Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου"

Transcript

1 Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο, και ακτίνα ρ= λέγεται μοναδιαίος κύκλος και έχει εξίσωση : π.χ. Η εξίσωση : 5 παριστάνει κύκλο με κέντρο, και ακτίνα 5. π.χ. Ο κύκλος με κέντρο, και ακτίνα έχει εξίσωση : 9 Αν ο κύκλος έχει κέντρο:, και ακτίνα ρ τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. π.χ. Η εξίσωση : 6 παριστάνει κύκλο με κέντρο, και ακτίνα 6. π.χ. Ο κύκλος με κέντρο, και ακτίνα έχει εξίσωση : Αν όμως έχει τη γενική μορφή:, τότε έχει κέντρο:, και ακτίνα με Αν : τότε η εξίσωση παριστάνει το σημείο, Αν : τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. π.χ. Η εξίσωση : 6 παριστάνει κύκλο με κέντρο 6,,, και ακτίνα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΠΟΥ ΝΑ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΠΟΥ ΝΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΣΕ ΓΝΩΣΤΗ ΕΥΘΕΙΑ Για να βρω την εξίσωση ενός κύκλου, του οποίου μου δίνεται το κέντρο, ή, και ότι διέρχεται από ένα γνωστό σημείο,, γράφω την αντίστοιχη εξίσωση του κύκλου στην οποία μοναδικός άγνωστος είναι η ακτίνα ρ. Στη συνέχεια θα πρέπει οι συντεταγμένες του, να επαληθεύουν την εξίσωση. Από την εξίσωση που προκύπτει υπολογίζω την ακτίνα ρ άρα βρίσκω και την εξίσωση του κύκλου. Για να βρω την εξίσωση ενός κύκλου, του οποίου μου δίνεται το κέντρο, ή, και ότι εφάπτεται σε μια ευθεία :, γράφω την αντίστοιχη εξίσωση του κύκλου στην οποία μοναδικός άγνωστος είναι η ακτίνα ρ. Στη συνέχεια θα πρέπει η απόσταση του κέντρου από την ευθεία ε να είναι ιση με την ακτίνα δηλαδή : d, η λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης μου δίνει και την ακτίνα ρ άρα βρίσκω και την εξίσωση του κύκλου. Αν ένας κύκλος διέρχεται από δυο γνωστά σημεία, και, τότε οι συντεταγμένες των, επαληθεύουν την εξίσωση του. Έτσι προκύπτει ένα σύστημα με δυο εξισώσεις και δυο αγνώστους το οποίο λύνοντας το βρίσκω το κέντρο και την ακτίνα, άρα και την εξίσωση του κύκλου. Αν ένας κύκλος διέρχεται από δυο γνωστά σημεία, και, και το κέντρο, του κύκλου ανήκει σε μια ευθεία ε, τότε το, είναι σημείο τομής της μεσοκαθετου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και της ευθείας ε. Αν ένας κύκλος διέρχεται από δυο γνωστά σημεία, και, και επιπλέον ο κύκλος εφάπτεται σε μια ευθεία ε, τότε το κέντρο, είναι σημείο τομής της μεσοκαθετου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και της καθέτου της ε στο σημείο επαφής. Ένας κύκλος με κέντρο, και ακτίνα ρ εφάπτεται στον άξονα, αν και μόνο αν ισχύει :. Ένας κύκλος με κέντρο, και ακτίνα ρ εφάπτεται στον άξονα, αν και μόνο αν ισχύει :. Ένας κύκλος με κέντρο, και ακτίνα ρ εφάπτεται και στους δυο άξονες και, αν και μόνο αν ισχύει :. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Όταν διέρχεται από το σημείο, ii. Όταν διέρχεται από το σημείο, iii. Όταν εφάπτεται της ευθείας iv. Όταν εφάπτεται της ευθείας i. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C :. Άρα C :. ii. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C :. Άρα C :. iii. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία : άρα d,. Άρα C :. iv. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία : άρα d Άρα C :., Άσκηση 5 σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Όταν έχει κέντρο, και διέρχεται από το σημείο, ii. Όταν έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα, και 7,8 iii. Όταν έχει ακτίνα 5 και τέμνει τον άξονα στα σημεία, και 7, iv. Όταν διέρχεται από τα σημεία, και 8, και έχει το κέντρο του στην ευθεία v. Όταν τέμνει τον άξονα στα σημεία, και 8, και τον άξονα στα σημεία, και,. vi. Όταν εφάπτεται του άξονα στο σημείο, και διέρχεται από το σημείο,. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ vii. Όταν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας στο σημείο,. i. Αφού ο κύκλος έχει κέντρο, θα έχει εξίσωση της μορφής : C : όπου η ακτίνα του. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C :. Άρα C : 7 ii. Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το μέσον του ΑΒ άρα και 8 5 άρα,5. Η ακτίνα του κύκλου είναι C : Άρα : iii. Έστω ότι ο κύκλος έχει κέντρο,, επίσης έχει ακτίνα 5 άρα θα έχει εξίσωση : C : 5. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C : 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο 7, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. 7 C : Από και έχω αφαιρώ κατά μέλη και έχω : Στην για έχω : Άρα αν, τότε : C 5 Άρα αν, τότε C : 5 ή. iv. Αφού ο κύκλος διέρχεται από δυο γνωστά σημεία, και 8, και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία : τότε το κέντρο του κύκλου θα είναι το σημείο τομής της μεσοκαθετου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και της ευθείας. Έστω Μ το 8 μέσο του ΑΒ τότε 6 και άρα 6,. Επίσης, όμως άρα _ ί άρα 8 η κατακόρυφη δηλ. : 6

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ : 6 6 : 6 άρα το κέντρο του κύκλου είναι 6,6 και η ακτίνα είναι Άρα C : v. Έστω ότι ο κύκλος έχει κέντρο,, επίσης έχει ακτίνα άρα θα έχει εξίσωση : C :. Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C : Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο 8, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. 8 C : 8 8 Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C : Από και έχω αφαιρώ κατά μέλη και έχω : άρα στην : και άρα στην : Άρα 6, 9 και τέλος στην : δηλ. 85 και C : vi. Έστω ότι ο κύκλος έχει κέντρο,, επίσης έχει ακτίνα άρα θα έχει εξίσωση : C :. Αφού ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα ισχύει : άρα C : Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. C : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7 Όμως ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση του δηλ. : C Από και έχω αφαιρώ κατά μέλη και έχω : 6 9. Άρα στην : και άρα άρα : : C vii. Το κέντρο, του κύκλου θα είναι σημείο τομής της μεσοκαθετου η του ευθυγράμμου τμήματος ΑΟ και της καθετου ζ στην ευθεία : στο σημείο επαφής,. Έστω Μ το μέσο του ΑΟ τότε και άρα,. Επίσης _ άρα η μεσοκαθετος η του ΑΟ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης : άρα : :. Επίσης : όμως άρα και η ζ διέρχεται από το, άρα : 9 9 : :. Άρα τελικά : : : άρα, 8 9. Και η ακτίνα του κύκλου είναι : άρα η εξίσωση του κύκλου είναι : : C. Άσκηση 6 σελ. 88 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση : i. 6 ii. iii. 9 6 iv. 6 i. Στην εξίσωση 6 είναι 6,,

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Άρα άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο 6 6,,, και ακτίνα ii. Στην εξίσωση είναι,, Άρα 8 άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο ακτίνα 9,, 5, 6 και : iii. Στην εξίσωση 6 9, είναι 5,,. Άρα 9 άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο,, και ακτίνα 5 iv. Στην εξίσωση 6 είναι Άρα,, άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο ακτίνα ,, 5 και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΣΗΜΕΙΟ, ΜΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΜΕ ΚΥΚΛΟ ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΣΗΜΕΙΟ ΜΕ ΚΥΚΛΟ Έστω ένας κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ τότε : Ένα σημείο Α ανήκει στον κύκλο αν-ν ΚΑ=ρ Ένα σημείο Β είναι εσωτερικό του κύκλου αν-ν ΚΑ<ρ Ένα σημείο Γ είναι εξωτερικό του κύκλου αν-ν ΚΑ>ρ ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ Έστω ένας κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ και ε μια ευθεία τότε : Η ευθεία ε δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο αν-ν d, Η ευθεία ε έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο εφάπτεται στον κύκλο αν-ν d, Η ευθεία έχει δυο διαφορετικά κοινά σημεία με τον κύκλο τον τέμνει αν-ν d,. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ Έστω C και C δυο κύκλοι με κέντρα Κ, Λ και ακτίνες, αντίστοιχα. Οι C και C εφάπτονται εξωτερικά, αν-ν Οι C και C εφάπτονται εσωτερικά, αν-ν Οι C και C τέμνονται αν-ν Ο ένας από τους κύκλους είναι εξωτερικός του άλλου, αν-ν Ο ένας από τους κύκλους είναι εσωτερικός του άλλου, αν-ν ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται ο κύκλος C : 5 και τα σημεία Α-6,, Β, και Γ,5. Να βρείτε : i. Το κέντρο και την ακτίνα του ii. Τη σχετική θέση των σημείων Α, Β και Γ ως προς τον C. 5 Δίνεται ο κύκλος C: + =. Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω ευθειών με τον κύκλο C. α ε : + = β ε : + = γ ε : + = 6 Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω κύκλων: C : + = C : α + + = α όταν: α α= β α= 5- γ α= + 5 δα= ε α= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, δηλαδή έχει εξίσωση της μορφής :, τότε η εφαπτομένη ε του κύκλου στο σημείο, έχει εξίσωση : :. π.χ. η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο, είναι : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ, Αν ο κύκλος έχει κέντρο, και ακτίνα ρ, για να βρούμε την εφαπτομένη ε του κύκλου σε ένα σημείο του, εργαζόμαστε ως εξής : Ένα σημείο, ανήκει στην εφαπτομένη ε, αν και μόνο αν :... και από αυτή τη σχέση καταλήγουμε σε μια σχέση με, που είναι η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΣΗΣ Για να βρούμε την εφαπτομένη ε ενός κύκλου, η οποία έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ, εργαζόμαστε ως εξής : Βήμα : Αφού η ε έχει γνωστό λ, θεωρούμε ότι έχει εξίσωση της μορφής : : Βήμα : Η ε εφάπτεται στον κύκλο άρα ισχύει : d,... και από αυτή τη σχέση βρίσκουμε το β το οποίο αντικαθιστούμε στην και βρίσκουμε την εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Για να βρούμε την εφαπτομένη ε ενός κύκλου, για την οποία γνωρίζουμε ότι διέρχεται από γνωστό σημείο, δεν ανήκει στον κύκλο, εργαζόμαστε ως εξής : Βήμα : Από το σημείο, διέρχονται : Η κατακόρυφη : Όλες οι ευθείες της μορφής : Βήμα : Για την κατακόρυφη : ελέγχω αν ισχύει d,, αν ισχύει τότε είναι μια από τις ζητούμενες εφαπτομενες. Βήμα : Για τις ευθείες : απαιτώ να ισχύει d,... και από αυτή τη σχέση βρίσκουμε το λ το οποίο αντικαθιστούμε στην και βρίσκουμε την εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου λίγο πιο εμπλουτισμένη Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 5 σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Στο σημείο του, ii. Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία iii. Όταν είναι κάθετη στην ευθεία iv. Όταν διέρχεται από το σημείο 5, i. Η εφαπτομένη του κύκλου 5 στο σημείο, είναι : 5 ii. Στον κύκλο 5 είναι : κέντρο Ο, και ακτίνα 5. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου, τότε από εκφώνηση : // :. Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι της μορφής : :. Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι ιση με την ακτίνα, δηλ. d, ή 5, άρα : Αν 5 τότε : : 5 Αν 5 τότε : : 5 iii. Στον κύκλο 5 είναι : κέντρο Ο, και ακτίνα 5. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου, τότε από εκφώνηση : :, όμως άρα. Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι της μορφής : :. Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου από την ευθεία είναι ιση με την ακτίνα, δηλ. d, ή 5, άρα : Αν 5 τότε : : 5 Αν 5 τότε : : 5 iv. Στον κύκλο 5 είναι : κέντρο Ο, και ακτίνα 5. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου, τότε από εκφώνηση : η διέρχεται από το σημείο 5,. Από το σημείο 5, διέρχονται : η κατακόρυφη : 5 5, για να εφάπτεται η στον κύκλο πρέπει : 5 d, αδύνατο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Όλες οι ευθείες της μορφής : 5 5. Όμως πρέπει : 5 d, ή Για έχω : : 5 5 Για έχω : : Δίνεται κύκλος C: + 6 -= και το σημείο του Α5, -. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C στο Α. ε Α5, - Μ, C Κ, Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο επαφής σ.ε. Α5,- και έστω ένα τυχαίο σημείο Μ, που ανήκει στην ε. Τότε ισχύει :.Όμως 5,, και 5, άρα η γίνεται : Δηλαδή η εφαπτομένη είναι η ευθεία ε 9 Εφαρμογή σελ. 86 λίγο πιο εμπλουτισμένη Δίνονται οι κύκλοι C : 5 και C : 9 i.να βρείτε τη σχετική θέση των C, C ii. Να βρείτε τη σχετική θέση του σημείου 5, με τον C iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε του C στο σημείο 5,. iv.να βρείτε τη σχετική θέση της ευθείας ε με τον κύκλο C C έχει κέντρο, και ακτίνα 5 C έχει κέντρο i. Ο κύκλος, ενώ ο κύκλος, και ακτίνα. Έτσι : 5, 5, 8 και άρα ισχύει : δηλ. οι C και C τέμνονται. ii άρα το σημείο 5, είναι σημείο του C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ iii. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο επαφής σ.ε. 5, και έστω ένα τυχαίο σημείο Μ, που ανήκει στην ε. Τότε ισχύει : Όμως 5,, και 5, άρα η γίνεται : Δηλαδή η εφαπτομένη είναι η ευθεία ε ε Α5, - Μ, C Κ, iv. Για να βρω τη σχετική θέση της ε με τον κύκλο C έχω : 9 5 d,. Άρα η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο 5 C αφού η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ε είναι ιση με την ακτίνα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΧΟΡΔΗΣ ΚΥΚΛΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής του κύκλου C :, η οποία έχει μέσο το σημείο Μ,-. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Έστω ε η ζητούμενη χορδή και έστω, τότε θα ισχύει : : Όμως,, και, άρα η γίνεται :. Δηλαδή η ζητούμενη χορδή είναι η ευθεία ε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΥΚΛΩΝ : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η εξίσωση. i. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η παριστάνει εξίσωση κύκλου και στη συνέχεια να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. ii. Για τις παραπάνω τιμές του λ να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου. iii. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το κέντρο του παραπάνω κύκλου ανήκει στην ευθεία : i. Η εξίσωση : έχει :,, Είναι Πρέπει, έχω ή, άρα : Άρα για κάθε,, η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο,, και ακτίνα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ii. Έστω, ανήκει στο γεωμετρικό τόπο του κέντρου του παραπάνω κύκλου, τότε, θα ισχύει : η λογω της γίνεται,. Άρα τα κέντρα των παραπάνω κύκλων ανήκουν στην ευθεία :. iii. Το κέντρο, ανήκει στην ευθεία :, αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της δηλ. : 5.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ. 89 Β ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου 5 που διέρχονται από το σημείο,. Έστω, ανήκει στον γεωμετρικό τόπο που ψάχνω δηλαδή είναι μέσο χορδής κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α, τότε θα ισχύει : Όμως,, και, άρα η γίνεται :. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο,, 6 5 και ακτίνα 5. Άσκηση 7 σελ. 88 Β ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από την αρχή των αξόνων είναι ισο με το τετραπλάσιο της απόστασης από την ευθεία. Έστω, ανήκει στον γεωμετρικό τόπο που ψάχνω, και : τότε θα ισχύει : d, Έχω άρα Αν τότε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ,, έχω : 6 6 άρα η εξίσωση παριστάνει το σημείο,, Αν τότε :,, έχω : 6 6 άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο,, και ακτίνα 6 6. Τελικά ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το σημείο, κέντρο, και ακτίνα. και ο κύκλος με ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΜΕΓΙΣΤΕΣ & ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται ο κύκλος : C : 6 6. Να βρείτε : i. Το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C ii. Τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δυο σημεία του κύκλου C iii. Τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων από ένα σημείο του C iv. Τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση του σημείου Α, από ένα σημείο του C 5 Δίνεται ο κύκλος : C : και τα σημεία Α-7,9 και Β9,-. Να βρείτε : i. Το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C ii. Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΒ iii. Την εξίσωση της ευθείας ΑΒ iv. Τη μεγίστη και ελάχιστη απόσταση που έχει ένα σημείο της ευθείας ΑΒ από ένα σημείο του C 6 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων από τον κύκλο = 7 Δίνεται η εξίσωση + λ + =. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση να παριστάνει κύκλο C και το κέντρο του να ανήκει στην ευθεία ε: + λ =. Μετά να βρείτε τα σημεία του C που απέχουν μέγιστη και ελάχιστη απόσταση από το Ο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία ισαπέχουν από μια ευθεία δ, διευθετούσα και ένα σταθερό σημείο Ε, Εστία. p p Αν Μ, αυτά τα σημεία και Διευθετούσα : και Εστία, τότε: dm, δ = ΜΕ C : p. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Διευθετούσα dm,δ = ΜΕ C : p. p : και Εστία, p τότε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Η εφαπτομένη της παραβολή : p C : p στο σημείο, έχει εξίσωση : Η εφαπτομένη της παραβολή : p C : p στο σημείο, έχει εξίσωση : Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής : Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεια και η ημιευθεια t, που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει : i Εστία Ε, ii Εστία Ε,- iii Διευθετούσα δ : iv Διευθετούσα δ : 5 p i E, άρα p άρα C : 8 p ii Ε,- άρα p 6 άρα C : 6 p iii δ : p άρα C : p iv δ : 5 άρα 5 p άρα C : Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση : i 6 ii 8 iii i 6 ii iii iv p p άρα Εστία :,,, p Διευθετούσα : δ: p άρα Εστία : p,,, p Διευθετούσα : δ: p p άρα Εστία :,,, p Διευθετούσα : δ: 8 iv p p Διευθετούσα : δ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : p άρα Εστία :,, Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει : i Εστία Ε, ii Εστία Ε,- iii Διευθετούσα δ : iv Διευθετούσα δ : Να βρεθεί η εστία Ε και η διευθετούσα δ των παραβολών με εξισώσεις i. 8 ii., ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 5 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C :, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής η οποία : i. έχει εστία το σημείο Ε, ii. έχει διευθετούσα δ : = -. Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής 8, η οποία έχει μέσο το σημείο Μ,.. Δίνεται η παραβολή 6. Από σημείο Ρ-, φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ, ΡΒ προς την παραβολή. Να βρεθεί η εξίσωση ΑΒ.. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της παραβολής 8, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Ρ5,-7 5. Δίνεται η παραβολή. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της οι οποίες απέχουν από την κορυφή της απόσταση ίση με d. 6. Δίνεται η παραβολή. Η εφαπτομένη της παραβολής σε ένα σημείο της Α με χ= τέμνει τον άξονα χ χ στο Β. να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής. 7. Η παραβολή με εξίσωση a διέρχεται από το σημείο Α,, όπου a. i. Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σημείο Ε,. 5 ii. Έστω Ε το συμμετρικό της εστίας Ε ως προς τον άξονα. Αν Μ, είναι ένα ' οποιοδήποτε σημείο για το οποίο ισχύει, να αποδείξετε ότι το σημείο Μ, ανήκει στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, και ακτίνα. iii. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του παραπάνω κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α. 8. Α Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C : είναι παράλληλη στην ευθεία, η οποία Β Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος C : 6 εφάπτεται στην παραβολή C :. Δηλαδή, έχουν τις ίδιες εφαπτομένες στα κοινά σημεία τους 9. Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτομένες της παραβολής C : στα σημεία της Α, και Β, τέμνονται κάθετα σε σημείο που ανήκει στη διευθετούσα της.. Δίνεται η παραβολή =. Να βρείτε: i. την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής ii. τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με iii. την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία =. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Η ΕΛΛΕΙΨΗ Έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων, α, από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες Πρέπει: ΕΕ = γ<α. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Εγ,, Ε -γ, τότε:, β =α -γ. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Ε,γ, Ε,-γ τότε:, β =α -γ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εκκεντρότητα της έλλειψης ονομάζεται ο αριθμός ε= ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΕΛΛΗΨΗΣ Η εφαπτομένη της έλλειψης C : στο σημείο, έχει εξίσωση : : Η εφαπτομένη της έλλειψης C : στο σημείο, έχει εξίσωση : : Ανακλαστική Ιδιότητα Έλλειψης : Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία Ε ΜΕ, όπου Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -, και Ε, και μεγάλο άξονα ii όταν έχει εστίες τα σημεία Ε,-5 και Ε,5 και μεγάλο άξονα 6 i Ε -, και Ε, άρα γ=, μεγάλος άξονας άρα 5 Επίσης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Άρα C : 5 9 ii Ε,-5 και Ε,5 άρα γ=5, μεγάλος άξονας 6 άρα 6 Επίσης 69 5 Άρα C : 69 Να βρείτε τα μήκη αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων : i ii 69 6 i άρα και άρα Μεγάλος Άξονας :, Μικρός Άξονας, Εστίες,,, Εκκεντρότητα : 69 6 ii άρα 69 και άρα Μεγάλος Άξονας : 6, Μικρός Άξονας, Εστίες, 5,,5 5 Εκκεντρότητα : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει : i όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -, και Ε, και μικρό άξονα 6 ii όταν έχει εστίες τα σημεία Ε,- και Ε, και μεγάλο άξονα Να βρείτε τα μήκη αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων : i ii 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Υπερβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τα οποία έχουν σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων, α, από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες, Πρέπει: ΕΕ = γ>α Αν Μ, αυτά τα σημεία και Εγ,, Ε -γ, τότε:, β =γ -α. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Ε,γ, Ε,-γ τότε: β =γ -α., ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εκκεντρότητα της υπερβολής ονομάζεται ο αριθμός, Ασύμπτωτες τις υπερβολής C : είναι οι ευθείες : και :, ενώ της : C οι ευθείες : και :. Αν α=β, τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής υπερβολή και έχει εξίσωση της μορφής : C : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Η εφαπτομένη της υπερβολής C : στο σημείο, έχει εξίσωση : : Η εφαπτομένη της έλλειψης C : στο σημείο, έχει εξίσωση : : Ανακλαστική Ιδιότητα Υπερβολής : Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία Ε ΜΕ, όπου Ε, Ε οι εστίες της υπερβολής. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -, και Ε, και κορυφές τα σημεία Α -5, και Α5, ii όταν έχει εστίες τα σημεία Ε,- και Ε, και εκκεντρότητα i Ε -, και Ε, άρα γ=, κορυφές τα σημεία Α -5, και Α5, άρα 5 Επίσης 69 5 Άρα C : 5 ii Ε,- και Ε, άρα γ=, εκκεντρότητα 5 6 Επίσης Άρα C : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών : i 9 6 ii i άρα και 9 άρα Εστίες : 5,, 5,, Εκκεντρότητα : Ασύμπτωτες : : και : ii ισοσκελής υπερβολή άρα και άρα 8 Εστίες :,,,, Εκκεντρότητα : Ασύμπτωτες : : και : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει : i όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -5, και Ε5, και απόσταση κορυφών 8 ii όταν έχει εστίες : 5,, 5, και εκκεντρότητα : 5. Να βρείτε τις εστίες, τις κορυφές, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών: i 9 6 ii 9 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 03-03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΒΓ=ΑΓ ΑΒ ΑΜ= ΑΒ+ΑΓ ( ) u= x i+ y j= ( x, y) u = x + y y λ =, x 0 u x Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση Κύκλου Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση y y ε Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου y ρ στο σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

x y Ax By 0 για τις διάφορες τιμές των Α, Β,Γ (μον.8)

x y Ax By 0 για τις διάφορες τιμές των Α, Β,Γ (μον.8) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 94 Ον/μο:.. Β Λυκείου Ύλη:Διανύσματα- Ευθεία Θετ-Τεχν Κατ. Κωνικές τομές 6-01-14 ΘΕΜΑ 1 ο : A.1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 Ε_.ΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω a, v

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ ΣΥΝΤΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΥ Α( 1, y 1 ΑΠ ΤΗΝ ΑΡΧΗ (0, 0 των αξόνων: (A = + y 1 1 Αν έχουμε τον μιγαδικό αριθμό 1 = 1 + i y 1 με εικόνα στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: 01/03/2015. Θέμα Β. Θέμα Α. Α 1. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73.

Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: 01/03/2015. Θέμα Β. Θέμα Α. Α 1. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73. Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: /3/5 Θέμα Α Α. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73. Α.. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 84. Α 3. i --> Σ, ii --> Σ, iii --> Λ, iv --> Λ, v --> Σ Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Κύκλος Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyks.gr 1 3 / 1 1 / 2 0 1 6 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις και τεχνικές σε 5 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

(Study Guide for Final Test)

(Study Guide for Final Test) Homework #6, #7, #8 & #9 Analytic Geometry (Study Guide for Final Test) 1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του κύκλου, και την ακτίνα r του κύκλου: 1. Κ (, ) 2. r= 2. Να βρείτε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 87 89 Οµάδας. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(, 3 ) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, )

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Π. Δρακουλάκος. 1. Αφού η C έχει άξονα τον x x, η εξίσωση της είναι της μορφής y = 2ρx, ρ Εύρεση του ρ.

( ) ( ) ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Π. Δρακουλάκος. 1. Αφού η C έχει άξονα τον x x, η εξίσωση της είναι της μορφής y = 2ρx, ρ Εύρεση του ρ. ΠΑΑΟΛΗ ΘΕΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Π Δρακουλάκος Αφού η C έχει άξονα τον, η εξίσωση της είναι της μορφής = ρ, ρ Εύρεση του ρ ος τρόπος: Αφού η = ρ, = +, = ρ και η = + εφάπτονται, το σύστημα έχει μία διπλή λύση =

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού

Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού ΘΕΜΑ ο Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού (Α Να χαρακτηρίσετε με τις λέξεις ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω πέντε προτάσεις μεταφέροντας τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - - Γ Λυκείου ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M(x, y) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα