ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ"

Transcript

1 Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου του ορθογωνίου, ii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου όταν ΑΒ = 10cm και ΒΓ = 6cm.. Η θέση ενός κινητού, το οποίο βρίσκεται πάνω στον άξονα, δίνεται από τη 3 σχέση ( t) t 6t 9t 4, t 0 i) Ποιες χρονικές στιγμές το κινητό βρίσκεται στην αρχή των αξόνων; ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του κινητού για t =. iii) Να βρεθούν οι θέσεις του κινητού στις οποίες αυτό ηρεμεί. iv) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κινητού για t = Το ύψος της στάθμης του νερού σε ένα κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης cm ανεβαίνει με ρυθμό cm / s. i) Να γραφεί σχέση που να συνδέει τον όγκο V του νερού με το ύψος της στάθμης του. ii) Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος του νερού. 4. Ο όγκος ενός σφαιρικού μπαλονιού αυξάνεται με ρυθμό 3π cm 3 / s. Να βρείτε: i) την ακτίνα του μπαλονιού τη χρονική στιγμή t 0 που η επιφάνεια του είναι 16π cm. ii) τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η ακτίνα του τη χρονική στιγμή t 0 που η επιφάνεια της σφαίρας είναι 16π cm. 5. Σε έναν κατακόρυφο τοίχο βρίσκεται στερεωμένη πλάγια μια σκάλα μήκους 5m. Το κάτω μέρος της σκάλας αρχίζει να γλιστρά με ρυθμό 1m/s. Τη χρονική στιγμή t 0 που το κάτω μέρος της σκάλας απέχει από τον τοίχο 3m, να βρείτε: i) σε τι ύψος είναι στερεωμένη η σκάλα, ii) με τι ρυθμό πέφτει το πάνω μέρος της σκάλας, iii) με τι ρυθμό μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη σκάλα, τον τοίχο και το έδαφος, iv) με τι ρυθμό μεταβάλλεται η γωνία θ που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο. 6. Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ = 16 cm μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm/s. Αν τη χρονική στιγμή t 0 το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ 6cm, να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών, ii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ. 7. Αν σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η περίμετρος αυξάνεται με ρυθμό 3cm / s, να βρεθεί: i) με τι ρυθμό μεταβάλλεται η πλευρά του τριγώνου, ii) με τι ρυθμό μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου όταν αυτό είναι ίσο με 3 cm. 8. Ένα σημείο Μ(, y) κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 f ( ) 3. Αν τη χρονική στιγμή t 0 η κλίση της f στο σημείο Μ είναι 141

2 Ενότητα 17 5 και η τετμημένη του Μ αυξάνεται με ρυθμό cm/s, να βρεθούν : i) η τετμημένη του σημείου Μ, ii) ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του κύβου τη χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι 5cm. 9. Το μήκος ενός κύκλου αυξάνεται με ρυθμό 3cm/s. Τη χρονική στιγμή t 0, κατά την οποία το εμβαδόν του κύκλου είναι 100π cm, να βρεθούν: i) η ακτίνα του κύκλου ii) ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του κύκλου, iii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του κύκλου. 10. Οι ακτίνες r και R( r < R ) δύο ομόκεντρων κύκλων μεταβάλλονται με τέτοιον τρόπο, ώστε το εμβαδόν του σχηματιζόμενου δακτυλίου να είναι σταθερό και ίσο με 0π m. Το μήκος του μικρού κύκλου μεταβάλλεται με ρυθμό π m/s. i) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας r. ii) Να αποδειχθεί ότι dr R r. iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μεγάλου κύκλου όταν dt 4 r m. 11. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μήκους της σκιάς ενός ανθρώπου, ύψους 1,70m, ο οποίος απομακρύνεται με ταχύτητα m/s από μια κολόνα, της οποίας η λάμπα φωτίζει από ύψος 5,1 m από το έδαφος. 1. Δύο πλοία Α και Β, που κινούνται το ένα ανατολικά και το άλλο βόρεια με ταχύτητες ua 1 km / h u B 18 km / h αντίστοιχα, διήλθαν από έναν φάρο στη 1 μ.μ. και στις μ.μ. αντίστοιχα. Να βρείτε: i) την απόσταση των δύο πλοίων στις 3 μ.μ., ii) τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης των δύο πλοίων στις 3 μ.μ. 13. Σε μια κωνική δεξαμενή χύνεται νερό με ρυθμό π m 3 /s. Αν το ύψος της δεξαμενής είναι 10m και το πάνω μέρος της έχει εμβαδόν 5π m, να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο ανέρχεται το επίπεδο του νερού όταν το βάθος του είναι m. Προβλήματα 14. Από ένα διαστημικό κέντρο Κ παρακολουθείται η κατακόρυφη εκτόξευση ενός πυραύλου. Η βάση εκτόξευσης βρίσκεται 3km από το κέντρο παρακολούθησης. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζουν ο πύραυλος, το κέντρο και η βάση εκτόξευσης, τη στιγμή που ο πύραυλος έχει διανύσει 6km και η ταχύτητα του είναι 45km/s. 15. Ένας γερανός έλκει οριζόντια ένα βαρύ αντικείμενο που βρίσκεται στο έδαφος με ένα συρματόσχοινο. Η τροχαλία βρίσκεται σε ύψος 3m από το έδαφος πάνω από τον γερανό. Αν το συρματόσχοινο διέρχεται από την τροχαλία με ρυθμό 0m/min, να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο το σώμα πλησιάζει τον γερανό όταν αυτό απέχει 4m. 16. Ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) ( 1). Η τετμημένη του Μ είναι θετική και απομακρύνεται από την αρχή Ο των αξόνων με ρυθμό. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο Μ με τον άξονα όταν αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y 1 0, καθώς και η τετμημένη του Μ τη στιγμή εκείνη. 14

3 Ενότητα Σε έναν κύκλο με μεταβλητή ακτίνα είναι εγγεγραμμένο ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Η ακτίνα του κύκλου αυξάνεται με ρυθμό 3 cm / s. i) Να γραφτεί το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου. ii) Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου όταν έχει εμβαδόν ίσο με 4π cm. iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή που το εμβαδόν του κύκλου είναι 4π cm. 18. Η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 8cm / s. Να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η ακτίνα της είναι 5 cm. 19. Σε ένα ισοσκελές και οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) η γωνία Â αυξάνεται με ρυθμό 4 rad / s, ενώ οι ίσες πλευρές του διατηρούν σταθερό μήκος. i) Να γραφεί το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση των ίσων πλευρών του και της γωνίας του. ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή που αυτό γίνεται ισόπλευρο. iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή που αυτό γίνεται ορθογώνιο. 0. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = 10 και ua 6. Στο τρίγωνο εγγράφουμε ορθογώνιο ΔΕΖΗ με. i) Αν ΕΖ = και ΗΖ = y, να βρεθεί σχέση μεταξύ των και y. ii) Να γραφεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου ως προς την πλευρά ΕΖ καθώς αυτή αυξάνεται τη στιγμή που ΕΖ =. iv) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου ως προς την ΕΖ όταν το εμβαδόν του ΔΕΖΗ γίνεται μέγιστο. 1. Μια κάμερα είναι τοποθετημένη στην κορυφή ενός φαναριού ύψους 3 m. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ υπό την οποία η κάμερα παρακολουθεί ένα όχημα που κινείται με ταχύτητα 40 km/h όταν αυτό: i) έχει απομακρυνθεί από το φανάρι κατά 4m, ii) σε 4 m θα έχει διέλθει από το φανάρι.. Ένας ερευνητής διαθέτει μια συσκευή που του δίνει τη δυνατότητα να μετρά τη γωνία θ υπό την οποία φαίνεται η ακτίνα R ενός σφαιρικού αερόστατου που βρίσκεται σε απόσταση h από αυτόν. Αν R = m, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης h ως προς τη γωνία θ όταν θ =

4 3. Μια μεταβλητή ορθή γωνία AOB τέμνει την παραβολή με εξίσωση στα σημεία Α και Β. Η τετμημένη A του Α μεταβάλλεται με ρυθμό 3 cm/s. Να βρεθούν: i) οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β ως συνάρτηση του A, ii) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του A, iii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΟΒ τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι cm. A y ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (Θ. Μ. Τ.) Ασκήσεις για λύση 1). Να εξετάσετε για ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο αντίστοιχο διάστημα. 4 i) f()=, -, ii) g()=, -, iii) h()= 3, -3,3 1 iv) φ()=( 3 ) e, 1, ). Στο επόμενο σχήμα δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα 1,8. i) Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στα διαστήματα: a) 1,3 β) 3,5 ) 1,6 δ),8 ii) Να βρείτε ένα διάστημα στο οποίο ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle, αλλά δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις του., -1 3). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i) 3, > -1 Να εξετάσετε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος της μέσης τιμής για την f στο διάστημα 3,. ii) Εφόσον πληρούνται, να το εφαρμόσετε και να βρείτε τα ξ που το επαληθεύουν. 144

5 a, 0 4). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Να 3 ( 1), > 0 βρείτε τις τιμές των α και β έτσι, ώστε να εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Rolle στο διάστημα 1,1. 5). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ, ώστε για τη συνάρτηση a, <0 f ( ) να 4, 0 εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα,. Στη συνέχεια να επαληθευτεί το θεώρημα για τη συνάρτηση f., παραγωγίσιμη στο 6). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα διάστημα (α, β), f (α) = β και f (β) = α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε f (ξ) = ). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει για κάθε τιμή του μ το πολύ μία ρίζα στο διάστημα (1, ). 5 8). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5 0, όπου λ, δεν μπορεί να έχει δύο πραγματικές ρίζες στο διάστημα (-1, 1). 9). Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β. 10). Να αποδείξετε ότι: i) ημα-ημβ για κάθε α, β ii) αν 0<α<β, τότε 1 ln 1 a iii ) αν 0<α<β, τότε a a π e e e e iv ) αν 0<α<β<, τότε 11). Να αποδείξετε ότι: e 1 i) e 1 για κάθε < 0 ii) ln( 1) +1 για κάθε > 0 1). Δίνεται η συνάρτηση f : δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f ''( ) 0 για κάθε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = 0 έχει το πολύ δύο ρίζες.,, δύο φορές 13). Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) και ισχύουν f (α) = α, f (β) = β και f (γ) = γ,, τέτοιο, ώστε για κάποιο γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ f ''( ) 0. 14). Δίνεται η συνάρτηση f :, συνεχής στο διάστημα, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β) με f (α) = f (β). Αν γ είναι σημείο του (α, β) 145

6 f ( ) f ( ) f ( ) f ( a) τέτοιο, ώστε, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α, β) a με f ''( ) ). Αν α < 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση a 0 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. :, 16). Δίνεται η συνάρτηση f a, η οποία είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (α, β). Να αποδείξετε ότι: i) για f ( ) τη συνάρτηση g( ) e ( a)( ) εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο, ii) υπάρχει ξ ( ) τέτοιο, 1 1 ώστε f '( ) a. 17). Αν α + 5β +10γ = 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση α 4 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1). 18). Σε έναν αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν ταυτόχρονα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή t 0 στη διάρκεια του αγώνα, κατά την οποία οι δύο αθλητές έχουν την ίδια ταχύτητα. 19). Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μια διαδρομή 300 km σε 3 ώρες. Να αποδείξετε ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 100km την ώρα. 0). Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο f( )=f( ) f '( )=f '( )=0, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ( α, β ) τέτοιο, ώστε f '''( ) 0. 1). Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο (-, ) με f '( ) 1 για κάθε (,), f(-)=- f()=. i) Να εφαρμόσετε για την f τo Θ.M.T. στα διαστήματα,0 0,. ii) Να αποδείξετε ότι f (0) = 0. ). Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : είναι f '( ) για κάθε. f(1)=000, να αποδείξετε ότι 1998 f () 00. 3). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). 1,, παραγωγίσιμη στο 4). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα διάστημα (1, ) και f() f(1) =3, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f '( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1, )., παραγωγίσιμη στο 5). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα διάστημα (α, β) και f ( a) f ( ) a. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 ( ) τέτοιο, ώστε f '( 0 ) 0. f :, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα 6). Δίνεται η συνάρτηση, αποδειχθεί ότι: i) υπάρχει γ a και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) με f ( a) a f( )=. Να τέτοιο, ώστε f (γ) = α + β γ, ii) υπάρχουν 1, ( ) με 1 τέτοια, ώστε f '( 1 ) f '( )

7 7). Δίνεται η συνάρτηση (4a ) 3a 8, <0 f ( ) Να βρείτε τους α, β και γ, ώστε: i) η f να παραγωγίζεται στο, ii) να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για την f στο 1,1. 3 a 3 3 (6 a) 3 a 1, 0, <1 8). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) με α, β. Να 1 βρεθούν οι α και β, ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Α(-1, 0) και στο διάστημα 0, να εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής. Στη συνέχεια να γίνει η εφαρμογή του θεωρήματος. 4 9). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει, για κάθε λ, μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα (0,1). a 30). Αν α, β, γ, δ και 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση a 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1) ). Αν η εξίσωση a 3 0 έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες μεταξύ τους (α, β, γ, δ ), να αποδείξετε ότι a 3). Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) 7 5 g()= 4 έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (1, ). 33). Να αποδείξετε ότι: e i) ln ii) συν e ). Να αποδείξετε ότι: e i) εφ50 1 ii) - ln 18 e εφβ π iii) για καθε α, β (0, ) εφα π iv) εφ για καθε 0, συν 35). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, 8. και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β), να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1,, (, ) με ξ1 τέτοια, ώστε f '( ) f '( 1) f '( ). 36). Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα, και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β). Αν f ( ) και f(β)=α, να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ(ξ, f (ξ) ) της C f στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση y

8 37). Έστω α > 0 και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα a συνάρτηση g. Αν g(0) g( a) g( a), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( a) τέτοιο, ώστε g ''( ) 0. 38). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) με f(α) = f(β), να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1, (, ) τέτοια, ώστε f '( 1) f '( ) 0. 0,1 και 39). Δίνεται η συνάρτηση : 0,1 (0,1), f συνεχής στο διάστημα παραγωγίσιμη στο διάστημα (0,1) με f '( ) 1 για κάθε (0,1). Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0,1) τέτοιο, ώστε f ( ). 40). Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο τυχαίων ριζών της εξίσωσης e 1 βρίσκεται μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e ). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και g()=ημ+συν. Να αποδείξετε ότι C f και C g έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία που έχουν τετμημένες (,0) και (0, ). 1 4). Δίνεται συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα, με f ( a) f '( a) 0 και f( ) = f '( )=0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( ) τέτοιο, ώστε f '''( ) 0. 43). Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, όπου 0,1 με f(0) =0 και f(1)=1. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει γ (0,1) τέτοιο, ώστε f (γ) = 1 -γ, ii) υπάρχουν α, β τέτοια, ώστε f '( a) f '( ) 1. 44). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα 1,, παραγωγίσιμη στο διάστημα (1, ), f (1) = 3 και f() = 6, να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων. a 1 45). Να αποδειχθεί ότι ln( a ) a 1 για κάθε α > - 1. a και 46). Έστω οι συναρτήσεις f και g συνεχείς στο διάστημα παραγωγίσιμες στο διάστημα (α, β) με f (α) = f (β) = 0 και f '( ) g( ) f ( ) g '( ). Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση g () για κάθε = 0 έχει ρίζα στο (α, β). 47). Δίνεται το πολυώνυμο f ( ) ( 1)( )( 3). i) Να βρείτε την f. ii) Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών του πολυωνύμου g( ) ( )( 3) ( 1)( 3) ( 1)( )( 3) 48). Αν αe > βe >1, να αποδείξετε ότι α α > β β. 49). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ, ώστε για τη συνάρτηση 3 ( a ) ( ), < 1 f ( ) να (β+) ( a 4) 6, 1 εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα 1,. 148

9 50). Έστω f : παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει f ( ) γ τέτοιο ώστε f '( ). 1 51). Δίνεται η συνάρτηση f : f(1)=1, η οποία είναι παραγωγίσιμη f ( 0) στο. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 0 τέτοιο, ώστε f '( 0 ). 0 5). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,1, f(0)=0 f() 0 για κάθε 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει γ (0,1) τέτοιο, ώστε f '( ) f '(1 ). f ( ) f (1 ) 53). Να λυθεί η εξίσωση 3 4 5,. 54). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,1 με f(0)=0 και f(1)=1, να αποδείξετε ότι : i) Υπάρχει (0,1) τέτοιο ώστε ii) υπάρχουν 1, (0,1) τέτοια, ώστε 1 f ( ) 1 1 f ( ) f ( ) 1 Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία. ii) Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Rolle. 4 iii) Ισχύει το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση f ( ) στο διάστημα, ; Να βρείτε το ξ, για το οποίο f '( ) 0. ( ) 1 1, 0,3. Είναι f '() 0 (0,3). Ισχύει λοιπόν το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle για την f στο 0,3. Ισχύουν όμως οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο 0,3 ; v) Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Να δικαιολογήσετε την ερμηνεία αυτή. iv) Έστω f 3 vi) Να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f ( ), 0,4. vii) Έστω η εξίσωση f ( ) 0. Τι σημαίνει η έκφραση ότι η εξίσωση f ( ) 0 έχει: κ τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα Δ, κ το πολύ ρίζες στο διάστημα Δ, κ ακριβώς ρίζες στο διάστημα Δ; viii) Πως αποδεικνύουμε ανισότητες με τη βοήθεια του θεωρήματος της μέσης τιμής; 149

10 i) Να αποδείξετε ότι 1 a ln 1 a ) 3 Πως θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0 έχει μία ακριβώς ρίζα στο (-, -1); Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Για να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για την f στο διάστημα, πρέπει: Η f να είναι.. στο Η f να είναι.. στο Να ισχύει Το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle είναι ότι.. ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε γεωμετρικά το συμπέρασμα αυτό σημαίνει ότι υπάρχει σημείο Α(, f ( )) Cf με τετμημένη ξ(α, β) τέτοιο, ώστε η της C στο σημείο Α να είναι.. προς τον άξονα.. f ii) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ=. Για να εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο, πρέπει: Η f να είναι.. στο Η f να είναι.. στο Θα υπάρχει τότε τέτοιο, ώστε f '( )... Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ η εφαπτομένη της C f στο σημείο.. να είναι στην ευθεία ΑΒ με Α(α, f(α)) και Β(β, f(β)). iii) Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση f ( ) 1 0,, θα βρούμε ξ =.. iv) Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα της μέσης τιμής για τη συνάρτηση f ( ) 0, 4, θα βρούμε ξ = στο διάστημα 4 v) Για τη συνάρτηση f ( ) 1 δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα,, διότι η f στο σημείο 0 = του διαστήματος.. vi) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει κ το πολύ ρίζες, δεχόμαστε ότι έχει τουλάχιστον.. ρίζες, τις ρ 1 <ρ <..<ρ κ <ρ κ+1, και με εφαρμογή του θεωρήματος.. στα διαστήματα,,...,, για τις f ', f '' κ.λ.π. καταλήγουμε σε 1 1 vii) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f () = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β), εφαρμόζουμε το θεώρημα σε μια αρχική συνάρτηση F της f στο, δηλαδή σε μια συνάρτηση με την ιδιότητα F '( ) f ( ) για κάθε a,. 150

11 Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής έτσι, ώστε η ευθεία 1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ΑΒ με Α(α,f(α)) και Β(β, f(β)) να είναι παράλληλη στον άξονα. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο, πρέπει ακόμα: Α. η f να είναι συνεχής στο Β. η f να είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) Γ. η f να είναι παραγωγίσιμη στο Δ. η f είναι συνεχής στο (α, β) και παραγωγίσιμη στο (α, β) Ε. η f να είναι συνεχής στο. Κατά την εφαρμογή του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση 6 4 f ( ) 3 3,3 3,3 τέτοιο, ώστε στο διάστημα προκύπτει ξ f '( ) 0. Είναι: Α. ξ = - 1 Β. ξ = Γ. ξ = 1 Δ. ξ = 0 Ε. ξ = - 3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (α,β). Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής: Α. υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f '( ) 0 f ( ) f ( a) Β. υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f a Γ. υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f f f ' a f f a Δ. υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε f ' a Ε. δεν αρκούν οι προϋποθέσεις για εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στο 4. Για τη συνάρτηση f του διπλανού σχήματος μπορούμε να εφαρμόσουμε: 0, Α. το θεώρημα Rolle στο διάστημα Β. το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα 1, 4 Γ. το θεώρημα Rolle στο διάστημα 1, 4 Δ. το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα 0,3 Ε. δεν εφαρμόζεται κανένα από τα θεωρήματα Rolle και μέσης τιμής για οποιοδήποτε διάστημα 5. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f() = 0 έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα (α, β): Α. εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano δύο φορές σε κατάλληλα διαστήματα Β. εξασφαλίζουμε την ύπαρξη δύο τουλάχιστον ριζών (με διπλή εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano ή του Rolle σε κατάλληλη αρχική συνάρτηση) και στη συνέχεια αποδεικνύουμε με το θεώρημα Rolle ότι δεν υπάρχουν άλλες ρίζες 151

12 Γ. εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle δύο φορές για την f σε κατάλληλα διαστήματα Δ. εφαρμόζουμε το θεώρημα της μέσης τιμής Ε. προσπαθούμε να λύσουμε την εξίσωση f() = 0 με αλγεβρικές μεθόδους Άσκηση αντιστοίχισης Να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις των στηλών Α και Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. Η εξίσωση 0 α) Έχει μόνο τις ρίζες 0 και 1 4. Η εξίσωση 1 0 β) Έχει δύο ακριβώς ρίζες. 3. Η εξίσωση 1 γ) Έχει το πολύ δύο ρίζες δ) Έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (-, 0). Ερωτήσεις τύπου «Σωστό ή Λάθος» Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). και f(α) = f(β), εφαρμόζεται το i) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο θεώρημα Rolle στο. ii) Αν δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο, τότε δεν υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f '( ) 0. 4 iii) Για τη συνάρτηση f ( ) εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα a για κάθε α > 0. iv) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στο. v) Αν εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f ( ) 4 στο διάστημα 0,, βρίσκουμε ότι στο σημείο Μ(1, 5) η εφαπτομένη της C f είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ με Α(0, f(0)) και Β(, f()). vi) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f() = 0 έχει κ ακριβώς ρίζες, αρκεί να αποδείξουμε ότι έχει τουλάχιστον κ ρίζες. vii) Η εξίσωση 3 1 με λ 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). viii) Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη και η C f τέμνει τον άξονα σε 001 σημεία, τότε η C f τέμνει τον άξονα σε 000 τουλάχιστον σημεία. i) Αν η f δεν έχει ρίζες στο (α, β), τότε η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο (α, β). 15

13 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 διάστημα (, 4) για κάθε λ. Τεστ Θέμα 1 ο έχει το πολύ μία ρίζα από Θέμα ο Δίνεται α > 0 και η συνάρτηση f : a, συνεχής στο διάστημα a και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-α, α). Αν f ( a) f (0) f ( a), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(-α, α) τέτοιο, ώστε f ''( ) 0. Θέμα 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( 4). Αφού διαπιστώσετε ότι οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στα διαστήματα,0 0,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 4) 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. 153

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ). Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

0 είναι η παράγωγος v ( t 0

0 είναι η παράγωγος v ( t 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, ψ συνδέονται με την σχέση ψ = f ( χ ), όταν f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ψ ως προς

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ενότητα 4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκήσεις για λύση ). Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο 0, όταν: i) f ( ), 0 ii) f()=, 0 iii f ). Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο την ευθεία = α + β, µε α, όταν Α. ( Β. η f είναι συνεχής στο = α R Γ. η f δεν είναι συνεχής στο. το όριο Ε. το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Θέμα Α ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας .4 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 45 A Οµάδας. Μια σφαιρική µπάλα χιονιού αρχίζει να λειώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

= x + στο σηµείο της που

= x + στο σηµείο της που Ασκήσεις στην εφαπτοµένη καµπύλης 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο της που έχει τετµηµένη.. Σε ποια σηµεία της γραφικής παράστασης της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

3) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (3,5) με f (x)>0, για κάθε x (3,5). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 4 με

3) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (3,5) με f (x)>0, για κάθε x (3,5). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 4 με Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 1) Δίνεται η συνάρτηση με '(0) 0. 3, ( ) 0, 0 0. Να δείξετε ότι ) Δίνεται η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0. a, ( ) 5,.α, β=; ώστε η να 3) Μία συνάρτηση είναι ορισμένη στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.2: Ρυθμός Μεταβολής Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.05.2: Ρυθμός

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για κάθε α, β R και τη συνάρτηση f () = e εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός αριθµού κ R, ώστε να ισχύει Α. e α-β = e κ (α - β) Β.

Διαβάστε περισσότερα

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ενότητα Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ασκήσεις για λύση 1). Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 5 i) f ( ) ii) g()= 1 1 iii) h( ) iv) φ()= 4 5 ). Αν η ευθεία ε: y + β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα στις παραγώγους μέχρι και ακρότατα. 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαγώνισμα στις παραγώγους μέχρι και ακρότατα. 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Διαγώνισμα στις παραγώγους μέχρι και ακρότατα Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f,η οποία είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ Αν στο Δ f x σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Α Θεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 η ( x 2) 2. i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0. ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 2 [ 3 8 ( 3) ]

Άσκηση 1 η ( x 2) 2. i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0. ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 2 [ 3 8 ( 3) ] ά ς w w w.e - m at hs.g r ά έ ί ς ά ά έ ά ς ί ά Άσκηση 1 η i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0 4 2 3 3 6 3 ( x 2) 2 x 1 x x 1 x 2 ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 3 27 3 2

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ». {,3,5,7,... } { / = ν +, ν Ν} =. = {} 0 3. Αν Α Β τότε Α Β = Α 4. 5 {,3,5,7 } 5. Αν Α= {, 3,7} και Β= {,3} 7, τότε Α=Β 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 06-07 Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά ανάλυση Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση Παράγωγοι Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

1 0, να βρείτε την τιμή του α. 4. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=3(2θ ημ2θ) ψ=3(1 συν2θ) α) Να δείξετε ότι : =σφθ

1 0, να βρείτε την τιμή του α. 4. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=3(2θ ημ2θ) ψ=3(1 συν2θ) α) Να δείξετε ότι : =σφθ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ -4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Αν =e t και y=e t να δείξετε ότι : y d y +χ dy = d d Αν χ= d d t και ψ=τοξημt,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται.

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα