v(t) 10 V + - R L C + -

Transcript

1 ÕÛÎËÛË Ο διακόπτης στο κύκλωµα του Σχήµατος -, είναι κλειστός για µεγάλο χρονικό διάστηµα, στα πλαίσια εργαστηριακού πειράµατος. Ένας φοιτητής βλέποντας ότι η πηγή τάσης είναι µόνο 0 V, ακουµπά απρόσεκτα τα άκρα του πηνίου µε τα δυο του χέρια, ακριβώς τη στιγµή που ο συνάδελφός του στο εργαστήριο ανοίγει το διακόπτη (t =0). Ποια η µέγιστη τάση στην οποία θα εκτεθεί; Σε ποια χρονική στιγµή θα συµβεί αυτό; Σχεδιάστε τη v(t). ίνονται: V = 0 V, R = Ω, R = 500 Ω, = 50/3 H., = 00 µf. Σχήµα - Tο αρχικό κύκλωµα. ÛË Το ισοδύναµο κύκλωµα τη χρονική στιγµή 0 - (πριν το άνοιγµα του διακόπτη). ίνεται στο Σχήµα -. Το πηνίο θεωρείται βραχυκύκλωµα και ο πυκνωτής ανοιχτό κύκλωµα. R i 0 V + - R + - v(t) i Σχήµα - Iσοδύναµο κύκλωµα, για t=0 -. Απ το παραπάνω κύκλωµα υπολογίζονται οι αρχικές συνθήκες. αφού v v i = =. t 0V 0V = Ri fi i= fi i( 0) = 0A (-) W v i ( 0) = 0 = 0 (-) t Στη γενική περίπτωση (µε την πηγή συνδεδεµένη και το διακόπτη κλειστό), οι γράφοι του κυκλώµατος δίνονται στο Σχήµα -3. 0

2 R R V R V R Σχήµα -3 Γράφος, Kανονικό ένδρο, εσµοί. ΝΤΚ: - v + v + v = 0 v = v -v S R R S - v + v = 0 v = v - v + v = 0 v = v R R (-3) ΝΡΚ: i -i -i - i = 0 i = i -i -i (-4) R R R R Τάξη= Μεταβλητές Κατάστασης (Μ.Κ.): v, i Έξοδος: y= v Απ τις Eξ. (-3) και (-4), προκύπτουν οι εξισώσεις κατάστασης του κυκλώµατος: ή σε µορφή πινάκων: v t i i i i Ê vr vr R R i ˆ = = ( R - R - ) = Á - - = Ë Ê v = Á Ë S - v R v R i ˆ - - i t v = v = Èv Ê ˆ Í t R R v Í i = Á È Íi Í Á 0 Î Î t Ë y v i = [ ] È Î Í 0 È R v + Í Í Î 0 Μας ενδιαφέρει η έξοδος του κυκλώµατος (y(t) = v(t) = v (t)), για t > 0 (ανοιχτός διακόπτης). Σ αυτή την περίπτωση, οι εξισώσεις κατάστασης προκύπτουν µε ανάλογο τρόπο. Μπορούν να προκύψουν επίσης άµεσα απ τις παραπάνω, θεωρώντας R Æ, οπότε οι αντίστοιχοι πίνακες A, B,, D, είναι: S

3 Ê - - ˆ A = Á R, Á 0 Ë 0, D [ 0] = [ ] = B = È 0 Î Í 0, για (t > 0) (-5) Η ζητούµενη απόκριση µηδενικής εισόδου (ή ελεύθερη απόκριση), προκύπτει από επίλυση του συστήµατος (-5) µε αρχικές συνθήκες που δίνονται απ τις (-) και (-). Στα επόµενα θα επιλύσουµε το πρόβληµα θεωρητικά, (λύνοντας τη.ε. ης τάξης που περιγράφει το κύκλωµα), και ακολούθως θα χρησιµοποιήσουµε το MATAB για να επαληθεύσουµε τα αποτελέσµατα, χρησιµοποιώντας αυτή τη φορά ως µοντέλο του κυκλώµατος την περιγραφή του µέσω των εξισώσεων κατάστασης (-5). Από την Eξ. (-5) v t R v =- i - (-6) είναι επίσης: v v i = = (-7) t Από τις Eξ. (-6) και (-7), προκύπτει η.ε. ( ης τάξης) του κυκλώµατος: i t i + + R t i = 0 (-8) µε αρχικές συνθήκες (-) και (-). Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο (Χ.Π.) της (-8), είναι: p R () = + + = + ( zw ) + w (-9) Tο δεξί µέλος της (-9) αποτελεί την τυπική µορφή του δευτεροβάθµιου πολυωνύµου p(). Από την Eξ. (-9): w = z = R (-0) όπου ζ ο συντελεστής απόσβεσης και ω η φυσική συχνότητα (ή συχνότητα συντονισµού), η οποία είναι η συχνότητα ταλάντωσης για ζ=0. Για το δοσµένο κύκλωµα, ζ=0.96. Γενικά για 0<ζ<, η (-9) έχει δύο συζυγείς µιγαδικές ρίζες: όπου p, =- zw ± jw - z =- ± jw, ( > 0) (-) w = p, = - ± jw = + w (-) = zw (-3) 3

4 w = w -z (-4) δηλαδή το ω είναι το µέτρο των (συζυγών) µιγαδικών ριζών, ενώ τα σ και ω δίνουν το πραγµατικό και φανταστικό µέρος των ριζών (κατ απόλυτη τιµή). Σχόλιο Οι ρίζες της Eξ. (-9), για διάφορες τιµές της παραµέτρου ζ (0<ζ<), µετακινούνται σε ηµικύκλιο ακτίνας ω, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Im ζ=0 ζ=co(ψ) p φ j ω j ω ζ= -σ ψ Re p* -j ω -j ω Σχήµα -4. Γεωµετρικός τόπος των ριζών της (-9), για 0<ζ<. Γενικά ένα ζεύγος συζυγών µιγαδικών ριζών (p, p*), µπορεί να περιγραφεί πλήρως είτε απ το ζεύγος (σ, ω ), είτε απ το ζεύγος (ζ, ω ). Οι σχέσεις που συνδέουν τα µεγέθη αυτά, δόθηκαν παραπάνω: (- έως -4). Αναφέρουµε επίσης ότι ένα µέτρο του συντελεστή απόσβεσης ζ (που αντιστοιχεί στις συγκεκριµένες ρίζες), είναι η γωνία ψ (Σχήµα -4), αφού: coy = =z w (-5) οπότε προκύπτουν - y = co z (-6) iy = -z (-7) Η γενική λύση της (-8) µε βάση τις ρίζες (-) της χαρακτηριστικής της εξίσωσης, θα είναι της µορφής: ή ισοδύναµα t t i () t = ke - i( t) + k e - w co( w t) 4

5 -t i () t = Ae co( w t+ q ) (-8) όπου τα Α και θ, είναι σταθερές που θα προσδιοριστούν χρησιµοποιώντας τις αρχικές συνθήκες (-) και (-). Από (-8) και (-): ενώ από (-8) και (-), µε την προϋπόθεση ότι Α 0: Acoq = 0 (-9) coq + w iq = 0 taq = - q = -ta w - w (-0) ή ισοδύναµα, µε αναφορά στο Σχήµα -4 p p p q =- j =- Ê - y ˆ y z Ë =- + =- + - co (-) Από τις Eξ. (-0) ή (-), υπολογίζεται το θ, οπότε από την (-9) έχουµε: w 0 A = = = = = coq coj Ê w ˆ w iy Á Ë w (-) Τελικά η ζητούµενη τάση, θα είναι: vt v t i () = () =, t και χρησιµοποιώντας την Eξ. (-8), έχουµε διαδοχικά ή (από - και -0) ( ) - t vt () =- Ae w i( w t + q) + co( w t + q ), ή t Ê vt () =- Ae + w i Á( wt + q) + ta Ë ˆ w t vt () =- Ae w i ( w t + q) + (-q), ή τελικά ( ) Χρησιµοποιήθηκε η σχέση: Ai( a) + Bco( a) = Di( a+ f) όπου D= A + B, ( > 0, " A, BŒ) και - Ïta ( B/ A), A> 0 f = Ì - Óp + ta ( B/ A), A< 0 5

6 -t vt () Aw e i w t =- ( ) (-3) Η (-3) περιγράφει µια ταλάντωση µε απόσβεση και έχει ένα µέγιστο (κατ απόλυτη τιµή). Στη µόνιµη κατάσταση η v(t) µηδενίζεται λόγω του εκθετικού όρου. Η µέγιστη τιµή της τάσης προκύπτει για τη µικρότερη τιµή του t (έστω t p ): και τελικά v t και η αντίστοιχη µέγιστη τάση, είναι: ή τελικά w = 0 wcowt = iwt tawt = taw t = tay w t = y y - t p = = w w v max = v( t p ) co z (-4) v =-Aw e max y - tay iy (-5) ÛË ÌÂ XÚ ÛË Matlab Οι παρακάτω εντολές σε MATAB, µας επιτρέπουν να πάρουµε τη γραφική παράσταση της (-3), που προέκυψε θεωρητικά. rlc.m R=500; =50/3; =00e-6; w=/qrt(*); z=qrt(/)/(*r); =z*w; w=w*qrt(-z^); y=aco(z); th=y-pi/; A=0/co(th); t=/(00*); % t << / t=0/; t=(0:t:t)'; u=-a**w*exp(-*t).* i(w*t); plot(t,u); tp=y/w % u_max = u(tp) u_max=-a**w*exp(-y/ta(y)) * i(y) Το t p και η αντίστοιχη v max για το δοσµένο κύκλωµα, προκύπτουν απ τις (-4) και (- 5): tp = 0.075, u_max = V ηλαδή η µέγιστη τάση (αυτεπαγωγής) που αναπτύσσεται στα άκρα του πηνίου είναι περίπου 500 V! Η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα. 6

7 Σχήµα -5. Η έξοδος (τάση) του κυκλώµατος που προέκυψε θεωρητικά. Στην ίδια απόκριση καταλήγουµε χρησιµοποιώντας το παρακάτω µπλοκ διάγραµµα στο SIMUINK. x'=ax+bu y=x+du State-Space y=v(t) Scope uout ToWorkpace lock t_out To Workpace Σχήµα -6. Το κύκλωµα περιγράφεται απ τις εξισώσεις κατάστασης (-5), µε αρχικές συνθήκες από (-), (-). Τέλος αναφέρουµε, ότι στα ίδια αποτελέσµατα οδηγούµαστε και µε το ακόλουθο cript file του MATAB. rlc_oe.m R=500; =50/3; =00e-6; w=/qrt(*); z=qrt(/)/(*r); =z*w; w=w*qrt(-z^); 7

8 y=aco(z); th=y-pi/; A=0/co(th); tp=y/w % u_max = u(tp) u_max=-a**w*exp(-y/ta(y)) * i(y) t=/(00*); % t << / t=0/; t=(0:t:t)'; x=[0 0]'; % iitial tate [v(0) i(0)]' [tr,xr] = oe3 ('rlc_f_oe', t, x); % xr i the olutio matrix, where each row correpo to a time reture i vector tr plot(tr,xr(:,)); % xr(:,)==v, xr(:,)==i όπου rlc_f_oe.m % alle by the olver (ivoke i rlc_oe.m) % fuctio xt = rlc_f_oe (t,x) % State-Space Equatio of the Sytem: xt=f(t,x) % x: the curret tate vector % (ytem' orer) coul be pae a aother parameter / (here =) xt=zero(,); % memory allocatio xt = [ ; 0.6 0] * x; % xt = A x 8