ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE έκδοση DΥΝI-TFLT_016b

2 Copyright Ε.Μ.Π Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ00 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr,

3 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς. Μετασχηματισμός Laplace 3. Διαγράμματα Bode

4 Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς 1

5 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά... περιοδική διέγερση πλάτος ημητονικών όρων πλάτος συνιμητονικών όρων πολυβάθμιο δυναμικό σύστημα m-c-k συχνότητα διεγέρτη... μόνιμη απόκριση

6 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά... η διεγείρουσα δύναμη του j B.E.... όπου... το μέτρο της δύναμης διέγερση f j... η διαφορά φάσης της δύναμης πολυβάθμιο δυναμικό σύστημα m-c-k aπόκριση του i Β.Ε.... όπου... και... το μέτρο της απόκρισης... η διαφορά φάσης της απόκρισης

7 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά... οπότε... ορίζεται η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ του διεγειρόμενου j Β.Ε. ως προς τον i Β.Ε. απόκρισης του δυναμικού συστήματος μέτρηση της διεγείρουσας δύναμης του j B.E. F j X i μέτρηση aπόκρισης του i Β.Ε.

8 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά δυναμικό σύστημα Ν Β.Ε. m ιδιοσυχνότητες συντονισμός για L > 1 συχνότητες του διεγέρτη δυναμικό σύστημα Ν Β.Ε. ΝxΝ (=Ν ) ζεύγη (i, j) N συναρτήσεις μεταφοράς H ij ισχύει H ij = H ji το σύνολο (=[N* (N+1)]/) των συναρτήσεων μεταφοράς H ij διαφορετικό του N τα πλάτη H ij διαφέρουν ανάλογα με το σημείο διέγερσης και το σημείο μέτρησης της απόκρισης Υπάρχει συχνότητα Ω διεγέρτη που η συνάρτηση μεταφοράς H ij μηδενίζεται αντισυντονισμός (ακίνητο σημείο του συστήματος ενώ του ασκείται δύναμη) Η ω 1 ω ω 3 Ω

9 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά

10 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά

11 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Video 1 στρεπτική ταλάντωση

12 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Video ημιτονοειδής ταλάντωση

13 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά επομένως, η απόκριση x i του i Β.Ε. του δυναμικού συστήματος λόγω της διέγερσης j Β.Ε. από την περιοδική δύναμη f j και γενικά (συνολικά) σε μητρωϊκή μορφή 1 η χρονική παράγωγος: η χρονική παράγωγος:... εξίσωση ισορροπίας...

14 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά ομαδοποίηση συν- & ημι- τονικών όρων ΠΡΕΠΕΙ να ισχύει για κάθε t ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

15 1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά οι διαστάσεις των πινάκων για ένα δυναμικό σύστημα με Ν Β.Ε....

16 Μετασχηματισμός Laplace

17 . Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός μαθηματική διατύπωση... = σ + jω... μιγαδικό ολοκλήρωμα... ( ) j θ ( coω inω ) t σ+ jω t σt jωt Euler: e = coθ+ jinθ t σt e e e e e e t j t = = =... ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) σt σt σt X x t e coωt j inωt dt x t e coωtdt j x t e inωtdt Re Im όρος μειούμενος εκθετικά όρος ταλάντωσης δυναμική συμπεριφορά δυναμικού συστήματος ανάλογη των σ & ω

18 . Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός μιγαδικό επίπεδο επίπεδο συχνότητας ο μετασχηματισμός Laplace επιτυγχάνει τη μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας πρακτικά... μία ποσότητα, η οποία περιγράφεται ως συνάρτηση στο πεδίο του χρόνου, εκφράζεται, μέσω του Μετασχηματισμού Laplace, ως πολυώνυμο μιγαδικής μεταβλητής

19 . Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός

20 . Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός παραγώγων... 1 η χρονική παράγωγος... ολοκληρωμάτων... γραμμικότητα... με t n... μετασχηματισμός συνάρτησης Heaviide...

21 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση εξίσωση ισορροπίας δυναμικού συστήματος 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση... mx + cx + kx = F co( Ωt ) ισχύουν... o /m c = c c = = = c mω m ccritical mω ζ ζ ζω critical k 1 ω ω = = m m k F o c k x+ x + x= co( Ωt) m m m... Fo ω Fo Fo Fo ω ω X m = = = k k m X X : ισοδύναμο στατικό πλάτος ζω ω ω co ( ) x+ x + x= X Ωt

22 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση... 1 η χρονική παράγωγος... υπολογισμός επιμέρους όρων... η χρονική παράγωγος... θέτω... συνημιτονικός όρος...

23 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση... ομαδοποίηση... ❶ επίλυση ως προς Χ... απόκριση σε ελεύθερη ταλάντωση χαρακτηριστικό πολυώνυμο... απόκριση σε αρμονική διέγερση η θέση των ριζών (πόλων) του προσδιορίζει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος

24 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση x(t) x(t) ζ=0 Πόλοι δυναμικού συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο x(t) (a) 0<ζ<1 * * ζ>1 (b) * * t Im (c) * * (d) * * x(t) x(t) -1<ζ<0 * * ζ<-1 (e) t Re t t t

25 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε. ισχύει... απόκριση σε ελεύθερη ταλάντωση απόκριση σε αρμονική διέγερση αρχικές συνθήκες x o = x = o 0 1 X ( ) = ω X + ζω + ω +Ω ❸ + ζω + ω = + ω = = ω =± ω 0 0 ζ = 0 j (οι πόλοι του συστήματος βρίσκονται επί του άξονος των φανταστικών αριθμών) ζ=0

26 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση Πόλοι δυναμικού συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο

27 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς συστήματος 1 Β.Ε. αρχικές συνθήκες... ❶... επίλυση ως προς Χ Χ()... απόκριση δυναμικού συστήματος στο πεδίο της συχνότητας... συνάρτηση μεταφοράς Η()... αρμονική διέγερση F() πλάτους Χ...

28 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά ζ(θ) παρατηρήσεις... Im υπολογισμός της γωνίας θ στην πολική αναπαράσταση στο μιγαδικό επίπεδο μονοβάθμιου δυναμικού συστήματος με υποκρίσιμη απόσβεση * θ ω Re εξίσωση ισορροπίας δυναμικού συστήματος 1 Β.Ε. * ❷ υπολογισμός επιμέρους όρων...

29 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά ζ(θ) υπολογισμός επιμέρους όρων... 1 η χρονική παράγωγος... η χρονική παράγωγος... θέτω... μηδενικός όρος ❷ αρχικές συνθήκες......

30 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά ζ(θ)... ΠΡΕΠΕΙ να ισχύει για κάθε X οι ρίζες του τριωνύμου είναι υποκρίσιμη απόσβεση Δ < 0

31 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά ζ(θ)... συζυγείς μιγαδικές ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος γραφική απεικόνιση... c m * θ ω Im ( 4mk c ) m Re *

32 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά ζ(θ) η εφαπτομένη θ ΑΛΛΑ ο λόγος απόσβεσης ζ

33 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά ζ(θ)... για θ = 0 ζ = 0 για θ = 90 ο tanθ = +

34 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά σύστημα 1 Β.Ε. aπόκριση δυναμικού συστήματος 1 B.E. στο πεδίο συχνότητας 1 ( ) ( ) 1 X = + ζω xo + x o + ω X + ζω+ ω + ζω + ω +Ω απ όκριση σε ελεύθερες ταλαντ ώσεις απ όκριση σε αρµονικ ήδιέγερση αρχικές συνθήκες x o = x = o 0 1 X ( ) = ω X + ζω + ω +Ω ❸ ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα A+ A B+ B +Ω + ζω+ ω o 1 o 1 ( ) X = + ος 1 όρος ος όρος το πολυώνυμο του αριθμητή είναι μικρότερο κατά ένα βαθμό από το αντίστοιχο πολυώνυμο του παρονομαστή ❹

35 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά σύστημα 1 Β.Ε. αναλυτικός προσδιορισμός των αριθμητικών συντελεστών A, A, B, B o 1 o 1 ❹... ( )( ) ( )( ) 1 1 o 1 A o + A + ζω+ ω + B o + B1 +Ω ζω ω ( )( ζω ω ) ( ) ( ) ( + ζω + ω + ) 1 + ζω + ω + o +Ω + 1 +Ω ( +Ω )( + ζω+ ω ) A o + A B+ B + = = +Ω + + +Ω + + ( A ) o A B ( ) B ( ) = = 3 3 A o + ζωa o + ω A o + A 1 + ζωa 1 + A1ω + Bo + BoΩ + B 1 + B1Ω = = ( +Ω )( + ζω+ ω ) 3 ( Ao + Bo) + ( ζωao + A1+ B1) + ( ω Ao + ζωa1+ BoΩ ) + ( A1ω + B1Ω ) ( +Ω )( + ζω+ ω ) = ❺

36 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά σύστημα 1 Β.Ε. ❸ = ❺... 3 ( Ao + Bo) + ( ζωao + A1+ B1) + ( ω Ao + ζωa1+ BoΩ ) + ( A1ω + B1Ω ) ( )( ) ω X = ( + ζω+ ω )( +Ω ) +Ω + ζω+ ω Ao + Bo = 0 ζωa + A + B = 0 ω ζω ω o 1 1 Ao + A1 + BoΩ = X A1ω + B1Ω = 0 μητρωϊκή μορφή A1 0 1 ζω 1 0 A o 0 = ζω ω 0 Ω B 1 ω X ω 0 Ω 0 Bo 0 ❻

37 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά σύστημα 1 Β.Ε. ❻... ορίζουσα ζω 1 1 ζω 1 0 D = = ζω 0 Ω ζω ω 0 = ζω ω 0 Ω ω Ω 0 ω 0 Ω ω 0 Ω ζω ω 1 ζω 4 = Ω = Ω ( Ω ω ) + ( ω + ω 4ζ ω ) ω Ω ω 0 ζω ω ( ) ( 1 4 ) D = Ω Ω ω + ω ω + ζ οπότε... A ζω ω X ω Ω ω X ζω 1 0 ζω 0 1 ω X Ω 0 0 Ω 0 0 Ω ζω Ω = = = = D D D D X

38 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά σύστημα 1 Β.Ε. και... A ζω ω X 0 0 Ω ζω ω X 0 ω X ζω ω X + ω 0 Ω 0 ω 0 Ω 0 Ω ω 0 ω Ω = = = = D D D D ( ω ) X B ζω X ω X 1 ζω 0 ζω ω ω Ω 1 ζω ω X 5 ω ω 0 0 ω 0 ζω X = = = = D D D D B o ζω ζω ω 0 ω X ω X 1 ζω 1 ω 0 Ω 0 ω 0 Ω ω = = = D D D ( Ω ω ) X

39 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά σύστημα 1 Β.Ε.... με αντικατάσταση των εν λόγω συντελεστών στην του δυναμικού συστήματος στο πεδίο των συχνοτήτων ❹ προκύπτει η απόκριση X() ( ) X ( ) ( ) ω Ω ω X 3 ω Ω ω X X ζω 5 X ζω Ω + + D D D D +Ω + ζω+ ω = + 1 ος όρος ος όρος

40 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά σύστημα 1 Β.Ε. ( ) X A+ A B+ B +Ω + ζω+ ω o 1 o 1 = + p ( ) ( ) x t x t h προέρχεται από τον συνημιτονικό όρο της εξωτερικής διέγερσης με συχνότητα διέγερσης Ω αντιστοιχεί στη μόνιμη απόκριση του συστήματος λόγω της εξωτερικής αρμονικής διέγερσης αντιστοιχεί στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος αντιστοιχεί στην ελεύθερη ταλάντωση του συστήματος με ιδιοσυχνότητα ω ο εν λόγω όρος αντιστοιχεί στη μεταβατική απόκριση του συστήματος. προκύπτουν όροι της μορφής in ( Ωt) co ( Ωt) προκύπτουν όροι της μορφής in co ( ω ) n t ( ) ω t n ω = ω 1 ζ n

41 . Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά σύστημα 1 Β.Ε. ο μετασχηματισμός Laplace: αποτελεί τον πιο σύντομο τεχνικό δρόμο επίλυσης ΔΕ για τεχνικές εφαρμογές Μηχανικού, είναι εξαιρετικά απλός στην εφαρμογή του, διότι η συνδυασμένη χρήση της τεχνικής των μερικών κλασμάτων και έτοιμων πινάκων με μετασχηματισμούς Laplace βασικών συναρτήσεων απαλλάσσει από τον αναλυτικό υπολογισμό των εμπλεκομένων ολοκληρωμάτων. με συνοπτικό τρόπο, εκφράζει τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος: από τη θέση των πόλων του δυναμικού συστήματος (ρίζες του αντιστοίχου χαρακτηριστικού πολυωνύμου) στο μιγαδικό επίπεδο, προσδιορίζεται η δυναμική απόκριση του συστήματος σε ελεύθερες ταλαντώσεις.

42 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε. εξίσωση ισορροπίας... αρχικές συνθήκες... x(0) = V(0) = 0 σε ένα δυναμικό σύστημα με Ν Β.Ε., η διάσταση του διανύσματος θα είναι Νx1 και ο μετασχηματισμός Laplace θα πρέπει να εφαρμοσθεί σε κάθε έναν Β.Ε. μετασχηματισμός Laplace για για για

43 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε. ορίζεται... αναδιάταξη όρων όπου διάνυσμα, κάθε στοιχείο του οποίου προέρχεται από την εφαρμογή του Μετασχηματισμού Laplace στον αντίστοιχο Β.Ε....

44 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε.... ομοίως, είναι ένα διάνυσμα κάθε στοιχείο του οποίου προέρχεται από την εφαρμογή του Μετασχηματισμού Laplace στην εξωτερική διέγερση του αντίστοιχου Β.Ε.

45 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε.... και πίνακας των συναρτήσεων μεταφοράς του συστήματος... όπου ❼... αντιστροφή του πίνακα είναι δυνατή η ορίζουσά του 0 Α. απόσβεση συστήματος = 0 ( ) Β. απόσβεση συστήματος 0 ( ) C 0 ( M K) det + = 0 μεθοδολογία συνάρτησης μεταφοράς ( M C K ) det + + = 0 πολυωνυμικές εξισώσεις, οι ρίζες των οποίων καλούνται πόλοι του πολυβάθμιου δυναμικού συστήματος (μιγαδικοί πόλοι)

46 . Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε. παρατήρηση... σε κάθε Β.Ε. αντιστοιχεί ένα ζεύγος πόλων, το οποίο τοποθετείται στο μιγαδικό επίπεδο σύμφωνα με έναν από τους παρακάτω διαφορετικούς τρόπους

47 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε. εξίσωση ισορροπίας δυναμικού συστήματος 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση ❼ ( ) H = 1 ( m + c + k ) = jω H( jω) = = H( jω) = mω + jcω+ k k mω + jcω ( m( jω) + c( jω) + k) ( ) ( ) H ( jω ) ( ω ) ( ) 1 k m jcω = ( k mω ) + jcω k mω jcω συζυγής μιγαδικός... ❽... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Re ( ) k mω jcω k mω cω H( jω) = H ( jω) = + j k mω + cω k mω + cω ( k mω ) + ( cω) Re Im Im

48 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε. υπολογισμός μέτρου της ❽ H ( jω ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k mω ( cω ) k mω + cω = + = k mω cω ( k mω ) ( cω) + + k mω + cω ( ) ( jω ) H = ( k mω ) + ( cω) ( k mω ) + ( cω) ( ) ( jω ) H = 1 ( k mω ) + ( cω)

49 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε. μέγιστο πλάτος k=mω =0 ή ω=(k/m) 1/ για ω=(k/m) 1/ H και για ω=0 H ( 0) j k m = 1 ( cω ) cωn n = 1 = 1 = 1 υπολογισμός m, c, k, ω n k k από μετρήσεις της H(jω)

50 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε. k c m H F X + + = = 1 ) ( ) ( ) ( k c m H F X + + = = ) ( ) ( ) ( k c m H F X + + = = ) ( ) ( ) ( τύποι συναρτήσεων μεταφοράς...

51 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε. υπολογισμός πολικής γωνίας (διαφορά φάσης μεταξύ διέγερσης και απόκρισης) της ❽ Im ( H( jω )) ( k mω ) + ( cω) tan Re( H( jω )) ( k mω ) ( k mω ) + ( cω) ϑ = tan = 1 1 ( cω ) 1 ( cω ) ϑ = tan ( k mω )

52 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα Ν Β.Ε. ισχύει... ( ) o o + ( o) + = ( ) M X x x C X x K X f αρχικές συνθήκες x o = x = o ( ) ( ) ( ) M X + C X + K X = f M + C+ K X = f 0 απόκριση του συστήματος ( ) 1 X M C K f = + + = jω H( ) ❾ ( ) 1 H = ω M + jωc+ K H( ) = K ω M + j ωc Re Im Re Im 1

53 . Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα Ν Β.Ε. παρατήρηση... ❾ από την της συχνότητας μπορεί να υπολογισθεί η απόκριση του συστήματος στο πεδίο έπειτα, με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace μπορεί να υπολογισθεί η απόκριση του συστήματος στο πεδίο του χρόνου για τις εφαρμογές του μηχανικού, χρησιμοποιούμε έτοιμους πίνακες, από τους οποίους αντλούμε τη σχέση για τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Laplace που μας ενδιαφέρει

54 . Μετασχηματισμός Laplace: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της... ισχύουν θέτουμε...

55 . Μετασχηματισμός Laplace: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace... από πίνακες μετασχηματισμών Laplace ισχύει... συχνότητα αποσβενόμενης ταλάντωσης

56 ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ THE LAPLACE TRANSFORM - A GRAPHICAL APPROACH LAPLACE TRANSFORM CIRCUIT NETWORK ANALYSIS - [CHAPTER5] TRANSFER FUNCTION, FREQUENCY RESPONSE, AND BODE PLOT TRANSFER FUNCTION DYNAMICS BY PETE AVITABILE

57 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... Δρ. Γιακόπουλος Χ....