Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου"

Transcript

1 Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου Ξενοφών Φανουρίου Γεωλόγος-Ωκεανογράφος 17 Σεπτεμβρίου 2015 Περίληψη Ο υπολογισμός του μεγέθους της γης αλλά και των άλλων σταθερών της, απασχόλησε από τα αρχαία χρόνια τον άνθρωπο. Στα πλαίσια του μαθήματος της γεωγραφίας, προσπαθήσαμε να δώσουμε απαντήσεις στα βασικά αυτά ερωτήματα, χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά και τη φυσική που διδάσκονται στο γυμνάσιο και τα αποτελέσματα ήταν θετικά. Υπολογίστηκε με ακρίβεια η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης, το γεωγραφικό πλάτος της Κω, η ακτίνα της γης, η ταχύτητα περιστροφής της στον ισημερινό αλλά και στο ύψος της Κω. Τέλος υπολογίσαμε την μέγιστη λόξωση της ελλειπτικής που είναι υπεύθυνη για τις εναλλαγές των εποχών και τη διαφορετική διάρκεια της ημέρας καθ όλο το έτος. 1

2 Περιεχόμενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Υπολογισμός της ακτίνας της Γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη Συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου για τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης παρακάμπτοντας τους χρονικούς περιορισμούς της μεθόδου του Ερατοσθένη Μέτρηση της ακτίνας της Γης χρησιμοποιώντας άμεσα ή έμμεσα GPS Πρώτος τρόπος: Μέτρηση με GPS μέσω του μεσημβρινού Δεύτερος τρόπος: Μέτρηση της ακτίνας της Γης μέσω του παραλλήλου Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης 13 4 Υπολογισμός λόξωσης της ελλειπτικής 13 Κατάλογος πινάκων 1 Μετρήσεις μεταξύ Δικαιων και Κω Μετρήσεις μεταξύ Καρπάθου και Κω Μετρήσεις μεταξύ Τυχερού και Κω Χρονολόγιο διαφόρων μετρήσεων της ακτίνας της Γης Κατάλογος σχημάτων 1 Μέτρηση μήκους σκιάς γνώμονα στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω Λειτουργία γνώμονα Υπολογισμός γωνίας α Υπολογισμός γωνίας α για δύο περιοχές Η αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω από το Google Earth Υπολογισμός της ακτίνας της Γης

3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τελευταία, όλο και περισσότερο γίνεται αποδεκτό ότι οι επιμέρους επιστημονικοί κλάδοι στο σχολείο δεν θα πρέπει να ακολουθούν το γνωστό μοναχικό και ανιαρό δρόμο, αλλά θα πρέπει να αναζητούν διαρκώς νέες μεθόδους που οδηγούν σε μια σφαιρική και διεπιστημονική παρουσίαση και επίλυση των επιμέρους ερωτημάτων. Είναι φανερό ότι από παιδαγωγική άποψη, η διεπιστημονικότητα είναι σημαντική, διότι αποσκοπεί στη σφαιρική καλλιέργεια των μαθητών, προσελκύοντας το ενδιαφέρον και αναδεικνύοντας τις δεξιότητες και τις ικανότητες τους. Όλα αυτά τα οφέλη πιστεύω ότι απεκόμισαν οι μαθητές των δυο γυμνασίων της Κω, κατά την αντιμετώπιση της άσκησης που σκοπό είχε τον υπολογισμό της απόστασης της πόλης της Κω από το κέντρο της γης. Το ερώτημα αυτό αφού απαντήθηκε, δημιούργησε νέα υποερωτήματα που αφορούν τον υπολογισμό της ταχύτητας περιστροφής της, της κλίσης του άξονα κατά τις διαφορετικές εποχές κ.α. Όλα αυτά τα ερωτήματα που έρχονται από το παρελθόν και τα οποία απασχόλησαν πολλούς επιφανείς της αρχαιότητας, απαντήθηκαν στο σχολείο μας με βάση τις γνώσεις που παρέχονται από τη διδακτέα ύλη των μαθηματικών και της φυσικής των γυμνασίων καθώς και από τις δυνατότητες που παρέχει σήμερα, η πρόσβαση στις νέες τεχνολογίες και τη διαδικτυακή πληροφόρηση. Στις μετρήσεις και υπολογισμούς συμμετείχε η πλειοψηφία των μαθητών, έτσι ώστε ο καθένας να γίνεται μέτοχος της γνώσης και να αισθανθεί τη χαρά της δημιουργίας που δίνει η απάντηση σε ερωτήματα που απασχολούσαν από παλιά τον σκεπτόμενο άνθρωπο. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η εργασία που παρουσιάζεται παρακάτω εξελίχτηκε κατά την διάρκεια των τελευταίων τεσσάρων ετών και τμήμα της το 2012 απέσπασε έπαινο σε διαγωνισμό υπό την αιγίδα του υπουργείου παιδείας. 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Στα πλαίσια του μαθήματος της γεωγραφίας μια από τις συχνότερες ερωτήσεις που θέτουν οι μαθητές, αφορά το μέγεθος της γης. Η αναζήτηση μεθόδων υπολογισμού της ακτίνας, με μέσα και τρόπους που μπορούν να χειριστούν οι μαθητές καθιερώθηκαν τα τελευταία χρόνια ως άσκηση στην αυλή του σχολείου (εικόνα 1). Παρουσιάζουμε έτσι 4 διαφορετικές μεθόδους υπολογισμού της ακτίνας της γης και 3 παραλλαγές: 1. Την κλασική μέθοδο του Ερατοσθένη. 2. Κατόπιν πρότασης μας και με την εξασφάλιση της συνεργασίας τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου (1ο Γυμνασιο Κω, Ν. Δωδεκανήσου, Λυκειο Δικαιων, Ν. Εβρου, Γυμνασιο Τυχερου, N. Εβρου, Γυμνασιο Πηγαδίων Καρπαθου, Ν. Δωδεκανήσου) εφαρμόσαμε μια παραλλαγή της αρχικής μεθόδου του Ερατοσθένη, που μας επέτρεψε την παράκαμψη των χρονικών και τοπικών περιορισμών της. 3. Με την χρήση άμεσα η έμμεσα GPS και χρησιμοποιώντας δυο στίγματα γνωστής απόστασης επί του μεσημβρινού και του παραλλήλου αντίστοιχα, υπολογίσαμε 2

4 Σχήμα 1: Μέτρηση μήκους σκιάς γνώμονα στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω την ακτίνα της γης. 4. Υπολογισμός της ακτίνας της γης μέσω του παραλλήλου. Ας δούμε συνοπτικά τους προαναφερόμενους τρόπους υπολογισμού. 2.1 Υπολογισμός της ακτίνας της Γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη Η εφαρμογή της μεθόδου του Ερατοσθένη έγινε στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω (Εικόνες 1, 2) χρησιμοποιώντας μια ράβδο μήκους ενός μέτρου (1 m) που λειτούργησε ως γνώμονας και ακολουθήθηκε η παρακάτω διαδικασία. Σχήμα 2: Λειτουργία γνώμονα 3

5 Η ημερομηνία μέτρησης, έπρεπε να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στις ισημερίες και στην δική μας περίπτωση στη φθινοπωρινή ισημερία στις 23 Σεπτεμβρίου. Κατά την ισημερία, ο ήλιος βρίσκεται στο σημείο τομής της εκλειπτικής (επίπεδο της φαινομενικής τροχιάς του ήλιου) και του ουράνιου ισημερινού (προέκταση του επιπέδου του γήινου ισημερινού). Πρακτικά κατά τις ισημερίες ο ήλιος περνά από το επίπεδο του γήινου ισημερινού δηλαδή οι ακτίνες του είναι κάθετες στον άξονα της γης στο σημείο αυτό. Έχουμε λοιπόν, ένα σημείο αναφοράς που είναι ο ισημερινός, αντίστοιχο του πηγαδιού του Ασουάν που χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης. Με αυτή την επιλογή εξασφαλίζεται το ότι η γωνία κορυφής α του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζει ο γνώμονας με τη σκιά του, στο σχολείο μας να είναι ίση με την επίκεντρο γωνία της γης α, που βλέπει το τόξο Κως-Ισημερινός. Η μέτρηση της σκιάς της ράβδου έγινε κατά μήκος του μεσημβρινού που περνά από την αυλή του 2ου γυμνασίου Κω. Υπήρχαν τρεις δυνατότητες για τον προσδιορισμό της διεύθυνσης του μεσημβρινού: 1. Να θεωρήσουμε ότι η κατεύθυνση της μαγνητικής πυξίδας (μαγνητικός βορράς) συμπίπτει σε γενικές γραμμές με τον γεωγραφικό βορρά 2. Να βρούμε την κατεύθυνση του μεσημβρινού στο σχολείο μας από το Google Earth διάμεσου της εφαρμογής του πλέγματος. 3. Να υπολογίσουμε την κατεύθυνση του μεσημβρινού φέρνοντας την διχοτόμο στην γωνία που σχηματίζουν δυο ισομήκεις σκιές του γνώμονα, την ίδια ημέρα, στην αυλή του σχολείου (Εικ. 2). Επιλέχτηκε για διδακτικούς λόγους η τελευταία μέθοδος, η οποία λειτούργησε και ως ξεχωριστή εργασία για τον καθορισμό της διεύθυνσης του μεσημβρινού ενός τόπου, καθώς και αυτής του βορρά χωρίς πυξίδα. Τοποθετώντας τον γνώμονα στην αυλή του σχολείου μας είχαμε το μεσημέρι στις 23 Σεπτεμβρίου 2011: Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 0.75 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικ. 3) έχουμε την σχέση εφα = σκιά υψος γνωμονα = l h = = 0.75 α = 37 o (1) άρα η γωνία α = 37 o αποτελεί και το γεωγραφικό πλάτος του σχολείου μας. Χρησιμοποιώντας το Google Earth μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος του τόξου D της γης, από το σχολείο μας μέχρι τον ισημερινό κατά μήκος του ίδιου μεσημβρινού που είναι D = km. Από την σχέση που συνδέει το τόξο με την επίκεντρο γωνία ενός κύκλου (Εικ.4) έχουμε 37 D = 360 x x = km (2) όπου x η περίμετρος του μεσημβρινού θεωρώντας τον ως κύκλο. Από τον τύπο x = 2πR έχουμε R 0 = 6321km. Άρα η ακτίνα της γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη στην Κω είναι R 0 = 6321km. 4

6 Σχήμα 3: Υπολογισμός γωνίας α 2.2 Συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου για τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης παρακάμπτοντας τους χρονικούς περιορισμούς της μεθόδου του Ερατοσθένη Με τον παραπάνω τρόπο επιχειρήθηκε, η ταυτόχρονη μέτρηση του μήκους της σκιάς ενός κάθετου στύλου σε τέσσερα σχολεία. Η μέτρηση έγινε την ίδια μέρα και την ώρα περίπου που μεσουρανούσε ο ήλιος στον κάθε τόπο υπολογίζοντας τη καθυστέρηση μεσουράνησης με απλές αναλογίες, ανάλογα με το γεωγραφικό μήκος. Η επιλογή των σχολείων έγινε με κριτήριο την μικρότερη απόσταση τους από τον μεσημβρινό που περνά από τη Κω. Με τον τρόπο αυτό έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την περίμετρο του μεσημβρινού και κατά συνέπεια την ακτίνα της γης οποιαδήποτε μέρα του χρόνου. Η γενική διαδικασία ήταν η εξής: Τοποθετήθηκε ένας κάθετος στύλος στην αυλή των σχολείων και μετρήθηκε: το μήκος σκιάς l και το ύψος του h. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικόνα 3) έχουμε: εφα = σκιά μήκος γνωμονα = l h από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία α. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία για δύο σχολεία, Α και Β, μετρήσαμε τα μήκη των σκιών, l A και l B για ύψη γνωμονος, h A και h B, οπότε υπολογίζουμε τις γωνίες α A και α B, αντίστοιχα. Αν S είναι το σημείο της Γης όπου οι ακτίνες του Ήλιου είναι παράλληλες με τον άξονα της ακτίνας της Γης (εικόνα 4), καταλήγουμε: (3) α A SA = 360 2πr α B SB = 360 2πr (4) 5

7 Σχήμα 4: Υπολογισμός γωνίας α για δύο περιοχές 6

8 και άρα: οπότε: α A α B AB = 360 2πr r = 360 ΑΒ (α β) 2π Το μήκος ΑΒ, που είναι η απόσταση ανάμεσα σε δυο σχολεία, το υπολογίζουμε με τις δυνατότητες που μας δίνει η εφαρμογή Google Earth ή πάνω σε χάρτη γνωστής κλίμακας, Στο 1ο Γυμνάσιο Κω οι μετρήσεις έγιναν στην αυλή του και συμμετείχαν όλοι οι μαθητές της Β Γυμνασίου. Η κριτική ανάλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων από τις μετρήσεις του σχολείου μας αλλά και εκείνων που λαμβάναμε από τα συνεργαζόμενα σχολεία, μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, έγιναν από εθελοντική ομάδα μαθητών, με τη βοήθεια του καθηγητή τους. Ανάλογες δράσεις αλλά και παρατηρήσεις για την μέθοδο που ακολουθήθηκε προήλθαν από το Γυμνάσιο Τυχερού, το Γυμνάσιο Πηγαδίων Καρπάθου και το Λύκειο Δικαίων. Αναφέρουμε στους παρακάτω πίνακες (1, 2 και 3) τις τρεις καλύτερες μετρήσεις ανάμεσα στα σχολεία, όπου για τους υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τους τύπους (3) και (6). Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 1 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Δίκαια : Κως : Πίνακας 1: Μετρήσεις μεταξύ Δικαιων και Κω Ο μέσος όρος των τριών τελικών μετρήσεων με την προηγούμενη μέθοδο είναι r = 6361 Km, τιμή αρκετά κοντά στο πραγματικό μέγεθος της ακτίνας της Γης. (5) (6) 2.3 Μέτρηση της ακτίνας της Γης χρησιμοποιώντας άμεσα ή έμμεσα GPS Η μέτρηση της ακτίνας της Γης, με την χρήση άμεσα η έμμεσα GPS έγινε με δύο διαφορετικούς τρόπους διαμέσου του μεσημβρινού και διάμεσου του παράλληλου. Η μέτρηση της ακτίνας του μεσημβρινού θεωρώντας τον ότι είναι κύκλος, έγινε με την παρακάτω διαδικασία. Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 2 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Πηγάδια : αʹ 58.2 Κως : αʹμήκος παρασκιάς 141 cm. Πίνακας 2: Μετρήσεις μεταξύ Καρπάθου και Κω 7

9 Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 3 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Τυχερό : Κως : Πίνακας 3: Μετρήσεις μεταξύ Τυχερού και Κω Στην αυλή του δεύτερου γυμνασίου Κω ορίστηκαν δυο σημεία Α και Β επί του ίδιου μεσημβρινού. Μετρήθηκαν δυο μεγέθη: 1. Η απόσταση ανάμεσα στα δυο σημεία Α και Β σε μέτρα δηλαδή το μήκος του τόξου. 2. Το τόξο ΑΒ σε μοίρες, ως διαφορά ανάμεσα στα γεωγραφικά πλάτη των δυο σημείων Α και Β και κατά συνέπεια την επίκεντρο που αντιστοιχεί σε αυτό, με κορυφή το κέντρο της γης. Χρησιμοποιώντας την μαθηματική σχέση που συνδέει τα μήκη των τόξων με τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες του, μπορούμε να αναχθούμε στον υπολογισμό της περιμέτρου του μεσημβρινού και κατά συνέπεια της ακτίνας του, δηλαδή της ακτίνας της γης. Ο υπολογισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων των σημείων Α και Β έγινε με τρεις παραλλαγές: 1. Με το GPS Explorist Με κινητό ΝΟΚΙΑ Με το Google Earth Πρώτος τρόπος: Μέτρηση με GPS μέσω του μεσημβρινού Μέτρηση με τον GPS Explorist 100: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου μας πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (σημεία με το ίδιο γεωγραφικό μήκος και διαφορετικό πλάτος). Οι συντεταγμένες των σημείων είναι: A (360 o N, 270 o E) B (360 o N, 270 o E) (7) Άρα η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των σημείων Α και Β είναι 1.02 και αντιστοιχεί στην επίκεντρο γωνία, με κορυφή το κέντρο της γης, που βλέπει στο τόξο ΑΒ. Μετράμε το μήκος του τόξου ΑΒ στο έδαφος. Από τις τιμές που υπολογίσαμε εξαιρούμε τις ακραίες, ως πιθανές τιμές απόκλισης και παίρνουμε το μέσο όρο των υπολοίπων: Σε τόξο μήκους 2πR αντιστοιχεί γωνία 360 o ή (= ). 8

10 Με βάση την υπολογισθείσα μέση τιμή βρίσκουμε ότι τόξο μήκους m αντιστοιχεί σε επίκεντρο 1. Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε: 2πR 1 = R = π 1 R = R = R = m (8) Άρα η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 1 = Km. Υπολογισμός συντεταγμένων με κινητό NOKIA 52: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου μας πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (σημεία με το ίδιο γεωγραφικό μήκος και διαφορετικό πλάτος) με απόκλιση γεωγραφικού πλάτους 1. Μετράμε το μήκος του τόξου ΑΒ στο έδαφος που αντιστοιχεί σε επίκεντρο γωνία 1. Από τις παρακάτω τιμές που υπολογίσαμε εξαιρούμε τις ακραίες ως πιθανές τιμές μεγάλης απόκλισης και παίρνουμε τη μέση τιμή των υπολοίπων: Σε τόξο μήκους 2πR m αντιστοιχεί γωνία 360 o = (= 360 o = Με βάση την υπολογισθείσα μέση τιμή βρίσκουμε ότι τόξο μήκους 31.5 m αντιστοιχεί σε επίκεντρο 1. Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα: 2πR 1 = R = π 1 R = R = R 2 = m (9) Άρα η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 2 = Km. Συγκρίνοντας τις δυο υπολογισθείσες τιμές των ακτινών της γης, βλέπουμε ότι οι τιμές έχουν μια απόκλιση ΔR = R 2 R 1 = = Km (10) Υπολογισμοί με τη χρήση του Google Earth: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στο Google Earth στην αυλή του δευτέρου γυμνασίου Κω (εικ. 5), πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (με 9

11 το ίδιο γεωγραφικό μήκος) μετράμε το μήκος του ΑΒ πάλι με τις δυνατότητες που μας δίνει το Google Earth. Η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο σημείων Α και Β είναι: 36 o o = 1.13 (11) και η απόσταση ΑΒ = m Και έχουμε : Τα ποσά του πίνακα είναι ανάλογα και έχουμε: 2πR 1.13 = R = Κm (12) Άρα η ακτίνα της γης με βάση αυτή τη μέτρηση είναι R 3 = 6351Κm Δεύτερος τρόπος: Μέτρηση της ακτίνας της Γης μέσω του παραλλήλου Ο υπολογισμός της ακτίνας της γης μέσω του παραλλήλου έγινε ως εξής: Υπολογίζοντας πρώτα την ακτίνα του παράλληλου που διέρχεται από τη Κω, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το γεωγραφικό πλάτος του τόπου αναλύουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η ακτίνα του παράλληλου, η ακτίνα της γης στον τόπο μέτρησης και τμήμα του άξονα της γης (Εικ. 7). Με τον τρόπο αυτό παρακάμπτεται και το πρόβλημα της μη κυκλικότητας του μεσημβρινού και τα πιθανά υπολογιστικά λάθη. Αρχίζουμε με την μέτρηση της ακτίνας του παράλληλου κύκλου της περιοχής και στη συνέχεια της ακτίνας της Γης. Θεωρούμε δυο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου (Εικόνα 5) που έχουν το ίδιο γεωγραφικό πλάτος: Η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο σημείων Α και Β είναι: 27 o o = 2 (13) και η απόσταση που υπολογίζεται με την δυνατότητα που μας δίνει το Google Earth είναι ΑΒ = m. Η παραπάνω απόσταση θεωρούμε ότι είναι το μήκος του τόξου που ορίζουν τα δύο σημεία. Άρα: Τα μεγέθη του πίνακα είναι ανάλογα και έχουμε: 2πR 2 = R = Km (14) Άρα η ακτίνα ρ της παράλληλου είναι Km. Γνωρίζοντας ότι το γεωγραφικό πλάτος της Κω στο ύψος του σχολείου μας είναι o, δηλαδή στην εικόνα 6 η γωνία φ = από το τρίγωνο CC D έχουμε τη σχέση: R = ρ συν( ) R = Km συν(36.88) R = Km R = km (15) Άρα με το δεύτερο τρόπο η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 4 = km που είναι και η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης. 10

12 Σχήμα 5: Η αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω από το Google Earth Σχήμα 6: Υπολογισμός της ακτίνας της Γης 11

13 ΓΕΩΓΡΑΦΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΤΟΣ ΑΚΤΙΝΑ ΣΕ ΜΕΤΡΑ Eρατοσθένης ΑΙΓΥΠΤΟΣ 230 π.χ Posidonio ΑΙΓΥΠΤΟΣ, ΡΟΔΟΣ Abelseda ΑΡΑΒΙΑ AlHYPERLINK ΠΕΡΣΙΑ Albazen ΑΡΑΒΙΑ Fernal ΓΑΛΛΙΑ Snell ΟΛΛΑΝΔΙΑ Norwood ΑΓΓΛΙΑ Ricolli e Firmaldi ΛΟΜΒΑΡΔΙΑ Picard ΓΑΛΛΙΑ Cassini ΓΑΛΛΙΑ Everest Bessel Clarke Clarke Hayford Fischer Πίνακας 4: Χρονολόγιο διαφόρων μετρήσεων της ακτίνας της Γης Συνοψίζοντας: Το μήκος της ακτίνας της γης είναι: Με τη μέθοδο του Ερατοσθένη R 0 = 6321km. Με το GPS Explorist 100, R 1 = 6384Km. Με κινητό ΝΟΚΙΑ 52, R 2 = 6500Km. Με το Google Earth, R 3 = 6351Κm. Διαμέσου του παράλληλου δηλαδή η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης, R 4 = 6378km. Με την συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου υπολογίστηκε ο μέσος όρος των ακτινών ανάμεσα στα σχολεία που είναι R 5 = 6361Κm. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων μας, με τις διάφορες μετρήσεις που έγιναν ανά τους αιώνες (πίνακας 4) και αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τα αποτελέσματα είναι μέσα σε αποδεκτά όρια εξαιρούμενης της τιμής R 2 = 6500Km που υπολογίσαμε με το κινητό ΝΟΚΙΑ 52. Οι διαφορές στις τιμές κατά τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης που έχουμε μπορεί να οφείλονται: στην διαφορετική ακρίβεια των οργάνων και στην ακρίβεια των μετρήσεων. Ειδικά για την ακρίβεια των μετρήσεων, προσπαθήσαμε να περιορίσουμε τα πιθανά λάθη, αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων και παίρνοντας τον μέσο όρο, ειδικά σε αυτές που έγιναν με GPS Explorist 100 ή με το κινητό ΝΟΚΙΑ

14 3 Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης Ο Πλανήτης Γη πραγματοποιεί τέσσερις κινήσεις: Την περιστροφή γύρω από τον άξονά της, την περιφορά γύρω από τον Ήλιο, την Ηλιακή μεταβατική περιφορά που πραγματοποιεί ακολουθώντας την περιστροφή του Ηλιακού συστήματος και την Γαλαξιακή μεταβατική περιφορά, που πραγματοποιεί ακολουθώντας την περιστροφή του Γαλαξία. Οι δύο πρώτες είναι οι σημαντικότερες. Από τον Κοπέρνικο ( ) γνωρίζουμε ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο. Ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται η Γη λέγεται άξονας περιστροφής και γίνεται από τα δυτικά προς τα ανατολικά. Η ταχύτητα περιστροφής, ενός σημείου της επιφάνειας της Γης, εξαρτάται από το γεωγραφικό του πλάτος. Στον ισημερινό η Γη έχει μεγαλύτερη ταχύτητα απ ότι σε μεγαλύτερα γεωγραφικά πλάτη. Στο γεγονός αυτό οφείλεται στο σχήμα της. Στην περιστροφή της Γης οφείλεται η εναλλαγή της ημέρας και της νύχτας. Η διαφορετική χρονική διάρκεια της ημέρας κατά τη διάρκεια του έτους, η οποία παρατηρείται μεταξύ του ισημερινού και του πολικού κύκλου, οφείλεται στην διαφορετική κλίση του άξονα της γης κατά την ετήσια περιφορά της γύρω από τον Ήλιο. Στην ίδια αιτία οφείλεται και η εναλλαγή των εποχών κατά τη διάρκεια του έτους. Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης στον Ισημερινό Από τη στιγμή που υπολογίσαμε την ακτίνα της γης μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο της στον ισημερινό με τον τύπο Π = 2πR = = km (16) και από τον γενικό τύπο της γραμμικής ταχύτητας στον ισημερινό προκύπτει U = Π t = km 24 h = 1666 km/h (17) Άρα η ταχύτητα περιστροφής στον ισημερινό είναι U = 1666 km/h = 19.6 m/s. Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης στο ύψος της Κω Γνωρίζοντας την ακτίνα του παραλλήλου στο ύψος της Κω, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο του με τον τύπο Π = 2πR = = km (18) και από τον γενικό τύπο της γραμμικής ταχύτητας έχω την ταχύτητα περιστροφής στην Κω U = Π km = = 1334 km/h = 15.4 m/s (19) t 24 h 4 Υπολογισμός λόξωσης της ελλειπτικής Λόξωση της ελλειπτικής ονομάζεται η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο της ελλειπτικής με το επίπεδο του ουράνιου ισημερινού. Οι 4 εποχές του έτους οφείλονται 13

15 στη λόξωση της ελλειπτικής όπως και η διαφορετική διάρκεια της ημέρας κατά το έτους. Αποφασίσαμε να υπολογίσουμε τη λόξωση της ελλειπτικής, ως διαφορά του μήκους των σκιών του γνώμονα σε δυο διαφορετικές μέρες του έτους, δηλαδή την ώρα που ο ήλιος μεσουρανεί κατά την διάρκεια της φθινοπωρινής ισημερίας και του χειμερινού ηλιοστασίου. Η μέθοδος αυτή δεν είναι απολύτως ακριβής, δίνει όμως το μέγεθος της γωνίας με ακρίβεια μοίρας. Η διαδικασία ήταν η εξής: Τοποθετήθηκε γνώμονας στην αυλή του σχολείου και είχαμε το μεσημέρι στις , κατά την φθινοπωρινή ισημερία, τις παρακάτω τιμές: Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 0.75 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικ. 3) έχουμε την σχέση εφα = l h = 0.75 = 0.75 (20) 1 άρα η γωνία α = 37 o. Τοποθετήθηκε o ίδιος γνώμονας στην αυλή του σχολείου μας κοντά στο χειμερινό ηλιοστάσιο και είχαμε το μεσημέρι στις , τις εξής μετρήσεις Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 1.8 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα έχουμε την σχέση εφβ = l h = 1.8 = 1.8 β = 60 (21) 1 Η λόξωση της ελλειπτικής είναι η διαφορά των γωνιών β α = = 23 o (22) Αναφορές [1] Νικάστρο Νίκολας. Ο Ερατοσθένης και η αρχαία προσπάθεια για τη μέτρηση της υδρογείου. Εκδόσεις Μίνωας. [2] Tonali Paolo. Antica e nuova matematica. Ed. Libero [3] Μαθηματικά γ γυμνασίου Ο.Ε.Δ.Β ΑΘΗΝΑ [4] Μαθηματικά β γυμνασίου Ο.Ε.Δ.Β ΑΘΗΝΑ [5] [6] [7] https://sites.google.com/site/astronomy/syndesmoi [8] [9] Η επεξεργασία του κειμένου της παρούσας εργασίας με τον L A TEX/X από τον συνάδελφο φυσικό Ἰωάννη Ἀ. Βαμβακᾶ. L A TEX έγινε E 14

ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ. Εικόνα. ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΣΕΛΙΔΑ ΑΠΟ ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ

ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ. Εικόνα. ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΣΕΛΙΔΑ ΑΠΟ ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ήταν επομένως ώριμες οι συνθήκες για να φτάσει η αρχαία γεωγραφία στο απόγειο της ακμής της κατά τον 2ο μχ αι. με τον Κλαύδιο Πτολεμαίο: τα κείμενα και οι χάρτες που αποδίδονται σ'

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π.

Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π. Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π. Ανάδροµη Φορά Ορθή Φορά Η ορθή και ανάδροµη φορά περιστροφής της Ουράνιας Σφαίρας, όπως φαίνονται από το Βόρειο και το Νότιο ηµισφαίριο, αντίστοιχα Κύκλος Απόκλισης Μεσηµβρινός

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

Η κατακόρυφη ενός τόπου συναντά την ουράνια σφαίρα σε δύο υποθετικά σηµεία, που ονοµάζονται. Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά. αστέρα Α ονοµάζεται

Η κατακόρυφη ενός τόπου συναντά την ουράνια σφαίρα σε δύο υποθετικά σηµεία, που ονοµάζονται. Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά. αστέρα Α ονοµάζεται Sfaelos Ioannis Τα ουράνια σώµατα φαίνονται από τη Γη σαν να βρίσκονται στην εσωτερική επιφάνεια µιας γιγαντιαίας σφαίρας, απροσδιόριστης ακτίνας, µε κέντρο τη Γη. Τη φανταστική αυτή σφαίρα τη λέµε "ουράνια

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ;

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; Λόγω της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, όταν μεταξύ μιας φωτεινής πηγής και ενός περάσματος παρεμβάλλεται ένα αδιαφανές σώμα, δημιουργείτε στο πέρασμα

Διαβάστε περισσότερα

Τα όργανα του Πτολεμαίου

Τα όργανα του Πτολεμαίου Ο Πτολεμαίος και η Αστρονομία. Ο Πτολεμαίος παρατηρεί με το τεταρτοκύκλιο το ύψος της σελήνης. Πρόκειται για μεταγενέστερη μορφή του οργάνου. Στο έδαφος και ο σφαιρικός αστρολάβος. Τα όργανα του Πτολεμαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης 1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης Απαραίτητο όλων των ωκεανογραφικών ερευνών και μελετών Προσδιορισμός θέσης & πλοήγηση σκάφους Σε αυτό το εργαστήριο.. Τι περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ 3 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ 3 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ 3 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Ο Ερατοσθένης καταγόταν από την Κυρήνεια και γύρω στο 260 π.χ. πήγε στην Αθήνα για να σπουδάσει φιλοσοφία. Την εποχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επίδραση μαγνητικού πεδίου της Γης. (συνοδεύει τις διαφάνειες)

Επίδραση μαγνητικού πεδίου της Γης. (συνοδεύει τις διαφάνειες) Επίδραση μαγνητικού πεδίου της Γης (συνοδεύει τις διαφάνειες) Επίδραση μαγνητικού πεδίου της Γης. Ένα σωματίδιο με ατομικό αριθμό Ζ, που κινείται σε μαγνητικά πεδίο Β με ταχύτητα υ. Η κεντρομόλος δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές

Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές Στόχοι: Στο τέλος αυτού του µαθήµατος ο σπουδαστής θα γνωρίζει: Tις σηµαντικότερες κατηγορίες δορυφορικών τροχιών Τους παράγοντες που οδηγούν στην επιλογή συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ERATOSTHENES EXPERIMENT SEPTEMBER 2015

ERATOSTHENES EXPERIMENT SEPTEMBER 2015 ERATOSTHENES EXPERIMENT SEPTEMBER 2015 Ο Ερατοσθένης έζησε περί το 200 π.χ. στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου και ήταν ο Διευθυντής της πασίγνωστης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Mία μέρα έλαβε ένα γράμμα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

2. Ένα μπαλάκι το δένουμε στην άκρη ενός νήματος και το περιστρέφουμε. Αν το μπαλάκι

2. Ένα μπαλάκι το δένουμε στην άκρη ενός νήματος και το περιστρέφουμε. Αν το μπαλάκι 1. Α. Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ( περιοδική/ ομαλή κυκλική κίνηση) Β. Ένα αυτοκίνητο που κινείται σε κυκλική πλατεία, σίγουρα εκτελεί (κυκλική / ομαλή κυκλική) κίνηση. Γ. Η κίνηση του άκρου ενός

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέτρηση της Περιφέρειας της Γης από τον Ερατοσθένη

Η Μέτρηση της Περιφέρειας της Γης από τον Ερατοσθένη Η Μέτρηση της Περιφέρειας της Γης από τον Ερατοσθένη Παναγιώτης Παζούλης 4 ο ΓΕΛ ράµας pazoulis@hotmail.com Περίληψη Αφορµή για αυτή την εργασία ήταν η λίστα µε τα δέκα οµορφότερα πειράµατα φυσικής που

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 77 10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας

Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας GoLab Global Online Science Labs for Inquiry Learning at School Επιστημονικές πειραματικές διατάξεις και εικονικά πειράματα στην υπηρεσία της εκπαιδευτικής διαδικασίας Δρ. Γεώργιος Μαυρομανωλάκης [gmavroma@ea.gr]

Διαβάστε περισσότερα

Άρης Ασλανίδης 1, Αδάμ Δαμιανάκης 2, Κατερίνα Τσαδήμα 2 info@educationplace.gr, ad@conceptum.gr, katerina@conceptum.gr 1

Άρης Ασλανίδης 1, Αδάμ Δαμιανάκης 2, Κατερίνα Τσαδήμα 2 info@educationplace.gr, ad@conceptum.gr, katerina@conceptum.gr 1 Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Μαθαίνουμε Γεωλογία- Γεωγραφία Α Γυμνασίου στον Διαδραστικό Πίνακα» και η αξιοποίησή του στη διδασκαλία του μαθήματος «Ο πλανήτης Γη» Άρης Ασλανίδης 1, Αδάμ Δαμιανάκης 2, Κατερίνα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήενέργεια Ηλιακή γεωµετρία Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήγεωµετρία Ηλιακήγεωµετρία Η Ηλιακή Γεωµετρία αναφέρεται στη µελέτη της θέσης του ήλιου σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 10 10.0 ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το σύστημα GPS επιτρέπει τον ακριβή προσδιορισμό των γεωγραφικών συντεταγμένων μιας οποιασδήποτε θέσης,

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ Το ρολόι αυτό είναι κατασκευασµένο από λευκό µάρµαρο Θάσου. Βρίσκεται στην αυλή του Γυµνασίου Νικηφόρου ράµας σε 41 0 10' 12'' βόρειο πλάτος και 24 0 18' 49.83'' ανατολικό

Διαβάστε περισσότερα

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 37 5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 5.1 Εισαγωγή Οι κύριες κινήσεις της Γης είναι: μια τροχιακή κίνηση του κέντρου μάζας γύρω από τον Ήλιο και μια περιστροφική κίνηση γύρω από τον άξονα που περνά από

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1 Σύστημα γήινων συντεταγμένων Γήινος μεσημβρινός του τόπου Ο Μεσημβρινός του Greenwich (πρώτος κάθετος) Γεωγραφικό μήκος 0

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Ηλιακή γεωμετρία και ακτινοβολία Εισαγωγή

Κεφάλαιο 5: Ηλιακή γεωμετρία και ακτινοβολία Εισαγωγή Κεφάλαιο 5: 5.1. Εισαγωγή Η ηλιακή γεωμετρία περιγράφει τη σχετική κίνηση γης και ήλιου και αποτελεί ένα σημαντικό παράγοντα που υπεισέρχεται στον ενεργειακό ισολογισμό κτηρίων. Ανάλογα με τη γεωμετρία

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2 Ανατολή-δύση αστέρων Από την σχέση αυτή προκύπτουν δυο τιμές για την ωριαία γωνία Η Δ για την οποία ο αστέρας βρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάθημα 1

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάθημα 1 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάθημα 1 Γεωκεντρικό σύστημα παρατήρησης Με εξαίρεση έναν αριθμό από διαστημικές αποστολές, οι παρατηρήσεις των ουράνιων αντικειμένων

Διαβάστε περισσότερα

Αστρονομία. Ενότητα # 1: Ουράνια Σφαίρα Συστήματα Συντεταγμένων. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Αστρονομία. Ενότητα # 1: Ουράνια Σφαίρα Συστήματα Συντεταγμένων. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αστρονομία Ενότητα # 1: Ουράνια Σφαίρα Συστήματα Συντεταγμένων Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Αριστοτέιο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

39 40'13.8"N 20 51'27.4"E ή , καταχωρουνται στο gps ως

39 40'13.8N 20 51'27.4E ή , καταχωρουνται στο gps ως ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ,ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΝΟΙΩΝ &ΤΡΟΠΟΙ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ ΣΕ GPS Το γεωγραφικό πλάτος (latitude) είναι ένα από τα δύο μεγέθη των γεωγραφικών συντεταγμένων με τα οποία προσδιορίζεται η θέση των διαφόρων τόπων και

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΙΚΑ ΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΥΛΙΚΑ ΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΛΙΚΑ ΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΗΛΙΑΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Μάθημα 2o Διδάσκων: Επ. Καθηγητής Ε. Αμανατίδης ΔΕΥΤΕΡΑ 6/3/2017 Τμήμα Χημικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Πατρών Περίληψη Ηλιακή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση Ο χώρος Τα χελιδόνια έρχονται και ξανάρχονται. Κάθε χρόνο βρίσκουν μια γωνιά για να χτίσουν τη φωλιά, που θα γίνει το επίκεντρο του χώρου τους. Ο χώρος είναι ένας οργανικός χώρος, όπως εκείνος που αφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Προβολικά Συστήματα (Μέρος 1 ο ) Νικολακόπουλος Κωνσταντίνος, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 26 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Μαΐου, 2012 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: 1) Είναι πολύ σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΙΔΕΩΝ ΤΩΝ ΠΡΩΤΟΕΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΙΔΕΩΝ ΤΩΝ ΠΡΩΤΟΕΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΙΔΕΩΝ ΤΩΝ ΠΡΩΤΟΕΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Πτυχιακή Εργασία Πέτρου Μαρία Επιβλέπων Καθηγητής Βλάχος Λουκάς «Ο πιο σπουδαίος απλός παράγοντας που επηρεάζει τη μάθηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3 Εφαρμογή: Μεταβολή των ουρανογραφικών συντεταγμένων λόγω της μετάπτωσης του άξονα του κόσμου (προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Α «ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ» ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ:ΚΑΤΣΑΔΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΠΕ15 2014-15

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Α «ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ» ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ:ΚΑΤΣΑΔΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΠΕ15 2014-15 ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΑΞΗ Α «ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ» ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ:ΚΑΤΣΑΔΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΠΕ15 2014-15 Τίτλος παρέμβασης: «ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ» (Α 1.1) Χρόνος διάρκεια: 1 διδακτική ώρα. Τάξη: Α Γυμνασίου Γνωστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Μάθημα 3 ο (Κεφ. 2 ο ) Ν. Στεργιούλας Τα 3 πρώτα ορίζονται με βάση περιοδικές κινήσεις ουρανίων σωμάτων. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ Τα κυριότερα συστήματα χρόνου στην Αστρονομία: (α) Αστρικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου.

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου. Ενότητα Χάρτες Φύλλο Εργασίας Μελέτη χαρτών Τάξη Α Γυμνασίου Ονοματεπώνυμο.Τμήμα..Ημερομηνία. Σκοποί του φύλλου εργασίας Η εξοικείωση 1. Με την χρήση των χαρτών 2. Με την χρήση της πυξίδας 3. Με την εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΝΟΜΟΣ COULOMB Πριν την ανάπτυξη της μεθοδογίας κρίνεται σκόπιμο να τονίσουμε τον τρόπο γραφής της δύναμης Coulomb που ασκείται μεταξύ δύο φορτίων. Συγκεκριμένα για αποφυγή των λαθών των μαθητών στις δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΑΛΑΤΣΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ Msc

ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΑΛΑΤΣΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ Msc ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις επόμενες προτάσεις: α. Το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο πραγματοποιείται μία πλήρης ταλάντωση ονομάζεται.. και το πηλίκο του αριθμού των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Αστρονομία. Ενότητα # 3: Συστήματα Χρόνου. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Αστρονομία. Ενότητα # 3: Συστήματα Χρόνου. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αστρονομία Ενότητα # 3: Συστήματα Χρόνου Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ 3. Νίκος Κανδεράκης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ 3. Νίκος Κανδεράκης ΔΥΝΑΜΙΚΗ 3 Νίκος Κανδεράκης Νόμος της βαρύτητας ή της παγκόσμιας έλξης Δύο σώματα αλληλεπιδρούν με βαρυτικές δυνάμεις Η δύναμη στο καθένα από αυτά: Είναι ανάλογη με τη μάζα του m Είναι ανάλογη με τη μάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα