ΑΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 1ο: Ευθύγραμμη κίνηση Δυναμική σε μία διάσταση

Transcript

1 ΑΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος ο: Ευθύγραμμη κίνηση Δυναμική σε μία διάσταση

2 ΕΚΔΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Φυσική για την Α' Τάξη του Λυκείου. Ευθύγραμμη κίνηση σελ. 3. Δυναμική σε μία διάσταση σελ. 49 ΣΤΟ ΕΠΟΜΕΝΟ ΤΕΥΧΟΣ. Δυναμική σε μία διάσταση (συνέχεια). Δυναμική στο επίπεδο

3 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 3 Ευθύγραμμη κίνηση Δυναμική σε μία διάσταση Ευθύγραμμη κίνηση: Χρονική στιγμή - χρονική διάρκεια - θέση - μετατόπιση - διάστημα. Η χρονική στιγμή t προσδιορίζει το πότε συμβαίνει ένα γεγονός ενώ η χρονική διάρκεια Δt t t που είναι η διαφορά δύο χρονικών στιγμών καθορίζει το πόσο διαρκεί ένα φαινόμενο. Κάθε ευθύγραμμη κίνηση την εφοδιάζουμε με έναν προσανατολισμένο άξονα, η διεύθυνση του οποίου συμπίπτει με την ευθεία της κίνησης. Έτσι διάνυσμα θέσης x είναι το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του άξονα και τέλος το σημείο του άξονα στο οποίο βρίσκεται το κινητό. Η αλγεβρική τιμή του διανύσματος προσδιορίζει τη θέση του κινητού μια δεδομένη χρονική στιγμή. Η μετατόπιση είναι η μεταβολή του διανύσματος της θέσης Δx x x. Είναι ένα διάνυσμα με αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική. Αν x x τότε Δx 0 και το κινητό κινείται προς την θετική κατεύθυνση, ενώ αν x x τότε Δx 0 και κινείται κατά την αρνητική κατεύθυνση. Το διάστημα είναι το μήκος της συνολικής διαδρομής που διάνυσε το κινητό και είναι μονόμετρο μέγεθος με θετική πάντα τιμή. Ταχύτητα Η μέση (διανυσματική) ταχύτητα εκφράζεται με το πηλίκο της μετατόπισης προς το χρονικό διάστημα στο οποίο πραγματοποιήθηκε. Δx x - x υ μ = = Δt t - t

4 4 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Αν Δx 0 τότε και υ 0, αν Δx 0 τότε και υ 0. Μονάδες μέτρησης στο (S.Ι) είναι το m/s. Στην πράξη χρησιμοποιούμε, το km/h. Η μέση αριθμητική ταχύτητα είναι αυτή που παρουσιάζει πρακτικό ενδιαφέρον και ισούται με το πηλίκο του διανυθέντος διαστήματος προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα. υ μ s t H στιγμιαία ταχύτητα ισούται με την τιμή που τείνει να πάρει η μέση διανυσματική ταχύτητα όταν το χρονικό διάστημα γίνεται πολύ μικρό. Αναφέρεται σε χρονική στιγμή και είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης. Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Κίνηση κατά την οποία το κινητό κινούμενο ευθύγραμμα διατηρεί σταθερό το διάνυσμα της ταχύτητας. Έτσι σε ίσα χρονικά διαστήματα οι μετατοπίσεις του είναι ίσες. Η μέση και η στιγμιαία ταχύτητα ταυτίζονται. Έτσι: Δx υ = Δx = υ Δt x - x = υt - t Δt 0 0 και τελικά προκύπτει η εξίσωση της κίνησης : x = x 0 + υ t - t 0 Αν τη χρονική στιγμή t 0 0 (αρχικός χρόνος) είναι x0 0 (αρχική θέση) τότε : x υ t Επιτάχυνση - Ευθύγραμμα ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Δυ α = μονάδα μέτρησης στο SI : m / s. Δt Μία κίνηση χαρακτηρίζεται επιταχυνόμενη όταν αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας και επιβραδυνόμενη όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται. Στην επιταχυνόμενη κίνηση ταχύτητα και επιτάχυνση έχουν ίδια κατεύθυνση ενώ στην επιβραδυνόμενη αντίθετη.

5 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 5 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Κίνηση στην οποία το κινητό κινούμενο ευθύγραμμα μεταβάλλει την ταχύτητά του με σταθερό ρυθμό. Δηλαδή σε ίσα χρονικά διαστήματα παρατηρούνται ίσες μεταβολές της ταχύτητας. Η επιτάχυνση της κίνησης διατηρείται σταθερή. Εξίσωση ταχύτητας : Δυ α Δυ α Δt υ υ α t t υ υ α t t Δt Αν τη χρονική στιγμή t 0 0 είναι υ υ0 τότε : υ υ0 αt Τέλος αν τη χρονική στιγμή t 0 0 είναι υ0 0 : υ αt Εξίσωση κίνησης : Δx υ0 Δt αδt Αν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 είναι x = 0 τότε : x υ0 t αt Τέλος αν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 είναι x 0 = 0 και υ 0 = 0 : x t

6 6 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Ερωτήσεις:. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δεξιάς στήλης.. χρόνος t α. m. μετατόπιση Δx β. s 3. ταχύτητα υ γ. m/ s 4. επιτάχυνση α δ. m / s ε. m / s. Το ίδιο για τις επόμενες στήλες. α 0 υ = σταθ. α. επιταχυνόμενη κίνηση. υ α β. ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 3. α υ γ. επιβραδυνόμενη κίνηση 4. υ 0 α = σταθ δ. ομαλά επιταχυνόμενη, ξεκινώντας από την ηρεμία 3. Μπορεί ένα αυτοκίνητο να έχει ταχύτητα προς την ανατολή ενώ θα έχει επιτάχυνση προς την δύση; 4. Μπορεί να αλλάξει η φορά της ταχύτητας ενός σώματος όταν η επιτάχυνση του είναι σταθερή. 5. Χαρακτηρίστε με (Σ) τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές και με (Λ) αν είναι λανθασμένες: α. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι σταθερό β. Στο διάγραμμα υ(t) η κλίση μας δείχνει αριθμητικά την επιτάχυνση γ. Στο διάγραμμα υ(t) το εμβαδόν μας δείχνει την επιτάχυνση δ. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση το διάνυσμα της ταχύτητας είναι σταθερό. ε. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η μετατόπιση είναι ανάλογη του χρόνου κίνησης.

7 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 7 6. Μια διαφορά μεταξύ ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι ότι: α. Το ένα είναι μονόμετρο μέγεθος και το άλλο διανυσματικό β. Έχουν πάντα διαφορετική φορά γ. Το ένα εκφράζει το πόσο γρήγορα αλλάζει η μετατόπιση, ενώ το άλλο πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα δ. Η ταχύτητα είναι δύναμη ενώ η επιτάχυνση δεν είναι 7. Η επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει: α. Το πόσο γρήγορα αυξάνεται η μετατόπιση β. Το πηλίκο του διαστήματος προς το χρόνο γ. Το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα ε. Το πόσο γρήγορα κινείται ένα κινητό 8. Μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμμη ομαλή όταν: α. Το διάνυσμα της ταχύτητας παραμένει σταθερό β. Το διάνυσμα της επιτάχυνσης παραμένει σταθερό γ. Το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης είναι σταθερό 9. Η μέση ταχύτητα ενός κινητού εκφράζει το πόσο... κινείται. 0. Η μέση επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει το πόσο... μεταβάλλεται το... της ταχύτητας. km. Ένα αυτοκίνητο κατευθύνεται από την Αθήνα προς την Θεσσαλονίκη με ταχύτητα 75 h km ενώ ένα άλλο από την Αθήνα προς την Πάτρα με ταχύτητα 75. Είναι ίσες οι ταχύτητες h των δύο αυτοκινήτων; (Αιτιολογήστε).. Μπορεί ποτέ το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας να είναι μεγαλύτερο από το μέτρο της μέσης ταχύτητας (Αιτιολογήστε).

8 8 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Μεθοδολογία ασκήσεων - Αποδείξεις - Λυμένα παραδείγματα: Διαγράμματα και πληροφορίες που παρέχουν α. Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου υ f t : Αν υ > 0 Αν υ < 0 Το εμβαδόν που περικλείεται ανάμεσα στη γραφική παράσταση και τον άξονα των χρόνων είναι ίσο αριθμητικά με την μετατόπιση Δx του κινητού στο χρονικό διάστημα Δt. Όταν η ταχύτητα είναι θετική το εμβαδόν θα λαμβάνεται με θετικό πρόσημο και η μετατόπιση θα προκύπτει θετική. Όταν η ταχύτητα είναι αρνητική το εμβαδόν θα λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο και η μετατόπιση θα προκύπτει αρνητική.

9 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 9 Διάγραμμα θέσης - χρόνου x f t : Αν x = υt και υ > 0. Η κλίση της ευθείας αριθμητικά, είναι ίση με την ταχύτητα της κίνησης. Δx x 0 x εφω υ Δt t 0 t Αν x x0 υt και υ 0 εφω Δx x x x x Δt t t t υ Αν x x0 υt και υ 0 Στο διπλανό διάγραμμα το κινητό ξεκινάει από την θέση x 0 του θετικού ημιάξονα και κινείται με αρνητική ταχύτητα την χρονική στιγμή t φτάνει στην αρχή του άξονα και συνεχίζει να κινείται με την ίδια ταχύτητα στον αρνητικό ημιάξονα μέχρι τη χρονική στιγμή t. Ισχύει : Δx 0 x0 x υ εφω 0 ή υ Δt t 0 t t Το πρόσημο της ταχύτητας είναι ίδιο με το πρόσημο της μετατόπισης Δx. Μπορεί η θέση να είναι θετική και η ταχύτητα αρνητική.

10 0 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση β. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου υ f t : Αν υ υ0 αt και υ0 0, α 0 Η κλίση της ευθείας αριθμητικά είναι ίση με την επιτάχυνση της κίνησης εφω Δυ υ υ υ υ Δt t t t 0 0 Αν υ αt και α 0 Δυ υ 0 εφω α Δt t 0 0 α Σε κάθε διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου αποδεικνύεται ότι το εμβαδόν που περικλείεται ανάμεσα στην καμπύλη και στον άξονα των χρόνων αριθμητικά είναι ίσο με την μετατόπιση Δx για το αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Διάγραμμα θέσης - χρόνου x = f(t): x υ0 t αt ή x αt, αν υ0 0 Η κλίση της καμπύλης αριθμητικά είναι ίση με την ταχύτητα την συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Παρατηρούμε ότι η κλίση αυξάνεται. Διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου α = f(t): Το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα των χρόνων αριθμητικά είναι ίσο με την μεταβολή της ταχύτητας για το αντίστοιχο χρονικό διάστημα. αρ Ε α Δt α t t Δυ

11 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση γ. Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση Θεωρούμε την ταχύτητα θετική και την επιτάχυνση αρνητική (επιβράδυνση). Διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου υ0 0, α 0 Δυ 0 υ α 0 εφω Δt t 0 αρ Δx E Διάγραμμα θέσης - χρόνου Διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου αρ x υ0 t αt E α Δt Δυ Η κλίση της καμπύλης (στιγμιαία ταχύτητα) μειώνεται. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνομένη κίνηση ισχύουν: υ υ0 αt και x υ t αt 0, όπου α: μέτρο της επιβράδυνσης

12 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Μετατόπιση στην διάρκεια κάποιου δευτερόλεπτου Αν για παράδειγμα ζητείται η μετατόπιση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση κατά τη διάρκεια του 4 ου δευτερολέπτου εργαζόμαστε ως εξής : Υπολογίζουμε την θέση του κινητού την χρονική στιγμή t 3 t 4 4s. Δηλαδή (υποθέτουμε t 0 0, x0 0 ): 3s και την χρονική στιγμή x3 υ0 t3 αt3 και x 4 υ0 t4 αt4 Η ζητούμενη μετατόπιση ισούται με : Δx x4 x3 Η παραπάνω μετατόπιση μπορεί να υπολογιστεί και γραφικά από το εμβαδόν σε διάγραμμα υ t. Όταν εξετάζουμε ταυτόχρονη κίνηση δύο κινητών πρέπει να προσδιορίζουμε τις μετατοπίσεις, τις ταχύτητες, τις επιταχύνσεις, τους χρόνους και τις θέσεις και για τα δύο κινητά και αν είναι απαραίτητο να σχεδιάζουμε τα διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου σε κοινό σύστημα αξόνων. Η σχέση που συνδέει την ταχύτητα με την μετατόπιση είναι υ υ α x (ανεξάρτητη του χρόνου ). Αποδεικνύεται με τις αποδείξεις 7 και 8. Σε διαδοχικές κινήσεις, η τελική ταχύτητα στη μία κίνηση είναι η αρχική στην αμέσως επόμενη κίνηση. 0

13 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 3 Απόδειξη Υπολογισμός εξίσωσης κίνησης στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Δx υ Δx υ Δt x x υ t t x x υ t t Δt για x 0 0 και t 0 0, τότε x υ t Απόδειξη Εξίσωση ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη Από α-t διάγραμμα αρ Ε α Δt α t t Δυ α t t υ υ για t 0 0, υ υ0 α t, τότε υ υ0 α t Απόδειξη 3 Εξίσωση ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη Από α-t διάγραμμα αρ Ε α Δt α t t Δυ α t t υ υ για t 0 0, υ υ0 α t, τότε υ υ0 α t Απόδειξη 4 Εξίσωση θέσης στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη Από υ-t διάγραμμα υ υ αριθ 0 Ε Δx Δx Δt επειδή υ υ0 αδt υ α Δt υ υ α Δt Δx Δt Δx Δt

14 4 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Δx υ Δt α Δt x x υ t t α t t για x 0 0 και t 0 0 η εξίσωση έχει την μορφή Απόδειξη 5 x υ0t α t Εξίσωση θέσης στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη υ υ αριθ 0 Ε Δx Δx Δt επειδή υ υ0 αδt υ α Δt υ υ α Δt Δx Δt Δx Δt Δx υ Δt α Δt x x υ t t α t t για x 0 0 και t 0 0 η εξίσωση έχει την μορφή x υ0t α t όπου α είναι το μέτρο της επιβράδυνσης Απόδειξη 6 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση όταν το κινητό τελικά σταματά Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση όπου το κινητό τελικά σταματά, ο ολικός χρόνος και το ολικό διάστημα μέχρι να σταματήσει είναι: υ υ0 α t υ0 t υ 0 α όπου α είναι το μέτρο της επιβράδυνσης x υ0t α t υ0 υ0 0 υ 0 x υ α x α α α

15 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 5 Απόδειξη 7 Σχέση που συνδέει την ταχύτητα με τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη (ανεξάρτητη χρόνου). Εξίσωση ταχύτητας υ υ0 α t Εξίσωση μετατόπισης x υ0 t α t υ υ0 Από την πρώτη σχέση επιλύοντας ως προς το χρόνο: t α Και με αντικατάσταση στη δεύτερη: υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ x υ0 α x α α α α υ υ0 x υ0 υ α x υ υ0 α x ή α 0 υ υ αx

16 6 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Απόδειξη 8 Σχέση που συνδέει την ταχύτητα με τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη (ανεξάρτητη χρόνου). Εξίσωση ταχύτητας υ υ0 α t (όπου α είναι το μέτρο της επιβράδυνσης) Εξίσωση μετατόπισης x υ0 t α t υ0 υ Από την πρώτη σχέση επιλύοντας ως προς το χρόνο: t α Και με αντικατάσταση στη δεύτερη: υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ x υ0 α x α α α α υ0 υ x υ υ0 α x ή α 0 υ υ α x

17 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 7 Παράδειγμα Δύο κινητά Α και Β κινούνται ευθύγραμμα ομαλά πάνω στον ίδιο δρόμο και προς την ίδια κατεύθυνση, το πρώτο με ταχύτητα υ υ 44Km / h και το δεύτερο με ταχύτητα 7Km / h. Τη στιγμή t 0 0 το πρώτο κινητό βρίσκεται 000 m πίσω από το δεύτερο. α. Ποια χρονική στιγμή και σε πόση απόσταση από την αρχική θέση του κινητού Α θα συναντηθούν τα δύο κινητά ; β. Ποια χρονική στιγμή θα απέχουν s = 500m για δεύτερη φορά; Λύση: á. Για τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο κινητών έχουμε: υ 7km / h 0m / s ενώ υ 44km / h 40m / s. Θεωρώντας σαν αρχή του άξονα την αρχική θέση του κινητού Α έχουμε για τη στιγμή της συνάντησης: x υ t () και x d υ t (). Απο τις () και () παίρνουμε : d υ t d υ t t 50s υ υ Με αντικατάσταση στη σχέση () : x 000m β. Για τη χρονική στιγμή t που το κινητό Α θα βρίσκεται 500 m μπροστά από το Β ισχύει : x υ t (3) και x d υ t ' (4) x x s υ t d υ t ' s t ' 75s Αλλά Παράδειγμα Για ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα το διάγραμμα θέσης - χρόνου δίνεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογιστούν : α. Η μετατόπιση του κινητού στο χρονικό διάστημα από t 0 μέχρι t 5s. β. Το διάστημα που διήνυσε το κινητό σε 5 sec. γ. Να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου. Λύση: α. Δx 0m 0 0m β. S 0 0 0m 30m ολ Δx 0m γ. Είναι : υ 0m / s Δt s

18 8 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Δx υ 0 Δt υ Δx 0m 3 3 Δt3 s 0m / s Παράδειγμα 3 Δύο λεωφορεία Α και Β με μήκος κατεύθυνση και ταχύτητες υα m 6m / s και υb κινούνται σε ευθύγραμμο δρόμο με την ίδια 0m / s. Το λεωφορείο Β βρίσκεται πίσω από το λεωφορείο Α και το πλησιάζει. Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται να προσπεράσει το ένα λεωφορείο το άλλο καθώς και το διάστημα που θα διανύσει το λεωφορείο Α. Λύση: Ο ζητούμενος χρόνος Δt είναι ο χρόνος από τη στιγμή που το μπροστινό μέρος του λεωφορείου Β φτάνει το πίσω μέρος του λεωφορείου Α μέχρι τη στιγμή που το πίσω μέρος του λεωφορείου Β περνά το μπροστά μέρος του λεωφορείου Α. SA υα Δt και SΒ SA υβ Δt Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει : υα Δt υβ Δt υβ Δt υα Δt Δt 6s υβ υα Το διάστημα που διανύει το λεωφορείο Α σε αυτό το χρόνο είναι : S υ Δt 6 6m 96m A Α Παράδειγμα 4 Μοτοσικλέτα κινείται με σταθερή ταχύτητα υ Μ = 0 m/s. Κάποια χρονική στιγμή που βρίσκεται πριν από ένα φανάρι, σε απόσταση d = 80 m από αυτό, αυτοκίνητο που βρίσκεται στο φανάρι ξεκινάει προς την ίδια κατεύθυνση έχοντας σταθερή επιτάχυνση 4 m/s, προπορευόμενο της μοτοσυκλέτας. Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση στην οποία η μοτοσικλέτα θα πλησιάσει το αυτοκίνητο. Λύση: Για όσο χρόνο το αυτοκίνητο έχει μικρότερη ταχύτητα από τη μοτοσικλέτα τα δύο οχήματα πλησιάζουν. Όταν το αυτοκίνητο αποκτήσει μεγαλύτερη ταχύτητα από τη μοτοσικλέτα τα δύο οχήματα θα απομακρύνονται.

19 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 9 Τη στιγμή που η απόσταση θα γίνει ελάχιστη (dmin) θα πρέπει οι ταχύτητες των δύο οχημάτων í á åßí áéßóåò, äçëáäþ : õ Α = υ Β = 0m/s. O χρόνος που χρειάστηκε το αυτοκίνητο για να αποκτήσει αυτή την ταχύτητα είναι υα α t t 5s Τα διαστήματα που διάνυσαν τα δύο οχήματα αντίστοιχα είναι: SM υm t 00m, SA α t 50m Όμως από το σχήμα έχουμε: d Sα SM dmin dmin 30 m Παράδειγμα 5 Αυτοκίνητο επιταχύνεται ομαλά σε ευθύγραμμο δρόμο με επιτάχυνση μέτρου το αυτοκίνητο σε κάποιο χρονικό διάστημα μετατοπίζεται κατά x 00 m και αποκτά ταχύτητα υ 4m / s. Αν 30m / s να βρεθεί η ταχύτητα στην αρχή του χρονικού διαστήματος καθώς και το χρονικό διάστημα αυτό. Λύση: υ υ α t x υ t α t υ υ Από την πρώτη σχέση επιλύοντας ως προς το χρόνο : t α Και με αντικατάσταση στη δεύτερη : υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ x υ α α α α α υ υ x υ υ αx υ 0m / s α υ Ο ζητούμενος χρόνος επομένως είναι : t υ α 5s

20 0 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Παράδειγμα 6 Για κινητό που κινείται ευθύγραμμα και την χρονική στιγμή t 0 0 βρίσκεται στη θέση x0 0 και έχει ταχύτητα υ0 0m / s δίνεται το διπλανό διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου. Με τη βοήθεια του διαγράμματος να υπολογιστεί η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t 8s και να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου. Λύση: Για το χρονικό διάστημα Δt t t0 3s 0 3s το κινητό επιταχύνεται ομαλά. Η μεταβολή της ταχύτητας ισούται με το εμβαδό του σχήματος ΟΑΒΓ. Είναι Δυ 5m / s 3s 5m / s, αλλά Δυ υ υ0 οπότε : υ Δυ υ0 5m / s Για το χρονικό διάστημα Δt t t 5 3s s το κινητό κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα υ υ 5m / s. επειδή Δυ = 0. Τέλος για το χρονικό διάστημα Δt t t 8 5s 3s το κινητό επιβραδύνεται ομαλά. Η μεταβολή της ταχύτητας ισούται με αρ. 3 3 Δυ3 EΔΖΗΘ υ3 υ 30m / s υ3 5m / s Το αρνητικό πρόσημο στην τελική τιμή της ταχύτητας σημαίνει ότι το κινητό έχει αντιστρέψει την φορά κίνησής του. Ουσιαστικά επιταχύνεται πλέον κατά την αρνητική κατεύθυνση του άξονα. Απο το διπλανό διάγραμμα : 0 5 Δx 3m 5, 5m Δx 5m 50m 5,5 Δx3 m 3, 5m Δx 4 x x 0 Δx 0 5,5m 5,5m x x Δx 5,5m 50m 0,5m x 3 x Δx3 0,5m 3, 5m 33, 75m 0,5 5, 5m x x Δx 33,75m,5m 3,5m 4 3 4

21 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Παράδειγμα 7 Αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 0 m/s. Ο οδηγός, του οποίου ο χρόνος αντίδρασης είναι 0,5 s, αντιλαμβάνεται κόκκινο φανάρι σε απόσταση 50 m. α. Αν η επιβράδυνση του αυτοκινήτου έχει τιμή 4 m/s, θα προλάβει το αυτοκίνητο να σταματήσει πρίν το φανάρι ; β. Αν όχι, ποια θα έπρεπε να είναι η τιμή της επιβράδυνσης για να σταματήσει έγκαιρα; Λύση: α. Το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ0 0m / s για χρόνο Δt 0, 5s και διανύει διάστημα Δx υ0 Δt 0m. Συνεπώς για την επιβραδυνόμενη κίνηση απομένουν Δx 50 0 m 40m. Για να σταματήσει το αυτοκίνητο απαιτείται χρόνος Δt. Από την εξίσωση της ταχύτητας : 0 0 υ0 α Δt Δt 5s α Στον χρόνο αυτό το αυτοκίνητο θα διένυε: ' Δx υ0 Δt α Δt 50m Επειδή Δx ' Δx δεν προλαβαίνει να σταματήσει. υ β. Έστω α το μέτρο της απαιτούμενης επιβράδυνσης για να σταματήσει έγκαιρα σε χρόνο Δt καλύπτοντας απόσταση Δx. Είναι: ' ' υ0 0 υ0 α Δt Δt α ' ' υ0 0 α Δx υ Δt α Δt Δx α 5 m / s Η επιβράδυνση πρέπει να είναι α = 5 m/s Παράδειγμα 8 Δρομέας των 00 m ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση α 3m / s μέχρις ότου αποκτήσει ταχύτητα υ m / s την οποία και διατηρεί μέχρι τη θέση που βρίσκεται 56 m πριν τον τερματισμό. Στη συνέχεια λόγω κόπωσης επιβραδύνεται ομαλά και τερματίζει σε συνολικό χρόνο 0s.

22 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Να βρεθεί η επιβράδυνση και η ταχύτητα τερματισμού. Λύση: Για την επιταχυνόμενη κίνηση ισχύει : υ α Δt Δt 4s Δx αδt 4m Στην συνέχεια με την σταθερή ταχύτητα υ μετατοπίζεται κατά Δx υ Δt Δt Δx () υ Aλλά Δx 00m 4m 56m 0m Επομένως από την () Δt 0s και Δt3 0s4s 6s Δx3 υ Δt 8 3 α Δt3 α m / s 9 Τέλος για την επιβραδυνόμενη έχουμε : όπου α είναι το μέτρο της επιβράδυνσης και Δx 3 = 56 m υ υ α Δt 3 6,67 m / s Παράδειγμα 9 Κινητό έχει σταθερή ταχύτητα υ 0 και αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή τιμή επιβράδυνσης α = m/s και ακινητοποιείται μετά από χρονικό διάστημα Δt = 8 s. Να γίνει το διάγραμμα υ-t και να υπολογιστούν: α. η μετατόπιση του κατά τη διάρκεια του 4ου δευτερολέπτου β. η συνολική του μετατόπιση

23 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 3 Λύση: Επειδή κάνει ομαλά επιβραδυνόμενη ισχύει: υ υ υ α Δt 0 υ α Δt υ α Δt υ 6 m / s α. Η διάρκεια του 4ου s μετριέται απ τη χρονική στιγμή t 3 = 3s έως t 4 = 4s. Οι ταχύτητες για τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές είναι: υ3 υ0 α Δt3 υ3 6 3 υ3 0m /s και υ4 υ0 α Δt4 υ4 6 4 υ4 8m / s Για να βρώ τη μετατόπισή του στη διάρκεια του 4ου s αρκεί να υπολογίσω το εμβαδόν Ε απ το διάγραμμα υ-t δηλ. αρ Δx E m m 9m β. Για να βρώ την ολική μετατόπιση αρκεί να βρώ το E ABΓ απ το υ-t δηλ. αρ. Δxoλ EABΓ 86 m 64m

24 4 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Παράδειγμα 0 Σώμα που κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση α = 0 m/s, τη χρονική στιγμή t = 0 έχει ταχύτητα υ 0 = 0 m/s. Να βρείτε στη διάρκεια ποιου δευτερολέπτου έχει μετατοπιστεί κατά Δx = 85 m. Λύση: Η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t είναι: xt υ0 t α t Η θέση του, μετά από s, τη χρονική στιγμή t είναι: xt υ0 t αt Άρα Δx xt xt Δx υ 0 t α t υ0t αt Δx υ0t υ0 αt t υ0t αt t t 0t t 0t 5 5t t 0t 60 t 6s και t 7s Άρα είναι η διάρκεια του 7ου δευτερολέπτου. Παράδειγμα Αυτοκίνητο Α κινείται με σταθερή επιτάχυνση α m / s και αρχική ταχύτητα υ0 0m / s. Την ίδια στιγμή, που θεωρείται η αρχή των χρόνων t0 0, ένα αυτοκίνητο Β που ξεκινά απ την ηρεμία και βρίσκεται 8m μπροστά απ το Α επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση α 3m / s κινούμενο προς την ίδια κατεύθυνση. Να βρεθεί πότε το Α θα συναντήσει το Β για πρώτη φορά και σε πόση απόσταση απ την αρχική θέση του Α που θεωρείται και η αρχή των θέσεων x 0.

25 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 5 Λύση: Κινητό Α: 0 υ υ α Δt ΔxΑ υ0 Δt α Δt Κινητό Β: υ α Δt 3 ΔxΒ α Δt 4 Ισχύει: ΔxΑ d ΔxΒ υ 4 0 Δt α Δt d α Δt 0 υ Δt α Δt d α Δt 0Δt Δt 36 3Δt Δt 0Δt 36 0 (ου βαθμού ως προς Δt). [ 0 6 Δ β 4αγ , Δ 6 ] άρα Δt s 8s 0 6 Δt s s δεκτή (για η φορά) ΔxΑ 0 4 m 4 m απ την αρχική θέση του Α.

26 6 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Παράδειγμα Δύο σώματα Α και Β βρίσκονται την ίδια χρονική στιγμή t 0 0 στην αρχή του άξονα x0 0. Το σώμα Α ξεκινάει από την ηρεμία και επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση α 6 m / s. Το σώμα B την στιγμή t 0 0 έχει ταχύτητα υ0 0m / s και επιβραδύνεται με επιβράδυνση σταθερού μέτρου m / s. α α. Να βρεθούν οι χρονικές στιγμές που η απόσταση των δύο σωμάτων είναι d 4m β. Πόσο απέχουν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα του σώματος Β ; γ. Αν το σώμα Β διατηρεί την επιτάχυνση και μετά τον μηδενισμό της ταχύτητάς του πόσο θα απέχουν τα δύο σώματα τη στιγμή που το σώμα Β επιστρέφει στην αρχή του άξονα ; Λύση: α. Αρχικά το Β σώμα απομακρύνεται από το σώμα Α γιατί τρέχει γρηγορότερα παρά το ότι επιβραδύνεται ενώ το Α επιταχύνεται. Τη μέγιστη απόσταση από το Α θα την αποκτήσει όταν η ταχύτητά του καθώς μειώνεται γίνει ίση με αυτήν του σώματος Α. Στη συνέχεια το σώμα Α θα το προσπεράσει και θα το αφήσει πίσω. Η ζητούμενη απόσταση d 4 cm θα παρατηρηθεί 3 φορές αρκεί να είναι μικρότερη από την μέγιστη απόσταση που απέκτησε το Β όσο ήταν μπροστά από το Α. Οι δύο φορές θα είναι με το Β προπορευόμενο και μία με το Α. Ισχύει : υ0 t α t α t d α t υ0 t α t d

27 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 7 Από την πρώτη έχουμε : 0 t t 3t 4 4t 0t 4 0 t 5t 0 Επιλύοντας την δευτεροβάθμια ως προς το χρόνο βρίσκουμε : t 0,5s και t s Από την δεύτερη εξίσωση με αντικατάσταση παίρνουμε : 3t 0t t 4 4t 0t 4 0 t 5t 0 Επιλύοντας την βρίσκουμε t 3 =,85 s (ή άλλη λύση είναι αρνητική). β. Τη στιγμή του μηδενισμού της ταχύτητας του Β ισχύει : ' ' 0 0 υ0 α t t 5s α ' ' x B υ0 t α t 5m ' x A α t 75 m υ Η ζητούμενη απόσταση είναι: Δx xa x B 50 m γ. Μετά τον μηδενισμό της ταχύτητάς του το σώμα Β αλλάζει φορά κίνησης και επιστρέφει προς την αρχή του άξονα επιταχυνόμενo. Όταν φτάνει στην θέση όπου βρισκόταν την χρονική στιγμή t 0 0 ισχύει υ 0 0 υ0 t '' α t '' t '' 0s α Την ίδια χρονική στιγμή το σώμα Α θα βρίσκεται στη θέση :, που είναι και η ζητούμενη απόσταση. x '' A α t '' 300m

28 8 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Παράδειγμα 3 Για κινητό που κινείται ευθύγραμμα την χρονική στιγμή t 0 =0 βρίσκεται στη θέση x 0 =0 και η ταχύτητά του δίνεται στο διάγραμμα. Να βρεθεί: α. Τι κινήσεις κάνει. Να υπολογισθεί το Δx, σε κάθε κίνηση. β. Να γίνει διάγραμμα α(t), x(t). Λύση: α. Από 0 έως 5s: Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη Δυ α α m s α m s Δt αριθ. 5 5 Δx Εμ 5m 50m Δx x x0 50m x 0 x 50m Από 5 έως 0s: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Δυ α α m s α m s α 0m s Δt αριθ. Δx Εμ 55m 75m Δx x x 75m x 50m x 5m Από 0 έως 5s: Ευθύγραμη ομαλά επιβραδυνόμενη (τη στιγμή t=5s το κινητό σταματάει υ3 0 ) τελ Δυ α α m s α 3m s Δt

29 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 9 αριθ Δx3 Εμ m 37,5m Δx 3 x3 x 37,5m x3 5m x 3 6,5m Από 5 έως 0s: Ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη με αντίθετη φορά Δυ α α m s α m s Δt αριθ. 05 Δx4 Εμ m 5m Δx 4 x 4 x3 5m x 4 6,5m x 4 37,5m β. (m/s )

30 30 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Παράδειγμα 4 Ποδηλάτης ξεκινά από την ηρεμία (t 0 =0, υ 0 =0) κινείται ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα και μετά από 5s αποκτά ταχύτητα 0m/s. Στην συνέχεια κινείται ευθύγραμμα ομαλά για s, μετά επιβραδύνει σταθερά με επιβράδυνση m/s, επειδή χτυπά το κινητό του και σταματάει για 5s επειδή απαντά στο κινητό του. Στη συνέχεια, επιστρέφει στην αρχική θέση που ξεκίνησε με σταθερή ταχύτητα, μέσα σε 0s. Να γίνει διάγραμμα α(t), υ(t), x(t). Λύση: α. η κίνηση Από 0 έως 5s: Ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Δυ α m s Δt 5 5 Δx υ0t αt 5 m 5m η κίνηση Από 5s έως 7s: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (στο τέλος της κίνησης ο χρόνος είναι 5s +s = 7s) α 0 υ 0m s Η ταχύτητά του είναι υ = 0 m/s, επειδή η τελική ταχύτητα της προηγούμενης κίνησης είναι η αρχική της επόμενης. Δx υδt 0m 0m

31 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 3 3η κίνηση Ευθύγραμμη ομαλή επιβραδυνόμενη Δx 3 υ α 3 0 Δx3 m 5m υ 0 t3 s 5s α3 4η κίνηση Το χρονικό διάστημα που δεν κινείται Δx 4 0, υ 0, α 0, t 4 5s 5η κίνηση Υπολογίζουμε το Δx5 Δx Δx Δx Δx Δx 5m 0m 5m 70m Επειδή η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή. υ Δx 70m 5 5 Δt 5 0s 7m s (m/s )

32 3 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση x x 0 Δx 0 5m 5m x x Δx 5m 0m 45m x 3 x Δx3 45m 5m 70m x 4 x3 Δx 4 70m 0 70 m x 5 = x 4 + Δx 5 = 70 m + ( 70 m) = 0

33 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 33 Παράδειγμα 5 Δύο κινητά ξεκινούν από δύο σημεία Α και Β που απέχουν 375m και κινούνται αντίθετα. Το κινητό Α έχει σταθερή ταχύτητα 0m/ s. Το κινητό Β έχει σταθερή επιτάχυνση α Β m / s. α. Να βρεθεί το σημείο που θα συναντηθούν μεταξύ τους. β. Να γίνουν τα κοινά διαγράμματα υt, α t, xt για το χρονικό διάστημα t 0s. Λύση: α. A Α Κινητό Α : x υ t Κινητό B : x B αt d υa t αβ t 375 0t t πρέπει d x x A B t 0t t 5s. Ο χρόνος που θα συναντηθούν είναι 5 s x A = υ Α t x A = 0 5 m x A = 50 m Άρα θα συναντηθούν σε απόσταση 50 m από το Α και = 5 m από το Β.

34 34 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση β. Διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου. Κινητό Α : υα 0m /s Kινητό Β : υβ αt 0m /s 40m / s Διαγράμματα επιτάχυνσης - χρόνου. Η επιτάχυνση του κινητού Α είναι α Α = 0, επειδή εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Του κινητού Β είναι α Β = m/s σε σχέση με την κίνηση του Α.

35 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 35 Διαγράμματα θέσης - χρόνου Μέχρι τη συνάντηση στο σημείο Γ: Το κινητό Α έχει διαγράψει τροχιά 50 m προς τη θετική φορά (από το Α στο Β). Το κινητό Β έχει διαγράψει τροχιά 5 m από το Β προς το Α. Γ

36 36 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Ασκήσεις για λύση:. Η ταχύτητα των παλμών στα νεύρα των θηλαστικών είναι m 00 s. Εάν ένας καρχαρίας δαγκώσει την ουρά μιας φάλαινας μήκους 30m, μετά απο πόσο χρόνο θα το καταλάβει η φάλαινα; Απ: 3 s 0 km. Το πιο γρήγορο επίγειο ζώο είναι η cheetah (κυναίλουρος) που τρέχει με ταχύτητα 0. h Το δεύτερο σε ταχύτητα ζώο είναι η αντιλόπη που τρέχει με αρχίζει να κυνηγάει μια αντιλόπη που είναι μπροστά 00m. α. Πόσο χρόνο χρειάζεται η cheetah για να φθάσει την αντιλόπη; β. Πόση απόσταση διένυσε η cheetah; Απ: α. 7,7s, β. 777,6m km 88 h. Υποθέστε ότι η cheetah m 3. Το βλήμα ενός όπλου βγαίνει από την κάνη με ταχύτητα υ 400 και κινούμενο ευθύγραμμα και ομαλά φθάνει στον στόχο και σκάει. Αν ο πυροβολητής ακούει τον ήχο από την s έκρηξη μετά από s, να βρείτε την απόσταση του πυροβόλου από τον στόχο. Δίνεται η m ταχύτητα του ήχου υ 340. s Απ: 05,4 m 4. Ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Περνά από μια γέφυρα μήκους x χρόνο t υπολογίσετε το μήκος και την ταχύτητα του τρένου; Απ: 600 m, 80s, ενώ από μια άλλη γέφυρα μήκους x m 0 s 800m σε χρόνο t 000m σε 70s. Να

37 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 37 km 5. Δύο τρένα που το καθένα έχει ταχύτητα υ 30 κινούνται αντίθετα σε γειτονικές παράλληλες ράγες. Ένα πουλί που πετά με σταθερή ταχύτητα υ 60 φεύγει από το ένα h h km τρένο και κατευθύνεται προς το άλλο, όταν αυτά απέχουν 60 km. Φτάνοντας στο άλλο τρένο πετά πάλι προς το πρώτο κ.ο.κ. Ποια συνολική απόσταση θα διανύσει το πουλί πριν συναντηθούν τα τρένα; Απ: 60 km 6. Δίνεται το διάγραμμα θέσης - χρόνου ενός κινητού. Να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου και να υπολογιστεί το συνολικό διάστημα που διένυσε το κινητό, μέχρι την χρονική στιγμή 6s. Απ: 80 m 7. Με αρχική ταχύτητα km 60 h το γαλλικό τρένο T.G.V. διανύει απόσταση 500 m σε επίπεδες γραμμές για να σταματήσει. Αν η επιβράδυνση είναι σταθερή να υπολογίσετε το μέτρο της καθώς και τον χρόνο που απαιτείται για να σταματήσει. m Απ:,74, 4,5s s 8. Η ταχύτητα ενός αθλητή αυξάνεται σταθερά κατά από την ηρεμία α. μετά από πόσο χρόνο θα έχει διανύσει 00 m; β. πόση ταχύτητα θα έχει τότε; m Απ: 0s, 0 s m 0 s σε κάθε 0s. Αν το σώμα αναχωρεί 9. Ένα cart διατρέχει το πρώτο μισό μιας πίστας μήκους 00 m με σταθερή ταχύτητα m 5 s. Στο δεύτερο μισό της πίστας παρουσιάζει μηχανικό πρόβλημα και επιβραδύνεται με σταθερή m επιβράδυνση 0,. Σε πόσο χρόνο θα διατρέξει την απόσταση των 00 m; s Απ: 33,8s

38 38 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 0. Ένας αθλητής των 00m θέλει να κάνει παγκόσμιο ρεκόρ, που μέχρι την ημέρα του αγώνα ήταν 9,84s, ξεκινώντας από τον βατήρα με σταθερή επιτάχυνση 4 m/s για 5s. Στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα και τέλος επειδή κουράστηκε επιβραδύνει με σταθερή επιβράδυνση 0 m/s, οπότε φθάνει στο νήμα με μηδενική ταχύτητα. Έκανε παγκόσμιο ρεκόρ; Απ: ναι t αθ = 8,5 s. Το διάγραμμα υ f t του σχήματος προκύπτει από την κίνηση μιας Porshe 9s. Αν για t 0 0 είναι x0 0. α. Υπολογίστε από το διάγραμμα την συνολική μετατόπιση που διένυσε β. Σχεδιάστε το διάγραμμα α f t γ. Γράψτε την εξίσωση x(t) για κάθε φάση της κίνησης και κάντε το διάγραμμά της δ. Ποια είναι η μέση ταχύτητα από 0 έως 50s ε. Ποια απόσταση διανύει μεταξύ των χρονικών στιγμών 0s έως 40s. Απ: α. 875 m, δ. m 37,5 s, ε. 458,33 m. Δύο κινητά Α και Β κινούνται στην ίδια οριζόντια ευθεία τροχιά ξεκινούν από το ίδιο σημείο. Τα διαγράμματα τους υ = f(t) είναι όπως στο σχήμα α. Τι είδους κινήσεις κάνουν; β. Ποια είναι η επιτάχυνση τους; γ. Πότε θα συναντηθούν; δ. Πότε έχουν κοινή ταχύτητα; m Απ: β., 0 γ. 0s, δ. 5s s 3. Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα επιτάχυνσης χρόνου ενός αυτοκινήτου α(t). Αν η αρχική του ταχύτητα είναι υ 0 = 5 m/s α. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα υ f t β. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα x f t γ. Την χρονική στιγμή t 5s το αυτοκίνητο έχει σταματήσει; Απ: γ. όχι

39 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Το σχήμα περιγράφει το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου υ = f(t) ενός αυτοκινήτου. Αν για t 0 0 είναι x0 0 Να υπολογίσετε: α. Τι κινήσεις εκτελεί το αυτοκίνητο; β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση σε κάθε κίνηση και να κάνετε το διάγραμμα α = f(t) γ. Να κάνετε το διάγραμμα x = f(t) δ. Ξαναγύρισε στο σημείο που ξεκίνησε; Απ: Ναι 5. Η μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να αναπτύξει ένα τρένο είναι α = m/s, ενώ η μέγιστη επιβράδυνση α = 5 m/s. Αν η μέγιστη ταχύτητα του είναι υ = 08 Κm/h, να βρεθεί ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται για να καλύψει μια απόσταση 455 m, αν ξεκινήσει από την ηρεμία και φθάσει στο τέλος της διαδρομής με ταχύτητα μηδέν. Απ: 6s 6. Ένα σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Το σώμα διανύει 6 m κατά την διάρκεια του δεύτερου sec της κίνησής του και 8 m κατά την διάρκεια του πέμπτου sec της κίνησής του. Να υπολογίσετε: α. την αρχική του ταχύτητα, β. την επιτάχυνση m m Απ: α. 0 β. 4 s s 7. 'Οχημα κινείται με σταθερή ταχύτητα υ0 3m / s όταν τη χρονική στιγμή t 0 0 αρχίζει να επιβραδύνεται με επιβράδυνση σταθερού μέτρου m / s. α. Πόση απόσταση έχει διανύσει το όχημα μέχρι να υποτετραπλασιαστεί η ταχύτητά του; β. Ποια η συνολική μετατόπιση του οχήματος μέχρι να σταματήσει ; Απ: α. 40 m β. 56 m

40 40 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 8. Όχημα Α κινείται με σταθερή ταχύτητα υa 0m / s ενώ όχημα Β που βρίσκεται πίσω από το Α σε απόσταση d 39m ξεκινάει με σταθερή επιτάχυνση α m / s. Να βρεθούν : α. Η μέγιστη απόσταση που θα έχουν τα δύο οχήματα β. Ο χρόνος που απαιτείται από τη στιγμή που ξεκινάει το όχημα Β για να συναντηθούν τα δύο οχήματα. Απ: α. 64m β. 3 s 9. Δύο κινητά κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία. Τα διαγράμματα θέσης - χρόνου των δύο κινητών δίνονται στο σχήμα που ακολουθεί. Από αυτά να υπολογιστούν : α. η ταχύτητα κάθε κινητού β. το συνολικό διάστημα που διήνυσε κάθε κινητό σε 0 sec γ. η μετατόπιση κάθε κινητού σε 0 sec δ. η χρονική στιγμή της συνάντησής τους. Απ: α. -5 m / s,5 m/s β. 50 m, 50 m γ m, 50 m δ. 7,5 s 0. Δύο οχήματα Α και Β κινούνται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερές ταχύτητες υa 8m / s και υb 0m / s αντίστοιχα. Το όχημα Α περνάει μπροστά από περίπτερο και δύο δευτερόλεπτα αργότερα περνάει το όχημα Β. α. Πόσος χρόνος έχει περάσει από τη στιγμή που πέρασε το όχημα Α από το περίπτερο μέχρι τη στιγμή της συνάντησης ; β. Σε πόση απόσταση από το περίπτερο θα συναντηθούν τα δύο οχήματα ; Απ: 0 s, 80 m. Κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα 5 m/s και τη χρονική στιγμή t 0 0 αποκτά σταθερή επιτάχυνση m / s. Να βρεθεί η μετατόπιση του κινητού στη διάρκεια του 5 ου δευτερόλεπτου της κίνησής του. Απ: 4 m

41 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 4. Δίνεται το διάγραμμα θέσεως - χρόνου για ένα κινητό. Να βρεθούν: α. η συνολική μετατόπιση β. να γίνει το διάγραμμα υ-t. Απ: α. 0 m 3. Ένα σώμα έχει αρχική ταχύτητα υ 0 = 0 m/s και επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση. Μετά από χρονικό διάστημα Δt, έχει αποκτήσει ταχύτητα υ = 40 m/s και έχει διανύσει διάστημα 0 m. Να βρεθούν: α. ο χρόνος κίνησης β. η επιτάχυνση γ. Να γίνουν τα διαγράμματα α-t, υ-t, x-t. Δίνεται t0 0, x0 0 Απ: α. 4 s β. 5 m/s 4. Ένα σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ 0 = 40 m/s και επιβράδυνση α = 0 m/s. α. Σε πόσο χρόνο η ταχύτητά του θα έχει ελαττωθεί στο μισό της αρχικής και πόσο θα έχει μετατοπισθεί μέχρι τότε; β. Ποιος είναι ο ολικός χρόνος κίνησής του και ποια η ολική του μετατόπιση; γ. Να γίνουν τα διαγράμματα α-t, υ-t, x-t αν t 0 = 0, x 0 = 0. Απ: α. s, 60 m β. 4 s, 80 m 5. Κινητό ξεκινάει απ την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση α = 4 m/s για χρόνο Δt = 0 s. Στη συνέχεια κινείται ευθύγραμμα ομαλά για χρόνο Δt = 0s. Συνεχίζει με επιβραδυνόμενη κίνηση με σταθερή επιβράδυνση α 3 = m/s μέχρις ότου μηδενιστεί η ταχύτητά του. Να βρεθούν: α. η αρχική ταχύτητα της επιβραδυνόμενης κίνησης και η χρονική διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης β. ο ολικός χρόνος κίνησης και η συνολική μετατόπιση γ. να γίνουν τα διαγράμματα α-t, υ-t, x-t. Απ: α. 40 m/s, 0 s β. 40 s, 000 m

42 4 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 6. Σώμα που ηρεμεί, ξεκινάει επιταχυνόμενη κίνηση με στεθερή επιτάχυνση α = m/s μέχρις ότου η ταχύτητά του γίνει υ = 0 m/s. Στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα και μετά από χρονικό διάστημα Δt επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση α = 4 m/s μέχρις ότου σταματήσει. Αν η συνολική του μετατόπιση είναι Δx ολ = 00 m να βρεθούν: α. η χρονική διάρκεια της επιταχυνόμενης και της επιβραδυνόμενης κίνησης β. η μετατόπιση του σώματος κατά τη διάρκεια της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης γ. να γίνουν τα διαγράμματα α-t, υ-t, x-t. Απ: α. 0 s, 5 s β. 50 m 7. Δύο κινητά Α και Β περνούν ταυτόχρονα απ το ίδιο σημείο με ταχύτητες υ Α = 8 m/s και υ B = 0 m/s με ίδια κατεύθυνση. Το Α επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση α = m/s ενώ το Β κινείται ισοταχώς με ταχύτητα υ Β = σταθ. Να βρεθούν: α. πότε και που θα ξανασυναντηθούν β. ποια χρονική στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα γ. να γίνει κοινό διάγραμμα υ-t. Απ: α. s, 40 m β. 6 m 8. Δύο ποδήλατα ξεκινούν, ταυτόχρονα, τη χρονική στιγμή t = 0 από δύο σημεία Α και Β μιας ευθύγραμμης πορείας κινούμενα αντίθετα. Ο ποδηλάτης που βρίσκεται στην πόλη Α αναπτύσσει επιτάχυνση α = 6 m/s και ο ποδηλάτης που βρίσκεται στην πόλη Β α = 4 m/s. Αν η απόσταση ΑΒ είναι 80m να βρείτε πότε θα συναντηθούν και σε πόση απόσταση απ το Α. Απ: 4s, 48 m 9. Δύο αυτοκίνητα Α και Β ξεκινούν απ το ίδιο σημείο χωρίς αρχική ταχύτητα με σταθερές επιταχύνσεις α = m/s και α = 4,5 m/s αντίστοιχα. Το αυτοκίνητο Β ξεκινά s αργότερα απ το Α. Να βρεθούν: α. σε πόσο χρόνο απ τη στιγμή που ξεκίνησε το Α, το αυτοκίνητο Β θα φτάσει το Α β. σε ποια θέση θα γίνει η συνάντηση και ποιες θα είναι οι ταχύτητες τους. γ. να γίνει υ-t κοινό διάγραμμα. Απ: α. 3 s β. 9 m, 6 m/s, 9 m/s

43 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 43 ΘΕΜΑ Ο Κριτήριο Αξιολόγησης:. Επιλέξτε τις σωστές προτάσεις, θέτoντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: α. Η μέση ταχύτητα είναι ίση με την στιγμιαία β. Η μετατόπιση έχει μέτρο ίσο με το διάστημα γ. Η ταχύτητα είναι ανάλογη με την μετατόπιση δ. Η ταχύτητα είναι ανάλογη με τον χρόνο ε. Η μετατόπιση είναι ανάλογη με τον χρόνο κίνησης.. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση το διάγραμμα της συνάρτησης υ f x Μονάδες 5 είναι: (m/s) (m/s) (m/s) (m/s) (m/s) (m) (m) (m) (m) (m) Μονάδες 5 ΘΕΜΑ. Από το (διπλανό) διάγραμμα θέσης - χρόνου δύο κινητών (α) και (β) σε μια ευθύγραμμη κίνηση ποιο αντίστοιχο διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου προκύπτει; Μονάδες 5

44 44 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση. Ένα αντικείμενο που κινείται ευθύγραμμα έχει για t 0 0 : x0 0m. Αν δίνεται το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου να υπολογίσετε την μετατόπιση από 0 έως 5 sec. ΘΕΜΑ 3 Η ταχύτητα απογείωσης ενός αεριωθούμενου είναι Μονάδες 5 km 360 h. Εάν πρόκειται να απογειωθεί από ένα διάδρομο μήκους 00 m, πόση πρέπει να είναι η επιτάχυνση του; Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4 Ένα αυτοκίνητο μάρκας Jaguar καθώς φρενάρησε και σταμάτησε άφησε σημάδια στο m δρόμο μήκους 90 m. Αν η επιβράδυνσή του ήταν 0 s να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα του αυτοκινήτου. Μονάδες 0

45 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 45 Τυπολόγιο Μετατόπιση: Δx x x (m) Μέση διανυσματική ταχύτητα: Δx x x υμ Δt t t m s ολ Μέση αριθμητική ταχύτητα: υ m s Επιτάχυνση: α m s μ S t ολ Δυ Δt Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: υ σταθερό Εξισώσεις επιτάχυνσης ταχύτητας μετατόπισης α 0 υ σταθερό Δx υδt Διαγράμματα x x υt t 0 0 ( ) ( )

46 46 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση α σταθερό α. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση α σταθερό, α > 0, Δυ > 0 Εξισώσεις επιτάχυνσης ταχύτητας μετατόπισης α Δυ αδt σταθερό υ υ α t t Διαγράμματα 0 0 Δx υ0t αt ( ) (s) (s) Σχέση υ-x σε ευθύγραμμη ομαλή επιταχυνόμενη υ = υ ο + αx ή υ = υο αx

47 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 47 β. Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση α σταθερό α το μέτρο της επιβράδυνσης, Δυ 0, Εξισώσεις επιτάχυνσης ταχύτητας μετατόπισης α σταθερό Δυ αδt Δx υ0t αδt υ υ0 αδt Διαγράμματα (m/s) (s) (s) (s) Σχέση υ-x σε ευθύγραμμη ομαλή επιβραδυνόμενη όταν υ τελική = 0 υ 0 x ή υ0 αx α Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη όταν υ τελική 0: υ = υ ο αx ή υ = υο αx

48 48 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Απαντήσεις των ερωτήσεων - Λύσεις Κριτηρίων αξιολόγησης: Ερωτήσεις:.. β. α 3. δ 4. γ.. β. α 3. γ 4. δ 3. Μόνο κατά την επιβραδυνόμενη. 4. Όταν το διάνυσμα της επιβράδυνσης είναι σταθερά αντίθετο του διανύσματος της αρχικής ταχύτητας και μετά το μηδενισμό αυτής. 5. α. Λ, β. Σ, γ. Λ, δ. Λ, ε. Σ 6. α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ 7. α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ 8. α. Σ, β. Λ, γ. Λ, δ. Λ 9. Γρήγορα 0. Γρήγορα, διάνυσμα.. Είναι ίσες κατά μέτρο, αλλά διαφορετικές σαν διάνυσμα, λόγω διαφορετικής διεύθυνσης.. Μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο. ο Κριτήριο αξιολόγησης: Θέμα ο:. α, β, ε. ε Θέμα ο:.. Από τα εμβαδά προκύπτει: x ολ. = 0 Θέμα 3ο: α =,38 m/s Θέμα 4ο: υ ο = 86,5 m/s

49 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 49 Δυναμική σε μία διάσταση: Δύναμη - Σύνθεση συγγραμμικών δυνάμεων - Πρώτος νόμος Νεύτωνα Δύναμη ονομάζεται η αιτία που μπορεί να παραμορφώσει ένα σώμα ή να μεταβάλλει την κινητική του κατάσταση. Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος. Τα χαρακτηριστικά της δύναμης είναι το μέτρο της, η κατεύθυνσή της (διεύθυνση και φορά) και το σημείο εφαρμογής της. Μονάδα μέτρησης της δύναμης είναι το N kg m / s. Ελαστική λέγεται η παραμόρφωση σώματος όταν το σώμα επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση μόλις πάψει να ασκείται η δύναμη που είχε προκαλέσει την παραμόρφωση. Πλαστική λέγεται η παραμόρφωση που διατηρείται και μετά την παύση της δύναμης. Ο Νόμος Hooke για τις ελαστικές παραμορφώσεις Οι ελαστικές παραμορφώσεις είναι ανάλογες των δυνάμεων που τις προκαλούν. (Ν ) F = κ x όπου: x: η παραμόρφωση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος κ: η σταθερά του ελατηρίου που εκφράζει τη σκληρότητά του και μετριέται σε Ν/m. (m)

50 50 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Σύνθεση συγγραμμικών δυνάμεων Συνισταμένη δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων ονομάζεται η δύναμη που τις αντικαθιστά και επιφέρει στο ίδιο σώμα το ίδιο αποτέλεσμα με αυτές. Οι επιμέρους δυνάμεις λέγονται συνιστώσες. Η διαδικασία εύρεσης της συνισταμένης λέγεται σύνθεση. Διανυσματικά γράφουμε πάντα: ΣF = F + F +...Fν Υπολογισμός συνισταμένης. Δύο δυνάμεων ίδιας κατεύθυνσης (ομόρροπες) Ισχύει: F F F και F F F Η συνισταμένη έχει την ίδια κατεύθυνση με τις συνιστώσες και μέτρο το άθροισμα των μέτρων τους.. Δύο δυνάμεις αντίθετης κατεύθυνσης (αντίρροπες) Ισχύει: F F F και F F F Η συνισταμένη έχει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης και μέτρο τη διαφορά των μέτρων των συνιστωσών. Αν F F τότε F F F. Αν F F τότε F F F

51 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 5 3. Τρεις ή περισσότερες δυνάμεις. Ισχύει: F F F F3 Επιλέγουμε αυθαίρετα μια φορά σα θετική Όσες δυνάμεις έχουν τη θετική φορά λαμβάνονται με θετική αλγεβρική τιμή και όσες έχουν την αρνητική φορά λαμβάνονται με αρνητική αλγεβρική τιμή. Προσθέτουμε τις αλγεβρικές τιμές των δυνάμεων. Αν η συνισταμένη προκύψει θετική, θα έχει τη θετική φορά. Αν όχι, την αρνητική. Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα: Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι μηδέν, τότε το σώμα ισορροπεί, δηλαδή ηρεμεί ή κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Ισχύει: Αν ΣF = 0 F + F +... = 0 τότε υ =0 ή υ = σταθερή Αδράνεια ονομάζεται η ιδιότητα των σωμάτων να τείνουν να διατηρούν την κινητική τους κατάσταση. Για δύο δυνάμεις : F 0 F F 0 F F F 0 F F 0 F F (μέτρα) Για τρείς δυνάμεις: F 0 F F F3 0 F F F3 Δηλαδή: F, F3 και F, = F 3

52 5 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής Ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα ΣF = mα ή ΣF α = m Η επιτάχυνση α έχει την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης ΣF. Η επιτάχυνση α είναι ανάλογη της δύναμης για την ίδια μάζα και αντιστρόφως ανάλογη της μάζας για την ίδια δύναμη. Μέτρο της αδράνειας των σωμάτων είναι η αδρανειακή μάζα F m Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι διάφορη του μηδενός, τότε η αδράνεια των σωμάτων εκδηλώνεται σαν αντίσταση στην αιτία που μεταβάλλει την κινητική τους κατάσταση. Παρά την αδράνεια πάντως η κινητική τους κατάσταση θα μεταβληθεί. Διερεύνηση της σχέσης ΣF = mα. Αν F 0 τότε α 0. Το σώμα ηρεμεί ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. (ος Νόμος Νεύτωνα).. Αν F σταθερή τότε α σταθερή. Αν F και υ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπες), τότε η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. Αν F και υ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (αντίρροπες), τότε η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. 3. Αν ΣF σταθερή τότε α σταθερή. Κίνηση με μεταβαλλόμενη επιτάχυνση. Βάρος σώματος στη Γη, ονομάζεται η δύναμη που δέχεται το σώμα από τη Γη. B mg όπου m η βαρυτική μάζα του σώματος m g Αδρανειακή και βαρυτική μάζα πειραματικά διαπιστώθηκε ότι είναι ίσες.

53 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 53 Ελεύθερη πτώση: Κίνηση που εκτελεί ένα σώμα όταν αφήνεται να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα από κάποιο ύψος, με την επίδραση μόνο του βάρους του. Το βάρος λαμβάνεται σταθερό και οι αντιστάσεις αέρα αμελητέες.. Ισχύει F m m mg m g Αν και τα σώματα έχουν διαφορετικό βάρος (λόγω της διαφορετικής μάζας τους) πέφτουν όλα με την ίδια επιτάχυνση την επιτάχυνση της βαρύτητας g. Εξισώσεις ταχύτητας και διαστήματος υ gt Τυχαία θέσηα s gt H Όταν φτάνει στο έδαφος ισχύει: H gt t και gt gh g 3. Διαγράμματα στην ελεύθερη πτώση (m/s) (m/s ) (m) (s) (s) (s) 4. Παράγοντες που καθορίζουν την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας Γεωγραφικό πλάτος Η επιτάχυνση της βαρύτητας αυξάνεται από τον ισημερινό (g = 9,78 m/s ) προς τους πόλους (g = 9,83 m/s ). Ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης. Μειώνεται με την αύξηση του ύψους

54 54 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Ερωτήσεις: 3. Ένα αυτοκίνητο κινείται ισοταχώς προς τον Βορρά με ταχύτητα 85 Κm/h. Ποια είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που δρουν πάνω του; 4. Να εξηγηθεί το φαινόμενο της κίνησης των επιβατών ενός λεωφορείου, όταν αυτό φρενάρει. 5. Να αντιστοιχίσετε τις τιμές της συνισταμένης δύναμης που ασκείται σε σώμα μάζας 5kg με τις τιμές της επιτάχυνσης F(N) α m / s. 5 α.. 0 β γ. δ Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα αρχικα ακίνητο σώμα, έχει ως αποτέλεσμα να κινηθεί ευθύγραμμα. Με βάση το διάγραμμα δύναμης - χρόνου, να αντιστοιχίσετε τα χρονικά διαστήματα με τα είδη κίνησης. Χρονικά διαστήματα (α) (β) (γ) Είδη κινήσεων. Ομαλή κίνηση. Ομαλά επιταχυνόμενη 3. Επιταχυνόμενη 4. Επιβραδυνόμενη 5. Ομαλά επιβραδυνόμενη 7. Σ ένα σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις μέτρου 3Ν και 6Ν. Η συνισταμένη τους έχει μέτρο: α. 9Ν β. 3Ν γ. 4Ν δ. Δεν επαρκούν τα στοιχεία για απάντηση.

55 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Ποιο λάθος περιέχεται στη φράση: Το αυτοκίνητο είναι ακίνητο, επομένως δε δρουν δυνάμεις πάνω του. 9. Ο επιβάτης ενός λεωφορείου έχει υποβάλλει μύνηση κατά του οδηγού του λεωφορείου, γιατί όπως ισχυρίζεται, ενώ καθόταν στο πίσω μέρος του λεωφορείου, ο οδηγός σταμάτησε απότομα, με αποτέλεσμα ένα δέμα που βρισκόταν μπροστά του, έπεσε προς τα πίσω και τον χτύπησε. Εαν ήσασταν ο δικαστής της υπόθεσης, τι θα αποφασίζατε και γιατί; 0. Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο και έχει μάζα 0kg. Στο σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις, η μία 5Ν προς τα αριστερά και η άλλη 0Ν προς τα δεξιά. i. Η επιτάχυνση του σώματος είναι: m m m m α. 0,5, β.,5, γ., δ. 4 s s s s ii. Σε χρόνο t s θα έχει μετατοπισθεί κατά: α. m, β. 4m, γ. 3m, δ. 8m. Η αδρανειακή μάζα ορίζεται από: α. το νόμο της αδράνειας β. το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής γ. την ποσότητα της ύλης του σώματος δ. τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα. Ένα σώμα επιβραδύνεται ομαλά όταν η δύναμη (συνισταμένη) που το επιβραδύνει είναι: α. Ανάλογη της μετατόπισης που διανύει β. Μηδενική γ. Σταθερή κατά μέτρο και κατεύθυνση δ. Ανάλογη του χρόνου 3. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; α. Για να κινείται ένα σώμα με σταθερή ταχύτητα, πρέπει να ασκείται πάνω του μία δύναμη. β. Η μάζα των σωμάτων είναι το μέτρο της αδράνειάς τους. γ. Ένα σώμα επιβραδύνεται, όταν σταματήσουν να ασκούνται δυνάμεις πάνω του. δ. Ένα σώμα επιταχύνεται ομαλά, αν η συνισταμένη δύναμη που δέχεται είναι σταθερή και κατά τη φορά της κίνησης.

56 56 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Μεθοδολογία ασκήσεων - Αποδείξεις - Λυμένα παραδείγματα:. Όταν το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμη ομαλή κίνηση) ή είναι ακίνητο, ισχύει η σχέση F 0. Για την εύρεση της μετατόπισης του σώματος χρησιμοποιείται η γνωστή σχέση Δx υ Δt ή x υt.. Όταν στο σώμα ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη και το σώμα αρχικά ηρεμεί ισχύουν: ΣF mα, υ αt, x αt 3. Όταν στο σώμα ασκείται τη χρονική στιγμή t 0 0 σταθερή συνισταμένη δύναμη και το σώμα έχει αρχική ταχύτητα υ 0 ομόρροπη της F ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης: υ υ0 αt και x υ t αt 0, καθώς και ο θεμελιώδης νόμος της μηχανικής: ΣF = m α 4. Όταν στο σώμα ασκείται τη χρονική στιγμή t 0 0 σταθερή συνισταμένη δύναμη και το σώμα έχει αρχική ταχύτητα υ 0, αντίρροπη της ΣF ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης της ευθύγραμμης ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης: υ υ0 αt και x υ0t αt όπου α το μέτρο της επιβράδυνσης και ο θεμελιώδης νόμος της μηχανικής: ΣF = m α 5. Όταν δίνεται το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου για ένα σώμα, υπολογίζουμε την επιτάχυνση για κάθε χρονικό διάστημα και κατασκευάζουμε το διάγραμμα δύναμης (συνισταμένης) - χρόνου. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή από διάγραμμα δύναμης (συνισταμένης) - χρόνου κατασκευάζεται το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου.

57 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 57 (m/s) (N ) (s) (s) 6. Όταν κατά τη διάρκεια ελεύθερης πτώσης ζητείται για κάποια χρονική στιγμή η απόσταση του σώματος από το έδαφος, δηλαδή το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σώμα, υπολογίζουμε τη μετατόπιση του σώματος και στη συνέχεια την αφαιρούμε από το αρχικό ύψος. h H s H gt 7. Όταν το σώμα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα υ 0, ισχύουν οι σχέσεις: υ υ0 gt και s υ0t gt Θεωρούμε τις αντιστάσεις του αέρα αμελητέες. 8. Όταν το σώμα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα υ 0 η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη μέχρις ότου σε κάποιο ύψος (μέγιστο) μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος. Στη συνέχεια το σώμα επιστρέφει εκτελώντας ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης για όλη τη διάρκεια της: υ υ0 gt και x υ0t gt με την προϋπόθεση ότι: x: μετατόπιση από το σημείο βολής t: ολικός χρόνος κίνησης Η κίνηση γίνεται στο κενό και g το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

58 58 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Απόδειξη Να διερευνηθεί η σχέση ΣF mα (ος Νόμος του Νεύτωνα).. Αν F 0 τότε α 0. Το σώμα ηρεμεί ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. (ος Νόμος Νεύτωνα).. Αν F σταθερή τότε α σταθερή. Αν F και υ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπες), τότε η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. Αν F και υ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (αντίρροπες), τότε η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. 3. Αν ΣF σταθερή, τότε α σταθερή. Κίνηση με μεταβαλλόμενη επιτάχυνση. Απόδειξη Τι ισχύει για την επιτάχυνση του σώματος στην ελεύθερη πτώση. Ισχύει: ΣF mα B mα mg mα g α Αν και τα σώματα έχουν διαφορετικό βάρος (λόγω της διαφορετικής μάζας τους), πέφτουν όλα με την ίδια επιτάχυνση, την επιτάχυνση της βαρύτητας g.

59 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση 59 Απόδειξη 3 Ποιες είναι οι εξισώσεις ταχύτητας και διαστήματος στην ελεύθερη πτώση; υ α t υ g t α g s g t α g s α t (s) υ g t Τυχαία θέση Α s g t Όταν φτάνει στο έδαφος ισχύει: H και υ g t g H g Η g t t (m/s) (m/s ) (m) (s) (s) (s) (s)

60 60 ΦΥΣΙΚΗ: Ευθύγραμμη κίνηση - Δυναμική σε μία διάσταση Παράδειγμα 6 Η συνισταμένη τριών συγγραμμικών δυνάμεων F, F και F έχει μέτρο 3 F 0N. Να βρεθούν οι συνιστώσες της, στις παρακάτω περιπτώσεις: α. Οι τρεις δυνάμεις είναι ομόρροπες και για τα μέτρα τους ισχύει: F F F 3 β. Οι F και F είναι ομόρροπες και για τα μέτρα των δυνάμεων ισχύει: F F F3 Λύση: F F F F α. 3 F F F F3 F F F F F 4F F 5N Άρα F F 0N και F3 F 5N β. Αν η F είναι ομόρροπη με τις 3 F και F θα ισχύει: F F F F F F F F F 3F F N F F3 3 Αν η F είναι αντίρροπη με τις 3 F και F θα ισχύει: F F F F F F F F 3 3 F F F F F F 0N Άρα F F F3 0N