ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

Save this PDF as:

WORD PNG TXT JPG

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009"

Ἀγαυή Ανδρέου
2 χρόνια πριν
Προβολές:

Transcript

1 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Απαντήστε και στις 4 υποχρεωτικές ερωτήσεις. Υποδείξτε τις δύο από τις τρεις προαιρετικές ερωτήσεις τοποθετώντας ένα σταυρό στο αντίστοιχο κουτί της φορμας που θα σας δοθεί. Για τις απαντήσεις σας χρησιμοποιείστε διαφορετικές κόλλες για κάθε απάντηση. Σελίδα 1/8

2 ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από την σχέση x f( x) xe, x 0. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f και μία ευθεία διερχόμενη από τα σημεία Ο και Α, όπου A είναι το σημείο της γραφικής παράστασης που αντιστοιχεί στο μέγιστο της f. a) i. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Α ii. Να αποδείξετε ότι μία εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα O και A x είναι ή y. e b) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου 6 μονάδες Σελίδα 2/8

σημείο της γραφικής παράστασης που αντιστοιχεί στο μέγιστο της f. a) i. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Α ii.

3 ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ Ένας σπουδαστής μελετά την ανάπτυξη ενός πληθυσμού βακτηριδίων. Aποφασίζει να προτείνει ένα μοντέλο ανάπτυξης που περιγράφεται από την παρακάτω διαφορική εξίσωση: dn 0, 25 N t dt όπου t ο χρόνος σε λεπτά μετρώμενος από την αρχή του πειράματος και N το πλήθος των βακτηριδίων την χρονική στιγμή t. Πραγματοποιείται ένα πειραμα με αρχικό αριθμό των βακτηριδίων a) Να προσδιορίσετε την λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης δίνοντας το Ν σαν συνάρτηση του t. b) i. Υπολογίστε των αριθμό των βακτηριδίων μετά από 4 λεπτά. ii. Υπολογίστε μετά από πόσο χρόνο ό αριθμός των βακτηριδίων θα γίνει μονάδες Σελίδα 3/8

αρχή του πειράματος και N το πλήθος των βακτηριδίων την χρονική στιγμή t. Πραγματοποιείται ένα πειραμα με αρχικό αριθμό των βακτηριδίων 5000.

4 ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σε τρισδιάστατο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων θεωρούμε το επίπεδο α : 4x-3y = 12 a) i. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων τομής του α με τους άξονες των συντεταγμένων. ii. Να δοθεί μια παραμετρική εξίσωση της ευθείας τομής του επιπέδου α με το επίπεδο x Ο y. b) i. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου P που είναι το συμμετρικό της αρχής των αξόνων O ως προς το επίπεδο α. ii. Να προσδιορίσετε τις καρτεσιανές εξισώσεις των επιπέδων που είναι παράλληλα στο α και απέχουν από αυτό 4. Σελίδα 4/8

Να δοθεί μια παραμετρική εξίσωση της ευθείας τομής του επιπέδου α με το επίπεδο x Ο y. b) i.

5 ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ένα εργοστάσιο τοποθέτησε ένα σύστημα συναγερμού το οποίο, ενεργοποιείται αμέσως όταν κάποιο ατύχημα συμβαίνει στην γραμμή παραγωγής. Αν ο συναγερμός ενεργοποιηθεί η παραγωγή σταματάει για το υπόλοιπο της ημέρας. Ωστόσο κάποιες φορές ο συναγερμός δεν λειτουργεί κανονικά. Είναι γνωστό ότι μία οποιαδήποτε ημέρα: Η πιθανότητα να ενεργοποιηθεί ο συναγερμός ενώ δεν υπάρχει ατύχημα είναι 0,02 Η πιθανότητα να μην δραστηριοποιηθεί ο συναγερμός ενώ υπάρχει ατύχημα είναι 0.2 Και είναι γνωστό επίσης ότι σε κάθε συγκεκριμένη ημέρα η πιθανότητα να συμβεί ατύχημα είναι 0.01 a) i. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε μια συγκεκριμένη ημέρα να συμβεί ένα ατύχημα και να ενεργοποιήσει το συναγερμό. ii. Υπολογίστε την πιθανότητα ώστε μια συγκεκριμένη ημέρα να ενεργοποιηθεί ο συναγερμός. b) i. Ο συναγερμός ενεργοποιείται. Ποια είναι η πιθανότητα να έχει πράγματι συμβεί ατύχημα ii. Ποια είναι η πιθανότητα ώστε ο συναγερμός να ενεργοποιηθεί 2 ακριβώς ημέρες κατά την διάρκεια 7 ημερών Σελίδα 5/8

Είναι γνωστό ότι μία οποιαδήποτε ημέρα: Η πιθανότητα να ενεργοποιηθεί ο συναγερμός ενώ δεν υπάρχει ατύχημα είναι 0,02 Η πιθανότητα να μην δραστηριοποιηθεί ο συναγερμός ενώ υπάρχει ατύχημα είναι 0.

6 ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ I ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από τον τύπο 3x ln x 0 x 1 f:x 1 3x ln x x 1 Και F η γραφική της παράσταση σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. a) Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο x = 1. b) Να μελετήσετε την f προσδιορίζοντας τις ρίζες της, τις συντεταγμένες και το είδος των ακρότατων καθώς και τα όρια της f για x και για x 0. 6 μονάδες c) Σχεδιάστε την F. d) Να βρεθεί μια εξίσωση της εφαπτομένης της F στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα των x. e) i. Να βρείτε το εμβαδόν Ak ( ) του χωρίου που ορίζεται από την F, τον άξονα των x και τις ευθείες με εξίσωση x = k ( 0 < k < 1 ) και x = 1. ii. Να υπολογίσετε το A lim A( k) k 0 f) i. Υπολογίστε το εμβαδόν B( p ) που ορίζεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα των x και τις ευθείες με εξίσωση x = 1 και x p ( p 1). ii. Για ποια τιμή του p θα είναι B( p) A. Σελίδα 6/8

b) Να μελετήσετε την f προσδιορίζοντας τις ρίζες της, τις συντεταγμένες και το είδος των ακρότατων καθώς και τα όρια της f για x και για x 0. 6 μονάδες c) Σχεδιάστε την F.

7 ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ II ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τα παιχνίδια που κατασκευάζονται από μια εταιρεία έχουν δύο πιθανά κατασκευαστικά λάθη: το ένα στο χρώμα και το άλλο στη μορφή. Τα δύο σφάλματα συμβαίνουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Για ένα παιχνίδι επιλεγμένο στην τύχη ορίζουμε τα παρακάτω γεγονότα: A: το παιχνίδι έχει ένα σφάλμα στο χρώμα του B: Το παιχνίδι έχει ένα σφάλμα στη μορφή του, C: το παιχνίδι έχει τουλάχιστον ένα από τα δύο σφάλματα. Αν θεωρήσουμε ότι PA ( ) και P(B) = 0.041: a) Υπολογίστε την P(A B) b) Υπολογίστε την P(C) Στις παρακάτω ερωτήσεις c) και d) θα υποθέτουμε ότι για ένα παιχνίδι, επιλεγμένο στην τύχη, η πιθανότητα να έχει τουλάχιστον ένα από τα δύο σφάλματα είναι 0,09. Τα παιχνίδια επιλέγονται τυχαία και συσκευάζονται σε κουτιά. c) Ένα κατάστημα αγοράζει κουτιά καθένα από τα οποία περιέχει 60 παιχνίδια. Έστω X η τυχαία μεταβλητή που περιγράφει τον αριθμό των παιχνιδιών σε κάθε κουτί που έχουν τουλάχιστον ένα από τα δύο σφάλματα. i. Ποια η κατανομή πιθανότητας για τη μεταβλητή Χ ; Δώστε τις παραμέτρους της. ii. Να υπολογισθεί η P(X = 5) 1 μονάδα iii. iv. Θεωρούμε μια προσέγγιση της κατανομής της Χ μέσω μιας κατανομής Poisson. Να υπολογιστεί η παράμετρος αυτής της κατανομής. Χρησιμοποιώντας αυτήν την προσέγγιση κατά Poisson, να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε ένα κουτί, τυχαία επιλεγμένο, να περιέχει λιγότερο από 3 παιχνίδια με ένα τουλάχιστον από τα δύο σφάλματα. 1 μονάδα d) Ένα άλλο κατάστημα αγοράζει κουτιά καθένα από τα οποία περιέχει 500 παιχνίδια. Εστω Y η τυχαία μεταβλητή που περιγράφει τον αριθμό των παιχνιδιών κάθε κουτιού με ένα τουλάχιστον από τα δύο σφάλματα. i. Αιτιολογήστε την δυνατότητα χρήσης της κανονικής κατανομής για την προσέγγιση της Y και δόστε τις παραμέτρους της. ii. Να υπολογισθεί η P(Y<50). iii. Να υπολογισθεί P(20<Y<30). Σελίδα 7/8

Για ένα παιχνίδι επιλεγμένο στην τύχη ορίζουμε τα παρακάτω γεγονότα: A: το παιχνίδι έχει ένα σφάλμα στο χρώμα του B: Το παιχνίδι έχει ένα σφάλμα στη μορφή του, C: το παιχνίδι έχει τουλάχιστον ένα από

8 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ III ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Στο χώρο εφοδιασμένο με ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε το σημείο Θεωρούμε τα σημεία P(0, 1,1) και Q (3,0, 3). την ευθεία d : x 2t y t z 2 2t, t R την σφαίρα S : x y z 2x 2y 2z 6 0 και το επίπεδο : 2x y 4 0. a) Δείξτε ότι μια εξίσωση του επιπέδου το οποίο περιέχει το σημείο P και την ευθεία d είναι x 2y 2z 4 0. b) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου C και την ακτίνα R της σφαίρας S. c) Να βρείτε μια εξίσωση για κάθε μία από τις δύο σφαίρες με ακτίνα r 3 που εφάπτονται στο στο σημείο P. Επαληθεύστε ότι μια από αυτές τις δύο είναι η S. 6 μονάδες d) Επαληθεύστε ότι τα και είναι μεταξύ τους κάθετα. e) Το επίπεδο τέμνει την σφαίρα S κατά κύκλο K. Βρείτε την ακτίνα του κύκλου K και τις συντεταγμένες του κέντρου του. f) i. Δείξτε ότι το Q βρίσκεται πάνω στην σφαίρα S ii. Η ευθεία m εφάπτεται της S στο σημείο Q και τέμνει την ευθεία d. Να βρείτε παραμετρικές εξισώσεις για την ευθεία m. 5 μονάδες 1 μονάδα 5 μονάδες Σελίδα 8/8

a) Δείξτε ότι μια εξίσωση του επιπέδου το οποίο περιέχει το σημείο P και την ευθεία d είναι x 2y 2z 4 0. b) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου C και την ακτίνα R της σφαίρας S.

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά