ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Προσοµοιώσεις Monte Carlo
|
|
|
- Σίβύλ Αλεξάκης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo Φίλιος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών & Φυσικών Επιστηµών ΕΜΠ 10 Νοεµβρίου 2010 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
2 Περίγραµµα Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts 1 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις ϕάσης Το τετραγωνικό πρότυπο Potts 2 Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 3 q = 2 q = 3 q = 4 4 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
3 Θεµελιώδεις Εννοιες Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Στατιστική Φυσική Μελετά τη θερµοδυναµική συµπεριφορά σωµάτων Αξιοποιεί τη ϑεωρία πιθανοτήτων σε στατιστικά µοντέλα Μακροσκοπικές ιδιότητες µικροσκοπικές ιδιότητες σωµατιδίων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
4 Θεµελιώδεις Εννοιες Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Στατιστική Φυσική Μελετά τη θερµοδυναµική συµπεριφορά σωµάτων Αξιοποιεί τη ϑεωρία πιθανοτήτων σε στατιστικά µοντέλα Μακροσκοπικές ιδιότητες µικροσκοπικές ιδιότητες σωµατιδίων Monte Carlo 1 Εξαντλητικοί υπολογισµοί πρακτικά µη πραγµατοποιήσιµοι 2 ειγµατολειψία Εκτίµηση παρατηρήσιµων µεγεθών Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
5 Θεµελιώδεις Εννοιες Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Στατιστική Φυσική Μελετά τη θερµοδυναµική συµπεριφορά σωµάτων Αξιοποιεί τη ϑεωρία πιθανοτήτων σε στατιστικά µοντέλα Μακροσκοπικές ιδιότητες µικροσκοπικές ιδιότητες σωµατιδίων Monte Carlo 1 Εξαντλητικοί υπολογισµοί πρακτικά µη πραγµατοποιήσιµοι 2 ειγµατολειψία Εκτίµηση παρατηρήσιµων µεγεθών Πρότυπο Potts 1 Στερά σώµατα αποτελούµενα από πλέγµατα σωµατιδίων 2 Αλληλεπιδράσεις σωµατιδίων λόγω των spin τους 3 Μελέτη µαγνητικών ιδιοτήτων συναρτήσει ϑερµοκρασίας Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
6 Ιστορική αναδροµή Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Πρότυπο Ising 1 Επινοήθηκε το 1920 από τον Wilhelm Lenz 2 Η µονοδιάστατη εκδοχή επιλύθηκε από τον Ernst Ising 3 Προέβλεπε δυο καταστάσεις spin (πάνω και κάτω) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
7 Ιστορική αναδροµή Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Γενικεύσεις του Ising 1 Οι Ashkin-Teller το 1943 επεξέτειναν σε 4 καταστάσεις spin 2 Ο Cyril Domb γενίκευσε σε q καταστάσεις το Μελετήθηκε από τον Renfrey Potts ως διανυσµατικό µοντέλο Potts 4 Στο όριο q ισοδυναµεί µε το XY model Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
8 Αλληλεπιδράσεις spin Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Χαµιλτονιανή H = J ij δ(s i, s j ), δ(s i, s j ) = { 1 s i = s j 0 s i s j q καταστάσεις spin J > 0 σιδηροµαγνητικό, J < 0 αντισιδηροµαγνητικό Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
9 Παράµετροι συστήµατος Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Επιλογή παραµέτρων προς µελέτη 1 J > 0: Σιδηροµαγνητικό µοντέλο ενίσχυση οµόρροπων δεσµών 2 D = 2: ιδιάστατο πλέγµα 3 Τετραγωνική γεωµετρία 4 Ενα spin ανά πλεγµατική ϑέση 5 z = 4: Αλληλεπίδραση µε πλησιέστερους γείτονες Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
10 Μεταβάσεις ϕάσης Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Φυσικές καταστάσεις ή ϕάσεις Μορφές της ύλης µε διακριτές ιδιότητες (π.χ. στερεή, υγρή, αέρια) Σε µαγνητικά υλικά: παραµαγνητική, σιδηροµαγνητική Ενδεχόµενη διαφορετική συµµετρία (ή τάξη) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
11 Μεταβάσεις ϕάσης Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Φυσικές καταστάσεις ή ϕάσεις Μορφές της ύλης µε διακριτές ιδιότητες (π.χ. στερεή, υγρή, αέρια) Σε µαγνητικά υλικά: παραµαγνητική, σιδηροµαγνητική Ενδεχόµενη διαφορετική συµµετρία (ή τάξη) Παράµετρος τάξης/αταξίας Μαγνήτιση (m) Παραµαγνητική ϕάση: Αυθόρµητα αµαγνήτιστο σύστηµα (m = 0) Σιδηροµαγνητική ϕάση: Μόνιµα µαγνητισµένο σύστηµα (m = 1) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
12 Μεταβάσεις ϕάσης Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Φυσικές καταστάσεις ή ϕάσεις Μορφές της ύλης µε διακριτές ιδιότητες (π.χ. στερεή, υγρή, αέρια) Σε µαγνητικά υλικά: παραµαγνητική, σιδηροµαγνητική Ενδεχόµενη διαφορετική συµµετρία (ή τάξη) Παράµετρος τάξης/αταξίας Μαγνήτιση (m) Παραµαγνητική ϕάση: Αυθόρµητα αµαγνήτιστο σύστηµα (m = 0) Σιδηροµαγνητική ϕάση: Μόνιµα µαγνητισµένο σύστηµα (m = 1) Μετάβαση ϕάσης Κυρίαρχη µεταβλητή: ϑερµοκρασία, µαγνητικό πεδίο, κλπ Κρίσιµο σηµείο: Θερµοκρασία µετάβασης ϕάσης Τάξη: Είτε συνεχείς είτε πρώτης τάξης Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
13 Μελέτη µεταβάσεων Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Βήµατα Τοποθετούµε το σώµα ϑερµοκρασία T (ή β = 1/kT) Μεταβάλλουµε τη ϑερµοκρασία και µετρούµε χαρακτηριστικές ποσότητες Ενδιαφέροντα µεγέθη Μαγνήτιση (m) και µαγνητική επιδεκτικότητα (χ) Ενέργεια (e) και ειδική ϑερµότητα (c) Binder cumulant (bc) και Energy cumulant (bc) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
14 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Ιδιότητες Ασυνέχεια στην καµπύλη της µαγνήτισης (m) Λανθάνουσα ϑερµότητα (e και ec) Συνύπαρξη ϕάσεων (ιστόγραµµα m ή e) Υστέρηση µαγνήτισης (m) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
15 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Ιδιότητες Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης (m) Ανωµαλία στην µαγνητική επιδεκτικότητα χ Παγκοσµιότητα Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
16 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Ιδιότητες Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης (m) Ανωµαλία στην µαγνητική επιδεκτικότητα χ Παγκοσµιότητα Παγκοσµιότητα Κλάσεις µοντέλων µε κριτήριο από διάσταση πλέγµατος, εύρος αλληλεπίδρασης, κατευθύνσεις spin Νόµος δύναµης (power-law) στο κρίσιµο σηµείο Κρίσιµοι εκθέτες Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
17 Κρίσιµοι εκθέτες Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Ανηγµένη ϑερµοκρασία t = T T c T c = β c β 1 Μήκος συσχέτισης ξ = t ν Μαγνητική επιδεκτικότητα χ = t γ Μαγνήτιση m = t β Ειδική ϑερµότητα c = t α Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
18 Finite size scaling Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Σκοπός Μπορούµε να προσοµοιώσουµε πεπερασµένα L, όχι άπειρα Μεταβολή µεγεθών µε τη γραµµική διάσταση L Με δεδοµένο κρίσιµο σηµείο ϐρίσκουµε εκθέτη ώστε να συµπίπτουν οι καµπύλες Με δεδοµένους εκθέτες ϐρίσκουµε το κρίσιµο σηµείο Μαγνήτιση m = L β ν m(l 1 ν t) Ειδική ϑερµότητα c = L α ν c(l 1 ν t) Μαγνητική επιδεκτικότητα χ = L γ ν χ(l 1 ν t) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
19 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Τετραγωνικό σιδηροµαγνητικό πρότυπο Potts Κρίσιµο σηµείο β c (q) = ln(1+ q) Μετάβαση ϕάσης q 4: Συνεχής q > 4: Πρώτης τάξης Κρίσιµοι εκθέτες q ν α β γ λ Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
20 Περίγραµµα Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 1 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις ϕάσης Το τετραγωνικό πρότυπο Potts 2 Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 3 q = 2 q = 3 q = 4 4 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
21 Αλγόριθµος Heat-bath Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Χαρακτηριστικά Εναλλαγής µεµονωµένων spin (single-spin-flip) Πιθανότητα επιλογής νέου spin ανάλογη του ϐάρους Boltzmann Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
22 Αλγόριθµος Heat-bath Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Χαρακτηριστικά Εναλλαγής µεµονωµένων spin (single-spin-flip) Πιθανότητα επιλογής νέου spin ανάλογη του ϐάρους Boltzmann Βήµατα αλγορίθµου 1 Επιλέγουµε µια τυχαία ϑέση στο πλέγµα, έστω k. 2 Θεωρούµε κατάσταση µ µε ενέργεια E µ όπου spin s k = µ Q 3 Επιλέγουµε νέα κατάσταση ν µε ενέργεια E ν spin s k = ν Q µε πιθανότητα Boltzmann P(µ ν) = e βeν q i e βei Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
23 Αλγόριθµος Swendsen-Wang Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Βήµατα αλγορίθµου 1 Θεωρούµε οµάδες ισάριθµες σηµείων του πλέγµατος 2 Επιλέγουµε όλα τα στοιχεία ένα προς ένα 3 Εστω στοιχείο s k µε γείτονες s j 4 Αν s k = s j, τα τοποθετούµε στην ίδια οµάδα µε πιθανότητα p add = 1 e β 5 Τελικά κάθε πλεγµατικά σηµείο ανήκει σε κάποια οµάδα 6 Κάθε οµάδα παίρνει τυχαίο spin n Q µε πιθανότητα 1/q Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
24 Εναλλαγή spin clusters Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Παράδειγµα 3 καταστάσεων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
25 Πραγµατοποίηση προσοµοιώσεων Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Βήµατα εργασίας 1 Επιλέγουµε ϑερµοκρασία (β) 2 Τρέχουµε τον αλγόριθµο για αρκετά sweeps (τυπικά ) 3 Σε κάθε β µετρούµε E s και M s 4 εν είναι όλες οι µετρήσεις ανεξάρτητες µεταξύ τους 5 Κάνουµε στατιστική επεξεργασία όλων των Ϲευγών(M s, E s ) 6 Παράγουµε τα ενδιαφέροντα µεγέθη (m, e, c, χ, bc, ec) 7 Προχωρούµε σε επόµενο β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
26 Υπολογιστικά εργαλεία Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Αλγόριθµοι Monte Carlo Αλγόριθµοι Metropolis, Heatbath, Swendsen-Wang Γλώσσα προγραµµατισµού C Βασισµένα σε κώδικα Barkema και Swendsen-Wang Επέκταση στις D διαστάσεις Επιλογή ανάµεσα σε ελικοειδείς και περιοδικές Σ.Σ. Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
27 Υπολογιστικά εργαλεία Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Αλγόριθµοι Monte Carlo Αλγόριθµοι Metropolis, Heatbath, Swendsen-Wang Γλώσσα προγραµµατισµού C Βασισµένα σε κώδικα Barkema και Swendsen-Wang Επέκταση στις D διαστάσεις Επιλογή ανάµεσα σε ελικοειδείς και περιοδικές Σ.Σ. Επεξεργασία & ανάλυση tcsh scripts για συντονισµό php, sed & awk scripts για στατιστική επεξεργασία gnuplot για τα γραφήµατα latex για κείµενο και παρουσίαση Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
28 Ανάλυση αποτελεσµάτων Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Συµπεράσµατα Κυρίως ποιοτικά µέσω γραφηµάτων Περιορισµένες ποσοτικές εκτιµήσεις Κρίσιµο σηµείο Σηµείο τοµής καµπυλών Binder Cumulant Προσαρµογή ψευδοκρίσιµων σηµείων β pc (L 1/ν ; q) = β num (q)+c(q) L 1/ν Κρίσιµοι εκθέτες & Finite Size Scaling Τάξη µετάβασης Ιστογράµµατα µαγνήτισης & ενέργειας (συνύπαρξη ϕάσεων) Λανθάνουσα ϑερµότητα στο Energy cumulant Υστέρηση µαγνήτισης Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
29 Επιλογή q για τις προσοµοιώσεις Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα q = 2. Σύγκριση µε Ising, δοκιµή Heatbath q = 3. Πρώτη µη γνωστή περίπτωση. q = 4. Οριακά χαρακτηριστικά Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
30 Επιλογή q για τις προσοµοιώσεις Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα q = 2. Σύγκριση µε Ising, δοκιµή Heatbath q = 3. Πρώτη µη γνωστή περίπτωση. q = 4. Οριακά χαρακτηριστικά. Ασθενή χαρακτηριστικά πρώτης τάξης q = 6. Ευδιάκριτα χαρακτηριστικά πρώτης τάξης q = 10. Εντονες καµπύλες υστέρησης και διαχωρισµός ϕάσεων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
31 Περίγραµµα q = 2 q = 3 q = 4 1 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις ϕάσης Το τετραγωνικό πρότυπο Potts 2 Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 3 q = 2 q = 3 q = 4 4 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
32 υο καταστάσεις q = 2 q = 3 q = 4 Ισοδυναµία µε Ising Ιδιος αριθµός spin, κοινές συµµετρίες Ιδιο universality class, κοινοί κρίσιµοι εκθέτες Οµοιες καµπύλες µεγεθών Χαµιλτονιανή H Potts = 1 2 H Ising J N 2 Κρίσιµο σηµείο β c,ising = 1 2 ln(1+ 2) β c,potts (2) = ln(1+ 2) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
33 µε Heatbath q = 2 q = 3 q = 4 Παράµετροι προσοµοίωσης Ευρεία περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128 Ελικοειδείς Σ.Σ. Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
34 µε Heatbath q = 2 q = 3 q = 4 Παράµετροι προσοµοίωσης Ευρεία περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128 Ελικοειδείς Σ.Σ. Στόχος Αξιολόγηση αποδοτικότητας Σύγκριση µε Swendsen-Wang Επιβεβαίωση κρίσιµου σηµείου Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
35 Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης L=32 L=48 L=64 L=96 L= < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
36 Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 Πολύ µεγάλα σφάλµατα L=32 L=48 L=64 L=96 L= χ β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
37 Energy Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Απουσία λανθάνουσας ϑερµότητας L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 <e 4 >/<e 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
38 Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Επιβεβαίωση κρίσιµου σηµείου - Μεγάλα σφάλµατα L=32 L=48 L=64 L=96 L= <m 4 >/<m 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
39 q = 2 q = 3 q = 4 µε Swendsen-Wang Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c Και πάλι sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256 Ελικοειδείς Σ.Σ. Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
40 q = 2 q = 3 q = 4 µε Swendsen-Wang Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c Και πάλι sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256 Ελικοειδείς Σ.Σ. Στόχος Αξιολόγηση αποδοτικότητας Σύγκριση µε Heatbath Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
41 Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
42 Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 Ψευδοκρίσιµα σηµεία - συρρίκνωση σφαλµάτων L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L= χ β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
43 Energy Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Απουσία λανθάνουσας ϑερµότητας L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <e 4 >/<e 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
44 Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Σηµείο τοµής στο β binder (2) [0.8805, ] L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <m 4 >/<m 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
45 Κρίσιµοι εκθέτες q = 2 q = 3 q = 4 Κρίσιµο β Εκθέτης µήκους συσχέτισης β fss (2) ν = 1 Τιµές εκθετών Μέγεθος Εκθέτης Τιµή Μαγνήτιση β 1/8 Μαγνητική επιδεκτικότητα γ 7/4 Binder Cumulant ω 0 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
46 Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 < m >L n =[< M >/N] L β/ν, β = 1/ L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L= L 1/ν (β c (2) / β - 1), ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
47 Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 χ L -γ/ν, γ = 7/ L 1/ν (β c (2) / β - 1), ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
48 Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 [<m 4 >/<m 2 > 2-1] L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L= L 1/ν (β c (2) / β - 1), ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
49 Προσαρµογή ψευδοκρίσµων β q = 2 q = 3 q = 4 β pc (L 1 ; q := 2) = β num (2)+c(2) L 1 β num (2) = ±0.0003, (0.04%) Fit asymptote Theory β pc (L; q=2) L -1/ν, ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
50 q = 2 q = 3 q = 4 µε Swendsen-Wang q = 3 Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c (3) = ln(1+ 3) sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
51 Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
52 Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 Ψευδοκρίσιµα σηµεία L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L= χ β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
53 Energy Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Απουσία λανθάνουσας ϑερµότητας L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <e 4 >/<e 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
54 Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Σηµείο τοµής στο β binder (3) [1.0043, ] L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <m 4 >/<m 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
55 Κρίσιµοι εκθέτες q = 2 q = 3 q = 4 Κρίσιµο β Εκθέτης µήκους συσχέτισης β fss (3) ν = 5/6 Τιµές εκθετών Μέγεθος Εκθέτης Τιµή Μαγνήτιση β 1/9 Μαγνητική επιδεκτικότητα γ 13/9 Binder Cumulant ω 0 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
56 Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 < m >L n =[< M >/N] L β/ν, β = 1/ L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L= L 1/ν (β c (3) / β - 1), ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
57 Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 χ L -γ/ν, γ = 13/ L 1/ν (β c (3) / β - 1), ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
58 Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 [<m 4 >/<m 2 > 2-1] L 1/ν (β c (3) / β - 1), ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
59 Προσαρµογή ψευδοκρίσµων β q = 2 q = 3 q = 4 β pc (L 6/5 ; q := 3) = β num (3)+c(3) L 6/5 β num (3) = ±0.0001, (0.012%) Fit asymptote Theory β pc (L; q=3) L -1/ν, ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
60 q = 2 q = 3 q = 4 µε Swendsen-Wang q = 4 Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c (4) = ln(1+ 4) sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 80, 96, 128, 192 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
61 Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
62 Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 Ψευδοκρίσιµα σηµεία L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L= χ β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
63 Energy Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Ιχνη λανθάνουσας ϑερµότητας L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 <e 4 >/<e 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
64 Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Σηµείο τοµής στο β binder (4) [1.0983, ] L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 <m 4 >/<m 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
65 Κρίσιµοι εκθέτες q = 2 q = 3 q = 4 Κρίσιµο β Εκθέτης µήκους συσχέτισης β fss (4) ν = 2/3 Τιµές εκθετών Μέγεθος Εκθέτης Τιµή Μαγνήτιση β 1/2 Μαγνητική επιδεκτικότητα γ 6/5 Binder Cumulant ω 0 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
66 Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 < m >L n =[< M >/N] L β/ν, β = 1/ L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L= L 1/ν (β c (4) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
67 Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 χ L -γ/ν, γ = 6/ L 1/ν (β c (4) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
68 Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 [<m 4 >/<m 2 > 2-1] L 1/ν (β c (4) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
69 Προσαρµογή ψευδοκρίσµων β q = 2 q = 3 q = 4 β pc (L 3/2 ; q := 4) = β num (4)+c(4) L 3/2 β num (4) = ±0.0001, (0.01%) 1.1 Fit asymptote Theory β pc (L; q=4) L -1/ν, ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
70 Ιστόγραµµα µαγνήτισης q = 2 q = 3 q = 4 Ενδειξη συνύπαρξης ϕάσεων L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=96, β= L=128, β= L=192, β= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
71 Περίγραµµα 1 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις ϕάσης Το τετραγωνικό πρότυπο Potts 2 Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 3 q = 2 q = 3 q = 4 4 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
72 µε Swendsen-Wang Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c (5) = ln(1+ 5) sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 40, 48, 64, 80, 96, 128 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
73 Μαγνήτιση Απότοµη µεταβολή µαγνήτισης L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
74 Μαγνητική επιδεκτικότητα Ψευδοκρίσιµα σηµεία L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L= χ β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
75 Energy Cumulant Παρουσία λανθάνουσας ϑερµότητας L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 <e 4 >/<e 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
76 Binder Cumulant Σηµείο τοµής στο β binder (5) [1.1742, ] L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 <m 4 >/<m 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
77 Ιστόγραµµα µαγνήτισης Συνύπαρξη ϕάσεων L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=80, β= L=96, β= L=128, β= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
78 Υστέρηση µαγνήτισης Παρατηρήσεις Εκτέλεση προσοµοιώσεων µε διαφορά έναρξης (hot/cold) Εµφάνιση πρώτη ϕορά για Ενδειξη µετάβασης πρώτης τάξης Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
79 Υστέρηση µαγνήτισης Παρατηρήσεις Εκτέλεση προσοµοιώσεων µε διαφορά έναρξης (hot/cold) Εµφάνιση πρώτη ϕορά για Ενδειξη µετάβασης πρώτης τάξης Παράµετροι Μεγάλο L = 768 Λίγα sweeps ( ) Μείωση πλάτους µαγνήτισης µε την αύξηση των sweeps Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
80 Υστέρηση µαγνήτισης L = 768, 1000 sweeps Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
81 Υστέρηση µαγνήτισης L = 768, 2000 sweeps Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
82 Υστέρηση µαγνήτισης L = 768, 4000 sweeps Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
83 Υστέρηση µαγνήτισης L = 768, 8000 sweeps Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
84 µε Swendsen-Wang q = 6 Παράµετροι προσοµοίωσης Στενή περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c (6) = ln(1+ 6) sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 16, 32, 40, 48, 64, 80, 96 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
85 Μαγνήτιση Απότοµη µεταβολή µαγνήτισης L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
86 Μαγνητική επιδεκτικότητα Ψευδοκρίσιµα σηµεία L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L= χ β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
87 Energy Cumulant Παρουσία λανθάνουσας ϑερµότητας L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 <e 4 >/<e 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
88 Binder Cumulant Σηµείο τοµής στο β binder (6) [1.2381, ] 5 4 L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 <m 4 >/<m 2 > β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
89 Ιστόγραµµα µαγνήτισης Συνύπαρξη ϕάσεων L=16, β= L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=80, β= L=96, β= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
90 Υστέρηση µαγνήτισης L = 512, 1000 sweeps Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
91 Υστέρηση µαγνήτισης L = 512, 2000 sweeps Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
92 Υστέρηση µαγνήτισης L = 512, 4000 sweeps Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
93 Υστέρηση µαγνήτισης L = 512, 8000 sweeps Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
94 q = 10 q = 10 Παράµετροι προσοµοίωσης Πολύ µεγάλος χρόνος αυτοσυσχέτισης Πολύ µεγάλος χρόνος προσοµοίωσης Περιορισµένες προσοµοιώσεις Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
95 q = 10 q = 10 Παράµετροι προσοµοίωσης Πολύ µεγάλος χρόνος αυτοσυσχέτισης Πολύ µεγάλος χρόνος προσοµοίωσης Περιορισµένες προσοµοιώσεις Ιστογράµµατα ενέργειας και µαγνήτισης Για L = 64, sweeps, β = Μεγάλος λόγος µεγίστου-ελαχίστου Εντονος διαχωρισµός ϕάσεων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
96 Ιστόγραµµα µαγνήτισης Συνύπαρξη ϕάσεων h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
97 Ιστόγραµµα ενέργειας Εντονος διαχωρισµός h(e) e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
98 Υστέρηση µαγνήτισης L = 256, 1000 sweeps Hot start Cold start < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
99 Υστέρηση µαγνήτισης L = 256, 2000 sweeps Hot start Cold start < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
100 Υστέρηση µαγνήτισης L = 256, 4000 sweeps Hot start Cold start < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
101 Υστέρηση µαγνήτισης L = 256, 8000 sweeps Hot start Cold start < m >=< M >/N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
102 Εν κατακλείδει Αποτελέσµατα 1 Ανάπτυξη γενικού κώδικα 2 Επιβεβαίωση τάξης µετάβασης 3 Επιβεβαίωση κρίσιµου σηµείου Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
103 Εν κατακλείδει Αποτελέσµατα 1 Ανάπτυξη γενικού κώδικα 2 Επιβεβαίωση τάξης µετάβασης 3 Επιβεβαίωση κρίσιµου σηµείου Προοπτικές Εφαρµογές Potts σε άλλες επιστήµες Εντατικότερες προσοµοιώσεις - υπολογιστικές απαιτήσεις για περισσότερες διαστάσεις - έλλειψη αναλυτικών προβλέψεων Ανάλυση µε εξεζητηµένες στατιστικές µεθόδους για ποσοτικές προβλέψεις Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
104 Ευχαριστώ Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
105 Backup Slides Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
106 Η µέθοδος Monte Carlo Ιδιότητες Εκτίµηση µεγεθών αντί υπολογισµού Επιλογή αντιπροσωπευτικών καταστάσεων (importance-sampling) Ισορροπία κατανοµή Boltzmann Χρήση διαδικασιών Markov για εναλλαγή καταστάσεων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
107 Η µέθοδος Monte Carlo Ιδιότητες Εκτίµηση µεγεθών αντί υπολογισµού Επιλογή αντιπροσωπευτικών καταστάσεων (importance-sampling) Ισορροπία κατανοµή Boltzmann Χρήση διαδικασιών Markov για εναλλαγή καταστάσεων Πιθανότητα µετάβασης διαδικασιών P(µ ν) = f(µ, ν): Εξάρτηση από αρχική/τελική κατάσταση dp(µ ν) = dt 0: Σταθερή στο χρόνο ν P(µ ν) = 1: Κανονικοποίηση στη µονάδα P(µ µ) = P [0, 1]: Επιτρέπεται παραµονή στην ίδια κατάσταση Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
108 Συνθήκες διαδικασιών Markov Συνθήκη Εργοδικότητας (Ergodicity) Ολες οι καταστάσεις πρέπει να είναι προσβάσιµες από οποιαδήποτε τυχούσα κατάσταση ακόµη κι αν χρειαστεί η διαδικασία να τρέξει για µεγάλο διάστηµα. Συνθήκη Λεπτοµερούς Ισοζύγισης (Detailed balance) Κατά µέσο όρο στο σύστηµα ϑα πρέπει να συµβαίνουν µεταβάσεις από την κατάσταση µ στην κατάσταση ν εξίσου συχνά µε τις αντίστροφες µεταβάσεις, δηλ. από την ν στην µ. P(µ ν) P(ν µ) = e β(eµ Eν) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
109 Θερµοδυναµικά µεγέθη Συνάρτηση Επιµερισµού Κατανοµή Boltzmann - Θερµική ισορροπία Z = µ e βeµ p µ = 1 Z e βeµ Αντίστροφη ϑερµοκρασία Μαγνήτιση β = 1 kt M = F B Εσωτερική ενέργεια U = log Z β Ειδική ϑερµότητα C = E T Ενέργεια Helmholtz F = log Z β Μαγνητική επιδεκτικότητα χ = M B Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
110 Αριθµητικοί υπολογισµοί για δεδοµένο β Ενέργεια ανά sweep E s = δ(s i, s j ) Μαγνήτιση ανά sweep M s = N max N N max q 1 Ενέργεια Es e = 2N Ειδική ϑερµότητα c = β 2 E 2 s Es 2 2N Energy Cumulant ec = E4 s E 2 s 2 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
111 Αριθµητικοί υπολογισµοί για δεδοµένο β Ενέργεια ανά sweep E s = δ(s i, s j ) Μαγνήτιση ανά sweep M s = N max N N max q 1 Ενέργεια Es e = 2N Μαγνήτιση Ειδική ϑερµότητα E 2 2 c = β 2 s Es 2N Μαγνητική επιδεκτικότητα Energy Cumulant ec = E4 s E 2 s 2 1 Binder Cumulant m = Ms N χ = N( M s 2 M s 2 ) bc = M4 s M 2 s 2 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
112 Ενέργεια q = 2, Heatbath L=32 L=48 L=64 L=96 L= <e> = <E>/2N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
113 Ειδική ϑερµότητα, Heatbath L=32 L=48 L=64 L=96 L= c β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
114 Ενέργεια q = 2, Swendsen-Wang L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <e> = <E>/2N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
115 Ειδική ϑερµότητα q = 2, Swendsen-Wang L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L= c β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
116 Ειδική ϑερµότητα q = 2, Swendsen-Wang L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 c L -α/ν, α = 4/ L 1/ν (β c (2) / β - 1), ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
117 Ενέργεια q = 3, Swendsen-Wang L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <e> = <E>/2N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
118 Ειδική ϑερµότητα q = 3, Swendsen-Wang L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 5 c β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
119 Ειδική ϑερµότητα q = 3, Swendsen-Wang L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 c L -α/ν, α = 5/ L 1/ν (β c (3) / β - 1), ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
120 Ενέργεια q = 4, Swendsen-Wang L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 <e> = <E>/2N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
121 Ειδική ϑερµότητα q = 4, Swendsen-Wang L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 c β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
122 Ειδική ϑερµότητα q = 4, Swendsen-Wang L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 c L -α/ν, α = 1/ L 1/ν (β c (4) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
123 Ενέργεια, Swendsen-Wang L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 <e> = <E>/2N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
124 Ειδική ϑερµότητα, Swendsen-Wang L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L= c β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
125 Ειδική ϑερµότητα, Swendsen-Wang L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 c L -27/ L 1/ν (β c (5) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
126 Ενέργεια q = 6, Swendsen-Wang L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 <e> = <E>/2N β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
127 Ειδική ϑερµότητα q = 6, Swendsen-Wang L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 c β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
128 Ειδική ϑερµότητα q = 6, Swendsen-Wang L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L= c L -45/ L 1/ν (β c (6) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
129 Ιστόγραµµα µαγνήτισης q = 2, β = (αµαγνήτιστη) L=32 L=48 L=64 L=96 L= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
130 Ολ. χρόνος αυτοσυσχέτισης q = 2, β = (αµαγνήτιστη) L=32 L=48 L=64 L=96 L= τ int (t max ) t max (sweeps) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
131 Ιστόγραµµα µαγνήτισης q = 2, β = (κρίσιµη) L=32 L=48 L=64 L=96 L= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
132 Ολ. χρόνος αυτοσυσχέτισης q = 2, β = (κρίσιµη) L=32 L=48 L=64 L=96 L= τ int (t max ) t max (sweeps) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
133 Χρονοσειρά µαγνήτισης q = 2, β = , L = M t Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
134 Ιστόγραµµα µαγνήτισης q = 2, β = (µαγνητισµένη) L=32 L=48 L=64 L=96 L= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
135 Ολ. χρόνος αυτοσυσχέτισης q = 2, β = (µαγνητισµένη) L=32 L=48 L=64 L=96 L= τ int (t max ) t max (sweeps) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
136 Ιστόγραµµα µαγνήτισης, q = L=32, β= L=48, β= L=64, β= L=96, β= L=128, β= L=192, β= L=256, β= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
137 Ιστόγραµµα ενέργειας, q = L=32, β= L=48, β= L=64, β= L=96, β= L=128, β= L=192, β= L=256, β= h(e) e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
138 Ιστόγραµµα µαγνήτισης, q = L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=96, β= L=128, β= L=192, β= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
139 Ιστόγραµµα ενέργειας, q = L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=96, β= L=128, β= L=192, β= h(e) e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
140 Ιστόγραµµα µαγνήτισης, L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=80, β= L=96, β= L=128, β= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
141 Ιστόγραµµα ενέργειας, L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=80, β= L=96, β= L=128, β= h(e) e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
142 Ιστόγραµµα µαγνήτισης, q = L=16, β= L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=80, β= L=96, β= h(m) m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
143 Ιστόγραµµα ενέργειας, q = L=16, β= L=32, β= L=40, β= L=48, β= L=64, β= L=80, β= L=96, β= h(e) e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε / 91
Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις
Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΚΟΡΝΑΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Εισαγωγή ό ή ί ί μ έ ά μ έ Ising μ
Μελέτη του Προτύπου 2D- Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB. Παρουσίαση της Διπλωματικής Εργασίας του Γιάννη Ασσιώτη
Μελέτη του Προτύπου 2D- Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB 1 Παρουσίαση της Διπλωματικής Εργασίας του Γιάννη Ασσιώτη 2 Στατιστική Μηχανική Μέγεθος συστημάτων Στοχαστική αντιμετώπιση Σύστημα Χαμιλτονιανή
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική
Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική Μελέτη του Δισδιάστατου Πρότυπου Heisenberg με Μεθόδους Monte Carlo Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σκοπός της Διπλωματικής
Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo
Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo Κουτσιούµπας Αλέξανδρος εκέµβριος 00 Το µοντέλο Ising εισήχθη από τους Lenz (190) και Ising (195) για την περιγραφή της
Παράρτημα Γ: Βάθμιση και κρίσιμοι εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Φυσική ΙΙ Παράρτημα Γ: Βάθμιση και κρίσιμοι εκθέτες Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
4.2 Finite-size scaling Binder Cumulant... 40
Αριθμητικές Προσομοιώσεις του Πρότυπου Ising στις τρεις Διαστάσεις ΚΟΡΝΑΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ιούλιος 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές
All rights reserved
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Φυσικής Ανάλυση Δεδομένων Monte Carlo του 2D-Ising προτύπου με τη μέθοδο Μultiple Ηistogram Διπλωματική Εργασία ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΦΟΛΗ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΥΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΟΜΕΑ ΥΤΙΚΗ Μελέτη του Προτύπου 2D-Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΣΟΤ Γιάννη Ασσιώτη Επιβλέπων Καθηγητής
Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος
Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. - 2 - .. Καλλιστής Νικόλαος Διπλωματούχος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.
Κεφάλαιο 6: Κρίσιμοι Εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Φυσική ΙΙ Κεφάλαιο 6: Κρίσιμοι Εκθέτες Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Μετάβαση φάσης 1ης τάξης Η Πολυκανονική Μέθοδος
Μετάβαση φάσης 1ης τάξης Η Πολυκανονική Μέθοδος Νικολακόπουλος Ηλίας Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ιούλιος 2010 4-state Potts Στατιστικές συλλογές (esembles) Στατιστική συλλογή:
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,
Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 5 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ, ΤΕΥΧΟΣ Γ Διδασκαλία της Φυσικής με Νέες Τεχνολογίες Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran
6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης
6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,
3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Ο τρίτος θερμοδυναμικός Νόμος 2. Συστήματα με αρνητικές θερμοκρασίες 3. Θερμοδυναμικά
Προσομοιώσεις Monte Carlo Κλασικού Σιδηρομαγνήτη Heisenberg σε Πλέγματα Κυβικής Συμμετρίας
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Διπλωματική Εργασία Προσομοιώσεις Monte Carlo Κλασικού Σιδηρομαγνήτη Heisenberg σε Πλέγματα Κυβικής Συμμετρίας Κωνσταντίνος
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Δημητρίου Ν. Καρκούλη Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Μοντέλα Στατιστικής Μηχανικής, Κινητικότητα & Ισορροπία Αλυσίδες Markov: Καταστάσεις, Εξισώσεις Μεταβάσεων καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική. Φαινόµενα πολυπλοκότητας στα Μαθηµατικά και στη Φυσική: ύο όψεις του ίδιου νοµίσµατος;
Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική Φαινόµενα πολυπλοκότητας στα Μαθηµατικά και στη Φυσική: ύο όψεις του ίδιου νοµίσµατος; Γιάννης Κ. Σταµατίου ΣΕΠ ΠΛΗ 10 Πάτρα, Ιουνιος 2003 οµή και
Προβλήματα Κεφαλαίου 2
Άνοιξη 2018 8/3/2018 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2018 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 29/3/2018 1. Θεωρείστε
Προβλήματα Κεφαλαίου 2
Άνοιξη 2017 8/3/2017 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 17/3/2017 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 24/3/2017 1. Θεωρείστε
Προβλήματα Κεφαλαίου 2
Άνοιξη 2019 14/3/2019 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2019 Οι λύσεις των προβλημάτων 27 και 28 * να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2019 1. Θεωρείστε
Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π.
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Προσομοίωση Monte Carlo Αλυσίδων Markov: Αλγόριθμοι Metropolis & Metropolis-Hastings Προσομοιωμένη Ανόπτηση Simulated Annealing
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 1) Θεωρούµε ένα σύστηµα που αποτελείται από ένα σωµατίδιο µε σπιν ½ και µε µαγνητική ροπή
ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ
ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
ηλεκτρικό ρεύµα ampere
Ηλεκτρικό ρεύµα Το ηλεκτρικό ρεύµα είναι ο ρυθµός µε τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από µια περιοχή του χώρου. Η µονάδα µέτρησης του ηλεκτρικού ρεύµατος στο σύστηµα SI είναι το ampere (A). 1 A =
Υπολογιστική Φυσική ΙΙ
Υπολογιστική Φυσική ΙΙ Μια Εισαγωγή στις Προσομοιώσεις Monte Carlo στη Στατιστική Φυσική Για το μάθημα Υπολογιστικής Φυσικής ΙΙ 8ο εξάμηνο Σχολής ΕΜΦΕ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κωνσταντίνος Ν. Αναγνωστόπουλος
Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων
Μεταπτυχιακό Υπολογιστικής Φυσικής Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων ηµήτρης Κουγιουµτζής E-mail: dkugiu@auth.gr 30 Ιανουαρίου 2018 Οδηγίες : Σχετικά µε την παράδοση της εργασίας ϑα πρέπει : Το κείµενο
Μελέτη των Self-avoiding random walks
Μελέτη των Self-avoiding random walks ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών επιστημών ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΟΥΣΣΟΣ ΙΩΣΗΦ Επιβλέπων καθηγητής Κ. Ν. Αναγνωστόπουλος Εισαγωγή
ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: PHYS215 Π. Παπαγιάννης
ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: PHYS215 Π. Παπαγιάννης Αν. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Έμμεσα ιοντίζουσα ακτινοβολία: Πότε ισούται το
Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann)
Κεφάλαιο 2: Βασικές αρχές της στατιστικής φυσικής- Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) ώσαμε τις έννοιες της μακροκατάστασης, της μικροκατάστασης και του στατιστικού
ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική
ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική 4 η Εργασία Επιστροφή: 24/3/13 Yπενθύµιση: Οι εργασίες πρέπει να επιστρέφονται µε e-mail που θα στέλνετε από το πανεπιστηµιακό σας λογαριασµό το αργότερο µέχρι
Προβλήματα Κεφαλαίου 2
Άνοιξη 2013 5/3/2013 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 3, 4, 5 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2013 Οι λύσεις των προβλημάτων 8 * και 20 να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2013 1. Για να κερδίσουμε
Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μελέτη των Self avoiding Random Walks Ρούσσος Ιωσήφ Α.Μ: 09102046 Επιβλέπων Καθηγητής Κωνσταντίνος Ν.
Ασκήσεις Κεφαλαίου 2
Άνοιξη 2010 4/3/2010 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 1. Για να κερδίσουμε το ΛΟΤΤΟ πρέπει να διαλέξουμε 6 διαφορετικούς αριθμούς από τους 49 διαθέσιμους. Η σειρά επιλογής των αριθμών δεν παίζει κανέναν ρόλο. Αν θέλουμε
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων: 1. Σφαιρικές & Λεπτομερείς Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 27/3/2019 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ
Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας.
Greek (Greece) Q2-1 Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε
Προσοµοιώσεις Monte Carlo Κβαντικού Βαθµωτού Πεδίου στο Πλέγµα
Προσοµοιώσεις Monte Carlo Κβαντικού Βαθµωτού Πεδίου στο Πλέγµα Χρίστος Σταθόπουλος Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος.Π.Μ.Σ. Φυσική και τεχνολογικές εφαρµογές Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο - ΕΚΕΦΕ ηµόκριτος
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,
ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ
ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής
3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Αλγόριθμος Metropolis. Γ. Θεοδώρου 1
Αλγόριθμος Metropols Γ. Θεοδώρου Γ. Θεοδώρου 1 Δειγματοληψία Οι δύο βασικές μέθοδοι δειγματοληψίας είναι, Κλασική δειγματοληψία (καλείται και: Monte Carlo), και Δειγματοληψία Metropols. Η βασική διαφορά
Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών
Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov
Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας
Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης
Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά
Καταστάσεις της ύλης. Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο.
Καταστάσεις της ύλης Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο. Υγρά: Τάξη πολύ µικρού βαθµού και κλίµακας-ελκτικές δυνάµεις-ολίσθηση. Τα µόρια βρίσκονται
Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU Δημήτρης Καρκούλης Επιβλέπων: Κ. Αναγνωστόπουλος 15/07/2010 Πρακτική στο
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
ΘΕΡΜΙΔΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΜΗΔΕΝΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ. Μονάδες - Τάξεις μεγέθους
ΘΕΡΜΙΔΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΜΗΔΕΝΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ Μονάδες - Τάξεις μεγέθους Μονάδες ενέργειας 1 cal = 4,19 J Πυκνότητα νερού 1 g/cm 3 = 1000 Kg/m 3. Ειδική θερμότητα νερού c = 4190 J/Kg.K = 1Kcal/Kg.K = 1 cal/g.k
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ»
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ» 1. Βασικές αρχές της θερμοδυναμικής: οι 4 νόμοι της θερμοδυναμικής, η έννοια του θερμοδυναμικού συστήματος, προσδιορισμός και ιδιότητες εντροπίας. 2. Μαθηματικός
Experiment Greek (Cyprus) Q2-1
Greek (Cyprus) Q2-1 Τίτλος Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για μεταβάσεις φάσεων και αστάθειες. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε αυτό το
* Επειδή μόνο η μεταφορά θερμότητας έχει νόημα, είτε συμβολίζεται με dq, είτε με Q, είναι το ίδιο.
ΘΕΡΜΙΔΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΜΗΔΕΝΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ Μονάδες - Τάξεις μεγέθους Μονάδες ενέργειας 1 cal = 4,19 J Πυκνότητα νερού 1 g/cm 3 = 1000 Kg/m 3. Ειδική θερμότητα νερού c = 4190 J/Kg.K = 1Kcal/Kg.K = 1 cal/g.k
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων
Σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων (Μεγαλοκανονική κατανομή) Ιδανικό κβαντικό αέριο
Κεφάλαιο : Σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων (Μεγαλοκανονική κατανομή) Ιδανικό κβαντικό αέριο Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) Ασχοληθήκαμε με συστήματα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων. Τον τρίτο
Νόμοι της κίνησης ΙΙΙ
Νόμοι της κίνησης ΙΙΙ Φυσικές κλίμακες και αδιαστατοποίηση Ασυμπτωτικές λύσεις και ποιοτική ανάλυση Ακριβείς λύσεις και οι ιδιότητές τους Παράδειγμα 1 Κατακόρυφη πτώση σώματος στο πεδίο βαρύτητας με αντίσταση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14. Κρίσιμοι Εκθέτες Εισαγωγή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Κρίσιμοι Εκθέτες 14.1 Εισαγωγή Ήδη αναφέραμε σε προηγούμενα κεφάλαια πως ένα φυσικό σύστημα το οποίο εμφανίζει μία συνεχή μετάβαση φάσης κατά την οποία, καθώς β β c ή, ισοδύναμα, καθώς η αδιάστατη
A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
2 ΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ
2 ΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Ένα ζεστό φλυτζάνι καφέ πάντα κρυώνει καθώς θερμότητα μεταφέρεται προς το περιβάλλον. Πότε δεν παρατηρούμε το αντίθετο παρότι ΔΕΝ παραβιάζεται
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων
1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.
.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης
4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές
Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων
Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -
Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13. Το Πρότυπο Ising Εισαγωγή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Το Πρότυπο Ising Στο Κεφάλαιο αυτό θα γίνει εισαγωγή των βασικών μεθόδων Μόντε Κάρλο για την προσομοίωση του πρότυπου Ising στο δισδιάστατο τετραγωνικό πλέγμα. Αρχικά, η μελέτη θα γίνει με τον
Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας. Βιολογικές επιδράσεις. Ακτινοπροστασία
Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας Βιολογικές επιδράσεις Ακτινοπροστασία Π. Παπαγιάννης Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr PHYS215
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε
Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων
Μεταπτυχιακό Υπολογιστικής Φυσικής Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων ηµήτρης Κουγιουµτζής E-mail: dkugiu@gen.auth.gr 31 Ιανουαρίου 2017 Οδηγίες : Σχετικά µε την παράδοση της εργασίας ϑα πρέπει : Το κείµενο
Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων
Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία
ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου
Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z
Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων
Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann)
Κεφάλαιο 2: Βασικές αρχές της στατιστικής φυσικής- Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) Δώσαμε τις έννοιες της μακροκατάστασης, της μικροκατάστασης και του στατιστικού
16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,
ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΠΟΛΥΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΦΛΟΙΟΥ ΣΤΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΝΑΝΟΣΥΡΜΑΤΩΝ Co/CoO. Πατσόπουλος Αριστοτέλης
ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΠΟΛΥΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΦΛΟΙΟΥ ΣΤΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΝΑΝΟΣΥΡΜΑΤΩΝ Co/CoO Πατσόπουλος Αριστοτέλης Αθήνα 2018 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ A. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γιατί Μαγνητικά Νανοσύρματα (ΜΝΣ)? Γιατί
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3
Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών
Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών 2 Εργαλεία διαχείρισης Για κάθε µελλοντική εξέλιξη και απόφαση, η πρόβλεψη αποτελεί το
ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-ΙΙΙ ΤΑ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤ
ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-ΙΙΙ ΤΑ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
ΜΟΡΙΑΚΟΙ ΜΑΓΝΗΤΕΣ. Γιάννης Σανάκης, ρ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ»
ΜΟΡΙΑΚΟΙ ΜΑΓΝΗΤΕΣ Γιάννης Σανάκης, ρ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» Εισαγωγή Υλικό σε εξωτερικό µαγνητικό πεδίο, Η: Β = Η + 4πΜ Μ: Μαγνήτιση ανά µονάδα όγκου Μαγνητική επιδεκτικότητα: χ
ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά
Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΣΚΥΡΜΙΟΝΙΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΝΑΝΟΔΟΜΕΣ. Πατσόπουλος Αριστοτέλης
ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΣΚΥΡΜΙΟΝΙΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΝΑΝΟΔΟΜΕΣ Πατσόπουλος Αριστοτέλης Αθήνα 2019 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γιατί Μαγνητικά Σκυρμιόνια (ΜΣκ)? Γιατί Καμπυλόγραμμες Νανοδομές?
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων
ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική
ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου
Χάος και Φράκταλ. ιδάσκων: Α.Μπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α 1) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών x x e = c τείνει 2 1)
Χάος και Φράκταλ ιδάσκων: ΑΜπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α + ) ) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών e = c τείνει σε εκείνη των ελλείψεων ξ ξ + = K, όταν, ) b, a) Τα Κ,c είναι b a αυθαίρετες
Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.
Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία
ΚΛΑΣΙΚΗ (ΧΗΜΙΚΗ) ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ
ΚΛΑΣΙΚΗ (ΧΗΜΙΚΗ) ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
ΑΝΩΤΕΡΗ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 : ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ
ΑΝΩΤΕΡΗ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 : ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ΟΙ ΦΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Ο ΟΡΟΣ «ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΦΑΣΗΣ» ΑΦΟΡΑ ΤΗΝ ΜΕΤΑΠΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟς ΑΠΟ ΜΙΑ ΦΑΣΗ (ή κατάσταση της ύλης που εμπεριέχεται
Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ
Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Αλγόριθµοι Ευθυγράµµισης Τρισδιάστατων Αντικειµένων Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 20 Οκτωβρίου 2005 Εισαγωγή
Φυσικοί μετασχηματισμοί καθαρών ουσιών
Φυσικοί μετασχηματισμοί καθαρών ουσιών Ή εξάτμιση, η τήξη και η μετατροπή του γραφίτη σε διαμάντι αποτελούν συνηθισμένα παραδείγματα αλλαγών φάσης χωρίς μεταβολή της χημικής σύστασης. Ορισμός φάσης: Μια