Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Transcript

1 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος του Ε.Α.Π. «Λογισμός Μίας Μεταβλητής» καθώς και το Ολοκληρώματα Ι του ΣΕΥ)., Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( ), R και g ( ) α) (5 μον.) Να υολογίσετε τον όγκο και το εμβαδόν της (αράλευρης) ειφάνειας του στερεού ου αράγεται αό την εριστροφή του γραφήματος της g γύρω αό τον άξονα των για. β) (5 μον.) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. γ) (6 μον.) Να υολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τα γραφήματα των συναρτήσεων f και g και τις κατακόρυφες ευθείες και. Υόδειξη: Προκειμένου να συγκρίνετε τις συναρτήσεις f και g στο διάστημα [,], χρησιμοοιήστε το ερώτημα (β). δ) ( μον.) Υολογίστε τη συνάρτηση h ( ) f( d ). b + 7 ε) (6 μον.) Να δείξετε ότι για κάθε,b R έχουμε: l b. + 7 Υόδειξη: Χρησιμοοιήστε τη συνάρτηση του ερωτήματος (δ), το Θεώρημα μέσης τιμής και το ερώτημα (β). α) Όγκος στερεού εκ εριστροφής: V 6 ( g( ) ) d 9 6 d d 6 Λύση Εμβαδόν αράλευρης ειφάνειας στερεού εκ εριστροφής: S g( ) + ( g'( ) ) d + d d d d d 6 d Για το αόριστο ολοκλήρωμα κάνουμε την αντικατάσταση:

2 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: du 6 + u 6d du d 6 και έχουμε: du u 6 ( 6 ) + d u udu u Συνεώς: S 6 d ( ) ( ) β) Υολογίζουμε την ρώτη αράγωγο: ' ' ' 6 ( ) ( + 7) ( + 7) ( + 7) ( ) ( + 9) ( + 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( + ) Η οσότητα μέσα στην αγκύλη είναι άντα αρνητική, ενώ η οσότητα έξω αό την αγκύλη είναι αρνητική μόνον όταν < <. Συνεώς έχουμε ότι: ' f γνησίως αύξουσα : f ( ) > 0,όταν < < ' f γνησίως φθίνουσα : f ( ) < 0,όταν < ή > Είσης η αράγωγος μηδενίζεται όταν -, 0,. Υολογίζουμε την δεύτερη αράγωγο:

3 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: ' ( ) ( 8 ) ( 7) ( 8 ) ( 7) ( + 7) ( + 7) 5 6 ( 6 + 6)( + 7) 8( + 8 )( + 7) ( + 7) 8 ( + 7)( + 87) ( + 7) 8 ( + 87) ( + 7) ' ' Τώρα έχουμε ότι: '' f ( ) > 0 τοικό ελάχιστο για '' f () < 0 τοικόμέγιστο για '' f (0) 0 σημείο καμής για 0 Είσης έχουμε ότι ισχύουν τα εξής: lim f( ) lim lim lim ± ± + 7 ± 7 ± lim lim (0)() 0 ± ± 7 + Εομένως τα τοικά ακρότατα είναι και ολικά ακρότατα κι έτσι έχουμε: M m f( ) f() R m mi f( ) f( ) R γ) Είδαμε ότι στο [,] η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα: f () < f () 8 Όμως έχουμε είσης ότι: g() 0, 5 < 0, g() Είσης: ' g ( ) > 0, > 0 8

4 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: δηλ. και η g είναι γνησίως αύξουσα. Εειδή τώρα: f() < g() 8 f () < g() συμεραίνουμε ότι στο [,] θα ισχύει g()>f(), άρα υολογίζουμε: E ( g( ) f( ) ) d d + 7 Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι: d d d ( + 7 ) l ( + 7 ) 6 Άρα το εμβαδόν γίνεται: E l ( + 7 ) l ( 08) + l ( 8) b + 7 l h( ξ ) b () + 7 όμως βρήκαμε αό το ερ. β) ότι: δ) Έχουμε ότι: h( ) f ( ) d d d l + 7 ( ) ( ) ε) Θεωρούμε το θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού για την συνάρτηση h στο διάστημα [,b] κι έχουμε ότι: b ( ) hd ( ) h( ξ) b, ξ ( b, ) b ( + ) h( ξ )( b ) l 7 l ( b 7) l ( 7 ) h( ξ )( b ) + + b + 7 l h( ξ ) b + 7 ( )

5 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: f( ) < f( ) < h( ) < Εομένως η ρώτη σχέση μας γίνεται: b + 7 l b + 7 Άσκηση (0 μον.) (Συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. του συγγράμματος του Ε.Α.Π. «Λογισμός Μίας Μεταβλητής») Δίνεται η -εριοδική συνάρτηση f με ( ) e για < f. α) (5 μον.) Ελέγχοντας τη συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο, να βρείτε όλα τα σημεία στα οοία η f δεν είναι συνεχής. β) (0 μον.) Να βρείτε τη σειρά Fourier της f. γ) (5 μον.) Μελετώντας την αραάνω σειρά Fourier στο σημείο να υολογίσετε το άθροισμα. + Υόδειξη: Λάβετε υ όψη τη σχέση (.) σελ. 9 του «Λογισμός Μίας Μεταβλητής». α) Έχουμε αίρνοντας λευρικά όρια ότι: lim f( ) lim e e ( ) ( ) Λύση lim f ( ) lim lim f( ) e lim f( ) Άρα η συνάρτηση είναι ασυνεχής σε όλα τα σημεία + k, k β) Έχουμε την σειρά Fourier της f με L: συγγράμματος του Ε.Α.Π. f ( ) 0 + cos bsi 0 ( cos( ) bsi ( ) ) () Οι συντελεστές α δίνονται αό τους τύους: 0 f e e e ( ) ( ) 5

6 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: f ( ) cos e cos( ) Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I cos cos si cos si ( ) I cos( ) si( ) cos + si cos cos + si cos + + I cos ( ) si ( ) Εομένως οι συντελεστές α είναι: ( ) + si( ) e cos e ( ) ( ) ( ) ( ) e cos e si e cos e si ( ) ( ) ( ) ( ) e cos e cos e e ( ) ( e e ) + Οι συντελεστές b δίνονται αό τους τύους: b ( ) si f e si ( ) Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι: Εομένως οι συντελεστές b είναι: 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I si si cos si cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I si( ) cos( ) si cos + si si cos si + I si + + ( ) cos( )

7 b Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: e si( ) e cos ( ) + + e ( cos( ) si ( ) ) e ( cos( ) + si ( ) ) b e cos( ) e cos( ) e ( ) e ( ) b ( ) ( e e ) b + Τελικά η σειρά είναι: ( ) ( e e ) ( ) ( e e ) f ( ) ( e e ) + cos ( ) si ( ) + + e e ( ) ( ) f ( ) ( e e ) + cos ( ) si ( ) () + + γ) Εειδή γνωρίζουμε ότι si( ) 0, cos( ) ( ) θα έχουμε για και σύμφωνα με το θεώρημα σύγκλισης για τα σημεία ασυνέχειας των σειρών Fourier ότι: ( ) + e e ( f( ) + f( )) ( e e ) + cos ( ) + ( ) ( ) e e ( e + e ) ( e e ) + + e e ( e + e ) ( e e ) + + e e ( e + e ) ( e e ) + e + e e e + e e e e coth( ) Άσκηση (5 μον.) 7

8 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0:?? Έστω ο τετραγωνικός ίνακας A??. 0?? α) (0 μον.) Να βρεθούν το χαρακτηριστικό ολυώνυμο, οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του ίνακα A. β) (5 μον.) Είναι ο ίνακας A διαγωνοοιήσιμος; Εάν ναι, να βρεθεί ένας αντιστρέψιμος ίνακας P τέτοιος ώστε A PDP, όου ο D είναι ένας διαγώνιος ίνακας. Λύση α) Χαρακτηριστικό ολυώνυμο: λ det ( A λi) det λ 0 λ λ λ ( λ ) det det det λ 0 λ 0 ( λ)( λ λ ) 6 λ ( λ )( λ )( λ ) + + A ( ) ( )( )( ) χ λ λ λ λ λ λ λ Ιδιοτιμές: χ λ 0 λ λ λ 0 A ( ) ( )( )( ) λ λ λ Ιδιοδιανύσματα: λ ( λ ) A I X O + y z 0 + y z 0 R R+ R + z 0 y + z 0 y z 0 y z z 0 z R RR y z 0 y z R RR z z Εομένως: 8

9 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: z y z z u z z λ ( λ ) A I X O + y z 0 z 0 R R+ R y + z 0 y 0 y 0 y 0 z 0 z R RR y 0 y z z Εομένως: z y 0 z 0 u 0 z z λ ( A λi) X O y z 0 y z 0 R R+ R y + z 0 0 R RR y z y z z z Εομένως: y z z u z z β) Ο ίνακας Α είναι διαγωνοοιήσιμος διότι έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές. Ο διαγωνοοιών ίνακας Ρ είναι ο ίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του Α, δηλ.: 0 P 0 Πράγματι κάνοντας τις ράξεις βρίσκουμε ότι: 9

10 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: 0 P AP λ λ 0 D λ Άσκηση (0 μον.) Έστω η γραμμική αεικόνιση βάση του R τον A λ και το διάνυσμα v ( 6,0, μ ) R. Να βρεθεί για οιες τιμές των αραμέτρων ου αυτό συμβαίνει να βρείτε όλα τα αντίστοιχα f (,, ) v. 0 f : R R με ίνακα ανααράστασης ως ρος την κανονική λ, μ το v ανήκει στο Imf. Σε όλες τις εριτώσεις (,, ) R για τα οοία Λύση Θα ρέει το διάνυσμα στήλη v να ανήκει στον χώρο ου αράγεται αό τις στήλες του Α, δηλ. θα ρέει να λύνεται το ακόλουθο σύστημα ως ρος (,, ) R : λ μ λ μ R RR R R/ R R R + + ( λ ) μ6 + ( λ ) μ 6 + R RR () R R R + ( λ ) μ0 Αό το ισοδύναμο σύστημα () βλέουμε ότι δεν υάρχει λύση μόνον στην ερίτωση όου ισχύει λ και μ 0. Εξετάζουμε χωριστά τις υόλοιες εριτώσεις. i) λ και μ 0 Τότε το () γράφεται:

11 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: + + +, 0 0 ii) λ και μ 0 Τότε το () γράφεται: R R/ ( λ) + + ( λ ) μ 0 μ 0 λ μ 0 λ + μ6 + λ λ R R+ R μ0 λ μ+ R R R λ λ μ0 μ0 λ λ λ + μ6 λ λ μ+, λ και μ 0 λ μ 0 λ Άσκηση 5 (0 μον.) α) (5 μον.) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τις αρακάτω σειρές: i) ii) 5 + β) (5 μον.) Να υολογίσετε τα αρακάτω όρια si si i) lim 0 ii) lim + ( ) Υόδειξη: Για το βii) μορείτε είτε να χρησιμοοιήσετε την ταυτότητα A B ( A B)( A + A B+ AB + B ) ή να θέσετε y και να εφαρμόσετε κανόνα L Hospitl. Λύση

12 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: α) i) Χρησιμοοιούμε το κριτήριο του λόγου για σειρές με μη αρνητικούς όρους: ( + ) ( + )! + 0 ( )!( )! 0 ( )!! ( )! ( )! ( )! ( + )!(+ )! 0!( )! ( )! ( + )( + )( + )( + )! ( )! 0 ( )!!( + ) ( )!(+ )(+ )(+ ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) 0 ( + )(+ )(+ )( + ) < άρα η σειρά συγκλίνει 0 5 ii) Παρατηρούμε ότι: , άρα η + 7 συμεριφέρεται όως και η η οοία αοκλίνει, δηλ. η σειρά 5 + ου εξετάζουμε αοκλίνει και αυτή. β) i) Χρησιμοοιώντας την σειρά McLuri για την συνάρτηση του ημιτόνου έχουμε ότι:

13 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: ( ) ( ) 5 5 si ! 5! si 6... ( ) ( ) si ! 5! si Εομένως: + 5 si si 5... si si 5 lim 0 lim 0 5 lim ii) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( ) ( ) + + +

14 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: ( ) ( ) ( ) Άσκηση 6 (0 μον.) α) Ένα συρτάρι εριέχει έξι διαφορετικά νομίσματα, τα Ν,Ν,,Ν 6. Η ιθανότητα να k εμφανιστούν γράμματα αν στρίψουμε το νόμισμα Ν k είναι ίση με, k,,..., 6 (.χ. το 5 νόμισμα Ν έχει και στις δύο όψεις κορώνα και το Ν 6 έχει και στις δύο όψεις γράμματα κλ). Διαλέγουμε στην τύχη ένα νόμισμα αό το συρτάρι και το στρίβουμε δύο φορές. Θεωρούμε ως Α το ενδεχόμενο στην ρώτη ρίψη να εμφανιστούν γράμματα και ως Β το ενδεχόμενο στη δεύτερη ρίψη να εμφανιστεί κορώνα. (i) (5 μον.) Να βρείτε την ιθανότητα να έχουμε διαλέξει το νόμισμα Ν k (για καθεμία αό τις τιμές k,,...,6 ) εάν είναι γνωστό ότι στην ρώτη ρίψη εμφανίστηκαν γράμματα. (ii) (5 μον.) Να βρείτε και να συγκρίνετε τις ιθανότητες P(Β Α) και Ρ(Β). Είναι τα ενδεχόμενα Α και Β ανεξάρτητα; Μορείτε να ερμηνεύσετε το αοτέλεσμα; Υόδειξη: Θεωρείστε το ενδεχόμενο Ε k να διαλέξαμε το νόμισμα Ν k, k,,..,6 και εφαρμόστε Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και τον τύο του Byes. β) Η οσότητα διοξειδίου του άνθρακα ου αράγεται σε μια χημική αντίδραση είναι τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας: 0 αν < ( ) αν f b

15 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: όου,b R, και μέση τιμή ίση με,5 gr. i) (5 μον.) Να ροσδιορίσετε τα,b και τη διασορά της αραάνω τυχαίας μεταβλητής. ii) (5 μον.) Να βρείτε την ιθανότητα να αρήχθησαν το ολύ gr διοξειδίου του άνθρακα αν είναι γνωστό ότι αρήχθησαν τουλάχιστον gr. Λύση α) i) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Ε k να διαλέξαμε το νόμισμα Ν k, k,,..,6 και υολογίζουμε την ολική ιθανότητα να έρθει στην ρώτη ρίψη γράμματα δηλ. να ραγματοοιηθεί το ενδεχόμενο Α. Τότε αό το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας έχουμε: k PA ( ) PE ( k) PAE ( k) ( k ) k k k k 0 k 0 k 6(6+ ) Τώρα με τον τύο του Byes βρίσκουμε ότι: k PE ( k) PAE ( k) 6 5 ( k) k PE ( k A), k,,...,6 PA ( ) 0 5 Και ιο αναλυτικά έχουμε: ( A) ( A) P E 0 P E 5 P( E A) 5 P( E A) 5 P( E5 A) 5 P( E6 A) ii) Πάλι με την χρήση τού Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας θα υολογίσουμε την ιθανότητα P(B): 5

16 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: k 6k PB ( ) PE ( k) PBE ( k) k k 6 5 k k 6 k 5 k k 0 k 5 0 Με βάση τον τύο ου δίνει την δεσμευμένη ιθανότητα έχουμε: PB ( A) PB ( A) () PA ( ) Το αοτέλεσμα της ης ρίψης είναι ανεξάρτητο αό αυτό της ης, εομένως για να βρούμε την ιθανότητα να έρθει κορώνα στην η και γράμματα στην η σκεφτόμαστε ως εξής: εάν ήρθε το Ν k στην η ρίψη δηλ. εάν ραγματοοιήθηκε το ενδεχόμενο Ε k, τότε για την η ρίψη έχουμε άλι 6 ειλογές, άρα η ιθανότητα να έχουμε στο τέλος B A θα είναι 6 PE ( ) PAE ( ) PE ( ) PB ( E) PE ( ) PAE ( ) PB ( ) k k m m k k m Η ολική ιθανότητα να έχουμε B A θα είναι τελικά: 6 6 PB ( A) PE ( ) PAE ( ) PB ( ) PB ( ) PE ( ) PAE ( ) PBPA ( ) ( ) () k k k k k k Αό τις () και () έχουμε: PBPA ( ) ( ) PB ( A) PB ( ) PA ( ) Είδαμε ότι PB ( A) PBPA ( ) ( ), άρα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα. β) i) Θα ρέει να είναι συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας, δηλ.: ( ) b+ b+ b f b+ b+ lim b+ lim b+ b+ b+ b+ b+ lim + () b+ b+ Για να έχει νόημα η () θα ρέει b+<0 ώστε το όριο να είναι μηδέν, διαφορετικά: ) εάν b+0 δηλ. b- τότε θα είχαμε: 6

17 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: ( ) [ ] f l( ) lim l( ) l() lim l( ) ου δεν έχει νόημα αρά μόνον όταν α0 )εάν b+>0 τότε το αριστερό μέλος της () αειρίζεται και άλι δεν έχει νόημα η σχέση. Πρέει λοιόν b+<0, οότε η () γίνεται: () b+ b+ Είσης θα ρέει η αναμενόμενη τιμή να είναι ίση με,5gr/ gr, δηλ.: b b+ E( X ) f ( ) b+ b+ b+ lim b+ b+ b+ b+ lim b+ b+ + b+ b+ b+ lim () Με ακριβώς όμοιους συλλογισμούς όως για την () καταλήγουμε ότι η () έχει νόημα μόνον όταν b+<0, οότε και γίνεται: () b+ b+ Λύνουμε το σύστημα των () και (): 7

18 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: b+ RR R b b+ b+ b+ + 0 b b+ + b + 0 b 0 b ( b )( b ) b b Εομένως έχουμε την σ...: 0 αν < f( ) αν Η διασορά είναι: [ ] V X E X E X ( ) ( ) ( ) (5) Υολογίζουμε: f ( ) E( X ) lim + Η (5) λόγω της (6) δίνει: (6) 9 V( X) E( X ) [ E( X) ] ii) Τώρα μορούμε να υολογίσουμε ιθανότητες, αφού υολογίσουμε την συνάρτηση κατανομής: F( ) f( t) dt dt t t t 8

19 Τηλ: Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: { } { } P( X < X > ) P( < < ) PX ( < X> ) PX ( > ) PX ( < ) 6 7 F() F() ,87587,5% F()