Κεφάλαιο 10. Κυκλοφοριακά Πρότυπα

Transcript

1 Κεφάλαιο. Κυκλοφοριακά Πρότυπα Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται κυκλοφοριακά πρότυπα τα οποία χρησιµοποιούνται εκτενώς σε εφαρµογές και λογισµικά προσοµοίωσης της κυκλοφορίας. Τα πρότυπα αυτά παρουσιάζονται αρχικά µέσα από τις σχέσεις τους και στη συνέχεια πραγµατοποιείται ανάλυσή τους ώστε να γίνουν αντιληπτά τα χαρακτηριστικά τους καθώς και η δυναµική τους όσον αφορά στην κίνηση των οχηµάτων ή του κυκλοφοριακού φόρτου. Τα πρότυπα που παρουσιάζονται είναι το πρότυπο ακολουθούντος οχήµατος (car-followg) του Gpps και το cellular automato model των Nagel και Schreckeberg τα οποία είναι µικροσκοπικά, το cell trasmsso model του Dagazo το οποίο είναι µακροσκοπικό και το TRANSYT το οποίο αποτελεί µεσοσκοπικό πρότυπο. Επιπλέον, µέσα από τα κριτήρια αξιολόγησης δίνονται σενάρια τα οποία ζητείται να προσοµοιωθούν, ώστε ο αναγνώστης να εξοικειωθεί µε τη διαδικασία της προσοµοίωσης σε αρχικό επίπεδο. Προαπαιτούµενη γνώση Κεφάλαιο. Βασικά µεγέθη, Κεφάλαιο 6. Ισόπεδοι κόµβοι µε φωτεινή σηµατοδότηση, Κεφάλαιο 9. Εισαγωγή στην κυκλοφοριακή προσοµοίωση... Εισαγωγή Τα µαθηµατικά πρότυπα κυκλοφοριακής ροής είναι µαθηµατικές σχέσεις µε βάση τις οποίες δύναται να περιγραφεί η κίνηση των οχηµάτων στον χώρο και τον χρόνο. Η περιγραφή της κίνησης των οχηµάτων πραγµατοποιείται µέσω του υπολογισµού συγκεκριµένων κάθε φορά µεγεθών (όπως για παράδειγµα η ταχύτητα και η θέση οχήµατος) ανά τακτά χρονικά διαστήµατα, τα οποία αποτελούν το υπολογισµού των προτύπων. Επισηµαίνεται ότι αυτή η διαδικασία είναι επαναληπτική. Η χρήση των µαθηµατικών αυτών σχέσεων αποτελεί µια διαδικασία υπολογισµού κατάλληλη για προγραµµατισµό στον ηλεκτρονικό υπολογιστή η οποία ονοµάζεται αλγόριθµος. Ο συνδυασµός των µαθηµατικών σχέσεων των προτύπων κυκλοφοριακής ροής µε λογικούς κανόνες συµπεριφοράς, ο οποίος συνήθως επιτυγχάνεται µε σχεδιασµό σε γλώσσα ηλεκτρονικού υπολογιστή, αποτελεί τα πρότυπα προσοµοίωσης της κυκλοφορίας. Κατά συνέπεια, τα µαθηµατικά πρότυπα κυκλοφοριακής ροής αποτελούν τη βάση και τον πυρήνα των προτύπων προσοµοίωσης της κυκλοφορίας. Η σηµασία των προτύπων προσοµοίωσης της κυκλοφορίας και κατ επέκταση των µαθηµατικών προτύπων κυκλοφοριακής ροής έγκειται στο ότι παρέχουν την εκ των προτέρων γνώση των συνθηκών κυκλοφορίας κάτω από συγκεκριµένες οδικές και κυκλοφοριακές συνθήκες στο µεταφορικό σύστηµα. Η αναγκαιότητά τους διαφαίνεται από το εύρος εφαρµογών τους στην κυκλοφοριακή τεχνική και τη διαδεδοµένη χρήση τους. Όπως περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 9, η κίνηση των οχηµάτων δύναται να αναλυθεί σε διάφορα επίπεδα µε βάση τον βαθµό λεπτοµέρειας των προτύπων στη θεώρηση του συστήµατος. Οι τρεις κατηγορίες µαθηµατικών προτύπων κυκλοφοριακής ροής µε βάση την παραπάνω κατηγοριοποίηση είναι τα µικροσκοπικά, τα µακροσκοπικά και τα µεσοσκοπικά µαθηµατικά πρότυπα. Στα µικροσκοπικά πρότυπα η ανάλυση πραγµατοποιείται σε µικροσκοπικό επίπεδο, δηλαδή η κίνηση των στοιχείων του συστήµατος αναπαριστάται µε χρήση µοναδιαίων στοιχείων (όπως οχήµατα, πεζοί). Η αλληλεπίδρασή τους περιγράφεται µε ιδιαίτερη λεπτοµέρεια και σε κάθε µονάδα του συστήµατος κατανέµονται ιδιαίτερα χαρακτηριστικά και ιδιότητες (όπως επιθυµητή ταχύτητα κίνησης). Αντίστοιχα, στα µακροσκοπικά µαθηµατικά πρότυπα η ανάλυση της κίνησης πραγµατοποιείται σε µακροσκοπικό επίπεδο. Πιο συγκεκριµένα, τα στοιχεία του συστήµατος εξετάζονται συνολικά χωρίς να εξετάζεται ιδιαίτερα η συµπεριφορά της κάθε µονάδας του συστήµατος. Τέλος, τα µεσοσκοπικά πρότυπα αποτελούν ενδιάµεσα πρότυπα ανάµεσα στα µικροσκοπικά και µακροσκοπικά. Η ανάλυση µε βάση τα µεσοσκοπικά πρότυπα πραγµατοποιείται µε χρήση συνόλου µονάδων όπως στα µακροσκοπικά, αλλά ταυτόχρονα χρησιµοποιούνται επιπρόσθετοι µαθηµατικοί τύποι για την αποζηµίωση των αδυναµιών των µακροσκοπικών µαθηµατικών προτύπων. Στο παρόν κεφάλαιο θα παρουσιαστούν κυκλοφοριακά πρότυπα που ανήκουν και στις τρεις παραπάνω διακριτές κατηγορίες. Τα πρότυπα αυτά θα παρουσιαστούν µέσα από τις σχέσεις που περιγράφουν Αντωνίου και Σπυροπούλου 5

2 την κίνηση των οχηµάτων και τα χαρακτηριστικά τους και θα επεξηγηθούν µέσα από παραδείγµατα και εφαρµογές... Μικροσκοπικά µαθηµατικά πρότυπα Στα µικροσκοπικά µαθηµατικά πρότυπα η ανάλυση πραγµατοποιείται στις µονάδες του συστήµατος για καθεµία από τις οποίες αποδίδονται ιδιαίτερα χαρακτηριστικά (όπως επιθυµητή ταχύτητα κίνησης ή µήκος οχήµατος), δηλαδή εξετάζεται η κίνηση του κάθε οχήµατος ξεχωριστά. Η ανάλυση µε βάση τα µικροσκοπικά πρότυπα είναι αρκετά περίπλοκη, απεικονίζει όµως την πραγµατικότητα σε αρκετά ικανοποιητικό βαθµό. Τα µικροσκοπικά πρότυπα που θα αναλυθούν στην παρούσα ενότητα είναι τo πρότυπο ακολουθούντος οχήµατος του Gpps (98) και τo cellular automato model των Nagel και Schreckeberg (99).... Πρότυπα Aκολουθούντος Oχήµατος (car-followg models) Τα πρότυπα αυτά αποτελούν σηµαντικό τµήµα των µικροσκοπικών µαθηµατικών προτύπων κυκλοφοριακής ροής. Η θεώρησή τους βασίζεται στο γεγονός ότι τα χαρακτηριστικά κίνησης του κάθε οχήµατος «ακολουθούν» και κατά συνέπεια ορίζονται µε βάση τα χαρακτηριστικά κίνησης του προπορευόµενου οχήµατος. Με αυτόν τον τρόπο οι οδηγοί «αντιδρούν» στην οδική συµπεριφορά του προπορευόµενου οχήµατος, και τα µαθηµατικά πρότυπα αυτής της κατηγορίας αποτελούν παραλλαγές του παρακάτω τύπου. [ x! x ( )]! x + ( t + T) = α! + t, µε m cx! + ( t + T ) α = (.) [ x x ] l + Κατά συνέπεια, + m + [ x! x! + ( t) ] [ x x ] l! x ( t + T) = cx! ( t + T),όπου (.) + x! (t) : ταχύτητα του οχήµατος τη χρονική στιγµή t,!!x (t) : επιτάχυνση του οχήµατος τη χρονική στιγµή t, T : χρόνος αντίδρασης και υπολογισµών, c : σταθερά ευαισθησίας προτύπου, α : παράγοντας ευαισθησίας προτύπου ο οποίος είναι: σταθερός όταν m = l =, εξαρτώµενος από τον χωρικό διαχωρισµό τη χρονική στιγµή t, όταν m =, l, εξαρτώµενος από την ταχύτητα του οχήµατος που ακολουθεί τη χρονική στιγµή t + T, όταν m, l =, και εξαρτώµενος και από τον χωρικό διαχωρισµό και από την ταχύτητα του οχήµατος που ακολουθεί, όταν m =, l = Το πρότυπο αυτό θα πρέπει να έχει τις εξής ιδιότητες: Να απεικονίζει τη συµπεριφορά της κίνησης. Να είναι σχεδιασµένο µε τρόπο ώστε οι παράµετροι του προτύπου να αναλογούν σε εµφανή χαρακτηριστικά των οδηγών και των οχηµάτων έτσι ώστε οι τιµές των παραµέτρων να είναι δυνατό να ορίζονται χωρίς να είναι αναγκαία η επιπρόσθετη προσαρµογή τους στην πραγµατικότητα. Να λειτουργεί αποτελεσµατικά, δηλαδή να απεικονίζει την πραγµατικότητα στην περίπτωση που τα χρονικά διαστήµατα (χρονικά βήµατα) µεταξύ των υπολογισµών της ταχύτητας και θέσης των οχηµάτων ισούνται µε τον χρόνο αντίδρασης των οδηγών. Αντωνίου και Σπυροπούλου 6

3 Πρότυπα ακολουθούντος οχήµατος προτάθηκαν από τους Ppes (953), Chadler et al., (958), Forbes et al., (958), Forbes (963), Gazs et al. (959, 96), Newel (96) Herma et al. (959), Herma ad Potts (96), και Gpps (98). Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιαστεί το µικροσκοπικό µαθηµατικό πρότυπο του Gpps, το οποίο αποτέλεσε τη βάση για το πρόγραµµα προσοµοίωσης MΙTSIM (Gpps, 986) καθώς και τη βάση για ευρέως διαδεδοµένα λογισµικά προσοµοίωσης όπως το ΑΙMSUN (Barcelo & Ferrer, 994). To µαθηµατικό πρότυπο του Gpps είναι πρότυπο διακριτού χρόνου και συνεχούς χώρου, στο οποίο υπολογίζονται η ταχύτητα και θέση των οχηµάτων ανά τακτά χρονικά διαστήµατα. Το µαθηµατικό αυτό πρότυπο βασίζεται στη θεώρηση του Gpps ότι οι οδηγοί βάζουν όρια στις επιθυµητές τιµές επιβράδυνσης και επιτάχυνσης. Τα δύο αυτά µεγέθη αποτελούν τις βασικές παραµέτρους του µαθηµατικού προτύπου στις οποίες υπεισέρχονται τρεις περιορισµοί, δύο για την επιτάχυνση και ένας για την επιβράδυνση. Οι δύο περιορισµοί του προτύπου του Gpps που αφορούν στην επιτάχυνση βασίζονται στη θεώρηση ότι η ταχύτητα των οχηµάτων δεν δύναται να είναι µεγαλύτερη της επιθυµητής ταχύτητας των οδηγών και ότι η επιτάχυνση αυξάνεται µε την εκκίνηση της µηχανής και στη συνέχεια τείνει στο µηδέν όσο η ταχύτητα τείνει στην τιµή της επιθυµητής ταχύτητας. Οι περιορισµοί αυτοί περιγράφονται από την παρακάτω σχέση: u + / ( t + τ ) u +.5aτ ( u / V )(.5 u / V ), όπου (.3) u (t) : η ταχύτητα του οχήµατος τη χρονική στιγµή t, a : η µέγιστη επιθυµητή επιτάχυνση του οχήµατος, τ : ο χρόνος αντίδρασης, σταθερός για όλα τα οχήµατα, V : η επιθυµητή ταχύτητα του οχήµατος. Ο τρίτος περιορισµός του προτύπου του Gpps αφορά στην επιβράδυνση και βασίζεται στη θεώρηση ότι αν κάποιο όχηµα επιβραδύνει µε τη µέγιστη επιθυµητή επιβράδυνσή του, τότε το όχηµα που ακολουθεί θα δύναται να αντιδράσει µε τέτοιον τρόπο ώστε να σταµατήσει έγκαιρα. Η θεώρηση αυτή ενσωµατώνεται στην παρακάτω σχέση: [ [ x s x ] u u / bˆ ] u ( t + τ ) b τ + b τ b τ b : η µέγιστη επιθυµητή επιβράδυνση του οχήµατος ( b < ), x (t) : η θέση του οχήµατος (µπροστινού µέρους) τη χρονική στιγµή t, s :, όπου (.4) το ενεργό µήκος του οχήµατος, το οποίο ισούται µε το πραγµατικό του µήκος προσαυξηµένο µε ένα διάστηµα ασφαλείας το οποίο ο οδηγός επιθυµεί να κρατήσει από το προπορευόµενο όχηµα, bˆ : αποτελεί εκτίµηση του µεγέθους b διότι ο οδηγός του οχήµατος δεν µπορεί να γνωρίζει την τιµή αυτή Για τον υπολογισµό της ταχύτητας του οχήµατος τη χρονική στιγµή t + τ, υπολογίζονται οι ταχύτητες επιτάχυνσης και επιβράδυνσης όπως περιγράφηκαν από τις δύο παραπάνω σχέσεις. Η τελική ταχύτητα του οχήµατος είναι η µικρότερη εκ των δύο προαναφερθέντων ταχυτήτων: { u ( t + τ ) = m u +.5a τ ( u / V )(.5 + u / V ), / [ [ x s x ] u u / bˆ ] } b τ + b τ b τ (.5) Στην περίπτωση όπου η ταχύτητα οχήµατος ισούται µε την πρώτη τιµή (ταχύτητα επιτάχυνσης), η ροή των οχηµάτων είναι τοπικά ελεύθερη. Αντίθετα, αν η ταχύτητα ισούται µε τη δεύτερη τιµή (ταχύτητα επιβράδυνσης), παρατηρείται τοπική συµφόρηση. Αντωνίου και Σπυροπούλου 7

4 Και στις δύο περιπτώσεις η θέση του οχήµατος τη χρονική στιγµή t + τ είναι: x ( t + τ ) = x +.5[ u + u ( t + τ) ]τ (.6) Στο µαθηµατικό πρότυπο του Gpps ο χρόνος αντίδρασης τ, ο οποίος αποτελεί και το υπολογισµών, είναι εξωγενής παράµετρος και ισούται µε /3 δευτερόλεπτα. Επισηµαίνεται ότι ο Gpps έχει αναπτύξει ένα πιο σύνθετο µαθηµατικό πρότυπο κυκλοφορίας το οποίο περιγράφει την κίνηση των οχηµάτων επιτρέποντας τις αλλαγές λωρίδας (lae-chagg model) (Gpps, 986). Το πρότυπο του Gpps χρησιµοποιείται ευρέως και η δυναµική του έχει διερευνηθεί διεξοδικά (Wlso, Spyropoulou, 7a). Ανάλυση του προτύπου του Gpps Στην παρούσα ενότητα αναλύεται διεξοδικά το πρότυπο του Gpps, ώστε να αποτυπωθούν και να κατανοηθούν στοιχεία της δυναµικής του προτύπου. Αντίστοιχη µεθοδολογία µπορεί να ακολουθηθεί και σε άλλα πρότυπα κίνησης. Καθώς το πρότυπο του Gpps αποτελεί µικροσκοπικό πρότυπο, το κάθε όχηµα έχει διακριτές ιδιότητες, αυτές είναι η µέγιστη ταχύτητα (V ), επιτάχυνση (α ) και επιβράδυνσή (b ) του, το ενεργό του µήκος (s ) και η µέγιστη επιβράδυνση που θεωρεί ο οδηγός του οχήµατος ότι µπορεί να έχει κάποιο άλλο όχηµα (bˆ ). Κατά συνέπεια σε κάθε όχηµα που γεννιέται, που εισέρχεται δηλαδή στο δίκτυο για προσοµοίωση, δίνονται τα χαρακτηριστικά του µέσα από τις παραπάνω µεταβλητές. Οι τιµές των µεταβλητών του προτύπου όπως αυτό βαθµονοµήθηκε από τον Gpps ακολουθούν κανονική κατανοµή και είναι: V N (., 3.) µ/δλ α N (.7,.3) µ/δλ b = - α s N (6.5,.3) µ b 3. bˆ = m(-3., ) Οι εξισώσεις του προτύπου του Gpps εφαρµόζονται στο κάθε όχηµα, σε κάθε (τ) και µε αυτόν τον τρόπο πραγµατοποιείται η κίνησή του στον χώρο και τον χρόνο, µε τον υπολογισµό δηλαδή της ταχύτητάς του και της θέσης του. Κατ αυτόν τον τρόπο τα οχήµατα κινούνται σε ένα οδικό τµήµα µίας λωρίδας όπως προαναφέρθηκε, υπάρχουν επιπλέον εξισώσεις που εφαρµόζονται στην περίπτωση κίνησης των οχηµάτων σε οδικά τµήµατα περισσότερων της µίας λωρίδων (Gpps, 986). Αρχικά εξετάζεται η δυναµική της κίνησης των οχηµάτων, όπως αυτή παρουσιάζεται γραφικά. Ενδεικτικό τρόπο αποτύπωσης αποτελεί η τροχιά (trajectory) των οχηµάτων, δηλαδή η θέση του κάθε οχήµατος στον χρόνο καθώς και η ταχύτητα του κάθε οχήµατος στον χρόνο. Οι µεταβλητές αυτές υπολογίζονται από τους τύπους.5 και.6 αντίστοιχα. Στο παράδειγµα αυτό προσοµοιώνονται 9 οχήµατα τα οποία έχουν όλα τα ίδια χαρακτηριστικά όσον αφορά στις µεταβλητές του προτύπου του Gpps. Οι τιµές των µεταβλητών είναι V =µ/δλ, α =.7µ/δλ και s =6.5µ, ενώ οι υπόλοιπες δύο µεταβλητές b και bˆ υπολογίζονται από τους αντίστοιχους τύπους. Τα οχήµατα ξεκινούν τυχαία από το σηµείο x= και µε µηδενική ταχύτητα, και οι Εικόνες. και. αποτυπώνουν τη θέση και την ταχύτητά τους στον χρόνο, για χρόνο προσοµοίωσης τ (8δλ). Αντωνίου και Σπυροπούλου 8

5 5 ταχύτητα (µ/δλ) Εικόνα. Ταχύτητα στον χρόνο (πρότυπο Gpps). θέση (µ) Εικόνα. Θέση στον χρόνο (πρότυπο Gpps). Από την κλίση των γραµµών των Εικόνων. και. γίνεται αντιληπτό ότι οχήµατα δεν επηρεάζονται από το προπορευόµενο όχηµα, καθώς η κλίση της ταχύτητάς τους είναι ίδια µε αυτή του ου οχήµατος το οποίο δεν έχει όχηµα κατάντη του. Κατά συνέπεια, ο τύπος που καθορίζει την ταχύτητα των οχηµάτων είναι ο.3 που αφορά σε κίνηση σε ελεύθερη ροή. Η ταχύτητα των οχηµάτων έχει την ίδια κλίση, το οποίο υποδεικνύει ότι τα οχήµατα που έχουν ίδια χαρακτηριστικά αναπτύσσουν ίδια επιτάχυνση και άρα ταχύτητα. Επισηµαίνεται ότι όταν τα οχήµατα εισέρχονται στην αρχή της προσοµοίωσης σε χρονική στιγµή όπου δεν υπάρχει ικανός χώρος κατάντη για να προχωρήσουν, η τιµή που βρίσκεται στη ρίζα (από τον τύπο.4) προκύπτει αρνητική, δηλαδή b [ [ ( ) ( )] ( ) ( ) / ˆ τ b x t s x t u t τ u t b] <. Κατά συνέπεια θα πρέπει να προστεθεί επιπλέον αλγόριθµός ο οποίος να ελέγχει αν τα οχήµατα µπορούν να εισέλθουν στην προσοµοίωση. Σε περίπτωση που δεν υπάρχει χώρος, το όχηµα θα πρέπει να παραµένει ακίνητο. Από την Εικόνα. γίνεται αντιληπτό ότι αυτό έχει συµβεί µε το 3ο και το 4ο όχηµα. Επιπλέον, γίνεται αντιληπτό ότι η ταχύτητα του οχήµατος, από µηδενική, αυξάνεται µε µεγάλη επιτάχυνση (κλίση) η οποία µειώνεται όσο η ταχύτητα πλησιάζει τη µέγιστη επιθυµητή ταχύτητα του οδηγού. Από τον τύπο.3 προκύπτει ότι η επιτάχυνση ενός οχήµατος σε συνθήκες απρόσκοπτης κίνησης είναι: / α =.5a ( u / V )( c + u / V ), όπου c=.5 (.7) Αντωνίου και Σπυροπούλου 9

6 Θέτοντας την πρώτη παράγωγο της επιτάχυνσης ως προς την ταχύτητα ίση µε µηδέν υπολογίζονται οι οριακές τιµές της επιτάχυνσης. dα * * = και ( c + u / V ) ( u / V ) =, προκύπτει ότι για τιµή της πρώτης παραγώγου d( u ) * της ταχύτητας ίση µε u c = V η επιτάχυνση λαµβάνει οριακή τιµή. Στη συνέχεια, µε τον υπολογισµό 3 της δεύτερης παραγώγου προσδιορίζεται αν η οριακή αυτή τιµή αποτελεί ελάχιστη ή µέγιστη τιµή. d α ** / ** ** 3/ =.5a ( + ( ) / ) + ( ( ) / )( + ( ) / ) c u t V u t V c u t Vv d( u ) V 4 Η δεύτερη παράγωγος προκύπτει αρνητική, κατά συνέπεια για τιµή της ταχύτητας ίση µε.95 u = V το όχηµα θα έχει τη µέγιστη επιτάχυνσή του, η οποία θα ισούται µε.9986α. 3 Ο όρος c=.5 έχει εισαχθεί στην εξίσωση, γιατί διαφορετικά τα οχήµατα δεν θα µπορούσαν να ξεκινήσουν από µηδενική ταχύτητα. Η τιµή του.5 έχει επιλεγεί έτσι ώστε να το όχηµα να µπορεί να αναπτύξει επιτάχυνση όσο το δυνατόν κοντινότερη στη µέγιστη επιθυµητή του. Θέτοντας στην εξίσωση.7 α=α, υπολογίζεται ο παράγοντας c= Η σχέση µεταξύ του πηλίκου της επιτάχυνσης του οχήµατος και της µέγιστης επιθυµητής α u επιτάχυνσης και του πηλίκου της ταχύτητάς του και της µέγιστης επιθυµητής του ταχύτητας α V προκύπτει: f (x) : x : f ( x) =.5* 3 x.975x +.95x +.5, όπου (.8) α α u V R [, ] R [, ] Η σχέση αυτή απεικονίζεται γραφικά στην Εικόνα f(x) x Εικόνα.3 Επιτάχυνση οχήµατος σε σχέση µε την ταχύτητά του (Gpps). Αντωνίου και Σπυροπούλου

7 Κατά συνέπεια, ένα όχηµα το οποίο ξεκινάει µε µηδενική ταχύτητα (u = και άρα x=) αναπτύσσει επιτάχυνση ίση µε.3953 α και στη συνέχεια αυξάνεται η ταχύτητά του µε αυξανόµενη επιτάχυνση µέχρι τη.95 στιγµή που η ταχύτητά του θα φτάσειu = V, όπου η επιτάχυνσή του θα είναι.9986α. Το όχηµα θα 3 συνεχίσει να αυξάνει την ταχύτητά του, αλλά µε συνεχώς χαµηλότερη επιτάχυνση µέχρι να προσεγγίσει τη µέγιστη επιθυµητή ταχύτητά του V. Η κίνηση ενός οχήµατος µε σταθερή ταχύτητα µπορεί να προκύψει σε δύο περιπτώσεις. Για να εξεταστεί το παραπάνω θέτεται u (t+τ)= u (t). Κατά συνέπεια στην περίπτωση κίνησης σε συνθήκες ελέυθερης ροής προκύπτει: u = u +.5aτ ( u / V )(.5 + u / V ) /.5a τ ( u / V )(.5 + u / V ) = u = V Αντίστοιχα για συνθήκες µη απρόσκοπτης κίνησης ισχύει: u ( ) ( [ [ ( ) ( )] ( ) ( ) / ˆ t = bτ + b τ b x t s x t u t τ u t b]) 3bτ ± u = 3bτ + u = 9b να πάρει µόνο θετικές τιµές). 9b τ 4b τ 4b (( x (( x s s / x ) u x ) u / bˆ) / bˆ) (καθώς η ταχύτητα µπορεί Ενδιαφέρον παρουσιάζει η προσέγγιση που γίνεται στο πλαίσιο προσοµοίωσης οδικών τµηµάτων στις οποίες λειτουργούν κόµβοι µε φωτεινή σηµατοδότηση. Πιο συγκεκριµένα, καθώς η κίνηση του οχήµατος πραγµατοποιείται µε βάση τα χαρακτηριστικά του προπορευόµενου οχήµατος, για να µην υπάρξει εισαγωγή νέου αλγορίθµου που θα ελέγχει τις ενδείξεις του φωτεινού σηµατοδότη και θα καθορίζει την κίνηση των οχηµάτων πραγµατοποιείται η εισαγωγή ενός οχήµατος-φαντάσµατος (phatom vehcle) στη θέση της γραµµής «στοπ» (stop-le) κατά τη διάρκεια της κόκκινης ένδειξης του φωτεινού σηµατοδότη. Το όχηµα αυτό έχει µηδενική ταχύτητα και µηδενικό µήκος, και «εξαφανίζεται» κατά τη διάρκεια της πράσινης ένδειξης. Το όχηµα αυτό προσδιορίζεται ως το προπορευόµενο όχηµα του ου ανάντη της διατοµής οχήµατος που είναι σε θέση να σταµατήσει, είναι δηλαδή σε θέση να επιβραδύνει τόσο ώστε να µην παραβιάσει την κόκκινη ένδειξη του φωτεινού σηµατοδότη.... Cellular Automato Models (Κυψελωτά Αυτόµατα Πρότυπα) Μια πιο πρόσφατη κατηγορία µικροσκοπικών µαθηµατικών προτύπων είναι τα partcle hoppg models. Ο σχεδιασµός και οι αρχικές εφαρµογές των partcle hoppg models πραγµατοποιήθηκαν στο γνωστικό πεδίο της φυσικής και ιατρικής. Σε αυτά βασίστηκαν τα cellular automato models (κυψελωτά αυτόµατα πρότυπα). Βασική αρχή αυτών των προτύπων αποτελεί η ύπαρξη µίας µονοδιάστατης αλυσίδαςσειράς «κελιών», τα κελιά της οποίας δύναται ή να είναι άδεια ή να καταλαµβάνονται από ένα µόριο. Η κίνηση των µορίων στον χρόνο και τον χώρο πραγµατοποιείται µε την κίνηση «αλλαγή» των µορίων από το ένα κελί στο επόµενο µε βάση συγκεκριµένους κανόνες. Η υιοθέτηση αυτών των προτύπων στην κυκλοφοριακή τεχνική πραγµατοποιείται µε τη θεώρηση ότι το κάθε µόριο αποτελεί ένα όχηµα και ότι η σειρά των κελιών αντιπροσωπεύει το εξεταζόµενο τµήµα οδού. Κάθε κελί δύναται να καταλαµβάνεται από ένα όχηµα, ενώ τα οχήµατα κινούνται κατάντη µε βάση συγκεκριµένους κανόνες. Στη συγκεκριµένη κατηγορία προτύπων δεν εξετάζονται τα µόρια του συστήµατος (οχήµατα) όπως στα car-followg models, αλλά τα κελιά. Τα cellular automato models έχουν εφαρµοστεί για την προσοµοίωση αυτοκινητοδρόµων (Schadscheder, 6), αστικών οδικών δικτύων (Spyropoulou, 7b), κυκλικών κόµβων (Wag ad Αντωνίου και Σπυροπούλου

8 Rusk, ), συστηµάτων ελέγχου σε κλάδους εισόδου σε αυτοκινητόδροµο (o-ramp) (L et al., 7), βελτιστοποίηση φωτεινής σηµατοδότησης (Brockfeld et al., ). Επιπλέον, έχουν χρησιµοποιηθεί για την προσοµοίωση ετερογενούς κυκλοφορίας όπως κυκλοφορία πεζών και οχηµάτων (Zhag et al., 7), επιβατικών οχηµάτων και φορτηγών (Deo & Rusk, 6), επιβατικών οχηµάτων και µοτοσικλετών (Lag & Chag, 5 Spyropoulou & Dmtrou, 9), αλλά και για την κίνηση οντοτήτων εκτός από οχήµατα όπως κίνηση πεζών (Burstedde et al., ) και την κίνηση σε σιδηροδροµικό δίκτυο (Tsftss et al., ). Tη βάση των cellular automato models αποτελεί το πρότυπο των Nagel ad Schreckeberg (99), το οποίο συχνά αναφέρεται και ως NaSch model. Με βάση τη θεώρηση του συγκεκριµένου προτύπου, κάθε µόριο-όχηµα έχει ταχύτητα u η οποία είναι ακέραιος αριθµός και δύναται να κυµαίνεται από έως τη µέγιστη επιθυµητή ταχύτητα του οχήµατος u max. Η τιµή της ταχύτητας περιγράφει τον αριθµό των κελιών που δύναται να διανύσει ένα όχηµα σε ένα t. Το κάθε κελί δύναται να καταλαµβάνεται από ένα όχηµα και το µήκος του ορίζεται ίσο µε 7.5 µέτρα, τα οποία αντιστοιχούν στο µέσο µήκος ενός οχήµατος προσαυξηµένο µε απόσταση ασφαλείας από το προπορευόµενο όχηµα. Ο χρόνος χωρίζεται σε χρονικά βήµατα τα οποία δύναται να κυµαίνονται από.6 έως. δευτερόλεπτα, και αντιπροσωπεύουν τον χρόνο αντίδρασης του οδηγού. Η συνολική θέση, δηλαδή η ταχύτητα u και θέση x του οχήµατος για τη χρονική στιγµή t καταγράφεται και αποθηκεύεται και η ενηµερωµένη θέση για τη χρονική στιγµή t + υπολογίζεται από αυτήν. Τα cellular automato models αποτελούν πρότυπα διακριτού χρόνου και διακριτού χώρου, σε αντίθεση µε το πρότυπο του Gpps το οποίο είναι διακριτού χρόνου και συνεχούς χώρου. Η κίνηση των οχηµάτων περιγράφεται από τους παρακάτω κανόνες: Για το εξεταζόµενο όχηµα/κελί, µετράται ο αριθµός των άδειων κελιών «µπροστά» ( = gap) τη χρονική στιγµή t. Αν u > gap (ανεπαρκής χώρος µπροστά) τότε η ταχύτητα µειώνεται σε u : = gap. (κανόνας ) Αν όµως u < gap (αρκετός χώρος µπροστά) και u < umax, η ταχύτητα αυξάνεται κατά µία µονάδα: u : = u +. (κανόνας ) Τυχαιοποίηση (radomsato): Αν η ταχύτητα είναι µεγαλύτερη του µηδενός ( u > ), τότε, µε πιθανότητα p η ταχύτητα u µειώνεται κατά µία µονάδα. (κανόνας 3) Αναπαραγωγή µορίων: Το µόριο µετακινείται u κελιά µπροστά: x : = x + u (κανόνας 4) Η πρώτη ενέργεια µε βάση το µαθηµατικό πρότυπο είναι η ανεύρεση της θέσης του προπορευόµενου οχήµατος του εξεταζόµενου και ο υπολογισµός του χωρικού τους διαχωρισµού. Ο πρώτος κανόνας περιγράφει την επιβράδυνση του οχήµατος. Αν ο χωρικός διαχωρισµός των δύο οχηµάτων είναι τέτοιος ώστε µε την υπάρχουσα ταχύτητα του εξεταζόµενου οχήµατος να υπάρξει σύγκρουση, η νέα ταχύτητα εξισώνεται µε την τιµή του διαχωρισµού. Αντίστοιχα, ο δεύτερος κανόνας περιγράφει την επιτάχυνση του οχήµατος. Στην περίπτωση που η ταχύτητα του εξεταζόµενου οχήµατος είναι µικρότερη του χωρικού διαχωρισµού από το προπορευόµενο όχηµα, και η ταχύτητα του οχήµατος δύναται να αυξηθεί (είναι µικρότερη από τη µέγιστη επιθυµητή) αυξάνεται κατά µία µονάδα. Ο τρίτος κανόνας εισάγει το τυχαίο-στοχαστικό στοιχείο στο πρότυπο και περιγράφει διακυµάνσεις της ταχύτητας, υπερβολικές επιβραδύνσεις και καθυστερηµένες επιταχύνσεις φαινόµενα τα οποία παρατηρούνται και στην πραγµατική κίνηση των οχηµάτων. Χρησιµοποιώντας τιµή πιθανότητας p = το µαθηµατικό πρότυπο γίνεται προβλεπόµενο-ντετερµινιστικό. Τέλος, ο τέταρτος κανόνας περιγράφει τη µετακίνηση των οχηµάτων. Επισηµαίνεται ότι στα µεγέθη που χρησιµοποιούνται στο µαθηµατικό πρότυπο δεν αντιστοιχούν πραγµατικές µονάδες µέτρησης. Οι πραγµατικές µονάδες θα ήταν για το gap µονάδες µήκους και για το u µήκος/χρόνος και κατά συνέπεια τα δύο αυτά µεγέθη δεν θα µπορούσαν να συγκριθούν όπως γίνεται µε βάση τις παραπάνω εξισώσεις. Η κίνηση των οχηµάτων µε βάση τα cellular automato δεν είναι ιδιάτερα αντιπροσωπευτική της πραγµατικής κίνησης των οχηµάτων, παρ όλα αυτά τα πρότυπα αυτά θεωρούνται σηµαντικά γιατί σε µακροσκοπικό επίπεδο δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσµατα και ταυτόχρονα, ενώ αποτελούν µικροσκοπικά πρότυπα, ο χρόνος προσοµοίωσης είναι χαµηλός. Παράλληλα, έχουν προταθεί παραλλαγές σε κανόνες τους (πχ. στην επιτάχυνηση ή στην επιβράδυνση) έτσι ώστε να αποτυπώνουν την κίνηση των οχηµάτων µε περισσότερο ρεαλιστικό τρόπο. Στη βιβλιογραφία παρουσιάζεται µεγάλος αριθµός τέτοιων προτύπων (βλ. Barlovc et al, 998 Brlo & Wu, 999 Pottmeer et al., ). Με το πρότυπο τους οι Bham & Beekohal Αντωνίου και Σπυροπούλου

9 (4) επιχειρούν να προσδώσουν στο cellular automato model δυναµική πλησιέστερη σε αυτήν των προτύπων ακολουθούντος οχήµατος. Ανάλυση του cellular automato model Στην παρούσα ενότητα αναλύεται διεξοδικά το cellular automato model των Nagel και Schreckeberg, ώστε να αποτυπωθούν και να κατανοηθούν στοιχεία της δυναµικής του προτύπου. Παρόλο που το cellular automato model αποτελεί µικροσκοπικό πρότυπο, το πρότυπο NaSch θεωρεί ότι όλα τα οχήµατα έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά, δηλαδή ίδια µέγιστη ταχύτητα u max, ίδια µέγιστη επιτάχυνση (+κελί ανά ), την ίδια µέγιστη επιβράδυνσή του (από u max σε σε ένα ) και το ίδιο ενεργό µήκος (ίσο µε ένα κελί). Όπως προαναφέρθηκε, υπάρχουν παραλλαγές του προτύπου NaSch, στις οποίες το κάθε όχηµα µπορεί να έχει διαφορετικά χαρακτηριστικά. Η κίνηση µε βάση τους κανόνες αποτυπώνεται γραφικά στον Πίνακα.. Χώρος Χ ρ ό ν ο ς u = u = u = u =4 u = u = u =3 6 Εικόνα.4 Παράδειγµα προσοµοίωσης cellular automato model. u =3 u =4 Στο παρόν παράδειγµα εισάγεται στο δίκτυο τη χρονική στιγµή t= και στη θέση 3 όχηµα µε ταχύτητα u (t) = και αργότερα τη χρονική στιγµή t=4 και στη θέση όχηµα µε ταχύτητα u (t) =4. Η µέγιστη ταχύτητα του οχήµατος είναι 4 κελιά/ και η τιµή της πιθανότητας p.3. Για το ο όχηµα δεν υπάρχει κατάντη κάποιο προπορευόµενο όχηµα, κατά συνέπεια η κίνησή του γίνεται απρόσκοπτα και το gap είναι «άπειρο», άρα ο πρώτος κανόνας δεν εφαρµόζεται σε κανένα. Κατά συνέπεια, εφαρµόζονται οι υπόλοιποι τρεις κανόνες. Το ο όχηµα έχει προπορευόµενο όχηµα (το ο ) κατά συνέπεια εξετάζονται όλοι οι κανόνες. Ο 3 ος κανόνας εφαρµόζεται σε όλες τις περιπτώσεις για κάθε όχηµα και σε κάθε «γεννιέται» τυχαίος αριθµός z [,]. Στην περίπτωση που αριθµός αυτός είναι µικρότερος ή ίσος από την τιµή της πιθανότητας p, η ταχύτητα του οχήµατος µειώνεται, διαφορετικά παραµένει ίδια. Στην Εικόνα.4 περιγράφονται οι κανόνες σε κάθε χρονική στιγµή και για κάθε όχηµα. Αντωνίου και Σπυροπούλου 3

10 Οχήματα ο όχημα ο όχημα Χρόνος/ ος ος 3 ος 4 ος ος ος 3 ος 4 ος Κανόνες z=.6 u= x=3+ x= gap= (u=) z=.45 x= false u=u+= u= x=4 3 gap= (u=) z=.8 x= false u=u+= u= x=6 4 gap= (u=) z=.8 x= z=.7 x=+4 false u=u+=3 u=u-= x=8 u=4 x=5 5 gap= (u=) z=.6 x=8+3 gap= 8-5+= (u=4) z=.8 x=5+ false u=u+=3 u=3 x= u= false u= x=7 6 gap= (u=3) z=.38 x=+4 gap=-7+ =3 (u=) z=.37 x=7+3 false u=u+=4 u=4 x=5 false u=u+=3 u=3 x= Πίνακας. Παράδειγµα προσοµοίωσης cellular automato model. Εξετάζεται η δυναµική της κίνησης των οχηµάτων, όπως αυτή παρουσιάζεται γραφικά. Ενδεικτικό τρόπο αποτύπωσης αποτελεί η τροχιά (trajectory) των οχηµάτων, δηλαδή η θέση του κάθε οχήµατος στον χρόνο καθώς και η ταχύτητα του κάθε οχήµατος στον χρόνο. Στο παράδειγµα αυτό προσοµοιώνονται οχήµατα, το προσοµοίωσης είναι δλ και το µήκος του κελιού 7.5µ. Η µέγιστη ταχύτητα των οχηµάτων είναι 4 κελιά ανά βήµα προσοµοίωσης, το οποίο ισοδυναµεί µε 54χλµ/ώρα. Τα οχήµατα ξεκινούν τυχαία από το σηµείο x= και µε µηδενική ταχύτητα και οι Εικόνες.4 και.5 αποτυπώνουν τη θέση και την ταχύτητά τους στον χρόνο. 4 ταχύτητα (αρ. κελιών) Εικόνα.5 Ταχύτητα στον χρόνο (cellular automato model). Αντωνίου και Σπυροπούλου 4

11 8 θέση (αρ. κελιών) Εικόνα.6 Θέση στον χρόνο (cellular automato model). Η προσοµοίωση που απεικονίζεται στις Εικόνες.5 και.6 έχει γίνει µε την ντετερµινιστική µορφή του cellular automato, θέτωντας δηλαδή p=. Κατά συνέπεια, η ταχύτητα των οχηµάτων δεν µειώνεται, εκτός από την περίπτωση που κατάντη υπάρχει κάποιο όχηµα το οποίο κινείται µε χαµηλότερη ταχύτητα, κάτι το οποίο δεν συµβαίνει στο παρόν παράδειγµα, καθώς όλα τα οχήµατα έχουν την ίδια µέγιστη ταχύτητα. Τα οχήµατα ξεκινούν µε ταχύτητα ίση µε το, και στη συνέχεια αυξάνουν ταχύτητα µε ρυθµό κελί/, προσεγγίζοντας έτσι τη µέγιστη ταχύτητά τους (4κελιά/). Επισηµαίνεται ότι καθώς µε βάση το cellular automato model τόσο οι τιµές της ταχύτητας όσο και της θέσης των οχηµάτων είναι διακριτές (,,, 3, 4 για την ταχύτητα και τιµές πολλαπλάσιες του 7.5 για τη θέση), κατά συνέπεια τα διαγράµµατα θα έπρεπε να δείχνουν µόνο σηµεία και όχι γραµµές. Παρ όλα αυτά, χρησιµοποιείται η απεικόνισή τους σε γραµµές για να είναι περισσότερο κατανοητή..3. Μακροσκοπικά µαθηµατικά πρότυπα Τα µακροσκοπικά µαθηµατικά πρότυπα αντιµετωπίζουν την κυκλοφορία σε ένα συνολικό επίπεδο και βασίζονται στη θεώρηση ότι η συµπεριφορά της κίνησης εξαρτάται από τις συνθήκες του οδικού περιβάλλοντος και όχι από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των µονάδων του συνόλου ή την αλληλεπίδρασή τους. Θεµελιώδες µακροσκοπικό µαθηµατικό πρότυπο αποτελεί το κινηµατικό πρότυπο των Lghthll & Whtham (955) στο οποίο στηρίχθηκε ο σχεδιασµός πολλών µεταγενέστερων προτύπων. Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται το cell trasmsso model του Dagazo (994, 995) στο οποίο τα οχήµατα επιβεβαιώνουν την κινηµατική θεωρία που χαρακτηρίζει την κυκλοφοριακή ροή (Lghthll & Whtham, 955). Cell-trasmsso model Ο Dagazo το 994 ανέπτυξε το cell trasmsso model το οποίο περιγράφει την ανάπτυξη της κυκλοφορίας στον χώρο και στον χρόνο και παρουσιάζει φαινόµενα όπως ο σχηµατισµός, η επέκταση και η εκκένωση των ουρών σε κόµβους. Στη θεώρηση του συγκεκριµένου προτύπου το τµήµα οδού που εξετάζεται αποτελείται από σειρά κελιών. Το µήκος των κελιών προκαθορίζεται µε βάση την ταχύτητα ελεύθερης ροής των οχηµάτων και την τιµή του χρονικού βήµατος υπολογισµού. Πιο συγκεκριµένα, το µήκος του κάθε κελιού ισούται µε την απόσταση που διανύει ένα όχηµα που κινείται µε ταχύτητα ελεύθερης ροής σε ένα χρονικό βήµα. Κατά συνέπεια, σε συνθήκες ελεύθερης ροής όλα τα οχήµατα που βρίσκονται στο εξεταζόµενο κελί προχωρούν στο επόµενο κελί, το οποίο περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: + ( t + ) =, όπου (.9) (t) : πλήθος οχηµάτων στο κελί τη χρονική στιγµή t. Αντωνίου και Σπυροπούλου 5

12 Σε περίπτωση µη ελεύθερης ροής, παρουσιάζεται σχηµατισµός ουρών και το µέγεθος των οχηµάτων που µπορούν να προχωρήσουν από ένα κελί στο επόµενο εξαρτάται και από τον ελεύθερο χώρο που υπάρχει στο επόµενο κελί. Κατά συνέπεια, εισάγονται δύο νέα µεγέθη. Το πρώτο περιγράφει τη µέγιστη χωρητικότητα του κελιού (t), και το δεύτερο περιγράφει τη µέγιστη ικανότητα κυκλοφορίας από το ένα N κελί ( ) στο επόµενο ( ), ή αλλιώς τη ροή κορεσµού Q (t). Το πλήθος των οχηµάτων y (t) που δύναται να κινηθεί από το κελί στο κελί από τη χρονική στιγµή t τη χρονική στιγµή t +, είναι το µικρότερο από τα παρακάτω µεγέθη: ( ) : οχήµατα στο κελί τη χρονική στιγµή t, t Q (t): µέγιστη ροή στο κελί τη χρονική στιγµή t, N : ελεύθερος χώρος στο κελί τη χρονική στιγµή t. Κατά συνέπεια, ο αριθµός οχηµάτων που καταλαµβάνουν ένα κελί τη χρονική στιγµή t + ισούται µε των αριθµό οχηµάτων που καταλαµβάνουν το κελί τη χρονική στιγµή t προσαυξηµένο µε τη ροή εισόδου y (t) και αφαιρώντας τη ροή εξόδου ( ). Η θεώρηση αυτή περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: y + t t + ) = + y y ( ), όπου η ροή y (t) ισούται µε : (.) + ( + t {, Q, N ( )} y = m t (.).4. Μεσοσκοπικά µαθηµατικά πρότυπα Τα µεσοσκοπικά µαθηµατικά πρότυπα είναι πρότυπα τα οποία δεν είναι ούτε µικροσκοπικά ούτε µακροσκοπικά, αλλά κάτι ενδιάµεσο. Περιγράφουν την κίνηση των οχηµάτων µε απλό τρόπο, αλλά χρησιµοποιούν επιπρόσθετες διορθώσεις για τις απλουστεύσεις που υιοθετούν [7]. Χαρακτηριστικό παράδειγµα µεσοσκοπικού προτύπου αποτελεί το µαθηµατικό πρότυπο κυκλοφοριακής ροής του TRANSYT, το οποίο αποτελεί πρόγραµµα προσοµοίωσης της κυκλοφορίας, µε βάση το οποίο η ανάλυση της κίνησης πραγµατοποιείται σε συνολικό και όχι µοναδιαίο επίπεδο. Για τον υπολογισµό της µέσης καθυστέρησης όµως χρησιµοποιούνται επιπλέον εξισώσεις ώστε να διορθωθούν οι απλουστεύσεις κατά την ανάλυση της κίνησης. Ως παράδειγµα µεσοσκοπικού µαθηµατικού προτύπου περιγράφεται σε αυτή την ενότητα το µαθηµατικό πρότυπο κυκλοφοριακής ροής TRANSYT. TRANSYT Η περιγραφή της κίνησης των οχηµάτων µε βάση τη θεώρηση του µαθηµατικού προτύπου TRANSYT, το οποίο αναπτύχθηκε από τον Robertso το 969, γίνεται σε µακροσκοπικό επίπεδο και πραγµατοποιείται µε χρήση των παρακάτω προφίλ κυκλοφοριακών ροών:. Το κυκλοφοριακό προφίλ αφίξεων (IN profle), το οποίο περιγράφει τις αφίξεις ανάντη από την εξεταζόµενη γραµµή στάσης του κόµβου.. Το κυκλοφοριακό προφίλ αναχωρήσεων (OUT profle), το οποίο περιγράφει τις αναχωρήσεις από την εξεταζόµενη γραµµή στάσης του κόµβου. 3. Το κυκλοφοριακό προφίλ κορεσµού (GO profle), το οποίο περιγράφει τον κυκλοφοριακό φόρτο που θα αναχωρούσε από την εξεταζόµενη γραµµή στάσης του κόµβου αν υπήρχε αρκετός φόρτος ώστε να είναι κορεσµένη η πράσινη ένδειξη. Αντωνίου και Σπυροπούλου 6

13 Η εξίσωση η οποία περιγράφει την κίνηση της κυκλοφορίας είναι µια επαναληπτική εξίσωση και είναι η ακόλουθη: q, όπου (.) ' ' ( + t) = Fq + ( F) q( + t ) ' q : q : η κυκλοφοριακή ροή στο του προφίλ των εισερχόµενων οχηµάτων στο εξεταζόµενο οδικό τµήµα η κυκλοφοριακή ροή στο που εισέρχεται στο ανάντη τµήµα του εξεταζόµενου οδικού τµήµατος t : α του µέσου χρόνου διαδροµής (σε βήµατα) κατά µήκος του εξεταζόµενου οδικού τµήµατος F : συντελεστής οµαλοποίησης, ο οποίος ισούται µε + β t Οι συντελεστές α και β είναι εµπειρικοί συντελεστές και δύναται να πάρουν διάφορες τιµές ανάλογα µε τις ανάγκες τις προσοµοίωσης για την οποία χρησιµοποιείται το µαθηµατικό αυτό πρότυπο. Οι αρχικές τιµές που δίνονται είναι α =.8 ad β =.35 [9]. Ο αριθµός των οχηµάτων τα οποία σχηµατίζουν ουρά στη γραµµή στάσης, µε βάση τα οποία προκύπτει το κυκλοφοριακό προφίλ της ουράς αναµονής, υπολογίζονται από την παρακάτω σχέση: ' m = max(, m + q s ), όπου (.3) m : ' q : s : ο αριθµός των οχηµάτων σε ουρά στο ο αριθµός των οχηµάτων που αφικνούνται στη γραµµή στάσης στο (IN profle) ο µέγιστος αριθµός οχηµάτων που δύναται να αναχωρήσει από τη γραµµή στάσης στο (GO profle) Επισηµαίνεται ότι η ουρά που υπολογίζεται αποτελείται από οχήµατα τα οποία µπαίνουν στην ουρά όταν φτάσουν στο κατάντη άκρο του συνδέσµου, κατά συνέπεια η ουρά αυτή δεν έχει φυσικό µήκος και ονοµάζεται κατακόρυφη ουρά (vertcal queue). Τέλος, ο αριθµός των οχηµάτων που αναχωρεί από την γραµµή στάσης x στο είναι: x ' = m + q m (.4) Κατ αυτόν τον τρόπο υπολογίζονται οι τιµές του προφίλ αναχωρήσεων. Στο µεσοσκοπικό µαθηµατικό πρότυπο του TRANSYT χρησιµοποιούνται επιπρόσθετες σχέσεις για τη διόρθωση του µεγέθους της συνολικής µέσης καθυστέρησης. Η συνολική µέση καθυστέρηση, που αφορά το άθροισµα της τυχαίας καθυστέρησης και της καθυστέρησης υπερκορεσµού, σε ένα εξεταζόµενο οδικό τµήµα, ισούται µε το άθροισµα αυτής που προκύπτει µέσω του κυκλοφοριακού προφίλ της ουράς αναµονής και της ακόλουθης: τυχαια καθυστέρησ η και καθυστέρηση υπερκορεσµου = / T 4 f = ( f F) + + ( f F), όπου (.5) 4 T f : η µέση ροή αφίξεων στο εξεταζόµενο οδικό τµήµα (ΜΕΑ/ώρα) Αντωνίου και Σπυροπούλου 7

14 F : T : η µέγιστη ροή (ροή κορεσµού), που µπορεί να αναχωρήσει από τη γραµµή στάσης (ΜΕΑ/ώρα) η διάρκεια των συνθηκών ροής για την οποία εξετάζεται η σηµατοδοτική ρύθµιση (ώρες) Ανάλυση του TRANSYT Στην παρούσα ενότητα αναλύεται διεξοδικά το πρότυπο TRANSYT, ώστε να αποτυπωθούν και να κατανοηθούν στοιχεία της δυναµικής του προτύπου. Το πρότυπο TRANSYT είναι µεσοσκοπικό, και η προσέγγισή του όσον αφορά στο επίπεδο ανάλυσης όπως προαναφέρθηκε είναι µακροσκοπική. Οι µεταβλητές του προτύπου είναι η µέση ταχύτητα κίνησης των οχηµάτων σε συνθήκες ελεύθερης ροής από την οποία υπολογίζεται το t (µέσος χρόνος διαδροµής στο εξεταζόµενο τµήµα), το προσοµοίωσης καθώς και η ροή κορεσµού του εξεταζόµενου τµήµατος s που αποτελεί το GO profle. Το πρότυπο θα πρέπει να βαθµονοµείται, και οι αρχικές τιµές που προέκυψαν από τους Vcet et al (98) είναι α =.8 ad β =.35. Το TRANSYT είναι πρότυπο διακριτού χρόνου και οι εξισώσεις του εφαρµόζονται σε κάθε, αλλά δεν εµπεριέχει την έννοια του χώρου. Πραγµατοποιείται δηλαδή η µετακίνηση κυκλοφοριακού φόρτου από την αρχή (ανάντη άκρο) ενός οδικού τµήµατος/συνδέσµου στο κατάντη άκρο του, χωρίς όµως να δίνεται πληροφόρηση για το τι γίνεται και που βρίσκονται τα οχήµατα εντός του συνδέσµου. Αρχικά εξετάζεται η δυναµική της κίνησης των οχηµάτων, όπως αυτή παρουσιάζεται γραφικά. Ενδεικτικό τρόπο αποτύπωσης αποτελεί η τροχιά (trajectory) των οχηµάτων, δηλαδή η θέση του κάθε οχήµατος στον χρόνο καθώς και η ταχύτητα του κάθε οχήµατος στον χρόνο. Στο παράδειγµα αυτό, το της προσοµοίωσης είναι δλ και προσοµοιώνεται η κίνηση οχηµάτων σε οδικό τµήµα µήκους µ, µε µέση ταχύτητα κίνησης 6 χλµ./ώρα. Κατά συνέπεια υπολογίζεται µέσος χρόνος διαδροµής 9.6δλ. Στην Εικόνα.7 παρουσιάζονται οι αφίξεις µεµονωµένων οχηµάτων στο ανάντη άκρο του συνδέσµου και το προφιλ IN, στο οποίο έχει υπάρξει οµαλοποίηση των αφίξεων µε βάση τον τύπο.. Αντωνίου και Σπυροπούλου 8

15 . αφίξεις αφίξεις IN Εικόνα.7 Προφίλ αφίξεων και IN TRANSYT model. Επισηµαίνεται ότι οι αφίξεις µπορούν να αφορούν σε ένα όχηµα δεν χρειάζεται απαραίτητα να είναι µακροσκοπικό µέγεθος αλλά στη συνέχεια µετατρέπονται σε κυκλοφοριακό φόρτο. Επιπλέον, ο χρόνος από τη στιγµή της άφιξης του ου οχήµατος µέχρι τη στιγµή που εµφανίζεται κυκλοφοριακός φόρτος στο προφίλ IN αποτελεί τον χρόνο διάνυσης του συνδέσµου που προσοµοιώνεται (στο παρόν παράδειγµα βήµατα προσοµοίωσης). Στην Εικόνα.8 παρουσιάζονται τα προφίλ IN, GO και OUT και QUEUE. Το προφίλ GO αποτελεί ισούται µε τον µέγιστο κυκλοφοριακό φόρτο που δύναται να αναχωρήσει από τη διατοµή, στην περίπτωση προσοµοίωσης διατοµής που έχει προτεραιότητα ισούται σε κάθε µε τη ροή κορεσµού. Στο παρόν παράδειγµα, η ροή κορεσµού ισούται µε 3.ΜΕΑ/ώρα..8 αφίξεις.6.4. IN GO OUT QUEUE Εικόνα.8 Προφίλ IN, GO, OUT, QUEUE TRANSYT model. Στο παρόν παράδειγµα, ο κυκλοφοριακός φόρτος που αφικνείται στο κατάντη άκρο του συνδέσµου (προφίλ IN) αναχωρεί (προφίλ OUT), καθώς είναι χαµηλότερος της ροής κορεσµού (προφίλ GO). Κατά συνέπεια, δεν δηµιουργείται ουρά αναµονής (προφίλ QUEUE) σε κανένα της προσοµοίωσης. Στην περίπτωση που η ροή κορεσµού ήταν πιο χαµηλή (π.χ. 55ΜΕΑ/ώρα) θα είχαµε δηµιουργία ουρών αναµονής όπως αποτυπώνεται στην Εικόνα.9. Αντωνίου και Σπυροπούλου 9

16 .8 αφίξεις.6.4. IN GO OUT QUEUE Εικόνα.9 Προφίλ IN, GO, OUT, QUEUE περίπτωση υψηλού φόρτου TRANSYT model. Όσο η τιµή του προφίλ IN είναι χαµηλότερη από τη χωρητικότητα της διατοµής, δηλαδή από το προφίλ GO, όσα οχήµατα αφικνύονται στο κατάντη άκρο του συνδέσµου αναχωρούν, τα δύο προφίλ IN και GO ταυτίζονται. Στο 5 το IN είναι µεγαλύτερο από το GO, κατά συνέπεια ο κυκλοφοριακός φόρτος που αναχωρεί (OUT) ισούται µε τη µέγιστη χωρητικότητα (GO) και ο κυκλοφοριακός φόρτος που εναποµένει δηµιουργεί ουρά αναµονής (QUEUE). Η ουρά αναµονής θα µειώνεται όσο µειώνεται το IN σε σχέση µε το GO. Βιβλιογραφικές αναφορές Barcelo, J. & Ferrer, J.L. (994). Mcroscopc smulato of vehcle gudace systems wth AIMSUN. XIIIth Euro Coferece, Glasgow. Bham G.H., & Beekohal, R.F. (4). A hgh fdelty traffc smulato model based o cellular automata ad car-followg cocepts. Trasportato Research Part C,, -3. Barlovc, R., Sate, L., Schadscheder, A., & Schreckeberg, M. (998). Metastable states cellular automata. Eur. Phys. J. B 5(3), Brlo, W., Wu, N. (999). Evaluato of Cellular automato for Traffc Flow Smulato o Freeway ad Urba Streets. I W. Brlo, F. Huber, M. Schreckeberg, H. Walletowtz (eds.), Traffc ad Moblty, pp Berl: Sprger Verlag. Brockfeld, E., R., Barlovc, A., Schadscheder & M., Schreckeberg (). Optmzg traffc lghts a cellular automato model for cty traffc. Physcal Revew E,, Vol. 64, 563. Burstedde, C., Klauck, K., Schadscheder, A., & Zttartz, J. (). Smulato of pedestra dyamcs usg a two-dmesoal cellular automato. Physca A: Statstcal Mechacs ad ts Applcatos, 95, 3-4, Chadler, R.E., Herma, R. & Motroll, E.W. (958). Traffc dyamcs; studes car followg. Operatos Research, 6, Dagazo, C.F. (994). The cell trasmsso model: a dyamc represetato of hghway traffc cosstet wth the hydrodyamc theory. Trasportato Research Part B, 8(4), Dagazo, C.F. (995). The cell trasmsso model, part II: etwork traffc. Trasportato Research Part B, 9(), Αντωνίου και Σπυροπούλου

17 Deo, P., & H. J., Rusk (6). Smulato of Heterogeeous Motorsed Traffc at a Sgalsed Itersecto. I Proceedgs of the 7th Iteratoal Coferece o Cellular Automata, for Research ad Idustry. Forbes T.W. (963). Huma Factor Cosderato Traffc Flow Theory. Hghway Research Board Record 5.. Washgto D.C.:HRB. Gazs, D.C., Herma, R. & Potts, R.B. (959). Car-followg theory of steady-state traffc flow. Operatos Research, 7, Gazs, D.C., Herma, R. & Rothery, R. (96). No-lear follow-the-leader models of traffc flow. Operatos Research, 9, Gpps, P.G. (98). A behavoural car-followg model for computer smulato. Trasportato Research, 5B, 5-. Gpps, P.G. (986). A model for the structure of lae-chagg decsos. Trasportato Research, B(5), Gpps, P.G. (986). Multsm: a model for smulatg vehcular traffc o mult-lae arteral roads. Mathematcs ad Computers Smulato, 8(4), Herma, R., Motroll, E.W., Potts, R.B. & Rothery, R.W. (959). Traffc Dyamcs: Aalyss of Stablty Car Followg. Operatos Research, 7, Herma, R. & Potts, R.B. (96). Sgle-lae traffc theory ad expermet Theory of Traffc Flow, edted by R. Herma, Amsterdam: Elsever, -46. Lghthll, M.J. & Whtham, G.B. (955). O kematc waves II. A theory of flow o log crowded roads. Proceedgs of the Royal Socety, 9A, La, L.W., & Chag, C.-W. (5). Ihomogeeous cellular automata modelg for mxed traffc wth cars ad motorcycles. Joural of Advaced Trasportato, 39,3, L, F., Z.-Y., Gao, & B., Ja (7). Traffc behavor the o-ramp system wth sgal cotrollg. Physca A,, Vol. 385, No., Lgthhll, M.J. & Whtham, G.B. (955). O kematc waves II. A theory of flow o log crowded roads. Proceedgs of the Royal Socety, 9A, Nagel, K., & Schreckeberg, M. (99). A cellular automato model for freeway traffc. Joural de Physque I,, -9. Newell, G.F. (96). Nolear effects the dyamcs of car-followg. Operatos Research, 9, 9-9. Ppes, L.A. (953). A operatoal aalyss of traffc dyamcs. Joural of Appled Physcs, 4, Pottmeer, A., Barlovc, R., Kospe, W., Schadscheder, A., & Schreckeberg M. (). Localzed defects a cellular automato model for traffc flow wth phase separato. Physca A, 38, Robertso, D. (969). TRANSYT a traffc etwork study tool. TRRL Laboratory Report, LR 53. Crowthore: Trasport ad Road Research Laboratory. Schadscheder, A. (6). Cellular automata models of hghway traffc, Physca A,, Vol. 37, No., 4-5. Spyropoulou, I. (7a). Smulato usg Gpps car-followg model A -depth aalyss. Trasportmetrca, 3,3, Spyropoulou, I. (7b). Modellg a sgal cotrolled traffc stream usg cellular automata. Trasportato Research Part C, Vol. 5, No. 3, Spyropoulou, I. & Dmtrou, L. (9). A mcroscopc traffc model for corporatg motorcycle movemet urba areas. Proceedgs of the 88th TRB Aual Sesso, Washgto D.C., Jauary. Tsftss, A., Srakouls, G.Ch., & Lygouras, J. (). FPGA desg of a cellular automato model for ralway traffc flow wth GPS module. Lecture Notes Computer Scece, 635, Αντωνίου και Σπυροπούλου

18 Vcet, R.A., Mtchell, A.I, & Robertso, D.D. (98). User gude to TRANSYT verso 8. TRRL Laboratory Report, LR 888. Crowthore: Trasport ad Road Research Laboratory. Wag, R., & H. J., Rusk (). Modelg traffc flow at a sgle-lae urba roudabout. Computer Physcs Commucatos,, Vol. 47, No. -, Wlso R.E. (). A aalyss of Gpps's car-followg model of hghway traffc. IMA Joural of Appled Mathematcs (Isttute of Mathematcs ad Its Applcatos), 66(5), Zhag, Y., H., Dua, & Y., Zhag (7). Modelg Mxed Traffc Flow at Crosswalks Mcro-Smulatos Usg Cellular Automata. Tsghua Scece & Techology, Vol., No., 4-. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Προσοµοιώσετε 9 οχήµατα µε το πρότυπο του Gpps, οι ιδιότητες των οποίων περιγράφονται στον παρακάτω πίνακα για 8δλ. Όχημα Χρονική στγμή x (t) u (t) V a s εισαγωγής Πίνακας. Παράδειγµα προσοµοίωσης πρότυπο Gpps ΚΑ. Απάντηση/Λύση Θα πρέπει να σας προκύψουν τα παρακάτω διαγράµµατα: Αντωνίου και Σπυροπούλου

19 5 ταχύτητα (µ/δλ) Εικόνα. Ταχύτητα στο χρόνο (πρότυπο Gpps) ΚΑ. θέση (µ) Εικόνα. Θέση στο χρόνο (πρότυπο Gpps) ΚΑ. Κριτήριο αξιολόγησης Προσοµοιώσετε 9 οχήµατα (για 8δλ) µε το πρότυπο του Gpps, οι ιδιότητες των οποίων περιγράφονται στον παρακάτω πίνακα, θεωρώντας στη θέση 3µ υπάρχει φωτεινός σηµατοδότης η φωτεινή ένδειξη του οποίου είναι κόκκινο στις χρονικές στιγµές t=5-59. Αντωνίου και Σπυροπούλου 3

20 Όχημα Χρονική στγμή x (t) u (t) V a s εισαγωγής Πίνακας.3 Παράδειγµα προσοµοίωσης πρότυπο Gpps ΚΑ. Απάντηση/Λύση Θα πρέπει να σας προκύψουν τα παρακάτω διαγράµµατα: 5 ταχύτητα (µ/δλ) Εικόνα.Ταχύτητα στο χρόνο (πρότυπο Gpps) ΚΑ. Αντωνίου και Σπυροπούλου 4

21 θέση (µ) Εικόνα.3 Ταχύτητα στο χρόνο (πρότυπο Gpps) ΚΑ. Κριτήριο αξιολόγησης 3 Προσοµοιώστε την κίνηση οχηµάτων σε οδικό τµήµα µ, µε ταχύτητα ελεύθερης ροής 6χλµ/ώρα. Στο κατάντη άκρο του τµήµατος υπάρχει φωτεινός σηµατοδότης µε περίοδο 5δλ. Χρησιµοποιείστε προσοµοίωσης δλ και προσοµοιώστε κύκλους φωτεινής σηµατοδότησης. Οι χρονικές στιγµές άφιξης των οχηµάτων αναγράφονται στον παρακάτω Πίνακα. Η ένδειξη του φωτεινού σηµατοδότη είναι «κόκκινο» για τα χρονικά βήµατα -8, 3-33 και 48-5 και «πράσινο» για τα χρονικά βήµατα 9- και Η ροή κορεσµού είναι 3ΜΕΑ/ώρα πρασίνου. Χρονική στιγµή Αφίξεις οχηµάτων Χρονική στιγµή Αφίξεις οχηµάτων Χρονική στιγµή Αφίξεις οχηµάτων Χρονική στιγµή Αφίξεις οχηµάτων Πίνακας.4 Παράδειγµα προσοµοίωσης πρότυπο TRANSYT ΚΑ3. Απάντηση/Λύση Θα πρέπει να σας προκύψει το παρακάτω διάγραµµα: Αντωνίου και Σπυροπούλου 5

22 κυκλ. φόρτος (οχήµατα) IN GO OUT QUEUE Εικόνα.4 Προφίλ IN, GO, OUT και QUEUE (πρότυπο TRANSYT) ΚΑ3. Αντωνίου και Σπυροπούλου 6