Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Transcript

1 + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας Συστήματα Επικοινωνιών Ι Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας

2 + Περιεχόμενα n Εισαγωγή n Ανάλυση Fourier n Μετασχηματισμός Fourier n Πυκνότητα φάσματος ενέργειας και ισχύος

3 + Βιβλιογραφία n Simon Haykin, Συστήματα Επικοινωνίας, εκδόσεις Παπασωτηρίου, 1995, Αθήνα. n Φ. Κωνσταντίνου, Χ. Καψάλης και Π. Κωττής, «Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες», εκδόσεις Παπασωτηρίου, 1995, Αθήνα. n Proakis J. and Salehi M., Communication Systems Engineering, 2 nd Edition, Prentice Hall, 2002, New Jersey. n Ιστοσελίδα του μαθήματος: n

4 + Σύνδεση με τα προηγούμενα n Σύστημα n δέχεται ένα σήμα εισόδου (διέγερση) n παράγει ένα σήμα εξόδου (απόκριση) n περιγράφεται από μια εξίσωση που συσχετίζει τη διέγερση με την απόκριση

5 + Ανάλυση Fourier n Η αναπαράσταση των σημάτων στο πεδίο της συχνότητας επιτρέπει τον υπολογισμό του φάσματος που αυτά καταλαμβάνουν n Η ανάλυση Fourier επιτρέπει αυτή ακριβώς τη «μεταφορά» στο πεδίο της συχνότητας, η οποία με τη σειρά της καθιστά εφικτή τη χρήση της συνάρτησης μεταφοράς για την περιγραφή συστημάτων n Μέσω της ανάλυσης Fourier τα σήματα αναλύονται σε άθροισμα ημιτονοειδών συνιστωσών n Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την ανάλυση Fourier n Τα περιοδικά σήματα αναπαριστώνται με Σειρές Fourier n Σήματα ενέργειας με Μετασχηματισμό Fourier

6 + Σειρές Fourier n Αν g "# 2 (t) είναι περιοδικό σήμα με περίοδο, τότε αυτό μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα άπειρων ημιτονικών και συνημιτονικών συνιστωσών εφόσον πληρούνται οι Συνθήκες Dirichlet g T0 1t2 a 0 2 a q n 1 3a n cos12pnf 0 t2 b n sin12pnf 0 t24 n f 0 είναι η θεμελιώδης συχνότητα: f ) = + " # n n f 0 είναι η n-οστή αρμονική της θεμελιώδους συχνότητας n Οι όροι cos 2πnf ) t και sin 2πnf ) t ονομάζονται συναρτήσεις βάσης 2 b

7 3 4 + Σειρές Fourier Συναρτήσεις βάσης n Οι συναρτήσεις βάσης σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο 2 n Για τις συναρτήσεις βάσης ισχύουν: L 2 2 cos12pmf 0 t2 cos12pnf 0 t2 dt b 2, m n 0, m n L 2 2 cos12pmf 0 t2 sin12pnf 0 t2 dt 0, for γιαall κάθε m mand και nn L 2 2 sin12pmf 0 t2 sin12pnf 0 t2 dt b 2, m n 0, m n rmine the coefficient a, we integrate both sides of Eq. (A2.1) over

8 + Σειρές Fourier Πλάτη ημιτονικών & συνημιτονικών όρων n α 0 : μέση τιμή του περιοδικού σήματος g "# (t) σε μία περίοδο 2 n για τους συντελεστές α n και b n βρίσκουμε ότι: a n 1 2 g T0 1t2 cos12pnf 0 t2 dt, L 2 nd that 2 b b a 0 1 L 2 2 g T0 1t2 dt n 1, 2, Á b n 1 g T T0 1t2 sin12pnf 0 t2 dt, n 1, 2, Á 0 L 2 uestion that arises at this point is the following: Given a b

9 + Σειρές Fourier Συνθήκες Dirichlet n Συνθήκες Dirichlet: ικανές συνθήκες ώστε μια συνάρτηση g "# (t) να αναπτύσσεται σε σειρά Fourier n H συνάρτηση g "# (t) είναι μονοσήμαντη στο διάστημα n Η συνάρτηση g "# (t) εμφανίζει το πολύ ένα πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών στο διάστημα n Η συνάρτηση g "# (t) έχει πεπερασμένο πλήθος μεγίστων και ελαχίστων στο διάστημα n Η συνάρτηση g "# (t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη, δηλαδή ισχύει L 2 2 ƒg T0 1t2ƒ dt

10 + Σειρές Fourier Μιγαδική εκθετική σειρά (1/3) n Αντικαθιστώντας (ταυτότητα Euler) cos12pnf 0 t2 3exp1j2pnf 0t2 2 exp1 j2pnf t sin12pnf 0 t j 2 3exp1j2pnf 3 10t2 2 exp1 j2pnf t παίρνουμε 3 1 a 3 2 g T0 1t2 a 0 a q n 1 31a 4 n jb n 2 exp1j2pnf 0 t2 1a n jb n 2 exp1 j2pnf 0 t24 c c

11 + Σειρές Fourier 2 Μιγαδική εκθετική σειρά 1 (2/3) 2 n Ορίζοντας το συντελεστή c n ως 4 έχουμε c n c a n jb n, n 0 a 0, c c n 0 a n jb n, n 0 όπου g T0 1t2 1 2 c n exp1j2pnf 1 0 t2 2 a q n q a 1 c n 1 L 2 2 g1 T0 21t2 exp1 j2pnf 0 t2 dt, n 0, 1, 2, Á

12 + Σειρές Fourier 2 Μιγαδική εκθετική σειρά (3/3) 4 n Για ένα δοθέν περιοδικό σήμα g "# (t) μπορούμε να καθορίσουμε το πλήρες σύνολο των μιγαδικών συντελεστών Fourier c n n Αντίστροφα, με δεδομένο το σύνολο των μιγαδικών συντελεστών Fourier c n μπορούμε να κατασκευάσουμε c το αρχικό περιοδικό σήμα επακριβώς n Οι αρνητικές συχνότητες και οι μιγαδικές συναρτήσεις βάσης της εξίσωσης q g T0 1t2 a c n exp1j2pnf 0 t2 n q δεν έχουν φυσική σημασία αλλά απαιτούνται για την ορθή μαθηματική περιγραφή του περιοδικού σήματος

13 c + Διακριτό φάσμα n Ένα περιοδικό σήμα g "# (t) μπορεί να αναπαρασταθεί με δυο ισοδύναμους τρόπους n αναπαράσταση στο πεδίο 1 του 2 χρόνου, όπου το g "# (t) ορίζεται ως συνάρτηση του χρόνου n αναπαράσταση στο πεδίο της συχνότητας, όπου το σήμα περιγράφεται με το φάσμα του (σύνολο αρμονικών συνιστωσών με συχνότητες c n 0, f 0, 2f 0, 3f 0, Á, is, while the signal g 1t g T0 (t) TA A T 2 2 t (a) n

14 + Μετασχηματισμός Fourier n Μαθηματικό εργαλείο για την περιγραφή περιοδικών και μη περιοδικών σημάτων στο πεδίο της συχνότητας n Θεωρούμε μια μη περιοδική συνάρτηση g t, την οποία επαναλαμβάνουμε περιοδικά σχηματίζοντας την g "# (t) g(t) g T0 (t) 2 0 t g1t2 lim g T Sq 0 1t2 0 n Για να είναι δυνατός ο Μετασχηματισμός Fourier πρέπει να ικανοποιούνται οι συνθήκες Dirichlet t

15 + Μετασχηματισμός 1 Fourier 2 Έτσι ve Ορίζοντας: g T0 1t2 L a q n q f 1 n έχουμε για το διάστημα c n exp j2pnt f n n 2 2 t 2: q g T0 1t2 a G1f n 2 exp1j2pf n t2 f n q όπου G1f n 2 c n a 2 όπου G1f n 2 L T 0 2 c n 1 L 2 2 g T0 1t2 exp j2pnt dt g T0 1t2 exp1 j2pf n t2 dt L

16 + Μετασχηματισμός Fourier 2 n Καθώς g1t2 2 lim g T Sq 0 1t2 1 1 προκύπτει όπου q g1t2 G1f2 exp1j2pft2 df L q G1f2 g1t2 exp1 j2pft2 dt L q L Συμβολίζουμε με F g(t) = G f 1= G(f) e 9:(;) τον Μ/Τ Fourier F <+ G(f) = g t q g(t) G(f) 1 αντίστροφο Μ/Τ Fourier ένα ζεύγος Μ/Τ Fourier

17 + Συνεχές φάσμα n Γενικά ο Μετασχηματισμός Fourier G(f) είναι μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας f 3 1 G1f2 ƒg1f2ƒ exp3ju1f24 όπου το πλάτος nuous του συνεχούς amplitude φάσματος spectrum of ƒg1f2ƒ us phas 2 και u1f2 η φάση του συνεχούς φάσματος as a c n Για πραγματική συνάρτηση g(t) 1 G1 f2 G*1f2 συνεπώς ƒg1 f2ƒ ƒg1f2ƒ u1 f2 u1f2

18 + 1 Ιδιότητες Μετασχηματισμού e Fourier (1/2) n Γραμμικότητα n Αλλαγή κλίμακας χρόνου n Δυαδικότητα n Χρονική ολίσθηση n Ολίσθηση συχνότητας n Εμβαδό κάτω από την g(t) n Εμβαδό κάτω από την G(f) c 1 g 1 1t2 c 2 g 2 1t2 c 1 G 1 1f2 c 2 G 2 1f e g1at2 1 Ga f ƒaƒ a b G1t2 g1 f2 g1t t 0 2 G1f2 exp1 j2pft L 1 exp1j2pf 2 c t2g1t2 G1f f c 2 q 2 L q 1 g1t2 2 dt 1 G102 2 q g102 c a 1 1 L G1f2 3 df L q 1 2 a b 1

19 + Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (2/2) t n Παραγώγιση n Ολοκλήρωση L n Συζυγείς συναρτήσεις n Πολλαπλασιασμός στο πεδίο του χρόνου n Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου t q d 1 g1t2 j2pfg1f2 2 dt g1t2 dt1 2 1 j2pf G1f2 1g*1t2 2 G*1 f2 q g 1 1t2g 2 1t2 G 1 1l2G 2 1f l2 dl L q q g c 1L q 2 1 1t2g d 2 1t t2 dt G 1 1f2G 2 1f2 1 1 e c d

20 + Συνάρτηση δέλτα (Dirac) C n Ορίζεται ως δ(t)= 0 για t 0 και δ t dt = δ t dt = <C C n <C x(t)δ t dt = x(0) n δ t = G H(I) GI n δ αt = + δ t K C n δ(t t ) )x(t)dt = x(t ) ) <C n g t d t = g(t) n F δ(t) = C <C δ t exp j2πft dt g(t) ) D = 1 à δ(t) 1 0 ) E 1 t G(f ) f 3 4

21 + Μετασχηματισμός Fourier περιοδικών σημάτων n Ο μετασχηματισμός Fourier ενός περιοδικού σήματος: F g "# (t) = G f = q f 0 a n q G1nf 0 2d1f nf 0 2 αποτελείται από συναρτήσεις δ που εμφανίζονται σε ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας f 0, κάθε μία από τις οποίες έχει συντελεστή βαρύτητας G(nf 0 ) 1 2

22 + Ιδανική συνάρτηση δειγματοληψίας (χτένι Dirac) n δ T# = C XY<C δ(t kt ) ) n g t = δ t G f = 1 και G(nf 0 )=1 T0 (t) t n Τελικά έχουμε G f = f ) C G(nf ) )δ(f nf ) ) f ) C δ(f nf ) ) XY<C = XY<C F T0 (t) 0 f (b) 1 2

23 + Πυκνότητα ενεργειακού φάσματος n Για την ολική ενέργεια σήματος έχουμε: E = C <C g(t) [ dt n Επειδή g(t) [ =g(t)g (t) και λόγω των ιδιοτήτων του Μ/Τ Fourier καταλήγουμε Ε = C <C g(t)g (t)dt C = G λ G λ dλ <C C = G(f) [ df <C Η ανωτέρω σχέση είναι γνωστή και ως θεώρημα Rayleigh Η μόνη γνώση που απαιτείται είναι το πλάτος G(f) [ του σήματος n Το πλάτος G(f) [ ονομάζεται πυκνότητα ενεργειακού φάσματος Ψ g f (μονάδες: J/Hz)

24 + Πυκνότητα φάσματος ισχύος (1/3) n Η μέση ισχύς σήματος που καταναλώνεται σε αντίσταση 1Ω είναι: n Θεωρώντας περιοδική συνάρτηση g b t με περίοδο έχουμε:

25 + Πυκνότητα φάσματος ισχύος (2/3) n Αναλύοντας την g b t σε σειρά Fourier έχουμε: n Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως θεώρημα Parseval (η μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων του πλάτους όλων των αρμονικών συνιστωσών του)

26 + Πυκνότητα φάσματος ισχύος (3/3) n Ορίζοντας πυκνότητα φάσματος ισχύος S db f τέτοια ώστε: φάσματος ισχύ P= S ( ) gp f df προκύπτει : 2 ( ) 1 ( n ) ( n S ) gp f = G δ f T T T n= 0 0 n Η πυκνότητα φάσματος ισχύος ενός περιοδικού σήματος είναι διακριτή συνάρτηση της συχνότητας