Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo"

Transcript

1 Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo Κουτσιούµπας Αλέξανδρος εκέµβριος 00 Το µοντέλο Ising εισήχθη από τους Lenz (190) και Ising (195) για την περιγραφή της µετατροπής φάσης των διαµαγνητικών υλικών στην θερµοκρασία Curie T C. Το µοντέλο υποθέτει την ύπαρξη πλέγµατος, τα πλεγµατικά σηµεία του οποίου κατέχουν µια τιµή spin µε κατεύθυνση πάνω ή κάτω ως προς άξονα z ( σ = ± 1 ). Προφανώς µεταξύ γειτονικών πλεγµατικών σηµείων υφίσταται αλληλεπίδραση η οποία συνεισφέρει στην ενέργεια του συστήµατος. Ανάλογα µε το πρόσηµο της ενέργειας αλληλεπίδρασης I που καθορίζεται από την επικάλυψη των κυµατοσυναρτήσεων των spin, προτιµάτε από το σύστηµα η παράλληλη ή αντιπαράλληλη τοποθέτηση των spin, δηλαδή η ενεργειακά συµφέρουσα κατάσταση. Η Χαµιλτόνια του συστήµατος δίδεται από τη σχέση H ( σ 1,..., σ Ν ) = Ι σ ι σ κ (1) όπου η άθροιση αναφέρετε σε όλα τα ζεύγη εγγύτατων γειτόνων ο αριθµός των οποίων εξαρτάτε από τη διάσταση του πλέγµατος. Σε µηδενική θερµοκρασία τα spin οφείλουν να παραλληλιστούν, πράγµα το οποίο οδηγεί το σύστηµα να αποκτήσει µία µαγνητική διπολική ροπή D = Nµ. 1 Αντίθετα σε υψηλές θερµοκρασίες η αλληλεπίδραση δεν παίζει σηµαντικό ρόλο στην µαγνητική συµπεριφορά του πλέγµατος, όπου αναµένουµε η τυχαία κατεύθυνση των spin να αλληλοακυρώνει τις µαγνητικές ροπές και συνεπώς να οδηγεί σε αµελητέα ολική διπολική µαγνητική ροπή. Αν και γνωρίζουµε τη συµπεριφορά του συστήµατος σε ακραίες θερµοκρασίες, δεν µας είναι ξεκάθαρη η ύπαρξη µετατροπής φάσης καθώς θα µπορούσε αυξανόµενης της θερµοκρασίας, η µαγνήτιση µε συνεχή τρόπο να µηδενίζεται. Η απάντηση µπορεί να δοθεί φυσικά µέσω του υπολογισµού της συνάρτησης επιµερισµού του συστήµατος και κατόπιν του υπολογισµού των θερµοδυναµικών µεγεθών που µας ενδιαφέρουν ( θερµοχωρητικότητα, επιδεκτικότητα κ.λ.π ). υστυχώς µόνο για το µονοδιάστατο και δισδιάστατο [1] πλέγµα Ising έχουν βρεθεί αναλυτικές λύσεις. Η αναλυτική λύση του µονοδιάστατου µοντέλου δεν παρουσιάζει µετατροπή φάσης σε αντίθεση µε το δισδιάστατο µοντέλο το οποίο εµφανίζει µετατροπή φάσης τάξης αταξίας. Ακόµη λοιπόν και για ένα σχετικά απλό µοντέλο φαίνεται η δυσκολία του θεωρητικού χειρισµού των µετατροπών φάσης. Σε αυτό σηµείο η υπολογιστική εξοµοίωση έρχεται να δώσει πληροφορίες για τη συµπεριφορά ανάλογων µοντέλων τα οποία έχουν µεγάλο ενδιαφέρον για την κατανόηση της ποιοτικής και ποσοτικής συµπεριφοράς συστηµάτων που εµφανίζουν µετατροπές φάσεων. Η µέθοδος Monte Carlo την οποία χρησιµοποιήσαµε στην παρούσα εργασία για την εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising, αποτελεί γενική µέθοδο προσοµοίωσης φυσικών συστηµάτων που εµφανίζουν συµπεριφορά στοχαστικού χαρακτήρα. Στις πολυάριθµες παραλλαγές της [] η µέθοδος επιδιώκει µέσω της 1 Έχοντας υποθέσει ότι κάθε spin συνοδεύεται από µαγνητική ροπή µ

2 χρήσης τυχαίων αριθµών να «παρακολουθήσει» την «χρονικά εξαρτώµενη» πορεία του υπό µελέτη συστήµατος και να οδηγήσει στον υπολογισµό χαρακτηριστικών στατιστικών µεγεθών. Συγκεκριµένα για το υπό µελέτη διαστατό πλέγµα Ising ένας crude 3 Monte Carlo αλγόριθµος που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί, είναι η τυχαία 4 παραγωγή πλεγµατικών διαµορφώσεων και κατόπιν ο υπολογισµός της στατιστικής συνεισφοράς της κάθε διαµόρφωσης µέσω ενός παράγοντα Boltzmann 5. Η υιοθέτηση µιας τέτοιας τακτικής θα µας οδηγούσε στην κατανάλωση υπερβολικού υπολογιστικού χρόνου για τον υπολογισµό πολλών καταστάσεων οι οποίες προσφέρουν ελάχιστα στις µέσες τιµές των θερµοδυναµικών ποσοτήτων του συστήµατος στην κατάσταση ισορροπίας. Μια ποιό αποτελεσµατική µέθοδος η οποία µπορεί να άρει τις παραπάνω δυσκολίες είναι η δειγµατοληψία µε βάση την συνεισφορά της κάθε διαµόρφωσης του πλέγµατος importance sampling method. Αντί δηλαδή της δειγµατοληψίας πολλών διαφορετικών καταστάσεων και τον υπολογισµό της συνεισφοράς τους µέσω του παράγοντα Boltzmann, είναι προτιµότερο να παράγουµε σε κάθε βήµα του αλγόριθµου µας και συνεπώς να συνυπολογίζουµε, καταστάσεις µε µεγαλύτερη «σπουδαιότητα» ή αλλιώς µεγαλύτερη συνεισφορά στους στατιστικούς µέσους όρους. Ένας τέτοιος αλγόριθµος που και εµείς χρησιµοποιήσαµε προτάθηκε από τον Metropolis [4] και σε γενικές γραµµές ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα: 1. Παράγεται µια δοκιµαστική διαµόρφωση µεταβάλλοντας τυχαία την κατεύθυνση του spin ενός πλεγµατικού σηµείου.. Υπολογίζουµε την ενεργειακή διαφορά που προκύπτει από την εναλλαγή του spin. 3. Αν η ενεργειακή διαφορά Ε είναι συµφέρουσα για το σύστηµα τότε γίνεται αποδεκτή, διαφορετικά ένας τυχαίος αριθµός n παράγεται µεταξύ του µηδέν βδε και του ένα και η νέα διαµόρφωση γίνεται αποδεκτή µόνο εφόσον e > n. Γίνεται κατανοητό ότι πλέον µε πολύ λιγότερες διαµορφώσεις, µπορούµε να υπολογίσουµε µε «ασφάλεια» τις τιµές θερµοδυναµικών µεγεθών, καθώς µετά από σχετικά µικρό αριθµό επαναλήψεων του παραπάνω αλγόριθµου, οι διαµορφώσεις οι οποίες παράγονται περιγράφουν ικανοποιητικά την συµπεριφορά του πλέγµατος σε κατάσταση ισορροπίας σε συγκεκριµένη θερµοκρασία. Στον κώδικα 6 που χρησιµοποιήσαµε, ξεκινάµε από µια «θερµή» διαµόρφωση και υψηλή θερµοκρασία για να αποφύγουµε εγκλωβισµό του αλγόριθµου σε τοπικά που όσο τυχαίοι είναι, άλλο τόσο «αναγκαίοι» είναι... 3 βάρβαρος σε σχέση µε την υπολογιστική ισχύ που απαιτεί για την εξαγωγή «αξιοπρεπών» αποτελεσµάτων. 4 Σε αυτό το σηµείο οφείλουµε να πούµε ότι οι αριθµοί που παράγονται από της γεννήτριες τυχαίων αριθµών, στην πραγµατικότητα είναι ψευδότυχαιοι. Μάλιστα µια «κακή» γεννήτρια πολλές φορές µπορεί να εισάγει σηµαντικά στατιστικά λάθη στους υπολογισµούς µας. Στην βιβλιογραφία περιγράφονται πολλές µέθοδοι ελέγχου της ποιότητας µιας γεννήτριας τυχαίων αριθµών. Στην παρύσα εργασία χρησιµοποιήσαµε µια απλή congruential γεννήτρια η οποία φάνηκε να αρκεί για της ανάγκες των υπολογισµών µας. 5 Γνωρίζοντας ότι η αναµενόµενη τιµή ενός στατιστικού µεγέθους Α δίδεται από την σχέση < Α >= r Α r e e βer ρ βe r 6 Το πρόγραµµα γράφτηκε στην γλώσσα FORTRAN

3 ενεργειακά ελάχιστα, ενώ παράλληλα θεωρούµε περιοδικές συνοριακές συνθήκες για τα άκρα του πλέγµατος. Επειδή αναγκαστικά τα συστήµατα που µελετάµε υπολογιστικά είναι πεπερασµένων διαστάσεων, οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες αναλαµβάνουν να παρακάµψουν την εµφάνιση συνοριακών φαινοµένων στο σύστηµά µας χωρίς βέβαια να καταφέρνουν απόλυτα να αναπαράγουν τη συµπεριφορά το άπειρο πλέγµα. Για κάθε διαφορετική θερµοκρασία στον υπολογισµό των θερµοδυναµικών ποσοτήτων, δεν λαµβάνουµε υπόψη έναν αριθµό αρχικών βηµάτων µέχρι να «φτάσουµε» σε κατάσταση ισορροπίας. Οι βασικές ποσότητες οι οποίες καταγράφονται σε κάθε υπολογιστικό βήµα ( Monte Carlo Step ) είναι η ενέργεια του συστήµατος Ε και η µαγνήτιση Μ. Κατόπιν για κάθε θερµοκρασία µετά το πέρας ικανού αριθµού Monte Carlo steps 7 υπολογίζουµε τις µέσες τιµές της ενέργειας και της µαγνήτισης. Όσον αφορά την ειδική θερµότητα και την µαγνητική επιδεκτικότητα εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι : όµοια < Ε > β < Ε > β ln Z β 1 Ζ C V = = = = ( ) = T Τ β T β Τ β Ζ β () β 1 Ζ 1 Ζ β = { ( ) } = { < Ε > < Ε > } Τ Ζ β Ζ β Τ < Μ > χ = = β{ < Μ > < Μ > } (3) Η Συνεπώς µέσα από τη γνώση των µέσων τιµών της ενέργειας, της µαγνήτισης και των τετραγώνων τους, εύκολα υπολογίζουµε µέσω των σχέσεων () και (3) (δηλαδή των διακυµάνσεων θερµοδυναµικών ποσοτήτων) την θερµοχωρητικότητα και την µαγνητική επιδεκτικότητα. Στα επόµενα σχήµατα παραθέτουµε αποτελέσµατα εξοµοιώσεων που εκτελέσαµε βάση της περιγραφής που κάναµε, για διάφορα µεγέθη πλεγµάτων. 7 Είναι κατανοητό ότι αυξανόµενου του µεγέθους του πλέγµατος, αυξάνετε και ο αριθµός των απαιτούµενων διαµορφώσεων που οφείλουµε να συνυπολογίσουµε καθώς και των MC steps που χρειάζονται µέχρι να φτάσουµε στην παραγωγή διαµορφώσεων που χαρακτηρίζουν την κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος σε κάθε θερµοκρασία.

4 1,0 0,8 0,6 N=30 N=0 N=15 N=10 N=5 <M> 0,4 0, 0,0 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 1.Τιµές της µέσης µαγνήτισης για διάφορα µεγέθη πλεγµάτων -0,4-0,6-0,8-1,0-1, <E> -1,4-1,6-1,8 N=30 -,0 -, 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα. Μέση ενέργεια για πλέγµα 30x30

5 0,004 0,003 Cv 0,00 N=0 0,001 0,000 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 3. Ειδική Θερµότητα για πλέγµα 0x0 0,05 0,00 χ 0,015 0,010 N=0 0,005 0,000 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 4. Μαγνητική Επιδεκτικότητα για πλέγµα 0x0

6 Στα σχήµατα 1-4, παρατηρούµε την αναµενόµενη συµπεριφορά του δισδιάστατου πλέγµατος Ising. Η αναλυτική λύση του µοντέλου προβλέπει ότι για άπειρο πλέγµα έχουµε µετατροπή φάσης στην ανηγµένη θερµοκρασία T=,3. Στις καµπύλες της ειδικής θερµότητας και της µαγνητικής επιδεκτικότητας εµφανίζεται µια έντονη κορυφή πολύ κοντά στη συγκεκριµένη θερµοκρασία η οποία αντιστοιχεί στον απειρισµό αυτών των ποσοτήτων για το άπειρο πλέγµα. Το γεγονός του ότι η εξοµοίωσή µας γίνετε για πεπερασµένα πλέγµατα finite size effects οδηγεί στην µερική εξοµάλυνση αυτής της συµπεριφοράς αν και αυξανοµένων των διαστάσεων του υπό εξοµοίωση πλέγµατος παρατηρούµε πως οι κορυφές γίνονται όλο και ποιό οξείες. Αντίστοιχα στο σχήµα 1, εµφανίζεται καθαρά πως όσο µεγαλώνει το πλέγµα, τόσο προσεγγίζεται η συµπεριφορά του άπειρου πλέγµατος. Η απότοµη αλλαγή της µαγνήτισης κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία, δηλώνει την ύπαρξη της µετατροπής φάσης όσον αφορά την µαγνητική συµπεριφορά του πλέγµατός µας. Αρκετά διδακτικό και ενδιαφέρων είναι να καταγράψουµε την εξέλιξη της πορείας της εξοµοίωσης για ένα συγκεκριµένο θερµοκρασιακό βήµα. ηλαδή την εξέλιξη των θερµοδυναµικών µεγεθών συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου ( MC steps ). Πέρα από αυτό µπορούµε να ορίσουµε την συνάρτησης συσχέτισης correlation function του συστήµατος, η οποία µπορεί να µας δώσει ένα µέτρο της χρονικής εξέλιξης της «µνήµης» του συστήµατος, δηλαδή του πόσο γρήγορα αποµακρύνεται από την αρχική του διαµόρφωση. Συγκεκριµένα ορίζουµε της συνάρτηση συσχέτισης µέσω της σχέσης: = 1 g σ ι σ (4) N ξ όπου η άθροιση αναφέρετε στο σύνολο των πλεγµατικών σηµείων. Στα επόµενα σχήµατα παραθέτουµε αποτελέσµατα που λάβαµε για διάφορες θερµοκρασίες για την συνάρτηση συσχέτισης αλλά και για την χρονική εξέλιξη διάφορων θερµοδυναµικών µεγεθών. Επίσης παρουσιάζουµε «στιγµιότυπα» του συστήµατος καθώς πληθαίνουν τα MC steps. Σχήµα 5. Στιγµιότυπα του συστήµατος 50x50 για κάθε 5000 MC steps στη θερµοκρασία.1 Σχήµα 6. Στιγµιότυπα του συστήµατος 100x100 για κάθε MC Steps στη θερµοκρασία.0

7 Σχήµα 7.. Στιγµιότυπα του συστήµατος 100x100 για κάθε MC Steps στην κρίσιµη θερµοκρασία.3 Σχήµα 8. Στιγµιότυπα του συστήµατος 50x50 για κάθε MC Steps στη θερµοκρασία 1.1 0,8 0,7 0,6 correlation function 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 N=0 T=.3-0, Monte Carlo Steps Σχήµα 9. Συνάρτηση συσχέτισης για πλέγµα 0x0 στη θερµοκρασία.3

8 1,0 correlation function 0,8 0,6 0,4 0, N=50 T=.3 0, Monte Carlo Steps Σχήµα 10. Συνάρτηση συσχέτισης για πλέgµα 50x50 σε θερµοκρασία Average Energy N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 11. Μέση ενέργεια συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου στη θερµοκρασία.3

9 Average Energy N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 1. Μέση ενέργεια συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου στη θερµοκρασία Average Magnetization N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 13. Χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης για θερµοκρασία.0 σε πλέγµα 50x50 Στα σχήµατα 5-8 παρατηρούµε τα στιγµιότυπα διαφόρων πλεγµάτων σε διάφορες θερµοκρασίες. Αυξανόµενης της θερµοκρασίας και εφόσον βρισκόµαστε σε θερµοκρασία µικρότερη της κρίσιµης, έχουµε την εµφάνιση νησίδων spin. Καθώς οδεύουµε προς την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας εµφανίζονται καλώς ορισµένες περιοχές που συνεισφέρουν στην συνολική µαγνήτιση. Μάλιστα σε

10 χαµηλή θερµοκρασία και µετά από «αρκετό» χρόνο, αναµένουµε την πλήρη παραλλήλιση των spin, πράγµα που παρατηρούµε στο σύστηµα του σχήµατος 8. Στα σχήµατα 9-1 παρατηρούµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης συσχέτισης και της µέσης ενέργειας µε τον υπολογιστικό χρόνο. Σε όλες τις καµπύλες εµφανίζονται 3 στάδια εξέλιξης του φαινοµένου. Στο πρώτο στάδιο που διαρκεί τα λίγα πρώτα MC steps, έχουµε την ραγδαία µεταβολή της διάταξης των spin. Μετά περνάµε στο δεύτερο στάδιο όπου η αλλαγή γίνετε µε βραδύτερο ρυθµό µέχρι να φτάσουµε στην ισορροπία ( τρίτο στάδιο ) όπου πλέον έχουµε διακύµανση γύρω από τη µια µέση τιµή για την ενέργεια και µικρές διακυµάνσεις περί του µηδενός για την συνάρτηση συσχέτισης η οποία µας δίνει να καταλάβουµε ότι πλέον το σύστηµα έχει «ξεχάσει» σχεδόν εντελώς της αρχική του κατάσταση. Στο σχήµα 14 όπου δεν έχουµε λογαριθµίσει τον άξονα του «χρόνου» τα παραπάνω είναι περισσότερο εµφανή. Σχήµα 14. Οι τρεις περιοχές συµπεριφοράς της συνάρτησης συσχέτισης Επίσης στα σχήµατα 11 και 1 βλέπουµε πως για µικρότερη θερµοκρασία το σύστηµα όπως είναι αναµενόµενο καθυστερεί να φτάσει στην κατάσταση ισορροπίας, η µέση ενέργειά του καθυστερεί να σταθεροποιηθεί γύρω από µια µέση τιµή. Τέλος στο σχήµα 14 παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης η οποία µεταπηδά από θετικές σε αρνητικές τιµές µε «ακανόνιστο» τρόπο για θερµοκρασίες κοντά στην κρίσιµη. Αντίθετα όπως αναµένουµε ( σχήµα 15 ) σε χαµηλές θερµοκρασίες η µαγνήτιση µετά από ένα στάδιο αρχικής διακύµανσης, «γρήγορα» σταθεροποιείται γύρω από µια µέση τιµή και αντίστοιχα σε υψηλές θερµοκρασίες σταθεροποιείται γύρω από µηδενική τιµή µέσης µαγνήτισης.

11 100 Avarage Magnetization N=0 T= monte carlo steps Σχήµα 15. Χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης για χαµηλή θερµοκρασία 1.0 σε πλέγµα 0x0 1,0 0,5 <Magnetization> 0,0-0,5 T=.0 T=.6 T=.3 (Tc) Lattice 0x0-1,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 Magnetic Field Σχήµα 16. Μέση µαγνήτιση συναρτήσει εξωτερικά µεταβαλλόµενου µαγνητικού πεδίου. Η επίδραση εξωτερικού µαγνητικού πεδίου στο σύστηµά µας για διάφορες θερµοκρασίες άνω και κάτω της κρίσιµης αναπαρίσταται στο σχήµα 16. Η εφαρµογή εξωτερικού µαγνητικού πεδίου Β εισάγει ένα νέο όρο στη Χαµιλτόνια (1) ή οποία πλέον θα δίδεται από την έκφραση H ( σ 1,..., σ ) = Ι Ν σ σ + µ Β όπου µ η µαγνητική ροπή των spin. Όπως παρατηρούµε για θερµοκρασίες µικρότερες της κρίσιµης, η αλλαγή της κατεύθυνσης της µέσης µαγνήτισης λαµβάνει χώρα κατά ασυνεχή τρόπο συναρτήσει της έντασης του πεδίου Β ( κοντά στην τιµή που ι κ σ ι

12 αντιστοιχεί στην απουσία του πεδίου ). Αντίθετα άνω του Tc η µετάβαση γίνετε µε συνεχή τρόπο. Αφήσαµε τελευταίο τον «ευαίσθητο» υπολογισµό [3] των λεγόµενων κρίσιµων εκθετών της µετατροπής φάσης του δισδιάστατου πλέγµατος Ising. Γενικά κατά την εξοµοίωση συστηµάτων που εµφανίζουν µετατροπές φάσης είναι σηµαντικό το να διαπιστωθεί ο τύπος της µετατροπής ( 1 ου, ου είδους κλπ ). Για τον θεωρητικό χειρισµό των µετατροπών φάσεις, οφείλουµε να ορίσουµε µια παράµετρο τάξης ( order parameter ) η οποία διαχωρίζει σαφώς µέσω των τιµών της, τις φάσεις του συστήµατος. Συνήθως λαµβάνει τιµή µηδέν στην φάση που χαρακτηρίζεται από αταξία και µη µηδενικές τιµές στην φάση που εµφανίζεται τάξη. Εύκολα αναγνωρίζουµε για το υπό µελέτη σύστηµα, αυτές τις ιδιότητες στην µέση µαγνήτιση την οποία και θεωρούµε από εδώ και πέρα ως παράµετρο τάξης. Ο τύπος της µετατροπής φάσης µπορεί να κατηγοριοποιηθεί µέσω των τιµών των κρίσιµων εκθετών που ορίζονται από τις σχέσεις 8 ( για T να τείνει στο Tc ) M 1 T / T χ 1 T / T C 1 T / T Σε πολλές περιπτώσεις αυτοί οι εκθέτες είναι universal «παγκόσµιοι» δηλαδή δεν εξαρτώνται από παραµέτρους του συγκεκριµένου µοντέλου ( µέγεθος, ενέργεια αλληλεπίδρασης ) αλλά από βασικές ιδιότητες που έχουν σχέση µε τις διαστάσεις του χώρου που έχουµε θεωρήσει και τις συµµετρίες του συστήµατος. Σε αυτό το γεγονός οφείλετε και η σχετική επιτυχία τόσο απλών µοντέλων στην περιγραφεί πραγµατικών µαγνητών όπου υφίστανται κλάσης πολυπλοκότερες αλληλεπιδράσεις. C C C γ α β (5) 0,0 log <M> -0,5-1,0-1,5 -,0 Lattice 50x50 T>Tc T<Tc Slope= Slope= ,5-3,0-3,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5-1,0-0,5 0,0 log ε 8 Η ποσότητα e = 1 T / TC τείνει στο µηδέν κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία. Την συναντάµε πολύ συχνά στην ανάλυση φαινοµένων κοντά σε κρίσιµα σηµεία Tc.

13 Σχήµα 16. Υπολογισµός κρίσιµων εκθετών Στην συγκεκριµένη εργασία επιχειρήσαµε τον υπολογισµό του εκθέτη β που σχετίζεται µε την µαγνήτιση (5). Από τα αποτελέσµατα τις εξοµοίωσης για την µαγνήτιση ενός πλέγµατος 50x50 ( σχήµα 17 ), παρατηρήσαµε ότι καθώς πλησιάζουµε ( από δεξιά και αριστερά ) την κρίσιµη θερµοκρασία 9, οι ποσότητες log<m> και logε κατέχουν γραµµική σχέση. Λογαριθµίζοντας την πρώτη εξίσωση (5) παρατηρούµε ότι log < M > β logε (6) Συνεπώς η κλίση της καµπύλης ( σχήµα 16 ) µας δίδει την τιµή του κρίσιµου εκθέτη β. Συγκεκριµένα λαµβάνουµε την τιµή 0.13 η οποία βρίσκεται πολύ κοντά στην θεωρητική τιµή [] η οποία ισούται µε Σε αυτό το σηµείο πρέπει να πούµε ότι η προσπάθεια εύρεσης της τιµής του εκθέτη β για µικρότερα πλέγµατα παρουσίασε µικρές αποκλίσεις οι οποίες µικραίνουν αυξανοµένων των διαστάσεων του υπό εξοµοίωση πλέγµατος. Γενικότερα δεν είναι εύκολη υπόθεση η εύρεση των τιµών των κρίσιµων εκθετών πράγµα που καταδεικνύεται και από την πλούσια βιβλιογραφία γύρω από το θέµα αυτό. Αναφορές 1. Lars Osanger, Physical Review 65, 117 ( 1944 ). David P.Landau, Kurt Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge Press ( 000 ) 3. David P.Landau, Physical Review B, 13, 997 (1975) 4. Metropolis, N., Rosenbluth, A.W., Roselbluth, M.N., Teller, A.M. and Teller, E. (1953), J.Chem Phys 1, Την οποία δεν υπολογίσαµε αλλά πήραµε δεδοµένη Tc=.3. Αυτό έγινε για να αποφύγουµε την ανάγκη του fitting δύο παραµέτρων β,tc το οποίο θα δυσκόλευε εξαιρετικά τον υπολογισµό αλλά και θα απαιτούσε αρκετά µεγάλους υπολογιστικούς χρόνους.

Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις

Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΚΟΡΝΑΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Εισαγωγή ό ή ί ί μ έ ά μ έ Ising μ

Διαβάστε περισσότερα

ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Προσοµοιώσεις Monte Carlo

ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Προσοµοιώσεις Monte Carlo ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo Φίλιος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών & Φυσικών Επιστηµών ΕΜΠ 10 Νοεµβρίου 2010 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμος Metropolis. Γ. Θεοδώρου 1

Αλγόριθμος Metropolis. Γ. Θεοδώρου 1 Αλγόριθμος Metropols Γ. Θεοδώρου Γ. Θεοδώρου 1 Δειγματοληψία Οι δύο βασικές μέθοδοι δειγματοληψίας είναι, Κλασική δειγματοληψία (καλείται και: Monte Carlo), και Δειγματοληψία Metropols. Η βασική διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ

3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Ο τρίτος θερμοδυναμικός Νόμος 2. Συστήματα με αρνητικές θερμοκρασίες 3. Θερμοδυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2017 8/3/2017 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 17/3/2017 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 24/3/2017 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική

Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική Μελέτη του Δισδιάστατου Πρότυπου Heisenberg με Μεθόδους Monte Carlo Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σκοπός της Διπλωματικής

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2010 4/3/2010 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 1. Για να κερδίσουμε το ΛΟΤΤΟ πρέπει να διαλέξουμε 6 διαφορετικούς αριθμούς από τους 49 διαθέσιμους. Η σειρά επιλογής των αριθμών δεν παίζει κανέναν ρόλο. Αν θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύµα ampere

ηλεκτρικό ρεύµα ampere Ηλεκτρικό ρεύµα Το ηλεκτρικό ρεύµα είναι ο ρυθµός µε τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από µια περιοχή του χώρου. Η µονάδα µέτρησης του ηλεκτρικού ρεύµατος στο σύστηµα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΦΟΛΗ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΥΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΟΜΕΑ ΥΤΙΚΗ Μελέτη του Προτύπου 2D-Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΣΟΤ Γιάννη Ασσιώτη Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2013 5/3/2013 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 3, 4, 5 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2013 Οι λύσεις των προβλημάτων 8 * και 20 να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2013 1. Για να κερδίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Γ: Βάθμιση και κρίσιμοι εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Παράρτημα Γ: Βάθμιση και κρίσιμοι εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Φυσική ΙΙ Παράρτημα Γ: Βάθμιση και κρίσιμοι εκθέτες Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD H µέθοδος πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain method είναι µια από τις πιο γνωστές και εύχρηστες αριθµητικές µεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύμα ampere

ηλεκτρικό ρεύμα ampere Ηλεκτρικό ρεύμα Το ηλεκτρικό ρεύμα είναι ο ρυθμός με τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από μια περιοχή του χώρου. Η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού ρεύματος στο σύστημα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό.

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό. Βασικές Εξισώσεις Σχεδιασμού (ΣΔΟΥΚΟΣ 2-, 2-) t = n i dn i V n i R και V = n i dn i t n i R Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας. Βιολογικές επιδράσεις. Ακτινοπροστασία

Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας. Βιολογικές επιδράσεις. Ακτινοπροστασία Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας Βιολογικές επιδράσεις Ακτινοπροστασία Π. Παπαγιάννης Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr PHYS215

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

- Q T 2 T 1 + Q T 1 T T

- Q T 2 T 1 + Q T 1 T T oς ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ. oς Θερµοδυναµικός νόµος σχετίζεται ιστορικά µε τις προσπάθειες για τη βελτίωση των θερµικών µηχανών. Ποιοτικά: ιατυπώνεται µε τι προτάσεις Kelvin-Plank και Clausius Ποσοτικά: ιατυπώνεται

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Αυτά τα πειράµατα έγιναν από τους Michael Faraday και Joseph Henry.

Αυτά τα πειράµατα έγιναν από τους Michael Faraday και Joseph Henry. Επαγόµενα πεδία Ένα µαγνητικό πεδίο µπορεί να µην είναι σταθερό, αλλά χρονικά µεταβαλλόµενο. Πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν το 1831 έδειξαν ότι ένα µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο µπορεί να επάγει ΗΕΔ σε

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές. Γ. Θεοδώρου 1

Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές. Γ. Θεοδώρου 1 Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές Γ. Θεοδώρου 1 Περιεχόμενο 1. Γενικά Εισαγωγή στα MATLAB και Octave. 2. Προσομοιώσεις Monte Carlo, Τυχαίες μεταβλητές, κατανομές, πυκνότητα πιθανότητας, Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσµατικότητας της Ανάκτησης)

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσµατικότητας της Ανάκτησης) Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-6 Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 7-8 Εαρινό Εξάµηνο Άσκηση Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσµατικότητας της Ανάκτησης) Θεωρείστε µια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Κρίσιμοι Εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Κεφάλαιο 6: Κρίσιμοι Εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Φυσική ΙΙ Κεφάλαιο 6: Κρίσιμοι Εκθέτες Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Σύζευξη σπιν-σπιν J = 0 J 0

Σύζευξη σπιν-σπιν J = 0 J 0 Σύζευξη σπιν-σπιν Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο πυρήνες Α και Χ, οι οποίοι είτε συνδέονται απ ευθείας µε έναν δεσµό είτε η σύνδεσή γίνεται µε περισσότερους δεσµούς. A X J = 0 J 0 Α Χ Α Χ Το σπάσιµο των

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών

Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 5 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ, ΤΕΥΧΟΣ Γ Διδασκαλία της Φυσικής με Νέες Τεχνολογίες Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran

Διαβάστε περισσότερα

Experiment Greek (Cyprus) Q2-1

Experiment Greek (Cyprus) Q2-1 Greek (Cyprus) Q2-1 Τίτλος Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για μεταβάσεις φάσεων και αστάθειες. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε αυτό το

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 1) Θεωρούµε ένα σύστηµα που αποτελείται από ένα σωµατίδιο µε σπιν ½ και µε µαγνητική ροπή

Διαβάστε περισσότερα

Κύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max.

Κύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max. Για την µελέτη ενός κύµατος Κύµα µε αρχική φάση 1) Χρειαζόµαστε ένα σηµείο αναφοράς δηλ. µία αρχή που συνήθως επιλέγεται το x = 0. Στο x = 0 συνήθως βρίσκεται και η πηγή του κύµατος χωρίς αυτό να είναι

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός

ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός 1 Αγωγή Χρονικά µεταβαλλόµενη κατάσταση Κεφάλαιο 4 Ορισµός του προβλήµατος Σε πολλές τεχνικές εφαρµογές απαιτείται ο υπολογισµός της θερµικής αγωγής σε χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Τηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1

Τηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1 . 1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση: α. ευθύγραµµη οµαλή β. ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη γ. οµαλή κυκλική δ. ευθύγραµµη περιοδική. Η φάση της αποµάκρυνσης στην απλή αρµονική ταλάντωση: α. αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. - 2 - .. Καλλιστής Νικόλαος Διπλωματούχος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυρήνας του Ατόμου

Ο Πυρήνας του Ατόμου 1 Σκοποί: Ο Πυρήνας του Ατόμου 15/06/12 I. Να δώσει μία εισαγωγική περιγραφή του πυρήνα του ατόμου, και της ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο για να παραμείνει δέσμιο μέσα στον πυρήνα. II. III.

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) ,

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) , Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 45 και επειδή d x x = / = 7.5649 > η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: και ( x ) = ( x x ) = P P, P,.58975,.478 x =.58975 x =.58975 ( x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Η έννοια του συναρτησιακού (functional). ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 8 5:-8: Σχεδιάστε έναν αισθητήρα (perceptron)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας.

Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Greek (Greece) Q2-1 Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α ΟΜΑ Α Β

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α ΟΜΑ Α Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Α.1. Σωστό Α.2. Λάθος Α.3. Σωστό Α.4. Λάθος Α.5. Λάθος Α.6. β Α.7. γ ΟΜΑ Α Β α) Η φάση της ύφεσης. Η φάση της ύφεσης χαρακτηρίζεται από εκτεταµένη ανεργία, έλλειψη επενδύσεων και ανεπαρκή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

3. ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

3. ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ . ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Οι πρώτες συστηματικές μετρήσεις της επιδεκτικότητας σε μεγάλο αριθμό ουσιών και σε μεγάλη περιοή θερμοκρασιών έγιναν από τον Curie το 895. Τα αποτελέσματά του έδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργαστηριακή Άσκηση

4 η Εργαστηριακή Άσκηση 4 η Εργαστηριακή Άσκηση Βρόχος υστέρησης σιδηροµαγνητικών υλικών Θεωρητικό µέρος Τα περισσότερα δείγµατα του σιδήρου ή οποιουδήποτε σιδηροµαγνητικού υλικού που δεν έχουν βρεθεί ποτέ µέσα σε µαγνητικά πεδία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα