Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου"

Transcript

1 Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο, και ακτίνα ρ= λέγεται μοναδιαίος κύκλος και έχει εξίσωση : π.χ. Η εξίσωση : 5 παριστάνει κύκλο με κέντρο, και ακτίνα 5. π.χ. Ο κύκλος με κέντρο, και ακτίνα έχει εξίσωση : 9 Αν ο κύκλος έχει κέντρο:, και ακτίνα ρ τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. π.χ. Η εξίσωση : 6 παριστάνει κύκλο με κέντρο, και ακτίνα 6. π.χ. Ο κύκλος με κέντρο, και ακτίνα έχει εξίσωση : Αν όμως έχει τη γενική μορφή:, τότε έχει κέντρο:, και ακτίνα με Αν : τότε η εξίσωση παριστάνει το σημείο, Αν : τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. π.χ. Η εξίσωση : 6 παριστάνει κύκλο με κέντρο 6,,, και ακτίνα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΠΟΥ ΝΑ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΠΟΥ ΝΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΣΕ ΓΝΩΣΤΗ ΕΥΘΕΙΑ Για να βρω την εξίσωση ενός κύκλου, του οποίου μου δίνεται το κέντρο, ή, και ότι διέρχεται από ένα γνωστό σημείο,, γράφω την αντίστοιχη εξίσωση του κύκλου στην οποία μοναδικός άγνωστος είναι η ακτίνα ρ. Στη συνέχεια θα πρέπει οι συντεταγμένες του, να επαληθεύουν την εξίσωση. Από την εξίσωση που προκύπτει υπολογίζω την ακτίνα ρ άρα βρίσκω και την εξίσωση του κύκλου. Για να βρω την εξίσωση ενός κύκλου, του οποίου μου δίνεται το κέντρο, ή, και ότι εφάπτεται σε μια ευθεία :, γράφω την αντίστοιχη εξίσωση του κύκλου στην οποία μοναδικός άγνωστος είναι η ακτίνα ρ. Στη συνέχεια θα πρέπει η απόσταση του κέντρου από την ευθεία ε να είναι ιση με την ακτίνα δηλαδή : d, η λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης μου δίνει και την ακτίνα ρ άρα βρίσκω και την εξίσωση του κύκλου. Αν ένας κύκλος διέρχεται από δυο γνωστά σημεία, και, τότε οι συντεταγμένες των, επαληθεύουν την εξίσωση του. Έτσι προκύπτει ένα σύστημα με δυο εξισώσεις και δυο αγνώστους το οποίο λύνοντας το βρίσκω το κέντρο και την ακτίνα, άρα και την εξίσωση του κύκλου. Αν ένας κύκλος διέρχεται από δυο γνωστά σημεία, και, και το κέντρο, του κύκλου ανήκει σε μια ευθεία ε, τότε το, είναι σημείο τομής της μεσοκαθετου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και της ευθείας ε. Αν ένας κύκλος διέρχεται από δυο γνωστά σημεία, και, και επιπλέον ο κύκλος εφάπτεται σε μια ευθεία ε, τότε το κέντρο, είναι σημείο τομής της μεσοκαθετου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και της καθέτου της ε στο σημείο επαφής. Ένας κύκλος με κέντρο, και ακτίνα ρ εφάπτεται στον άξονα, αν και μόνο αν ισχύει :. Ένας κύκλος με κέντρο, και ακτίνα ρ εφάπτεται στον άξονα, αν και μόνο αν ισχύει :. Ένας κύκλος με κέντρο, και ακτίνα ρ εφάπτεται και στους δυο άξονες και, αν και μόνο αν ισχύει :. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Όταν διέρχεται από το σημείο, ii. Όταν διέρχεται από το σημείο, iii. Όταν εφάπτεται της ευθείας iv. Όταν εφάπτεται της ευθείας i. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C :. Άρα C :. ii. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C :. Άρα C :. iii. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία : άρα d,. Άρα C :. iv. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία : άρα d Άρα C :., Άσκηση 5 σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Όταν έχει κέντρο, και διέρχεται από το σημείο, ii. Όταν έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα, και 7,8 iii. Όταν έχει ακτίνα 5 και τέμνει τον άξονα στα σημεία, και 7, iv. Όταν διέρχεται από τα σημεία, και 8, και έχει το κέντρο του στην ευθεία v. Όταν τέμνει τον άξονα στα σημεία, και 8, και τον άξονα στα σημεία, και,. vi. Όταν εφάπτεται του άξονα στο σημείο, και διέρχεται από το σημείο,. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ vii. Όταν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας στο σημείο,. i. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο, θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C :. Άρα C : 7 ii. Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το μέσον του ΑΒ άρα και 8 5 άρα,5. Η ακτίνα του κύκλου είναι C : Άρα : iii. Έστω ότι ο κύκλος έχει κέντρο,, επίσης έχει ακτίνα 5 άρα θα έχει εξίσωση : C : 5. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C : 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο 7, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. 7 C : Από και έχω αφαιρώ κατά μέλη και έχω : Στην για έχω : Άρα αν, τότε : C 5 Άρα αν, τότε C : 5 ή. iv. Αφού ο κύκλος διέρχεται από δυο γνωστά σημεία, και 8, και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία : τότε το κέντρο του κύκλου θα είναι το σημείο τομής της μεσοκαθετου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και της ευθείας. Έστω Μ το 8 μέσο του ΑΒ τότε 6 και άρα 6,. Επίσης, όμως άρα _ ί άρα 8 η κατακόρυφη δηλ. : 6

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ : 6 6 : 6 άρα το κέντρο του κύκλου είναι 6,6 και η ακτίνα είναι Άρα C : v. Έστω ότι ο κύκλος έχει κέντρο,, επίσης έχει ακτίνα άρα θα έχει εξίσωση : C :. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C : Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο 8, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. 8 C : 8 8 Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C : Από και έχω αφαιρώ κατά μέλη και έχω : άρα στην : και άρα στην : Άρα 6, 9 και τέλος στην : δηλ. 85 και C : vi. Έστω ότι ο κύκλος έχει κέντρο,, επίσης έχει ακτίνα άρα θα έχει εξίσωση : C :. Αφού ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα ισχύει : άρα C : Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7 Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. : C Από και έχω αφαιρώ κατά μέλη και έχω : 6 9. Άρα στην : και άρα άρα : : C vii. Το κέντρο, του κύκλου θα είναι σημείο τομής της μεσοκαθετου η του ευθυγράμμου τμήματος ΑΟ και της καθετου ζ στην ευθεία : στο σημείο επαφής,. Έστω Μ το μέσο του ΑΟ τότε και άρα,. Επίσης _ άρα η μεσοκαθετος η του ΑΟ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης : άρα : :. Επίσης : όμως άρα και η ζ διέρχεται από το, άρα : 9 9 : :. Άρα τελικά : : : άρα, 8 9. Και η ακτίνα του κύκλου είναι : άρα η εξίσωση του κύκλου είναι : : C. Άσκηση 6 σελ. 88 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση : i. 6 ii. iii. 9 6 iv. 6 i. Στην εξίσωση 6 είναι 6,,

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Άρα άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο 6 6,,, και ακτίνα ii. Στην εξίσωση είναι,, Άρα 8 άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο ακτίνα 9,, 5, 6 και : iii. Στην εξίσωση 6 9, είναι 5,,. Άρα 9 άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο,, και ακτίνα 5 iv. Στην εξίσωση 6 είναι Άρα,, άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο ακτίνα ,, 5 και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΣΗΜΕΙΟ, ΜΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΜΕ ΚΥΚΛΟ ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΣΗΜΕΙΟ ΜΕ ΚΥΚΛΟ Έστω ένας κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ τότε : Ένα σημείο Α ανήκει στον κύκλο αν-ν ΚΑ=ρ Ένα σημείο Β είναι εσωτερικό του κύκλου αν-ν ΚΑ<ρ Ένα σημείο Γ είναι εξωτερικό του κύκλου αν-ν ΚΑ>ρ ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ Έστω ένας κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ και ε μια ευθεία τότε : Η ευθεία ε δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο αν-ν d, Η ευθεία ε έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο εφάπτεται στον κύκλο αν-ν d, Η ευθεία έχει δυο διαφορετικά κοινά σημεία με τον κύκλο τον τέμνει αν-ν d,. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ Έστω C και C δυο κύκλοι με κέντρα Κ, Λ και ακτίνες, αντίστοιχα. Οι C και C εφάπτονται εξωτερικά, αν-ν Οι C και C εφάπτονται εσωτερικά, αν-ν Οι C και C τέμνονται αν-ν Ο ένας από τους κύκλους είναι εξωτερικός του άλλου, αν-ν Ο ένας από τους κύκλους είναι εσωτερικός του άλλου, αν-ν ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται ο κύκλος C : 5 και τα σημεία Α-6,, Β, και Γ,5. Να βρείτε : i. Το κέντρο και την ακτίνα του ii. Τη σχετική θέση των σημείων Α, Β και Γ ως προς τον C. 5 Δίνεται ο κύκλος C: + =. Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω ευθειών με τον κύκλο C. α ε : + = β ε : + = γ ε : + = 6 Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω κύκλων: C : + = C : α + + = α όταν: α α= β α= 5- γ α= + 5 δα= ε α= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, δηλαδή έχει εξίσωση της μορφής :, τότε η εφαπτομένη ε του κύκλου στο σημείο, έχει εξίσωση : :. π.χ. η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο, είναι : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ, Αν ο κύκλος έχει κέντρο, και ακτίνα ρ, για να βρούμε την εφαπτομένη ε του κύκλου σε ένα σημείο του, εργαζόμαστε ως εξής : Ένα σημείο, ανήκει στην εφαπτομένη ε, αν και μόνο αν :... και από αυτή τη σχέση καταλήγουμε σε μια σχέση με, που είναι η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΣΗΣ Για να βρούμε την εφαπτομένη ε ενός κύκλου, η οποία έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ, εργαζόμαστε ως εξής : Βήμα : Αφού η ε έχει γνωστό λ, θεωρούμε ότι έχει εξίσωση της μορφής : : Βήμα : Η ε εφάπτεται στον κύκλο άρα ισχύει : d,... και από αυτή τη σχέση βρίσκουμε το β το οποίο αντικαθιστούμε στην και βρίσκουμε την εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Για να βρούμε την εφαπτομένη ε ενός κύκλου, για την οποία γνωρίζουμε ότι διέρχεται από γνωστό σημείο, δεν ανήκει στον κύκλο, εργαζόμαστε ως εξής : Βήμα : Από το σημείο, διέρχονται : Η κατακόρυφη : Όλες οι ευθείες της μορφής : Βήμα : Για την κατακόρυφη : ελέγχω αν ισχύει d,, αν ισχύει τότε είναι μια από τις ζητούμενες εφαπτομενες. Βήμα : Για τις ευθείες : απαιτώ να ισχύει d,... και από αυτή τη σχέση βρίσκουμε το λ το οποίο αντικαθιστούμε στην και βρίσκουμε την εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου λίγο πιο εμπλουτισμένη Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 5 σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Στο σημείο του, ii. Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία iii. Όταν είναι κάθετη στην ευθεία iv. Όταν διέρχεται από το σημείο 5, i. Η εφαπτομένη του κύκλου 5 στο σημείο, είναι : 5 ii. Στον κύκλο 5 είναι : κέντρο Ο, και ακτίνα 5. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου, τότε από εκφώνηση : // :. Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι της μορφής : :. Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι ιση με την ακτίνα, δηλ. d, ή 5, άρα : Αν 5 τότε : : 5 Αν 5 τότε : : 5 iii. Στον κύκλο 5 είναι : κέντρο Ο, και ακτίνα 5. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου, τότε από εκφώνηση : :, όμως άρα. Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι της μορφής : :. Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι ιση με την ακτίνα, δηλ. d, ή 5, άρα : Αν 5 τότε : : 5 Αν 5 τότε : : 5 iv. Στον κύκλο 5 είναι : κέντρο Ο, και ακτίνα 5. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου, τότε από εκφώνηση : η διέρχεται από το σημείο 5,. Από το σημείο 5, διέρχονται : η κατακόρυφη : 5 5, για να εφάπτεται η στον κύκλο πρέπει : 5 d, αδύνατο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Όλες οι ευθείες της μορφής : 5 5. Όμως πρέπει : 5 d, ή Για έχω : : 5 5 Για έχω : : Δίνεται κύκλος C: + 6 -= και το σημείο του Α5, -. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C στο Α. ε Α5, - Μ, C Κ, Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο επαφής σ.ε. Α5,- και έστω ένα τυχαίο σημείο Μ, που ανήκει στην ε. Τότε ισχύει :.Όμως 5,, και 5, άρα η γίνεται : Δηλαδή η εφαπτομένη είναι η ευθεία ε 9 Εφαρμογή σελ. 86 λίγο πιο εμπλουτισμένη Δίνονται οι κύκλοι C : 5 και C : 9 i.να βρείτε τη σχετική θέση των C, C ii. Να βρείτε τη σχετική θέση του σημείου 5, με τον C iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε του C στο σημείο 5,. iv.να βρείτε τη σχετική θέση της ευθείας ε με τον κύκλο C C έχει κέντρο, και ακτίνα 5 C έχει κέντρο i. Ο κύκλος, ενώ ο κύκλος, και ακτίνα. Έτσι : 5, 5, 8 και άρα ισχύει : δηλ. οι C και C τέμνονται. ii άρα το σημείο 5, είναι σημείο του C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ iii. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο επαφής σ.ε. 5, και έστω ένα τυχαίο σημείο Μ, που ανήκει στην ε. Τότε ισχύει : Όμως 5,, και 5, άρα η γίνεται : Δηλαδή η εφαπτομένη είναι η ευθεία ε ε Α5, - Μ, C Κ, iv. Για να βρω τη σχετική θέση της ε με τον κύκλο C έχω : 9 5 d,. Άρα η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο 5 C αφού η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ε είναι ιση με την ακτίνα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΧΟΡΔΗΣ ΚΥΚΛΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής του κύκλου C :, η οποία έχει μέσο το σημείο Μ,-. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Έστω ε η ζητούμενη χορδή και έστω, τότε θα ισχύει : : Όμως,, και, άρα η γίνεται :. Δηλαδή η ζητούμενη χορδή είναι η ευθεία ε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΥΚΛΩΝ : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η εξίσωση. i. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η παριστάνει εξίσωση κύκλου και στη συνέχεια να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. ii. Για τις παραπάνω τιμές του λ να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου. iii. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το κέντρο του παραπάνω κύκλου ανήκει στην ευθεία : i. Η εξίσωση : έχει :,, Είναι Πρέπει, έχω ή, άρα : Άρα για κάθε,, η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο,, και ακτίνα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ii. Έστω, ανήκει στο γεωμετρικό τόπο του κέντρου του παραπάνω κύκλου, τότε, θα ισχύει : η λογω της γίνεται,. Άρα τα κέντρα των παραπάνω κύκλων ανήκουν στην ευθεία :. iii. Το κέντρο, ανήκει στην ευθεία :, αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της δηλ. : 5.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ. 89 Β ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου 5 που διέρχονται από το σημείο,. Έστω, ανήκει στον γεωμετρικό τόπο που ψάχνω δηλαδή είναι μέσο χορδής κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α, τότε θα ισχύει : Όμως,, και, άρα η γίνεται :. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο,, 6 5 και ακτίνα 5. Άσκηση 7 σελ. 88 Β ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από την αρχή των αξόνων είναι ισο με το τετραπλάσιο της απόστασης από την ευθεία. Έστω, ανήκει στον γεωμετρικό τόπο που ψάχνω, και : τότε θα ισχύει : d, Έχω άρα Αν τότε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ,, έχω : 6 6 άρα η εξίσωση παριστάνει το σημείο,, Αν τότε :,, έχω : 6 6 άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο,, και ακτίνα 6 6. Τελικά ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το σημείο, κέντρο, και ακτίνα. και ο κύκλος με ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΜΕΓΙΣΤΕΣ & ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται ο κύκλος : C : 6 6. Να βρείτε : i. Το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C ii. Τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δυο σημεία του κύκλου C iii. Τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων από ένα σημείο του C iv. Τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση του σημείου Α, από ένα σημείο του C 5 Δίνεται ο κύκλος : C : και τα σημεία Α-7,9 και Β9,-. Να βρείτε : i. Το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C ii. Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΒ iii. Την εξίσωση της ευθείας ΑΒ iv. Τη μεγίστη και ελάχιστη απόσταση που έχει ένα σημείο της ευθείας ΑΒ από ένα σημείο του C 6 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων από τον κύκλο = 7 Δίνεται η εξίσωση + λ + =. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση να παριστάνει κύκλο C και το κέντρο του να ανήκει στην ευθεία ε: + λ =. Μετά να βρείτε τα σημεία του C που απέχουν μέγιστη και ελάχιστη απόσταση από το Ο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία ισαπέχουν από μια ευθεία δ, διευθετούσα και ένα σταθερό σημείο Ε, Εστία. p p Αν Μ, αυτά τα σημεία και Διευθετούσα : και Εστία, τότε: dm, δ = ΜΕ C : p. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Διευθετούσα dm,δ = ΜΕ C : p. p : και Εστία, p τότε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Η εφαπτομένη της παραβολή : p C : p στο σημείο, έχει εξίσωση : Η εφαπτομένη της παραβολή : p C : p στο σημείο, έχει εξίσωση : Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής : Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεια και η ημιευθεια t, που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει : i Εστία Ε, ii Εστία Ε,- iii Διευθετούσα δ : iv Διευθετούσα δ : 5 p i E, άρα p άρα C : 8 p ii Ε,- άρα p 6 άρα C : 6 p iii δ : p άρα C : p iv δ : 5 άρα 5 p άρα C : Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση : i 6 ii 8 iii i 6 ii iii iv p p άρα Εστία :,,, p Διευθετούσα : δ: p άρα Εστία : p,,, p Διευθετούσα : δ: p p άρα Εστία :,,, p Διευθετούσα : δ: 8 iv p p Διευθετούσα : δ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : p άρα Εστία :,, Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει : i Εστία Ε, ii Εστία Ε,- iii Διευθετούσα δ : iv Διευθετούσα δ : Να βρεθεί η εστία Ε και η διευθετούσα δ των παραβολών με εξισώσεις i. 8 ii., ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 5 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C :, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής η οποία : i. έχει εστία το σημείο Ε, ii. έχει διευθετούσα δ : = -. Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής 8, η οποία έχει μέσο το σημείο Μ,.. Δίνεται η παραβολή 6. Από σημείο Ρ-, φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ, ΡΒ προς την παραβολή. Να βρεθεί η εξίσωση ΑΒ.. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της παραβολής 8, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Ρ5,-7 5. Δίνεται η παραβολή. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της οι οποίες απέχουν από την κορυφή της απόσταση ίση με d. 6. Δίνεται η παραβολή. Η εφαπτομένη της παραβολής σε ένα σημείο της Α με χ= τέμνει τον άξονα χ χ στο Β. να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής. 7. Η παραβολή με εξίσωση a διέρχεται από το σημείο Α,, όπου a. i. Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σημείο Ε,. 5 ii. Έστω Ε το συμμετρικό της εστίας Ε ως προς τον άξονα. Αν Μ, είναι ένα ' οποιοδήποτε σημείο για το οποίο ισχύει, να αποδείξετε ότι το σημείο Μ, ανήκει στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, και ακτίνα. iii. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του παραπάνω κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α. 8. Α Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C : είναι παράλληλη στην ευθεία, η οποία Β Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος C : 6 εφάπτεται στην παραβολή C :. Δηλαδή, έχουν τις ίδιες εφαπτομένες στα κοινά σημεία τους 9. Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτομένες της παραβολής C : στα σημεία της Α, και Β, τέμνονται κάθετα σε σημείο που ανήκει στη διευθετούσα της.. Δίνεται η παραβολή =. Να βρείτε: i. την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής ii. τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με iii. την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία =. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Η ΕΛΛΕΙΨΗ Έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων, α, από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες Πρέπει: ΕΕ = γ<α. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Εγ,, Ε -γ, τότε:, β =α -γ. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Ε,γ, Ε,-γ τότε:, β =α -γ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εκκεντρότητα της έλλειψης ονομάζεται ο αριθμός ε= ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΕΛΛΗΨΗΣ Η εφαπτομένη της έλλειψης C : στο σημείο, έχει εξίσωση : : Η εφαπτομένη της έλλειψης C : στο σημείο, έχει εξίσωση : : Ανακλαστική Ιδιότητα Έλλειψης : Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία Ε ΜΕ, όπου Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -, και Ε, και μεγάλο άξονα ii όταν έχει εστίες τα σημεία Ε,-5 και Ε,5 και μεγάλο άξονα 6 i Ε -, και Ε, άρα γ=, μεγάλος άξονας άρα 5 Επίσης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Άρα C : 5 9 ii Ε,-5 και Ε,5 άρα γ=5, μεγάλος άξονας 6 άρα 6 Επίσης 69 5 Άρα C : 69 Να βρείτε τα μήκη αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων : i ii 69 6 i άρα και άρα Μεγάλος Άξονας :, Μικρός Άξονας, Εστίες,,, Εκκεντρότητα : 69 6 ii άρα 69 και άρα Μεγάλος Άξονας : 6, Μικρός Άξονας, Εστίες, 5,,5 5 Εκκεντρότητα : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει : i όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -, και Ε, και μικρό άξονα 6 ii όταν έχει εστίες τα σημεία Ε,- και Ε, και μεγάλο άξονα Να βρείτε τα μήκη αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων : i ii 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Υπερβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τα οποία έχουν σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων, α, από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες, Πρέπει: ΕΕ = γ>α Αν Μ, αυτά τα σημεία και Εγ,, Ε -γ, τότε:, β =γ -α. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Ε,γ, Ε,-γ τότε: β =γ -α., ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εκκεντρότητα της υπερβολής ονομάζεται ο αριθμός, Ασύμπτωτες τις υπερβολής C : είναι οι ευθείες : και :, ενώ της : C οι ευθείες : και :. Αν α=β, τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής υπερβολή και έχει εξίσωση της μορφής : C : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Η εφαπτομένη της υπερβολής C : στο σημείο, έχει εξίσωση : : Η εφαπτομένη της έλλειψης C : στο σημείο, έχει εξίσωση : : Ανακλαστική Ιδιότητα Υπερβολής : Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία Ε ΜΕ, όπου Ε, Ε οι εστίες της υπερβολής. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -, και Ε, και κορυφές τα σημεία Α -5, και Α5, ii όταν έχει εστίες τα σημεία Ε,- και Ε, και εκκεντρότητα i Ε -, και Ε, άρα γ=, κορυφές τα σημεία Α -5, και Α5, άρα 5 Επίσης 69 5 Άρα C : 5 ii Ε,- και Ε, άρα γ=, εκκεντρότητα 5 6 Επίσης Άρα C : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών : i 9 6 ii i άρα και 9 άρα Εστίες : 5,, 5,, Εκκεντρότητα : Ασύμπτωτες : : και : ii ισοσκελής υπερβολή άρα και άρα 8 Εστίες :,,,, Εκκεντρότητα : Ασύμπτωτες : : και : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει : i όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -5, και Ε5, και απόσταση κορυφών 8 ii όταν έχει εστίες : 5,, 5, και εκκεντρότητα : 5. Να βρείτε τις εστίες, τις κορυφές, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών: i 9 6 ii 9 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Μιχαήλ Τζούµας Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Ιωσήφ Ρωγών και Βεΐκου 302 00 Μεσολόγγι mtzoumas@sch.gr Περίληψη Οι κωνικές τοµές (κ.τ.) και ειδικότερα η Παραβολή, η Έλλειψη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο α. I. Σχολικό βιβλίο σελ. 41. ΙΙ. Σχολικό βιβλίο σελ. 89. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 71. γ. Σχολικό βιβλίο σελ.60. δ. Σ, Λ,

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα