Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε"

Transcript

1 Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων µε πλήθος εφαρµογών στην φυσική, στην µηχανική και σε άλλες επιστήµες. Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζεται µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών, διατυπώνοντας και αναλύοντας τα κύρια βήµατα και βασικά χαρακτηριστικά της µεθόδου σε σχέση µε την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν προβλήµατα οριακών τιµών. Η συγκεκριµένη επιλογή είναι εκπαιδευτικά σκόπιµη, αφού πρόκειται για την απλούστερη ίσως εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών. Στο σηµείο αυτό είναι σκόπιµο να δώσουµε µία πρώτη σύντοµη και γενική περιγραφή της µεθόδου που ισχύει για συνήθεις και µερικές διαφορικές εξισώσεις, ενώ στη συνέχεια θα επικεντρωθούµε µόνο σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Το συνεχές πεδίο ορισµού, όπου ορίζεται η διαφορική εξίσωση αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων D, όπου το Ω είναι υποσύνολο του ( D D ) και παράλληλα το όριο του πεδίου ορισµού αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων Ω D που µπορεί να ανήκουν ή και να µην ανήκουν στο +Ω. Το νέο πεδίο ορισµού του προβλήµατος ονοµάζεται υπολογιστικό πλέγµα, δοµικά στοιχεία του οποίου είναι τα επιλεγέντα σηµεία που ονοµάζονται κόµβοι. Για κάθε σηµείο (κόµβο) P του D, διατυπώνεται µια αλγεβρική εξίσωση που περιλαµβάνει την τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής στο σηµείο P και σε γειτονικά σηµεία του P εντός των D και Ω D. Η

2 αλγεβρική εξίσωση ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών και αποτελεί προσέγγιση της µερικής διαφορικής εξίσωσης στο σηµείο P. Η συστηµατική διατύπωση της αλγεβρικής εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών εξαρτάται από τις πολλές εναλλακτικές δυνατότητες που προσφέρονται µέσω της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών. Εάν υπάρχουν N σηµεία στο προκύπτει ένα σύστηµα N αλγεβρικών εξισώσεων µε D αγνώστους. Εάν το σύστηµα έχει µοναδική λύση, που συνήθως έχει, οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής που προκύπτουν θεωρούνται προσεγγιστικές σε σχέση µε αυτές της αναλυτικής λύσης. Η καλή ή κακή προσέγγιση ανάµεσα στην υπολογιστική (αριθµητική) και πραγµατική (αναλυτική αν υπάρχει) λύση εξαρτάται από την συγκεκριµένη µεθοδολογία πεπερασµένων διαφορών που υιοθετείται και αξιολογείται µελετώντας την σύγκλιση, την ευστάθεια και την συνοχή του αριθµητικού σχήµατος. Η διαδικασία αντικατάστασης της αναλυτικής διαφορικής εξίσωσης και του συνεχούς πεδίου ορισµού της µε ένα σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών που ορίζονται στους κόµβους του υπολογιστικού πλέγµατος ονοµάζεται διακριτοποίηση. N. Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών Η διαδικασία της διακριτοποίησης όπως ορίσθηκε στην εισαγωγή του κεφαλαίου προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτηµένης µεταβλητής και των παραγώγων της στους κόµβους του πλέγµατος. Ειδικά, η προσέγγιση των παραγώγων σε κάθε κόµβο του πλέγµατος προϋποθέτει την διατύπωση εκφράσεων που προσεγγίζουν την παράγωγο µε τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στον συγκεκριµένο και γειτονικούς κόµβους. Οι εκφράσεις αυτές ονοµάζονται εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών και προκύπτουν µε δύο κυρίως τρόπους: τη σειρά Taylor και την πολυωνυµική παρεµβολή.

3 .. Σειρά Taylor Θεωρώντας ότι η συνάρτηση ( ) είναι αναλυτική, η ( + ) αναπτύσσεται σε σειρά Taylor ( ) ( ) + = !! όπου το υπόλοιπο n = + n! είναι τάξης παράγωγο προκύπτει n ( ξ ) n n n δηλαδή n O( ), (..) 0< ξ < (..) =. Λύνοντας ως προς την πρώτη και απαλείφοντας όρους τάξης ίσης ή µεγαλύτερης του δύο ( + ) ( ) = O( ) +. (..) Η εξίσωση (..) αποτελεί µία έκφραση πεπερασµένων διαφορών, δηλαδή µια προσεγγιστική αλγεβρική έκφραση της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης ως προς. Ονοµάζεται κατάντη ή πρόδροµη πεπερασµένη διαφορά πρώτης τάξης, αφού η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από τις τιµές της στο σηµείο και στο σηµείο έπεται του σηµείου είναι ανάλογο της απόστασης + που και είναι πρώτης τάξης αφού το σφάλµα αποκοπής. Θεωρώντας στη συνέχεια το ανάπτυγµα Taylor της ( ) ( ) ( ) = + + +!! όπου το n έχουµε, (..4) n δίδεται από την (..). Λύνοντας και πάλι ως προς προκύπτει η ανάντη ή ανάδροµη έκφραση πεπερασµένων διαφορών πρώτης τάξης ( ) ( ) = O( ) +. (..5)

4 Τώρα, η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από τις τιµές της και στο σηµείο που προηγείται του σηµείου απεικόνιση των (..) και (..5) φαίνεται στο Σχήµα.. στο σηµείο. Η γραφική Σηµειώνεται ότι µε κατάλληλη αλγεβρική επεξεργασία των αναπτυγµάτων Taylor προκύπτουν διαφορετικές εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την πρώτη παράγωγο της ως προς. Για παράδειγµα, αφαιρώντας τα αναπτύγµατα Taylor (..) και (..4) και λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει ως προς την πρώτη παράγωγο οδηγούµεθα στην κεντρώα σχέση πεπερασµένων διαφορών ( + ) ( ) = ( ) + O. (..6) Παρατηρούµε ότι το σφάλµα αποκοπής στην έκφραση (..6) είναι ης τάξης που σηµαίνει ότι η ακρίβεια της προσέγγισης της σε σχέση µε την ακρίβεια των εκφράσεων (..) και (..5). είναι καλύτερη A ω A ω + - Σχήµα.: Γραφική απεικόνιση πρόδροµης (αριστερά) και ανάδροµης (δεξιά) προσέγγισης της παραγώγου στο σηµείο A. Η προσέγγιση παραγώγων υψηλότερης τάξης γίνεται µε αντίστοιχη µεθοδολογία. Για παράδειγµα, προσθέτοντας τα αναπτύγµατα (..) και (..4) και διατηρώντας όρους µέχρι και τέταρτης τάξης προκύπτει η κεντρώα πεπερασµένη διαφορά για την δεύτερη παράγωγο 4

5 ( + ) ( ) + ( ) = ( ) + O. (..7) Επίσης συνδυάζοντας τα αναπτύγµατα (..) και (..4) µε τα αναπτύγµατα ( ) ( ) ( ) ( ) ± = ± + ± + +!! n (..8) διατυπώνονται οι κατάντη και ανάντη εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την δεύτερη παράγωγο και ( + ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) + O. (..9) ( ) + O (..0) αντίστοιχα. Είναι προφανές ότι θεωρώντας περισσότερους όρους στα αναπτύγµατα Taylor η ακρίβεια των προσεγγιστικών εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών βελτιώνεται αντίστοιχα. Επίσης τονίζεται ότι η χρήση κατάντη ή ανάντη ή κεντρώων εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών εξαρτάται άµεσα µε τη φυσική και τον τύπο του προβλήµατος που εξετάζεται. Στη περίπτωση των µερικών διαφορικών εξισώσεων, η προσέγγιση των µερικών παραγώγων γίνεται µε ανάλογο τρόπο µε βάση τη σειρά Taylor δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών. Στην περίπτωση των δυο µεταβλητών η σειρά Taylor είναι ( +, y+ y) = (, y) + + y ( y) + y, + + y (, y) + +! y n + + y (, y) + ( n! ) y όπου το υπόλοιπο n (..) 5

6 n n = y ( ξ, y η ) n! y y, 0 < ξ, η <. (..) Το σφάλµα αποκοπής είναι τάξης n n, δηλαδή n = O( + y ). Έστω ότι ζητείται µια έκφραση πεπερασµένων διαφορών της µικτής παραγωγού y. Προσθαφαιρώντας κατάλληλα τα τέσσερα αναπτύγµατα Taylor ( ± y, ± y) = y (, ) + ± ± y y (, ) + y + ± ± y y + ± ± y y! y! y + ± ± y y 4! y 4 (, ) (, ) (, ) + (..) προκύπτει η κεντρώα έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης για τη µικτή παράγωγο y = ( +, y+ y) (, y+ y) 4 y (, ) (, ) ( ) + y y + y y + O + y (..4) Τις περισσότερες φορές οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι ανάντη, κατάντη και κεντρώες, ακριβείας ης και ης τάξης. Σε όλες τις περιπτώσεις οι παράγωγοι της εξαρτηµένης µεταβλητής σε ένα σηµείο διατυπώνονται σε σχέση µε τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στο σηµείο αυτό και στα αµέσως γειτονικά του. Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών υψηλότερης ακρίβειας είναι αναγκαίες σε εξειδικευµένα προβλήµατα και απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αφού εµπλέκονται περισσότερα σηµεία και εποµένως περισσότερες αριθµητικές πράξεις. Ακολουθεί ενδεικτικός πίνακας µε εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών ης και 4 ης τάξης που προσεγγίζουν µερικές παραγώγους ης, ης, ης και 4 ης τάξης. Για λόγους συντοµίας εισάγονται οι συµβολισµοί (, ) =, και ( ), y ± m, y± n y = ± m ± nµε = y= h. 6

7 Πίνακας.: Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών µε περισσότερα από τρία σηµεία. Παράγωγος 4 4,,,,,,,, Έκφραση πεπερασµένων διαφορών h h 4 ( +, + 8+, 8, +, ) + O( h ) ( +, + 4+, 5+, +, ) + O( h ) 5 4 h h h h (,, +,, ) + O( h ) 4 ( +, + 6+, 0, + 6,, ) + O( h ) ( +, +, +,, ) + O( h ) ( + 4, + 4+, 4+, + 8+, 5, ) + O( h ) h 4 h (,, +,, + 4, ) + O( h ) ( +, 4+, + 6, 4, +, ) + O( h ) Επίσης στον Πίνακα. παρατίθενται εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την µικτή παράγωγο y για y. Πίνακας.: Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την µικτή παράγωγο. y Παράγωγος y y,, Έκφραση πεπερασµένων διαφορών +, +,,, + O y y y (, ),,, +, + O y y y (, ) 7

8 y y y y y y y,,,,,,,,,, +, + O y y y (, ) +, +,, +, + O y y y (, ) + O y y y (, ) +, + +,, +, + O y y y (, ), +,, +, +, + +,, +, + O y y y (, ) +, +,,, + O y y y (, ) + O y y y (, ) +, + +,, +,.. Πολυώνυµα παρεµβολής Ο δεύτερος τρόπος προσέγγισης παραγώγων είναι η παρεµβολή της συνάρτησης µε ένα πολυώνυµο. Οι συντελεστές του πολυωνύµου υπολογίζονται από τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής σε επιλεγµένα σηµεία. Ο βαθµός του πολυωνύµου παρεµβολής αντιστοιχεί στην τάξη της ακριβείας της έκφρασης πεπερασµένων διαφορών. Θεωρώντας, για παράδειγµα, ένα πολυώνυµο παρεµβολής ου βαθµού µπορούµε να προσεγγίσουµε τοπικά την άγνωστη συνάρτηση ( ) µε τη σχέση ( ) = A + B + C. (..5) Για τον υπολογισµό των αγνώστων συντελεστών του πολυωνύµου, επιλέγουµε τρία γειτονικά ισαπέχοντα σηµεία, + και +, έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να είναι στο σηµείο (βλέπε Σχήµα.). Για συντοµία τα τρία σηµεία, που βρίσκονται στις θέσεις, =, συµβολίζονται µε, + και +. Εποµένως έχουµε + και 8

9 ( ) = = A + B + C (..6α) ( ) = = A + B + C (..6β) ( ) = = A + B + C (..6γ) Στις εξισώσεις (..6) αντικαθιστούµε τις τιµές 0 + =, + = και = και λύνοντας στη συνέχεια το σύστηµα των τριών εξισώσεων που προκύπτει ως προς τους άγνωστους συντελεστές του πολυωνύµου βρίσκουµε C = (..7α) B = A = (..7β) (..7γ) Σχήµα.: Γραφική απεικόνιση πολυωνυµικής παρεµβολής για πρόδροµη (αριστερά) και ανάδροµη (δεξιά) προσέγγιση των παραγώγων. Παίρνοντας τη παράγωγο του πολυώνυµο (..5) ως προς προκύπτει η παράγωγος = A+B (..8) 9

10 και αντικαθιστώντας στη συνέχεια τις εκφράσεις (..7β) και (..7γ) για τους συντελεστές A και B αντίστοιχα βρίσκουµε ότι στο σηµείο = 0, η παράγωγος είναι = B=. (..9) Πρόκειται για µια κατάντη έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης. Παίρνοντας τη παράγωγο της εξίσωσης (..8) άλλη µια φορά προκύπτει ότι η δεύτερη παράγωγος στο σηµείο = 0 είναι = = A. (..0) Τονίζεται ότι οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών (..9) και (..0) µπορούν να διατυπωθούν επίσης χρησιµοποιώντας την µεθοδολογία που βασίζεται στο ανάπτυγµα Taylor. Ανάντη εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών, µε τη µεθοδολογία των πολυωνύµων παρεµβολής, προκύπτουν αρκετά εύκολα επιλέγοντας τα σηµεία, και (ή, και ) και θέτοντας το σηµείο στην αρχή των αξόνων (βλέπε Σχήµα.). Ανάλογα πράττουµε και στη περίπτωση κεντρώων εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών. Τώρα τα τρία σηµεία παρεµβολής είναι τα, ± µε την αρχή των αξόνων να ορίζεται και πάλι στο σηµείο. Το κύριο πλεονέκτηµα της πολυωνυµικής παρεµβολής είναι ότι εφαρµόζεται ευκολότερα όταν τα σηµεία δεν ισαπέχουν µεταξύ τους.. Προβλήµατα δύο οριακών τιµών Ο αριθµός προβληµάτων οριακών τιµών που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είναι ιδιαίτερα µεγάλος. Στις περιπτώσεις αυτές, και σε αντίθεση µε ότι συµβαίνει στα προβλήµατα αρχικών τιµών, οι συνθήκες 0

11 του προβλήµατος ορίζονται σε δύο διαφορετικές τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής. Για τον συγκεκριµένο λόγο, τα προβλήµατα αυτά είναι γνωστά στη βιβλιογραφία σαν προβλήµατα δύο οριακών τιµών. Μερικά κλασσικά παραδείγµατα προβληµάτων δύο οριακών τιµών περιλαµβάνουν τη ροή Poselle ανάµεσα σε δύο πλάκες ή σε κυλινδρικό αγωγό, το πρόβληµα της ροής θερµότητας σε µονοδιάστατη ράβδο και το πρόβληµα του λυγισµού λεπτής µονοδιάστατης δοκού. Η ροή Poselle ανάµεσα σε πλάκες περιγράφεται από την Σ Ε d d dp µ dy = dy d όπου 0 y L είναι η απόσταση ανάµεσα στις δύο πλάκες, (..) dp d είναι η = η κλίση της πίεσης στην αξονική διεύθυνση της ροής και ( y) άγνωστη κατανοµή της ταχύτητας. Οι οριακές συνθήκες µη ολίσθησης είναι ( ) ( L) 0 = = 0. Το πρόβληµα της ροής θερµότητας σε µονοδιάστατη ράβδο περιγράφεται από την Σ Ε d dt k + h T T = d d όπου 0 L ( ) 0 είναι το µήκος της ράβδου, T T( ) (..) = η άγνωστη θερµοκρασιακή κατανοµή κατά µήκος της ράβδου, T η θερµοκρασία του περιβάλλοντος χώρου και και οι συντελεστές θερµικής αγωγής και συναγωγής αντίστοιχα. Οι οριακές συνθήκες στην αρχή και στο τέλος της ράβδου είναι θερµοκρασίες. T ( 0) = T L και T( L) T k h =, όπου T L και T είναι γνωστές Τέλος το πρόβληµα του λυγισµού λεπτής µονοδιάστατης δοκού, κάτω από συγκεκριµένες συνθήκες και υποθέσεις περιγράφεται από την Σ Ε d f λ f 0 d + = (..)

12 όπου 0 L είναι το µήκος της δοκού και f f ( ) = η αποµάκρυνση (παραµόρφωση) από τη θέση ισορροπίας. Επίσης λ = P/ ( EI) είναι το εξωτερικό αξονικό φορτίο,, όπου E το µέτρο ελαστικότητας και I η ροπή αδρανείας. Θεωρώντας ότι τα δύο άκρα της δοκού είναι πακτωµένα, προκύπτουν οι οριακές συνθήκες ( 0) ( ) f = f L = 0. Παρατηρούµε ότι το πρόβληµα του λυγισµού, όπως διατυπώνεται στη συγκεκριµένη περίπτωση, περιγράφεται από οµογενή διαφορική εξίσωση και οµογενείς οριακές συνθήκες. Εποµένως, σε αντίθεση µε τα δύο προηγούµενα προβλήµατα, είναι ένα πρόβληµα ιδιοτιµών τύπου Strm-Lovlle που µπορεί να λυθεί, όπως και τα δύο προηγούµενα κλασσικά προβλήµατα οριακών τιµών, µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. P Στα παραπάνω παραδείγµατα όταν οι συντελεστές των παραγώγων θεωρούνται σταθεροί τότε οι εξισώσεις είναι γραµµικές και µπορούν να επιλυθούν αναλυτικά και αριθµητικά. Στη περίπτωση αυτή τα αριθµητικά αποτελέσµατα συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα αναλυτικά και είναι εφικτό να µελετήσουµε και να προσδιορίσουµε την ακρίβεια των αριθµητικών αποτελεσµάτων. Αντίθετα, όταν οι συντελεστές είναι συναρτήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής (άµεσα ή έµµεσα) τότε οι εξισώσεις είναι µη γραµµικές και τις περισσότερες φορές επιλύονται µόνο αριθµητικά. Στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει να είµαστε πολύ προσεκτικοί σχετικά µε την ακρίβεια των αριθµητικών αποτελεσµάτων. Πρόκειται για ένα ιδιαίτερα σηµαντικό ζήτηµα που θα εξετασθεί συστηµατικά σε επόµενα κεφάλαια. Σηµειώνεται τέλος ότι είναι ιδιαίτερα χρήσιµο για τον µη µυηµένο αναγνώστη να ανατρέξει και να εντοπίσει στη βιβλιογραφία προβλήµατα δύο οριακών τιµών που περιγράφονται από γραµµικές και µη γραµµικές Σ Ε.

13 .4 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών Έχοντας πλέον µία σύντοµη περιγραφή των οριακών προβληµάτων δύο σηµείων και κυρίως γνωρίζοντας τις µεθοδολογίες διατύπωσης εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών για τις παραγώγους µιας συνάρτησης, µπορούµε να προχωρήσουµε στην περιγραφή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών σε Σ Ε. Θεωρούµε τη γραµµική Σ Ε ης τάξης στη γενική µορφή ( ) ( ) ( ) ( ) P y'' + Q y' + y+ S = 0 στο διάστηµα [, y y L L ] µε οριακές συνθήκες (.4.) = για = L και y= y για =. (.4.) Οριακές συνθήκες, όπως οι (.4.), που περιέχουν τιµές µόνο της εξαρτηµένης µεταβλητής (και όχι των παραγώγων της) ονοµάζονται οριακές συνθήκες τύπου Drchlet και δύναται να είναι οµογενείς ή µη οµογενείς. Το πρώτο βήµα, στη εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών, είναι ο καθορισµός του υπολογιστικού πλέγµατος και των κόµβων. Το διάστηµα [, ] διαιρείται σε, όπως φαίνεται στο Σχήµα (.), L L N ίσα τµήµατα και το κάθε τµήµα έχει µήκος h =. Τα N σηµεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε τµήµατος ονοµάζονται κόµβοι και η θέση τους στο υπολογιστικό πλέγµα προσδιορίζεται από τις σχέσεις L ( ) = + h =,, N +., (.4.) Είναι προφανές ότι = L και N+ =. Συνολικά, ορίζονται κόµβοι, εκ των οποίων οι N κόµβοι N +, =,,, N είναι εσωτερικοί κόµβοι, ενώ οι δύο κόµβοι και N + ταυτίζονται µε τα δύο όρια L και αντίστοιχα. Επίσης οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις ( ) y = y, =,, N +. (.4.4)

14 Οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους εσωτερικούς κόµβους είναι άγνωστες και αποτελούν το αντικείµενο της υπολογιστικής επίλυσης του προβλήµατος, ενώ οι αντίστοιχες τιµές στα όρια είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες (.4.). - + N- N N+ - + N- N N+ Σχήµα.: Το υπολογιστικό πλέγµα και οι κόµβοι του πλέγµατος. Το δεύτερο βήµα είναι η προσέγγιση της Σ Ε σε ένα τυχαίο εσωτερικό κόµβο, έστω { ( ) } ( ), του πλέγµατος. Η πράξη αυτή συµβολίζεται ως εξής: { } { ( ) } ( ) P y '' + Q y ' + y + S = 0 (.4.5) = = = = Η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της Σ Ε προσεγγίζονται µε τις κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών ης τάξης y' και y'' = = y y h ( ) + = + O h (.4.6α) y+ y + y = +O ( h ) (.4.6β) h αντίστοιχα. Οι εκφράσεις (.4.6) αντικαθίστανται στη εξίσωση (.4.5) που γράφεται στη µορφή y+ y + y y+ y P + Q 0 + y + S = =,, N h h,. (.4.7) Οι δείκτες, και στις διάφορες ποσότητες συµβολίζουν τις ποσότητές αυτές στους αντίστοιχους κόµβους. Σηµειώνεται ότι η εξίσωση (.4.8) δεν ταυτίζεται αλλά αποτελεί προσέγγιση της εξίσωσης (.4.5) και το σφάλµα είναι + O( h ). Βλέπουµε επίσης ότι είναι αλγεβρική και ότι ισχύει για κάθε εσωτερικό κόµβο. Εποµένως µε βάση την εξίσωση (.4.7) δηµιουργείται ένα σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων µε αγνώστους τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους εσωτερικούς κόµβους του πλέγµατος. 4

15 Η εξίσωση (.4.7) ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών. Αναδιατάσσοντας κατάλληλα τους όρους της (.4.7), την ξαναγράφουµε στη µορφή P Q P P Q y + y + + y = S h h h h h + Εποµένως έχουµε =,, N, (.4.8) N αλγεβρικές εξισώσεις µε αγνώστους τις N τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής. Οι τιµές και που εµφανίζονται στην πρώτη (,,, N y y N + y y y = ) και τελευταία ( N = ) εξίσωση του συστήµατος αντίστοιχα είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες. Εποµένως, οι αντίστοιχοι όροι θα πρέπει να µετακινηθούν στην δεξιά πλευρά του συστήµατος µε αποτέλεσµα να έχουµε το σύστηµα: P P Q P Q y y S + + = y h h h h h P Q P P Q y + y + + y = S h h h h h +, =,, N (.4.9α) (.4.9β) PN QN PN PN QN yn + N y N = SN + y + h h h h h N. (.4.9γ) Το τρίτο (και τελευταίο) βήµα είναι η επίλυση του συστήµατος (.4.9). Το σύστηµα έχει τριδιαγώνια µορφή και γνωρίζουµε, ότι στη περίπτωση αυτή, η πλέον αποτελεσµατική µέθοδος επίλυσης είναι ο αλγόριθµος Thomas. Τονίζεται ότι η λύση του συστήµατος και ο υπολογισµός των αγνώστων y, y,, yn της αρχικής εξίσωσης (.4.) στα σηµεία αποτελεί προσέγγιση της αναλυτικής λύσης,,, N αριθµητική µέθοδος συγκλίνει, εφόσον καθώς ο αριθµός αυξάνει και το διάστηµα h 0. Λέµε ότι η των κόµβων, βελτιώνεται η ακρίβεια των αριθµητικών αποτελεσµάτων σε σχέση µε τα αναλυτικά. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα αφού οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι ης N + τάξης, αναµένεται η σύγκλιση να είναι τετραγωνική. Βέβαια αυτό δεν ισχύει γενικώς αλλά για h h 0 µικρές τιµές του διαστήµατος και ακόµα καλύτερα για. Είναι προφανές ότι καθώς αυξάνει ο αριθµός των κόµβων αυξάνει παράλληλα ο 5

16 αριθµός των αλγεβρικών εξισώσεων του συστήµατος και βεβαίως το υπολογιστικό κόστος (µνήµη υπολογιστή και χρόνος υπολογισµών). Η επιλογή του κατάλληλου πλέγµατος εξαρτάται από την εκάστοτε εφαρµογή. Είναι όµως χρήσιµο και τις περισσότερες φορές απαραίτητο να γίνονται δοκιµές µε διαφορετικά πλέγµατα ώστε να εξετάζεται η συµπεριφορά των αποτελεσµάτων για διαφορετικά h και να επιβεβαιώνεται η σύγκλισή τους. Όπως βλέπουµε το σύστηµα (.4.9) αλλά όπως θα δούµε και στη συνέχεια, ο πίνακας των συντελεστών των αλγεβρικών συστηµάτων που προκύπτουν µε την εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών, περιέχει πολλά µηδενικά στοιχεία και µόνο ένας µικρός αριθµός συντελεστών, σε σχέση µε τη τάξη του συστήµατος, είναι µη µηδενικοί. Εποµένως, πρόκειται για αραιούς πίνακες. Επίσης η απόλυτη τιµή των διαγωνίων στοιχείων είναι µεγαλύτερη ή ίση από το άθροισµα των απολύτων τιµών των υπολοίπων στοιχείων κάθε γραµµής. Άρα οι επαναληπτικές µέθοδοι επίλυσης συστηµάτων (Jacob, Gass-Sedel, SO) θα πρέπει να προτιµώνται αντί των άµεσων µεθόδων (απαλοιφή Gass, παραγοντοποίηση LU), εκτός βεβαίως αν πρόκειται για ειδικές µορφές πινάκων όπως οι τριδιαγώνιοι ή οι συµµετρικοί πίνακες όπου ο αλγόριθµος Thomas και η µέθοδος Cholesky αντίστοιχα είναι οι πλέον αποτελεσµατικές µέθοδοι επίλυσης..5 Οριακές συνθήκες µε παραγώγους Αρκετά συχνά µία από τις δύο οριακές συνθήκες προσδιορίζει την τιµή της παραγώγου της εξαρτηµένης µεταβλητής (και όχι την ίδια την µεταβλητή) στο όριο αυτό. Στη περίπτωση αυτή οι οριακές συνθήκες της Σ Ε (.4.) δίδονται από τις σχέσεις y y L = για = L και y Η οριακή συνθήκη στο όριο dy d = για =. (.5.) = ονοµάζεται οριακή συνθήκη τύπου Newmann και δύναται να είναι οµογενής ή µη οµογενής. Εποµένως, τώρα η τιµή y N + δεν είναι γνωστή και θα πρέπει να υπολογισθεί µαζί µε τις 6

17 y y N + υπόλοιπες τιµές της. Λαµβάνοντας υπόψη ότι η τιµή είναι άγνωστη, η εξίσωση (.4.9γ), τροποποιείται και γράφεται στη µορφή PN QN PN PN QN yn + N y N + + y N+ = S N. (.5.) h h h h h Επίσης, θα πρέπει να διατυπωθεί µία επιπλέον εξίσωση για τον κόµβο N +, ώστε ο αριθµός των εξισώσεων να ισούται µε τον αριθµό των αγνώστων. Αυτό επιτυγχάνεται µε δύο διαφορετικούς τρόπους: Ο πρώτος τρόπος εµπλέκει µόνο την οριακή συνθήκη Newmann στο =. Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την ανάδροµη έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης dy y y d h N + ( ) N+ N = + O h (.5.) και η οριακή συνθήκη στο όριο = αντικαθίσταται από την αλγεβρική έκφραση yn + yn+ = hy. (.5.4) Η εξίσωση (.5.4) είναι η επιπλέον εξίσωση που απαιτείται και µαζί µε τις εξισώσεις (.4.9α), (.4.9.β) και (.5.) αποτελούν ένα σύστηµα εξισώσεων για τους N αγνώστους y, y,, y N + N. Η µεθοδολογία αυτή είναι απλή και το σύστηµα των αγνώστων παραµένει τριδιαγώνιο. Το µειονέκτηµα της µεθόδου είναι ότι η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (.5.4) για το κόµβο N + είναι ης τάξης, ενώ όλες οι άλλες εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών για τους υπόλοιπους κόµβους είναι ης τάξης. υστυχώς η ακρίβεια του σχήµατος µειώνεται από δεύτερη σε πρώτη τάξη, αφού το σφάλµα στην τιµή y N + θα διαδοθεί και στις άλλες τιµές y. Ο δεύτερος τρόπος εµπλέκει την οριακή συνθήκη Newmann και την Σ Ε στο =. Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την κεντρώα έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης dy y y d N+ N = + O( h ) (.5.5) N + h 7

18 ή y = N y + + N hy. (.5.6) Ο όρος y N + αντιστοιχεί στο εικονικό κόµβο N + (βλέπε Σχήµα.4). N- N N+ N+ N- N N+ N+ Σχήµα.4: Οριακή συνθήκη µε παράγωγο - εικονικός κόµβος πλέγµατος. Στη συνέχεια η γενική έκφραση πεπερασµένων διαφορών (.4.7) εφαρµόζεται στον κόµβο N + και παίρνουµε την εξίσωση πεπερασµένων διαφορών P Q P P Q y + y + + y = S h h h h h N+ N+ N+ N+ N+ N N+ N+ N+ N+. (.5.7) Συνδυάζοντας τις (.5.6) και (.5.7) προκύπτει, για το κόµβο N +, η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης PN+ PN+ PN+ y N + N+ y N+ = SN+ hy + h h h Q N +. (.5.8) h Τώρα το σύστηµα των εξισώσεων αποτελείται από τις εξισώσεις (.4.9α), (.4.9.β), (.5.) και (.5.8). Το σύστηµα είναι και πάλι τριδιαγώνιο και επιλύεται µε τον αλγόριθµο Thomas, ενώ η ακρίβεια όλων των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών και εποµένως ολόκληρου του αριθµητικού σχήµατος είναι ης τάξης. Τέλος σηµειώνεται ότι οι κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι η πλέον συνήθης προσέγγιση για προβλήµατα οριακών τιµών τόσο για συνήθεις όσο και για µερικές διαφορικές εξισώσεις. 8

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

z είναι οι τρεις ανεξάρτητες

z είναι οι τρεις ανεξάρτητες Κεφάλαιο 5 Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 5. Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης Η πλέον αντιπροσωπευτική εξίσωση µεταξύ των παραβολικών εξισώσεων είναι η εξίσωση θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές Κεφάλαιο 4 Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 4 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις Οι πλέον συνηθισµένες ελλειπτικές εξισώσεις µε πλήθος εφαρµογών σε πολλά επιστηµονικά και τεχνολογικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 8 : Το ιακριτό Μοντέλο Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

f στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N

f στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

x,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα

x,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα Μέθοδος κυβικών sples: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f με,,,...,,. Για κάθε διάστημα βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης S,,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: Συνθήκη Α: S f, S f S Συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - opyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Θα εξετάσουµε την προσέγγιση µιας συνάρτησης z που αντιστοιχεί σε µια επιφάνεια στον χώρο µε παρεµβολή σε δοσµένα σηµεία της µε πεπερασµένα στοιχεία Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Μαθήματος. Διάλεξη 10: Ολοκλήρωση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων: Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Μίας Διάστασης (1D)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Μαθήματος. Διάλεξη 10: Ολοκλήρωση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων: Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Μίας Διάστασης (1D) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Μαθήματος Διάλεξη : Ολοκλήρωση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων: Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Μίας Διάστασης D Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο. Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson

ΘΕΜΑ 2ο. Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson ΘΕΜΑ 2ο Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson Θέµα 2: Η ακόλουθη αντίδραση πραγµατοποιείται σε έναν αντιδραστήρα αέριας φάσης: H 2 S+O 2 H 2 +SO 2 Όταν το σύστηµα φτάσει σε ισορροπία στους 600Κ και

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD H µέθοδος πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain method είναι µια από τις πιο γνωστές και εύχρηστες αριθµητικές µεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα