Υποέργο 2 - Δράση 2.2 Μέθοδοι Χαλάρωσης στις Διεπαφές (ΜΧΔ)

Transcript

1 MATENVMED - MIS Πλατφόρμα Προηγμένων Μαθηματικών Μεθόδων και Λογισμικού για την Επίλυση Προβλημάτων Πολλαπλών Πεδίων (Mult-Physcs Mult-Doman Problems) σε Σύγχρονες Υπολογιστικές Αρχιτεκτονικές: Εφαρμογή σε Προβλήματα Περιβαλλοντικής Μηχανικής και Ιατρικής Υποέργο 2 - Δράση 2.2 Μέθοδοι Χαλάρωσης στις Διεπαφές (ΜΧΔ) Συνάντηση Αξιολόγησης του Εργου Χανιά Κρήτη Γιώτα Τσομπανοπούλου Παν. Θεσσαλίας

2 Υποέργο 2 - Δράση 2.2 Μέθοδοι Χαλάρωσης στις Διεπαφές (ΜΧΔ) MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 2

3 Περιεχόμενα Σκοπός Μεθοδολογία Αποτελέσματα Παραδοτέα Συνεργασίες Μελλοντικές Δράσεις MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 3

4 Σκοπός MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 4

5 Σκοπός Δράσης 2.2 Μέθοδοι Χαλάρωσης στις Διεπαφές (ΜΧΔ) δημιουργία και μελέτη νέων προχωρημένων μεθόδων χαλάρωσης στη διεπαφή κατάλληλες για προβλήματα με σύνθετες ΜΔΕ και ιδιαίτερα κατάλληλες για την αντιμετώπιση ασυνεχειών στους συντελεστές τους MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 5

6 Σκοπός Δράσης 2.2 Μέθοδοι Χαλάρωσης στις Διεπαφές (ΜΧΔ) επισκόπηση μεθόδων για επίλυση προβλημάτων πολλαπλών φυσικών και χωρίων επισκόπηση υπαρχόντων μεθόδων χαλάρωσης στη διεπαφή για ελλειπτικά και παραβολικά προβλήματα έλεγχο και επαλήθευση αλγορίθμων ΜΧΔ σε προβλήματα με μη-κανονικά πεδία έλεγχο και επαλήθευση αλγορίθμων με ασύγχρονη συμπεριφορά και έλεγχο και επαλήθευση των ΜΧΔ σε προβλήματα που προκύπτουν από τις εφαρμογές του έργου MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 6

7 Μεθοδολογία MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 7

8 Μεθοδολογία Επισκόπηση Μεθόδων επίλυσης προβλημάτων πολλαπλών χωρίωνπολλαπλών φυσικών μοντέλων Επισκόπηση Μεθόδων Χαλάρωσης στις Διεπαφές (ΜΧΔ) Επαλήθευση αλγορίθμων ΜΧΔ (σειριακά παράλληλα) Επαλήθευση ΜΧΔ σε μη κανονικές γεωμετρίες Μελέτη ΜΧΔ με ασύγχρονη ροή εργασιών MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 8

9 Επισκόπηση Μεθόδων επίλυσης προβλημάτων πολλαπλών χωρίων-πολλαπλών φυσικών μοντέλων Πραγματικά προβλήματα Μηχανές (αεροπλάνα αυτοκίνητα. ) Φυσικά φαινόμενα (κλίμα σεισμοί ) Λειτουργία ανθρώπινων οργάνων (καρδιά ) κλπ. MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 9

10 Επισκόπηση Μεθόδων επίλυσης προβλημάτων πολλαπλών χωρίων-πολλαπλών φυσικών μοντέλων Πολλά επιμέρους προβλήματα με διαφορετικές αρχές (εξέλιξης/ ισσοροπίας) Νόμοι διατήρησης / κατάστασης Σύζευξη μέσω τελεστών Σύζευξη μέσω διεπαφών Αλγεβρική περιγραφή MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 10

11 Σύζευξη μέσω τελεστών Πολλαπλοί/Διαφορετικοί τελεστές σε επικαλυπτόμενα χωρία Παραδείγματα: Radaton hydrodynamcs n astrophyscs Electrcty and magnetsm wth hydrodynamcs n plasma physcs Chemcal reacton wth transport n combuston/subsurface flows κλπ. MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 11

12 Σύζευξη μέσω διεπαφών Παρακείμενα υποχωρία Οι συνθήκες στις διεπαφές «δένουν» μεταξύ τους τα υποπροβλήματα Συνέχεια/Πεπερασμένη ασυνέχεια με πήδημα στη συνάρτηση/παράγωγο Παραδείγματα Flud-structure dynamcs n aeroelastcty Ocean-atmosphere dynamcs n geophyscs κλπ. MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 12

13 Αλγεβρική περιγραφή Coupled equlbrum problem: F(u) ( F 1 ( u 1 u 2 )@ F 2 ( u 1 u 2 ) ) = 0 Αλγόριθμοι: Jacob Gven ntal guess u=( u 1 0 u 2 0 ) For k=12 (untl convergence) Solve for ( u 1 k+1 u 2 k+1 ) endfor F 1 ( u 1 k+1 u 2 k ) = 0 F 2 ( u 1 k u 2 k+1 ) = 0 MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 13

14 Αλγεβρική περιγραφή Coupled equlbrum problem: F(u) ( F 1 ( u 1 u 2 )@ F 2 ( u 1 u 2 ) ) = 0 Algorthms: Gauss-Sedel Gven ntal guess u=( u 1 0 u 2 0 ) For k=12 (untl convergence) Solve for ( u 1 k+1 u 2 k+1 ) endfor F 1 ( u 1 k+1 u 2 k ) = 0 F 2 ( u 1 k+1 u 2 k+1 ) = 0 MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 14

15 Αλγεβρική περιγραφή Coupled equlbrum problem: F(u) ( F 1 ( u 1 u 2 )@ F 2 ( u 1 u 2 ) ) = 0 Algorthms: Newton Gven ntal guess u=( u 1 0 u 2 0 ) For k=12 (untl convergence) Solve for δu endfor J( u k )δu = - F( u k ) Update u k+1 = u k + δu where J= ( F 1 F 2 )/ ( u 1 u 2 ) u=( u 1 u 2 ) MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 15

16 Αλγεβρική περιγραφή Coupled evoluton problem: t u 1 = f 1 ( u 1 u 2 )@ t u 2 = f 2 ( u 1 u 2 ) Algorthms: Gven ntal guess u=( u 1 ( t 0 ) u 2 ( t 0 )) For n=12 N t Proceed one tmestep for u 1 solvng t u 1 ( t n )= f 1 ( u 1 ( t n ) u 2 ( t n 1 )) Proceed one tmestep for u 2 solvng t u 2 ( t n )= f 2 ( u 1 ( t n ) u 2 ( t n )) endfor MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 16

17 Μέθοδοι Χαλάρωσης στις Διεπαφές Θεωρούμε ότι: Σύνθετο πρόβλημα = πολλά «απλά» επιμέρους προβλήματα ΜΔΕ «απλή» γεωμετρία και «απλή» ΔΕ Υπάρχουν επιλυτές για τα «απλά» επιμέρους προβλήματα Multphyscs problem PDE1 PDE2 PDE3 MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 17

18 Μεθοδολογία Χαλάρωσης στις Διεπαφές 1. Ορισμός αρχικών τιμών της συνάρτησης (ή και των παραγώγων) σε όλες τις διεπαφές όλων των υποχωρίων για να χρησιμοποιηθούν σαν συνοριακές συνθήκες. 2. Επίλυση του κάθε απλού προβλήματος ΜΔΕ ταυτόχρονα σε όλα τα υποχωρία με τις κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. 3. Σύγκριση των νέων τιμών (με τις προηγούμενες) πάνω στις διεπαφές. Υπολογισμός νέων βελτιωμένων τιμών χρησιμοποιώντας κατάλληλη ΜΧΔ. 4. Επιστροφή στο Βήμα 2 μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 18

19 Μέθοδοι Χαλάρωσης στις Διεπαφές Prmtve Relaxers Smooth values and normal dervatves n varous ways About 8 have been proposed mplemented and analyzed Advanced Relaxers Smooth addtonal operators (contnuty of mass temperature conservaton of energy/ momentum equlbrum condtons Lagrange multplers Steklov-Poncare operators...) Dfferences n convergence and applcablty MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 19

20 Μέθοδοι Χαλάρωσης στις Διεπαφές Πλεονεκτήματα: Σύζευξη πολλών μοντέλων για ΜΔΕ ή διεπαφές με ακρίβεια Χρήση υπάρχοντος λογισμικού για τη λύση των επιμέρους προβλημάτων ΜΔΕ) Μεγάλου βαθμού παραλληλία Ακολουθούμε τη φυσική των προβλημάτων MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 20

21 ΜΧΔ για Ελλειπτικές ΔΕ Γ Ω Local PDEs denoted as: L u = f n Ω for =1 p Ω do not overlap Implct form of nterface condtons G ( u u / η ; u u / η ; J 1 J 2 )=0 on Γ Ω Ω η normal drecton on Γ and J 1 J 2 umps of u or ts dervatve Studed methods: AVE ROB GEO Ω MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 21

22 AVE For k=012 Defne: ( 2k) ( 2k) u u+ 1 g = β + ( 1 β ) on Γ η η Solve all the Neumann problems: = 1... L u (2k + 1) = f n Ω = 1... u η (2k + 1) = g on Γ =... wth all boundary condtons (f any) MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 22

23 AVE (cont d) Defne: ( 2k + 1 ) ( 2k + 1 ) h = α u + ( 1 α )u+ 1 on Γ = 1... Solve the Drchlet problems: L u (2k + 2) = f n Ω = 1... u (2k + 2) = h on Γ =... wth all boundary condtons (f any) MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 23

24 GEO For k=012 Defne: Solve the Drchlet problems: wth all boundary condtons (f any)... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 = Γ = on u u ρ u u g k k k k η η yota@e-ce.uth.gr 24 MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση ) ( = Ω = + n f u L k... 1) ( = Γ = + on g u k

25 ROB For k=012 Defne: (k) u (k) g = + λ u on Γ = 1... η Solve the problems: L u u η ( k + 1) (k+ 1 ) + λ = u f (k+ 1 ) n = g Ω on Γ = 1... =... wth all boundary condtons (f any) MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 25

26 ΜΧΔ για παραβολικά προβλήματα ΔΕ Follow the algebrac formulatons. Prelmnary teraton scheme: 1. Consder ntal values on nterfaces (use ntal condton of global problem) 2. For each tmestep:. Evolve all sngle PDEs. Solve each PDE at next tmestep usng nterface condtons and/or boundary condtons.. Combne values/dervatves to get good values for next tmestep on nterfaces (may be teratvely) MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 26

27 Μελέτη αλγορίθμων για ΜΧΔ σε Μη κανονικές Γεωμετρίες Εντοπισμός γειτονικών σημείων από τα παρακείμενα υποχωρία για τον υπολογισμό των νέων τιμών πάνω στις διεπαφές Λίστα σημείων συνόρων-διεπαφών K-D tree με τα σημεία των συνόρων-διεπαφών (ως προς τη γειτνίαση) για κάθε χωρίο Παρεμβολή τιμών συνάρτησης με κόμβους πάνω σε καμπύλες Παρεμβολή σε πολλές διαστάσεις (2Δ ή 3Δ) Παρεμβολή σε παραμετρικές καμπύλες που ορίζουν οι διεπαφές MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 27

28 Μελέτη παραλληλισιμότητας των ΜΧΔ Παράλληλοι αλγόριθμοι με αυστηρό συγχρονισμό ανά βήμα της ΜΧΔ Παράλληλοι αλγόριθμοι με χαλαρό (ή καθόλου) συγχρονισμό (ασύγχρονη ροή εργασιών) MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 28

29 Μελέτη ΜΧΔ για τα προβλήματα εφαρμογών Ιατρικής και Περιβαλλοντικής Μηχανικής Χαρακτηριστικά και ιδιότητες των προβλημάτων της διάδοσης των καρκινικών κυττάρων στον εγκέφαλο Χαρακτηριστικά και ιδιότητες των προβλημάτων της υφαλμύρισης Δημιουργία μεθόδων που να διατηρούν τις ιδιότητες επιβάλλοντας κατάλληλες συνθήκες. MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 29

30 Αποτελέσματα MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 30

31 Αποτελέσματα Δράσης 2.2 Επαλήθευση 2 ΜΧΔ για ελλειπτικά προβλήματα (GEO ROB) Σειριακά παράλληλα (αυστηρό συγχρονισμό) ασύγχρονα Υλοποίηση αλγόριθμου για εύρεση γειτονικών σημείων σε μη κανονικές γεωμετρίες Δημιουργία νέας ΜΧΔ τύπου GEO για παραβολικά προβλήματα Δημιουργία νέας ΜΧΔ τύπου ROB για παραβολικά προβλήματα MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 31

32 Προβλήματα για επαλήθευση αλγορίθμων cas e Unform problem Non-unform problem h left mddle rght left mddle rght c x21 4x6 4x11 3x21 4x6 6x11 c x41 8x11 8x21 5x41 7x11 11x21 c x81 14x21 14x41 9x81 13x21 21x41 c x161 28x41 28x81 17x161 25x41 41x81 c x321 55x81 55x161 33x321 49x81 81x161 c x x x321 65x641 97x x321 c x x x x x x641 MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 32

33 Επαλήθευση σύγκλισης των μεθόδων Ιστορικό σύγκλισης Ακριβής λύση και προσσεγγίσεις MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 33

34 Επαλήθευση παραλληλισιμότητας των ΜΧΔ c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 Unform Problem Seral Parallel Non-Unform Problem Seral Parallel Executon Tmes Case Asynchronous GEO Synchronous GEO c c c c c c c MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 34

35 Νέες ΜΧΔ - Εφαρμογή σε πρόβλημα υφαλμύρισης σε υδροφορέα στην Κάλυμνο yota@e-ce.uth.gr MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 = Γ Κ Κ + = on u u ρ u u g k k k k η η Νέα GEO Νέα ROB... 1 = + Κ = on Γ u λ u g (k) (k) η... = Γ = + Κ + + on g u λ u ) (k ) (k 1 1 η

36 Εφαρμογή σε πρόβλημα υφαλμύρισης σε υδροφορέα στην Κάλυμνο / x (K φ/ x ) + / y (K φ/ y ) +N-Q = 0 MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2

37 Εφαρμογή σε πρόβλημα υφαλμύρισης σε υδροφορέα στην Κάλυμνο ROB-FEnCS 7 η επαναληψη Αρχική τιμή ALOPEX-FEnCS MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 37

38 Παραδοτέα MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 38

39 Παραδοτέα Interface Relaxaton Methods for the soluton of Mult-Physcs Problems P. Tsompanopoulou 6th Internatonal Conference on Numercal Analyss (NUMAN2014) Sept Chana Greece. pp Seral and Parallel Implementaton of an Interface Relaxaton Method A. Korfat P. Tsompanopoulou S. Lkothanasss 6th Internatonal Conference on Numercal Analyss (NUMAN2014) Sept Chana Greece pp IRaaS: A Cloud Implementaton of an Interface Relaxaton Method for the Soluton of PDEs A. Korfat N. Sfka K. Daloukas C. Alexakos P. Tsompanopoulou S. Lkothanasss The 2015 Internatonal Conference of Parallel and Dstrbuted Computng (ICPDC 215) July London U.K. Αn Asynchronous Interface Relaxaton Method for Mult-doman/Mult-physcs Problems A. Korfat S. Lkothanasss P. Alefrags K. Daloukas P. Tsompanopoulou 13th Internatonal Conference of Numercal Analyss \& Appled Mathematcs Sept Rhodes Greece. MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 39

40 Παραδοτέα Προσθήκες σε πλατφόρμα FEnCS για την υποστήριξη των μεθόδων χαλάρωσης στη διεπαφή. Προσθήκες σε πλατφόρμα FEnCS για την εύρεση των γειτονικών σημείων των διεπαφών σε μη κανονικές γεωμετρίες με χρήση των KD trees. Προσθήκες σε πλατφόρμα FEnCS για τη δημιουργία γραφικών παραστάσεων των λύσεων στο αρχικό χωρίο του προβλήματος. Τεχνική έκθεση περιγραφής αποτελεσμάτων MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 40

41 Συνεργασίες MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 41

42 Συνεργασίες ΚΕΟ 1 ΚΕΟ 2 ΚΕΟ 3 Επαλήθευση GEO (σειριακά) Χ Χ Επαλήθευση ROB (σειριακά) Χ Χ Επαλήθευση GEO (cloud) Χ Χ Επαλήθευση ROB (dstrbuted) Χ Χ Επαλήθευση GEO (ασύγχρονα) Χ Χ Μελέτη GEO Collocaton (πρόβλημα εγκεφάλου) Χ Χ Μελέτη GEO Alopex FEnCS (πρόβλημα υφαλμύρισης υδροφορέας Καλύμνου) Χ X X MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 42

43 Μελλοντικές Δράσεις MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 43

44 Μελλοντικές Δράσεις Ολοκλήρωση θεωρητικής μελέτης ΜΧΔ για παραβολικά προβλήματα Εφαρμογή των μεθόδων σε προβλήματα Περιβαλλοντικής Μηχανικής (προβλήματα υφαλμύρισης Καλύμνου και Χερσονήσου) Εφαρμογή των μεθόδων σε προβλήματα Ιατρικής (πρόβλημα εγκεφάλου) MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 44

45 Ευχαριστίες Η παρούσα ερευνητική εργασία έχει συγχρηματοδοτηθεί από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο ΕΚΤ) και ελληνικά εθνικά κονδύλια μέσω του Επιχειρησιακού Προγράμματος Εκπαίδευσης και Δια Βίου Μάθησης του Εθνικού Στρατηγικού Πλαισίου Αναφοράς (ΕΣΠΑ) Ερευνητικό Πρόγραμμα Χρηματοδότησης: ΘΑΛΗΣ. Επένδυση στην κοινωνία της γνώσης μέσω του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταμείου (MIS ). MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 45

46 Ευχαριστώ MATENVMED Συνάντηση Αξιολόγησης - Υποέργο 2 - Δράση 2.2 yota@e-ce.uth.gr 46