Τηλεπικοινωνίες Ι. Εισαγωγή. Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Σεπτέμβριος 2011

Transcript

1 Τηλεπικοινωνίες Ι Εισαγωγή Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Σεπτέμβριος 0

2 Τηλεπικοινωνίες Ι Στόχος του μαθήματος Μελέτη των αναλογικών συστημάτων εκπομπής και λήψης και περιγραφή των εφαρμογών τους Γνωστικά πεδία Κατανόηση αναπαράστασης τηλεπικοινωνιακών σημάτων στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας Έννοια της διαμόρφωσης Ανάλυση των αναλογικών διαμορφώσεων πλάτους και γωνίας Θόρυβος και επίδραση στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μελέτη αναλογικών τηλεπικοινωνιακών συστημάτων ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

3 Τηλεπικοινωνίες Ι Μεθοδολογία Μαθηματική ανάλυση Γραφική αναπαράσταση Παραδείγματα/ασκήσεις κατανόησης Εργασίες Εξετάσεις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

4 Τηλεπικοινωνίες Ι Βιβλιογραφία «Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα» Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 9856 Συγγραφείς: Καραγιαννίδης Γ. Έκδοση η, 00, ISBN Εκδόσεις Τζιόλα «Συστήματα Επικοινωνίας» Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 9778 Συγγραφείς: Hayki Simo, Moher Mihael Έκδοση 00, ISBN Εκδόσεις Παπασωτηρίου «Αρχές τηλεπικοινωνιακών συστήματων» Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 9404 Συγγραφείς: Taub Herber 98-,Shillig Doald L. Έκδοση 006, ISBN Εκδόσεις Τζιόλα ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

5 Τηλεπικοινωνίες Ι Ιστορική αναδρομή 837 εκπέμπεται το πρώτο δοκιμαστικό μήνυμα από τον τηλέγραφο του Samuel Morse το 837 σε μια απόσταση 0 μιλίων μεταξύ Washigo και Balimore. 864 ο James Maxwell θεμελιώνει θεωρητικά τη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. 866 συνδέονται «τηλεγραφικά» Ευρώπη και Αμερική. 876 γεννιέται η τηλεφωνία με την ευρεσιτεχνία της τηλεφωνικής συσκευής από τον Graham Bell. 877 ο Heirih Herz επαληθεύει πειραματικά την θεωρία του Maxwell. 895 o Guglielmo Maroi επιδεικνύει την ασύρματη μετάδοση σημάτων ραδιοτηλεγραφία 98 εφεύρεση του υπερετερόδυνου δέκτη από τον Edwi Armsrog 90 λειτουργία του πρώτου ραδιοσταθμού AM στις Η.Π.Α. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 5

6 Τηλεπικοινωνίες Ι εργασίες του H. Nyquis και του Harley για το μέγιστο ρυθμό μετάδοσης πληροφορίας 99 κατασκευή και επίδειξη του πρώτου συστήματος τηλεόρασης από τον V.K. Zvoryki. Το 936 ξεκινάει την εμπορική εκπομπή τηλεόρασης το BBC. 933 o E. Armsrog κατασκευάζει και επιδεικνύει το πρώτο σύστημα επικοινωνίας FM Ανάπτυξη στρατιωτικών συστημάτων μετάδοσης FM και ραντάρ. 94 o Wieer προσδιορίζει το βέλτιστο γραμμικό φίλτρο για τη λήψη σήματος υπό την επίδραση θορύβου o Rie αναπτύσσει τη μαθηματική αναπαράσταση του θορύβου. 947 ο Koelikov δίνει μια γεωμετρική ανάλυση των ψηφιακών επικοινωνιών η οποία επεκτάθηκε αργότερα από τους Wozera και Jaobs 965. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

7 Τηλεπικοινωνίες Ι 948 Δημοσιεύεται η εργασία του Claude Shao που θεμελιώνει τη θεωρία πληροφοριών και αναδεικνύει τα όρια των ψηφιακών επικοινωνιών. P C Blog bis/s ηb 950 οι Hammig και Golay εισάγουν τους κώδικες αναγνώρισης και διόρθωσης λαθών 953 Ξεκινάει η έγχρωμη τηλεόραση στις Η.Π.Α. 955 ο J.R. Piere προτείνει συστήματα δορυφορικών επικοινωνιών γίνονται πραγματικότητα το Μελετώνται τα πρώτα συστήματα κινητής τηλεφωνίας πρώτη εμπορική εφαρμογή το 979 από την ΝΤΤ. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

8 Τηλεπικοινωνίες Ι Βασικές έννοιες Πληροφορία Σήμα Σύστημα Τηλεπικοινωνιακό σύστημα Αξιολόγηση τηλεπικοινωνιακών συστημάτων ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8

9 Τηλεπικοινωνίες Ι Πληροφορία Δεδομένα Μορφή οργάνωση Σημασία Γνώση Μαθηματική διάσταση της πληροφορίας Πείραμα αβεβαιότητα έκπληξη Πιθανότητα bi biary digi bi είναι η ποσότητα της πληροφορίας που κερδίζουμε όταν συμβαίνει ένα από δύο ισοπίθανα γεγονότα Η μικρότερη ποσότητα πληροφορίας ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 9

10 Ampliude Ampliude Τηλεπικοινωνίες Ι Σήμα Time Series Plo o SL_From Audio Devie logsou uiled/...vie seods Time seod ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0

11 Τηλεπικοινωνίες Ι Σήμα ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

12 Τηλεπικοινωνίες Ι Σήμα ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

13 Τηλεπικοινωνίες Ι Σήμα Μια συνάρτηση μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών Τα σήματα μεταφέρουν «πληροφορία» για την κατάσταση μιας ποσότητας ή ενός φυσικού φαινομένου. Τα σήματα με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι σήματα που έχουν ως ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο, δηλαδή είναι φυσικές ποσότητες που μεταβάλλονται με το χρόνο. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

14 Τηλεπικοινωνίες Ι Σύστημα Ως σύστημα ορίζεται μια οντότητα η οποία επενεργεί σε ένα ή περισσότερα σήματα προκειμένου να εκτελεστεί μια λειτουργία που οδηγεί στη δημιουργία νέων σημάτων. Τα συστήματα επεξεργάζονται σήματα εισόδου και παράγουν σήματα εξόδου. x H y y = H{x} ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

15 Τηλεπικοινωνίες Ι Τηλεπικοινωνιακό σύστημα Το σύστημα που επεξεργάζεται σήματα μιας πηγής πληροφορίας με στόχο την αξιόπιστη μετάδοση μεταφορά τους σε έναν ή περισσότερους αποδέκτες. Βασικές δομικές μονάδες Πηγή Πομπός Κανάλι μέσο διάδοσης Δέκτης ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 5

16 Τηλεπικοινωνίες Ι Ηλεκτρονικές τηλεπικοινωνίες Καλωδιακές Χάλκινο σύρμα ηλεκτρικό σήμα Οπτική ίνα φώς Ασύρματες Η/Μ κύματα Φώς Ήχος υπέρηχοι ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

17 Τηλεπικοινωνίες Ι Βασικά στοιχεία ενός κλασσικού συστήματος επικοινωνίας Πηγή πληροφορίας Μετατροπέας εισόδου Πομπός Κανάλι Σήμα εξόδου Μετατροπέας εξόδου Δέκτης Μετατροπέας rasduer: Μετατρέπει την πληροφορία σε ηλεκτρικό σήμα στην είσοδο και αντίστροφα στην έξοδο. Πομπός rasmier: Μετατρέπει το ηλεκτρικό σήμα σε μορφή κατάλληλη για μετάδοση μέσω του καναλιού επικοινωνίας διαμόρφωση, ενίσχυση, φιλτράρισμα, πολυπλεξία Κανάλι hael: Το φυσικό μέσο μετάδοσης θόρυβος, διαλείψεις, παρεμβολές κ.λ.π. Δέκτης reeiver: Ανάκτηση του σήματος πληροφορίας αποδιαμόρφωση, φιλτράρισμα, ενίσχυση, κ.λπ. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

18 Τηλεπικοινωνίες Ι Αξιολόγηση τηλεπικοινωνιακών συστημάτων Ποιότητα επικοινωνίας Σηματοθορυβική σχέση αναλογικές επικοινωνίες, πιθανότητα σφάλματος ψηφιακές επικοινωνίες, ρυθμός μέγεθος μεταδιδόμενης πληροφορίας, ποσοστό πτώσης της ποιότητας επικοινωνίας κάτω από ένα όριο ouage κ.λ.π. Αντιμετώπιση παραμορφώσεων που εισάγονται από το μέσο διάδοσης θόρυβος, διαλείψεις κ.λ.π. Πόροι που καταναλώνει το σύστημα Φάσμα συχνοτήτων εύρος ζώνης, ισχύς εκπομπής Πολυπλοκότητα του συστήματος Δυσκολία υλοποίησης, κόστος υλοποίησης ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8

19 Τηλεπικοινωνίες Ι Η έννοια του db και των μονάδων που προκύπτουν από αυτό. Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Σεπτέμβριος 0

20 Η έννοια του db Εισαγωγή Τα μεγέθη που μελετώνται στα συστήματα τηλεπικοινωνιών πολύ συχνά μεταβάλλονται σε ένα πολύ μεγάλο εύρος τιμών π.χ. οι ισχείς μπορούν να μεταβάλλονται σε τιμές από 0 W ή και μικρότερες μέχρι αρκετά W τα κέρδη των διατάξεων μπορούν να μεταβάλλονται από μερικές μονάδες έως πολλά εκατομμύρια. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιείται η λογαριθμική κλίμακα προκειμένου να είναι ευκολότερη η καταγραφή και η αναφορά των αριθμών. Το db και οι μονάδες που προκύπτουν από αυτό, π.χ. dbw, dbm, dbv, dbi κ.λ.π. χρησιμοποιούνται κατά κόρο στις τηλεπικοινωνίες και είναι απαραίτητο εργαλείο για τον ηλεκτρονικό μηχανικό. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0

21 Η έννοια του db Η έννοια του db/ορισμός Το deibel db, το οποίο γενικά εκφράζει τη λογαριθμική σχέση του λόγου δύο μεγεθών που έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Έτσι, στην περίπτωση των ισχύων, ο λόγος δύο ισχύων G = P /P εκφράζεται σε db με χρήση της σχέσης G 0log G G 0 G db 0 και όταν P και P είναι η ισχύς εξόδου και εισόδου αντίστοιχα μιας διάταξης σε W, εκφράζει κέρδος ενίσχυση ή απώλεια ισχύος. db /0 Το db δεν είναι μονάδα μέτρησης ισχύος, πλάτους ή κάποιο άλλου μεγέθους, εκφράζει τη σχέση το λόγο δύο ποσοτήτων. Έτσι, διπλασιασμός ισχύος σημαίνει 3 db κέρδος, 0πλασιασμός ισχύος σημαίνει 0 db κέρδος, υποδιπλασιασμός σημαίνει 3 db κέρδος ή 3 db απώλειες ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

22 Η έννοια του db Πίνακας μετατροπής αδιάστατων αριθμών σε db db Αδιάστατος db Αδιάστατος ~ ~ ~ ~ ~3 0 0 ~ ~ ~ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

23 Η έννοια του db Πράξεις με αδιάστατους αριθμούς και db γινόμενο δύο αδιάστατων μεγεθών άθροισμα σε db πηλίκο δύο αδιάστατων μεγεθών διαφορά σε db Παραδείγματα 0 db 3 db = 3 db 0 db 3 db = 7 db 0 = 0 0 / = 5 Ένα σήμα διέρχεται διαμέσου ενός ενισχυτή κέρδους 0dB και κατόπιν μέσω ενός ενισχυτή κέρδους 30dB. Πόσο είναι το συνολικό κέρδος ισχύος? Ένα σήμα ισχύος 0W διέρχεται διαμέσου ενός καλωδίου απωλειών 7dB και κατόπιν διαμέσου ενός ενισχυτή κέρδους 0dB. Πόση είναι η ισχύς του σήματος στην έξοδο του ενισχυτή σε W? ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

24 Η έννοια του db Οι μονάδες ισχύος dbw και dbm Όταν ως ισχύς αναφοράς θεωρείται το W προκύπτει η μονάδα ισχύος dbw. Έτσι, ένα σήμα με ισχύ P W σε W, μετατρέπεται σε dbw με τη σχέση PW PdBW P /0 dbw 0log0 PW 0 W Πρακτικά με την παραπάνω σχέση εκφράζουμε πόσα db περισσότερα ή λιγότερα από το W, είναι η ισχύς P, π.χ. ισχύς 3 dbw, σημαίνει ισχύς 3 db μεγαλύτερη από το W, δηλαδή 0 W. Όταν ως ισχύς αναφοράς θεωρείται το mw, ορίζεται η μονάδα ισχύος dbm. Ένα σήμα με ισχύ P σε W, μετατρέπεται σε dbm με τη σχέση P PdBm 0log0 mw που δίνει πόσα db περισσότερα ή λιγότερα από το mw είναι η ισχύς P, π.χ. ισχύς 40 dbm, σημαίνει ισχύς 40 db λιγότερη από mw, δηλαδή 0-7 W. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

25 Τηλεπικοινωνίες Ι Μάθημα ο Εισαγωγή στα σήματα και συστήματα Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Σεπτέμβριος 0

26 Εισαγωγή στα σήματα και συστήματα Περιεχόμενα Σήματα και ταξινόμησή τους Βασικές πράξεις σημάτων Βασικά σήματα Συσχέτιση και ορθογωνικότητα σημάτων Συστήματα και ιδιότητες συστημάτων Απόκριση γραμμικών χρονοαμετάβλητων συστημάτων ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

27 Εισαγωγή στα σήματα Τι είναι σήμα? Ampliude Ampliude Τι είναι σήμα? Το «σήμα» ορίζεται ως η συνάρτηση μιας ή περισσοτέρων τυχαίων μεταβλητών που μεταφέρει «πληροφορία» για την κατάσταση μιας φυσικής ποσότητας ή ενός φυσικού φαινομένου. **Hayki** Παραδείγματα Time Series Plo o SL_From Audio Devie logsou uiled/...vie Time seods Time seod ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

28 Α Ν Ε Ξ Α Ρ Τ Η Τ Η Μ Ε ΤΑ Β Λ Η Τ Η ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΣΥΝΕΧΗΣ ΧΡΟΝΟΣ Α. Ταξινόμηση σημάτων Σήματα συνεχούς διακριτού χρόνου και τιμής Ε Ξ Α Ρ Τ Η Μ Ε Ν Η Μ Ε ΤΑ Β Λ Η Τ Η x ΣΥΝΕΧΗΣ ΤΙΜΗ ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΤΙΜΗ. αναλογικά ψηφιακά ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8

29 Εισαγωγή στα σήματα Σήματα και ταξινόμησή τους Αιτιοκρατικά και στοχαστικά σήματα Ένα σήμα ονομάζεται ντετερμινιστικό όταν δεν υπάρχει καμιά αβεβαιότητα για την τιμή του οποιαδήποτε χρονική στιγμή περιγράφεται από μαθηματική συνάρτηση. Ένα σήμα είναι στοχαστικό όταν δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή η τιμή που θα λάβει περιγράφεται πιθανοτικά. Περιοδικά και απεριοδικά σήματα Ένα σήμα x λέγεται περιοδικό όταν x x T, όπου Τ μια θετική σταθερά. Είναι προφανές ότι όταν η σχέση ισχύει για Τ = Τ 0, τότε ισχύει και για Τ = Τ 0, Τ = 3Τ 0, Τ = 4Τ 0 Η μικρότερη σταθερά Τ 0 για την οποία ικανοποιείται η σχέση λέγεται περίοδος του σήματος x. Η συχνότητα 0 = /Τ 0 ονομάζεται θεμελιώδης συχνότητα. Η αντίστοιχη γωνιακή συχνότητα είναι ω 0 = π/τ 0 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 9

30 Εισαγωγή στα σήματα Σήματα και ταξινόμησή τους Παραδείγματα περιοδικών και απεριοδικών σημάτων ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 30

31 Εισαγωγή στα σήματα Ενέργεια και ισχύς σήματος Έστω ένα κύκλωμα πηγής αντίστασης. Έστω υ η τάση στα άκρα της αντίστασης R η οποία παράγει ένα ρεύμα i. H στιγμιαία ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση είναι p υ R Ri Θεωρώντας γενικότερα ότι R = ohm, ορίζουμε στην ανάλυση των σημάτων τη στιγμιαία ισχύ ενός σήματος x, ως p x Η συνολική ενέργεια ενός σήματος συνεχούς χρόνου ορίζεται ως E x d, x omplex ενέργεια ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

32 Εισαγωγή στα σήματα Ενέργεια και ισχύς σήματος αντίστοιχα, η μέση ισχύς ορίζεται ως T P lim x d, x omplex T T T Θεωρώντας όπως και πριν ότι η ισχύς αυτή καταναλώνεται σε μια αντίσταση Ohm, τα δύο μεγέθη είναι ισοδύναμα. Για το λόγο αυτό η μέση ισχύς αναφέρεται συχνά ως κανονικοποιημένη ισχύς. Η μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος περιόδου Τ είναι P T Η μέση ισχύς είναι η ενέργεια στη μονάδα του χρόνου T 0 Η τετραγωνική ρίζα της μέσης ισχύος είναι η RMS roo mea squared τιμή του σήματος x d ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

33 Εισαγωγή στα σήματα Βασικές πράξεις σημάτων στην εξαρτημένη μεταβλητή Κλιμάκωση πλάτους Έστω x ένα σήμα συνεχούς χρόνου. Το σήμα y που προκύπτει με κλιμάκωση πλάτους είναι y x, βαθμωτός Ουσιαστικά είναι η πράξη που γίνεται σε έναν ενισχυτή ampliier. Πρόσθεση Έστω δύο σήματα συνεχούς χρόνου x και y. Ως άθροισμα ορίζεται το z x y Ένα φυσικό παράδειγμα πρόσθεσης σημάτων είναι η μίξη ακουστικών σημάτων όπως η φωνή και η μουσική. Πολλαπλασιασμός Έστω δύο σήματα συνεχούς χρόνου x και y. Ως γινόμενό ορίζεται το z x y Ένα φυσικό παράδειγμα πολ/μού σημάτων είναι η διαμόρφωση πλάτους, όπου το σήμα πληροφορίας πολλαπλασιάζεται με ένα ημιτονοειδές σήμα που λέγεται φέρον. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 33

34 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα Βασικά σήματα Η κρουστική συνάρτηση Η βηματική συνάρτηση Ημιτονοειδή σήματα Εκθετικά σήματα Η συνάρτηση δειγματοληψίας ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 34

35 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα η κρουστική συνάρτηση δέλτα Η κρουστική συνάρτηση δέλτα impulse uio Η κρουστική συνάρτηση δ ή ώση είναι μια από τις σημαντικότερες συναρτήσεις στη θεωρία των σημάτων και συστημάτων. Αποτελεί ένα θεωρητικό εργαλείο και δεν υπάρχει στην πράξη. Είναι όμως απαραίτητη για την κατανόηση των σημάτων και χρησιμοποιείται ευρύτατα. Μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας τετραγωνικός παλμός που έχει τις εξής ιδιότητες: Άπειρο ύψος πλάτος Μηδενική διάρκεια εύρος Μοναδιαίο εμβαδόν Μπορεί ποιοτικά να οριστεί ως δ lim pε ε0 ε ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 35

36 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα η συνάρτηση δέλτα Η κρουστική συνάρτηση δεν είναι μια συνηθισμένη συνάρτηση. Εντάσσεται στις γενικευμένες συναρτήσεις. Ορίζεται ως η συνάρτηση που ικανοποιεί τα παρακάτω: δ 0, 0 δ d Επίσης με χρήση της ιδιότητας της μετατόπισης στο χρόνο είναι φανερό ότι ισχύει δ 0, 0 δ 0 d 0 Αν πολλαπλασιάσουμε τη δ με μια συνάρτηση x η οποία είναι συνεχής στο = 0, τότε αφού η δ υπάρχει μόνο για = 0 και η τιμή της x στο 0 είναι x0, ισχύει x δ x0 δ και αντίστοιχα x δ x δ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 36

37 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα η συνάρτηση δέλτα Από τον ορισμό της δέλτα προκύπτει η παρακάτω πολύ σημαντική ιδιότητα η οποία χρησιμοποιείται πολλές φορές και ως ορισμός: x x δ 0 δ d Αντίστοιχα για 0 =0, 0 d 0 x x 0 0 δ 0 d x δ d x0 Δειγματοληψία: Αν η συνάρτηση x είναι μηδενική έξω από το διάστημα, τότε η ολοκλήρωση με τη δ τ με < τ < επιστρέφει την τιμή της συνάρτησης στο σημείο τ, διαφορετικά επιστρέφει 0. x τ, τ x δ τ d 0, αλλού Κλιμάκωση: δ α δ α x δ 0 d ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 37

38 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα η συνάρτηση δέλτα Πρακτική χρήση της κρουστικής συνάρτησης Η κρουστική συνάρτηση δεν μπορεί να υλοποιηθεί στη φύση αφού αντιστοιχεί σε ένα σήμα που έχει άπειρο πλάτος μια δεδομένη χρονική στιγμή και είναι μηδενική οπουδήποτε αλλού. Ωστόσο είναι ένα μαθηματικό εργαλείο γιατί δίνει μια μαθηματική προσέγγιση της απόκρισης ενός συστήματος σε ένα σήμα εισόδου εξαιρετικά μικρής διάρκειας και υψηλού πλάτους. Η απόκριση ενός συστήματος σε ένα τέτοιο σήμα εισόδου αποκαλύπτει το χαρακτήρα του συστήματος. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 38

39 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα η βηματική συνάρτηση Η βηματική συνάρτηση sep uio Η βηματική συνάρτηση u ορίζεται ως, 0 u 0, 0 δεν ορίζεται για 0 Η βηματική συνάρτηση μπορεί να υλοποιηθεί εύκολα στη φύση, π.χ. με το κλείσιμο του διακόπτη σε ένα κύκλωμα με πηγή d. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σαν σήμα ελέγχου γιατί αναδεικνύει πόσο γρήγορα ένα σύστημα ανταποκρίνεται σε μια αλλαγή στο σήμα εισόδου. Χρησιμοποιείται ευρέως για την κατασκευή άλλων σημάτων. Αποδεικνύεται ότι δ du d ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 39

40 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 40 Κατασκευή σημάτων με τη χρήση της βηματικής συνάρτησης Κατασκευή τετραγωνικού παλμού Κατασκευή περιορισμένου στο χρόνο σήματος Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα η βηματική συνάρτηση 0, 0, T T A T Au T Au x u e x

41 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα ημιτονοειδή σήματα Ημιτονοειδή σήματα Τα ημιτονοειδή σήματα περιγράφονται γενικά από την εξίσωση x Aos ω φ x Asi ω φ όπου Α είναι το πλάτος του σήματος, ω η κυκλική συχνότητα σε rad/se και φ η φάση του σήματος σε rad. Τα ημιτονοειδή σήματα είναι περιοδικά με περίοδο π T x Aos ω ω με τη συχνότητα σε Hz. Παραγωγή ημιτονοειδούς σήματος L, C ιδανικά, V 0 αρχική τάση, για =0 d LC d υ υ 0 x Aos ω π 4 υ V os ω0, 0, ω0 0 LC ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

42 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα εκθετικά σήματα Εκθετικά σήματα Τα εκθετικά σήματα είναι της μορφής x Be s όπου τα Β και s είναι γενικά μιγαδικοί αριθμοί. Στην περίπτωση που Β και s είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε η μορφή του σήματος είναι x e x e ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

43 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα εκθετικά σήματα Εκθετικά σήματα Ιδιαίτερη σημασία έχουν τα εκθετικά σήματα στα οποία το B είναι μιγαδικός και το s=jω είναι φανταστικός αριθμός, δηλ. B οπότε Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler προκύπτει Ae jφ Οπότε ισχύει jθ x Be jω Ae jφe jω Ae j ωφ e os θ jsi θ x Ae j ωφ Aos ω φ jasi ω φ Aos ω φ Re Ae j ωφ Asi ω φ Im Ae j ωφ Επιπλέον με χρήση της ταυτότητας του Euler βρίσκουμε A Aos ω φ e j ωφ e j ωφ A Asi ω φ e j ωφ e j ωφ j ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 43

44 Εισαγωγή στα σήματα Βασικά σήματα συνάρτηση δειγματοληψίας Η συνάρτηση δειγματοληψίας Μια συνάρτηση που συναντάται συχνά στη φασματική ανάλυση είναι η συνάρτηση δειγματοληψίας που ορίζεται ως Sa si si ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 44

45 Εισαγωγή στα σήματα Συσχέτιση και ορθογωνικότητα σημάτων Ετερο-συσχέτιση διασυσχέτιση σημάτων ενέργειας Η σχέση μορφολογίας μεταξύ δύο σημάτων x και y εκφράζεται από τη συνάρτηση ετεροσυσχέτισης, η οποία ορίζεται ως R τ x y τ d xy Η ετεροσυσχέτιση για τ 0 δίνει πληροφορία και για τη σχετική θέση των σημάτων μεταξύ τους. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 45

46 Εισαγωγή στα σήματα Συσχέτιση και ορθογωνικότητα σημάτων Ανάλογα ορίζεται και η αυτοσυσχέτιση για σήματα ενέργειας η οποία για τ = 0 δίνει R R τ x x τ d x Δύο σήματα για τα οποία σε ένα διάστημα [, ] ισχύει λέγονται ορθογώνια στο διάστημα αυτό κατ αναλογία με τα διανύσματα του ευκλείδιου χώρου των οποίων το εσωτερικό γινόμενο είναι μηδέν. x x 0 x d x d E x x y d 0 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 46

47 Εισαγωγή στα σήματα Συσχέτιση και ορθογωνικότητα σημάτων Παραδείγματα ορθογωνίων σημάτων os x, si x os xsi x ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 47

48 Εισαγωγή στα συστήματα Τι είναι σύστημα? Τι είναι σύστημα? Ως σύστημα ορίζεται μια οντότητα η οποία επενεργεί σε ένα ή περισσότερα σήματα προκειμένου να εκτελεστεί μια λειτουργία που οδηγεί στη δημιουργία νέων σημάτων. Έστω H ο τελεστής ο οποίος εκφράζει την ενέργεια του συστήματος. Ένα σύστημα συνεχούς χρόνου περιγράφεται ως y H x όπου x είναι η είσοδος ή διέγερση και y η έξοδος ή απόκριση. Ένα σύστημα χαρακτηρίζεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h, δηλαδή την έξοδό του σε είσοδο ίση με την κρουστική συνάρτηση δ. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 48

49 Εισαγωγή στα συστήματα Ιδιότητες συστημάτων Ιδιότητες συστημάτων Γραμμικότητα Χρονική μεταβλητότητα Συστήματα με ή χωρίς μνήμη Αιτιότητα Ευστάθεια ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 49

50 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 50 Γραμμικότητα Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό όταν ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή όταν η απόκριση του συστήματος σε ένα άθροισμα σημάτων με βάρη ισούται με το άθροισμα των αποκρίσεων με τα ίδια βάρη. Έστω η είσοδος σε ένα γραμμικό σύστημα H. Τότε η απόκριση είναι Ένα σύστημα το οποίο δεν ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης λέγεται μηγραμμικό. Εισαγωγή στα συστήματα Ιδιότητες συστημάτων γραμμικότητα x a x i N i i N i i i i N i i i N i i y a x H a x a H x H y

51 Εισαγωγή στα συστήματα Ιδιότητες συστημάτων χρονική μεταβλητότητα Χρονική μεταβλητότητα Ένα σύστημα λέγεται χρονο-αμετάβλητο όταν μια μετατόπιση της εισόδου στο χρόνο οδηγεί σε αντίστοιχη μετατόπιση της απόκρισης. Είναι ένα σύστημα του οποίου οι παράμετροι δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου. Σε αντίθετη περίπτωση το σύστημα λέγεται χρονο-μεταβλητό. Έστω x η είσοδος και y η απόκρισή του. Σε ένα χρονο-αμετάβλητο σύστημα όταν η είσοδος γίνεται x-τ τότε η απόκριση γίνεται y-τ. Άρα όταν τότε ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 5

52 Εισαγωγή στα συστήματα Ιδιότητες συστημάτων συστήματα με ή χωρίς μνήμη Συστήματα με ή χωρίς μνήμη Ένα σύστημα λέγεται ότι έχει μνήμη όταν το σήμα εξόδου εξαρτάται από παρελθοντικές τιμές του σήματος εισόδου. Αντίθετα ένα σύστημα στο οποίο το σήμα εξόδου εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα τιμή του σήματος εισόδου δεν έχει μνήμη memoryless. Ένα παράδειγμα συστήματος χωρίς μνήμη είναι ένα κύκλωμα με αντίσταση R αφού το ρεύμα i που τη διαρρέει σαν αποτέλεσμα μιας τάσης εισόδου υ εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα τιμή της εισόδου, δηλαδή υ i R Αντίθετα όταν εφαρμόζεται μια τάση εισόδου υ σε μια αυτεπαγωγή L, τότε το ρεύμα που διαρρέει την αυτεπαγωγή εξαρτάται και από τις παρελθοντικές τιμές της τάσης εισόδου, δηλαδή i υ τ dτ L ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 5

53 Εισαγωγή στα συστήματα Ιδιότητες συστημάτων αιτιότητα, ευστάθεια Αιτιότητα Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό όταν η τρέχουσα τιμή του σήματος εξόδου εξαρτάται μόνο την τρέχουσα και τις παρελθοντικές τιμές του σήματος εισόδου. Όταν η τρέχουσα έξοδος εξαρτάται και από μελλοντικές τιμές του σήματος εισόδου τότε το σύστημα είναι μη αιτιατό. Ευστάθεια Ένα σύστημα λέγεται ότι έχει ευστάθεια φραγμένης εισόδου φραγμένης εξόδου BIBO Bouded Ipu Bouded Oupu όταν και μόνο όταν για κάθε πεπερασμένη είσοδο, η έξοδός του είναι επίσης πεπερασμένη, δηλαδή όταν για κάθε είσοδο x ισχύει x K y K όπου x η έξοδος του συστήματος, όπου Κ και Κ θετικοί αριθμοί. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 53

54 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 54 Εισαγωγή στα συστήματα Απόκριση LTI συνεχούς συστήματος και συνέλιξη* dτ τ h τ x x dτ τ h τ x dτ τ δ τ x τ h τ x τ δ τ x τ h τ δ h δ τ d τ h τ x y Είσοδος απόκριση Έτσι η απόκριση του συστήματος είναι Βάσει των παραπάνω η απόκριση ενός LTI συστήματος μπορεί να προσεγγιστεί ως εξής :

55 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 55 Η συνέλιξη μεταξύ δύο συναρτήσεων x και y ορίζεται ως η πράξη που δίνεται από τη σχέση Η συνέλιξη είναι πράξη αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική και ισχύει Η απόκριση ενός γραμμικού χρονοαμετάβλητου συστήματος y δίνεται από την συνέλιξη της εισόδου x με την κρουστική απόκριση την απόκριση σε είσοδο ώση του συστήματος h. Εισαγωγή στα συστήματα Απόκριση γραμμικού χρονοαμετάβλητου LTI συνεχούς συστήματος ξ d ξ y ξ x y x 0 0 x δ x x dξ ξ δ ξ x δ x ξ d ξ h ξ x h x y LTI

56 Τηλεπικοινωνίες Ι Μάθημα ο Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Σεπτέμβριος 0

57 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Περιεχόμενα Εισαγωγή Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Εκθετική σειρά Fourier Ταυτότητα του Parseval Μετασχηματισμός Fourier Ιδιότητες μετ/σμού Fourier Συνέλιξη και μετ/σμός Fourier Σήματα ισχύος και ενέργειας και μετ/σμός Fourier Εύρος ζώνης και φίλτρα ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 57

58 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Εισαγωγή Στις τηλεπικοινωνίες, η αναπαράσταση των σημάτων είναι εξίσου σημαντική στο πεδίο του χρόνου και το πεδίο της συχνότητας. Η αναπαράσταση στο πεδίο της συχνότητας μας βοηθάει να κατανοήσουμε πως κατανέμεται η ενέργεια ισχύς στις διάφορες συχνότητες από τις οποίες αποτελείται ένα σήμα. osπ 000 osπ 5000 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 58

59 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Έστω το σύνολο των σημάτων {, os ω, osω,..., os ω,...; 0 si ω, siω,..., si ω,...} Το ημιτονοειδές σήμα με συχνότητα ω 0 ονομάζεται -οστή αρμονική του ημιτονοειδούς με συχνότητα ω 0 για ακέραιο, ενώ το ω 0 ονομάζεται θεμελιώδης συχνότητα. Αποδεικνύεται ότι το παραπάνω σύνολο αποτελείται από ορθογώνια σήματα στο διάστημα Τ 0 =π/ω 0. 0, m 0, m os ω0os mω0 T si ω0si mω0 0 T T0 0 0 m, m 0 T, T 0 si ω os mω 0, 0 0 Το σύνολο αυτό είναι πλήρες σύνολο και ως εκ τούτου ένα σήμα μπορεί να περιγραφεί στο διάστημα Τ 0 με τριγωνομετρική σειρά Fourier. 0 0, m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 59

60 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παραδείγματα αρμονικά συσχετισμένων ημιτονοειδών σημάτων si ω, si ω 0 0 si ω0, si3 ω0 si ω0, os4 ω0 si ω si ω 0 0 si ω0si3 ω0 si ω0 os4 ω0 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 60

61 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Βάσει των παραπάνω, ένα σήμα μπορεί να περιγραφεί στο διάστημα Τ 0 ως A Οι βέλτιστοι συντελεστές υπολογίζονται με χρήση των σχέσεων A οπότε προκύπτει A0 T 0 T 0 T A os ω 0 0 B si ω B os ω d 0 os ω d 0 0 A osω siω..., 0 A os ω0 Bsi ω0, T A T T 0 0 d A T0 B T 0 T 0 si 0 0 si ω d ω d os ω0 d,,,3,... T B T0 si ω0 d,,,3,... T 0 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

62 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Με χρήση της ταυτότητας όπου A C0 A 0 os ω Bsi ω0 C os ω0 θ η συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί ως C 0 A B θ a B A 0 C os ω0 θ, C T 0 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

63 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Οι σειρές Fourier είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο Τ 0 γιατί T 0 C C 0 0 C C os[ ω 0 T os ω θ 0 0 θ ] C Άρα όταν αναπαριστούμε ένα σήμα με μια σειρά Fourier σε ένα διάστημα Τ 0, τότε το σήμα και η σειρά Fourier είναι ίσα μόνο σε αυτό το διάστημα. Έξω από αυτό η σειρά Fourier επαναλαμβάνεται περιοδικά. Αν το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο Τ 0, τότε οι σειρές Fourier που προσεγγίζουν το σήμα στην περίοδο Τ 0, προσεγγίζουν αναπαριστούν το σήμα για κάθε. Ως εκ τούτου τα αναπτύγματα Fourier χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση περιοδικών σημάτων. 0 C os[ ω 0 π θ ] ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 63

64 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Συνθήκες ύπαρξης σειρών Fourier Οι ικανές συνθήκες Dirihle για να υπάρχουν οι σειρές Fourier ενός σήματος x είναι To σήμα να είναι απολύτως ολοκληρώσιμη στη διάρκεια μιας περιόδου Τ 0 δηλαδή x d T 0 Με τον τρόπο αυτό διασφαλίζεται ότι οι συντελεστές είναι πεπερασμένοι. Όταν ισχύει αυτή η συνθήκη η σειρά υπάρχει, δεν είναι βέβαιο όμως ότι συγκλίνει σε κάθε σημείο, π.χ. στα σημεία που το x απειρίζεται. Το σήμα να είναι συνεχές στη διάρκεια της περιόδου ή να περιέχει πεπερασμένο αριθμό πεπερασμένων ασυνεχειών. Το σήμα να έχει πεπερασμένο αριθμό ελαχίστων και μεγίστων στη διάρκεια της περιόδου. Στα σημεία ασυνέχειας ενός σήματος, η σειρά Fourier συγκλίνει στο μέσο όρο του αριστερού και του δεξιού ορίου του σήματος στο σημείο της ασυνέχειας. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 64

65 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παράδειγμα υπολογισμού τριγωνομετρικής σειράς Fourier Έστω το περιοδικό σήμα που δίνεται από την, T x x T0 T0 0, T το οποίο δίνεται σχηματικά παρακάτω για Τ 0 =4Τ. Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές Fourier των τριγωνομετρικών σειρών γενικά και για Τ 0 =4Τ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 65

66 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παράδειγμα υπολογισμού τριγωνομετρικής σειράς Fourier A 0 πt T0 T T 0 x d A T 0 T0 T x os ω0 d si 0 T0 T0 π T0 B T T0 0 T0 x si ω d 0 0 Για Τ 0 =4Τ Οπότε το σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ή A 0 A π si π 0,, π π eve, 5, 9,..., 3, 7,,... π x Sa os ω0 [os ω0 os3ω0 os5ω0 os7ω0...] π x [os ω0 os3ω0 π os5ω0 os7ω0 π...] π ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 66

67 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παράδειγμα υπολογισμού τριγωνομετρικής σειράς Fourier Η x προσεγγίζεται με όρο ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 67

68 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παράδειγμα υπολογισμού τριγωνομετρικής σειράς Fourier Η x προσεγγίζεται με 3 όρους ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 68

69 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παράδειγμα υπολογισμού τριγωνομετρικής σειράς Fourier Η x προσεγγίζεται με 7όρους ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 69

70 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παράδειγμα υπολογισμού τριγωνομετρικής σειράς Fourier Η x προσεγγίζεται με όρους με 0 όρους Το φαινόμενο της ταλάντωσης που εμφανίζεται στα σημεία των ασυνεχειών ονομάζεται φαινόμενο Gibbs και οφείλεται στο γεγονός ότι λαμβάνεται υπόψη πεπερασμένος αριθμός όρων. Το πλάτος των ταλαντώσεων ~9% δεν εξαρτάται από τον αριθμό των όρων που λαμβάνονται υπόψη, ενώ το εύρος της περιοχής στο οποίο εμφανίζονται οι ταλαντώσεις μειώνεται με την αύξηση του αριθμού των όρων που λαμβάνονται υπόψη. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 70

71 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παράδειγμα υπολογισμού τριγωνομετρικής σειράς Fourier π x Sa os ω0 [os ω0 os3ω0 os5ω0 os7ω0...] π ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

72 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Γραμμικά φάσματα Fourier x [os ω0 os3ω0 π os5ω0 os7ω0 π os9ω0...] π Φάσμα πλάτους Φάσμα φάσης Οι σειρές Fourier αναπαριστούν τα περιοδικά σήματα σαν άθροισμα ημιτονικών συναρτήσεων αναδεικνύοντας το φασματικό περιεχόμενο του σήματος τόσο στο επίπεδο του πλάτους των αρμονικών του φάσμα πλάτους όσο και στο επίπεδο της φάσης τους φάσμα φάσης. Τα φάσματα είναι διακριτά, αποτελούνται από γραμμές σε πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας του περιοδικού σήματος και ονομάζονται γραμμικά φάσματα. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

73 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Τριγωνομετρικές σειρές Fourier Παράδειγμα παλμοσειρών ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 73

74 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Η εκθετική σειρά Fourier Έστω το σύνολο των εκθετικών συναρτήσεων της μορφής e jω 0, 0,,,... Αποδεικνύεται ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι ορθογώνιες σε κάθε διάστημα διάρκειας Τ 0 =π/ω 0, δηλαδή 0, m e jmω0 e jω0 d e j m ω0 d T0 T0 T0, m Επιπλέον αποδεικνύεται ότι το σύνολο αυτό είναι ένα πλήρες σύνολο. Έτσι, ένα σήμα μπορεί να περιγραφεί στο διάστημα Τ 0 με μια εκθετική σειρά Fourier της μορφής D e 0 jω όπου D T Η εκθετική σειρά Fourier είναι περιοδική, υπάρχει όταν ικανοποιούνται οι συνθήκες Dirihle και αποτελεί μια άλλη μορφή της τριγωνομετρικής σειράς αφού κάθε ημιτονοειδές σήμα συχνότητας ω μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο εκθετικών σημάτων e jω και e -jω με χρήση της ταυτότητας του Euler. e jω0 0 T 0 d ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 74

75 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Η εκθετική σειρά Fourier Παράδειγμα υπολογισμού εκθετικής σειράς Fourier, T x x T0 T0 0, T D A jb Οι συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: D T e T T 0 jω 0 d si ω0t π πt si π T 0 Για Τ 0 =4Τ x si π e 0 D D 0 A0 C0 π jω C D,, π 3, 5,... D π, 0, π, 3, 7,, 5,... 3, 7,, 5,... 3, 7,,5,... ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 75

76 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Η εκθετική σειρά Fourier Παράδειγμα υπολογισμού εκθετικής σειράς Fourier Σύγκριση φασμάτων εκθετικής και τριγωνομετρικής σειράς Εκθετική σειρά Τριγωνομετρική σειρά Τα πλάτη του φάσματος της εκθετικής σειράς είναι μισά των πλατών της τριγωνομετρικής σειράς εκτός του όρου DC ενώ οι φάσεις παρουσιάζουν περιττή συμμετρία όντας ίσες με τις φάσεις της τριγωνομετρικής σειράς για «θετικές» συχνότητες. Αυτό ισχύει γενικά για τα πραγματικά σήματα. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 76

77 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Η εκθετική σειρά Fourier Φάσματα εκθετικής και τριγωνομετρικών σειρών Fourier Τα φάσματα της εκθετικής σειράς Fourier είναι στη γενική τους μορφή δίπλευρα. αποτελούνται από θετικές και αρνητικές συχνότητες όταν το σήμα είναι πραγματικό. Στην φύση δεν υπάρχουν αρνητικές συχνότητες. Αυτές προκύπτουν από την ανάλυση του συνημιτόνου βάσει της ταυτότητας του Euler σε δύο εκθετικές συνιστώσες e jω και e -jω. Η ύπαρξη της αρνητικής συχνότητας, για πραγματικά σήματα, είναι απόρροια της χρήσης μιγαδικών ορθογωνίων σημάτων και έχει ως αποτέλεσμα να μοιράζει εξίσου την ισχύ μεταξύ της θετικής και της αντίστοιχης αρνητικής αρμονικής. Ο πρώτος όρος που δίνει τη μέση τιμή του σήματος ή αλλιώς τη συνιστώσα DC είναι κοινός για όλες τις σειρές. Τα φάσματα της εκθετικής και των τριγωνομετρικών σειρών είναι ισοδύναμα και παρέχουν ακριβώς την ίδια πληροφορία για το σήμα. Οι εκθετικές σειρές προτιμούνται λόγω της συμπαγούς μορφής τους και της ευκολίας που εισάγουν από μαθηματική άποψη. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 77

78 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Πίνακας σειρών Fourier Σειρές Fourier περιοδικού σήματος Μορφή Σειρά Συντελεστές Τύποι αλλαγής Εκθετική T D jω 0 e 0 D e T T0 0 jω 0 D D 0 A0 C0 A jb Τριγωνομετρική Α A 0 B A os ω si ω 0 0 A A B 0 T0 T0 T T0 T T 0 T T T 0 d os ω d 0 si ω d 0 A0 D 0 A B D D j D D Τριγωνομετρική Β συμπαγής C 0 C os ω0 θ C0 A 0 C A B B θ a A D ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 78

79 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 79 Στοιχεία φασματικής ανάλυσης Ταυτότητα του Parseval Η μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος υπολογίζεται ως Λαμβάνοντας υπόψη το ανάπτυγμα σε εκθετική σειρά Fourier αποδεικνύεται ότι η μέση ισχύς ενός σήματος μπορεί να υπολογιστεί στο πεδίο του χρόνου ή της συχνότητας όπως παρακάτω: Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις μεταξύ των συντελεστών των αναπτυγμάτων Fourier προκύπτει 0 0 T x d x T P T jω T jω T jω T T x D D D d e x T D d e D x T d e D x T d x x T d x T P * 0 * * 0 * 0 * T x D d x T P T x B A A C C D d x T P

80 Φασματική ανάλυση Μετασχηματισμός Fourier X ω x π x e jω X ω e d jω X ω F dω F x X ω X x Ενώ το ανάπτυγμα Fourier αναλύει ένα περιοδικό σήμα στο -, + σε ημιτονοειδή σήματα με συχνότητες που είναι πολλαπλάσιες της θεμελιώδους συχνότητας και οδηγεί σε ένα διακριτό φάσμα πλάτους, ο μετ/σμός Fourier αναλύει ένα μη περιοδικό σήμα στο -, + σε ένα συνεχές φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτων και δίνει την φασματική πυκνότητα του πλάτους του σήματος δηλ. πλάτος ανά μονάδα εύρους ζώνης Hz. Οι ικανές συνθήκες για την ύπαρξη του μετ/σμού Fourier είναι οι συνθήκες Dirihle. x x F X ω x e X e jπ jπ d d ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 80

81 Φασματική ανάλυση Μετασχηματισμός Fourier Ο μετ/σμός Fourier είναι γενικά μιγαδική συνάρτηση και μπορεί να γραφεί ως X ω X ω e j θ X ω όπου X ω Όταν x πραγματική τότε Παράδειγμα είναι το πλάτος και θ Χ ω η φάση του. X ω X * ω δηλαδή X ω X ω θ X ω θx ω ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8

82 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8 Φασματική ανάλυση Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier Γραμμικότητα Συμμετρία δυαδικότητα ω Y a ω X a y a x a ω Y y ω X x F F F ω πx X ω X x F F

83 Φασματική ανάλυση Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier Κλιμάκωση x X ω F F x a ω X a a Μετατόπιση στο χρόνο x x X ω 0 F F X ω e jω 0 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 83

84 Φασματική ανάλυση Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier Μετατόπιση στη συχνότητα F x X ω x e jω F X ω Διαμόρφωση x X ω τότε 0 ω 0 F x os ω F X ω ω X ω 0 0 ω0 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 84

85 Φασματική ανάλυση Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier Παράδειγμα διαμόρφωσης ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 85

86 Φασματική ανάλυση Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier Μετασχηματισμός Fourier περιοδικών συναρτήσεων δ F F[ δ ] δ e jω d F πδ ω πδ ω δυαδικότητα F δ 0 e jω F e jω πδ ω 0 0 ω 0 μετατόπιση στο χρόνο F [ δ ω ω ] δ ω ω e j ωd e jω0 0 0 Με βάση τα παραπάνω και τις προαναφερθείσες ιδιότητες του μετ/σμού Fourier, μια περιοδική συνάρτηση x, έχει μετασχηματισμό Fourier : F[ x ] π Dδ ω ω0 F[ x ] D e jω0e jωd D [ e jω0 όπου D είναι οι συντελεστές της F ] εκθετικής σειράς Fourier. Έτσι, π Dδ ω ω0 οι περιοδικές συναρτήσεις έχουν Μετ/σμό Fourier που αποτελείται από ώσεις σε πολλαπλάσια της θεμελιώδους κυκλικής συχνότητας. Με δεδομένο το μετ/σμό Fourier οι συντελεστές D μπορούν να βρεθούν από τη σχέση D X ω0 T0 π x e jω d D π e jω 0 e jω d ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 86

87 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 87 Φασματική ανάλυση Συνέλιξη και μετασχηματισμός Fourier Σε ένα γραμμικό χρονο-αμετάβλητο σύστημα συνεχούς χρόνου, η έξοδος δίνεται από τη συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση του συστήματος, δηλαδή Γενικά η συνέλιξη μεταξύ δύο συναρτήσεων και g ορίζεται ως Αποδεικνύεται ότι οπότε για ένα LTI ισχύει όπου Hω = F[h] είναι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. τ d τ h τ x h x y x y h τ d τ g τ g ω ω ω ω π Y X y x Y X y x F F ω X ω H ω Y Y X y x Y X y x F F

88 Φασματική ανάλυση Σήματα ενέργειας και μετασχηματισμός Fourier Έστω E x η ενέργεια ενός σήματος ενέργειας. Τότε Parseval, E x x d X ω E x π π x X d * ω X ω dω x x* d x π x e jωd dω X π Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός σήματος ενέργειας ορίζεται ως * X * ω e jω ω X ω dω dω d R x τ x x τ d Για τ = 0 Rx0 x x d Ex R x τ F Χ ω φασματική πυκνότητα ενέργειας x F R τ x π x x τ d e jωτ dω dτ x x τ e jωτ dτ d X ω e jω d X ω x e jωd X ω X ω X ω ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 88

89 Φασματική ανάλυση Σήματα ισχύος και μετασχηματισμός Fourier Αντίστοιχα για τα σήματα ισχύος ορίζεται η ισχύς ως P lim T x x d TT T και η φασματική πυκνότητα ισχύος ως X ω Sx ω lim Έτσι, P T T π Επίσης η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ορίζεται ως R x τ lim T T T T x x τ d x Sx και για τ = 0 R ω dω 0 x P x και αποδεικνύεται ότι R x τ F S ω x Για ένα LTI με h κρουστική απόκριση, είσοδο x, έξοδο y και S x ω και S y ω τις φασματικές πυκνότητες ισχύος, ισχύει S y ω H ω S ω x ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 89

90 Φασματική ανάλυση Εύρος ζώνης και φίλτρα Εύρος ζώνης badwidh ενός σήματος ή συστήματος είναι η περιοχή ζώνη συχνοτήτων, στις θετικές συχνότητες, εντός της οποίας το σήμα συγκεντρώνει το φασματικό του περιεχόμενο. Εφόσον το σήμα είναι αυστηρά περιορισμένο σε μια ζώνη συχνοτήτων, τότε ως εύρος ζώνης μπορεί να θεωρηθεί η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης συχνότητας που αυτό εμφανίζει. Σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιείται το εύρος ζώνης μεταξύ δύο μηδενισμών του φάσματος ull-o-ull badwidh. Επίσης, πολύ συχνά, χρησιμοποιείται και το 3-dB badwidh, που είναι το εύρος ζώνης στο οποίο το φάσμα ισχύος ή η πυκνότητα φασματικής ισχύος του σήματος μειώνεται στο μισό της μέγιστης τιμής του ή το πλάτος του φάσματος μειώνεται στο της μέγιστης τιμής του. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 90

91 Φασματική ανάλυση Εύρος ζώνης και φίλτρα Σήμα βασικής ζώνης Ένα σήμα λέγεται βασικής ζώνης basebad όταν το φασματικό του περιεχόμενο οι φασματικές του συνιστώσες συγκεντρώνεται κοντά στη συχνότητα = 0 και οι φασματικές συνιστώσες είναι μηδενικές ή αμελητέες μακριά από τη συχνότητα = 0. Τα σήματα πληροφορίας φωνή, δεδομένα, κ.λ.π. είναι σήματα βασικής ζώνης. Ζωνοπερατό σήμα Ένα σήμα λέγεται ζωνοπερατό badpass όταν το φασματικό του περιεχόμενο συγκεντρώνεται σε μια περιοχή γύρω από μια συχνότητα >> 0, και οι φασματικές συνιστώσες είναι αμελητέες αλλού. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 9

92 Φασματική ανάλυση Εύρος ζώνης και φίλτρα Φίλτρο είναι μια διάταξη επιλογής συχνοτήτων που χρησιμοποιείται για να περιορίσει το φάσμα ενός σήματος σε μια συγκεκριμένη ζώνη συχνοτήτων. Τα φίλτρα χαρακτηρίζονται από τη ζώνη διέλευσης passbad, δηλαδή τη ζώνη συχνοτήτων εντός της οποίας τα σήματα περνούν σχεδόν χωρίς παραμόρφωση, τη ζώνη αποκοπής sopbad, εντός της οποίας τα διερχόμενα σήματα πρακτικά μηδενίζονται και τη ζώνης μετάβασης. Ιδανικά φίλτρα H Lowpass H Highpass H Badpass H Badsop ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 9

93 Φασματική ανάλυση Εύρος ζώνης και φίλτρα Πραγματικά φίλτρα παραδείγματα Ζώνη διέλευσης Ζώνη αποκοπής Ζώνη διέλευσης Ζώνη αποκοπής Ζώνη αποκοπής Συνηθέστερα τα φίλτρα χαρακτηρίζονται από το 3-dB εύρος ζώνης τους. Σε άλλες περιπτώσεις χαρακτηρίζονται από το συντελεστή ποιότητας Qaor που ορίζεται για τα ζωνοπερατά φίλτρα ως Q BW 3dB Σε άλλες περιπτώσεις για τα ζωνοπερατά φίλτρα χρησιμοποιείται ο λόγος του εύρους ζώνης μετάβασης προς την κεντρική συχνότητα. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 93

94 Τηλεπικοινωνίες Ι Μάθημα 3 ο Διαμόρφωση πλάτους Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Σεπτέμβριος 0

95 Διαμόρφωση πλάτους Περιεχόμενα Σήματα βασική ζώνης και σήματα ζωνοπερατά Μετατόπιση συχνότητας Διαμόρφωση DSB-SC Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Διαμόρφωση SSB Διαμόρφωση VSB Πολυπλεξία συχνότητας Ραδιοφωνία ΑΜ / υπερετερόδυνος ΑΜ δέκτης ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 95

96 Διαμόρφωση πλάτους Σήματα βασικής ζώνης και σήματα ζωνοπερατά Ένα σήμα λέγεται βασικής ζώνης basebad όταν το φασματικό του περιεχόμενο οι φασματικές του συνιστώσες συγκεντρώνεται κοντά στη συχνότητα =0 και οι φασματικές συνιστώσες είναι μηδενικές ή αμελητέες μακριά από τη συχνότητα =0. Ένα σήμα λέγεται ζωνοπερατό badpass όταν το φασματικό του περιεχόμενο συγκεντρώνεται σε μια περιοχή γύρω από μια συχνότητα = ±, με >>0, και οι φασματικές συνιστώσες είναι αμελητέες αλλού. Στις τηλεπικοινωνίες τα σήματα πληροφορίας είναι συνήθως σήματα βασικής ζώνης, ενώ τα σήματα εκπομπής είναι συνήθως ζωνοπερατά και η ζώνη που καταλαμβάνουν στο πεδίο της συχνότητας εξαρτάται από το μέσο διάδοσης, την απονομή του φάσματος από τις αρχές ή τη συγκεκριμένη εφαρμογή, τη μέθοδο πολλπαλής πρόσβασης κ.λ.π. Ένα πραγματικό ζωνοπερατό σήμα περιγράφεται με τη σχέση υ a os[π θ ] όπου a είναι το πλάτος και θ η φάση του. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 96

97 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 97 Διαμόρφωση πλάτους Σήματα βασικής ζώνης και σήματα ζωνοπερατά Εναλλακτικά, αναπτύσσοντας τη συνάρτηση συνημιτόνου ένα ζωνοπερατό σήμα μπορεί να γραφεί ως όπου g I και g Q είναι η συμφασική i-phase και η ορθογώνια quadraure αντίστοιχα, χαμηλοπερατές lowpass συνιστώσες του s, για τις οποίες ισχύει Μια τρίτη μέθοδος αναπαράστασης ενός ζωνοπερατού σήματος είναι μέσω της μιγαδικής περιβάλλουσας g omplex evelope, ως εξής: όπου Το μιγαδικό σήμα g ονομάζεται επίσης ισοδύναμο χαμηλοπερατό σήμα lowpass equivale sigal. si os si os a g a g g g Q I Q I θ θ π π υ a g g g g a I Q Q I θ ] Re[ e j g π υ jg g e a g Q I j θ

98 Διαμόρφωση πλάτους Σήματα βασικής ζώνης και σήματα ζωνοπερατά g Q g g I ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 98

99 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 99 Διαμόρφωση πλάτους Σήματα βασικής ζώνης και σήματα ζωνοπερατά Η σχέση που συνδέει το ζωνοπερατό σήμα υ με το χαμηλοπερατό μιγαδικό ισοδύναμο g στο πεδίο της συχνότητας βρίσκεται ως εξής: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα για κάθε μιγαδικό z, προκύπτει και ο μετ/σμός Fourier είναι Επιπλέον για τη φασματική πυκνότητα ισχύος του ζωνοπερατού σήματος S υ ισχύει Η κανονικοποιημένη ισχύς σε φορτίο Ohm του ζωνοπερατού σήματος είναι ] [ G G Y F υ j j j e g e g e g π π π υ ] Re[ ] Re[ z z z ] [ ] [ ] [ j j j G e g G g e g e g Y F F F F F π π π υ 4 4 ] [ g g S S R S τ υ υ F 0 0 g P R d S R P g g υ υ υ

100 Διαμόρφωση πλάτους Μετατόπιση συχνότητας Η μετατόπιση συχνότητας η οποία καλείται επίσης μίξη ή ετεροδύνωση, δηλαδή η «μεταφορά» ενός σήματος από μια ζώνη συχνοτήτων σε άλλη, είναι μια διαδικασία πολύ χρήσιμη στις τηλεπικοινωνίες, διότι εξυπηρετεί τους παρακάτω βασικούς σκοπούς: Πρακτικότητα και υλοποιησιμότητα των κεραιών Απονομή συχνοτήτων Πολυπλεξία στη συχνότητα Κοινή επεξεργασία σημάτων 000 βοηθητικό φέρον MHz ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 00

101 Διαμόρφωση πλάτους Μετατόπιση συχνότητας Η μέθοδος μετατόπισης ενός σήματος m από μια φασματική περιοχή σε μια άλλη πραγματοποιείται με τον πολλαπλασιασμό του σήματος με ένα ημιτονοειδές σήμα u m os ω m os π όπου είναι η συχνότητα γύρω από την οποία θέλουμε να μετατοπίσουμε το σήμα. Με βάση την ιδιότητα της διαμόρφωσης του μετ/σμού Fourier το σήμα που προκύπτει θα έχει μετ/σμό Fourier που δίνεται ως U M M όπου Uω=F[u] και Μω=F[m]. U ω M ω ω M ω ω Στην περίπτωση που το ημιτονοειδές σήμα είναι της μορφής osπ +φ τότε αντίστοιχα προκύπτει jφ jφ U e M e M ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0

102 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Διαμόρφωση ονομάζεται η διαδικασία αποτύπωσης της πληροφορίας που μεταφέρει ένα σήμα βασικής ζώνης σε ένα χαρακτηριστικό ενός ζωνοπερατού σήματος συνήθως ενός υψίσυχνου τόνου. Το σήμα βασικής ζώνης ονομάζεται διαμορφώνον και το ζωνοπερατό σήμα λέγεται φέρον. Δεδομένου ότι κάθε ημιτονοειδές σήμα που έχει το ρόλο του φέροντος, χαρακτηρίζεται από πλάτος, συχνότητα και φάση, προκύπτουν τα παρακάτω βασικά είδη διαμόρφωσης Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση συχνότητας Διαμόρφωση φάσης ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0

103 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Στη διαμόρφωση πλάτους διπλής πλευρικής ζώνης Double SideBad- Supressed Carrier οι μεταβολές του πλάτους του σήματος πληροφορίας m αποτυπώνονται ως μεταβολές του πλάτους του φέροντος Α osπ u A m os ω A m osπ όπου >> m με m τη μέγιστη συχνότητα του σήματος πληροφορίας m. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 03

104 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Φάσμα διαμόρφωσης DSB-SC Ο μετ/σμός Fourier του διαμορφωμένου σήματος είναι U F[ u ] F[ A m osπ] A [ M M ] A A/ κάτω πλευρική ζώνη LSB άνω πλευρική ζώνη USB To εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι διπλάσιο του αρχικού B DSBSC όπου m είναι η μέγιστη συχνότητα του σήματος πληροφορίας m m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 04

105 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Ισχύς σήματος DSB-SC Η συνολική ισχύς του διαμορφωμένου σήματος είναι DSBSC m P A m A m P P όπου P είναι η ισχύς του φέροντος, P m είναι η ισχύς του σήματος πληροφορίας m. Ο συντελεστής απόδοσης ισχύος ορίζεται ως ο λόγος της ωφέλιμης ισχύος προς τη συνολική ισχύ εκπομπής και δίνει ένα μέτρο της ισχύος που καταναλώνεται στο σήμα πληροφορίας σε σχέση την ισχύ που καταναλώνεται στο φέρον. useul power Psidebads η oal power P Εν προκειμένω όλη η διαθέσιμη ισχύς καταναλώνεται για την εκπομπή της πληροφορίας και ως εκ τούτου PP m ηdsbsc PP m oal ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 05

106 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Αποδιαμόρφωση DSB-SC Η απλούστερη μέθοδος αποδιαμόρφωσης ενός σήματος DSB-SC για την ανάκτηση του σήματος πληροφορίας είναι ο πολλαπλασιασμός του λαμβανόμενου σήματος στο δέκτη με το τοπικά αναγεννημένο φέρον. Έτσι, u os ω A m os όπου χρησιμοποιήθηκε η ταυτότητα ω os φ osφ και δε λήφθηκαν υπόψη οι παραμορφώσεις που εισάγονται από το κανάλι. Ο όρος γύρω από τη συχνότητα απομακρύνεται με τη χρήση ενός κατάλληλου χαμηλοπερατού φίλτρου, οπότε το σήμα πληροφορίας ανακτάται πλήρως. A m A m osω Η παραπάνω μέθοδος ονομάζεται σύγχρονη ή σύμφωνη ohere αποδιαμόρφωση και για να καταστεί δυνατή, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η ακριβής γνώση του φέροντος στο δέκτη τόσο σε συχνότητα, όσο και σε φάση. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 06

107 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Παράδειγμα διαμόρφωσης αποδιαμόρφωσης DSB/SC Σήμα πληροφορίας Διαμορφωμένο σήμα m m os ω Σήμα μετά τον πολ/μό με το φέρον στο δέκτη Αποδιαμορφωμένο σήμα μετά το LPF m os ω m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 07

108 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Αποδιαμόρφωση DSB-SC Στην περίπτωση που το τοπικό φέρον στο δέκτη δεν είναι συγχρονισμένο κατά συχνότητα και φάση με το φέρον που εμπεριέχεται στο λαμβανόμενο σήμα, θα ισχύει στην έξοδο του σύγχρονου αποδιαμορφωτή u os[ ω Δω θ] Α m os ω os[ ω Δω θ] Αποδεικνύεται ότι η έξοδος είναι γενικά της μορφής Α y m osδω θ Όταν Δω=0 ακριβής συγχρονισμός κατά συχνότητα τότε το σήμα εξόδου είναι Α y m os θ άρα το σήμα έχει μια απόσβεση κατά osθ η οποία δε δημιουργεί σημαντικό πρόβλημα όσο είναι σταθερή και είναι μακριά από το π/ σε αυτή την περίπτωση το σήμα μηδενίζεται. Επειδή στην πράξη το θ δεν είναι σταθερό η απόσβεση δεν είναι επίσης σταθερή, γεγονός που δημιουργεί πρόβλημα στην έξοδο. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 08

109 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Αποδιαμόρφωση DSB-SC Όταν θ=0, τότε η έξοδος είναι Α y m osδω Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα η ένταση του σήματος να αυξομειώνεται περιοδικά με περίοδο /Δω beaig ee. Όταν Δω κοντά στο m, το σήμα καταστρέφεται. Προκειμένου να αποφευχθούν τα προβλήματα διαφοράς συχνότητας ή φάσης του τοπικού φέροντος, χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι ανάκτησης του φέροντος από το λαμβανόμενο σήμα, όπως είναι ο βρόχος PLL, ο βρόχος Cosas, ο βρόχος τετραγωνισμού, κ.λπ. Σε κάποιες περιπτώσεις εκπέμπεται ένα μικρό φέρον για να χρησιμοποιηθεί ως αναφορά στο δέκτη π.χ. Sereo FM. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 09

110 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση διπλής πλευρικής ζώνης με κατασταλμένο φέρον DSB-SC Αρχή λειτουργίας PLL A si ω θ i ωv ωr e x e Filer VCO ê 0 e 0 e Bos ω v θ o Η είσοδος του φίλτρου είναι x ABsi θi θο και η έξοδός του e ABsi θ θ AB ο siθ e 0 siω AB i ο i e Έστω η είσοδος στο VCO όταν το PLL είναι σε κατάσταση ισορροπίας. Η έξοδος του VCO είναι ένα ημιτονοειδές σήμα συχνότητας ω ωr e 0, ίδιας με τη συχνότητα του σήματος εισόδου. Όταν η συχνότητα εισόδου μεταβληθεί κατά Δω, τότε παράγεται ένα σήμα σφάλματος eˆ AB 0 siθˆ όπου. Τότε το VCO τροποποιεί e θˆe Δω θi θο την έξοδό του έτσι ώστε να μηδενίσει το σήμα σφάλματος, δηλαδή η συχνότητά του να γίνει ίδια με αυτή του σήματος εισόδου. θ e θˆe θ θ θ e ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0

111 Διαμόρφωση πλάτους Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Στη συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Ampliude Μodulaio οι μεταβολές του πλάτους του σήματος πληροφορίας m αποτυπώνονται ως μεταβολές του πλάτους του φέροντος Α osπ με τη μορφή u A[ m ]os π A os π A m os π όπου >> m με m τη μέγιστη συχνότητα του σήματος πληροφορίας m. Αντί της μονάδας μπορεί να προστίθεται μια άλλη σταθερά στο m. Το διαμορφωμένο σήμα αποτελείται Από το γινόμενο του σήματος πληροφορίας με το φέρον mα osπ, όπως και στο DSB-SC. Από το φέρον Α osπ αυτούσιο. Δηλαδή δεν γίνεται καταστολή του φέροντος. Η ποσότητα Α [+m] ονομάζεται η περιβάλλουσα του διαμορφωμένου σήματος. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

112 Διαμόρφωση πλάτους Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Για τη συμβατική διαμόρφωση ΑΜ, ορίζεται ο συντελεστής ή δείκτης διαμόρφωσης μ modulaio aor που εκφράζει γενικά το μέγεθος της μεταβολής του πλάτους του σήματος πληροφορίας σε σχέση με το πλάτος του φέροντος. [ a ] max [ a ] mi μ [ a ] [ a ] max όπου a = A [+m] είναι η περιβάλλουσα του διαμορφωμένου σήματος. Όταν το μ εκφράζεται σε % ποσοστό καλείται ποσοστό διαμόρφωσης. mi [ a ] max A [ a ] mi ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

113 Διαμόρφωση πλάτους Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Σήμα πληροφορίας A =, p=75% ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

114 Διαμόρφωση πλάτους Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ p=00% p=50% υπερδιαμόρφωση ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

115 Διαμόρφωση πλάτους Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Ισοδύναμες μορφές της συμβατικής διαμόρφωσης ΑΜ, όπως εμφανίζονται στη βιβλιογραφία είναι οι παρακάτω: u A [ Am ]os π u [ A m ]os π u A [ m ]os π Σε όλες τις περιπτώσεις χαρακτηριστική είναι η ύπαρξη ενός όρου DC που οδηγεί στην εμφάνιση του φέροντος στο διαμορφωμένο σήμα. Πολλές φορές είναι χρήσιμο να εκφράσουμε το σήμα πληροφορίας ως m= μm όπου το m είναι κανονικοποιημένο ως προς τη μέγιστη τιμή του m. m u A [ μm ]osπ A μ osπ max[ m ] και στην περίπτωση ημιτονικού σήματος απλοποιείται στην u A [ μosπ ]osπ m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 5

116 Διαμόρφωση πλάτους Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Φάσμα συμβατικής διαμόρφωσης ΑΜ Ο μετ/σμός Fourier του διαμορφωμένου σήματος είναι U F[ u ] F[ A m osπ] F[ A osπ A [ M M ] A [ δ ] δ ] A A/ To εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι διπλάσιο του αρχικού BAM m όπου m είναι η μέγιστη συχνότητα του σήματος πληροφορίας m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

117 Διαμόρφωση πλάτους Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Ισχύς σήματος συμβατικής διαμόρφωσης ΑΜ Η συνολική κανονικοποιημένη ισχύς του διαμορφωμένου σήματος είναι AM P A [ m ] A m m A A Pm P P Pm A A m A m όπου P είναι η ισχύς του φέροντος, P m είναι η ισχύς του σήματος πληροφορίας και θεωρήθηκε ότι η μέση τιμή m του σήματος πληροφορίας είναι μηδέν. Ο συντελεστής απόδοσης ισχύος για τη συμβατική διαμόρφωση ΑΜ είναι η AM P P sidebads oal P Pm P P P Η μέγιστη τιμή του είναι 0.5 για ημιτονικά σήματα πληροφορίας η μέγιστη τιμή είναι /3 όταν το σήμα δεν είναι υπερδιαμορφωμένο. m Pm P m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

118 Διαμόρφωση πλάτους Συμβατική διαμόρφωση ΑΜ Αποδιαμόρφωση ΑΜ με φωρατή περιβάλλουσας Η πιο κλασσική μέθοδος αποδιαμόρφωσης ΑΜ είναι ο φωρατής περιβάλλουσας evelope deeor. Η δίοδος άγει και φορτίζει τον πυκνωτή μέχρι τη μέγιστη τιμή του πλάτους. Κατόπιν η δίοδος σταματά να άγει όταν η τάση εισόδου γίνεται μικρότερη από την τάση στα άκρα του πυκνωτή και ο πυκνωτής εκφορτίζεται στην αντίσταση μέχρι να αρχίσει πάλι να άγει η δίοδος όταν το πλάτος εισόδου γίνεται μεγαλύτερο από την τάση στα άκρα του πυκνωτή. Προκειμένου το κύκλωμα να ακολουθεί πιστά τις μεταβολές του σήματος πρέπει η σταθερά RC να είναι πολύ μεγαλύτερη του /ω αλλά μικρή σε σχέση με τη μέγιστη συχνότητα του σήματος πληροφορίας. m πrc ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8

119 Διαμόρφωση πλάτους Παραδείγματα μεθόδων διαμόρφωσης ΑΜ και DSB-SC Iσοσταθμισμένοι διαμορφωτές για την παραγωγή DSB-SC Τα βασικά κυκλώματα που εκτελούν την πράξη του πολλαπλασιασμού έχουν στην έξοδό τους εκτός από το γινόμενο των εισερχόμενων σημάτων και τα αρχικά σήματα. Δεδομένου ότι το φέρον είναι πολύ δύσκολο να αφαιρεθεί με φίλτρο χωρίς να παραμορφωθούν οι πλευρικές ζώνες, χρησιμοποιούνται οι ισοσταθμισμένοι διαμορφωτές. Καλούνται «μονοί» όταν στην έξοδο καταστέλλεται μόνο ένα εκ των δύο σημάτων εισόδου και «διπλοί» όταν καταστέλλονται και τα δύο σήματα εισόδου. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 9

120 Διαμόρφωση πλάτους Παραδείγματα μεθόδων διαμόρφωσης ΑΜ και DSB-SC Παράδειγμα διαμόρφωσης DSB-SC διαμορφωτής δακτυλίου Στο διαμορφωτή δακτυλίου οι δίοδοι D και D3 άγουν μόνο στη θετική ημιπερίοδο του φέροντος ενώ οι D και D4 μόνο στην αρνητική ημιπερίοδο. Έτσι η έξοδος είναι ανάλογη του m κατά τη θετική ημιπερίοδο και του m στην αρνητική. Το m πολλαπλασιάζεται με μια τετραγωνική παλμοσειρά w με περίοδο ίση με την περίοδο του φέροντος. Η παλμοσειρά σε ανάπτυγμα Fourier είναι w 4 [os ω os3 os5 0 ω0 ω0 os7ω0...] π Οπότε το σήμα στην είσοδο του φίλτρου είναι υ 4 [ m os ω m os3 ω m os5 ω...] i π 3 5 Οι πρόσθετοι όροι αφαιρούνται από το ζωνοπερατό φίλτρο. m w υ i ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0

121 Διαμόρφωση πλάτους Παραδείγματα μεθόδων διαμόρφωσης ΑΜ και DSB-SC Παράδειγμα διαμόρφωσης ΑΜ διαμορφωτής διακόπτη Η δίοδος άγει μόνο κατά τη θετική ημιπερίοδο του φέροντος δημιουργώντας μια παλμοσειρά w περιόδου ίσης με αυτή του φέροντος. Έτσι η είσοδος στο φίλτρο είναι το γινόμενο [Aosω +m]w. Η παλμοσειρά σε ανάπτυγμα ourier είναι w [os ω os3ω os5ω os7...] 7 ω π Οπότε το σήμα στην είσοδο του φίλτρου είναι υ A os ω m os ω πρόσθετοι όροι ab π 3 Οι πρόσθετοι όροι αφαιρούνται από το ζωνοπερατό γύρω από την ω φίλτρο. 5 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

122 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης SSB Περιγραφή διαμόρφωσης SSB στο πεδίο της συχνότητας Σήμα πληροφορίας DSB-SC USB USSB LSB LSSB Είναι φανερό ότι το εύρος ζώνης είναι BSSB m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι

123 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης SSB Περιγραφή διαμόρφωσης SSB στο χρόνο Ένα σήμα m διαμορφωμένο κατά USB περιγράφεται στο πεδίο του χρόνου ως u m osπ m siπ ενώ ένα σήμα διαμορφωμένο κατά LSB ως u m osπ m siπ όπου m h είναι ο μετασχηματισμός Hilber του αρχικού σήματος m που δίνεται από τη σχέση m a m h m da π a Ο μετ/σμός Hilber αντιστοιχεί σε ένα «φίλτρο» με συνάρτηση μεταφοράς της μορφής jπ / j e, ω 0 H ω jsg ω jπ / j e, ω 0 Όπως φαίνεται ο μετ/σμός Hilber αφήνει αμετάβλητο το πλάτος του αρχικού σήματος και μετατοπίζει τη φάση του κατά π/. h h ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

124 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης SSB Παράδειγμα διαμόρφωσης τόνου κατά SSB Έστω ότι το σήμα εισόδου του διαμορφωτή είναι ένας τόνος, δηλαδή m os ω τότε ο μετ/σμός Hilber μετατοπίζει κατά π/ τις φασματικές συνιστώσες του m, οπότε m os ω π / si ω Έτσι, το διαμορφωμένο κατά USB σήμα θα δίνεται ως u και αντίστοιχα για το LSB έχουμε u h Η συνολική κανονικοποιημένη ισχύς είναι απόδοσης ισχύος του SSB είναι η=. m A m os ω A mh si ω A os ωmosω A si ωmsi ω A os[ ω ω ] m m A m os ω A m A os[ ω ω ] m h m si ω P P SSB P m και ο συντελεστής ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

125 Διαμόρφωση πλάτους Μέθοδοι διαμόρφωσης απλής πλευρικής ζώνης SSB Η πιο απλή μέθοδος διαμόρφωσης κατά SSB είναι με τη χρήση ζωνοπερατού φίλτρου στην έξοδο ενός ισοσταθμισμένου διαμορφωτή, το οποίο διατηρεί μόνο επιθυμητή πλευρική ζώνη. Το βασικότερο πρόβλημα στην περίπτωση αυτή είναι ότι το φίλτρο πρέπει να εξαιρετικά επιλεκτικό ο λόγος της ζώνης διάβασης προς τη φέρουσα όταν η φέρουσα συχνότητα είναι πολύ υψηλή. Για το λόγο αυτό συνήθως προτιμάται η διαμόρφωση σε πολλές βαθμίδες, οι οποίες μετατοπίζουν το σήμα σε ενδιάμεσες συχνότητες πριν φτάσει στην τελική, προκειμένου να μειωθούν οι απαιτήσεις επιλεκτικότητας των φίλτρων. Παράδειγμα Για ένα σήμα φωνής Ηz που πρέπει να διαμορφωθεί με μια φέρουσα 0MΗz ακολουθούνται στάδια. Διαμόρφωση στα 00KHz απόσβεση 40dB σε 600Ηz, λόγος 0.6%. Διαμόρφωση στα 0MHz απόσβεση 40dB σε 00.6ΚΗz, λόγος ~% ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 5

126 Διαμόρφωση πλάτους Μέθοδοι διαμόρφωσης απλής πλευρικής ζώνης SSB Μια εναλλακτική μέθοδος για την παραγωγή ενός σήματος απλής πλευρικής ζώνης είναι η μέθοδος φάσης, η οποία φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Η μέθοδος φάσης εμφανίζει δυσκολίες στην ακριβή μετατόπιση φάσης κατά π/. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

127 Διαμόρφωση πλάτους Αποδιαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης SSB Η κύρια μέθοδος αποδιαμόρφωσης είναι η σύμφωνη σύγχρονη μέθοδος, στην οποία πραγματοποιείται πολ/σμός του σήματος με το τοπικά αναγεννημένο φέρον, δηλαδή u osω m os ωosω mh si ωos ω m [ osω] mh siω Το σήμα πληροφορίας ανακτάται πλήρως με τη χρήση ενός χαμηλοπερατού φίλτρου. Ως εκ τούτου, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι αποδιαμορφωτές που χρησιμοποιούνται και στο DSB-SC. Στην περίπτωση που το τοπικό φέρον δεν είναι πλήρως συγχρονισμένο κατά συχνότητα και φάση, το σήμα εμφανίζεται παραμορφωμένο κατά συχνότητα και φάση στην απλούστερη περίπτωση εμφανίζεται μετατόπιση στη συχνότητα και στη φάση. Η παραμόρφωση ωστόσο που εισάγεται είναι μικρότερη από την αντίστοιχη του DSB-SC. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

128 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης VSB Περιγραφή διαμόρφωσης VSB στο πεδίο της συχνότητας Σήμα πληροφορίας DSB USB VSB Είναι φανερό ότι το εύρος ζώνης είναι B VSB = m + v, όπου v είναι της τάξης του 0.5 m με 0.33 m συνήθως. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8

129 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 9 Περιγραφή διαμόρφωσης VSB στο πεδίο της συχνότητας Το διαμορφωμένο κατά DSB σήμα φιλτράρεται κατάλληλα σε εύρος ζώνης μεγαλύτερο από αυτό του σήματος βασικής ζώνης, έτσι ώστε να προκύψει το σήμα VSB. όπου Η i ω είναι η συνάρτηση μεταφοράς του ζωνοπερατού φίλτρου στον πομπό και Μω ο μετ/σμός Fourier του σήματος πληροφορίας m. Κατά την σύμφωνη αποδιαμόρφωση στο δέκτη έχουμε Προκειμένου να μην υπάρχει παραμόρφωση στο αποδιαμορφωμένο σήμα θα πρέπει ο δέκτης να έχει ένα φίλτρο που να απομακρύνει την επίδραση του του φίλτρου του πομπού, δηλαδή Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση απλής πλευρικής ζώνης VSB ] [ ω ω ω ω ω ω i VSB H M M U os i i H M H M U U u ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω F i i o H H H ω ω ω ω ω

130 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση μερικώς κατασταλμένης πλευρικής ζώνης VSB Παράδειγμα φίλτρων πομπού και δέκτη στη διαμόρφωση VSB To φίλτρο H i ω στον πομπό Η επίδραση της αποδιαμόρφωσης στο φίλτρο του πομπού. Το απαραίτητο φίλτρο H o ω στο δέκτη για να μην υπάρχει παραμόρφωση. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 30

131 Διαμόρφωση πλάτους Διαμόρφωση μερικώς κατασταλμένης πλευρικής ζώνης VSB Παράδειγμα σήματος Α/Μ τηλεόρασης στο πεδίο της συχνότητας ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

132 Διαμόρφωση πλάτους Πολυπλεξία στη συχνότητα FDM ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 3

133 Διαμόρφωση πλάτους Ραδιοφωνία ΑΜ Ιστορική αναδρομή Η πρώτη ΑΜ εκπομπή πραγματοποιήθηκε στον Καναδά το 906. Από το 909 ξεκίνησε η μετάδοση περιοδικών εκπομπών στις Η.Π.Α. Η εμπορική χρήση της ραδιοφωνίας ΑΜ για μετάδοση broadasig προγραμμάτων ξεκίνησε μετά το 90. Ο υπερετερόδυνος δέκτης, που εφευρέθηκε από τον Ε.Η. Armsrog το 99 υπήρξε ο πιο σημαντικός παράγοντας εξάπλωσης του ΑΜ και της εμπορικής ραδιοφωνίας γενικότερα, καθώς έδωσε τη δυνατότητα της χρήσης «κοινού», απλού εξοπλισμού για τη λήψη ραδιοφωνικών σημάτων, ανεξάρτητα από τη συχνότητα φέρουσα εκπομπής του σήματος. Βασικές προδιαγραφές Οι διατιθέμενες συχνότητες για ΑΜ εκπομπή είναι μεταξύ 540KHz και 600ΚΗz υπάρχουν μπάντες και σε μεγαλύτερες συχνότητες με βήματα των 0ΚΗz. Το εύρος ζώνης ανά κανάλι είναι 0KHz. Η εκπεμπόμενη ισχύς καθορίζεται από τα 00W μέχρι τα 50KW. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 33

134 Διαμόρφωση πλάτους Ραδιοφωνία ΑΜ Ο υπερετερόδυνος δέκτης ΑΜ Ο RF ενισχυτής και ζωνοπερατό φίλτρο και ο τοπικός ταλαντωτής συντονίζονται ταυτόχρονα με χρήση ενός πυκνωτή στις συχνότητες και LO, αντίστοιχα, όπου LO = + ΙF, με ΙF =455ΚΗz. Με αυτό τον τρόπο το σήμα πληροφορίας μετατοπίζεται πάντα στις συχνότητες ΙF και + ΙF ανεξάρτητα από την τιμή της. Έτσι η επεξεργασία των σημάτων μετά το μείκτη είναι κοινή για όλα τα σήματα ΑΜ. Ο ΙF ενισχυτής είναι συντονισμένος στα 455KHz και έχει ένα φίλτρο με Β ΙF =0KHz απορρίπτοντας το σήμα στη συχνότητα + ΙF. Ακολουθεί ένας φωρατής περιβάλλουσας και το σήμα μετά από ενίσχυση οδηγείται στο μεγάφωνο. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 34

135 Διαμόρφωση πλάτους Ραδιοφωνία ΑΜ Ο υπερετερόδυνος δέκτης ΑΜ Η παραπάνω μεθοδολογία δίνει τη δυνατότητα κατασκευής των ενισχυτικών βαθμίδων και του φίλτρου στην IF με μοναδικό τρόπο για όλη τη μπάντα των ΑΜ. Η επιλεκτικότητα του RF ενισχυτή δεν είναι μεγάλης σημασίας και δεν εξαρτάται από τη φέρουσα του λαμβανόμενου σήματος ΑΜ. Αν στην είσοδο του δέκτη εμφανιστεί εκτός από το σήμα στη συχνότητα και ένα σήμα στη συχνότητα = + ΙF τότε μετά τη μίξη εκτός από το επιθυμητό σήμα θα εμφανιστεί στη ζώνη των 455KHz και το δεύτερο σήμα αρχικής συχνότητας. Προκειμένου να αποφευχθεί η παρεμβολή από το δεύτερο σήμα, ο RF ενισχυτής σχεδιάζεται έτσι ώστε το ζωνοπερατό φίλτρο του να έχει Β RF < 4 ΙF έτσι ώστε το παρεμβάλον σήμα να μην φτάνει στο μίκτη. Η συχνότητα ονομάζεται συχνότητα είδωλο. Με τον ίδιο τρόπο θα λειτουργούσε ο δέκτης αν ο τοπικός ταλαντωτής είχε συχνότητα LO = - ΙF. Ο λόγος της επιλογής της LO = + ΙF είναι ότι για την κάλυψη όλης της μπάντας ο τοπικός ταλαντωτής κυμαίνεται από 005 έως 055ΚΗz λόγος.045 ενώ στην άλλη περίπτωση ο αντίστοιχος λόγος θα είναι.05 από 95 έως 45KHz. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι την περίπτωση της LO = + ΙF είναι ευκολότερος ο σχεδιασμός και η υλοποίηση του ταλαντωτή. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 35

136 Τηλεπικοινωνίες Ι Μάθημα 4 ο Διαμόρφωση γωνίας Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Σεπτέμβριος 0

137 Διαμόρφωση γωνίας Περιεχόμενα Περιγραφή των FM και PM στο πεδίο του χρόνου Περιγραφή των FM και PM στο πεδίο της συχνότητας Επίδραση του δείκτη διαμόρφωσης β, του πλάτους και της συχνότητας του σήματος πληροφορίας. FM «σταθερού εύρους ζώνης» FM στενής ζώνης NBFM Εύρος ζώνης και ισχύς των διαμορφωμένων κατά γωνία σημάτων. Υλοποίηση διαμορφωτών γωνίας Μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM Ραδιοφωνία FM στερεοφωνικό FM ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 37

138 Διαμόρφωση γωνίας Εισαγωγή Η δεύτερη κατηγορία διαμόρφωσης είναι η διαμόρφωση γωνίας agle modulaio. Η διαμόρφωση γωνίας ανήκει στην κατηγορία των μη γραμμικών διαμορφώσεων σε αντιδιαστολή με την διαμόρφωση πλάτους πρώτη κατηγορία η οποία ανήκει στην κατηγορία των γραμμικών διαμορφώσεων. Η διαμόρφωση γωνίας έχει δύο υποκατηγορίες: Διαμόρφωση φάσης phase modulaio, PM στην οποία η φάση του φέροντος μεταβάλλεται ανάλογα με το σήμα πληροφορίας. Διαμόρφωση συχνότητας requey modulaio, FM στην οποία η στιγμιαία συχνότητα του φέροντος μεταβάλλεται σύμφωνα με το σήμα πληροφορίας. Η διαμόρφωση γωνίας, λόγω της μη γραμμικότητάς της είναι γενικά πολύπλοκη στην μαθηματική ανάλυση η οποία συνήθως βασίζεται σε προσεγγίσεις. Οι διαμορφώσεις γωνίας γενικά διαστέλλουν το εύρος ζώνης του σήματος πληροφορίας, παρουσιάζουν όμως μεγαλύτερο βαθμό ανοσίας στο θόρυβο από τις διαμορφώσεις πλάτους. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 38

139 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο του χρόνου Η γενική μορφή ενός διαμορφωμένου κατά γωνία σήματος ζωνοπερατού είναι υ A os[ θ ] A os[π φ ] οπότε η στιγμιαία συχνότητα του σήματος i δίνεται ως d d i θ φ π d π d Όταν η φάση είναι ανάλογη του σήματος πληροφορίας m, δηλαδή τότε η διαμόρφωση λέγεται διαμόρφωση φάσης PM. Αντίστοιχα, όταν η απόκλιση της στιγμιαίας συχνότητας από το φέρον είναι ανάλογη του σήματος πληροφορίας m, δηλαδή d i φ k m π d τότε η διαμόρφωση καλείται διαμόρφωση συχνότητας FM. Οι συντελεστές αναλογίας k p και k ονομάζονται σταθερές απόκλισης φάσης και συχνότητας αντίστοιχα. φ k m p ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 39

140 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο του χρόνου Οι δύο παραπάνω σχέσεις μπορούν να γραφούν συνοπτικά ως A os[ π k pm ], PM υ A os[ π k m τ dτ], FM Η μέγιστη απόκλιση φάσης σε ένα PM σύστημα δίνεται ως Δφ max k p max[ m ] Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας σε ένα FM σύστημα δίνεται ως Δ max k max[ m ] ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 40

141 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο του χρόνου Ισοδύναμες μέθοδοι παραγωγής FM Ισοδύναμες μέθοδοι παραγωγής PM ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

142 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο του χρόνου Παραδείγματα FM και PM m FM σήμα PM σήμα ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 4

143 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο του χρόνου Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος Έστω ότι το σήμα πληροφορίας είναι ένας τόνος της μορφής m aosπm Για το διαμορφωμένο κατά PM σήμα θα ισχύει φ k pm k paosπm Αντίστοιχα για το διαμορφωμένο κατά FM σήμα θα ισχύει k a φ πk m τ dτ siπ m m Τα διαμορφωμένα σήματα γράφονται A os[π k paosπm], PM υ k a A os[ si ], FM π π m m Ορίζουμε τους δείκτες διαμόρφωσης ως βp k pa Δφmax β k a m Δmax m οι οποίοι επεκτείνονται στην περίπτωση γενικού σήματος εύρους ζώνης W ως k max[ m ] Δmax βp k p max[ m ] Δφmax β W W ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 43

144 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο του χρόνου Παραδείγματα FM και PM m FM σήμα PM σήμα ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 44

145 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο του χρόνου Παραδείγματα FM και PM m FM σήμα PM σήμα ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 45

146 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο της συχνότητας Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος Έστω ότι το σήμα πληροφορίας είναι ένας τόνος και επιλέγεται δείκτης διαμόρφωσης β. Το διαμορφωμένο σήμα μπορεί γενικά να γραφεί υ A os[ ω βsi ω ] ή υ Re{ A e jω Το σήμα βsiω m είναι περιοδικό με περίοδο Τ m =/ m, όπου ω m =π m, οπότε το ίδιο ισχύει και για το μιγαδικό εκθετικό σήμα jβsi ωm x A e το οποίο μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier της μορφής όπου οι συντελεστές δίνονται από τη σχέση x e D e jβsi ω A T si π m m jβ ωm jωm j[ βsi θ νθ] D e e d A e d A J β T T π π m m όπου J β είναι οι συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους που δίνονται από τη σχέση J β k0 jω θπ k m β m k k! k! m } ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 46

147 Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο της συχνότητας Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος Ως εκ τούτου το αρχικό σήμα γράφεται σε ανάπτυγμα εκθετικής σειράς Fourier ως x A J β e jω m οπότε Δεδομένων των συντελεστών D o μετασχηματισμός Fourier της x δίνεται ως F[ x ] X Dδ 0 A J β δ 0 υ A J βos[π ] Παρατηρούμε ότι παρά το γεγονός ότι το σήμα πληροφορίας είναι ένας απλός τόνος συχνότητας m, το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα εμφανίζει φασματικές συνιστώσες σε όλες τις συχνότητες + m, =0, ±, ±, και ως εκ τούτου το ακριβές εύρος ζώνης του σήματος είναι άπειρο. Στην πράξη τα πλάτη των συνιστωσών για μεγάλες τιμές του είναι πολύ μικρά και μπορούν να θεωρηθούν αμελητέα ως προς ποσοστό που συνεισφέρουν στην συνολική ισχύ του σήματος. Έτσι, συνήθως χρησιμοποιούμε σαν ονομαστικό ή ενεργό το εύρος ζώνης στο οποίο συμπεριλαμβάνεται το 98% της συνολικής ισχύος. m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 47

148 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 48 Συναρτήσεις Bessel Ο όρος J 0 β δίνει το πλάτος του φέροντος στο διαμορφωμένο σήμα. Γενικά ισχύει Επιπλέον, για β<< ισχύει Διαμόρφωση γωνίας Περιγραφή διαμορφώσεων FM και PM στο πεδίο της συχνότητας J 0 J J J 3 J4 J 5 J 6 J 7 J 8 J 9 J 0 β 0,! 0 J J β β β β odd, - eve, J J J β β β 0 J J J β β β

149 Διαμόρφωση γωνίας Επίδραση του δείκτη διαμόρφωσης β Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος Διατηρώντας σταθερά το πλάτος a και τη συχνότητα m του σήματος, τα φάσματα μέτρο που προκύπτουν με μεταβολή του β σχεδιάζονται παρακάτω: β=0. m β= m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 49

150 Διαμόρφωση γωνίας Επίδραση του δείκτη διαμόρφωσης β Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος Η αύξηση του β οδηγεί σε αύξηση του εύρους ζώνης στο οποίο εμφανίζονται φασματικές συνιστώσες με σημαντικό πλάτος. β=5 m β=0 m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 50

151 Διαμόρφωση γωνίας Επίδραση του δείκτη διαμόρφωσης β Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος Έχει βρεθεί ότι το εύρος ζώνης που περιλαμβάνει το 98% της συνολικής ισχύος είναι περίπου B β Δ m max m και ο αριθμός των Bessel που λαμβάνονται υπόψη είναι μέχρι =β+. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 5

152 Διαμόρφωση γωνίας Επίδραση του πλάτους και της συχνότητας του σήματος πληροφορίας Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος με σταθερά k p και k Για το σήμα πληροφορίας m aosπm το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος για τις περιπτώσεις PM και FM δίνεται ως BPM β m k pa m BPM k pa m ή k BFM β m a B m FM k a m m Ο αριθμός των Bessel που λαμβάνονται υπόψη για το 98% της ισχύος είναι N PM β 3 k pa 3, NFM β 3 a 3 Η αύξηση του πλάτους a οδηγεί σε αύξηση του αριθμού των αρμονικών που συμπεριλαμβάνουν το 98% της ισχύος και έχει σχεδόν την ίδια επίδραση στην αύξηση του εύρους ζώνης και για τα δύο συστήματα. H αύξηση της m δεν επιδρά στο πλήθος των αρμονικών του PM αλλά αυξάνει την απόσταση μεταξύ τους και ως εκ τούτου αυξάνει αναλογικά το B PM για 98% της ισχύος. Με την αύξηση της m ελαττώνεται σχεδόν γραμμικά ο αριθμός των αρμονικών του FM και αυξάνει η μεταξύ τους απόσταση. Έτσι στο FM το B FM αυξάνεται ελαφρά για μεγάλα β. k m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 5

153 Διαμόρφωση γωνίας Επίδραση του πλάτους και της συχνότητας του σήματος πληροφορίας Διαμόρφωση ημιτονοειδούς σήματος Επίδραση της αύξησης του εύρους ζώνης του σήματος πληροφορίας στο εύρος ζώνης διαμορφωμένου σήματος που περιλαμβάνει το 98% της ισχύος με σταθερές τις σταθερές απόκλισης φάσης και συχνότητας. PM, m FM, m PM, m FM, m ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 53

154 Διαμόρφωση γωνίας FM «σταθερού εύρους ζώνης» Στην πράξη επιλέγεται συνήθως η μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δ max. Τότε ο δείκτης διαμόρφωσης μεταβάλλεται αντίστροφα ανάλογα με τη συχνότητα ή το πλάτος του σήματος πληροφορίας έτσι ώστε να διατηρείται περίπου σταθερό το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος. β=5 Δ max β=0 Δ max β=0 Δ max ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 54

155 Διαμόρφωση γωνίας Διαμόρφωση γωνίας στενής ζώνης ΝΒFΜ Έστω το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα υ A os[ ω βsi ωm] Αναπτύσσοντας το συνημίτονο προκύπτει για β<< υ A os ω os[ β si ω ] A si ω si[ β si ω ] A A os ω os ω A Α β si ω β os[ ω si ω β os[ ω απ όπου φαίνεται ότι το διαμορφωμένο σήμα έχει φασματικές συνιστώσες ανάλογες με αυτές του ΑΜ και εύρος ζώνης m. Γενικεύοντας για ένα σήμα m τέτοιο ώστε φ=k p m<< προκύπτει υ A os ω os[ φ ] A si ω si[ φ ] A os ω το οποίο «μοιάζει» με ΑΜ με την έννοια ότι έχει ανάλογο φασματικό περιεχόμενο, δηλαδή p Y [ δ ω ω δ ω ω ] e [ M ω ω M ω ω και εύρος ζώνης διπλάσιο από το εύρος ζώνης του σήματος m. Η διαμόρφωση γωνίας αυτού του τύπου λέγεται στενής ζώνης NBFM. m A k p ω m m ] A m si ω m ω A A k jπ m ] ] ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 55

156 Διαμόρφωση γωνίας Ισχύς και εύρος ζώνης διαμορφωμένων κατά γωνία σημάτων Στην γενική περίπτωση των διαμορφωμένων κατά γωνία σημάτων το ονομαστικό εύρος ζώνης 98% της συνολικής ισχύος μπορεί να προσεγγιστεί βάσει της σχέσης k p max{ m }, PM B β W Δ max W β k max{ m }, FM W όπου W είναι το εύρος ζώνης του σήματος πληροφορίας. Η σχέση αυτή καλείται κανόνας του Carso. Πολλές φορές, για τον πρακτικό σχεδιασμό συστημάτων, προτιμάται ο κανόνας Β = β + W, για β >. Έχει επιπλέον αποδειχτεί ότι η φασματική πυκνότητα ισχύος ενός WBFM σήματος καθορίζεται και έχει την ίδια μορφή με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του διαμορφώνοντος σήματος. Η κανονικοποιημένη ισχύς ενός διαμορφωμένου κατά FM ή PM σήματος με πλάτος φέροντος A είναι ίση με P FM P PM A ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 56

157 Διαμόρφωση γωνίας Υλοποίηση διαμορφωτών γωνίας Η υλοποίηση των διαμορφωτών γωνίας μπορεί να πραγματοποιηθεί με διάφορους τρόπους. Θα αναφερθούμε στις παρακάτω βασικές κατηγορίες παραγωγής FM: Υλοποίηση διαμόρφωσης NBFM Άμεση μέθοδος υλοποίησης διαμόρφωσης FM Έμμεση μέθοδος υλοποίησης διαμόρφωσης FM Επιπρόσθετα, θα παρουσιαστούν οι πολλαπλασιαστές συχνότητας, οι οποίοι είναι απαραίτητοι στην έμμεση υλοποίηση FM. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 57

158 Διαμόρφωση γωνίας Υλοποίηση διαμορφωτών γωνίας NBFM Ένα PM σήμα στενής ζώνης περιγράφεται από τη σχέση υ A os ω A k m si ω Η δημιουργία ενός τέτοιου σήματος είναι απλή και βασίζεται στις μεθόδους παραγωγής διαμόρφωσης πλάτους. Αντίστοιχα δημιουργείται και το NBFM με ολοκλήρωση του m πριν τη διαμόρφωσή του. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει β<<. p a mτ dτ i m a os ω he a a si ω / ω ad β ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 58 m ak m m m m m m

159 Διαμόρφωση γωνίας Υλοποίηση διαμορφωτών γωνίας NBFM Η μεθοδολογία παραγωγής NBFM ισχύει μόνο για β<<. Αυτό συμβαίνει λόγω της προσέγγισης του «πραγματικού» FM που πραγματοποιείται κατά την υλοποίηση του NBFM. Η προσέγγιση αυτή οδηγεί σε παραμόρφωση του πλάτους και της στιγμιαίας συχνότητας το οποίο εμφανίζεται στις χαμηλές συχνότητες του σήματος πληροφορίας όταν το β δεν είναι μικρό. i β = 0. i - Normal FM NBFM FM - - NBFM Normal FM β = 0.5 i - ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 59

160 Διαμόρφωση γωνίας Υλοποίηση διαμορφωτών γωνίας άμεση μέθοδος παραγωγής FM Η άμεση παραγωγή FM βασίζεται συνήθως στη δημιουργία ενός ταλαντωτή του οποίου η συχνότητα μεταβάλλεται με την τάση του σήματος διαμόρφωσης VCO - volage orolled osillaor. Ένα τέτοιο κύκλωμα μπορεί να δημιουργηθεί με τη χρήση μιας διόδου varaor, της οποίας η χωρητικότητα μεταβάλλεται ανάλογα με την τάση που εφαρμόζεται στα άκρα της, δηλαδή Αν η συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος είναι στιγμιαία συχνότητα με τη χρήση της διόδου θα είναι i π L [ C km ] m που για μικρές τιμές του δίνει Παρατήρηση: Για δ πολύ μικρό δ δ δ C C0 km 0 0 C k 0 m C k k i m C0 0 π L C 0 0 τότε η ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 60

161 Διαμόρφωση γωνίας Υλοποίηση διαμορφωτών γωνίας πολλαπλασιασμός συχνότητας Ο πολλαπλασιασμός συχνότητας είναι μια διαδικασία που χρησιμοποιείται πολύ συχνά στις τηλεπικοινωνίες αναλογικές/ψηφιακές. Πραγματοποιείται με τη χρήση μη γραμμικών στοιχείων κυκλωμάτων και τη διέλευση του παραγόμενου σήματος από κατάλληλο ζωνοπερατό φίλτρο. Έστω ένα μη γραμμικό στοιχείο δεύτερης τάξης με χαρακτηριστική y a x a x Αν η είσοδος είναι x os[ ω θ ] τότε η έξοδος θα είναι y a os[ ω θ ] a os [ ω θ ] a a a os[ ω θ ] os[ω θ ] Τα σήματα εκτός από αυτό της διπλάσιας γωνίας αποκόπτονται με τη χρήση ενός ζωνοπερατού φίλτρου BPF γύρω από τη συχνότητα. Στην περίπτωση που το σήμα είναι διαμορφωμένο κατά FM, η έξοδος θα είναι a y os[ω k ] m τ dτ στο οποίο έχει διπλασιαστεί η φέρουσα και η σταθερά απόκλισης συχνότητας. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

162 Διαμόρφωση γωνίας Υλοποίηση διαμορφωτών γωνίας πολλαπλασιασμός συχνότητας Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να παραχθούν πολλαπλάσιες της αρχικής συχνότητες, χρησιμοποιώντας μη γραμμικότητες ανώτερης τάξης και κατάλληλο BPF φίλτρο στην πράξη, χρησιμοποιούνται διαδοχικά κυκλώματα ης ή 3 ης τάξης. Το σήμα που προκύπτει στην περίπτωση του FM είναι γενικά της μορφής a σταθερά y aos[ ω k m τ dτ] Παρατηρούμε ότι πολλαπλασιάζεται ταυτόχρονα και η συχνότητα και η μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δ max k max[ m ] χωρίς να παραμορφώνεται το σήμα πληροφορίας. Αυτό δεν ισχύει στην περίπτωση της διαμόρφωσης πλάτους όπου λόγω του γεγονότος ότι η πληροφορία βρίσκεται στο πλάτος του φέροντος, θα υποστεί μη γραμμική παραμόρφωση, π.χ. για ένα σήμα DSB-SC θα έχουμε y ax bx b 3 b am os ω bm os ω [ am m ]os ω m os3 ω ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 6

163 Διαμόρφωση γωνίας Υλοποίηση διαμορφωτών γωνίας έμμεση μέθοδος παραγωγής FM Η έμμεση μέθοδος παραγωγής FM βασίζεται στη χρήση της μεθόδου NBFM σε συνδυασμό με πολλαπλασιαστές συχνότητας οι οποίοι φέρνουν το φέρον και τη μέγιστη απόκλιση συχνότητας στα επιθυμητά επίπεδα. Παράδειγμα δημιουργίας WBFM τύπου Armsrog ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 63

164 Διαμόρφωση γωνίας Μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM με μετατροπή σε AM Μια από τις απλούστερες μεθόδους αποδιαμόρφωσης των σημάτων FM συνίσταται Στην μετατροπή του λαμβανόμενου σήματος σε ένα ΑΜ σήμα του οποίου το πλάτος είναι ανάλογο με τη στιγμιαία συχνότητα του αρχικού FM σήματος. Στην χρήση ενός ΑΜ αποδιαμορφωτή για την λήψη της πληροφορίας. Για να καταστεί δυνατό το πρώτο βήμα απαιτείται ένα σύστημα ή φίλτρο το οποίο έχει απόκριση συχνότητας γραμμική στη ζώνη ενδιαφέροντος Β FM, δηλ. A o /A i H Ao / Ai R0 k Τότε A o R A a 0 i ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 64

165 Διαμόρφωση γωνίας Μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM με μετατροπή σε AM Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να υλοποιηθεί με τη χρήση ενός ή περισσοτέρων ζωνοπερατών φίλτρων, τέτοιων ώστε η φέρουσα και η περιοχή γύρω από αυτή να είναι στην γραμμική περιοχή της απόκρισης. Ένα παράδειγμα ισοσταθμισμένου διευκρινιστή με τη χρήση ζωνοπερατών φίλτρων για την επέκταση της γραμμικής περιοχής και αποδιαμορφωτή περιβάλλουσας. Δεξιά δίνεται η απόκριση συχνότητας. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 65

166 Διαμόρφωση γωνίας Μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM με μετατροπή σε AM Μια άλλη μέθοδος υλοποίησης του μετατροπέα μεταβολής συχνότητας σε μεταβολή πλάτους είναι με τη χρήση ενός διαφοριστή. Στη γενική περίπτωση το λαμβανόμενο σήμα FM στο δέκτη έχει τη μορφή r A os[ ω k m τ dτ] Αν διαφορίσουμε ιδανικά το σήμα αυτό, προκύπτει dr A [ ω k m ]si[ ω k m τ dτ] d Είναι εμφανές ότι το σήμα πληροφορίας μεταφέρεται στην περιβάλλουσα σαν σήμα διαμορφωμένο κατά ΑM. Η πληροφορία εξακολουθεί και υπάρχει και στο όρισμα της ημιτονοειδούς συνάρτησης, αυτό όμως δεν αλλάζει καθόλου τη συμπεριφορά ενός αποδιαμορφωτή ΑΜ π.χ περιβάλλουσας ο οποίος δίνει σαν έξοδο το επιθυμητό σήμα πληροφορίας. Στην πράξη, επειδή τα μεταδιδόμενα σήματα υφιστάνται μεταβολές του πλάτους τους, απαιτείται πριν το διαφοριστή ένας περιοριστής πλάτους, ο οποίος απομακρύνει οποιεσδήποτε ανεπιθύμητες μεταβολές του πλάτους. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 66

167 Διαμόρφωση γωνίας Μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM με μετατροπή σε AM Βlok διάγραμμα ενός αποδιαμορφωτή FM με μετατροπή σε ΑΜ Σήμα πληροφορίας ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 67

168 Διαμόρφωση γωνίας Μέθοδος αποδιαμόρφωσης FM με PLL Η μέθοδος αποδιαμόρφωσης με PLL στηρίζεται στην αποδιαμόρφωση του σήματος με τη χρήση ενός συγκριτή φάσης. Το blok διάγραμμα του δέκτη φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το FM σήμα εισόδου έχει τη μορφή u A Όταν η τάση εισόδου του VCO είναι μηδενική τότε η έξοδός του είναι ίση με. Όταν η είσοδός του είναι υ τότε η στιγμιαία συχνότητά του είναι k υ και το σήμα που παράγει είναι y υ υ Ο συγκριτής φάσης αποτελείται από έναν πολλαπλασιαστή και ένα LPF. υ os[π φ ], φ π m τ dτ A os[π φ ], φ πk υ τ dτ υ υ υ υ 0 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 68

169 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 69 Η έξοδος του συγκριτή μπορεί να εκφραστεί ως και η διαφορά φάσης στην έξοδό του είναι Όταν το σφάλμα φάσης είναι μικρό τότε Έτσι, ή αφού η έξοδος του φίλτρου είναι η συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική του απόκριση. Μετασχηματίζοντας κατά Fourier προκύπτει Διαμόρφωση γωνίας Μέθοδος αποδιαμόρφωσης FM με PLL ] si[ A A e υ υ φ φ e υ φ φ φ e d k 0 τ τ υ π φ φ υ ] si[ e φ φ φ φ φ υ υ d d k d d e φ υ π φ υ 0 d d d g k d d e e φ τ τ τ φ π φ υ j G k j e e Φ π Φ π Φ π υ

170 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 70 Βάσει των παραπάνω η έξοδος V του φίλτρου μπορεί να εκφραστεί ως Όταν η πιο πάνω σχέση μπορεί να γραφεί Οπότε με αντίστροφο μετ/σμό Fourier προκύπτει τελικά Διαμόρφωση γωνίας Μέθοδος αποδιαμόρφωσης FM με PLL G j k j G k j e e e Φ Φ Φ π Φ π Φ π υ υ G j k G G V e Φ Φ υ G j k υ k j V Φ υ m k k υ υ

171 Διαμόρφωση γωνίας Ραδιοφωνία FM Στη ραδιοφωνία FM 88-08MHz, το εύρος ζώνης του σήματος πληροφορίας 5KHz, η μέγιστη επιτρεπόμενη απόκλιση συχνότητας είναι Δ max = 75KHz, η απόσταση των καναλιών 00KHz και η ενδιάμεση συχνότητα του υπερετερόδυνου δέκτη IF = 0.7MHz. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

172 Διαμόρφωση γωνίας Ραδιοφωνία FM Δημιουργία στερεοφωνικού σήματος FM ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 7

173 Διαμόρφωση γωνίας Ραδιοφωνία FM Στερεοφωνικός δέκτης FM ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 73

174 Τηλεπικοινωνίες Ι Μάθημα 5 ο Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Μάιος 00

175 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Περιεχόμενα Πηγές θορύβου Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου Θόρυβος στα συστήματα διαμόρφωσης πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση Θόρυβος στα συστήματα διαμόρφωσης πλάτους με φωρατή τετραγωνικού νόμου Θόρυβος στα συστήματα διαμόρφωσης πλάτους με φωρατή περιβάλλουσας ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 75

176 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Εισαγωγή Οι βασικές παραμορφώσεις που υφίστανται τα σήματα κατά την ενσύρματη ή ασύρματη μετάδοσή τους είναι Απώλειες ισχύος λόγω της μετάδοσης στο μέσο Η παραμόρφωση του πλάτους ή της φάσης τους λόγω τυχαίων φαινομένων π.χ. διαλείψεων που οφείλονται στις τυχαίες μεταβολές του μέσου διάδοσης Η παραμόρφωση από την συνύπαρξη με άλλα σήματα στο ίδιο φάσμα συχνοτήτων και στον ίδιο χρονικό ορίζοντα παρεμβολή Ο φυσικός θόρυβος που εισάγεται από την ατμόσφαιρα λόγω της κοσμικής και ατμοσφαιρικής ακτινοβολίας και τις ατμοσφαιρικές διαταραχές καταιγίδες κ.λ.π.. Ο τεχνητός θόρυβος που παράγεται από τις ηλεκτρικές συσκευές ή τους κινητήρες. Ο θόρυβος από τα ηλεκτρικά ή κυκλώματα του δέκτη π.χ. θερμικός θόρυβος, θόρυβος βολής κ.λ.π. που παράγεται λόγω της τυχαίας κίνησης των ηλεκτρονίων σε αγωγούς και ημιαγωγούς. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 76

177 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου Η μελέτη του θερμικού θορύβου έχει ξεκινήσει από το 98 από τους Johso και Nyquis. Μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν μια Gaussia στατική στάσιμη και εργοδική διαδικασία μηδενικής μέσης τιμής. Η κβαντομηχανική ανάλυση του θορύβου έχει δείξει ότι η φασματική πυκνότητα ισχύος του δίνεται από τη σχέση S kt e όπου ħ η σταθερά του Plak Joules se, k η σταθερά του Bolzma Joules/Kelvi και Τ η θερμοκρασία σε Kelvi. Σε θερμοκρασία δωματίου Τ=90ºΚ η φασματική πυκνότητα ισχύος πέφτει κατά db όταν >.3THz. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 77

178 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου Βάσει των παραπάνω μπορούμε με ασφάλεια να πούμε ότι ο θόρυβος εμφανίζει σταθερή φασματική πυκνότητα ισχύος για το εύρος συχνοτήτων που μας ενδιαφέρει κάτω από τις οπτικές, δηλαδή η S kt Ένας τέτοιος θόρυβος ή σήμα γενικά με σταθερή φασματική πυκνότητα ισχύος ονομάζεται λευκός. Από αυτή την ιδιότητα και αφού η διαδικασία είναι στατική προκύπτει ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του θορύβου είναι η η R τ E τ F S F δ τ Αυτό σημαίνει ότι για όλες τις τ 0 η αυτοσυσχέτιση είναι μηδέν. Δηλαδή αν πάρουμε δύο δείγματα μιας λευκής διαδικασίας θορύβου σε χρονικές στιγμές και, τότε οι προκύπτουσες τυχαίες μεταβλητές θα είναι ασυσχέτιστες. Εφόσον είναι και Gaussia θα είναι ανεξάρτητες. Η μέση ισχύς του θορύβου δηλ. η μέση τετραγωνική τιμή του μπορεί να βρεθεί ως P E R 0 S d ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 78

179 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου Αν ο θόρυβος πολλαπλασιαστεί με μια ντετερμινιστική ημιτονοειδή συνάρτηση έτσι ώστε osπ 0 o i τότε κατ αντιστοιχία με τα ντετερμινιστικά σήματα η φασματική πυκνότητα ισχύος του προκύπτει S [ S S ] ο i i 4 Επιπλέον, αποδεικνύεται, όπως και για κάθε στατική τυχαία διαδικασία, ότι όταν διέρχεται διαμέσου ενός γραμμικού χρονοαμετάβλητου συστήματος LTI, έχει, στην έξοδο το συστήματος, φασματική πυκνότητα ισχύος που δίνεται από την S H S ο Επιπλέον, όταν η στοχαστική διαδικασία στην είσοδο του LTI ακολουθεί Gaussia κατανομή, τότε και η έξοδος ακολουθεί Gaussia κατανομή. i ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 79

180 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου θόρυβος στενής ζώνης Αν ο θόρυβος διέλθει διαμέσου ενός ιδανικού ορθογώνιου χαμηλοπερατού φίλτρου με συνάρτηση μεταφοράς, B H 0, oherwise Η φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου στην έξοδο θα είναι η/, B S o 0, oherwise Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης θα είναι Β η jπτ R o τ e d ηβsiπβτ Β και η ισχύς του θορύβου στην έξοδο θα είναι Β η P Β ηβ ο S 0 Β o d R o η/ S o R o τ τ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 80

181 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου θόρυβος στενής ζώνης Αν ο θόρυβος διέλθει διαμέσου ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου εύρους ζώνης Β, η φασματική πυκνότητα ισχύος στην έξοδο θα είναι S o η/ R o τ ηb Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης θα είναι R o τ ηβsiπβτ osπ τ Η ισχύς του θορύβου στην έξοδο του είναι Β η P 0 Β ο S Β o d R o ηβ / B ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8

182 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου θόρυβος στενής ζώνης Ο ζωνοπερατός στενής ζώνης θόρυβος όπως και κάθε ζωνοπερατή στοχαστική διαδικασία, συνήθως περιγράφεται με τη βοήθεια των ορθογώνιων συνιστωσών του ως osπ siπ Οι χαμηλοπερατές διαδικασίες και s έχουν τις παρακάτω ιδιότητες Αν ο θόρυβος στενής ζώνης έχει μηδενική μέση τιμή, τότε και οι και s έχουν μηδενική μέση τιμή και ίδια μεταβλητότητα με αυτή του. Αν θόρυβος είναι Gaussia τότε και οι και s είναι Gaussia. Αν ο θόρυβος είναι στατικός με την ευρεία έννοια, τότε και οι και s είναι στατικές με την ευρεία έννοια. Οι φασματικές πυκνότητες ισχύος των και s είναι S S, B B, S S s 0, oherwise Αν η S είναι συμμετρική γύρω από την τότε οι και s είναι ανεξάρτητες. s ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 8

183 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου θόρυβος στενής ζώνης Όταν ο ζωνοπερατός θόρυβος είναι λευκός με φασματική πυκνότητα ισχύος η/ και εύρος ζώνης Β γύρω από μια συχνότητα, δηλαδή η, B B S 0, oherwise τότε η φασματική πυκνότητα ισχύος των και s είναι η η S S B s η, Οι ισχείς των συνιστωσών είναι ίσες μεταξύ τους και ίσες με την ισχύ του θορύβου, δηλαδή P P P ηb s ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 83

184 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Λευκός Gaussia θόρυβος στην έξοδο RC φίλτρου Αν ο θόρυβος διέλθει διαμέσου ενός χαμηλοπερατού RC φίλτρου με συνάρτηση μεταφοράς S o H jπrc Στην έξοδο του φίλτρου η φασματική πυκνότητα ισχύος θα είναι η/ η/ 4 S ο η H Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι Β η jπτ η τ / R o τ e d e Β 4RC η πrc και συνολική ισχύς του θορύβου στην έξοδο P ο Β Β S d R o o 0 RC η 4RC R o τ πrc 0.69RC η 4RC η 8RC τ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 84

185 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Λευκός Gaussia θόρυβος στην έξοδο διαφοριστή Αν ο θόρυβος διέλθει διαμέσου ενός διαφοριστή με συνάρτηση μεταφοράς Η jπτ όπου τ μια σταθερά αναλογίας, που ακολουθείται από ένα ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο εύρους ζώνης Β, τότε η φασματική πυκνότητα και η ισχύς του θορύβου στην έξοδο θα είναι P ο S Β Β Η η S o i S o η Β 4π d 4π τ d Β τ 4π 3 τ Β 3 η ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 85

186 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου ισοδύναμο εύρος ζώνης θορύβου Όταν λευκός θόρυβος εισέρχεται σε ένα φίλτρο, ο θόρυβος που προκύπτει στην έξοδο δεν είναι λευκός αλλά διαμορφώνεται ανάλογα με τα φασματικά χαρακτηριστικά του φίλτρου. Ο θόρυβος στην έξοδο του φίλτρου δίνεται όπως είδαμε ως S S H o i όπου Η είναι η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου. Η ισχύς του θορύβου εξόδου υπολογίζεται ολοκληρώνοντας το τετράγωνο της συνάρτησης μεταφοράς του φίλτρου, δηλαδή, η P S o d S i H d H d ο Προκειμένου να αποφεύγεται κάθε φορά ο υπολογισμός του ολοκληρώματος, στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, καθορίζεται από τον κατασκευαστή και καταγράφεται στις προδιαγραφές του φίλτρου το ισοδύναμο εύρος ζώνης θορύβου oise equivale badwidh, το οποίο ουσιαστικά καθορίζει το εύρος ζώνης ενός ιδανικού φίλτρου που δίνει στην έξοδό του ίδια ισχύ θορύβου με το αρχικό. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 86

187 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο λευκού Gaussia θορύβου θόρυβος στενής ζώνης Το ισοδύναμο εύρος ζώνης θορύβου ορίζεται ως B eq H H max όπου H max είναι η μέγιστη απολαβή του φίλτρου στη ζώνη διέλευσης. Έτσι, η ισχύς του θορύβου στην έξοδο του φίλτρου δίνεται ως P ο S o d η η d H d HmaxBeq ηhmaxb eq ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 87

188 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στη βασική ζώνη Στόχος των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων είναι η αναπαραγωγή του σήματος πληροφορίας στο δέκτη με όσο το δυνατό καλύτερη ποιότητα. Το κυριότερο μέτρο της ποιότητας του σήματος στην έξοδο για τις αναλογικές διαμορφώσεις είναι η σηματοθορυβική σχέση, δηλαδή, ο λόγος σήματος προς θόρυβο SNR Sigal o Noise Raio Σε ένα σύστημα βασικής ζώνης με φίλτρο βασικής ζώνης εύρους ζώνης W η ισχύς του λευκού θορύβου στην έξοδο είναι W η P o S W d W ηw o Αν το σήμα διέρχεται χωρίς απώλειες ισχύος από το φίλτρο και η λαμβανόμενη ισχύς του είναι P R τότε η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου θα είναι SNR b S N b S N o P P s i o PR ηw ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 88

189 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Μοντέλο δέκτη συστημάτων διαμόρφωσης πλάτους Το μοντέλο του δέκτη έχει τη γενική μορφή του σχήματος. S N i P P s i i S N o P P s o o Στόχος είναι η όσο το δυνατό μεγαλύτερη σηματοθορυβική σχέση SNR στην έξοδο ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 89

190 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 90 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση DSB-SC με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Το διαμορφωμένο κατά DSB-SC σήμα στην είσοδο της IF βαθμίδας με την προσθήκη του προσθετικού θορύβου μπορεί να γραφεί ως όπου A το πλάτος του φέροντος στη λήψη, m το σήμα πληροφορίας εύρους ζώνης W και o λευκός προσθετικός Gaussia θόρυβος WGN whie Gaussia oise με psd ίση με η/. Το φίλτρο στην IF βαθμίδα έχει εύρος ζώνης W και περιορίζει το θόρυβο και το σήμα στην περιοχή -W +W. Η ισχύς του λαμβανόμενου σήματος και του θορύβου είναι Με τον πολλαπλασιασμό με το σύμφωνο φέρον προκύπτει m i s R P A m E A s E P P i ] [ ] [ os A m s r i π os os4 os os os A m A m A m r π π π π π W W W P i η η

191 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση DSB-SC με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Το χαμηλοπερατό τελικό φίλτρο ΒW=W απορρίπτει τις φασματικές συνιστώσες εκτός του ωφέλιμου εύρους ζώνης, οπότε το σήμα πληροφορίας γίνεται Ps i so A m με ισχύ Ps E[ s ] o o A Pm 4 Ο πολλαπλασιασμός του θορύβου οδηγεί στη μετατόπιση της psd του όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ισχύς του θορύβου στην έξοδο του LPF είναι P o η W 4 ηw ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 9

192 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 9 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση DSB-SC με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Ανάλυση με χρήση των ορθογωνίων συνιστωσών του θορύβου Επανερχόμενοι στην μπορούμε να γράψουμε το θόρυβο με τη χρήση των ορθογωνίων συνιστωσών στη μορφή, οπότε προκύπτει Στην έξοδο του χαμηλοπερατού φίλτρου παραμένει η συνιστώσα και το συνολικό σήμα γράφεται Η ισχύς του θορύβου είναι όπως και πριν os os4 os os os A m A m A m r π π π π π si4 os4 os si os os s o π π π π π π si os s π π o W W P P P o η η ] [ A m y

193 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 93 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση DSB-SC με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Βάσει των παραπάνω η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του δέκτη είναι Εκφράζοντας τη σηματοθορυβική σχέση εξόδου σε σχέση με αυτή του συστήματος βασικής ζώνης ορίζουμε το λόγο γ ως Το κέρδος ως προς τη σηματοθορυβική σχέση εισόδου είναι b s R m m s SC DSB o N S W P W P W P A W P A P P N S i o o η η η η 4, / /, b SC DSB o SC DSB N S N S γ 4,, W P A W P A P P P P N S N S m m s s SC DSB i SC DSB o i i o o η η

194 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση DSB-SC με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση παραδείγματα Σήμα Διαμορφωμένο Πληροφορίας κατά DSB σήμα SNR=5dB SNR=0dB SNR=0dB SNR=30dB ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 94

195 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 95 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση SSB-SC με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Το διαμορφωμένο κατά SSB-SC σήμα στην είσοδο της IF βαθμίδας με την προσθήκη του προσθετικού θορύβου μπορεί να γραφεί ως όπου A το πλάτος του φέροντος στη λήψη, m το σήμα πληροφορίας εύρους ζώνης W και o λευκός προσθετικός Gaussia θόρυβος με psd ίση με η/. Το φίλτρο στην IF βαθμίδα περιορίζει το θόρυβο και το σήμα στην περιοχή +W για USB. Η ισχύς σήματος και θορύβου στην έξοδο του φίλτρου είναι Με τον πολλαπλασιασμό με το σύμφωνο φέρον προκύπτει m i s R P A m E A s E P P i ] [ ] [ os si4 os4 os os si os os A m A m A m A m A m r h h π π π π π π π π si os A m A m s r h i π π W W W P i η η

196 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση SSΒ-SC με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Το χαμηλοπερατό τελικό φίλτρο απορρίπτει τις φασματικές συνιστώσες εκτός του ωφέλιμου εύρους ζώνης, οπότε το σήμα που φέρει την πληροφορία γίνεται Ps i s με ισχύ o A m Ps E[ s ] o o A Pm 4 4 Ο πολλαπλασιασμός του θορύβου οδηγεί στη μετατόπιση της psd του όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ισχύς του θορύβου στην έξοδο του LPF είναι η ηw P o W 8 4 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 96

197 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 97 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση SSB-SC με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Βάσει των παραπάνω η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του δέκτη είναι Εκφράζοντας τη σηματοθορυβική σχέση εξόδου σε σχέση με αυτή του συστήματος βασικής ζώνης έχουμε ενώ το κέρδος ως προς τη σηματοθορυβική σχέση εισόδου είναι b s R m m s SSB o N S W P W P W P A W P A P P N S i o o η η η η, 4 4 / /, b SSB o SSB N S N S γ,, W P A W P A P P P P N S N S m m s s SC SSB i SC SSB o i i o o η η

198 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση DSB με φέρον ΑΜ με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Το διαμορφωμένο κατά AM/DSB σήμα στην είσοδο της IF βαθμίδας με την προσθήκη του προσθετικού θορύβου μπορεί να γραφεί ως r s A [ m ]osπ i όπου A το πλάτος του φέροντος στη λήψη, m το σήμα πληροφορίας εύρους ζώνης W και o λευκός προσθετικός Gaussia θόρυβος με psd ίση με η/. Μετά το φίλτρο στην IF βαθμίδα εύρος ζώνης W, η ισχύς του σήματος και του θορύβου είναι { [ ]} η PR Ps A E m A Pm P i i W W ηw Μετά την αποδιαμόρφωση κατ αντιστοιχία με το DSB-SC και με μόνη διαφορά τον d όρο του φέροντος προκύπτει στην έξοδο του δέκτη το σήμα y A [ m ] Μετά την απομάκρυνση της d συνιστώσας, προκύπτει όπως και στο DSB- SC y [ A m ] ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 98

199 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 99 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με σύμφωνη αποδιαμόρφωση DSB με φέρον ΑΜ με σύμφωνη ομόδυνη αποδιαμόρφωση Βάσει των παραπάνω η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του δέκτη είναι Η σηματοθορυβική σχέση εξόδου σε σχέση με αυτή του συστήματος βασικής ζώνης και σε σχέση με τη σηματοθορυβική σχέση εισόδου είναι Σημειώνεται ότι εν προκειμένω δεν υπάρχει περιορισμός ως προς το πλάτος του σήματος πληροφορίας αυτή η απαίτηση πρέπει να ικανοποιείται για αποδιαμόρφωση περιβάλλουσας και η υπερδιαμόρφωση επιτρέπεται αφού η αποδιαμόρφωση γίνεται ομόδυνα. m m b m m R m m m m m s AM DSB o P P N S P P W P P W P P A W P A W P A P P N S o o 4 /, η η η η m m b AM DSB o AM DSB P P N S N S / / /, / γ m m AM DSB i AM DSB o P P N S N S / / /, /,

200 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με αποδιαμορφωτή τετραγώνου Μια πρόσθετη μέθοδος αποδιαμόρφωσης, η οποία χρησιμοποιείται όταν το σήμα πληροφορίας πληροί κάποιες συνθήκες είναι η αποδιαμόρφωση τετραγώνου. Το σήμα μετά το φίλτρο IF τετραγωνίζεται, οπότε λαμβάνουμε s λsi λ{ A [ m ]osπ } Οι συνιστώσες του σήματος προκύπτουν s λ{ A [ m ]osπ} λa [ m m ] λa [ m m ]os4π εκ των οποίων μετά το φίλτρο βασικής ζώνης θα παραμείνει m so λa λa m Αν το φίλτρο βασικής ζώνης είναι τέτοιο ώστε να απορρίπτει τη συνιστώσα d και m <<, τότε προκύπτει s o 4 λa m και P λ A m s o ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 00

201 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με αποδιαμορφωτή τετραγώνου Για τις συνιστώσες του θορύβου έχουμε αντίστοιχα Θεωρώντας ότι m << η παραπάνω απλοποιείται στην Η ισχύς θορύβου του πρώτου όρου είναι Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της διαδικασίας, όταν είναι στατική Gaussia, μηδενικής μέσης τιμής, διαδικασία δίνεται ως Ο μετ/σμός Fourier της σχέσης αυτής είναι Με βάση τα παραπάνω και μετά τον υπολογισμό της συνέλιξης προκύπτει ότι η ισχύς του θορύβου είναι os ] [ m A λ π λ W W P A η Α λ η Α λ 4 4 S S P S δ os A B A λ π λ 0 τ τ R R R 3 W P B η λ

202 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με αποδιαμορφωτή τετραγώνου Τελικά η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο είναι όπου Ο λόγος C/N είναι ο λόγος της ισχύος φέροντος προς την ισχύ θορύβου. Όταν το επίπεδο του θορύβου είναι πολύ χαμηλό σε σχέση με το σήμα, δηλαδή όταν C/N >> ή C/N, τότε η παραπάνω σχέση γράφεται Όταν ο θόρυβος είναι πολύ ισχυρός σε σχέση με το ωφέλιμο σήμα C/N <<, τότε προκύπτει N C P N C A W W P A W W P A W A P A P P P N S m m m m s o B A o η η η Α Α η η ηβ W A N C η W P A N C P N S m m s AM o η,, 3 4 N C P N S m s AM o

203 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με αποδιαμορφωτή τετραγώνου P m S N o db Κατώφλι db Όπως φαίνεται από την προηγούμενη ανάλυση και επιβεβαιώνεται από το διπλανό σχήμα όπου σχεδιάζεται η κανονικοποιημένη σηματοθορυβική σχέση εξόδου, ο αποδιαμορφωτής τετραγώνου εμφανίζει ένα κατώφλι κάτω από το οποίο η επίδοσή του γίνεται σημαντικά χειρότερη από την επίδοση του σύμφωνου φωρατή. C N C N 0 C / N db Για παράδειγμα μπορούμε να θεωρήσουμε ως κατώφλι εκείνη την τιμή του λόγου C/N για την οποία η σηματοθορυβική σχέση εξόδου γίνεται κατά db χειρότερη από την ιδανική C/N. Όπως προκύπτει από τις προηγούμενες μαθηματικές σχέσεις, τιμή αυτή είναι C/N = 4.6dB σημειώνεται στο διάγραμμα ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 03

204 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 04 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με αποδιαμορφωτή περιβάλλουσας Η είσοδος στον αποδιαμορφωτή περιβάλλουσας είναι Η περιβάλλουσα του σήματος αυτού δίνεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των δυο ορθογωνίων συνιστωσών του, δηλαδή Θεωρώντας ότι το σήμα είναι πολύ ισχυρότερο από το θόρυβο στο επιθυμητό εύρος ζώνης, δηλαδή Α [+m]>> s η παραπάνω σχέση μπορεί με πολύ μεγάλη πιθανότητα να γραφεί η οποία μετά από την αποκοπή της d συνιστώσας π.χ. από ένα πυκνωτή, δίνει η οποία είναι αντίστοιχη της σχέσης που προκύπτει για το σύμφωνο φωρατή. Έτσι η σηματοθορυβική σχέση εξόδου είναι σε αυτή την περίπτωση si }os ] [ { ]os [ m A m A s r s i π π π } ] [ { m A r r V s s r ] [ m A V r A m V r m m i m m b e AM o P P N S P P N S N S,

205 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους με αποδιαμορφωτή περιβάλλουσας Στην περίπτωση που το επίπεδο θορύβου είναι κατά πολύ υψηλότερο από το ωφέλιμο σήμα τότε η περιβάλλουσα με πολύ μεγάλη πιθανότητα μπορεί να γραφεί V r { A [ m ] } A [ s ] [ m ] s A V [ m ] r s [ m ] ε A A [ m ] r [ m ] όπου V είναι η περιβάλλουσα του θορύβου. Όπως φαίνεται σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει «καθαρή» συνιστώσα σήματος ο θόρυβος εμφανίζεται πολλαπλασιαστικά και το σήμα παραμορφώνεται έντονα. Έχει δειχτεί ότι μια προσέγγιση της σηματοθορυβικής σχέσης εξόδου σε αυτή την περίπτωση είναι C SNR o, AM e 0. 96P m N A ε r s ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 05

206 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Θόρυβος στα συστήματα πλάτους - σχολιασμός Όπως φαίνεται από την προηγούμενη ανάλυση, οι αποδιαμορφωτές τετραγώνου και περιβάλλουσας προσεγγίζουν πολύ ικανοποιητικά την επίδοση του σύμφωνου αποδιαμορφωτή στην περίπτωση DSB με φέρον ή συμβατικού ΑΜ για υψηλές σηματοθορυβικές σχέσεις στην είσοδο του φωρατή μεγαλύτερες των 5-0dB. Γενικότερα, για υψηλή ποιότητα σήματος οι σηματοθορυβικές σχέσεις πρέπει να διατηρούν υψηλότερες τιμές. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται ενδεικτικές σχετικές τιμές Commuiaios Sysems, A.B. Carlso, P.B. Crilly, J.C. Ruledge, MGraw-Hill, 00, 4 h ed. Τύπος σήματος Εύρος ζώνης Σηματοθορυβική σχέση Φωνή μόλις αντιληπτή 500Ηz KHz 5-0dB Φωνή με τηλεφωνική ποιότητα 00Ηz 3.KHz 5-35dB Audio ποιότητας ΑΜ broadas 00Ηz 5KHz 40-50dB Audio υψηλής ποιότητας 0Ηz 0KHz 55-65dB Video 60Hz 4.MHz 45-55dB ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 06

207 Τηλεπικοινωνίες Ι Μάθημα 6 ο Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης Μάιος 00

208 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Περιεχόμενα Θόρυβος στα συστήματα διαμόρφωσης γωνίας Επίδραση χαμηλού επιπέδου θορύβου στα συστήματα διαμόρφωσης γωνίας Επίδραση ισχυρού θορύβου στα συστήματα διαμόρφωσης γωνίας κατώφλι Επέκταση κατωφλίου στα συστήματα διαμόρφωσης FM Φίλτρα προέμφασης και αποέμφασης ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 08

209 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Εισαγωγή Η γενική μορφή ενός διαμορφωμένου σήματος m εύρους ζώνης W κατά γωνία δίνεται από τις σχέσεις A os[π k pm ], PM υ A os[π φ ] A os[π πk m τ dτ], FM όπου k p και k είναι οι σταθερές απόκλισης φάσης και συχνότητας. Επιπλέον έχουμε ορίσει τη μέγιστη απόκλιση φάσης και συχνότητας ως Δφ max k p max[ m ] Δ max k max[ m ] και τους δείκτες διαμόρφωσης ως k max[ m ] Δmax βp k p max[ m ] Δφmax β W W Τέλος, έχουμε δει ότι ο κανόνας του Carso δίνει μια καλή εκτίμηση του εύρους ζώνης ως B β W όπου β μπορεί να είναι β p ή β εφόσον χρησιμοποιείται PM και FM, αντίστοιχα. Στην περίπτωση του FM η παραπάνω σχέση απλοποιείται στην B FM Δmax W ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 09

210 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Επίδραση χαμηλού επιπέδου θορύβου στη διαμόρφωση γωνίας Ένα γενικευμένο μοντέλο δέκτη για τις διαμορφώσεις γωνίας είναι αυτό που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Όπως και στις διαμορφώσεις πλάτους, στόχος του δέκτη είναι η διατήρηση της σηματοθορυβικής σχέσης εξόδου σε όσο το δυνατό υψηλότερο επίπεδο. Ωστόσο, εν προκειμένω η πληροφορία βρίσκεται στη γωνία του φέροντος και η επίδραση του θορύβου είναι διαφορετική. Η παραμόρφωση του σήματος πληροφορίας από το θόρυβο περιορίζεται στο βαθμό που αυτός τροποποιεί τη στιγμιαία συχνότητα του διαμορφωμένου σήματος. Δεδομένου ότι η στιγμιαία συχνότητα εκφράζεται πρακτικά από τον αριθμό των διελεύσεων του πλάτους από το μηδέν, μας ενδιαφέρει σε ποιο βαθμό ο θόρυβος επηρεάζει των αριθμό των διελεύσεων του διαμορφωμένου σήματος από το μηδέν. ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι 0

211 Θόρυβος στα συστήματα αναλογικής διαμόρφωσης Επίδραση χαμηλού επιπέδου θορύβου στη διαμόρφωση γωνίας Παράδειγμα επίδρασης θορύβου στην είσοδο του δέκτη. Διαμορφωμένο σήμα SNR = 0dB SNR = 5dB ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι