ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο"

Transcript

1 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και. (Μονάδες 3) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 8604 Δίνεται παραλληλόγραμμο και, σημεία τέτοια ώστε:,. 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και. (Μονάδες 3) β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 0054 Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5 = + 3. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 0) β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει = + + όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 58 Θεωρούμε τα διανύσματα,, και τυχαίο σημείο Ο. Αν 5, 3 4 και 3 6, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα B, συναρτήσει των διανυσμάτων,,. (Μονάδες 3) β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ 4 56 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι και. Θεωρούμε σημεία Ε, Ζ στην ΑΔ και τη διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα, ώστε και. Να αποδείξετε ότι: 3 4 α) ( ). 4 β) ( ) και να υπολογίσετε με τη βοήθεια των, το. (Μονάδες ) 4 3 γ) τα σημεία Ε, Ζ, Β είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5) Σελίδα

2 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΘΕΜΑ 8605 ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα διανύσματα i 4j, B 3i j και 5i 5j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και y y αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των και. (Μονάδες ) β) Να εξετάσετε αν τα σημεία, και μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 0055 Θεωρούμε τα σημεία Α(α +, 3), Β(α, 4) και Γ(-4, 5α+4), R. α) Να βρείτε τα διανύσματα B, B. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 0) γ) Αν α =, να βρείτε αριθμό λ ώστε. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 006 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(,), Γ(4, 3) και Δ(, 3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 007 Θεωρούμε τα σημεία Α(+α, 4α ) και Β(5α+, α),. α) Να γράψετε το B συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε B 0. (Μονάδες ) β) Έστω α =. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 0073 Δίνονται τα σημεία Α(, 3), Β(-, 5) και Γ(-, -4). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. (Μονάδες 0) γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 048 Δίνονται τα διανύσματα i j, i 5j και (7,3). α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. (Μονάδες 0) β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 530 Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ ώστε B (,4) και (3,6). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου. (Μονάδες 0) Σελίδα

3 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8556 Δίνονται τα διανύσματα και με (, ) και,. 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. β) Αν τα διανύσματα + και κ + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 0) γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος +. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 8558 Σε τρίγωνο είναι: ( 4, 6), (, 8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος, όπου είναι η διάμεσος του τριγώνου. (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι οξεία. (Μονάδες 0) γ) Αν στο τρίγωνο επιπλέον ισχύει (3,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του και. ΘΕΜΑ 858 Έστω τα διανύσματα και για τα οποία : και (, ) 60. α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 0) β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων και. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 8598 Δίνονται τα διανύσματα ( 6 9, 3) και (,6), όπου R. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. (Μονάδες 9) γ) Για κ = να βρείτε το διάνυσμα. ΘΕΜΑ 0053 Δίνονται τα διανύσματα, με 4και 8. α) Να υπολογίσετε τη γωνία,. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι 0. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 0056 Έστω, δυο διανύσματα με,, 5, 6 και u. α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα και u. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. (Μονάδες 9) Σελίδα 3

4 ΘΕΜΑ 0057 Δίνονται τα διανύσματα, με, και,. Να υπολογίσετε τα εξής: 3 α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και κατόπιν την τιμή της παράστασης ( ). (Μονάδες 0) β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων και. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 0058 Δίνονται τα διανύσματα (, 3) και ( 3,3). Να υπολογίσετε: α) τη γωνία,. (Μονάδες 0) β) το διάνυσμα u ( ). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 0059 Δίνονται τα διανύσματα (,3) και (, ). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και ΘΕΜΑ 0070 v (x, x ) είναι κάθετα. (Μονάδες 5) Έστω, δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν 3 9, και, α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 3. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 505 Δίνονται τα διανύσματα, και u, v 5 4 ια τα οποία ισχύουν: u v και. α) Να αποδείξετε ότι.. 3 (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u 3v και είναι αντίρροπα και ότι u 3v 4. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 59 Έστω, δυο διανύσματα για τα οποία ισχύουν: (,) και 7 (,7 ), R. 7 α) Να γράψετε το διάνυσμα ως συνάρτηση του μ. (Μονάδες 0) β) Αν μ =, τότε: i. να αποδείξετε ότι (3, 4) και ότι το είναι κάθετο στο 7. (Μονάδες 0) ii. να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων,. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 54 Έστω (, 3) και ( 5,) δυο διανύσματα. Σελίδα 4

5 α) Να βρείτε το και να απλοποιήσετε την παράσταση. (Μονάδες 3) β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 3. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 57 α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα, ισχύει:. (Μονάδες ) β) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με πλευρά ίση με τη μονάδα και,. Αν η διαγώνιός του ΑΓ έχει μήκος 3, να βρείτε το μήκος της διαγώνιου ΒΔ. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα 4,, ΘΕΜΑ 4ο, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα. (Μονάδες 4) β) Αν Γ (α, β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: i) να αποδείξετε ότι: 3,4 και 4,. (Μονάδες 5) ii) να αποδείξετε ότι: 4α + 3β = 0. (Μονάδες 6) iii) αν επιπλέον τα διανύσματα και είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύουν:,,, 60 και, όπου R. α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο. (Μονάδες 3) β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ =. (Μονάδες 6) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. ΘΕΜΑ α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v. (Μονάδες 0) β) Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν: 0 και i) Να αποδείξετε ότι: και. ii) Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 7) Σελίδα 5

6 ΘΕΜΑ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα διανύσματα = (, 7) και = (, 4). α) Να βρεθεί η προβολή του πάνω στο. (Μονάδες 0) β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ -005 Δίνονται τα διανύσματα, με, 7 και. α) Να υπολογίσετε τα και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την προβολή του στο διάνυσμα. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 0069 Δίνονται τα διανύσματα (, 3) και (, ). α) Να βρείτε την προβολή του πάνω στο. (Μονάδες 0) β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το. (Μονάδες 5) ΕΥΘΕΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΩΝ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8575 Δίνονται τα σημεία (,) και (5,6). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος () του ευθυγράμμου τμήματος έχει εξίσωση την y x 7. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 8600 Θεωρούμε την ευθεία ( ) που τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία (3,0) και (0,6) αντίστοιχα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( ). β) Αν ( ) είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ( ), τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ( ). (Μονάδες 9) ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ( ) και ( ). ΘΕΜΑ 860 Έστω (3,5) το μέσο ευθυγράμμου τμήματος με (,). α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου. (Μονάδες 6) ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου του άξονα x x έτσι, ώστε να ισχύει ( ) ( ). Σελίδα 6

7 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 860 Δίνεται η ευθεία ( ) : y x και το σημείο (, 4). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην (). (Μονάδες 0) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου πάνω στην ευθεία (). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 0060 Δίνονται τα διανύσματα (, ) και (3,0). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u 4. (Μονάδες 0) 3 u β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης και διέρχεται από 5 το σημείο A(, ). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 0063 Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και Α(, ), Μ(, 5). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, καθώς και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες x x και y y. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 0066 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,), Β(,) και Γ(,4). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. ΘΕΜΑ 0068 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 5,4), Β(,6), Γ(4,) και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο ισχύει M B. 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος B. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. (Μονάδες 9) 9 γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες ( 4, ), να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Γ,Μ. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 57 Θεωρούμε τα σημεία Α(6, μ) και Β(μ+, μ+), R. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε R, τα σημεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους και να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα Α και Β. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε για ποια τιμή του μ, το σημείο Γ(4, ) περιέχεται στην ευθεία ΑΒ. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 040 Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(3,), Β(-3,), Γ(4,0). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ Δίνονται τα σημεία Α(λ+, λ-), Β(,) και Γ(4,6), ΘΕΜΑ 4ο R. Σελίδα 7

8 α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7) β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ. γ) Για λ = 4,να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Θεωρούμε το σημείο Μ(-3, -) και ευθεία που διέρχεται από το Μ και τέμνει τους αρνητικούς ημιάξονες στα σημεία Α, Β. α) Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας είναι αρνητικός. (Μονάδες 0) β) Έστω Ε(λ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. i. Να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε λ< 0. (Μονάδες 0) ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν. (Μονάδες 5) ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8584 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ( ) : x y 8 0, ( ) : x 4y 0 0 και το σημείο A της ( ) που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου A. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας () η οποία διέρχεται από το σημείο A και είναι κάθετη στην ευθεία ( ). (Μονάδες 0) γ) Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών () και ( ), τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 8587 Δίνονται οι ευθείες ( ) : x 8y 6 0 και ( ) : x y 5 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο. Αν οι ευθείες ( ) και ( ) τέμνουν τον άξονα y y στα σημεία A και αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων M, A και. (Μονάδες 0) β) αν K είναι το μέσο του τμήματος AB, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος MK. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 8589 Δίνονται οι ευθείες ( ) :8x y 8 0 και ( ) : x y 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο M. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου M και, στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το M και είναι κάθετη στον άξονα x x. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το M και έχουν συντελεστή διεύθυνσης έχουν εξίσωση την: x y 3 4 0, όπου R. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 859 Δίνονται οι ευθείες ( ) : x 3y 5 0 και ( ) :3x y 5 0. α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ( ) και ( ) είναι κάθετες μεταξύ τους. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής A των ευθειών ( ) και ( ). (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο A και την αρχή O των αξόνων. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες ( ) :3x y 3 0 και ( ) : x y 4 0. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής A των ευθειών ( ) και ( ). Σελίδα 8

9 β) Αν η ευθεία ( ) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο και η ευθεία ( ) τέμνει τον άξονα x x στο σημείο, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων και. ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και έχει εξίσωση την 3x 4y 0. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 0065 Δίνεται η ευθεία ε : x + y + = 0 και το σημείο Α(5,). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς την ευθεία ε. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών η και η και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 007 Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6, -) εκτός της (ε). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). (Μονάδες 3) β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 50 Έστω Α(-, ), Β (, 0) και Γ(-, 3) τρία σημεία του επιπέδου. α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) ώστε: είναι η ευθεία ε: 5x 3y+= 0. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε ευθεία κάθετη στην (ε) που διέρχεται από το μέσο Κ του τμήματος ΑΓ. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ - 53 Θεωρούμε την εξίσωση: (λ ) x + (8 λ) y + 9λ 7 = 0, R, (). α) Να αποδείξετε ότι για κάθε R, παριστάνει ευθεία. (Μονάδες 0) β) Αν (ε ), (ε ) είναι οι ευθείες που προκύπτουν από την () για λ=, λ= αντίστοιχα, να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 55 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι πλευρές του ΑΒ και ΑΔ βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις ε : x+y+=0 και ε : x-y+6=0 αντίστοιχα. Αν το κέντρο του είναι το σημείο Κ(-, -), τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α και να αποδείξετε ότι Γ(0, -6). (Μονάδες ) β) να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΓΔ και τις συντεταγμένες της κορυφής Δ. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ 4 56 Θεωρούμε τα σημεία Α(-t+6, 0), B(0, 4t-), t R. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. (Μονάδες 5) β) Να δείξετε ότι το Μ κινείται σε ευθεία την οποία να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) γ) Αν (ΑΒ) = d, να αποδείξετε ότι d 0 και κατόπιν να βρείτε τα Α, Β ώστε η απόσταση (ΑΒ) να είναι ελάχιστη. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Θεωρούμε τις εξισώσεις ε λ : (λ )x + (λ )y λ + 3 = 0, R. α) Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις (ε λ ) παριστάνει ευθεία και κατόπιν ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο. (Μονάδες 0) β) Έστω και. Αν η (ε λ ) τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α(α, 0) και Σελίδα 9

10 Β(0, β) αντίστοιχα, τότε: i. να εκφράσετε τα α, β συναρτήσει του λ. (Μονάδες 5) ii. να βρείτε την ευθεία της παραπάνω μορφής ώστε να ισχύει. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση x + y + (xy x y) + 3 = 0. α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει δυο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. Έστω ε : x + y = και ε : x + y = 3 οι δυο ευθείες. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου που σχηματίζεται από τους άξονες και τις ευθείες. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο και τέμνει τις ε και ε στα σημεία Α, Β ώστε (ΑΒ) =. (Μονάδες 0) ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 006 Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β(, 3). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α,Β. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων και Κ, Λ είναι τα σημεία τομής της ε με τους άξονες x x και y y αντίστοιχα. (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ 0067 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,), Β( 3,) και Γ(4,0). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε το ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 506 Θεωρούμε τα σημεία Α(α, 0) και Β(0,β), όπου 0 και. α) Να αποδείξετε ότι : y x. (Μονάδες 7) β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ(α, β) και είναι κάθετη προς την ευθεία ΑΒ, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ε. (Μονάδες 9) ii) αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Κ και τον άξονα ψ ψ στο σημείο Λ, να αποδείξετε ότι ( ) ( ), όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε τα σημεία Α(λ+, λ), Β(-λ, 4) και Γ(-, ), R. α) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ, τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο. (Μονάδες 0) β) Έστω ότι για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ισχύει (ΑΒΓ) = 3. i. Να αποδείξετε ότι λ= ή λ=. (Μονάδες 0) ii. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων, όταν λ=. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 5 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy θεωρούμε την ευθεία ε : y = x + και τα σημεία Α(, 0) και B(6, - 3). α) Να προσδιορίσετε σημείο Γ της ευθείας ε ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη ΒΓ. (Μονάδες 5) β) Έστω Γ(, ). Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 0) Σελίδα 0

11 ΘΕΜΑ 53 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε την ευθεία ε: y = x + κ, όπου κ θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας. α) Να βρείτε με τη βοήθεια του κ, τα σημεία τομής Α, Β της ευθείας με τους άξονες x x, y y και το εμβαδόν του τριγώνου OAB. (Μονάδες 3) β) Αν ισχύει (OAB) < να αποδείξετε ότι κ=. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 59 Θεωρούμε την ευθεία ε: 3x 4y + = 0 και το σημείο Α(-, ). α) Να αποδείξετε ότι το Α δεν ανήκει στην (ε) και να βρείτε την απόστασή του από αυτή. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε όλες τις ευθείες που είναι παράλληλες στην (ε) και απέχουν από το Α απόσταση ίση με 3 μονάδες. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ - 53 Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο οποίο απεικονίζεται ο χάρτης του νομού Αρκαδίας. Τα χωριά Δόξα (Δ), Λευκοχώρι (Λ) και Κακουρέϊκα (Κ) έχουν αντίστοιχες συντεταγμένες Δ(-, ), Λ(, -) και Κ(-, -0). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα χωριά Δόξα (Δ) και Λευκοχώρι (Λ). β) Να βρείτε την απόσταση του Κ από την ευθεία (ε). γ) Να εξετάσετε, με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, ποιο από τα χωριά Δόξα και Λευκοχώρι απέχει τη μικρότερη απόσταση από τα Κακουρέϊκα. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α(λ-, λ+) και Β(μ+3, μ),, R. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β κινούνται στις ευθείες ε : y = x + 3 και ε : y = x - 3 αντίστοιχα. (Μονάδες ) β) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ε, ε. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Δίνονται τα σημεία Α(0,), Β(,5) και Γ(t, 3t ), t R. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. (Μονάδες 7) γ) Να δείξετε ότι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑB καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ανεξάρτητα του t. ΘΕΜΑ 4 86 Δίνεται η εξίσωση: x xy y 6x 6y 8 0. ΘΕΜΑ 4ο α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές και οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 7) β) Αν : x y 0 και : x y 4 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των και. γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β (Μονάδες ) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση x y xy 3x 3y 0, με λ διαφορετικό του 0. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με. (Μονάδες ) Σελίδα

12 β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ , η μεταξύ τους γωνία. Δίνονται τα διανύσματα και με μέτρα, 6 αντίστοιχα και Επίσης δίνεται η εξίσωση x y 5 0 (). α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε 0,. (Μονάδες 3) β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y' y, να αποδείξετε ότι 3. (Μονάδες 7) γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x 'x, να αποδείξετε ότι 3. (Μονάδες 7) δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι. ΘΕΜΑ Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι,, 3, πλευράς ΒΓ. Σελίδα, όπου 0 και, και Μ είναι το μέσο της α) Να αποδείξετε ότι,. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα,. γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες ε : x ψ 0λ +6 = 0 και ε : 0x + ψ λ 4 = 0, όπου R. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε και ε τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M. (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε : 8x + ψ 6 = 0. (Μονάδες 7) γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες x x και ψ ψ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία AB. (Μονάδες 5) ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι (ΚΑΒ) = 9. (Μονάδες 6) 4 ΘΕΜΑ 4 86 Δίνεται η ευθεία : x 4y 7 0 και τα σημεία Α(,4) και B(,6). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B. (Μονάδες 7) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ. K x, y για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΜΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία εξισώσεις τις: x y 5 0 και x y 5 0. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες :3x y 3 0 και : x y 4 0. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών και. (Μονάδες 5) β) Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα y' y στο σημείο Β και η ευθεία τέμνει τον άξονα x 'x στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ. (Μονάδες 5)

13 ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 5) K x, y για τα οποία ισχύει (ΚΒΓ) = (ΑΒΓ) ανήκουν σε δύο παράλληλες γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία : y x B x, y με Ax, y, και x x. Αν το σημείο Μ(3,5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. (Μονάδες 3) β) να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ) = 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5) K x, y για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΟΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία εξισώσεις τις: x y 0 και x y 6 0. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες R και το σημείο Α(,-). α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του R οι ευθείες τέμνονται. (Μονάδες 7) β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του R. (Μονάδες 0) γ) Έστω λ= και Β, Γ τα σημεία που οι και τέμνουν τον άξονα y' y. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. ΘΕΜΑ 4 86 : x y 3 0 : 3 x y 6 0. Δίνονται οι ευθείες και α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) και (ζ ). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δίνονται τα σημεία,, B(, ) και 4,, όπου R. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και. β) Να αποδείξετε ότι για κάθε R το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε. (Μονάδες 6) δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι (ΟΒΓ) =, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. ΘΕΜΑ Δίνονται τα σημεία Α(3,4), B(5,7) και Γ (μ +,3μ ), όπου R. (Μονάδες 3) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ. β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. (Μονάδες 5) ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (Μονάδες 7) γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Μ(x, y), Α(-, 3) και Β(, -) ώστε να σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν (ΜΑΒ) = 4. α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι δυο ευθείες ε, ε παράλληλες μεταξύ τους. Σελίδα 3

14 β) Να βρείτε την απόσταση των ε, ε. (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β είναι η μεσοπαράλληλη των ε, ε. Πως αιτιολογείται γεωμετρικά το συμπέρασμα αυτό; (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4 57 Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(-3, 4) και Γ(λ+, -λ), R. α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, τα Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι η κορυφή Γ κινείται σε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒΓ. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τις ευθείες ε λ : x + (λ + )y λ + = 0, R. α) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο Μ. (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι d(o, ) 0. γ) Να βρείτε ποια από τις ευθείες της παραπάνω μορφής απέχει την μέγιστη απόσταση από το Ο. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Θεωρούμε τα σημεία Α(, ), Β(-, 0) και Γ(0, ). α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) ώστε 3 είναι η ευθεία ε: x y + = 0. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε: i. Σημείο Κ στον άξονα x x ώστε το συμμετρικό του ως προς την ευθεία του ερωτήματος α) να είναι σημείο Λ του άξονα y y. (Μονάδες 0) ii. Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΣ όπου Σ είναι το σημείο τομής της ευθείας ε με τον άξονα y y. (Μονάδες 5) Σελίδα 4

15 ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 507 Δίνεται η εξίσωση : x y 0y 6 0 (). α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο K(0, 5) και ακτίνα 3. (Μονάδες ) β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του παραπάνω κύκλου. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 508 Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε κύκλο C που διέρχεται από το σημείο Α(3,0) και έχει κέντρο το K(4,8). α) Να αποδείξετε ότι C:(x 4) (y 8) 5, και έπειτα να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία O και K. (Μονάδες 3) β) Από τα σημεία του κύκλου C να βρείτε τις συντεταγμένες: i) του σημείου που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων. (Μονάδες 6) ii) του σημείου που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 533 Σε καρτεσιανό επίπεδο Οxy θεωρούμε τα σημεία Α(x, y), B(3, ) και Γ(, 0). Αν τα σημεία αυτά σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα τη ΒΓ, τότε: α) Να αποδείξετε ότι το Α κινείται στον κύκλο C:(x ) (y ). (Μονάδες 3) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι και ισοσκελές. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 534 Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τα σημεία K(, - ) και A(-6, 5). α) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ που διέρχεται από το Α, έχει εξίσωση C:(x ) (y ) 00. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο C στο σημείο Α και έχει ακτίνα ίση με το μισό της ακτίνας του C. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 536 Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τα σημεία A(, 0), B(3, - ) και την ευθεία ε : x + y + = 0. Να βρείτε: α) Την εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος ΑΒ. (Μονάδες 0) β) Την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και έχει το κέντρο του στην ευθεία ε. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ Έστω η εξίσωση: (x λ + 6) + (y λ) = λ + 8λ όπου R. α) Τι παριστάνει γεωμετρικά σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy η εξίσωση () όταν λ = και τι όταν λ = 6 ; β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ από το διάστημα (,6) η εξίσωση () στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy παριστάνει κύκλο. γ) Καθώς το λ μεταβάλλεται στο διάστημα (,6), να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση () ανήκουν σε ένα ευθύγραμμο τμήμα από το οποίο εξαιρούνται τα άκρα του. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τον κύκλο C : x + y = 4 και μία τυχούσα διάμετρό του AB με A(x,y ) και B( x,y ). α) Να δικαιολογήσετε γιατί ισχύει x = x και y = y ; (Μονάδες 5) Σελίδα 5

16 β) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων N(κ,λ) για τα οποία ισχύει 5 είναι ο κύκλος C : x + y = 9. (Μονάδες ) γ) Στο καρτεσιανό επίπεδο να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων M( x,y) για τα οποία ισχύει: 4 x y 9. ΘΕΜΑ 4 58 Δίνεται η εξίσωση x + y x + 4y + = 0. Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση παριστάνει κύκλο C του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β) Ο κύκλος C εφάπτεται στον άξονα x x και να προσδιορίσετε το σημείο επαφής τους. (Μονάδες 7) γ) Το σημείο M(, - ) βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον κύκλο σε δυο σημεία Α, Β ώστε η χορδή AB του κύκλου να έχει μέσο το Μ. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Δίνονται οι εξισώσεις (x + y )(x + y + ) = xy () και (λ )x + (λ + 3)y + λ 5 = 0 () R. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=. β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε R η εξίσωση () παριστάνει ευθεία. Κατόπιν να αποδείξετε ότι οι ευθείες που προκύπτουν από την () για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) γ) Έστω Α και Β τα σημεία τομής του κύκλου C με τους θετικούς ημιάξονες Ox και Oy αντίστοιχα. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ, ώστε η ευθεία ΑΒ να προκύπτει από την εξίσωση (). (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε την εξίσωση x + y (3α + ) x + α 4 = 0, R. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε R, η εξίσωση παριστάνει κύκλο. Κατόπιν, να βρείτε για ποιες τιμές του α, ο κύκλος διέρχεται από την αρχή Ο. (Μονάδες 0) β) Έστω C ο κύκλος που προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση όταν α = και y = λx, R μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο C σε σημείο Α διαφορετικό από το Ο. i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α συναρτήσει του λ. (Μονάδες 0) ii. Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΟΑ κινείται σε κύκλο σταθερής ακτίνας ο οποίος διέρχεται από το Ο. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Σε καρτεσιανό σύστημα Οxy, θεωρούμε τα σημεία Μ(x, y), A(-5, 0) και B(-, 0) για τα οποία ισχύει 5. α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ανήκει στον κύκλο C : x + y = 5. (Μονάδες 0) β) Θεωρούμε το σημείο Σ(7, ). i. Να εξετάσετε αν το σημείο Σ βρίσκεται στο εσωτερικό ή το εξωτερικό του κύκλου C. (Μονάδες 5) ii. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες, από το σημείο Σ προς τον κύκλο, είναι μεταξύ τους κάθετες. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τα σημεία M(x, y), A(-, 0) και B(, 0) ώστε να ισχύει 3. α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι ο κύκλος C : x + y = 0. (Μονάδες 0) β) Έστω Γ, Δ σημεία του κύκλου C ώστε 5. 4 i. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Γ, Δ και η αρχή των αξόνων Ο, είναι συνευθειακά. (Μονάδες 0) ii. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο όταν το Μ κινείται στον κύκλο. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Σελίδα 6

17 Δίνεται η εξίσωση x + y (λ )x (λ 7)y + λ = 0, R. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του λ, με 5, παριστάνει κύκλο. Κατόπιν να βρείτε τι παριστάνει η εξίσωση, όταν λ = 5. (Μονάδες ) β) Έστω C, C οι κύκλοι που προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση όταν λ = 3 και λ = 9 αντίστοιχα. i. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C και C εφάπτονται εξωτερικά. (Μονάδες 6) ii. Να βρείτε το σημείο επαφής των κύκλων. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 5 ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΜΑ ο p Θεωρούμε την παραβολή C: y 4x και την κατακόρυφη ευθεία :x, όπου p είναι η παράμετρος της παραβολής C. α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής. (Μονάδες 0) β) Αν η ευθεία ε τέμνει την παραβολή C στα σημεία της Β και Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των Β και Γ, καθώς και τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε και ε της παραβολής C στα σημεία της αυτά αντίστοιχα. (Μονάδες 0) ii) να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ε και ε ανήκει στη διευθετούσα της C. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η εξίσωση: 4 y 6x 0, (). α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει δύο παραβολές C : y 4x και C : y 4x και να βρείτε για καθεμιά από αυτές την εστία και τη διευθετούσα της. (Μονάδες 3) β) Αν E και E είναι οι εστίες των παραβολών C και C αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα EE. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 54 Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται οι παραβολές C : y px και C : y px οι οποίες έχουν εστίες τα σημεία E και E αντίστοιχα. Η απόσταση των σημείων E και E είναι ίση με 4 μονάδες. α) Να βρείτε την εστία, τη διευθετούσα και την εξίσωση καθεμιάς από τις παραβολές C και C. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα EE. (Μονάδες 0) Σελίδα 7

18 ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε κύκλο C ο οποίος έχει το κέντρο του στην ευθεία ε : x y = 0. Έστω επίσης A(5,3) και B(,5) δύο σημεία του κύκλου C. α) Να αποδείξετε ότι C : (x ) + y = 5. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και εστία το κέντρο του κύκλου C. (Μονάδες 7) γ) Αν M και M είναι τα σημεία τομής των C και C, τότε: i) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε και ε της παραβολής C στα σημεία αυτά. (Μονάδες 5) ii) να αποδείξετε ότι οι ε και ε τέμνονται σε σημείο που ανήκει στον κύκλο C. (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε κύκλο C που διέρχεται από τα σημεία A(0,), B(,4) και Γ (0,6). α) Να αποδείξετε ότι C : x + (y 4) = 4. (Μονάδες 0) β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του κύκλου C. (Μονάδες 9) γ) Αν M και M είναι τα σημεία επαφής του κύκλου C με τις εφαπτόμενες του ερωτήματος β), να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σημεία M και M. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ Σε καρτεσιανό επίπεδο Οxy θεωρούμε τα σημεία A(-, - ), B(0, - 4), την παραβολή y = 4x και έστω Μ(x, y) τυχαίο σημείο της παραβολής. α) Να αποδείξετε ότι: i. ( ) (y 4y 6). 4 ii. ( ) 3. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ ώστε το εμβαδόν (MAB) του τριγώνου ΜΑΒ να γίνεται ελάχιστο. (Μονάδες 5) γ) Έστω ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο όταν Μ(, -). Να εξετάσετε αν η εφαπτομένη της παραβολής στο Μ είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΜΑΒ. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 509 Δίνονται οι ελλείψεις ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΜΑ ο C : x 4y 0 και C : 4x y 0. α) Να αποδείξετε ότι οι ελλείψεις C και C έχουν την ίδια εκκεντρότητα. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των ελλείψεων C και C ανήκουν στον κύκλο C: x y 8. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 50 x y Δίνονται ο κύκλος C : x y 0, η έλλειψη C : και η κατακόρυφη ευθεία : x Αν Γ και Δ είναι τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου στα οποία η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο C και την έλλειψη C αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των Γ και Δ. (Μονάδες ) β) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C στο σημείο του Γ και της έλλειψης C στο σημείο της Δ, καθώς και το σημείο τομής των εφαπτομένων αυτών. (Μονάδες 4) Σελίδα 8

19 ΘΕΜΑ 56 Θεωρούμε την έλλειψη με εστίες τα σημεία E ( 5,0), E( 5,0)και μεγάλο άξονα μήκους 6 μονάδων. α) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης. (Μονάδες 0) β) Αν Μ είναι σημείο της έλλειψης για το οποίο ισχύει ME ME, τότε: i) να βρείτε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ME και ME. (Μονάδες 9) ii) να αποδείξετε ότι η γωνία E ME είναι ορθή. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ 4 59 Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τα σημεία M(x, y) για τα οποία ισχύει η ισότητα 6 ( ) 0, όπου A( 3,0) και B(3,0). 9 α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία M ανήκουν στον κύκλο C : x + y = 5. (Μονάδες ) β) Αν Γ και Δ είναι τα σημεία τομής του κύκλου C με τον άξονα x x, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C η οποία έχει μεγάλο άξονα το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ και εστίες τα σημεία A και B. (Μονάδες 0) ii) να παραστήσετε γραφικά τον κύκλο C και την έλλειψη C. (Μονάδες 4) ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 55 Μια έλλειψη C έχει εκκεντρότητα ίση με 4 5 και τις ίδιες εστίες με την υπερβολή x y C :. 4 x y α) Να αποδείξετε ότι C :. (Μονάδες 5) 5 9 β) Να παραστήσετε γραφικά την έλλειψη C και την υπερβολή C σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy.(Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ 4 59 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της υπερβολής που τέμνει τον άξονα x x στα σημεία Α (-, 0), x Α(, 0) και διέρχεται από το σημείο Γ( 5, ) είναι η C : y. (Μονάδες 0) 4 β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C με διάμετρο το τμήμα Α Α. (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι οι μοναδικές κοινές εφαπτόμενες της υπερβολής C και του κύκλου C είναι οι ευθείες ε : x = - και ε : x =. (Μονάδες 0) Σελίδα 9

20 Σελίδα 0

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου Έκδοση:0 03 05 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 4η έκδοση: 0 03

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 7ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 4-ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 5 ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (4α θέματα) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών wwwaskisopolisgr Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών Διανύσματα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, )

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα