Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ"

Transcript

1 Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ 11o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών με θέμα ΓΛΩΣΣΑ, ΦΥΛΗ, ΦΥΛΟ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΑΞΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρασκευή 19 & Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Αθήνα Κεντρικό Κτίριο Πανεπιστημίου Αθηνών, Αμφιθέατρο Άλκης Αργυριάδης, (Πανεπιστημίου 30) Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

2 ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ, ΤΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΜΕ ΤΟ ΟΛΟ Φραγκίσκος Καλαβάσης Πανεπιστήμιο Αιγαίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Θα επιχειρήσουμε να συνδέσουμε κάπως τα κοινωνικά στερεότυπα με τα επιστημολογικά εμπόδια, για να δούμε πώς αλληλο-ενισχύονται στην περίπτωση της μαθηματικής εκπαίδευσης, ποια είναι η σημασία και η δυσκολία της διεύρυνσης του αντιληπτικού σχήματος, της ανατροπής του εννοιολογικού πλαισίου, της κατασκευής νέων γλωσσικών συμβάσεων για την νοητική συμπερίληψη του εκάστοτε εμφανιζόμενου ως ξένου, άρρητου ή αόρατου. - Σο νέο τοπίο της εκπαίδευσης, το νέο τοπίο των επιστημών: έμφαση στις συνδέσεις και τις συνεργασίες. - Ο κύκλος «εμπειρία, απορία, θεωρία» στην εξέλιξη των μαθηματικών αλλά και στην ανάπτυξη του εκπαιδευτικού σχεδιασμού. - Η μεταβλητότητα των διαχωριστικών γραμμών, η αόρατη χρυσή τομή στη σχέση του μέρους με το όλον, το πέρασμα από το πολυδιάστατο στο πολύπλοκο. - Αλληλεπιδράσεις και αυτό-ομοιότητα, το όλον που είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των μερών του. - Ο σχεδιασμός της μαθηματικής εκπαίδευσης μέσα από τις συνδέσεις του σχολείου με την οικογένεια και την κοινωνία και τις συνδέσεις των μαθηματικών με τις άλλες γνωστικές περιοχές. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

3 Θα επιχειρήσουμε να συνδέσουμε τις διακρίσεις στα κοινωνικά στερεότυπα και τις οικογενειακές προκαταλήψεις με τα επιστημολογικά εμπόδια, για να δούμε πώς αλληλοενισχύονται στην περίπτωση της μαθηματικής εκπαίδευσης. Σε αυτό το πλαίσιο θα αναζητήσουμε τη δυσκολία και την αμηχανία του εκάστοτε αντιληπτικού σχήματος που παράγει τους οντολογικούς διαχωρισμούς, όταν επιχειρεί να εντάξει το «αποκλεισμένο άλλο» με κυριαρχικό τρόπο στα δικά του εννοιολογικά και γλωσσικά όρια, δομές και λειτουργίες, οπότε οδηγείται σε αδιέξοδα, σε παράδοξα και αντιφάσεις. Η δυσκολία αναπαράγεται τόσο στη διαδικασία της μάθησης και διδασκαλίας, όσο και στη διαδικασία της οργανωσιακής συγκρότησης της κοινωνίας, στους θεσμούς και στις αξίες που τους/μας διέπουν. Η δυσκολία αυτή άλλοτε εμφανίζεται με σαφήνεια, άλλοτε υποκρύπτεται με χάρη και μας εξαπατά, άλλοτε αλλάζει μορφές και μας αποπροσανατολίζει, πάντως είναι συστηματικά και συνεχώς παρούσα. Δεν είναι δυνατόν να είναι απούσα, αφού συνιστά τρόπον τινά την εξελικτική και προσαρμοστική φύση της ανθρώπινης νόησης και των πολιτισμών. Θα προσεγγίσουμε την πολυπλοκότητα της διαδρομής για την ανατροπή των βεβαιοτήτων και πόσο αλληλένδετη είναι η διαμόρφωση κάθε νέας θεωρίας με την κατασκευή νέων γλωσσικών συμβάσεων για την νοητική και σημειολογική συμπερίληψη, όχι μόνο του πρώην ξένου, άρρητου ή αόρατου μέρους, αλλά και για την κατασκευή των νέων σχέσεων μεταξύ των μερών και του κάθε μέρους με το νέο όλον. Ι Είναι αρκετά δύσκολο να κατανοήσουμε τη διεργασία της μάθησης των μαθηματικών αν δεν κατανοήσουμε τη διαδικασία της εξέλιξης των ίδιων των μαθηματικών, καθώς πολλές από τις επίμονες δυσκολίες της κατανόησης και της διδασκαλίας φαίνεται πως πηγάζουν στα επιστημολογικά εμπόδια. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

4 Αντίστοιχα είναι δύσκολο να κατανοήσουμε ορισμένες πεισματικές και πιεστικές οικογενειακές πρακτικές χωρίς να ανατρέξουμε σε γονεϊκές πεποιθήσεις ότι πχ οι μαθηματικές ικανότητες ή ανικανότητες του παιδιού τους είναι φυσικά προτερήματα ή ελαττώματα που συνδέονται με την κληρονομικότητα, συχνά αναφερόμενη σε παλιότερες γενιές. Είναι τέλος αδύνατο να κατανοήσουμε τον απάνθρωπο, φανερό ή καλυπτόμενο αποκλεισμό ομάδων παιδιών από την εκπαίδευση, αν δεν αναζητήσουμε συσχετίσεις με πολιτισμικά στερεότυπα και κοινωνικές πρακτικές που διαβαθμίζουν τα ανθρώπινα όντα και τις ικανότητές τους, τις πατρίδες και τους πολιτισμούς τους. Σο πιο δύσκολο είναι όταν διαπιστώνουμε πως αυτό που συμβαίνει κατά τη διδασκαλία με τους μαθητές και τις μαθήτριες στο σχολείο, εμπλέκεται με αυτά που συμβαίνουν με τα παιδιά μέσα στην οικογένεια και με όσα συμβαίνουν μέσα στην κοινωνία (ή ορθότερα στα σύνορα της κοινωνίας και της πόλης). Σα τρία συστήματα, σχολείο οικογένεια κοινωνία και πόλη, αλληλοεπηρεάζονται και προσδιορίζουν σε μεγάλο βαθμό την οργάνωση της πνευματικής, κοινωνικής και πολιτισμικής ταυτότητάς του παιδιού και την κατασκευή της σχέσης του με την μαθηματική επιστήμη. Ακόμη πιο περίπλοκο γίνεται το πρόβλημα όταν διαπιστώνουμε πως αυτή η πολυπλοκότητα της σχέσης μεταξύ των τριών συστημάτων αναπαράγεται εντός του συστήματος-σχολείο. Μέσα στη σχολική μονάδα συνυπάρχουν διαφορετικές αναπαραστάσεις ή διαφορετικές πραγματικότητες της μαθηματικής εκπαίδευσης. Εκείνη που περιγράφεται στο εκάστοτε αναλυτικό πρόγραμμα και αποτυπώνεται στα σχολικά εγχειρίδια. Η δεύτερη που κατασκευάζεται από τον/την εκπαιδευτικό με τις διδακτικές πρακτικές που υιοθετεί και επιβάλει στη σχολική τάξη, στις εκφράσεις του πίνακα, στην αξιολόγηση των μαθητών και μαθητριών, στο Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

5 ενδιαφέρον που δείχνει ή δεν δείχνει για τις λανθασμένες απαντήσεις, για τη συνεργασία μεταξύ των μαθητών και μαθητριών, για την ενθάρρυνση ή όχι δημοκρατικών συμπεριφορών στη διαχείριση της μαθηματικής ύλης. Η τρίτη αναπαράσταση είναι εκείνη που διαμορφώνεται από τους μαθητές και μαθήτριες ατομικά, ανά ομάδες και συλλογικά σε σχέση: - με την μαθηματική επιστήμη και με την πηγή των δυσκολιών που συναντούν, - με τις προσδοκίες του/της εκπαιδευτικού - αλλά και με την αυτοεκτίμησή του και την εκτίμηση των συμμαθητών του, - με τις προσδοκίες του οικογενειακού περιβάλλοντος - και της κοινωνίας. Για να κατανοήσουμε την πολυπλοκότητα που δημιουργείται με τις τρεις αναπαραστάσεις μέσα στη σχολική τάξη θα πρέπει να καταφέρουμε κάπως την περιγράψουμε, κι εδώ η μαθηματική επιστήμη μας προσφέρει ανεκτίμητα εργαλεία. Η αλληλεπίδραση των τριών αναπαραστάσεων μοιάζει με τους δακτύλιους του Borroméo, που βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα. Πρόκειται για τον μαθηματικά απλούστερο δεσμό Brunn (1892) ή Milnor (1954) στην θεωρία των κόμβων, όπου κανένας δακτύλιος δεν είναι ελεύθερος, αλλά αν ελευθερωθεί ένας, ελευθερώνονται όλοι. Κατασκευάζεται εύκολα, αν τοποθετήσουμε κάτω τον ένα, επάνω του τον δεύτερο και στη συνέχεια περάσουμε τον τρίτο πάνω από τον πρώτο, κάτω από τον δεύτερο, ξανά πάνω από τον πρώτο και πάλι κάτω από τον δεύτερο. Σους δακτύλιους του Borroméo χρησιμοποίησε ο Lacan για να περιγράψει το ψυχαναλυτικό μοντέλο ΙSR (ΦΣΠ), το οποίο συνιστούν το Φαντασιακό (Imaginaire), το Συμβολικό (Symbolique) και το Πραγματικό Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

6 (Réel). Σα συστατικά αυτά είναι ετερογενή και ανεξάρτητα, έχουν όμως, κοινά στοιχεία και το καθένα επηρεάζει τα άλλα. Οι δακτύλιοι του Borroméo Εάν μια από τις αναπαραστάσεις σπάσει, οι άλλες δυο παύουν να εμπλέκονται και να αλληλοεπηρεάζονται. Εδώ φαίνεται ο σημαντικός ρόλος και ευθύνη μας ως εκπαιδευτικών. Η αναπαράσταση που καθορίζει τις διδακτικές και μαθηματικές πρακτικές μας περιλαμβάνει και την αναπαράσταση που έχουμε διαμορφώσει για τις διακρίσεις και τους αποκλεισμούς μέρους του μαθητικού πληθυσμού ή του εν δυνάμει μαθητικού πληθυσμού που δεν είναι παρών στο σχολείο, όπως δεν είναι παρών στις εικόνες και αναφορές του αναλυτικού προγράμματος και του εκπαιδευτικού υλικού, ούτε στα στερεότυπα της οικογένειας και της κοινωνίας. Αυτή η πορεία της διαμόρφωσης της σχέσης του κάθε μαθητή/τριας με την μαθηματική γνώση περικλείεται και εξαρτάται στην αντίστοιχη πορεία διαμόρφωσης σχέσης με την μαθηματική επιστήμη, την αξία και τη χρησιμότητά της από το σχολείο, από την οικογένεια και από την κοινωνία. Συνήθως η εκπαιδευτική μονάδα, το σχολείο εν προκειμένω, όταν καταφέρνει να σχεδιάσει και αναπτύξει ρητές σχέσεις: - με την επιστημονική γνώση - με την κοινωνία και τους φορείς της - με τις οικογένειες - με το ευρύτερο εκπαιδευτικό σύστημα Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

7 - και με αντίστοιχες, παράλληλες ή συμπληρωματικές εκπαιδευτικές δομές, τότε δημιουργεί ένα προστατευτικό φίλτρο γύρω από τον κάθε μαθητή-τρια και τον βοηθάει να κατασκευάσει και ο ίδιος και να εκφράσει, άρα να μπορεί να διαπραγματευτεί τις δικές τους σχέσεις και σημασίες. Αυτό όμως συμβαίνει πολύ σπάνια στα συγκεντρωτικά εκπαιδευτικά συστήματα, με σύνηθες αποτέλεσμα όσα συμβαίνουν μέσα στο σχολείο να μεταφέρονται για να σηματοδοτηθούν με διαφορετικούς όρους στην οικογένεια και την κοινωνία. Για παράδειγμα μια δυσκολία στα μαθηματικά που εντοπίζεται στο σχολείο, θα ερμηνευτεί με άλλους όρους στο οικογενειακό πλαίσιο και με διαφορετικούς στο κοινωνικό. Εάν τα πλαίσια αυτά δεν έχουν διαμορφώσει εκπεφρασμένες σχέσεις επικοινωνίας, που προϋποθέτουν αμοιβαία αναγνώριση και διάκριση των ρόλων, τότε οι τρείς ερμηνείες θα επιβαρύνουν αθροιστικά το παιδί. (ΕΝΕΔΙΜ, Μαθηματική Εκπαίδευση και Οικογενειακές Πρακτικές, Επιμέλεια Φ.Καλαβάσης, Σ.Καφούση, Μ.Χιονίδου, Χ.Σκουμπουρδή, Γ.Φεσάκης, Εκδ. Πανεπιστήμιο Αιγαίου, 2009) Η άτυπη μεταφορά και αλλαγή πλαισίου δημιουργεί σύγχυση για την μαθηματική επιστήμη, για την αξία και τη χρησιμότητά της, για τις δυνατότητες προσέγγισής της, τραυματίζοντας τη δυνατότητα του παιδιού να οδηγηθεί στις νέες ποιότητες της μάθησης, της αυτονομίας και της υπευθυνότητας. Η διαδικασία αυτή που μετατρέπει το λάθος σε στίγμα είναι ακόμη πιο τραυματική όταν συμβαίνει σε παιδιά που και τα τρία συστήματα σχολείο- οικογένεια- Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

8 κοινωνία τα αποκλείουν από την εκπαίδευση, είτε με τρόπο φανερών απαγορεύσεων, είτε με τρόπο ματαιώσεων και αποθαρρύνσεων που έρχονται να επιβεβαιώσουν προκαταλήψεις και παραδόσεις κοινωνικού αποκλεισμού (όπως στην περίπτωση των τσιγγανοπαίδων) (Φ.Καλαβάσης, Σ.Καφούση, Χ.Σκουμπουρδή, Α.Καπέλου, Φ.Σταθοπούλου, Π.Χαβιάρης, Σ.Κοκκαλίδης, Αλληλεπίδραση της Μαθηματικής Εκπαίδευσης με τη σχολική αποτυχία ( ), Εκδ. Πανεπιστήμιο Αιγαίου, 2006) Θα μπορούσαμε να περιγράψουμε αυτή την περίπλοκη αλληλεξάρτηση στερεοτυπικών στάσεων και μαθησιακών δυσκολιών, αξιοποιώντας μαθηματικές εκφράσεις, όπως την αυτοομοιότητα του πενταγώνου που από την τομή των διαγωνίων του αναπαράγει στο εσωτερικό του ένα όμοιο αντίγραφο (F.Kalavasis, "Modélisation des situations complexes en éducation, en vue de la gouvernance des unités scolaires" Les Cahiers de Recherche du LAREQUOI, ). Πλαίσιο των σχέσεων που αναπτύσσει ή όχι, η Εκπαιδευτική Μονάδα (ΕΜ). Το πεντάγωνο είναι αυτό-όμοιο: Κάθε μετασχηματισμός του εξωτερικού επηρεάζει το εσωτερικό και αντίστροφα Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

9 Για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε λοιπόν τι συμβαίνει στον αποκλεισμό από την μαθηματική εκπαίδευση, θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι αυτός δεν θα μπορούσε να συμβεί αν δεν υπήρχε αλληλοτροφοδότηση μεταξύ της μαθηματικής μαθησιακής διεργασίας, η οποία είναι καθαυτή δύσκολη και με επιστημολογικές αναλογίες, των αξιακών προσταγών και των ενοχικών διεργασιών που κατασκευάζονται στην οικογένεια, στην κοινωνία και παίρνουν συγκεκριμένη μορφή στην οργάνωση της πόλης και του σχολείου. Βασικός ισχυρισμός της εισήγησή μας είναι ότι η πολιτεία όπως και η κοινωνία πορεύεται με συμβατικές αλήθειες, δηλαδή με συμφωνημένες θεσμοθετήσεις στις οποίες θεμελιώνονται συνειδήσεις και τρόποι συλλογισμού και συμπεριφοράς. Όταν όμως αυτές οι συμπεφωνημένες παραδοχές, «τα συμπεφωνημένα υπονοούμενά μας» για να παραφράσουμε τον Γιώργο Σεφέρη μετατρέπονται σε φυσικές ή θεϊκές αλήθειες και λειτουργούν ως στερεότυπα, γίνονται τα μεγαλύτερα εμπόδια στην πρόοδο της επιστήμης και της κοινωνίας, καθώς συντηρούν τις φοβίες, παράγουν τους αποκλεισμούς και οδηγούν στην εξόντωση του εκάστοτε διαφορετικού. Σο 1952, συγκλονισμένος όπως όλη η ανθρωπότητα από τις αποκαλύψεις για τις κτηνωδίες των βασανισμών και της μαζικής εξόντωσης ανθρώπων που είχαν γίνει στα ναζιστικά στρατόπεδα συγκέντρωσης, ο Γάλλος συγγραφέας Vercors έγραψε το μυθιστόρημα «Σα παρά φύσιν ζώα» (Les Animaux dénaturés, Albin Michel, 1952). Ο ανθρωπολόγος Greame Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

10 είχε ανακαλύψει σε ένα μέρος του πλανήτη κάποια όντα που ζούσαν ως φυλή και έμοιαζαν με ανθρώπους αλλά και με πιθήκους και θεωρώντας πως πρόκειται για το είδος που θα κάλυπτε τον κρίκο που λείπει στη συνέχεια της εξέλιξης τους είδους μεταξύ του πιθήκου και του ανθρώπου, τους ονόμασε Paranthropus greamiensis προς τιμήν του, αλλά έγιναν γνωστοί ως Tropi. Στην καθημερινή ζωή δεν είχε ανάγκη να αποφασίσει εάν αυτοί ή αυτές με τους οποίους ζούσε στη φύση ήταν άνδρες, γυναίκες ή ζώα. Επειδή όμως ήταν αποτελεσματικά, όπως οι άνθρωποι, και επειδή είχαν φαινομενικά λίγες ανάγκες και περιορισμένη μαχητικότητα, αποτελούσαν ένα ιδεώδες εργατικό δυναμικό και αυτό το εκμεταλλεύτηκε ο επιχειρηματίας Vancruysen που τους απασχολούσε χωρίς μισθό και δικαιώματα σε ένα εργοστάσιο υφασμάτων. Καθώς ο κίνδυνος που διέτρεχαν αυτά τα «παρά φύσιν όντα» ήταν μεγάλος, κι ενώ οι διάφορες επιστημονικές ειδικότητες αδυνατούσαν να αποφανθούν αν οι Tropis ήταν άνθρωποι ή ζώα, ο τρίτος πρωταγωνιστής, ο δημοσιογράφος Douglas Templemore έλαβε μια πρακτική απόφαση, αντιλαμβανόμενος πως μόνο η κοινωνική σημειολογία μπορούσε να αποφασίσει εάν επρόκειτο για ανθρώπους ή ζώα. Προχώρησε σε τεχνητή γονιμοποίηση με μια γυναίκα ή μάλλον με ένα θηλυκό. Σο νεογέννητο βρέφος ή ζώο, το θυσίασε. Ανέθεσε με αυτόν τον τρόπο στον Νόμο να αποφασίσει εάν η συγκεκριμένη πράξη του τον καθιστούσε αθώο ή ένοχο: είχε σκοτώσει ένα ανθρώπινο όν ή ένα ζώο; Σο μυθιστόρημα του Vercors δεν έχει μεταφραστεί στα ελληνικά, έχει όμως επιδράσει ευρύτατα στη μεταπολεμική σκέψη και πρόσφατα κυκλοφόρησε και στα ελληνικά ένα βιβλίο ψυχολογίας του Jean-Pierre Deconchy με τίτλο «Σα υπέρφύσιν ζώα. Σο νοητικό οικοδόμημα της ανθρώπινης ιδιαιτερότητας» (Μετάφραση Άννα Λυμπεροπούλου, Επιστημονική Επιμέλεια Στάμος Παπαστάμου, Εκδόσεις Πεδίο 2010) Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

11 Η συσχέτιση της σχολικής αποτυχίας στα μαθηματικά με το φαινόμενο του σχολικού αποκλεισμού παιδιών ή της αποθάρρυνσης της σχέσης τους την μαθηματική εκπαίδευση έχει καταγραφεί στη βιβλιογραφία τόσο θεωρητικά με αναφορά στην αυτό-εκτίμηση, με τα αρνητικά ρατσιστικά στερεότυπα για τις ικανότητες των φύλων ή των πολιτισμών, με την επαγγελματική αναφορά και τη σχέση της οικογένειας με την γνώση, όσο και από ευρήματα σε εκτεταμένες έρευνες σε σχέση με άλλους κοινωνικούς, διοικητικούς ή πρακτικούς παράγοντες(γεωγραφικούς, πολεοδομικούς, δικαιώματα, πρόνοια, και πολλά άλλα). Σο μανιφέστο της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μελέτη και τη Βελτίωση της Διδασκαλίας των Μαθηματικών, το οποίο έχει δημοσιευτεί και στα ελληνικά έθεσε με αρκετή πληρότητα και σαφήνεια ένα σχέδιο μαθηματικής εκπαίδευσης χωρίς αποκλεισμούς (Keitel, C. (επιμέλεια) (2004). Απόδοση: Χρυσάνθη Σκουμπουρδή Ευκλείδης γ 60-61, , Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία.), ενώ πρόσφατα έγινε στη χώρα μας η διεθνής συνάντηση cieaem-64 Mathematics Education and Democracy: Learning and teaching practices τα πρακτικά της οποίας διατίθενται επίσης από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Proceedings in International Journal forn Mathematics in Education, Vol. 4 Special Issue, Editors S.Kafoussi, C.Skoumpourdi, F.Kalavasis, Hellenic Mathematical Society, 2012). ΙΙ Θα επικεντρώσουμε τώρα την εισήγησή μας σε ορισμένα μαθηματικά «παρά φύσιν όντα», ή αλλιώς επιστημολογικά εμπόδια στην εξέλιξη των μαθηματικών, για τα οποία έχουν διαπιστωθεί εννοιολογικοί συσχετισμοί με μαθησιακά και διδακτικά εμπόδια κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών. Θα προσπαθήσουμε να δούμε σε αυτά τα παραδείγματα κάποιες κοινές συμπεριφορές με την κοινωνική και οικογενειακή αμυντική λειτουργία των στερεοτύπων και την επιθετικότητα Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

12 που προβάλει σε ό,τι δεν μπορεί να κατανοήσει ή δεν μπορεί να ενταχθεί στις στερεοτυπικές νόρμες. Σο ξεπέρασμα αυτών των εμποδίων απαιτούσε νέα θεωρία, νέα γλώσσα και τεχνικές, επειδή οι νέες κάθε φορά έννοιες ή μεγέθη δεν μπορούσαν να ενταχθούν στην προηγούμενη γλώσσα, θεωρία και τεχνικές. Αυτή η εξέλιξη όμως απαιτούσε κάθε φορά την ανατροπή συμβατικών δεδομένων ή βεβαιοτήτων, τις οποίες θεωρούσαμε αμετακίνητες, φυσικές. Μια διαδικασία το ίδιο δύσκολη με την ανατροπή οικογενειακών ή κοινωνικών στερεοτύπων για την κληρονομικότητα της νοημοσύνης, τον προορισμό του κάθε κοινωνικού φύλου, την ιεράρχηση των πολιτισμών ή τις φυλετικές διακρίσεις. 1. Δεν είναι τυχαίο ότι ακόμη αποκαλούμε φυσικούς αριθμούς τους θετικούς ακέραιους, ενώ γνωρίζουμε πως στη φύση είναι σχεδόν αδύνατο να «μετρηθεί» μια απόσταση, πχ το μήκος μιας παραλίας και να βρεθεί ακέραιες φορές το αρχικό μέτρο, όποιο κι αν είναι αυτό το αρχικό μέτρο. Κρατήθηκε εντούτοις ο όρος του φυσικού αριθμού για τους θετικούς ακέραιους και πάνω στη δομή του συνόλου τους θεμελιώθηκε η θεωρία των αριθμών και οι δυο βασικοί μαθηματικοί συλλογισμοί που μας δίνουν ασφαλή συμπεράσματα, η μαθηματική επαγωγή και η εις άτοπον απαγωγή. Οι αριθμοί που προκύπτουν από υποδιαιρέσεις των φυσικών έγιναν εύκολα αποδεκτοί, και ονομάστηκαν ρητοί, καθώς μπορούν να εκφράσουν λόγους μεγεθών, αργότερα ως δεκαδικοί και ως κλάσματα. Οι ρητοί ίσως έγιναν εύκολα αποδεκτοί γιατί κάπως μοιάζουν με τους φυσικούς, κι εδώ ίσως βρίσκεται η παγίδα για πολλές δυσκολίες στη μάθηση των μαθηματικών, όταν αυτή η αναγνώριση του καθεστώτος Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

13 του αριθμού στους ρητούς υποκρύπτει την άρνηση αναγνώρισης της πραγματικής τους ταυτότητας! Πολλοί μαθητές, ακόμη και ενήλικες πολίτες, βρίσκουν τις παρακάτω σχέσεις σωστές: - ο διάδοχος του 3, 1 είναι ο 3,2-0,2 x 0,3 = 0,6 όπως και 0.3 x 0,5 = 0,15 - (2,3) 2 = 4,9 Με λίγη σκέψη πίσω από τα φαινόμενα, θα διαπιστώσουμε πως πίσω από αυτά τα λάθη βρίσκεται η έλλειψη αναγνώρισης της διαφορετικότητας, πως στον πολιτισμό των ρητών αριθμών δεν υπάρχουν διάδοχοι, ή μάλλον υπάρχουν πολλοί (πχ του 3,1 ο 3,01, ο 3,001,.), ότι ο πολλαπλασιασμός δεν δίνει πάντα αυξητικό αποτέλεσμα και ότι τέλος πάντων οι ρητοί αριθμοί δεν είναι ζευγάρια φυσικών, αλλά οι επονομαζόμενοι φυσικοί αποτελούν ένα μικρό υποσύνολο των ρητών! Δηλαδή η λύση απέναντι στην επιφυλακτικότητα ήταν η θεώρηση ενός νέου συνόλου, ενός νέου ορισμού του αριθμού που συμπεριλάμβανε όλες τις περιπτώσεις. Εδώ όμως είναι δύσκολο να αλλάξει η λανθασμένη αναπαράσταση: αυτοί που ήταν φυσικοί και άρα πρότυπο, τώρα είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση αλλά διατηρούν την θεμελιώδη σημασία τους για τον μαθηματικό συλλογισμό. Όπως θα δούμε στη συνέχεια, πιο δύσκολα έγιναν δεκτοί άλλα είδη αριθμών, οι πέρα των ρητών άρρητοι και υπερβατικοί, στο τέλος όμως φάνηκε πως κι αυτοί είναι περισσότεροι από τους ρητούς. Όλοι γνωρίζουμε τον Πυθαγόρα και ίσως έχουμε ακούσει την τραγωδία του μαθητή του Ίππασου που φέρεται να αυτοκτόνησε ή ακόμη και να τον αυτοκτόνησαν για να μην Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

14 αποκαλύψει την ύπαρξη ασύμμετρου μεγέθους, δηλαδή του άρρητου αριθμού, του 2, και κατά συνέπεια μια νέα τάξη του απείρου. Η επιστήμη της εποχής είχε φτάσει στην εκτίμηση πως για όλα τα μήκη υπάρχει μια ολική διάταξη: αν α και β αντιστοιχούν στα μήκη δυο ευθυγράμμων τμημάτων, τότε θα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι: - είτε α < β, είτε α > β, είτε α = β. Επιπλέον η μαθηματική γνώση της εποχής είχε διατυπώσει με αναλυτικό τρόπο το προηγούμενο με τη θέση ότι: για κάθε α και β υπάρχει πάντα ένας ρητός αριθμός κ, τέτοιος ώστε α = κ x β. Δηλαδή πάντα υπάρχει η δυνατότητα ένας οποιοσδήποτε αριθμός να γραφεί ως γινόμενο δυο άλλων αριθμών. Αυτή η σχέση σημαίνει την ύπαρξη κοινού μέτρου μεταξύ όλων των μηκών, δηλαδή όλων των αριθμών. Αυτό έγινε κανόνας, νόμος, συνδυάστηκε με ευρύτερες κοσμοθεωρίες περί αρμονίας κλπ κλπ. Έγινε νόμος, δηλαδή βασικό κριτήριο αλήθειας. Όταν όμως έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς α, για να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο διπλάσιου εμβαδού, θα πρέπει να πάρουμε ως νέα βάση την διαγώνιο του μικρού. Είναι όμως αδύνατο να βρούμε έναν ρητό αριθμό κ που να υπολογίζει το μήκος της διαγωνίου και να την γράφει, να την περιγράφει δηλαδή ως γινόμενο του α με έναν άλλο γνωστό αριθμό. Άρα υπάρχουν και ασύμμετρα μεγέθη ή αλλιώς άρρητοι αριθμοί, αριθμοί που δεν μπορούν να ειπωθούν, δεν μπορούν να περιγραφούν! Ο Πλάτωνας, μέσα από τον Σωκρατικό διάλογο Μένων, μας δείχνει πώς αυτό το επιστημολογικό εμπόδιο μπορεί να αξιοποιηθεί ως αφετηρία της μάθησης, καθώς, ως απορία, καθιστά τον μαθητή ενεργό συμμέτοχο στην επιστημονική αναζήτηση. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

15 Στην σκέψη του Ίπασσου κατά πως φαίνεται, δεν μπόρεσαν να δουν τότε οι Πυθαγόρειοι ένα παράδοξο που θα άνοιγε νέα μονοπάτια στην επιστημονική παρατήρηση και στη σκέψη αλλά είδαν μόνο μια απειλή στο γενικότερο σύστημα κανόνων και κριτηρίων που είχαν αναπτύξει. Διότι προφανώς το ασύμμετρο μέγεθος υπήρχε και πριν τον Ίππασο αλλά δεν είχε παρατηρηθεί. Ίσως δεν υπήρχε η θεωρητική προϋπόθεση για να παρατηρηθεί. Σα μαθηματικά ενσωμάτωσαν την αντίφαση της ύπαρξης με την έκφραση, δημιούργησαν νέες θεωρίες στις οποίες διατηρήθηκε η διάταξη αλλά διευρύνθηκε η εκφραστική και η υπολογιστική δυνατότητα της επιστήμης. Αυτή η εκφραστική διεύρυνση όμως στηρίχθηκε σε συμβάσεις της έκφρασης, σε συμβατικές αλήθειες δηλαδή που ισχύουν μέσα στο νοητικό μοντέλο των μαθηματικών αλλά αφίστανται αρκετά από την αίσθηση της πραγματικότητας και της αλήθειας που περιγράφεται από άλλα μοντέλα. Ανάμεσα στις πιο γνωστές συμβάσεις που έπρεπε να κάνουν οι μαθηματικοί για να μπορέσουν να περιλάβουν στον λογισμό τους αντιφάσεις, είναι το παράδειγμα της ολικής διάταξης των πραγματικών αριθμών (R), όταν δηλαδή περιλάβουμε σε ένα αριθμητικό σύνολο και τους αρνητικούς και τους άρρητους. Όλοι συμφωνούμε πως εάν το α < β, τότε το κλάσμα α/β είναι μικρότερο της μονάδας. Κάποια στιγμή συμφωνήσαμε πως το αρνητικό μέγεθος -1 υπάρχει και μάλιστα πως είναι - 1 < 1. Τότε λοιπόν θα έπρεπε το -1/1 να είναι μικρότερο της μονάδας, όπως και το 1/-1 >1, κι όμως η σύμβαση που κάναμε και σήμερα συμφωνούμε είναι πώς ότι το -1/1 = 1/-1 και μάλιστα = - 1. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

16 Παρατηρούμε λοιπόν η κατασκευή μιας νέας αντίληψης και θεωρίας, στην οποία περιλαμβάνονται όσα δεν μπορούσαν να αναγνωριστούν, σημαίνει τον επαναπροσδιορισμό της ταυτότητας όλων των στοιχείων που ακολουθούν πλέον ενιαίους κανόνες λειτουργίας, διάταξης και σύνθεσης, ενώ συνδυάζεται με την εγκαθίδρυση νέων συμβάσεων έκφρασης, γραφής και τρόπων υπολογισμού. 2. Ας μεταφερθούμε τώρα για το δεύτερο παράδειγμα, από τον κόσμο των αριθμών στον κόσμο των συνόλων, όπως τον εισήγαγε ο Georg Cantor στο τέλος του 19ου αιώνα και επί του οποίου στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό η Πιαζετική προσέγγιση της ανάπτυξης λογικομαθηματικού συλλογισμού στην παιδική ηλικία. Πως μπορούμε να πούμε αν δυο σύνολα είναι ίσα; Αν έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων. Πώς το διαπιστώνουμε αυτό; Είτε μετρώντας τα ένα-ένα, αλλά εδώ μπορεί και να μας ξεφύγει κάτι στο μέτρημα ή να μην τελειώσουμε ποτέ αν είναι άπειρα, είτε, όπως έκανε ο Κύκλωπας στην Οδύσσεια για να μετρήσει αν του λείπει κανένα πρόβατο, αντιστοιχώντας ένα προς ένα τα στοιχεία του ενός συνόλου προς του άλλου. Για τα άπειρα αρκεί να βρούμε έναν κανόνα που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του ενός συνόλου, με μοναδικό τρόπο σε ένα του άλλου συνόλου. Εάν πχ έχουμε το σύνολο των μονών αριθμών και το σύνολο των ζυγών, τότε αντιστοιχούμε σε κάθε μονό αριθμό τον επόμενό του που είναι ζυγός και έχουμε μια τέλεια 1-1 αντιστοιχία: ίσα τα δυο σύνολα κι ας είναι άπειρα. Μέχρι Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

17 στιγμής, όλες αυτές οι διαδικασίες σύγκρισης παραμένουν συμβατές με την παραδοσιακή αντίληψη της ισότητας και με την χωρική της αναπαράσταση. Αν όμως πάρουμε το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών και αντιστοιχούμε σε κάθε έναν τον διπλάσιό του, κατασκευάζουμε πάλι την αντιστοιχία 1-1, αλλά τώρα βρισκόμαστε μπροστά σε δυο ίσα σύνολα, εκ των οποίων όμως το δεύτερο φαίνεται να έχει τα μισά στοιχεία από το πρώτο! Δηλαδή έχουμε αντίφαση με την χωρική αναπαράσταση αλλά με την παραδοσιακή αντίληψη της ισότητας, αφού τώρα το μέρος είναι ίσο με το όλο! Εποπτικά μπορούμε να δούμε αυτή την φαινομενική παραδοξότητα στην περίπτωση ενός τριγώνου, φέρνοντας μια εσωτερική γραμμή και δείχνοντας ότι όσα σημεία έχει η βάση, ακριβώς τόσα έχει και η εσωτερική γραμμή, αφού κάθε ευθεία από την κορυφή προς την βάση τέμνει και την εσωτερική γραμμή σε μοναδικό σημείο. Πώς έλυσε ο Cantor αυτή την παραδοξότητα; Όρισε ότι υπάρχουν πολλές τάξεις απείρου. Στην πρώτη τάξη απειρίας τοποθετήθηκαν τα αριθμήσιμα σύνολα, εκείνα των οποίων τα στοιχεία αντιστοιχούν 1-1 με το σύνολο των φυσικών αριθμών, στη δεύτερη σύνολα ισόμορφα με το σύνολο των πραγματικών αριθμών, κλπ. Στην πρώτη τάξη οι ρητοί αριθμοί (Q) μαζί με τους φυσικούς (N), στη δεύτερη οι πραγματικοί (R). Επομένως μέσα σε αυτή την νέα κλάση των τάξεων θα πρέπει να ξανα-αντιληφθούμε την έννοια της ισότητας, τις αναπαραστάσεις μας, τις εκφράσεις και τους τρόπους υπολογισμού. Εισήχθησαν κατά συνέπεια για την κατασκευή της νέας θεωρίας, οι έννοιες του πληθικού και του διατακτικού αριθμού, τα σύμβολα א άλεφ μηδέν, άλεφ ένα,, οι εκφράσεις για μεταξύ τους σχέσεις, καθώς και οι Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

18 αντίστοιχες νοητικές, υπολογιστικές και εποπτικές αναπαραστάσεις. Εδώ διατυπώθηκε και η περίφημη Υπόθεση του Συνεχούς, ότι δεν μπορεί να υπάρξει σύνολο με πληθικό αριθμό μεγαλύτερο του άλεφ μηδέν και μικρότερο του άλεφ ένα. Δεν υπάρχει δηλαδή περίπτωση ύπαρξης μαθηματικών Paranthropus ή Tropis όπως η φυλή του Vercors. 3. Σο τρίτο παράδειγμά μας αναφέρεται στις καμπύλες ή γραμμές, τις οποίες σχεδίασαν σημαντικοί μαθηματικοί στα τέλη του 19ου και αρχές του 20ου αιώνα και οι οποίες για πολλούς εκείνη την εποχή θεωρήθηκαν ως δημιουργήματα μιας αρρωστημένης φαντασίας και ονομάστηκαν «τέρατα», «ψυχωτικές» ακόμα και «παθολογικές» καμπύλες. Για την ακρίβεια «τέρατα» στα μαθηματικά ονομάζουμε κατασκευές που βρίσκονται ανάμεσα σε ακέραιες διατάσεις. Ας φανταστούμε μια λευκή σελίδα. Συμφωνούμε πως η επιφάνεια αυτή είναι μια επιφάνεια δυο διαστάσεων. Όπως ένας κύβος είναι τριών διαστάσεων. Αν αρχίσουμε μια γραμμή πάνω στη σελίδα, από αριστερά προς τα δεξιά. Η γραμμή λέμε ότι έχει διάσταση 1. Η γραμμή δεν έχει εμβαδόν, όπως η σελίδα δεν έχει όγκο. Ας επεκτείνουμε τώρα την ευθεία, μετά να την στρίψουμε λίγο προς τα πάνω, μετά ξανά προς τα αριστερά, μετά προς τα πάνω, κ.ο.κ. χωρίς ποτέ να διασταυρωθούν, ούτε να συμπέσουν οι γραμμές. Αν φανταστούμε ότι οι ευθείες αυτές είναι όσο πιο κοντά γίνεται, κάποια στιγμή θα έχει σχεδόν γεμίσει το χαρτί, δεν θα χωράει δηλαδή άλλη πλέον γραμμή.. Αυτό που κατασκευάσαμε, μια απλουστευμένη παραλλαγή της γραμμής ή καμπύλης του Peano (1880) θα συνεχίζει αφενός να είναι γραμμή, δηλ. μια μονοδιάστατη εικόνα, αλλά Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

19 η διαίσθησή μας λέει ευκολότερα μπορούμε να υπολογίσουμε την επιφάνεια που καταλαμβάνει η γραμμή. Αν δηλαδή η γραμμή γεμίσει πλήρως όλο το επίπεδο του χαρτιού μας θα πρέπει να είναι δυσδιάστατη. Και εφόσον υπάρχει η δυνατότητα αλγοριθμικής περιγραφής για την κατασκευή αυτής της «ιδέας», μπορούμε να πούμε πως φτιάξαμε την ενδιάμεση διάσταση, κάτι περισσότερο του 1 και λιγότερο του 2! Η καμπύλη του Peano Οι κατασκευές αυτές, που επινόησαν μεταξύ άλλων οι Georg Cantor ( ), Giuseppe Peano ( ), David Hilbert ( ), Felix Hausdorff ( ), Helge von Koch ( ) και Waclaw Sierpinski ( ) θα έμεναν ίσως στο περιορισμένο ενδιαφέρον των περίεργων μαθηματικών κατασκευών εάν δεν εύρισκαν εφαρμογές σε προβλήματα περιγραφής ή μέτρησης φυσικών και βιολογικών φαινομένων που απασχολούσαν ευρύτερα τις επιστήμες. Εάν δηλαδή δεν επαναξιολογούνταν σε ένα Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

20 ευρύτερο διεπιστημονικό πλαίσιο. Στις κατασκευές αυτές, τα τέρατα αυτά ο Benoît B. Mandelbrot ( ) τα ονόμασε Fractals και θεμελίωσε τη σχετική θεωρία το Πάλι, για να ξεφύγουμε από τους διαχωρισμούς και τους αποκλεισμούς, οδηγηθήκαμε στην ανάγκη νέας θεωρίας, εντός της οποίας θα επαναπροσδιοριστούν εποπτικές αντιλήψεις και σχέσεις, θα επινοηθούν ορολογία, εκφράσεις και τρόποι υπολογισμού. Η σύνδεση της θεωρίας των φρακταλς με τις θεωρίες του χάους και της κυβερνητικής δημιούργησαν τη δυνατότητα να έχουμε σήμερα μια ισχυρή θεωρία συστημικής ερμηνείας των πιο διαφορετικών πολύπλοκων και δυναμικών φαινομένων, από τα βιολογικά έως τα μετεωρολογικά, από την οικονομία των χρηματιστηρίων έως την οικολογία. ΙΙΙ Στη διάρκεια του 20ου αιώνα το επιστημολογικό τοπίο έγινε τελείως διαφορετικό από εκείνο του 19ου. Νέες επιστημονικές περιοχές και Νέες Τεχνολογίες έχουν αλλάξει άρδην τη δομή των θεμελιωδών αντιλήψεων σε πληθώρα επιστημονικών τομέων και δοκιμάζουν τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε και αλληλεπιδρούμε με τα φαινόμενα της ζωής και του κόσμου που μας περιβάλλει (αντιλήψεις, στερεότυπα): Αναθεωρήθηκαν οι έννοιες του χώρου και του χρόνου, για την ύλη, για τις σχέσεις μεταξύ τους (νέες γεωμετρίες, ενέργεια-μάζα-πληροφορία, κβάντα, σχετικότητα). αναδείχθηκε ο ρόλος του ασυνείδητου και της παιδικής ηλικίας στην ενήλικη ζωή και στη λήψη αποφάσεων κατανοήσαμε ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε πλήρως ένα σύστημα όσο μένουμε εντός των ορίων του (λογική Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

21 μη-πληρότητα, ανοιχτά συστήματα, δεν υπάρχει δράση, ούτε παρατήρηση χωρίς αλληλεπίδραση). ενσωματώθηκε η αβεβαιότητα στην επιστημονική σκέψη (Heisenberg, ασαφή σύνολα), αναδύθηκε η συστημική δυνατότητα μελέτης πολύπλοκων φαινομένων από τη συνάντηση της θεωρίας της εξέλιξης (προσαρμογή, φυσική επιλογή) με τη δομική γλωσσολογία, την ανθρωπολογία, τη θεωρία της πληροφορίας, και την κυβερνητική οι μαθηματικές δομές, ο απειροστικός λογισμός, η στοχαστική ανάλυση και οι τοπολογικές θεωρίες των δικτύων και των κόμβων κατάφεραν να πλησιάσουν περισσότερο τη δομή και να περιγράψουν την πολυπλοκότητα. της πραγματικότητας Κι όλα αυτά συμβαίνουν με διαφορετικούς ρυθμούς διάδοσης, αποδοχής και λειτουργικής αξιοποίησης ανάλογα με τη χώρα, την γλώσσα της, το γεωπολιτικό σύστημα στο οποίο μετέχει, την παράδοση που έχει δημιουργήσει στη σχέση της με την εξέλιξη της γνώσης και την κοινωνική πρόοδο. Με διαφορετικούς ρυθμούς και στάσεις, αλλά μέσα σε ένα σύστημα πολλαπλών συνδέσεων, που ορίζουμε με χίλιους τρόπους ως παγκοσμιοποίηση. Η εκπαίδευση έχει κατά συνέπεια σήμερα να διαχειριστεί ένα νέο επιστημολογικό τοπίο, με περισσότερες συνδέσεις και λιγότερους διαχωρισμούς μεταξύ των επιστημών, με μια διαφορετική επικοινωνιακή ποιότητα και ποσότητα με έντονα τεχνολογικά και ψηφιακά χαρακτηριστικά με μια ποικιλία μαθητικών πληθυσμών και γνωστικών προφίλ με έντονο πολιτισμικό και ψυχολογικό χρώμα σε Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

22 ένα αλληλοεπηρεαζόμενο τοπικό, ευρωπαϊκό και παγκοσμιοποιημένο περιβάλλον αναφοράς και ταυτότητας του σύγχρονου πολίτη. Η μαθηματική επιστήμη, από τα ρητά μεγέθη στα άρρητα, από τα είδη προβλημάτων και τις λύσεις στις σχέσεις μεταξύ των λύσεων, από τις σχέσεις αυτές στις δομές, από τις σχέσεις των δομών στην στοχαστική, από τα δυναμικά συστήματα στην πολυπλοκότητα, βρέθηκε συχνά απέναντι στο ανυπέρβλητο εμπόδιο να αντιλαμβάνεται την ύπαρξη ενός μεγέθους, ενός στοιχείου αλλά να μην μπορεί να το χειριστεί μέσα στο ισχύον θεωρητικό πλαίσιο. Αναγκάστηκε να βγει από το ισχύον πλαίσιο για να αντιληφθεί τι συνέβαινε και να μπορέσει να εντάξει λειτουργικά τα νέα στοιχεία. Η μαθηματική εκπαίδευση δεν ακολούθησε με συνέπεια τις βαθιές και ραγδαίες εξελίξεις της μαθηματικής επιστήμης, κι όταν προσπάθησε να τις ακολουθήσει, όπως με τα μοντέρνα μαθηματικά, το έκανε με λάθος τρόπο, καθώς επέμενε να αντιλαμβάνεται τη μαθηματική εκπαίδευση ως μονόεπιστημονική, αποκλειστικά μαθηματικής ενασχόλησης, υπόθεση. Η επιμονή αυτή, που ενδύθηκε συντεχνιακά με επιστημονικοφανή επιχειρήματα, αντιστοιχεί σε ένα πολύ ισχυρό επιστημολογικό εμπόδιο: μέχρι τη δεκαετία του 30 δεν είχε χαραχτεί ακόμη κάποια βίο-γνωσιακή θεωρία που θα συνάρθρωνε την επιστημολογία με την ψυχολογία, προσδίδοντας ευφυή και εξελικτικά στοιχεία τόσο στην παιδική ηλικία όσο και στις γνωσιακού τύπου αλληλεπιδράσεις μεταξύ υποκειμένου, δράσης, κατάστασης, έκφρασης και λογισμού. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

23 Από την άλλη όμως θα πρέπει να υπογραμμίσουμε ότι η νέα αυτή θεωρία δεν θα μπορούσε να συλληφθεί χωρίς αφενός τις μαθηματικές θεωρίες των λογικών σχέσεων, των δομών και των μετασχηματισμών που επέτρεψαν να δουν οι ερευνητές, με συνεκτικό τρόπο, διαστάσεις που φάνταζαν ασύμβατες, και αφετέρου χωρίς την τολμηρότητα της φροϋδικής προσέγγισης που κατάδειξε τη σχετική αυτονομία του έλλογου ενήλικα και την ισχυρότατη επίδραση του ασυνείδητου, των κοινωνικών στερεοτύπων και των παιδικών βιωμάτων στη λήψη αποφάσεων και στις συμπεριφορές. Στο νέο αυτό τοπίο, με τη συνεργασία πολλών επιστημόνων και επιστημονικών κλάδων επαναξιολογείται σήμερα το περιεχόμενο και ο τρόπος της διδασκαλίας των μαθηματικών σε κάθε βαθμίδα της εκπαίδευσης. Η διεπιστημονικότητα συνδέεται με την προσπάθεια νοηματοδότησης των μαθηματικών. Η νοηματοδότηση συνδέεται με τη σειρά της με τα προσωπικά βιώματα και με τη συλλογική εμπλοκή σε μια δράση. Η συμπερίληψη όλων των παιδιών στο σχεδιασμό της εκπαίδευσης σε μια συμμετοχική, συνεργατική και διεπιστημονική βάση είναι δείκτης της ποιότητας του εκπαιδευτικού συστήματος και της αξιοπιστίας των μαθήσεων, ενώ η ειδικότερη διεπιστημονική και συνεργατική μαθηματική εκπαίδευση αποτελεί την νοητική βάση για την ανάπτυξη της ικανότητας να αναζητούμε την εκάστοτε βέλτιστη λύση στις σχέσεις και στις αναγκαίες εξισορροπήσεις των αλληλεπιδράσεών μας. Μιλήσαμε για περιπτώσεις επιστημολογικών εμποδίων. Αντίστοιχα όμως συμβαίνει με τα κοινωνικά στερεότυπα. Είδαμε την αφήγηση του Vercors με τα παρά φύσιν ζώα, θα μπορούσαμε να δούμε πολλά ακόμη για τον αποκλεισμό Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

24 λόγω χρώματος, φύλου, κοινωνικής ή πολιτισμικής προέλευσης,. Αποκλεισμούς χονδροειδείς και βίαιους ή πιο εκλεπτυσμένους και συγκαλυμμένους, οι οποίοι πάντα εφευρίσκουν ή επινοούν ή υπονοούν κάποιο κοινωνικό στερεότυπο ως επιστημονική αλήθεια. Σας προτείνω να διαβάσετε το βιβλίο Επιπεδοχώρα του Edwin Abbot (Flatland: A Romance of Many Dimensions, 1884) το οποίο έχει μεταφραστεί και στα ελληνικά σε πολλαπλές εκδόσεις, θα το απολαύσετε. Ίσως κάποιοι που επιθυμούν να αναπτύξουν την κριτική σκέψη με πιο τολμηρό και εκλεπτυσμένο τρόπο να ενδιαφερθούν να αλιεύσουν αντίστοιχα ρατσιστικού τύπου στοιχεία αποκλεισμού και σε βιβλία που, μέσα από μια λογοτεχνική μορφή μαθηματικής αφήγησης, προβάλλουν κάποια δήθεν ευρύτερη πνευματική ανωτερότητα των μαθηματικών. Ο Euler, όταν του έφεραν το περίφημο πρόβλημα με τις γέφυρες του Königsberg διερωτήθηκε εκνευρισμένος: «ποιος σας είπε πως ένας μαθηματικός είναι καταλληλότερος να λύσει ένα μη μαθηματικό πρόβλημα από οποιονδήποτε άλλον άνθρωπο;» Όπως έχουμε αλλαγή τοπίου στις επιστήμες, έχουμε και στην αντίληψη της εκπαιδευτικής λειτουργίας επί των διεργασιών της μάθησης. Ο αποκλεισμός δεν μπορεί να προσδιοριστεί και να θεραπευτεί μόνο μέσα ή έξω από το σχολείο αλλά μέσα στις συνδέσεις του σχολείου με την οικογένεια και την κοινωνία, σε ένα σύστημα που συμπεριλαμβάνει και τα τρία υποσυστήματα. Στην περιπέτεια της επιστήμης και της εκπαίδευσης, το ζητούμενο φαίνεται να είναι η αλήθεια. Όπως όμως έχει πει και ο Von Foerster, ένας από τους πιο ισχυρούς επιστήμονες-διανοητές του προηγούμενου αιώνα, «η αλήθεια Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

25 είναι μια έννοια που αφορά μόνο τους ψεύτες. Εμείς ας προτιμήσουμε την έννοια της εμπιστοσύνης». Η εμπιστοσύνη, η δημιουργία δεσμών εμπιστοσύνης που εσωτερικεύονται στον εκπαιδευτικό και στον μαθητή για την μεταξύ τους σχέση αλλά και την κοινή ευθύνη για την επιστήμη και την εκπαίδευση όλων των πολιτών. Η εμπιστοσύνη του πολίτη και του θεσμού της οικογένειας στη δυνατότητα της δημοκρατίας να βαθαίνει και να πλαταίνει συμπεριλαμβάνοντας όλο και περισσότερους αποκλεισμένους ανθρώπους, όπως η εμπιστοσύνη στην επιστήμη να συμπεριλαμβάνει όλο και περισσότερα «περίεργα» «ορφανά» ή αόρατα και άρρητα φαινόμενα. Αυτή την οικοδόμηση δεσμών εμπιστοσύνης με τα μαθηματικά και με τη δημοκρατία πιστεύω πως υπηρετούν τα συνέδρια που επί τόσα χρόνια με επιμονή, ευθύνη, τόλμη και φαντασία διοργανώνουν ο Δημήτρης Χασάπης και η Ελένη Γιαννακοπούλου, τους οποίους ευχαριστώ θερμά για την τιμή της βαθιάς μας φιλίας και αυτής της επιστημονικής πρόσκλησης. Φραγκίσκος Καλαβάσης /25

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Το παιχνίδι tangram. PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Μαθητε ς/τριες Γ, Β και Α Γυμνασι ου3, 2, 1. sdoukakis@acg.edu

Το παιχνίδι tangram. PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Μαθητε ς/τριες Γ, Β και Α Γυμνασι ου3, 2, 1. sdoukakis@acg.edu Το παιχνίδι tangram Ανδριανού Αφροδίτη 3, Γεωργιάδης Μάρκος 2, Γεωργιάδης Μάριος 1, Δεσποτάκης Γεράσιμος 2, Καραμπάσης Κλείτος 2, Κουτσιούμπας Ευριπίδης 1, Μελένιου Μιράντα 2, Ξενάκης Αριστοτέλης 1, Παπαβασιλόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιμέλεια 7 o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών 15 & 16 Μαρτίου 2008 Ομάδα Έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ i ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

3o Συνέδριο ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ. Μαθηματική εκπαίδευση και Οικογενειακές πρακτικές

3o Συνέδριο ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ. Μαθηματική εκπαίδευση και Οικογενειακές πρακτικές 2 η Ανακοίνωση 3o Συνέδριο ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ. Μαθηματική εκπαίδευση και Οικογενειακές πρακτικές Ρόδος, Πέμπτη 29 - Σάββατο 31Οκτωβρίου 2009 Το 3 ο Συνέδριο της ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ. θα φιλοξενήσει ομιλίες ολομέλειας, στρογγυλά

Διαβάστε περισσότερα

Η παραγωγή και η χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού ως διδακτική επιλογή

Η παραγωγή και η χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού ως διδακτική επιλογή Η παραγωγή και η χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού ως διδακτική επιλογή Κ. Ραβάνης Νέες τεχνολογίες και εκπαίδευση Η μεγάλη ανάπτυξη των νέων τεχνολογιών και οι υψηλές ταχύτητες πρόσβασης στις πληροφορίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας 1. Μια διαδεδομένη αντίληψη περί επιστήμης Γνώση / Κατανόηση των φαινομένων του φυσικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Όνοµα: Τάσος Αναστάσιος Επώνυµο: Μικρόπουλος Τίτλος: Αναπληρωτής Καθηγητής, Εργαστήριο Εφαρµογών Εικονικής Πραγµατικότητας στην Εκπαίδευση, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών Παράρτημα 1: Τεχνική έκθεση τεκμηρίωσης σεναρίου Το εκπαιδευτικό σενάριο που θα σχεδιαστεί πρέπει να συνοδεύεται από μια τεχνική έκθεση τεκμηρίωσής του. Η τεχνική αυτή έκθεση (με τη μορφή του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΜΑΘΗΣΗ ΜΕΣΩ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 1 ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ 1. Τι αλλαγές επιχειρούν τα νέα ΠΣ; 2 2. Γιατί το πέρασμα στην πράξη (θα)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Υπεύθυνη Επιστημονικού Πεδίου Χρυσή Χατζηχρήστου

Υπεύθυνη Επιστημονικού Πεδίου Χρυσή Χατζηχρήστου «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Υποέργο 1: «Εκπόνηση Προγραμμάτων Σπουδών Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης και οδηγών για τον εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Η συστημική προσέγγιση στην ψυχοθεραπεία

Η συστημική προσέγγιση στην ψυχοθεραπεία Ελευθερία Μαντέλου Ψυχολόγος Ψυχοθεραπεύτρια Η συστημική προσέγγιση στην ψυχοθεραπεία Τα τελευταία χρόνια, οι ειδικοί της οικογενειακής θεραπείας παροτρύνουν τους θεραπευτές του κλάδου να χρησιμοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΩΝ (περιγραφή) Περιγραφή του περιεχομένου της ενότητας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΩΝ (περιγραφή) Περιγραφή του περιεχομένου της ενότητας. Α/Α ΣΤΟΧΟΙ (επιθυμητές γνώσεις-δεξιότητες-ικανότ ητες) ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ (Τίτλοι) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΩΝ (περιγραφή) ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ (ενδεικτικά σε ώρες) Το Πρόγραμμα πιστοποιήθηκε από την

Διαβάστε περισσότερα

Σωφρόνης Χατζησαββίδης. Οι σύγχρονες κριτικές γλωσσοδιδακτικές προσεγγίσεις στη διδασκαλία της γλώσσας ως δεύτερης και ξένης

Σωφρόνης Χατζησαββίδης. Οι σύγχρονες κριτικές γλωσσοδιδακτικές προσεγγίσεις στη διδασκαλία της γλώσσας ως δεύτερης και ξένης Σωφρόνης Χατζησαββίδης Οι σύγχρονες κριτικές γλωσσοδιδακτικές προσεγγίσεις στη διδασκαλία της γλώσσας ως δεύτερης και ξένης 1 ΣΚΟΠΟΣ Oι σύγχρονες κριτικές προσεγγίσεις που έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ. Γνωστικό αντικείμενο. Ταυτότητα. Α Λυκείου. Επίπεδο. Στόχος. Σχεδιασμός. Διδασκαλία. Πηγές και πόροι

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ. Γνωστικό αντικείμενο. Ταυτότητα. Α Λυκείου. Επίπεδο. Στόχος. Σχεδιασμός. Διδασκαλία. Πηγές και πόροι ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ Γνωστικό αντικείμενο Επίπεδο ΦΥΣΙΚΗ Α Λυκείου Ταυτότητα Στόχος Περιγραφή Προτεινόμενο ή υλοποιημένο Λογισμικό Λέξεις κλειδιά Δημιουργοί α) Γνώσεις για τον κόσμο: Οι δυνάμεις εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΟΜΙΚΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ «οι μύθοι του Αισώπου»

ΤΡΟΠΟΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΟΜΙΚΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ «οι μύθοι του Αισώπου» ΤΡΟΠΟΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΟΜΙΚΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ «οι μύθοι του Αισώπου» 6/Θ ΔΗΜ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΙΤΡΟΥΣ ΠΙΕΡΙΑΣ Μαρία Υφαντή (ΠΕ 11) Δαμιανός Τσιλφόγλου (ΠΕ 20) Θέμα: Μύθοι Αισώπου και διδαχές του Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία

Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία Β. Δρακόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ε.Κ.Π.Α. Σχολή Θετικών

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΘΟΥΣΑ 4. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 Θετικές σχέσεις: θεωρία και πράξη

ΑΙΘΟΥΣΑ 4. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 Θετικές σχέσεις: θεωρία και πράξη TETARTH 15 ΜΑΪΟΥ 2013 14.00-15.00 ΠΡΟΣΕΛΕΥΣΗ ΣΥΝΕΔΡΩΝ-ΕΓΓΡΑΦΕΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ, ΝΕΑ ΧΗΛΗ ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟ ΑΙΘΟΥΣΑ 9 ΑΙΘΟΥΣΑ 10 ΑΙΘΟΥΣΑ ΣΥΝΕΛΕΥΣΕΩΝ 15.00-17.00 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Σκέφτομαι & Πράττω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό σενάριο διδασκαλίας και μάθησης με την αξιοποίηση εκπαιδευτικού λογισμικού.

Εκπαιδευτικό σενάριο διδασκαλίας και μάθησης με την αξιοποίηση εκπαιδευτικού λογισμικού. Εκπαιδευτικό σενάριο διδασκαλίας και μάθησης με την αξιοποίηση εκπαιδευτικού λογισμικού. 1.ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Συγγραφέας: Μποζονέλου Κωνσταντίνα 1.1.Τίτλος διδακτικού σεναρίου Οι τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Διαπολιτισμική μεσολάβηση και ο ρόλος του εκπαιδευτικού. Ευγενία Αρβανίτη, ΤΕΕΑΠΗ, Πανεπιστήμιο Πατρών earvanitis@upatras.gr

Διαπολιτισμική μεσολάβηση και ο ρόλος του εκπαιδευτικού. Ευγενία Αρβανίτη, ΤΕΕΑΠΗ, Πανεπιστήμιο Πατρών earvanitis@upatras.gr Διαπολιτισμική μεσολάβηση και ο ρόλος του εκπαιδευτικού Ευγενία Αρβανίτη, ΤΕΕΑΠΗ, Πανεπιστήμιο Πατρών earvanitis@upatras.gr 1 4/30/2014 Σχολικές κοινότητες μάθησης εστιάζουν στην προσωπικότητα του μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Το πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» για το νηπιαγωγείο δημοτικό, αποτελείται από τρία διδακτικά μέρη, δύο εκ των οποίων είναι κοινά για τους μαθητές όλων των τάξεων (Μέρη Α & Β )

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µικρές τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Η έννοια της ανακύκλωσης» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής

Διαβάστε περισσότερα

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014)

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014) > Φυσική Β Γυμνασίου >> Αρχική σελίδα ΕΙΙΣΑΓΩΓΗ ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς χχωρρί ίςς ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. ) ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς μμεε ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. 4) ΙΑΒΑΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ 1. Εισαγωγή 220 Γενικός σκοπός του μαθήματος της Κοινωνικής και Πολιτικής Αγωγής είναι να προσφέρει τη δυνατότητα στους μαθητές και στις μαθήτριες να εμπλακούν σε μια δημιουργική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή. Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo

ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή. Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo Εμπλεκόμενες έννοιες «Γραφή» και άμεση εκτέλεση εντολής. Αποτέλεσμα εκτέλεσης εντολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής Η Πληροφορική ως αντικείμενο και ως εργαλείο μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Επιχειρήσεων

Διοίκηση Επιχειρήσεων 10 η Εισήγηση Δημιουργικότητα - Καινοτομία 1 1.Εισαγωγή στη Δημιουργικότητα και την Καινοτομία 2.Δημιουργικό Μάνατζμεντ 3.Καινοτομικό μάνατζμεντ 4.Παραδείγματα δημιουργικότητας και καινοτομίας 2 Δημιουργικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Στο τρίτο άρθρο αυτής της σειράς, η οποία αποτελεί μια πρώτη, μικρή απάντηση στις ανάγκες των εκπαιδευτών του σεμιναρίου της 12 ης & 13 ης Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1 ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1. Αναγνωρίζουν

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Έστω λοιπόν ότι το αντικείμενο ενδιαφέροντος είναι. Ας δούμε τι συνεπάγεται το κάθε. πριν από λίγο

Έστω λοιπόν ότι το αντικείμενο ενδιαφέροντος είναι. Ας δούμε τι συνεπάγεται το κάθε. πριν από λίγο Μορφές Εκπόνησης Ερευνητικής Εργασίας Μαρία Κουτσούμπα Έστω λοιπόν ότι το αντικείμενο ενδιαφέροντος είναι «η τηλεδιάσκεψη». Ας δούμε τι συνεπάγεται το κάθε ερευνητικό ερώτημα που θέσαμε πριν από λίγο Κουτσούμπα/Σεμινάριο

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΣΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Το ιδακτικό Υλικό στο Κεφάλαιο των Πιθανοτήτων της Γ τάξης του ηµοτικού: Τρόπος Κατανόησης και ιαχείρισής του από Μαθητές και ασκάλους Χρυσάνθη Σκουµπουρδή και Φραγκίσκος Καλαβάσης Περίληψη Στην εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου Κανέλλα Κούτση ΚΣΕ 7ο

Διαβάστε περισσότερα

Μια διδακτική αξιοποίηση της λογοτεχνίας στα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Εκπαιδευτικός ΠΕ 70

Μια διδακτική αξιοποίηση της λογοτεχνίας στα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Εκπαιδευτικός ΠΕ 70 Μια διδακτική αξιοποίηση της λογοτεχνίας στα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Εκπαιδευτικός ΠΕ 70 Εκφράζουν πρακτικότητα/πραγματικότητα Οικοδομούν τον πραγματικό κόσμο. Εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

3ο Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας. «Το Φως» Παναγιωτάκης Χαράλαμπος 1, Βενιώτη Ανθή 2

3ο Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας. «Το Φως» Παναγιωτάκης Χαράλαμπος 1, Βενιώτη Ανθή 2 3ο Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ «Το Φως» Παναγιωτάκης Χαράλαμπος 1, Βενιώτη Ανθή 2 1 Καθηγητής, Φυσικός, 2 ο Γενικό Λύκειο Αγ. Νικολάου Κρήτης xaralpan@gmail.com 2 Καθηγήτρια, Φυσικός,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14. ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η

Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14. ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14 ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η Νέες Τεχνολογίες Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργασία στο Μαθήμα Σχεδίαση Εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Οι φορητοί υπολογιστές στην εκπαίδευση: Μελέτη περίπτωσης ως προς τις συνέπειες στη διδασκαλία και το μιντιακό γραμματισμό

Οι φορητοί υπολογιστές στην εκπαίδευση: Μελέτη περίπτωσης ως προς τις συνέπειες στη διδασκαλία και το μιντιακό γραμματισμό Παιδαγωγικά ρεύματα στο Αιγαίο Προσκήνιο 1 Οι φορητοί υπολογιστές στην εκπαίδευση: Μελέτη περίπτωσης ως προς τις συνέπειες στη διδασκαλία και το μιντιακό γραμματισμό Δημήτρης Σπανός 1 dimitris.spanos@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

STRATEGIC MANAGEMENT ΙI SESSION 3

STRATEGIC MANAGEMENT ΙI SESSION 3 STRATEGIC MANAGEMENT ΙI SESSION 3 ΕΞΥΠΝΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ/ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΥΦΥΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Η «ΔΟΜΗΣΗ» ΤΗΣ ΟΙ 5 ΠΕΙΘΑΡΧΙΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΤΟ ΜΑΝΑΤΖΜΕΝΤ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ/ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΟ ΜΑΝΑΤΖΜΕΝΤ ΤΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΕΜΠΟΔΙΑ/ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:ΙΜΣΙΡΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ Α.Ε.Μ: 1986 ΕΞΑΜΗΝΟ: Ε ΘΕΜΑ: «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ» ΣΧΟΛΕΙΟ: 1 Ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΑΞΗ: Ε ΤΜΗΜΑ: Ε 2 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης

Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης Δρ. Χαράλαμπος Μουζάκης Διδάσκων Π.Δ.407/80 Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Στόχοι ενότητας Το λογισμικό

Διαβάστε περισσότερα

2% 20% 20% ΚύπροςΚύπρος 23.000

2% 20% 20% ΚύπροςΚύπρος 23.000 ΧΑΡΙΣΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΔΙΑ Ψηλές Ικανότητες 2% 20% 20% ΚύπροςΚύπρος 23.000 ΧΑΡΙΣΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΔΙΑ ΤΑ ΔΙΚΑ ΣΑΣ ΠΑΙΔΙΑ! ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΑ ΒΟΗΘΗΣΤΕ ΤΑ! ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΧΑΡΙΣΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ Πρώτο Σημαντικό Βήμα Σωστή Διαχείριση

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Νίκος Μιχαηλίδης, Πληροφορικός ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 24 Φεβρουαρίου 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Απευθύνεται: Σε κάθε εκπαιδευτικό που ενδιαφέρεται να βελτιώσει και να εκσυγχρονίσει τη διδασκαλία του/της. Στους/ις υποψήφιους/ες

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Σύνδρομο Asperger Το σύνδρομο του μικρού σοφού

Σύνδρομο Asperger Το σύνδρομο του μικρού σοφού Σύνδρομο Asperger Το σύνδρομο του μικρού σοφού Πώς γίνεται ένα παιδί να έχει ιδιαίτερη κλίση στα μαθηματικά, στη μουσική, στις ξένες γλώσσες, στη μετεωρολογία, να έχει ξεχωριστές ικανότητες και ενδιαφέροντα,

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Ερώτηση:Ποιοι παράγοντες καθορίζουν τη μορφή της αγοράς ;

Ερώτηση:Ποιοι παράγοντες καθορίζουν τη μορφή της αγοράς ; Ερώτηση:Ποιοι παράγοντες καθορίζουν τη μορφή της αγοράς ; Απάντηση: Η μορφή της αγοράς καθορίζεται από μια σειρά παραγόντων. Οι σπουδαιότεροι από τους παράγοντες αυτούς είναι οι εξής: Πρώτον, ο αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Εισαγωγή Ενεργός συμμετοχή Κοινωνική αλληλεπίδραση Δραστηριότητες που έχουν νόημα Σύνδεση των νέων πληροφοριών με τις προϋπάρχουσες γνώσεις Χρήση στρατηγικών Ανάπτυξη της αυτορρύθμισης και εσωτερική σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ Φύση και Μαθηματικά Η χρυσή τομή φ Ερευνητική Εργασία (Project) Α' Λυκείου 1ο ΓΕΛ Ξάνθης 2011 2012 Επιβλέποντες καθηγητές Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Βασιλική Κώττη Φύση και Μαθηματικά 2 Τι είναι η χρυσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΗΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΦΥΛΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ - ΤΕΕ/ΣΕΚ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΗΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΦΥΛΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ - ΤΕΕ/ΣΕΚ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ 2000-2006 ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ Κατηγορία Πράξης 4.1.1.δ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΗΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΦΥΛΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Μυκηναϊκός Πολιτισμός ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΚΑΛΛΙΑΔΟΥ ΜΑΡΙΑ ΘΕΜΑ: «Η καθημερινή ζωή στον Μυκηναϊκό Κόσμο» Οι μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή 2. Διαπιστεύσεις: Πιστοποίηση Ε.ΚΕ.ΠΙΣ. Πιστοποίηση ΕΛΟΤ EN ISO 9001:2000 3. Σκοπός του Προγράμματος 4. Κατηγορίες υποψηφίων που γίνονται

1. Εισαγωγή 2. Διαπιστεύσεις: Πιστοποίηση Ε.ΚΕ.ΠΙΣ. Πιστοποίηση ΕΛΟΤ EN ISO 9001:2000 3. Σκοπός του Προγράμματος 4. Κατηγορίες υποψηφίων που γίνονται 1. Εισαγωγή 2. Διαπιστεύσεις: Πιστοποίηση Ε.ΚΕ.ΠΙΣ. Πιστοποίηση ΕΛΟΤ EN ISO 9001:2000 3. Σκοπός του Προγράμματος 4. Κατηγορίες υποψηφίων που γίνονται δεκτοί στο πρόγραμμα - Προαπαιτούμενα 5. Η Βεβαιωση

Διαβάστε περισσότερα