Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo"

Transcript

1 Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo Κουτσιούµπας Αλέξανδρος εκέµβριος 00 Το µοντέλο Ising εισήχθη από τους Lenz (190) και Ising (195) για την περιγραφή της µετατροπής φάσης των διαµαγνητικών υλικών στην θερµοκρασία Curie T C. Το µοντέλο υποθέτει την ύπαρξη πλέγµατος, τα πλεγµατικά σηµεία του οποίου κατέχουν µια τιµή spin µε κατεύθυνση πάνω ή κάτω ως προς άξονα z ( σ = ± 1 ). Προφανώς µεταξύ γειτονικών πλεγµατικών σηµείων υφίσταται αλληλεπίδραση η οποία συνεισφέρει στην ενέργεια του συστήµατος. Ανάλογα µε το πρόσηµο της ενέργειας αλληλεπίδρασης I που καθορίζεται από την επικάλυψη των κυµατοσυναρτήσεων των spin, προτιµάτε από το σύστηµα η παράλληλη ή αντιπαράλληλη τοποθέτηση των spin, δηλαδή η ενεργειακά συµφέρουσα κατάσταση. Η Χαµιλτόνια του συστήµατος δίδεται από τη σχέση H ( σ 1,..., σ Ν ) = Ι σ ι σ κ (1) όπου η άθροιση αναφέρετε σε όλα τα ζεύγη εγγύτατων γειτόνων ο αριθµός των οποίων εξαρτάτε από τη διάσταση του πλέγµατος. Σε µηδενική θερµοκρασία τα spin οφείλουν να παραλληλιστούν, πράγµα το οποίο οδηγεί το σύστηµα να αποκτήσει µία µαγνητική διπολική ροπή D = Nµ. 1 Αντίθετα σε υψηλές θερµοκρασίες η αλληλεπίδραση δεν παίζει σηµαντικό ρόλο στην µαγνητική συµπεριφορά του πλέγµατος, όπου αναµένουµε η τυχαία κατεύθυνση των spin να αλληλοακυρώνει τις µαγνητικές ροπές και συνεπώς να οδηγεί σε αµελητέα ολική διπολική µαγνητική ροπή. Αν και γνωρίζουµε τη συµπεριφορά του συστήµατος σε ακραίες θερµοκρασίες, δεν µας είναι ξεκάθαρη η ύπαρξη µετατροπής φάσης καθώς θα µπορούσε αυξανόµενης της θερµοκρασίας, η µαγνήτιση µε συνεχή τρόπο να µηδενίζεται. Η απάντηση µπορεί να δοθεί φυσικά µέσω του υπολογισµού της συνάρτησης επιµερισµού του συστήµατος και κατόπιν του υπολογισµού των θερµοδυναµικών µεγεθών που µας ενδιαφέρουν ( θερµοχωρητικότητα, επιδεκτικότητα κ.λ.π ). υστυχώς µόνο για το µονοδιάστατο και δισδιάστατο [1] πλέγµα Ising έχουν βρεθεί αναλυτικές λύσεις. Η αναλυτική λύση του µονοδιάστατου µοντέλου δεν παρουσιάζει µετατροπή φάσης σε αντίθεση µε το δισδιάστατο µοντέλο το οποίο εµφανίζει µετατροπή φάσης τάξης αταξίας. Ακόµη λοιπόν και για ένα σχετικά απλό µοντέλο φαίνεται η δυσκολία του θεωρητικού χειρισµού των µετατροπών φάσης. Σε αυτό σηµείο η υπολογιστική εξοµοίωση έρχεται να δώσει πληροφορίες για τη συµπεριφορά ανάλογων µοντέλων τα οποία έχουν µεγάλο ενδιαφέρον για την κατανόηση της ποιοτικής και ποσοτικής συµπεριφοράς συστηµάτων που εµφανίζουν µετατροπές φάσεων. Η µέθοδος Monte Carlo την οποία χρησιµοποιήσαµε στην παρούσα εργασία για την εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising, αποτελεί γενική µέθοδο προσοµοίωσης φυσικών συστηµάτων που εµφανίζουν συµπεριφορά στοχαστικού χαρακτήρα. Στις πολυάριθµες παραλλαγές της [] η µέθοδος επιδιώκει µέσω της 1 Έχοντας υποθέσει ότι κάθε spin συνοδεύεται από µαγνητική ροπή µ

2 χρήσης τυχαίων αριθµών να «παρακολουθήσει» την «χρονικά εξαρτώµενη» πορεία του υπό µελέτη συστήµατος και να οδηγήσει στον υπολογισµό χαρακτηριστικών στατιστικών µεγεθών. Συγκεκριµένα για το υπό µελέτη διαστατό πλέγµα Ising ένας crude 3 Monte Carlo αλγόριθµος που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί, είναι η τυχαία 4 παραγωγή πλεγµατικών διαµορφώσεων και κατόπιν ο υπολογισµός της στατιστικής συνεισφοράς της κάθε διαµόρφωσης µέσω ενός παράγοντα Boltzmann 5. Η υιοθέτηση µιας τέτοιας τακτικής θα µας οδηγούσε στην κατανάλωση υπερβολικού υπολογιστικού χρόνου για τον υπολογισµό πολλών καταστάσεων οι οποίες προσφέρουν ελάχιστα στις µέσες τιµές των θερµοδυναµικών ποσοτήτων του συστήµατος στην κατάσταση ισορροπίας. Μια ποιό αποτελεσµατική µέθοδος η οποία µπορεί να άρει τις παραπάνω δυσκολίες είναι η δειγµατοληψία µε βάση την συνεισφορά της κάθε διαµόρφωσης του πλέγµατος importance sampling method. Αντί δηλαδή της δειγµατοληψίας πολλών διαφορετικών καταστάσεων και τον υπολογισµό της συνεισφοράς τους µέσω του παράγοντα Boltzmann, είναι προτιµότερο να παράγουµε σε κάθε βήµα του αλγόριθµου µας και συνεπώς να συνυπολογίζουµε, καταστάσεις µε µεγαλύτερη «σπουδαιότητα» ή αλλιώς µεγαλύτερη συνεισφορά στους στατιστικούς µέσους όρους. Ένας τέτοιος αλγόριθµος που και εµείς χρησιµοποιήσαµε προτάθηκε από τον Metropolis [4] και σε γενικές γραµµές ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα: 1. Παράγεται µια δοκιµαστική διαµόρφωση µεταβάλλοντας τυχαία την κατεύθυνση του spin ενός πλεγµατικού σηµείου.. Υπολογίζουµε την ενεργειακή διαφορά που προκύπτει από την εναλλαγή του spin. 3. Αν η ενεργειακή διαφορά Ε είναι συµφέρουσα για το σύστηµα τότε γίνεται αποδεκτή, διαφορετικά ένας τυχαίος αριθµός n παράγεται µεταξύ του µηδέν βδε και του ένα και η νέα διαµόρφωση γίνεται αποδεκτή µόνο εφόσον e > n. Γίνεται κατανοητό ότι πλέον µε πολύ λιγότερες διαµορφώσεις, µπορούµε να υπολογίσουµε µε «ασφάλεια» τις τιµές θερµοδυναµικών µεγεθών, καθώς µετά από σχετικά µικρό αριθµό επαναλήψεων του παραπάνω αλγόριθµου, οι διαµορφώσεις οι οποίες παράγονται περιγράφουν ικανοποιητικά την συµπεριφορά του πλέγµατος σε κατάσταση ισορροπίας σε συγκεκριµένη θερµοκρασία. Στον κώδικα 6 που χρησιµοποιήσαµε, ξεκινάµε από µια «θερµή» διαµόρφωση και υψηλή θερµοκρασία για να αποφύγουµε εγκλωβισµό του αλγόριθµου σε τοπικά που όσο τυχαίοι είναι, άλλο τόσο «αναγκαίοι» είναι... 3 βάρβαρος σε σχέση µε την υπολογιστική ισχύ που απαιτεί για την εξαγωγή «αξιοπρεπών» αποτελεσµάτων. 4 Σε αυτό το σηµείο οφείλουµε να πούµε ότι οι αριθµοί που παράγονται από της γεννήτριες τυχαίων αριθµών, στην πραγµατικότητα είναι ψευδότυχαιοι. Μάλιστα µια «κακή» γεννήτρια πολλές φορές µπορεί να εισάγει σηµαντικά στατιστικά λάθη στους υπολογισµούς µας. Στην βιβλιογραφία περιγράφονται πολλές µέθοδοι ελέγχου της ποιότητας µιας γεννήτριας τυχαίων αριθµών. Στην παρύσα εργασία χρησιµοποιήσαµε µια απλή congruential γεννήτρια η οποία φάνηκε να αρκεί για της ανάγκες των υπολογισµών µας. 5 Γνωρίζοντας ότι η αναµενόµενη τιµή ενός στατιστικού µεγέθους Α δίδεται από την σχέση < Α >= r Α r e e βer ρ βe r 6 Το πρόγραµµα γράφτηκε στην γλώσσα FORTRAN

3 ενεργειακά ελάχιστα, ενώ παράλληλα θεωρούµε περιοδικές συνοριακές συνθήκες για τα άκρα του πλέγµατος. Επειδή αναγκαστικά τα συστήµατα που µελετάµε υπολογιστικά είναι πεπερασµένων διαστάσεων, οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες αναλαµβάνουν να παρακάµψουν την εµφάνιση συνοριακών φαινοµένων στο σύστηµά µας χωρίς βέβαια να καταφέρνουν απόλυτα να αναπαράγουν τη συµπεριφορά το άπειρο πλέγµα. Για κάθε διαφορετική θερµοκρασία στον υπολογισµό των θερµοδυναµικών ποσοτήτων, δεν λαµβάνουµε υπόψη έναν αριθµό αρχικών βηµάτων µέχρι να «φτάσουµε» σε κατάσταση ισορροπίας. Οι βασικές ποσότητες οι οποίες καταγράφονται σε κάθε υπολογιστικό βήµα ( Monte Carlo Step ) είναι η ενέργεια του συστήµατος Ε και η µαγνήτιση Μ. Κατόπιν για κάθε θερµοκρασία µετά το πέρας ικανού αριθµού Monte Carlo steps 7 υπολογίζουµε τις µέσες τιµές της ενέργειας και της µαγνήτισης. Όσον αφορά την ειδική θερµότητα και την µαγνητική επιδεκτικότητα εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι : όµοια < Ε > β < Ε > β ln Z β 1 Ζ C V = = = = ( ) = T Τ β T β Τ β Ζ β () β 1 Ζ 1 Ζ β = { ( ) } = { < Ε > < Ε > } Τ Ζ β Ζ β Τ < Μ > χ = = β{ < Μ > < Μ > } (3) Η Συνεπώς µέσα από τη γνώση των µέσων τιµών της ενέργειας, της µαγνήτισης και των τετραγώνων τους, εύκολα υπολογίζουµε µέσω των σχέσεων () και (3) (δηλαδή των διακυµάνσεων θερµοδυναµικών ποσοτήτων) την θερµοχωρητικότητα και την µαγνητική επιδεκτικότητα. Στα επόµενα σχήµατα παραθέτουµε αποτελέσµατα εξοµοιώσεων που εκτελέσαµε βάση της περιγραφής που κάναµε, για διάφορα µεγέθη πλεγµάτων. 7 Είναι κατανοητό ότι αυξανόµενου του µεγέθους του πλέγµατος, αυξάνετε και ο αριθµός των απαιτούµενων διαµορφώσεων που οφείλουµε να συνυπολογίσουµε καθώς και των MC steps που χρειάζονται µέχρι να φτάσουµε στην παραγωγή διαµορφώσεων που χαρακτηρίζουν την κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος σε κάθε θερµοκρασία.

4 1,0 0,8 0,6 N=30 N=0 N=15 N=10 N=5 <M> 0,4 0, 0,0 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 1.Τιµές της µέσης µαγνήτισης για διάφορα µεγέθη πλεγµάτων -0,4-0,6-0,8-1,0-1, <E> -1,4-1,6-1,8 N=30 -,0 -, 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα. Μέση ενέργεια για πλέγµα 30x30

5 0,004 0,003 Cv 0,00 N=0 0,001 0,000 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 3. Ειδική Θερµότητα για πλέγµα 0x0 0,05 0,00 χ 0,015 0,010 N=0 0,005 0,000 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 4. Μαγνητική Επιδεκτικότητα για πλέγµα 0x0

6 Στα σχήµατα 1-4, παρατηρούµε την αναµενόµενη συµπεριφορά του δισδιάστατου πλέγµατος Ising. Η αναλυτική λύση του µοντέλου προβλέπει ότι για άπειρο πλέγµα έχουµε µετατροπή φάσης στην ανηγµένη θερµοκρασία T=,3. Στις καµπύλες της ειδικής θερµότητας και της µαγνητικής επιδεκτικότητας εµφανίζεται µια έντονη κορυφή πολύ κοντά στη συγκεκριµένη θερµοκρασία η οποία αντιστοιχεί στον απειρισµό αυτών των ποσοτήτων για το άπειρο πλέγµα. Το γεγονός του ότι η εξοµοίωσή µας γίνετε για πεπερασµένα πλέγµατα finite size effects οδηγεί στην µερική εξοµάλυνση αυτής της συµπεριφοράς αν και αυξανοµένων των διαστάσεων του υπό εξοµοίωση πλέγµατος παρατηρούµε πως οι κορυφές γίνονται όλο και ποιό οξείες. Αντίστοιχα στο σχήµα 1, εµφανίζεται καθαρά πως όσο µεγαλώνει το πλέγµα, τόσο προσεγγίζεται η συµπεριφορά του άπειρου πλέγµατος. Η απότοµη αλλαγή της µαγνήτισης κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία, δηλώνει την ύπαρξη της µετατροπής φάσης όσον αφορά την µαγνητική συµπεριφορά του πλέγµατός µας. Αρκετά διδακτικό και ενδιαφέρων είναι να καταγράψουµε την εξέλιξη της πορείας της εξοµοίωσης για ένα συγκεκριµένο θερµοκρασιακό βήµα. ηλαδή την εξέλιξη των θερµοδυναµικών µεγεθών συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου ( MC steps ). Πέρα από αυτό µπορούµε να ορίσουµε την συνάρτησης συσχέτισης correlation function του συστήµατος, η οποία µπορεί να µας δώσει ένα µέτρο της χρονικής εξέλιξης της «µνήµης» του συστήµατος, δηλαδή του πόσο γρήγορα αποµακρύνεται από την αρχική του διαµόρφωση. Συγκεκριµένα ορίζουµε της συνάρτηση συσχέτισης µέσω της σχέσης: = 1 g σ ι σ (4) N ξ όπου η άθροιση αναφέρετε στο σύνολο των πλεγµατικών σηµείων. Στα επόµενα σχήµατα παραθέτουµε αποτελέσµατα που λάβαµε για διάφορες θερµοκρασίες για την συνάρτηση συσχέτισης αλλά και για την χρονική εξέλιξη διάφορων θερµοδυναµικών µεγεθών. Επίσης παρουσιάζουµε «στιγµιότυπα» του συστήµατος καθώς πληθαίνουν τα MC steps. Σχήµα 5. Στιγµιότυπα του συστήµατος 50x50 για κάθε 5000 MC steps στη θερµοκρασία.1 Σχήµα 6. Στιγµιότυπα του συστήµατος 100x100 για κάθε MC Steps στη θερµοκρασία.0

7 Σχήµα 7.. Στιγµιότυπα του συστήµατος 100x100 για κάθε MC Steps στην κρίσιµη θερµοκρασία.3 Σχήµα 8. Στιγµιότυπα του συστήµατος 50x50 για κάθε MC Steps στη θερµοκρασία 1.1 0,8 0,7 0,6 correlation function 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 N=0 T=.3-0, Monte Carlo Steps Σχήµα 9. Συνάρτηση συσχέτισης για πλέγµα 0x0 στη θερµοκρασία.3

8 1,0 correlation function 0,8 0,6 0,4 0, N=50 T=.3 0, Monte Carlo Steps Σχήµα 10. Συνάρτηση συσχέτισης για πλέgµα 50x50 σε θερµοκρασία Average Energy N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 11. Μέση ενέργεια συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου στη θερµοκρασία.3

9 Average Energy N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 1. Μέση ενέργεια συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου στη θερµοκρασία Average Magnetization N=50 T= monte carlo steps Σχήµα 13. Χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης για θερµοκρασία.0 σε πλέγµα 50x50 Στα σχήµατα 5-8 παρατηρούµε τα στιγµιότυπα διαφόρων πλεγµάτων σε διάφορες θερµοκρασίες. Αυξανόµενης της θερµοκρασίας και εφόσον βρισκόµαστε σε θερµοκρασία µικρότερη της κρίσιµης, έχουµε την εµφάνιση νησίδων spin. Καθώς οδεύουµε προς την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας εµφανίζονται καλώς ορισµένες περιοχές που συνεισφέρουν στην συνολική µαγνήτιση. Μάλιστα σε

10 χαµηλή θερµοκρασία και µετά από «αρκετό» χρόνο, αναµένουµε την πλήρη παραλλήλιση των spin, πράγµα που παρατηρούµε στο σύστηµα του σχήµατος 8. Στα σχήµατα 9-1 παρατηρούµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης συσχέτισης και της µέσης ενέργειας µε τον υπολογιστικό χρόνο. Σε όλες τις καµπύλες εµφανίζονται 3 στάδια εξέλιξης του φαινοµένου. Στο πρώτο στάδιο που διαρκεί τα λίγα πρώτα MC steps, έχουµε την ραγδαία µεταβολή της διάταξης των spin. Μετά περνάµε στο δεύτερο στάδιο όπου η αλλαγή γίνετε µε βραδύτερο ρυθµό µέχρι να φτάσουµε στην ισορροπία ( τρίτο στάδιο ) όπου πλέον έχουµε διακύµανση γύρω από τη µια µέση τιµή για την ενέργεια και µικρές διακυµάνσεις περί του µηδενός για την συνάρτηση συσχέτισης η οποία µας δίνει να καταλάβουµε ότι πλέον το σύστηµα έχει «ξεχάσει» σχεδόν εντελώς της αρχική του κατάσταση. Στο σχήµα 14 όπου δεν έχουµε λογαριθµίσει τον άξονα του «χρόνου» τα παραπάνω είναι περισσότερο εµφανή. Σχήµα 14. Οι τρεις περιοχές συµπεριφοράς της συνάρτησης συσχέτισης Επίσης στα σχήµατα 11 και 1 βλέπουµε πως για µικρότερη θερµοκρασία το σύστηµα όπως είναι αναµενόµενο καθυστερεί να φτάσει στην κατάσταση ισορροπίας, η µέση ενέργειά του καθυστερεί να σταθεροποιηθεί γύρω από µια µέση τιµή. Τέλος στο σχήµα 14 παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης η οποία µεταπηδά από θετικές σε αρνητικές τιµές µε «ακανόνιστο» τρόπο για θερµοκρασίες κοντά στην κρίσιµη. Αντίθετα όπως αναµένουµε ( σχήµα 15 ) σε χαµηλές θερµοκρασίες η µαγνήτιση µετά από ένα στάδιο αρχικής διακύµανσης, «γρήγορα» σταθεροποιείται γύρω από µια µέση τιµή και αντίστοιχα σε υψηλές θερµοκρασίες σταθεροποιείται γύρω από µηδενική τιµή µέσης µαγνήτισης.

11 100 Avarage Magnetization N=0 T= monte carlo steps Σχήµα 15. Χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης για χαµηλή θερµοκρασία 1.0 σε πλέγµα 0x0 1,0 0,5 <Magnetization> 0,0-0,5 T=.0 T=.6 T=.3 (Tc) Lattice 0x0-1,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 Magnetic Field Σχήµα 16. Μέση µαγνήτιση συναρτήσει εξωτερικά µεταβαλλόµενου µαγνητικού πεδίου. Η επίδραση εξωτερικού µαγνητικού πεδίου στο σύστηµά µας για διάφορες θερµοκρασίες άνω και κάτω της κρίσιµης αναπαρίσταται στο σχήµα 16. Η εφαρµογή εξωτερικού µαγνητικού πεδίου Β εισάγει ένα νέο όρο στη Χαµιλτόνια (1) ή οποία πλέον θα δίδεται από την έκφραση H ( σ 1,..., σ ) = Ι Ν σ σ + µ Β όπου µ η µαγνητική ροπή των spin. Όπως παρατηρούµε για θερµοκρασίες µικρότερες της κρίσιµης, η αλλαγή της κατεύθυνσης της µέσης µαγνήτισης λαµβάνει χώρα κατά ασυνεχή τρόπο συναρτήσει της έντασης του πεδίου Β ( κοντά στην τιµή που ι κ σ ι

12 αντιστοιχεί στην απουσία του πεδίου ). Αντίθετα άνω του Tc η µετάβαση γίνετε µε συνεχή τρόπο. Αφήσαµε τελευταίο τον «ευαίσθητο» υπολογισµό [3] των λεγόµενων κρίσιµων εκθετών της µετατροπής φάσης του δισδιάστατου πλέγµατος Ising. Γενικά κατά την εξοµοίωση συστηµάτων που εµφανίζουν µετατροπές φάσης είναι σηµαντικό το να διαπιστωθεί ο τύπος της µετατροπής ( 1 ου, ου είδους κλπ ). Για τον θεωρητικό χειρισµό των µετατροπών φάσεις, οφείλουµε να ορίσουµε µια παράµετρο τάξης ( order parameter ) η οποία διαχωρίζει σαφώς µέσω των τιµών της, τις φάσεις του συστήµατος. Συνήθως λαµβάνει τιµή µηδέν στην φάση που χαρακτηρίζεται από αταξία και µη µηδενικές τιµές στην φάση που εµφανίζεται τάξη. Εύκολα αναγνωρίζουµε για το υπό µελέτη σύστηµα, αυτές τις ιδιότητες στην µέση µαγνήτιση την οποία και θεωρούµε από εδώ και πέρα ως παράµετρο τάξης. Ο τύπος της µετατροπής φάσης µπορεί να κατηγοριοποιηθεί µέσω των τιµών των κρίσιµων εκθετών που ορίζονται από τις σχέσεις 8 ( για T να τείνει στο Tc ) M 1 T / T χ 1 T / T C 1 T / T Σε πολλές περιπτώσεις αυτοί οι εκθέτες είναι universal «παγκόσµιοι» δηλαδή δεν εξαρτώνται από παραµέτρους του συγκεκριµένου µοντέλου ( µέγεθος, ενέργεια αλληλεπίδρασης ) αλλά από βασικές ιδιότητες που έχουν σχέση µε τις διαστάσεις του χώρου που έχουµε θεωρήσει και τις συµµετρίες του συστήµατος. Σε αυτό το γεγονός οφείλετε και η σχετική επιτυχία τόσο απλών µοντέλων στην περιγραφεί πραγµατικών µαγνητών όπου υφίστανται κλάσης πολυπλοκότερες αλληλεπιδράσεις. C C C γ α β (5) 0,0 log <M> -0,5-1,0-1,5 -,0 Lattice 50x50 T>Tc T<Tc Slope= Slope= ,5-3,0-3,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5-1,0-0,5 0,0 log ε 8 Η ποσότητα e = 1 T / TC τείνει στο µηδέν κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία. Την συναντάµε πολύ συχνά στην ανάλυση φαινοµένων κοντά σε κρίσιµα σηµεία Tc.

13 Σχήµα 16. Υπολογισµός κρίσιµων εκθετών Στην συγκεκριµένη εργασία επιχειρήσαµε τον υπολογισµό του εκθέτη β που σχετίζεται µε την µαγνήτιση (5). Από τα αποτελέσµατα τις εξοµοίωσης για την µαγνήτιση ενός πλέγµατος 50x50 ( σχήµα 17 ), παρατηρήσαµε ότι καθώς πλησιάζουµε ( από δεξιά και αριστερά ) την κρίσιµη θερµοκρασία 9, οι ποσότητες log<m> και logε κατέχουν γραµµική σχέση. Λογαριθµίζοντας την πρώτη εξίσωση (5) παρατηρούµε ότι log < M > β logε (6) Συνεπώς η κλίση της καµπύλης ( σχήµα 16 ) µας δίδει την τιµή του κρίσιµου εκθέτη β. Συγκεκριµένα λαµβάνουµε την τιµή 0.13 η οποία βρίσκεται πολύ κοντά στην θεωρητική τιµή [] η οποία ισούται µε Σε αυτό το σηµείο πρέπει να πούµε ότι η προσπάθεια εύρεσης της τιµής του εκθέτη β για µικρότερα πλέγµατα παρουσίασε µικρές αποκλίσεις οι οποίες µικραίνουν αυξανοµένων των διαστάσεων του υπό εξοµοίωση πλέγµατος. Γενικότερα δεν είναι εύκολη υπόθεση η εύρεση των τιµών των κρίσιµων εκθετών πράγµα που καταδεικνύεται και από την πλούσια βιβλιογραφία γύρω από το θέµα αυτό. Αναφορές 1. Lars Osanger, Physical Review 65, 117 ( 1944 ). David P.Landau, Kurt Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge Press ( 000 ) 3. David P.Landau, Physical Review B, 13, 997 (1975) 4. Metropolis, N., Rosenbluth, A.W., Roselbluth, M.N., Teller, A.M. and Teller, E. (1953), J.Chem Phys 1, Την οποία δεν υπολογίσαµε αλλά πήραµε δεδοµένη Tc=.3. Αυτό έγινε για να αποφύγουµε την ανάγκη του fitting δύο παραµέτρων β,tc το οποίο θα δυσκόλευε εξαιρετικά τον υπολογισµό αλλά και θα απαιτούσε αρκετά µεγάλους υπολογιστικούς χρόνους.

Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις

Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΚΟΡΝΑΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Εισαγωγή ό ή ί ί μ έ ά μ έ Ising μ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2010 4/3/2010 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 1. Για να κερδίσουμε το ΛΟΤΤΟ πρέπει να διαλέξουμε 6 διαφορετικούς αριθμούς από τους 49 διαθέσιμους. Η σειρά επιλογής των αριθμών δεν παίζει κανέναν ρόλο. Αν θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΦΟΛΗ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΥΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΟΜΕΑ ΥΤΙΚΗ Μελέτη του Προτύπου 2D-Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΣΟΤ Γιάννη Ασσιώτη Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό.

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό. Βασικές Εξισώσεις Σχεδιασμού (ΣΔΟΥΚΟΣ 2-, 2-) t = n i dn i V n i R και V = n i dn i t n i R Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών

Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 5 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ, ΤΕΥΧΟΣ Γ Διδασκαλία της Φυσικής με Νέες Τεχνολογίες Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές. Γ. Θεοδώρου 1

Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές. Γ. Θεοδώρου 1 Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές Γ. Θεοδώρου 1 Περιεχόμενο 1. Γενικά Εισαγωγή στα MATLAB και Octave. 2. Προσομοιώσεις Monte Carlo, Τυχαίες μεταβλητές, κατανομές, πυκνότητα πιθανότητας, Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Αυτά τα πειράµατα έγιναν από τους Michael Faraday και Joseph Henry.

Αυτά τα πειράµατα έγιναν από τους Michael Faraday και Joseph Henry. Επαγόµενα πεδία Ένα µαγνητικό πεδίο µπορεί να µην είναι σταθερό, αλλά χρονικά µεταβαλλόµενο. Πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν το 1831 έδειξαν ότι ένα µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο µπορεί να επάγει ΗΕΔ σε

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Σύζευξη σπιν-σπιν J = 0 J 0

Σύζευξη σπιν-σπιν J = 0 J 0 Σύζευξη σπιν-σπιν Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο πυρήνες Α και Χ, οι οποίοι είτε συνδέονται απ ευθείας µε έναν δεσµό είτε η σύνδεσή γίνεται µε περισσότερους δεσµούς. A X J = 0 J 0 Α Χ Α Χ Το σπάσιµο των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

Experiment Greek (Cyprus) Q2-1

Experiment Greek (Cyprus) Q2-1 Greek (Cyprus) Q2-1 Τίτλος Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για μεταβάσεις φάσεων και αστάθειες. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε αυτό το

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. - 2 - .. Καλλιστής Νικόλαος Διπλωματούχος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 1) Θεωρούµε ένα σύστηµα που αποτελείται από ένα σωµατίδιο µε σπιν ½ και µε µαγνητική ροπή

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

3. ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

3. ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ . ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Οι πρώτες συστηματικές μετρήσεις της επιδεκτικότητας σε μεγάλο αριθμό ουσιών και σε μεγάλη περιοή θερμοκρασιών έγιναν από τον Curie το 895. Τα αποτελέσματά του έδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας.

Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Greek (Greece) Q2-1 Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Τα κύρια σηµεία της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι: Η πειραµατική µελέτη της µεταβατικής συµπεριφοράς συστηµάτων γείωσης

Τα κύρια σηµεία της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι: Η πειραµατική µελέτη της µεταβατικής συµπεριφοράς συστηµάτων γείωσης Κεφάλαιο 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το σηµαντικό στην επιστήµη δεν είναι να βρίσκεις καινούρια στοιχεία, αλλά να ανακαλύπτεις νέους τρόπους σκέψης γι' αυτά. Sir William Henry Bragg 5.1 Ανακεφαλαίωση της διατριβής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÊÏÌÏÔÇÍÇ + +

B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÊÏÌÏÔÇÍÇ + + Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο. β. γ. γ 4. γ. α. Λ β. Σ γ. Σ δ. Λ ε. Λ ΘΕΜΑ ο. Α. Σωστή η απάντηση () A B' ΤΑΞΗ ΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ B l w ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ F L Ε επ, K Λ - - F

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TE Αρχές Ψηφιακών Συστημάτων Επικοινωνίας και Προσομοίωση Εαρινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων (Μεγαλοκανονική κατανομή) Ιδανικό κβαντικό αέριο

Σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων (Μεγαλοκανονική κατανομή) Ιδανικό κβαντικό αέριο Κεφάλαιο : Σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων (Μεγαλοκανονική κατανομή) Ιδανικό κβαντικό αέριο Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) Ασχοληθήκαμε με συστήματα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων. Τον τρίτο

Διαβάστε περισσότερα

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ 7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ Για να προσδιορισθεί η καμπύλη παλινδρόμησης, η οποία αποτελείται από όλα τα ζεύγη σημείων τα οποία μπορούν προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

υναµική ισορροπία Περιορισµένη περιστροφή Αναστροφή δακτυλίου Αναστροφή διάταξης Ταυτοµέρεια

υναµική ισορροπία Περιορισµένη περιστροφή Αναστροφή δακτυλίου Αναστροφή διάταξης Ταυτοµέρεια υναµική ισορροπία Η φασµατοσκοπία MR µπορεί να µελετήσει φυσικές και χηµικές διεργασίες, οι οποίες µεταβάλλονται µε το χρόνο. Μπορεί, για παράδειγµα, να µελετήσει την αλληλοµετατροπή δύο ή περισσότερων

Διαβάστε περισσότερα

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19)

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19) Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Η φασµατική περιοχή στην οποία βρίσκεται µια φωτεινή ακτινοβολία χαρακτηρίζεται από την συχνότητα ν (Hz) µε την οποία ταλαντώνεται το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο του φωτός.

Διαβάστε περισσότερα

Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann)

Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Κεφάλαιο 2: Βασικές αρχές της στατιστικής φυσικής- Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) ώσαμε τις έννοιες της μακροκατάστασης, της μικροκατάστασης και του στατιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο της άσκησης

Περιεχόμενο της άσκησης Προαπαιτούμενες γνώσεις Ημιαγωγοί Θεωρία ζωνών Ενδογενής αγωγιμότητα Ζώνη σθένους Ζώνη αγωγιμότητας Προτεινόμενη βιβλιογραφία 1) Π.Βαρώτσος Κ.Αλεξόπουλος «Φυσική Στερεάς Κατάστασης» 2) C.Kittl, «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Κίνηση Ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο Εστω µια οµογενής ϱάβδος ΟΑ µάζας Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α ΟΜΑ Α Β

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α ΟΜΑ Α Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Α.1. Σωστό Α.2. Λάθος Α.3. Σωστό Α.4. Λάθος Α.5. Λάθος Α.6. β Α.7. γ ΟΜΑ Α Β α) Η φάση της ύφεσης. Η φάση της ύφεσης χαρακτηρίζεται από εκτεταµένη ανεργία, έλλειψη επενδύσεων και ανεπαρκή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ Θεωρητικη αναλυση μεταλλα Έχουν κοινές φυσικές ιδιότητες που αποδεικνύεται πως είναι αλληλένδετες μεταξύ τους: Υψηλή φυσική αντοχή Υψηλή πυκνότητα Υψηλή ηλεκτρική και θερμική

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναµικό-Δυναµική ενέργεια

Δυναµικό-Δυναµική ενέργεια Διάλεξη 5η Δυναµικό-Δυναµική ενέργεια Σε προηγούµενο κεφάλαιο εξετάσαµε την περίπτωση µονοδιάστατης κίνησης σε πεδίο δυνάµεων εξαρτώµενο από τη θέση Είδαµε ότι υπάρχει τότε µια ιδιόµορφη ποσότητα που διατηρείται:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Όρια καταστατικής εξίσωσης ιδανικού αερίου 2. Αποκλίσεις των Ιδιοτήτων των πραγματικών αερίων από τους Νόμους

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ - 5 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΙΚΩΝ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΩΝ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ - 5 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΙΚΩΝ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΩΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ - 5 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΙΚΩΝ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΩΝ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας,

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3.1 Μηχανικές Ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος µειώνεται µε τον χρόνο και τελικά µηδενίζεται λέγονται Φθίνουσες ή Αποσβεννύµενες. Ολες οι ταλαντώσεις στην ϕύση είναι

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Όσο χρονικό διάστηµα είχε τον µαγνήτη ακίνητο απέναντι από το πηνίο δεν παρατήρησε τίποτα.

Όσο χρονικό διάστηµα είχε τον µαγνήτη ακίνητο απέναντι από το πηνίο δεν παρατήρησε τίποτα. 1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ (Ε επ ). 5-2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ Γνωρίζουµε ότι το ηλεκτρικό ρεύµα συνεπάγεται τη δηµιουργία µαγνητικού πεδίου. Όταν ένας αγωγός διαρρέεται από ρεύµα, τότε δηµιουργεί γύρω του

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann)

Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Κεφάλαιο 2: Βασικές αρχές της στατιστικής φυσικής- Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) Δώσαμε τις έννοιες της μακροκατάστασης, της μικροκατάστασης και του στατιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα (Risky Business 1)

Παράδειγµα (Risky Business 1) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ

B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ 1 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µιας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΟΜΑ Α ΕΥΤΕΡΗ ÌÁÈÅÉÍ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΟΜΑ Α ΕΥΤΕΡΗ ÌÁÈÅÉÍ ΘΕΜΑ Α ΑΡΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. α. Σωστό β. Λάθος γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Λάθος Α2. α Α3. γ ΘΕΜΑ Β ΟΜΑ Α ΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Γιάννης Π. Πλατάρος -1-20/10/2003 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΙΑΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Περίληψη: ίνεται στους µαθητές η διαπραγµάτευση ενός προβλήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ. 21 ος Ευρωπαϊκός ιαγωνισµός για νέους Επιστήµονες Έτους 2009

ΠΡΟΤΑΣΗ. 21 ος Ευρωπαϊκός ιαγωνισµός για νέους Επιστήµονες Έτους 2009 ΠΡΟΤΑΣΗ 21 ος Ευρωπαϊκός ιαγωνισµός για νέους Επιστήµονες Έτους 2009 ΘΕΜΑ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΛΟΓΩ ΑΣΥΜΜΕΤΡΗΣ ΘΕΣΗΣ ΠΥΡΗΝΑ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΤΑΞΗ:Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΑΜΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΑΝΑΓΙΑΝΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης Η πραγµατική επιφάνεια ξήρανσης είναι διασπαρµένη και ασυνεχής και ο µηχανισµός από τον οποίο ελέγχεται ο ρυθµός ξήρανσης συνίσταται στην διάχυση της θερµότητας και της µάζας µέσα από το πορώδες στερεό.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα