Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Transcript

1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων) Απλές μετρήσεις Σύνθετες μετρήσεις Σημαντικά ψηφία και αποκοπή Αριθμητική του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Σφάλμα Προσομοίωσης (μοντελοποίησης) Σφάλμα Μεθόδου και Αλγορίθμου...26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικά Συστήματα 2.1 Εισαγωγή Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Χρόνος υπολογισμού της μεθόδου απαλοιφής Gauss Ορίζουσα του πίνακα Α με τη μέθοδο Gauss...40

2 10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αντιστροφή ενός πίνακα Α με τη μέθοδο Gauss Μέθοδος Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU ιαγώνια Συστήματα Μέθοδος Crout Παραγοντοποίηση LDU Μέθοδος Choleski Νόρμες ιανυσμάτων και Πινάκων Νόρμα διανύσματος Νόρμα Πίνακα Ευστάθεια Συστήματος Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Γενική Επαναληπτική Μέθοδος Μέθοδος Jacobi Μέθοδος Gauss-Seidel Μέθοδος Χαλάρωσης-SOR Γραμμικά Μιγαδικά Συστήματα Υπολογισμός Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μη Γραμμικές Εξισώσεις και Συστήματα 3.1 Εισαγωγή Γραφικός Εντοπισμός των Λύσεων μιας Εξίσωσης Μέθοδος της ιχοτόμησης Επαναληπτική Μέθοδος του Σταθερού Σημείου Μέθοδος των Newton-Raphson Μέθοδος της Τέμνουσας (Secant) Υπολογισμός Τιμής Πολυωνύμου Υπολογισμός Τιμής της Παραγώγου Πολυωνύμου Επίλυση Πολυωνυμικής Εξίσωσης Αλυσίδα Sturm...149

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέθοδος του Σταθερού Σημείου Μέθοδος των Newton-Raphson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παρεμβολή και Προσέγγιση 4.1 Παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Σφάλμα παρεμβολής Lagrange Παρεμβολή Newton Πολυώνυμο παρεμβολής Newton με διηρημένες διαφορές Σφάλμα παρεμβολής Newton Παρεμβολή Newton με πεπερασμένες διαφορές Παρεμβολή Hermite Παρεμβολή με Συναρτήσεις Splines Προσέγγιση Γραμμική Προσέγγιση Εκθετική Προσέγγιση Πολυωνυμική Προσέγγιση Πολλαπλή Γραμμική Προσέγγιση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αριθμητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση 5.1 Αριθμητική Παραγώγιση Υπολογισμός Παραγώγου Τύπου Lagrange Υπολογισμός Παραγώγων Τύπου Taylor Μέθοδος (extrapolation) του Richardson Αριθμητική Oλοκλήρωση Βασικοί Κανόνες Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Κανόνας του Ορθογωνίου...232

4 12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κανόνας του Τραπεζίου Κανόνας του Simpson Υπολογισμός Ολοκληρώματος Τύπου Lagrange Κλειστοί και Ανοικτοί Τύποι Newton-Cotes Ολοκλήρωση Romberg Ολοκλήρωση κατά Gauss Γενικευμένα Ολοκληρώματα Ολοκλήρωση γενικευμένων ολοκληρωμάτων σε άπειρο διάστημα Ολοκλήρωση γενικευμένων ολοκληρωμάτων σε πεπερασμένο διάστημα Πολλαπλά ολοκληρώματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Αριθμητικές Μέθοδοι Επίλυσης Προβλημάτων Αρχικών Τιμών (συνήθων διαφορικών εξισώσεων) 6.1 Εισαγωγή Το Πρόβλημα Αρχικών Τιμών για.ε. 1ης Τάξης Η Μέθοδος του Euler Μέθοδοι Taylor Ανωτέρας Τάξης Οι Μέθοδοι των Runge-Kutta Μέθοδος του Μεσοδιαστήματος Τροποποιημένη μέθοδος του Euler Μέθοδος του Heun Μέθοδος των Runge-Kutta 4ης τάξης Μέθοδος Runge-Kutta-Fehlberg και έλεγχος σφάλματος Μέθοδοι Πολλαπλών Βημάτων Μέθοδος Adams-Bashforth δύο βημάτων Μέθοδος Adams-Bashforth τριών βημάτων Μέθοδος Adams-Bashforth τεσσάρων βημάτων...313

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέθοδος Adams-Bashforth πέντε βημάτων Μέθοδος Adams-Moulton δύο βημάτων Μέθοδος Adams-Moulton τριών βημάτων Μέθοδος Adams-Moulton τεσσάρων βημάτων Μέθοδοι Πρόβλεψης- ιόρθωσης ιαφορικές Εξισώσεις Ανωτέρας Τάξης και Συστήματα ιαφορικών Εξισώσεων Μέθοδος Runge-Kutta 4ης τάξης για συστήματα.ε Μετατροπή.Ε. ανωτέρας τάξης σε σύστημα.ε. πρώτης τάξης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αριθμητικές Μέθοδοι Επίλυσης Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών (μερικών διαφορικών εξισώσεων) 7.1 Εισαγωγή Τύποι Εξισώσεων Μέθοδος Πεπερασμένων ιαφορών Ελλειπτικό πρόβλημα Παραβολικό πρόβλημα Υπερβολικό πρόβλημα Πεπερασμένα Στοιχεία L2-Παράγωγοι μιας Συνάρτησης Χώροι Hilbert Χώροι Sobolev Γενικευμένοι τύποι Green Επίλυση Παραβολικού Προβλήματος Επίλυση του Υπερβολικού Προβλήματος Βιβλιογραφία...371