ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ"

Transcript

1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ

2 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 7 Μεθοδολογία. Υπολογισμός της Παραγώγου στο... 7 Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων... Μεθοδολογία 3. Παράγωγος και Συνέχεια... 3 Μεθοδολογία 4. Παράγωγος και Όρια... 4 Μεθοδολογία 5. Θεωρητικές Ασκήσεις ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ... ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Μεθοδολογία. Κανόνες παραγώγισης... Μεθοδολογία. Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης... Μεθοδολογία 3. Παράγωγος Ανωτέρας Τάξης... 4 Μεθοδολογία 4. Θεωρητικές Ασκήσεις... 5 Μεθοδολογία 5. Παραγώγιση με Δύο Μεταβλητές... 7 Μεθοδολογία 6. Παράγωγος Αντίστροφης Συνάρτησης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 9 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 3 Μεθοδολογία. Εφαπτόμενη που Διέρχεται από Γνωστό Σημείο... 3 Μεθοδολογία. Εφαπτόμενη παράλληλη στο... 3 Μεθοδολογία 3. Εφαπτόμενη Παράλληλη Ή Κάθετη σε Ευθεία... 3 Μεθοδολογία 4. Εφαπτόμενη που Ταυτίζεται με ευθεία... 3 Μεθοδολογία 5. Εφαπτόμενη Δύο Συναρτήσεων Μεθοδολογία 6. Εφαπτόμενη με Γνωστό λ Μεθοδολογία 7. Θεωρητικές Ασκήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE... 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 4 Μεθοδολογία. Συνθήκες Συμπεράσματα Θεωρήματος Rolle... 4 Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων Μεθοδολογία 3. Ύπαρξη Ρίζας της με Γνωστή Μεθοδολογία 4. Αντιπαραγώγιση Μεθοδολογία 5. Ύπαρξη Ρίζας της, εφαρμογή του Θ. Rolle για F Μεθοδολογία 6. Εύρεση F από τη Σχέση F( a) F( β ) Μεθοδολογία 7. Ύπαρξη Ρίζας της Μεθοδολογία 8. Το Πολύ v Ρίζες Μεθοδολογία 9. Μοναδική Ρίζα με Θ. Bolzano και Θ. Rolle για... 58

3 Μεθοδολογία. Μοναδική Ρίζα με Θ. Rolle Για F και Μεθοδολογία. Ύπαρξη Ρίζας με Άτοπο ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Συνθήκες Συμπεράσματα Θ.Μ.Τ Μεθοδολογία. Ύπαρξη μίας τιμής της Μεθοδολογία 3. Θ. Bolzano ή Ε.Τ. και Θ.Μ.Τ Μεθοδολογία 4. Ρίζα της Μεθοδολογία 5. Θ.Μ.Τ. και Ανισότητες Μεθοδολογία 6. Συνθετικές ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 8 Μεθοδολογία. Σταθερή συνάρτηση Έυρεση του Τύπου της... 8 Μεθοδολογία. Εύρεση με Δοσμένη Ή Μεθοδολογία 3. Εύρεση της με Βοηθητική Συνάρτηση Μεθοδολογία 4. Η Μορφή + g h Μεθοδολογία 5. Σύνθετα Θέματα ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Εύρεση Μονοτονίας Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων... Μεθοδολογία 3. Μονοτονία και Εξισώσεις... Μεθοδολογία 4. Εξισώσεις της Μορφής κ α + λ β µ γ... 5 Μεθοδολογία 5. Εύρεση Προσήμου της... 7 Μεθοδολογία 6. Μονοτονία και Ανισότητες... Μεθοδολογία 7. Θεωρητικές Ασκήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 9 Μεθοδολογία. Θεώρημα Fermat Κρίσιμα Σημεία... 9 Μεθοδολογία. Ανισοϊσότητα Fermat Ισότητα... Μεθοδολογία 3. Η δεν έχει Ακρότατα... 4 Μεθοδολογία 4. Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων... 4 Μεθοδολογία 5. Ακρότατα και Ρίζες Πρόσημο... 7 Μεθοδολογία 6. Σύνολο Τιμών Πλήθος Ριζών Συνάρτησης... 3 Μεθοδολογία 7. Ύπαρξη Ακροτάτου Μεθοδολογία 8. Θεωρητικές ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ... 4 Σελίδα 3

4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Μελέτη ως προς τα Κοίλα Μεθοδολογία. Εύρεση των Σημείων Καμπής Μεθοδολογία 3. Κοίλα Σημεία Καμπής Παράμετροι... 5 Μεθοδολογία 4. Κυρτότητα και Απόδειξη Ανισοτήτων... 5 Μεθοδολογία 5. Θεωρητικές Ασκήσεις ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 6 Μεθοδολογία. Κατακόρυφες Οριζόντιες Ασύπτωτες... 6 Μεθοδολογία. Πλάγιες Ασύμπτωτες... 6 Μεθοδολογία 3. Ασύμπτωτες Όρια - Παράμετροι ΚΑΝΟΝΑΣ De L Hospital ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Μορφή Μεθοδολογία. Μορφή Μεθοδολογία 3. Άλλες Απροσδιόριστες Μορφές... 66

5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Έστω μια συνάρτηση και A (, ( )) ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το ( lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με ( ). Δηλαδή: ( ) ( ) lim. Άλλοι τύποι υπολογισμού της παραγώγου. ( + h) ( ) ( ) lim. h h ( h) ( ) lim h h ) Παράγωγος και Πλευρικά όρια Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο τα όρια ( ) ( ) lim, lim + και είναι ίσα Εξίσωση Εφαπτόμενης y Κατακόρυφες Εφαπτόμενες Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες: Σελίδα 5

6 ( ) α) lim + β) ( ) ( ) lim + (ή ) και ( ) lim ( + ), γ) ( ) ( ) lim και ( ) ( lim ) +, + τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο A (, ( )) την κατακόρυφη ευθεία. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Σχόλιο: Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο.

7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΤΟ Α. Η παράγωγος μίας συνάρτησης σε ένα σημείο D βρίσκεται με χρήση ενός από τους παρακάτω τύπους: ( ) ( ) lim () ( + h) ( ) lim h h () ( h) lim, h ( h) (3) Τονίζουμε ότι για να είναι η παραγωγίσιμη στο πρέπει τα παραπάνω όρια να είναι πραγματικοί αριθμοί. Β. Αν η αλλάζει τύπο στο, τότε εργαζόμαστε με τα πλευρικά όρια. Γ. Σε υπολογιστικά θέματα προτιμάμε τον τύπο (), ενώ σε θεωρητικά τους τύπους () και (3), ανάλογα με τη μορφή της άσκησης. Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο όταν: συν, Θα εργαστούμε με τον ορισμό της παραγώγου, δηλαδή με τον τύπο () στο σημείο Έχουμε ότι: ( ) συν συν συν ηµ lim lim lim lim ηµ ηµ lim ηµ lim( ηµ ) lim Άρα lim Παράδειγμα. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο όταν , + 3, > Θα εργαστούμε με την χρήση των πλευρικών ορίων, δηλαδή: Σελίδα 7

8 ( ) ( ) ( ) lim lim + Έχουμε ότι: (Για την εύρεση του ( ) που περιέχει την ισότητα). επιλέγουμε τον κλάδο της συνάρτησης ( ) ( )( 3 ) lim lim lim lim ( ) + 34 ( + 3 ) ( + 3 )( + 3+ ) ( )( + 3+ ) lim lim lim lim ( + 34) ( ) lim lim lim ( )( 3 ) + + lim lim ( + ) + 3+ Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα: ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) + Παράδειγμα 3. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο όταν +, Παρατηρούμε ότι για η απόλυτη τιμή που βρίσκεται μέσα στην συνάρτηση μηδενίζεται. Άρα θα εργαστούμε με την χρήση των πλευρικών ορίων για την εύρεση της παραγώγου στο ζητούμενο σημείο. Έχουμε ότι: 3 3, > +, Για ( ) lim lim lim ( ) lim lim lim + Παρατηρούμε ότι lim lim + Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο

9 Παράδειγμα 4. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο και για κάθε ισχύει: ηµ ηµ +, να αποδείξετε ότι: α) β) d d α) Από υπόθεση έχουμε ότι η είναι συνεχής στο δηλαδή ισχύει ότι: lim lim lim + Αρχικά πρέπει να διαιρέσουμε τα μέλη της δοσμένης σχέσης με Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν > τότε ηµ ηµ + ηµ ηµ ηµ + ηµ + Έχουμε ότι: lim ηµ + ηµ lim ηµ + + lim + Άρα από κριτήριο παρεμβολής Αν < τότε + ηµ ηµ + ηµ ηµ ηµ + ηµ + Έχουμε ότι: lim ηµ ηµ lim ηµ + + lim Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim Επομένως d β) Από την θεωρεία έχουμε ότι d Ισχύει επίσης ότι: lim lim Διαιρούμε την δοσμένη σχέση με επομένως έχουμε ότι: ηµ ηµ + ηµ ηµ ηµ ηµ + + ηµ lim ηµ lim + + Σελίδα 9

10 Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim. Παράδειγμα 5. Αν παραγωγίσιμη στο και ηµ + 4 για κάθε, να αποδείξετε ότι η είναι Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε άρα θα ισχύει και για. Έχουμε διαδοχικά ότι: ηµ ηµ Αναζητούμε το lim lim Μετασχηματίζουμε την δοσμένη σχέση: ( 4 ) ηµ 4 ηµ ηµ 4 4 ηµ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν > τότε: ( + 4) ( 4 ) ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ + 4 ηµ + + Έχουμε ότι: ηµ lim lim ηµ lim ηµ ( 4 ) ( ) ηµ lim ( + 4 )( + 4+ ) ( + 4+ ) ( + 4+ ) + 4 ηµ lim lim ηµ lim ηµ ηµ lim Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim + Αν < τότε:

11 ( + 4) 4 ( 4 ) ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ + ηµ + + Έχουμε ότι: ηµ lim lim ηµ lim ηµ ( 4 ) ( ) ηµ lim ( + 4 )( + 4+ ) ( + 4+ ) ( + 4+ ) + 4 ηµ lim lim ηµ lim ηµ ηµ lim Άρα από κριτήριο παρεμβολής lim () Από τιε σχέσεις () και () έχουμε ότι: lim lim + Παράδειγμα 6. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και ισχύει ( ) g( ) και + g + για κάθε, να δείξετε ότι g ( ) + ( ) Από υπόθεση έχουμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο δηλαδή τα όρια ( ) ( ) g g( ) g g( ) lim lim ( ) και lim lim g ( ) υπάρχουν. + + Η δοσμένη σχέση γράφεται διαδοχικά: g ( ) + ( )( + ) ( ) g g g g g Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν > τότε: ( ) ( )( + ) ( ) g g ( ) + ( )( + ) g g( ) + ( ) g g( ) + + ( ) g g( ) lim + lim ( + ) lim ( ) + g ( ) Άρα () Αν < τότε: Σελίδα

12 ( ) ( )( + ) ( ) g g ( ) + ( )( + ) g g( ) + ( ) g g( ) + + ( ) g g( ) lim + lim ( + ) lim ( ) + g ( ) Άρα () Από τις () και () έχουμε ότι: ( ) + g ( ) Σημείωση: Θυμίζουμε ότι οποτεδήποτε καλούμαστε να διαιρέσουμε μία ανίσωση με μία παράσταση του, δηλαδή με h( ), πρέπει να γνωρίζουμε το πρόσημό της. Ένα δεν το γνωρίζουμε τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: h > και h( ) < ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Έστω μία συνάρτηση που περιέχει παραμέτρους και αλλάζει τύπο, κλαδική συνάρτηση, τουλάχιστον σε ένα σημείο. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τις τιμές των παραμέτρων ώστε η να παραγωγίζεται στο τότε: Απαιτούμε η να είναι συνεχής στο δηλαδή lim lim ( ) Απαιτούμε + + lim lim Οι παραπάνω σχέσεις μας οδηγούν σε σύστημα, του οποίου η λύση μας δίνει τις ζητούμενες παραμέτρους. Παράδειγμα 7. Αν είναι παραγωγίσιμη στο. ( ) a+ ηµ, να βρείτε τι τιμές των α, β για τις οποίες η β + + 4, > Θέλουμε να δείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο. Από την θεωρεία γνωρίζουμε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο τότε η θα είναι συνεχής στο. Άρα θα ισχύει ότι: lim lim + Έχουμε ότι: a+ ηµ a lim lim ( ηµ ) a+ a ( β ) lim lim Άρα a Για να είναι η παραγωγίσιμη στο θα πρέπει να ισχύει ότι:

13 lim lim + Έχουμε ότι: + ηµ ηµ lim lim lim () β+ + 4 β + 4 lim lim lim ( + 4 )( + 4+ ) lim β ( + 4+ ) ( + 4+ ) lim β lim β β Από τις () και () έχουμε ότι: β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Έχουμε ότι αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο τότε θα ισχύει ότι: lim ( ) Προσοχή!!! Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο τότε δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη στο Ενώ αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο τότε η είναι συνεχής στο Παράδειγμα 8. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g + 3 είναι παραγωγίσιμη στο. Έχουμε ότι η είναι συνεχής στο δηλαδή lim ( ) Για έχουμε ότι: g + 3 Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο: ( ) ( 3 ) ( 3 )( 3 g g ) g ( ) lim lim lim ( ) ( )( + 3+ ) ( )( + ) + lim ( ) lim ( ) lim ( )( + 3+ ) ( )( + 3+ ) + 3+ ( ) Άρα η g είναι παραγωγίσιμη στο και g ( ) Σελίδα 3

14 Παράδειγμα 9. 4 Αν η είναι συνεχής στο και + ηµ lim 5 να αποδείξετε ότι: Έχουμε ότι η είναι συνεχής στο δηλαδή ισχύει ότι: lim Για να υπολογίσουμε το όριο lim + ηµ g g ηµ και g lim lim g ηµ θεωρούμε συνάρτηση Θέλουμε να δείξουμε ότι: 3 lim 5 g lim lim lim ηµ lim g ηµ 5 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΌΡΙΑ Οι μέθοδοι που εφαρμόζουμε σε αυτό το είδος των ασκήσεων είναι όμοιες με αυτές που αναφέραμε στον υπολογισμό του ορίου με βοηθητική συνάρτηση. Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση με 4 α) lim + + β) lim + 3. Να βρείτε τα όρια: α) Από υπόθεση έχουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: ( ) ( ) lim lim Προσπαθούμε μέσα στο ζητούμενο όριο να εμφανίσουμε την προαναφερθείσα παράσταση. Έχουμε διαδοχικά: 4 ( ) ( + ) ( ) ( + ) lim lim lim lim lim β) Έχουμε ότι: + lim lim lim ( ) ( )( + 3+ ) ( )( + 3+ ) lim + lim ( + 3 )( + 3+ ) ( + 3 )( + 3+ )

15 ( )( + 3+ ) ( )( + 3+ ) lim + ( ) lim ( + 3+ ) Παράδειγμα. 4 lim Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο να υπολογίσετε το: Έχουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: lim Έχουμε ότι: ( ) + ( )( + ) lim lim lim 4( ) ( )( + ) 4( ) ( )( + ) lim + lim lim 4 ( + ) 4 lim lim( + ) 4 Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση : δείξετε ότι lim + με. Αν η είναι παραγωγίσιμη, να Έχουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: lim lim Θέτουμε y y για + ισχύει ότι y άρα το δοσμένο όριο γράφεται: ( y) lim lim ( y) lim + y y y y ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Υπενθυμίζουμε ότι η παράγωγος της στο βρίσκεται από τις σχέσεις: ( ) ( ) lim Σελίδα 5

16 ( + ) ( ) lim και ( ) h h h ( h) lim h h όπου Με τους παραπάνω τύπους αντιμετωπίζονται όλα ορισμό της παραγώγου. ( + λ ) h lim λ h λh τα θεωρητικά θέματα που στηρίζονται στον Παράδειγμα 3. g Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και ισχύει ότι + g. + για κάθε, να δείξετε ότι: Έχουμε ότι η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε άρα θα ισχύει και για. + + και g g g Οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο δηλαδή ισχύει ότι: g g g lim lim και g lim lim Η δοσμένη για γράφεται: g g + g + + g g lim + lim lim + lim + g Παράδειγμα 4. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ( ) και ότι η είναι παραγωγίσιμη στο. ( + h) lim 5, να αποδείξετε ότι h h Η συνάρτηση είναι συνεχής στο άρα ισχύει ότι: ( ) lim Θέτουμε h+ h για h τότε. Άρα το δοσμένο όριο γράφεται: ( + h) lim 5 lim 5 h h Θεωρούμε συνάρτηση g g( ) και lim g 5 Έχουμε ότι: lim lim g Ισχύει ακόμη ότι: ( ) ( ) lim lim 5 ( ) 5 5 Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα έχουμε ότι

17 Παράδειγμα 5. Έστω η συνάρτηση : g ( ), 3 5, > είναι παραγωγίσιμη στο. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: ( ) ( ) ( ) lim lim με ( ). Να δείξετε ότι η συνάρτηση Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής στο δηλαδή ( ) lim Θέλουμε η g να είναι παραγωγίσιμη στο. Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια: g Έχουμε ότι Αν < g g ( ) ( ) lim lim () Θέτουμε y y+ για ισχύει ότι: y. Άρα η () γράφεται: ( ) ( ) y y ( ) lim lim ( ) y y+ y y Αν > g g ( 35) ( ) lim lim () + + y + 5 Θέτουμε y 35 για ισχύει ότι: y. Άρα η () γράφεται: 3 ( y) ( ) ( y) ( ) lim lim 3 3 ( ) y y + 5 y y 3 g g g g Άρα lim lim g + Παράδειγμα 6. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε y, ισχύει ( + y) + ( y) + 5y, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο. Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε y, άρα θα ισχύει και για y y + y + y + 5y Από υπόθεση έχουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: lim lim Για τον υπολογισμό της παραγώγου στο τυχαίο θα κάνουμε χρήση του προσθετικού τύπο. ( + h) + ( h) + 5h ( h) + 5h ( ) lim lim lim h h h h h h Σελίδα 7

18 5h ( h) h h h h lim lim 5 5 h h Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα + 5 Παράδειγμα 7. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε y, (, ) ( y) + ( y), να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο >. Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε, (, ) y y + άρα θα ισχύει και για y + ισχύει y + y + Η είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή ισχύει ότι: ( ) ( ) lim lim Για να δείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο (, + ) θα κάνουμε χρήση του πολλαπλασιαστικού τύπου υπολογισμού της παραγώγου. ( h) + ( h) ( h) ( h) ( ) ( ) lim lim lim lim h h h h h h h ( h) ( ) Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο > και μάλιστα ισχύει ότι ( )

19 Ορισμός: 3. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A. Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( α, ). β Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β) και επιπλέον ισχύει lim + α ( α) α και lim β ( β ). β Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος cc,,,, > v v, v > ηµ συν π συν ηµ εϕ, π + k σϕ, kπ e a, συν ( ), ηµ e a a ln ln, > ln, ( ), > ( ), π + εϕ, kπ + ή σϕ, kπ ή Σελίδα 9

20 Παράγωγος Αθροίσματος 3.3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αν οι συναρτήσεις και ισχύει:, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση ( + g) ( ) ( ) + g ( ) + g είναι παραγωγίσιμη στο Παράγωγος Γινομένου Αν οι συναρτήσεις στο και ισχύει:, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση ( g) ( ) ( ) g( ) + ( ) g ( ) g είναι παραγωγίσιμη Παράγωγος Πηλίκου Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και g ( ), τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( ) g( ) ( ) g ( ) ( ) g [ g( )] Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g ( ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g) ( ) ( g( )) g Παράγωγος Σύνθετων Συναρτήσεων ( a ) a ( ( ) ( συν ) ηµ ( σϕ ) ηµ ( εϕ ( ) ) ( ( α ) α ) ln a ( ln ), v v ( ) v ( ηµ ) συν συν e e ( ) ln, >

21 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. Για να παραγωγίσουμε μία συνάρτηση παραγώγισης που μόλις αναφέραμε. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ χρησιμοποιούμε τους πίνακες και τους κανόνες v a Ενδιαφέρον παρουσιάζει η παράγωγος μίας συνάρτησης της μορφής με > a a av v a a a a v a v Έχουμε ότι: v v v ( ) v v v Προσοχή!!! Για να παραγωγίσουμε μία συνάρτηση πρέπει πρώτα να βρούμε το πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων 3 α) a + β β) ln 3 ln γ) ηµ ln δ) + α) Η συνάρτηση είναι πολυωνυμική με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική. Έχουμε ότι: a β ( a) ( β) ( ) ( ) a a a 3 β) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Για να παραγωγίσουμε την συνάρτηση θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του γινομένου. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο D (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο D (, + ). Ισχύει ότι: ( ln ) ln + ( ln ) ln + ln + με (, + ) γ) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Για να παραγωγίσουμε την συνάρτηση θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του γινομένου. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο D (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και D, +. παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο + + ( ηµ ln ) ( ) ηµ ln ( ηµ ) ln ηµ ( ln ) ηµ ln + συν ln + ηµ ηµ ln + συν ln + ηµ Σελίδα

22 δ) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Για να παραγωγίσουμε την συνάρτηση θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του γινομένου και τον κανόνα του πηλίκου. D, + ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο D (, + ). ln ( + ) ( ln ) ( ) ( ln )( ) ( ) ln + ( ln ) ( + ) ( ln ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) ln + ( + ) ( ln )( + ) ln + + ln + + ln ln Άρα ln ln ( + ) ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. Για να βρούμε την παράγωγο μίας σύνθετης συνάρτησης θα κάνουμε χρήση του πίνακα των σύνθετων συναρτήσεων που αναφέραμε στην θεωρεία. g Β. Για να βρούμε την παράγωγο μίας συνάρτησης της μορφής h g ln στην μορφή h e την μετατρέπουμε και στην συνέχεια την παραγωγίζουμε κανονικά με την χρήση των σύνθετων συναρτήσεων. Η εύρεση του πεδίου ορισμού προκύπτει από τον προηγούμενο τύπο. Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) ( 5 + ) 3 β) 4 + ln + συν e ln + e + δ) ( + ) ε) ln γ) α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική συνάρτηση. Ισχύει ότι: ( 5 + )

23 β) Για να ορίζεται η πρέπει > και + ln ln που ισχύει. Άρα D (, + ) Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ) Ισχύει ότι: + ln ln ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ) ( ln ) ln ln 4 4 ( + ln ) ln ( ln ) ( + ln ) 4 ( + ln ) γ) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Ισχύει ότι: συν + e συν + e ηµ + e + ηµ + e ( ) δ) Θέλουμε + > > που ισχύει για κάθε. Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Ισχύει ότι: ( ) (( ) ) ( ) ( ) + ln + ln + ln + ln + ln ln ( + ) ln ( + ) + + ε) Για να ορίζεται η θέλουμε > και e + > που ισχύει. Άρα D (, + ) Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ). Ισχύει ότι: ln ln ln( e ) + e e + ( ) ln ln( + e ) ln ln( + e ) ln ln( + e ) e e ( ln ln ( + e )) e ( ln ) ln ( + e ) + ln ( ln ( + e )) ln ln( ) ( ) ln ln( ) ln ( + e + e e e ) ln ln ln ( e + + e + ) ln e e ln ( + e ) + ln e + ( + e ) + + e + e + e 5 Σελίδα 3

24 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΗΣ Έστω μία συνάρτηση : A. Τότε: Ορίζεται η : A όπου A A, ως συνάρτηση που αντιστοιχίζει το στο Ορίζεται η : A όπου A A, με ( ( )) ( v Ορίζεται γενικά η ν-οστή παράγωγος ) : Av, όπου Av Av A από την σχέση: ( v ) ( v ( ) ) και v 3 Τονίζουμε ότι το πεδίο ορισμού της παραγώγου μίας συνάρτησης είναι γενικά υποσύνολο του και όχι υποχρεωτικά το ίδιο, κάτι που συμβαίνει για παράδειγμα στις πολυωνυμικές συναρτήσεις αλλά όχι μόνο σε αυτές. Παράδειγμα 3. Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης + ln + ηµ ( π ) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο D (, ) συναρτήσεων στο D (, + ). Έχουμε ότι: D + ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων ( ln ηµ π ) ( ln ) ( ηµ ( π ) ) π συν ( π ) π συν ( π ) D, + ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων στο D (, + ). Έχουμε ότι: π συν ( π ) ( π συν ( π ) ) π ηµ ( π ) π ηµ ( π ) Παράδειγμα 4. Να βρείτε πολυώνυμο P( ) τέτοιο, ώστε: P P, α) β) να έχει βαθμό * v και να ισχύει P P P για κάθε με α) Από την θεωρία έχουμε ότι εάν ένα πολυώνυμο P είναι βαθμού ν τότε το πολυώνυμο P θα είναι βαθμού ν. Άρα αφού το δεύτερο μέλος είναι βαθμού θα πρέπει και το πρώτο μέλος να είναι βαθμού, δηλαδή ο βαθμός του P είναι. Ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού είναι της μορφής P a + β + γ

25 Και P a + β Έχουμε ότι: P P a + β + γ a β a + β a + γ β a α β α β γ β γ P + Άρα β) Έχουμε ότι βαθμός: P ( v) και βαθμός P ( v ) v v v v Άρα P a + β + γ και P a + β Από υπόθεση P( ) a+ β + γ () v θέλουμε να ισχύει ότι: Ισχύει ακόμη ότι: P P ( a + β) a + β + γ 4a + 4aβ + β a + β + γ 4a a α( 4α ) 4aβ β β( 4α ) β γ β γ Αν α τότε βγ δηλαδή το P( ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Αν a τότε: 4 a α α α γ β γ β γ 4 β γ β + β + β + α + β + γ 4 β Άρα P( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ + + Παράδειγμα 5. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει για κάθε, να αποδείξετε ότι ( ). Για η δοσμένη σχέση γράφεται 3 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Η δοσμένη σχέση γράφεται: ή + αδύνατη. 3 Σελίδα 5

26 Για έχουμε ότι: + ( + ) ( )( + ) + () Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα και συνεχής στο, δηλαδή ισχύει ότι: lim ( ) Η () γράφεται διαδοχικά: + + lim lim ( ) ( ) + + Παράδειγμα 6. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ( ) + ηµ για κάθε. Να βρείτε την 3 Για η δοσμένη σχέση γράφεται: 3 3 για την οποία ισχύει. ηµ ηµ + + Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της άρα μπορούμε να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης. Έχουμε διαδοχικά ότι: ηµ + ηµ 3 ( ) συν ( ) συν 3 + συν 3 + συν 3 ( ) + ( ) ( ) + συν Για η προηγούμενη σχέση γράφεται: + + συν 3 συν Παράδειγμα 7. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :. Να δείξετε ότι: α) Αν η είναι άρτια, τότε η είναι περιττή. β) Αν η είναι περιττή, τότε η είναι άρτια. α) Έχουμε ότι η είναι άρτια άρα για κάθε θα ισχύει ότι: ( ) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης έχουμε ότι:

27 ( ) ( ) Άρα η είναι περιττή. β) Έχουμε ότι η είναι περιττή άρα για κάθε θα ισχύει ότι: ( ) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης έχουμε ότι: Άρα η είναι άρτια. Σημείωση: Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως θεωρεία αρκεί πρώτα να αποδειχθεί. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Αν μία ισότητα με παραγωγίσιμες συναρτήσεις περιέχει δύο μεταβλητές, για παράδειγμα και y, τότε μπορούμε: Να θεωρήσουμε το y σταθερό και να παραγωγίσουμε θεωρώντας ως μεταβλητή το, Να θεωρήσουμε το σταθερό και να παραγωγίσουμε θεωρώντας ως μεταβλητή το y. Παράδειγμα 8. Αν η συνάρτηση :, είναι παραγωγίσιμη και ισχύει y ( + y) e + e ( y) + a για κάθε y, Να αποδείξετε ότι: α) a + e για κάθε β) α) Για y η δοσμένη σχέση γράφεται: y y ( ) + y e + e y + a + e + e + a + a a Για y έχουμε ότι: y a y + y e + e y + a + e + e + a + e e Η προηγούμενη σχέση θέλουμε να ισχύει για κάθε, δηλαδή β) Θεωρώντας το ως σταθερό παραγωγίζουμε την δοσμένη σχέση ως προς y. y y + y e + e y + a + y e + e y + a ( y ) ( ) ( y) ( ) ( ) + y + y e + e y + a + y e + e y ( y) y e e ( y) y έχουμε ότι: + e + + Για Σελίδα 7

28 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ για την οποία ορίζεται η : Ισχύει τότε ότι η είναι επίσης παραγωγίσιμη συνάρτηση σε κάθε σημείο προϋπόθεση ότι ( ( )). Η παράγωγος της προκύπτει ως εξής: Επειδή για κάθε ( ), παραγωγίζοντας παίρνουμε: ( ) ( )( ) ( ) y και ( ), τότε: ( ) ( y ) Η σχέση () εξασφαλίζει ότι αν ( ). με την Παράδειγμα 9. Έστω ότι η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη και ορίζεται η στο. Αν + και η είναι παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε. Επειδή ορίζεται η :, θα ισχύει ότι ( ), οπότε : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) + Από την () έχουμε ότι η ( ) ( ) (( ) + ) + ( ) είναι παραγωγίσιμη στο, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Άρα: ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( )

29 Εξίσωση Εφαπτόμενης y 3.4 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης δίνει τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της Για την εύρεση της γωνίας που σχηματίζει η γραφική παράσταση της αρκεί να λύσουμε την εϕω εξίσωση Κατακόρυφες Εφαπτόμενες Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες: α) ( ) ( ) lim + (ή ) β) ( ) ( ) lim + και ) ( lim ), + γ) ( ) ( ) lim και ) ( lim ) +, + τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο A (, ( )) την κατακόρυφη ευθεία. Σελίδα 9

30 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο Α( Α, y Α) και μας ζητείται να βρούμε την εφαπτόμενη που διέρχεται από αυτό το σημείο. Αρχικά ελέγχουμε αν το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Δηλαδή αν ( Α)y Α. Αν ανήκει τότε η εφαπτόμενη είναι της μορφής y ( A ) ( A ) ( A ) Αν δεν ανήκει στης γραφική παράσταση της τότε εργαζόμαστε ως έξεις. Εξετάζουμε αν η εξίσωση A είναι εφαπτόμενη της C. Θεωρούμε τυχαίο σημείο της C M(, y ). Η εφαπτόμενη στο τυχαίο σημείο είναι (ε): y ( ) ( ) ( ) Θέλουμε το σημείο Α( Α, y Α) να ανήκει στην ευθεία (ε). Δηλαδή y A ( ) ( )( A ) () Λύνουμε την εξίσωση () ως προς. Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση () 3+5. Να βρείτε το έτσι ώστε η εφαπτόμενη διέρχεται από το σημείο Α(,). Έχουμε ότι () Άρα το σημείο Α(,) δεν ανήκει στην γραφική παράσταση της C. Έστω τυχαίο σημείο M(, y ) της γραφικής παράστασης της. Η εφαπτόμενη στο Μ είναι η (ε): y ( ) ( ) ( ) Θέλουμε το σημείο Α(,) να ανήκει στην εφαπτόμενη δηλαδή: Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση από οποιοδήποτε σημείο της ευθείας Η είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική για κάθε 8 Έστω τυχαίο σημείο M (, y ) της ευθείας M κ, Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες που άγονται η : y είναι κάθετες. 6 η : y. Άρα θα ισχύει ότι y και 6 6 κ

31 Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της. A, τυχαίο σημείο της γραφικής παράστασης της. ( ) Έστω Η εφαπτόμενη της C στο σημείο (, ( ) ) ( ε ) A είναι της μορφής : y y 4 8 y 8 4 Θέλουμε το σημείο Μ αν ανήκει στην ευθεία (ε) δηλαδή 8 κ 4 4 8κ () 6 6 Λύνουμε την σχέση () ως προς Έχουμε ότι 8κ κ + 6 Άρα, 8κ + 64κ + και 8, 8 64 κ κ + 8 Για να είναι κάθετες οι εφαπτόμενες θέλουμε Ισχύει ότι,, 8κ 64κ + 8κ + 64κ + (, ) (, ) 8 8 ( 8κ 64κ )( 8κ 64κ ) κ 64κ + 64κ 64κ Άρα οι εφαπτόμενες που άγονται από οποιοδήποτε σημείο της ευθείας η : y είναι κάθετες. 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΤΟ Έστω μια συνάρτηση. Θέλουμε να βρούμε την εφαπτόμενη της που είναι παράλληλη στον άξονα. Τότε αρκεί να λύσουμε της εξίσωσης και να υπολογίσουμε το. y Η εξίσωση της εφαπτόμενης θα είναι της μορφής Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνάρτηση ln με (,+ ). Να βρείτε την εφαπτόμενη που είναι παράλληλη στον άξονα. Η παραγωγός της είναι η ( ln ) ln + Για να βρούμε την εφαπτόμενη που είναι παράλληλη στον άξονα αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ln ln + ln e Έχουμε: y Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η e e y e e ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ Ή ΚΑΘΕΤΗ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ Έστω μια συνάρτηση και μια ευθεία (ε):yα +β. Σελίδα 3

32 Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που είναι παράλληλη στην ευθεία (ε). Τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση όπου α ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε). α Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που είναι κάθετη στην ευθεία (ε). Τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση α όπου α ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε). Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση () 4 +3 Να βρείτε: α) την () β)την εξίσωση της εφαπτόμενης i) Που είναι παράλληλη στην ευθεία y6+5 ii)που είναι κάθετη στην ευθεία y 3 α) Έχουμε ( 4 + 3) 4 β) Για να είναι η εφαπτόμενη της C IF παράλληλη στην ευθεία y6+5 θέλουμε ισχύει ακόμη ( 5) Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η y ( 5) ( 5)( 5) y 8 6( 5) y 6 Για να είναι η εφαπτόμενη της C κάθετη στην ευθεία y 3 θέλουμε ( ) ( ) 4 Ισχύει ακόμη ( ) ( ) 4( ) Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η y + y 8 + y + 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΟΥ ΤΑΥΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΕΥΘΕΙΑ Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση και θέλουμε να βρούμε την εφαπτόμενη της C που ταυτίζεται με την ευθεία yα +β τότε αρκεί να λύσουμε το σύστημα ( ) α ή β ( ) a a + β + α + + Να βρείτε : α) την () β) το συντελεστή διευθύνσεις της εφαπτόμενης της καμπύλης στο σημείο της Α(, ()) γ) τους α, β αν η ευθεία y+ είναι η εφαπτόμενη της καμπύλης της στο σημείο Α. 3 Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση β 3 α) Έχουμε ( + α + + β) 3 + α + β) Ο συντελεστής διευθύνσεις της εφαπτόμενης της καμπύλης της στο σημείο Α είναι ο

33 ( ) 4 + α λ 3 γ) Έχουμε ότι ( ) + α + + β + α + β Για να είναι η ευθεία y+ εφαπτόμενη της καμπύλης της στο σημείο Α θέλουμε: ( ) α + 4 α + α + β α 4 β 6 3 Άρα η συνάρτηση έχει τύπο Παράδειγμα 6. Δίνεται η συνάρτηση a : y C. ε να είναι εφαπτόμενη της, a >. Να βρείτε το α ώστε η ευθεία Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Έχουμε ότι a ln a ( ) Έστω τυχαίο σημείο, Για να είναι η ευθεία : y M της γραφικής παράστασης της. ε εφαπτόμενη της a σύστημα έχει λύση. a + β ( ) C στο σημείο, M πρέπει και αρκεί το a ln a ln a ln a a e e e e a a eln a ln e a a e a e e ln a e e a e Άρα a e e ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Δίνονται δυο συναρτήσεις () και g(). Θέλουμε να βρούμε την κοινή εφαπτόμενη τους. Έστω ότι η εφαπτόμενη τέμνει την C στο σημείο Α(α, (α)) και την C g στο σημείο B(β, g(β)). Τότε αρκεί να λύσουμε το σύστημα α g β ( α) α ( α) g( β) β g ( β) Για να βρούμε την εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο Α(α, β) αρκεί να λύσουμε το σύστημα : ( α) g ( α) ( α) α ( α) g( α) α g ( α) Το κοινό σημείο Α(α, β) είναι λύση της εξίσωσης ()g(). Παράδειγμα 7. συναρτήσεων και Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των g Σελίδα 33

34 Έχουμε: και g Οι εξισώσεις των εφαπτόμενων των C και C g στα σημεία Α(α, (α)) και B(β, g(β)) αντίστοιχα είναι: ε : y α α α ( ) ( ε ): y g( β) g ( β)( β) α g β Για να έχουμε κοινή εφαπτόμενη θέλουμε το σύστημα να έχει λύση. ( α) α ( α) g( β) β g ( β) Δηλαδή: α α α α α β β β β 3 β α α α β α β 4 β β β 4β β 8 Άρα η κοινή εφαπτόμενη μπορεί να βρεθεί από την αντικατάσταση του α ή του β σε μια από της εξισώσεις () και () Έχουμε λοιπόν: y y 4 4 y Παράδειγμα 8. Δίνονται οι συναρτήσεις και g. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων στα κοινά τους σημεία, αν υπάρχουν. Έστω M(, y) κοινό σημείο των C και C g. Τότε y και y. Έχουμε την εξίσωση: () 3 Παρατηρούμε ότι η εξίσωση () έχει ρίζα για δηλαδή Για λύσουμε την εξίσωση () κάνουμε Horner για Άρα η () γράφετε: ( )( 3 ) ( )( ) + ή Επομένως Μ (,) και M, 4 3 Έχουμε 6 5 και ( ) ( ) g Επειδή και g 9 δεν υπάρχει κοινή εφαπτόμενη των C και C g.στο σημείο M, 4 3

35 Επειδή g οι C και C g. έχουν κοινή εφαπτόμενη στο σημείο Μ (,) με εξίσωση: y y ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ Λ Δίνεται μια συνάρτηση. Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την εφαπτόμενη της καμπύλης της που έχει κλίση ένα αριθμό λ. Τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση λ και να βρούμε το. Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την εφαπτόμενη της καμπύλης της συνάρτησης που σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω. Τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση εφω και να βρούμε το ζητούμενο. Παράδειγμα 9. Δίνεται η συνάρτηση. Να βρείτε: α) την () β) την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45. γ) την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που έχει κλίση ίση με 4. α) Έχουμε: + β) Θέλουμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 Δηλαδή αρκεί να λύσουμε την εξίσωση 45 ± εφ Η ζητούμενες εξισώσεις θα είναι οι: Για έχουμε: y y y : ε Για έχουμε: 3 y y y : ε γ) Θέλουμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C που έχει κλίση ίση με 4. Δηλαδή αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ± Η ζητούμενες εξισώσεις θα είναι οι: Για έχουμε: 4 y 4 y y : 3 ε Για έχουμε: 4 y 4 3 y y : ε Σελίδα 35

36 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: C. με > για την οποία για κάθε. Να δείξετε ότι η ευθεία : y 4 Έχουμε ότι η δοσμένη σχέση 4 Αρχικά πρέπει να βρούμε τον τύπο της. Έχουμε ότι: 4( + ) ± + 4 ισχύει για κάθε. Επειδή η είναι συνεχής στο έχουμε ότι + ή Από υπόθεση έχουμε ότι >. Άρα ε + εφάπτεται στην + + για κάθε Η είναι παραγωγίσιμη στο ( + ) ( + ) + + Για να είναι η ευθεία (ε) εφαπτόμενη της C έχουμε ότι: ± Για η σχέση () γράφεται ( ) + + αληθές Για ( ) ( ) + ( ) + άτοπο Άρα Για η (ε) εφάπτεται στην C Παράδειγμα. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση g : με g για g κάθε και η συνάρτηση g,. Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με το άξονα, η εφαπτόμενη της C στο σημείο που τέμνει η C τον άξονα.

37 Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο. Έχουμε ότι: g ( g ) g g g ( g ) Έστω ότι η το σημείο τομής της C με τον άξονα είναι το ( ) ( ) g ( ) g A(,) A C ( ) g( ) g η ( ) ( ) Για γράφεται διαδοχικά: ( ) g g g g g g Για να βρούμε την γωνία που σχηματίζει η με το άξονα, η εφαπτόμενη της C στο σημείο A (, ) αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: π ( ) εϕωˆ εϕωˆ ˆ ω 4 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση : (, ) κάθε >. Να βρείτε την εφαπτόμενη της C στο. Αρχικά θα βρούμε τον τύπο της. Θέτουμε > Άρα η γράφεται: y y 3 y 3 3 με (, + ) y y + για την οποία ισχύει 3 για Έχουμε ότι η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + ) Η εφαπτόμενη της C στο δίνεται από την σχέση: ( ε ) : y ( ) Έχουμε ότι: 3 3 : y 3 3 y y Άρα ( ε ) Σελίδα 37

38 Παράδειγμα 3. Αν η ευθεία : lim + Η ευθεία (ε) εφάπτεται της. ε y + εφάπτεται της C στο να βρείτε το C στο ισοδυναμεί με : ( ) και + Έχουμε ότι: ( ) + ( ) lim lim + + Το ζητούμενο όριο γράφεται διαδοχικά: ( ) ( + ) ( + ) ( + ) lim lim lim ( ) lim lim ( ) ( ) Παράδειγμα 4. Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση e 8 8 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g e έχουν κοινή εφαπτόμενη. Α) Θεωρούμε συνάρτηση h e 8+ 8 με [, ] Η h είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο [,]. h e h e 8 h h < >, < άρα Από θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) η εξίσωση e 8 8 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). τέτοιο ώστε h δηλαδή Β) Οι συναρτήσεις και g είναι συνεχής και παραγωγίσιμες στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έστω τυχαίο σημείο A(, ( ) ) της γραφικής παράστασης της. Η εφαπτόμενη της C στο Α θα είναι μία ευθεία της μορφής. ε : y y 4 y 4 Έστω τυχαίο σημείο, ( ) B g της γραφικής παράστασης της g. Η εφαπτόμενη της C g στο B θα είναι μία ευθεία της μορφής. : ε y g g y e e y e e + e y e + e Για να ταυτίζονται οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) θέλουμε: 4 e 4 e 4 e 4 e e + 4( ) 4( ) ( ) 4( ) e e e Από το Α ερώτημα έχουμε ότι η εξίσωση () έχει λύση για στο (, )

39 Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την (, ) (, ) Άρα η γραφική παράσταση της και η γραφική παράσταση της g έχουν κοινή εφαπτόμενη την ευθεία : ε y g g y e + e Σελίδα 39

40 3.5 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β) και ( α) ( β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε: ( ξ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο M ( ξ, ( ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα των. y Μ(ξ,(ξ)) Α(α,(α)) 8 Β(β,(β)) O α ξ ξ β

41 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE Α. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μία συνάρτηση σε διάστημα [α, β] πρέπει: Η να είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] Η να είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) ( a) ( β ) ξ a, β τέτοιο, ώστε ( ξ ) Υπάρχει τότε ένα τουλάχιστον Β. α) Είναι προτιμότερο να εξετάζουμε πρώτα την συνθήκη ( a) ( β ) β) Αν δεν ισχύει μία τουλάχιστον από τις προηγούμενες συνθήκες, τότε το Θεώρημα Rolle δεν ισχύει. Γ. Τονίζουμε ότι για μία συνάρτηση μπορεί να υπάρχει ξ ( a, β) με ( ξ ) ισχύουν στο [α, β] κάποιες από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. χωρίς όμως να 4, < Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση 8 + 9, Να δείξετε ότι για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, ] και να βρείτε το σημείο A( ξ,), ξ (, ) που η C τέμνει τον άξονα. Αρχικά θα εξετάσουμε την συνθήκη Έχουμε ότι: και άρα Για [,) (, ] η είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε ξεχωριστά την συνέχεια της στο με την χρήση του ορισμού. Έχουμε διαδοχικά: lim ( ) lim ( 4 ) 3 Ισχύει λοιπόν ότι: lim lim ( ) και ( ) + Άρα η είναι συνεχής στο [, ] lim lim αρά η είναι συνεχής στο Η είναι παραγωγίσιμη στο (,) (, ) ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε ξεχωριστά την παραγωγισιμότητα της στο με την χρήση του ορισμού. Έχουμε διαδοχικά: ( ) 4 3 4( ) lim lim lim 4 ( ) ( )( 8+ ) lim lim lim lim lim ( 8 + ) άρα η είναι παραγωγίσιμη στο 4 και Σελίδα 4

42 Από τα παραπάνω έχουμε ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( a, β) τέτοιο ώστε ( ξ ), δηλαδή υπάρχει ξ (, ) που η C τέμνει τον άξονα Παράδειγμα. + π Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο [, π], παραγωγίσιμη στο (, π) και α) Να δείξετε ότι για την συνάρτηση g συν, [, π ] θεωρήματος Rolle. β) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, π) τέτοιο, ώστε ( ξ ) ξ σϕξ ισχύουν οι υποθέσεις του α) Έχουμε ότι: Η g είναι συνεχής στο [, π] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, π]. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, π) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, π). g συν g συν ηµ και επειδή ( π) ( π) g( π ) g συν g π π συνπ π g Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, π]. + έχουμε ότι β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, π) g ( ξ ) ( ξ ) συνξ ( ξ ) ηµξ ( ξ ) συνξ ( ξ ) ηµξ συνξ ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) σϕξ ηµξ τέτοιο ώστε Παράδειγμα 3. Έστω η συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ηµ ) για κάθε. Να δείξετε ότι: α) Για τη συνάρτηση g ( ηµ ) ισχύει το θεώρημα Rolle στο [, π]. ξ, π ξ g ξ β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε α) Ελέγχουμε τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση g στο [, π] Η g είναι συνεχής στο [, π] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, π] Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, π) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, π) g ( ( ηµ ) ) g ( ηµ ) ( ηµ ) g συν ( ηµ ) g ηµ g π ηµπ g g π, άρα β) Άρα από θεώρημα Rolle ξ ( π) g ( ξ), : Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης έχουμε ότι

43 g ηµ ( ) ( ( ηµ ) ) ( ( ηµ ) ) + ( ηµ ) g + g Για ξ η προηγούμενη σχέση γράφεται: g ξ ( ξ) ξ ( ξ) + ( ξ) ( ξ) ( ξ) g g g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Αν μας δίνεται μία συνάρτηση με παραμέτρους και θέλουμε να βρούμε τις τιμές των παραμέτρων αυτών, ώστε να εφαρμόζεται σε κάποιο δοσμένο διάστημα [α, β] το θεώρημα Rolle, τότε απαιτούμε: ( a) ( β ) Η να είναι συνεχής στο [α, β] κάνοντας χρήση του ορισμού για την συνέχεια στο σημείο, όταν η δίνεται κατά κλάδους. Η να είναι παραγωγίσιμη στο (α, β), κάνοντας ενδεχομένως και εδώ χρήση του ορισμού της παραγώγου. Παράδειγμα 4. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ώστε για τη συνάρτηση 4a + β, 4γ +, > 3,3 να ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [ ] Αρχικά θέλουμε 3 3 4a 3 + β 3 4 γ 3+ a+ β γ 6α + β + 6γ 5 Ελέγχουμε την ως προς την συνέχεια Η είναι συνεχής στο [ 3,) (, 3] ως πολυωνυμική συνάρτηση. Απαιτούμε η να είναι συνεχής και στο δηλαδή lim lim lim lim + + Έχουμε: lim lim 4 a + β 4 a + β ( γ ) lim lim 4 + 4γ + + Και ( ) 4a+ β Άρα 4a+ β 4γ a+ β + γ Ελέγχουμε την ως προς την παραγωγισιμότητα Η είναι παραγωγίσιμη στο ( 3,) (, 3) ως πολυωνυμική Θέλουμε η να είναι παραγωγίσιμη και στο δηλαδή ( ) ( ) lim lim ( ) + Έχουμε ότι: Σελίδα 43

44 ( ) 4a + β 4a β 4a 4a 4 ( ) a lim lim lim lim lim 4a 4a ( ) 4γ+ + 4γ 4γ+ 4γ ( )( + ) 4γ ( ) lim lim lim lim ( )( + 4γ ) lim 4γ + Άρα 4a 4γ a+ γ (3) Από τις σχέσεις () και (3) έχουμε ότι: a+ γ a + β + γ β + β Άρα η () γράφεται: 6α + β + 6γ 5 6α + 6γ 5(4) Από το σύστημα των () και (4) έχουμε ότι: a+ γ 6a+ 6γ 3 6α + 6γ 5 6α + 6γ 5 8 γ 8 γ γ 3 Άρα α 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΎΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ Το Θεώρημα Rolle είναι ένα σημαντικό εργαλείο στην εύρεση ριζών της παραγώγου μίας συνάρτησης στο διάστημα (α, β). Ένα ακόμη πολύ χρήσιμο συμπέρασμα που προκύπτει από την εφαρμογή του είναι ότι αν ισχύει για μία συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] τότε αυτή θα έχει μία τουλάχιστον εφαπτόμενη στο ( a, β ) παράλληλη στον άξονα. Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln ( ) α) Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) + e β) Η εξίσωση +. Να αποδείξετε ότι: + έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (, ) α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D (, + ) Η είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ) ln + ln + + ln + ( ) ( + ) ln + + ln ( + ) + + +

45 ( ) ln ( + ), ( ) ( ) ln ( + ) άρα ( ) Από θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε ( ξ ) β) Για ξ έχουμε ότι: ξ ξ ξ ( ξ) ln ( ξ + ) + ln ( ξ + ) + ln ( ξ + ) ( ξ + ) ln ( ξ + ) ξ ξ + ξ + ξ + ( ξ+ ) ( ξ+ ) ξ ln ξ + ξ ξ + e Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε η εξίσωση ( ) e ρίζα στο ανοικτό διάστημα (, ). + + έχει μία τουλάχιστον 3 a β + + δ + γ δ + δ 3 Παράδειγμα 6. Έστω η συνάρτηση α β αβγδ,,, και ισχύει γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) ώστε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, τον άξονα., όπου ξ τέτοιο ξ ξ να είναι παράλληλη προς Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πολυωνυμική 3 a β β + + δ + ( γ δ) + δ a + + δ + ( γ δ) 3 δ, ( ) a β + + γ 3 a β a β δ γ δ δ 3 3 γ δ δ, άρα ( ) Από θεώρημα Rolle έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε ( ξ ), δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της στο σημείο ξ, ( ξ ) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. Παράδειγμα 7. δύο, να δείξετε ότι a Αν η εξίσωση > 3β. 3 a β γ έχει τρείς ρίζες πραγματικές και άνισες ανά Έστω,, 3 οι ρίζες της εξίσωσης με < < 3 3 Θεωρούμε συνάρτηση a β γ με [, 3] Η είναι συνεχής στο [, ] και [, 3] Η είναι παραγωγίσιμη στο [, ] και [, 3] 3 + a + β ( ) ( ) ( ) 3 ως πολυωνυμική. ως πολυωνυμική. Σελίδα 45

46 Άρα από το Θεώρημα Rolle έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( ) ( ξ) ένα τουλάχιστον ξ (, ) : ( ξ ) 3, : και υπάρχει Έχουμε ότι ξ < ξ δηλαδή η που είναι ένα τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες άρα θα πρέπει να ισχύει ότι: a β a > 43 > > 3β Παράδειγμα 8. Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι «-», να δείξετε ξ ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε Από υπόθεση έχουμε ότι η παραγωγίσιμη συνάρτηση δεν είναι «-» άρα υπάρχουν δύο τουλάχιστον, με τέτοια ώστε ( ). Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι < Η είναι συνεχής στο [, ] ως παραγωγίσιμη στο Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ( ) Άρα από το θεώρημα Rolle έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ( ξ ) τέτοιο ώστε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Για την εύρεση της αντιπαραγώγου, (αρχικής συνάρτησης ή παράγουσας) χρήσιμες είναι οι παρακάτω παρατηρήσεις: c ( ) + ( ) v+ v a a g + g ( g( )) v + a a ( ln ) g g g g ηµ ( συν ) συν ηµ e e v+ v ( ) v + e e

47 συν ηµ e a+β ( εϕ) ( ln ) ( σϕ) + ( ) a e a συν α ηµ ( a + β ) α ( + β ) ηµ ( a + β ) συν ( a + β ) α ln α + β α + β α a a ln a ( ) ( ) + g g g e e g g g e e Η επαλήθευση γίνεται παραγωγίζοντας το δεύτερο μέλος. Οι σχέσεις αυτές αποτελούν ισχυρά εργαλεία σε ολόκληρο το διαφορικό λογισμό και θα τις εμπεδώσουμε κυρίως σε επόμενη παράγραφο. Θα πρέπει, βλέποντας το α μέλος, να οδηγούμαστε άμεσα στο δεύτερο. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΎΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Θ. ROLLE ΓΙΑ F Όπως και για την εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano, έτσι και στο Θεώρημα Rolle είναι ορισμένες απαραίτητο να βρούμε βοηθητική συνάρτηση, η οποία θα μας εξασφαλίσει ότι υπάρχει κάποιο ξ ( a, β), ώστε να ισχύει η ζητούμενη σχέση. Θέτουμε στη θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο α μέλος. Ονομάζουμε, για παράδειγμα g( ) το α μέλος της νέας σχέσης G g, a, β. Η συνάρτηση Προσπαθούμε να βρούμε μία συνάρτηση G( ) με αυτή λέγεται αρχική ή παράγουσα της g. Στην G( ) εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle, αφού βέβαια διαπιστώσουμε ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις του. Παράδειγμα 9. Αν 6a 7 3β ln τουλάχιστον ρίζα στο (, ) β + έχει μία +, να δείξετε ότι η εξίσωση aπ ηµ ( π ) β Θεωρούμε συνάρτηση aπ ηµ ( π ) με (, ) Αναζητούμε την αρχική της, δηλαδή μία συνάρτηση F που αν την παραγωγίσουμε θα μας δώσει την F. Σελίδα 47

48 Έχουμε διαδοχικά ότι: συν ( π ) ηµ ( π ) π Και ln Άρα η αρχική της θα είναι η συνάρτηση 3 3 συν ( π ) F aπ β ln F + aσυν ( π ) β ln με [, ] 3 π 3 Η F είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] Η F είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ). 3 3 β F aσυν ( π ) β ln F a( ηµ ( π ) )( π ) β F aπ ηµ ( π ) 8 F( ) a, F + a β ln 3 3 F F Ελέγχουμε την συνθήκη 8 F( ) F a + aβ ln 3α 8 + 3α 3β ln 6a 7 3β ln 3 3 αληθές από υπόθεση. Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση, F ξ ξ η εξίσωση F, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε β π ηµ ( π ) + έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) a Παράδειγμα. ln Δίνεται μία συνάρτηση συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) με ξ, τέτοιο ώστε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ξ ) 3 ξ ξ + ξ Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α μέλος και θέτουμε στην θέση του ξ. Έχουμε ότι: Θεωρούμε συνάρτηση του πρώτου μέλους. g + 3 με (, ) και αναζητούμε συνάρτηση G αρχική της g τέτοια ώστε G g,. για κάθε Έχουμε ότι:

49 ( ), ( ), 3 ( 3 ), ( ln ), Άρα G + 3ln με [ ] Η G είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] Η G είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ). G ( + 3ln ) G + 3 με (, ) G G + ln +, Ελέγχουμε την συνθήκη G( ) G G G + + ln ln αληθές από υπόθεση. Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση ξ, τέτοιο ώστε: G, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ξ) ( ξ) ( ξ) G g Παράδειγμα. ξ 3ξ + ξ Έστω η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ,, με τέτοιο ώστε ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α μέλος και θέτουμε στην θέση του ξ. Έχουμε ότι: () Παρατηρούμε ότι ( ) άρα η () γράφεται:. Να ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) Θεωρούμε συνάρτηση g ( ) με, και την G αρχική της g. Η G είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο, Η G είναι παραγωγίσιμη στο, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, G ( ) ( ) G ( ) G ( ), G άρα G G Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση G, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε: Σελίδα 49

50 ( ξ) ( ξ) ( ξ) ( ξ) ( ξ) G g Παράδειγμα. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο(α, β) και ισχύει ( ξ ) a, β ξ a, β τέτοιο ώστε + ξ aξ β ξ. για κάθε, να δείξετε ότι υπάρχει Θέτουμε στην θέση του ξ. Έχουμε ότι: + a β Παρατηρούμε ότι ένα βάλουμε όπου a ή β τότε προκύπτει μη πραγματικός αριθμός στον όρο ή αντίστοιχα στον όρο. Για να εξαλείψουμε την απροσδιοριστία θα κάνουμε ομώνυμα a β τα κλάσματα του δευτέρου μέλους και στην συνέχεια θα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. a + β + ( a)( β ) ( a+ β ) a β a β ( aβ α β ) ( a β ) + + Θεωρούμε συνάρτηση g ( aβ α β ) ( a β ) + + με ( a, β ) άρα η g γράφεται: Παρατηρούμε ότι: ( aβ α β ) a β ( a β ) ( β α β ) ( β ) g a + a+ g a + + a + ( β α β ) ( β α β ) ( β α β + ) g a Μία αρχική G της g θα είναι η G ( aβ α β ) G ( a )( β ) [ a, β ] + με Η G είναι συνεχής στο [α, β] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [α, β] Η G είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (α, β) G( a) ( aa)( β a) ( a), G( β) ( a β)( β β) ( β) G a G β άρα Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση ξ a, β τέτοιο ώστε: G, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ξ ) G ( ξ) g( ξ) + a ξ ξ β ξ Παράδειγμα 3. Δίνεται συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [, ], παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει. Αν για κάθε [,] να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ( ). τουλάχιστον, τέτοιο ώστε

51 Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α μέλος και θέτουμε στην θέση του. Έχουμε ότι: Θεωρούμε συνάρτηση g με (,) Παρατηρούμε ότι: και Άρα μία αρχική της g είναι η συνάρτηση G με [, ] Η G είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] Η G είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ) G G G, G και G G( ) που ισχύει από υπόθεση. ( ) ( ) Από τα παραπάνω έχουμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση τέτοιο ώστε: G, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) G ( ) g( ) ( ) ( ) Παράδειγμα 4. Έστω μία συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει γι αυτήν * το Θεώρημα Rolle στο [, 4]. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε: ( ξ ) + ( ξ ) 3 3 ξ Θέτουμε στην θέση του ξ και έχουμε ότι: ( ) + ( 3) ( ) 3+ 3 ( 3 ) ( ) 33 ( 3 ) Θεωρούμε συνάρτηση + + με (, 4) g Παρατηρούμε ότι : ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( + 3) + 3 Σελίδα 5

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β Τηλ: 210 344 2478 FAX:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3 Ø ÔØÓÑ Ò ½ Á ÒÓÙ ÖÓÙ ¾¼¼ Ασκηση Δίνεται η συνάρτηση f (x) =x +lnx. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στοσημείομετετμημένηe. Η εξίσωση της τυχούσας εφαπτομένης της C f είναι y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Δ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, B ΜΕΡΟΣ ( 2.8-2.10)

Δ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, B ΜΕΡΟΣ ( 2.8-2.10) ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, B ΜΕΡΟΣ (.8 -.0) Δημήτρης I. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 9 Iανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα