Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Transcript

1 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M( 0,f ( 0) έχει εξίσωση, : y f ( 0) f ( 0)( 0) Η εφαπτομένη ε έχει συντελεστή διευθύνσεως ή κλίση f ( 0). Αν ω η γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα τότε: f ( 0). Αν η f συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε δεν ορίζεται εφαπτομένη. Παρατηρήσεις Η κλίση f ( 0) της εφαπτομένης ε λέγεται και κλίση της C f στο M( 0,f ( 0) ή κλίση της f στο 0. Αν ω η γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα τότε: f ( 0) 0 ( οξεία ) f ( 0) 0 ( αμβλεία) f ( 0) 0 0 Η διαδικασία εύρεσης εφαπτομένης, αρχίζει συνήθως, ως εξής: Έστω M( 0,f ( 0) το σημείο επαφής της ζητούμενης εφαπτομένης, αν ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης. Έστω M( 0,f ( 0) το ζητούμενο σημείο, αν ζητείται σημείο στο οποίο η εφαπτομένη έχει μία καθορισμένη ιδιότητα. Ορισμένοι νομίζουν παρασυρόμενοι από τη Γεωμετρία, ότι εφαπτομένη και γραφική παράσταση έχουν αναγκαστικά ένα μόνο κοινό σημείο. Η αλήθεια είναι ότι εφαπτομένη και γραφική παράσταση έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο, το οποίο είναι το σημείο επαφής. Η εφαπτομένη και η γραφική παράσταση είναι δυνατόν να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο ή παραπάνω σημεία ή και άπειρα κοινά σημεία! Τα σχήματα στα παρακάτω παραδείγματα δεν είναι απαραίτητα. Άλλωστε δεν είναι δυνατόν να είναι γνωστά αφού χρειάζεται συστηματική μελέτη της αντίστοιχης συνάρτησης. Παρατίθενται διότι βοηθούν στην κατανόηση. Οι εφαπτόμενες με εξίσωση = 0 (κατακόρυφες) είναι εκτός ύλης. Γενικά όμως υπό ορισμένες προϋποθέσεις είναι δυνατόν να υπάρξουν.

2 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης Εφαπτομένη αν είναι γνωστό το σημείο επαφής 1) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της συνάρτησης f () στο σημείο με τετμημένη. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα χ χ. 1 1 f (), [0, ) και f () ( ), (0, ) : y f () f ()( ) y ( ) 0 Έστω ω γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα χ χ, τότε, f () 60., ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f () 1, στο σημείο Μ(π,f(π)). f () f ( ) ( ) u u < π: lim lim lim lim 1 u0 u f() f( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 u u1 > π: lim lim lim lim lim 0 u u f () f ( ) Το όριο lim δεν υπάρχει, άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο π, επομένως δεν ορίζεται εφαπτομένη στο σημείο Μ(π,f(π)).

3 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης ) Έστω η συνάρτηση f (). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της A,f και να αποδείξετε ότι η ε και η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχουν άπειρα κοινά σημεία. f (), R και f () 1, R. H εξίσωση της εφαπτομένης ε, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της M,f είναι: : y f ( ) f ( )( ) y ( 1) y 1. Οι τετμημένες των σημείων τομής προκύπτουν από τις λύσεις της εξίσωσης: f () k, k Z Η ε και η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχουν τα εξής (άπειρα) κοινά σημεία k,f (k ) k, k 1,k Z. Η άσκηση αποδεικνύει ότι υπάρχει περίπτωση εφαπτομένη και γραφική παράσταση να έχουν παραπάνω από ένα κοινό σημείο. Εφαπτομένη η οποία έχει μία καθορισμένη ιδιότητα και δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής 4) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () ln στο οποίο η εφαπτόμενη: α) είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. β) σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία Έστω M( 0,f ( 0) το ζητούμενο σημείο.

4 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 4 1 f () ln, (0, ) και f () 1ln ln ln ln, (0, ) α) Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χ χ, αν και μόνο αν, f ( ) 0 ln ln 0 ln (ln ) 0 ln 0 ln 1 e Άρα, Μ(1,0) ή M e, 4e. β) Η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 15 0, αν και μόνο αν, f ( ) 15 ln ln 1 ln ln 10 ln 1 0ln 1 e 1 1 Άρα Me,e. 5) Να εξετάσετε αν υπάρχουν εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (),, R 0, οι οποίες να είναι κάθετες μεταξύ τους. f (), R με f (), R. Έστω ότι υπάρχουν δύο σημεία Α( 1,f( 1 )), Α(,f( )), στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης είναι κάθετες, τότε: f ( ) f ( ) ,πράγμα άτοπο ) Έστωf () ln, (0, ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή Ο. f () ln, (0, ) με f () ln 1, (0, ) Έστω Μ( 0, f( 0 )) το σημείο επαφής της ζητούμενης εφαπτομένης ε, τότε, : y f ( 0) f ( 0 )( 0) Η ε διέρχεται από την αρχή Ο, αν και μόνο αν, 0 f ( 0) f ( 0)(0 0) f ( 0) 0 f ( 0) 0 ln 0 0(ln 0 1) 0 Η ζητούμενη εξίσωση είναι: : yf() f ()( ) yln (ln 1)( ) y ln (ln 1) ln y (ln ln e) y ln(e)

5 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 5 Όταν δίνεται η εξίσωση ευθείας και ζητείται να αποδείξουμε ότι εφάπτεται στην γραφική παράσταση μίας συνάρτησης Στοιχεία Θεωρίας Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο τυχαίο σημείο Μ( 0,f( 0 )) έχει εξίσωση : y f ( 0) f ( 0)( 0) y f ( 0) f ( 0) 0f ( 0) Η ευθεία : y είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f αν και μόνο αν υπάρχει 0 τέτοιο ώστε οι ευθείες ε,ζ να ταυτίζονται ή ισοδυνάμως f ( f ( 0 0) ) f ( 0) Το σύστημα πρέπει να έχει λύση. f ( 0) 0f ( 0) f ( 0) 0 7) Δίνεται η συνάρτηση f () 4 4, R. Να αποδείξετε ότι η ευθεία : y 6 εφάπτεται της γραφικής παράστασης της f. f () 4 4, R και f () 4, R. Έστω Μ( 0, f( 0 )) τυχαίο σημείο της C f, τότε η εφαπτομένη ε στο Μ έχει εξίσωση : y f ( 0) f ( 0)( 0) y f ( 0) f ( 0) 0f ( 0). Η ευθεία ε πρέπει να ταυτίζεται με την : y 6, άρα αρκεί να υπάρχει 0 τέτοιο ώστε: f ( 0) f ( 0) 0f ( 0) 6 f ( f (1) 5 f ( 1) 5 0) 0 6 Τελικά πράγματι η ε είναι εφαπτομένη της C f με σημείο επαφής το Μ(-1,7). k 8) Δίνεται η συνάρτηση f () e 1, R,όπου k 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο με τετμημένη 0, που ανήκει στο διάστημα (0,1), στο οποίο η εφαπτομένη της C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. k k f () e 1, R με f () e, R. Έστω Μ( 0, f( 0 )) τυχαίο σημείο της C f, τότε η εφαπτομένη ε στο Μ έχει εξίσωση : y f ( ) f ( )( ) y f ( ) f ( ) f ( ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 (0,1) τέτοιο ώστε: 0 k 0 k 0 0 f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) e 1 e 0 e k (1 ) k ή ισοδυνάμως ότι η εξίσωση e (1 ) 1 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1). k Θεωρούμε τη συνάρτηση g() e (1 ) 1 Η είναι συνεχής στο [0,1] g(0) = e k -1 > 0,διότι k > 0,g(1) = -1 < 0, άρα g(0) g(1) 0 k Από Θεώρημα Bolzano η εξίσωση g() 0e (1 ) 1 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1).

6 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 6 Στοιχεία Θεωρίας Κοινή εφαπτομένη δύο συναρτήσεων με κοινό σημείο επαφής Οι εφαπτόμενες των C f,c g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη 0 έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: : y f ( ) f ( )( ) y f ( ) f ( ) f ( ) f : y g( ) g ( )( ) y g ( ) g( ) g ( ) g Οι C f,c g έχουν κοινή εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη 0 αν και μόνο αν υπάρχει 0 τέτοιο ώστε οι ευθείες ε f,ε g να ταυτίζονται ή ισοδυνάμως: f ( f ( 0 ) g ( 0 0) g ( 0) ) f ( 0) g ( 0) f ( 0) 0f ( 0) g( 0) 0g ( 0) f ( 0) g( 0) Το σύστημα πρέπει να έχει λύση. 1 e 9) Έστω οι συναρτήσεις f () και g() ln(e). Να αποδείξετε ότι οι C f,c g έχουν κοινή εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη f () e, R με f () e, R 1 1 g() ln(e), (0, ) με g () (e), (0, ) e Οι εφαπτόμενες των C f,c g στο κοινό τους σημείο 1 έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: : y f (1) f (1)( 1) y f (1) f (1) f (1) f g : y g(1) g (1)( 1) y g (1) g(1) g (1) f (1) g(1) 1,f (1) g (1) 1,άρα, οι εφαπτόμενες ταυτίζονται.

7 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 7 (4 ) 10) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (), g() και εφαπτομένη. h() έχουν ένα μόνο κοινό σημείο στο οποίο έχουν κοινή (4 ) f (), και g(), και h(), R και Θεωρούμε το σύστημα 1 f (), (4 ) (4 ) g (), h (), R (4 ) (4 ) y y (4 0) y 0 y 0 y y y y 0 Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων τέμνονται στο σημείο M(0, ). Οι εφαπτόμενες των C f,c g,c f στο κοινό τους σημείο M έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: : y f (0) f (0)( 0) y f (0) f (0) f : y g(0) g (0)( 0) y g(0) g (0) g : y h(0) h (0)(0 1) y h(0) h (0) h f(0) = g(0) = h(0) = και f (0) = g (0) = h (0) = 0 Τελικά οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων έχουν κοινή εφαπτομένη την ευθεία y =.

8 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 8 11) Έστω οι συναρτήσεις f () ( ) και g(),, R. Να βρείτε τις τιμές των α,β έτσι ώστε οι C f,c g να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο τους με τετμημένη. f () ( ), R και f () ( ), R g(), R και g (), R Οι C f, C g έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο τους με τετμημένη αν και μόνο αν, 1 f () g() 4 0 f () g () Κοινή εφαπτομένη δύο συναρτήσεων με διαφορετικό σημείο επαφής Στοιχεία Θεωρίας Οι εφαπτόμενες των C f,c g στα Μ( 1,f( 1 )),N(,g( )), έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: : y f ( ) f ( )( ) y f ( ) f ( ) f ( ) f : y g( ) g ( )( ) y g ( ) g( ) g ( ) g Οι C f,c g έχουν κοινή εφαπτόμενη αν και μόνο αν υπάρχουν 1, τέτοια ώστε οι ευθείες ε f,ε g να ταυτίζονται ή ισοδυνάμως: f ( f ( 1 ) g ( 1) g ( ) ) f ( 1) g ( ) f ( 1) 1f ( 1) g( ) g ( ) ( 1)f ( 1) g( ) f ( 1) Η επίλυση του τελευταίου συστήματος συνήθως έχει πολλές πράξεις. Δεν πρέπει να απομνημονεύσετε τους τύπους αλλά να γνωρίζετε τον τρόπο. Το σύστημα πρέπει να έχει λύση.

9 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 9 1) Έστω οι συναρτήσεις f () 1και Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες τους. g() f () 1, R και f (), R g(), R και g () 4, R Οι C f,c g έχουν κοινή εφαπτόμενη αν και μόνο αν υπάρχουν 1, τέτοια ώστε: f ( 1) g ( ) (1) f ( 1) 1f ( 1) g( ) g ( ) () (1) 4 1 (1 ) 1 1 (1 ) () ( 1) ( ) 0 0 Οι εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενων είναι: y g(0) g (0)( 0) y y g( ) g ( )( ) y y 6 8

10 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 10 1) Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των συναρτήσεων h() 1. f () e, g() και f () e, R και f () e, R g(), R και g () 1, R h() 1, R και h () 1, R Αρχικά θα αναζητήσουμε τις κοινές εφαπτόμενες των C g, C h. Οι C g,c h έχουν κοινή εφαπτόμενη αν και μόνο αν υπάρχουν 1, τέτοια ώστε: g ( 1) h ( ) (1) g( 1) 1g ( 1) h( ) h ( ) () (1) () ( 1) 1 ( 1) ( ) Άρα, 1 = -1, = 0 ή 1 = 0, = -1,επομένως η κοινή εφαπτομένη των C g,c h έχει εξίσωση: Αν 1 = -1: y g( 1) g ( 1)( 1) y 1 Η τελευταία πρέπει να εφάπτεται και στην C f, άρα αρκεί να υπάρχει 0 τέτοιος ώστε: 0 f ( 0) 1 f ( 0) 1 e f ( 0) 0f ( 0) 1 f ( 0) 0 1 e Η ευθεία y 1είναι κοινή εφαπτομένη των C g, C h, C f. Αν 1 = 0: y g(0) g (0)( 0) y Η τελευταία πρέπει να εφάπτεται και στην C f, άρα αρκεί να υπάρχει 0 τέτοιος ώστε: 0 f ( 0) 1 f ( 0) 1 e Αδύνατο, f ( 0) 0f ( 0) 0 f ( 0) 0 e άρα η y = - δεν είναι δυνατόν να εφάπτεται στην C f. Τελικά η ευθεία y 1είναι η μοναδική κοινή εφαπτομένη των C g, C h και C f.

11 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 11 1 Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής της παράστασης στο 0(0,f(0)). Δίνεται η συνάρτηση f () e. Να βρείτε σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Δίνεται η συνάρτηση f () ln. Να βρείτε σημείο Μ(k,f(k))k > 0, της C f στο οποίο η εφαπτομένη να σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν k. 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f (),g(). α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων ε 1,ε αντίστοιχα των C f,c g στο κοινό τους σημείο Α με τετμημένη διαφορετική του 0. β) Αν η εφαπτομένη ε 1 τέμνει τον χ χ στο σημείο Β και εφαπτομένη ε τέμνει τον ψ ψ στο σημείο Γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 5 Δίνεται η συνάρτηση f () και το σημείο Μ(α,β). α) Αν β < α να αποδείξετε ότι από το σημείο Μ διέρχονται δύο εφαπτόμενες της f. Τι συμβαίνει β α ; β) Αν το Μ είναι σημείο της ευθείας 1 y, να αποδείξετε ότι από το Μ 4 διέρχονται δύο εφαπτόμενες της που είναι μεταξύ τους κάθετες. 6 Έστω η συνάρτηση f () 5 6. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = εφάπτεται της γραφικής παράστασης της f. 7 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () 1, g() 1και h() 1 έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο. 8 Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των συναρτήσεων f () 1, g(). 9 Δίνεται η συνάρτηση f () e και η ευθεία y = α-α. Αν η ευθεία εφάπτεται της C f,να βρείτε την τιμή του α. 10 Δίνεται η συνάρτηση f (), (0, ). α) Να βρεθεί η παράγωγος της f. Προτεινόμενες Ασκήσεις e e e β) Να αποδείξετε ότι: lim e. e e γ) Να βρεθεί σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στον χ χ. δ) Να αποδείξετε ότι: f () (ln 1)f () f () k 11 Δίνεται η συνάρτηση f () e, k 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της f, στα οποία οι εφαπτόμενες της διέρχονται από την αρχή των αξόνων. 1 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f(0) = 0 και η συνάρτηση f (ln ) h(), 0. α) Να αποδείξετε ότι: h (1) f (0) β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 0 σχηματίζει με τον άξονα χ χ αμβλεία γωνία, να f () αποδείξετε ότι: lim 0. 0 e (e 1) 1 α) Έστω συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο 0. f () (a b) Αν lim 0, να αποδείξετε 0 0 ότι η ευθεία y a b εφάπτεται της γραφικής παράστασης της f. β) Έστω συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής f () 4 στο. Αν lim 0, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()). 14 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) και g() = f()ln, > 0. Αν οι συναρτήσεις έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 0,να αποδείξετε f () ότι: lim Δίνεται η συνάρτηση f () e. Να αποδείξετε ότι για κάθε R,υπάρχει εφαπτόμενη της C f, που διέρχεται από το σημείο Α(α,0). Στη συνέχεια να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης η οποία διέρχεται από το σημείο (01,0).