Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo"

Transcript

1 Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo Κουτσιούµπας Αλέξανδρος εκέµβριος 00 Το µοντέλο Ising εισήχθη από τους Lenz (190) και Ising (195) για την περιγραφή της µετατροπής φάσης των διαµαγνητικών υλικών στην θερµοκρασία Curie T C. Το µοντέλο υποθέτει την ύπαρξη πλέγµατος, τα πλεγµατικά σηµεία του οποίου κατέχουν µια τιµή spin µε κατεύθυνση πάνω ή κάτω ως προς άξονα z ( σ = ± 1 ). Προφανώς µεταξύ γειτονικών πλεγµατικών σηµείων υφίσταται αλληλεπίδραση η οποία συνεισφέρει στην ενέργεια του συστήµατος. Ανάλογα µε το πρόσηµο της ενέργειας αλληλεπίδρασης I που καθορίζεται από την επικάλυψη των κυµατοσυναρτήσεων των spin, προτιµάτε από το σύστηµα η παράλληλη ή αντιπαράλληλη τοποθέτηση των spin, δηλαδή η ενεργειακά συµφέρουσα κατάσταση. Η Χαµιλτόνια του συστήµατος δίδεται από τη σχέση H ( σ 1,..., σ Ν ) = Ι σ ι σ κ (1) όπου η άθροιση αναφέρετε σε όλα τα ζεύγη εγγύτατων γειτόνων ο αριθµός των οποίων εξαρτάτε από τη διάσταση του πλέγµατος. Σε µηδενική θερµοκρασία τα spin οφείλουν να παραλληλιστούν, πράγµα το οποίο οδηγεί το σύστηµα να αποκτήσει µία µαγνητική διπολική ροπή D = Nµ. 1 Αντίθετα σε υψηλές θερµοκρασίες η αλληλεπίδραση δεν παίζει σηµαντικό ρόλο στην µαγνητική συµπεριφορά του πλέγµατος, όπου αναµένουµε η τυχαία κατεύθυνση των spin να αλληλοακυρώνει τις µαγνητικές ροπές και συνεπώς να οδηγεί σε αµελητέα ολική διπολική µαγνητική ροπή. Αν και γνωρίζουµε τη συµπεριφορά του συστήµατος σε ακραίες θερµοκρασίες, δεν µας είναι ξεκάθαρη η ύπαρξη µετατροπής φάσης καθώς θα µπορούσε αυξανόµενης της θερµοκρασίας, η µαγνήτιση µε συνεχή τρόπο να µηδενίζεται. Η απάντηση µπορεί να δοθεί φυσικά µέσω του υπολογισµού της συνάρτησης επιµερισµού του συστήµατος και κατόπιν του υπολογισµού των θερµοδυναµικών µεγεθών που µας ενδιαφέρουν ( θερµοχωρητικότητα, επιδεκτικότητα κ.λ.π ). υστυχώς µόνο για το µονοδιάστατο και δισδιάστατο [1] πλέγµα Ising έχουν βρεθεί αναλυτικές λύσεις. Η αναλυτική λύση του µονοδιάστατου µοντέλου δεν παρουσιάζει µετατροπή φάσης σε αντίθεση µε το δισδιάστατο µοντέλο το οποίο εµφανίζει µετατροπή φάσης τάξης αταξίας. Ακόµη λοιπόν και για ένα σχετικά απλό µοντέλο φαίνεται η δυσκολία του θεωρητικού χειρισµού των µετατροπών φάσης. Σε αυτό σηµείο η υπολογιστική εξοµοίωση έρχεται να δώσει πληροφορίες για τη συµπεριφορά ανάλογων µοντέλων τα οποία έχουν µεγάλο ενδιαφέρον για την κατανόηση της ποιοτικής και ποσοτικής συµπεριφοράς συστηµάτων που εµφανίζουν µετατροπές φάσεων. Η µέθοδος Monte Carlo την οποία χρησιµοποιήσαµε στην παρούσα εργασία για την εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising, αποτελεί γενική µέθοδο προσοµοίωσης φυσικών συστηµάτων που εµφανίζουν συµπεριφορά στοχαστικού χαρακτήρα. Στις πολυάριθµες παραλλαγές της [] η µέθοδος επιδιώκει µέσω της 1 Έχοντας υποθέσει ότι κάθε spin συνοδεύεται από µαγνητική ροπή µ

2 χρήσης τυχαίων αριθµών να «παρακολουθήσει» την «χρονικά εξαρτώµενη» πορεία του υπό µελέτη συστήµατος και να οδηγήσει στον υπολογισµό χαρακτηριστικών στατιστικών µεγεθών. Συγκεκριµένα για το υπό µελέτη διαστατό πλέγµα Ising ένας crude 3 Monte Carlo αλγόριθµος που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί, είναι η τυχαία 4 παραγωγή πλεγµατικών διαµορφώσεων και κατόπιν ο υπολογισµός της στατιστικής συνεισφοράς της κάθε διαµόρφωσης µέσω ενός παράγοντα Boltzmann 5. Η υιοθέτηση µιας τέτοιας τακτικής θα µας οδηγούσε στην κατανάλωση υπερβολικού υπολογιστικού χρόνου για τον υπολογισµό πολλών καταστάσεων οι οποίες προσφέρουν ελάχιστα στις µέσες τιµές των θερµοδυναµικών ποσοτήτων του συστήµατος στην κατάσταση ισορροπίας. Μια ποιό αποτελεσµατική µέθοδος η οποία µπορεί να άρει τις παραπάνω δυσκολίες είναι η δειγµατοληψία µε βάση την συνεισφορά της κάθε διαµόρφωσης του πλέγµατος importance sampling method. Αντί δηλαδή της δειγµατοληψίας πολλών διαφορετικών καταστάσεων και τον υπολογισµό της συνεισφοράς τους µέσω του παράγοντα Boltzmann, είναι προτιµότερο να παράγουµε σε κάθε βήµα του αλγόριθµου µας και συνεπώς να συνυπολογίζουµε, καταστάσεις µε µεγαλύτερη «σπουδαιότητα» ή αλλιώς µεγαλύτερη συνεισφορά στους στατιστικούς µέσους όρους. Ένας τέτοιος αλγόριθµος που και εµείς χρησιµοποιήσαµε προτάθηκε από τον Metropolis [4] και σε γενικές γραµµές ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα: 1. Παράγεται µια δοκιµαστική διαµόρφωση µεταβάλλοντας τυχαία την κατεύθυνση του spin ενός πλεγµατικού σηµείου.. Υπολογίζουµε την ενεργειακή διαφορά που προκύπτει από την εναλλαγή του spin. 3. Αν η ενεργειακή διαφορά Ε είναι συµφέρουσα για το σύστηµα τότε γίνεται αποδεκτή, διαφορετικά ένας τυχαίος αριθµός n παράγεται µεταξύ του µηδέν βδε και του ένα και η νέα διαµόρφωση γίνεται αποδεκτή µόνο εφόσον e > n. Γίνεται κατανοητό ότι πλέον µε πολύ λιγότερες διαµορφώσεις, µπορούµε να υπολογίσουµε µε «ασφάλεια» τις τιµές θερµοδυναµικών µεγεθών, καθώς µετά από σχετικά µικρό αριθµό επαναλήψεων του παραπάνω αλγόριθµου, οι διαµορφώσεις οι οποίες παράγονται περιγράφουν ικανοποιητικά την συµπεριφορά του πλέγµατος σε κατάσταση ισορροπίας σε συγκεκριµένη θερµοκρασία. Στον κώδικα 6 που χρησιµοποιήσαµε, ξεκινάµε από µια «θερµή» διαµόρφωση και υψηλή θερµοκρασία για να αποφύγουµε εγκλωβισµό του αλγόριθµου σε τοπικά που όσο τυχαίοι είναι, άλλο τόσο «αναγκαίοι» είναι... 3 βάρβαρος σε σχέση µε την υπολογιστική ισχύ που απαιτεί για την εξαγωγή «αξιοπρεπών» αποτελεσµάτων. 4 Σε αυτό το σηµείο οφείλουµε να πούµε ότι οι αριθµοί που παράγονται από της γεννήτριες τυχαίων αριθµών, στην πραγµατικότητα είναι ψευδότυχαιοι. Μάλιστα µια «κακή» γεννήτρια πολλές φορές µπορεί να εισάγει σηµαντικά στατιστικά λάθη στους υπολογισµούς µας. Στην βιβλιογραφία περιγράφονται πολλές µέθοδοι ελέγχου της ποιότητας µιας γεννήτριας τυχαίων αριθµών. Στην παρύσα εργασία χρησιµοποιήσαµε µια απλή congruential γεννήτρια η οποία φάνηκε να αρκεί για της ανάγκες των υπολογισµών µας. 5 Γνωρίζοντας ότι η αναµενόµενη τιµή ενός στατιστικού µεγέθους Α δίδεται από την σχέση < Α >= r Α r e e βer ρ βe r 6 Το πρόγραµµα γράφτηκε στην γλώσσα FORTRAN

3 ενεργειακά ελάχιστα, ενώ παράλληλα θεωρούµε περιοδικές συνοριακές συνθήκες για τα άκρα του πλέγµατος. Επειδή αναγκαστικά τα συστήµατα που µελετάµε υπολογιστικά είναι πεπερασµένων διαστάσεων, οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες αναλαµβάνουν να παρακάµψουν την εµφάνιση συνοριακών φαινοµένων στο σύστηµά µας χωρίς βέβαια να καταφέρνουν απόλυτα να αναπαράγουν τη συµπεριφορά το άπειρο πλέγµα. Για κάθε διαφορετική θερµοκρασία στον υπολογισµό των θερµοδυναµικών ποσοτήτων, δεν λαµβάνουµε υπόψη έναν αριθµό αρχικών βηµάτων µέχρι να «φτάσουµε» σε κατάσταση ισορροπίας. Οι βασικές ποσότητες οι οποίες καταγράφονται σε κάθε υπολογιστικό βήµα ( Monte Carlo Step ) είναι η ενέργεια του συστήµατος Ε και η µαγνήτιση Μ. Κατόπιν για κάθε θερµοκρασία µετά το πέρας ικανού αριθµού Monte Carlo steps 7 υπολογίζουµε τις µέσες τιµές της ενέργειας και της µαγνήτισης. Όσον αφορά την ειδική θερµότητα και την µαγνητική επιδεκτικότητα εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι : όµοια < Ε > β < Ε > β ln Z β 1 Ζ C V = = = = ( ) = T Τ β T β Τ β Ζ β () β 1 Ζ 1 Ζ β = { ( ) } = { < Ε > < Ε > } Τ Ζ β Ζ β Τ < Μ > χ = = β{ < Μ > < Μ > } (3) Η Συνεπώς µέσα από τη γνώση των µέσων τιµών της ενέργειας, της µαγνήτισης και των τετραγώνων τους, εύκολα υπολογίζουµε µέσω των σχέσεων () και (3) (δηλαδή των διακυµάνσεων θερµοδυναµικών ποσοτήτων) την θερµοχωρητικότητα και την µαγνητική επιδεκτικότητα. Στα επόµενα σχήµατα παραθέτουµε αποτελέσµατα εξοµοιώσεων που εκτελέσαµε βάση της περιγραφής που κάναµε, για διάφορα µεγέθη πλεγµάτων. 7 Είναι κατανοητό ότι αυξανόµενου του µεγέθους του πλέγµατος, αυξάνετε και ο αριθµός των απαιτούµενων διαµορφώσεων που οφείλουµε να συνυπολογίσουµε καθώς και των MC steps που χρειάζονται µέχρι να φτάσουµε στην παραγωγή διαµορφώσεων που χαρακτηρίζουν την κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος σε κάθε θερµοκρασία.

4 1,0 0,8 0,6 N=30 N=0 N=15 N=10 N=5 <M> 0,4 0, 0,0 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 1.Τιµές της µέσης µαγνήτισης για διάφορα µεγέθη πλεγµάτων -0,4-0,6-0,8-1,0-1, <E> -1,4-1,6-1,8 N=30 -,0 -, 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα. Μέση ενέργεια για πλέγµα 30x30

5 0,004 0,003 Cv 0,00 N=0 0,001 0,000 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 3. Ειδική Θερµότητα για πλέγµα 0x0 0,05 0,00 χ 0,015 0,010 N=0 0,005 0,000 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 4. Μαγνητική Επιδεκτικότητα για πλέγµα 0x0

6 Στα σχήµατα 1-4, παρατηρούµε την αναµενόµενη συµπεριφορά του δισδιάστατου πλέγµατος Ising. Η αναλυτική λύση του µοντέλου προβλέπει ότι για άπειρο πλέγµα έχουµε µετατροπή φάσης στην ανηγµένη θερµοκρασία T=,3. Στις καµπύλες της ειδικής θερµότητας και της µαγνητικής επιδεκτικότητας εµφανίζεται µια έντονη κορυφή πολύ κοντά στη συγκεκριµένη θερµοκρασία η οποία αντιστοιχεί στον απειρισµό αυτών των ποσοτήτων για το άπειρο πλέγµα. Το γεγονός του ότι η εξοµοίωσή µας γίνετε για πεπερασµένα πλέγµατα finite size effects οδηγεί στην µερική εξοµάλυνση αυτής της συµπεριφοράς αν και αυξανοµένων των διαστάσεων του υπό εξοµοίωση πλέγµατος παρατηρούµε πως οι κορυφές γίνονται όλο και ποιό οξείες. Αντίστοιχα στο σχήµα 1, εµφανίζεται καθαρά πως όσο µεγαλώνει το πλέγµα, τόσο προσεγγίζεται η συµπεριφορά του άπειρου πλέγµατος. Η απότοµη αλλαγή της µαγνήτισης κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία, δηλώνει την ύπαρξη της µετατροπής φάσης όσον αφορά την µαγνητική συµπεριφορά του πλέγµατός µας. Αρκετά διδακτικό και ενδιαφέρων είναι να καταγράψουµε την εξέλιξη της πορείας της εξοµοίωσης για ένα συγκεκριµένο θερµοκρασιακό βήµα. ηλαδή την εξέλιξη των θερµοδυναµικών µεγεθών συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου ( MC steps ). Πέρα από αυτό µπορούµε να ορίσουµε την συνάρτησης συσχέτισης correlation function του συστήµατος, η οποία µπορεί να µας δώσει ένα µέτρο της χρονικής εξέλιξης της «µνήµης» του συστήµατος, δηλαδή του πόσο γρήγορα αποµακρύνεται από την αρχική του διαµόρφωση. Συγκεκριµένα ορίζουµε της συνάρτηση συσχέτισης µέσω της σχέσης: = 1 g σ ι σ (4) N ξ όπου η άθροιση αναφέρετε στο σύνολο των πλεγµατικών σηµείων. Στα επόµενα σχήµατα παραθέτουµε αποτελέσµατα που λάβαµε για διάφορες θερµοκρασίες για την συνάρτηση συσχέτισης αλλά και για την χρονική εξέλιξη διάφορων θερµοδυναµικών µεγεθών. Επίσης παρουσιάζουµε «στιγµιότυπα» του συστήµατος καθώς πληθαίνουν τα MC steps. Σχήµα 5. Στιγµιότυπα του συστήµατος 50x50 για κάθε 5000 MC steps στη θερµοκρασία.1 Σχήµα 6. Στιγµιότυπα του συστήµατος 100x100 για κάθε MC Steps στη θερµοκρασία.0

7 Σχήµα 7.. Στιγµιότυπα του συστήµατος 100x100 για κάθε MC Steps στην κρίσιµη θερµοκρασία.3 Σχήµα 8. Στιγµιότυπα του συστήµατος 50x50 για κάθε MC Steps στη θερµοκρασία 1.1 0,8 0,7 0,6 correlation function 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 N=0 T=.3-0, Monte Carlo Steps Σχήµα 9. Συνάρτηση συσχέτισης για πλέγµα 0x0 στη θερµοκρασία.3

8 1,0 correlation function 0,8 0,6 0,4 0, N=50 T=.3 0, Monte Carlo Steps Σχήµα 10. Συνάρτηση συσχέτισης για πλέgµα 50x50 σε θερµοκρασία Average Energy N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 11. Μέση ενέργεια συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου στη θερµοκρασία.3

9 Average Energy N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 1. Μέση ενέργεια συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου στη θερµοκρασία Average Magnetization N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 13. Χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης για θερµοκρασία.0 σε πλέγµα 50x50 Στα σχήµατα 5-8 παρατηρούµε τα στιγµιότυπα διαφόρων πλεγµάτων σε διάφορες θερµοκρασίες. Αυξανόµενης της θερµοκρασίας και εφόσον βρισκόµαστε σε θερµοκρασία µικρότερη της κρίσιµης, έχουµε την εµφάνιση νησίδων spin. Καθώς οδεύουµε προς την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας εµφανίζονται καλώς ορισµένες περιοχές που συνεισφέρουν στην συνολική µαγνήτιση. Μάλιστα σε

10 χαµηλή θερµοκρασία και µετά από «αρκετό» χρόνο, αναµένουµε την πλήρη παραλλήλιση των spin, πράγµα που παρατηρούµε στο σύστηµα του σχήµατος 8. Στα σχήµατα 9-1 παρατηρούµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης συσχέτισης και της µέσης ενέργειας µε τον υπολογιστικό χρόνο. Σε όλες τις καµπύλες εµφανίζονται 3 στάδια εξέλιξης του φαινοµένου. Στο πρώτο στάδιο που διαρκεί τα λίγα πρώτα MC steps, έχουµε την ραγδαία µεταβολή της διάταξης των spin. Μετά περνάµε στο δεύτερο στάδιο όπου η αλλαγή γίνετε µε βραδύτερο ρυθµό µέχρι να φτάσουµε στην ισορροπία ( τρίτο στάδιο ) όπου πλέον έχουµε διακύµανση γύρω από τη µια µέση τιµή για την ενέργεια και µικρές διακυµάνσεις περί του µηδενός για την συνάρτηση συσχέτισης η οποία µας δίνει να καταλάβουµε ότι πλέον το σύστηµα έχει «ξεχάσει» σχεδόν εντελώς της αρχική του κατάσταση. Στο σχήµα 14 όπου δεν έχουµε λογαριθµίσει τον άξονα του «χρόνου» τα παραπάνω είναι περισσότερο εµφανή. Σχήµα 14. Οι τρεις περιοχές συµπεριφοράς της συνάρτησης συσχέτισης Επίσης στα σχήµατα 11 και 1 βλέπουµε πως για µικρότερη θερµοκρασία το σύστηµα όπως είναι αναµενόµενο καθυστερεί να φτάσει στην κατάσταση ισορροπίας, η µέση ενέργειά του καθυστερεί να σταθεροποιηθεί γύρω από µια µέση τιµή. Τέλος στο σχήµα 14 παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης η οποία µεταπηδά από θετικές σε αρνητικές τιµές µε «ακανόνιστο» τρόπο για θερµοκρασίες κοντά στην κρίσιµη. Αντίθετα όπως αναµένουµε ( σχήµα 15 ) σε χαµηλές θερµοκρασίες η µαγνήτιση µετά από ένα στάδιο αρχικής διακύµανσης, «γρήγορα» σταθεροποιείται γύρω από µια µέση τιµή και αντίστοιχα σε υψηλές θερµοκρασίες σταθεροποιείται γύρω από µηδενική τιµή µέσης µαγνήτισης.

11 100 Avarage Magnetization N=0 T= monte carlo steps Σχήµα 15. Χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης για χαµηλή θερµοκρασία 1.0 σε πλέγµα 0x0 1,0 0,5 <Magnetization> 0,0-0,5 T=.0 T=.6 T=.3 (Tc) Lattice 0x0-1,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 Magnetic Field Σχήµα 16. Μέση µαγνήτιση συναρτήσει εξωτερικά µεταβαλλόµενου µαγνητικού πεδίου. Η επίδραση εξωτερικού µαγνητικού πεδίου στο σύστηµά µας για διάφορες θερµοκρασίες άνω και κάτω της κρίσιµης αναπαρίσταται στο σχήµα 16. Η εφαρµογή εξωτερικού µαγνητικού πεδίου Β εισάγει ένα νέο όρο στη Χαµιλτόνια (1) ή οποία πλέον θα δίδεται από την έκφραση H ( σ 1,..., σ ) = Ι Ν σ σ + µ Β όπου µ η µαγνητική ροπή των spin. Όπως παρατηρούµε για θερµοκρασίες µικρότερες της κρίσιµης, η αλλαγή της κατεύθυνσης της µέσης µαγνήτισης λαµβάνει χώρα κατά ασυνεχή τρόπο συναρτήσει της έντασης του πεδίου Β ( κοντά στην τιµή που ι κ σ ι

12 αντιστοιχεί στην απουσία του πεδίου ). Αντίθετα άνω του Tc η µετάβαση γίνετε µε συνεχή τρόπο. Αφήσαµε τελευταίο τον «ευαίσθητο» υπολογισµό [3] των λεγόµενων κρίσιµων εκθετών της µετατροπής φάσης του δισδιάστατου πλέγµατος Ising. Γενικά κατά την εξοµοίωση συστηµάτων που εµφανίζουν µετατροπές φάσης είναι σηµαντικό το να διαπιστωθεί ο τύπος της µετατροπής ( 1 ου, ου είδους κλπ ). Για τον θεωρητικό χειρισµό των µετατροπών φάσεις, οφείλουµε να ορίσουµε µια παράµετρο τάξης ( order parameter ) η οποία διαχωρίζει σαφώς µέσω των τιµών της, τις φάσεις του συστήµατος. Συνήθως λαµβάνει τιµή µηδέν στην φάση που χαρακτηρίζεται από αταξία και µη µηδενικές τιµές στην φάση που εµφανίζεται τάξη. Εύκολα αναγνωρίζουµε για το υπό µελέτη σύστηµα, αυτές τις ιδιότητες στην µέση µαγνήτιση την οποία και θεωρούµε από εδώ και πέρα ως παράµετρο τάξης. Ο τύπος της µετατροπής φάσης µπορεί να κατηγοριοποιηθεί µέσω των τιµών των κρίσιµων εκθετών που ορίζονται από τις σχέσεις 8 ( για T να τείνει στο Tc ) M 1 T / T χ 1 T / T C 1 T / T Σε πολλές περιπτώσεις αυτοί οι εκθέτες είναι universal «παγκόσµιοι» δηλαδή δεν εξαρτώνται από παραµέτρους του συγκεκριµένου µοντέλου ( µέγεθος, ενέργεια αλληλεπίδρασης ) αλλά από βασικές ιδιότητες που έχουν σχέση µε τις διαστάσεις του χώρου που έχουµε θεωρήσει και τις συµµετρίες του συστήµατος. Σε αυτό το γεγονός οφείλετε και η σχετική επιτυχία τόσο απλών µοντέλων στην περιγραφεί πραγµατικών µαγνητών όπου υφίστανται κλάσης πολυπλοκότερες αλληλεπιδράσεις. C C C γ α β (5) 0,0 log <M> -0,5-1,0-1,5 -,0 Lattice 50x50 T>Tc T<Tc Slope= Slope= ,5-3,0-3,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5-1,0-0,5 0,0 log ε 8 Η ποσότητα e = 1 T / TC τείνει στο µηδέν κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία. Την συναντάµε πολύ συχνά στην ανάλυση φαινοµένων κοντά σε κρίσιµα σηµεία Tc.

13 Σχήµα 16. Υπολογισµός κρίσιµων εκθετών Στην συγκεκριµένη εργασία επιχειρήσαµε τον υπολογισµό του εκθέτη β που σχετίζεται µε την µαγνήτιση (5). Από τα αποτελέσµατα τις εξοµοίωσης για την µαγνήτιση ενός πλέγµατος 50x50 ( σχήµα 17 ), παρατηρήσαµε ότι καθώς πλησιάζουµε ( από δεξιά και αριστερά ) την κρίσιµη θερµοκρασία 9, οι ποσότητες log<m> και logε κατέχουν γραµµική σχέση. Λογαριθµίζοντας την πρώτη εξίσωση (5) παρατηρούµε ότι log < M > β logε (6) Συνεπώς η κλίση της καµπύλης ( σχήµα 16 ) µας δίδει την τιµή του κρίσιµου εκθέτη β. Συγκεκριµένα λαµβάνουµε την τιµή 0.13 η οποία βρίσκεται πολύ κοντά στην θεωρητική τιµή [] η οποία ισούται µε Σε αυτό το σηµείο πρέπει να πούµε ότι η προσπάθεια εύρεσης της τιµής του εκθέτη β για µικρότερα πλέγµατα παρουσίασε µικρές αποκλίσεις οι οποίες µικραίνουν αυξανοµένων των διαστάσεων του υπό εξοµοίωση πλέγµατος. Γενικότερα δεν είναι εύκολη υπόθεση η εύρεση των τιµών των κρίσιµων εκθετών πράγµα που καταδεικνύεται και από την πλούσια βιβλιογραφία γύρω από το θέµα αυτό. Αναφορές 1. Lars Osanger, Physical Review 65, 117 ( 1944 ). David P.Landau, Kurt Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge Press ( 000 ) 3. David P.Landau, Physical Review B, 13, 997 (1975) 4. Metropolis, N., Rosenbluth, A.W., Roselbluth, M.N., Teller, A.M. and Teller, E. (1953), J.Chem Phys 1, Την οποία δεν υπολογίσαµε αλλά πήραµε δεδοµένη Tc=.3. Αυτό έγινε για να αποφύγουµε την ανάγκη του fitting δύο παραµέτρων β,tc το οποίο θα δυσκόλευε εξαιρετικά τον υπολογισµό αλλά και θα απαιτούσε αρκετά µεγάλους υπολογιστικούς χρόνους.

Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις

Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΚΟΡΝΑΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Εισαγωγή ό ή ί ί μ έ ά μ έ Ising μ

Διαβάστε περισσότερα

ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Προσοµοιώσεις Monte Carlo

ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Προσοµοιώσεις Monte Carlo ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo Φίλιος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών & Φυσικών Επιστηµών ΕΜΠ 10 Νοεµβρίου 2010 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2017 8/3/2017 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 17/3/2017 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 24/3/2017 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμος Metropolis. Γ. Θεοδώρου 1

Αλγόριθμος Metropolis. Γ. Θεοδώρου 1 Αλγόριθμος Metropols Γ. Θεοδώρου Γ. Θεοδώρου 1 Δειγματοληψία Οι δύο βασικές μέθοδοι δειγματοληψίας είναι, Κλασική δειγματοληψία (καλείται και: Monte Carlo), και Δειγματοληψία Metropols. Η βασική διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ

3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Ο τρίτος θερμοδυναμικός Νόμος 2. Συστήματα με αρνητικές θερμοκρασίες 3. Θερμοδυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2018 8/3/2018 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2018 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 29/3/2018 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2019 14/3/2019 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2019 Οι λύσεις των προβλημάτων 27 και 28 * να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2019 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική. Φαινόµενα πολυπλοκότητας στα Μαθηµατικά και στη Φυσική: ύο όψεις του ίδιου νοµίσµατος;

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική. Φαινόµενα πολυπλοκότητας στα Μαθηµατικά και στη Φυσική: ύο όψεις του ίδιου νοµίσµατος; Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική Φαινόµενα πολυπλοκότητας στα Μαθηµατικά και στη Φυσική: ύο όψεις του ίδιου νοµίσµατος; Γιάννης Κ. Σταµατίου ΣΕΠ ΠΛΗ 10 Πάτρα, Ιουνιος 2003 οµή και

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη του Προτύπου 2D- Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB. Παρουσίαση της Διπλωματικής Εργασίας του Γιάννη Ασσιώτη

Μελέτη του Προτύπου 2D- Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB. Παρουσίαση της Διπλωματικής Εργασίας του Γιάννη Ασσιώτη Μελέτη του Προτύπου 2D- Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB 1 Παρουσίαση της Διπλωματικής Εργασίας του Γιάννη Ασσιώτη 2 Στατιστική Μηχανική Μέγεθος συστημάτων Στοχαστική αντιμετώπιση Σύστημα Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2010 4/3/2010 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 1. Για να κερδίσουμε το ΛΟΤΤΟ πρέπει να διαλέξουμε 6 διαφορετικούς αριθμούς από τους 49 διαθέσιμους. Η σειρά επιλογής των αριθμών δεν παίζει κανέναν ρόλο. Αν θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική

Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική Μελέτη του Δισδιάστατου Πρότυπου Heisenberg με Μεθόδους Monte Carlo Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σκοπός της Διπλωματικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύµα ampere

ηλεκτρικό ρεύµα ampere Ηλεκτρικό ρεύµα Το ηλεκτρικό ρεύµα είναι ο ρυθµός µε τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από µια περιοχή του χώρου. Η µονάδα µέτρησης του ηλεκτρικού ρεύµατος στο σύστηµα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

All rights reserved

All rights reserved Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Φυσικής Ανάλυση Δεδομένων Monte Carlo του 2D-Ising προτύπου με τη μέθοδο Μultiple Ηistogram Διπλωματική Εργασία ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2013 5/3/2013 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 3, 4, 5 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2013 Οι λύσεις των προβλημάτων 8 * και 20 να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2013 1. Για να κερδίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD H µέθοδος πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain method είναι µια από τις πιο γνωστές και εύχρηστες αριθµητικές µεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΙΚΤΥΟΥ R-L σε ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ και ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΠΑΛΜΟ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΙΚΤΥΟΥ R-L σε ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ και ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΠΑΛΜΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΙΚΤΥΟΥ R- σε ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ και ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΠΑΛΜΟ ρ. Α. Μαγουλάς Μάρτιος 2017 1 1. Εισαγωγή Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα απλό δίκτυο R. ιέγερση (είσοδος)

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Οικονοµετρίας Ι.. ικαίος Τσερκέζος

Σηµειώσεις Οικονοµετρίας Ι.. ικαίος Τσερκέζος Ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 33 Η ΣΣΥΜΜΕΕΤΤΑΒΛΗΤΤΟΤΤΗΤΤΑ ΤΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΕΓΓΕΕΘΩΝ.. (ΣΣΥΣΣΧΕΕΤΤΙ ( ΙΣΣΗ) ) Γραµµική και Μη Γραµµική Συσχέτιση. Συντελεστής Αυτοσυσχέτισης. Μνήµη Χρονοσειρών. 8 7 6 F F F3 F4 F5 F6 F7

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας. Βιολογικές επιδράσεις. Ακτινοπροστασία

Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας. Βιολογικές επιδράσεις. Ακτινοπροστασία Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας Βιολογικές επιδράσεις Ακτινοπροστασία Π. Παπαγιάννης Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr PHYS215

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύμα ampere

ηλεκτρικό ρεύμα ampere Ηλεκτρικό ρεύμα Το ηλεκτρικό ρεύμα είναι ο ρυθμός με τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από μια περιοχή του χώρου. Η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού ρεύματος στο σύστημα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΦΟΛΗ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΥΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΟΜΕΑ ΥΤΙΚΗ Μελέτη του Προτύπου 2D-Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΣΟΤ Γιάννη Ασσιώτη Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό.

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό. Βασικές Εξισώσεις Σχεδιασμού (ΣΔΟΥΚΟΣ 2-, 2-) t = n i dn i V n i R και V = n i dn i t n i R Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ Όταν εξετάζουµε µία συγκεκριµένη αγορά, πχ. την αστική αγορά εργασίας, η ανάλυση αυτή ονοµάζεται µερικής ισορροπίας. Όταν η ανάλυση µας περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: PHYS215 Π. Παπαγιάννης

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: PHYS215 Π. Παπαγιάννης ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: PHYS215 Π. Παπαγιάννης Αν. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Έμμεσα ιοντίζουσα ακτινοβολία: Πότε ισούται το

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Γ: Βάθμιση και κρίσιμοι εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Παράρτημα Γ: Βάθμιση και κρίσιμοι εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Φυσική ΙΙ Παράρτημα Γ: Βάθμιση και κρίσιμοι εκθέτες Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

Experiment Greek (Cyprus) Q2-1

Experiment Greek (Cyprus) Q2-1 Greek (Cyprus) Q2-1 Τίτλος Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για μεταβάσεις φάσεων και αστάθειες. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε αυτό το

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών 2 Εργαλεία διαχείρισης Για κάθε µελλοντική εξέλιξη και απόφαση, η πρόβλεψη αποτελεί το

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών

Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 5 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ, ΤΕΥΧΟΣ Γ Διδασκαλία της Φυσικής με Νέες Τεχνολογίες Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran

Διαβάστε περισσότερα

Αυτά τα πειράµατα έγιναν από τους Michael Faraday και Joseph Henry.

Αυτά τα πειράµατα έγιναν από τους Michael Faraday και Joseph Henry. Επαγόµενα πεδία Ένα µαγνητικό πεδίο µπορεί να µην είναι σταθερό, αλλά χρονικά µεταβαλλόµενο. Πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν το 1831 έδειξαν ότι ένα µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο µπορεί να επάγει ΗΕΔ σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Κρίσιμοι Εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Κεφάλαιο 6: Κρίσιμοι Εκθέτες. Υπολογιστική Φυσική ΙΙ. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Φυσική ΙΙ Κεφάλαιο 6: Κρίσιμοι Εκθέτες Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας.

Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Greek (Greece) Q2-1 Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Finite-size scaling Binder Cumulant... 40

4.2 Finite-size scaling Binder Cumulant... 40 Αριθμητικές Προσομοιώσεις του Πρότυπου Ising στις τρεις Διαστάσεις ΚΟΡΝΑΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ιούλιος 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

- Q T 2 T 1 + Q T 1 T T

- Q T 2 T 1 + Q T 1 T T oς ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ. oς Θερµοδυναµικός νόµος σχετίζεται ιστορικά µε τις προσπάθειες για τη βελτίωση των θερµικών µηχανών. Ποιοτικά: ιατυπώνεται µε τι προτάσεις Kelvin-Plank και Clausius Ποσοτικά: ιατυπώνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνική Επιλογής. Τα νετρόνια κατανέμονται ως εξής;

Πυρηνική Επιλογής. Τα νετρόνια κατανέμονται ως εξής; Πυρηνική Επιλογής 1. Ποιος είναι ο σχετικός προσανατολισμός των σπιν που ευνοεί τη συνδεδεμένη κατάσταση μεταξύ p και n; Η μαγνητική ροπή του πρωτονίου είναι περί τις 2.7 πυρηνικές μαγνητόνες, ενώ του

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός

ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός 1 Αγωγή Χρονικά µεταβαλλόµενη κατάσταση Κεφάλαιο 4 Ορισµός του προβλήµατος Σε πολλές τεχνικές εφαρµογές απαιτείται ο υπολογισµός της θερµικής αγωγής σε χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 1) Θεωρούµε ένα σύστηµα που αποτελείται από ένα σωµατίδιο µε σπιν ½ και µε µαγνητική ροπή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ηλεκτρικό Δυναμικό Δομή Διάλεξης Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ιδιότητες ηλεκτρικού δυναμικού (χρησιμότητα σε υπολογισμούς, σημείο αναφοράς, αρχή υπέρθεσης) Διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Η έννοια του συναρτησιακού (functional). ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές. Γ. Θεοδώρου 1

Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές. Γ. Θεοδώρου 1 Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές Γ. Θεοδώρου 1 Περιεχόμενο 1. Γενικά Εισαγωγή στα MATLAB και Octave. 2. Προσομοιώσεις Monte Carlo, Τυχαίες μεταβλητές, κατανομές, πυκνότητα πιθανότητας, Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) ,

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) , Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 45 και επειδή d x x = / = 7.5649 > η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: και ( x ) = ( x x ) = P P, P,.58975,.478 x =.58975 x =.58975 ( x

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Τηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1

Τηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1 . 1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση: α. ευθύγραµµη οµαλή β. ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη γ. οµαλή κυκλική δ. ευθύγραµµη περιοδική. Η φάση της αποµάκρυνσης στην απλή αρµονική ταλάντωση: α. αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυρήνας του Ατόμου

Ο Πυρήνας του Ατόμου 1 Σκοποί: Ο Πυρήνας του Ατόμου 15/06/12 I. Να δώσει μία εισαγωγική περιγραφή του πυρήνα του ατόμου, και της ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο για να παραμείνει δέσμιο μέσα στον πυρήνα. II. III.

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π.

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Προσομοίωση Monte Carlo Αλυσίδων Markov: Αλγόριθμοι Metropolis & Metropolis-Hastings Προσομοιωμένη Ανόπτηση Simulated Annealing

Διαβάστε περισσότερα