ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97

2 98

3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: ( x+ )(x ) = x Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί ο λ. 3. α) Αν x, y ρητοί, λ > 0 και λ άρρητος τότε να αποδείξετε ότι: x + y λ = 0 x = 0 και y = 0 β) Να δειχθεί ότι: αν α, β, γ, κ, ρητοί αριθμοί, λ > 0 και λ άρρητος και η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ρίζα τον αριθμό κ + τον συζυγή του, κ - λ. λ, τότε η εξίσωση αυτή έχει για ρίζα και 4. Αν είναι α + β + γ = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει ρίζα τον αριθμό Αν p είναι ρίζα της εξίσωσης x + αx + β = 0 να αποδειχθεί ότι p α p + β. 6. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3x + (α + β + γ) x + (αβ + αγ + βγ) = 0 έχει μια διπλή ρίζα, αν και μόνον αν α = β = γ. 7. Να δειχθεί ότι: αν η εξίσωση (α - β) x - 4αx + 4β = 0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση (α + β ) x - x + 3 (α - β) = 0 έχει δύο ρίζες άνισες. 8. Δίνεται η εξίσωση x + x - μ + 3 = 0. Να βρεθεί για ποιες τιμές του μ: α) αυτή έχει δύο διαφορετικές ρίζες β) αυτή έχει μια διπλή ρίζα γ) δεν έχει ρίζες. 9. Αν ρ 1, ρ (ρ 1 ρ ) είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 να βρεθούν οι παραστάσεις: i) ρ, ii) ρ 1 ρ 1 ρ 99

4 10. Να βρείτε όλες τις εξισώσεις β βαθμού που το άθροισμα των ριζών τους είναι ίσο με το γινόμενό τους. 11. Αν ρ 1, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης x - κx + λ = 0, δείξτε ότι: ρ 1 + ρ κ = κ 4λ, αν λ 0, αν λ < 0 1. Γράψτε την εξίσωση που έχει αντίθετες ρίζες από τις ρίζες της εξίσωσης x + x - 6 = Δίνεται η εξίσωση (x - 1) - λ (x - 3) = 0 που έχει ρίζες p 1 και p. Να αποδειχθεί ότι η παράσταση (x 1-3 ) (x - 3 ) είναι ανεξάρτητη του λ. 14. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 να βρείτε εξίσωση δευτέρου βαθμού που να δέχεται ως ρίζες τις παραστάσεις: x. 1 1, αx + β αx + β 1 χωρίς να υπολογίσετε τις x 1, 15. Αν ρ 1, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 και x 1, x οι ρίζες της α x + β x + γ = 0 να βρείτε εξίσωση που να έχει ως ρίζες τις παραστάσεις: x 1 ρ 1 + x ρ, x 1 ρ + ρ x Δίνεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 και Δ 0. Να δειχθεί ότι: α) οι ρίζες της είναι αντίθετες αν και μόνον αν β = 0 β) οι ρίζες της είναι αντίστροφες αν και μόνον αν α = γ. 17. Η εξίσωση (α - β ) x + β = 0 όπου α, β πραγματικές παράμετροι με 0 < α < β έχει λύση; Αν όχι, γιατί; Αν ναι, ποια; 18. Δίνεται η εξίσωση (λ - 3λ + ) x + (λ - ) x + 3 = 0. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η παραπάνω εξίσωση: α) να έχει μία μόνο ρίζα β) να έχει διπλή ρίζα 19. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για να είναι οι ρίζες της εξίσωσης 100

5 3x - x + 3 (λ - 7) = 0 i) θετικές, ii) ετερόσημες, iii) ίσες 0. Βρείτε την τιμή του λ ώστε: (x - ) (3x - 1) = 3x + λx + 101

6 1. Αν οι ρίζες της εξίσωσης x - (5λ - 6μ) x - 1 = 0 είναι αντίθετες και οι ρίζες της εξίσωσης λx + 13x - λμ + λ = 0 με λ 0 είναι αντίστροφες τότε: α) να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών παραμέτρων λ και μ β) να λυθούν οι εξισώσεις για τις τιμές των λ και μ που βρήκατε.. Δίνεται η εξίσωση s = 5 t όπου s το διάστημα που διανύει ένα κινητό, t ο αντίστοιχος χρόνος κίνησης και 5 (m/sec ) η επιτάχυνση της κίνησης. Η παραβολή του παραπάνω σχήματος παριστάνει γραφικά τις λύσεις της εξίσωσης s = 5 t ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 3. Δίνεται το τριώνυμο f (x) = x - (μ + 1) x + ν. Να οριστούν οι μ, ν ώστε να έχει ρίζα τον αριθμό 1 και να δέχεται ελάχιστη τιμή για x= Να ορίσετε τους κ, λ R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 3x + 8λx - 4x + 5κ - 10 να έχει μοναδικό κοινό σημείο με τους άξονες την αρχή τους. Για τις τιμές των κ, λ που βρήκατε να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της f. 5. Tο άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι σταθερό. Να δειχθεί ότι το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν οι αριθμοί αυτοί είναι ίσοι. 6. Να λυθεί η εξίσωση: ( x + 1) + x+ 1 = 0 7. Να λυθεί η εξίσωση: x 4 - (α + 1) x + α = 0 8. Δίνεται η εξίσωση α x β = 9 + β, όπου α, β πραγματικές παράμετροι και α 0. Υπολογίστε το β όταν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 1. 10

7 9. Να λυθεί η εξίσωση: x x + x 11x +10 = Να λυθεί η εξίσωση: x - x = Να λυθεί η εξίσωση: (1 - x ) = 4 3. Να λυθεί η εξίσωση: x 3 = + x 33. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 4-3α x - 4α = 0 β) γ 4 x 4 + (α γ - β γ ) x - α β = 0 103

8 34. Να λυθεί το σύστημα: x + y = 5 x + y = Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α + β = 16 και α + β = Η εξίσωση x + y = 9 παριστάνει κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 3. Να βρεθούν, εφόσον υπάρχουν, τα κοινά σημεία του κύκλου με την ευθεία x - y = Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία y = λx + 3 εφάπτεται του κύκλου x + y = 4; 38. Να βρεθούν οι α, β R για να είναι ρίζες της εξίσωσης χ + αχ + β = 0 ίσες με α και β. 39. Βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας y = 3x + 3 και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = x Δείξτε ότι η ευθεία y = 3x + λ, λ R και η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 6 τέμνονται για οποιοδήποτε λ σε δύο σημεία. 41. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 4 (1) και η ευθεία y = - x + λ () λ R έχουν κοινά σημεία αν έχει λύσεις η εξίσωση x 4 = - x + λ (3) α) Βρείτε για ποια λ R έχει λύσεις η εξίσωση (3). β) Πόσα κοινά σημεία έχουν οι (1) και (); γ) Βρείτε για ποιο λ έχουν ένα κοινό σημείο και προσδιορίστε το. 4. Τα μήκη των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. 43. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 5 cm. Πότε το ορθογώνιο έχει την ελάχιστη περίμετρο και ποια είναι αυτή; 44. Σε τραπέζιο το άθροισμα των βάσεών του και του ύψους του είναι 10. α) Για ποια τιμή του ύψους του το εμβαδόν του τραπεζίου γίνεται μέγιστο; β) Πόσο είναι το εμβαδόν αυτό; 104

9 45. Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι 4 cm μεγαλύτερη από την πλευρά ενός άλλου τετραγώνου. Βρείτε τις πλευρές τους αν γνωρίζουμε ότι η διαφορά των εμβαδών τους είναι 88 cm. 46. Το πλήθος των διαγωνίων ενός πολυγώνου με ν πλευρές δίνεται από τον τύπο: δ ν = ν (ν - 3). Αν το πολύγωνο έχει 104 διαγωνίους, πόσες είναι οι πλευρές του; 47. Το άθροισμα των ν πρώτων φυσικών αριθμών δίνεται από τον τύπο: ν (ν +1) Σν = ν = Βρείτε το ν, αν ξέρουμε ότι Σ ν = Το εμβαδόν μιας σελίδας ενός βιβλίου είναι 300 cm. Αν το μήκος της είναι 5 cm μεγαλύτερο από το πλάτος της, βρείτε τις διαστάσεις της σελίδας. 49. Δύο φυσικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός έχουν άθροισμα 64. α) Πόσα ζεύγη τέτοιων αριθμών υπάρχουν; β) Ποιοι είναι οι αριθμοί όταν το γινόμενό τους μεγιστοποιείται; 50. Να αποδείξετε ότι αν το 7x - 5 είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε και το τριώνυμο 8x - 13x - 5 είναι πολλαπλάσιο του Να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των p και q ώστε οι ρίζες της εξίσωσης x + px + q = 0 με p, q R να είναι ανάλογες προς τους αριθμούς και Δίνεται η εξίσωση x + βx + γ = 0 (1) α) να βρείτε τη σχέση μεταξύ των β και γ για να είναι μια ρίζα της (1) διπλάσια της άλλης β) αν β = -, τότε ορίστε τον γ ώστε η μια ρίζα της (1) να είναι το τετράγωνο της άλλης γ) βρείτε το σύνολο των δευτεροβάθμιων εξισώσεων με ρίζες τα τετράγωνα των ριζών της (1). 53. Αν α, β, γ είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου, να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση: x - αx + (β + γ) > Ένας χορογράφος σχεδιάζοντας τις θέσεις των χορευτών σε κάποια χορογραφία θέλει να τους διατάξει σε τετράγωνο. Εάν σχηματίσει x σειρές με x χορευτές (στην κάθε σειρά) θα του περισσέψουν 10 χορευτές. Εάν προσθέσει χορευτές σε κάθε σειρά και σχηματίσει ένα νέο τετράγωνο θα του λείπουν 10 χορευτές. Να βρείτε τον αριθμό x των χορευτών μιας σειράς του α τετραγώνου και το συνολικό αριθμό y των χορευτών. 55. Ένα αγρόκτημα οργώνεται από δύο τρακτέρ Α και Β, αν δουλέψουν συγχρόνως, σε 6 ώρες. Αν οργώσει το κτήμα μόνο το τρακτέρ Α τότε χρειάζονται 5 ώρες περισσότερες, 105

10 από όσες χρειάζονται, για να το οργώσει το τρακτέρ Β. Να βρεθεί σε πόσες ώρες καθένα τρακτέρ οργώνει μόνο του το αγρόκτημα. 56. α) Να βρεθεί η συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι η παραβολή του διπλανού σχήματος. β) Αν το τμήμα ΟΚΑ της παραβολής αυτής παριστάνει μια σήραγγα και στο σημείο της Σ 1 θέλουμε να εγκαταστήσουμε πυροσβεστικό κρουνό που θα απέχει,75 m από τον άξονα x x να βρεθεί το μήκος του σωλήνα ΣΣ 1, που είναι κάθετος στον άξονα y y. 57. Σε μια εκπομπή της τηλεόρασης με συμβουλές προς οδηγούς δόθηκε το εξής στοιχείο: Ένα αυτοκίνητο που τρέχει με σταθερή ταχύτητα 10 km/h σε περίπτωση που συναντήσει εμπόδιο και φρενάρει θέλει 113 m για να σταματήσει. Να υπολογιστεί: α) η επιβράδυνση της κίνησης μετά το φρενάρισμα και β) ο χρόνος που θα παρέλθει από τη στιγμή του φρεναρίσματος μέχρι την ακινητοποίηση του αυτοκινήτου. Υπόδειξη: Λύστε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τους τύπους υ = υ 0 + αt και s = υ 0 t + 1 αt. Προσοχή στις μονάδες. 58. Δίνεται η εξίσωση x - (λ + 5) x + μ - 4 = 0. Να προσδιοριστούν τα λ και μ εάν δοθεί ότι αυτά είναι ίσα προς τα διπλάσια των ριζών της εξίσωσης. 59. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) (x - 1) (x - 3x + ) (x + x + 1) < 0 β) (x - 7x + 1) (x - 5x + 6) (x + x + 6) 0 γ) x (3 - x ) < 0 δ) (1 - x ) (- x + 7) 0 ε) (x - α) (x - β) (x - γ) > 0 εάν α < β < γ στ) (3x 3 - x ) (x - x + 1) < 0 ζ) 3x 3-5x + x 0 η) x x - 7x +1-17x + 60 > 0 - x + 5x + 6 θ) > 0 x + x - 6 x +1 ι) > 7 - x 106

11 60. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) β) γ) x -1 x +1 (x -1) (x - 3) > 1 + (x - (x - 1- x ) > 1 4) 3 x -1 3 > x +1 x Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις: α) 3x + 7 > 0 β) x - 6x + 5 > 0 6. Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις: α) x + 5 > 0 β) x - < 0 γ) (x + 4) (x - 6) < Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις: α) 3x + 5 3x - 7 < 0 β) 1x + 13x -14 < 0 x Για ποιες τιμές του x ισχύει η διπλή ανίσωση: - < x x -1-3x + < Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο x - 14x + 50 παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 5 και μικρότερες του 6; 66. Να λυθεί η ανίσωση: x > 4x 67. Δίνεται η πραγματική συνάρτηση: f (x) = + 8x Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της; x 1 x - x Να δειχθεί ότι: < < 3 για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό x. 3 x + x

12 69. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις: της ευθείας της παραβολής y = x y = x του κύκλου της συνάρτησης x + y = 9 y = x 3 108

13 α) Συμπληρώστε τον πίνακα Εξίσωση y = x y = x x + y = 9 y = x 3 Βαθμός εξίσωσης ως προς x Βαθμός εξίσωσης ως προς y Γραφική παράσταση (ευθεία ή καμπύλη) β) Συμπληρώστε τις φράσεις: H εξίσωση αx + βy = γ... βαθμού ως προς x,... βαθμού ως προς y παριστάνει γραφικά... H εξίσωση y = αx... βαθμού ως προς x,... βαθμού ως προς y παριστάνει γραφικά... H εξίσωση x + y = 9... βαθμού ως προς x,... βαθμού ως προς y παριστάνει γραφικά... H εξίσωση y = x 3... βαθμού ως προς x,... βαθμού ως προς y παριστάνει γραφικά... γ) Στα παραπάνω σχήματα να τμήσετε την y = x, με μία ευθεία ε 1, την y = x με μία ευθεία ε, την x + y = 9 με μία ευθεία ε 3 και στη συνέχεια συμπληρώστε τις φράσεις: η y = x και μια ευθεία μπορεί να έχουν..... κοινά σημεία η y = x και μια ευθεία μπορεί να έχουν..... κοινά σημεία η x + y = 9 και μια ευθεία μπορεί να έχουν... κοινά σημεία * στα κενά να γραφούν όλες οι δυνατές περιπτώσεις δ) i) Η καμπύλη y = x 3 πόσα κοινά σημεία μπορεί να έχει με μια ευθεία; ii) H y = x 3 πόσα κοινά σημεία έχει με τον άξονα των τετμημένων; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. ε) Ένα σύστημα δευτέρου βαθμού ορίζεται από τις εξισώσεις x + y = α και βx + γy = 5 Πόσες λύσεις μπορεί να έχει; Δικαιολογήστε την απάντησή σας λαμβάνοντας υπόψη τις γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων του συστήματος. 109

14 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. Συμπλήρωσε τον πίνακα με την κατάλληλη μαθηματική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηματική γλώσσα Δύο αριθμοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόμενο x (x + ) = Δύο αντίστροφοι αριθμοί που έχουν... άθροισμα 3 Ορθογώνιο που έχει περίμετρο 0 cm και εμβαδόν 1... Το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών ακεραίων αριθμών ισούται με α.... Το άθροισμα των τετραγώνων τριών διαδοχικών ακεραίων αριθμών ισούται με β.... Η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι ίση... με Το τετράγωνο του αριθμού των ετών της ηλικίας του Γιάννη ισούται με το διπλάσιο της ηλικίας την οποία θα έχει... μετά 1 χρόνια. Τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί που το διπλάσιο του μεσαίου είναι ίσο με το άθροισμα του μικρότερου και του... μεγαλύτερου. Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 96, και το πηλίκο του είναι μεγαλύτερο... κατά 4 από τον διαιρέτη.. Να συμπληρώσεις τα κενά: Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 με διακρίνουσα Δ: έχει δύο ρίζες άνισες, αν Δ... έχει μια διπλή ρίζα, αν Δ... δεν έχει καμιά πραγματική ρίζα, αν Δ... Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 3. Η εξίσωση αx + γ = 0 έχει διακρίνουσα πάντα αρνητική. Σ Λ 110

15 4. Αν α, γ ετερόσημοι αριθμοί, η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει δύο άνισες ρίζες Σ Λ 5. Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει μία ρίζα ίση με το μηδέν, όταν η διακρίνουσά της είναι ίση με το μηδέν. Σ Λ 6. Η εξίσωση αx + βx - γ = 0 έχει δύο ρίζες άνισες αν α > 0 και γ > 0. Σ Λ 7. Οι αριθμοί και 3 είναι ρίζες της εξίσωσης x - 5x + 6 = 0 Σ Λ 8. Αν η εξίσωση x - λx + 1 = 0, λ R* έχει δύο ρίζες άνισες, αυτές είναι αντίστροφες. Σ Λ 9. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες αντίθετες, τότε είναι β = 0. Σ Λ 10. Αν p 1, p είναι ρίζες της αx + βx + γ = 0, α 0 οι - ρ 1, - ρ είναι ρίζες της αx - βx + γ = 0 Σ Λ 11. Αν ρ 1, ρ (ρ 1. ρ 0) είναι ρίζες της αx + βx + γ = 0, α 0 οι 1 1, είναι ρίζες της γx + βx + α = 0, γ 0. Σ Λ ρ ρ 1 1. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α + β = 1 και α.β = 3. Σ Λ 13. Όταν η εξίσωση x + βx + γ = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, το γ είναι αρνητικός αριθμός. Σ Λ 14. Όταν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α < 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, το γ είναι αρνητικός αριθμός. Σ Λ 15. Όταν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες ομόσημες, το β είναι πάντα θετικός αριθμός. Σ Λ 16. Αν ρ 1, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 τότε β ρ + ρ = 1. Σ Λ α 111

16 17. Αν ρ 1, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 οι ρ, θα είναι ρίζες της εξίσωσης 1 ρ αx + β x + γ = 0. Σ Λ 18. Η εξίσωση x - κx - λ = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες για κάθε κ, λ R*. Σ Λ 19. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = αx + βx + γ = 0, α 0. Να χαρακτηρίσετε ως Σ ή Λ τις παρακάτω προτάσεις: α > 0 Σ Λ β < 0 Σ Λ γ > 0 Σ Λ Δ < 0 Σ Λ το σύνολο των τιμών της f είναι το [- 1, + ) Σ Λ η f έχει ελάχιστο το - 1 Σ Λ το πεδίο ορισμού της f είναι το [1, 4] Σ Λ Η f είναι άρτια Σ Λ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x = 3 Σ Λ είναι γνησίως αύξουσα στο (-, 3] Σ Λ 11

17 0. Αν το κάθε σχήμα παριστάνει τη γραφική παράσταση συνάρτησης της μορφής f (x) = αx + βx + γ = 0, χαρακτηρίστε ως Σ ή Λ τις προτάσεις που αντιστοιχούν στο καθένα απ τα παρακάτω σχήματα: i) Δ 0 Σ Λ α > 0 Σ Λ γ = Σ Λ ii) α < 0 Σ Λ γ α < 0 Σ Λ Δ 0 Σ Λ iii) Δ > 0 Σ Λ γ α > 0 Σ Λ - β α > 0 Σ Λ iii) Δ = 0 Σ Λ - α β > 0Σ Λ γ > 0 Σ Λ α 113

18 1. Για το τριώνυμο f (x) = αx + βx + γ = 0, α 0 ισχύει α f (1) < 0. Τότε αυτό έχει δύο ρίζες άνισες. Σ Λ. Αν για το τριώνυμο f (x) = αx + βx + γ = 0, α 0 ισχύει α f () > 0, τότε ισχύει ρ 1 < < ρ (ρ 1, ρ ρίζες του τριωνύμου). Σ Λ 3. Αν f (x) = - x + x + 3, χαρακτηρίστε ως Σ ή Λ τις ανισότητες: f (- 1997) < 0 Σ Λ f ( ) > 0 Σ Λ f () > 0 Σ Λ 1 f ( ) < Σ Λ f (π) > 0 Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 4. Αν η εξίσωση x - 4x + α = 0 έχει για διπλή ρίζα το, τότε ο α ισούται με: Α. 1 Β. 1 Γ. 4 Δ. - 4 Ε Αν η εξίσωση x - x - κ = 0 έχει ρίζες άνισες, για τον πραγματικό αριθμό κ ισχύει: Α. κ < - 1 Β. κ - 1 Γ. κ < 0 Δ. κ > - 1 Ε. κ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 6. Η εξίσωση x - κx + κ = 0 με άγνωστο τον x για κάθε πραγματικό αριθμό κ 0 έχει: Α. δύο ρίζες άνισες αρνητικές Β. δύο ρίζες άνισες θετικές Γ. μια διπλή ρίζα θετική Δ. διπλή ρίζα το μηδέν Ε. καμία πραγματική ρίζα 7. Όταν οι α, γ είναι ετερόσημοι η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει: Α. δύο ρίζες άνισες Β. διπλή ρίζα θετική Γ. διπλή ρίζα αρνητική Δ. καμία ρίζα Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε 8. Η εξίσωση x + κ x - λ = 0 για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ με κ.λ 0, έχει: Α. δύο ρίζες άνισες ομόσημες Β. δύο ρίζες ετερόσημες Γ. μια διπλή ρίζα Δ. καμία πραγματική ρίζα Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε 9. Αν οι ρίζες της εξίσωσης x + λx + 4 = 0 είναι θετικές, τότε ο λ είναι: Α. λ < - 4 Β. λ < 0 Γ. λ = 0 Δ. λ < - Ε. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 114

19 30. Οι ρίζες της εξίσωσης x - 4x - λ = 0 για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ 0 είναι: Α. ομόσημες θετικές Β. ομόσημες αρνητικές Γ. ετερόσημες Δ. το μηδέν και ένας θετικός αριθμός Ε. το μηδέν και ένας αρνητικό αριθμός 115

20 31. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + 5x - 7 = 0, τότε οι - x 1, - x είναι ρίζες της εξίσωσης: Α. x + 5x + 7 = 0 Β. x - 5x - 7 = 0 Γ. x + 5x - 7 = 0 Δ. x - 5x + 7 = 0 Ε. x + 7x - 5 = 0 3. Αν οι ρίζες της εξίσωσης 5x + (3 - λ) x - 1 = 0 είναι αντίθετες τότε ο πραγματικός αριθμός λ είναι: Α. αρνητικός αριθμός Β. λ = 0 Γ. λ = 3 Δ. λ = - 3 Ε. λ = Αν οι ρίζες της εξίσωσης x - 3αx + α = 0, α 0 είναι αντίστροφες τότε ο α είναι: Α. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 0 Β. οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός Γ. α = 1 ή α = - 1 Δ. α = 9 ή α = - 9 Ε. α = 5 ή α = Αν α + β = 5 και αβ = 6 τότε οι αριθμοί α, β είναι ρίζες της εξίσωσης: Α. x + 5x + 6 = 0 Β. x - 5x + 6 = 0 Γ. x - 5x - 6 = 0 Δ. x + 6x - 5 = 0 Ε. x - 6x + 5 = Στην ερώτηση «υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε α + β = 1 και αβ = 6» δίνονται από τους μαθητές οι εξής απαντήσεις: Α. Ναι Β. Όχι Γ. Ναι και είναι ρίζες της εξίσωσης x - x + 6 = 0 Δ. Ναι και είναι ρίζες της εξίσωσης x + x - 6 = 0 Ε. Ναι και είναι ρίζες της εξίσωσης x - x - 6 = 0 Ποια είναι η σωστή; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 36. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x - 5x + 3 = 0 τότε η παράσταση Α. 5 Β. 9 Γ. 19 Δ. 15 Ε. 9 x + x ισούται με: Αν x 1, x είναι ρίζες της εξίσωσης x + 7x + = 0 τότε η παράσταση κx 1 + κx κ 0 ισούται με: Α. 7 Β. 7 Γ. 7κ Δ. - 7κ Ε. 7κ 38. Αν οι αριθμοί x 1 και x είναι ρίζες της εξίσωσης x - 6x - 7 = 0, τότε ο x 1 1 ισούται με: Α. 9 Β. 7 Γ. 3 Δ. 3 Ε Η εξίσωση x - κ x - 3 = 0, κ R* έχει: Α. μία λύση Β. δύο λύσεις Γ. καμία λύση Δ. τέσσερις λύσεις 116

21 Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε 40. Η εξίσωση x 4 + 3x + κ = 0, όπου κ > 0, έχει: Α. μία λύση Β. δύο λύσεις Γ. τέσσερις λύσεις Δ. καμία λύση Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε 41. Ο κύκλος x + y = 8 και η ευθεία y = x έχουν: Α. ένα κοινό σημείο στον άξονα y y Β. δύο κοινά σημεία στον άξονα x x Γ. δύο κοινά σημεία αντιδιαμετρικά Δ. κανένα κοινό σημείο Ε. ένα κοινό σημείο στον άξονα x x 4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x - 5x - κ, κ 0 έχει με τον άξονα x x: Α. ένα κοινό σημείο Β. ένα κοινό σημείο που είναι το Ο (0, 0) Γ. κανένα κοινό σημείο Δ. δύο κοινά σημεία Ε. δύο κοινά σημεία που το ένα είναι το Ο (0, 0) 43. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = κx - x + 1, κ 0 εφάπτεται στον άξονα x x, τότε το κ ισούται με: Α. - 1 Β. 1 Γ. - Δ. Ε Ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι: Α. f (x) = x - x 1 Β. φ (x) = x - 6x + 9 Γ. h (x) = x - x + 1 Δ. g (x) = x - 6x - 9 Ε. k (x) = x + 4x Στο διπλανό σχήμα με συνεχή γραμμή φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x. H διακεκομμένη γραμμή παρουσιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: Α. g (x) = x + Β. g (x) = x - Γ. g (x) = (x - ) Δ. g (x) = (x + ) Ε. g (x) = x Στο διπλανό σχήμα με συνεχή γραμμή φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x. Η διακεκομμένη γραμμή παρουσιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: Α. g (x) = (x + 3) Β. g (x) = (x - 3) 117

22 Γ. g (x) = (x + 3) Δ. g (x) = (x - 3) Ε. g (x) = x Στο διπλανό σχήμα με συνεχή γραμμή φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x. Η διακεκομμένη γραμμή παρουσιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: Α. g (x) = x + 3 Β. g (x) = x + 1 Γ. g (x) = (x - 3) + 1 Δ. g (x) = (x + 3) - 1 Ε. g (x) = (x - 3) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σχήμα αντιστοιχεί στον τύπο (για κάθε κ R): Α. f (x) = x - κx + 5 Β. g (x) = x - κx - 5 Γ. h (x) = x - x + κ Δ. φ (x) = x - 5x + κ Ε. t (x) = x - x + 5κ 49. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = κx - 3x - κ, έχει με τον άξονα x x (για κάθε τιμή του κ 0): Α. ένα κοινό σημείο Β. δύο κοινά σημεία στο θετικό ημιάξονα Οx Γ. δύο κοινά σημεία στον αρνητικό ημιάξονα Οx Δ. κανένα κοινό σημείο Ε. δύο κοινά σημεία εκατέρωθεν του Ο 50. Αν οι αριθμοί - 1 και 3 είναι ρίζες του τριωνύμου f (x) = x - κx + λ ποια από τις παρακάτω ανισότητες είναι σωστή; Α. f (5) < 0 Β. f (- 5) 0 Γ. f ( ) < 0 3 Δ. f (100) 0 Ε. f (- 100) < Αν ρ 1, ρ (ρ 1 < ρ ) είναι ρίζες του τριωνύμου f (x) = αx + βx + γ και αf (1) < 0, ο αριθμός 1 ανήκει στο διάστημα: Α. (-, ρ 1 ) Β. (ρ 1, ρ ) Γ. [ρ 1, ρ ] Δ. [ρ, + ) Ε. (ρ, + ) 118

23 5. H παραβολή του διπλανού σχήματος αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση f (x) = x + κx + λ. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής: Α. Δ < 0 Β. κ = 0 Γ. το σύνολο των τιμών της f είναι το [0, + ) Δ. το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης x + κx + λ = 0 είναι μηδέν Ε. το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης x + κx + λ = 0 είναι αρνητικός αριθμός 53. Η παραβολή του διπλανού σχήματος αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση f (x) = x + κx + λ. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής; Α. Δ = 0 Β. κ < 0 Γ. λ > 0 Δ. το σύνολο των τιμών της f είναι το [1, + ) Ε. η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον y y 119

24 54. Η παραβολή του διπλανού σχήματος αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση f (x) = αx + βx + γ. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής; Α. α < 0 Β. αβ > 0 Γ. αγ < 0 Δ. η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το [- 1, + ) Ε. η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το (- 1, + ) 55. Για το τριώνυμο f (x) = αx + βx + γ, α 0 ισχύει: α.γ < 0. Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση f; Α. Β. Γ. Δ. Ε. 56. Έστω α, β, γ πραγματικοί αριθμοί με α > 0. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει ρίζες πραγματικές ετερόσημες, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής; Α. β β - 4αγ = 0 Β. < 4γ Γ. γ < 0 α Δ. γ > 0 Ε. β < 4αγ 57. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = αx + βx + γ, α 0 έχει άξονα συμμετρίας τον y y. Αν για την εξίσωση αx + βx + γ = 0 ισχύει Δ > 0, ποια από τις επόμενες προτάσεις για τις ρίζες ρ 1, ρ αυτής είναι αληθής; Α. ρ 1 + ρ > 0 Β. ρ 1 + ρ = 0 Γ. ρ 1 + ρ < 0 Δ. ρ 1.ρ > 0 Ε. ρ 1.ρ = Η εξίσωση: λx + x - 4λ = 0 για κάθε λ R: 10

25 Α. έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Β. έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες Γ. δεν έχει ρίζες πραγματικές Δ. έχει μια ρίζα ίση με το μηδέν Ε. δεν μπορούμε να συμπεράνουμε κάποιο από τα προηγούμενα 59. Αν f (x) = αx + βx + γ και Δ < 0 τότε το τριώνυμο f (x) γράφεται: Α. f (x) = β x - α Β. f (x) = β x + α β Γ. f (x) = α x + α Ε. f (x) = α β (x + ) α Δ + 4α Δ. f (x) = α x + Δ 4α 60. Αν f (x) = αx με α > 0, τότε η γραφική παράσταση της g (x) = - α 1 x είναι: Α. Β. Δ. Γ. Ε. 11

26 Ερωτήσεις αντιστοίχισης 61. Κάθε στοιχείο της στήλης (Α) αντιστοιχεί με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών: στήλη (Α) Σχέσεις στήλη (Β) αx + βx + γ > 0 Δ < 0 και α < 0 Δ < 0 και α > 0 Δ > 0 και α 0 αληθεύει για κάθε x αληθεύει για κάθε x που βρίσκεται μεταξύ των ριζών του τριωνύμου αληθεύει για κάθε x εκτός των ριζών του τριωνύμου δεν αληθεύει για κανένα x αληθεύει για x ίσο με τις ρίζες του τριωνύμου δεν μπορούμε να απαντήσουμε για ποια x αληθεύει η ανίσωση 1

27 6. Κάθε στοιχείο της στήλης (Α) αντιστοιχεί με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών. στήλη (Α) σχέσεις στήλη (Β) είδος ριζών της αx + βx + γ = 0 γ < 0 α Δ > 0, α γ > 0 και - α β > 0 Δ = 0 Δ < 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και αρνητικές έχει δύο ρίζες πραγματικές και θετικές έχει δύο ρίζες πραγματικές και ετερόσημες έχει ρίζες πραγματικές και ίσες δεν έχει ρίζες πραγματικές δεν μπορούμε να απαντήσουμε για το είδος των ριζών της εξίσωσης 13

28 14

29 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 15

30 16

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = x 3 - x και g (x) = x 2-1.

f (x) = x 3 - x και g (x) = x 2-1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΟ ΤΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: «Συναρτήσεις» Ερωτήσεις ανάπτυξης. Σε µια κοινότητα όλοι οι καταναλωτές νερού πληρώνουν: 500 δρχ. πάγιο κάθε µήνα, ανεξαρτήτως αν καταναλώνουν ή όχι νερό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Τα θέµατα που συνθέτουν τα σχέδια κριτηρίων που ακολουθούν αντλήθηκαν από τις ερωτήσεις του σχεδιασµού αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ΕΞΙΣΩΣΗ αχ +βχ+γ=0, α ¹ 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Εξίσωση δευτέρου βαθμού καλείται η εξίσωση της μορφής : αχ + βχ + γ = 0, α ¹ 0 () v Για την επίλυση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,

( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η.

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η. Άσκηση 1η Αν η εξίσωση είναι αόριστη, τότε: α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη β) Να λυθεί η ανίσωση γ) Αν ισχύει ότι να βρεθεί ο αριθμός Α Άσκηση 2η Αν η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του και η

Διαβάστε περισσότερα

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii) Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 50 3 5 0 0 ή 3 5 0 0 ή 3 5 0 ή 8 50 8 5 αδύνατη 3 60 3 6 6 3 3 4 510, α = 4, β = -5 και γ = 1 Δ = 4 5 4 4 15169 5 9 4 53 8 1 ή 4 410

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1 Στοιχεία Συναρτήσεων 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 1 α. f() β. f() 3 6 8 3 1 γ. g() δ. g() ( 6)( 5) 4 ε. h() 4 στ. h() 4 ζ. ε. στ. 1 φ() η. 1 1 1 r() 5 6 1 r() 1 5 6 φ() 5. Στις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα