Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab

Transcript

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Ο βασικός σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη ευστάθειας συστημάτων αυτομάτου ελέγχου. Για τον λόγο αυτό γίνεται μια σύντομη θεωρητική μελέτη της έννοιας της ευστάθειας και της αστάθειας σε συτήματα αυτομάτου ελέγχου. Στην συνέχεια γίνεται μελέτη των εννοιών αυτών με το περιβάλλον Matlab. 1. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΚΑΙ ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ένα σύστημα ελέγχου λέμε ότι είναι ευσταθές, αν βρισκόμενο σε ισορροπία, διαταραχθεί από κάποιο εξωτερικό αίτιο και επανέλθει μόνο του στην αρχική κατάσταση ισορροπίας του. Σε αντίθετη περίπτωση λέγεται ασταθές. Η ευστάθεια συστημάτων έχει νόημα όταν αναφερόμαστε σε γραμμικά συστήματα, αφού για μη-γραμμικά είναι πολύ δύσκολο να ορισθεί. Έτσι ένα γραμμικό σύστημα είναι αυστηρά ευσταθές, αν το ολοκλήρωμα σε άπειρο χρόνο της απόλυτης τιμής της κρουστικής απόκρισης h(t) είναι πεπερασμένο, δηλαδή:

2 lim t h( t) dt M που απαιτεί: h ( ) t Επιπλέον, ένα γραμμικό σύστημα λέγεται περιθωριακά ευσταθές, αν: h ( t) M Στη συνέχεια θα αναφερθούμε στην ευστάθεια στο μιγαδικό s - επίπεδο και στο κριτήριο του μοναδιαίου κύκλου. Ευστάθεια στο Μιγαδικό s - Επίπεδο (s-domain) Η ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος μπορεί να βρεθεί από τη θέση των πόλων της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Χ.Ε.) στο μιγαδικό s - επίπεδο (s-domain). jω s - domain σ Περιοχή Ευστάθειας Σχήμα 1 Αυστηρά Ευσταθές: οι πόλοι της Χ.Ε. βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο του s-domain και εκτός του άξονα jω. Περιθωριακά Ευσταθές: οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο και αν υπάρχουν στον άξονα jω, αυτοί είναι απλοί. Ασταθές: ένας τουλάχιστον πόλος βρίσκεται στο δεξιό ημιεπίπεδο, ή και πολλαπλά ζεύγη πόλων υπάρχουν στον άξονα jω.

3 Δυνητικά ασταθές: οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο και ένας διπλός συζυγής στον άξονα jω. Κριτήριο του μοναδιαίου κύκλου Από τον ορισμό του μετασχηματισμού - z έχουμε: st z e όπου s j Άρα : st j T z e e z e st Όπως αναφέραμε προηγουμένως, ένα γραμμικό σύστημα είναι ευσταθές αν οι πόλοι της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο του s - domain, δηλαδή θα πρέπει σ < και επομένως: z 1 Επομένως ένα γραμμικό σύστημα είναι ευσταθές, αν οι πόλοι της χαρακτηριστικής του εξίσωσης βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου του μιγαδικού επιπέδου με ακτίνα μονάδα Im(z) z - domain z =1 Re(z) Περιοχή Ευστάθειας Σχήμα

4 Σύστημα για μελέτη Το σύστημα υπό μελέτη είναι ένα ηλεκτρομηχανικό σύστημα το οποίο χρησιμοποιείται για τον έλεγχο των στροφών ενός DC κινητήρα. Το ηλεκτρικό κύκλωμα του τυμπάνου και το σχήμα του ρώτορα παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα: Για το παράδειγμα που εξετάζουμε, θα θεωρήσουμε τις παρακάτω τιμές για τις φυσικές παραμέτρους: Ροπή αδράνειας του κινητήρα J =.1 kg. m /s Ρυθμός απόσβεσης μηχανικού συστήματος b =.1 Nms Σταθερά ηλεκτροκινητήριας δύναμης Κ = Κe = Kt =.1 Nm/Amp Ηλεκτρική αντίσταση R = 1Ω Αυτεπαγωγή πηνίου L =.5 H Είσοδος V: πηγή τάσεως Έξοδος θ: θέση περιστροφής Ο δίσκος και η περιστροφή θεωρούνται σταθερά

5 Για το σύστημα αυτό η συνάρτηση μεταφοράς που προσδιορίστηκε στην άσκηση 1 είναι η ακόλουθη: H ( s).5s.1.6s.11 ενώ οι εξισώσεις του χώρου κατάστασης και οι αντίστοιχοι πίνακες όπως αυτές προσδιορίστηκαν στην άσκηση 1 είναι A 1. 1 B C 1 D. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΟ MATLAB Αναφορικά με την ευστάθεια των συστημάτων, το λογισμικό Matlab μας παρέχει έναν εύκολο τρόπο εύρεσης της θέσης των πόλων της χαρακτηριστικής εξίσωσης του συστήματος. Με τη γραφική αναπαράσταση των πόλων ενός συστήματος, ο σχεδιαστής είναι σε θέση να αποφανθεί αν το σύστημα που μελετάει είναι ευσταθές, ενώ σε αντίθετη περίπτωση τροποποιώντας τη συνάρτηση μεταφοράς να μετατρέψει ένα ασταθές σύστημα σε ευσταθές. Η γραφική απεικόνιση των πόλων της χαρακτηριστικής εξίσωσης γίνεται με την εντολή [r,k]=rlocus(num,den,m), όπου num και den περιέχουν τους συντελεστές των πολυωνύμων του αριθμητή και του παρονομαστή της χαρακτηριστικής εξίσωσης ανοικτού βρόχου H(s)G(s). Ομοίως μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η εντολή [r,k]=rlocus(a,b,c,d,m) όταν το μαθηματικό μοντέλο αναπαράστασης είναι ο χώρος κατάστασης.

6 Imag Axis Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων Χρησιμοποιώντας τις τυπικές τιμές που δώσαμε και με τη βοήθεια της εντολής που αναφέραμε, παίρνουμε το διάγραμμα που ακολουθεί: % tf_dcmotor % Stability Analysis of a DC motor clear all, close all num=[.1]; den=[ ]; rlocus(num,den) Real Axis % tf_dcmotor % Stability Analysis of a DC motor in the State Space clear all, close all A = [-1 1; -. -];

7 Imag Axis Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων B = [; ]; C = [1 ]; D = []; rlocus(a,b,c,d) Real Axis Εντολή [r,k] = rlocus (num,den,m) [r,k]=rlocus(a,b,c,d,m) προσδιορισμός πόλων μηδενισμών για την συνάρτηση μεταφοράς... προσδιορισμός πόλων μηδενισμών χρησιμοποιώντας τους πίνακες κατάστασης

8 Imag Axis Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ: 1) Να μελετηθεί ως προς την ευστάθεια, με τους δύο τρόπους που αναπτύχθηκαν παραπάνω, το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς:.3 H ( s).1s.3s.. ) Να μελετηθεί ως προς την ευστάθεια, με τους δύο τρόπους που αναπτύχθηκαν παραπάνω, το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς:.5 H ( s).1s.5 3) Το διάγραμμα πόλων ενός συστήματος είναι το ακόλουθο: Real Axis Να χαρακτηρίσετε το σύστημα ως προς την ευστάθειά του.