ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΜΙΚΡΟΦΥΣΑΛΙΔΑΣ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΤΟΙΧΩΜΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΙΞΩΔΗ ΡΟΗ

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΜΙΚΡΟΦΥΣΑΛΙΔΑΣ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΤΟΙΧΩΜΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΙΞΩΔΗ ΡΟΗ Μ. Βλαχομήτρου, Ν. Πελεκάσης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η κατανόηση της δυναμικής συμπεριφοράς των μικροφυσαλίδων με ελαστικό τοίχωμα (τύπου conras agen) είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς αφορούν σε αρκετές τεχνολογικές εφαρμογές (π.χ. στοχευμένη χορήγηση φαρμάκων, ιατρική απεικόνιση ζωτικών οργάνων κ.α.). Στην παρούσα εργασία αναπτύχθηκε αριθμητική μεθοδολογία για τη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς φυσαλίδας όταν λαμβάνονται υπόψη οι ιξώδεις δυνάμεις του υγρού που την περιβάλλει. Αρχικά, μελετήθηκε φυσαλίδα που βρίσκεται μέσα σε μη περιορισμένη ροή και στη συνέχεια η μεθοδολογία επεκτάθηκε ώστε να μελετηθεί η αλληλεπίδραση της με στερεό τοίχωμα και να διευκρινιστεί ο ρόλος των ιξωδών τάσεων του υγρού που αναπτύσσονται κοντά στο τοίχωμα. Για την αριθμητική προσομοίωση της ροής επιλύονται σε αξονική συμμετρία οι εξισώσεις συνέχειας και Νavier-Sokes, ενώ στη διεπιφάνεια της φυσαλίδας εφαρμόζονται το ισοζύγιο δυνάμεων και η κινηματική συνθήκη. Η ιξωδοελαστική συμπεριφορά των μικροφυσαλίδων τύπου conras agen περιγράφεται μέσω του καταστατικού νόμου Moone-Rivlin, ενώ το μοντέλο που χρησιμοποιείται για την περιγραφή τους συμπεριλαμβάνει, εκτός από τις ιξοδωελαστικές τάσεις, και τις δυνάμεις καμπτικής αντίστασης του κελύφους. Η αριθμητική επίλυση του προβλήματος βασίζεται στη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων χρησιμοποιώντας ένα υβριδικό σχήμα που συνδυάζει τη χρήση διδιάστατων λαγκρανζιανών συναρτήσεων για την προσομοίωση του υγρού και μονοδιάστατων κυβικών συναρτήσεων splines για την περιγραφή του σχήματος της διεπιφάνειας. Για τη μελέτη των φυσαλίδων με ελαστική μεμβράνη, η χρήση των συναρτήσεων splines είναι αναγκαία αφού στο ισοζύγιο δυνάμεων υπεισέρχεται παράγωγος τέταρτης τάξης μέσω του όρου που αντιστοιχεί στην αντίσταση κάμψης. Το αριθμητικό πλέγμα κατασκευάζεται με τη βοήθεια της μεθόδου spine η οποία βασίζεται στην εισαγωγή κατάλληλων μετασχηματισμών με στόχο να μετατραπεί το πολύπλοκο φυσικό πεδίο σε ένα ορθογώνιο υπολογιστικό πεδίο. Αρχικά, μελετώνται conras agens που βρίσκονται μέσα σε μη περιορισμένη ροή και διαπιστώνεται ο σταθεροποιητικός ρόλος του ιξώδους του υγρού. Πιο συγκεκριμένα, παρατηρούμε ότι απαιτείται μεγαλύτερο πλάτος ακουστικής διαταραχής για να παρατηρηθεί κατάρρευση της φυσαλίδας, ενώ, σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι εφικτή μια μόνιμη κατάσταση μη σφαιρικού σχήματος, καθώς το ιξώδες απορροφά ενέργεια που διαφορετικά θα αποδιδόταν στις ιδιοτιμές σχήματος και με τον τρόπο αυτό συμβάλει στον κορεσμό τους. Όσον αφορά στην αλληλεπίδραση της φυσαλίδας με στερεό τοίχωμα διαπιστώνεται ότι το τοίχωμα δρα αποσταθεροποιητικά και επιταχύνει την εμφάνιση των ιδιομορφών σχήματος. Για βηματικές διαταραχές παρατηρείται ότι με την πάροδο του χρόνου, και πάνω από ένα κατώφλι πλάτους, καταγράφεται στατικός λυγισμός και διαπιστώνεται ότι η παρουσία του τοιχώματος αφενός επιταχύνει την εμφάνιση του λυγισμού και αφετέρου μεταβάλει ελαφρώς την σειρά εμφάνισης των ιδιομορφών σχήματος. Μειώνοντας την απόσταση μεταξύ της φυσαλίδας και του τοιχώματος παρατηρούμε τόσο την γρηγορότερη εμφάνιση του στατικού λυγισμού, όσο και την επικράτηση διαφορετικής ιδιομορφής σχήματος. Για ακουστικές διαταραχές η φυσαλίδα ταλαντώνεται με τη συχνότητα της εξωτερικής διαταραχής, η οποία επικρατεί έναντι της ιδιοσυχνότητας της φυσαλίδας ενώ παραμορφώνεται λόγω υποαρμονικού συντονισμού. Όταν η φυσαλίδα πλησιάζει αρκετά κοντά στο τοίχωμα το ιξώδες του υγρού αντιστέκεται στην κίνηση της και το σχήμα της γίνεται ευθύγραμμο και πλατύ στον κάτω πόλο σαν αποτέλεσμα της τοπικής αύξησης της πίεσης λόγω λίπανσης. Η προσομοίωση σταματά σε αυτό το σημείο λόγω της εμφάνισης συνθηκών λυγισμού. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι περισσότερες αριθμητικές μελέτες που υπάρχουν στη βιβλιογραφία και αφορούν στην αλληλεπίδραση στερεού τοιχώματος με φυσαλίδα επικεντρώνονται σε ελεύθερες φυσαλίδες μέσα σε άτριβη ροή [1-3]. Σε μια προσπάθεια να προσδιοριστεί η επίδραση του ιξώδους του ρευστού που περιβάλει μια φυσαλίδα, οι Τσιγκλιφής και Πελεκάσης [4] μελέτησαν τη συμπεριφορά ελεύθερης φυσαλίδας μέσα σε μη περιορισμένη ροή και συμπεριέλαβαν την ασθενή επίδραση των ιξωδών δυνάμεων του υγρού ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις κίνησης στο οριακό στρώμα ρευστού που σχηματίζεται στην περιοχή πολύ κοντά γύρω από τη φυσαλίδα. Επίσης, οι Popine και Zaleski [5] μελέτησαν αριθμητικά την επίδραση του ιξώδους όταν ελεύθερη φυσαλίδα καταρρέει κοντά σε στερεό τοίχωμα και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η ταχύτητα του je που σχηματίζεται μειώνεται με την αύξηση του ιξώδους, ενώ πάνω από μια κρίσιμη τιμή ιξώδους η δημιουργία je είναι αδύνατη.

2 Για την περίπτωση μικροφυσαλίδων με ελαστικό περίβλημα υπάρχουν στην βιβλιογραφία πειραματικές μελέτες που αναφέρουν ότι η παρουσία του τοιχώματος μπορεί να επιταχύνει την ανάπτυξη διεπιφανειακών ασταθειών και να οδηγήσει σε δημιουργία je και κατάρρευση της φυσαλίδας [6, 7]. Οι υπάρχουσες αριθμητικές μελέτες στο πεδίο αυτό είναι σχετικά περιορισμένες. Οι Liu e al. [8] μελέτησαν αριθμητικά τις ταλαντώσεις σχήματος ελαστικής φυσαλίδας που βρίσκεται μέσα σε μη περιορισμένη ροή και υπακούει στον Moone-Rivlin καταστατικό νόμο επιλύοντας τις εξισώσεις Navier-Sokes και συνέχειας με τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων. Οι Doinikov e al. [9] χρησιμοποίησαν την εξίσωση της ακτινικής ταλάντωσης ελαστικής μικροφυσαλίδας για να προσομοιώσουν τη συμπεριφορά ενός στρώματος μικροφυσαλίδων που βρίσκεται τοπικά πάνω στο τοίχωμα. Άλλες μελέτες επικεντρώνονται στην διερεύνηση της συμπεριφοράς ελεύθερων φυσαλίδων [1-11] ή φυσαλίδων τύπου conras agens[1] μέσα σε μικρο-αγγεία. ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στην παρούσα εργασία μελετάμε την δυναμική συμπεριφορά ελαστικής μικροφυσαλίδας αρχικής ακτίνας R η οποία βρίσκεται βυθισμένη σε ρευστό πυκνότητας ρ και ιξώδους μ. Θεωρούμε δυο περιπτώσεις: απεριόριστη ροή και ροή περιορισμένη από στερεό τοίχωμα και μελετάμε την απόκριση της φυσαλίδας σε διαταραχή που επιβάλλεται στο πεδίο της πίεσης μακριά από τη φυσαλίδα. Το πρόβλημα της φυσαλίδας η οποία βρίσκεται βυθισμένη σε μη περιορισμένη ροή περιγράφεται με σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ για την περίπτωση που η ροή περιορίζεται από στερεό τοίχωμα χρησιμοποιείται κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Στο Σχήμα 1 δίνεται μια σχηματική αναπαράσταση των δύο περιπτώσεων που μελετώνται. Η ροή του υγρού περιγράφεται από τις εξισώσεις συνέχειας και Navier-Sokes, οι οποίες σε αδιάστατη μορφή είναι: u (1) όπου Re R f o αριθμός Renolds της ροής που συγκρίνει τις αδρανειακές με τις ιξώδεις δυνάμεις. Το ισοζύγιο δυνάμεων στην διεπιφάνεια έχει τη μορφή: u 1 () u u p Re 1() s n n km 1 PI n P l G n F n s el s I el Re We We We όπου n είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα με φορά προς το εσωτερικό του υγρού, I, l ο μοναδιαίος και αποκλίνων τανυστής τάσεων του υγρού αντίστοιχα, P G η πίεση στο εσωτερικό της φυσαλίδας, s, km η 3 επιφανειακή κλίση και η μέση καμπυλότητα της διεπιφάνειας αντίστοιχα και W e f R / ο αριθμός Weber που συγκρίνει τις αδρανειακές με τις τριχοειδείς δυνάμεις. Τέλος, s el είναι η δύναμη λόγω των ιξωδοελαστικών ιδιοτήτων της μεμβράνης, η οποία σύμφωνα με τη θεωρία των ελαστικών κελυφών είναι : 1 s 1 r (4) s el ks s k ()() r q n s ksq es r S S r S όπου s, οι τάσεις στις κύριες κατευθύνσεις, es το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα, r ίσο με r sin για το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων και r r για το κυλινδρικό. Τέλος, q είναι η εγκάρσια διατμητική τάση που προκύπτει από το ισοζύγιο ροπών πάνω στην μεμβράνη [13,14]: 1 r q () r (5) ms m r S r όπου ms, m είναι οι κυρίες ροπές κάμψης. Οι ποσότητες s,, ms και m καθορίζονται από τον καταστατικό νόμο της μεμβράνης. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιείται ο Moone-Rivlin καταστατικός νόμος ο οποίος περιγράφει υλικά τα οποία είναι πολύ λεπτά, ισοτροπικά, ασυμπίεστα σε όγκο και έχουν συμπεριφορά ψευδοπλαστικών υλικών. Στην διεπιφάνεια, εκτός από το ισοζύγιο δυνάμεων επιβάλλεται και η κινηματική συνθήκη: DR u (6) D όπου R το διάνυσμα θέσης της διεπιφάνειας. Στην κατάσταση ισορροπίας η αδιάστατη πίεση, P G, στο εσωτερικό της φυσαλίδας συνδέεται με την αδιάστατη πίεση,, στο πεδίο ροής μακριά από τη φυσαλίδα μέσω της εξίσωσης Young-Laplace: P s () (3)

3 Σχήμα 1. (α) φυσαλίδα σε μη περιορισμένη ροή και (β) αλληλεπίδραση φυσαλίδας με στερεό τοίχωμα. ' ' ' s dis z ' ' ' s dis Liquid ρ, μ f (,) 1 Gas ' R ' R Gas f (,) 1 Liquid ρ, μ ' ' ' P P s P dis θ=π θ= PG Ps We (7) Η πίεση στο εσωτερικό της φυσαλίδας θεωρείται ομοιόμορφη λόγω της πολύ μικρής πυκνότητας και του μικρού κινηματικού ιξώδους του αερίου. Επιπλέον, η μεταφορά θερμότητας μεταξύ της φυσαλίδας και του υγρού που την περιβάλλει δεν λαμβάνεται υπόψη, καθώς η χρονική κλίμακα των φαινομένων που μελετώνται είναι πολύ μικρή. Στο πλαίσιο αυτό, οι ταλαντώσεις της φυσαλίδας χαρακτηρίζονται αδιαβατικές και κατά συνέπεια η πίεση στο εσωτερικό της φυσαλίδας δίνεται από τη σχέση: P V P V (8) G G G G 4 όπου V G είναι ο αδιάστατος όγκος της φυσαλίδας, VG ο αρχικός όγκος της φυσαλίδας και γ η πολυτροπική σταθερά ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η αριθμητική επίλυση γίνεται με την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων χρησιμοποιώντας ένα υβριδικό σχήμα που χρησιμοποιεί διδιάστατες λαγκρανζιανές συναρτήσεις βάσης για την προσομοίωση της ροής σε συνδυασμό με μονοδιάστατες κυβικές συναρτήσεις splines για την περιγραφή της διεπιφάνειας. Πιο συγκεκριμένα, για την ταχύτητα χρησιμοποιούνται διτετραγωνικές λαγκρανζιανές συναρτήσεις βάσης, ενώ για την πίεση διγραμμικές. Η εισαγωγή των κυβικών συναρτήσεων splines είναι απαραίτητη αφού στο ισοζύγιο δυνάμεων υπεισέρχεται παράγωγος τέταρτης τάξης μέσω του όρου που αντιστοιχεί στην αντίσταση κάμψης. Η χρονική ολοκλήρωση πραγματοποιείται με το πλήρως άρρητο σχήμα Euler. Το υπολογιστικό πλέγμα κατασκευάζεται με τη μέθοδο spine η οποία χρησιμοποιείται συχνά για τη μελέτη προβλημάτων που σχετίζονται με κινούμενες διεπιφάνειες και βασίζεται στην εισαγωγή κατάλληλων μετασχηματισμών για την μετατροπή του πολύπλοκου φυσικού πεδίου σε ορθογώνιο υπολογιστικό. Στο Σχήμα δίνονται το φυσικό και το υπολογιστικό πεδίο καθώς και οι μετασχηματισμοί που χρησιμοποιούνται για την μελέτη της αλληλεπίδρασης της φυσαλίδας με στερεό τοίχωμα. Το φυσικό πεδίο χωρίζεται σε τρεις υποπεριοχές και με κατάλληλο μετασχηματισμό οι φυσικές συντεταγμένες (r, z) μετατρέπονται σε υπολογιστικές (n, ξ). Η μη γραμμικότητα των εξισώσεων αντιμετωπίζεται με τη μέθοδο Newon-Raphson, ενώ για την μείωση του υπολογιστικού χρόνου το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει σε κάθε επανάληψη της Newon-Raphson επιλύεται επαναληπτικά με τη μέθοδο GMRES (Generalized Minimum Residual) αφού πρώτα εφαρμοστεί ατελής LU παραγοντοποίηση. Για τον περαιτέρω περιορισμό του υπολογιστικού χρόνου αποφεύγεται η κατασκευή της ιακωβιανής και η εφαρμογή της σε κάθε χρονικό βήμα. Σχήμα. Φυσικό και υπολογιστικό πεδίο για τη μελέτη της αλληλεπίδρασης φυσαλίδας με στερεό τοίχωμα. r ' ' ' s dis ' ' ' s dis 1 r, 1R r f1(,), 1( R,) f z f () r, 1R z z 1 z z1 z 1 ' ' ' P P s P dis ' ' ' s dis

4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ι. Μη περιορισμένη ροή Θεωρούμε ελαστική μικροφυσαλίδα ακτίνας 3.6μm, ιξώδους Pa s, πάχους 1nm, μέτρου διάτμησης G s =8MPa και μέτρου κάμψης k b = N m. Η επιφανειακή τάση λαμβάνεται ίση με 51 Ν/m, ενώ το υγρό που περιβάλει τη φυσαλίδα θεωρείται ότι έχει τις ιδιότητες του νερού. Σε μια προσπάθεια να προσδιορίσουμε την πιθανότητα ύπαρξης μόνιμης κατάστασης μη σφαιρικού σχήματος επιβάλουμε στην πίεση μακριά από τη φυσαλίδα βηματικές διαταραχές διαφορετικών μεγεθών και καταγράφουμε την συμπεριφορά της φυσαλίδας. Οι προσομοιώσεις έδειξαν ότι για πλάτη διαταραχών μεγαλύτερα του 1.65 η φυσαλίδα καταλήγει σε νέα μόνιμη κατάσταση μη σφαιρικού σχήματος (Σχήμα 3). Πιο συγκεκριμένα, παρατηρούμε ότι η φυσαλίδα εκτελεί λίγες ταλαντώσεις όγκου, λόγω της διαταραχής που επιβάλλεται αρχικά, και πολύ γρήγορα καταλήγει σε νέο συμπιεσμένο σφαιρικό σχήμα. Επειδή το πλάτος της διαταραχής είναι μεγαλύτερο του κρίσιμου για την εμφάνιση ιδιομορφών σχήματος (ε cr =1.55) η σφαιρικότητα δεν διατηρείται και τελικά εμφανίζεται η ιδιομορφή Ρ 4. Καθώς το πλάτος του Ρ 4 αυξάνεται εμφανίζονται επιπλέον ιδιομορφές λόγω μη γραμμικής αλληλεπίδρασης. Τελικά, μετά από κάποιες διακυμάνσεις η φυσαλίδα αποκτά νέα μόνιμη κατάσταση μικρότερης ενέργειας σε σχέση με την αρχική. Το τελικό σχήμα της μόνιμης κατάστασης για διάφορα πλάτη διαταραχής δίνεται στο Σχήμα 3 όπου είναι φανερό ότι όσο μεγαλύτερο το πλάτος της αρχικής διαταραχής τόσο πιο συμπιεσμένο είναι το σχήμα της τελικής μόνιμης κατάστασης. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφερθεί ότι αν αγνοηθεί το ιξώδες του υγρού ή αν δεν ληφθεί υπόψη η επιφανειακή τάση η φυσαλίδα δεν καταλήγει σε μόνιμη κατάσταση. Αντίθετα, η ιδιομορφή Ρ 4 αυξάνεται συνεχώς με αποτέλεσμα να παρατηρούνται όλο και μεγαλύτερες παραμορφώσεις της φυσαλίδας που πιθανό να οδηγήσουν στην κατάρρευση της. Επειδή η τελική κατάσταση είναι αποτέλεσμα μια δυναμικής διαδικασίας ανταλλαγής ενέργειας η επίδραση του ιξώδους κατά τη διάρκεια της διαδικασίας αυτής είναι σημαντική. Το υγρό απορροφά ενέργεια που διαφορετικά θα διοχετευόταν στις ιδιομορφές σχήματος με αποτέλεσμα να είναι αδύνατη η σταθεροποίηση τους. Στη συνέχεια, θεωρούμε μικροφυσαλίδα με αρχική ακτίνα 1μm, ιξώδες 7Pa s, πάχος 3.1nm, μέτρο διάτμησης G s =88MPa και μέτρο κάμψης k b = N m. Για μηδενική επιφανειακή τάση η γραμμική ανάλυση ευστάθειας προβλέπει ότι το κρίσιμο πλάτος διαταραχής για στατικό λυγισμό ισούται με.9, τιμή πάνω από την οποία εμφανίζεται η ιδιομορφή Ρ 11 [15]. Για την συγκεκριμένη προσομοίωση, επιβάλουμε μακριά από τη φυσαλίδα βηματική διαταραχή πλάτους ε= και ταυτόχρονα διαταράσσουμε ελαφρώς το αρχικό σχήμα της φυσαλίδας εισάγοντας την ασταθή ιδιομορφή Ρ 11 : r (, )() R P s sph s όπου R sph είναι η σφαιρική ακτίνα και ε s το πλάτος της διαταραχής σχήματος ίσο με 1 για τη συγκεκριμένη προσομοίωση. Στο Σχήμα 4 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν με πλέγμα 68 και χρονικό βήμα 1. Παρατηρούμε ότι η φυσαλίδα πολύ γρήγορα αποκτά συμπιεσμένο σφαιρικό σχήμα το οποίο μετά τη χρονική στιγμή =47 γίνεται ασταθές με αποτέλεσμα η φυσαλίδα να υφίσταται στατικό λυγισμό. Μετά τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή ο πόλος (θ=π) ξεκινά να κινείται προς το εσωτερικό της φυσαλίδας κατά μήκος του άξονα συμμετρίας και παρατηρείται ότι το σωματίδιο του πόλου έχει την μεγαλύτερη ταχύτητα σε σχέση με τα υπόλοιπα σωματίδια. Επιπλέον, καθώς το σωματίδιο εισέρχεται προς το εσωτερικό της φυσαλίδας η ταχύτητα του αυξάνεται όλο και πιο πολύ. Εξετάζοντας προσεκτικά το τελευταίο στιγμιότυπο της προσομοίωσης διαπιστώνουμε μια τάση σχηματισμού κωνικής γωνίας που πιθανό να εξηγεί το μηχανισμό κατάρρευσης του συγκεκριμένου conras agen. Σχήμα 3. (α) Μόνιμη κατάσταση για διάφορα πλάτη διαταραχής και χρονική εξέλιξη ιδιομορφών για ε= ε= ε=1.8 ε=1.7 ε= p7 p8 p

5 Σχήμα 4. (α) Στιγμιότυπα σχήματος της φυσαλίδας και χρονική εξέλιξη ιδιομορφών σχήματος. =47.85 = = = p7 p8 p Πρέπει να σημειωθεί ότι στην προσομοίωση του Σχήματος 4 η επιφανειακή τάση μηδενίστηκε γεγονός που επιτρέπει πολύ μικρές ακτίνες καμπυλότητας. Αντίθετα, στην προσομοίωση του Σχήματος 3, η επιφανειακή τάση και η απορρόφηση ενέργειας από το ιξώδες του υγρού ενισχύουν την εμφάνιση μόνιμης κατάστασης. ΙΙ. Αλληλεπίδραση φυσαλίδας με στερεό τοίχωμα Στη συνέχεια, παρουσιάζονται αποτελέσματα που αφορούν στην αλληλεπίδραση της ελαστικής μικροφυσαλίδας με το στερεό τοίχωμα. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε τη φυσαλίδα με τις ιδιότητες που αντιστοιχούν στο Σχήμα 3, η οποία για βηματική διαταραχή και σε μη περιορισμένη ροή καταλήγει σε μόνιμη κατάσταση. Αρχικά, η φυσαλίδα τοποθετείται σε απόσταση τριών ακτινών από το τοίχωμα (z 1 =3) και επιβάλλεται στο πεδίο βηματική διαταραχή πλάτους ε=. Στο Σχήμα 5 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης με πλέγμα 316 στοιχείων και χρονικό βήμα 1. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα του Σχήματος 5 με αυτά του Σχήματος 3 διαπιστώνουμε αρχικά την ίδια συμπεριφορά. Δηλαδή, η φυσαλίδα εκτελεί λίγες ταλαντώσεις όγκου και ισορροπεί προσωρινά σε συμπιεσμένο σφαιρικό σχήμα. Η παρουσία του τοιχώματος επιταχύνει σημαντικά την εμφάνιση του στατικού λυγισμού και, παράλληλα, μεταβάλει ελαφρώς τη σειρά εμφάνισης των ιδιομορφών σχήματος. Πιο συγκεκριμένα, στην μη περιορισμένη ροή εμφανίζεται αρχικά η ιδιομορφή P 4 και στη συνέχεια οι ιδιομορφές P 3 και P, ενώ με την παρουσία του τοιχώματος η πρώτη ιδιομορφή που γίνεται ασταθής είναι η P και οι ιδιομορφές P 4 and P 3 ακολουθούν. Επίσης, υπάρχει διαφορά στο πρόσημο του P 4 : είναι αρνητικό για την μη περιορισμένη και θετικό για την περιορισμένη από το τοίχωμα ροή. Παρόλα αυτά, και στις δυο περιπτώσεις η ιδιομορφή P 3 τελικά επικρατεί. Από τα αποτελέσματα είναι φανερό ότι το τοίχωμα δρα αποσταθεροποιητικά και, εκτός από την γρηγορότερη ενεργοποίηση των ασταθειών σχήματος, δεν παρατηρείται ο κορεσμός τους και κατά συνέπεια η φυσαλίδα δεν οδηγείται σε νέα μόνιμη κατάσταση. Τέλος, η μετακίνηση της φυσαλίδας προς το τοίχωμα είναι αμελητέα λόγω του ιξώδους της ροής. Στην περίπτωση που αγνοηθούν οι ιξώδεις δυνάμεις της ροής η φυσαλίδα κινείται με σταθερή ταχύτητα προς το τοίχωμα και τελικά καταλήγει σ αυτό, εκτός και αν προηγηθεί η κατάρρευση της. Σχήμα 5. (α) Στιγμιότυπα σχήματος της φυσαλίδας και ( b) χρονική εξέλιξη ιδιομορφών σχήματος για ροή περιορισμένη από το τοίχωμα, ε= και z 1 = =1 = = p7 p8 p

6 Σχήμα 6. (α) Στιγμιότυπα σχήματος της φυσαλίδας και ( b) χρονική εξέλιξη ιδιομορφών σχήματος για ροή περιορισμένη από το τοίχωμα, ε= και z 1 = =1 = p7 p8 p Αν μετακινήσουμε τη φυσαλίδα πιο κοντά στο τοίχωμα (z 1 =1) ο στατικός λυγισμός συμβαίνει ακόμα πιο γρήγορα και, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6, υπάρχει μικρή διαφορά στην εξέλιξη των ιδιομορφών σχήματος: το πλάτος του P 4 αποκτά μια μέγιστη τιμή και στη συνέχεια αρχίζει να μειώνεται. Για το λόγο αυτό, η φυσαλίδα δεν σχηματίζει λοβούς σαν αυτούς που απεικονίζονται στο Σχήμα 5. Παρόλα αυτά, και στις δυο περιπτώσεις στα τελευταία στάδια ο πάνω πόλος της φυσαλίδας κινείται κατά μήκος του άξονα συμμετρίας προς το εσωτερικό της με τη μεγαλύτερη ταχύτητα σε σχέση με τα υπόλοιπα σωματίδια. Στη συνέχεια, εξετάζουμε την αλληλεπίδραση της φυσαλίδας με το τοίχωμα για ακουστικές διαταραχές. Χρησιμοποιούμε την ίδια φυσαλίδα με τις ιδιότητες που αναφέρθηκαν πιο πάνω και θέτουμε την επιφανειακή τάση ίση με μηδέν ώστε να αγνοήσουμε το σταθεροποιητικό ρόλο της και να επιταχύνουμε την διαδικασία εμφάνισης των ασταθειών. Μακριά από τη φυσαλίδα επιβάλλουμε ακουστική διαταραχή συχνότητας 1.7MHz και πλάτους ε=3. Με σκοπό να διερευνήσουμε την επίδραση του ιξώδους πραγματοποιούμε προσομοιώσεις για δύο διαφορετικές περιπτώσεις: (α) νερό με μ l =1-3 Pa s και (β) μ l =1-4 Pa s. Και στις δυο περιπτώσεις, ο κάτω πόλος της φυσαλίδας τοποθετείται σε απόσταση z 1 =1από το τοίχωμα. Στο Σχήμα 7 δίνονται τα αποτελέσματα για την περίπτωση που η ροή έχει το ιξώδες του νερού. Παρατηρούμε ότι η φυσαλίδα ταλαντώνεται με τη συχνότητα της εξωτερικής ροής και, ταυτόχρονα, κινείται προς το τοίχωμα. Κατά τη συστολή της φυσαλίδας, ενέργεια μεταφέρεται από την ιδιοτιμή P στις ιδιοτιμές σχήματος και κίνησης. Ως αποτέλεσμα, η φυσαλίδα έλκεται από το τοίχωμα και είναι πιο παραμορφωμένη όταν ο όγκος της είναι ελάχιστος. Από τις ιδιοτιμές σχήματος, πρώτη εμφανίζεται η P η οποία και επικρατεί, ενώ αμέσως μετά ακολουθεί η ιδιοτιμή P 3. Στους πρώτους τρεις κύκλους ταλάντωσης το συμπιεσμένο σχήμα της φυσαλίδας είναι επιμηκυμένο κατά μήκος του άξονα συμμετρίας, πιο στενό και γωνιώδες στον κάτω πόλο και πιο στρογγυλεμένο στον πάνω πόλο. Κατά την τελευταία ταλάντωση η φυσαλίδα πλησιάζει αρκετά κοντά στο τοίχωμα και το υγρό αρχίζει να αντιστέκεται στην κίνηση της. Για το λόγο αυτό, το σχήμα γίνεται ευθύγραμμο και πλατύ στον κάτω πόλο σαν αποτέλεσμα της τοπικής αύξησης της πίεσης λόγω λίπανσης. Η προσομοίωση σταματά σε αυτό το σημείο λόγω της εμφάνισης συνθηκών λυγισμού. Από το Σχήμα 8, όπου δίνεται η κατανομή της πίεσης και των ταχυτήτων στην διεπιφάνεια για το τελευταίο στιγμιότυπο, παρατηρούμε μια απότομη αύξηση της πίεσης στον κάτω πόλο της φυσαλίδας. Στο Σχήμα 9 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν όταν η φυσαλίδα περιβάλλεται από υγρό ιξώδους 1-4 Pa s. Στην περίπτωση αυτή, έχουμε μικρότερη απορρόφηση ενέργειας από τις ιξώδεις δυνάμεις του υγρού σε σχέση με το νερό, και κατά συνέπεια η ανταλλαγή ενέργειας μεταξύ της ιδιοτιμής όγκου και των ιδιοτιμών κίνησης και σχήματος είναι μεγαλύτερη. Παρόλα αυτά, η συχνότητα των ταλαντώσεων όγκου είναι ίδια και στις δυο περιπτώσεις. Η μεγαλύτερη μεταφορά ενέργειας στις ιδιοτιμές έχει ως αποτέλεσμα η φυσαλίδα να κινείται πιο γρήγορα προς το τοίχωμα και να έχει μεγαλύτερες παραμορφώσεις. Επιπλέον, το σχήμα της φυσαλίδας κατά τη μέγιστη διαστολή εξακολουθεί να είναι επιμηκυμένο κατά μήκος του άξονα συμμετρίας χωρίς όμως να είναι πιο στενό και γωνιώδες στον κάτω πόλο και χωρίς να γίνεται ευθύγραμμο όταν πλησιάζει στο τοίχωμα. Αντίθετα, επικρατούν άλλες ιδιομορφές και παρατηρείται δυναμικός λυγισμός.

7 Σχήμα 7. (α) Στιγμιότυπα σχήματος της φυσαλίδας και ( b) χρονική εξέλιξη ιδιομορφών σχήματος για ακουστική διαταραχή σε ροή νερού περιορισμένη από τοίχωμα (ε=3, z 1 =1) p p =1 =1.4 = Σχήμα 8. Κατανομή (α) ταχυτήτων και (β) πίεσης στην διεπιφάνεια της φυσαλίδας για το τελευταίο στιγμιότυπο της προσομοίωσης του σχήματος ur uz.6.4 u p ξ ξ Σχήμα 9. (α) Στιγμιότυπα σχήματος της φυσαλίδας και χρονική εξέλιξη ιδιομορφών σχήματος για ακουστική διαταραχή σε ροή ιξώδους μ l =1-4 Pa s περιορισμένη από τοίχωμα (ε=3, z 1 =1). 1.3 p p =5.8 =9.1 =

8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα μελέτη αναπτύχθηκε μεθοδολογία για τη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς φυσαλίδων τύπου conras agen όταν οι ιξώδεις δυνάμεις του υγρού λαμβάνονται υπόψη. Η αριθμητική επίλυση πραγματοποιήθηκε με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων χρησιμοποιώντας ένα υβριδικό σχήμα που συνδυάζει τις λαγκρανζιανές συναρτήσεις βάσης για την προσομοίωση της ροής με κυβικές συναρτήσεις splines για την περιγραφή της διεπιφάνειας. Το υπολογιστικό πεδίο κατασκευάζεται με τη βοήθεια της μεθόδου spine. Για την περίπτωση που η φυσαλίδα βρίσκεται μέσα σε μη περιορισμένη ροή, διαπιστώθηκε ο σταθεροποιητικός ρόλος του ιξώδους καθώς μεταβάλλει το πλάτος της διαταραχής που πρέπει να επιβληθεί ώστε η φυσαλίδα να καταρρεύσει. Επιπλέον, καταγράφηκε μόνιμη κατάσταση μη σφαιρικού σχήματος, καθώς το ιξώδες απορροφά ενέργεια που διαφορετικά θα τροφοδοτούνταν στις ιδιοτιμές σχήματος και συμβάλει έτσι στον κορεσμό τους. Αν το ιξώδες δεν ληφθεί υπόψη ή αν η επιφανειακή τάση αγνοηθεί δεν παρατηρείται μόνιμη κατάσταση. Όσον αφορά στην αλληλεπίδραση του υγρού με το τοίχωμα, παρατηρείται ότι η παρουσία του τοιχώματος δρα αποσταθεροποιητικά και επιταχύνει την εμφάνιση ασταθειών σχήματος. Για βηματική διαταραχή, η φυσαλίδα μετακινείται πολύ λίγο προς το τοίχωμα λόγω των ιξωδών δυνάμεων του υγρού και με το πέρασμα του χρόνου παρατηρείται στατικός λυγισμός. Η παρουσία του τοιχώματος επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία του στατικού λυγισμού και, παράλληλα, μεταβάλλει ελαφρώς τη σειρά εμφάνισης των ιδιομορφών σχήματος. Όταν η απόσταση μεταξύ της φυσαλίδας και του τοιχώματος μειωθεί, ο στατικός λυγισμός συμβαίνει ακόμα πιο γρήγορα, ενώ καταγράφεται και μικρή αλλαγή στην εξέλιξη των ασταθειών σχήματος. Για ακουστική διαταραχή, παρατηρείται ότι η φυσαλίδα ταλαντώνεται με τη συχνότητα της εξωτερικής διαταραχής, η οποία επικρατεί έναντι της ιδιοσυχνότητας της λόγω του μεγάλου ιξώδους της διεπιφάνειας, και ταυτόχρονα κινείται προς το τοίχωμα. Η ίδια συμπεριφορά παρατηρείται για υγρά διαφορετικού ιξώδους. Καθώς η φυσαλίδα πλησιάζει κοντά στο τοίχωμα, όταν το ιξώδες του υγρού είναι σημαντικό, η ροή αντιστέκεται στην κίνηση της και το σχήμα της φυσαλίδας γίνεται πλατύ και ευθύγραμμο στον κάτω πόλο λόγω της κίνησης του υγρού μακριά από την στενή περιοχή μεταξύ του τοιχώματος και του κελύφους. Λόγω δε της δημιουργίας στρώματος λίπανσης μεταξύ τους παρατηρείται η τοπική αύξηση της πίεσης η οποία, σε συνδυασμό με την φάση συμπίεσης της μικροφυσαλίδας οδηγεί σην εμφάνιση λυγισμού στον πόλο που γειτνιάζει στο τοίχωμα. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1]. Bes J. P. and Kucera A., A numerical invesigaion of non-spherical rebounding bubbles, J. Fluid Mech., 45, p (199). []. Wang Q. X., Yeo K. S., Khoo B. C. and Lam K. Y., Nonlinear ineracion beween gas bubble and free surface, Compuers and Fluids, 5(7), p (1996). [3]. Brujan E. A., Keen G. S., Vogel A. and Blake J. R., The final sage of he collapse of a caviaion bubble close o a rigid wall, Phs. Fluids, 14(1), p (). [4]. Tsiglifis K. and Pelekasis N., Nonlinear oscillaions and collapse of elongaed bubbles subjec o weak viscous effecs: Effec of inernal overpressure, Phsics of fluids, 19, 716 (7). [5]. Popine S. and Zaleski S., Bubble collapse near a solid boundar: a numerical sud of he influence of viscosi, J. Fluid Mech., 464, (). [6]. Zhao S., Ferrera K. W. and Daon P. A., Asmmeric oscillaion of adheren argeed ulrasound conras agens, Appl. Phs. Le., 87, (5). [7]. Vos H. J., Dolle B., Bosch J. G., Versluis M. and N. De Jong, Nonspherical vibraions of microbubbles in conac wih a wall-a pilo sud a low mechanical inde, Ulrasound Med. Biol., 34(4), (8). [8]. Liu Y., Sugiama K., Tagaki S. and Masumoo Y., Numerical sud on he shape oscillaion of an encapsulaed microbubble in ulrasound field, Phs. Fluids, 3, doi:4194 (11). [9]. Doinikov A. A., Zhao S. and Daon P. A., Modelling of he acousic response from conras agen microbubbles near a rigid wall, Ulrasonics, 49, 195-1, 9. [1] Or E., Yuan H., Prosperei A., Popine S. and Zaleski S., Growh and collapse of a vapor bubble in a narrow ube, Phs. Fluids, 1, (). [11] Sassaroli E. and Hnnen K., Resonance frequenc of microbubbles in small blood vessels: a numerical sud, Phs. Med. Biol., 5, (5). [1] Qin and K. W. Ferrera, Acousic response of compliable microvessels conaining ulrasound conras agens, Phs. Med. Biol., 51, (6). [13] Timosenko S. P. & Woinowsk-Krieger S., Theor of Plaes and Shells, McGraw-Hill, Singapore (1959). [14] Pozrikidis C., Effec of membrane bending siffness on he deformaion of capsules in simple shear flow, J. Fluid Mech., 44, (1). [15] Tsiglifis Κ. & Pelekasis N., Simulaions of insonaed conras agens: Sauraion and ransien break-up, Phs. Fluids, 5, 319 (13).