ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΑΓΟΡΩΝ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΑΓΟΡΩΝ 4. Κατηγοριοποίηση στατιστικών δεδομένων α) Χρονικά δεδομένα (ime series d) Συγκεντρώνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα, όπως ωριαία (επιφανειακές συγκεντρώσεις ατμοσφαιρικών ρύπων) ημερήσια (π.χ. τιμές κλεισίματος μετοχών), εβδομαδιαία (π.χ. προσφορά χρήματος), μηνιαία (π.χ. ανεργία, ρυθμός πληθωρισμού), τριμηνιαία (π.χ. ΑΕΠ), ετήσια (π.χ. SS (see surfce emperure) δηλ. η μέση ετήσια θερμοκρασία στην επιφάνεια της θάλασσας για ένα γεωγραφικό σημείο, ή και για όλη τη γη) κλπ. Δυνατόν να είναι ποσοτικά ή και κατηγορικά (π.χ. παγετός, όχι παγετός). β) Διαστρωματικά δεδομένα (cross-secionl d) Συλλέγονται για μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή για μία ή περισσότερες μεταβλητές, π.χ. απογραφή πληθυσμού, δημοσκοπήσεις κλπ. γ) Μεικτά δεδομένα (pooled d) Συνδυασμός των (α) και (β). Ως παράδειγμα αναφέρεται ο ρυθμός πληθωρισμού στις χώρες του ΟΟΣΑ για τη μεταπολεμική περίοδο. Ειδική περίπτωση αποτελούν τα λεγόμενα pnel d για τα οποία οι «μονάδες» για τις οποίες συλλέγονται τα δεδομένα είναι πάντα οι ίδιες. 4. Ορισμός και είδη χρονικών σειρών Χρονική σειρά, ή χρονοσειρά : ένα σύνολο δεδομένων με καθορισμένη διάταξη ως προς το χρόνο. Αν το σύνολο αυτό είναι συνεχές η χρονική σειρά ονομάζεται συνεχής, ενώ αν το σύνολο είναι διακριτό η χρονική σειρά ονομάζεται διακριτή. Στο παρόν θα ασχοληθούμε με διακριτές χρονοσειρές οικονομικών χρημ/κων δεδομένων στις οποίες οι διαδοχικοί όροι ισαπέχουν. Αν οι τιμές μιας χρονοσειράς μπορούν να καθορισθούν ακριβώς, π.χ. μέσω μιας συναρτήσεως, όπως για παράδειγμα η θέση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση που δίνεται από τη σχέση: ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. ΚΕΦ.4 07

2 Χ = Χ 0 + U* όπου Χ 0 η θέση του κινητού τη χρονική στιγμή μηδέν, U η ταχύτητα του κινητού και ο χρόνος, τότε η χρονοσειρά ονομάζεται αιτιοκρατική. Αν όμως οι μελλοντικές τιμές είναι δυνατό να καθορισθούν μόνο ως προς μια κατανομή πιθανότητας, τότε η χρονοσειρά ονομάζεται στατιστική ή στοχαστική. Με τέτοιου είδους χρονοσειρές θα ασχοληθούμε κυρίως στη συνέχεια. 4.3 Στασιμότητα Αν για μία χρονοσειρά Υ η μέση τιμή μ, η διακύμανση γ 0 και οι αυτοσυνδιακυμάνσεις γ j, j=,,..δεν εξαρτώνται από τη χρονική στιγμή τότε αυτή ονομάζεται ασθενώς στάσιμη, ή στάσιμη κατά τη συνδιακύμανση. Δηλαδή: ( Y E{(Y ) = μ, )( Y j j )} E{(Y )( Y j )} =γ j, Άρα η αυτοσυνδιακύμανση θα εξαρτάται μόνο από τη (χρονική) απόσταση j. Τότε θα έχουμε: E{(Y j j )( Y j j δηλαδή η γ j είναι συμμετρική. )} E{(Y -(-j) )( Y )} j, j Για να χαρακτηρισθεί μία χρονολογική σειρά Υ ως αυστηρά στάσιμη οι απαιτήσεις είναι μεγαλύτερες: θα πρέπει ολόκληρη η κατανομή πιθανότητας των Y, Y +,,Y +s να είναι ανεξάρτητη του χρόνου, δηλαδή να παραμένει ανεξάρτητη σε οποιαδήποτε χρονική μετατόπιση: f Y, Y (,,..., ) = f (,,..., ),k, s,...ys s Y k, Yk,...Y ks k k ks ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. ΚΕΦ.4 07

3 4.4 Ανάλυση μιας χρονοσειράς σε συνιστώσες Για τη στατιστική επεξεργασία χρονικών οικονομικών δεδομένων είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να υποθέσουμε ότι μια παρατηρούμενη χρονοσειρά μπορεί να αναλυθεί σε μη παρατηρήσιμες συνιστώσες σύμφωνα με τη σχέση: Υ = L +S +C + I Όπου: Υ = η παρατηρούμενη χρονοσειρά, ή κάποιος (συνήθως ο λογαριθμικός) μετασχηματισμός της L = η μακροχρόνια τάση C = η κυκλική συνιστώσα S = η εποχική συνιστώσα I = η άρρυθμη συνιστώσα Η μακροχρόνια τάση εκφράζει τη μεταβολή στο επίπεδο της χρονοσειράς. Υφίσταται σε μη στάσιμες χρονοσειρές και μπορεί να είναι σταθερή ή χρονικά μεταβαλλόμενη. Όταν η τάση είναι χρονικά μεταβαλλόμενη, προγνώσεις που στηρίζονται σε γραμμικά υποδείγματα παλινδρόμησης σε πολλές περιπτώσεις αποδείχθηκαν δραματικά αποτυχημένες. Η κυκλική συνιστώσα εκφράζει κυκλικές κυμάνσεις με περίοδο μεγαλύτερη του έτους (π.χ. επιχειρηματικοί κύκλοι στην οικονομία, ετήσιος αριθμός ηλιακών κηλίδων κλπ.). Η εποχική συνιστώσα εκφράζει την κυκλική κύμανση μιας χρονοσειράς με περίοδο ένα έτος. Υφίσταται σε μεγάλο αριθμό κοινωνικο-οικονομικών αλλά και περιβαλλοντικών χρονικών σειρών (π.χ. εισπράξεις από τουριστικές υπηρεσίες, συγκεντρώσεις CO στην ατμόσφαιρα κλπ.). Η άρρυθμη ή μη συστηματική συνιστώσα (θόρυβος) εκφράζει το συνολικό αποτέλεσμα μη συστηματικών παραγόντων. Ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο στην ανάλυση χρονοσειρών σε μη παρατηρήσιμες συνιστώσες είναι η λεγόμενη φασματική ανάλυση. Μία χρονοσειρά μπορεί να παρασταθεί γραφικά ως προς το χρόνο. Θα μπορούσε όμως στον οριζόντιο άξονα να χρησιμοποιηθεί αντί του χρόνου η συχνότητα οπότε στον κατακόρυφο άξονα παριστάνεται η φασματική ισχύς. Έτσι προκύπτει το φάσμα της χρονοσειράς. Κάθε ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 3 ΚΕΦ.4 07

4 περιοδική κύμανση περιόδου Τ αντιστοιχεί σε συχνότητα ν=/τ, ή κυκλική συχνότητα ω=π/τ. Μία μη στάσιμη χρονοσειρά θα έχει φασματική ισχύ για ν 0. Στα πλαίσια του μαθήματος αυτού θα δοθεί μόνο μια πολύ γενική περιγραφή της μεθόδου μέσω και των σχημάτων που ακολουθούν. Άλλωστε η φασματική ανάλυση δεν είναι ευρέως διαδεδομένη στην ανάλυση οικονομικών δεδομένων. Για την αυστηρή αντιμετώπιση θεμάτων που σχετίζονται με την ανάλυση στατιστικών χρονοσειρών τα υποδείγματα που χρησιμοποιούνται λαμβάνουν υπόψη τους τη στοχαστική φύση των σειρών αυτών. Αυτό αποτελεί αντικείμενο του ιδιαίτερου κλάδου που αφορά τη μελέτη χρονοσειρών. Στο κεφάλαιο λοιπόν αυτό θα μελετήσουμε κάποιες απλές μεθόδους προέκτασης, εξομάλυνσης, και εποχικής διόρθωσης χρονικών οικονομικών δεδομένων. Οι μέθοδοι αυτοί δε λαμβάνουν άμεσα υπόψη τους τη στοχαστική φύση των χρονοσειρών. Λέγοντας εξομάλυνση εννοούμε την απαλοιφή της άρρυθμης συνιστώσας, δηλαδή των υψηλής συχνότητας (βραχυχρόνιων) κυμάνσεων από τη χρονοσειρά, ενώ η εποχική διόρθωση αναφέρεται στην απαλοιφή της εποχικής συνιστώσας. ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 4 ΚΕΦ.4 07

5 ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 5 ΚΕΦ.4 07

6 ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 6 ΚΕΦ.4 07

7 ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 7 ΚΕΦ.4 07

8 4.5 Απλά υποδείγματα προέκτασης. Αρχικά μελετώνται απλά υποδείγματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μία γρήγορη και προσεγγιστική πρόβλεψη με βάση τη παρελθούσα συμπεριφορά μίας χρονοσειράς που στο γράφημά της είναι εμφανής η ύπαρξη μίας ανοδικής ή καθοδικής τάσης. Τονίζεται ότι με αυτά τα υποδείγματα δεν γίνεται αναφορά στα αίτια ή στη φύση της τυχαιότητας της χρονοσειράς, δηλαδή δεν επιχειρείται η εύρεση των χαρακτηριστικών της στοχαστικής διαδικασίας που είναι υπεύθυνη για την εξέλιξη της χρονοσειράς. Σε γενικές γραμμές, τα υποδείγματα αυτά αφορούν τεχνικές προέκτασης (exrpolion) που έχουν γίνει βασικά εργαλεία πρόβλεψης για συναλλαγές στην οικονομία και προβλέψεις στις επιχειρήσεις εδώ και χρόνια. Αν και συνήθως, δεν παρέχουν τόσο μεγάλη ακρίβεια πρόβλεψης όπως τα σύγχρονα στοχαστικά υποδείγματα χρονοσειρών, συχνά παρέχουν ένα απλό, φθηνό και κατά προσέγγιση αποδεκτό εργαλείο για πρόβλεψη. Πολύ συχνά τα οικονομικά δεδομένα που συναντώνται δεν είναι σε συνεχή χρόνο, αντίθετα αποτελούνται από διακριτές παρατηρήσεις σε ισαπέχοντα χρονικά διαστήματα. Μια τέτοια χρονοσειρά παριστάνεται γραφικά στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 4. Γραφική παράσταση υποθετικής χρονοσειράς με μεταβαλλόμενη αυξητική τάση. Στο σχήμα φαίνεται και μία πρόχειρη προσαρμογή με βάση το εκθετικό υπόδειγμα (βλ. παρακάτω). ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 8 ΚΕΦ.4 07

9 Οι τιμές μιας χρονοσειράς Υ δηλώνονται ως, έτσι ώστε να είναι η πρώτη παρατήρηση, η δεύτερη παρατήρηση, και η τελευταία παρατήρηση για την σειρά. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί ότι το μπορεί να υποδηλώνει τόσο τη χρονοσειρά, όσο και τις τιμές της. Όμως, προς αποφυγή συγχύσεως, τις περισσότερες φορές στο παρόν η χρονοσειρά θα συμβολίζεται με Υ. Έστω τώρα ότι επιθυμούμε να δημιουργηθεί ένα υπόδειγμα για τη χρονοσειρά Υ και να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει τη σειρά μετά την ˆ παρατήρηση. Η πρόβλεψη μιας περιόδου θα συμβολίζεται ως, δύο περιόδων ως, και l περιόδων ως ˆ l. Αν ο αριθμός των παρατηρήσεων δεν είναι πολύ μεγάλος, η απλούστερη και πιο πλήρης αναπαράσταση της Υ, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, δίνεται από ένα πολυώνυμο βαθμού Τ-. Για παράδειγμα η Υ μπορεί να περιγραφεί από μια συνεχή συνάρτηση του χρόνου f f, όπου: ˆ και n () Ένα τέτοιο πολυώνυμο (αν τα i είναι σωστά επιλεγμένα) θα περνάει από κάθε σημείο της χρονοσειράς. Επομένως, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η f θα ισούται με για κάθε από που προκύπτει από τη,,. Όμως πως μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι μια πρόβλεψη της Για παράδειγμα, η πρόβλεψη μιας περιόδου f θα είναι στην περιοχή της πραγματικής μελλοντικής τιμής; 0 ˆ f πόσο κοντά είναι στην πραγματική μελλοντική τιμή ; Δυστυχώς, δεν έχουμε τρόπο για να απαντήσουμε αυτήν την ερώτηση χωρίς επιπρόσθετη εκ των προτέρων πληροφορία. Η δυσκολία με το υπόδειγμα της εξίσωσης () είναι ότι δεν περιγράφει την Υ αλλά απλώς την αναπαράγει μέχρι το παρόν. Δε συγκεντρώνει χαρακτηριστικά της Υ που θα μπορούσαν να επαναληφθούν στο μέλλον. Επομένως, αν και η 0 n f προσαρμόζεται τέλεια στα εμπειρικά δεδομένα μας, είναι ένα υπόδειγμα με χαμηλή αξία για πρόβλεψη. n Μπορούμε όμως να δημιουργήσουμε προσεγγιστικά υποδείγματα προέκτασης, αν εκμεταλλευτούμε κάποια εμφανή χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς, εφόσον τέτοια ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 9 ΚΕΦ.4 07

10 χαρακτηριστικά υπάρχουν. Για παράδειγμα αν από την οπτική παρατήρηση του γραφήματος της χρονοσειράς φαίνεται να υπάρχει μία έντονη μακροχρόνια τάση, τότε είναι δυνατό να κατασκευασθεί ένα υπόδειγμα που να περιγράφει αυτή την τάση και, κατ επέκταση, να χρησιμοποιηθεί για την προσεγγιστική προέκταση της χρονοσειράς. Δηλαδή με την προσέγγιση αυτή θεωρούμε μόνο τη συνιστώσα της μακροχρόνιας τάσης και αγνοούμε όλες τις υπόλοιπες συνιστώσες. Το απλούστερο από τα υποδείγματα αυτής της μορφής είναι το υπόδειγμα της γραμμικής τάσης: f()= = c + c όπου ο χρόνος και η τιμή της στο χρόνο. Συνήθως το επιλέγεται έτσι ώστε να ισούται με μηδέν στην περίοδο αναφοράς (πρώτη παρατήρηση) και να αυξάνεται κατά μία μονάδα για κάθε διαδοχική περίοδο. Για παράδειγμα, αν οριστεί από παλινδρόμηση ότι 50 4 μπορούμε να προβλέψουμε ότι η τιμή της στην περίοδο θα είναι 4 μονάδες υψηλότερη από τη προηγούμενη τιμή. Το παραπάνω είναι προφανές από το παρακάτω σχήμα: Σχήμα 4. Γραμμική τάση ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 0 ΚΕΦ.4 07

11 Εναλλακτικά μπορούμε να υποθέσουμε ότι η σειρά Υ αναπτύσσεται με σταθερό ποσοστό αύξησης αντί να αυξάνεται κατά σταθερό ποσό. Αυτή η υπόθεση ικανοποιείται r όταν η ακολουθεί μια καμπύλη εκθετικής αύξησης: f Ae Σχήμα 4.3 Εκθετική τάση. Πράγματι έχουμε: Επί τοις εκατό μεταβολή μεταξύ χρονικών στιγμών και + = Ae Ae r Ae r ( ) r r r Ae ( e Ae r ) e 3 Όμως: r r r... r e r και για r<< e r r και επομένως η 3! ποσοστιαία μεταβολή μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά ίση με r. Εδώ τα A και r θα μπορούσαν να έχουν επιλεχθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η προσαρμογή της ˆ f στην. Μια προέκταση για μια περίοδο θα δίνονταν από τον τύπο: r Ae () και μια προέκταση για την παρατήρηση που βρίσκεται Κ περιόδους μετά την παρούσα παρατήρηση θα δίνονταν από το τύπο: ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. ΚΕΦ.4 07

12 r K ˆ K Ae. Οι παράμετροι A και r μπορούν να εκτιμηθούν λαμβάνοντας τους λογαρίθμους και στα δύο μέλη της () και προσαρμόζοντας μία λογαριθμική γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης: όπου A c log και c r. Επομένως τα Α και r εκτιμώνται από τη σταθερά και την κλίση αντίστοιχα της παλινδρόμησης με εξαρτημένη μεταβλητή lny και ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο. Εφαρμογή: Να δείξετε ότι οι ημερήσιες αποδόσεις των χρηματιστηριακών τιμών των μετοχών μπορούν εκφρασθούν και ως οι λογαριθμικές διαφορές των τιμών. Μια τρίτη μέθοδος προέκτασης βασίζεται στα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα τάσης: c c. log c c Ένα τέτοιο υπόδειγμα φαίνεται γραφικά για διάφορες τιμές του c στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα 4.4 Τάση με βάση αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα Μια παραλλαγή αυτού του υποδείγματος είναι το λογαριθμικό αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα τάσης : c c log, 0 log ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. ΚΕΦ.4 07

13 Αν το c τίθεται ίσο με μηδέν, η τιμή του c είναι ο σύνθετος ρυθμός της σειράς και γενικότερα το c παριστάνει το πόσο κατά μέσο όρο θα μεταβληθεί ποσοστιαία η η ποσοστιαία μεταβολή της γίνει μονάδα. όταν Δηλαδή, d log d log d d d c. d Και τα τέσσερα υποδείγματα που περιγράφτηκαν πιο πάνω χρησιμοποιούνται συχνά ως ένα απλό μέσο προέκτασης. Εναλλακτικά υποδείγματα μπορούν να αναπτυχθούν κάνοντας τη συνάρτηση ελαφρώς πιο πολύπλοκη. Ως παραδείγματα, εξετάζονται δύο άλλα υποδείγματα προέκτασης: το υπόδειγμα τάσης δευτέρου βαθμού και η καμπύλη σιγμοειδούς αύξησης. Το υπόδειγμα τάσης δευτέρου βαθμού είναι μία απλή επέκταση του γραμμικού υποδείγματος τάσης και απλώς προσθέτει έναν ακόμη όρο με το : c c c3 Αν c και c είναι και τα δύο θετικά, η είναι πάντα αύξουσα, αν και τα δύο είναι 3 αρνητικά, η πάντα θα μειώνεται. Σημειώνεται ότι ακόμα και αν τα δεδομένα δείχνουν ότι η είναι γενικά αύξουσα στο χρόνο αυτό μπορεί να οφείλεται σε μια θετική τιμή για το c 3 και μια αρνητική τιμή για το c. Αυτό μπορεί να συμβεί επειδή τα δεδομένα συνήθως καλύπτουν μόνο ένα μέρος της τάσης. Τα παραπάνω επεξηγούνται από το παρακάτω σχήμα: ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 3 ΚΕΦ.4 07

14 Σχήμα 4.5 Παραβολικές τάσεις Τέλος, ένα κάπως πιο πολύπλοκο υπόδειγμα τάσης είναι αυτό της σιγμοειδούς καμπύλης. Υπάρχουν διάφοροι τύποι τέτοιων υποδειγμάτων και χρησιμοποιούνται όταν η αύξηση σχετίζεται θετικά με το υπάρχον απόθεμα και αρνητικά με την απόσταση από τον κορεσμό. Τέτοια υποδείγματα έχουν εφαρμογή για την περιγραφή των πωλήσεων κάτω από ορισμένες συνθήκες, κλπ. Ένα απλό υπόδειγμα αυτής της μορφής είναι το: όπου k, k σταθερές. exp k k Αν λογαριθμήσουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης, έχουμε μια εξίσωση που είναι γραμμική ως προς τις παραμέτρους και μπορεί να εκτιμηθεί με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων: ln k k. Τα αντίστοιχο γράφημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα όπου γίνεται και σύγκριση με τη λεγόμενη λογιστική καμπύλη για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων της. ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 4 ΚΕΦ.4 07

15 7 6 =exp(k-k/) 5 logisic 0<b< 4 3 logisic b> Σχήμα 4.6 Τάσεις σύμφωνα με τη σιγμοειδή ή τη λογιστική καμπύλη Οι απλές μέθοδοι όπως αυτές που περιγράψαμε παραπάνω, συχνά αποτελούν τη βάση για ανεπίσημες μακροχρόνιες προβλέψεις μη στάσιμων χρονοσειρών και για χρονικές στιγμές που βρίσκονται αρκετές περιόδους μετά την τελευταία γνωστή παρατήρηση. Αν και μπορεί να είναι χρήσιμες ως ένας τρόπος γρήγορης δημιουργίας αρχικών προβλέψεων, συνήθως παρέχουν προβλέψεις με μικρή ακρίβεια. Παράδειγμα 4. Σύγκριση προβλέψεων πωλήσεων πολυκαταστημάτων με απλά υποδείγματα προέκτασης (από «Economeric Models nd Economic Forecss hird ediion, των Pindck nd Rubinfeld, σελ , βλ. ενότητα 4.0 παρακάτω). 4.6 Προέκταση με υποδείγματα αστάθμιστων και εκθετικά σταθμισμένων κινητών μέσων. Μια άλλη τάξη αιτιοκρατικών υποδειγμάτων που συχνά χρησιμοποιούνται για προέκταση χρονικών οικονομικών σειρών αποτελούν τα λεγόμενα υποδείγματα κινητού ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 5 ΚΕΦ.4 07

16 μέσου. Ως ένα απλό παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να προβλέψουμε μια μηνιαία χρονοσειρά. Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε ένα υπόδειγμα της μορφής: f. Τότε μια πρόβλεψη μιας περιόδου θα δίνονταν από το. τύπο: ˆ Τέτοια υποδείγματα είναι χρήσιμα όταν πιστεύουμε ότι μια πιθανή τιμή για τον επόμενο όρο μιας χρονοσειράς είναι ένας απλός μέσος όρος των τελευταίων δώδεκα τιμών της. Ίσως όμως είναι μη ρεαλιστικό να υποθέσουμε ότι μια καλή πρόβλεψη της μπορεί να δοθεί από έναν απλό μέσο των παρελθουσών τιμών της. Είναι συχνά πιο λογικό τιμές της χρονικά πιο κοντινές σε μια μελλοντική παρατήρηση αναφοράς να παίζουν πιο σημαντικό ρόλο, από τις πιο απομακρυσμένες χρονικά τιμές. Σε μια τέτοια περίπτωση στις πιο πρόσφατες τιμές θα έπρεπε να δίνεται μεγαλύτερη βαρύτητα. Ένα απλό υπόδειγμα που εκφράζει την παραπάνω σκέψη είναι το υπόδειγμα του εκθετικά σταθμισμένου κινητού μέσου (exponenill weighed moving verge model, EWMA) το οποίο έχει τη μορφή: ˆ r0 r r εδώ το είναι ένας αριθμός μεταξύ του 0 και του που δείχνει πόσο περισσότερο βάρος δίνεται στις πρόσφατες τιμές σε σχέση με τις περισσότερο απομακρυσμένες προς το παρελθόν. Για, για παράδειγμα, η πρόβλεψη που γίνεται είναι η ˆ στην οποία αγνοούνται οποιεσδήποτε τιμές της που συνέβησαν πριν τη (3). Καθώς το γίνεται μικρότερο, δίνουμε μεγαλύτερη έμφαση στις πιο απομακρυσμένες τιμές. Παρατηρείστε ότι η εξίσωση (3) παριστάνει έναν πραγματικό μέσο, αφού r0 r και επομένως οι σταθμίσεις αθροίζουν στην μονάδα. Όμως με τέτοιου είδους υποδείγματα εμφανίζεται το εξής πρόβλημα: αν μια σειρά έχει μια ανοδική (καθοδική) τάση τότε το EWMA θα υποεκτιμά (υπερεκτιμά) τις μελλοντικές τιμές της. Αυτό συμβαίνει, αφού το υπόδειγμα σταθμίζει τις παρελθούσες τιμές της ώστε να δώσει μια πρόβλεψη. Αν η μειώνεται σταθερά, η πρόβλεψη του υποδείγματος EWMA για τη ˆ θα είναι επομένως μικρότερη από την πιο πρόσφατη τιμή, και αν η ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 6 ΚΕΦ.4 07

17 ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 7 ΚΕΦ.4 07 σειρά μεγαλώνει σταθερά, η ˆ θα είναι μια υποεκτίμηση της αληθινής τιμής της. Επομένως θα πρέπει να απαλειφθεί οποιαδήποτε τάση από τα δεδομένα πριν χρησιμοποιηθεί το υπόδειγμα EWMA. Στη συνέχεια και αφού γίνει η πρόβλεψη για τα δεδομένα χωρίς την τάση, προστίθεται και πάλι η συνιστώσα της τάσης ώστε να παραχθεί η τελική πρόβλεψη. Αν θέλουμε να κάνουμε μια πρόβλεψη k ˆ k περιόδων χρησιμοποιώντας ένα, υπόδειγμα EWMA, η εξίσωση (3) μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να περιέχει ένα σταθμικό μέσο των πιο πρόσφατων προβλέψεων ˆ,, ˆ, ˆ k k. Αυτή η λογική επέκταση υποδείγματος EWMA δίνεται από τη σχέση: 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k k k k k k Για παράδειγμα, έστω μια πρόβλεψη δύο περιόδων (κ=), η οποία θα μπορούσε να δοθεί από τη σχέση: ˆ ˆ r r r r r r r r r Επομένως η πρόβλεψη για δύο περιόδους είναι ίδια με την πρόβλεψη της μιας περιόδου. Γενικότερα αποδεικνύεται ότι και η πρόβλεψη σε k περιόδους είναι η ίδια με αυτήν της μιας περιόδου. Οι προβλέψεις με υποδείγματα κινητού μέσου είναι όλες προσαρμοστικές προβλέψεις. Με τον όρο προσαρμοστικές εννοούμε ότι αυτές αυτόματα προσαρμόζονται από μόνες τους στα πιο πρόσφατα διαθέσιμα δεδομένα. Αν και τα υποδείγματα κινητού μέσου που περιγράφονται παραπάνω είναι σίγουρα χρήσιμα, δεν παρέχουν πληροφορίες για το διάστημα εμπιστοσύνης της πρόβλεψης. Ο λόγος για αυτό είναι ότι δεν χρησιμοποιείται παλινδρόμηση για να εκτιμήσει το υπόδειγμα,

18 και έτσι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τυπικά σφάλματα, ούτε μπορούμε να περιγράψουμε ή να εξηγήσουμε τη στοχαστική συνιστώσα της χρονοσειράς. Είναι όμως αυτή η στοχαστική συνιστώσα που δημιουργεί το σφάλμα στις προβλέψεις μας. Αν δε λαμβάνεται υπόψη από το υπόδειγμα, πολύ λίγα μπορούν να λεχθούν για τα σφάλματα πρόβλεψης. 4.7 Τεχνικές εξομάλυνσης χρονολογικών οικονομικών δεδομένων (αστάθμιστοι κεντρικοί και μη κεντρικοί κινητοί μέσοι, απλή και διπλή εκθετική εξομάλυνση, μέθοδος Hol). Οι τεχνικές εξομάλυνσης παρέχουν ένα μέσο απαλοιφής ή τουλάχιστον μείωσης της μεταβλητότητας των βραχυχρόνιων (υψηλής συχνότητας) κυμάνσεων σε μια χρονοσειρά. Στην πραγματικότητα αυτό που επιτυγχάνεται με μια τέτοια εξομάλυνση είναι να απαλειφθεί η άρρυθμη συνιστώσα από τη χρονοσειρά. Κάτι τέτοιο είναι χρήσιμο, καθώς με τον τρόπο αυτό καθίσταται ευκολότερο να διακρίνουμε τάσεις και κυκλικέςεποχικές κυμάνσεις. Στην προηγούμενη παράγραφο συζητήθηκαν τα υποδείγματα κινητού μέσου (απλά και εκθετικά σταθμισμένα ) στο πλαίσιο της πρόβλεψης. Τα υποδείγματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την εξομάλυνση οικονομικών χρονοσειρών. Για παράδειγμα, ένας από τους απλούστερους τρόπους για εξομάλυνση μιας σειράς είναι να πάρουμε ένα n περιόδων απλό κινητό μέσο. Δηλώνοντας την αρχική σειρά με και την εξομαλυνόμενη σειρά με ~, έχουμε: ~ n n φυσικά όσο το n είναι πιο μεγάλο τόσο πιο λεία θα είναι η νέα σειρά που θα προκύψει. Ένα πρόβλημα με τα παραπάνω υποδείγματα εξομάλυνσης με απλό κινητό μέσο είναι ότι χρησιμοποιούν μόνο παρελθούσες και παρούσες τιμές της τιμή της για να δημιουργήσουν την ~. Αυτό το πρόβλημα εύκολα διορθώνεται χρησιμοποιώντας ένα κεντρικό ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 8 ΚΕΦ.4 07

19 (cenrl) κινητό μέσο στον οποίο το πλήθος των όρων είναι συνήθως περιττό. Για παράδειγμα, ένας πέντε περιόδων κεντρικός κινητός μέσος δίνεται από τη σχέση: ~ 5 Γενικά για τον απλό κεντρικό κινητό μέσο είναι καλύτερα να επιλέγεται περιττός αριθμός περιόδων. Στη γενική περίπτωση ένας τέτοιος κινητός μέσος n περιόδων θα δίνεται από τη σχέση: n / ( n) i n i0 Η εκθετική εξομάλυνση εμπλέκει τη χρήση του εκθετικά σταθμισμένου κινητού μέσου για εξομάλυνση (υπενθυμίζεται ότι αυτό το υπόδειγμα δίνει μεγαλύτερο βάρος στις πλέον πρόσφατες τιμές της επίσης ισχύει ότι ~ ). Η σειρά που προκύπτει δίνεται από τη σχέση: 3 3 και επομένως από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει η αναδρομική σχέση: ~ ~ με τη χρήση της οποίας υπολογίζεται το ~. Σημειώνεται ότι όσο πιο κοντά το πλησιάζει στη μονάδα, τόσο μεγαλύτερη βαρύτητα δίνεται στην παρούσα τιμή ~ ~ για τη δημιουργία της ~. Επομένως μικρότερες τιμές του α παρέχουν μια πιο λεία σειρά. Μερικές φορές όμως είναι επιθυμητό να επιτύχουμε έντονη εξομάλυνση χωρίς να δοθεί μεγάλο βάρος σε πιο απομακρυσμένες χρονικά τιμές. Σε μία τέτοια περίπτωση η χρήση του αναδρομικού τύπου με μία μικρή τιμή του δεν ενδείκνυται. Αντί αυτού μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της λεγόμενης διπλής εκθετικής εξομάλυνσης. Όπως υπονοεί και το όνομα της, η απλά εξομαλυνόμενη σειρά ~, εξομαλύνεται και πάλι: ~ ~ ~ ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 9 ΚΕΦ.4 07

20 Με αυτό τον τρόπο μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια μεγαλύτερη τιμή του, επομένως να μη δίνεται μεγάλη βαρύτητα σε απομακρυσμένες παρατηρήσεις, αλλά παρόλα αυτά η τελική σειρά ~ να είναι λεία σε μεγάλο βαθμό. Τροποποίηση του απλού υποδείγματος εκθετικής εξομάλυνσης μιας παραμέτρου αποτελεί το υπόδειγμα του Ηol δύο παραμέτρων το οποίο εμπεριέχει και διόρθωση για τις μεταβολές στη μακροχρόνια τάση: ~ ~ ( )( ~ r ) ( ~ r ~ ) ( ) r Η εξομάλυνση επιτυγχάνεται με τις παραπάνω δύο αναδρομικές εξισώσεις και εξαρτάται από δύο παραμέτρους α,γ με 0<α,γ. Όσο μικρότερη είναι η τιμή των παραμέτρων αυτών, τόσο εντονότερη είναι η εξομάλυνση. Η r είναι μια χρονοσειρά που εξομαλύνεται σύμφωνα με τη δεύτερη εξίσωση και παριστάνει το μέσο ρυθμό αύξησης της σειράς ~. Παράδειγμα 4.: Άδειες για νέες κατοικίες (από «Economeric Models nd Economic Forecss hird ediion, των Pindck nd Rubinfeld, σελ , βλ. Ενότητα 4.0 παρακάτω). ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 0 ΚΕΦ.4 07

21 4.8 Εφαρμογές κινητών μέσων στην τεχνική ανάλυση μετοχών και χρηματοοικονομικών παραγώγων. Η λεγόμενη τεχνική ανάλυση αποτελεί ένα σύνολο κανόνων βάσει των οποίων προσδιορίζονται οι κατάλληλες στιγμές για αγορά ή πώληση οποιουδήποτε περιουσιακού στοιχείου διαπραγματεύεται σε οργανωμένη αγορά. Τέτοια περιουσιακά στοιχεία δυνατόν να είναι για παράδειγμα μετοχικές αξίες, συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης επί μετοχών, δεικτών, εμπορευμάτων, ισοτιμιών, κλπ. Η δημιουργία αυτών των κανόνων, που μέχρι πρόσφατα στερούνταν αυστηρής μαθηματικής θεμελίωσης και στηρίζονταν κυρίως στην μελέτη των διαγραμμάτων των τιμών και του όγκου των συναλλαγών, οφείλεται κυρίως σε ανθρώπους της αγοράς, χωρίς ουσιαστική συμβολή της ακαδημαϊκής κοινότητας μέχρι τουλάχιστον τα τέλη της δεκαετίας του 80. Τα μέλη της τελευταίας, μέχρι και την δεκαετία του 80, στη συντριπτική τους πλειοψηφία, πίστευαν αυτό στο οποίο κατέληγε και η μεγάλη πλειοψηφία των στατιστικών μελετών πάνω σε χρηματιστηριακές τιμές που δημοσιεύονταν στα διεθνή επιστημονικά περιοδικά: ότι δηλαδή οι τιμές, με λίγες εξαιρέσεις, ενσωματώνουν πλήρως όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες. Μία τέτοια αγορά (στην οποία οι χρηματιστηριακές τιμές ενσωματώνουν πλήρως όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες) ονομάζεται αποτελεσματική (efficien mrke). Μάλιστα η αποτελεσματικότητα διαβαθμίζεται ανάλογα με το είδος των διαθέσιμων πληροφοριών. Με βάση τον πλέον κλασσικό τρόπο κατηγοριοποίησης των πληροφοριών η αγορά διαβαθμίζεται ως προς την αποτελεσματικότητα ως εξής: ) Αποτελεσματική κεφαλαιαγορά ασθενούς ισχύος (wek form mrke efficienc). Για αυτή τη βαθμίδα αποτελεσματικότητας το σύνολο των πληροφοριών αποτελούν οι παρελθούσες (ιστορικές) τιμές των αξιογράφων. ) Αποτελεσματική κεφαλαιαγορά μέσης ισχύος (semi-srong form mrke efficeinc). Γι' αυτή τη βαθμίδα αποτελεσματικότητας το σύνολο των πληροφοριών αποτελείται από κάθε δημοσιευμένη πληροφορία (π.χ. λογιστικές καταστάσεις, ανακοινώσεις στον οικονομικό τύπο κλπ). 3) Αποτελεσματική κεφαλαιαγορά υψηλής ισxύος (srong form mrke efficienc). Γι' αυτή τέλος τη βαθμίδα το σύνολο των πληροφοριών συνίσταται στην κάθε είδους εσωτερική πληροφόρηση. Κατά τους Elon nd Gruber (995) αν καταδειχθούν έκτακτα κέρδη σε μία συγκεκριμένη ομάδα συναλλασσόμενων (πχ. διαχειριστές αμοιβαίων κεφαλαίων), δεν είναι δυνατό να συμπεράνει κανείς αν τα κέρδη αυτά προέρχονται από ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. ΚΕΦ.4 07

22 εσωτερική πληροφόρηση, ή καλύτερη αξιοποίηση δημοσιευμένων πληροφοριών. Για το λόγο αυτό προτείνουν όπως το πληροφοριακό σύνολο για την περίπτωση αυτή περιλαμβάνει τόσο τη δημόσια όσο και την ιδιωτική πληροφόρηση. Με βάση τα παραπάνω, αν ίσχυε η υπόθεση της αποτελεσματικής αγοράς ασθενούς ισχύος η τεχνική ανάλυση θα ήταν εντελώς άχρηστη! Το έναυσμα για την αναζωπύρωση του ενδιαφέροντος για την τεχνική ανάλυση αποτέλεσε το χρηματιστηριακό κραχ της 9 ης Οκτωβρίου 987. Οι άνθρωποι της αγοράς στράφηκαν ακόμη περισσότερο προς την τεχνική ανάλυση αναζητώντας τρόπους προστασίας των χρηματιστηριακών επενδύσεων από παρόμοιες καταστάσεις στο μέλλον. Όμως, έστω και σε μικρότερο βαθμό, το ίδιο έγινε και με μία μερίδα της ακαδημαϊκής κοινότητας, καθώς έγινε αντιληπτό ότι ένα φαινόμενο σαν το χρηματιστηριακό κραχ είναι έντονα μη γραμμικό και επομένως δεν μπορεί να αντιμετωπισθεί με το διαθέσιμο οπλοστάσιο των γνωστών γραμμικών υποδειγμάτων. Η εικασία ότι οι μέθοδοι της τεχνικής ανάλυσης είναι πιθανό να ενσωματώνουν με εμπειρικό τρόπο τη μη γραμμική φύση των διακυμάνσεων των τιμών δεν ήταν δυνατόν να απορριφθεί, τουλάχιστον χωρίς να εξετασθεί, καθώς μέχρι τότε πολλοί από τους στατιστικούς ελέγχους της αποτελεσματικότητας της αγοράς στηρίζονταν σε γραμμικά υποδείγματα. Το 99 ο Nefci (Journl of Business vol. 64(4) ) χρησιμοποιώντας τη στατιστική έννοια των χρόνων Mrkov, έδειξε ότι αν τα σήματα αγοράς και πώλησης που δίνει ένας κανόνας αγοραπωλησίας είναι χρόνοι Mrkov, τότε ο κανόνας είναι από μαθηματικής πλευράς αποδεκτά ορισμένος, είναι εφικτό να εκφρασθεί ποσοτικά και να ελεγχθεί η προβλεπτική του ικανότητα. Ένας τέτοιος κανόνας, (όπως αποδεικνύει ο Nefci, 99) είναι αυτός των κινητών μέσων. Σύμφωνα με τον κανόνα αυτό, τα σημεία τομής της καμπύλης ενός μη κεντρικού κινητού μέσου (non cenered moving verge) των τιμών, με την καμπύλη που ενώνει τις διαδοχικές τιμές αποτελούν σήματα αγοράς ή πώλησης. Η φιλοσοφία του κανόνα μπορεί, εν μέρει, να ερμηνευτεί με τον ακόλουθο τρόπο: Σύμφωνα με μία από τις θεμελιώδεις αρχές της τεχνικής ανάλυσης οι τιμές κινούνται ακολουθώντας τάσεις προς μία ορισμένη κατεύθυνση έως ότου κάτι συμβεί και αλλάξει η κατεύθυνση αυτή. Μία τάση που έχει ήδη διαμορφωθεί είναι πιθανότερο να συνεχιστεί παρά να αντιστραφεί. Άρα οι αγορές θα κινούνται ανοδικά, καθοδικά, ή θα έχουν «πλευρική» κατεύθυνση, δηλ. θα κινούνται μέσα ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. ΚΕΦ.4 07

23 σε μία οριζόντια ζώνη. Αν η χρονοσειρά των τιμών ακολουθούσε καθοδική κίνηση και σταδιακά αρχίζει να κινείται ανοδικά δημιουργώντας μία ανοδική τάση, τότε ένας μη κεντρικός κινητός μέσος, ενώ όσο διαρκούσε η καθοδική κίνηση σταθερά θα υπερεκτιμούσε τις τιμές, λίγο (το πόσο «λίγο» εξαρτάται από το μήκος του) μετά την έναρξη της ανοδικής τάσης θα τις υποεκτιμά. Άρα κάποια στιγμή λίγο μετά την αναστροφή της τάσης, η γραμμή που συνδέει τις τιμές μεταξύ τους θα τμήσει εκ των κάτω την καμπύλη που παριστάνει τον κινητό μέσο. Με αυτό τον τρόπο δίνεται ένα σήμα αγοράς καθώς το σημείο τομής αποτελεί την ένδειξη αντιστροφής της ανοδικής τάσης. Σκεπτόμενοι με ανάλογο τρόπο, όταν η γραμμή που συνδέει τις τιμές τμήσει την καμπύλη του κινητού μέσου εκ των άνω, αυτό θα είναι σήμα πώλησης, καθώς θα σημαίνει την έναρξη μιας καθοδικής τάσης. Οι κανόνες αυτοί ισχύουν τόσο για τις τιμές των μετοχικών αξιών, όσο και για τις τιμές των παραγώγων χρηματοοικονομικών προϊόντων. Γενικεύοντας τα παραπάνω θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει δύο κινητούς μέσους διαφορετικού μήκους, οπότε στην περίπτωση αυτή τα σήματα αγοράς ή πώλησης θα είναι τα σημεία τομής των δύο κινητών μέσων. Πιο συγκεκριμένα οι κανόνες αγοραπωλησίας μπορούν να ορισθούν με τον ακόλουθο τρόπο: Ορίζουμε δύο κινητούς μέσους, έναν μεγαλύτερου και έναν μικρότερου μήκους (MAL και MAS αντίστοιχα) ως εξής: MAL N N ( P s s0 M MAS ( P ) με Ν>Μ s M s0 και: ) D =ΜAL -MAS Η D παριστάνει τη διαφορά μεταξύ των δύο κινητών μέσων, του συγκριτικά πιο μακροχρόνιου (ΜΑL) και του συγκριτικά πιο βραχυχρόνιου (MAS). Οι χρόνοι τ i των σημάτων αγοραπωλησιών μπορούν να ορισθούν με τη συνθήκη D. D - <0, εφόσον είναι γνωστό το πρόσημο της D για χρόνο = (αρχική συνθήκη). Οι κανόνες αγοραπωλησίας που συζητήθηκαν παραπάνω χρησιμοποιούν μη κεντρικούς κινητούς μέσους και εκμεταλλεύονται τη χρονική υστέρηση με την οποία εμφανίζονται τα σημεία καμπής στους κινητούς μέσους σε σχέση με την καμπύλη των ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 3 ΚΕΦ.4 07

24 τιμών. Αντίθετα οι κεντρικοί κινητοί μέσοι, δεν εμφανίζουν υστέρηση σε σχέση με την καμπύλη των τιμών και χρησιμοποιούνται για την ανάδειξη «κύκλων» στις διακυμάνσεις των τιμών. Τα σχήματα που ακολουθούν βοηθούν ώστε να κατανοηθούν καλύτερα τόσο η διαφορά μεταξύ ενός μη κεντρικού και ενός κεντρικού κινητού μέσου, όσο και οι κανόνες αγοραπωλησίας. Κεντρικός και μη κεντρικός κινητός μέσος ίσου μήκους (3-εβδομάδες) σε κοινό διάγραμμα με τις τιμές. ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 4 ΚΕΦ.4 07

25 Διάγραμμα ημερήσιων τιμών χαλκού (άνοιγμα, κλείσιμο, υψηλό, χαμηλό) και κινητοί μέσοι ημερών (κεντρικός στο πάνω σχήμα, μη κεντρικός στο κάτω) ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 5 ΚΕΦ.4 07

26 Διάγραμμα ημερήσιων τιμών κλεισίματος και όγκου καθώς και κινητός μέσος 30 ημερών για την μετοχή της ΕΥΔΑΠ. ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 6 ΚΕΦ.4 07

27 4.9 Εποχική διόρθωση. Με την παρακολούθηση των μεταβολών των οικονομικών μεγεθών, π.χ. σε μηνιαία βάση, επιτυγχάνεται η έγκαιρη διάγνωση των υφιστάμενων τάσεων και έτσι καθίσταται δυνατή η ενδεχόμενη λήψη κατάλληλων μέτρων. Εν τούτοις η σύμφωνα με τα ανωτέρω απαραίτητη παρακολούθηση της βραχυχρόνιας εξέλιξης των οικονομικών μεγεθών καθίσταται δυσχερής λόγω ρυθμικών κυμάνσεων εποχικής φύσεως δηλαδή κυμάνσεων με περίοδο ενός έτους. Αυτή η εποχική κύμανση είναι το αποτέλεσμα της επίδρασης συστηματικών παραγόντων οι οποίοι είναι κλιματικής ή άλλης (π.χ. εθιμικής) φύσεως. Ως παραδείγματα δύνανται να αναφερθούν οι εισπράξεις από τουριστικές υπηρεσίες (επίδραση κλίματος) και οι δαπάνες για αγορές δώρων σε εορταστικές περιόδους (εθιμική επίδραση). Η εποχική διόρθωση, δηλαδή η απαλοιφή της εποχικής συνιστώσας από μία χρονοσειρά, αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για τη μελέτη του συνόλου σχεδόν των οικονομικών και νομισματικών μεγεθών, τουλάχιστον όσον αφορά τις βραχυχρόνιες αναλύσεις και προβλέψεις. Για το σκοπό αυτό έχουν επινοηθεί πολλές μέθοδοι - από τις πλέον απλές, όπως για παράδειγμα ο υπολογισμός δωδεκάμηνων ρυθμών μεταβολής για τη μελέτη μεγεθών που παρατηρούνται σε μηναία βάση, μέχρι τις πιο σύνθετες, όπως τα εξειδικευμένα στατιστικά υποδείγματα για την ανάλυση χρονολογικών σειρών- κάθε μια με τα δικά της πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα, που σε κάποιο βαθμό αντανακλώνται και στην ποιότητα των εποχικά διορθωμένων στοιχείων που προκύπτουν από την εφαρμογή τους. Όμως, παρά τη μεγάλη αυτή σημασία των εποχικά διορθωμένων στοιχείων, δεν έχει μέχρι σήμερα συμφωνηθεί σε κοινοτικό ή άλλο επίπεδο μια κοινά αποδεκτή μέθοδος και διαδικασία εποχικής διόρθωσης. Οι σύγχρονες μέθοδοι εποχικής διόρθωσης, είναι αρκετά περίπλοκες και απαιτούν τη χρήση εξειδικευμένου λογισμικού. Γενικά η επίδραση της εποχικότητας σε μία χρονική σειρά δύναται να διακριθεί σε δύο κατηγορίες: (α) σταθερού εποχικού προτύπου, και (β) μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου οι οποίες και εξετάζονται παρακάτω. Το σταθερό εποχικό πρότυπο Η μέθοδος εποχικής διόρθωσης που θα διαπραγματευτούμε εδώ είναι βασικά ένας d hoc τρόπος υπολογισμού εποχικών δεικτών (οι οποίοι προσπαθούν να μετρήσουν τη εποχική μεταβλητότητα στη σειρά). Χρησιμοποιώντας αυτούς τους δείκτες είναι δυνατό να διορθωθεί εποχικά μια χρονοσειρά απαλείφοντας την εποχική συνιστώσα. Το σταθερό ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 7 ΚΕΦ.4 07

28 εποχικό πρότυπο στηρίζεται στην υπόθεση ότι η εποχική κύμανση επαναλαμβάνεται πανομοιότυπα σε όλα τα έτη. Στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής εποχικότητας κάθε μήνα αν και εν γένει διαφέρει από τους αντίστοιχους συντελεστές των υπολοίπων μηνών, παραμένει σταθερός για όλα τα έτη. Οι τεχνικές της εποχικής διόρθωσης σταθερών συντελεστών βασίζονται στην ιδέα ότι μία χρονοσειρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα γινόμενο τεσσάρων συνιστωσών: L S C I όπου L η τιμή της μακροχρόνιας τάσης στην σειρά S η τιμή της εποχικής συνιστώσας C (μακροχρόνια) κυκλική συνιστώσα I άρρυθμη συνιστώσα (συνιστώσα θορύβου) Ο σκοπός είναι να απαλειφθεί η εποχική συνιστώσα S. Για να γίνει αυτό πρώτα προσπαθούμε να απομονώσουμε το συνδυασμό της μακροχρόνιας τάσης και της κυκλικής συνιστώσας L C. Αυτό γίνεται με μια διαδικασία εξομάλυνσης ώστε να απαλειφθούν η εποχική συνιστώσα και η συνιστώσα θορύβου S I από την πραγματική σειρά. Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι η αποτελείται από μηνιαία δεδομένα, ένας -μηνος κινητός μέσος ~ υπολογίζεται ως: ~ 6 Με αυτό τον τρόπο η ~ εξομαλύνεται ώστε να μην περιέχει την εποχική και την άρρυθμη συνιστώσα και άρα είναι μια εκτίμηση του δεδομένα με την εκτίμηση του LC συνιστώσας θορύβου και εποχικότητας 5 L C. Στη συνέχεια διαιρούμε τα αρχικά για να πάρουμε μια εκτίμηση της συνδυασμένης S I : L C S I L C S I ~ z Το επόμενο βήμα είναι να απαλειφθεί η συνιστώσα θορύβου όσο πληρέστερα γίνεται έτσι ώστε να έχουμε τον εποχικό δείκτη. Για να γίνει αυτό λαμβάνουμε το μέσο όρο των τιμών της S I για τον ίδιο μήνα. Με άλλα λόγια έστω η τιμή (και επομένως z ) αναφέρεται ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 8 ΚΕΦ.4 07

29 στον Ιανουάριο, στον Φεβρουάριο, κλπ., και έστω ότι υπάρχουν δεδομένα 48 μηνών. Επομένως υπολογίζουμε: ~ z z z3 z5 z 4 ~ z z z4 z6 z ~ z z 4 z Η λογική εδώ είναι ότι όταν τα z σταθμίζονται για κάθε μήνα οι ακανόνιστες διαταραχές εξομαλύνονται σε μεγάλο βαθμό. Οι δώδεκα μέσοι ~ z, ~ z,, ~ z θα είναι επομένως οι εκτιμήσεις των εποχικών δεικτών και θα πρέπει να αθροίζουν σε αλλά δεν θα κάνουν τόσο ακριβώς αν υπάρχει κάποια 4 z z μακροχρόνια τάση στα δεδομένα. Οι τελικοί εποχικοί δείκτες 48 υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τους δείκτες με ένα παράγοντα που φέρνει το άθροισμά τους στο ~ z, ~ z, ~ z θα έχουμε: και έτσι για τους τελικούς δείκτες ~ z ~ z i i ~ z i i Η απαλοιφή της εποχικότητας από την αρχική σειρά είναι τώρα άμεση: αρκεί να διαιρεθεί κάθε τιμή στη σειρά με τον αντίστοιχο δείκτη εποχικότητας, αφήνοντας έτσι τις άλλες τρεις συνιστώσες ανεπηρέαστες. Επομένως η εποχικά διορθωμένη σειρά από τις σχέσεις: / z, / z,, / z λαμβάνεται Παράδειγμα 4.3: Άδειες ανέγερσης νέων κατοικιών - εποχική διόρθωση (βλ. ενότητα 4.0 παρακάτω). Το μεταβαλλόμενο εποχικό πρότυπο. Στη γενική περίπτωση η εποχικότητα, δεδομένης της συν τω χρόνω μεταβολής των κοινωνικοοικονομικών συνθηκών, σταδιακά μεταβάλλει τη μορφή της με αποτέλεσμα ο εποχικός δείκτης ενός συγκεκριμένου μήνα να μην είναι σταθερός αλλά να μεταβάλλεται από έτος σε έτος. Στην περίπτωση αυτή σε κάθε μήνα κάθε έτους αντιστοιχεί και διαφορετικός εποχικός δείκτης. Η στατιστική επεξεργασία για την απαλοιφή της εποχικής ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 9 ΚΕΦ.4 07

30 συνιστώσας για την περίπτωση αυτή είναι σαφώς συνθετότερη από αυτήν που περιγράψαμε για την περίπτωση του σταθερού εποχικού προτύπου και γίνεται με τη βοήθεια εξειδικευμένου στατιστικού λογισμικού. Τα κυριότερα εν χρήσει στατιστικά προγράμματα που χρησιμοποιούνται για το σκοπό σχολιάζονται στο Παράρτημα. Η πλήρης ανάπτυξη του χρονικά μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου ξεφεύγει των ορίων του παρόντος. Μία σκιαγράφηση του θέματος γίνεται στο Παράρτημα. Τονίζεται με έμφαση ότι η εποχική συνιστώσα, όπως και όλες οι υπόλοιπες συνιστώσες, μιας χρονοσειράς δεν είναι απευθείας παρατηρήσιμη/μετρήσιμη, και για την περίπτωση του μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου δεν υπάρχει μονοσήμαντα ένας και μόνο τρόπος ανάλυσης (αποσύνθεσης) μίας χρονοσειράς σε συνιστώσες. Έτσι, για την ανάλυση μιας χρονοσειράς στις συνιστώσες της γίνονται ορισμένες παραδοχές, οι οποίες όμως δεν είναι κοινές σε όλα τα λογισμικά προγράμματα, με αποτέλεσμα να δημιουργούνται προβλήματα στην ερμηνεία και συγκρισιμότητα των εποχικά διορθωμένων σειρών που προκύπτουν από διαφορετικά προγράμματα. ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 30 ΚΕΦ.4 07

31 4.0 Παραδείγματα Κεφαλαίου 4 Παράδειγμα 4.. Σύγκριση προβλέψεων πωλήσεων πολυκαταστημάτων με απλά υποδείγματα προέκτασης ( ) Σε αυτό το παράδειγμα απλά υποδείγματα προέκτασης χρησιμοποιούνται για να προβλεφθούν προσεγγιστικά μηνιαίες λιανικές πωλήσεις πολυκαταστημάτων. Η χρονοσειρά παρατίθεται παρακάτω, όπου οι μηνιαίες παρατηρήσεις είναι εποχικώς διορθωμένες και καλύπτουν την περίοδο από τον Ιανουάριο του 968 έως τον Μάρτιο του 974, οι μονάδες μέτρησης είναι εκατομμύρια δολάρια, και η πηγή των δεδομένων είναι το Υπουργείο Εμπορίου των Ηνωμένων Πολιτειών Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σεπτέμβριος Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος Κάποιος μπορεί να θελήσει να προεκτείνει τις μηνιαίες πωλήσεις για τον Απρίλιο, το Μάιο και τους επόμενους μήνες του 974. Γι αυτό το παράδειγμα, προεκτείνουμε τις πωλήσεις για τον Απρίλιο του 974. Τα αποτελέσματα από τέσσερις παλινδρομήσεις που σχετίζονται με τέσσερα από τα υποδείγματα τάσης που περιγράφονται στη θεωρία παρατίθενται παρακάτω (Το στατιστικό σε παρένθεση) : Γραμμικό υπόδειγμα τάσης : Τα παραδείγματα του Κεφαλαίου 4 είναι από το σύγγραμμα των Pindck nd Rubinfeld «Economeric Models nd Economic Forecss», 3 rd Ediion, McGrw Hill ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 3 ΚΕΦ.4 07

32 ΠΩΛΗΣΕΙΣ =, (84.9) (39.5) R = 0,955 F(/73) =,557 DW = 0,38 (το DW συμβολίζει το στατιστικό των Durbin Wson που στην περίπτωση αυτή υποδηλώνει έντονη θετική αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα του υποδείγματος, συνεπώς και η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R, πρέπει να αξιολογηθεί με σοβαρή επιφύλαξη. Λόγω του εντελώς προσεγγιστικού χαρακτήρα της προέκτασης δε θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το θέμα). Λογαριθμικό γραμμικό υπόδειγμα τάσης (εκθετική αύξηση) : log ΠΩΛΗΣΕΙΣ = 7, ,0077 (,000) (5,6) R = 0,974 F(/73) =,750 DW = 0,56 Αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα τάσης : ΠΩΛΗΣΕΙΣ = ,007 ΠΩΛΗΣΕΙΣ (0,09) (65,05) R = 0,983 F(/7) = 3,89 Λογαριθμικό αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα τάσης: log ΠΩΛΗΣΕΙΣ = 0, ,9987 log ΠΩΛΗΣΕΙΣ (0,6) (70,37) R = 0,985 F(/7) = 4,54 Στην πρώτη παλινδρόμηση, μια χρονική μεταβλητή που κυμαίνεται από το 0 έως το 74 έχει καταστευαστεί και μετά χρησιμοποιήθηκε ως ανεξάρτητη μεταβλητή. Όταν =75 τοποθετείται στο δεξί μέρος της εξίσωσης ΠΩΛΗΣΕΙΣ =.463, + 6,70 η πρόβλεψη που προκύπτει είναι 4.465,8. Η χρήση της δεύτερης λογαριθμικής-γραμμικής εξίσωσης αποφέρει μια πρόβλεψη ίση με 4.55,5. Η τρίτη παλινδρόμηση, που βασίζεται σε μια διαδικασία ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 3 ΚΕΦ.4 07

33 αυτοπαλινδρόμησης, αποφέρει μια προεκτεινόμενη τιμή για τον Απρίλιο του 974 ίση με 4.736,8 : 4.736,8 4,9 +,007 x Το αποτέλεσμα της τέταρτης παλινδρόμησης είναι βασισμένο στο λογαριθμικό υπόδειγμα αυτοπαλινδρόμησης. Η προεκτεινόμενη τιμή σε αυτή την περίπτωση είναι 4.735,6. Εάν κάποιος ήθελε να υπολογίσει ένα σύνθετο ρυθμό ανάπτυξης για τις σειρές και να προεκτείνει στη βάση όπου ο ρυθμός ανάπτυξης παραμένει αμετάβλητος, η προεκτεινόμενη τιμή θα ήταν 4.739,3. ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 33 ΚΕΦ.4 07

34 Οι εκτιμηθείσες και οι πραγματικές σειρές απεικονίζονται γραφικά για κάθε ένα από τα τέσσερα υποδείγματα προέκτασης στο παραπάνω σχήμα. Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι τα δύο υποδείγματα αυτοπαλινδρόμησης είναι πιο κοντά στην πραγματική σειρά στο τέλος της περιόδου. Φυσικά, θα μπορούσαν να είχαν χρησιμοποιηθεί άλλα υποδείγματα τάσης για να επεκτείνουμε τα δεδομένα. Για παράδειγμα ο αναγνώστης μπορεί να δοκιμάσει να υπολογίσει μια πρόβλεψη βασισμένη σε ένα τετραγωνικό υπόδειγμα τάσης. Επισημαίνεται και πάλι, ότι παρά το γεγονός ότι η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού υποδηλώνει πολύ καλή προσαρμογή σε όλα τα υποδείγματα, η τιμή του στατιστικού DW είναι ιδιαίτερα χαμηλή πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει έντονη αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα των δύο πρώτων υποδειγμάτων. Εξάλλου και στα άλλα δύο υποδείγματα υπάρχει έντονη αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα. Για το λόγο αυτό τα αποτελέσματα πρέπει να ερμηνευτούν με επιφύλαξη. Παράδειγμα 4. Μηνιαίες ενάρξεις ανέγερσης νέων κατοικιών στις ΗΠΑ Η χρονοσειρά για μηνιαίες άδειες ανέγερσης κατοικιών στις Ηνωμένες Πολιτείες αποτελεί ένα καλό παράδειγμα για την εφαρμογή των μεθόδων εξομάλυνσης και εποχικής διόρθωσης. Η σειρά παρουσιάζει σημαντικές διακυμάνσεις και επίσης παρουσιάζει σημαντική εποχική μεταβολή. Σ αυτό το παράδειγμα εξομαλύνουμε τη σειρά χρησιμοποιώντας τον απλό κινητό μέσο και εκθετικές μεθόδους εξομάλυνσης. Ξεκινάμε χρησιμοποιώντας κεντρικούς μέσους όρους τριών - και επτά περιόδων για να εξομαλύνουμε τις σειρά δηλ. παράγουμε την εξομαλυμένη σειρά από την αρχική σειρά χρησιμοποιώντας τη σχέση: n / ( n) i n i0 όταν το n=3 ή 7. Επισημαίνεται ότι αφού ο κινητός μέσος είναι κεντρικός, δεν χρειάζεται να απαλείψουμε την τάση των σειρών πριν την εξομάλυνση. Η αρχική σειρά, μαζί με τις δύο σειρές που έχουν εξομαλυνθεί, φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Παρατηρείστε ότι ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 34 ΚΕΦ.4 07

35 η χρήση του κινητού μέσου όρου 7-περιόδων εξομαλύνει σε μεγάλο βαθμό τη σειρά και ακόμη εξαλείφει κάποια από την εποχική μεταβολή. Τώρα χρησιμοποιούμε την εκθετική μέθοδο εξομάλυνσης. Αφού η αρχική σειρά αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου και ο εκθετικά σταθμισμένος κινητός μέσος δεν είναι κεντρικός, όπως είδαμε στη θεωρία οι σειρές μετά την εξομάλυνση θα υποεκτιμούν την αρχική σειρά εκτός κι αν πρώτα απαλείψουμε την τάση της σειράς. Για να απαλείψουμε την τάση της αρχικής σειράς υποθέτουμε μια γραμμική τάση (θα μπορούσαμε φυσικά να εξετάσουμε εναλλακτικές χρονικές τάσεις), και προκύπτει το παρακάτω υπόδειγμα παλινδρόμησης για την τάση: = 56,8 +,083 R = 0,360 (-3,36) (5,37) Τα κατάλοιπα u από αυτή την παλινδρόμηση, που είναι, u = + 56,8,083 μας παρέχουν τη σειρά στην οποία έχει γίνει απαλοιφή της τάσης. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε εκθετική εξομάλυνση σε αυτή τη σειρά που της έχει αφαιρεθεί η τάση. Χρησιμοποιούμε δύο εναλλακτικές τιμές της παραμέτρου εξομάλυνσης, α = 0,8 (ελαφρά εξομάλυνση) και α = 0, (έντονη εξομάλυνση). Τελικά παίρνουμε τις ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 35 ΚΕΦ.4 07

36 «λειασμένες» σειρές που τους έχει αφαιρεθεί η τάση u και προσθέτουμε την τάση εκ νέου δηλ. υπολογίζουμε = u 56,8 +,083 Η αρχική σειρά και οι λειασμένες σειρές φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί: ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 36 ΚΕΦ.4 07

37 Παρατηρούμε ότι οι εποχικές μεταβολές, ενώ μειώνονται, ωθούνται προς τα εμπρός λόγω της έντονης εκθετικής εξομάλυνσης. Αυτό συμβαίνει, επειδή ο εκθετικά σταθμισμένος κινητός μέσος όρος δεν είναι κεντρικός. Έτσι, αν μια σειρά δείχνει μεγάλες εποχικές μεταβολές, η εκθετική εξομάλυνση θα πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο αφού η σειρά έχει διορθωθεί εποχικά. Παράδειγμα 4.3 Μηνιαίες ανεγέρσεις νέων κατοικιών στις ΗΠΑ: Εποχική διόρθωση Ας εφαρμόσουμε τώρα την τεχνική της εποχικής διόρθωσης με το σταθερό εποχικό πρότυπο στη σειρά μας για μηνιαίες άδειες ανέγερσης κατοικιών (βλέπε Παράδειγμα 4.). Για να το κάνουμε αυτό πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε ένα -μηνο κινητό μέσο της αρχικής σειράς και μετά να διαιρέσουμε το με το, το οποίο είναι ο υπολογισμός z =. Παρατηρείστε ότι το z περιέχει (χονδρικά) την εποχική και άρρυθμη (ακανόνιστη) συνιστώσα της αρχικής σειράς. Απομακρύνουμε την άρρυθμη συνιστώσα υπολογίζοντας κατά μέσο όρο τις τιμές του z που αντιστοιχούν στον ίδιο μήνα δηλ. υπολογίζουμε z, z,, z Τέλος υπολογίζουμε τους τελικούς εποχικούς δείκτες z, z, z, z πολλαπλασιάζοντας τα z, z,, z με έναν παράγοντα που κάνει το ' ' ' ' 3 4 άθροισμά τους ίσο με. Οι τελικοί εποχικοί δείκτες είναι ως εξής : Εποχικοί Δείκτες Μήνας Δείκτης Μήνας Δείκτης Ιανουάριος 0,555 Ιούλιος,900 Φεβρουάριος 0,79 Αύγουστος,454 Μάρτιος 0,9996 Σεπτέμβριος,0675 Απρίλιος,95 Οκτώβριος,083 Μάιος,56 Νοέμβριος 0,8643 Ιούνιος,609 Δεκέμβριος 0,6584 Αυτοί οι εποχικοί δείκτες απεικονίζονται στο σχήμα που ακολουθεί: ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 37 ΚΕΦ.4 07

38 Για να απαλείψουμε την εποχικότητα από τη σειρά αρκεί να διαιρέσουμε κάθε τιμή στη σειρά με τον αντίστοιχό της παράγοντα (εποχικό δείκτη). Η αρχική σειρά μαζί με την εποχικά διορθωμένη σειρά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 38 ΚΕΦ.4 07

39 Παρατηρείστε ότι η εποχική μεταβολή έχει ελαττωθεί στην διορθωμένη σειρά, ενώ παραμένουν η μακροχρόνια τάση και οι βραχυπρόθεσμες ακανόνιστες διακυμάνσεις. ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 39 ΚΕΦ.4 07

40 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Σύντομη περιγραφή των κυριότερων λογισμικών προγραμμάτων για εποχική διόρθωση. Τα κυριότερα λογισμικά προγράμματα εποχικής διόρθωσης είναι τα ακόλουθα: Χ- REG-ΑRΙΜΑ. Αποτελεί βελτιωμένη έκδοση των προγραμμάτων Χ-, Χ- και Χ- ΑΡΙΜΑ. Χρησιμοποιεί πολλούς διαγνωστικούς ελέγχους για την εξάλειψη τυχόν προβλημάτων, αλλά στηρίζεται σε εμπειρικά φίλτρα για την εποχική διόρθωση. Για την πλήρη λειτουργία απαιτείται περιβάλλον SAS. RAMO-SEAS. 3 Χρησιμοποιεί και αυτό πολλούς διαγνωστικούς ελέγχους, ενώ για την εποχική διόρθωση χρησιμοποιούνται ειδικά φίλτρα (φίλτρα Wiener- Kolmogorov), τα οποία προσαρμόζονται ανάλογα με τις στοχαστικές ιδιότητες της εξεταζόμενης σειράς. Η τελευταία έκδοση λειτουργεί και σε περιβάλλον WINDOWS με το όνομα SW, αλλά είναι λιγότερο «φιλικό με το χρήστη» από ότι το προηγούμενο. SAMP. 4 Στο πρόγραμμα αυτό η ανάλυση και η εποχική διόρθωση στηρίζεται σε διαρθρωτικά υποδείγματα χρονολογικών σειρών (υποδείγματα Hrve). Με το πρόγραμμα αυτό είναι δυνατό να γίνει ταυτόχρονη εποχική διόρθωση σε όλες τις μεταβλητές που υπεισέρχονται σε ένα συγκεκριμένο οικονομετρικό υπόδειγμα. Η τελευταία έκδοσή του λειτουργεί σε περιβάλλον MS-DOS και WINDOWS. DEMERA. o πρόγραμμα αυτό δημιουργήθηκε από την EUROSA ως «συγκερασμός» των προγραμμάτων RAMO-SEAS και X--REG ARIMA. Ωστόσο, δεν περιέχει μερικά βασικά χαρακτηριστικά των RAMO-SEAS και X- -REG ARIMA και για τους λόγους αυτούς τείνει να εγκαταλειφθεί. Λοιπά προγράμματα. Εκτός από τα προαναφερόμενα υπάρχουν και άλλα λογισμικά προγράμματα εποχικής διόρθωσης (SABL, BV4, GLAS), τα οποία όμως σιγά-σιγά εγκαταλείπονται από τους χρήστες τους, λόγω των περιορισμένων δυνατοτήτων τους. Έχει αναπτυχθεί από το Γραφείο Στατιστικής (Census) των ΗΠΑ και τη Στατιστική Υπηρεσία του Καναδά. 3 Από τα αρχικά ime series Regression wih ARIMA noise Missing observions nd Ouliers και Signl Exrcion in ARIMA ime Series. Το πρόγραμμα αυτό δημιουργήθηκε από τους Mrvll και Gomez, Τράπεζα της Ισπανίας, με την υποστήριξη και της EUROSA. 4 Από τα αρχικά Srucurl ime Series Anlsis Modeller nd Predicor. Δημιουργήθηκε από τους Hrve (ΜΒ) και Coopmn (Ολλανδία). ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 40 ΚΕΦ.4 07

41 Σημειώνεται ότι ενώ τα φίλτρα του RAMO-SEAS υπερέχουν θεωρητικά λόγω της ευελιξίας τους από τα d-hoc φίλτρα του X--ARIMA, εν τούτοις στην πράξη παρατηρούνται ορισμένα προβλήματα με τις σταθμίσεις τους. Μάλιστα, οι σχετικές συγκρίσεις που έγιναν κατά συστηματικό τρόπο μεταξύ των δύο προγραμμάτων από ειδικές επιτροπές που συστάθηκαν από την ΕΚΤ και την EUROSA δεν έδειξαν υπεροχή του ενός προγράμματος έναντι του άλλου και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τόσο το RAMO-SEAS όσο και το X--REG -ARIMA είναι εξίσου αποδεκτά για εποχική διόρθωση. Ως αποτέλεσμα, η ΕΚΤ χρησιμοποιεί το X--ARIMA για να διορθώσει εποχικά τα νομισματικά μεγέθη και τα μεγέθη του ισοζυγίου πληρωμών που δημοσιεύονται στο Μηνιαίο Δελτίο της ΕΚΤ, ενώ, όπως τουλάχιστον έχει αναφερθεί, το RAMO-SEAS εφαρμόζεται για την εποχική διόρθωση σειρών που χρησιμοποιούνται για ανάλυση εντός της ΕΚΤ. Οι περισσότερες από τις πιο παλαιές χώρες-μέλη της ΕΕ εφαρμόζουν το X- REG ARIMA, μερικές από τις οποίες μάλιστα υιοθέτησαν το πρόγραμμα αυτό σε αντικατάσταση άλλων προγραμμάτων (πχ. η Τράπεζα της Αγγλίας αντικατάστησε στις αρχές του 003 με το X- ARIMA το GLAS που χρησιμοποιούσε μέχρι τότε και, ενωρίτερα, το 00 η Ομοσπονδιακή Τράπεζα της Γερμανίας αντικατάστησε επίσης με το X- ARIMA το Χ-), ενώ ένας μικρός αριθμός παλαιών χωρών της ΕΕ χρησιμοποιεί το RAMO-SEAS. Αντίθετα, στις νέες χώρες-μέλη της ΕΕ επικρατεί η χρήση του RAMO-SEAS. ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 4 ΚΕΦ.4 07

42 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Σύντομη σκιαγράφηση του μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου. Γραμμικοποίηση χρονοσειρών Ως γνωστόν, τα αυτοπαλινδρομικά ολοκληρωμένα κινητού μέσου υποδείγματα (ARIMA, uoregressive inegred moving verge) αποτελούν έναν πρακτικό τρόπο μοντελοποίησης των χαρακτηριστικών των χρονοσειρών. Παρ όλα αυτά, προτού προχωρήσουμε στη δημιουργία ενός υποδείγματος ARIMA μπορεί να απαιτούνται προηγουμένως διορθώσεις ή προρρυθμίσεις. Αυτές τις ταξινομούμε σε τρεις ομάδες: ) Ακραίες τιμές (ouliers) Οι σειρές μπορεί να υπόκεινται σε απότομες αλλαγές (ακραίες τιμές) που δεν μπορούν να εξηγηθούν με την υποκείμενη στοχαστική διαδικασία που περιγράφεται με ένα υπόδειγμα ARIMA. Διακρίνονται τρείς κύριοι τύποι της επίδρασης των ακραίων τιμών: α) Προσθετική ακραία τιμή (Addiive Oulier, AO) που επιδρά μόνο σε μια μεμονωμένη παρατήρηση. β) Αλλαγή επιπέδου (Level Shif, LS) που συνεπάγεται μια αλλαγή στο μέσο επίπεδο των σειρών. γ) Παροδικής Επίδρασης ακραία τιμή (rnsior Chnge, C) που μοιάζει με την προσθετική ακραία τιμή, αλλά η επίδρασή της δεν αποσβήνει άμεσα αλλά σε μερικές περιόδους. Οι Chen και Liu (993) πρότειναν μια προσέγγιση για την αυτόματη ανίχνευση και διόρθωση των ακραίων τιμών. ) Ημερολογιακές επιδράσεις (clendr effec) Με αυτόν τον όρο εννοούμε την επίδραση των ημερολογιακών ημερομηνιών, όπως ο αριθμός των εργάσιμων ημερών για μια περίοδο (π.χ. ένα μήνα), την περίοδο του Πάσχα ή των διακοπών. Αυτές οι επιδράσεις συνήθως είναι ενσωματωμένες στο υπόδειγμα μέσω μεταβλητών παλινδρόμησης. 3) Μεταβλητές παρέμβασης (inervenion vribles) Συχνά, ιδιαίτερα ή ασυνήθιστα γεγονότα επιδρούν στην εξέλιξη των σειρών και δεν μπορούν να συμπεριληφθούν στο υπόδειγμα ARIMA. Επομένως, υπάρχει η ανάγκη να ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 4 ΚΕΦ.4 07

43 «παρέμβουμε» στις σειρές για να διορθωθούν ως προς την επίδραση των εκτάκτων γεγονότων. Ως παραδείγματα μπορούμε να αναφέρουμε απεργίες, υποτιμήσεις, αλλαγή του βασικού δείκτη ή του τρόπου δόμησης των σειρών, φυσικές καταστροφές, πολιτικά γεγονότα, σημαντικές φορολογικές αλλαγές ή νέοι κανονισμοί, κ.λπ. Αυτές οι ειδικές επιδράσεις μπορούν να εισαχθούν στο υπόδειγμα ως μεταβλητές παλινδρόμησης (που συχνά ονομάζονται κατά τους Box nd io, 975, μεταβλητές παρέμβασης). Πλήρες στοχαστικό υπόδειγμα για την αρχική σειρά Το πλήρες υπόδειγμα για την αρχική σειρά μπορεί να γραφεί ως = w β + C k η + j= i λ i (Β)I ( j ) + x (*) όπου, β= (β,..,β n ), είναι ένα διάνυσμα των συντελεστών παλινδρόμησης, το w =(w,..,w n ) υποδηλώνει n μεταβλητές παλινδρόμησης ή μεταβλητές παρέμβασης, το C υποδηλώνει τον πίνακα με τις στήλες των μεταβλητών ημερολογιακών επιδράσεων (επίδραση Πάσχα, επίδραση δίσεκτου έτους, διακοπές) και το n είναι το διάνυσμα των συναφών συντελεστών, το Ι ( j ) είναι μία δείκτρια μεταβλητή για την πιθανή παρουσία ακραίων τιμών σε περίοδο j, το λ j (Β) σκιαγραφεί τη μεταφορά της j-οστής επίδρασης ακραίων τιμών (για προσθετικές ακραίες τιμές, το λ j (Β) =, για αλλαγές επιπέδου, το λ j (B) =, για περιοδικές αλλαγές, το λ j (Β) = /(-δβ), με 0<δ<) και το α j υποδηλώνει το συντελεστή της ακραίας τιμής στο υπόδειγμα πολλαπλής παλινδρόμησης με k ακραίες τιμές. Τέλος, το x SARIMA. ακολουθεί το γενικό πολλαπλασιαστικό υπόδειγμα Εκτίμηση παραμέτρων Υπάρχουν αρκετές διαδικασίες εκτίμησης των παραμέτρων υποδειγμάτων του τύπου (*) και διαθέσιμα προγράμματα που εφαρμόζουν τις διαδικασίες (σαν παραδείγματα αναφέρουμε το Χ- REG-ARIMA, Findle κ.α., 998, και το RAMO, Gómez nd Mrvll, 996). Παρατηρώντας ότι οι μεταβλητές παρέμβασης, ακραίων τιμών και ημερολογιακών επιδράσεων είναι μεταβλητές παλινδρόμησης, το πλήρες υπόδειγμα μπορεί να εκφρασθεί ως ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης - ARIMA. Συνήθως ο υπολογισμός γίνεται επαναλαμβάνοντας τα εξής: βρίσκουμε τον ακριβή εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας του υποδείγματος ARIMA με δέσμευση των ΟΙΚ. ΧΡΗΜ/ΚΗ ΣΤΑΤ. 43 ΚΕΦ.4 07