HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Transcript

1 HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

2 Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος διχοτόμησης. Επαναληπτικές μέθοδοι. Newto. Τέμνουσας (secat. Ρίζες πολυωνύμων. Ρίζες μιγαδικών εξισώσεων. Συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων. ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

3 Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων Με δεδομένη μια συνάρτηση f, ψάχνουμε το * για το οποίο f(* = 0. To * ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης ή το μηδέν της συνάρτησης f. Δυο βασικές κατηγορίες τέτοιων προβλημάτων: Μια μη γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο, f: R R η λύση είναι αριθμός τ.ω. f( = 0. Σύστημα από μη γραμμικές εξισώσεις με αγνώστους, f: R R η λύση είναι διάνυσμα τ.ω. κάθε συνιστώσα της f είναι 0. 3 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

4 Παραδείγματα: Μη γραμμική εξίσωση (-D: 4si( μια από τις ρίζες Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων (-D: ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

5 Παραδείγματα: Οι μη γραμμικές εξισώσεις μπορούν να έχουν οποιοδήποτε πλήθος λύσεων: ep( + = 0, δεν έχει ρίζα. si( + = 0, δεν έχει ρίζα. ep(- = 0, έχει μια ρίζα. 4 si( = 0, έχει ρίζες = 0, έχει 3 ρίζες. si( = 0, έχει άπειρες ρίζες. 5 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

6 Παραδείγματα: γ 0 γ 0 γ = 0.5 γ = 0.5 γ = -0.5 γ = ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

7 Παραδείγματα: Οι μη γραμμικές εξισώσεις μπορεί να έχουν πολλαπλές ρίζες, δηλαδή και η συνάρτηση και οι παράγωγοι της μηδενίζονται στο ίδιο σημείο, π.χ.: f(=0 και f (= = =0 7 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

8 Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης. Αναλυτικοί τύποι για ρίζες πολυωνύμων μέχρι και 4ου βαθμού. Galois(830: δεν μπορούν να βρεθούν αναλυτικοί τύποι για τις ρίζες πολυωνύμων βαθμού > 4. Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής(-D: Αν f συνεχής στο [α, b] και sig(f(α sig(f(b τότε υπάρχει * στο [α, b] τ.ω. f(*=0. Δεν υπάρχει κάτι ανάλογο για περισσότερες διαστάσεις. Επαναληπτικές διαδικασίες για προσέγγιση ριζών. 8 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

9 Επαναληπτικές μέθοδοι και τάξη σύγκλισης. Στις επαναληπτικές μεθόδους υπολογίζουμε μια ακολουθία { k } k για να προσεγγίσουμε την πραγματική λύση * του προβλήματος. Το σφάλμα της προσέγγισης είναι e k = k *. Η ακολουθία συγκλίνει με τάξη r ανν: lim k όπου C σταθερά. Π.χ.: r= γραμμική σύγκλιση, r= τετραγωνική σύγκλιση, r> υπεργραμμική σύγκλιση e e k r k C 9 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

10 Μέθοδος διχοτόμησης Η f:[a,b]r πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Αλγόριθμος:. c := a, d := b, f(c, f(d. e = (c+d/, f(e 3. if f(e < tol *= e, stop 4. if f(c*f(e>0 c:=e 5. if f(d*f(e>0 d:=e 6. if c-d < tol *= (c+d/, stop 7. goto to step. 0 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

11 Μέθοδος διχοτόμησης ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

12 Παράδειγμα: f ( 4si( 0 α f(α b f(b ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

13 Παράδειγμα: f ( 4si( 0 3 α f(α b f(b ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

14 Μέθοδος διχοτόμησης Πλεονεκτήματα: επιτυχής χρήση της f σε κάθε βήμα κερδίζουμε ένα δυαδικό ψηφίο σε ακρίβεια t επαναλήψεις αν -t το μηδέν της μηχανής (ή το ε του αλγόριθμου Μειονεκτήματα: αργή σύγκλιση 4 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

15 Σταθερό σημείο συναρτήσεων Ορισμός: Ένα σημείο * στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης φ λέγεται σταθερό σημείο ανν φ(*=*. Πρόταση: φ:[a,b][a,b] συνεχής υπάρχει ένα τουλάχιστο σταθερό σημείο για την φ. Ορισμός: φ:ιr ικανοποιεί συνθήκη Lipschitz, ανν υπάρχει L τ.ω. ( (y L y. Αν L< φ συστολή. 5 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

16 Επαναληπτικές μέθοδοι Θεώρημα: Αν φ:[a,b][a,b] συνεχής, συστολή τότε η φ έχει ένα και μοναδικό σταθερό σημείο *. Για την ακολουθία + =φ( ισχύουν: , ma( L L L L b a L L yota@if.uth.gr ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 6

17 Παράδειγμα Η συνάρτηση έχει ρίζα το σταθερό σημείο κάθε μιας από τις παρακάτω συναρτήσεις:, ( f ( / ( ( ( g g g g yota@if.uth.gr ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 7

18 Επαναληπτικές μέθοδοι (μονότονη σύγκλιση f ( g( , ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

19 Επαναληπτικές μέθοδοι (ελικοειδής σύγκλιση f ( g( , ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

20 Επαναληπτικές μέθοδοι (μονότονη απόκλιση f ( 8 g( , ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

21 Επαναληπτικές μέθοδοι (ελικοειδής απόκλιση f ( g( , ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

22 Μέθοδος Newto Αρχικό πρόβλημα: f(*=0 Χρησιμοποιώντας τις σειρές Taylor f ( h f ( f '( h δεύτερο μέλος είναι η γραμμική συνάρτηση που προσεγγίζει την f, και μηδενίζεται στο h=-f(/f ( f ( :, f '( f '( 0 Έχουμε το ισοδύναμο πρόβλημα επίλυσης: φ(* =*, με φ τ.ω. (: f( f'(. ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

23 Μέθοδος Newto Η f:[a,b]r πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Αλγόριθμος:. Όρισε 0, =0. Υπολόγισε f(, f ( f ( 3. Υπολόγισε h : f '( 4. + = + h 5. = + 6. αν h>ε βήμα 3 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

24 Μέθοδος Newto Προσεγγίζει τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας την παράγωγο της κοντά στη ρίζα. k k+ 4 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

25 Μέθοδος Newto - παράδειγμα f ( f '( k k 4si( 4cos( k k 0 4si( k 4cos( k, 0 3 f( f ( h ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

26 Μέθοδος Newto - παράδειγμα f ( f '( k k 4si( 4cos( k k 0 4si( k 4cos( k, 0 3 f( f ( h ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

27 Μέθοδος Newto Τάξη σύγκλισης, αλλά τοπικά τάξη σύγκλισης. Χρειάζεται πολύ καλή αρχική τιμή 0. Η * πρέπει να είναι απλή ρίζα. Η f να είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. 7 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

28 Μέθοδος Τέμνουσας Αρχικό πρόβλημα: f(*=0 Με τη μέθοδο Newto χρειάζεται να υπολογίζουμε και τη f σε κάθε νέο σημείο. Η μέθοδος της τέμνουσας προσεγγίζει την παράγωγο με πεπερασμένες διαφορές. Ισοδύναμο πρόβλημα επίλυσης: φ(* =*, με φ τ.ω. : ( f ( ( f f 8 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

29 Μέθοδος Τέμνουσας Η f:[a,b]r πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Αλγόριθμος:. Όρισε 0,, =. Υπολόγισε f(, f( - 3. Υπολόγισε 4. + = + h 5. = + h : 6. αν h>ε βήμα f f ( ( ( f 9 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

30 Μέθοδος Tέμνουσας Προσεγγίζει τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας την παράγωγο της κοντά στη ρίζα. k k- k+ 30 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

31 Μέθοδος Τέμνουσας - παράδειγμα f ( k k 4si( k 0 k 4si( k k k 4si( si( k k k, 0 και 3 f( h ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

32 Μέθοδος Τέμνουσας - παράδειγμα f ( k k 4si( k 0 k 4si( k k k 4si( si( k k k, 0 και 3 f( h ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

33 Μέθοδος Τέμνουσας Τάξη σύγκλισης (+sqrt(5/~.6. Χρειάζεται πολύ καλές αρχικές τιμές ( 0,. Η * να είναι απλή ρίζα. Η f να είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε την f. 33 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

34 Ρίζες πολυωνύμων Έστω p πολυώνυμο βαθμού. Από την Άλγεβρα γνωρίζουμε ότι: Υπάρχουν ακριβώς ρίζες (πραγματικές και μιγαδικές. Αν ρ ρίζα του p τότε το q(=p(/(-ρ έχει - ρίζες (τις υπόλοιπες του p. Mέθοδος Muller 34 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

35 Μέθοδος Muller Mε δεδομένα τα αρχικά,, 3 ( ( ( ( ( 4 sg( ( : ( ( ( ( ( ( ( f f f f f s s s f f f f f f f s yota@if.uth.gr ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 35

36 Ρίζες μιγαδικών εξισώσεων Αρχικό πρόβλημα: f(z = 0 Πρόβλημα επίλυσης: ελαχιστοποίηση του φ(,y= f(+iy λύση συστήματος u(,y=0, v(,y = 0 αν f(+iy = u(,y + i v(,y 36 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

37 Συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων Στις k διαστάσεις η μέθοδος Newto έχει τη μορφή + = - J( - f(, όπου J( ο Ιακωβιανός πίνακας της συνάρτησης f, f ( i J (. ij Στην πραγματικότητα δεν υπολογίζουμε τον αντίστροφο του J(, αλλά λύνουμε το σύστημα: J ( s f ( j s 37 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

38 Μέθοδος Newto Η f:r k R k διανυσματική συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Αλγόριθμος:. Όρισε 0, =0. Υπολόγισε f(, J( 3. Λύσε το σύστημα J( h f ( 4. + = + h 5. = + 6. αν h > ε βήμα 38 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

39 Μέθοδος Newto Σύγκλιση: Τάξη σύγκλισης, αλλά τοπικά τάξη σύγκλισης. Χρειάζεται πολύ καλή αρχική τιμή 0. Ο Ιακωβιανός πίνακας πρέπει να είναι αντιστρέψιμος. Κόστος: Ο υπολογισμός του Ιακωβιανού κοστίζει O(k υπολογισμούς πραγματικών συναρτήσεων. Η επίλυση του συστήματος σε κάθε βήμα κοστίζει O(k 3 πράξεις. 39 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

40 Παράδειγμα με σύστημα: Έστω το μη-γραμμικό σύστημα: με Ιακωβιανό πίνακα Αν 0 = [ ] T f( 0 =[3 3] T ( f 0 * s ( s s J f yota@if.uth.gr ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 40 8 ( J f

41 Υλικό από το MatLab για επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων roots (ρίζες πολυωνύμου sym-solve Δικό σας λογισμικό... 4 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

42 Βιβλιογραφία Αριθμητικές Υπολογιστικές Μέθοδοι στην Επιστήμη και τη Μηχανική (C.Pozrikidis Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση (Γ. Ακρίβη, Β. Δουγαλή Αριθμητική Ανάλυση I (Μ. Βραχάτης Scietific Computig, A Itroductory Survey (M. Heath 4 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yota@if.uth.gr

43 Ερωτήσεις Ιστοσελίδα μαθήματος: λίστα του μαθήματος: Π. Τσομπανοπούλου, Ε3-, 43 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

44 No Liear Equatios (3 Τρίτη, 4 Φεβρουαρίου 05 9:5 πμ Σελίδα

45 Σελίδα

46 Σελίδα 3

47 Σελίδα 4

48 Σελίδα 5

49 Σελίδα 6

50 Σελίδα 7

51 Σελίδα 8

52 Σελίδα 9

53 Σελίδα 0

54 Σελίδα