ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ αβ, ] που δίνεται και στη συνέχεια για εκείνες που ισχύει το θεώρημα, να βρείτε όλα τα ξ ( α, β ) για τα οποία f( ξ ) =... 3 f() = +, [,] 5 g() =, [, ] 3. h() =, [, ] 4., [, ) k() = 3, [,]. Η f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική και ισχύει f() = f() =. Άρα ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, οπότε υπάρχει ξ (,) έτσι ώστε ξ = ξ + = ξ=± δεκτή μόνο η ξ= (,) f( ) 3 3. Η g είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) ως πολυωνυμική. Όμως g( ) = 3 = g(). Συνεπώς δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle [, ] 3. Η h μπορεί να γραφεί ως h() =,, (, ] κλάδους ως πολυωνυμική και επίσης η οποία είναι συνεχής στους lim h() = lim ( ) = = lim h() = lim ( ) + + άρα είναι συνεχής στο [, ] όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο (, ) διότι

2 h() h() + lim = lim = + + ενώ h() h() + lim = lim =, + συνεπώς δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. 4. Η k παρατηρούμε ότι δεν είναι συνεχής στο [,] διότι 3 lim k() = lim ( ) = = lim k() = lim, + + άρα δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.. Διαπιστώνουμε αν η συνάρτηση f που μας δίνεται ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ αβ, ] που μας έχει δοθεί.. Βρίσκουμε την παράγωγο f () και στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση f ( ξ ) = με ξ ( α, β )

3 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση κ +λ < f() = µ + +,,. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ, μ αν ισχύουν για την f οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [,]. Αφού για την f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle τότε: f ( ) = f () κ+λ+ =µ+ 4 κ+λ µ= 3 () Συνεχής στο [,]. Αρχικά f () =. Επίσης = µ + + = άρα λ= () lim f () lim ( ) + + Παραγωγίσιμη στο [,]. lim f () lim ( ) = κ +λ =λ και f () f () ( ) µ + + µ + lim = lim = lim = lim ( µ + ) = και f() f() ( ) κ +λ κ lim = lim = lim = lim ( κ ) = κ λόγω της (). Άρα κ= (3). Από τις (), (), (3) βρίσκουμε ότι και µ= 3. Στο διάστημα που μας δίνουν δημιουργούμε τόσες εξισώσεις όσες είναι οι άγνωστες παράμετροι από: f( α ) = f( β ) Συνέχεια (και στο σημείο που αλλάζει μορφή η f ). Παραγωγισιμότητα (και στο σημείο που αλλάζει μορφή η f ). 3

4 Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνάρτηση f() = ηµ. Να αποδείξετε ότι: Για την f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, π ]. Η εξίσωση ηµ + συν = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, π ). Αρχικά παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f έχει για πεδίο ορισμού της το. Επειδή η καθώς και η ηµ είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο, άρα και η f θα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση αφού προκύπτει ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Συνεπώς θα είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [, π ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, π ). Επίσης f() = = f( π ). Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, π ] και επομένως θα υπάρχει ξ (, π ) τέτοιο ώστε f( ξ ) = ηµξ + ξσυνξ = δηλαδή η εξίσωση ηµ + συν = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (, π ). ( f ( ) = ηµ + συν ). Όταν έχουμε μία συνάρτηση f και μία εξίσωση και μας ζητούν να δείξουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας της εξίσωσης, τότε εξετάζουμε αν η συνάρτηση της εξίσωσης είναι παράγωγος της συνάρτησης f. 4

5 Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln =, > έχει το πολύ μία ρίζα. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος δηλαδή ln + =. Θεωρούμε ως f() το πρώτο μέλος της εξίσωσης οπότε έχουμε f () = ln + με πεδίο ορισμού Α = (, + ). Έστω τώρα ότι η f έχει δύο ρίζες ρ, ρ > με ρ ρ, οπότε f( ρ ) = f( ρ ) =. Επίσης η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α = (, + ) ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, άρα θα είναι συνεχής στο [ ρ, ρ ] και παραγωγίσιμη στο ( ρ, ρ ). Συνεπώς ισχύει για την f το θεώρημα Rolle στο [ ρ, ρ ] δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( ρ, ρ ) έτσι ώστε f( ξ ) =. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι (, + ). f () = + > για κάθε Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g(). Βρίσκουμε σε ποιό σημείο μηδενίζεται (ρίζα). Δεχόμαστε ότι υπάρχει και δεύτερη ρίζα και με το θεώρημα Rolle καταλήγουμε σε άτοπο. 5

6 Παράδειγμα 5. 3 Έστω η συνάρτηση f( ) = + +. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [,]. Αν ισχύει να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός (,) τέτοιος ώστε f ( ) =. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το D f =. Η f είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική. f( ) = και f( ) =, άρα f( ) f( ) =. Ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε f ( ) =. Έχουμε f ( ) = 3 +. Λύνουμε την εξίσωση f () = στο διάστημα (,). ( ) = + = = (απορρίπτεται γιατί δεν ανήκει στο (,) f 3 = (,) (δεκτή), άρα =. 3 3 ), ή Υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle: Η f είναι συνεχής στο [ αβ., ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( αβ, ). f( ) f( ) α = β. Συμπέρασμα του Θεωρήματος του Rolle: Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( αβ, ) τέτοιο ώστε ( ) f =. 6

7 Παράδειγμα 6. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, 4] για την συνάρτηση [ ] 3 +,, f() = , (, 4] Αν ισχύει να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός (, 4) τέτοιος ώστε ( ) f =. Για κάθε η f είναι συνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Για να είναι συνεχής στο [, 4] αρκεί να είναι συνεχής στο. Έχουμε: lim 3 ( + ) = lim ( ) = = f ( ) + Άρα η f συνεχής στο. Επομένως η f συνεχής στο [, 4 ]. Η f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα (,) και (, 4) σαν άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων. Εξετάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο. o f f 3 + lim = lim = lim = lim 3 = ( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim ( lim ) 3 3 = = ( )( ) lim = ( ) = o + f f lim = lim = lim = lim 3 7 = ( ) ( ) 3( ) 7( ) ( ) lim 3 7( )( + ) = + ( )( + ) ( + ) lim = =. Άρα έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f lim = lim =. + 7

8 Δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο, έτσι έχουμε: 3, (,) f () =, = 7 3, (, 4) ή 3, (,] f () = 7 3, (, 4) f( ) = και f( 4) =, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, 4) τέτοιο ώστε f ( ) =. Αν (,) τότε 3 f ( ) Αν = τότε ( ) Αν (, 4) = = ή (,) f =. 9 = απορρίπτεται. 4 τότε f ( ) = 3 = ή (, 4) 7 49 = δεκτή. 36 Αν η συνάρτηση f δίνεται με πολλαπλό τύπο, τότε εργαζόμαστε ως εξής: ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα επί μέρους διαστήματα. ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία που αλλάζει τύπο η συνάρτηση. 3 ο Βήμα: Εξετάζουμε αν f( ) f( ) α = β. 8

9 Παράδειγμα 7. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, 4] για την συνάρτηση [ ] + f() = + 4, (, 4] 4,, Αν [,) (, 4], η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Αν = έχουμε ( ) ( ) lim f lim 4 4 lim f = lim + 4 = 4 και = + =, ( ) ( ) f( ) = 4, άρα ισχύει lim f ( ) lim f ( ) f ( ) + Επομένως η f είναι συνεχής στο [, 4]. Ισχύει ( ) ( ) ( ) f = + 4=, f 4 = 4+ 4=. + + = =, άρα η f είναι συνεχής στο. Αν (,) (, 4) η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο =, ( ) ( ) ( ) f f lim = lim = lim ( ) = ( ) ( ) ( ) f f lim = lim = lim ( ) = Η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο =, άρα δεν ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Αν η συνάρτηση f δίνεται με πολλαπλό τύπο, τότε εργαζόμαστε ως εξής: ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα επί μέρους διαστήματα. ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία που αλλάζει τύπο η συνάρτηση. 3 ο Βήμα: Εξετάζουμε αν f( ) f( ) α = β. 9

10 Παράδειγμα 8. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί αβγ,, ώστε για τη συνάρτηση ( ) f +α +β = γ +, [, ) 5, [, ] να εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, ] και στη συνέχεια να βρείτε τουλάχιστον μια οριζόντια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στα διαστήματα [, ) και (, ] ως πολυωνυμική, άρα για να ισχύει το θεώρημα του Rolle, πρέπει να είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο = και να ισχύει f( ) = f( ). Η συνάρτηση ( ) Πρέπει lim ( 5 ) lim ( ) f ( ) γ + = +α +β =, άρα β= (). + ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f γ 5 + +α +β lim = lim lim = lim + + ( ) ( γ 5) ( +α) ( ) ( ) lim = lim lim γ 5 = lim +α, άρα α= 5 (). + + Επίσης πρέπει να ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = f 4 α+β= 4γ = 4γ + γ= 6. Η παράγωγος της f( ) + = + 5, [, ) 6 5, [, ] είναι η f ( ) 5, [, ) = 5, [, ]. Λύνουμε την εξίσωση f ( ) = στο διάστημα (, ). ( ) Αν (, ) 5 f = 5 = = (, ) (απορρίπτεται). 5 [, ) f = 5 = = [, ). (δεκτή) Αν ( ) 5 Έτσι έχουμε f 5 3 =, άρα στο σημείο M, 4 της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. έχουμε μια οριζόντια εφαπτομένη

11 Γεωμετρικά το Θεώρημα του Rolle σημαίνει, ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) έτσι ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο Μξ (,f ( ξ )) να είναι παράλληλη στον άξονα. f

12 Παράδειγμα 9. α β Αν α, β, γ με + +γ= να δείξετε ότι η εξίσωση 5 3,. τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ) 4 α +β +γ= έχει μια ο Βήμα: Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano για την συνάρτηση f,. 4 ( ) =α +β +γστο διάστημα [ ] Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο διάστημα [, ]. f( ) = γ και f( ) =α+β+γ, παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το πρόσημο των αριθμών f(,f ) ( ), άρα δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano. ο Βήμα: Βρίσκουμε μία αρχική συνάρτηση της f στο, δηλαδή μία παραγωγίσιμη συνάρτηση F, έτσι ώστε F ( ) = f( ) για κάθε. α 5 β 3 Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση F( ) = + +γ. 5 3 Η F( ) είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική: Η F( ) είναι παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική. F ( ) = και ( ) α β F 5 3 = + +γ= ( ) ( ) F = F =, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε ( ) 4 Και επειδή F ( ) =α +β +γ, η εξίσωση στο (, ). F =. 4 α +β +γ= έχει τουλάχιστον μια ρίζα Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι μια εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ αβ,, ] ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο Βήμα: Τα μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος και θεωρούμε την συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού το [ αβ., ] Αν η εξίσωση έχει παρανομαστές κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών ώστε να ορίζεται στο διάστημα [ αβ., ] ο Βήμα: Για την εύρεση της ρίζας εφαρμόζουμε τους παρακάτω τρόπους:

13 ος Τρόπος: Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Bolzano. ος Τρόπος: Βρίσκουμε το σύνολο τιμών, δηλαδή αν f( A) είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α και f( A), τότε η εξίσωση f( ) = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Α από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. 3 ος Τρόπος: Θεωρούμε μια παράγουσα της f( ) (δηλαδή F () f ( ) το θεώρημα του Rolle. 4 ος Τρόπος: Βρίσκουμε μια προφανή ρίζα. = ) και εφαρμόζουμε 3

14 Παράδειγμα α + α+β 3α β+ =, με α, β έχει 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). 4 3 Θεωρούμε την συνάρτηση f( ) = + ( α ) + ( α+β ) ( 3α+β ). Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση f( ) στο διάστημα [ ],. Η συνάρτηση f( ) είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο, άρα συνεχής και στο διάστημα [, ]. Η συνάρτηση f( ) είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική στο, άρα παραγωγίσιμη και στο διάστημα (, ). f( ) = 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) f = + α + α+β 3α+β = + α +α+β 3α β+ = Και επειδή f( ) = f( ), ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε ( ) 3 f ( ) = 4 + 3( α ) + ( α+β ) 3α β+. Άρα η εξίσωση 3 ( ) ( ) διάστημα (, ). f =. Έχουμε α + α+β 3α β+ = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Αν θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση ( ) f = έχει τουλάχιστον μια ρίζα σε ένα διάστημα Δ και δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano, τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση F της f F f F στο Δ.,( ( ) = ( )), και εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την ( ) 4

15 Παράδειγμα. συν, Έστω η συνάρτηση f( ) =. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle, = στο διάστημα, π και να δείξετε ότι η εξίσωση + εφ = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, π. Αν, π συναρτήσεων. τότε f( ) Αν =, τότε = συν, άρα η f είναι συνεχής σαν γινόμενο συνεχών συν = συν συν και επειδή lim( ± ) =, lim f = = f. Άρα είναι συνεχής και στο από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ( ) ( ) =. Επομένως η f είναι συνεχής στο, π. Η f είναι παραγωγίσιμη στο, σαν γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με π f ( ) = συν ηµ = συν ηµ = συν + ηµ f( ) = και π f = συν = συν =. π π π π Επομένως ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε f ( ) =, οπότε έχουμε π ηµ συν + ηµ = συν + ηµ = + = + εϕ = συν 5

16 ( συν, γιατί αν συν = τότε ηµ =, που είναι άτοπο). Αν ζητείται η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής g( ) = να έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα Δ, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για μια αρχική της g( ), g ( ) f( ) οποία μας δίνεται. ( ) =, η 6

17 Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] με f( ) = και g( ) = f( )( 4), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε ( ) g =. Η εξίσωση g( ) = με g() = f()( 4), έχει ρίζες τους αριθμούς,, γιατί g ( ) = f ( )( 4) =, g( ) = f( )( 4 4) = και ( ) ( )( ) g = f 4 4 =. Επίσης η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση g( ) στα διαστήματα [,] και [ ] θα έχουμε δύο αριθμούς (, ), (, ) έτσι ώστε g ( ) = και g ( ) =. Επίσης η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων. Εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση g ( ) στο διάστημα [, ] υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε g ( ) =., άρα θα,, Αν έχουμε εξίσωση της μορφής g ( ) =, εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα του Rolle για τις συναρτήσεις g( ),g ( ). 7

18 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = e + +, και 3 g() e = +,. Να αποδείξετε ότι οι άξονα yy. C f, C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω στον Παρατηρούμε αρχικά ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() = e + e + με πεδίο ορισμού το, παραγωγίσιμη στο ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση h() = έχει μοναδική ρίζα. Παρατηρούμε ότι f () = και g() = δηλαδή f () = g() = f () g() = h() = που σημαίνει ότι η h έχει ρίζα το. Άρα ένα κοινό σημείο των C f, C g είναι το σημείο A(, ). Τη μοναδικότητα της ρίζας της h() θα την αποδείξουμε ως εξής: έστω ότι υπάρχει και άλλη ρίζα ρ με h( ρ ) = h() =. Η h είναι παραγωγίσιμη στο [, ρ ] ή [ ρ, ] όπως προαναφέραμε, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Rolle θα υπάρχει ξ (, ρ ) ή ξ ( ρ,) τέτοιο ώστε h( ξ ) =. Όμως h () f () g () e e 6 = = + + +, δηλαδή h ( ) e e 6 ξ ξ = + + ξ + ξ και επειδή ξ = ξ > ως άθροισμα θετικών όρων, οδηγούμαστε σε άτοπο h ( ξ). ξ h( ) e ξ e 6 Συνεπώς το κοινό σημείο A(, ) είναι μοναδικό. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g(). Βρίσκουμε σε ποιό σημείο μηδενίζεται η h(). Δεχόμαστε ότι υπάρχει και δεύτερη ρίζα και με το θεώρημα Rolle καταλήγουμε σε άτοπο. 8

19 Παράδειγμα. π Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο, υπάρχει τουλάχιστον ένα π, π = + έτσι ώστε f f( ) έτσι ώστε ( ) f = συν. Να δείξετε ότι Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() ηµ η οποία είναι αρχική ή παράγουσα της f ( ) συν π Η συνάρτηση h() = f() ηµ είναι παραγωγίσιμη στο, ως διαφορά π παραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα είναι παραγωγίσιμη και στο,. π Η συνάρτηση h() = f() ηµ είναι συνεχής στο, π (επειδή είναι παραγωγίσιμη στο, ) h() f () π π π π h( ) = f( ) ηµ = + f() = f() h = h. = και ( ) π Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την h στο,. Οπότε υπάρχει π τουλάχιστον ένα, έτσι ώστε h ( ) = δηλαδή f ( ) = συν. Αξιοποιούμε τις συνθήκες που μας δίνουν προκειμένου να βρούμε μία συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. 9

20 Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μία ρίζα στο (,3). π = + εϕ κπ + κ έχει τουλάχιστον 5 ( 5 6),, Έχουμε 5 = ( 5 + 6) εϕ ( 5) συν = ( 5 + 6) ηµ ή ( 5+ 6) συν + ( 5+ 6)( συν ) = [( 5+ 6) συν ] =. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ( 5 + 6) συν με πεδίο ορισμού το. Η f είναι συνεχής στο [,3] και παραγωγίσιμη στο (,3) ως γινόμενο συνεχών και παραγωγίσιμη συναρτήσεων. Επίσης ισχύει f() = f(3) =. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,3) με f( ξ ) = οπότε η εξίσωση f () = ( 5) συν = ( 5 + 6) ηµ 5 = ( 5 + 6) εϕ θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,3) (η λύση είναι δεκτή γιατί ξ (,3) και π ξ κπ + ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο πρώτο μέλος. Θεωρούμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f. Αν f( α)f( β ) < τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [ αβ, ]. Αν δεν ισχύει η προηγούμενη περίπτωση, τότε βρίσκουμε μία αρχική συνάρτηση F της f και εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle.

21 Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ + συν = έχει μόνο δύο ρίζες στο [ π, π ]. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ηµ + συν με. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, άρα και στο [ π, π ]. Παρατηρούμε ότι f( π ) = π <, f() = >, f( π ) = π <. Αρχικά παρατηρούμε ότι το π και το π δεν είναι ρίζες της συνάρτησης f, οπότε εφαρμόζοντας το θεώρημα Bolzano σε καθένα από τα διαστήματα [ π, ] και [, π ] στα οποία η f είναι συνεχής έχουμε ότι υπάρχουν ξ ( π,) και ξ (, π ) ώστε f( ξ ) = και f( ξ ) =, δηλαδή η f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδικές. Έστω ότι υπάρχει και τρίτη ρίζα ξ 3, τότε θα ισχύει f( ξ ) = f( ξ ) = f( ξ 3) =. Υποθέτουμε ότι ξ <ξ <ξ 3. (χωρίς βλάβη της γενικότητας) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στα διαστήματα [ ξ, ξ] και [ ξ, ξ 3] διότι οι υποθέσεις του θεωρήματος ισχύουν για την f και f () = ηµ + συν ηµ = συν = συν. ( ) Άρα θα υπάρχουν ρ ξ (, ξ ) και ρ ξ (, ξ 3) έτσι ώστε f( ρ ) = f( ρ ) =, αυτό όμως είναι άτοπο γιατί η εξίσωση f () = ( συν ) = = ή συν = (αδύνατη) έχει μοναδική ρίζα την =. Αποδεικνύουμε με θεώρημα Bolzano ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στο διάστημα των δύο ριζών και αποδεικνύουμε με την «εις άτοπο απαγωγή» ότι δεν έχει άλλη ρίζα.

22 Παράδειγμα 5. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [ αβ, ] η οποία διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ]. Δίνονται επίσης οι μιγαδικοί αριθμοί z f ( )[f ( ) ] i = β α + και z f ( ) i = β. 3 Αν Re(z+ z ) = f ( α ) να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ( αβ, ). ( τρόποι επίλυσης) Παρατηρούμε ότι z z f( ) f ( ) f ( ) i f ( ) i f( ) f ( ) i + = α β β+ + β = α β+. Επειδή 3 Re(z z ) f ( ) + = α, έχουμε 3 f ( α= ) f( α ) f ( β ) f( α ) [f ( α ) f ( β )] =. Αλλά f( α) διότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ]. Α τρόπος Συνεπώς f ( ) f ( ) f( ) f( ) [ αβ, ] θα έχουμε f( α ) = f( β ). α = β α =± β και επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Άρα η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α, β ) έτσι ώστε f ( ξ ) = που είναι και το ζητούμενο. Β τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f () η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle διότι είναι παραγωγίσιμη στο [ αβ, ] (άρα και συνεχής ) και g( α ) = g( β ). Άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α, β ) έτσι ώστε g( ξ ) =, οπότε ( ) f ξ f( ξ) f ( ξ ) = f ( ξ ) = που είναι και το ζητούμενο. Αξιοποιούμε τις συνθήκες που μας δίνουν προκειμένου να βρούμε μία συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle.

23 Παράδειγμα 6. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, δύο φορές παραγωγίσιμη, έτσι ώστε να O,,A, 3,B 3,3 και η συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία ( ) ( ) ( ) g( ) = f( ) +α +β +. αβ ώστε να ισχύει για την συνάρτηση ( ) Θεώρημα του Rolle στα διαστήματα[, ], [, 3 ]. i. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, f ξ = 4. ii. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,3), έτσι ώστε ( ) g το i. Η συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία O(, ),A, ( 3 ),B( 3,3), έτσι θα έχουμε f ( ) =, f ( ) = 3, f ( 3) = 3. Επειδή για την συνάρτηση g( ) = f( ) +α +β + ισχύει το Θεώρημα του Rolle στα διαστήματα[, ], [, 3 ], θα έχουμε g ( ) = g ( ) και g ( ) = g3 ( ) α+β= 3 α+β= 3 α= f( ) + = f( ) +α+β+ = f( 3) + 9α+ 3β+ 9α+ 3β= 3 3α+β= β= 5 ii. Η συνάρτηση g γίνεται g( ) = f ( ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση g( ) στα διαστήματα[ ] [ ] οπότε υπάρχουν (, ), (, 3) τέτοια ώστε να ισχύει g ( ) = g ( ) =. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση g ( ) f ( ) 4 5 [, ] :,,, 3, = + στο διάστημα Η συνάρτηση g ( ) είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο διάστημα [, ] (η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη). ( ) ( ) g = g =. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα,3 g ξ = f ξ 4= f ξ = 4. ξ ( ), έτσι ώστε ( ) ( ) ( ) Όταν ζητείται η απόδειξη μιας σχέσεως που έχει δεύτερη παράγωγο, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle σε κατάλληλη συνάρτηση που έχει την πρώτη παράγωγο. 3

24 Παράδειγμα 7. Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ( π) συν. Να δείξετε ότι: i. Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα π, π. π ii. Η εξίσωση σϕ = π έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, π. i. Η συνάρτηση f( ) = ( π) συν είναι συνεχής στο ως γινόμενο συνεχών π συναρτήσεων, άρα θα είναι και συνεχής στο διάστημα, π. Η συνάρτηση f( ) = ( π) συν είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο παραγωγισίμων π συναρτήσεων, άρα θα είναι και παραγωγίσιμη στο διάστημα, π. π π π f = π συν = και f( π ) = ( π π) συνπ =. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. ii. Αφού η συνάρτηση f( ) = ( π) συν ικανοποίει τις υποθέσεις του Θεωρήματος του π Rolle, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα, π έτσι ώστε f ( ) =. Έχουμε f ( ) = ( π) συν + ( π)( συν ) = συν ( π) ηµ συν ηµ f ( ) = συν ( π) ηµ = συν = ( π) ηµ = ( π) ηµ ηµ π σϕ = ( π ), ( ηµ,, π ). π Άρα η εξίσωση σϕ = π έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, π. Αν ζητείται η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής f( ) =, να έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα Δ, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για μια αρχική της f( ), F ( ) f( ) οποία και μας δίνεται. ( ) =, η 4

25 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (, + ) έτσι ώστε να ισχύει ( ) f( e) = (). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) e ( ) + = (). f f ln έτσι ώστε ο Βήμα: Στην σχέση () βάζουμε όπου το και έχουμε ln ln f ( ) + ln = f ( ) + = f ( ) + = Από τη σχέση () και με βάση την πιο πάνω ισοδυναμία παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα της εξίσωσης ( ) ln f + =. ο Βήμα: Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) = f( ) + με πεδίο ορισμού το D (, ) ln 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την g( ) στο διάστημα [, e ] : ln H g( ) = f( ) + είναι παραγωγίσιμη στο [ ] ln g( ) = f( ) + = f( ) και ( ) ( ) ( ), e, άρα και συνεχής. ( ) ln e g e = f e + = f e + = f e e ( ) g = +. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) έτσι ώστε ( ) ln ln g ( ) f ( ) = + = f ( ) + ( ) ( ) ( ) g =. ln g = f + = f + ln = 5

26 Για να δείξουμε ότι υπάρχει (, ) βήματα: ο Βήμα: Στη σχέση βάζουμε όπου την εξίσωση g( ) =. αβ, ώστε να ισχύει μια σχέση, ακολουθούμε τα εξής και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος έτσι έχουμε ο Βήμα: Βρίσκουμε μια αρχική G( ) της συνάρτησης g (αν δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano). 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την G( ) στο διάστημα [, ] αβ. 6

27 Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, έτσι ώστε f( ) ef( ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) τέτοιο ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) = (). = (). ο Βήμα: Στη σχέση () βάζουμε όπου ξ και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος, έτσι πολ / µε e ( ) f + f = e f + e f = e f =. έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ο Βήμα: Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) e f( ) = με πεδίο ορισμού το D g =. 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την g( ) στο διάστημα [, ]: H g( ) είναι παραγωγίσιμη στο [, ], άρα και συνεχής. g( ) = e f( ) = f( ) και ( ) ( ) ( ) g ef f( ) = =. Επομένως ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) έτσι ώστε g ( ξ ) =. Αλλά ( ) g = e f ( ) + e f( ) ξ ξ g ξ = e f ξ + e f ξ = f ξ + f ξ =. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Το Θεώρημα του Rolle, του Bolzano και των ενδιαμέσων τιμών λύνουν πολλά θεωρητικά προβλήματα σε θέματα ύπαρξης αριθμού έτσι ώστε να ισχύει μια σχέση. Σ αυτή την περίπτωση αρκεί να βρούμε την κατάλληλη συνάρτηση σε κατάλληλο διάστημα. Καταρχήν, αν στα ζητούμενα υπάρχει παράγωγος τον πρώτο λόγο έχει το Θεώρημα Rolle. Τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσουμε είναι: ο Βήμα: Πρώτα στη θέση του ζητούμενου βάζουμε και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος. ο Βήμα: Αν f( ) είναι η συνάρτηση του πρώτου μέλους θεωρούμε την παράγουσα της ( ) τέτοια ώστε F ( ) = f( ), και εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την ( ) διάστημα. Ειδικά στις σχέσεις τις μορφής f ( ) + g( ) f( ) πολλαπλασιάζουμε με G ( ) = g( ), έτσι θα έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ( )) G ( ) G ( ) G ( ) e f e g f e f + =. F, F σε κατάλληλο G ( ) e, όπου Ημερομηνία τροποποίησης: 3/8/ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 9/5/ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης -

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα