1 0, να βρείτε την τιμή του α. 4. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=3(2θ ημ2θ) ψ=3(1 συν2θ) α) Να δείξετε ότι : =σφθ

Transcript

1 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ -4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Αν =e t και y=e t να δείξετε ότι : y d y +χ dy = d d Αν χ= d d t και ψ=τοξημt, <t<, να βρείτε τις και d d Αν t η εφαπτομένη της καμπύλης με παραμετρικές εξισώσεις ( ) t t με t = είναι κάθετη με την ευθεία, να βρείτε την τιμή του α 4 Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=(θ ημθ) ψ=( συνθ) d α) Να δείξετε ότι : =σφθ d στο σημείο β) Να βρείτε την εξίσωση της κάθετης της καμπύλης όταν θ= 4 5 Να υπολογίσετε το όριο () 6 Να υπολογίσετε το όριο () 7 Να υπολογίσετε το όριο (6) 8 Να υπολογίσετε το όριο 9 α) Να διατυπώσετε το θεώρημα της Μέσης Τιμής και να δώσετε η γεωμετρική ερμηνεία του β) Να βρείτε αριθμό ξ(, ) για τον οποίο να ισχύει το θεώρημα της Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση f()= γ) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει αριθμός ξ(, ) για τον οποίο να ισχύει το θεώρημα της Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση αυτή Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) με f(α)=β και f(β)=α, να δείξετε ότι υπάρχει χ ο (α, β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο ( χ ο, f(χ ο ) ) να σχηματίζει με τον άξονα των χ γωνία ίση με Αν συνάρτηση f είναι φθίνουσα και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α,β), να αποδείξετε ότι f (χ) για κάθε χ(α,β) α) Να γράψετε τον ορισμό της αύξουσας συνάρτησης β) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση γ) Να δείξετε ότι Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f()=ln+ e Στη συνέχεια αν α R e να δείξετε ότι : e e e

2 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ -4 4 α) Να γράψετε τον ορισμό της κατακόρυφης ασύμπτωτης β) Να δείξετε ότι η ευθεία χ= είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της καμπύλης 5 Η καμπύλη με εξίσωση έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο Να βρείτε την τιμή των και β 6 Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f, ορισμένης στο R Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο : έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία ψ= και κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ= -, να υπολογίσετε τα α και β () 7 Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε τα α και β ώστε το σημείο, 5 να είναι σημείο καμπής 8 Για ποιες τιμές της παραμέτρου η συνάρτηση έχει δύο ακρότατα; 9 Μεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα με σταθερό μήκος μονάδες Να βρείτε την περίμετρο εκείνου του τριγώνου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα που έχουν τις δύο κορυφές τους πάνω στον άξονα των χ και τις άλλες δύο κορυφές πάνω στην καμπύλη να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου του ορθογωνίου που έχει μέγιστο εμβαδόν Να υπολογίσετε αυτό το μέγιστο εμβαδόν Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου της καμπύλης με εξίσωση στο οποίο η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης είναι ελάχιστη Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της κλίσης Αν η συνάρτηση της f(χ) παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία Α(5,) και Β(8,) και η είναι συνεχής στο, να δείξετε ότι χ Δίνεται η συνάρτηση ψ= Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες χ - των συντεταγμένων, τα τοπικά ακρότατα, τα σημεία καμπής, τις ασύμπτωτες και να κάμετε τη γραφική της παράσταση e Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους 4 Δίνεται η συνάρτηση άξονες, τις ασύμπτωτες, τα τοπικά ακρότατα τα σημεία καμπής και να την παραστήσετε γραφικά 5 Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f ΣΚ f

3 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ -4 Από το σχήμα: α Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ισχύουν: i f χ ii f χ = iii f χ = iv f χ v f χ vi f χ και f χ β Να βρείτε το πεδίο ορισμού 6 Υπολογίστε τα ολοκληρώματα : 5 ln α) e d β) 4 ( ) d γ) d d δ) ε) e d στ) d ζ) ημ θσυνθdθ 4 7 Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό t =εφ ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 5 4 d 8 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 4 ln d e 9 Δίνεται η συνάρτηση 9 Να βρεθεί το εμβαδό που βρίσκεται μεταξύ της καμπύλης του άξονα των χ και των ευθειών 4 και 5 Η ευθεία χ + ψ = εφάπτεται της υπερβολής χψ=να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ της χψ=, της ευθείας χ + ψ = και της χ= Δίνονται οι συναρτήσεις e και e Να βρεθεί το εμβαδό που βρίσκεται μεταξύ των δύο καμπύλων των ευθειών, καθώς και ο παραγόμενος όγκος αν το πιο και πάνω εμβαδό περιστραφεί γύρω από τον άξονα των χ Δίνονται οι καμπύλες ψ=lnχ και ψ= ln α)αν το εμβαδό το οποίο βρίσκεται μεταξύ των πιο πάνω καμπύλων και της ευθείας ψ=α, α> είναι ίσο με 5 e, τότε να δείξετε ότι α=ln β)αν α=ln τότε να βρείτε τον όγκο που παράγεται από την πλήρη στροφή του πιο χωρίου γύρω από τον άξονα των ψ Αν η f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [,5] και ισχύει ότι : f ( ) d, 5 f ( ) d 8 και 5 f ( ) d τότε να υπολογίσετε το f ( ) d ; πάνω

4 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο R τότε : α) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u=c- να δείξετε ότι c f ( ) g( c ) d f ( c ) g( ) d c β) Στη συνέχεια να υπολογίσετε με τη βοήθεια των παραπάνω το ολοκλήρωμα Α= 7 d 5 α) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u= α χ ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να δείξετε ότι : ι) f ) d ( f ( ) d και ιι) f ( ) d [ [ f ( ) f ( )] d] β) Με τη χρήση του πιο πάνω αποτελέσματος ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος ln e e ln d 6 α) Πόσοι αναγραματισμοί της λέξης ΚΟΣΜΟΣ υπάρχουν; β) Σε πόσους από τους αναγραμματισμούς τα γράμματα Κ,Μ είναι ξεχωριστά; 7 Πέντε (5) Μαθηματικοί, τρεις () Χημικοί και έξι (6) Φυσικοί θα σχηματίσουν εννεαμελή ομάδα για συζήτηση επιστημονικού θέματος, Πόσες τέτοιες 9μελείς ομάδες μπορούν να σχηματιστούν, αν στην κάθε ομάδα πρέπει να συμμετέχουν τρεις () μόνο Μαθηματικοί, και δύο () τουλάχιστο Χημικοί 8 Δίνονται τα ψηφία, 4, 6, 8, 9 Χρησιμοποιώντας τα ψηφία αυτά χωρίς επανάληψη να βρείτε : α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 5 μπορούν να γίνουν; β) Πόσοι από τους πιο πάνω αριθμούς είναι άρτιοι 9 Με ψηφία από το σύνολο {4, 5, 6, 7, 8} σχηματίζουμε τριψήφιους φυσικούς αριθμούς χωρίς επανάληψη ψηφίου Να βρείτε: α) το πλήθος των τριψήφιων φυσικών αριθμών που σχηματίζονται και β) το άθροισμα όλων των τριψήφιων φυσικών αριθμών που σχηματίζονται () 4 Δίνονται τα ψηφία,,,,4,5 Να βρείτε α) πόσους τετραψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία αυτά αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίων β) Πόσοι από τους πιο πάνω αριθμούς είναι άρτιοι () 4 Τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα (ξένα) και τα Α και Γ είναι ανεξάρτητα και ισχύουν: P, P, P, P, να βρείτε τις πιθανότητες: P, P, P, P, P, P 4 Έχει παρατητηθεί ότι στα άτομα υποφέρουν από νεφρίτιδα Για τη διάγνωση της ασθένειας διεξάγεται ανάλυση ούρων Η πιθανότητα η ανάλυση να είναι θετική για άτομα που υποφέρουν από την ασθένεια είναι άτομα είναι Να βρείτε τις πιθανότητες :, ενώ η πιθανότητα η ανάλυση να είναι θετική για υγιή α) κάποιος που έκανε την ανάλυση να είχε θετικά αποτελέσματα β) κάποιος που είχε αρνητικά αποτελέσματα, όταν έκανε την ανάλυση,να υποφέρει από την ασθένεια

5 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ Ένα δοχείο περιέχει 5 μαύρες και λευκές μπάλες Παίρνω τυχαία μια μπάλα από το δοχείο Αν η μπάλα είναι μαύρη την επανατοποθετώ στο δοχείο και επίσης τοποθετώ ακόμα λευκές μπάλες στο δοχείο Στη συνέχεια παίρνω μια δεύτερη μπάλα από το δοχείο α) Να βρείτε την πιθανότητα η δεύτερη μπάλα που πήρα να είναι λευκή β) Αν η δεύτερη μπάλα που πήρα είναι λευκή, πια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα που πήρα να είναι μαύρη; γ) Αν την δεύτερη φορά, αντί να πάρω μια μπάλα παίρνω τυχαία δύο μπάλες ταυτόχρονα, ποια η πιθανότητα οι μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα; 44 Δίνεται ο κύκλος Να βρείτε : α) Τις συντεταγμένες του κέντρου του β) Το μήκος της ακτίνας του γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης του στο σημείο Α(-, 6) 45 Οι εφαπτομένες του κύκλου 5 στα σημεία,,, τέμνονται στοa α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (K)που έχει κέντρο το Aκαι εφάπτεται του άξονα των ψ β) Να δείξετε ότι ο κύκλος (K) εφάπτεται εξωτερικά με τον κύκλο (α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που το κέντρο του απέχει από την αρχή των αξόνων 5 μονάδες και βρίσκεται πάνω στην ευθεία 4 5 εαν εφάπτεται του άξονα των ψ 47 Δίνεται ο κύκλος +y = και τυχόν σημείο του Τ(συνθ, ημθ) α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Τ είναι συνθ + ψημθ = β) Η εφαπτόμενη στο Τ τέμνει τον άξονα των στο σημείο Κ Αν η εφαπτόμενη στο Α(,) και η κάθετος στο Τ τέμνονται στο Λ, τότε να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης πάνω στην οποία βρίσκεται ο γτ του μέσου Μ της ΚΛ 48 Δίνεται η παραβολή α την εστία της β την διευθετούσα της ψ = 8χ Να βρείτε: 4,- ως προς την παραβολή γ την θέση του σημείου δ την εξίσωση της καθέτου στο σημείο,-4 ε Αν η ευθεία ψ = χ + λ εφάπτεται της παραβολής να υπολογίσετε το λ 49 Δίνεται η παραβολή ψ = χ και δυο τυχαία σημεία της Α t,6t, Β ρ,6ρ Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ της χορδής ΑΒ της παραβολής αν ισχύει t-ρ = 5 Να βρεθεί η εξίσωση της κάθετης στο σημείο, της παραβολής ψ = 4χ Η κάθετη αυτή τέμνει τον Οχ στο Β Έστω Μ το μέσο του ΑΒ Μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των ψ περνά από το Μ και τέμνει τον Οχ στο Ν και την παραβολή στο Ρ Να δείξετε ότι (PN)=(AB) 5 Να βρείτε τα μήκη των αξόνων, τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις διευθετούσες της έλλειψης: 5χ + 9ψ = 5 5 α Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης η οποία έχει εστίες τα σημεία,,, και μικρό άξονα 8 μονάδες β Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση ι η εστία και η διευθετούσα της ιι οι παραμετρικές εξισώσεις της = 4 Να βρεθεί:

6 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ -4 6 ιιι η εξίσωση της εφαπτομένης και της κάθετης της στο σημείο, 5 Η κάθετος της έλλειψης χ ψ, α β στο σημείο Ρασυνθ,βημθ τέμνει τον άξονα α β των χ στο Α Η κάθετος στον άξονα των χ από το Α συναντά την ΟΡ στο Β (α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης της έλλειψης στο Ρ είναι η αχημθ -βψσυνθ = α -β ημθσυνθ (β) Να βρείτε τον ΓΤ του σημείου Β 54 Δίνεται η υπερβολή χψ 9 και το σημείο της α Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης χt ψ 6t Ρ t, t ε της υπερβολής στο σημείο Ρ είναι β Να βρείτε την εξίσωση της κάθετης κ της υπερβολής στο σημείο Ρ γ Η εφαπτομένη ε τέμνει τον άξονα των χ στο σημείο Τ και τον άξονα των ψ στο Τ, ενώ η κάθετη σημείο κ τέμνει τον άξονα των χ στο σημείο Ν και τον άξονα των ψ στο σημείο Ν Αν Ε είναι το εμβαδό του τριγώνου ΡΤΝ και Ε το εμβαδό του τριγώνου ΡΤΝ, να δείξετε ότι ισχύει: Ε Ε 9 c c Α ct, Β cρ, t ρ είναι σημεία της υπερβολής χψ c c α Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της υπερβολής χψ c στο σημείο Α ct, t χ + t ψ = ct 55 Τα σημεία και β Αν η πιο πάνω εφαπτομένη περνά από την προβολή Ν του σημείου Β πάνω στον άξονα Οχ, να δείξετε ότι ρ = t έχει εξίσωση: γ Να βρείτε τι είδους κωνική τομή είναι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ΑΒ 56 Δίνεται ο πίνακας Α = Να υπολογίσετε τον πίνακα Α Α 57 Δίνονται οι πίνακες Α = και Ι = α) Να δείξετε ότι Α = Α Ι β) Χρησιμοποιώντας το α ερώτημα ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να δείξετε ότι Α =7Α 6Ι γ) Να δείξετε ότι 58 Δίνεται ο πίνακας Α()= R + ln α) Να δείξετε ότι Α() Α(ψ) =Α(ψ) β) Να λύσετε την εξίσωση Α () =Ι όπου Ι ο μοναδιαίος πίνακας γ) Να βρείτε την τιμή του λ R + για την οποία ισχύει Α(λ λ+) =Α(λ) Α( ) (Απ : =, λ= )