ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
|
|
- Αγάθη Ελευθερίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία της παραγράφου Παραδείγματα Εφαρμογές Ερωτήσεις κατανόησης Προτεινόμενες ασκήσεις Προβλήματα Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου
2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αλγεβρικές παραστάσεις.. Β. Πράξειις με μονώνυμα ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΥ Οι πράξεις ανάμεσα σε μονώνυμα είναι πράξεις ανάμεσα σε αριθμούς. Πράγματι, οι μεταβλητές των μονώνυμων αντιπροσωπεύουν αριθμούς. Άρα, στις πράξεις μεταξύ μονώνυμων ισχύουν οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν στους αριθμούς. Πρόσθεση μονώνυμων Το άθροισμα δύο ή περισσότερων όμοιων μονώνυμων είναι ίσο με ένα μονώνυμο που: Είναι όμοιο με τα αρχικά μονώνυμα. Έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών των μονώνυμων. x y 4x y 7x y αβγ 5αβγ 6αβγ αβγ
3 Αφαίρεση μονώνυμων Η διαφορά δύο όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που: Είναι όμοιο με τα αρχικά μονώνυμα. Έχει συντελεστή τη διαφορά των συντελεστών των μονώνυμων. 6κ λκ λ 4κ λ 5xy xy 5 xy Αν δύο μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε το άθροισμα και η διαφορά τους δεν είναι μονώνυμο. xy + xα Τα μονώνυμα δεν είναι όμοια άρα δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε. Πολλαπλασιασμός μονώνυμων Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των μονώνυμων. Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή γινόμενο όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της). x yz 4xy x y z 6 x y z α βγ 7 α 4 βγ 5 6 α β γ 6α βγ Διαίρεση μονώνυμων Η διαίρεση δύο μονώνυμων ορίζεται, όπως η διαίρεση αριθμών, δηλαδή: πολλαπλασιασμός του πρώτου μονώνυμου με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. α β 7 : αβ 4 α β 7 αβ 4 7 α β 74 α β α β 4 αβ Η διαίρεση δύο μονώνυμων δεν είναι πάντα μονώνυμο x z : 5αβx 4x z 5αβx 4x z 4 x z 5αβx 5 x αβ 4xz 5 αβ 5
4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Παράδειγμα ο Να γίνουν οι πράξεις: α) 7αx αx 4αx β) xy x y 4 γ) αβ : αβ 4 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το παράδειγμα: Για να λύσω το παράδειγμα θα εφαρμόσω αυτά που έχω μάθει στη θεωρία για την πρόσθεση και την αφαίρεση όμοιων μονώνυμων (α ερώτημα), τον πολλαπλασιασμό μονώνυμων (β ερώτημα) και τη διαίρεση μονώνυμων (γ ερώτημα). Λύση 7αx αx 4αx α) Τα τρία μονώνυμα έχουν κύριο μέρος ίσο με αx άρα είναι όμοια. Επομένως μπορώ να τα προσθέσω ή να τα αφαιρέσω. 7 4αx Κάνω ομώνυμα τα κλάσματα μέσα στην παρένθεση με παρονομαστή το. 4 8 αx Βάζω όλα τα κλάσματα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή το. 4 8 αx Κάνω τις πράξεις στον αριθμητή του κλάσματος. 7 αx 4
5 β) xy x y 4 Ο συντελεστής του γινόμενου είναι ίσος με το γινόμενο των συντελεστών. Το κύριο μέρος είναι το γινόμενο όλων των μεταβλητών με εκθέτη το άθροισμα των αντίστοιχων εκθετών. x y 4 Κάνουμε τις πράξεις. xy 4 4 Απλοποιούμε το κλάσμα. xy γ) αβ : αβ 4 Η διαίρεση δύο μονώνυμων ορίζεται ως ο πολλαπλασιασμός του πρώτου μονώνυμου με το αντίστροφο του δεύτερου. 4 αβ αβ Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα που είναι σύνθετο σε απλό. Είναι αβ αβ αβ α β 4 αβ Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. των κλασμάτων. αβ 4αβ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α ν : α μ α ν μ. 6 α β 4 Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες των δυνάμεων και απλοποιούμε το κλάσμα. αβ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α ν. ν α α β 5
6 Παράδειγμα ο Από το σημείο Α αφήνουμε ένα σώμα να πέσει στο έδαφος. Αν ο χρόνος t σε sec που μεσολαβεί μέχρι να φτάσει στο έδαφος είναι διπλάσιος του χρόνου που θα έκανε, αν το αφήναμε να πέσει από το σημείο Β, να βρεθεί το μονώνυμο που εκφράζει την απόσταση ΑΒ. Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το παράδειγμα:? Τι κίνηση εκτελεί το σώμα κατά την κίνησή του από το σημείο Α προς το έδαφος; Το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση, δηλαδή ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 m/sec. Οι τύποι που ισχύουν στην ελεύθερη πτώση είναι: u gt και? Πώς μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΒ ως μονώνυμο; Χρησιμοποιώντας τον τύπο Λύση h gt h gt. μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΕ συναρτήσει του χρόνου t. Αν εκφράσουμε και την απόσταση ΒΕ με έναν αντίστοιχο τρόπο τότε μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΒ ως τη διαφορά ΑΕ ΒΕ. Αν κάνουμε τις πράξεις τότε θα φτάσουμε σε ένα μονώνυμο. ΑΕ gt Αντικαθιστούμε όπου g το 0. ΑΕ 0t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. ΑΕ 5t Σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης, ο χρόνος για να φτάσει το σώμα στο έδαφος ξεκινώντας από το σημείο Β είναι διπλάσιος του αντίστοιχου χρόνου αν ξεκινήσει από το σημείο Α. Επομένως ο χρόνος για να φτάσει το σώμα στο έδαφος, ξεκινώντας από το σημείο Β είναι t. Άρα η απόσταση ΒΕ είναι: 6
7 ΒΕ t g Αντικαθιστούμε όπου g το 0. t ΒΕ 0 Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν α α β β ν ν. ΒΕ t 5 Είναι 4. ΒΕ 5 t 4 Για να υπολογίσουμε την απόσταση ΑΒ αρκεί να αφαιρέσουμε από την απόσταση ΑΕ την απόσταση ΒΕ. ΑΒ ΑΕ ΒΕ Αντικαθιστούμε όπου ΑΕ το 5t και όπου ΒΕ το 5 t. 4 ΑΒ ΑΒ ΑΒ ΑΒ 5t 5 t t t t 4 Τα δύο μονώνυμα στο δεύτερο μέλος είναι όμοια, άρα μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα. Βάζουμε τα ομώνυμα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή το 4. Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος. ΑΒ 5 t 4 Απάντηση Είναι ΑΒ 5 t. 4 7
8 Παράδειγμα ο Μια τσιμεντένια κυλινδρική κολώνα, που έχει ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ, ενισχύεται περιμετρικά με τσιμέντο και αποκτά ακτίνα βάσης διπλάσια της αρχικής. Ο μηχανικός ισχυρίζεται ότι το τσιμέντο που προστέθηκε έχει όγκο τριπλάσιο του αρχικού όγκου της κολώνας. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το παράδειγμα:? Ποιον τύπο πρέπει να χρησιμοποιήσω για να υπολογίσω τον όγκο του κυλίνδρου; Ο όγκος κυλίνδρου με ακτίνα βάσης ίση με ρ και ύψος υ είναι ίσος με πρ υ.? Πώς θα ελέγξω αν είναι σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός; Για να ελέγξω αν είναι σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός: Θα υπολογίσω πόσος ήταν ο αρχικός όγκος. Θα υπολογίσω πόσος ήταν ο τελικός όγκος. Θα αφαιρέσω από τον τελικό όγκο τον αρχικό όγκο για να βρω τον όγκο που προστέθηκε. Θα ελέγξω αν ο όγκος που προστέθηκε είναι τριπλάσιος από τον αρχικό όγκο. Λύση Ο αρχικός όγκος V της τσιμεντένιας κυλινδρικής κολώνας ήταν V πρ υ. Μετά την ενίσχυση της κολώνας, η κολώνα αποκτά διπλάσια ακτίνα βάσης, δηλαδή ακτίνα ίση με ρ. Ο όγκος V της ενισχυμένης κυλινδρικής κολώνας είναι V π(ρ) υ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ) ν α ν β ν. V π 4ρ υ Μετακινούμε τον συντελεστή αριστερά. Άρα ο όγκος V της ενισχυμένης κυλινδρικής κολώνας είναι: V 4πρ υ 8
9 Το τσιμέντο που προστέθηκε είναι ίσο με τη διαφορά V V του τελικού από τον αρχικό όγκο. V V Αντικαθιστούμε όπου V το 4πρ υ και όπου V το πρ υ. 4πρ υ πρ υ Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. (4 )πρ υ Κάνουμε την αφαίρεση μέσα στην παρένθεση. πρ υ Επομένως είναι V V πρ υ. Άρα ο όγκος που προστέθηκε (πρ υ) είναι τριπλάσιος από τον αρχικό όγκο (πρ υ). 9
10 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ η ερώτηση κατανόησης Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο. β) Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. γ) Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο. δ) Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Πώς θα σκεφτώ για να απαντήσω στην ερώτηση:? Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο; Ναι, το άθροισμα δύο ή περισσότερων όμοιων μονώνυμων είναι πάντα ένα μονώνυμο (όμοιο με τα αρχικά). Βάζουμε Σ? Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο; Όχι πάντα. Όπως μάθαμε στη θεωρία, η διαφορά δύο όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο (όμοιο με τα αρχικά). Αν όμως τα μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε η διαφορά τους δεν μπορεί να γραφεί ως μονώνυμο. Βάζουμε Λ? Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο; Ναι, το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι πάντα μονώνυμο. Βάζουμε Σ? Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο; Όχι. Το πηλίκο δύο μονώνυμων δεν είναι πάντα μονώνυμο. Βάζουμε Λ 0
11 Απάντηση α) Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο. Σ β) Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Λ γ) Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Σ δ) Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Λ η ερώτηση κατανόησης Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) 5x x... β) 5x x... γ) x y x... δ) 4x y yx... ε) xy y... στ) 6x y : xy... ζ) 5x ω... x y 4x 0x ω η) θ) x y... 4x y... y Πώς θα σκεφτώ για να απαντήσω στην ερώτηση: Για να απαντήσω στην ερώτηση πρέπει να κάνω τις πράξεις ανάμεσα στα μονώνυμα, όπου αυτό είναι δυνατό. Απάντηση α) 5x x Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 5 x Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. x β) 5x x Για να βρούμε το γινόμενο δύο μονώνυμων πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές τους και τις αντίστοιχες μεταβλητές τους. 5x Κάνουμε την πρόσθεση στον εκθέτη του x. 5 0x γ) x y x Τα μονώνυμα x και x είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.
12 x y Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. 5x y δ) 4x y yx Είναι x y yx. Επομένως τα δύο μονώνυμα είναι όμοια και μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. 4 x y Κάνουμε την αφαίρεση μέσα στην παρένθεση. x y ε) xy y Για να βρούμε το γινόμενο δύο μονώνυμων πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές τους και τις αντίστοιχες μεταβλητές τους. xy Κάνουμε την πρόσθεση στον εκθέτη του y. xy στ) 6x y : xy Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο με το αντίστροφο του δεύτερου. 6x y Πολλαπλασιάζουμε. xy 6x y xy Απλοποιούμε το κλάσμα. x μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. x x x ζ) 5x ω... 0x ω Πρέπει να συμπληρώσουμε μέσα στην παρένθεση το μονώνυμο που λείπει.
13 Ξέρουμε ότι το γινόμενο δύο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των δύο μονώνυμων. Αν είναι α ο συντελεστής το μονώνυμου που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση είναι: 5 α 0. Επομένως είναι α 0 : 5, δηλαδή ο συντελεστής του μονώνυμου που πρέπει να συμπληρώσουμε είναι. Ακόμη ξέρουμε ότι το γινόμενο δύο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο: που έχει κύριο μέρος το γινόμενο των μεταβλητών των μονώνυμων με εκθέτες το άθροισμα των εκθετών των αντίστοιχων μεταβλητών στα δύο μονώνυμα. Άρα είναι: Αν είναι β ο εκθέτης του x τότε: x 4 x β x 6, δηλαδή x 4 + β x 6. Επομένως είναι 4 + β 6 β 6 4, δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος του το x. Αν είναι γ ο εκθέτης του ω τότε: ω ω γ ω 4, δηλαδή ω + γ ω 4. Επομένως είναι + γ 4 γ 4, δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος του το ω. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο μονώνυμο είναι το x ω. η) x y... 4x y Πρέπει να συμπληρώσουμε στον παρονομαστή το μονώνυμο που λείπει. Το πηλίκο των συντελεστών των μονώνυμων στο πρώτο μέλος πρέπει να είναι ίσο με τον αριθμό στο δεύτερο μέλος. Αν είναι α ο συντελεστής του μονώνυμου τότε: 44α α α. α 4 δηλαδή ο συντελεστής του μονώνυμου που πρέπει να συμπληρώσουμε είναι.
14 Ακόμη, το πηλίκο των μεταβλητών στον πρώτο μέλος πρέπει να είναι ίσο με το πηλίκο των μεταβλητών στο δεύτερο μέλος. Άρα είναι: Αν είναι β ο εκθέτης του x τότε: Αν είναι δ ο εκθέτης του y τότε: x x β x, δηλαδή x β x. y δ y y, δηλαδή yδ y y. Επομένως είναι β β β δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος του το x. Επομένως είναι y δ y δ δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος του το y. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο μονώνυμο είναι το xy. θ) x y... 4x y Παρατηρούμε ότι τα δύο μονώνυμα που μας δίνονται έχουν το ίδιο κύριο μέρος (x y), άρα είναι όμοια. Αν είναι Α το ζητούμενο μονώνυμο τότε είναι: x y A 4x y Λύνουμε ως προς Α. x y + 4x y A A ( + 4)x y Τα μονώνυμα x y και 4x y είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. Α 7x y Άρα το ζητούμενο μονώνυμο είναι το 7x y. 4
15 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άσκηση η Να κάνετε τις πράξεις: α) 7x y 4x y β) 4αx 6αx αx γ) 6x 9 x 4 4 δ) 05αβ, 05αβ, 05αβ, ε) xy ω xy, ω στ) 5 x 4 x x Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση: Για να λύσω την άσκηση, θα κάνω τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις ανάμεσα στα μονώνυμα. Παρατηρώ ότι τα μονώνυμα σε κάθε πολυώνυμο είναι όμοια μεταξύ τους, άρα οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις μπορούν να γίνουν εύκολα. Λύση α) 7x y 4x y Προσθέτουμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας τους συντελεστές τους. 7 4x y Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. x y β) 4αx 6αx αx Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές τους. 46 αx αx Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. γ) 9 6x x Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, αφαιρώντας τους συντελεστές τους. 5
16 9 6 x Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα. 6 9 x Βάζουμε τα ομώνυμα κλάσματα σε ένα κλάσμα με παρονομαστή το. 9 x Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος. x δ) 05αβ, 05αβ, 05αβ, Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές τους. 05, 05, 05, αβ Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. 0,4αβ 4 4 ε) xy ω xy, ω 5 Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, αφαιρώντας τους συντελεστές τους., xy ω 5 4 Μετατρέπουμε το, σε δεκαδικό κλάσμα. xy ω Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα. Είναι Ε.Κ.Π.(5, 0) 0. xy ω Βάζουμε τα ομώνυμα κλάσματα σε ένα κλάσμα με παρονομαστή το 0. 4 xy ω 0 4 Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος. 8 4 xy ω xy ω στ) x 4 x x Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές τους. 6
17 4 x Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα μέσα στην παρένθεση. 4 x Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. 0 x 0 Άσκηση η Να υπολογίσετε τα γινόμενα: α) x 5x β) 6x x 4 γ) xy x y δ) x y xy 4 ω ε) 5 xy x ω yω 5 6 ζ) αβ 4αβ στ) 4 x α xα 4 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση: Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή: το γινόμενο των συντελεστών των μονώνυμων. Κύριο μέρος: το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή γινόμενο όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της). Λύση α) x 5x Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 5x Κάνουμε τις πράξεις. 7
18 5x β) 6x x 4 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 6 x 4 Κάνουμε τις πράξεις. 8 x x 5 Απλοποιούμε το κλάσμα. γ) xy x y Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. x y Κάνουμε τις πράξεις. 4 6x y δ) x y xy 4 ω Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 4 x y ω Κάνουμε τις πράξεις. 5 6x y ω ε) αβ 4αβ Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 4α β Κάνουμε τις πράξεις. 4 αβ 6 στ) 4 x α xα 4 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 4 x α 4 Κάνουμε τις πράξεις. 8
19 4 4 5 x α 4 x α ζ) xy x ω yω 5 6 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 5 x y ω 5 6 Κάνουμε τις πράξεις. Επειδή έχουμε αρνητικούς παράγοντες, το γινόμενο είναι αρνητικό ( ) xyω Απλοποιούμε το κλάσμα. 4 4 xyω Άσκηση η Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α) α : α β) : 8x y xy γ) 5 6 αβ : αβ 5 δ) 084xω, 5 : 0xω, ε) 4 x αω: x α στ) 05αβ, : αβ 0 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση: Για να υπολογίσω κάθε ένα από τα παραπάνω πηλίκα των μονώνυμων θα πολλαπλασιάσω το κάθε πρώτο μονώνυμο (διαιρετέο) με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου (διαιρέτη). Λύση α) α : α Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. α Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. α α α μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 9
20 4α 4α 8x y xy β) : Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 8x y xy 8x y xy μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 4x y Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 4xy 4x y Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α ν. ν α γ) 6 αβ 5 : αβ 5 Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 5 αβ 6 αβ 5 Μετατρέπουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλό. 5 αβ 5 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. των κλασμάτων. 6αβ 5 5α β 6αβ μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 5 α β αβ 8 δ) 084xω, 5 : 0xω, Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 084xω, 5 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 0xω, 084xω, 0, xω 5 μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 084, Ακόμη, είναι 7 0,. 5 7x ω Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 0
21 7xω ε) 4 x αω: x α 4 Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 4 x αω 4 x α Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα από σύνθετο σε απλό. 4 x α 4 x αω Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 4 4x αω x α μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 4 4x α ω Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 4xα ω στ) 05αβ 7 7, : αβ 0 Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 05αβ, 7 7 αβ 0 Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα από σύνθετο σε απλό. 05αβ, 7 0 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. Είναι 0, α β 5α β 7α β 7 μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 5 α β 7 7 Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 5 αβ 5 7 Άσκηση 4 η Να κάνετε τις πράξεις:
22 α) xy 6xy 4 4 β) x y : 8x y γ) xy ω xy Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων; Όπως έχουμε μάθει η σειρά εκτέλεσης των πράξεων είναι: Υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.? Με ποιον τρόπο θα λύσω την άσκηση; Πρώτα θα υπολογίσω τη δύναμη. Στη συνέχεια θα εκτελέσω τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση των μονώνυμων. Λύση α) xy 6xy Υπολογίζουμε τη δύναμη εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν αβ α β. x y 6xy Είναι α μ ν. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων 9 μ ν α. xy 6xy 9 4 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 6 x y 9 4 Κάνουμε τις πράξεις και απλοποιούμε το κλάσμα. xy β) x y : 8x y Υπολογίζουμε τη δύναμη εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν αβ α β.
23 4 x y : 8x y 8x 6 y 9 : 8x y 4 Είναι α μ ν 8. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων μ ν α. Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 8x y 6 9 8x y 4 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 8x y 8x y Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των μ ν μ ν δυνάμεων α : α α. x y 6 94 Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 5 xy 4 γ) xy ω xy Υπολογίζουμε τις δυνάμεις εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν αβ α β. Είναι x y 4 ω x y 4. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α μ ν μ ν α. 4x y 8 ω 6 xy 6 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές x y ω 8 6 4x y ω Άσκηση 5 η Να βρείτε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων. Ποιες από τις εκφράσεις που βρήκατε είναι μονώνυμα;
24 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν του τετραγώνου, του ορθογώνιου και του ημικύκλιου; Το εμβαδόν τετραγώνου με πλευρά x είναι ίσο με x. Το εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές x και y είναι ίσο με x y. Το εμβαδόν κύκλου με ακτίνα x είναι ίσο με πx. Άρα το εμβαδόν ημικύκλιου (μισού κύκλου) με ακτίνα x είναι ίσο με πx. Λύση α) Το σχήμα αποτελείται από τετράγωνα. Το κάθε τετράγωνο έχει πλευρά ίση με x. Άρα το κάθε τετράγωνο έχει εμβαδόν x. Τα τετράγωνα έχουν εμβαδόν ίσο με x. β) Το σχήμα αποτελείται από ορθογώνια. Το κάθε ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y. Άρα το κάθε ορθογώνιο έχει εμβαδόν xy. Τα δύο ορθογώνια έχουν εμβαδόν ίσο με xy. γ) Το σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο. Το τετράγωνο έχει πλευρά ίση με x. Άρα το εμβαδόν του είναι ίσο με x. Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι xy. Το εμβαδόν του σχήματος είναι x + xy. δ) Το σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο και ένα ημικύκλιο. Το τετράγωνο έχει πλευρά ίση με x. Άρα το εμβαδόν του είναι ίσο με (x) 4x. 4
25 Το ημικύκλιο έχει διάμετρο ίση με x, άρα η ακτίνα του είναι ίση με x. Το εμβαδόν του είναι ίσο με Το εμβαδόν του σχήματος είναι πx. 4x πx 4 πx ε) Το σχήμα αποτελείται από ένα ορθογώνιο και ένα ημικύκλιο. Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι xy. Το ημικύκλιο έχει διάμετρο ίση με x, άρα η ακτίνα του είναι ίση με x. Το εμβαδόν του είναι ίσο με Το εμβαδόν του σχήματος είναι πx. xy πx. Απάντηση α) Το εμβαδόν είναι ίσο με x. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο. β) Το εμβαδόν είναι ίσο με xy. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο. γ) Το εμβαδόν είναι ίσο με x + xy. Η παράσταση δεν είναι μονώνυμο. δ) Το εμβαδόν είναι ίσο με 4 π x ε) Το εμβαδόν είναι ίσο με xy πx. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο.. Η παράσταση δεν είναι μονώνυμο. Επομένως, οι παραστάσεις που είναι μονώνυμα είναι οι α, β, δ. Άσκηση 6 η Να συγκρίνετε το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου με το άθροισμα των εμβαδών των κίτρινων τριγώνων. Η 5
26 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν του τριγώνου; Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιούμε τον τύπο Ε (βάση ύψος)? Τι πρέπει να κάνουμε για να λύσουμε την άσκηση; Για να λύσουμε την άσκηση πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ και το συνολικό εμβαδόν των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΕ. Λύση Τρίγωνο ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο) Το τρίγωνο ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο) έχει βάση ίση με x και ύψος ίσο με y. Επομένως το εμβαδόν του ΓΔΕ είναι (ΓΔΕ) xy. Τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΕ (κίτρινα τρίγωνα) Το εμβαδόν των δύο τριγώνων μπορεί να προκύψει αν αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο). Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει διαστάσεις x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι (ΑΒΓΔ) xy. Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΕ είναι (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) (ΑΒΓΔ) (ΓΔΕ) Αντικαθιστούμε όπου (ΑΒΓΔ) το xy και όπου (ΓΔΕ) το xy. (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) xy xy Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα. (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) xy Αλλά 6
27 (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) xy Ώστε: (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) xy Απάντηση Το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των κίτρινων τριγώνων. 7
28 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ Άσκηση η Να βρεθούν οι τιμές των κ και λ ώστε να ισχύουν οι ισότητες 4α β α β αβ κ λ κ α) 5x y : x y 5x y β) : κ λ κ λ Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Τι σημαίνει κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες; Κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες σημαίνει ότι το πηλίκο της διαίρεσης του πρώτου μέλους είναι ίσο με το μονώνυμο του δεύτερου μέλους.? Πώς θα λύσουμε την άσκηση; Για να λύσουμε την άσκηση πρέπει Να κάνουμε τη διαίρεση των δύο μονώνυμων στα πρώτα μέλη. Να βρούμε για ποιες τιμές των κ και λ τα μονώνυμα που προέκυψαν στα πρώτα μέλη είναι ίσα με τα αντίστοιχα μονώνυμα στα δεύτερα μέλη.? Πώς διαιρούμε δύο μονώνυμα; Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου. 8
29 Λύση κ λ κ 5x y x y 5x y α) : κ λ 5x y 5x y κ x y Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο πρώτο μέλος. κ 5x y κ x y λ 5x y Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των μ ν μ ν δυνάμεων α : α α. κκ λ 5x y 5x y Για να είναι τα δύο μονώνυμα ίσα πρέπει οι εκθέτες των αντίστοιχων μεταβλητών να είναι ίσοι μεταξύ τους. κ κ λ Λύνουμε τις εξισώσεις για να βρούμε τις τιμές των κ και λ. κ 4 κ λ λ 4α β α β αβ β) : κ λ κ λ Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. κ λ 4α β αβ κ λ α β Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο πρώτο μέλος. κ λ 4α β κ λ αβ Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των μ ν μ ν α β δυνάμεων α : α α. κ κ λ λ α β αβ Για να είναι τα δύο μονώνυμα ίσα πρέπει οι εκθέτες των αντίστοιχων μεταβλητών να είναι ίσοι μεταξύ τους. κ κ λλ Λύνουμε τις εξισώσεις για να βρούμε τις τιμές των κ και λ. Απάντηση κ 4 κ 4 λ 4 λ α) Είναι κ και λ. β) Είναι κ 4 και λ. 9
30 Άσκηση η Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες x και 4x αντιστοίχως. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων. Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν ενός κύκλου; Ο τύπος για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα ρ είναι Ε πρ.? Πώς θα υπολογίσουμε τη ζητούμενη ακτίνα; Για να υπολογίσουμε τη ζητούμενη ακτίνα πρέπει: Να βρούμε το συνολικό εμβαδόν των δύο κύκλων. Να βρούμε την ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το παραπάνω εμβαδόν. Λύση Το εμβαδόν του κύκλου με ακτίνα x είναι Ε π(x) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν Ε π x Είναι 9. Ε 9πx Το εμβαδόν του κύκλου με ακτίνα 4x είναι αβ α β. Ε π(4x) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν Ε π 4 x Είναι 4 6. Ε 6πx αβ α β. Το άθροισμα των δύο παραπάνω κύκλων είναι ίσο με 9πx + 6πx (9 + 6)πx 5πx. E + E 5πx Αν συμβολίσουμε με ρ τη ζητούμενη ακτίνα τότε θα πρέπει να ισχύει πρ 5πx. 0
31 Αρκεί να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση για να βρούμε τη ζητούμενη ακτίνα ρ. πρ 5πx Απλοποιούμε το π από τα δύο μέλη. ρ 5x Ισχύει x α x α για κάθε θετικό αριθμό α. ρ 5x Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των ριζών αβ α β για μη αρνητικούς αριθμούς α και β. ρ 5 x Είναι 5 5 γιατί 5 5. Είναι αριθμός (το x είναι ακτίνα κύκλου άρα x > 0). x x x γιατί το x είναι θετικός ρ 5x Απάντηση Η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων είναι 5x. Άσκηση η Να κάνετε τις πράξεις: α) α 7α β) δ) 7x 5x 4x ε) 4μ 5μ γ) 9R R R 7R 4β 8β β στ) y y y Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Τι μου ζητάει η άσκηση να κάνω; Η άσκηση μου ζητάει να κάνω τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις ανάμεσα στα μονώνυμα. Σε κάθε πολυώνυμο όμως, υπάρχουν όμοια μεταξύ τους μονώνυμα. Άρα, οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις μπορούν να γίνουν εύκολα.? Αν κάποιο μονώνυμο δεν έχει συντελεστή τότε ποιος συντελεστής εννοείται ότι υπάρχει; Αν κάποιο μονώνυμο δεν έχει συντελεστή τότε εννοείται ότι ο συντελεστής του είναι η
32 μονάδα (). Λύση α) α 7α Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 7 α 40α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. β) 4μ 5μ Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 4 5μ μ μ Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. γ) 4β 8β β Τα δύο από τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 4 β 8β 6β 8β Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. δ) 7x 5x 4x Τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε x Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. 6x ε) 9R R R 7R Τα τέσσερα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 9 7R Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. 4R στ) y y y Τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.
33 y Γράφουμε το ως για να είναι ομώνυμο κλάσμα με τα άλλα δύο y Βάζουμε τα τρία κλάσματα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή το. y Κάνουμε τις πράξεις στον αριθμητή του κλάσματος. 0y 0 Άσκηση 4 η Να κάνετε τις πράξεις: α) xy7 ω β) δ) 0xyω : 5x 4 xy xy γ) xx x αxy 9yx ε) β : αβ στ) 75xyα : 5αy ζ) : 6αβ x αβ η) 4x y : xy θ) αβγ αβ 4α γ Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ή περισσότερα μονώνυμα; Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των μονώνυμων και Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή γινόμενο όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της).? Πώς διαιρούμε δύο μονώνυμα; Για να διαιρέσουμε τα δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.
34 Λύση α) xy7 ω Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 7 xyω Κάνουμε τις πράξεις. 4xyω β) 4 xy xy Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. x y 4 Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες. xy 6 4 γ) xx x αxy 9yx Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 9x αy Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες. 9 x αy δ) 0xyω : 5x Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 0xyω 5x Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 0xyω 5x Απλοποιούμε το κλάσμα. yω x 4
35 ε) β : αβ Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. β αβ Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. β αβ β α Απλοποιούμε το κλάσμα. στ) 75xyα : 5αy 75xyα Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 5αy Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 75xyα 5αy Απλοποιούμε το κλάσμα. 5xα ζ) 6αβ x : αβ Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 6αβ x α β 6αβ x α β Απλοποιούμε το κλάσμα. α β x η) : 4x y xy Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 4x y Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. xy 4x y xy Απλοποιούμε το κλάσμα. 4x y 5
36 Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν θ) αβγ αβ 4α γ α. ν α αβγ αβ 4α γ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν αβ α β. α β 4 α γ αβγ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων μ ν α. αβγ αβ 4 α γ Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς στους εκθέτες των δυνάμεων. 6 6 αβ 4 αγ αβγ Είναι α βαγ 6 6 αβγ Διαγράφουμε τους ίδιους όρους. 64 α βαγ α βγ 6 6 μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 64α β γ 6 6 Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες α βγ 6
37 Άσκηση 5 η Να βρείτε ένα μονώνυμο που να εκφράζει την περίμετρο του διπλανού σχήματος. Η πλευρά του κάθε μικρού τετραγώνου είναι ίση με α. Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Πώς βρίσκουμε την περίμετρο ενός σχήματος; Για να βρούμε την περίμετρο ενός σχήματος προσθέτουμε τα μήκη όλων των πλευρών του. Λύση Το σχήμα αποτελείται από 5 οριζόντιες πλευρές 5 κάθετες πλευρές Η μεγάλη οριζόντια πλευρά έχει μήκος 8α. Η κάθε μία από τις 4 μικρές οριζόντιες πλευρές έχει μήκος α. Άρα οι 4 μικρές οριζόντιες πλευρές έχουν μήκος α + α + α + α Τα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. ( )α 8α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. Η μεγάλη κάθετη πλευρά έχει μήκος 4α. Η κάθε μία από τις 4 μικρές κάθετες πλευρές έχει μήκος α. Άρα οι 4 μικρές κάθετες πλευρές έχουν μήκος α + α + α + α 4α. Για να βρούμε την περίμετρο πρέπει να προσθέσουμε όλα τα παραπάνω μήκη. Είναι: 8α + 8α + 4α + 4α Τα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. ( )α 4α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. Απάντηση Η περίμετρος του διπλανού σχήματος είναι 4α. 7
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα
ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΜ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό
Διαβάστε περισσότεραAπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.
ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραΌταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε
Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
Διαβάστε περισσότερα1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ
ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότερα1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά
Διαβάστε περισσότερααριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,
. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η
Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη
Διαβάστε περισσότεραΌταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει
Διαβάστε περισσότερα3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις
24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότερα1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.2 Μονώνυμα-Πράξεις με Μονώνυμα 1 1.2 Μονώνυμα-Πράξεις με Μονώνυμα Α Άλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΠ.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
Διαβάστε περισσότερα2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.
Διαβάστε περισσότεραΝα γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;
Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού
Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΑ Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών
Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α..8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α..9. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
Διαβάστε περισσότεραΑ Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα
Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 2 Α. 2.1. Όταν ένα μέγεθο ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα
Διαβάστε περισσότερα4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.
Διαβάστε περισσότερα3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ημήτριος Αργυράκης Παναγιώτης Βουργάνας Κωνσταντίνος Μεντής Σταματούλα Τσικοπούλου Μιχαήλ Χρυσοβέργης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Α Τόμος
Διαβάστε περισσότεραΑ.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο
1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΑ Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)
ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται
Διαβάστε περισσότεραΜονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητής = Παρονομαστής
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ To κλάσμα κ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα ν Αριθμητής = Παρονομαστής Το ν α = 0 = α κ ν = κ ν ονομάζεται κλασματική μονάδα 8 = α α = Άρα
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
Διαβάστε περισσότεραΑφιερώνεται στην κόρη μου Καλυψώ-Σοφία
Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Αφιερώνεται στην κόρη μου Καλυψώ-Σοφία «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται
Διαβάστε περισσότερα2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΠράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις - συμπληρώσεις )
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα
ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότερααπλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα,
ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Μια αλγεβρική παράσταση με την μορφή κλάσματος που οι όροι του είναι πολυώνυμα λέγεται ρητή αλγεβρική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΔ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),
ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί
Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R
Διαβάστε περισσότερατον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή
ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Διαβάστε περισσότερα7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.
ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης
Διαβάστε περισσότεραΗ κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.
όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότερα2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.
1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις
Διαβάστε περισσότερα4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότερα4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =
Διαβάστε περισσότερα