Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η)

Transcript

1 Στατιστική ΙΙΙ-(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230)

2 Περιγραφή 1 Κινητοί Μέσοι Κινητοί Μέσοι στο PSPP 2 Αφελής Μέθοδος(Naive Method) Αφελής Μέθοδος στο PSPP 3 Αποσύνθεση Αθροιστική Αποσύνθεση Πολλαπλασιαστική Αποσύνθεση Πρόβλεψη Αποσύνθεση στο PSPP 4 Βιβλιογραφία

4 Μέθοδοι Κινητών Μέσων(Mean Average (MA)) Απλοί Κινητοί Μέσοι Η μέθοδος των απλών κινητών μέσων αποτελεί μια εύκολη μέθοδο εξομάλυνσης(smoothing) η οποία προσδιορίζει μια μέση εκτίμηση της σειράς βασιζόμενη σε παρατηρήσεις πλησίον της υπάρχουσας. Η μέθοδος αφαιρεί μέρος της τυχαιότητας, ενω ο βαθμός εξομάλυνση εξαρτάται από τον αριθμό των δεδομένων που χρησιμοποιούνται σε κάθε νέαεκτίμηση. Εστωνέαπαρατήρηση S t,αυτήορίζεταιως: S t = y t 1 + y t + y t+1 3 γιακινητομέσο 3-ουβαθμού.Στηγενίκευσητου,ηκάθενέα παρατήρηση S t,ορίζεταιως S t = 1 k m j= m γιακινητομέσο k = 2m+1-ουβαθμού. y t+j βεαμερ-τυ-λογ

5 Σταθμισμένοι Κινητοί Μέσοι(Weighted Mean Average (WMA)) Στην περίπτωση του Σταθμισμένου Κινητού Μέσου η συμμετοχή των γειτονικών παρατηρήσεων στη διαμόρφωση φίλτρου είναι ανισοβαρής. Δίνεται μεγαλύτερη βαρυτητα στις παρατηρήσεις που γειτνιάζουν στην τρέχουσα παρατήρηση και αντίστοιχα μικρότερη σε αυτές που είναι πιο απομακρυσμένες. Επιλέγεται συμμετρία στον καθορισμό βαρυτητας(σταθμισης). Στη γενική του μορφή: m S t = a j y t+j, j= m m a j = 1 j= m Εστω, το WMA(5) 5ου βαθμού ορίζεται ως S t = 0, 1y t 2 + 0, 2y t 1 + 0, 4y t + 0, 2y t+1 + 0, 1y t+2.

6 ΔιπλοίΚινητοίΜέσοι(Double Mean Average (DMA)) Στην περίπτωση του Διπλού Κινητού Μέσου έχουμε να κάνουμε με μια εφαρμογή της μεθόδου του Απλού Κινητού Μέσου με διπλό φιλτράρισμα. Ετσι στην περίπτωση της εφαρμογής MA 3ου βαθμού (MA(3)) τότε θα έχουμε: S 2 = (y 1 + y 2 + y 3 )/3, S 3 = (y 2 + y 3 + y 4 )/3, S 4 = (y 3 + y 4 + y 5 )/3,... με την εφαρμογή του διπλού φιλτραρίσματος θα έχουμε: T 3 = (S 2 + S 3 + S 4 )/3 = (y 1 + 2y 2 + 3y 3 + 2y 4 + y 5 )/9 = 0, 1111y 1 + 0, 2222y 2 + 0, 3333y 3 + 0, 2222y 4 + 0, 1111y 5

7 Κινητοί Μέσοι στο PSPP Εισάγουμε δεδομένα Χ.Σ. Προκειμένου να εισάγουμε δεδομένα μέσω PSPP τότε ενεργούμε ως: 1 Εισάγουμε δεδομένα από αρχείο: File/Open/Data/ 2 Επιλέγουμε τύπο: *.xls *.txt *.csv 3 Καθορίζουμε τύπο περιόδου(βλ. ετήσια, τριμηνιαία, μηνιαία) Data/Define Dates 1 Years(παρ. Αρχική ημερομηνία 1990) 2 Years, months(παρ. Αρχική ημερομηνία 1990, 01) 3 Years, quarters(παρ. Αρχική ημερομηνία 1990, 01) 4 ΟΚ 5 Δημιουργία χώρου δεδομένων

11 Κινητοί Μέσοι στο PSPP Ανάλυση Χ.Σ. μέσω ΚΜ Αφου δημιουργήσουμε τον χώρο δεδομένων μπορούμε να επεξεργαστούμε τα δεδομένα μέσω της μεθοδόυ των ΚΜ(παρ. ΚΜ 3ου-βαθμού). 1 Δημιουργία χώρου δεδομένων 2 Επιλογή Εξομάλυνσης ΚΜ Transform/Create Time Series 3 Θέτουμε όνομα μεταβλητής: παρ. Name: MA3 Variables: V1 4 Θέτουμε είδος μετασχηματισμού Function: Centered Moving Average Span: 3

15 Κινητοί Μέσοι στο PSPP Παράδειγματα ΚΜ 3ου, 7ου, 13ου βαθμού

16 Κινητοί Μέσοι στο PSPP Απεικόνηση Χ.Σ. μέσω ΚΜ Αφου πραγματοποιήσουμε τις εξομαλύνσεις 3ου, 7ου, 13ου βαθμού μπορούμε να τις απεικονήσουμε μέσω διαγράμματος μαζί με την ίδια τη σειρά. Αυτό γίνεται ως εξής: 1 Δημιουργία γραφημάτων Analyze/Forecasting/Sequence Charts 2 Θέτουμε όνοματα μεταβλητών: Variables: V1, MA3, MA7, MA13

17 Κινητοί Μέσοι στο PSPP Απεικόνηση Χ.Σ. μέσω ΚΜ Αφου πραγματοποιήσουμε τις εξομαλύνσεις 3ου, 7ου, 13ου βαθμού μπορούμε να τις απεικονήσουμε μέσω διαγράμματος μαζί με την ίδια τη σειρά. Αυτό γίνεται ως εξής: 1 Δημιουργία γραφημάτων Analyze/Forecasting/Sequence Charts 2 Θέτουμε όνοματα μεταβλητών: Variables: V1, MA3, MA7, MA13

18 Κινητοί Μέσοι στο PSPP Παρατηρήσεις: 1 Οι Κινητοί Μέσοι(ΚΜ) απαιτούν χρήση περιττού αριθμού παρατηρήσεων. 2 Οι ΚΜ εξομαλίνουν τα δεδομένα από παρελθοντικές τάσεις καθώς το μέλλον επηρεάζει το παρόν. 3 Το τελευταίο όμως λειτουργει ανασταλτικά σε περίπτωση απότομων μεταβολών οι οποίες δεν εμφανίζονται σε μια αρκετά εξομαλυμένη σειρά. 4 ΟσοαυξάνουμετοβαθμότουΚΜ,τόσομειώνουμετοεύροςτην εξομαλυμμένης σειράς. 5 ΟιΚΜδενμπορούνναχρησιμοποιηθούνσεπροβλέψειςαλλάως σειρές απεικόνησης τάσεων μιας χρονολογικής σειράς. 6 Εχουν σημαντική εφαρμογή στην Τεχνική Ανάλυση(μελέτη χρηματοοικονομικών δεικτών).

20 Αφελείς Μέθοδοι(Naive Methods) Naive Method Η απλή μέθοδος αφέλειας πραγματοποιεί εκτιμήσεις-προβλέψεις βασισμένη στην αμέσως προηγούμενη παρατήρηση. Σε περίπτωση φιλτραρίσματος εντος δείγματος: y i = y i 1 ενώ στην εκτός δείγματος προβλεψη: y T+h = y T

21 Αφελείς Μέθοδοι(συν.) Seasonal Naive Method Η εποχική μέθοδος αφέλειας πραγματοποιεί εκτιμήσεις-προβλέψεις βασισμένη στην αντίστοιχη παρατήρηση της αμέσως προηγουμενης εποχικής περιόδου. Σε περίπτωση φιλτραρίσματος εντος δείγματος: y i = y i s ενώ στην εκτός δείγματος προβλεψη: y T+h = y T+h ks όπου sηεποχικήπερίοδος(παρ. s = 12γιαμηνιαίαεποχικάδεδομένα) και k = [(h 1)/s]+1

22 Παρατηρήσεις: 1 Οι Αφελείς Μέθοδοι(ΑΜ) εφαρμόζονται μόνο στην πρόβλεψη δεδομένα χρονολογικών σειρων. 2 Παρά την απλότητα τους, αποτελούν πολλές φορές εξαιρετικά πιο αξιόπιστες στην πρόβλεψη από πιο σύνθετα υποδείγματα χρονολογικών σειρων. 3 Αποτελούν υποδείγματα μέτρο σύγκρισης σε σχέση με πιο περίπλοκα υποδείγματα(benchmark models). 4 Τα εποχικά αφελή υποδείγματα εφαρμόζονται με επιτυχία μόνο σε υποδείγματα με συστηματική εποχική συμπεριφορα. 5 Αποτυγχάνουν σε δεδομένα μέ τάσεις και μεταβαλλόμενες κυκλικές συμπεριφορές.

23 Αφελής Μέθοδος στο PSPP Ανάλυση Χ.Σ. μέσω της Αφελούς Μεθόδου Για να πραγματοποιήσουμε το φιλτράρισμα της σειράς μέσω της Αφελους Μεθόδου μετασχηματίζουμε τη σειρά ως εξής: 1 Δημιουργία χώρου δεδομένων 2 Επιλογή Φιλτραρίσματος ΑΜ Transform/Create Time Series 3 Θέτουμε όνομα μεταβλητής: παρ. Name: AM Variables: V1 4 Θέτουμε είδος μετασχηματισμού Function: Lag Order: 1

28 Αποσύνθεση-Γενικά Στην προσπάθεια πρόβλεψης χρονολογικών σειρών επιδιώκεται το φιλτράρισμα(filtering, smoothing) των δεδομένων με σκοπό την εξάλειψη της υπάρχουσας τυχαιότητας. Το φιλτραρισμα, το οποίο βασίζεται σε υπάρχουσες παλαιές παρατηρήσεις, πραγματοποιείται μέσω της λεγόμενης απο-σύνθεσης(decomposition). Ετσι, οι υπάρχουσες μέθοδοι αποσύνθεσης, θεωρουν ότι τα δεδομένα δύνανται να αποτελούνται από τις εξης συνιστώσες: 1 Τάση(Trend (T)) 2 Κύκλο(Cycle (C)) 3 Εποχικότητα(Seasonality (S)) 4 Τυχαιότητα(Randomness (R))

29 Αποσύνθεση Χρονολογικών Σειρών Υπόθέτονταςδεδομέναχρονολογικήςσειράς y t : y t = filter + error = f(t t + C t + S t + R t ) Είδη Αποσύνθεσης 1 Πολλαπλασιαστική y t = T t C t S t R t 2 Αθροιστική y t = T t + C t + S t + R t

30 Αθροιστική Αποσύνθεση Στάδια της Αθροιστικής Αποσύνθεσης Υποθέτουμεμια y 1,...,y t,...y T χρονολογικήσειράμηνιαίων παρατηρήσεων τότε μια Αθροιστική Αποσύνθεση βασίζεται στα πιο κάτω στάδια: Στάδιο 1: Βασιζόμαστε σε ένα αρχικό φίλτρο Κινητου Μέσου (MA13) αφαιρούμε την εποχικότητα αρα στα δεδομένα μας πιθανόν ναενυπάρχουντάσηκαικυκλικότητα(ma13 = T + C) Στάδιο 2: Αφαιρώντας από τα δεδομένα μας το ανωτέρω φίλτρο Κινητου Μέσου(MA13) είναι σαν έχουμε: Y T C = S + R Ηνέααυτήσειράθαπρέπειναεμφανίζειτηνεποχικότητατων δεδομένων μας καθώς και την όποια τυχαιότητα. Στάδιο 3: Μετά την αφαίρεση τάσης και κυκλικότητας είναι σχετικά εύκολο να προσδιορίσουμε της εποχικότητα. Αυτή θα εκφράζεται απότουςεποχικούςδείκτεςοιοποίοιθαείναιίδιοιγιαόλατα χρόνια της χρονολογικής σειράς. Οι δείκτες αυτοί θα εκφράζουν τιςμέσεςμηνιαίεςτιμέςτης Y T Cσειράς. βεαμερ-τυ-λογ

31 Αθροιστική Αποσύνθεση Στάδια της Αθροιστικής Αποσύνθεσης(συν.) Στάδιο 4: Αφαιρώντας από τα S + R στοιχεία τους διαχρονικούς δείκτεςεποχικότηταςμαςδίνειτηντυχαιότητα(r = S + R S). Στάδιο5:Γιατονπροσδιορισμότηςακριβούςτάσης Tαπότην τάση και κυκλικότητα T + C απαιτείται η χρήση απλής γραμμικής παλινδρόμησης με ερμηνετική μεταβλητή τον χρόνο t και ερμηνευόμενητημεταβλητής T + C(ή TC). Ετσι,θαπροκύψειη τάση ως: T = α+β t Στάδιο 6: Η κυκλική παράμετρος προκύπτει μετά από αφαίρεση της εκτιμόμενηςτάσης T,έτσι C = C + T T.

32 Αθροιστική Αποσύνθεση Παράδειγμα Αθροιστικής Αποσύνθεσης

33 Πολλαπλασιαστική Αποσύνθεση Στάδια της Πολλαπλαστικής Αποσύνθεσης Υποθέτουμεμια y 1,...,y t,...y T χρονολογικήσειράμηνιαίων παρατηρήσεων τότε μια Πολλαπλασιαστική Αποσύνθεση βασίζεται στα πιο κάτω στάδια: Στάδιο 1: Βασιζόμαστε σε ένα αρχικό φίλτρο Κινητου Μέσου (MA13) αφαιρούμε την εποχικότητα αρα στα δεδομένα μας πιθανόν ναενυπάρχουντάσηκαικυκλικότητα(ma13 = T C) Στάδιο 2: Αφαιρώντας από τα δεδομένα μας το ανωτέρω φίλτρο Κινητου Μέσου(MA13) είναι σαν έχουμε: Y T C = S R Ηνέααυτήσειράθαπρέπειναεμφανίζειτηνεποχικότητατων δεδομένων μας καθώς και την όποια τυχαιότητα.

34 Πολλαπλασιαστική Αποσύνθεση Στάδια της Πολλαπλαστικής Αποσύνθεσης(συν.) Στάδιο 3: Μετά την αφαίρεση τάσης και κυκλικότητας είναι σχετικά εύκολο να προσδιορίσουμε της εποχικότητα. Αυτή θα εκφράζεται απότουςεποχικούςδείκτεςοιοποίοιθαείναιίδιοιγιαόλατα χρόνια της χρονολογικής σειράς. Οι δείκες αυτοί θα εκφράζουν τις μέσες μηνιαίες τιμές της S R σειράς. Στάδιο 4: Αφαιρώντας από τα S R στοιχεία τους διαχρονικούς δείκτεςεποχικότηταςμαςδίνειτηντυχαιότητα T(R = S R/S). Στάδιο5:Γιατονπροσδιορισμότηςακριβούςτάσης Tαπότην τάση και κυκλικότητα T C απαιτείται η χρήση απλής γραμμικής παλινδρόμησης με ερμηνετική μεταβλητή τον χρόνο t και ερμηνευόμενητημεταβλητής T C(ή TC). Ετσι,θαπροκύψειη τάση ως: T = α+β t. Στάδιο 6: Η κυκλική παράμετρος προκύπτει μετά από αφαίρεση της εκτιμόμενηςτάσης T,έτσι C = C T/T. βεαμερ-τυ-λογ

35 Πρόβλεψη Πρόβλεψη μέσω Αποσύνθεση Η προγματοποίηση προβλέψεων της χρονολογικής σειράς βασίζεται στο υπόδειγμα αποσύνθεσης που έχουμε εφαρμώσει. Ετσι έχουμε την f T+i = T i C i S i σε περίπτωση Πολλαπλαστικής Αποσύνθεσης, και f T+i = T i + C i + S i σε περίπτωση Αθροιστικής Αποσύνθεσης Προβλήματα στην πρόβλεψη μέσω Αποσύνθεση Σπάνια η μέθοδος της Αποσύνθεσης λειτουργεί με καλά προβλεπτικά αποτελέσματα Μια αλλαγή στην κυκλικότητα ή την εποχικότητα δεν μπορεί ευκολα να προβλευθεί(βλ. μεταβολή στη διακύμανση της εποχικότητας στα δεδομένα αεροπορικών αφίξεων). Υποθέτει τυχαιότητα δίχως αυτοσυσχέτιση. βεαμερ-τυ-λογ

36 Αποσύνθεση στο PSPP Εισάγουμε δεδομένα Χ.Σ. Προκειμένου να εισάγουμε δεδομένα μέσω PSPP τότε ενεργούμε ως: 1 Εισάγουμε δεδομένα από αρχείο: File/Open/Data/ 2 Επιλέγουμε τύπο: *.xls *.txt *.csv 3 Καθορίζουμε τύπο περιόδου(βλ. ετήσια, τριμηνιαία, μηνιαία) Data/Define Dates 1 Years(παρ. Αρχική ημερομηνία 1990) 2 Years, months(παρ. Αρχική ημερομηνία 1990, 01) 3 Years, quarters(παρ. Αρχική ημερομηνία 1990, 01) 4 ΟΚ 5 Δημιουργία χώρου δεδομένων

40 Αποσύνθεση στο PSPP Ανάλυση Χ.Σ. μέσω Αποσύνθεσης Αφου δημιουργήσουμε τον χώρο δεδομένων μπορούμε να επεξεργαστούμε τα δεδομένα μέσω της μεθοδόυ της Αποσύνθεσης. 1 Δημιουργία χώρου δεδομένων 2 Επιλογή Υποδειγμάτων Analyze/Forecasting/Seasonal Decomposition 3 Θέτουμε μεταβλητή: παρ. V1 Dependent Variables: V1 4 Θέτουμε είδος υποδείγματος Model Type: Additive or Multiplicative(Αθροιστικήή Πολλαπλασιαστική Αποσύνθεση)

44 Αποσύνθεση στο PSPP Λοιπές Επιλογές: Ανάλυση Χ.Σ. μέσω Αποσύνθεσης 1 Επιλογή: Σταθμίσεων για τον Κινητό Μέσο(MA) Εδώ, μπορουμε να επιλέξουμε All points equal εαν δεν θέλουμε κάποιες παρατηρήσεις να σταθμίζονται διαφορετικά από κάποιες άλλες ή να επιλέξουμε End points weighted by 0.5 εαν θέλουμε κάποιες η αμεσως προηγούμενη και η επόμενη παρατήρηση να λαμβάνουν όλη τη σταθμιση. 2 Επιλογή: Τρόπος Αποθήκευσης Καλό είναι να επιλέγουμε το Add to fileέτσιώστεναέχουμεσεαρχείοόλεςτιςτιμέςτης Αποσύνθεσης. Τιμες που αποθηκεύονται: SAF Δείκτης Εποχικότητας SAS Εποχικά προσαρμοσμένες σειρές STC Φιλτραρισμένες από τάση και κύκλο σειρές ERR Σφάλμα. Οτι μένει μετά από αφαίρεση τάσης, κύκλου, εποχικότητας σειρές

45 Αποσύνθεση στο PSPP Λοιπές Επιλογές: Ανάλυση Χ.Σ. μέσω Αποσύνθεσης 1 Επιλογή: Σταθμίσεων για τον Κινητό Μέσο(MA) Εδώ, μπορουμε να επιλέξουμε All points equal εαν δεν θέλουμε κάποιες παρατηρήσεις να σταθμίζονται διαφορετικά από κάποιες άλλες ή να επιλέξουμε End points weighted by 0.5 εαν θέλουμε κάποιες η αμεσως προηγούμενη και η επόμενη παρατήρηση να λαμβάνουν όλη τη σταθμιση. 2 Επιλογή: Τρόπος Αποθήκευσης Καλό είναι να επιλέγουμε το Add to fileέτσιώστεναέχουμεσεαρχείοόλεςτιςτιμέςτης Αποσύνθεσης. Τιμες που αποθηκεύονται: SAF Δείκτης Εποχικότητας SAS Εποχικά προσαρμοσμένες σειρές STC Φιλτραρισμένες από τάση και κύκλο σειρές ERR Σφάλμα. Οτι μένει μετά από αφαίρεση τάσης, κύκλου, εποχικότητας σειρές

46 Αποσύνθεση στο PSPP Γράφημα: Ανάλυση Χ.Σ. μέσω Αποσύνθεσης 1 Επιλογή απεικόνησης των στοιχείων Αποσύνθεσης Analyze/Forecasting/Sequence Charters 2 Επιλογή: V1, SAF, SAS, STC, ERR

47 Αποσύνθεση στο PSPP Γράφημα: Ανάλυση Χ.Σ. μέσω Αποσύνθεσης 1 Επιλογή απεικόνησης των στοιχείων Αποσύνθεσης Analyze/Forecasting/Sequence Charters 2 Επιλογή: V1, SAF, SAS, STC, ERR

48 Αποσύνθεση στο PSPP Παράδειγμα Αθροιστικής Αποσύνθεσης

50 Βιβλιογραφία Πετρόποπουλος, Φ., Ασημακόπουλος, Β. Επιχειρησιακές Προβλέψεις. Συμμετρία, Αθήνα Jarrett, J. Μέθοδοι Πρόβλεψεων. Gutenberg, Αθήνα 2002.