Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ"

Transcript

1 Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ 11o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών με θέμα ΓΛΩΣΣΑ, ΦΥΛΗ, ΦΥΛΟ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΑΞΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρασκευή 19 & Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Αθήνα Κεντρικό Κτίριο Πανεπιστημίου Αθηνών, Αμφιθέατρο Άλκης Αργυριάδης, (Πανεπιστημίου 30) Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

2 ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ, ΤΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΜΕ ΤΟ ΟΛΟ Φραγκίσκος Καλαβάσης Πανεπιστήμιο Αιγαίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Θα επιχειρήσουμε να συνδέσουμε κάπως τα κοινωνικά στερεότυπα με τα επιστημολογικά εμπόδια, για να δούμε πώς αλληλο-ενισχύονται στην περίπτωση της μαθηματικής εκπαίδευσης, ποια είναι η σημασία και η δυσκολία της διεύρυνσης του αντιληπτικού σχήματος, της ανατροπής του εννοιολογικού πλαισίου, της κατασκευής νέων γλωσσικών συμβάσεων για την νοητική συμπερίληψη του εκάστοτε εμφανιζόμενου ως ξένου, άρρητου ή αόρατου. - Σο νέο τοπίο της εκπαίδευσης, το νέο τοπίο των επιστημών: έμφαση στις συνδέσεις και τις συνεργασίες. - Ο κύκλος «εμπειρία, απορία, θεωρία» στην εξέλιξη των μαθηματικών αλλά και στην ανάπτυξη του εκπαιδευτικού σχεδιασμού. - Η μεταβλητότητα των διαχωριστικών γραμμών, η αόρατη χρυσή τομή στη σχέση του μέρους με το όλον, το πέρασμα από το πολυδιάστατο στο πολύπλοκο. - Αλληλεπιδράσεις και αυτό-ομοιότητα, το όλον που είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των μερών του. - Ο σχεδιασμός της μαθηματικής εκπαίδευσης μέσα από τις συνδέσεις του σχολείου με την οικογένεια και την κοινωνία και τις συνδέσεις των μαθηματικών με τις άλλες γνωστικές περιοχές. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

3 Θα επιχειρήσουμε να συνδέσουμε τις διακρίσεις στα κοινωνικά στερεότυπα και τις οικογενειακές προκαταλήψεις με τα επιστημολογικά εμπόδια, για να δούμε πώς αλληλοενισχύονται στην περίπτωση της μαθηματικής εκπαίδευσης. Σε αυτό το πλαίσιο θα αναζητήσουμε τη δυσκολία και την αμηχανία του εκάστοτε αντιληπτικού σχήματος που παράγει τους οντολογικούς διαχωρισμούς, όταν επιχειρεί να εντάξει το «αποκλεισμένο άλλο» με κυριαρχικό τρόπο στα δικά του εννοιολογικά και γλωσσικά όρια, δομές και λειτουργίες, οπότε οδηγείται σε αδιέξοδα, σε παράδοξα και αντιφάσεις. Η δυσκολία αναπαράγεται τόσο στη διαδικασία της μάθησης και διδασκαλίας, όσο και στη διαδικασία της οργανωσιακής συγκρότησης της κοινωνίας, στους θεσμούς και στις αξίες που τους/μας διέπουν. Η δυσκολία αυτή άλλοτε εμφανίζεται με σαφήνεια, άλλοτε υποκρύπτεται με χάρη και μας εξαπατά, άλλοτε αλλάζει μορφές και μας αποπροσανατολίζει, πάντως είναι συστηματικά και συνεχώς παρούσα. Δεν είναι δυνατόν να είναι απούσα, αφού συνιστά τρόπον τινά την εξελικτική και προσαρμοστική φύση της ανθρώπινης νόησης και των πολιτισμών. Θα προσεγγίσουμε την πολυπλοκότητα της διαδρομής για την ανατροπή των βεβαιοτήτων και πόσο αλληλένδετη είναι η διαμόρφωση κάθε νέας θεωρίας με την κατασκευή νέων γλωσσικών συμβάσεων για την νοητική και σημειολογική συμπερίληψη, όχι μόνο του πρώην ξένου, άρρητου ή αόρατου μέρους, αλλά και για την κατασκευή των νέων σχέσεων μεταξύ των μερών και του κάθε μέρους με το νέο όλον. Ι Είναι αρκετά δύσκολο να κατανοήσουμε τη διεργασία της μάθησης των μαθηματικών αν δεν κατανοήσουμε τη διαδικασία της εξέλιξης των ίδιων των μαθηματικών, καθώς πολλές από τις επίμονες δυσκολίες της κατανόησης και της διδασκαλίας φαίνεται πως πηγάζουν στα επιστημολογικά εμπόδια. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

4 Αντίστοιχα είναι δύσκολο να κατανοήσουμε ορισμένες πεισματικές και πιεστικές οικογενειακές πρακτικές χωρίς να ανατρέξουμε σε γονεϊκές πεποιθήσεις ότι πχ οι μαθηματικές ικανότητες ή ανικανότητες του παιδιού τους είναι φυσικά προτερήματα ή ελαττώματα που συνδέονται με την κληρονομικότητα, συχνά αναφερόμενη σε παλιότερες γενιές. Είναι τέλος αδύνατο να κατανοήσουμε τον απάνθρωπο, φανερό ή καλυπτόμενο αποκλεισμό ομάδων παιδιών από την εκπαίδευση, αν δεν αναζητήσουμε συσχετίσεις με πολιτισμικά στερεότυπα και κοινωνικές πρακτικές που διαβαθμίζουν τα ανθρώπινα όντα και τις ικανότητές τους, τις πατρίδες και τους πολιτισμούς τους. Σο πιο δύσκολο είναι όταν διαπιστώνουμε πως αυτό που συμβαίνει κατά τη διδασκαλία με τους μαθητές και τις μαθήτριες στο σχολείο, εμπλέκεται με αυτά που συμβαίνουν με τα παιδιά μέσα στην οικογένεια και με όσα συμβαίνουν μέσα στην κοινωνία (ή ορθότερα στα σύνορα της κοινωνίας και της πόλης). Σα τρία συστήματα, σχολείο οικογένεια κοινωνία και πόλη, αλληλοεπηρεάζονται και προσδιορίζουν σε μεγάλο βαθμό την οργάνωση της πνευματικής, κοινωνικής και πολιτισμικής ταυτότητάς του παιδιού και την κατασκευή της σχέσης του με την μαθηματική επιστήμη. Ακόμη πιο περίπλοκο γίνεται το πρόβλημα όταν διαπιστώνουμε πως αυτή η πολυπλοκότητα της σχέσης μεταξύ των τριών συστημάτων αναπαράγεται εντός του συστήματος-σχολείο. Μέσα στη σχολική μονάδα συνυπάρχουν διαφορετικές αναπαραστάσεις ή διαφορετικές πραγματικότητες της μαθηματικής εκπαίδευσης. Εκείνη που περιγράφεται στο εκάστοτε αναλυτικό πρόγραμμα και αποτυπώνεται στα σχολικά εγχειρίδια. Η δεύτερη που κατασκευάζεται από τον/την εκπαιδευτικό με τις διδακτικές πρακτικές που υιοθετεί και επιβάλει στη σχολική τάξη, στις εκφράσεις του πίνακα, στην αξιολόγηση των μαθητών και μαθητριών, στο Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

5 ενδιαφέρον που δείχνει ή δεν δείχνει για τις λανθασμένες απαντήσεις, για τη συνεργασία μεταξύ των μαθητών και μαθητριών, για την ενθάρρυνση ή όχι δημοκρατικών συμπεριφορών στη διαχείριση της μαθηματικής ύλης. Η τρίτη αναπαράσταση είναι εκείνη που διαμορφώνεται από τους μαθητές και μαθήτριες ατομικά, ανά ομάδες και συλλογικά σε σχέση: - με την μαθηματική επιστήμη και με την πηγή των δυσκολιών που συναντούν, - με τις προσδοκίες του/της εκπαιδευτικού - αλλά και με την αυτοεκτίμησή του και την εκτίμηση των συμμαθητών του, - με τις προσδοκίες του οικογενειακού περιβάλλοντος - και της κοινωνίας. Για να κατανοήσουμε την πολυπλοκότητα που δημιουργείται με τις τρεις αναπαραστάσεις μέσα στη σχολική τάξη θα πρέπει να καταφέρουμε κάπως την περιγράψουμε, κι εδώ η μαθηματική επιστήμη μας προσφέρει ανεκτίμητα εργαλεία. Η αλληλεπίδραση των τριών αναπαραστάσεων μοιάζει με τους δακτύλιους του Borroméo, που βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα. Πρόκειται για τον μαθηματικά απλούστερο δεσμό Brunn (1892) ή Milnor (1954) στην θεωρία των κόμβων, όπου κανένας δακτύλιος δεν είναι ελεύθερος, αλλά αν ελευθερωθεί ένας, ελευθερώνονται όλοι. Κατασκευάζεται εύκολα, αν τοποθετήσουμε κάτω τον ένα, επάνω του τον δεύτερο και στη συνέχεια περάσουμε τον τρίτο πάνω από τον πρώτο, κάτω από τον δεύτερο, ξανά πάνω από τον πρώτο και πάλι κάτω από τον δεύτερο. Σους δακτύλιους του Borroméo χρησιμοποίησε ο Lacan για να περιγράψει το ψυχαναλυτικό μοντέλο ΙSR (ΦΣΠ), το οποίο συνιστούν το Φαντασιακό (Imaginaire), το Συμβολικό (Symbolique) και το Πραγματικό Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

6 (Réel). Σα συστατικά αυτά είναι ετερογενή και ανεξάρτητα, έχουν όμως, κοινά στοιχεία και το καθένα επηρεάζει τα άλλα. Οι δακτύλιοι του Borroméo Εάν μια από τις αναπαραστάσεις σπάσει, οι άλλες δυο παύουν να εμπλέκονται και να αλληλοεπηρεάζονται. Εδώ φαίνεται ο σημαντικός ρόλος και ευθύνη μας ως εκπαιδευτικών. Η αναπαράσταση που καθορίζει τις διδακτικές και μαθηματικές πρακτικές μας περιλαμβάνει και την αναπαράσταση που έχουμε διαμορφώσει για τις διακρίσεις και τους αποκλεισμούς μέρους του μαθητικού πληθυσμού ή του εν δυνάμει μαθητικού πληθυσμού που δεν είναι παρών στο σχολείο, όπως δεν είναι παρών στις εικόνες και αναφορές του αναλυτικού προγράμματος και του εκπαιδευτικού υλικού, ούτε στα στερεότυπα της οικογένειας και της κοινωνίας. Αυτή η πορεία της διαμόρφωσης της σχέσης του κάθε μαθητή/τριας με την μαθηματική γνώση περικλείεται και εξαρτάται στην αντίστοιχη πορεία διαμόρφωσης σχέσης με την μαθηματική επιστήμη, την αξία και τη χρησιμότητά της από το σχολείο, από την οικογένεια και από την κοινωνία. Συνήθως η εκπαιδευτική μονάδα, το σχολείο εν προκειμένω, όταν καταφέρνει να σχεδιάσει και αναπτύξει ρητές σχέσεις: - με την επιστημονική γνώση - με την κοινωνία και τους φορείς της - με τις οικογένειες - με το ευρύτερο εκπαιδευτικό σύστημα Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

7 - και με αντίστοιχες, παράλληλες ή συμπληρωματικές εκπαιδευτικές δομές, τότε δημιουργεί ένα προστατευτικό φίλτρο γύρω από τον κάθε μαθητή-τρια και τον βοηθάει να κατασκευάσει και ο ίδιος και να εκφράσει, άρα να μπορεί να διαπραγματευτεί τις δικές τους σχέσεις και σημασίες. Αυτό όμως συμβαίνει πολύ σπάνια στα συγκεντρωτικά εκπαιδευτικά συστήματα, με σύνηθες αποτέλεσμα όσα συμβαίνουν μέσα στο σχολείο να μεταφέρονται για να σηματοδοτηθούν με διαφορετικούς όρους στην οικογένεια και την κοινωνία. Για παράδειγμα μια δυσκολία στα μαθηματικά που εντοπίζεται στο σχολείο, θα ερμηνευτεί με άλλους όρους στο οικογενειακό πλαίσιο και με διαφορετικούς στο κοινωνικό. Εάν τα πλαίσια αυτά δεν έχουν διαμορφώσει εκπεφρασμένες σχέσεις επικοινωνίας, που προϋποθέτουν αμοιβαία αναγνώριση και διάκριση των ρόλων, τότε οι τρείς ερμηνείες θα επιβαρύνουν αθροιστικά το παιδί. (ΕΝΕΔΙΜ, Μαθηματική Εκπαίδευση και Οικογενειακές Πρακτικές, Επιμέλεια Φ.Καλαβάσης, Σ.Καφούση, Μ.Χιονίδου, Χ.Σκουμπουρδή, Γ.Φεσάκης, Εκδ. Πανεπιστήμιο Αιγαίου, 2009) Η άτυπη μεταφορά και αλλαγή πλαισίου δημιουργεί σύγχυση για την μαθηματική επιστήμη, για την αξία και τη χρησιμότητά της, για τις δυνατότητες προσέγγισής της, τραυματίζοντας τη δυνατότητα του παιδιού να οδηγηθεί στις νέες ποιότητες της μάθησης, της αυτονομίας και της υπευθυνότητας. Η διαδικασία αυτή που μετατρέπει το λάθος σε στίγμα είναι ακόμη πιο τραυματική όταν συμβαίνει σε παιδιά που και τα τρία συστήματα σχολείο- οικογένεια- Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

8 κοινωνία τα αποκλείουν από την εκπαίδευση, είτε με τρόπο φανερών απαγορεύσεων, είτε με τρόπο ματαιώσεων και αποθαρρύνσεων που έρχονται να επιβεβαιώσουν προκαταλήψεις και παραδόσεις κοινωνικού αποκλεισμού (όπως στην περίπτωση των τσιγγανοπαίδων) (Φ.Καλαβάσης, Σ.Καφούση, Χ.Σκουμπουρδή, Α.Καπέλου, Φ.Σταθοπούλου, Π.Χαβιάρης, Σ.Κοκκαλίδης, Αλληλεπίδραση της Μαθηματικής Εκπαίδευσης με τη σχολική αποτυχία ( ), Εκδ. Πανεπιστήμιο Αιγαίου, 2006) Θα μπορούσαμε να περιγράψουμε αυτή την περίπλοκη αλληλεξάρτηση στερεοτυπικών στάσεων και μαθησιακών δυσκολιών, αξιοποιώντας μαθηματικές εκφράσεις, όπως την αυτοομοιότητα του πενταγώνου που από την τομή των διαγωνίων του αναπαράγει στο εσωτερικό του ένα όμοιο αντίγραφο (F.Kalavasis, "Modélisation des situations complexes en éducation, en vue de la gouvernance des unités scolaires" Les Cahiers de Recherche du LAREQUOI, ). Πλαίσιο των σχέσεων που αναπτύσσει ή όχι, η Εκπαιδευτική Μονάδα (ΕΜ). Το πεντάγωνο είναι αυτό-όμοιο: Κάθε μετασχηματισμός του εξωτερικού επηρεάζει το εσωτερικό και αντίστροφα Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

9 Για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε λοιπόν τι συμβαίνει στον αποκλεισμό από την μαθηματική εκπαίδευση, θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι αυτός δεν θα μπορούσε να συμβεί αν δεν υπήρχε αλληλοτροφοδότηση μεταξύ της μαθηματικής μαθησιακής διεργασίας, η οποία είναι καθαυτή δύσκολη και με επιστημολογικές αναλογίες, των αξιακών προσταγών και των ενοχικών διεργασιών που κατασκευάζονται στην οικογένεια, στην κοινωνία και παίρνουν συγκεκριμένη μορφή στην οργάνωση της πόλης και του σχολείου. Βασικός ισχυρισμός της εισήγησή μας είναι ότι η πολιτεία όπως και η κοινωνία πορεύεται με συμβατικές αλήθειες, δηλαδή με συμφωνημένες θεσμοθετήσεις στις οποίες θεμελιώνονται συνειδήσεις και τρόποι συλλογισμού και συμπεριφοράς. Όταν όμως αυτές οι συμπεφωνημένες παραδοχές, «τα συμπεφωνημένα υπονοούμενά μας» για να παραφράσουμε τον Γιώργο Σεφέρη μετατρέπονται σε φυσικές ή θεϊκές αλήθειες και λειτουργούν ως στερεότυπα, γίνονται τα μεγαλύτερα εμπόδια στην πρόοδο της επιστήμης και της κοινωνίας, καθώς συντηρούν τις φοβίες, παράγουν τους αποκλεισμούς και οδηγούν στην εξόντωση του εκάστοτε διαφορετικού. Σο 1952, συγκλονισμένος όπως όλη η ανθρωπότητα από τις αποκαλύψεις για τις κτηνωδίες των βασανισμών και της μαζικής εξόντωσης ανθρώπων που είχαν γίνει στα ναζιστικά στρατόπεδα συγκέντρωσης, ο Γάλλος συγγραφέας Vercors έγραψε το μυθιστόρημα «Σα παρά φύσιν ζώα» (Les Animaux dénaturés, Albin Michel, 1952). Ο ανθρωπολόγος Greame Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

10 είχε ανακαλύψει σε ένα μέρος του πλανήτη κάποια όντα που ζούσαν ως φυλή και έμοιαζαν με ανθρώπους αλλά και με πιθήκους και θεωρώντας πως πρόκειται για το είδος που θα κάλυπτε τον κρίκο που λείπει στη συνέχεια της εξέλιξης τους είδους μεταξύ του πιθήκου και του ανθρώπου, τους ονόμασε Paranthropus greamiensis προς τιμήν του, αλλά έγιναν γνωστοί ως Tropi. Στην καθημερινή ζωή δεν είχε ανάγκη να αποφασίσει εάν αυτοί ή αυτές με τους οποίους ζούσε στη φύση ήταν άνδρες, γυναίκες ή ζώα. Επειδή όμως ήταν αποτελεσματικά, όπως οι άνθρωποι, και επειδή είχαν φαινομενικά λίγες ανάγκες και περιορισμένη μαχητικότητα, αποτελούσαν ένα ιδεώδες εργατικό δυναμικό και αυτό το εκμεταλλεύτηκε ο επιχειρηματίας Vancruysen που τους απασχολούσε χωρίς μισθό και δικαιώματα σε ένα εργοστάσιο υφασμάτων. Καθώς ο κίνδυνος που διέτρεχαν αυτά τα «παρά φύσιν όντα» ήταν μεγάλος, κι ενώ οι διάφορες επιστημονικές ειδικότητες αδυνατούσαν να αποφανθούν αν οι Tropis ήταν άνθρωποι ή ζώα, ο τρίτος πρωταγωνιστής, ο δημοσιογράφος Douglas Templemore έλαβε μια πρακτική απόφαση, αντιλαμβανόμενος πως μόνο η κοινωνική σημειολογία μπορούσε να αποφασίσει εάν επρόκειτο για ανθρώπους ή ζώα. Προχώρησε σε τεχνητή γονιμοποίηση με μια γυναίκα ή μάλλον με ένα θηλυκό. Σο νεογέννητο βρέφος ή ζώο, το θυσίασε. Ανέθεσε με αυτόν τον τρόπο στον Νόμο να αποφασίσει εάν η συγκεκριμένη πράξη του τον καθιστούσε αθώο ή ένοχο: είχε σκοτώσει ένα ανθρώπινο όν ή ένα ζώο; Σο μυθιστόρημα του Vercors δεν έχει μεταφραστεί στα ελληνικά, έχει όμως επιδράσει ευρύτατα στη μεταπολεμική σκέψη και πρόσφατα κυκλοφόρησε και στα ελληνικά ένα βιβλίο ψυχολογίας του Jean-Pierre Deconchy με τίτλο «Σα υπέρφύσιν ζώα. Σο νοητικό οικοδόμημα της ανθρώπινης ιδιαιτερότητας» (Μετάφραση Άννα Λυμπεροπούλου, Επιστημονική Επιμέλεια Στάμος Παπαστάμου, Εκδόσεις Πεδίο 2010) Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

11 Η συσχέτιση της σχολικής αποτυχίας στα μαθηματικά με το φαινόμενο του σχολικού αποκλεισμού παιδιών ή της αποθάρρυνσης της σχέσης τους την μαθηματική εκπαίδευση έχει καταγραφεί στη βιβλιογραφία τόσο θεωρητικά με αναφορά στην αυτό-εκτίμηση, με τα αρνητικά ρατσιστικά στερεότυπα για τις ικανότητες των φύλων ή των πολιτισμών, με την επαγγελματική αναφορά και τη σχέση της οικογένειας με την γνώση, όσο και από ευρήματα σε εκτεταμένες έρευνες σε σχέση με άλλους κοινωνικούς, διοικητικούς ή πρακτικούς παράγοντες(γεωγραφικούς, πολεοδομικούς, δικαιώματα, πρόνοια, και πολλά άλλα). Σο μανιφέστο της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μελέτη και τη Βελτίωση της Διδασκαλίας των Μαθηματικών, το οποίο έχει δημοσιευτεί και στα ελληνικά έθεσε με αρκετή πληρότητα και σαφήνεια ένα σχέδιο μαθηματικής εκπαίδευσης χωρίς αποκλεισμούς (Keitel, C. (επιμέλεια) (2004). Απόδοση: Χρυσάνθη Σκουμπουρδή Ευκλείδης γ 60-61, , Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία.), ενώ πρόσφατα έγινε στη χώρα μας η διεθνής συνάντηση cieaem-64 Mathematics Education and Democracy: Learning and teaching practices τα πρακτικά της οποίας διατίθενται επίσης από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Proceedings in International Journal forn Mathematics in Education, Vol. 4 Special Issue, Editors S.Kafoussi, C.Skoumpourdi, F.Kalavasis, Hellenic Mathematical Society, 2012). ΙΙ Θα επικεντρώσουμε τώρα την εισήγησή μας σε ορισμένα μαθηματικά «παρά φύσιν όντα», ή αλλιώς επιστημολογικά εμπόδια στην εξέλιξη των μαθηματικών, για τα οποία έχουν διαπιστωθεί εννοιολογικοί συσχετισμοί με μαθησιακά και διδακτικά εμπόδια κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών. Θα προσπαθήσουμε να δούμε σε αυτά τα παραδείγματα κάποιες κοινές συμπεριφορές με την κοινωνική και οικογενειακή αμυντική λειτουργία των στερεοτύπων και την επιθετικότητα Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

12 που προβάλει σε ό,τι δεν μπορεί να κατανοήσει ή δεν μπορεί να ενταχθεί στις στερεοτυπικές νόρμες. Σο ξεπέρασμα αυτών των εμποδίων απαιτούσε νέα θεωρία, νέα γλώσσα και τεχνικές, επειδή οι νέες κάθε φορά έννοιες ή μεγέθη δεν μπορούσαν να ενταχθούν στην προηγούμενη γλώσσα, θεωρία και τεχνικές. Αυτή η εξέλιξη όμως απαιτούσε κάθε φορά την ανατροπή συμβατικών δεδομένων ή βεβαιοτήτων, τις οποίες θεωρούσαμε αμετακίνητες, φυσικές. Μια διαδικασία το ίδιο δύσκολη με την ανατροπή οικογενειακών ή κοινωνικών στερεοτύπων για την κληρονομικότητα της νοημοσύνης, τον προορισμό του κάθε κοινωνικού φύλου, την ιεράρχηση των πολιτισμών ή τις φυλετικές διακρίσεις. 1. Δεν είναι τυχαίο ότι ακόμη αποκαλούμε φυσικούς αριθμούς τους θετικούς ακέραιους, ενώ γνωρίζουμε πως στη φύση είναι σχεδόν αδύνατο να «μετρηθεί» μια απόσταση, πχ το μήκος μιας παραλίας και να βρεθεί ακέραιες φορές το αρχικό μέτρο, όποιο κι αν είναι αυτό το αρχικό μέτρο. Κρατήθηκε εντούτοις ο όρος του φυσικού αριθμού για τους θετικούς ακέραιους και πάνω στη δομή του συνόλου τους θεμελιώθηκε η θεωρία των αριθμών και οι δυο βασικοί μαθηματικοί συλλογισμοί που μας δίνουν ασφαλή συμπεράσματα, η μαθηματική επαγωγή και η εις άτοπον απαγωγή. Οι αριθμοί που προκύπτουν από υποδιαιρέσεις των φυσικών έγιναν εύκολα αποδεκτοί, και ονομάστηκαν ρητοί, καθώς μπορούν να εκφράσουν λόγους μεγεθών, αργότερα ως δεκαδικοί και ως κλάσματα. Οι ρητοί ίσως έγιναν εύκολα αποδεκτοί γιατί κάπως μοιάζουν με τους φυσικούς, κι εδώ ίσως βρίσκεται η παγίδα για πολλές δυσκολίες στη μάθηση των μαθηματικών, όταν αυτή η αναγνώριση του καθεστώτος Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

13 του αριθμού στους ρητούς υποκρύπτει την άρνηση αναγνώρισης της πραγματικής τους ταυτότητας! Πολλοί μαθητές, ακόμη και ενήλικες πολίτες, βρίσκουν τις παρακάτω σχέσεις σωστές: - ο διάδοχος του 3, 1 είναι ο 3,2-0,2 x 0,3 = 0,6 όπως και 0.3 x 0,5 = 0,15 - (2,3) 2 = 4,9 Με λίγη σκέψη πίσω από τα φαινόμενα, θα διαπιστώσουμε πως πίσω από αυτά τα λάθη βρίσκεται η έλλειψη αναγνώρισης της διαφορετικότητας, πως στον πολιτισμό των ρητών αριθμών δεν υπάρχουν διάδοχοι, ή μάλλον υπάρχουν πολλοί (πχ του 3,1 ο 3,01, ο 3,001,.), ότι ο πολλαπλασιασμός δεν δίνει πάντα αυξητικό αποτέλεσμα και ότι τέλος πάντων οι ρητοί αριθμοί δεν είναι ζευγάρια φυσικών, αλλά οι επονομαζόμενοι φυσικοί αποτελούν ένα μικρό υποσύνολο των ρητών! Δηλαδή η λύση απέναντι στην επιφυλακτικότητα ήταν η θεώρηση ενός νέου συνόλου, ενός νέου ορισμού του αριθμού που συμπεριλάμβανε όλες τις περιπτώσεις. Εδώ όμως είναι δύσκολο να αλλάξει η λανθασμένη αναπαράσταση: αυτοί που ήταν φυσικοί και άρα πρότυπο, τώρα είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση αλλά διατηρούν την θεμελιώδη σημασία τους για τον μαθηματικό συλλογισμό. Όπως θα δούμε στη συνέχεια, πιο δύσκολα έγιναν δεκτοί άλλα είδη αριθμών, οι πέρα των ρητών άρρητοι και υπερβατικοί, στο τέλος όμως φάνηκε πως κι αυτοί είναι περισσότεροι από τους ρητούς. Όλοι γνωρίζουμε τον Πυθαγόρα και ίσως έχουμε ακούσει την τραγωδία του μαθητή του Ίππασου που φέρεται να αυτοκτόνησε ή ακόμη και να τον αυτοκτόνησαν για να μην Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

14 αποκαλύψει την ύπαρξη ασύμμετρου μεγέθους, δηλαδή του άρρητου αριθμού, του 2, και κατά συνέπεια μια νέα τάξη του απείρου. Η επιστήμη της εποχής είχε φτάσει στην εκτίμηση πως για όλα τα μήκη υπάρχει μια ολική διάταξη: αν α και β αντιστοιχούν στα μήκη δυο ευθυγράμμων τμημάτων, τότε θα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι: - είτε α < β, είτε α > β, είτε α = β. Επιπλέον η μαθηματική γνώση της εποχής είχε διατυπώσει με αναλυτικό τρόπο το προηγούμενο με τη θέση ότι: για κάθε α και β υπάρχει πάντα ένας ρητός αριθμός κ, τέτοιος ώστε α = κ x β. Δηλαδή πάντα υπάρχει η δυνατότητα ένας οποιοσδήποτε αριθμός να γραφεί ως γινόμενο δυο άλλων αριθμών. Αυτή η σχέση σημαίνει την ύπαρξη κοινού μέτρου μεταξύ όλων των μηκών, δηλαδή όλων των αριθμών. Αυτό έγινε κανόνας, νόμος, συνδυάστηκε με ευρύτερες κοσμοθεωρίες περί αρμονίας κλπ κλπ. Έγινε νόμος, δηλαδή βασικό κριτήριο αλήθειας. Όταν όμως έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς α, για να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο διπλάσιου εμβαδού, θα πρέπει να πάρουμε ως νέα βάση την διαγώνιο του μικρού. Είναι όμως αδύνατο να βρούμε έναν ρητό αριθμό κ που να υπολογίζει το μήκος της διαγωνίου και να την γράφει, να την περιγράφει δηλαδή ως γινόμενο του α με έναν άλλο γνωστό αριθμό. Άρα υπάρχουν και ασύμμετρα μεγέθη ή αλλιώς άρρητοι αριθμοί, αριθμοί που δεν μπορούν να ειπωθούν, δεν μπορούν να περιγραφούν! Ο Πλάτωνας, μέσα από τον Σωκρατικό διάλογο Μένων, μας δείχνει πώς αυτό το επιστημολογικό εμπόδιο μπορεί να αξιοποιηθεί ως αφετηρία της μάθησης, καθώς, ως απορία, καθιστά τον μαθητή ενεργό συμμέτοχο στην επιστημονική αναζήτηση. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

15 Στην σκέψη του Ίπασσου κατά πως φαίνεται, δεν μπόρεσαν να δουν τότε οι Πυθαγόρειοι ένα παράδοξο που θα άνοιγε νέα μονοπάτια στην επιστημονική παρατήρηση και στη σκέψη αλλά είδαν μόνο μια απειλή στο γενικότερο σύστημα κανόνων και κριτηρίων που είχαν αναπτύξει. Διότι προφανώς το ασύμμετρο μέγεθος υπήρχε και πριν τον Ίππασο αλλά δεν είχε παρατηρηθεί. Ίσως δεν υπήρχε η θεωρητική προϋπόθεση για να παρατηρηθεί. Σα μαθηματικά ενσωμάτωσαν την αντίφαση της ύπαρξης με την έκφραση, δημιούργησαν νέες θεωρίες στις οποίες διατηρήθηκε η διάταξη αλλά διευρύνθηκε η εκφραστική και η υπολογιστική δυνατότητα της επιστήμης. Αυτή η εκφραστική διεύρυνση όμως στηρίχθηκε σε συμβάσεις της έκφρασης, σε συμβατικές αλήθειες δηλαδή που ισχύουν μέσα στο νοητικό μοντέλο των μαθηματικών αλλά αφίστανται αρκετά από την αίσθηση της πραγματικότητας και της αλήθειας που περιγράφεται από άλλα μοντέλα. Ανάμεσα στις πιο γνωστές συμβάσεις που έπρεπε να κάνουν οι μαθηματικοί για να μπορέσουν να περιλάβουν στον λογισμό τους αντιφάσεις, είναι το παράδειγμα της ολικής διάταξης των πραγματικών αριθμών (R), όταν δηλαδή περιλάβουμε σε ένα αριθμητικό σύνολο και τους αρνητικούς και τους άρρητους. Όλοι συμφωνούμε πως εάν το α < β, τότε το κλάσμα α/β είναι μικρότερο της μονάδας. Κάποια στιγμή συμφωνήσαμε πως το αρνητικό μέγεθος -1 υπάρχει και μάλιστα πως είναι - 1 < 1. Τότε λοιπόν θα έπρεπε το -1/1 να είναι μικρότερο της μονάδας, όπως και το 1/-1 >1, κι όμως η σύμβαση που κάναμε και σήμερα συμφωνούμε είναι πώς ότι το -1/1 = 1/-1 και μάλιστα = - 1. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

16 Παρατηρούμε λοιπόν η κατασκευή μιας νέας αντίληψης και θεωρίας, στην οποία περιλαμβάνονται όσα δεν μπορούσαν να αναγνωριστούν, σημαίνει τον επαναπροσδιορισμό της ταυτότητας όλων των στοιχείων που ακολουθούν πλέον ενιαίους κανόνες λειτουργίας, διάταξης και σύνθεσης, ενώ συνδυάζεται με την εγκαθίδρυση νέων συμβάσεων έκφρασης, γραφής και τρόπων υπολογισμού. 2. Ας μεταφερθούμε τώρα για το δεύτερο παράδειγμα, από τον κόσμο των αριθμών στον κόσμο των συνόλων, όπως τον εισήγαγε ο Georg Cantor στο τέλος του 19ου αιώνα και επί του οποίου στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό η Πιαζετική προσέγγιση της ανάπτυξης λογικομαθηματικού συλλογισμού στην παιδική ηλικία. Πως μπορούμε να πούμε αν δυο σύνολα είναι ίσα; Αν έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων. Πώς το διαπιστώνουμε αυτό; Είτε μετρώντας τα ένα-ένα, αλλά εδώ μπορεί και να μας ξεφύγει κάτι στο μέτρημα ή να μην τελειώσουμε ποτέ αν είναι άπειρα, είτε, όπως έκανε ο Κύκλωπας στην Οδύσσεια για να μετρήσει αν του λείπει κανένα πρόβατο, αντιστοιχώντας ένα προς ένα τα στοιχεία του ενός συνόλου προς του άλλου. Για τα άπειρα αρκεί να βρούμε έναν κανόνα που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του ενός συνόλου, με μοναδικό τρόπο σε ένα του άλλου συνόλου. Εάν πχ έχουμε το σύνολο των μονών αριθμών και το σύνολο των ζυγών, τότε αντιστοιχούμε σε κάθε μονό αριθμό τον επόμενό του που είναι ζυγός και έχουμε μια τέλεια 1-1 αντιστοιχία: ίσα τα δυο σύνολα κι ας είναι άπειρα. Μέχρι Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

17 στιγμής, όλες αυτές οι διαδικασίες σύγκρισης παραμένουν συμβατές με την παραδοσιακή αντίληψη της ισότητας και με την χωρική της αναπαράσταση. Αν όμως πάρουμε το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών και αντιστοιχούμε σε κάθε έναν τον διπλάσιό του, κατασκευάζουμε πάλι την αντιστοιχία 1-1, αλλά τώρα βρισκόμαστε μπροστά σε δυο ίσα σύνολα, εκ των οποίων όμως το δεύτερο φαίνεται να έχει τα μισά στοιχεία από το πρώτο! Δηλαδή έχουμε αντίφαση με την χωρική αναπαράσταση αλλά με την παραδοσιακή αντίληψη της ισότητας, αφού τώρα το μέρος είναι ίσο με το όλο! Εποπτικά μπορούμε να δούμε αυτή την φαινομενική παραδοξότητα στην περίπτωση ενός τριγώνου, φέρνοντας μια εσωτερική γραμμή και δείχνοντας ότι όσα σημεία έχει η βάση, ακριβώς τόσα έχει και η εσωτερική γραμμή, αφού κάθε ευθεία από την κορυφή προς την βάση τέμνει και την εσωτερική γραμμή σε μοναδικό σημείο. Πώς έλυσε ο Cantor αυτή την παραδοξότητα; Όρισε ότι υπάρχουν πολλές τάξεις απείρου. Στην πρώτη τάξη απειρίας τοποθετήθηκαν τα αριθμήσιμα σύνολα, εκείνα των οποίων τα στοιχεία αντιστοιχούν 1-1 με το σύνολο των φυσικών αριθμών, στη δεύτερη σύνολα ισόμορφα με το σύνολο των πραγματικών αριθμών, κλπ. Στην πρώτη τάξη οι ρητοί αριθμοί (Q) μαζί με τους φυσικούς (N), στη δεύτερη οι πραγματικοί (R). Επομένως μέσα σε αυτή την νέα κλάση των τάξεων θα πρέπει να ξανα-αντιληφθούμε την έννοια της ισότητας, τις αναπαραστάσεις μας, τις εκφράσεις και τους τρόπους υπολογισμού. Εισήχθησαν κατά συνέπεια για την κατασκευή της νέας θεωρίας, οι έννοιες του πληθικού και του διατακτικού αριθμού, τα σύμβολα א άλεφ μηδέν, άλεφ ένα,, οι εκφράσεις για μεταξύ τους σχέσεις, καθώς και οι Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

18 αντίστοιχες νοητικές, υπολογιστικές και εποπτικές αναπαραστάσεις. Εδώ διατυπώθηκε και η περίφημη Υπόθεση του Συνεχούς, ότι δεν μπορεί να υπάρξει σύνολο με πληθικό αριθμό μεγαλύτερο του άλεφ μηδέν και μικρότερο του άλεφ ένα. Δεν υπάρχει δηλαδή περίπτωση ύπαρξης μαθηματικών Paranthropus ή Tropis όπως η φυλή του Vercors. 3. Σο τρίτο παράδειγμά μας αναφέρεται στις καμπύλες ή γραμμές, τις οποίες σχεδίασαν σημαντικοί μαθηματικοί στα τέλη του 19ου και αρχές του 20ου αιώνα και οι οποίες για πολλούς εκείνη την εποχή θεωρήθηκαν ως δημιουργήματα μιας αρρωστημένης φαντασίας και ονομάστηκαν «τέρατα», «ψυχωτικές» ακόμα και «παθολογικές» καμπύλες. Για την ακρίβεια «τέρατα» στα μαθηματικά ονομάζουμε κατασκευές που βρίσκονται ανάμεσα σε ακέραιες διατάσεις. Ας φανταστούμε μια λευκή σελίδα. Συμφωνούμε πως η επιφάνεια αυτή είναι μια επιφάνεια δυο διαστάσεων. Όπως ένας κύβος είναι τριών διαστάσεων. Αν αρχίσουμε μια γραμμή πάνω στη σελίδα, από αριστερά προς τα δεξιά. Η γραμμή λέμε ότι έχει διάσταση 1. Η γραμμή δεν έχει εμβαδόν, όπως η σελίδα δεν έχει όγκο. Ας επεκτείνουμε τώρα την ευθεία, μετά να την στρίψουμε λίγο προς τα πάνω, μετά ξανά προς τα αριστερά, μετά προς τα πάνω, κ.ο.κ. χωρίς ποτέ να διασταυρωθούν, ούτε να συμπέσουν οι γραμμές. Αν φανταστούμε ότι οι ευθείες αυτές είναι όσο πιο κοντά γίνεται, κάποια στιγμή θα έχει σχεδόν γεμίσει το χαρτί, δεν θα χωράει δηλαδή άλλη πλέον γραμμή.. Αυτό που κατασκευάσαμε, μια απλουστευμένη παραλλαγή της γραμμής ή καμπύλης του Peano (1880) θα συνεχίζει αφενός να είναι γραμμή, δηλ. μια μονοδιάστατη εικόνα, αλλά Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

19 η διαίσθησή μας λέει ευκολότερα μπορούμε να υπολογίσουμε την επιφάνεια που καταλαμβάνει η γραμμή. Αν δηλαδή η γραμμή γεμίσει πλήρως όλο το επίπεδο του χαρτιού μας θα πρέπει να είναι δυσδιάστατη. Και εφόσον υπάρχει η δυνατότητα αλγοριθμικής περιγραφής για την κατασκευή αυτής της «ιδέας», μπορούμε να πούμε πως φτιάξαμε την ενδιάμεση διάσταση, κάτι περισσότερο του 1 και λιγότερο του 2! Η καμπύλη του Peano Οι κατασκευές αυτές, που επινόησαν μεταξύ άλλων οι Georg Cantor ( ), Giuseppe Peano ( ), David Hilbert ( ), Felix Hausdorff ( ), Helge von Koch ( ) και Waclaw Sierpinski ( ) θα έμεναν ίσως στο περιορισμένο ενδιαφέρον των περίεργων μαθηματικών κατασκευών εάν δεν εύρισκαν εφαρμογές σε προβλήματα περιγραφής ή μέτρησης φυσικών και βιολογικών φαινομένων που απασχολούσαν ευρύτερα τις επιστήμες. Εάν δηλαδή δεν επαναξιολογούνταν σε ένα Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

20 ευρύτερο διεπιστημονικό πλαίσιο. Στις κατασκευές αυτές, τα τέρατα αυτά ο Benoît B. Mandelbrot ( ) τα ονόμασε Fractals και θεμελίωσε τη σχετική θεωρία το Πάλι, για να ξεφύγουμε από τους διαχωρισμούς και τους αποκλεισμούς, οδηγηθήκαμε στην ανάγκη νέας θεωρίας, εντός της οποίας θα επαναπροσδιοριστούν εποπτικές αντιλήψεις και σχέσεις, θα επινοηθούν ορολογία, εκφράσεις και τρόποι υπολογισμού. Η σύνδεση της θεωρίας των φρακταλς με τις θεωρίες του χάους και της κυβερνητικής δημιούργησαν τη δυνατότητα να έχουμε σήμερα μια ισχυρή θεωρία συστημικής ερμηνείας των πιο διαφορετικών πολύπλοκων και δυναμικών φαινομένων, από τα βιολογικά έως τα μετεωρολογικά, από την οικονομία των χρηματιστηρίων έως την οικολογία. ΙΙΙ Στη διάρκεια του 20ου αιώνα το επιστημολογικό τοπίο έγινε τελείως διαφορετικό από εκείνο του 19ου. Νέες επιστημονικές περιοχές και Νέες Τεχνολογίες έχουν αλλάξει άρδην τη δομή των θεμελιωδών αντιλήψεων σε πληθώρα επιστημονικών τομέων και δοκιμάζουν τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε και αλληλεπιδρούμε με τα φαινόμενα της ζωής και του κόσμου που μας περιβάλλει (αντιλήψεις, στερεότυπα): Αναθεωρήθηκαν οι έννοιες του χώρου και του χρόνου, για την ύλη, για τις σχέσεις μεταξύ τους (νέες γεωμετρίες, ενέργεια-μάζα-πληροφορία, κβάντα, σχετικότητα). αναδείχθηκε ο ρόλος του ασυνείδητου και της παιδικής ηλικίας στην ενήλικη ζωή και στη λήψη αποφάσεων κατανοήσαμε ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε πλήρως ένα σύστημα όσο μένουμε εντός των ορίων του (λογική Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

21 μη-πληρότητα, ανοιχτά συστήματα, δεν υπάρχει δράση, ούτε παρατήρηση χωρίς αλληλεπίδραση). ενσωματώθηκε η αβεβαιότητα στην επιστημονική σκέψη (Heisenberg, ασαφή σύνολα), αναδύθηκε η συστημική δυνατότητα μελέτης πολύπλοκων φαινομένων από τη συνάντηση της θεωρίας της εξέλιξης (προσαρμογή, φυσική επιλογή) με τη δομική γλωσσολογία, την ανθρωπολογία, τη θεωρία της πληροφορίας, και την κυβερνητική οι μαθηματικές δομές, ο απειροστικός λογισμός, η στοχαστική ανάλυση και οι τοπολογικές θεωρίες των δικτύων και των κόμβων κατάφεραν να πλησιάσουν περισσότερο τη δομή και να περιγράψουν την πολυπλοκότητα. της πραγματικότητας Κι όλα αυτά συμβαίνουν με διαφορετικούς ρυθμούς διάδοσης, αποδοχής και λειτουργικής αξιοποίησης ανάλογα με τη χώρα, την γλώσσα της, το γεωπολιτικό σύστημα στο οποίο μετέχει, την παράδοση που έχει δημιουργήσει στη σχέση της με την εξέλιξη της γνώσης και την κοινωνική πρόοδο. Με διαφορετικούς ρυθμούς και στάσεις, αλλά μέσα σε ένα σύστημα πολλαπλών συνδέσεων, που ορίζουμε με χίλιους τρόπους ως παγκοσμιοποίηση. Η εκπαίδευση έχει κατά συνέπεια σήμερα να διαχειριστεί ένα νέο επιστημολογικό τοπίο, με περισσότερες συνδέσεις και λιγότερους διαχωρισμούς μεταξύ των επιστημών, με μια διαφορετική επικοινωνιακή ποιότητα και ποσότητα με έντονα τεχνολογικά και ψηφιακά χαρακτηριστικά με μια ποικιλία μαθητικών πληθυσμών και γνωστικών προφίλ με έντονο πολιτισμικό και ψυχολογικό χρώμα σε Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

22 ένα αλληλοεπηρεαζόμενο τοπικό, ευρωπαϊκό και παγκοσμιοποιημένο περιβάλλον αναφοράς και ταυτότητας του σύγχρονου πολίτη. Η μαθηματική επιστήμη, από τα ρητά μεγέθη στα άρρητα, από τα είδη προβλημάτων και τις λύσεις στις σχέσεις μεταξύ των λύσεων, από τις σχέσεις αυτές στις δομές, από τις σχέσεις των δομών στην στοχαστική, από τα δυναμικά συστήματα στην πολυπλοκότητα, βρέθηκε συχνά απέναντι στο ανυπέρβλητο εμπόδιο να αντιλαμβάνεται την ύπαρξη ενός μεγέθους, ενός στοιχείου αλλά να μην μπορεί να το χειριστεί μέσα στο ισχύον θεωρητικό πλαίσιο. Αναγκάστηκε να βγει από το ισχύον πλαίσιο για να αντιληφθεί τι συνέβαινε και να μπορέσει να εντάξει λειτουργικά τα νέα στοιχεία. Η μαθηματική εκπαίδευση δεν ακολούθησε με συνέπεια τις βαθιές και ραγδαίες εξελίξεις της μαθηματικής επιστήμης, κι όταν προσπάθησε να τις ακολουθήσει, όπως με τα μοντέρνα μαθηματικά, το έκανε με λάθος τρόπο, καθώς επέμενε να αντιλαμβάνεται τη μαθηματική εκπαίδευση ως μονόεπιστημονική, αποκλειστικά μαθηματικής ενασχόλησης, υπόθεση. Η επιμονή αυτή, που ενδύθηκε συντεχνιακά με επιστημονικοφανή επιχειρήματα, αντιστοιχεί σε ένα πολύ ισχυρό επιστημολογικό εμπόδιο: μέχρι τη δεκαετία του 30 δεν είχε χαραχτεί ακόμη κάποια βίο-γνωσιακή θεωρία που θα συνάρθρωνε την επιστημολογία με την ψυχολογία, προσδίδοντας ευφυή και εξελικτικά στοιχεία τόσο στην παιδική ηλικία όσο και στις γνωσιακού τύπου αλληλεπιδράσεις μεταξύ υποκειμένου, δράσης, κατάστασης, έκφρασης και λογισμού. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

23 Από την άλλη όμως θα πρέπει να υπογραμμίσουμε ότι η νέα αυτή θεωρία δεν θα μπορούσε να συλληφθεί χωρίς αφενός τις μαθηματικές θεωρίες των λογικών σχέσεων, των δομών και των μετασχηματισμών που επέτρεψαν να δουν οι ερευνητές, με συνεκτικό τρόπο, διαστάσεις που φάνταζαν ασύμβατες, και αφετέρου χωρίς την τολμηρότητα της φροϋδικής προσέγγισης που κατάδειξε τη σχετική αυτονομία του έλλογου ενήλικα και την ισχυρότατη επίδραση του ασυνείδητου, των κοινωνικών στερεοτύπων και των παιδικών βιωμάτων στη λήψη αποφάσεων και στις συμπεριφορές. Στο νέο αυτό τοπίο, με τη συνεργασία πολλών επιστημόνων και επιστημονικών κλάδων επαναξιολογείται σήμερα το περιεχόμενο και ο τρόπος της διδασκαλίας των μαθηματικών σε κάθε βαθμίδα της εκπαίδευσης. Η διεπιστημονικότητα συνδέεται με την προσπάθεια νοηματοδότησης των μαθηματικών. Η νοηματοδότηση συνδέεται με τη σειρά της με τα προσωπικά βιώματα και με τη συλλογική εμπλοκή σε μια δράση. Η συμπερίληψη όλων των παιδιών στο σχεδιασμό της εκπαίδευσης σε μια συμμετοχική, συνεργατική και διεπιστημονική βάση είναι δείκτης της ποιότητας του εκπαιδευτικού συστήματος και της αξιοπιστίας των μαθήσεων, ενώ η ειδικότερη διεπιστημονική και συνεργατική μαθηματική εκπαίδευση αποτελεί την νοητική βάση για την ανάπτυξη της ικανότητας να αναζητούμε την εκάστοτε βέλτιστη λύση στις σχέσεις και στις αναγκαίες εξισορροπήσεις των αλληλεπιδράσεών μας. Μιλήσαμε για περιπτώσεις επιστημολογικών εμποδίων. Αντίστοιχα όμως συμβαίνει με τα κοινωνικά στερεότυπα. Είδαμε την αφήγηση του Vercors με τα παρά φύσιν ζώα, θα μπορούσαμε να δούμε πολλά ακόμη για τον αποκλεισμό Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

24 λόγω χρώματος, φύλου, κοινωνικής ή πολιτισμικής προέλευσης,. Αποκλεισμούς χονδροειδείς και βίαιους ή πιο εκλεπτυσμένους και συγκαλυμμένους, οι οποίοι πάντα εφευρίσκουν ή επινοούν ή υπονοούν κάποιο κοινωνικό στερεότυπο ως επιστημονική αλήθεια. Σας προτείνω να διαβάσετε το βιβλίο Επιπεδοχώρα του Edwin Abbot (Flatland: A Romance of Many Dimensions, 1884) το οποίο έχει μεταφραστεί και στα ελληνικά σε πολλαπλές εκδόσεις, θα το απολαύσετε. Ίσως κάποιοι που επιθυμούν να αναπτύξουν την κριτική σκέψη με πιο τολμηρό και εκλεπτυσμένο τρόπο να ενδιαφερθούν να αλιεύσουν αντίστοιχα ρατσιστικού τύπου στοιχεία αποκλεισμού και σε βιβλία που, μέσα από μια λογοτεχνική μορφή μαθηματικής αφήγησης, προβάλλουν κάποια δήθεν ευρύτερη πνευματική ανωτερότητα των μαθηματικών. Ο Euler, όταν του έφεραν το περίφημο πρόβλημα με τις γέφυρες του Königsberg διερωτήθηκε εκνευρισμένος: «ποιος σας είπε πως ένας μαθηματικός είναι καταλληλότερος να λύσει ένα μη μαθηματικό πρόβλημα από οποιονδήποτε άλλον άνθρωπο;» Όπως έχουμε αλλαγή τοπίου στις επιστήμες, έχουμε και στην αντίληψη της εκπαιδευτικής λειτουργίας επί των διεργασιών της μάθησης. Ο αποκλεισμός δεν μπορεί να προσδιοριστεί και να θεραπευτεί μόνο μέσα ή έξω από το σχολείο αλλά μέσα στις συνδέσεις του σχολείου με την οικογένεια και την κοινωνία, σε ένα σύστημα που συμπεριλαμβάνει και τα τρία υποσυστήματα. Στην περιπέτεια της επιστήμης και της εκπαίδευσης, το ζητούμενο φαίνεται να είναι η αλήθεια. Όπως όμως έχει πει και ο Von Foerster, ένας από τους πιο ισχυρούς επιστήμονες-διανοητές του προηγούμενου αιώνα, «η αλήθεια Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

25 είναι μια έννοια που αφορά μόνο τους ψεύτες. Εμείς ας προτιμήσουμε την έννοια της εμπιστοσύνης». Η εμπιστοσύνη, η δημιουργία δεσμών εμπιστοσύνης που εσωτερικεύονται στον εκπαιδευτικό και στον μαθητή για την μεταξύ τους σχέση αλλά και την κοινή ευθύνη για την επιστήμη και την εκπαίδευση όλων των πολιτών. Η εμπιστοσύνη του πολίτη και του θεσμού της οικογένειας στη δυνατότητα της δημοκρατίας να βαθαίνει και να πλαταίνει συμπεριλαμβάνοντας όλο και περισσότερους αποκλεισμένους ανθρώπους, όπως η εμπιστοσύνη στην επιστήμη να συμπεριλαμβάνει όλο και περισσότερα «περίεργα» «ορφανά» ή αόρατα και άρρητα φαινόμενα. Αυτή την οικοδόμηση δεσμών εμπιστοσύνης με τα μαθηματικά και με τη δημοκρατία πιστεύω πως υπηρετούν τα συνέδρια που επί τόσα χρόνια με επιμονή, ευθύνη, τόλμη και φαντασία διοργανώνουν ο Δημήτρης Χασάπης και η Ελένη Γιαννακοπούλου, τους οποίους ευχαριστώ θερμά για την τιμή της βαθιάς μας φιλίας και αυτής της επιστημονικής πρόσκλησης. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΧΤΕΛΙΔΗΣ, ΥΒΟΝ ΚΟΣΜΑ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΧΤΕΛΙΔΗΣ, ΥΒΟΝ ΚΟΣΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παιδική ηλικία είναι ένα ζήτημα για το οποίο η κοινωνιολογία έχει δείξει μεγάλο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια. Από τις αρχές της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα βρίσκεται υπό εξέλιξη ένα πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ Μάθημα 1 ο 14/3/2011 Περίγραμμα και περιεχόμενο του μαθήματος Μάθηση με την αξιοποίηση του Η/Υ ή τις ΤΠΕ Θεωρίες μάθησης Εφαρμογή των θεωριών μάθησης στον σχεδιασμό εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Σίππη Χαραλάμπους ΕΔΕ Παναγιώτης Κύρου ΕΔΕ

Ελένη Σίππη Χαραλάμπους ΕΔΕ Παναγιώτης Κύρου ΕΔΕ Ελένη Σίππη Χαραλάμπους ΕΔΕ Παναγιώτης Κύρου ΕΔΕ Δομή παρουσίασης Εισαγωγή Έννοια της διαφοροποιημένης διδασκαλίας Γιατί διαφοροποίηση διδασκαλίας; Θετικά αποτελέσματα από την εφαρμογή της διαφοροποιημένης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο υπολογιστής ως γνωστικό εργαλείο. Καθηγητής Τ. Α. Μικρόπουλος

Ο υπολογιστής ως γνωστικό εργαλείο. Καθηγητής Τ. Α. Μικρόπουλος Ο υπολογιστής ως γνωστικό εργαλείο Καθηγητής Τ. Α. Μικρόπουλος Τεχνολογίες Πληροφορίας & Επικοινωνιών ΟιΤΠΕχαρακτηρίζουνόλαταμέσαπουείναιφορείς άυλων μηνυμάτων (χαρακτήρες, εικόνες, ήχοι). Η αξιοποίησή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης kliapis@sch.gr 1 Ο Ρόλος του εκπαιδευτικού Αξιολογεί την αρχική μαθηματική κατάσταση κάθε παιδιού, ομαδοποιεί τα παιδιά σύμφωνα με

Διαβάστε περισσότερα

Υπεύθυνη Επιστημονικού Πεδίου Χρυσή Χατζηχρήστου

Υπεύθυνη Επιστημονικού Πεδίου Χρυσή Χατζηχρήστου «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Υποέργο 1: «Εκπόνηση Προγραμμάτων Σπουδών Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης και οδηγών για τον εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί πως η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στον ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία

1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία 1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία Ο διδακτικός σχεδιασμός (instructional design) εμφανίσθηκε στην εκπαιδευτική διαδικασία και στην κατάρτιση την περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης

Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ιανουάριος 2011 Ψυχομετρία Η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία

Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία Ενότητα 1: Εισαγωγή Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών ένα απλό πρόβλημα Η οικογένεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος. Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη. [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων]

Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος. Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη. [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων] Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων] 1. Είστε ικανοποιημένος/η από το Πρόγραμμα; Μ. Ο. απαντήσεων: 4,7 Ικανοποιήθηκαν σε απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ60/70, ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04)

ΠΕ60/70, ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04) «Επιµόρφωση εκπαιδευτικών στη χρήση και αξιοποίηση των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διδακτική διαδικασία» (Γ ΚΠΣ, ΕΠΕΑΕΚ, Μέτρο 2.1, Ενέργεια 2.1.1, Κατηγορία Πράξεων 2.1.1 θ) Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ SESSION 4 ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΛΑΒΑΚΗΣ ΠΗΓΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗΣ «ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΑΠΟ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΧΗ ΣΕ ΜΙΑ ΑΛΛΗ»

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ SESSION 4 ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΛΑΒΑΚΗΣ ΠΗΓΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗΣ «ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΑΠΟ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΧΗ ΣΕ ΜΙΑ ΑΛΛΗ» ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2017 ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΠΗΓΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗΣ (ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΙΔΕΩΝ) ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ «ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ» ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ «ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Μανώλης Κουτούζης Αναπληρωτής Καθηγητής Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο. Αναγνώσεις σε επίπεδα

Μανώλης Κουτούζης Αναπληρωτής Καθηγητής Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο. Αναγνώσεις σε επίπεδα Μανώλης Κουτούζης Αναπληρωτής Καθηγητής Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Αναγνώσεις σε επίπεδα η έννοια της κουλτούρας στις κοινωνικές επιστήμες αποτελεί μια από τις βασικές εννοιολογικές κατηγορίες για την

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

Με τα μάτια του παππού και της γιαγιάς. 63o Δημοτικό Σχολείο Θεσσαλονίκης. Λαογραφικό και Εθνολογικό Μουσείο Μακεδονίας- Θράκης

Με τα μάτια του παππού και της γιαγιάς. 63o Δημοτικό Σχολείο Θεσσαλονίκης. Λαογραφικό και Εθνολογικό Μουσείο Μακεδονίας- Θράκης Λαογραφικό και Εθνολογικό Μουσείο Μακεδονίας- Θράκης 63o Δημοτικό Σχολείο Θεσσαλονίκης Με τα μάτια του παππού και της γιαγιάς 1 Σχολείο: 63 ο Δημοτικό σχολείο Θεσσαλονίκης Συμμετέχοντες Τάξη / Τμήμα: ΣΤ

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικο-πολιτισμική ετερότητα & Αναλυτικό Πρόγραμμα

Κοινωνικο-πολιτισμική ετερότητα & Αναλυτικό Πρόγραμμα Εισήγηση-παρουσίαση: Κοινωνικο-πολιτισμική ετερότητα & Αναλυτικό Πρόγραμμα Βασίλης Τσάφος, Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία, Πανεπιστήμιο Αθηνών Σχολιάζουν: Αλεξάνδρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

Εξ αποστάσεως υποστήριξη του έργου των Εκπαιδευτικών μέσω των δικτύων και εργαλείων της Πληροφορικής

Εξ αποστάσεως υποστήριξη του έργου των Εκπαιδευτικών μέσω των δικτύων και εργαλείων της Πληροφορικής Εξ αποστάσεως υποστήριξη του έργου των Εκπαιδευτικών μέσω των δικτύων και εργαλείων της Πληροφορικής Ε. Κολέζα, Γ. Βρέταρος, θ. Δρίγκας, Κ. Σκορδούλης Εισαγωγή Ο εκπαιδευτικός κατά τη διάρκεια της σχολικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΧΡΟΝΙΑ ΝΟΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΧΡΟΝΙΑ ΝΟΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΧΡΟΝΙΑ ΝΟΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Κων/νος Καλέμης, Άννα Κωσταρέλου, Μαρία Αγγελική Καλέμη Εισαγωγή H σύγχρονη τάση που επικρατεί

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ PSY 301 Φιορεντίνα Πουλλή. Μάθημα 1ο

ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ PSY 301 Φιορεντίνα Πουλλή. Μάθημα 1ο ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ PSY 301 Φιορεντίνα Πουλλή 1 ΚΥΡΙΩΣ ΒΙΒΛΙΟ Τίτλος : Κοινωνική Ψυχολογία: Εισαγωγή στη μελέτη της κοινωνικής συμπεριφοράς Συγγραφέας : Κοκκινάκη, Φ. 2 Μάθημα 1 ον -Δομή Μαθήματος Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ και ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. http://www.imibe.gr info@imibe.gr

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ και ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. http://www.imibe.gr info@imibe.gr ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ και ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ http://www.imibe.gr info@imibe.gr Άννα Παγοροπούλου Επικ. Καθηγήτρια Ψυχολογίας Φιλοσοφική Σχολή Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Η σημερινή

Διαβάστε περισσότερα

το σύστηµα ελέγχει διαρκώς το µαθητή,

το σύστηµα ελέγχει διαρκώς το µαθητή, Α/Α Τύπος Εκφώνηση Απαντήσεις Ένας νηπιαγωγός, προκειµένου να διδάξει σε παιδιά προσχολικής ηλικίας το λεξιλόγιο των φρούτων Σωστό και λαχανικών που συνδέονται µε τις διατροφικές συνήθειες µας, δε ζητάει

Διαβάστε περισσότερα

Το ΔΕΠΠΣ- ΑΠΣ των Φυσικών Επιστημών της Ε και Στ Δημοτικού Τα Νέα Διδακτικά Βιβλία των Φυσικών Επιστημών της Ε και Στ Δημοτικού

Το ΔΕΠΠΣ- ΑΠΣ των Φυσικών Επιστημών της Ε και Στ Δημοτικού Τα Νέα Διδακτικά Βιβλία των Φυσικών Επιστημών της Ε και Στ Δημοτικού Το ΔΕΠΠΣ- ΑΠΣ των Φυσικών Επιστημών της Ε Τα Νέα Διδακτικά Βιβλία των Φυσικών Επιστημών της Ε Ειδικοί σκοποί ΑΠΣ Κατανόηση: φυσικού κόσμου νόμων που τον διέπουν φυσικών φαινομένων διαδικασιών που οδηγούν

Διαβάστε περισσότερα

Η Επιστήµη της Κοινωνιολογίας

Η Επιστήµη της Κοινωνιολογίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Η Επιστήµη της Κοινωνιολογίας 1. Ορισµός και αντικείµενο της Κοινωνιολογίας 1.1. Κοινωνιολογία και κοινωνία Ερωτήσεις του τύπου «σωστό λάθος» Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασµένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιμέλεια 7 o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών 15 & 16 Μαρτίου 2008 Ομάδα Έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ i ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ανάλυση θεωρίας

3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ανάλυση θεωρίας Κεφάλαιο Εξέλιξη 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ανάλυση θεωρίας Πολλές από τις επιστημονικές απόψεις που έχουν κατά καιρούς διατυπωθεί δεν γίνονται εύκολα αποδεκτές, διότι αντιβαίνουν την αντίληψη που οι άνθρωποι διαμορφώνουν

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Ρώσσης, Φάνη Στυλιανίδου Ελληνογερμανική Αγωγή. http://www.creative-little-scientists.eu

Δημήτρης Ρώσσης, Φάνη Στυλιανίδου Ελληνογερμανική Αγωγή. http://www.creative-little-scientists.eu Τι έχουμε μάθει για την προώθηση της Δημιουργικότητας μέσα από τις Φυσικές Επιστήμες και τα Μαθηματικά στην Ελληνική Προσχολική και Πρώτη Σχολική Ηλικία; Ευρήματα για την εκπαίδευση στην Ελλάδα από το

Διαβάστε περισσότερα

Το φύλο στην εκπαίδευση. Μια περιήγηση στα σημαντικά ζητήματα έρευνας, εφαρμογής και εκπαιδευτικών πρακτικών

Το φύλο στην εκπαίδευση. Μια περιήγηση στα σημαντικά ζητήματα έρευνας, εφαρμογής και εκπαιδευτικών πρακτικών Το φύλο στην εκπαίδευση Μια περιήγηση στα σημαντικά ζητήματα έρευνας, εφαρμογής και εκπαιδευτικών πρακτικών Τα θέματα-άξονες της σχέσης φύλο και εκπαίδευση Η πρόσβαση και η συμμετοχή των δύο φύλων στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Οργανωσιακή μάθηση. Εισηγητής : Δρ. Γιάννης Χατζηκιάν

Οργανωσιακή μάθηση. Εισηγητής : Δρ. Γιάννης Χατζηκιάν Οργανωσιακή μάθηση Εισηγητής : Δρ. Γιάννης Χατζηκιάν 1 Μάθηση είναι: Η δραστηριοποίηση και κατεύθυνση δυνάμεων για την όσο το δυνα-τόν καλύτερη προσαρμογή στο φυσικό και ιστορικό περιβάλλον. Η απόκτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διαπολιτισμική μεσολάβηση και ο ρόλος του εκπαιδευτικού. Ευγενία Αρβανίτη, ΤΕΕΑΠΗ, Πανεπιστήμιο Πατρών earvanitis@upatras.gr

Διαπολιτισμική μεσολάβηση και ο ρόλος του εκπαιδευτικού. Ευγενία Αρβανίτη, ΤΕΕΑΠΗ, Πανεπιστήμιο Πατρών earvanitis@upatras.gr Διαπολιτισμική μεσολάβηση και ο ρόλος του εκπαιδευτικού Ευγενία Αρβανίτη, ΤΕΕΑΠΗ, Πανεπιστήμιο Πατρών earvanitis@upatras.gr 1 4/30/2014 Σχολικές κοινότητες μάθησης εστιάζουν στην προσωπικότητα του μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ κατάλληλο διδακτικό περιβάλλον εκπαιδευτικός διαχειριστής της τάξης μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Εισαγωγικές Έννοιες -- ΜΑΡΙΑ ΔΑΣΚΟΛΙΑ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Εισαγωγικές Έννοιες -- ΜΑΡΙΑ ΔΑΣΚΟΛΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Εισαγωγικές Έννοιες -- ΜΑΡΙΑ ΔΑΣΚΟΛΙΑ Η «οικολογική» προσέγγιση του περιβάλλοντος Περιβάλλον: ταυτίζεται με την έννοια του οικοσυστήματος ή με την Οικόσφαιρα Περιβάλλον:

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ Μάθημα 1 ο Εισαγωγή στις βασικές έννοιες Προτεινόμενη Βιβλιογραφία Elliot, S. N., Kratochwill, T. R., Cook, J. L., & Travers, J. F. (2008). Εκπαιδευτική Ψυχολογία: Αποτελεσματική

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015*

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015* ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015* ΔΕΥΤΕΡΑ 19/1 ΤΡΙΤΗ 20/1 ΤΕΤΑΡΤΗ 21/1 ΠΕΜΠΤΗ 22/1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 23/1 ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΕΥΓΕΝΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι και κατευθύνσεις στη διαπολιτισμική εκπαίδευση

Στόχοι και κατευθύνσεις στη διαπολιτισμική εκπαίδευση ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στόχοι και κατευθύνσεις στη διαπολιτισμική εκπαίδευση Ενότητα 2: Ο ρόλος του εκπαιδευτικού στο πολυπολιτισμικό σχολείο Αναστασία Κεσίδου,

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ. Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ. Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ Οι ερωτήσεις στη διδασκαλία Α) Η ερώτηση του εκπαιδευτικού Β) Η ερώτηση του μαθητή Α) Η

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα Διαφοροποιημένη Διδασκαλία Ε. Κολέζα Τι είναι η διαφοροποιημένη διδασκαλία; Είναι μια θεώρηση της διδασκαλίας που βασίζεται στην προϋπόθεση ότι οι δάσκαλοι πρέπει να προσαρμόσουν τη διδασκαλία τους στη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ. Χρήστος Ν. Σιγάλας

Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ. Χρήστος Ν. Σιγάλας Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ Χρήστος Ν. Σιγάλας Με τον όρο Εκπαιδευτικό Έργο στο πλαίσιο μιας εκπαιδευτικής βαθμίδας νοούμε το σύνολο των ενεργειών και των δραστηριοτήτων δια

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Μοσχοβάκη Σχολική Σύμβουλος 47ης Περιφέρειας Π.Α.

Ελένη Μοσχοβάκη Σχολική Σύμβουλος 47ης Περιφέρειας Π.Α. Ελένη Μοσχοβάκη Σχολική Σύμβουλος 47ης Περιφέρειας Π.Α. Τι θα Δούμε. Γιατί αλλάζει το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών. Παιδαγωγικό πλαίσιο του νέου Α.Π.Σ. Αρχές του νέου Α.Π.Σ. Μαθησιακές περιοχές του νέου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Clements & Sarama, 2009; Sarama & Clements, 2009 Χωρική αντίληψη και σκέψη Προσανατολισμός στο χώρο Οπτικοποίηση (visualization) Νοερή εικονική αναπαράσταση Νοερή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα: Προσχολικής & Πρωτοβάθμιας Φωκίδας. Φορέας ιεξαγωγής: ΠΕΚ Λαμίας Συντονιστής: ημητρακάκης Κωνσταντίνος Τηλέφωνο:

Τμήμα: Προσχολικής & Πρωτοβάθμιας Φωκίδας. Φορέας ιεξαγωγής: ΠΕΚ Λαμίας Συντονιστής: ημητρακάκης Κωνσταντίνος Τηλέφωνο: Τμήμα: Προσχολικής & Πρωτοβάθμιας Φωκίδας Φορέας ιεξαγωγής: ΠΕΚ Λαμίας Συντονιστής: ημητρακάκης Κωνσταντίνος Τηλέφωνο: 2231081842 Χώρος υλοποίησης: ΕΚΦΕ Φωκίδας Υπεύθυνος: Μπεμπή Ευαγγελία Τηλέφωνο επικοινωνίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9 Περιεχόμενα Προλογικό Σημείωμα 9 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1. Εισαγωγή 14 1.2 Τα βασικά δεδομένα των Μαθηματικών και οι γνωστικές απαιτήσεις της κατανόησης, απομνημόνευσης και λειτουργικής χρήσης τους 17 1.2.1. Η

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο. Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση

Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο. Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση Αντιπαράθεση φύσης ανατροφής η ανάπτυξη είναι προκαθορισμένη κατά την γέννηση από την

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικές Κοινότητες Μάθησης

Ηλεκτρονικές Κοινότητες Μάθησης ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Ηλεκτρονικές Κοινότητες Μάθησης Ομάδα Εργασίας Έλενα Ελληνιάδου Ζωή Κλεφτάκη Νικόλαος Μπαλκίζας Ειρήνη

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα # 1.2: Η προοπτική των βασικών αρχών της φύσης των Φυσικών Επιστημών στην επιμόρφωση των εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ Επεξηγήσεις συμβόλων/αρχικών γραμμάτων: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ 2009-10 Υ= Υποχρεωτικό Κ= ενότητα μαθημάτων «Κοινωνία και Εκπαίδευση» Ε= Κατ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή

Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή Κατευθυντήριες γραμμές σχεδίασης μαθησιακών δραστηριοτήτων Διδάσκων: Καθηγητής Αναστάσιος Α. Μικρόπουλος Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Μάθηση και γνώση: μια συνεχής και καθοριστική αλληλοεπίδραση Αντώνης Λιοναράκης Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα