ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ αβ, ] που δίνεται και στη συνέχεια για εκείνες που ισχύει το θεώρημα, να βρείτε όλα τα ξ ( α, β ) για τα οποία f( ξ ) =... 3 f() = +, [,] 5 g() =, [, ] 3. h() =, [, ] 4., [, ) k() = 3, [,]. Η f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική και ισχύει f() = f() =. Άρα ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, οπότε υπάρχει ξ (,) έτσι ώστε ξ = ξ + = ξ=± δεκτή μόνο η ξ= (,) f( ) 3 3. Η g είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) ως πολυωνυμική. Όμως g( ) = 3 = g(). Συνεπώς δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle [, ] 3. Η h μπορεί να γραφεί ως h() =,, (, ] κλάδους ως πολυωνυμική και επίσης η οποία είναι συνεχής στους lim h() = lim ( ) = = lim h() = lim ( ) + + άρα είναι συνεχής στο [, ] όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο (, ) διότι

2 h() h() + lim = lim = + + ενώ h() h() + lim = lim =, + συνεπώς δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. 4. Η k παρατηρούμε ότι δεν είναι συνεχής στο [,] διότι 3 lim k() = lim ( ) = = lim k() = lim, + + άρα δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.. Διαπιστώνουμε αν η συνάρτηση f που μας δίνεται ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ αβ, ] που μας έχει δοθεί.. Βρίσκουμε την παράγωγο f () και στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση f ( ξ ) = με ξ ( α, β )

3 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση κ +λ < f() = µ + +,,. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ, μ αν ισχύουν για την f οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [,]. Αφού για την f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle τότε: f ( ) = f () κ+λ+ =µ+ 4 κ+λ µ= 3 () Συνεχής στο [,]. Αρχικά f () =. Επίσης = µ + + = άρα λ= () lim f () lim ( ) + + Παραγωγίσιμη στο [,]. lim f () lim ( ) = κ +λ =λ και f () f () ( ) µ + + µ + lim = lim = lim = lim ( µ + ) = και f() f() ( ) κ +λ κ lim = lim = lim = lim ( κ ) = κ λόγω της (). Άρα κ= (3). Από τις (), (), (3) βρίσκουμε ότι και µ= 3. Στο διάστημα που μας δίνουν δημιουργούμε τόσες εξισώσεις όσες είναι οι άγνωστες παράμετροι από: f( α ) = f( β ) Συνέχεια (και στο σημείο που αλλάζει μορφή η f ). Παραγωγισιμότητα (και στο σημείο που αλλάζει μορφή η f ). 3

4 Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνάρτηση f() = ηµ. Να αποδείξετε ότι: Για την f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, π ]. Η εξίσωση ηµ + συν = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, π ). Αρχικά παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f έχει για πεδίο ορισμού της το. Επειδή η καθώς και η ηµ είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο, άρα και η f θα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση αφού προκύπτει ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Συνεπώς θα είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [, π ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, π ). Επίσης f() = = f( π ). Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, π ] και επομένως θα υπάρχει ξ (, π ) τέτοιο ώστε f( ξ ) = ηµξ + ξσυνξ = δηλαδή η εξίσωση ηµ + συν = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (, π ). ( f ( ) = ηµ + συν ). Όταν έχουμε μία συνάρτηση f και μία εξίσωση και μας ζητούν να δείξουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας της εξίσωσης, τότε εξετάζουμε αν η συνάρτηση της εξίσωσης είναι παράγωγος της συνάρτησης f. 4

5 Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln =, > έχει το πολύ μία ρίζα. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος δηλαδή ln + =. Θεωρούμε ως f() το πρώτο μέλος της εξίσωσης οπότε έχουμε f () = ln + με πεδίο ορισμού Α = (, + ). Έστω τώρα ότι η f έχει δύο ρίζες ρ, ρ > με ρ ρ, οπότε f( ρ ) = f( ρ ) =. Επίσης η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α = (, + ) ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, άρα θα είναι συνεχής στο [ ρ, ρ ] και παραγωγίσιμη στο ( ρ, ρ ). Συνεπώς ισχύει για την f το θεώρημα Rolle στο [ ρ, ρ ] δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( ρ, ρ ) έτσι ώστε f( ξ ) =. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι (, + ). f () = + > για κάθε Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g(). Βρίσκουμε σε ποιό σημείο μηδενίζεται (ρίζα). Δεχόμαστε ότι υπάρχει και δεύτερη ρίζα και με το θεώρημα Rolle καταλήγουμε σε άτοπο. 5

6 Παράδειγμα 5. 3 Έστω η συνάρτηση f( ) = + +. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [,]. Αν ισχύει να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός (,) τέτοιος ώστε f ( ) =. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το D f =. Η f είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική. f( ) = και f( ) =, άρα f( ) f( ) =. Ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε f ( ) =. Έχουμε f ( ) = 3 +. Λύνουμε την εξίσωση f () = στο διάστημα (,). ( ) = + = = (απορρίπτεται γιατί δεν ανήκει στο (,) f 3 = (,) (δεκτή), άρα =. 3 3 ), ή Υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle: Η f είναι συνεχής στο [ αβ., ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( αβ, ). f( ) f( ) α = β. Συμπέρασμα του Θεωρήματος του Rolle: Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( αβ, ) τέτοιο ώστε ( ) f =. 6

7 Παράδειγμα 6. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, 4] για την συνάρτηση [ ] 3 +,, f() = , (, 4] Αν ισχύει να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός (, 4) τέτοιος ώστε ( ) f =. Για κάθε η f είναι συνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Για να είναι συνεχής στο [, 4] αρκεί να είναι συνεχής στο. Έχουμε: lim 3 ( + ) = lim ( ) = = f ( ) + Άρα η f συνεχής στο. Επομένως η f συνεχής στο [, 4 ]. Η f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα (,) και (, 4) σαν άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων. Εξετάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο. o f f 3 + lim = lim = lim = lim 3 = ( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim ( lim ) 3 3 = = ( )( ) lim = ( ) = o + f f lim = lim = lim = lim 3 7 = ( ) ( ) 3( ) 7( ) ( ) lim 3 7( )( + ) = + ( )( + ) ( + ) lim = =. Άρα έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f lim = lim =. + 7

8 Δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο, έτσι έχουμε: 3, (,) f () =, = 7 3, (, 4) ή 3, (,] f () = 7 3, (, 4) f( ) = και f( 4) =, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, 4) τέτοιο ώστε f ( ) =. Αν (,) τότε 3 f ( ) Αν = τότε ( ) Αν (, 4) = = ή (,) f =. 9 = απορρίπτεται. 4 τότε f ( ) = 3 = ή (, 4) 7 49 = δεκτή. 36 Αν η συνάρτηση f δίνεται με πολλαπλό τύπο, τότε εργαζόμαστε ως εξής: ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα επί μέρους διαστήματα. ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία που αλλάζει τύπο η συνάρτηση. 3 ο Βήμα: Εξετάζουμε αν f( ) f( ) α = β. 8

9 Παράδειγμα 7. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, 4] για την συνάρτηση [ ] + f() = + 4, (, 4] 4,, Αν [,) (, 4], η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Αν = έχουμε ( ) ( ) lim f lim 4 4 lim f = lim + 4 = 4 και = + =, ( ) ( ) f( ) = 4, άρα ισχύει lim f ( ) lim f ( ) f ( ) + Επομένως η f είναι συνεχής στο [, 4]. Ισχύει ( ) ( ) ( ) f = + 4=, f 4 = 4+ 4=. + + = =, άρα η f είναι συνεχής στο. Αν (,) (, 4) η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο =, ( ) ( ) ( ) f f lim = lim = lim ( ) = ( ) ( ) ( ) f f lim = lim = lim ( ) = Η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο =, άρα δεν ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Αν η συνάρτηση f δίνεται με πολλαπλό τύπο, τότε εργαζόμαστε ως εξής: ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα επί μέρους διαστήματα. ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία που αλλάζει τύπο η συνάρτηση. 3 ο Βήμα: Εξετάζουμε αν f( ) f( ) α = β. 9

10 Παράδειγμα 8. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί αβγ,, ώστε για τη συνάρτηση ( ) f +α +β = γ +, [, ) 5, [, ] να εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, ] και στη συνέχεια να βρείτε τουλάχιστον μια οριζόντια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στα διαστήματα [, ) και (, ] ως πολυωνυμική, άρα για να ισχύει το θεώρημα του Rolle, πρέπει να είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο = και να ισχύει f( ) = f( ). Η συνάρτηση ( ) Πρέπει lim ( 5 ) lim ( ) f ( ) γ + = +α +β =, άρα β= (). + ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f γ 5 + +α +β lim = lim lim = lim + + ( ) ( γ 5) ( +α) ( ) ( ) lim = lim lim γ 5 = lim +α, άρα α= 5 (). + + Επίσης πρέπει να ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = f 4 α+β= 4γ = 4γ + γ= 6. Η παράγωγος της f( ) + = + 5, [, ) 6 5, [, ] είναι η f ( ) 5, [, ) = 5, [, ]. Λύνουμε την εξίσωση f ( ) = στο διάστημα (, ). ( ) Αν (, ) 5 f = 5 = = (, ) (απορρίπτεται). 5 [, ) f = 5 = = [, ). (δεκτή) Αν ( ) 5 Έτσι έχουμε f 5 3 =, άρα στο σημείο M, 4 της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. έχουμε μια οριζόντια εφαπτομένη

11 Γεωμετρικά το Θεώρημα του Rolle σημαίνει, ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) έτσι ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο Μξ (,f ( ξ )) να είναι παράλληλη στον άξονα. f

12 Παράδειγμα 9. α β Αν α, β, γ με + +γ= να δείξετε ότι η εξίσωση 5 3,. τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ) 4 α +β +γ= έχει μια ο Βήμα: Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano για την συνάρτηση f,. 4 ( ) =α +β +γστο διάστημα [ ] Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο διάστημα [, ]. f( ) = γ και f( ) =α+β+γ, παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το πρόσημο των αριθμών f(,f ) ( ), άρα δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano. ο Βήμα: Βρίσκουμε μία αρχική συνάρτηση της f στο, δηλαδή μία παραγωγίσιμη συνάρτηση F, έτσι ώστε F ( ) = f( ) για κάθε. α 5 β 3 Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση F( ) = + +γ. 5 3 Η F( ) είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική: Η F( ) είναι παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική. F ( ) = και ( ) α β F 5 3 = + +γ= ( ) ( ) F = F =, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε ( ) 4 Και επειδή F ( ) =α +β +γ, η εξίσωση στο (, ). F =. 4 α +β +γ= έχει τουλάχιστον μια ρίζα Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι μια εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ αβ,, ] ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο Βήμα: Τα μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος και θεωρούμε την συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού το [ αβ., ] Αν η εξίσωση έχει παρανομαστές κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών ώστε να ορίζεται στο διάστημα [ αβ., ] ο Βήμα: Για την εύρεση της ρίζας εφαρμόζουμε τους παρακάτω τρόπους:

13 ος Τρόπος: Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Bolzano. ος Τρόπος: Βρίσκουμε το σύνολο τιμών, δηλαδή αν f( A) είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α και f( A), τότε η εξίσωση f( ) = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Α από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. 3 ος Τρόπος: Θεωρούμε μια παράγουσα της f( ) (δηλαδή F () f ( ) το θεώρημα του Rolle. 4 ος Τρόπος: Βρίσκουμε μια προφανή ρίζα. = ) και εφαρμόζουμε 3

14 Παράδειγμα α + α+β 3α β+ =, με α, β έχει 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). 4 3 Θεωρούμε την συνάρτηση f( ) = + ( α ) + ( α+β ) ( 3α+β ). Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση f( ) στο διάστημα [ ],. Η συνάρτηση f( ) είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο, άρα συνεχής και στο διάστημα [, ]. Η συνάρτηση f( ) είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική στο, άρα παραγωγίσιμη και στο διάστημα (, ). f( ) = 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) f = + α + α+β 3α+β = + α +α+β 3α β+ = Και επειδή f( ) = f( ), ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε ( ) 3 f ( ) = 4 + 3( α ) + ( α+β ) 3α β+. Άρα η εξίσωση 3 ( ) ( ) διάστημα (, ). f =. Έχουμε α + α+β 3α β+ = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Αν θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση ( ) f = έχει τουλάχιστον μια ρίζα σε ένα διάστημα Δ και δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano, τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση F της f F f F στο Δ.,( ( ) = ( )), και εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την ( ) 4

15 Παράδειγμα. συν, Έστω η συνάρτηση f( ) =. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle, = στο διάστημα, π και να δείξετε ότι η εξίσωση + εφ = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, π. Αν, π συναρτήσεων. τότε f( ) Αν =, τότε = συν, άρα η f είναι συνεχής σαν γινόμενο συνεχών συν = συν συν και επειδή lim( ± ) =, lim f = = f. Άρα είναι συνεχής και στο από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ( ) ( ) =. Επομένως η f είναι συνεχής στο, π. Η f είναι παραγωγίσιμη στο, σαν γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με π f ( ) = συν ηµ = συν ηµ = συν + ηµ f( ) = και π f = συν = συν =. π π π π Επομένως ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε f ( ) =, οπότε έχουμε π ηµ συν + ηµ = συν + ηµ = + = + εϕ = συν 5

16 ( συν, γιατί αν συν = τότε ηµ =, που είναι άτοπο). Αν ζητείται η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής g( ) = να έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα Δ, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για μια αρχική της g( ), g ( ) f( ) οποία μας δίνεται. ( ) =, η 6

17 Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] με f( ) = και g( ) = f( )( 4), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε ( ) g =. Η εξίσωση g( ) = με g() = f()( 4), έχει ρίζες τους αριθμούς,, γιατί g ( ) = f ( )( 4) =, g( ) = f( )( 4 4) = και ( ) ( )( ) g = f 4 4 =. Επίσης η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση g( ) στα διαστήματα [,] και [ ] θα έχουμε δύο αριθμούς (, ), (, ) έτσι ώστε g ( ) = και g ( ) =. Επίσης η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων. Εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση g ( ) στο διάστημα [, ] υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε g ( ) =., άρα θα,, Αν έχουμε εξίσωση της μορφής g ( ) =, εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα του Rolle για τις συναρτήσεις g( ),g ( ). 7

18 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = e + +, και 3 g() e = +,. Να αποδείξετε ότι οι άξονα yy. C f, C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω στον Παρατηρούμε αρχικά ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() = e + e + με πεδίο ορισμού το, παραγωγίσιμη στο ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση h() = έχει μοναδική ρίζα. Παρατηρούμε ότι f () = και g() = δηλαδή f () = g() = f () g() = h() = που σημαίνει ότι η h έχει ρίζα το. Άρα ένα κοινό σημείο των C f, C g είναι το σημείο A(, ). Τη μοναδικότητα της ρίζας της h() θα την αποδείξουμε ως εξής: έστω ότι υπάρχει και άλλη ρίζα ρ με h( ρ ) = h() =. Η h είναι παραγωγίσιμη στο [, ρ ] ή [ ρ, ] όπως προαναφέραμε, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Rolle θα υπάρχει ξ (, ρ ) ή ξ ( ρ,) τέτοιο ώστε h( ξ ) =. Όμως h () f () g () e e 6 = = + + +, δηλαδή h ( ) e e 6 ξ ξ = + + ξ + ξ και επειδή ξ = ξ > ως άθροισμα θετικών όρων, οδηγούμαστε σε άτοπο h ( ξ). ξ h( ) e ξ e 6 Συνεπώς το κοινό σημείο A(, ) είναι μοναδικό. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g(). Βρίσκουμε σε ποιό σημείο μηδενίζεται η h(). Δεχόμαστε ότι υπάρχει και δεύτερη ρίζα και με το θεώρημα Rolle καταλήγουμε σε άτοπο. 8

19 Παράδειγμα. π Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο, υπάρχει τουλάχιστον ένα π, π = + έτσι ώστε f f( ) έτσι ώστε ( ) f = συν. Να δείξετε ότι Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() ηµ η οποία είναι αρχική ή παράγουσα της f ( ) συν π Η συνάρτηση h() = f() ηµ είναι παραγωγίσιμη στο, ως διαφορά π παραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα είναι παραγωγίσιμη και στο,. π Η συνάρτηση h() = f() ηµ είναι συνεχής στο, π (επειδή είναι παραγωγίσιμη στο, ) h() f () π π π π h( ) = f( ) ηµ = + f() = f() h = h. = και ( ) π Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την h στο,. Οπότε υπάρχει π τουλάχιστον ένα, έτσι ώστε h ( ) = δηλαδή f ( ) = συν. Αξιοποιούμε τις συνθήκες που μας δίνουν προκειμένου να βρούμε μία συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. 9

20 Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μία ρίζα στο (,3). π = + εϕ κπ + κ έχει τουλάχιστον 5 ( 5 6),, Έχουμε 5 = ( 5 + 6) εϕ ( 5) συν = ( 5 + 6) ηµ ή ( 5+ 6) συν + ( 5+ 6)( συν ) = [( 5+ 6) συν ] =. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ( 5 + 6) συν με πεδίο ορισμού το. Η f είναι συνεχής στο [,3] και παραγωγίσιμη στο (,3) ως γινόμενο συνεχών και παραγωγίσιμη συναρτήσεων. Επίσης ισχύει f() = f(3) =. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,3) με f( ξ ) = οπότε η εξίσωση f () = ( 5) συν = ( 5 + 6) ηµ 5 = ( 5 + 6) εϕ θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,3) (η λύση είναι δεκτή γιατί ξ (,3) και π ξ κπ + ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο πρώτο μέλος. Θεωρούμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f. Αν f( α)f( β ) < τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [ αβ, ]. Αν δεν ισχύει η προηγούμενη περίπτωση, τότε βρίσκουμε μία αρχική συνάρτηση F της f και εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle.

21 Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ + συν = έχει μόνο δύο ρίζες στο [ π, π ]. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ηµ + συν με. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, άρα και στο [ π, π ]. Παρατηρούμε ότι f( π ) = π <, f() = >, f( π ) = π <. Αρχικά παρατηρούμε ότι το π και το π δεν είναι ρίζες της συνάρτησης f, οπότε εφαρμόζοντας το θεώρημα Bolzano σε καθένα από τα διαστήματα [ π, ] και [, π ] στα οποία η f είναι συνεχής έχουμε ότι υπάρχουν ξ ( π,) και ξ (, π ) ώστε f( ξ ) = και f( ξ ) =, δηλαδή η f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδικές. Έστω ότι υπάρχει και τρίτη ρίζα ξ 3, τότε θα ισχύει f( ξ ) = f( ξ ) = f( ξ 3) =. Υποθέτουμε ότι ξ <ξ <ξ 3. (χωρίς βλάβη της γενικότητας) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στα διαστήματα [ ξ, ξ] και [ ξ, ξ 3] διότι οι υποθέσεις του θεωρήματος ισχύουν για την f και f () = ηµ + συν ηµ = συν = συν. ( ) Άρα θα υπάρχουν ρ ξ (, ξ ) και ρ ξ (, ξ 3) έτσι ώστε f( ρ ) = f( ρ ) =, αυτό όμως είναι άτοπο γιατί η εξίσωση f () = ( συν ) = = ή συν = (αδύνατη) έχει μοναδική ρίζα την =. Αποδεικνύουμε με θεώρημα Bolzano ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στο διάστημα των δύο ριζών και αποδεικνύουμε με την «εις άτοπο απαγωγή» ότι δεν έχει άλλη ρίζα.

22 Παράδειγμα 5. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [ αβ, ] η οποία διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ]. Δίνονται επίσης οι μιγαδικοί αριθμοί z f ( )[f ( ) ] i = β α + και z f ( ) i = β. 3 Αν Re(z+ z ) = f ( α ) να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ( αβ, ). ( τρόποι επίλυσης) Παρατηρούμε ότι z z f( ) f ( ) f ( ) i f ( ) i f( ) f ( ) i + = α β β+ + β = α β+. Επειδή 3 Re(z z ) f ( ) + = α, έχουμε 3 f ( α= ) f( α ) f ( β ) f( α ) [f ( α ) f ( β )] =. Αλλά f( α) διότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ]. Α τρόπος Συνεπώς f ( ) f ( ) f( ) f( ) [ αβ, ] θα έχουμε f( α ) = f( β ). α = β α =± β και επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Άρα η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α, β ) έτσι ώστε f ( ξ ) = που είναι και το ζητούμενο. Β τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f () η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle διότι είναι παραγωγίσιμη στο [ αβ, ] (άρα και συνεχής ) και g( α ) = g( β ). Άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α, β ) έτσι ώστε g( ξ ) =, οπότε ( ) f ξ f( ξ) f ( ξ ) = f ( ξ ) = που είναι και το ζητούμενο. Αξιοποιούμε τις συνθήκες που μας δίνουν προκειμένου να βρούμε μία συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle.

23 Παράδειγμα 6. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, δύο φορές παραγωγίσιμη, έτσι ώστε να O,,A, 3,B 3,3 και η συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία ( ) ( ) ( ) g( ) = f( ) +α +β +. αβ ώστε να ισχύει για την συνάρτηση ( ) Θεώρημα του Rolle στα διαστήματα[, ], [, 3 ]. i. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, f ξ = 4. ii. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,3), έτσι ώστε ( ) g το i. Η συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία O(, ),A, ( 3 ),B( 3,3), έτσι θα έχουμε f ( ) =, f ( ) = 3, f ( 3) = 3. Επειδή για την συνάρτηση g( ) = f( ) +α +β + ισχύει το Θεώρημα του Rolle στα διαστήματα[, ], [, 3 ], θα έχουμε g ( ) = g ( ) και g ( ) = g3 ( ) α+β= 3 α+β= 3 α= f( ) + = f( ) +α+β+ = f( 3) + 9α+ 3β+ 9α+ 3β= 3 3α+β= β= 5 ii. Η συνάρτηση g γίνεται g( ) = f ( ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση g( ) στα διαστήματα[ ] [ ] οπότε υπάρχουν (, ), (, 3) τέτοια ώστε να ισχύει g ( ) = g ( ) =. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση g ( ) f ( ) 4 5 [, ] :,,, 3, = + στο διάστημα Η συνάρτηση g ( ) είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο διάστημα [, ] (η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη). ( ) ( ) g = g =. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα,3 g ξ = f ξ 4= f ξ = 4. ξ ( ), έτσι ώστε ( ) ( ) ( ) Όταν ζητείται η απόδειξη μιας σχέσεως που έχει δεύτερη παράγωγο, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle σε κατάλληλη συνάρτηση που έχει την πρώτη παράγωγο. 3

24 Παράδειγμα 7. Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ( π) συν. Να δείξετε ότι: i. Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα π, π. π ii. Η εξίσωση σϕ = π έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, π. i. Η συνάρτηση f( ) = ( π) συν είναι συνεχής στο ως γινόμενο συνεχών π συναρτήσεων, άρα θα είναι και συνεχής στο διάστημα, π. Η συνάρτηση f( ) = ( π) συν είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο παραγωγισίμων π συναρτήσεων, άρα θα είναι και παραγωγίσιμη στο διάστημα, π. π π π f = π συν = και f( π ) = ( π π) συνπ =. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. ii. Αφού η συνάρτηση f( ) = ( π) συν ικανοποίει τις υποθέσεις του Θεωρήματος του π Rolle, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα, π έτσι ώστε f ( ) =. Έχουμε f ( ) = ( π) συν + ( π)( συν ) = συν ( π) ηµ συν ηµ f ( ) = συν ( π) ηµ = συν = ( π) ηµ = ( π) ηµ ηµ π σϕ = ( π ), ( ηµ,, π ). π Άρα η εξίσωση σϕ = π έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, π. Αν ζητείται η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής f( ) =, να έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα Δ, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για μια αρχική της f( ), F ( ) f( ) οποία και μας δίνεται. ( ) =, η 4

25 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (, + ) έτσι ώστε να ισχύει ( ) f( e) = (). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) e ( ) + = (). f f ln έτσι ώστε ο Βήμα: Στην σχέση () βάζουμε όπου το και έχουμε ln ln f ( ) + ln = f ( ) + = f ( ) + = Από τη σχέση () και με βάση την πιο πάνω ισοδυναμία παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα της εξίσωσης ( ) ln f + =. ο Βήμα: Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) = f( ) + με πεδίο ορισμού το D (, ) ln 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την g( ) στο διάστημα [, e ] : ln H g( ) = f( ) + είναι παραγωγίσιμη στο [ ] ln g( ) = f( ) + = f( ) και ( ) ( ) ( ), e, άρα και συνεχής. ( ) ln e g e = f e + = f e + = f e e ( ) g = +. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) έτσι ώστε ( ) ln ln g ( ) f ( ) = + = f ( ) + ( ) ( ) ( ) g =. ln g = f + = f + ln = 5

26 Για να δείξουμε ότι υπάρχει (, ) βήματα: ο Βήμα: Στη σχέση βάζουμε όπου την εξίσωση g( ) =. αβ, ώστε να ισχύει μια σχέση, ακολουθούμε τα εξής και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος έτσι έχουμε ο Βήμα: Βρίσκουμε μια αρχική G( ) της συνάρτησης g (αν δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano). 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την G( ) στο διάστημα [, ] αβ. 6

27 Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, έτσι ώστε f( ) ef( ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) τέτοιο ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) = (). = (). ο Βήμα: Στη σχέση () βάζουμε όπου ξ και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος, έτσι πολ / µε e ( ) f + f = e f + e f = e f =. έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ο Βήμα: Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) e f( ) = με πεδίο ορισμού το D g =. 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την g( ) στο διάστημα [, ]: H g( ) είναι παραγωγίσιμη στο [, ], άρα και συνεχής. g( ) = e f( ) = f( ) και ( ) ( ) ( ) g ef f( ) = =. Επομένως ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) έτσι ώστε g ( ξ ) =. Αλλά ( ) g = e f ( ) + e f( ) ξ ξ g ξ = e f ξ + e f ξ = f ξ + f ξ =. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Το Θεώρημα του Rolle, του Bolzano και των ενδιαμέσων τιμών λύνουν πολλά θεωρητικά προβλήματα σε θέματα ύπαρξης αριθμού έτσι ώστε να ισχύει μια σχέση. Σ αυτή την περίπτωση αρκεί να βρούμε την κατάλληλη συνάρτηση σε κατάλληλο διάστημα. Καταρχήν, αν στα ζητούμενα υπάρχει παράγωγος τον πρώτο λόγο έχει το Θεώρημα Rolle. Τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσουμε είναι: ο Βήμα: Πρώτα στη θέση του ζητούμενου βάζουμε και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος. ο Βήμα: Αν f( ) είναι η συνάρτηση του πρώτου μέλους θεωρούμε την παράγουσα της ( ) τέτοια ώστε F ( ) = f( ), και εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την ( ) διάστημα. Ειδικά στις σχέσεις τις μορφής f ( ) + g( ) f( ) πολλαπλασιάζουμε με G ( ) = g( ), έτσι θα έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ( )) G ( ) G ( ) G ( ) e f e g f e f + =. F, F σε κατάλληλο G ( ) e, όπου Ημερομηνία τροποποίησης: 3/8/ 7

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3) 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

2 1, x < 2. f(x) = 3x + 1, x 2. lim. f(x) = lim. x 2. x 1, x < 1. 3x 2 x > 1

2 1, x < 2. f(x) = 3x + 1, x 2. lim. f(x) = lim. x 2. x 1, x < 1. 3x 2 x > 1 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός οὐκ οἴεται θεοὺς εἶναι ὁ ἄθεος, ὁ δὲ δεισιδαίμων οὐ βούλεται, πιστεύει δ ἄκων φοβεῖται γὰρ ἀπιστεῖν. gkarras@gmail.com 2 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 9/5/ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle

Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle Σελ.414 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ».6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων.344. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό στ. Σωστό ζ. Λάθος η. Σωστό θ. Σωστό ι. Λάθος ια. Σωστό ιβ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 05 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 7 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 66 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α3. α Σ, β Λ, γ Λ, δ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα