60 (21) 1 Η λόξωση της ελλειπτικής είναι η διαφορά των γωνιών β α = = 23 o (22) Αναφορές [1] Νικάστρο Νίκολας. Ο Ερατοσθένης και η αρχαία προσπάθεια για τη μέτρηση της υδρογείου. Εκδόσεις Μίνωας. [2] Tonali Paolo. Antica e nuova matematica. Ed. Libero [3] Μαθηματικά γ γυμνασίου Ο.Ε.Δ.Β ΑΘΗΝΑ [4] Μαθηματικά β γυμνασίου Ο.Ε.Δ.Β ΑΘΗΝΑ [5] [6] [7] [8] [9] Η επεξεργασία του κειμένου της παρούσας εργασίας με τον L A TEX/X από τον συνάδελφο φυσικό Ἰωάννη Ἀ. Βαμβακᾶ. L A TEX έγινε E 14

Φύλλα Εργασίας για την Υλοποίηση του Πειράματος του Ερατοσθένη

Φύλλα Εργασίας για την Υλοποίηση του Πειράματος του Ερατοσθένη Φύλλα Εργασίας για την Υλοποίηση του Πειράματος του Ερατοσθένη Υπεύθυνοι Καθηγητές Παντελοπούλου Σταυρούλα (ΠΕ 19) Τζώρτζης Κωνσταντίνος (ΠΕ03) Πηγές: http://www.astro.noa.gr/gr/eratosthenes/experiment.html

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ. Εικόνα. ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΣΕΛΙΔΑ ΑΠΟ ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ

ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ. Εικόνα. ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΣΕΛΙΔΑ ΑΠΟ ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ήταν επομένως ώριμες οι συνθήκες για να φτάσει η αρχαία γεωγραφία στο απόγειο της ακμής της κατά τον 2ο μχ αι. με τον Κλαύδιο Πτολεμαίο: τα κείμενα και οι χάρτες που αποδίδονται σ'

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π.

Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π. Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π. Ανάδροµη Φορά Ορθή Φορά Η ορθή και ανάδροµη φορά περιστροφής της Ουράνιας Σφαίρας, όπως φαίνονται από το Βόρειο και το Νότιο ηµισφαίριο, αντίστοιχα Κύκλος Απόκλισης Μεσηµβρινός

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κοσμάς Γαζέας Σφαιρικό Τρίγωνο Σφαιρικό τρίγωνο λέγεται το μέρος της σφαίρας, το οποίο περικλείεται μεταξύ των τόξων τριών μέγιστων κύκλων, με την προϋπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

Τα όργανα του Πτολεμαίου

Τα όργανα του Πτολεμαίου Ο Πτολεμαίος και η Αστρονομία. Ο Πτολεμαίος παρατηρεί με το τεταρτοκύκλιο το ύψος της σελήνης. Πρόκειται για μεταγενέστερη μορφή του οργάνου. Στο έδαφος και ο σφαιρικός αστρολάβος. Τα όργανα του Πτολεμαίου

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ;

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; Λόγω της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, όταν μεταξύ μιας φωτεινής πηγής και ενός περάσματος παρεμβάλλεται ένα αδιαφανές σώμα, δημιουργείτε στο πέρασμα

Διαβάστε περισσότερα

Η κατακόρυφη ενός τόπου συναντά την ουράνια σφαίρα σε δύο υποθετικά σηµεία, που ονοµάζονται. Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά. αστέρα Α ονοµάζεται

Η κατακόρυφη ενός τόπου συναντά την ουράνια σφαίρα σε δύο υποθετικά σηµεία, που ονοµάζονται. Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά. αστέρα Α ονοµάζεται Sfaelos Ioannis Τα ουράνια σώµατα φαίνονται από τη Γη σαν να βρίσκονται στην εσωτερική επιφάνεια µιας γιγαντιαίας σφαίρας, απροσδιόριστης ακτίνας, µε κέντρο τη Γη. Τη φανταστική αυτή σφαίρα τη λέµε "ουράνια

Διαβάστε περισσότερα

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης 1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης Απαραίτητο όλων των ωκεανογραφικών ερευνών και μελετών Προσδιορισμός θέσης & πλοήγηση σκάφους Σε αυτό το εργαστήριο.. Τι περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΓΑΛΟΦΥΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ

Ο ΜΕΓΑΛΟΦΥΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ Ο ΜΕΓΑΛΟΦΥΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ Ο υπολογισμός της περιμέτρου της Γης από τον Ερατοσένη. Ένα από τα πιο σημαντικά πειράματα που πραγματοποιήηκε στην ιστορία της ανρωπότητας ήταν η μέτρηση της περιφέρειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ 3 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ 3 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ 3 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Ο Ερατοσθένης καταγόταν από την Κυρήνεια και γύρω στο 260 π.χ. πήγε στην Αθήνα για να σπουδάσει φιλοσοφία. Την εποχή

Διαβάστε περισσότερα

2. Ένα μπαλάκι το δένουμε στην άκρη ενός νήματος και το περιστρέφουμε. Αν το μπαλάκι

2. Ένα μπαλάκι το δένουμε στην άκρη ενός νήματος και το περιστρέφουμε. Αν το μπαλάκι 1. Α. Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ( περιοδική/ ομαλή κυκλική κίνηση) Β. Ένα αυτοκίνητο που κινείται σε κυκλική πλατεία, σίγουρα εκτελεί (κυκλική / ομαλή κυκλική) κίνηση. Γ. Η κίνηση του άκρου ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δ. Κουζούδης Πανεπιστήμιο Πατρών

ΗΛΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δ. Κουζούδης Πανεπιστήμιο Πατρών ΗΛΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δ. Κουζούδης Πανεπιστήμιο Πατρών Συντεταγμένες του τόπου (γεωγραφικό μήκος και πλάτος) Π.χ. το Google Maps δίνει για το Παν. Πατρών 38.3, 21.8. Προσοχή, το πρώτο είναι το γεωγραφικό πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ERATOSTHENES EXPERIMENT SEPTEMBER 2015

ERATOSTHENES EXPERIMENT SEPTEMBER 2015 ERATOSTHENES EXPERIMENT SEPTEMBER 2015 Ο Ερατοσθένης έζησε περί το 200 π.χ. στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου και ήταν ο Διευθυντής της πασίγνωστης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Mία μέρα έλαβε ένα γράμμα από

Διαβάστε περισσότερα

Επίδραση μαγνητικού πεδίου της Γης. (συνοδεύει τις διαφάνειες)

Επίδραση μαγνητικού πεδίου της Γης. (συνοδεύει τις διαφάνειες) Επίδραση μαγνητικού πεδίου της Γης (συνοδεύει τις διαφάνειες) Επίδραση μαγνητικού πεδίου της Γης. Ένα σωματίδιο με ατομικό αριθμό Ζ, που κινείται σε μαγνητικά πεδίο Β με ταχύτητα υ. Η κεντρομόλος δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 10 10.0 ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το σύστημα GPS επιτρέπει τον ακριβή προσδιορισμό των γεωγραφικών συντεταγμένων μιας οποιασδήποτε θέσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέτρηση της Περιφέρειας της Γης από τον Ερατοσθένη

Η Μέτρηση της Περιφέρειας της Γης από τον Ερατοσθένη Η Μέτρηση της Περιφέρειας της Γης από τον Ερατοσθένη Παναγιώτης Παζούλης 4 ο ΓΕΛ ράµας pazoulis@hotmail.com Περίληψη Αφορµή για αυτή την εργασία ήταν η λίστα µε τα δέκα οµορφότερα πειράµατα φυσικής που

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές

Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές Στόχοι: Στο τέλος αυτού του µαθήµατος ο σπουδαστής θα γνωρίζει: Tις σηµαντικότερες κατηγορίες δορυφορικών τροχιών Τους παράγοντες που οδηγούν στην επιλογή συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 77 10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική Εξέταση. 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ»

Θεωρητική Εξέταση. 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2018 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας 2018 4 η φάση Θεωρητική Εξέταση 1 Παρακαλούμε, διαβάστε

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Κυκλική κίνηση Κυκλική κίνηση. Ομάδα Β.

2.1. Κυκλική κίνηση Κυκλική κίνηση. Ομάδα Β. 2.1.. 2.1.. Ομάδα Β. 2.1.Σχέσεις μεταξύ γραμμικών και γωνιακών μεγεθών στην ΟΚΚ. Κινητό κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας 40m με ταχύτητα μέτρου 4m/s. i) Ποια είναι η περίοδος και ποια η συχνότητά

Διαβάστε περισσότερα

Αναρτήθηκε από τον/την Βασιλειάδη Γεώργιο Τρίτη, 26 Μάρτιος :23 - Τελευταία Ενημέρωση Τρίτη, 26 Μάρτιος :25

Αναρτήθηκε από τον/την Βασιλειάδη Γεώργιο Τρίτη, 26 Μάρτιος :23 - Τελευταία Ενημέρωση Τρίτη, 26 Μάρτιος :25 Στη μία το μεσημέρι της Τετάρτης 20 Μαρτίου άρχισε και επίσημα η Άνοιξη του 2013 στο βόρειο ημισφαίριο, στο οποίο ανήκει και η χώρα μας. Η αρχή της άνοιξης, από αστρονομική πλευρά, συμπίπτει με την εαρινή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1 ΟΔΗΓIEΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Οι μαθητές υποχρεούνται σε διαπραγμάτευση ενός απλού από δύο τιθέμενα θέματα θεωρίας της διδαγμένης ύλης. Ένα θέμα από την Άλγεβρα και

Διαβάστε περισσότερα

ηλιακού μας συστήματος και ο πέμπτος σε μέγεθος. Ηρακλή, καθώς και στην κίνηση του γαλαξία

ηλιακού μας συστήματος και ο πέμπτος σε μέγεθος. Ηρακλή, καθώς και στην κίνηση του γαλαξία Sfaelos Ioannis 1. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΓΗΣ Η Γη είναι ο τρίτος στη σειρά πλανήτης του ηλιακού μας συστήματος και ο πέμπτος σε μέγεθος. έ θ Η μέση απόστασή της από τον Ήλιο είναι 149.600.000 km.

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση Ο χώρος Τα χελιδόνια έρχονται και ξανάρχονται. Κάθε χρόνο βρίσκουν μια γωνιά για να χτίσουν τη φωλιά, που θα γίνει το επίκεντρο του χώρου τους. Ο χώρος είναι ένας οργανικός χώρος, όπως εκείνος που αφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ Το ρολόι αυτό είναι κατασκευασµένο από λευκό µάρµαρο Θάσου. Βρίσκεται στην αυλή του Γυµνασίου Νικηφόρου ράµας σε 41 0 10' 12'' βόρειο πλάτος και 24 0 18' 49.83'' ανατολικό

Διαβάστε περισσότερα

4/11/2018 ΝΑΥΣΙΠΛΟΙΑ ΙΙ ΓΈΠΑΛ ΚΑΡΑΓΚΙΑΟΥΡΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

4/11/2018 ΝΑΥΣΙΠΛΟΙΑ ΙΙ ΓΈΠΑΛ ΚΑΡΑΓΚΙΑΟΥΡΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΘΕΜΑ 1 ο ΝΑΥΣΙΠΛΟΙΑ ΙΙ ΓΈΠΑΛ 4/11/2018 ΚΑΡΑΓΚΙΑΟΥΡΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΘΕΜΑ 1 ο 1) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής:

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Tοπογραφικά Σύμβολα Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Κεντρική Αρτηρία Ρέμα Δευτερεύουσα Αρτηρία Πηγάδι Χωματόδρομος Πηγή Μονοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3.

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3. Το θέμα του 05, (επαναληπτικές) Εσωτερικές λληλεπιδράσεις Νο 3. Δύο ράβδοι είναι συνδεδεμένες στο άκρο τους και σχηματίζουν σταθερή γωνία 60 ο μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Οι ράβδοι είναι διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 37 5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 5.1 Εισαγωγή Οι κύριες κινήσεις της Γης είναι: μια τροχιακή κίνηση του κέντρου μάζας γύρω από τον Ήλιο και μια περιστροφική κίνηση γύρω από τον άξονα που περνά από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 26 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Μαΐου, 2012 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: 1) Είναι πολύ σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήενέργεια Ηλιακή γεωµετρία Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήγεωµετρία Ηλιακήγεωµετρία Η Ηλιακή Γεωµετρία αναφέρεται στη µελέτη της θέσης του ήλιου σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας

Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας GoLab Global Online Science Labs for Inquiry Learning at School Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας Δρ. Γεώργιος Μαυρομανωλάκης [gmavroma@ea.gr]

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03 / 6 / 014 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή /τριας:

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι - Κ Ε Φ Λ Ι Ο 2 Τριγωνομετρία ΛΟΟΣ ΕΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ α α β α β α β 1. ν 2, να υπολογίσετε τους λόγους :,, β β β α β 2. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 6 cm και ύψος, να υπολογίσετε τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΑΡΧΙΑ ΠΕΛΛΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΒΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΑΡΧΙΑ ΠΕΛΛΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΒΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΑΡΧΙΑ ΠΕΛΛΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2008-2009 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΒΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ Ονοματεπώνυμο μαθητή/τριας Εξεταζόμενο Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τάξη : Β

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Ηλιακή γεωμετρία και ακτινοβολία Εισαγωγή

Κεφάλαιο 5: Ηλιακή γεωμετρία και ακτινοβολία Εισαγωγή Κεφάλαιο 5: 5.1. Εισαγωγή Η ηλιακή γεωμετρία περιγράφει τη σχετική κίνηση γης και ήλιου και αποτελεί ένα σημαντικό παράγοντα που υπεισέρχεται στον ενεργειακό ισολογισμό κτηρίων. Ανάλογα με τη γεωμετρία

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή : ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3 Yπενθύμιση: Ισημερινές συντεταγμένες Βασικός κύκλος: ο ουράνιος ισημερινός Πρώτος κάθετος: o μεσημβρινός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Α «ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ» ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ:ΚΑΤΣΑΔΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΠΕ15 2014-15

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Α «ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ» ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ:ΚΑΤΣΑΔΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΠΕ15 2014-15 ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Α «ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ» ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ:ΚΑΤΣΑΔΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΠΕ15 2014-15 Τίτλος παρέμβασης: «ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ» (Α 1.1) Χρόνος διάρκεια: 1 διδακτική ώρα. Τάξη: Α Γυμνασίου Γνωστικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗ ΣΕΡΙΑ

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗ ΣΕΡΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗ ΣΕΡΙΑ ΠΩ Ο ΘΑΛΗ ΜΕΣΡΗΕ ΣΟ ΤΨΟ ΣΗ ΠΤΡΑΜΙΔΑ Η πυραμίδα του Φέoπα (2ου Υαραώ της 4ης δυναστείας), ένα από τα 7 θαύματα της αρχαιότητας, άρχιζε να κτίζεται γύρω στο 2.600

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας

5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας 5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας Ομαλή κυκλική κίνηση Κίνηση σωματίου σε κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας

Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας GoLab Global Online Science Labs for Inquiry Learning at School Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας Δρ. Γεώργιος Μαυρομανωλάκης [gmavroma@ea.gr]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κοσμάς Γαζέας Κύρια σημεία του μαθήματος Το σχήμα και οι κινήσεις της Γης Μετάπτωση και κλόνιση του άξονα της Γης Συστήματα χρόνου και ορισμοί: αστρικός χρόνος,

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2 Ανατολή-δύση αστέρων Από την σχέση αυτή προκύπτουν δυο τιμές για την ωριαία γωνία Η Δ για την οποία ο αστέρας βρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

Άρης Ασλανίδης 1, Αδάμ Δαμιανάκης 2, Κατερίνα Τσαδήμα 2 info@educationplace.gr, ad@conceptum.gr, katerina@conceptum.gr 1

Άρης Ασλανίδης 1, Αδάμ Δαμιανάκης 2, Κατερίνα Τσαδήμα 2 info@educationplace.gr, ad@conceptum.gr, katerina@conceptum.gr 1 Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Μαθαίνουμε Γεωλογία- Γεωγραφία Α Γυμνασίου στον Διαδραστικό Πίνακα» και η αξιοποίησή του στη διδασκαλία του μαθήματος «Ο πλανήτης Γη» Άρης Ασλανίδης 1, Αδάμ Δαμιανάκης 2, Κατερίνα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα