ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 0-03 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 Τηλ:

2 σ-άλγεβρα - Μέτρο εσµευµένη µέση τιµή Στοχαστικές διαδικασίες - Martingales

3 σ-άλγεβρα και Μέτρο σ-άλγεβρα Έστω Ω ένα µη κενό σύνολο. Μία κλάση υ οσυνόλων Y του Ω καλείται σ-άλγεβρααν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) Ω Y. (ii) Αν Α Yτότε και Α c Y. (iii) Αν Α,Α, Y (αριθµήσιµη οικογένεια υ οσυνόλων του Ω) τότε και Το ζεύγος (Ω, Y ) καλείται µετρήσιµος χώρος. Α οδεικνύεται ότι αν Y είναι σ- άλγεβρατότε Y καια,α, Y A Y Μέτρο (i) Έστω ένα µη κενό σύνολο Ω και Y µία σ-άλγεβρά του. Μία συνολοσυνάρτηση µ α ό το Y στο [0, ] καλείται µέτρο αν ( ) 0 µ ( ) µu A µ ( (ii ) για κάθε ακολουθία ξένων ανά δύο συνόλων Α,Α, Y i i A i i Ητριάδα(Ω, Y? µ) καλείται χώροςµέτρου ) I i i U A i i Y

4 Εισαγωγή Η κατοχή ληροφορίας η ο οία είναι λήρης και ακριβής είναι βασική ροϋ όθεση ε ιτυχίας για κά οιον ου ασχολείται µε χρηµατοοικονοµικά ροβλήµατα και εµ όριο κάθε είδους Κά οτε α οτελούσε ανάκριβο ροϊόν η αγορά ληροφορίας α ό τους χρηµατοοικονοµικούς οργανισµούς ενώ σήµερα µε το Internet ένα µεγάλο µέρος της αναγκαίας ληροφορίας είναι διαθέσιµο Είναι λοι όν λογικό να υ οθέσουµε ότι η ληροφορία φθάνει σε όλους µε την ίδια ιθανότητα και ότι οι διαφορές εντο ίζονται ερισσότερο στον τρό ο χρήσης της

5 Εισαγωγή Στην ραγµατικότητα βέβαια τα ράγµατα είναι αρκετά ιο ερί λοκα Η ικανότητα α οθήκευσης της ληροφορίας, η οργάνωση της και η γρήγορη ρόσβαση σε σε αυτήν είναι ένας α ό τους βασικούς αράγοντες σωστής αξιο οίησής της Με το έρασµα του χρόνου συνεχώς νέα ληροφορία καταφθάνει σε όλους τους οικονοµικούς αράγοντες, οι ο οίοι συνεχώς ε ανα ροσαρµόζουν τις στρατηγικές και τις α οφάσεις τους

6 Εισαγωγή Οι χώροι ιθανοτήτων και οι µαθηµατικοί µηχανισµοί ου µας αρέχει η δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη µέση τιµή είναι ισχυρά ό λα για την διαχείριση στατικών καταστάσεων, στις ο οίες συνυ άρχει σε µεγάλο βαθµό η τυχαιότητα Ισοδύναµα ισχυρή σε αυτές τις ερι τώσεις είναι και η ιδέα του filtration Για την διαχείριση δυναµικών καταστάσεων ου εριέχουν σε µεγάλο βαθµό τυχαιότητα η ο οία αναδεικνύεται µέσα στον χρόνο, χρειαζόµαστε την θεωρία των Martingales Θα ξεκινήσουµε µε κά οια χρήσιµα α οτελέσµατα άνω στην δηµευµένη µέση τιµή και στην συνέχεια θα ανα τύξουµε την θεωρία των Martingales

7 ιακριτή Περί τωση ΈστωΧµιατ.µ.τηςο οίαςηµέσητιµήείναι ε ερασµένη.είναιγνωστόότι [ X] x Pr( X x) x Είναι ε ίσης γνωστό ότι η δεσµευµένη ιθανότητα δύο ενδεχοµένων Α και Β δίνεται α ό την σχέση Pr ( A B) Pr Pr ( AI B) ( B) Σε άρα ολλές ερι τώσεις όταν έχουµε µια τ.µ. Χ συµβαίνει να έχουµε µια µερική ληροφόρηση για αυτήν, η ο οία έχει την µορφή µια άλλης τ.µ. Υ, η ο οία µεταφέρει κά οια ληροφορία για την Χ

8 ιακριτή Περί τωση Στην ερί τωση αυτή ορίζουµε την δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη κατανοµή της Χ, δεδοµένου της Υ Pr( X x, Y y) f X Y ( x y) Pr( Y y) Ανάλογα ορίζεται και η δεσµευµένη συνάρτηση κατανοµής της Χ δεδοµένου της Υ F ( X x Y y) ( X x, Y y) ( ) Pr Y y X Y ( x y) Pr f X Y k x Pr ( k y) Έτσι είµαστε σε θέση να ορίσουµε την δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη µέση τιµή της Χ δεδοµένης της Υ [ X Y y] k Pr( X k Y y) k f ( k y) X Y k k

9 ιακριτή Περί τωση Τιγίνεταιόµωςανθεωρήσουµε την [ X Y] Σε αυτήν την ερί τωση η δεσµευµένη µέση τιµή αίρνει ένα σύνολο τιµών ανάλογων τωντιµών ουµ ορείνα άρειητ.µ.υ,είναιδηλαδήµιατ.µ. Η ιθανότητα Pr ( X x, Y y) λέγεται α ό κοινού κατανοµήτωντ.µ.χκαιυ και συµβολίζεται µε ( X x Y y) f ( x, y) Pr, Μ ορούµε να δείξουµε ότι y f ( x) f ( x, y) x f ( y) f ( x, y)

10 ιακριτή Περί τωση Α ό τις ροηγούµενες σχέσεις ροκύ τει ότι x X Y y x f y x f y f y x f y x f ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( και Το ρόβληµα στις αρα άνω σχέσεις είναι ότι οι α ό κοινού κατανοµές στην ράξη είναι δύσκολο να είναι γνωστές και µερικές φορές η ύ αρξη τους είναι ρόβληµα [ ] k k k Y X y k f y k f k y k f k y Y X ) ( ) ( ) (

11 ιακριτή Περί τωση Πρόταση : ΑνΧκαιΥείναιανεξάρτητεςτ.µτότε [ X Y] [ X] Παράδειγµα : Εάν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τ.µ. µε Poisson κατανοµή µε αραµέτρους λ και λ αντίστοιχα, τότε να βρεθεί η δεσµευµένη µέση τιµή [ X X + Y k] Θεώρηµα : ΑνΧκαιΥείναιδιακριτέςτ.µτότε [ X] [ [ X Y ]

12 Συνεχής Περί τωση Έστω Χ και Υ δύο συνεχείς τ.µ. και έστω f(x,y) είναι η α ό κοινού υκνότητα ιθανότητας. Έστω ε ίσης f y (y) η υκνότητα ιθανότητας της Υ. Κατά αναλογία µε την διακριτή ερί τωση ορίζεται η δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη υκνότητα ιθανότητας της ΧδεδοµένηςτηςΥyωςεξής f x y ( x y) f ( x, y) f ( y) y µε + f y ( y) f ( x, y) dx

13 Συνεχής Περί τωση Αναλόγως άλι µε την διακριτή ερί τωση, µ ορούµε να ορίσουµε την δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη µέση τιµή τηςχδεδοµένης τηςυωςεξής: [ X Y y] + x x y ) f ( x, y dx Θεώρηµα : ΑνΧκαιΥείναισυνεχείς τ.µτότε [ X] [ [ X Y ]

14 Εφαρµογές Θεώρηµα 3: Έστω Χ, Χ, Χ Ν ισόνοµες τ.µ. των ο οίων το λήθος Ν είναι ε ίσης µια τ.µ. ανεξάρτητηα ότιςχ,χ, Χ Ν,τότε *Παράδειγµα : N i X i [ N] [ X] Μια χρηµατιστηριακή εταιρία έχει έναν αριθµό α ό Ν options τα ο οία λήγουν σε µια ηµέρα. Ο αριθµός των options ου λήγουν είναι µια τ.µ. µε µέση τιµή 00. Ένα option έχει ιθανότητα 0.6 να έχει κέρδος 0 για την χρηµατιστηριακή εταιρία και ιθανότητα 0.4 να έχει µια ζηµία 5. Να βρεθεί οιο είναι το αναµενόµενο κέρδος της χρηµατιστηριακής εταιρίας α ό τα options σε µια ηµέρα.

15 Εφαρµογές Λύση: Έστω X i µια τ.µ. ου εκφράζει το κέρδος της χρηµατιστηριακής εταιρίας α ό το i option. Τότε έχουµε: [ X ] X i ΑφούΝείναιοαριθµόςτωνoptionsέχουµεότιτοσυνολικό κέρδοςθαείναι: X + X + K+ Το Ν όµως είναι µια τ.µ. και κατά συνέ εια έχει νόηµα να υ ολογίσοµε µόνο το αναµενόµενο κέρδος α ό το θεώρηµα 3: [ X X + K+ X ] X [ N] [ X] X N N + N i i

16 Εφαρµογές Θεώρηµα 4: Έστω Ν το λήθος ανεξάρτητων δοκιµών Bernouli µε ιθανότητα ε ιτυχίας p. Έστω ε ι λέονότιτονείναιµιατ.µ.εάνχείναιοαριθµόςτωνε ιτυχιών τότε: Παράδειγµα 3: [ X ] [ N ] p Σε µια χρηµατιστηριακή εταιρία οι ελάτες οι ο οίοι ζητούν ληροφορίες για αράγωγα φθάνουν σύµφωνα µε την κατανοµή Poisson µε αράµετρο ανά ώρα. Η χρηµατιστηριακή εταιρία αραµένει ανοικτή ώρες ακριβώς. Η ιθανότητα ένας ελάτης ου ζητά ληροφορίες για αράγωγα να αγοράσει ένα α ό αυτά είναι Να βρεθεί ο αναµενόµενος αριθµός αραγώγων ου ουλά η εταιρία ηµερησίως.

17 Εφαρµογές Λύση: Ανµιατ.µ.ΧέχεικατανοµήPoissonµε αράµετρολτότε [ X] λ Άρα ο αναµενόµενος αριθµός ελατών σε µια ηµέρα ου ζητά ληροφορίες για αράγωγα θα είναι ä44 ελάτες Σύµφωνα µε το θεώρηµα 4, ο αναµενόµενος αριθµός αραγώγων ου θα ουλήσει σε µια ηµέρα η χρηµατιστηριακή εταιρία θα είναι [ X] [ N] p

18 Εφαρµογές Θεώρηµα 5: Έστω Ν το λήθος ανεξάρτητων δοκιµών Bernouli µε ιθανότητα ε ιτυχίας p. Έστω ε ι λέον ότι η ιθανότητα ε ιτυχία p είναι µια τ.µ. Εάν Χ είναι ο αριθµός των ε ιτυχιών τότε: [ X] N [ p]

19 Εφαρµογές Θεώρηµα 7: Θεωρούµε ότι εκτελούνται ανεξάρτητες δοκιµές Bernouli µε ιθανότητα ε ιτυχίας p µέχρι να εµφανιστούν k το λήθος συνεχόµενες ε ιτυχίες. Έστω N k η τυχαία µεταβλητή ου εκφράζει τον αριθµό των δοκιµών Bernouli µέχρι την εµφάνιση k συνεχόµενων ε ιτυχιών. Τότε: Παράδειγµα 4: p p p [ N k] + + K+ k Θεωρούµε το διωνυµικό µοντέλο τιµολόγησης µιας µετοχής. ηλαδή έστω S 0 η τιµή της στο χρόνο 0. Στο χρόνο, η τιµή της είτε θα ανέβει (ε ιτυχία), είτε θα έσει (α οτυχία). ΈστωΧ ητ.µ. ουεκφράζειτοδιωνυµικό είραµα X άνοδο 0 πτώση

20 Εφαρµογές Υ οθέτουµε ότι στο αρα άνω διωνυµικό είραµα η ιθανότητα ε ιτυχίας είναι p και ίση µε Να βρεθεί ο αναµενόµενος αριθµός των ηµερών ου χρειάζονται έτσι ώστε η µετοχή να εµφανίσει άνοδο για 5 συνεχόµενες ηµέρες. Λύση: ΈστωΝ 5 ητ.µ. ουεκφράζειτονζητούµενοαριθµόηµερών.α ότοθεώρηµα7 [ N ] 5 p + p + p 3 + p 4 + p

21 Εφαρµογές Γενικά η µέση τιµή µιας οσότητας α οκτά ληρέστερο νόηµα όταν συνοδεύεται και α ό την διακύµανσή της Θεώρηµα 8: Έστω Χ, Χ, Χ Ν ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. των ο οίων το λήθος Ν είναι ε ίσης µιατ.µ.ανεξάρτητηα ότιςχ,χ, Χ Ν,τότε N Var i Παράδειγµα 5: X i [ N] Var[ X] + ( [ X] ) Var[ N] Στο αράδειγµα, να βρεθεί η διακύµανση του κέρδους της χρηµατιστηριακής εταιρίας α ό τα options σε µια ηµέρα. Είναι δεδοµένο ότι η διακύµανση των options ου λήγουνσεµιαηµέραείναιµιατ.µ.µεδιακύµανση6.5.

22 Εφαρµογές Λύση: Έχουµε ότι ( ) X i άρα Var [ ] ( X X ) [ X ] i i i ( ) Σύµφωναµετοθεώρηµα8έχουµεότι N Var i X i [ N] Var[ X] + ( [ X] ) Var[ N]

23 Εφαρµογές Μια ακόµα ολύ σηµαντική χρήση της δεσµευµένης µέσης τιµής και ιθανότητας, είναι στον υ ολογισµό της ιθανότητας ενός ενδεχοµένου. Ας υ οθέσουµε ότι θέλουµε να υ ολογίσουµε την ιθανότητα ενός ενδεχοµένου Α. Ορίζουµε την τ.µ. Χ η ο οία αίρνει την τιµή αν ραγµατο οιείται το ενδεχόµενο Α και την τιµή 0 αν όχι. Α ό τον ορισµό της µέσης τιµής µιας τ.µ. έχουµε ότι [ X] Pr( A) + 0 Pr( A) Pr( A) Ε ίσης για ο οιαδή οτε τ.µ. Υ έχουµε ότι Είναι ε ίσης γνωστό ότι [ X Y] Pr( A Y) + 0 Pr( A Y) Pr( A Y) [ X Y] Pr( Y y) y [ X] [ [ X Y ] + [ X Y] Pr( Y y) dy

24 Εφαρµογές Α ό ό ου ροκύ τει Pr ( A) Προκύ τουν λοι όν δύο ακόµα χρήσιµα θεωρήµατα: Θεώρηµα 9: y + Pr Pr ( A Y y) Pr( Y y) ( A Y y) Pr( Y y) ΈστωΧκαιΥανεξάρτητεςτ.µ. Οιο οίεςείναι συνεχείςµε υκνότητες ιθανότηταςf X (x) dy καιf Y (y).τότε: Pr ( X Y) + < F ( y) f ( y dy X Y ) Θεώρηµα 0: ΈστωΧκαιΥανεξάρτητεςτ.µ. Οιο οίεςείναι συνεχείςµε υκνότητες ιθανότηταςf X (x) καιf Y (y).τότεανζχ+υ: F + Z ( z) FX ( z y) fy ( y) dy

25 Ιδιότητες. ΑνΧκαιΥείναιδύοτ.µ.καιg (X)καιg (X)είναιδύοσυναρτήσεις τηςχτέτοιεςώστε τότεγιακάθεα,α IRέχουµε: [ g X )] < και [ g ( )] < ( X [ a g X ) + a g ( X ) Y] a [ g ( X ) Y] + a [ g ( X ) Y] (. ΑνΧκαιΥείναιδύοανεξάρτητεςτ.µ.τότε [ X Y] [ X] 3. ΑνΥείναιτ.µ.τότε (i) (ii) [α Y] α γιακάθεα IR [f(y) Y] f(y)

26 Ιδιότητες 4. ΑνΧκαιΥείναιδύοτ.µ. [ XY Y] Y[ X Y] 5. Αν Χ, Χ και Υ είναι τρεις τ.µ. και g(x ) και g(x ) είναι δύο συναρτήσεις των Χ, Χ τέτοιες ώστε τότεγιακάθεα,α IRέχουµε: 6. Ανg:IR IR καιχείναιτ.µ.τ.ω. τότε ενώ αν [ g( X ) ] < και [ g ( X ) ] < ( X [ a g X ) + a g( X ) Y] a [ g( X ) Y] + a [ g( X ) Y] ( [ g( X )] g( [ X] ) < [ ] 0 [ g( X) ] < και g ( X) < 0 ( ) g( X) < και g ( X) > τότε [ g( X )] > g [ X]

27 Ορισµός : εσµευµένη Μέση Τιµή Ιδιότητες Μιατ.µ.Υθαλέµεότι καθορίζεται α όµιαάλλητ.µ.χανείναιµιασυνάρτηση τηςχ. Αν η τ.µ. Υκαθορίζεται α ό την Χ, τότε αν Ζείναι µια τ.µ. (i) [YZ X]Y[Z X] (ii) Ε[Υ Χ]Υ Ορισµός : ΈστωΧ,Υ τ.µ.θαλέµεότιηχείναι υ ό συνθήκη ανεξάρτητη της Υανισχύει ησχέση: [ X Y] [ X] Ο όρος υ ό συνθήκη ανεξαρτησία χρησιµο οιείται γιατί είναι κάτι το ενδιάµεσο α ό το αν οι τ.µ. ήταν ανεξάρτητες και ασυσχέτιστες ( Cov(X,Y) 0). Υ ό συνθήκη ανεξαρτησία: Cov(X,g(Y)) 0

28 Ορισµός 3: εσµευµένη Μέση Τιµή Περισσότερες µεταβλητές Έστω Χ, Χ, Χ n διακριτές τ.µ., τότε ορίζουµε την δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη µέση τιµήτηςτ.µ.χδεδοµένωντωνχ,χ, Χ n ως: [ X x, X x, K, X x ] k Pr( X k X x, X x, K, X x ) X Και άλιη Ορισµός 4: είναιµιατ.µ. ΈστωΧ,Χ, Χ n συνεχείςτ.µ.,τότεορίζουµε την δεσµευµένηήυ ό συνθήκη µέση τιµή τηςτ.µ.χδεδοµένωντωνχ,χ, Χ n ως: n n [ X X, X, ], K X n k k k f ( k x, x, x ) X X, X, K, X K n, [ X X x, X x, K, X x ] x f ( x x, x, x ) n, n n X X, X,, X IR K K n n n dx n

29 Περισσότερες µεταβλητές Θεώρηµα : ΈστωΧ,Χ,Υ τρειςτ.µ.,τότε: α) [ [ Y X, X ] X ] [ Y X ] β) [ [ Y X ] X, X ] [ Y X ]

30 Περισσότερες µεταβλητές Παρατήρηση: Στοθεώρηµα,γιατοα)µέρος,ανσυµβολίσουµεµεΙ τοσύνολοτης ληροφορίας ου εριέχεται στην τ.µ. Χ και Ι το σύνολο της ληροφορίας ου εριέχεται στις τ.µ. Χ, Χ τότε ροφανώς Ι ÕΙ. ηλαδή οι σχέσεις α) και β) του θεωρήµατος µ ορούν να γενικευτούν: [ [ Y I ] I] [ Y I], αν I I [ [ Y I] I ] [ Y I], αν I I

31 Περισσότερες µεταβλητές Πρόταση : ΑνΧτ.µ.µεΧ>0καιΥµιαάλλητ.µ.τότε: [ Y] > 0 X Θεώρηµα : ΈστωΧ,Χ,, Χ n µια ακολουθίατ.µ. οι ο οίες είναι µη αρνητικές. Ε ι λέον έστω ότιη ακολουθία αυτή συγκλίνει σ.β. στην τ.µ. Χ, δηλαδή: ΤότεανΥείναιµιατ.µ.ισχύει ότιηακολουθίατωντ.µ. συγκλίνει σ.β. στην τ.µ. [ X Y] δηλαδή: Pr( lim X ) X n n [ X Y] n [ X Y] [ X Y] ) Pr( lim n n

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 202-203 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fme.aegea.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 2012-2013 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fµe.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a Κοινή εφα τοµένη Αν θέλουµε να βρούµε τη κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +β των γραφικών αραστάσεων gδυο συναρτήσεων g εργαζόµαστε ως εξής:,( ) ( ) Έστω ( ),g( ) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων

ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΜΑΪΟΣ 2013 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) υιοθετεί την αρούσα ολιτική αναθεωρήσεων η ο οία καθορίζει τυ ο οιηµένους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου

EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΥΝ ΤΙΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΕ ΕΠΑΦΕΣ Κάθε 100 ε ισκέψεις θα ρέ ει να καταχωρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεσιακή Άλγεβρα. Κεφάλαιο 4. Database Management Systems, R. Ramakrishnan and J. Gehrke

Σχεσιακή Άλγεβρα. Κεφάλαιο 4. Database Management Systems, R. Ramakrishnan and J. Gehrke Σχεσιακή Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 Database Management Systems, R. Ramakrishnan and J. Gehrke 1 Γλώσσες Σχεσιακών Αιτηµάτων v Γλώσσες Αιτηµάτων: Ε ιτρέ ουν τη ιαχείριση και την Ανάκτηση εδοµένων α ό µια Β. v

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.

Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής. Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστη Α αιτούµενη Α αρτία: 20% του συνόλου των κοινών, µετά δικαιώµατος ψήφου, µετοχών εκδόσεως της εταιρείας

Ελάχιστη Α αιτούµενη Α αρτία: 20% του συνόλου των κοινών, µετά δικαιώµατος ψήφου, µετοχών εκδόσεως της εταιρείας 1.Υ οβολή ρος έγκριση των Ετησίων Οικονοµικών Καταστάσεων και των Ενο οιηµένων Οικονοµικών Καταστάσεων της εταιρικής χρήσης 2016, ου έχουν συνταχθεί σύµφωνα µε τα ΠΧΠ µετά α ό ακρόαση των Εκθέσεων του

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ JAVA. 5 η ιάλεξη

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ JAVA. 5 η ιάλεξη ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ JAVA 5 η ιάλεξη ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΗΣ ΠΡΟΓ/ΣΜΟΣ & ΣΦΑΛΜΑΤΑ Εnumerators Κληρονοµικότητα Exceptions try / catch / finally Interfaces ENUMERATORS ( ENUM ) Τα enum είναι ένα εργαλείο για να οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Τεχνική Έκθεση 2. Ενδεικτικός Προϋ ολογισµός 3. Συγγραφή Υ οχρεώσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ Η.Π.ΝΑΟΥΣΑΣ AΡ.ΠΡΩΤ.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Τεχνική Έκθεση 2. Ενδεικτικός Προϋ ολογισµός 3. Συγγραφή Υ οχρεώσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ Η.Π.ΝΑΟΥΣΑΣ AΡ.ΠΡΩΤ. AΡ.ΠΡΩΤ.7090/7-3-2014 ΕΝΙΑΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΝΟΜΙΚΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 27.531,00 (ανευ Φ.Π.Α.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Τεχνική Έκθεση 2. Ενδεικτικός Προϋ ολογισµός 3. Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανε ιστήµιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανε ιστήµιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΙΑΛΕΞΗ 09 ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Βόλος, 2015-2016

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kouras@fm.aga.gr Τηλ: 7035468 Κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΗΚΗ- ΤΡΟΠΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ «Α

ΠΡΟΣΘΗΚΗ- ΤΡΟΠΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ «Α ΠΡΟΣΘΗΚΗ- ΤΡΟΠΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ «Α λούστευση διαδικασιών λειτουργίας τουριστικών ε ιχειρήσεων και τουριστικών υ οδοµών, ειδικές µορφές τουρισµού και άλλες διατάξεις» Α. ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Εικ. Καθηγητής v.kouras@fme.aegea.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ JAVA. 2 η ιάλεξη

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ JAVA. 2 η ιάλεξη ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ JAVA 2 η ιάλεξη ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΗ ΠΡΟΓ/ΣΜΟ Περισσότερος έλεγχος ροής ρογράµµατος Enumerators Εισαγωγή στον αντικειµενοστραφή ρογραµµατισµό Παραδείγµατα ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (ΣΤΑ.ΣΥ.) A.E. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕΣΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ Ε ΡΑ: ΑΘΗΝΑΣ 67 - ΑΘΗΝΑ 105 52 ΑΦΜ: 099939745.Ο.Υ. :ΦΑΕ Αθηνών ΤΗΛ. ΚΕΝΤΡΟ: 210-3248311-17 FAX: 210-3223935 Αριθ. Πρωτ. :11311 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗ ΑΡ. Μ.Α.Ε. 602/06/Β/86/04 ΓΕΜΗ Π Ρ Ο Σ Κ Λ Η Σ Η ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΤΗΣ ΑΝΩΝΥΜΟΥ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΩΝΥΜΙΑ

ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗ ΑΡ. Μ.Α.Ε. 602/06/Β/86/04 ΓΕΜΗ Π Ρ Ο Σ Κ Λ Η Σ Η ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΤΗΣ ΑΝΩΝΥΜΟΥ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗ Α.Τ.Ε ΑΡ. Μ.Α.Ε. 602/06/Β/86/04 ΓΕΜΗ 243701000 Π Ρ Ο Σ Κ Λ Η Σ Η ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΤΗΣ ΑΝΩΝΥΜΟΥ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΩΝΥΜΙΑ Π Ρ Ο Ο Ε Υ Τ Ι Κ Η ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΣΕ ΤΑΚΤΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΜΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΜΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΜΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ I

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ I ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ I Τέσσερα σηµαντικά στοιχεία: Το εισόδηµα του καταναλωτή Οι τιµές των αγαθών Οι ροτιµήσεις των καταναλωτών Η υ όθεση ότι ο καταναλωτής λαµβάνει α οφάσεις ου µεγιστο οιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΕΝΤΥΠΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΧΡΟΝΟΜΕΡΙ ΙΩΝ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΕΝΤΥΠΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΧΡΟΝΟΜΕΡΙ ΙΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΕΝΤΥΠΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΧΡΟΝΟΜΕΡΙ ΙΩΝ Μέρος 1: Ταυτότητα, τό ος κατοικίας και νοµικό καθεστώς του ή των εµ όρων ου θα είναι συµβαλλόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΧΟΝ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗ Α.Ε.Π.Ε.Υ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΝΤΟΛΩΝ

ΑΧΟΝ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗ Α.Ε.Π.Ε.Υ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΝΤΟΛΩΝ ΑΧΟΝ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗ Α.Ε.Π.Ε.Υ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΝΤΟΛΩΝ ΑΘΗΝΑ, 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛΙ Α 1.Νοµοθετικό Πλαίσιο 3 2.Ορισµοί-Πεδίο Εφαρµογής της Πολιτικής Βέλτιστης Εκτέλεσης 3 3.Συναίνεση Πελάτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανε ιστήµιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΙΑΛΕΞΗ 05 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Βόλος, 04-05 . Μέτρα ιασ οράς - Μεταβλητότητας . Εύρος e Max -M Ε ηρεάζεται α ό τον λήθος των αρατηρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΉ Συµβατικά συστήµατα: µεγάλη εριοχή κάλυψης υψηλή εκ εµ όµενη ισχύ αρεµβολές αδυναµία

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΙΑ BUSINESS FORECASTING SYSTEM

ΠΥΘΙΑ BUSINESS FORECASTING SYSTEM ΠΥΘΙΑ BUSINESS FORECASTING SYSTEM Ενηµερωτικό Φυλλάδιο FORECASTING SYSTEM UNIT Ενηµερωτικό Φυλλάδιο ΠΥΘΙΑ 1 Πυθία Ολοκληρωµένο Σύστηµα Ε ιχειρηµατικών Προβλέψεων Το εδίο των ροβλέψεων έχει σηµειώσει σηµαντική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθ. Πρωτ. :2767 Ηµεροµηνία :25/02/2016

Αριθ. Πρωτ. :2767 Ηµεροµηνία :25/02/2016 ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (ΣΤΑ.ΣΥ.) A.E. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕΣΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ Ε ΡΑ: ΑΘΗΝΑΣ 67 - ΑΘΗΝΑ 105 52 ΑΦΜ: 099939745.Ο.Υ. :ΦΑΕ Αθηνών ΤΗΛ. ΚΕΝΤΡΟ: 214-414 1171-173 FAX: 210-3223935 Αριθ. Πρωτ. :2767 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Νοιαζόµαστε για τους αριθµούς ε ειδή νοιαζόµαστε για τους ανθρώ ους ΘΕΜΑ: "Έγκριση ισολογισµού έτους 2012" Ο Ισολογισµός είναι ένας λογιστικός ίνακας ου εµφανίζει τα εριουσιακά στοιχεία,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Υ οβολή σφραγισµένης ροσφοράς για την ροµήθεια ισύρµατων Ποµ ών και διενέργεια Ηλεκτρονικού Πλειστηριασµού (MR-268060)

ΘΕΜΑ: Υ οβολή σφραγισµένης ροσφοράς για την ροµήθεια ισύρµατων Ποµ ών και διενέργεια Ηλεκτρονικού Πλειστηριασµού (MR-268060) Αριθ. Πρωτ.: 19704 Ηµεροµηνία:15/10/2014 Πληροφορίες: Αλεξό ουλος Γεώργιος Τηλέφωνο: 214 4141146 E-mail: galexopoulos@stasy.gr ΘΕΜΑ: Υ οβολή σφραγισµένης ροσφοράς για την ροµήθεια ισύρµατων Ποµ ών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

1 Η ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Τι ονομάζεται επ ικοινωνία; Τι κοινό χρειάζεται για να επ ιτευχθεί;

1 Η ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Τι ονομάζεται επ ικοινωνία; Τι κοινό χρειάζεται για να επ ιτευχθεί; 1 Η ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Τι ονομάζεται επ ικοινωνία; Τι κοινό χρειάζεται για να επ ιτευχθεί; 2. Πώς ονομάζονται τα κείμενα π ου δε χρησιμοπ οιούν μόνο τη γλώσσα για να μεταδώσουν το μήνυμά τους; Ποιο άλλο μέσο εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων Υπενθυμίζουμε συνοπτικά κάποιες βασικές έννοιες που θα μας χρειαστούν σε επόμενα κεφάλαια 3 σ-άλγεβρα: Έστω ένα μη κενό σύνολο Μία κλάση υποσυνόλων F του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ Αθήνα 25 Νοεµβρίου 2010 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΘΕΜΑ: «Συγκριτικές οκιµές Προϊόντων/Υ ηρεσιών Το αράδειγµα του Βελγίου (Test-achats)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ ΤΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΕ ΚΕΝΤΡΙΚΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥΣ ΡΟΜΟΥΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ

ΠΡΩΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ ΤΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΕ ΚΕΝΤΡΙΚΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥΣ ΡΟΜΟΥΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ Ε Θ Ν Ι Κ Η Σ Υ Ν Ο Μ Ο Σ Π Ο Ν Ι Α Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Ε Μ Π Ο Ρ Ι Ο Υ 9 Αυγούστου 2010 ΠΡΩΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ ΤΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΕ ΚΕΝΤΡΙΚΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥΣ ΡΟΜΟΥΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ Α. Η ΕΡΕΥΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΓΙΑ ΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ Τ -118/14 «ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑΤΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΘΥΡΩΝ ΤΡΑΜ»

ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΓΙΑ ΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ Τ -118/14 «ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑΤΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΘΥΡΩΝ ΤΡΑΜ» ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Αριθ. Πρωτ.:14317 Ηµεροµηνία: 28.7.2014 Πληροφορίες : Αγγ. Μ ιτσώρη Τηλέφωνο: 214-4141191-197 ΘΕΜΑ: ΠΡΟΧΕΙΡΟΣ ΜΕΙΟ ΟΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ (Τ - 118/14) για την Προµήθεια συγκροτηµάτων κινητήρων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑ (ΝΟΜΟΣ 3094/2003 Συνήγορος του Πολίτη και άλλες διατάξεις, άρθρο 4, αράγραφος 6)

ΠΟΡΙΣΜΑ (ΝΟΜΟΣ 3094/2003 Συνήγορος του Πολίτη και άλλες διατάξεις, άρθρο 4, αράγραφος 6) Κύκλος Ποιότητας Ζωής ΠΟΡΙΣΜΑ (ΝΟΜΟΣ 3094/2003 Συνήγορος του και άλλες διατάξεις, άρθρο 4, αράγραφος 6) (Υ όθεση 6536 & 6537 /2004) ΘΕΜΑ: «ΚΑΘΕΣΤΩΣ Α ΕΙΟ ΟΤΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΤΜΟΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΣΤΑΘΜΩΝ (ΑΗΣ) ΤΗΣ ΕΗ

Διαβάστε περισσότερα

δεν µ ορούµε να συµφωνήσουµε µε οιον τρό ο το ρόβληµα αυτό θα λυθεί.

δεν µ ορούµε να συµφωνήσουµε µε οιον τρό ο το ρόβληµα αυτό θα λυθεί. Χαιρετισµός του Προέδρου Κ.Ε..Ε. & ηµάρχου Αµαρουσίου κ. Γ. Πατούλη στο Συνέδριο µε θέµα : «Βιώσιµη, Οικολογική, Οικονοµική ιαχείριση Α ορριµµάτων στην Αττική». Kυρίες και κύριοι Θα ήθελα καταρχήν να συγχαρώ

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

1/1-01.07.11 Σελίδα 1 α ό

1/1-01.07.11 Σελίδα 1 α ό Αριθ. Πρωτ.:3744 Ηµεροµηνία:27/2/2015 Πληροφορίες: Μ ιτσώρη Αγγ. Τηλέφωνο: 2144141191 E-mail: abitsori@ stasy.gr ΘΕΜΑ: ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την ροµήθεια ροσθήκης εδίλου ρεύµατος,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

- ERP - SCM Logistics - LIS - CRM - PRM - BPR - BI

- ERP - SCM Logistics - LIS - CRM - PRM - BPR - BI - ERP - SCM Logistics - LIS - CRM - PRM - BPR - BI.,.,. 2007 Πρόλογος Ως ρόλογο ας αρουσιάσουµε ένα συνηθισµένο σενάριο, µία καθηµερινή ιστορία ου συµβαίνει σε µία ε ιχείρηση. Ένας ελάτης καλεί το τηλεφωνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΙΑ ΙΚΤΥΑΚΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟΎ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Τρίτη, 23 Νοεµβρίου 2010

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΙΑ ΙΚΤΥΑΚΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟΎ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Τρίτη, 23 Νοεµβρίου 2010 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΙΑ ΙΚΤΥΑΚΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟΎ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Τρίτη, 23 Νοεµβρίου 2010 Για την εταιρεία ACTS : Πα αγεωργίου Κων/νος Εθν. Βενιζέλου 189, Σούδα/ Χανιά, ΤΚ 73200 AΦΜ: 065439343

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΡΑΤΟΥΣ ΠΟΛΙΤΗ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΡΑΤΟΥΣ ΠΟΛΙΤΗ ΚΥΚΛΟΣ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΡΑΤΟΥΣ ΠΟΛΙΤΗ ΣΥΝΟΨΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗΣ Θέμα: ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΥΝΗΓΟΡΟΥ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΣΤΗΝ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΟΡΘΗΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΝΟΜΟΥ: ΠΡΟΣΩΠΑ ΠΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥΝΤΑΙ ΝΑ ΕΚΤΕΛΟΥΝ ΚΑΤΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΤΗΝ ΑΠΟ ΞΗΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Να σταλεί και µε

Να σταλεί και µε Να σταλεί και µε e-mail ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝ. ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ Τ.Α. -------------------------------------------------- -ΤΜΗΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ & ΕΠΕΞ. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σταθερές Συγκοινωνίες (ΣΤΑ.ΣΥ.) Α.Ε.

Σταθερές Συγκοινωνίες (ΣΤΑ.ΣΥ.) Α.Ε. Αριθ. Πρωτ.: 16923 Ηµεροµηνία:11.09.2014 Πληροφορίες: Χ.Τσαµ αρλή Τηλέφωνο: 214 414 13 04 ΘΕΜΑ: ΠΡΟΧΕΙΡΟΣ ΜΕΙΟ ΟΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ για την ροµήθεια Κεντρικού Συστήµατος Α οθήκευσης εδοµένων (Storage), µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την ροµήθεια ρελέ ασφαλείας και ιενέργεια Ηλεκτρονικού Πλειστηριασµού

ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την ροµήθεια ρελέ ασφαλείας και ιενέργεια Ηλεκτρονικού Πλειστηριασµού Αριθ. Πρωτ.:11366 Ηµεροµηνία:10/6/2015 Πληροφορίες: Χ.Πανταζή Τηλέφωνο: 214-414-1365 E-mail: cpantazi@stasy.gr ΘΕΜΑ: ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την ροµήθεια ρελέ ασφαλείας και ιενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθ. Πρωτ. : 9185 Ηµεροµηνία : 19-06-2013

Αριθ. Πρωτ. : 9185 Ηµεροµηνία : 19-06-2013 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΗ ΙΑΥΓΕΙΑ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (ΣΤΑ.ΣΥ.) A.E. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕΣΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ Ε ΡΑ: ΑΘΗΝΑΣ 67 - ΑΘΗΝΑ 105 52 ΑΦΜ: 099939745.Ο.Υ.: ΦΑΕ ΑΘΗΝΩΝ ΤΗΛ. ΚΕΝΤΡΟ: 210-3248311-17 FAX:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα: Ανα ροσαρµογή των ορίων κατανάλωσης του Τιµολογίου Υ ηρεσιών Αλληλεγγύης

Θέµα: Ανα ροσαρµογή των ορίων κατανάλωσης του Τιµολογίου Υ ηρεσιών Αλληλεγγύης 18 εκεµβρίου 2014 Αριθµ. Πρωτ.: ***/***/2014 Πληροφορίες: Μαρία Α οστόλου Σταµατία Πα αδηµητρίου Προς: Κύριο Ασηµάκη Πα αγεωργίου Υφυ ουργό Περιβάλλοντος, Ενέργειας και Κλιµατικής Αλλαγής Αµαλιάδος 17

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την ροµήθεια µ αταριών και διενέργεια ηλεκτρονικού λειστηριασµού ΣΧΕΤΙΚΟ : MR

ΘΕΜΑ: ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την ροµήθεια µ αταριών και διενέργεια ηλεκτρονικού λειστηριασµού ΣΧΕΤΙΚΟ : MR Αριθ. Πρωτ.: 13460 Ηµεροµηνία: 21/7/17 ΘΕΜΑ: ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την ροµήθεια µ αταριών και διενέργεια ηλεκτρονικού λειστηριασµού ΣΧΕΤΙΚΟ : MR 269256 Η ΣΤΑΣΥ Α.Ε. καλεί τους ενδιαφερόµενους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Ελληνική Ορθή Ε ανάληψη (ως ρος αλλαγή αριθµού αραγράφου στη σελ. 3 (α ό αρ. 21 σε αρ. 20 α ) Αθήνα, 18-3-2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 16 Μαρτίου 2016 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Οµιλία Προέδρου Κ.Ε..Ε Γ. Πατούλη στο Συνέδριο των ΦΟΣ Α

Οµιλία Προέδρου Κ.Ε..Ε Γ. Πατούλη στο Συνέδριο των ΦΟΣ Α Οµιλία Προέδρου Κ.Ε..Ε Γ. Πατούλη στο Συνέδριο των ΦΟΣ Α Κυρίες και κύριοι Η διεξαγωγή της σηµερινής εκδήλωσης διεξάγεται σε µια ιδιαίτερη κρίσιµη χρονική συγκυρία για το µέλλον της χώρας και την ευρω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΕΛΚΥΣΗ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ

ΠΡΟΣΕΛΚΥΣΗ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ EVITA ΠΡΟΣΕΛΚΥΣΗ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙ Α Ερµούπολη, Σύρος 27/10/2010 Βασίλειος Πα ανικολάου ΠΡΟΣΕΛΚΥΣΗ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙ Α Ο στόχος αυτής της διαδικασίας είναι να ροσελκύσει «στοχο οιηµένες»

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 6 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ WCDMA ΚΑΙ SPREAD SPECTRUM ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 6 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ WCDMA ΚΑΙ SPREAD SPECTRUM ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 6 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ WCDMA ΚΑΙ SPREAD SPECTRUM 1 ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ SPREAD SPECTRUM- ΙΕΥΡΥΜΕΝΟ ΦΑΣΜΑ Παράγει ολλούς κώδικες σε µία ευρεία

Διαβάστε περισσότερα

H.Q.A.A. Α. Ι.Π. ιασφάλιση Ποιότητας στην Ανώτατη Εκπαίδευση ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Οδηγός εφαρµογής της διαδικασίας Εσωτερικής Αξιολόγησης

H.Q.A.A. Α. Ι.Π. ιασφάλιση Ποιότητας στην Ανώτατη Εκπαίδευση ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Οδηγός εφαρµογής της διαδικασίας Εσωτερικής Αξιολόγησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Α. Ι.Π. ΑΡΧΗ ΙΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ HELLENIC REPUBLIC H.Q.A.A. HELLENIC QUALITY ASSURANCE AGENCY FOR HIGHER EDUCATION ιασφάλιση Ποιότητας στην Ανώτατη Εκπαίδευση Οδηγός

Διαβάστε περισσότερα

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την Προµήθεια και Το οθέτηση Μεταλλικών Ραφιών και ιενέργεια Ηλεκτρονικού Πλειστηριασµού (MR 271747)

ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την Προµήθεια και Το οθέτηση Μεταλλικών Ραφιών και ιενέργεια Ηλεκτρονικού Πλειστηριασµού (MR 271747) Αριθ. Πρωτ.:22480 Ηµεροµηνία:13/11/2015 Πληροφορίες: Κατσικαβέλα Κατερίνα Τηλέφωνο: 214-414-1153 E-mail: kkatsikavela@stasy.gr ΘΕΜΑ: ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την Προµήθεια και Το οθέτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΒΙΦΧΟΡΛΟ-7ΟΜ AΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ

ΑΔΑ: ΒΙΦΧΟΡΛΟ-7ΟΜ AΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Αριθ. Πρωτ.:9195 Ηµεροµηνία:19/05/2014 Πληροφορίες: Αλεξό ουλος Γεώργιος Τηλέφωνο: 2144141146 E-mail: galexopoulos@stasy.gr ΘΕΜΑ: ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για τον Έλεγχο Καλής Λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΑΝΑΣΗΣ ΤΖΙΩΤΖΙΟΣ

ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΑΝΑΣΗΣ ΤΖΙΩΤΖΙΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

Σταθερές Συγκοινωνίες (ΣΤΑ.ΣΥ.) Α.Ε.

Σταθερές Συγκοινωνίες (ΣΤΑ.ΣΥ.) Α.Ε. ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ A.E. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕΣΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ Ε ΡΑ: ΑΘΗΝΑΣ 67 - ΑΘΗΝΑ 105 52 ΑΦΜ: 099939745.Ο.Υ. :ΦΑΕ ΑΘΗΝΩΝ ΤΗΛ. ΓΡΑΦΕΙΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ: 214 414 1499 FAX: 210-3223935 Αριθ. Πρωτ.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ

ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ 01.10.17 31.12.17 Η ΣΤΑΣΥ Α.Ε. ανακοινώνει ότι για τη µίσθωση του Χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ 02.01.18 30.04.18 Η ΣΤΑΣΥ Α.Ε. ανακοινώνει ότι για τη µίσθωση του Χώρου Πολλα λών Χρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ 02.05.17 27.09.17 Η ΣΤΑΣΥ Α.Ε. ανακοινώνει ότι για τη µίσθωση του Χώρου Πολλα λών Χρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΣΤΑΘΜΟ ΜΕΤΡΟ «ΣΥΝΤΑΓΜΑ» ΤΟ ΙΑΣΤΗΜΑ 02.01.17 29.04.17 Η ΣΤΑΣΥ Α.Ε. ανακοινώνει ότι για τη µίσθωση του Χώρου Πολλα λών Χρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθ. Πρωτ. : 15679 Ηµεροµηνία : 12.08.2015. Πρόχειρος µειοδοτικός διαγωνισµός Τ -111/15 για την ροµήθεια µεταχειρισµένων µειωτήρων

Αριθ. Πρωτ. : 15679 Ηµεροµηνία : 12.08.2015. Πρόχειρος µειοδοτικός διαγωνισµός Τ -111/15 για την ροµήθεια µεταχειρισµένων µειωτήρων ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ A.E. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕΣΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ Ε ΡΑ: ΑΘΗΝΑΣ 67 - ΑΘΗΝΑ 105 52 ΑΦΜ: 099939745.Ο.Υ. :ΦΑΕ ΑΘΗΝΩΝ ΤΗΛ. ΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΟΥ: 214 414 1499 FAX: 210-3223935 Αριθ. Πρωτ. : 15679

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΕΤΑΝΑΣΤΩΝ του ήµου Λαµιέων

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΕΤΑΝΑΣΤΩΝ του ήµου Λαµιέων ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΕΤΑΝΑΣΤΩΝ του ήµου Λαµιέων Άρθρο 1 (Άρθρο 7, αρ. 1 Ν. 3852/2010) ιοίκηση ήµου Ο δήµος διοικείται α ό το δηµοτικό συµβούλιο, την οικονοµική ε ιτρο ή, την ε ιτρο

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός ρο ής αδράνειας κυλίνδρου ή σφαίρας ου κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε κεκλιµένο ε ί εδο

Προσδιορισµός ρο ής αδράνειας κυλίνδρου ή σφαίρας ου κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε κεκλιµένο ε ί εδο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Καθηγητές: Σφαέλος Ι. Φύττας Γ. Προσδιορισµός ρο ής αδράνειας κυλίνδρου ή σφαίρας ου κυλίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΩΜΟΣΩΜΙΚΕΣ ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ

ΧΡΩΜΟΣΩΜΙΚΕΣ ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΧΡΩΜΟΣΩΜΙΚΕΣ ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ Σύνδροµο Down Το σύνδροµο Down είναι µια γενετική ανωµαλία ου εριλαµβάνει συνδυασµό χαρακτηριστικών, ό ως νευµατική καθυστέρηση, συγκεκριµένα χαρακτηριστικά ροσώ ου και συχνά καρδιακά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθ. Πρωτ.:25535 Ηµεροµηνία:31/12/2014. ΘΕΜΑ : ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την

Αριθ. Πρωτ.:25535 Ηµεροµηνία:31/12/2014. ΘΕΜΑ : ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την Αριθ. Πρωτ.:25535 Ηµεροµηνία:31/12/2014 Πληροφορίες: Γ. Καρανίκα Τηλέφωνο: 214-4141339 ΘΕΜΑ : ΑΙΤΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΣΦΡΑΓΙΣΜΕΝΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ για την ροµήθεια 70.000 κυτίων των 410 γραµµαρίων συµ υκνωµένου Γάλακτος

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΟΛΗ

ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΟΛΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Πληροφορίες: Νταή Αντιγόνη Ντονάδος Αντώνης Πάτρα: 12/10/2016 Τηλ. : 2610367660 2610367661 Fax: 2610367105 e-mail : odoip@eap.gr Διεύθυνση: Πάροδος Αριστοτέλους

Διαβάστε περισσότερα